MAA1 Tehtäviä kurssin eri aiheista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MAA1 Tehtäviä kurssin eri aiheista"

Transkriptio

1 MAA Tehtäviä kurssin eri aiheista Samuli Hanski. syyskuuta 0, versio 0.9 Olen kerännyt tähän koosteeseen runsaasti MAA-kurssin aiheisiin liittyviä tehtäviä. Koosteen lopissa on oikeat vastaukset useimpiin tehtäviin ja muutamien ratkaisemiseen on vihjeitä. Iso osa näistä tehtävistä on peräisin Markku Männikön kokoelmista.hänenmatematiikkasivuiltaan löytyylisäätehtäviäjateoriatiivistelmiä. Matematiikkaa oppii vain tekemällä. Toivotan onnea ja innostusta opiskeluun!. markkuma/matematiikka.htm

2 Luvut ja laskutoimitukset Kokonaisluvut. Laske päässä 7+9+3, 7+(35+83), 37 5, Laske päässä 6 (0+), 6 0, Laske päässä , , Kirjoita vastaluku luvulle 5, 7, 0, a, (. 5.Kumpionlukusuorallakauempanaorigosta,a+vaia,kun a>0, a<? 6. Olkoot x ja y toistensa vastalukuja. Sievennä x+y, x y. Rationaaliluvut x + y, 7. Olkoon x rationaaliluku. Ovatko seuraavat luvut rationaalilukuja? x+3, x:3, 3:x, x. 8.Olkoonxrationaalilukujaolkoonx.Osoita,ettäseuraavatluvutovat rationaalilukuja. x+ x+, x+y, x+y. 9. Ilmoita käänteisluku luvulle 5, 3,,7. 3, 0. Olkoot x ja y toistensa käänteislukuja. Sievennä x y, x ( y), x. Laske ilman laskinta , 5, x y, y.

3 . Laske ilman laskinta 3 + 5, Laske ilman laskinta , a 8 9, 3 x y,. Laske ilman laskinta , 5. Esitä tulona 3, x y, 5, 6. Laske ilman laskinta 3 : 5 6, 3 5 :6 7. Potenssi 5 y.. b c d. 7.Kirjoitaluvuillejax neljäs potenssi, vastaluvun viides potenssi, kuudennen potenssin vastaluku. 8. Laske ilman laskinta 3, 3, ( 3), 3, 3, ( ) 3, g) 3, h) 3, i) ( 3), j) ( 3 ), k) 5, l) 5, m) ( ) 5, n) ( ) Laske ilman laskinta 7, 8+7, (8+7), Laske ilman laskinta 0, 3+ 0, (3+) 0, , ( ) 0 +( ).. Laske ilman laskinta 3, 3, 3, ( ) 3, ( ), 3 ( 3, ) (, g) 3) ( h) ( 3. i) ) ), 3

4 . Laske ilman laskinta 3, ( ) 3, 3, 0, ( ) ( ) ( ). 3. Laske ilman laskinta (3, ( 3, ( 3, ( 3, (3, ( 3, g) (ax) 5, h) ( axy) 5.. Mikä sopii sulkeisiin seuraavissa laskuissa? ( ) =x, ( ) 3 =7a 3, ( ) 3 = 6y 3, ( ) =6c. 5. Laske ilman laskinta ( a ), ( x, ( 3) x) a ( 5, 6, x) ( a ) ( ) 7, x. x 3y 6. Mikä sopii sulkeisiin seuraavissa laskuissa? ( ) = x 9, ( )3 = 6 ( ) 3 = 5 ( ) = 0000a x 3, 7. Laske ilman laskinta (a ) 5, (b 3 ) 6, (x 5 ), ( y 3 ) 7, (x 3 ), ( 3a 5 ), [ (a 3 ) ] 5 g). 8. Esitä 5, 8 6, 6 7 luvun potenssina. 9. Laske ilman laskinta a 3 a7, b 5 b6, x 3 x, y 5 y 5, a 5 a6 a7, x 3 3x, g) 6x ( 5x6 ). 30. Laske ilman laskinta a 7 b 6 a 3, x 5 b, x 8 x9 x, x 0, a 5 b 6 a 9, b Laske ilman laskinta 5 3 3, 5 ( 5, ) ,5 00, 8 0 0,500, ( ) 876 ( ) a 3, 8b.

