RISTIKKOPALKKIEN STABIILIUDESTA

Transkriptio

1 RISTIKKOPALKKIEN STABIILIUDESTA Juha artikainen Paavo assinen Reijo Kouhia Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 4 Timo Manninen No., 7 s Tiivistelmä: Artikkelissa tarkastellaan ristikkopalkkien kuormankantokykyä stabiiliuden menetyksen suhteen. Tavallisesti huomiota kiinnitetään vain puristetun yläpaarteen ja yksittäisen puristetun diagonaalin/vertikaalin nurjahdukseen. Riippuen ristikon päämitoista erilaiset nurjahdusmuodot ovat mahdollisia. Erityistä huomiota kiinnitetään alapaarteestaan sivusuunnassa tukemattomien ristikoiden analysointiin. Yksi mahdollinen stabiiliuden menetysmuoto on alapaarteen siirtyminen sivulle puristetun diagonaalisauvan nurjahtaessa jäykkänä kappaleena. Ilmiötä tarkastellaan yksinkertaisen sauva-jousimallin avulla johtamalla kriittisen kuorman lauseke ja tutkimalla jälkikriittisen tilan stabiiliutta. Lisäksi esitettyjen yksinkertaisten mallien tarkkuutta tutkitaan elementtimenetelmällä tehtyjen vertailulaskelmien avulla. JODANTO Ristikot ovat yleisiä rakenne-elementtejä niiden suuren kuormankantokyvyn ja keveyden vuoksi. Ristikoilla päästään pitkiin jännemittoihin, jolloin rakenteesta ja rakenneosista tulee hoikkia. Tämän seurauksena yksittäisten sauvojen ja koko rakenteen stabiiliustarkastelu on välttämätön. Poikkileikkaukseltaan hoikkien massiivi- ja I-palkkien kiepahdus voidaan tulkita puristuslaipan nurjahduksena. Olennainen kiepahdusmuoto on rakenteen siirtyminen heikompaan, kuormitustasoa vastaan kohtisuoraan suuntaan ja kiertyminen pituusakselin ympäri. Tasomaisten ristikoiden tapauksessa kiepahdusta ei voida tulkita yksistään puristetun yläpaarteen nurjahduksena. Yläpaarteen lisäksi osa diagonaalisauvoista on puristettuja. Mikäli paarteiden antama sivuttaistuki on heikko, voi rakenteen stabiiliuden menetys tapahtua puristetun diagonaali- tai vertikaalisauvan jäykän kappaleen nurjahduksena. Tukemalla yläpaarre sivusuunnassa riittävästi ei jäykän kappaleen nurjahdusta tapahdu. Mikäli vain yläpaarre on sivusuunnassa tuettu ja alapaarteen antama sivuttaistuki on heikko, ohjaa alapaarteen siirtyminen sivulle puristavan voiman vaikutussuoraa siten, että se kulkee puristussauvan päätepisteiden kautta. 48

