Biofysiikan luentomoniste. Jyväskylän yliopisto Liikuntabiologian laitos Tekijät: Jussi Peltonen

Transkriptio

1 Biofysiikan luentomoniste Jyväskylän yliopisto Liikuntabiologian laitos Tekijät: Jussi Peltonen

2 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Alkusanat Tämä luentomoniste on kirjoitettu Jyväskylän yliopiston liikuntabiologian laitoksen biofysiikan kurssin opiskelumateriaaliksi. Kimmoke luentomonisteen kirjoittamiseen syntyi siitä, että perusopintoihin materiaaliksi soveltuvaa kirjallisuutta on erittäin hankala löytää. Useiden biofysiikkaa käsittelevien oppikirjojen painotusalueet ovat muualla kuin biomekaniikassa, jonka näkökulmasta tämä moniste ensisijaisesti on kirjoitettu. Moniste sisältää kurssilla läpikäytävän materiaalin, joten se kelpaa yksinään lukumateriaaliksi. Kehotan kuitenkin lukijaa itsenäiseen tiedonhankintaan sekä tutustumaan muuhun kurssilla ilmoitettuun oheismateriaaliin paremman ymmärtämisen saavuttamiseksi. Luentomoniste ei sisällä lainkaan laskuesimerkkejä, joita käydään läpi kurssin luennoilla ja laskuharjoituksissa. Kurssi ei ole matemaattinen vaikka kurssilla lasketaan. Matemaattisia apuvälineitä käytetään siinä määrin, kun niistä on hyötyä biologisen ongelman ratkaisussa. Koska tarvittavaa matematiikkaa ei käsitellä monisteessa syvemmin, opiskelijan olisi hyvä hallita perusteet seuraavista: Yhtälöiden ratkaisu, vektorit, trigonometria ja derivaatan sekä integraalin käsitteet. Jos nämä tuntuvat hankalilta, kannattaa muistia virkistää jostain alan oppikirjasta. Kurssin matematiikka ei ole lukion matematiikkaa monimutkaisempaa. Tarvittavat matemaattiset työkalut käydään läpi siinä järjestyksessä kuin ne tulevat vastaan apuna ongelmien ratkaisuissa. Siinä ohella, että kurssilla on tarkoitus oppia ymmärtämään luonnon noudattamia peruslakeja, kurssilla on tarkoitus kehittää loogista ajattelukykyä. Sitä, että osaa lähteä jostain ja päätyä oikeaan paikkaan. Voidaankin sanoa, että tällä kurssilla yhtä tärkeää kuin mistä lähdetään, on minne päädytään. Jyväskylässä 6. syyskuuta 006 Jussi Peltonen Sivu

3 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos BIOFYSIIKKA TIETEENÄ Sanalla biofysiikka käsitetään yleisesti fysiikassa käytettyjen metodien ja teorioiden soveltamista vastaamaan biologiassa esiintyviin kysymyksiin. Käytännössä biofysiikka vaatii useiden eri tieteenalojen osaajien yhteistyötä. Maailmalla ei ole yliopistoja, joista löytyisi oma biofysiikan laitoksensa, vaan biofysiikkaa tutkii yleensä monitieteellinen tutkimusryhmä. Tutkimusryhmän jäsenet voivat edustaa mm. seuraavia tieteenaloja: biologia, biokemia, kemia, tietotekniikka, matematiikka, lääketiede, farmakologia (lääkeaineoppi), fysiologia, fysiikka tai hermotieteet. Koska biofysiikka nojaa fysiikassa esiintyviin tutkimusmenetelmiin, se on kvantitatiivinen tiede. Tämä tarkoittaa, että vastaukset kysymyksiin saadaan lukujen avulla. Lukujen vertaaminen taas vaatii kykyä arvioida mitattujen tai laskettujen tulosten luetettavuutta.. SI-järjestelmä ja dimensioanalyysi Jotta tutkijat eripuolilla maailmaa voisivat verrata tuloksiaan, tarvitaan standardin mukaiset suureet ja yksiköt. Tätä varten on luotu kansainvälinen SI-järjestelmä (Système International d Units). Teoriassa standardisointia varten riittäisivät mekaniikan perussuureet matka, aika ja massa täydennettynä jollakin sähkömagnetismiin liittyvällä suureella. Käytännön syistä on kuitenkin päädytty järjestelmään, jossa perussuureita ja näiden perusyksiköitä on seitsemän. Kaikille SIjärjestelmän perussuureille on oma yksiselitteinen ja johonkin luonnonvakioon sidottu määritelmänsä. Esimerkiksi sekunti määritellään seuraavasti: Ajan yksikkö sekunti on kertaa sellaisen säteilyn jaksonaika, joka vastaa cesium 33-atomin siirtymää perustilan ylihienorakenteen kahden energiatason välillä Taulukko. SI-järjestelmän perusyksiköt Suure Yksikkö Tunnus pituus metri m massa kilogramma kg aika sekunti s sähkövirta ampeeri A lämpötila kelvin K ainemäärä mooli mol valovoima kandela cd Perussuureista voidaan johtaa johdannaissuureita, joiden yksiköitä kutsutaan johdannaisyksiköiksi. Johdannaisyksiköllä voi olla oma nimensä. Esimerkki tällaisesta on taajuus (f), jonka johdannaisyksikköä /s kutsumme hertsiksi (Hz). Sivu 3

4 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Taulukko. Johdannaissuureet ja johdannaisyksiköt Suure Tunnus Yksikkö Lyhenne Selitys taajuus f hertsi Hz Hz = s - voima F Newton N N = kgms - paine, jännitys p, σ pascal Pa Pa = Nm - energia, työ E, W joule J J = Nm - teho P watti W W = Js - sähkövaraus Q coulombi C C = As jännite U voltti V V = WA - kapasitanssi C faradi F F = CV - resistanssi R ohmi Ω Ω = VA - konduktanssi G siemens S S = AV - magneettivuo Φ weber Wb Wb = Vs magneettivuon tiheys B tesla T T = Wbm - induktanssi L henry H H = VsA - celsiuslämpötila t celsiusaste ºC ºC = K valovirta Φ lumen lm lm = cd sr valaistusvoimakkuus E luksi lx lx = lm m - aktiivisuus A becquerel Bq Bq = s - absorboitunut annos D gray Gy Gy = Jkg - ekvivalenttiannos H sievert Sv Sv = Jkg - Esim.. Fysiikan lakien dimensiotarkastelua (luennolla).. Merkitsevät numerot ja lukujen esitys Tällä kurssilla käytämme seuraavia sopimuksia lukujen esittämisessä: Sivu 4