5 3. Laske ilman laskinta , , , 50 6, , Mikä sopii sulkeisiin seuraavissa laskuissa? ( ) =a 6, ( ) 3 =x, ( ) =8y 0, ( ) 5 =3a 0 b Sievennä ilman laskinta x 6 (x3 ), a 36 :a, 36 a : a, an an a, (b x ) 3 (b ) x, (a x ) x, g) [(a x ) x ] x, h) x (x ), i) y 3 ( y) Sievennä ilman laskinta ( ) 3a (x n+ ) 3 b 3, x n, x+ a x+ 3a (a x ), , a x+ a x, , g) a n an , h) a n +a n. 36. Tutki laskinta käyttämättä, kumpi on suurempi, 35 vai6 73, vai7 369, vai80 500, 7 00 vai Luvun desimaaliesitys 37. Muuta desimaaliluvuksi 7 ja 5 8, Miksi 3 ondesimaalilukunajaksollinen? 38. Muuta murtoluvuksi 0,875,, Muuta murtoluvuksi 0, ,, Muuta murtoluvuksi 0,083333,,5... Juuret Tehtäviä neliöjuurista 3. 5

6 . Minkä luvun neliöjuuri on 7, 8, π, π,?. Laske ilman laskinta 8, 00, 500, 0,9, 0,, , g) Millä muuttujan x arvoilla seuraavien lausekkeiden arvot voidaan laskea? x, 5 x,, 3 x+ x 3. x 7. Laske ilman laskinta ( 5), ( 7), (,a 0, ( ), ( 3), ( 3 ), g) 5 5, h) Sievennä ilman laskinta ( 3) 3, ( 3), ( 3) 5, ( x) 6, x 0, ( x) 7, x 0, ( 3) 3, g) ( 3) Sievennä ilman laskinta 6 8, 36x, x 0, 9a, a 0, 6a x, a 0,x 0, 7. Sievennä ilman laskinta 8, 8 8, 3a 7a, a 0, 7x 8x, x 0, Sievennä ilman laskinta a 6,, a 0, x 9y, x 0,y>0, 5x, x>0. 9. Sievennä ilman laskinta 7, 3 0, ab a, a>0,b 0, 3m 3 n mn 3, m>0,n>0,

7 50. Sievennä ilman laskinta, 3 6, 9y 8, a 0, a 0, a 0, a<0, 0x3 5x 9, x 0, g) , h) 3, Sievennä ilman laskinta x 3, x 0, a 5, a 0, 3 9, x 03, x 0, 8x 3, x Sievennä ilman laskinta 9+6, 9+ 6, 69, Sievennä osittain juurtamalla ja ilman laskinta. 9, 0, 7, 3, 5, 63, g) 50, h) Sievennä ilman laskinta 8,, 8, 5a, a 0, 3a 3, a 0, 6, g) 60, h) 600, i) Sievennä ilman laskinta, 3 8 3,, 00x 3, x>0, 6 5x Sievennä ilman laskinta 3+ 3, , , ( ). 57. Sievennä ilman laskinta , ,

8 58. Poista neliöjuuri seuraavien lausekkeiden nimittäjistä., 3 3, 3, 3 6, 3 6, Osoita,että 98+ = Tutki, onko 6 3=, 3= 3. Tehtäviä yleisemmistä juurista 6. Laske ilman laskinta 3 8, 3 7, 5 35, Laske ilman laskinta 6, 8, 8, 6 0, 3 5, 5 3, 6 6, 0 0, g). 63. Millä muuttujan x arvoilla seuraavien lausekkeiden arvot voidaan laskea? x, 6 3 x, 3 3x. 6. Sievennä ilman laskinta 3 a 3, x, x 0, 3 a 6, x, x 0, 5 c 00, 6 y 6, y< Sievennä ilman laskinta ( 3 ) 3, ( ), ( 5 ) 5, ( 5 ) 8, 5 ( ) x Murtopotenssi 66. Esitä murtopotenssina 5, 3 a, 3x, x. Mitäehtojapitäävakioilleajaxasettaakohdissa,ja? 67. Laske ilman laskinta, 8 3, 8 /, 3 5, ( 6, 6) ( ) 6, g) ( 8) /3, h) ( 6). 8 8

