Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu

Transkriptio

1 Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA6m Luento / 33

2 Kirjallisuutta: TB luku 2

3 Mekanismin suunnittelu

4 Optimaalisen myyntimekanismin suunittelu Haluat siis myydä asuntosi? Miten kannattaa tehdä? Lukemattomia erilaisia vaihtoehtoja tarjolla: kiinteä hinta ja nopein ostaa, neuvottelut, erilaiset yksinkertaiset tai monimutkaiset huutokaupat jne. Käytännössä asunnot yleensä myydään tietyllä mekanismilla, myyjä asettaa hinnan ja ostajat tekevät myyjälle tarjouksen, joista korkein voittaa... Nämä ovat mekanismin suunnittelun tutkimusongelmia. Peliteorian osa, joka auttaa käytännön soveltajia optimaalisten mekanismien sunnittelussa ottaen huomioon kulloisenkin tilanteen (normatiivinen puoli), auttaa ymmärtämään, miksi tilanteessa A käytään mekanismia a ja tilanteessa B yleensä mekansimia b (positiivinen puoli). TA6m Luento / 33

5 Suunnitellaan ekstensiivinen Bayesilainen peli Jokainen myyntimekanismi generoi tietyn pelin myyjän ja ostajien välille. Pelin säännöt määräävät, kuka saa hyödykkeen ja paljonko siitä maksetaan. Tähän asti luennoilla peli on ollut eksogeeninen, nyt se on endogeeninen. Tilanteita, jossa valitut säännöt määrittelevät pelin osanottajien kesken, on lukemattomia vaalit, julkisten tai yksityisten hankkeiden kilpailutus, patenttilait, organisaatioiden promootiokäytännöt, kansainväliset neuvotteluprotokollat jne. TA6m Luento / 33

6 Yksityinen informaatio Suunnittelijan kannalta suurin ongelma on se, että pelaajilla on yksityistä informaatiota, esim. asunnon ostajat yksin tietävät, kuinka paljon ovat valmiita maksamaan asunnosta; tämän myyjäkin haluaisi tietää. Ongelmana on suunnitella mekanismi, jossa pelaajien kannattaa tuoda esille heillä oleva päätöksenteon kannalta relevantti informaatio; tämä on välttämätöntä mekanismin asianmukaisen toiminnan kannalta. Mekanismin suunnittelu on kunnianhimoinen ohjelma, sikäli että joukko, josta sopivaa myyntimekanismia etsitään on hyvin suuri: kaikki mahdolliset ekstensiiviset Bayesilaiset pelit myyjän ja ostajien välillä. TA6m Luento / 33

7 Yksi myyjä ja yksi ostaja: ongelma

8 Yksi myyjä ja yksi ostaja Ostajan hyöty, jos saa hyödykkeen ja antaa myyjälle t u θ t Myyjän voitto, jos antaa hyödykkeen ja saa ostajalta t π t Tässä θ kuvaa ostajan tyyppiä, maksuvalmiutta. Ostajan hyötyfunktio kvasi-lineaarinen Maksuhalukkuus yksityistä informaatiota θ noudattaa jakaumaa F, tiheysfunktio f Välillä θ,θ tθ ą 0u olevat θ:t mahdollisia TA6m Luento / 33

9 Periaatteessa... Myyjä voisi nyt kehitellä ostajalle minkä tahansa pelin, jonka loppuhistorioihin liittyy aina tulema pq,tq P t0,1u ˆ R; tässä q kertoo, antaako myyjä lopulta hyödykkeen ostajalle (q 1, jos kyllä, ja q 0, jos ei), ja t kertoo, paljonko ostaja maksaa (riippumatta q:sta). Ostaja näkee pelin ja voi päättää sitten haluaako osallistua vai ei. Mahdollisia pelejä on paljon, "liian paljon". Erittäin tärkeä lause "paljastusperiaate"kuitenkin osoittaa, että myyjän valintajoukoksi voidaan valita niin sanotut suorat mekanismit. Tämä on selvästi pienempi joukko pelejä. TA6m Luento / 33