5 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Lopputuloksessa vain merkitsevät numerot Pyöristys - jos poisjäävä < 5 => edellinen ei muutu - jos poisjäävä 5 => edellinen + Välituloksia esitettäessä yksi tai korkeintaan kaksi ei-merkitsevää numeroa Kolmella jaolliset eksponentit. Kerto- ja jakolaskuille pätee sääntö: Lopputuloksessa yhtä monta merkitsevää numeroa kuin epätarkimmassa lähtöarvossa. Esim.. (7, ) (7,6 0 3 ) = 5, pyöristetään arvoon 5, Plus- ja miinuslaskuille pätee vastaavasti: Lopputuloksessa yhtä monta desimaalia kuin epätarkimmassa lähtöarvossa. Esim..3 7, ,6 0 3 = 5,3 0 3, joka pyöristetään arvoon 5, 0 3 Esim..4 Merkitsevät numerot ja lukujen esittäminen (luennolla)..3 Systemaattinen ja satunnainen virhe mittauksessa Fysikaalisen mittauksen lopputuloksen poikkeaminen todellisesta arvosta voi johtua sekä systemaattisista että satunnaisista virhelähteistä. Systemaattinen virhe on näistä hankalampi, sillä se kasvattaa virhettä aina samaan suuntaan ja on vaikeampi havaita. Systemaattisista virheistä päästäänkin eroon huolellisella kalibroinnilla. Satunnaisvirheen suuruutta voidaan arvioida mittaamalla suure useaan kertaan ja käsittelemällä tuloksia tilastollisesti. Kuva. Vasemmalta oikealle: ) Suuri systemaattinen ja pieni satunnainen virhe. ) Suuri systemaattinen ja suuri satunnainen virhe. 3) Pieni systemaattinen ja pieni satunnainen virhe. 4) Pieni systemaattinen ja suuri satunnainen virhe..4 Virheen etenemislaki laskuissa Merkitsemme suureelle x arvioitua virhettä δx. Virheen esittämiseen on kaksi tapaa: absoluuttinen ja suhteellinen virhe. Tarkastellaan absoluuttista ja suhteellista virhettä, kun olemme mitanneet pituuden x = (3,45 ± 0,05) m. Pituuden absoluuttinen virhe: δx = 0,05 m. δx 0,05 Pituuden suhteellinen virhe: = 0,04 =,4% x 3,45 Sivu 5

6 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Otamme tällä kurssilla käyttöön yksinkertaiset ja yksinkertaistetut säännöt kokonaisvirheen arvioimiseksi, kun q on jokin laskennallinen suure ja sen muuttujien (x...w) virheet tunnetaan. Jos q koostuu yhteen- ja vähennyslaskuista, q = x z ( u w ), tällöin (.) δ q δx δz + δu +... δw Jos q koostuu kerto- ja jakolaskuista, x... z q =, tällöin u... w (.) δq δx δz δu δw q x z u w Jos q = Bx, missä B on vakio, silloin (.3) δ q = Bδx Sopimuksia: Virhe esitetään aina yhden numeron tarkkuudella Virhe pyöristetään aina ylöspäin Lopputulokset esitetään samalla tarkkuudella kuin virhe. Esim..5 Luentosalin taulujen kokonaispinta-alan arvioiminen ja laskeminen (luennolla). Sivu 6

7 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos KINEMATIIKKA Kinematiikka kuvaa kappaleen liikettä tarkastelematta voimia, jotka liikkeen aiheuttavat. Tällä kurssilla tarkastellaan liikettä koordinaatistossa, jossa on kaksi tai kolme toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa akselia. Tällaisesta koordinaatistosta käytetään nimitystä karteesinen koordinaatisto. Kinematiikan perussuureet ovat aika (t) ja matka (x).. Kinematiikka -ulotteisessa avaruudessa Nopeus (.) (.) x v = keskinopeus t dx v = hetkellinen nopeus dt Erikoistapaus: liike vakionopeudella (.3) v a + v v = l keskinopeus Kiihtyvyys (.4) v a = keskikiihtyvyys t (.5) dv d x a = = dt dt hetkellinen kiihtyvyys Erikoistapaus: liike vakiokiihtyvyydellä (.6) a a + a a = l keskikiihtyvyys (.7) v = v 0 + at loppunopeus (.8) Esim.. x + at Jalkapallon rangaistuspotku. Enoka s. 3 (luennolla). = x 0 + v 0 t kuljettu matka. Derivaatta Tarkastellaan keskinopeuden lauseketta jakaja t lähestyy nollaa. x v =. Hetkellinen nopeus [Yht. (.)] saadaan, kun t Sivu 7

8 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos (.9) x v = lim t0 t Differentiaalilaskennassa tätä merkitään (.0) dx v = dt ja sitä kutsutaan muuttujan x derivaataksi muuttujan t suhteen. Hetkellinen kiihtyvyys saadaan, kun otetaan paikan toinen derivaatta ajan suhteen. Tätä merkitään d dx d x (.) a = = dt dt dt Esim.. Nopeuden graafinen määrittäminen pisteessä x = x 0..3 Integraali Integrointi tarkoittaa yhdistämistä ja perustuu integroitavan funktion jakamiseen paloihin. Jatkuvan funktion integraalin määritelmä on (.) S = f ( x) dx Epäjatkuvan funktion integraalin määritelmä on (.3) S = y i x Integrointia kutsutaan myös antiderivoinniksi. Esim..3 [Yht.(.8)] b a N i= Johdetaan lauseke kokonaismatkalle kappaleen liikkuessa vakiokiihtyvyydellä Lähdetään tiedosta, että kiihtyvyys on nopeuden aikaderivaatta Integroidaan edellinen dv a = dv = adt dt dv adt v = vo + = at jolloin saadaan loppunopeuden lauseke tasaisella kiihtyvyydellä. Nyt edelleen nopeus on paikan aikaderivaatta. ds v = ds = vdt dt Sivu 8

9 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Integroimalla saadaan lopullinen muoto kuljetulle matkalle ds = vdt = at ( v + at ) dt s = s + v t Esim..4 Integrointi määrittämällä alueen pinta-ala graafisesti (laskuharjoitus )..4 Vektoreiden komponenttiesitys ja yhdistäminen Vektorilla on kaksi ominaisuutta: suuruus ja suunta. Merkitsemme vektoria joko lihavoidulla kirjaimella (A) tai kirjaimen yläpuolelle vedetyllä nuolella ( A ). Vektoreiden laskusääntöjä (.4) (.5) C = A+ B resultanttivektori A + B = B+ A kommutatiivisuuslaki (.6) ( A + B) + D = A+ ( B+ D) assosiatiivisuuslaki (.7) A B = A+ ( B) vektoreiden vähentäminen Mikä tahansa vektori voidaan esittää komponenttimuodossa (Kuva.). Satunnaisen vektorin A komponenttiesitys on (.8) A = A x+ A y+ A z x y z missä merkintä A x tarkoittaa vektorin komponentin suuruutta ja yksikkövektori x määrittää sen suunnan (tässä tapauksessa x-akseli). Yksikkövektori on vektori, jonka suunta voi olla mikä vain, mutta sen pituus on aina yksi. Yksikkövektoria merkitään tavallisesti kirjaimen yläpuolelle piirretyllä hatulla ^. Esimerkiksi yksikkövektori, joka kirjoitetaan xˆ, lausutaan x hattu. Tässä monisteessa merkitsemme yksikkövektoria myös lihavoidulla pienellä kirjaimella (x). Sivu 9