9 68. Laske ilman laskinta 5, 8 3, 69. Laske ilman laskinta 8 3, 8 3/, 70. Laske ilman laskinta 3, 7 /3, 7. Sievennä ilman laskinta ( 8), ( ), ( 6 5) /3. 3 3, a a, a>0, :3, ( ) ( 0 7) /3. ( /3 ) 3/. 7. Sievennä ilman laskinta a 3 a, a>0, 3 : 8, x 3 x 6 x, x> Sievennä ilman laskinta ( 9 9,5, 6 ) 3, 3 y 6 y 3, y 0, x 5, x>0, c 3 c. x 7. Sievennä ilman laskinta 6, 5 x x, x 0, a 57 7 a, a>0. 75.Mikäluvuista, 3 3ja onsuurin?äläkäytälaskinta. Yhtälöt Yhtälö ja ensimmäisen asteen yhtälö 76. Onko x=, x=3, x=, x= yhtälönx +=5xratkaisu? 77.Mikäpitäisiollaa:narvo,jotta olisiyhtälön3x+a=7ratkaisu? 78. Ratkaise graafisesti yhtälö x 5=0, 3x 5=0, 79. Ratkaise graafisesti yhtälö x 3 =0. 3x = x+3, x 3=5x 6+ 9

10 80.Mitäonvero,kunostohinta+vero=lasku? 8. Ratkaise yhtälö 5 ( x)=0, [6 (5 x)]=, x(x+) x =7. 8. Ratkaise yhtälö x=8, 5x 00=0, 7x=0, 5[+3(x )]= Ratkaise seuraavista yhtälöistä pyydetty muuttuja. Pohdi, mikä on yhtälöiden merkitys. Ratkaises,kun3600s=h. Ratkaisekm/h,kun3,6km/h=,0m/s. Ratkaiseft,kun3ft=0,9m. 8. Ratkaise yhtälö x 3 =, x =, Ratkaise yhtälö x 3 x =, x x 3x+ =x Ratkaise yhtälö x+ x =x 3, 87. Ratkaise yhtälö x =3, x 7 x = 3x+, Ratkaise yhtälö x 3=x + 3, x 5 =x+, + x+ 3 x+8 3 3x 5 =6, =7. = x 6 x +3. = x 3x+5. x (x )=x Ratkaise yhtälöt x(x+)=x +x, (x ) 3x=x(3x 5) (x+), x +x 3 = 5x, 6 x = x 3 + x Millä vakion a arvolla yhtälöllä ax x=3, a(x )+(x 3)= on täsmälleen yksi ratkaisu? 0

11 9. Millä vakion a arvolla yhtälöllä ax+x=3, ax+x=a ei ole ratkaisua? 9. Millä vakioiden a ja b arvoilla yhtälöllä (a )x=b, ax+3=x+b on äärettömän monta ratkaisua? 93. Ratkaise seuraavista yhtälöistä tuntematon x. Muista, että nollalla ei voi jakaa. (a )x=3, (a )x=3(a ), ax+3=x+a. Ensimmäisen asteen yhtälöön johtavia sanallisia tehtäviä 9. Luvun kolmasosan ja neljäsosan summa on 65 pienempi kuin itse luku. Mikä luku on? 95. Kun luku kerrotaan viidellä, saadaan sama tulos kuin lisättäessä lukuun viisi. Mikä on luku? 96.Mikälukuonvähennettävämurtoluvun 7 9 osoittajastajanimittäjästä,jotta luvun arvoksi tulisi 5? 97. Kahden peräkkäisen kokonaisluvun neliöiden erotus on 9. Määritä luvut. 98.Ympyrärenkaanleveyson5mmjapinta-ala70mm.Määritäsisemmän ympyrän säde. 99. Bussista poistui neljäsosa matkustajista ja seuraavalla pysäkillä kolmasosa jäljelle jääneistä, minkä jälkeen bussissa oli matkustajaa. Montako matkustajaa oli alunperin, kun pysäkeiltä ei tullut uusia? 00. Henriltä kului eräässä kuussa neljäsosa kuukausipalkastaan vuokraan, kuudesosaautolainanlyhentämiseenja 7 ruokaansekämuihinvälttämättömyyksiin.loppukuusta hän joutui vielä korjauttamaan autoaan 000 eurolla. Kaikkiin näihin menoihin ei Henrin palkka riittänyt, vaan hän joutui käyttämään 50 euroa säästöjään. Laske Henrin kuukausipalkka. 0. Desimaaliluvun pilkkua siirrettiin kolme paikkaa oikealle. Näin syntyvä luku oli 97,8 suurempi kuin alkuperäinen. Selvitä alkuperäinen luku. 0. Autoilija halusi kulkea 0 kilometrin matkan,5 tunnissa. Alkumatkan hän kulki nopeudella 75 km/h, ja loppumatkan nopeudella 95 km/h. Missä ja milloin nopeuden muutos tapahtui?