2 PURISTUSSAUVAN NURJADUS Nurjahdus jäykkänä kappaleena Ajatellaan ristikon puristettu diagonaali- tai vertikaalisauva irroitetuksi rakenteesta ja kuvataan paarteiden antamaa jäykkyyttä lineaarisilla kierre- ja translaatiojousilla, kuva a. Otaksutaan, että sauva on aksiaalisesti täysin jäykkä ja että sauvan taivutusnurjahduskuorma ei ole määräävä. Kuvan a systeemin kokonaispotentiaalienergian lauseke on Π = [ k (w c sin φ) + k (w c + sin φ) + (c + c )φ ] N( cos φ), () missä w c on vertikaalin keskipisteen siirtymä z koordinaation suuntaan ja φ on kiertymä x akselin ympäri. Ottamalla käyttöön merkinnät k = α k ref, k = α k ref, c = β k ref ja c = β k ref, missä α i ja β i ovat dimensiottomia jäykkyysparametreja, sekä määrittelemällä dimensioton siirtymä δ = w c / ja kuormaparametri λ = N/(k ref ) saadaan kokonaispotentiaalienergian lauseke ilmaistua dimensiottomin suurein seuraavasti Π k ref = [ α (δ sin φ) + α (δ + sin φ) + (β + β )φ ] λ( cosφ). () Potentiaalienergian stationaarisyysehdosta saadaan tasapainoyhtälöt (α + α )δ (α α ) sin φ =, (3) (α α )δ cosφ + 4 (α + α ) sin φ cosφ + (β + β )φ λ sin φ =. (4) Ratkaisemalla ylemmästä yhtälöstä (3) siirtymä δ ja sijoittamalla se tasapainoyhtälöön (4) saadaan λ = α cos φ + β φ sin φ, (5) missä on käytetty lyhennysmerkintöjä α = α α α + α, β = β + β. (6) Tasapainoyhtälöiden (3) ja (4) ratkaisu on triviaali primaaripolku (δ = φ = ) sekä yhtälön (5) (φλ-tasossa) määrittelemä sekundaaripolku. Primaaripolku on stabiili origosta bifurkaatio- eli haarautumispisteeseen (, λ bif ), λ bif = α + β saakka. äiriöherkkyyden arviointi on oleellinen osa stabiiliusherkkien rakenteiden analyysointia. Tämän vuoksi tutkitaan sekundaaripolun stabiiliutta haarautumispisteen läheisyydessä. Tutkittavan rakennemallin haarautuminen on symmetrinen, ja voidaan osoittaa, että haarautumispiste on stabiili, mikäli epäyhtälö β > 3α (7) toteutuu. Fysikaalisesti tulkittuna haarautumispiste on stabiili, mikäli paarresauvojen vääntöjäykkyys on riittavän suuri suhteessa taivutusjäykkyyteen. Mikäli rakennemallissa esiintyy symmetrinen epästabiili haarautuminen, muuttuu mallin bifurkaatiopiste 49

3 (a) (b) N c k P z x y z y x c k L L Kuva : Ristikon puristetun vertikaalisauvan stabiiliusmalli (a) sekä yksinkertainen ristikkopalkki (b). Vertikaalisauva liittyy paarteisiin sarananivelten välityksellä. rajapisteeksi rakenteen alkuvinouksien ja muiden epätäydellisyyksien vuoksi. Rajapisteessä rakenteella on kuormankantokyvyn maksimi, kuva. Symmetrisen epästabiilin haarautumispisteen tapauksessa häirityn rakenteen rajapisteen riippuvuus muotovirheparametrista, esim. alkuvinoudesta φ, noudattaa universaalia /3-potenssilakia [] λ max = λ bif ( aφ /3 ), (8) missä λ bif = α + β on alkuvirheettöman rakenteen kriittinen bifurkaatiokuorma ja a on rakennemallista riippuva vakio. Tarkastellaan ehdon (7) vaatimusta kuvan b ristikon tapauksessa. Oletetaan ylä- ja alapaarre identtisiksi (EIy yp = EIy ap = EI y, GI yp t = GI ap t = GI t ). Mallin jousivakioiksi saadaan k = k = 48EI y, c L 3 = c = 4GI t L, (9) missä käytetyt merkinnät ovat ilmeiset. Mikäli jäykkyyden viitearvoksi valitaan saadaan dimensiottomien jäykkyysvakioiden arvoiksi k ref = 48 EI y L 3, () α = ja β = GI t 6 EI y ( ) L. () Täten ehto (7) lausuttuna paarteiden taivutus- ja vääntöjäykkyyksien sekä ristikon korkeuden ja pituuden avulla on ( ) GI t L >. () 9 EI y omogeenisesta isotrooppisesta aineesta valmistetuille paarteille ehto voidaan edelleen kirjoittaa muodossa ( ) I t L >, (3) 8( + ν) I y 5

