MAA1 Tehtäviä kurssin eri aiheista

Transkriptio

1 MAA Tehtäviä kurssin eri aiheista Samuli Hanski. syyskuuta 0, versio 0.9 Olen kerännyt tähän koosteeseen runsaasti MAA-kurssin aiheisiin liittyviä tehtäviä. Koosteen lopissa on oikeat vastaukset useimpiin tehtäviin ja muutamien ratkaisemiseen on vihjeitä. Iso osa näistä tehtävistä on peräisin Markku Männikön kokoelmista.hänenmatematiikkasivuiltaan löytyylisäätehtäviäjateoriatiivistelmiä. Matematiikkaa oppii vain tekemällä. Toivotan onnea ja innostusta opiskeluun!. markkuma/matematiikka.htm

2 Luvut ja laskutoimitukset Kokonaisluvut. Laske päässä 7+9+3, 7+(35+83), 37 5, Laske päässä 6 (0+), 6 0, Laske päässä , , Kirjoita vastaluku luvulle 5, 7, 0, a, (. 5.Kumpionlukusuorallakauempanaorigosta,a+vaia,kun a>0, a<? 6. Olkoot x ja y toistensa vastalukuja. Sievennä x+y, x y. Rationaaliluvut x + y, 7. Olkoon x rationaaliluku. Ovatko seuraavat luvut rationaalilukuja? x+3, x:3, 3:x, x. 8.Olkoonxrationaalilukujaolkoonx.Osoita,ettäseuraavatluvutovat rationaalilukuja. x+ x+, x+y, x+y. 9. Ilmoita käänteisluku luvulle 5, 3,,7. 3, 0. Olkoot x ja y toistensa käänteislukuja. Sievennä x y, x ( y), x. Laske ilman laskinta , 5, x y, y.

3 . Laske ilman laskinta 3 + 5, Laske ilman laskinta , a 8 9, 3 x y,. Laske ilman laskinta , 5. Esitä tulona 3, x y, 5, 6. Laske ilman laskinta 3 : 5 6, 3 5 :6 7. Potenssi 5 y.. b c d. 7.Kirjoitaluvuillejax neljäs potenssi, vastaluvun viides potenssi, kuudennen potenssin vastaluku. 8. Laske ilman laskinta 3, 3, ( 3), 3, 3, ( ) 3, g) 3, h) 3, i) ( 3), j) ( 3 ), k) 5, l) 5, m) ( ) 5, n) ( ) Laske ilman laskinta 7, 8+7, (8+7), Laske ilman laskinta 0, 3+ 0, (3+) 0, , ( ) 0 +( ).. Laske ilman laskinta 3, 3, 3, ( ) 3, ( ), 3 ( 3, ) (, g) 3) ( h) ( 3. i) ) ), 3

4 . Laske ilman laskinta 3, ( ) 3, 3, 0, ( ) ( ) ( ). 3. Laske ilman laskinta (3, ( 3, ( 3, ( 3, (3, ( 3, g) (ax) 5, h) ( axy) 5.. Mikä sopii sulkeisiin seuraavissa laskuissa? ( ) =x, ( ) 3 =7a 3, ( ) 3 = 6y 3, ( ) =6c. 5. Laske ilman laskinta ( a ), ( x, ( 3) x) a ( 5, 6, x) ( a ) ( ) 7, x. x 3y 6. Mikä sopii sulkeisiin seuraavissa laskuissa? ( ) = x 9, ( )3 = 6 ( ) 3 = 5 ( ) = 0000a x 3, 7. Laske ilman laskinta (a ) 5, (b 3 ) 6, (x 5 ), ( y 3 ) 7, (x 3 ), ( 3a 5 ), [ (a 3 ) ] 5 g). 8. Esitä 5, 8 6, 6 7 luvun potenssina. 9. Laske ilman laskinta a 3 a7, b 5 b6, x 3 x, y 5 y 5, a 5 a6 a7, x 3 3x, g) 6x ( 5x6 ). 30. Laske ilman laskinta a 7 b 6 a 3, x 5 b, x 8 x9 x, x 0, a 5 b 6 a 9, b Laske ilman laskinta 5 3 3, 5 ( 5, ) ,5 00, 8 0 0,500, ( ) 876 ( ) a 3, 8b.