12 Suoraan ja kääntäen verrannollisuus 03. Ovatko suureet A ja B suoraan verrannollisia, kun A =3jaB =7sekäA =jab =8, A =3,jaB =7,sekäA =3jaB =9 ovat toisiaan vastaavia suureiden arvoja? 0. Ovatko suureet A ja B kääntäen verrannollisia, kun A =3jaB =7sekäA =jab =, A =30jaB =sekäa =0jaB = ovat toisiaan vastaavia suureiden arvoja? 05.,7 kg harvinaista metallia maksaa 8 euroa. Kuinka paljon maksaa, kg samaa metallia? 06. Kuusi henkeä kaivaa ojan kolmessa päivässä. Kuinka kauan kuluisi saman ojan kaivamiseen viideltä hengeltä? Oletetaan kaikkien työteho samaksi. 07.KunAon,8,niinBon7,.LaskeB,kunAon3,6jaAjaBovat suoraan verrannollisia, kääntäen verrannollisia. 08.SuureetAjaBovatsuoraanverrannollisia.EsitäBsuureenAavulla,kun A=5jaB=8vastaavattoisiaan. 09.AjaBovatkääntäenverrannollisia.EsitäAsuureenBavulla,kunA=36 ja B = 0,5 vastaavat toisiaan. 0.Suureyonsuoraanverrannollinenx:ntoiseenpotenssiin.Esitäx:navullay, kunx=3,y=7onvastinpari..suureyonkääntäenverrannollinenx:nneliöjuureen.esitäx:navullay,kun (x,y)=(,5)vastinpari. Prosenttilaskenta.Paljonkoon5%luvusta60? 3. Kuinka monta prosenttia on luku 300 luvusta 800?.Mistäluvusta60%on65? 5. Vuoden 0 presidentinvaaleissa oli, miljoonaa äänioikeutettua, joista 7,8% äänesti. Moniko jätti äänestämättä? 6.Sormuksen massaon7g,jasiinäon65gkultaa.mikäonsormuksen kultapitoisuus prosentteina?

13 7. Korkoprosentti on,5%. Kuinka suuri summa on tilillä oltava, jotta korkotuottoolisi0000? 8. Hillon sokeripitoisuuden tulee olla 3%. Paljonko voidaan hillota mansikoita, kunsokeriaonvarattu,6kg? 9. Auton mittari näytti 00 km/h, kun todellinen nopeus oli 9 km/h. Kuinka suuri oli mittarin virheprosentti? 0.Malmilohkareessa,jonkamassaoli,80kg,oli0,00kgkupariaja30,0% rautaa. Kuinka monta kilogrammaa, prosenttia oli muita aineita?. 000-euron kuukausipalkkaan tehdään 8,5-prosentin korotus. Laske korotettu palkka..mikälukuon 0%suurempikuin00, 5% pienempi kuin 0? 3. Millä hinnalla tavara myytiin, kun 5 euron hintaa alennettiin 0%?.Mitälukuaonluku605%suurempi? 5. Kuinka monta prosenttia luku 3 on suurempi kuin? 6. Tavara myytiin 5 prosentin alennuksella hintaan 36 euroa. Mikä oli hinta ennen alennusta? 7.Mansikoidenhintaoli3,80 /kgmuttakg:nlaatikonsaieurolla.montako prosenttia oli alennus? 8.Autoostettiinvuoden00alussahinnalla0000.Kummankinkahden ensimmäisen vuoden aikana auton arvo laski 5%. Vuoden 0 lopussa arvo oli 700.Montakoprosenttiaarvoolilaskenutvuoden0aikana? 9. Laske saatavan liuoksen sokeripitoisuus, kun sekoitetaan,00 kg 5-prosenttista ja 3,00 kg 0-prosenttista sokeriliuosta,,00 kg 5-prosenttista, 3,00 kg 0-prosenttista ja 5,00 kg 5-prosenttista sokeriliuosta. 30. Kuinka moniprosenttiseksi liuos laimenee, kun 3,0 kg:aan 6-prosenttista suolaliuosta lisätään,0 kg vettä? 3