10 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Kuva. Yksikkövektorit x, y ja z akseleidensa suunnassa (vasemmalla) ja vektorin A komponenttiesitys (oikealla). Vektorin A pituutta merkitään A. Vektorin pituus lasketaan sen komponenttien neliöiden summan neliöjuurena (.9) ( ) ( ) ( ) x + Ay A z A = A + vektorin pituus Esim..5 Laske vektorin A = x+ 5 y 4 z pituus A = ( ) + ( 5) + ( 4) 6, 7.5 Kinematiikka: 3-ulotteinen avaruus 3-ulotteisessa avaruudessa pätevät samat yhtälöt kuin yksiulotteisessakin. Ainoa ero on, että kappaleen liike on jaettava x-, y- ja z-akseleiden suuntaisiin komponentteihin. Esimerkiksi keskinopeus 3-ulotteisessa avaruudessa on (.0) (.) (.) v x v y v z x = t y = t z = t Esim..6 Stunt-ajaja (luennolla). Sivu 0

11 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos.6 Ammuksen lentorata Lähellä maan pintaa (vapaassa pudotuksessa) lentävää kappaletta, johon vaikuttaa vain maan vetovoima, kutsutaan ammukseksi (engl. projectile). Pesäpalloa tai jopa jalkapalloa voidaan pitää ammuksena, mutta yleisimmissä esimerkeissä ammus on peräisin aseesta. Pysähtyessään maaliin ammus aiheuttaa tuhoa riippuen nopeudesta, koosta, muodosta ja kovuudesta. Jos ilmanvastus jätetään huomiotta, ammus liikkuu horisontaalisesti (maan pinnan suuntaisesti) kiihtyvyydellä nolla, ja vertikaalisesti (kohtisuoraan maan pintaa vasten) vakiokiihtyvyydellä 9,8m/s. Painavalle, tiiviille ammukselle, joka ei liiku suurella nopeudella, ilmanvastus voidaan jättää huomiotta. (.3) (.4) z max t flight v sin 0 θ = suurin lentokorkeus g v sinθ = 0 lentoaika g (.5) v sin θ x = 0 max g kantama Käyrää, joka esittää ammuksen paikkaa avaruudessa ajan funktiona, kutsutaan ammuksen lentoradaksi tai trajektoriksi. Jos ilmanvastus otetaan huomioon, lentorata muuttuu. Esim..7 Lähtökulman vaikutus ammuksen lentorataan (luennolla)..7 Ympyräliike tasaisella nopeudella Kappale, joka liikkuu tasaisella nopeudella pitkin ympyränmuotoista rataa, on jatkuvassa kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyyttä kutsutaan keskeiskiihtyvyydeksi. Sen suunta on kohti ympyräliikkeen akselia ja suuruus (.6) v a = keskeiskiihtyvyys r missä v on tangentiaalinen ratanopeus ja r on ympyräliikkeen säde. Sivu

12 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 3 DYNAMIIKKA NEWTONIN LAIT Dynamiikka käsittelee paitsi kappaleen liikettä, myös liikkeen aikaansaavia voimia. 3. Newtonin voimaa ja liikettä koskevat lait Newtonin ensimmäinen laki (kutsutaan myös inertialaiksi): Levossa oleva kappale pysyy levossa, ja liikkeessä oleva kappale jatkaa tasaista liikettään, ellei siihen kohdistu mitään ulkopuolista voimaa. Inertia määrittää sen, kuinka voimakkaasti kappale pyrkii säilyttämään nykyisen liiketilansa. Inertian mitta on massa. Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin ensimmäinen laki pätee. Newtonin toinen laki: Kappaleeseen kohdistuva voima saa aikaan kiihtyvyyden, jonka suunta on voiman suunnassa, ja joka on kääntäen verrannollinen kappaleen massaan (3.) F a = Newton II m Newtonin kolmas laki: Jos jokin kappale kohdistaa voiman toiseen kappaleeseen, kohdistaa jälkimmäinen yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman takaisin ensimmäiseen. Esim. 3. Laatikko vaakasuoralla pinnalla (luennolla). 3. Kappaleen liikemäärä Kappaleen liikemäärä määritellään sen massan ja nopeuden tulona (3.) = p m v liikemäärä Liikemäärän säilymislaki (Newtonin ensimmäinen laki ilmaistuna liikemäärän avulla) on (3.3) p = [ vakio] Newtonin toinen laki voidaan myös kirjoittaa liikemäärän avulla. Se on (3.4) d p dt = F Esim. 3. Pallon heittäminen seinään (luennolla). Sivu

13 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 4 DYNAMIIKKAA VOIMIA JA LIIKEYHTÄLÖIDEN RATKAISUJA Kun tunnemme kappaleeseen vaikuttavat voimat, voimme Newtonin yhtälöiden avulla ratkaista sen liikkeen. Jos teemme päinvastoin, ratkaisemme voimat tunnetun liikkeen perusteella, toimenpiteestä käytetään termiä käänteinen dynamiikka (engl. inverse dynamics). Käänteistä dynamiikkaa käytetään mm. biomekaanisessa tutkimuksessa. 4. Luonnon neljä perusvoimaa Riippumatta kuinka kovasti sinulle on ehkä joskus yritetty vakuuttaa, että partikkeleiden välillä vaikuttaa muita voimia kuin luonnon neljä perusvoimaa, se ei ole totta. Perusvoimat ovat nimeltään gravitaatiovoima, heikko vuorovaikutus, vahva vuorovaikutus ja sähkömagneettinen voima. Kuten Taulukko 4. voi nähdä, ainoa kappaleiden välillä käytännön elämässä kohtaamamme voima on sähkömagneettinen voima; gravitaatiovoima on aivan liian heikko, ja heikon sekä vahvan vuorovaikutuksen kantama aivan liian lyhyt. Gravitaatiovoima toki pitää huolen, ettemme karkaa maapallon pinnalta. Nyt ehkä mieleesi tulee kysymys: Hei, eivätkä sähköinen ja magneettinen voima muka ole kaksi erillistä voimaa? Vastaus on: Ei. Magneettinen voima on vain ylimääräinen sähköinen voima, joka vaikuttaa varausten välillä silloin, kun varaukset ovat liikkeessä. Tästä lisää myöhemmissä luvuissa. Taulukko 4. Luonnon neljä perusvoimaa Voima Vaikutus kohdistuu Välittäjähiukkanen Voimakkuus Vaikutusmatka Gravitaatio Kaikki massat Gravitoni (hypoteettinen) 0-34 N Ääretön Heikko vuorovaikutus Useimmat alkeishiukkaset W ja Z bosonit 0 - < 0-7 m Sähkömagneettinen Sähkövaraukset Fotoni 0 Ääretön Vahva vuorovaikutus Ydinhiukkaset Gluoni m 4. Maan vetovoima Kappaleen painoksi kutsutaan sen massan ja maan vetovoimakiihtyvyyden tuloa (4.) w = mg Kappaleen kiihtyvyys maan vetovoimakentässä, jos gravitaatio on ainut vaikuttava voima, on riippumaton kappaleen massasta. Todiste: kirjoitetaan liikeyhtälö (4.) Esim. 4. F = m a = m g a = g Taljassa liikkuvat massat (luennolla). Sivu 3