5 3. Laske ilman laskinta , , , 50 6, , Mikä sopii sulkeisiin seuraavissa laskuissa? ( ) =a 6, ( ) 3 =x, ( ) =8y 0, ( ) 5 =3a 0 b Sievennä ilman laskinta x 6 (x3 ), a 36 :a, 36 a : a, an an a, (b x ) 3 (b ) x, (a x ) x, g) [(a x ) x ] x, h) x (x ), i) y 3 ( y) Sievennä ilman laskinta ( ) 3a (x n+ ) 3 b 3, x n, x+ a x+ 3a (a x ), , a x+ a x, , g) a n an , h) a n +a n. 36. Tutki laskinta käyttämättä, kumpi on suurempi, 35 vai6 73, vai7 369, vai80 500, 7 00 vai Luvun desimaaliesitys 37. Muuta desimaaliluvuksi 7 ja 5 8, Miksi 3 ondesimaalilukunajaksollinen? 38. Muuta murtoluvuksi 0,875,, Muuta murtoluvuksi 0, ,, Muuta murtoluvuksi 0,083333,,5... Juuret Tehtäviä neliöjuurista 3. 5

6 . Minkä luvun neliöjuuri on 7, 8, π, π,?. Laske ilman laskinta 8, 00, 500, 0,9, 0,, , g) Millä muuttujan x arvoilla seuraavien lausekkeiden arvot voidaan laskea? x, 5 x,, 3 x+ x 3. x 7. Laske ilman laskinta ( 5), ( 7), (,a 0, ( ), ( 3), ( 3 ), g) 5 5, h) Sievennä ilman laskinta ( 3) 3, ( 3), ( 3) 5, ( x) 6, x 0, ( x) 7, x 0, ( 3) 3, g) ( 3) Sievennä ilman laskinta 6 8, 36x, x 0, 9a, a 0, 6a x, a 0,x 0, 7. Sievennä ilman laskinta 8, 8 8, 3a 7a, a 0, 7x 8x, x 0, Sievennä ilman laskinta a 6,, a 0, x 9y, x 0,y>0, 5x, x>0. 9. Sievennä ilman laskinta 7, 3 0, ab a, a>0,b 0, 3m 3 n mn 3, m>0,n>0,

7 50. Sievennä ilman laskinta, 3 6, 9y 8, a 0, a 0, a 0, a<0, 0x3 5x 9, x 0, g) , h) 3, Sievennä ilman laskinta x 3, x 0, a 5, a 0, 3 9, x 03, x 0, 8x 3, x Sievennä ilman laskinta 9+6, 9+ 6, 69, Sievennä osittain juurtamalla ja ilman laskinta. 9, 0, 7, 3, 5, 63, g) 50, h) Sievennä ilman laskinta 8,, 8, 5a, a 0, 3a 3, a 0, 6, g) 60, h) 600, i) Sievennä ilman laskinta, 3 8 3,, 00x 3, x>0, 6 5x Sievennä ilman laskinta 3+ 3, , , ( ). 57. Sievennä ilman laskinta , ,

8 58. Poista neliöjuuri seuraavien lausekkeiden nimittäjistä., 3 3, 3, 3 6, 3 6, Osoita,että 98+ = Tutki, onko 6 3=, 3= 3. Tehtäviä yleisemmistä juurista 6. Laske ilman laskinta 3 8, 3 7, 5 35, Laske ilman laskinta 6, 8, 8, 6 0, 3 5, 5 3, 6 6, 0 0, g). 63. Millä muuttujan x arvoilla seuraavien lausekkeiden arvot voidaan laskea? x, 6 3 x, 3 3x. 6. Sievennä ilman laskinta 3 a 3, x, x 0, 3 a 6, x, x 0, 5 c 00, 6 y 6, y< Sievennä ilman laskinta ( 3 ) 3, ( ), ( 5 ) 5, ( 5 ) 8, 5 ( ) x Murtopotenssi 66. Esitä murtopotenssina 5, 3 a, 3x, x. Mitäehtojapitäävakioilleajaxasettaakohdissa,ja? 67. Laske ilman laskinta, 8 3, 8 /, 3 5, ( 6, 6) ( ) 6, g) ( 8) /3, h) ( 6). 8 8