10 Suorat mekanismit Suora mekanismi pq, tq on funktiopari q : θ,θ Ñ t0,1u, t : θ,θ Ñ R. "Suoruus"viittaa tässä siihen, että mekanismin ajatellaan käyttävän lähtötietonaan suoraan ostajan tyyppiä θ eikä siis jotain muuta ostajan lähettämää epäsuoraa informaatiota m (binäärijonoja, luonnollisen kielen sanoja, elekieltä, tms.). Tulkinta on siis, että ostaja kirjaa mekanismiin jonkin tyypin θ 1 P θ,θ, joko omansa θ tai minkä vain muun θ 1. Ostaja voi siis myös juksata. Jos ostaja ilmoittaa tyypikseen θ 1, myyjä on tämän jälkeen sitoutunut toteuttamaan vastaavan lopputuleman qpθ 1 q ja tpθ 1 q. TA6m Luento / 33

11 Paljastusperiaate 1 Ostajan strategia on σ : θ,θ Ñ θ,θ (mekanismiin lähetetty tyyppi todellisen tyypin funktiona) Paljastusperiaate Jokaista mekanismia Γ ja ostajan optimaalista valintaa σ Γ:ssa vastaa suora mekanismi Γ 1 ja ostajan optimaalinen valinta σ 1 Γ 1 :ssa niin, että kaikilla θ P θ,θ 1. σ 1 pθq θ (ostajalle on kannattavaa raportoida Γ 1 :ssä "rehellisesti") 2. q 1 pθq qpσpθqq ja t 1 pθq tpσpθqq. (optimaalinen "suora"raportointi Γ 1 :ssä johtaa samaan lopputulokseen kuin optimaalinen "epäsuora"raportointi Γ:ssa) Koska jokaista epäsuoraa mekanismia voidaan jäljitellä suoralla mekanismilla (funktiot σ ja pq,tq yhdistämällä pq 1,t 1 q pq,tq σ), ei menetetä mitään, jos keskitytään suoriin mekanismeihin. TA6m Luento / 33

12 Paljastusperiaate 2 Todistus. Väitetään siis, että kun määritellään Γ 1 pq 1,t 1 q seuraavasti q 1 pθq qpσpθqq ja t 1 pθq tpσpθqq kaikilla θ P θ,θ, ostajan kannattaa raportoida siihen todellinen tyyppinsä θ. Tämä osoittaa, että σ 1 pθq θ on ostajan optimaalinen valinta Γ 1 pq 1,t 1 q:ssä aina, kun σpθq on ostajan optimaalinen valinta Γ pq,tq:ssa. Vastaväite: ostajan kannattaa poiketa (suorassa mekanismissa) Γ 1 pq 1,t 1 q:ssa θ:stä θ 1 :uun. θq 1 pθ 1 q t 1 pθ 1 q ą θq 1 pθq t 1 pθq Tästä kuitenkin seuraa heti, että ostajan kannattaa poiketa myös (epäsuorassa mekansimissa) Γ pq,tq:ssa σpθq:sta σpθ 1 q:uun θqpσpθ 1 qq tpσpθ 1 qq ą θqpσpθqq tpσpθqq Tämä ei voi pitää paikkaansa, koska lähtöoletus oli, että σ on ostajan optimaalinen valinta (epäsuorassa mekanismissa) Γ pq, tq. TA6m Luento / 33

13 Myyjän vaihtoehdot Paljastusperiaatteesta seuraa, että myyjän valintajoukko on niitten suorien mekanismien joukko Γ pq, tq, joille pätee: Insentiivirajoite (IC): oman tyypin raportointi on ostajan optimaalinen valinta θqpθq tpθq ě θqpθ 1 q tpθ 1 q kaikille θ 1 P θ,θ. Osallistumisrajoite (PC): peliin osallistuminen on ostajan optimaalinen valinta θqpθq tpθq ě 0 kaikille θ P θ,θ. TA6m Luento / 33

14 Yksi myyjä ja yksi ostaja: ratkaisu

15 Millaisia nämä mekanismit ovat? Myyjän täytyy valita suora mekanismi, joka toteuttaa ehdot IC ja PC. Tämä asettaa tiettyjä rajoitteita valittavissa oleville mekanismeille. Monotonisuus q Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin q on kasvava θ:n suhteen. Todistus. Tarkastellaan mitä hyvänsä kahta tyyppiä θ 1 ă θ. IC vaatii θqpθq tpθq ě θqpθ 1 q tpθ 1 q θ 1 qpθq tpθq ď θ 1 qpθ 1 q tpθ 1 q miinustamalla epäyhtälöt puolittain saadaan θqpθq tpθq θ 1 qpθq ` tpθq ě θqpθ 1 q tpθ 1 q θ 1 qpθ 1 q ` tpθ 1 q pθ θ 1 qqpθq ě pθ θ 1 qqpθ 1 q TA6m Luento / 33