14 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 4.3 Kitkavoima Kitkavoima kahden kuivan kappaleen muodostaman pinnan välillä ei riipu kosketuspinta-alasta eikä kappaleiden välisestä nopeudesta. Liikekitkan suuruus voidaan kirjoittaa matemaattisesti (4.3) F = N liikekitka k µ k missä µ k materiaalille ominainen liikekitkakerroin ja N pinnan tukivoima. Huomaa, että F k ja N eivät ole samansuuntaiset. Kitkavoima F k vaikuttaa pinnan suuntaisesti, kun taas tukivoima vaikuttaa kohtisuoraan pintaa vastaan. Voimaa, joka vaikuttaa kosketuspintojen suuntaisesti kuten kitkavoima, kutsutaan leikkausvoimaksi. Kahden toistensa suhteen levossa olevien kappaleiden välillä vaikuttava suurin lepokitka on (4.4) F = N lepokitka s µ s missä µ s on materiaalille ominainen lepokitkakerroin. Esim. 4. Laajavuoren mäenlasku (luento). 4.4 Jousen palautusvoima Kappaletta kutsutaan elastiseksi, jos se kokee muodonmuutoksen puristettaessa tai venytettäessä sekä palaa alkuperäiseen muotoonsa, kun muodonmuutoksen aiheuttaneen voiman vaikutus lakkaa. Esimerkki elastisesta kappaleesta voi olla kierrejousi, kuminauha tai puukeppi. Staattisissa olosuhteissa elastiselle kappaleelle pätee usein Hooken Laki: Palauttavan voiman F suuruus on suoraan verrannollinen muodonmuutoksen suuruuteen. Tämä ei ole yleispätevä fysiikan peruslaki. Palauttavan voiman tarkka suuruus riippuu kappaleen rakenteesta ja sen materiaaleista. Usein Hooken Laki on kuitenkin hyvä approksimaatio, etenkin jos muodonmuutos on pieni. Hooken laki sovellettuna jouselle kirjoitetaan (4.5) F = kx Hooken laki missä k on jouselle ominainen jousivakio. Miinus merkki yhtälön vasemmalla puolella tarkoittaa, että jousen palautusvoima on aina vastakkaissuuntainen poikkeamaan nähden. Liitettäessä useampia jousia yhteen, voidaan syntyneen systeemin kokonaisjousivakio laskea seuraavilla tavoilla. (4.6) F kok = k + k kn jouset rinnan (4.7) F = jouset sarjassa k k kok k n Sivu 4

15 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 5 ENERGIA JA SEN MUODOT Aurinko on lähes kaiken energian lähde maapallolla. Jopa fossiiliset polttoaineet kuten öljy ja maakaasu ovat saaneet alkunsa, kun auringon ravitsema eloperäinen jäte on hiljalleen painunut syvälle maankuoreen. Tiivistyessään tämä jäte on muuttunut öljyksi, ja se osuus joka painui vielä öljyäkin syvemmälle, muuttui maankuoren kuumuudessa kaasuksi. Aurinko lähettää maapallolle energiaa teholla,7 0 7 Wattia. Tämä vastaa,7 miljardia suurehkoa sähkövoimalaa karkeasti yksi voimala jokaista kolmea maan asukasta kohden. Jos kaikki tämä energia jäisi maahan ja muuttuisi lämmöksi valtameret kiehuisivat hyvin nopeasti. Näin ei kuitenkaan (ilmiselvästi) käy, vaan maa samaan aikaan jäähtyy, ts., luovuttaa pois saman määrän lämpöä kuin ottaa vastaan. Tämä on tärkeä energian säilymislaki, joka kertoo meille, ettei energiaa voi syntyä tai hävitä se vain muuttaa muotoaan. Kuinka maa jäähtyy, tulee vastaan myöhemmässä luvussa, jossa käsittelemme lämpöä ja sen siirtymistä. 5. Energian muuntaminen muodosta toiseen työ (yksiulotteisen avaruuden tapaus) Kun energiaa muunnetaan muodosta toiseen, sanotaan tavallisesti, että tehdään työtä. Esimerkiksi henkilö, joka nostaa pallon (massa m) maasta korkeudelle h, tekee työn, jonka suuruus on mgh. Yleisesti, tehty työ on voima kertaa voiman vaikutusmatka. (5.) W = F x Edellisessä esimerkissä pallo sai lisää energiaa mgh:n verran. Kuka tai mikä menetti energiaa, koska totesimme, ettei energiaa häviä tai synny. Henkilö, joka nosti pallon, pilkkoi ruoka-aineiden sisältämiä molekyylejä ja vapautti niiden sisältämää kemiallista energiaa. Lihaksen hyötysuhde ei koskaan ole 00 %, joten kemiallista energiaa vapautui paljon enemmän kuin mitä oli pallon saama potentiaalienergian lisäys. Mihin tämä hävisi? Ei mihinkään. Se muuttui lämmöksi (molekyylien liikkeeksi kehossa) ja poistui lopulta lämpösäteilynä tai hikoiluna kehosta ympäröivään avaruuteen. 5. Työ 3-ulotteisessa avaruudessa - pistetulo Tarkasteltaessa työtä 3-ulotteisessa avaruudessa täytyy ottaa huomioon se, etteivät voima ja sen vaikutusmatka aina ole samansuuntaiset (molemmathan ovat vektoreita). Merkitään nyt voimaa F:llä ja sen aiheuttamaa siirtymää r:llä (Kuva 5.). x Kuva 5. Tehty työ on nyt Vakiovoima F aiheuttaa siirtymän r. Fcosφ on F:n komponentti siirtymää r pitkin. Sivu 5