14 3. Kuinka paljon vettä on haihdutettava 5, kg:sta 0-prosenttista suolaliuosta, jotta saataisiin -prosenttinen liuos? 3. Kuinka paljon on 75-prosenttista ja 90-prosenttista kultaa yhdistettävä, jotta saataisiin 00 g 80-prosenttista kultaa? 33.TuoteAon5%kalliimpikuintuoteB.MontakoprosenttiatuoteBon halvempi kuin tuote A? 3. Montako prosenttia neliön ala kasvaa, kun sivut pitenevät 0%? 35. Tuotteen hintaa korotettiin 5%. Alennusmyyntiin hintaa alennettiin ensin 0% ja sitten 5%. Montako prosenttia alkuperäisestä oli lopullinen hinta? 36. Suorakulmion kantaa suurennettiin 0%. Montako prosenttia on korkeutta pienennettävä, jotta ala olisi sama? 37. Hinnat nousevat 3,5 prosenttia ja samalla palkkoja korotetaan, prosentilla. Kuinka paljon palkansaajan ostovoima muuttuu? 38.Eräässäjoukossaoli60%naisiaja0%miehiä.Naistenmääräväheni0% ja miesten määrä kasvoi 0%. Kuinka monta prosenttia naisia oli nyt? Potenssiyhtälöt 39. Ratkaise yhtälöt x 3 =8, x =6, x 5 = 3, x 8 = Ratkaise yhtälöt x 3 +56=0, x 6 =, 9x =0, x 6 8 =0.. Ratkaise yhtälöt x 3 =8, x =8, x 5 =6, 3x + =.. Laske pallon säde, kun sen tilavuus on,0 litraa. 3. Hallituksen tavoitteena on puolittaa työttömyys hallituskauden aikana eli neljässä vuodessa. Kuinka monta prosenttia työttömyys vuosittain vähenee, jos sen oletetaan vähenevän joka vuosi yhtä monta prosenttia?

15 . Ilkka haluaa kehittää juoksukestävyyttään. Hänen tavoitteensa on jaksaa juosta kahden vuoden kuluttua kymmenen kertaa niin pitkä matka kuin nyt. Kuinka monta prosenttia kestävyys paranee kuukaudessa, kun se paranee joka kuukausi yhtä monta prosenttia? 5. Musiikissa puhutaan oktaaveista. Kahden sävelen sanotaan olevan oktaavin päässä toisistaan, jos korkeamman sävelen taajuus on kaksinkertainen matalamman sävelen taajuuteen verrattuna. Pianon koskettimistolla oktaavin etäisyydellä olevat sävelet ovat koskettimen päässä toisistaan. Piano on viritetty tasavireisesti, eli sävelen taajuus kasvaa aina yhtä monta prosenttia, kun siirrytään koskettimesta seuraavaan. Erään a-sävelen taajuus on 0 hertsiä. Laske viisi kosketinta ylempänä olevan f-sävelen taajuus. 6. Kappaleen liike-energia on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuden neliöön. Kun luoti eteni nopeudella 600 m/s, sillä oli liike-energiaa, kj. Kuinka nopeasti sama luoti etenee, kun sillä on liike-energiaa,5 kj? 7. Äänen voimakkuutta kuvaava suure äänen intensiteettitaso on kääntäen verrannollinen äänilähteen etäisyyden neliöön. Äänen intensiteettitaso on 70 db, kun ollaan 3,0 metrin päässä kaiuttimesta. Kuinka kaukanan kaiuttimesta ollaan, jos äänen intensiteettitaso on 35 db? 8. Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen sen nopeuden neliöön. Kun auto alkaa jarruttaa nopeudesta 80 km/h, on jarrutusmatka kuivalla tiellä 7 m. Laske auton nopeus, kun se on alkanut jarruttaa nopeudesta 00 km/h ja on edennytjo0m. Funktiot Funktio 9. Laske arvo lausekkeelle a+3, x+3y, ax y, kuna=,x=5jay= Kolmion kanta on 5. Esitä kolmion ala A korkeuden x lausekkeena. 5.Mansikanhintaon,00 /ljapakkauslaatikoiden0,30 /kpl.esitäkokonaiskustannusten lauseke, kun ostetaan x litraa mansikoita y laatikossa. 5.Laskefunktionf(x)=3x +x 5arvo,kun x=, x=, x=3. 5