9 68. Laske ilman laskinta 5, 8 3, 69. Laske ilman laskinta 8 3, 8 3/, 70. Laske ilman laskinta 3, 7 /3, 7. Sievennä ilman laskinta ( 8), ( ), ( 6 5) /3. 3 3, a a, a>0, :3, ( ) ( 0 7) /3. ( /3 ) 3/. 7. Sievennä ilman laskinta a 3 a, a>0, 3 : 8, x 3 x 6 x, x> Sievennä ilman laskinta ( 9 9,5, 6 ) 3, 3 y 6 y 3, y 0, x 5, x>0, c 3 c. x 7. Sievennä ilman laskinta 6, 5 x x, x 0, a 57 7 a, a>0. 75.Mikäluvuista, 3 3ja onsuurin?äläkäytälaskinta. Yhtälöt Yhtälö ja ensimmäisen asteen yhtälö 76. Onko x=, x=3, x=, x= yhtälönx +=5xratkaisu? 77.Mikäpitäisiollaa:narvo,jotta olisiyhtälön3x+a=7ratkaisu? 78. Ratkaise graafisesti yhtälö x 5=0, 3x 5=0, 79. Ratkaise graafisesti yhtälö x 3 =0. 3x = x+3, x 3=5x 6+ 9

10 80.Mitäonvero,kunostohinta+vero=lasku? 8. Ratkaise yhtälö 5 ( x)=0, [6 (5 x)]=, x(x+) x =7. 8. Ratkaise yhtälö x=8, 5x 00=0, 7x=0, 5[+3(x )]= Ratkaise seuraavista yhtälöistä pyydetty muuttuja. Pohdi, mikä on yhtälöiden merkitys. Ratkaises,kun3600s=h. Ratkaisekm/h,kun3,6km/h=,0m/s. Ratkaiseft,kun3ft=0,9m. 8. Ratkaise yhtälö x 3 =, x =, Ratkaise yhtälö x 3 x =, x x 3x+ =x Ratkaise yhtälö x+ x =x 3, 87. Ratkaise yhtälö x =3, x 7 x = 3x+, Ratkaise yhtälö x 3=x + 3, x 5 =x+, + x+ 3 x+8 3 3x 5 =6, =7. = x 6 x +3. = x 3x+5. x (x )=x Ratkaise yhtälöt x(x+)=x +x, (x ) 3x=x(3x 5) (x+), x +x 3 = 5x, 6 x = x 3 + x Millä vakion a arvolla yhtälöllä ax x=3, a(x )+(x 3)= on täsmälleen yksi ratkaisu? 0

11 9. Millä vakion a arvolla yhtälöllä ax+x=3, ax+x=a ei ole ratkaisua? 9. Millä vakioiden a ja b arvoilla yhtälöllä (a )x=b, ax+3=x+b on äärettömän monta ratkaisua? 93. Ratkaise seuraavista yhtälöistä tuntematon x. Muista, että nollalla ei voi jakaa. (a )x=3, (a )x=3(a ), ax+3=x+a. Ensimmäisen asteen yhtälöön johtavia sanallisia tehtäviä 9. Luvun kolmasosan ja neljäsosan summa on 65 pienempi kuin itse luku. Mikä luku on? 95. Kun luku kerrotaan viidellä, saadaan sama tulos kuin lisättäessä lukuun viisi. Mikä on luku? 96.Mikälukuonvähennettävämurtoluvun 7 9 osoittajastajanimittäjästä,jotta luvun arvoksi tulisi 5? 97. Kahden peräkkäisen kokonaisluvun neliöiden erotus on 9. Määritä luvut. 98.Ympyrärenkaanleveyson5mmjapinta-ala70mm.Määritäsisemmän ympyrän säde. 99. Bussista poistui neljäsosa matkustajista ja seuraavalla pysäkillä kolmasosa jäljelle jääneistä, minkä jälkeen bussissa oli matkustajaa. Montako matkustajaa oli alunperin, kun pysäkeiltä ei tullut uusia? 00. Henriltä kului eräässä kuussa neljäsosa kuukausipalkastaan vuokraan, kuudesosaautolainanlyhentämiseenja 7 ruokaansekämuihinvälttämättömyyksiin.loppukuusta hän joutui vielä korjauttamaan autoaan 000 eurolla. Kaikkiin näihin menoihin ei Henrin palkka riittänyt, vaan hän joutui käyttämään 50 euroa säästöjään. Laske Henrin kuukausipalkka. 0. Desimaaliluvun pilkkua siirrettiin kolme paikkaa oikealle. Näin syntyvä luku oli 97,8 suurempi kuin alkuperäinen. Selvitä alkuperäinen luku. 0. Autoilija halusi kulkea 0 kilometrin matkan,5 tunnissa. Alkumatkan hän kulki nopeudella 75 km/h, ja loppumatkan nopeudella 95 km/h. Missä ja milloin nopeuden muutos tapahtui?