16 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos (5.) W = F r cosϕ Tässä vaiheessa on hyödyllistä määritellä vektoreiden A ja B pistetulo. Kun vektorit A ja B ovat toisiaan vastaan kulmassa φ, niiden pistetulo on (5.3) A B = AB cosϕ pistetulo Huomaa, että pistetulo on skalaarisuure. Sillä ei siis enää ole suuntaa, toisin kun sen tekijöillä. Nyt voidaan esittää tehty työ pistetulon avulla ja se on (5.4) W = F r työ pistetulona Ensin näyttää siltä, että yhtälöiden (5.) ja (5.4) välillä ei ole muuta eroa kuin erilainen kirjoitusasu, sillä onhan F r yhtä kuin F rcos φ. Yhtälön (5.4) etu on kuitenkin siinä, että se noudattaa vektoreiden kertolaskusääntöjä. Näin ollen, jos voima F tai siirtymä r koostuu useasta komponentista, saadaan työ kertomalla samansuuntaiset komponentit keskenään. Vakiovoiman tekemä työ kolmiulotteisessa avaruudessa on (5.5) W = F r = F x + F y + F z x y z Esim. 5. Tehty työ pistetulona (luennolla). 5.3 Potentiaalienergia maan vetovoimakentässä Kappaleen tai hiukkasen kykyä tehdä työtä johtuen sen sijainnista avaruudessa kutsutaan potentiaalienergiaksi. Jotta kappale tai hiukkanen voi saada potentiaalienergiaa, täytyy sen liikkua avaruudessa, jossa vallitsee voimakenttä. Tarkastelemme seuraavassa erikoistapausta, jossa kappale liikkuu maan vetovoimakentässä. Tällöin sanotaan, että kappaleella on gravitaatiopotentiaalienergiaa. Merkitään sitä U:lla, ja kirjoitetaan sen suuruus (5.6) U = mgz potentiaalienergia missä m on hiukkasen massa, g on gravitaatiokiihtyvyys ja z on siirtymä maan gravitaatiokentän suunnassa. Jos z on positiivinen, hiukkanen siirtyy kentän suunnassa sitä vastaan (ylöspäin) ja kerää potentiaalienergiaa. Jos z on negatiivinen, hiukkanen siirtyy kentän suunnassa (alaspäin) ja menettää potentiaalienergiaa. 5.4 Liike-energia Kappaleella tai hiukkasella voi myös olla energiaa sen liikkeen johdosta. Tätä kutsutaan liikeenergiaksi tai kineettiseksi energiaksi. Sen suuruus on (5.7) K = ½mv liike-energia missä m on kappaleen massa ja v sen nopeus. Sivu 6

17 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 5.5 Mekaanisen energian säilyminen Liike-energiaa ja gravitaatiopotentiaalienergiaa yhdessä kutsutaan myös mekaaniseksi energiaksi. Sitä merkitään tavallisesti E:llä. Jos ainut hiukkaseen vaikuttava voima on maan vetovoima, mekaaninen energia säilyy vakiona: (5.8) E K + U = [ vakio] Tätä kutsutaan mekaanisen energian säilymislaiksi. Esim. 5. Seiväshyppääjä (luennolla). 5.6 Jouseen varastoitu energia = energian säilyminen Elastinen kappale kykenee myös varastoimaan energiaa. Oletetaan, että jousi noudattaa Hooken lakia [Yht. (4.5)]. Tällöin siihen varastoitu elastinen energia on (5.9) kx U k = elastinen energia missä k on jousivakio ja x on jousen poikkeama tasapainoasemastaan. 5.7 Muita energian muotoja Jatketaan jousen tarkastelua ja kuvitellaan, että jousi puristetaan kasaan ja liuotetaan happoon. Mihin hävisi jouseen varastoitu energia? Vastaus: lämmöksi tai atomien epäjärjestäytyneeksi liikeja potentiaalienergiaksi riippuen näkökulmasta josta asiaa katsotaan. Mitä tarkasti ottaen tapahtuu atomitasolla, on kutakuinkin seuraavaa: Jouseen varastoitu energia on itse asiassa potentiaalienergiaa, jotka sen sisältämät atomit keräävät siirtyessään toistensa suhteen sähkökentässä. Kun jousi liuotetaan happoon, osa tästä energiasta säilyy potentiaalienergiana liuoksen atomeissa, ja osa muuttuu atomien liikkeeksi, ts., siitä tulee liike-energiaa. Tavallisesti kutsumme tällaista atomien kesken epätasaisesti ja satunnaisesti jakautunutta liike- ja potentiaalienergiaa lämmöksi. Voidaanko lämpöä sitten pitää erillisenä energian esiintymismuotona? Tämä riippuu näkökulmasta. Makroskooppisella tasolla (kun tarkastelemme atomien muodostamaa kappaletta) vastaus on kyllä. Mikroskooppisella tasolla (kun tarkastelemme kappaleen muodostavia atomeja) vastaus on ei; lämpö on vain atomien satunnaisesti jakautunutta liike- ja potentiaalienergiaa. Kemiallinen energia ja ydinenergia ovat kaksi omaa energian ilmenemismuotoa. Ensimmäinen on elektronien liike- ja potentiaalienergiaa atomeissa, ja jälkimmäinen protoneiden ja neutroneiden liike- ja potentiaalienergiaa ytimessä. Kuten lämmönkin tapauksessa, se pidetäänkö näitä erillisinä energian muotoina, riippuu näkökulmasta. Sähköinen ja magneettinen energia liittyy sähkövarauksiin sekä valo- ja radioaaltoihin, mutta näitä tarkastelemme lähemmin myöhemmissä kappaleissa. 5.8 Energian yksiköt Energian esittämiseen voidaan käyttää useampia yksiköitä. SI-järjestelmässä energian perusyksikkö on Joule (J). Valittu yksikkö riippuu yleensä energian määrästä, mutta myös tietyillä sovelluksilla on omat tapansa energian esittämiseen. Atomitason tai sitä pienempien hiukkasten energia esitetään tavallisesti elektronivoltteina: Sivu 7

18 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos elektronivoltti = ev =, J Voimaloiden sekä monien sähköllä tai polttoaineella käyvien koneiden tuottama tai kuluttama energiaa ilmoitetaan usein kilowattitunteina. Yksi kilowattitunti tarkoittaa, että sillä energiamäärällä jokin sähkölaite toimii kilowatin teholla yhden tunnin. kilowattitunti = kwh = 3, J Palamisreaktiossa (myös elimistössä tapahtuvassa) vapautunutta energiaa on tapana lausua kilokaloreina. kilokalori = kcal = 4, J Jopa massa on yksi energian muoto. Yksi 900-luvun merkittävimmistä tieteellisistä löydöistä on Einsteinin kuuluisa yhtälö, joka liittää massan ja energian toisiinsa (5.0) E = mc massan energia Tässä c on valon nopeus (c = 3, m/s). Yhtälö on seurausta Einsteinin suhteellisuusteoriasta. Siitä nähdään myös, että energialla on massa. Jos kappaleen energia siis muuttuu, myös sen massa muuttuu (5.) m = E c Kaikki edellä mainitut energian ilmenemismuodot voidaan muuntaa toisikseen. Tietyntyyppinen energia, esimerkiksi lämpöenergia, saattaa vähentyä tai kasvaa prosessissa, mutta kokonaisenergia ei muutu. Tämä on yleinen energian säilymislaki. 5.9 Energian muuntonopeus teho Teho on se nopeus, jolla energiaa muunnetaan muodosta toiseen. Koska siitä energian määrästä, joka muuttaa muotoaan, käytetään nimitystä työ, voidaan sanoa myös, että teho (P) on tehty työ (W) jaettuna siihen kuluneella ajalla (t). (5.) Esim. 5.3 Energia-aineenvaihdunnan teho (luennolla). W P = teho t Sivu 8