4 λ.5 β =.5 β = φ.5.5 Kuva : Kuvan a mallin jälkikriittisiä tasapainopolkuja (α =.5). missä ν on materiaalin Poissonin vakio. avaitaan, että jälkikriittinen tila on stabiili pitkäjänteisillä hoikilla ristikkopalkeilla. Tämä on fysikaalisesti mielekäs tulos, sillä pitkillä jänneväleillä alapaarteen sivuttaistuki on merkityksetön ja puristettujen vertikaali/diagonaalisauvojen tuki muodostuu pääasiassa yläpaarteen vääntöjäykkyydestä. Kuitenkin esimerkiksi puuristikoilla on suurempi todennäköisyys epästabiiliin jälkikriittiseen käyttäytymiseen puun alhaisen vääntöjäykkyyden vuoksi. YKSINKERTAINEN RISTIKKOPALKKI Palkkiteorian mukainen kiepahdustarkastelu Tarkastellaan kuvan b mukaista yksinkertaista ristikkopalkkia. Otaksutaan ristikon toimivan kuten poikkileikkaukseltaan hoikka palkki. Sovelletaan sivusuunnassa tukemattoman palkin kiepahduskuorman määrittämiseen lähteen [] kaavaa (6-37) ( By C P kr,k = ) By, (4) L L C missä B y = EIy yp + EIy ap on ristikon poikittainen taivutusjäykkyys ja C vääntöjäykkyys. Jättämällä paarteiden omat vääntöjäykkyydet huomioimatta voidaan ristikon vääntöjäykkyydelle johtaa lauseke C = 96 EIyp y EIap y EIy yp + EIy ap ( ). (5) L Mikäli paarteet ovat identtiset, saadaan kiepahduskuorman lausekkeeksi P kr,k = 36, 5 L 5 EI y L. (6)

5 Vertikaalin taivutusnurjahdus Vertikaalisauvan kriittiselle kuormalle taivutusnurjahduksen suhteen voidaan kirjoittaa N kr,tn = ηπ EI v, (7) missä EI v on puristussauvan taivutusjäykkyys määräävään suuntaan ja η on sauvan päiden kiinnitysasteesta riippuva dimensioton vakio. Vertikaalin nurjahdus jäykkänä kappaleena Edellisen luvun analyysin perusteella on jäykän kappaleen siirtymää vastaava nurjahduskuorma N kr,jkn = (α + β)k ref. (8) Ottamalla huomioon valinta () on vertikaalin nurjahdus jäykkänä kappaleena määräävä, kun ( ) EI y ηπ 3 L N kr,jkn < N kr,tn < (9) EI v 48(α + β) Mikäli paarteiden aiheuttamaa sivuttaistukea ei ole, (esim. alapaarre ei anna sivuttaistukea) on jäykkyysvakiolla α arvo α =. Ottamalla huomioon yhtälö ( ) ja yleistäen β = β GI ( ) t L, () EI y saadaan sivuttaistukemattomalle tapaukselle ehtoyhtälön (9) vastine ( ) GI t < ηπ L. () EI v 48β Jotta vertikaalin taivutusnurjahdus olisi kriittinen, on paarteilla oltava riittävän suuri vääntö- ja/tai poikittainen taivutusjäykkyys. Mikäli kuvan b ristikon paarteet otaksutaan identtisiksi ja vertikaalisauva aksiaalisesti venymättömäksi, on vertikaalin sauvavoima N = P/. Täten vertikaalin nurjahdukseen liittyvien kriittisten kuormien arvoiksi saadaan P kr,tn = ηπ EI v, () [ P kr,jkn = 48 EI y L L + 6GI t L = 48 + ( ) ] GI t L EI y 3 EI y L L. (3) Käytännössä yläpaarre tuetaan aina sivuttaissuunnassa. Tällöin α =, joten α = ja kiertojousivakio β on sama kuin yhtälössä ( ) olettaen, että paarteet ovat identtiset. Täten kriittinen kuorma P kr,jkn voidaan laskea kaavasta β on dimensioton kerroin. P α= kr,jkn = 96 [ + GI t 6 EI y ( L ) ] EI y L L. (4) 5