12 Suoraan ja kääntäen verrannollisuus 03. Ovatko suureet A ja B suoraan verrannollisia, kun A =3jaB =7sekäA =jab =8, A =3,jaB =7,sekäA =3jaB =9 ovat toisiaan vastaavia suureiden arvoja? 0. Ovatko suureet A ja B kääntäen verrannollisia, kun A =3jaB =7sekäA =jab =, A =30jaB =sekäa =0jaB = ovat toisiaan vastaavia suureiden arvoja? 05.,7 kg harvinaista metallia maksaa 8 euroa. Kuinka paljon maksaa, kg samaa metallia? 06. Kuusi henkeä kaivaa ojan kolmessa päivässä. Kuinka kauan kuluisi saman ojan kaivamiseen viideltä hengeltä? Oletetaan kaikkien työteho samaksi. 07.KunAon,8,niinBon7,.LaskeB,kunAon3,6jaAjaBovat suoraan verrannollisia, kääntäen verrannollisia. 08.SuureetAjaBovatsuoraanverrannollisia.EsitäBsuureenAavulla,kun A=5jaB=8vastaavattoisiaan. 09.AjaBovatkääntäenverrannollisia.EsitäAsuureenBavulla,kunA=36 ja B = 0,5 vastaavat toisiaan. 0.Suureyonsuoraanverrannollinenx:ntoiseenpotenssiin.Esitäx:navullay, kunx=3,y=7onvastinpari..suureyonkääntäenverrannollinenx:nneliöjuureen.esitäx:navullay,kun (x,y)=(,5)vastinpari. Prosenttilaskenta.Paljonkoon5%luvusta60? 3. Kuinka monta prosenttia on luku 300 luvusta 800?.Mistäluvusta60%on65? 5. Vuoden 0 presidentinvaaleissa oli, miljoonaa äänioikeutettua, joista 7,8% äänesti. Moniko jätti äänestämättä? 6.Sormuksen massaon7g,jasiinäon65gkultaa.mikäonsormuksen kultapitoisuus prosentteina?

13 7. Korkoprosentti on,5%. Kuinka suuri summa on tilillä oltava, jotta korkotuottoolisi0000? 8. Hillon sokeripitoisuuden tulee olla 3%. Paljonko voidaan hillota mansikoita, kunsokeriaonvarattu,6kg? 9. Auton mittari näytti 00 km/h, kun todellinen nopeus oli 9 km/h. Kuinka suuri oli mittarin virheprosentti? 0.Malmilohkareessa,jonkamassaoli,80kg,oli0,00kgkupariaja30,0% rautaa. Kuinka monta kilogrammaa, prosenttia oli muita aineita?. 000-euron kuukausipalkkaan tehdään 8,5-prosentin korotus. Laske korotettu palkka..mikälukuon 0%suurempikuin00, 5% pienempi kuin 0? 3. Millä hinnalla tavara myytiin, kun 5 euron hintaa alennettiin 0%?.Mitälukuaonluku605%suurempi? 5. Kuinka monta prosenttia luku 3 on suurempi kuin? 6. Tavara myytiin 5 prosentin alennuksella hintaan 36 euroa. Mikä oli hinta ennen alennusta? 7.Mansikoidenhintaoli3,80 /kgmuttakg:nlaatikonsaieurolla.montako prosenttia oli alennus? 8.Autoostettiinvuoden00alussahinnalla0000.Kummankinkahden ensimmäisen vuoden aikana auton arvo laski 5%. Vuoden 0 lopussa arvo oli 700.Montakoprosenttiaarvoolilaskenutvuoden0aikana? 9. Laske saatavan liuoksen sokeripitoisuus, kun sekoitetaan,00 kg 5-prosenttista ja 3,00 kg 0-prosenttista sokeriliuosta,,00 kg 5-prosenttista, 3,00 kg 0-prosenttista ja 5,00 kg 5-prosenttista sokeriliuosta. 30. Kuinka moniprosenttiseksi liuos laimenee, kun 3,0 kg:aan 6-prosenttista suolaliuosta lisätään,0 kg vettä? 3