16 53. Laske f(0), f( ), f(), kunf(x)=(x+3)/(x+5). 5.Laskef( ),f()jaf(3),kun f(x)= { x x, kunx, x 3, kunx<. 55.Onko, tai 3funktionf(x)=x +x 3nollakohta? 56. Etsi funktion f(x)=x 8, f(x)=x+0, f(x)=3x nollakohdat. 57.Mikäonfunktionf(x)=x x 3merkkikohdassa x=0, x=, x=? nollakohdat. 58. Esitä funktion f(x)=x+3, f(x)= x+, x f(x)= 3x, f(x)= x laajin mahdollinen määrittelyjoukko. 59. Mikä on funktion f(x)=x, f(x)= x, f(x)= x, f(x)=x, x {,0,,} arvojoukko? Käytä tarvittaessa apuna funktion kuvaajaa. Koordinaatisto ja funktion kuvaaja 60. Piirrä käsin kuvaaja funktiolle f(x)= x+3, f(x)=x x, f(x)= 3 x, f(x)= 3 x,x>. Piirrä samat kuvaajat vertailun vuoksi myös laskimella tai tietokoneella. 6.Esitäkoordinaatistossafunktiof(x)=x+3,x {,0,,}. 6.Funktion kuvaajaonkoordinaatistonpisteiden A = (,)jab = (3,) välinen jana AB. Ilmoita funktion määrittely- ja arvojoukot. 63.Millämuuttujanarvoillaf(x)=x 3onpositiivinen? 6

17 6.Kumpionsuurempi,f(x )vaif(x ),kunx = jax = jaf(x)=5 0,00x? 65. Piirrä kuvaaja funktiolle f(x)= { x, kunx, x, kunx<. Potenssifunktio 66. Piirrä laskimella tai tietokoneella funktioiden f(x)=x, f(x)=x 3, f(x)=x, f(x)=x 5, f(x)=x kuvaajat, ja jäljennä ne sitten vihkoosi. 67. Kirjoita potenssifunktio f, jolla f()=8, f( )=6, f( 3)= 3, f(0,)=0 6, f(0)=. Eksponenttifunktio 68.Piirräfunktionf(x) =,5 x kuvaaja.ratkaisekuvaajanavullagraafisesti yhtälö,5 x =. 69. Mitkä seuraavista eksponenttifunktioista ovat kasvavia ja mitkä väheneviä? Minkä kuvaaja on jyrkimmin nouseva? f(x)=π x, f(x)=0, x, f(x)=( 0) x, f(x)= ( ) 987 x Tiedetään,ettäf(x)=a x.mitävoitpäätelläluvustaa,kunf()<f(3)? 7. Kuinka suureksi kasvaa 000 euron pääoma kuudessa vuodessa, kun vuosittainenkorkoon3,5%? 7. Elinkustannusindeksi oli eräänä vuonna 00. Seuraavina viitenä vuotena oli vuotuinen inflaatio,%. Mikä oli elinkustannusindeksi tämän jälkeen? 73.Autoostettiin8000eurolla.Arvoaleneevuosittain5%.Mikäonauton arvo kymmenen vuoden kuluttua sen hankkimisesta? 7. Auto ostettiin eurolla. Arvo alenee kolmen ensimmäisen vuoden aikana0%vuosittainjaseuraavinavuosina0%.mikäonautonarvokymmenen vuoden kuluttua sen hankkimisesta? 7

18 75. Sääskien määrä on kesäkuun alussa 300 yksilöä. Määrä kasvaa päivässä 5%. Paljonko sääskiä on kesäkuun lopussa? 76.Keksisellainenlukux,ettäx < x <x Soluviljelmän solujen määrä kaksinkertaistui viidessä tunnissa. Aluksi viljelmässä oli 00 solua. Kuinka paljon soluja oli tunnin kuluttua? Milloin soluja oli ? 78. Radioaktiivinen aine hajoaa, jolloin sen määrä vähenee eksponentiaalisesti. Ainetta oli tarkastelujakson alussa 30,0 mg ja viikon kuluttua 0,0 mg. Kuinka paljon ainetta oli kolmen päivän kuluttua tästä? Entä paljonko ainetta oli kaksi päivää ennen tarkastelujakson alkua? Vastauksia ja ohjeita. 9, 5. a+, 0., 85, a., , , 6, , 700, 77. 5, 7, 0, a, a. 6. 0, 0, x. 7. On. On. Riippuu luvusta x. Riippuu luvusta x. 8. Aloita merkitsemällä x = m n,jossamjanovatkokonaislukujajan , 3, 5, 3, , x. 5, , , 5, x 3y, ac bd. 8

19 ., 5,. 5. Sopivia tuloja on äärettömästi. Esimerkiksi 3, x y, 5 y , jax, ( ) 5 ja( x) 5, 8. 9, 6 ja x 6. 9, 9, 6, 6, 6, g) 8, h) 8, i) j) 8, 8, k) 0, l) 0, m) 0, n) , 5, 5, 5. 0.,. 33,,, 3. 8, 9, 8, 8, g) h) i) 9, 6, 8 6, 5, , 6, 9, 0, a, 9a, 8b 3, 8b 3, 8a, 8a, g) 3a 5 x 5, h) 3a 5 x 5 y 5.. ±x, a, y, ±c. a, x 8, a5 x 5, 6 x 6, a 7 8x 7, 8y 6x. ± x 3, x, 5 a, 0a 3b. 9