6 .5 P kr,jkn α= /P kr,tn.5 GI t = EI y GI t =.EI y 5 5 L/ 5 3 Kuva 3: Yläpaarteestaan sivusuunnassa tuetun kuvan b mukaisen ristikon kriittinen kuorma Pkr,jkn α= suhteessa vertikaalin taivutusnurjahdukseen P kr,tn. Suhde γ = EI y /EI v = (ehyt viiva), γ = (katkoviiva). Paarteiden vääntö- ja taivutusjäykkyyksille otaksutaan: GI t = EI y (ylempi käyrä), GI t =.EI y (alempi käyrä). Kiinnitysasteelle η on otaksuttu arvo. Kirjoitetaan vielä kaava (4) taivutusnurjahduksen ( ) suhteen vertailukelpoiseen muotoon [ Pkr,jkn α= = 96γ + ( ) ] ( ) 3 GI t L EI v 6 EI y L, (5) missä γ = EI y /EI v. Kaavojen (5) ja () antamien arvioiden suhde on piirretty kuvaan 3 jäykkyyssuhteen γ arvoilla γ = ja γ =. Numeerinen analyysi Edellä johdettujen kaavojen tarkkuutta on tutkittu laskemalla alkumuodon suhteen linearisoitu stabiiliusominaisarvotehtävä numeerisesti elementtimenetelmällä. Rakenne on jaettu 5 palkkielementtiin (paarteet + ja vertikaali elementtiä), ja ominaisuuksille on käytetty seuraavia arvoja: E = GPa, G = E/, = m; paarteet: A = 3 m, I z = 7 6 m 4, I y = 4 6 m 4, I t = 5 m 4 ; vertikaali: A = 3 m, I v = I y = I z =,5 6 m 4, I t = 6 m 4. Ristikkopalkin pituutta vaihdeltiin välillä L =...8 m. Kuvassa 4 on esitetty sivusuunnassa tukemattoman ristikkopalkin numeerisesti laskettu kriittinen kuorma sekä yhtälöiden (6), () ja (3) antamat arviot. Kuvassa on esitetty lisäksi yhtälöstä (3) yksinkertaistettu muoto P kr,jkn,v = 6 GI t L, (6) jossa alapaarteen taivutuksesta aiheutuva termi on jätetty pois. Kuten kuvasta 4 voidaan havaita, on vertikaalin taivutusnurjahdus määräävä lyhyillä 53

7 7 Pkr /GIt P kr,tn P kr,jkn,v P kr,jkn P kr,k L/ Kuva 4: Yläpaarteestaan sivusuunnassa tukemattoman kuvan b mukaisen ristikon kriittinen kuorma P kr. Elementtimenetelmätulokset on merkitty symbolilla +. jännemitoilla (L/ ). Vertikaalin kiepahdus jäykkänä kappaleena ei ole tässä yksinkertaisessa esimerkkitapauksessa määräävä. Kiepahduskaavan (6) antama tulos on sopusoinnussa numeeristen tulosten kanssa pitkillä jännemitoilla, mutta välialueella ( L/ 4) yksinkertaisten käsinlaskukaavojen tulokset ovat reilusti epävarmalla puolella. Tämä todennäköisesti johtuu siitä, että vertikaalisauva ei nurjahda täysin jäykkänä vaan paarteiden äärellisestä vääntöjäykkyydestä aiheutuu vertikaaliin taivutusta. Parempi vastaavuus käsinlaskukaavojen ja numeeristen tulosten kesken saadaan mikäli yläpaarre tuetaan sivusuunnassa. Numeerisista tuloksista havaittiin, että pitkillä jännemitoilla alapaarteen kiepahdus on kriittinen. Vertikaali antaa kuitenkin riittävän sivusuuntaisen ja kiertymätuennan, jolloin kriittinen kuorma voidaan määrittää pistekuoman kuormittaman yksiaukkoisen palkin toisena kriittisenä kiepahduskuormana. Tämä kriittinen kuorma voidaan määrittää ehdosta (vertaa lähteen [] tapaukseen luvussa 6.5) ja J 4 J( β 4 8 L ) =, missä β = N EI y GI t on kertalukua /4 oleva Besselin funktio. Nollakohta löytyy arvolla β 8 L =, 776, ja kriittiseksi kuormaksi saadaan P kr,apk = 88, 83 EIy GI t L. (7) Yläpaarteestaan sivusuunnassa tuetulla ristikkopalkilla on siten kolme kriittistä muotoa: vertikaalin taivutusnurjahdus lyhyillä jännemitoilla (L/ 3), alapaarteen kiepah- Lyhyillä palkeilla ero elementtimenetelmän ja kaavan () antaman tuloksen välillä johtuu siitä, että kaavassa () otaksuttiin vertikaalin puristavaksi voimaksi P/. Tarkempi lauseke olisi tietenkin P/( + EI y,ap /EI y,yp + EI y,yp /(EA v L 3 )). 54

