Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN"

Transkriptio

1 Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

2 Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti (MAA). a) Autoliikkeessä tilastoitiin vuoden aikana myytyjen käytettyjen autojen merkki, rekisteröintivuosi ja hinta. Mille asteikkotyypeille mainitut muuttujat soveltuvat? b) Liike myi tietyn merkkistä, saman vuosimallin autoa kunnosta ja ajokilometrimäärästä riippuen vaihtelevaan hintaan seuraavasti: hinta ( ) määrä (%) Laske keskihinta ja hinnan keskihajonta. a) automerkki: luokitteluasteikko rekisteröintivuosi: luokitteluasteikko, järjestysasteikko hinta: luokitteluasteikko, järjestysasteikko, suhdeasteikko b) Keskihinta on 5 50 ja hinnan keskihajonta Valitse populaatiosta {7, 8, 9,, 3,, 5, } neljän alkion otos niin, että sen keskihajonta on mahdollisimman suuri. Kuinka suuri tämä keskihajonta on? Populaation {7, 8, 9,, 3,, 5, } keskiarvo on,75 ja otoskeskihajonta 3,5. Populaation alkioiden suurin poikkeaman itseisarvo on luvuilla 7,, 8 ja 5. Samat luvut käyvät otoksen luvuiksi. Otos on {7, 8, 5, }. Sen keskiarvo on,5 ja otoskeskihajonta n,5. 3. Erään lukion opiskelijoista oli tyttöjä %. Heidän historian arvosanojensa keskiarvo oli 8,. Pojilla vastaava keskiarvo oli 7,. Mikä oli kaikkien opiskelijoiden historian arvosanojen keskiarvo? 8, , Koko lukion historian keskiarvo oli 8, Kuinka monta kolmekirjaimista "sanaa" voidaan muodostaa kahdeksasta vokaalista, joissa vokaali a a) ei esiinny kertaakaan, b) esiintyy ainakin kerran? a) Käytetään vain 7 vokaalia. Niistä saa sanaa. b) Sanoja kaikkiaan on Sanoja, joissa ei ole yhtään vokaalia a, on 33. Siis sanoja, joissa on ainakin yksi a, on Ryhmässä on 8 poikaa ja tyttöä. Heistä arvotaan nelihenkinen toimikunta, jossa on kaksi tyttöä. Kuinka monta erilaista toimikuntaa on mahdollista muodostaa?

3 Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Kuuden tytön joukosta voidaan valita kahden tytön ryhmiä 5 ja kahdeksan 8 pojan joukosta kahden pojan ryhmiä 8. Tuloperiaatteen mukaan nelihenkisiä toimikuntia, joissa on kaksi tyttöä on Heitetään kolmea kolikkoa. Millä todennäköisyydellä kaikki antavat kruunan tai kaikki antavat klaavan? P(kaikki antavat kruunan tai kaikki antavan klaavan) +. Toisin: Yksi kolikoista antaa kruunan tai klaavan. Todennäköisyys, että muut kaksi kolikkoa antavat sen saman kuin äskeinen kolikko, on. 7. Opintoryhmään kuuluu 5 poikaa ja 8 tyttöä. Ryhmän edustajiksi arvotaan kaksi opiskelijaa. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen edustaja on tyttö? 5 8 P(ainakin toinen on tyttö) P(molemmat ovat poikia) 0, Toisin: P(ainakin toinen on tyttö) 0, Juha-Pekka tietää kokemuksesta osuvansa tikanheitossa kymppiin kahdeksan prosentin todennäköisyydellä. Juha-Pekka heittää viisi tikkaa. Millä todennäköisyydellä hän osuu kymppiin täsmälleen yhdellä tikalla? 5 P(täsmälleen yksi kymppi) 0,08 0,9 0, 9 9. Nopan kolmella sivutahkolla on silmäluku ja lopuilla silmäluku 3. Noppaa heitetään kolmasti. Olkoon x saatujen silmälukujen summa. Määritä E(x). x voi saada arvot 3, 5, 7 ja 9. Oheinen taulukko sisältää x:n jakauman. x Odotusarvo on E ( x ) p