19 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 6 USEAN KAPPALEEN JÄRJESTELMÄT Tähän mennessä olemme tarkastelleet vain yhden kappaleen liikettä ja siihen vaikuttavia voimia. Laajennetaan seuraavassa tarkastelua, ja käsitellään järjestelmiä, jotka sisältävät useita keskenään vuorovaikuttavia kappaleita. Kun sanomme kappale, tarkoitamme useista hiukkasista koostuvaa kokonaisuutta. Kappaleen liikkeen laskeminen tarkastelemalla yksittäisiin hiukkasiin kohdistuvia voimia olisi valtaisa tai mahdoton tehtävä. Onneksi meidän ei tarvitse tehdä tätä, vaan on olemassa lakeja, jotka pätevät kokonaisille hiukkasista muodostuneille kappaleille. Samat lait pätevät myös kokonaisille kappaleista muodostuneille järjestelmille. 6. Liikemäärä usean kappaleen järjestelmässä Kappaleen liikemäärä määriteltiin aiemmin luvussa 3. ja se on = p m v liikemäärä Ajatellaan nyt useasta kappaleesta muodostuvaa järjestelmää, jossa on n määrä kappaleita. Sen kokonaisliikemäärä P on sen sisältämien kappaleiden liikemäärien summa (6.) P = p + p p n Newtonin kolmannesta laista voidaan johtaa suoraan liikemäärän säilymislaki, joka kahden kappaleen tapauksessa lausuttuna on (6.) P = p + p = [ vakio] Liikemäärän säilymislaki on voimakas työkalu, jonka avulla voidaan ratkaista kappaleiden liikkeet ilman tietoa niiden välillä vaikuttavista voimista. Esim. 6. Metsästäjä ja leijona (luennolla). 6. Massakeskipiste Tähän mennessä olemme olettaneet, ettei kappaleilla ole sisäistä rakennetta; ne ovat vain massakeskipisteitä valitussa koordinaatistossa. Tämä lähestymistapa onkin usein riittävä, jos emme ole kiinnostuneet esim. kappaleen pyörimisestä, vaan ainoastaan sen kokonaisliikkeestä, ts., massakeskipisteen siirtymisestä. Kuva 6. Saman massan omaavat hiukkaset suoralla. Kuvitellaan nyt että meillä on järjestelmä, joka koostuu määrästä n hiukkasia, niillä kaikilla on sama massa ja ne sijaitsevat samalla suoralla (Kuva 6.). Tällöin massakeskipiste voidaan laskea yksinkertaisesti lausekkeella (6.3) x MKP = x + x x n n massakeskipiste Sivu 9

20 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Usein järjestelmä ei koostu täysin saman massan omaavista hiukkasista, jolloin massakeskipistettä laskettaessa pitää ottaa huomioon hiukkasten erisuuruiset massat. Massakeskipisteen yhtälöt kaikkien avaruuden kolmen komponentin suunnassa kirjoitettuna ovat: (6.4) x-suunta x = ( m x + m x m x ) MKP (6.5) y-suunta y = ( m y + m y m y ) MKP (6.6) z-suunta z = ( m z + m z m z ) MKP M M M Massakeskipisteen paikka on siis yhtä kuin kappaleiden paikkojen painotettu keskiarvo, jossa painokertoimina toimivat kappaleiden massat. Esim. 6. Massakeskipisteen laskeminen (laskuharjoitus ). n n n n n n Sivu 0

21 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 7 KAHDEN KAPPALEEN TÖRMÄYKSET Kahden kappaleen törmäyksellä tarkoitetaan niiden välistä vuorovaikutusta, joka sisältää äkillisiä liikemuutoksia ja hyvin suuria voimia, jotka vaikuttavat vain hetken aikaa kappaleiden ollessa kosketuksessa. Esimerkkejä voivat olla vaikka pallon lyöminen mailalla, kahden ajoneuvon törmääminen tai molekyylien vuorovaikutus kaasussa. 7. Impulssi Impulsiiviseksi voimaksi kutsutaan tavallisesti sitä voimaa, joka vaikuttaa kahden törmäävän kappaleen välillä. Monesti impulsiivinen voima on törmäyksessä ainoa merkittävä voima. Esimerkiksi auton törmätessä suurella nopeudella kiviseinään, ei gravitaation tai tienpinnan kitkan aiheuttamalla voimalla ole merkitystä. Kuvittele törmäystä, joka kestää ajan t, hetkestä t = 0 hetkeen t = t, ja että tänä aikana kappaleiden välillä vaikuttaa vakiosuuruinen voima F (Kuva 7.). Nyt impulssi I, jonka voima F kohdistaa kumpaankin kappaleeseen on (7.) I = F t impulssi Voima F ei kuitenkaan todellisuudessa koskaan ole vakio, vaan sen suuruus vaihtelee törmäyksen aikana (Kuva 7.). Merkitään nyt ajan suhteen vaihtelevaa voimaa merkinnällä F(t). Tällöin impulssi voidaan lausua voiman integraalina ajan yli. t (7.) I = F( t) dt Impulssin määritelmä [yhtälöt (7.) ja (7.)] ei suinkaan ole rajoitettu voimiin, jotka vaikuttavat vain lyhyen aikaa se on yhtäpitävä myös silloin, kun voima vaikuttaa pidemmän aikaa. 0 Kuva 7. Impulssi (harmaa alue) ajan suhteen vakion (vasemmalla) tai ajan suhteen vaihtelevan voiman (oikealla) integraalina ajan yli. Sivu