14 3. Kuinka paljon vettä on haihdutettava 5, kg:sta 0-prosenttista suolaliuosta, jotta saataisiin -prosenttinen liuos? 3. Kuinka paljon on 75-prosenttista ja 90-prosenttista kultaa yhdistettävä, jotta saataisiin 00 g 80-prosenttista kultaa? 33.TuoteAon5%kalliimpikuintuoteB.MontakoprosenttiatuoteBon halvempi kuin tuote A? 3. Montako prosenttia neliön ala kasvaa, kun sivut pitenevät 0%? 35. Tuotteen hintaa korotettiin 5%. Alennusmyyntiin hintaa alennettiin ensin 0% ja sitten 5%. Montako prosenttia alkuperäisestä oli lopullinen hinta? 36. Suorakulmion kantaa suurennettiin 0%. Montako prosenttia on korkeutta pienennettävä, jotta ala olisi sama? 37. Hinnat nousevat 3,5 prosenttia ja samalla palkkoja korotetaan, prosentilla. Kuinka paljon palkansaajan ostovoima muuttuu? 38.Eräässäjoukossaoli60%naisiaja0%miehiä.Naistenmääräväheni0% ja miesten määrä kasvoi 0%. Kuinka monta prosenttia naisia oli nyt? Potenssiyhtälöt 39. Ratkaise yhtälöt x 3 =8, x =6, x 5 = 3, x 8 = Ratkaise yhtälöt x 3 +56=0, x 6 =, 9x =0, x 6 8 =0.. Ratkaise yhtälöt x 3 =8, x =8, x 5 =6, 3x + =.. Laske pallon säde, kun sen tilavuus on,0 litraa. 3. Hallituksen tavoitteena on puolittaa työttömyys hallituskauden aikana eli neljässä vuodessa. Kuinka monta prosenttia työttömyys vuosittain vähenee, jos sen oletetaan vähenevän joka vuosi yhtä monta prosenttia?

15 . Ilkka haluaa kehittää juoksukestävyyttään. Hänen tavoitteensa on jaksaa juosta kahden vuoden kuluttua kymmenen kertaa niin pitkä matka kuin nyt. Kuinka monta prosenttia kestävyys paranee kuukaudessa, kun se paranee joka kuukausi yhtä monta prosenttia? 5. Musiikissa puhutaan oktaaveista. Kahden sävelen sanotaan olevan oktaavin päässä toisistaan, jos korkeamman sävelen taajuus on kaksinkertainen matalamman sävelen taajuuteen verrattuna. Pianon koskettimistolla oktaavin etäisyydellä olevat sävelet ovat koskettimen päässä toisistaan. Piano on viritetty tasavireisesti, eli sävelen taajuus kasvaa aina yhtä monta prosenttia, kun siirrytään koskettimesta seuraavaan. Erään a-sävelen taajuus on 0 hertsiä. Laske viisi kosketinta ylempänä olevan f-sävelen taajuus. 6. Kappaleen liike-energia on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuden neliöön. Kun luoti eteni nopeudella 600 m/s, sillä oli liike-energiaa, kj. Kuinka nopeasti sama luoti etenee, kun sillä on liike-energiaa,5 kj? 7. Äänen voimakkuutta kuvaava suure äänen intensiteettitaso on kääntäen verrannollinen äänilähteen etäisyyden neliöön. Äänen intensiteettitaso on 70 db, kun ollaan 3,0 metrin päässä kaiuttimesta. Kuinka kaukanan kaiuttimesta ollaan, jos äänen intensiteettitaso on 35 db? 8. Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen sen nopeuden neliöön. Kun auto alkaa jarruttaa nopeudesta 80 km/h, on jarrutusmatka kuivalla tiellä 7 m. Laske auton nopeus, kun se on alkanut jarruttaa nopeudesta 00 km/h ja on edennytjo0m. Funktiot Funktio 9. Laske arvo lausekkeelle a+3, x+3y, ax y, kuna=,x=5jay= Kolmion kanta on 5. Esitä kolmion ala A korkeuden x lausekkeena. 5.Mansikanhintaon,00 /ljapakkauslaatikoiden0,30 /kpl.esitäkokonaiskustannusten lauseke, kun ostetaan x litraa mansikoita y laatikossa. 5.Laskefunktionf(x)=3x +x 5arvo,kun x=, x=, x=3. 5