16 Monotonisuus u Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin u on kasvava θ:n suhteen ja u 1 pθq qpθq. Todistus. Huomaa, että IC vaatii lisäksi θ argmax θ 1upθ,θ 1 q argmax θ 1θqpθ 1 q tpθ 1 q upθq max θ 1 upθ,θ 1 q maxθqpθ 1 q tpθ 1 q θ 1 Maksimiarvofunktioista f paq max x f px,aq ja maksimikohtafuntioista x paq argmax x f px,aq tiedetään verhokäyrälauseen perusteella, että f 1 paq f a px paq,aq Käsillä olevassa tapauksessa, max θ 1 upθ 1,θq, θ 1 on muuttuja (kuten yllä x) ja θ on parametri (kuten yllä a). Saadaan suoraan u 1 pθq u θ pθ 1 pθq,θq qpθq. TA6m Luento / 33

17 Hyötyekvivalenssi u ja tuottoekvivalenssi t Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin upθq upθq ` ż θ θ qpsqds ja tpθq tpθq ` pθqpθq θqpθqq ż θ θ qpsqds. Todistus. Osa 1: Analyysin peruslauseen mukaisesti: upθq upθq ` ż θ θ u 1 psqds Osa 2: Sijoitetaan upθq θqpθq tpθq ja järjestellään. TA6m Luento / 33

18 IC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), jos ja vain jos q on kasvava θ:n suhteen ja kaikilla θ tpθq tpθq ` pθqpθq θqpθqq ż θ θ qpsqds. Todistus. Näytimme jo, että nämä ehdot ovat välttämättömät IC:lle. Näytetään nyt, että ehdot ovat myös riittävät IC:lle. upθq ě θqpθ 1 q tpθ 1 q ðñ upθq ě θqpθ 1 q tpθ 1 q ` θ 1 qpθ 1 q θ 1 qpθ 1 q ðñ upθq ě θqpθ 1 q θ 1 qpθ 1 q tpθ 1 q ` θ 1 qpθ 1 q ðñ upθq upθ 1 q ě pθ θ 1 qqpθ 1 q ðñ ż θ ż θ θ 1 qpsqds ě θ 1 qpθ 1 qds Viimeisin epäyhtälö pätee, koska q on kasvava θ:n suhteen (huomaa, että molemmat θ ă θ 1 ja θ ą θ 1 käyvät). TA6m Luento / 33

19 PC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin se toteuttaa osallistumisehdon (PC) jos ja vain jos upθq ě 0. Todistus. Koska u on kasvava, niin upθq ě 0 ùñ upθq ě 0 TA6m Luento / 33

20 Millainen on myyjälle kannattavin mekanismi? Tuottoekvivalenssi tpθq tpθq ` pθqpθq θqpθqq ż θ θ qpsqds Huomio 1: myyjän ei kannata antaa ylimäärästä matalimmalle tyypille θ, koska se vain laskee muilta saatavia tuottoja Huomio 2: myyjä valitsee sellaisen kasvavan q:n, joka maksimoi sen odotetun tuoton ş tpθqdθ. Se voidaan laskea «ff Eptpθqq ż θ θ θqpθq ż θ θ qpsqds dθ TA6m Luento / 33

21 Keskimmäisen termin laskeminen ż «θ ż ff θ Eptpθqq θqpθq qpsqds dθ θ θ Lasketaan arvo keskellä olevalle integraalille. Käytetään selkeyden vuoksi integrointivakioita x,y P θ,θ ż θ ż y qpxqdxf pyqdy, θ θ ż θ ż y qpxqf pyqdxdy, f sisäintegraaliin θ θ ż θ ż θ qpxqf pyqdydx, integrointijärjestys θ x ż θ ż θ qpxq f pyqdydx, q ulkointegraaliin θ x ż θ qpxqp1 Fpxqqdx, lasketaan sisäintegraali θ ż θ qpxq 1 Fpxq f pxqdx, palautetaan mukaan f θ f pxq TA6m Luento / 33