8 7 6 P kr,tn 5 P kr,jkn Pkr /GIt 4 3 P kr,jkn,v P kr,apk 3 4 L/ Kuva 5: Yläpaarteestaan sivusuunnassa tuetun kuvan b mukaisen ristikon kriittinen kuorma P kr. Elementtimenetelmätulokset on merkitty symbolilla +. dus pitkillä jännemitoilla (L/ 5) ja vertikaalin kiepahdus liki jäykkänä kappaleena välialueella (3 L/ 5). ANSAS Kahden vapausasteen malli Tarkastellaan seuraavassa kuvassa 6 esitetyn yksinkertaisen ansaksen kriittisen kuorman määritystä. Yksinkertaistetussa kahden vapausasteen (φ, ψ) mallissa vertikaalisauva otaksutaan täysin jäykäksi ja vetotangot venymättömiksi. Systeemin kokonaispotentiaalienergian lauseke on Π = [ cψ + k (sin ψ sin φ) ] P [(cosφ cosψ) + h( cosψ)], (8) missä translaatio- ja kiertojousen jousivakiot ovat k = 48EI y /L 3 ja c = 4GI t /L kuvaten palkin antamaa sivuttais- ja kiertojäykkyyttä. Tasapainoyhtälöiksi saadaan cψ + k (sin ψ sin φ) cosψ P( + h) sin ψ =, (9) k (sin φ sin ψ) cosφ + P sin φ =. (3) Primaaripolulla φ = ψ = saadaan rakenteen jäykkyysmatriisiksi [ ] [ K = Π/ ψ Π/ φ ψ c + k Π/ ψ φ Π/ φ = P( + h) k k k + P ]. (3) Merkitsemällä P = λk, α = c/k ja β = h/ saadaan kriittiselle kuormalle arvo ( ) P kr = λ kr k, missä λ kr = α β 4α( + β) ± +. (3) ( + β) (α β) 55

9 P P h c k y x L L ψ φ Kuva 6: Ansas ja sen kahden vapausasteen malli. Mikäli palkin kiertojäykkyys on pieni suhteessa poikittaiseen taivutusjäykkyyteen (α ), saadaan kriittisen kuormaparametrin arvoksi likimäärin α λ kr ± + β. (33) Mikäli kuorma sijaitsee palkin neutraaliakselilla (β = ) kriittisen kuorman arvoksi saadaan 3EIy GI t EIy GI t P kr 8 3, 86. (34) L L Vertailu numeeriseen ratkaisuun Edellisessä luvussa esitetyn yksinkertaisen kahden vapausasteen mallin antamia tuloksia on vertailtu elementtimenetelmällä saatuihin tuloksiin. Rakenne jaettiin tasavälisesti 6:een elementtiin (palkki 4, vertikaali ja vetosauvat elementtiä). Mittoina käytettiin rakenteiden mekaniikan laboratoriossa valmistetun koivupuisen ansaksen arvoja: L = 93 mm, = 36 mm. Palkki on poikkileikkauksetaan T:n muotoinen: A = 88 mm, I y = 3653 mm 4, I z = 89 mm 4, I t = 54 mm 4. Vertikaalin poikkileikkaus on suorakaide, jonka leveys on palkin kannen leveys 3 mm ja korkeus 9 mm. Vääntökokeen tuloksena leikkausmoduulille saatiin arvo G =, GPa ja kimmokertoimelle käytettiin arvoa E = 6,8 GPa. Teräksisen vetolangan (E = GPa) poikkileikkausala on, mm. Vertikaalin ja palkin välinen liitos otaksuttiin täysin monoliittiseksi. Mikäli kuorma vaikuttaa palkin neutraaliakselilla (h = ), on elementtimenetelmällä määritetty alkumuodon suhteen linearisoitu kriittinen kuorma 69, N. Kaavan (3) antama tulos on 7, N ja likilausekkeen (34) antama arvio on 69, N otaksumalla vertikaalin sauvavoimaksi N = P. Ottamalla huomioon vetotankojen venyminen, on vertikaalin sauvavoima, 98P, jolloin kaavan (3) antamaksi tulokseksi saadaan 69,7 N ja kaavan (34) antamaksi likiarvoksi 67,8 N. Vertailu koetuloksiin Edellä esitetyn yksinkertaisen mallin soveltuvuutta testattiin myös kokeellisesti. Koeansaksessa kuorman vaikutuspiste oli mm palkin laipan yläpuolella. Koetulokset ja niihin pienimmän neliösumman keinolla sovitettu Southwellin suora on esitetty kuvassa 56