16 53. Laske f(0), f( ), f(), kunf(x)=(x+3)/(x+5). 5.Laskef( ),f()jaf(3),kun f(x)= { x x, kunx, x 3, kunx<. 55.Onko, tai 3funktionf(x)=x +x 3nollakohta? 56. Etsi funktion f(x)=x 8, f(x)=x+0, f(x)=3x nollakohdat. 57.Mikäonfunktionf(x)=x x 3merkkikohdassa x=0, x=, x=? nollakohdat. 58. Esitä funktion f(x)=x+3, f(x)= x+, x f(x)= 3x, f(x)= x laajin mahdollinen määrittelyjoukko. 59. Mikä on funktion f(x)=x, f(x)= x, f(x)= x, f(x)=x, x {,0,,} arvojoukko? Käytä tarvittaessa apuna funktion kuvaajaa. Koordinaatisto ja funktion kuvaaja 60. Piirrä käsin kuvaaja funktiolle f(x)= x+3, f(x)=x x, f(x)= 3 x, f(x)= 3 x,x>. Piirrä samat kuvaajat vertailun vuoksi myös laskimella tai tietokoneella. 6.Esitäkoordinaatistossafunktiof(x)=x+3,x {,0,,}. 6.Funktion kuvaajaonkoordinaatistonpisteiden A = (,)jab = (3,) välinen jana AB. Ilmoita funktion määrittely- ja arvojoukot. 63.Millämuuttujanarvoillaf(x)=x 3onpositiivinen? 6

17 6.Kumpionsuurempi,f(x )vaif(x ),kunx = jax = jaf(x)=5 0,00x? 65. Piirrä kuvaaja funktiolle f(x)= { x, kunx, x, kunx<. Potenssifunktio 66. Piirrä laskimella tai tietokoneella funktioiden f(x)=x, f(x)=x 3, f(x)=x, f(x)=x 5, f(x)=x kuvaajat, ja jäljennä ne sitten vihkoosi. 67. Kirjoita potenssifunktio f, jolla f()=8, f( )=6, f( 3)= 3, f(0,)=0 6, f(0)=. Eksponenttifunktio 68.Piirräfunktionf(x) =,5 x kuvaaja.ratkaisekuvaajanavullagraafisesti yhtälö,5 x =. 69. Mitkä seuraavista eksponenttifunktioista ovat kasvavia ja mitkä väheneviä? Minkä kuvaaja on jyrkimmin nouseva? f(x)=π x, f(x)=0, x, f(x)=( 0) x, f(x)= ( ) 987 x Tiedetään,ettäf(x)=a x.mitävoitpäätelläluvustaa,kunf()<f(3)? 7. Kuinka suureksi kasvaa 000 euron pääoma kuudessa vuodessa, kun vuosittainenkorkoon3,5%? 7. Elinkustannusindeksi oli eräänä vuonna 00. Seuraavina viitenä vuotena oli vuotuinen inflaatio,%. Mikä oli elinkustannusindeksi tämän jälkeen? 73.Autoostettiin8000eurolla.Arvoaleneevuosittain5%.Mikäonauton arvo kymmenen vuoden kuluttua sen hankkimisesta? 7. Auto ostettiin eurolla. Arvo alenee kolmen ensimmäisen vuoden aikana0%vuosittainjaseuraavinavuosina0%.mikäonautonarvokymmenen vuoden kuluttua sen hankkimisesta? 7