22 Myyjälle optimaalinen mekanismi Eptpθqq ż θ θ qpθq θ 1 Fpθq j dθ Myyjän kannattaa valita sellainen q, että yllä oleva lauseke maksimoituu. Lisäksi q:n täytyy olla kasvava. Huom. F ja f ovat mallin osia, eli niihin myyjä ei voi vaikuttaa. Myyjä voi vaikuttaa yllä ainoastaan q:hun. Koska yllä integraali oikeastaan vain laskee yhteen lukuja θ 1 Fpθq, joilla qpθq 1, ja jättää laskematta luvut θ 1 Fpθq, joilla qpθ q 0, myyjän kannattaa valita seuraavasti: qpθq # 0, jos θ 1 Fpθq ă 0, 1, jos θ 1 Fpθq ě 0, TA6m Luento / 33

23 Myyjälle optimaalinen mekanismi (1 ostaja) Eptpθqq ż θ θ qpθq θ 1 Fpθq j dθ Yllä θ 1 Fpθq ostajan θ "virtuaalityyppi"tai "virtuaalihyöty". IC ja PC rajoitteet aiheuttavat sen, että myyjä voi saada tältä ostajalta, ei tämän maksuhalukkuuden θ verran rahaa vaan tämän virtuaalisen maksuhalukkuuden θ 1 Fpθq verran rahaa. Sanotaan, että 1 Fpθq on "informaatiomaksu"(myyjältä ostajalle). Optimaalinen mekanismi (1 ostaja) Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton # 0, jos θ 1 Fpθq ă 0, qpθq 1, jos θ 1 Fpθq ě 0, Implementointi, hintamekanismi: p 1 Fpθ 1 q f pθ 1, jossa θ 1 1 Fpθ 1 q q f pθ 1 0. q TA6m Luento / 33

24 Laajennuksia

25 Myyjälle optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Malli, jossa on n ostajaa, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. ÿ E t i pθq ÿ ż θ q i pθq θ 1 Fpθq j dθ i i θ Optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Olkoon θ i 1 Fpθ iq f pθ i q kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton q i pθq # 0, jos θi 1 Fpθ iq f pθ i q ă 0, 1, jos θ i 1 Fpθ iq f pθ i q ě 0 ja θ i 1 Fpθ iq f pθ i q ą θ j 1 Fpθ jq f pθ j q kaikilla θ j Implementointi, huutokauppa (FPA tai SPA) ja reservaatiohinta: p 1 Fpθ 1 q f pθ 1, jossa θ 1 1 Fpθ 1 q q f pθ 1 0. q TA6m Luento / 33

26 Myyjälle optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Malli, jossa ostajan hyöty on νpqq t ja myyjän voitto on t cq, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. Eptpθqq ż θ θ " νpqpθ qq θ 1 Fpθq j * cqpθq dθ Optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Olkoon θ 1 Fpθq kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton $ & jos θ 1 Fpθq ă 0, niin qpθq 0, qpθq : % jos θ 1 Fpθq ě 0, niin ν 1 pqpθqq θ 1 Fpθq c. Implementointi, epälineaarinen hinnoittelu, määräalennus. TA6m Luento / 33

27 Kysymyksiä ja vastauksia à la Robert Frank

28 Kysymys 1 Miksi suosituimmat kirjat ja levyt maksavat kaupoissa vähemmän kuin vähemmän suositut mutta asiat ovat toisin päin teattereissa? TA6m Luento / 33

29 Kysymys 2 Miksi hinnat ovat niin korkeita hotellin minibaarissa? TA6m Luento / 33

30 Kysymys 3 Miksi Applen musta läppäri maksaa enemmän kuin sama valkoinen? TA6m Luento / 33

31 Bonuskysymys Miksi Starbucksin listan pienin kahvi on "Tall", 12 oz? TA6m Luento / 33

32 Seuraavaa kertaa varten Esitietoja: Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Establishing a Reputation: Selten s Chain Store Paradox"(luento 16.1, katkelma) "Establishing a Reputation: discussion"(luento 16.2, katkelma) ja "Imperfect Information"(luento 18, kokonaan) Kirjallisuutta: PW 1, 2, 7 ja 11 TA6m Luento / 33

33