4 Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 3 0. Oletetaan, että kevytjuuston rasvaprosentti on normaalijakautunut. Liike tilaa valmistajalta kevytjuustoa, jonka rasvapitoisuus on keskimäärin 5 %. Kuinka suuri hajonta saa rasvan prosenttiluvussa enintään olla, jotta todennäköisyys saada rasvapitoisuudeltaan yli 7 %:n juustoa olisi pienempi kuin 5 %? x 5 Jos rasvan prosenttiluku x N(5, ), niin z N(0, ). P ( x > 7) 7 55 P ( z > ) Φ( ) < 0, 05, josta Φ ( ) > 0, 95 ja taulukon mukaan >,9. Tästä <,. Keskihajonta saa olla enintään, prosenttiyksikköä. Kertauskoe (MAA). Laske ryhmän keski-ikä ja iän keskihajonta. Piirrä histogrammi. ikä (a) frekvenssi Luokkaan 5 kuuluvat ne, jotka ovat täyttäneet mutta eivät vielä. Niinpä ensimmäisen luokan leveys on 5 ja luokkakeskus 3,5 vuotta. Vastaavat arvot saadaan muille luokille. Käytetään luokkakeskuksia 3,5; 8,5; 3,5; 8,5; 33,5; 38,5 ja 3,5. Keskiarvoksi tulee x 8, 7 ja keskihajonnaksi 8,. f a. Tiedetään, että x N(0, ). Määritä a) P ( x ), b) P ( x ), c) P ( 0, < x < 0,). a) P ( x ) Φ() 0, 83 b) P ( x ) P ( x ) 0, 83 c) P ( 0, < x < 0,) 0,55 + 0,5793 0, Yhtiössä on 80 työntekijää. Joka vuosi yhtiö järjestää arpajaiset, joissa työntekijää voittaa etelänmatkan. Työntekijöistä seitsemän on suunnittelijoita. Millä todennäköisyydellä kaikki neljä voittajaa ovat suunnittelijoita? 7 P(kaikki voittajat suunnittelijoita)

5 Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut. a) Häissä n henkilöä kättelee toinen toisiaan. Kuinka monta kättelyä suoritetaan? b) Kirjahyllyyn asetetaan umpimähkään kuusi erilaista romaania. Laske todennäköisyys sille, että kirjat ovat vasemmalta oikealle nimien mukaisessa aakkosjärjestyksessä. a) Tervehtijät muodostavat kahden henkilön osajoukkoja. Kättelyitä on -kombinaatioiden lukumäärä eli n n! n( n ).!( n )! b) P(aakkosjärjestys) Opiskelijan koulumatkalla on liikennevalot kolmessa risteyksessä. Liikennevalot on ohjelmoitu niin, että ensimmäisessä risteyksessä palaa jalankulkijoille punainen valo 5 %, toisessa 75 % ja kolmannessa 70 % ajasta. Oletetaan, että punaiset valot palavat toisistaan riippumatta. Millä todennäköisyydellä eräänä päivänä opiskelijan koulumatkalla ainakin yhdessä risteyksessä palaa punainen valo? 70 P(ainakin yhdessä risteyksessä palaa punainen valo) P(punainen ei pala missään risteyksessä) 0,35 0,5 0,30 0, 97.. Matematiikan opetusryhmässä on 7 poikaa ja tyttöä. Kaksi opiskelijaa valitaan arvalla retkitoimikuntaan. Satunnaismuuttujana on toimikuntaan valittujen poikien lukumäärä. Muodosta todennäköisyysjakauma ja kertymäfunktio. Laske odotusarvo. Poikien lukumäärä x voi saada arvot 0, ja. Vastaavat pistetodennäköisyydet ovat , ja Kertymäfunktio F(x) 0, kun x < 0, F ( x), kun 0 x <, 378 x <, ja F(x), kun x Odotusarvo on E( x ) 0 + +, F ( x) 378, kun 7. Suomalaisten naisten pituudet noudattavat likimain normaalijakaumaa niin, että keskipituus on cm ja keskihajonta cm. Kuinka paljon on yli 75-senttisiä naisia, kun 5, miljoonasta suomalaisesta on 5 prosenttia naisia? 75 P ( x > 75) P ( z >,7) P ( z,7) Φ(,7) 0, ,05. Suomalaisista on naisia 0, ja heistä pituudeltaan yli 75 cm 0,