18 75. Sääskien määrä on kesäkuun alussa 300 yksilöä. Määrä kasvaa päivässä 5%. Paljonko sääskiä on kesäkuun lopussa? 76.Keksisellainenlukux,ettäx < x <x Soluviljelmän solujen määrä kaksinkertaistui viidessä tunnissa. Aluksi viljelmässä oli 00 solua. Kuinka paljon soluja oli tunnin kuluttua? Milloin soluja oli ? 78. Radioaktiivinen aine hajoaa, jolloin sen määrä vähenee eksponentiaalisesti. Ainetta oli tarkastelujakson alussa 30,0 mg ja viikon kuluttua 0,0 mg. Kuinka paljon ainetta oli kolmen päivän kuluttua tästä? Entä paljonko ainetta oli kaksi päivää ennen tarkastelujakson alkua? Vastauksia ja ohjeita. 9, 5. a+, 0., 85, a., , , 6, , 700, 77. 5, 7, 0, a, a. 6. 0, 0, x. 7. On. On. Riippuu luvusta x. Riippuu luvusta x. 8. Aloita merkitsemällä x = m n,jossamjanovatkokonaislukujajan , 3, 5, 3, , x. 5, , , 5, x 3y, ac bd. 8

19 ., 5,. 5. Sopivia tuloja on äärettömästi. Esimerkiksi 3, x y, 5 y , jax, ( ) 5 ja( x) 5, 8. 9, 6 ja x 6. 9, 9, 6, 6, 6, g) 8, h) 8, i) j) 8, 8, k) 0, l) 0, m) 0, n) , 5, 5, 5. 0.,. 33,,, 3. 8, 9, 8, 8, g) h) i) 9, 6, 8 6, 5, , 6, 9, 0, a, 9a, 8b 3, 8b 3, 8a, 8a, g) 3a 5 x 5, h) 3a 5 x 5 y 5.. ±x, a, y, ±c. a, x 8, a5 x 5, 6 x 6, a 7 8x 7, 8y 6x. ± x 3, x, 5 a, 0a 3b. 9

20 7. a 0, 3. 3, , g) g) b 8, x 0, 8y, x 6, 8a 0, a 60. 0, 8, 68. a 0, b, x,, a 8, 6x 7, 30x 0. a, b, x 7, x 7, a, b. 000, 3,, 8,. 0 5, 6, 5 6, 8, ±a 3, x, ±3x 5, a b. 3. x 8, 35. a, 3 a, a 3n+, b 5x, a x, g) a x3, h) x 8, i) y 6. 8a 8 6b, x n+3, 5, a, 3a 5, 8, g), h) a n , 9 000, ,65, ,583..., 0, Jakolaskun : 3 jakojäännös on jakajaa 3 pienempi. Viimeistään 3. jaon jälkeen jokin jakojäännöksistä toistuu. 3 6, 7 00., 7 37., , ei minkään, (π ) eliπ π+, ei minkään,. 0

21 . 9, 0, 50, 0,7, 3,,, g) x, x, x>7,. 5, 7, 3 x 3. a, ei määritelty,, 8, g) 5, h) , 9, 9 3, x 3, x 3 x, 3, g) , 6x, 7a, 8ax. 7.,, 9a, x, , a, x 7y, 5x. 9. 3, 5, b, m n,. 50., 7, 3y, a 007, a 007, 0x 6, g) , h) 0, x x, a a, 8 3, x 006 x, x x. 5. 5, 7, 5, , 5, 3 3,, 3 6, 3 7, g) 5 0, h) , 3, 3, 5 a, a a,, g) 0, h) 0, i) ,,, x, , + 3, 3,