22 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Impulssi on myös yhtä kuin liikemäärän muutos (7.3) Esim. 7. I = p Vertikaalihyppy voimalevyllä (luennolla). 7. Kimmoisa ja kimmoton törmäys Kimmoisassa törmäyksessä sekä liikemäärä että liike-energia säilyy. Kuvitellaan kahden kappaleen tapausta, jossa massoilla m ja m on nopeudet v ja v ennen sekä nopeudet v ja v jälkeen törmäyksen. Liikemäärän säilyminen kirjoitetaan nyt (7.4) m + ' ' v + mv = mv mv Liike-energian säilyminen puolestaan kirjoitetaan (7.5) ½m + ' v + ½mv = ½mv ½ m v ' Nopeudet ennen törmäystä oletetaan tiedetyiksi. Nyt meillä on kaksi tuntematonta eli nopeudet törmäyksen jälkeen v ja v sekä kaksi yhtälöä, joten ratkaisu voidaan löytää yhdistämällä yhtälöt (7.4) ja (7.5). Oletetaan vielä, että toinen kappaleista on ennen törmäystä paikallaan eli v = 0. Tällöin loppunopeuksille kimmoisassa törmäyksessä pätee ' m m (7.6) v = v kimmoisa törmäys m + m ' m (7.7) v = v m + m Kimmoisia törmäyksiä esiintyy käytännössä varsin harvoin. Kimmottomassa törmäyksessä vain liikemäärä säilyy, jolloin yhtälö (7.5) ole enää pätevä. Kimmottomaan törmäykseen joutuvien kappaleiden liikettä törmäyksen jälkeen ei enää voida laskea vain tuntemalla lähtönopeudet. On kuitenkin olemassa erikoistapaus, jolloin myös kimmottoman törmäyksen loppunopeudet voidaan ratkaista. Tämä on täysin kimmoton törmäys; törmäys jossa suurin mahdollinen määrä kineettistä energiaa häviää. Tämän ymmärtämiseksi kirjoitetaan kahden kappaleen järjestelmän kokonaisliike-energia m m K = ½MvMKP + v v m + m (7.8) ( ) missä yhtälön oikean puolen ensimmäinen termi kuvaa massakeskipisteen liike-energiaa, ja jälkimmäinen termi järjestelmän sisäistä liike-energiaa, joka syntyy, kun sen osat liikkuvat massakeskipisteen suhteen. Massakeskipisteen liike-energia ei voi muuttua törmäyksessä, koska muutoin rikottaisiin energian säilymislakia, sillä järjestelmään ei kohdistu ulkopuolisia voimia. Suurin mahdollinen kineettisen-energian katoaminen saadaan, kun yhtälön (7.8) oikean puolen toinen termi häviää törmäyksessä. Tämä vastaa tilannetta, jossa kappaleet ovat törmäyksen jälkeen takertuneena toisiinsa, ts., v = v. Täysin kimmottomassa törmäyksessä kappaleiden loppunopeus on sama kuin massakeskipisteen nopeus. Sivu

23 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos (7.9) Esim. 7. v m v MKP m + m Kimmoisa ja kimmoton törmäys (luennolla). = täysin kimmoton törmäys Sivu 3

24 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 8 JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN Tarkastellaan seuraavaksi liikkumattoman akselin ympäri pyöriviä jäykkiä kappaleita. Liikkumaton akseli tarkoittaa, että kappaleen piste P (0) pysyy samalla etäisyydellä R pyörimisakselista koko pyörähdysympyränsä ajan. Jäykkä kappale taas viittaa kappaleeseen, joka ei muuta sisäistä rakennettaan; jos piste P pyörähtää yhden täyden kierroksen, myös mikä tahansa muu piste pyörähtää täyden kierroksen. 8. Jäykän kappaleen kinematiikkaa Pyörähdysliikettä voidaan kuvata samoilla yhtälöillä kun suoraviivaista liikettäkin. Pyörähdysliikkeen tapauksessa kuljetun matkan korvaa pyörähdyskulma, jota merkitsemme φ:llä (fii), nopeuden korvaa kulmanopeus ω (omega) ja kiihtyvyyden korvaa kulmakiihtyvyys α (alfa). Kulman yksikkö on radiaani (rad), joka on kulmaa vastaavan ympyrän kaaren pituuden ja ympyrän säteen välinen suhde [Yht. (8.)]. Täysi pyörähdys (360 ) vastaa radiaaneina lukua π. Huomaa, että radiaani on dimensioton suure. Kulmanopeuden yksikkö on rad/s ja kulmakiihtyvyyden rad/s. Kuva 8. Jäykän kappaleen pyöriessä kiinteän akselin ympäri, on pisteen P liikerata ympyrän muotoinen ja nopeusvektori osoittaa radan tangentin suuntaan. Kappaleen pyöriessä kulman φ verran, pisteen P kulkema matka on Kuva 8. Jäykän kappaleen pyöriessä kiihtyvällä kulmanopeudella, osoittaa tangentiaalinen kiihtyvyys nopeusvektorin suuntaan ja keskeiskiihtyvyyden suunta on kohti pyörimisakselia. Kokonaiskiihtyvyys on näiden kahden kiihtyvyysvektorin resultantti. (8.) s = ϕr kaaren pituus Sen nopeudet saadaan seuraavasti (8.) (8.3) ω = ϕ keskikulmanopeus t dϕ ω = hetkellinen kulmanopeus dt Sivu 4

25 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Jos kappale pyörii tasaisella nopeudella, voimme myös mitata nopeuden, kuinka monta kierrosta se pyörii aikayksikössä. Tämä on taajuus ν (nyy) ja sen yksikkö on kierrosta/s. (8.4) ω ν = kulmataajuus π Pyörähdyksen jaksonaika T on se aika, joka kappaleelta kuluu yhteen täyteen pyörähdykseen (8.5) T = / ν Kappaleen pyörimisliikkeen kiihtyvyydet kirjoitetaan (8.6) (8.7) α = ω keskikulmakiihtyvyys t dω α = hetkellinen kiihtyvyys dt Yhtälöt (8.3) ja (8.7) antavat kappaleen kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden. Kuitenkin kappaleen mielivaltaisesti valitun pisteen siirtymäliikkeen nopeus ja kiihtyvyys ovat eri asioita. Kuvitellaan kappaleen piste P, joka liikkuu kappaleen pyöriessä tangentin suuntaisella nopeudella v (Kuva 8.). Tätä nopeutta kutsutaan ratanopeudeksi ja sen sekä kulmanopeuden välillä on yhteys (8.8) v = Rω ratanopeus Totesimme jo luvussa.7, että ympyräliikkeessä tasaisella nopeudella olevalla kappaleella on kiihtyvyys, jonka suunta on ympyräliikkeen akselia kohti ja suuruus v /r. Jos kappaleella on kulmakiihtyvyyttä, pisteen P (Kuva 8.) kokonaiskiihtyvyyden laskemisessa on otettava huomioon sekä keskeiskiihtyvyys että tangentiaalisen kiihtyvyys. (8.9) a tan = Rα tangentiaalinen kiihtyvyys (8.0) v a kesk = Rω R = keskeiskiihtyvyys Kokonaiskiihtyvyys saadaan sen komponenttien neliöiden summan neliöjuurena (8.) a = a + a kok tan keske 8. Pyörimisliikkeen kineettinen energia ja hitausmomentti Pyörimisliikkeen kineettisen energian lauseke muistuttaa suoraviivaisen liikkeen kineettisen energian lauseketta [Yhtälö (5.7)] ja on muotoa (8.) K = I pyörimisenergia ½ ω missä hitausmomentti I korvaa massan ja kulmanopeus ω nopeuden. Hitausmomentti määritellään pyörimisakselin suhteen ja sen on kaikkien kappaleen hiukkasten massojen ja etäisyyksien neliöiden tulojen summa Sivu 5