6 Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 5 8. Eräs tiedonsiirtojärjestelmä välittää nollista ja ykkösistä koostuvia seitsemän merkin pituisia "sanoja". Satunnaisten, toisistaan riippumattomien häiriöiden vuoksi 0 vääristyy :ksi todennäköisyydellä 0,005, kun taas vääristyy 0:ksi todennäköisyydellä 0,00. Mikä on todennäköisyys, että lähetetty sana 000 saapuu vastaanottimeen siten, että enintään yksi merkki on virheellinen? (yo-teht. K90/8) P(enintään yksi merkki virheellinen) P(kaikki merkit oikein) + P(yksi 0 virheellinen ja kaikki :t oikein) + P(kaikki 0:t oikein ja yksi virheellinen) 3 0,9953 0,99 0,005 0,995 0,99 0, ,0 0, ,9988 Kertauskoe (MAA). Lukion opiskelijoista saatiin seuraava taulukko: pituus (cm) pojat f tytöt f Määritä laskimella pituuksien keskiarvo ja keskihajonta a) pojille, b) tytöille. Luokan 50 5 keskus on 5 laskettuna näillä tai todellisilla ala- ja ylärajoilla. Muut luokkakeskukset ovat vastaavasti 57,, 7, 7, 77, 8, 87, 9 ja 97. a) pojat: x 79 cm, n 7, cm, n 7,3 cm b) tytöt: x 7 cm,,5 cm n n. Korttipakasta vedetään neljä korttia. Laske todennäköisyys, että ne kaikki ovat samaa maata. 0 P(kaikki samaa maata) 0, Arvioi hehkulampun palamisajan kertymäfunktion kuvaajasta, millä todennäköisyydellä lamppu palaa a) enintään 750 tuntia, b) vähintään 000 tuntia, c) tuntia. a) P ( x 750) F(750) 0, 5 b) P ( x 000) P ( x < 000) F ( 000) 0, 0, c) P ( 500 < x < 50) F( 50) F(500) 0,7 0, 0, h t

7 Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut. Noppaa heitetään kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että a) viimeisellä heitolla tulee ensimmäinen kuutonen, b) viimeisellä heitolla tulee kolmas kuutonen? a) P(viimeisellä heitolla tulee ensimmäinen kuutonen) 5 5 0, b) P(viimeisellä heitolla tulee kolmas kuutonen) 0, Yhtälön x + kx 3 kerroin k määrätään nopanheitolla. Millä todennäköisyydellä yhtälön juuri on positiivinen? 5 5 Yhtälön x + kx 3 ratkaisu on x. Ehtona on, että > 0, josta k >. k k Siis vain k:n arvot 5 ja käyvät. Yhtälön juuri on positiivinen todennäköisyydellä. 3. Kahteentoista korttiin on kirjoitettu numerot niin, että kahdessa kortissa on numero 0, kolmessa numero, yhdessä numero, neljässä numero 3 ja kahdessa numero. Nostetaan umpimähkään kaksi korttia. Satunnaismuuttujana on saatujen numeroarvojen summa. Määritä todennäköisyysjakauma ja odotusarvo. Korttien numerot ovat 0, 0,,,,, 3, 3, 3, 3,,. Numeroiden summa x voi saada arvot 0,,, 3,, 5,, 7 ja 8. Seuraava taulukko sisältää todennäköisyysjakauman. x p 5 Esimerkiksi summa 3 tulee numeroista ja (3 valintatapaa) ja numeroista 0 ja 3 (8 valintatapaa). Valintatapoja kaikkiaan on. Vastaavasti summa tulee pareista 3 ja 3 ( yli :n eli valintatapaa) sekä pareista ja ( valintatapaa). Odotusarvo on E(x)