22 57. 9, 6 3, Laventamalla nimittäjällä saadaan, 3, 6, 6, 3, Yhtälön molemmat puolet ovat positiivisia. Korota kummatkin puolet toiseen potenssiin. Tutki, saatko saman luvun. 60. On. Ei ole. 6., 3, 5,, 5,. 6., 3,,,, 0, g) ei määritelty. 63. x. x a, x, Kaikki reaaliluvut kelpaavat. a, x 3, c 0, y. 65., , 5, 9x. 5, a3,a>0, (3x),x>0, x,x Z,x ,, 3,,, 3, g), h) ,, 3, , 7, 7 8, , 8, , a, 8, a5,, x , 3, y, x, 5 c 8.

23 7. x,, a Suuruusjärjestys selviää, kun muunnat luvut samaindeksisiksi juuriksi. 76. On. Ei ole. Ei ole. On. 77.a= Saamasi ratkaisun tarkkuus riippuu piirtämästäsi kuvasta. x,5, x,7, x 3, Saamasi ratkaisun tarkkuus riippuu piirtämästäsi kuvasta. x, x 0, lasku ostohinta. 8. 3, 3, x=9, x=0, x=6, x= s= 3600 h. km/h= 3,6 m/s. ft=0,308m. 8. x=, x=, x= x=, x=7, x= x=, 87. x= 5. x=, x= 3, x=. 88. x=3+ 6, 89. (+ 5), Kaikki reaaliluvut ovat ratkaisuja. Ratkaisuja ei ole. Ratkaisuja ei ole. Kaikki reaaliluvut ovat ratkaisuja. 90. a, a. 9. a=, a=. 9. a=,b=, a=,b= Kuna,niinx = 3. Kun a =, a ratkaisuja ei ole. Kuna,niinx = 3.Kuna =,kaikki reaaliluvut ovat ratkaisuja. Kuna,niinx = a 3. Kun a =, a ratkaisuja ei ole , ja5tai ja mm ,. 0. Autoilija kiihdytti ajettuaan 8, km eli h8min

24 0. Ovat. Eivät ole päivää ,, 9,6. 08.B= 8 5 A. 09.A= 9 B. 0.y= 7 9 x..y= 0 x ,5% , miljoonaa. 6.88% ,kg. 9.8,7%. 0.,96 kg, 6,7% , % ,9%. 8.%. 9. 8%,,5%. 30.,5%. 3. 0,90 kg. 3.33gja67kg. 33.0%. 3.% ,3%. 36.9,%. 37. Ostovoima laskee,%. Ostovoima on palkkojen suhde hintoihin. 38.Naisia oli nyt noin 55%. 39. x=, x=±, x=. Ei ratkaisua. 0. x=, x=±0, x=± 3,. x=, x=± 3, x=, x=± 3.. 7,8 cm. Pallon tilavuuskaavan löydät esimerkiksi taulukkokirjasta. 3.6%..0%. 5.9Hz m/s. 7.,m A= 5 x. 5.x+0,3y. 5. 5, 6, ,, ,, km/h. Laske ensin jarrutusmatka nopeudella00km/h. 55.ja 3ovatnollakohtia, eiole. x=± 3.

25 56., 5, Negatiivinen, negatiivinen, 58. R, positiivinen. x elijoukkona R\{ }, x 3 elijoukkona R\{ 3 }, x eli välimerkinnällä ],]. 59. R, f(x) 0 eli välimerkinnällä [0, [, f(x) 0elijoukkona R\{0}, { 3,,,3}. 6. Määrittelyjoukko: x 3eliväli[,3].Arvojoukko: y eliväli [,]. 63.x>. 6.Suurempi on f(x ). Kuvaajan piirtäminen auttaa. 67. f(x)=x 3, f(x)=x, f(x)=x 5, f(x)=x 6. Tällaista potenssifunktiota ei ole olemassa. Mieti, miksi! 68.x 3,. 69. Kasvava. Vähenevä. Kasvava. Tämä on jyrkimmin kasvava. Kasvava. 70.0<a<. 7.9, Inflaatio tarkoittaa hintatason nousua Kuvan piirtäminen auttaa Noin8tunnin kuluttua alusta. 78.6,8mg.33,7mg. 5