20 7. a 0, 3. 3, , g) g) b 8, x 0, 8y, x 6, 8a 0, a 60. 0, 8, 68. a 0, b, x,, a 8, 6x 7, 30x 0. a, b, x 7, x 7, a, b. 000, 3,, 8,. 0 5, 6, 5 6, 8, ±a 3, x, ±3x 5, a b. 3. x 8, 35. a, 3 a, a 3n+, b 5x, a x, g) a x3, h) x 8, i) y 6. 8a 8 6b, x n+3, 5, a, 3a 5, 8, g), h) a n , 9 000, ,65, ,583..., 0, Jakolaskun : 3 jakojäännös on jakajaa 3 pienempi. Viimeistään 3. jaon jälkeen jokin jakojäännöksistä toistuu. 3 6, 7 00., 7 37., , ei minkään, (π ) eliπ π+, ei minkään,. 0

21 . 9, 0, 50, 0,7, 3,,, g) x, x, x>7,. 5, 7, 3 x 3. a, ei määritelty,, 8, g) 5, h) , 9, 9 3, x 3, x 3 x, 3, g) , 6x, 7a, 8ax. 7.,, 9a, x, , a, x 7y, 5x. 9. 3, 5, b, m n,. 50., 7, 3y, a 007, a 007, 0x 6, g) , h) 0, x x, a a, 8 3, x 006 x, x x. 5. 5, 7, 5, , 5, 3 3,, 3 6, 3 7, g) 5 0, h) , 3, 3, 5 a, a a,, g) 0, h) 0, i) ,,, x, , + 3, 3,

22 57. 9, 6 3, Laventamalla nimittäjällä saadaan, 3, 6, 6, 3, Yhtälön molemmat puolet ovat positiivisia. Korota kummatkin puolet toiseen potenssiin. Tutki, saatko saman luvun. 60. On. Ei ole. 6., 3, 5,, 5,. 6., 3,,,, 0, g) ei määritelty. 63. x. x a, x, Kaikki reaaliluvut kelpaavat. a, x 3, c 0, y. 65., , 5, 9x. 5, a3,a>0, (3x),x>0, x,x Z,x ,, 3,,, 3, g), h) ,, 3, , 7, 7 8, , 8, , a, 8, a5,, x , 3, y, x, 5 c 8.

23 7. x,, a Suuruusjärjestys selviää, kun muunnat luvut samaindeksisiksi juuriksi. 76. On. Ei ole. Ei ole. On. 77.a= Saamasi ratkaisun tarkkuus riippuu piirtämästäsi kuvasta. x,5, x,7, x 3, Saamasi ratkaisun tarkkuus riippuu piirtämästäsi kuvasta. x, x 0, lasku ostohinta. 8. 3, 3, x=9, x=0, x=6, x= s= 3600 h. km/h= 3,6 m/s. ft=0,308m. 8. x=, x=, x= x=, x=7, x= x=, 87. x= 5. x=, x= 3, x=. 88. x=3+ 6, 89. (+ 5), Kaikki reaaliluvut ovat ratkaisuja. Ratkaisuja ei ole. Ratkaisuja ei ole. Kaikki reaaliluvut ovat ratkaisuja. 90. a, a. 9. a=, a=. 9. a=,b=, a=,b= Kuna,niinx = 3. Kun a =, a ratkaisuja ei ole. Kuna,niinx = 3.Kuna =,kaikki reaaliluvut ovat ratkaisuja. Kuna,niinx = a 3. Kun a =, a ratkaisuja ei ole , ja5tai ja mm ,. 0. Autoilija kiihdytti ajettuaan 8, km eli h8min

24 0. Ovat. Eivät ole päivää ,, 9,6. 08.B= 8 5 A. 09.A= 9 B. 0.y= 7 9 x..y= 0 x ,5% , miljoonaa. 6.88% ,kg. 9.8,7%. 0.,96 kg, 6,7% , % ,9%. 8.%. 9. 8%,,5%. 30.,5%. 3. 0,90 kg. 3.33gja67kg. 33.0%. 3.% ,3%. 36.9,%. 37. Ostovoima laskee,%. Ostovoima on palkkojen suhde hintoihin. 38.Naisia oli nyt noin 55%. 39. x=, x=±, x=. Ei ratkaisua. 0. x=, x=±0, x=± 3,. x=, x=± 3, x=, x=± 3.. 7,8 cm. Pallon tilavuuskaavan löydät esimerkiksi taulukkokirjasta. 3.6%..0%. 5.9Hz m/s. 7.,m A= 5 x. 5.x+0,3y. 5. 5, 6, ,, ,, km/h. Laske ensin jarrutusmatka nopeudella00km/h. 55.ja 3ovatnollakohtia, eiole. x=± 3.