8 Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 7 kx +, kun 0 x, 7. Määritä positiivinen vakio k niin, että funktio f(x) on jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio. Piirrä tiheysfunktion kuvaaja ja laske toden- 0 muualla, näköisyys P ( x < ). Ehto f ( x) 0 toteutuu aina, sillä välillä [0, ] on kx + > 0, koska oletuksen mukaan k > 0. Muualla f(x) 0. y Koska f ( 0) ja f ( ) k +, on kuvion puolisuunnikkaan ala + k + x. Tämä ala on, kun x +, kun 0 x, k, joten tiheysfunktio f ( x) 0 muualla. Todennäköisyys P ( x < ) saadaan puolisuunnikkaan pinta-alana tiheysfunktion kuvaajan alta: P ( x < ) ( f ( ) + f ( )) ( + ) Sijoittaja voi tallettaa pääoman,0 prosentin korolla koko vuodeksi tai,0 prosentin korolla puoleksi vuodeksi ja sitten kertyneen rahasumman p prosentin korolla lopuksi vuotta. Jos kaikki prosentit välillä [,00;,90] ovat yhtä todennäköisiä, niin mikä on todennäköisyys sille, että jälkimmäinen tapa on edullisempi? (yo-teht. K95/7) Olkoon sijoitettava pääoma k. Kun pääoma sijoitetaan,0 prosentin korolla koko vuodeksi, se kasvaa arvoon,0k. Jos pääoma on,0 prosentin korolla puoli vuotta ja lopun vuotta p:n prosentin korolla, se kasvaa arvoon + k,0 p (,0+0,005p)k. Jälkimmäinen tapa on edullisempi, kun epäyhtälö 0,0 (,0 + 0,005p) k >, 0k toteutuu. Näin käy, kun p >, 97. Todennäköisyys on 0, 3. 0,005,90,97,90,00

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

Pitkän matematiikan kertaustehtävät

Pitkän matematiikan kertaustehtävät Pitkän matematiikan kertaustehtävät Kurssit 1-10 Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakollisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys ja kappalejako

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä

AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Tilastoja ja todennäköisyyksiä 1. Kuvaajien tulkintaa... 4 2.

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

1.Kuvauksen lähtöaineisto

1.Kuvauksen lähtöaineisto 1.Kuvauksen lähtöaineisto 1 Tieteen tehtävänä on uuden tiedon hankkiminen. Käyttäytymistieteet tutkivat elollisten olioiden käyttäytymistä voidakseen ymmärtää sitä tai ainakin löytääkseen siitä säännönmukaisuuksia;

Lisätiedot

Erilaisten osuuksien kuvaamiseen ja vertaamiseen käytetään prosenttia eli sadasosaa

Erilaisten osuuksien kuvaamiseen ja vertaamiseen käytetään prosenttia eli sadasosaa PROSENTTILASKENTAA 1. Prosentti Erilaisten osuuksien kuvaamiseen ja vertaamiseen käytetään prosenttia eli sadasosaa Prosentin merkitsemiseen käytetään yleensä prosenttimerkkiä %. 1. Prosenttiluku muutetaan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat PELIOHJE 1 (14) Pelaajat: 2-4 pelaajaa Ikäsuositus: 6+ SISÄLTÖ / PELIVÄLINEET 1 kääntyvä satataulu 100 lukukorttia (sis. luvut 1-100) 6 jokerikorttia 2 noppaa (sis.luvut 1-10) 30 pelimerkkiä PELI OPETTAA

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja 1. Yhtälö... 4. Yhtälön

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi

Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi Solmu 1/2008 1 Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi Pavel Shmakov MAFYKE-lehtori, Käpylän peruskoulu, Helsinki shpavel@luukku.com

Lisätiedot

SÄÄNTÖ: SET muodostuu 3 nopasta, joiden kaikki aiheet ovat samanlaisia TAI kaikkien 3 nopan aiheet ovat erilaisia.