26 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos (8.3) I = m i R i n i= hitausmomentti Hitausmomentin yksikkö on kgm. Koska hitausmomentin laskeminen käsin ynnäämällä kaikkien hiukkasten tulot mr olisi turhan työlästä, lasketaan se usein integraalina jatkuvan massajakauman yli (8.4) I = ρ R dv missä ρ (rhoo) on kappaleen tiheys, R on etäisyys pyörimisakselista ja dv on infinitesimaalisen pieni tilavuusalkio. Tällä kurssilla ei ole kuitenkaan tarkoitus integroida, vaan tarvittaessa kappaleen hitausmomentti annetaan. 8.3 Hiukkasen pyörimismäärä vektoreiden ristitulo Ennen kuin annamme kokonaisen jäykän kappaleen pyörimismäärän, määritellään yhden hiukkasen pyörimismäärä, jota myös kulmaliikemääräksi kutsutaan. Koska pyörimismäärä on vektori, tarvitsemme uuden käsitteen nimeltään vektoreiden ristitulo. Hiukkasen pyörimismäärä L on sen paikkavektorin r ja liikemäärävektorin p ristitulo. (8.5) L = r p kulmaliikemäärä tai jos kirjoitamme liikemäärän p auki (8.6) L = m r v Ristitulon suunta saadaan oikean käden säännöstä, joka kuvan 8.3 merkintöjä noudattaen kuuluu: Aseta oikea käsi vektorin r suuntaisesti ja purista sormet nyrkkiin vektorin p suunnassa. Tällöin oikean käden peukalo osoittaa ristitulon suuntaa (totea kuvasta). Koska ristitulossa kerrotaan keskenään vektorin toisiaan vastaan kohtisuorassa olevat komponentit, on pyörimismäärän suuruus (8.7) L = rpsin β Liikkumattoman akselin ympäri tapahtuvassa pyörimisessä nopeus- ja paikkavektori ovat aina toisiaan vastaan kohtisuorassa (kulma β on 90 astetta), joten pyörimismäärä on yksinkertaisesti (8.8) L = rp = mrv Sivu 6

27 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos Kuva 8.3 Kulmaliikemäärä ristitulona. 8.4 Jäykän kappaleen pyörimismäärä Edellisessä kappaleessa määrittelimme hiukkasen pyörimismäärän. Jäykän kappaleen pyörimismäärä on yksinkertaisesti kaikkien sen hiukkasten pyörimismäärien summa (8.9) L = mi r i v n i= Emme käy yksityiskohtaisesti läpi erimuotoisia kappaleita ja niiden pyörimismäärävektoreiden suuruuksia ja suuntia, mutta toteamme seuraavan: pyörimismäärävektori ei aina osoita samaan suuntaan pyörähdysakselin kanssa (yritä keksiä tilanne, jossa näin ei ole). Pyörähdysakseli ja pyörimismäärävektori osoittavat samaan suuntaan vain, jos kappale on täysin symmetrinen pyörimisakselinsa suhteen. Jatkossa keskitymme vain pyörähdysakselin suuntaiseen pyörimismäärävektorin suuruuden tarkasteluun. Jos kappaleen hitausmomentti tiedetään, pyörimismäärävektori pyörähdysakselin suunnassa lausuttuna on (8.0) L z = Iω kulmaliikemäärä i Esim. 8. Maan pyörimisliike (luennolla). Sivu 7

28 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos 9 PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA Jäykän kappaleen dynamiikka noudattaa täysin samoja lakeja kuin kappaleen suoraviivainen siirtymäliike. Kappaleeseen vaikuttavat voimat saavat aikaan kulmakiihtyvyyden ja kulmanopeuden. Jäykän kappaleen dynamiikan lait eivät ole mitään lisäyksiä aiemmin nähtyyn Newtonin dynamiikkaan, ne ovat seurausta siitä. 9. Vääntömomentti Vääntömomentti τ (tau) määritellään voiman F ja voiman varren r ristitulona. Jos et muista kuinka ristitulo lasketaan, palaa takaisin lukuun 8.3. (9.) τ = r F vääntömomentti Jos r ja F ovat samansuuntaisia, on ristitulo ja vääntömomentti nolla. Tämä vastaa tilannetta, jossa voima kohdistuu suoraan pyörimisakselia kohti. Tällöin voima ei saa aikaan muutoksia pyörimisliikkeessä. Esim. 9. Askeltaajuuden mittaus ja laskennallinen arviointi 9. Pyörimisen liikeyhtälö ja pyörimismäärän säilyminen Vääntömomentti saa aikaan muutoksen pyörimismäärässä. Aivan kuten siirtymäliikkeessä, jos vääntömomenttien summa on nolla, kappale pysyy paikallaan tai jatkaa pyörimistään vakiolla kulmanopeudella. d L (9.) = τ ulk dt Pyörimismäärän säilymislaki on analoginen liikemäärän säilymisen kanssa. (9.3) L = [ vakio] Siirtymäliikkeen liikeyhtälö Newtonin mukaan oli F = ma. Pyörimisliikkeen liikeyhtälö on vastaavasti (9.4) I α = τ pyörimisen liikeyhtälö missä I on hitausmomentti ja vastaa massaa, α on kulmakiihtyvyys ja vastaa siirtymäliikkeen kiihtyvyyttä ja τ on vääntömomentti, joka vastaa voimaa. 9.3 Työ, energia ja teho pyörimisliikkeessä Siirtymäliikkeen työ määritettiin tulona W = Fs. Pyörimisliikkeen työ on vääntömomentin ja kierretyn kulman tulo. Ilmaistuna integraalina (9.5) W = τ z dϕ Mekaanisen energian säilymislaki pätee myös pyörimisliikkeessä ja kirjoitetaan Sivu 8

29 Biofysiikka Kevät 009 Liikuntabiologian laitos (9.6) E = ½Iω + U = [ vakio] Viimeiseksi annamme vielä pyörimisliikkeen tehon, joka on (9.7) P = τω Tällekin löytyy analogia siirtymäliikkeestä ja se on P = Fv. 9.4 Tasapainoyhtälöt Kappale on tasapainossa silloin kun se on paikallaan, eikä sillä ole siirtymä eikä pyörimisliikkeen kiihtyvyyttä. Tasapainoyhtälöitä on kolmiulotteisen avaruuden tapauksessa kuusi kappaletta. Ne saadaan kun kirjoitetaan kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ja vääntömomentti nollaksi. Kokonaisvoima kaikissa avaruuden suunnissa on nolla (9.8) F = 0 (9.9) F = 0 (9.0) F = 0 Kokonaisvääntömomentti kaikissa avaruuden suunnissa on nolla (9.) τ = 0 (9.) τ = 0 (9.3) τ = 0 x y z x y z Esim. 9. Nilkan ulompaan nivelsiteeseen kohdistuva voima nilkan taittuessa. Sivu 9