25 56., 5, Negatiivinen, negatiivinen, 58. R, positiivinen. x elijoukkona R\{ }, x 3 elijoukkona R\{ 3 }, x eli välimerkinnällä ],]. 59. R, f(x) 0 eli välimerkinnällä [0, [, f(x) 0elijoukkona R\{0}, { 3,,,3}. 6. Määrittelyjoukko: x 3eliväli[,3].Arvojoukko: y eliväli [,]. 63.x>. 6.Suurempi on f(x ). Kuvaajan piirtäminen auttaa. 67. f(x)=x 3, f(x)=x, f(x)=x 5, f(x)=x 6. Tällaista potenssifunktiota ei ole olemassa. Mieti, miksi! 68.x 3,. 69. Kasvava. Vähenevä. Kasvava. Tämä on jyrkimmin kasvava. Kasvava. 70.0<a<. 7.9, Inflaatio tarkoittaa hintatason nousua Kuvan piirtäminen auttaa Noin8tunnin kuluttua alusta. 78.6,8mg.33,7mg. 5

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko MAA1 Koe 2.9.2015 Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko Jussi Tyni A-osio. Ratkaise tehtävät tähän monisteelle! Ei

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [

c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [ 0. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Hinta nyt 0, 0 Hinta 0 vuotta sitten 0,, 0 0,0 Va staus: 0 senttiä Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 09. a) 0 < 9 c) > 0 0. a) ],0[ ], [

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAS- linjan matematiikan kurssit

MAS- linjan matematiikan kurssit Muutokset Vantaankosken koulun Matemaattis-luonnontieteellisen linjan (MAS) opetussuunnitelmaan lukuvuonna 2012 2013 aloittavista 7. luokista alkaen Kurssisisällöt ja -ajoitus ovat muuttuneet matematiikan

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa Kertaustehtäviä 9 Lausekkeesta

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Funktiot ja yhtälöt MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja 1. Italialainen design-laukku maksaa euroa ja vastaava piraattituote 60 euroa. Kuinka monta prosenttia a) design-laukku on piraattilaukkua kalliimpi b) piraattilaukku

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 17.11.2011 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5 Prosentti 7 Prosenteilla vertaaminen 9 Kuvaaminen koordinaatistossa 11 2 Lausekkeesta yhtälöksi

Lisätiedot

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN Katri Währn 2013 JOHDANTO Myyntityön koulutusohjelman matematiikan valintakoe perustuu koulumatematiikkaan riippumatta siitä, onko hakijan

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 17.11.2011 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Rationaaliset luvut MERKITSEMISTAPOJA YHTÄLÖITÄ

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Rationaaliset luvut MERKITSEMISTAPOJA YHTÄLÖITÄ HARJOITUSTEHTÄVIÄ I luku Rationaaliset luvut MERKITSEMISTAPOJA YHTÄLÖITÄ 1. Jos 1 kg voita maksaa 4 mk, niin paljonko maksaa a) 3 kg b) k kg? 2. Jos 1 kg voita maksaa a kg, niin paljonko maksaa a) 3 kg

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT TEHTÄVÄT 1.a) Oheisessa kuviossa janat ja janoihin liittyvät luvut kuvaavat pisteiden välisiä reittejä

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

OPS OPPIMISTAVOITTEET JA OPETUKSEN KESKEISET SISÄLLÖT MATEMATIIKKA

OPS OPPIMISTAVOITTEET JA OPETUKSEN KESKEISET SISÄLLÖT MATEMATIIKKA OPS OPPIMISTAVOITTEET JA OPETUKSEN MATEMATIIKKA 2013 2014 MATEMATIIKKA Matematiikan opetuksen tehtävänä on tarjota mahdollisuuksia matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden sekä

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET Pisteytys on pyritty tekemään pelkistetyksi, jotta kaikki korjaajat päätyisivät samaan arvosteluun.

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005

MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005 MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset 5 2.1 Lukujoukot................................ 5 2.2 Peruslaskutoimitukset.......................... 6 2.3

Lisätiedot