10 (w/p) / (mm/n) koe Southwell w / mm (a) 7 8 P / N FEM koe w / mm (b) Kuva 7: Puinen ansas: (a) Southwellin kuvaaja ja koetulokset (b) kuorma-siirtymä riippuvuus. 7a. Kriittinen kuorma saadaan Southwellin suoran kulmakertoimen käänteisarvona. Rakenteen muotovirhe kriittisen ominaismuodon suhteen saadaan suoran ja siirtymäakselin leikkauspisteen koordinaatista. Kokeellisesti määritetyksi kriittiseksi kuormaksi saatiin arvo 69,8 N, kun kaksivapausasteinen malli antaa tulokseksi 6,4 N. Elementtimenetelmällä saadaan pienin arvo 6,6 N. Kuvassa 7b on esitetty kokeissa mitattu ja elementtimenetelmällä laskettu kuorma-siirtymä riippuvuus. Elementtimenetelmäanalyysissä on muotovirheeksi annettu alkumuodon suhteen linearisoidusta ominaisarvotehtävästä saatu ominaismuoto, jonka amplitudi on määritetty Southwellin suoran avulla. RISTIKKOPALKKI Tarkastellaan kuvan 8 mukaista ristikkopalkkia. Kuvan mukaisessa symmetrisessä kuormitustapauksessa yläpaarre ja vertikaalit ovat puristussauvoja ja alapaarre sekä kaikki diagonaalit ovat vetosauvoja. Moduulimittana on käytetty palkin korkeutta = m. Yläpaarre on tuettu sivusuunnassa kuormien vaikutuspisteissä. Materiaalin ominaisuuksina ja poikkileikkausmittoina on käytetty seuraavia arvoja: E = GPa, G = E/; paarteet: A = 3 m, I y = I z = 7 6 m 4, I t = 8 6 m 4 ; vertikaalit ja diagonaalit: A = 3 m, I y = I z =,5 6 m 4, I t = 6 m 4. Alkumuodon suhteen linearisoitu stabiiliusanalyysi suoritettiin elementtimenetelmällä lohkojaoilla n = 4, 6, 8 ja (L = n). Jokainen sauvanosa jaettiin kymmeneen palkkielementtiin. Pisimmän ristikon kriittinen nurjahdusmuoto on yläpaarteen nurjahdus ristikon tasoa vastaan kohtisuoraan suuntaan. Muissa tapauksissa reunimmainen vertikaalisauva nurjahtaa ja alapaarre siirtyy sivulle. Vertikaalin nurjahdusta voidaan analysoida yksinkertaisella kuvassa 9 esitetyllä mallilla. Vertikaalin puristava voiman otaksutaan vaikuttavan aina palkin tukien kautta kulkevan suoran suunnassa. Laskettaessa rakenne ristikkona, on reunimmaisissa vertikaaleissa 57

11 P P P P P P P n n n n n n n L = n Kuva 8: Ristikkopalkki. c yp V y x c ap c tr V Kuva 9: Vertikaalin nurjahdusmalli. 58