SÄÄNTÖ: SET muodostuu 3 nopasta, joiden kaikki aiheet ovat samanlaisia TAI kaikkien 3 nopan aiheet ovat erilaisia. SET CUBED A Curious Game of Clever Connections Ohjeet Para instrucciones en Español por favor visiten www.setgame.com Pour des instructions en Français veuillez visiter www.setgame.com Für Spielanleitungen

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

$ $($( )) * + $ $((,%- # $((,%- $ ($(. +/ $ (( 0 $ (( 0 1 $

$ $($( )) * + $ $((,%- # $((,%- $ ($(. +/ $ (( 0 $ (( 0 1 $ "# %%&% ' (( )) * + ((,%- # ((,%- ((. +/ (( 0 (( 0 1 ((, # ( (, ' ( ( 2)'/) ( ( / (#( &30 (#( +))'+) (#( +))'+) " (#( 0 (#( &30 4 ("( &30 # ("( +)/) # ("( 5 * " ("( 6* # ("( 7 ) # (( ' #4 (( 2 #4 (( &30

Lisätiedot

3 Tee ohjelma, joka tulostaa kahden opiskelijan nimet ja osoitteet rinnakkain. 4 Tee ohjelma, joka kysyy käyttäjältä numeron ja tulostaa sen näytölle.

3 Tee ohjelma, joka tulostaa kahden opiskelijan nimet ja osoitteet rinnakkain. 4 Tee ohjelma, joka kysyy käyttäjältä numeron ja tulostaa sen näytölle. 1 Tee ohjelma, joka tulostaa nimesi näytölle. Olli Opiskelija 2 Tee ohjelma, joka tulostaa näytölle nimesi ja osoitteesi. Olli Opiskelija Torikatu 19 90100 Oulu 3 Tee ohjelma, joka tulostaa kahden opiskelijan

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

Karttojen värittäminen

Karttojen värittäminen Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 Osio : Trigonometriaa ja geometrian

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN 19.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 LAADULLINEN VAI MÄÄRÄLLINEN?... 2 2 TUTKIMUSPROSESSI... 3 2.1 Suunnittelu... 3 2.2 Toteutus... 5 3 EI-KOKEELLINEN TUTKIMUSASETELMA...

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa Solmu 1/2000 2001 Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa Taustana tarinallemme on tämän kevään lyhyen matematiikan yo-tehtävä, jossa käskettiin osoittamaan, että yhtälöllä f(x) = x 3 4x 2 = 0 on juuri

Lisätiedot

417 VAPAA-AJAN ASUNTOJEN OMISTUS JA KÄYTTÖ ESISELVITYS EKOTEHOKKUUDEN KARTOITUSTA VARTEN

417 VAPAA-AJAN ASUNTOJEN OMISTUS JA KÄYTTÖ ESISELVITYS EKOTEHOKKUUDEN KARTOITUSTA VARTEN VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS 417 VAPAA-AJAN ASUNTOJEN OMISTUS JA KÄYTTÖ ESISELVITYS EKOTEHOKKUUDEN KARTOITUSTA VARTEN Adriaan Perrels Elina Kangas Valtion taloudellinen tutkimuskeskus

Lisätiedot

FYYSISEN AKTIIVISUUDEN, KOETUN FYYSISEN PÄTEVYYDEN JA TAVOI- TEORIENTAATION MUUTOKSET PERUSKOULUN JA LUKION AIKANA

FYYSISEN AKTIIVISUUDEN, KOETUN FYYSISEN PÄTEVYYDEN JA TAVOI- TEORIENTAATION MUUTOKSET PERUSKOULUN JA LUKION AIKANA FYYSISEN AKTIIVISUUDEN, KOETUN FYYSISEN PÄTEVYYDEN JA TAVOI- TEORIENTAATION MUUTOKSET PERUSKOULUN JA LUKION AIKANA Jarkko Mäkinen ja Sami Piironen Liikuntapedagogiikan pro gradu tutkielma Kevät 2014 Liikuntakasvatuksen

Lisätiedot