12 vaikuttava puristava voima suuruudeltaan 3 Kuvan 9 mallin reunaehdot ovat V = n P. (35) n v() = M() + c yp v () = (36) M() c ap v () = Q() V (v () v()/) + c tr v() =, (37) missä paarteiden vääntö- ja taivutusjäykkyyttä kuvaavat jousivakiot ovat GI ap t c ap = γ ap L, γ ap = (/L)( (/L)) (38) GI yp t c yp = γ yp L, γ yp = γ ap (39) EIy ap c tr = δ ap L, δ 3 ap = 3 (/L) ( (/L)) (4) Puristetun ja taivutetun sauvan teorian mukainen ratkaisu on muotoa v(x) = C sin kx + C coskx + C 3 (x/) + C 4, (4) missä k = V/EI v. Merkitsemällä V = λ EI v / voidaan kuormaparametrin λ kriittinen arvo määrittää yhtälöryhmän [ ]{ } { } A A C = (4) A A C 3 kerroinmatriisin singulaarisuusehdosta. Matriisialkiot ovat A = (λ β ap β yp ) sin λ (β ap + β yp )λ cosλ, (43) sin λ A = β yp cosλ β ap β yp λ β ap, (44) A = (λ λ + α tr + α tr ) sin λ β yp (cosλ ), (45) λ A = β yp λ + α tr λ (cosλ ) + α tr, (46) missä dimensiottomat jäykkyysvakiot ovat GI ap t β ap = γ ap EI v L, β GI yp t yp = γ yp EI v L, α EIy ap tr = δ ap EI v ( ) 3. (47) L Ratkaisut on esitetty taulukossa, missä ovat myös elementtimenetelmällä määritetyt kriittisen kuorman arvot. Mikäli vertikaalin nurjadus on määräävä, antaa yksinkertainen nurjahdusmalli kriittiselle kuormalle noin 9-4 % pienempiä arvoja kuin elementtimenetelmä. 3 Elementtimenetelmällä laskettaessa rakenne on mallinnettu kehänä jolloin reunimmaisten vertikaalien puristavalle voimalle saadaan noin 3 % pienempi arvo. 59

13 P kr /MN n malli FEM muoto (FEM) 4 3,66 4, vertikaalin nurjahdus 6 3,48 3,93 vertikaalin nurjahdus 8 3,6 3,77 vertikaalin nurjahdus 3,4 3,8 yläpaarteen nurjahdus vertikaalin nurjahdusta vastaava kuorma 3,64 MN. Taulukko : Ristikon nurjaduskuormat ja muoto. JOTOPÄÄTELMÄT Artikkelissa on tarkasteltu tasomaisten ristikkopalkkien kriittisen kuorman määritystä stabiiliuden menetyksen suhteen. Ristikon geometriasta ja tukemistavasta riippuen ovat erilaiset nurjahdusmuodot mahdollisia. Yksi mahdollinen stabiiliuden menetysmuoto on alapaarteen siirtyminen sivulle puristetun diagonaalisauvan nurjahtaessa jäykkänä kappaleena. Tätä ilmiötä tarkasteltiin johtamalla yksinkertaisten sauva-jousimallien avulla kriittisen kuorman lauseke muutamalle yksinkertaiselle ristikkopalkille. Käytännössä puristetun vertikaali- ja/tai diagonaalisauvan nurjahdus jäykkänä kappaleena voidaan estää tukemalla yläpaarteen ja puristussauvan liitoskohta ristikon päätaivutustasoa vastaan poikittaisessa suunnassa. Tällöin ristikon kriittistä kuormaa voidaan arvioida puristetuimman vertikaalin nurjahduksena, jossa puristavan voiman vaikutussuora kulkee puristussauvan päätepisteiden kautta. Tutkituissa ristikoissa näin johdettu kriittisen kuorman arvio oli noin % pienempi kuin elementtimenetelmällä saatu kriittinen kuorma. KIITOKSET Timo Jamalaiselle koelaitteiston valmistamisesta ja avusta kokeiden suorittamisessa. VIITTEET [] J.M.T. Thompson, G.W. unt, A General Theory of Elastic Stability, John Wiley & sons, 973. [] S.P. Timoshenko, J.M. Gere, Theory of Elastic Stability, McGraw-ill,. painos, 963. Juha artikainen, TKK/Rakenteiden mekaniikka, s-posti: juha.hartikainen@tkk.fi Paavo assinen, Insinööritoimisto Pontek Oy, s-posti: paavo.hassinen@pontek.fi Reijo Kouhia, TKK/Rakenteiden mekaniikka, s-posti: reijo.kouhia@tkk.fi Timo Manninen, TKK/Rakenteiden mekaniikka, s-posti: timo.manninen@tkk.fi 6