Matematiikan olympiavalmennus Helmikuun tehtäväsarjan ratkaisuja
|
|
- Julia Sala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matematiikan olympiavalmennus Helmikuun tehtäväsarjan ratkaisuja Helpohkot tehtävät 1 Olkoon ABCD nelikulmio, E, F, G, H sen sivujen AB, BC, CD, DA keskipisteet ja I janojen EG ja F H leikkauspiste. Olkoot vielä J ja K janojen AC ja BD 1. Olkoonkeskipisteet. ABCD nelikulmio, Kolmion tunnetun E, F, G, ominaisuuden H sen sivujen nojalla CD, ABCD EF DA nelikulmio, AC keskipisteet GH jae, EF IF, = janojen G, 1 AC = GH. Tästä 1. AB, Olkoon BC, H sen EGsivujen ja FH leikkauspiste. AB, BC, seuraa, CD, Olkoot DA ettäkeskipisteet EF vielä GHJ on ja ja suunnikas. KI janojen(olemme AC EG FH BD itse leikkauspiste. keskipisteet. asiassa Kolmion Olkoot todistaneet vielä tunnetun Varignonin ominaisuuden lauseen.) Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa, joten I on ja- nojalla EF AC GH nan EG ja keskipiste. EF = 1 J ja K janojen AC BD keskipisteet. Kolmion tunnetun AC Mutta = ominaisuuden aivan GH. samoin Tästäkuin seuraa, nojalla edellä, nähdään, on ja suunnikas. EF että = 1 myös AC (Olemme EJGK = GH. onitse Tästä suunnikas. asiassa seuraa, Sen- että EF AC GH EFGH todistaneet että EFGH kin Varignonin lävistäjät suunnikas. puolittavat lauseen.) (Olemme toisensa, Suunnikkaan itse joten asiassa EG:n lävistäjät puolittavat kipiste Varignonin toisensa, I myös lauseen.) joten janani JK on Suunnikkaan keskipiste. janan EG keski- lävistä- kes- todistaneejäpiste. puolittavat Mutta aivan samoin kuin edellä, nähdään, että myös EJGK on suunnikas. Senkin Ensimmäistä toisensa, kysymystä joten I on varten janan tarkastellaan EG keski-pisteepiste. lävistäjät Mutta puolittavat aivan samoin toisensa, kuinjoten edellä, EG:n nähdään, keskipiste ettäimyös on myös EJGK janan onjk suunnikas. keskipiste. Senkin E peilikuvaa C suoran AB suhteen. Olkoon F AB:n ja CD:n leikkauspiste. Koska F E = F C, DF +F E = DC. lävistäjät Jos puolittavat nyt H on mielivaltainen toisensa, joten suoran EG:n AB keskipiste piste, niin I on myös janan JK keskipiste.. Ensimmäistä kolmioepäyhtälön kysymystä perusteella varten DH tarkastellaan + HC DC pisteenensimmäistä E peilikuvaa =. DF + F E. kysymystä C F on suoran siisvarten kysytty AB suhteen. tarkastellaan piste. Toiseen Olkoon pisteen F AB:n E peilikuvaa ja CD:n leikkauspiste. C suoran ABKoska suhteen. FE = Olkoon FC, kysymykseen vastaamista varten tarkastellaan janan DE keskinormaalia. Se leikkaa AB:n pisteessä G. FDF AB:n + FE ja CD:n = DC. leikkauspiste. Jos nyt HKoska on mielivaltainen FE = FC, Keskinormaalin määritelmän mukaan DG = EG, DF suoran + FE AB piste, = DC. niinjos kolmioepäyhtälön nyt H on mielivaltainen perusteella joten DG EG = 0. Muut kuin DE:n keskinormaalin piste, DC = pisteet DH suoran +HC AB niin DF +FE. kolmioepäyhtälön ovat lähempänä F on siis kysytty jompaakumpaa perusteella piste. Toiseen DH +HC kysymykseen pisteistä DC D= ja DF vastaamista E. +FE. G on siis F on ainoa varten siistoisen kysytty tarkastellaan kysymyksenkeskinormaalia. ehdon toteuttava vastaamista Se piste. leikkaa vartenab:n tarkastellaan pisteessä G. Keskinormaalin määritelmän piste. Toiseen janan DE kysymykseen janan mukaandedg keskinormaalia. = EG, joten DG Se leikkaa EG = AB:n 0. Muut pisteessä kuin DE:n G. Keskinormaalin keskinormaalinmääritelmän pisteet ovat mukaan lähempänä DG jompaakumpaa = EG, joten DG pisteistä EG D= ja0. E. Muut G on kuin siisde:n ainoakeskinormaalin toisen kysymyksen pisteet ehdon ovat toteuttava lähempänäpiste. jompaakumpaa pisteistä D ja E. G on siis ainoa toisen kysymyksen ehdon toteuttava piste. 3. Piirretään H:n kautta AC:n ja AB:n suuntaiset 3. suorat, Piirretään jotka leikkaavat H:n kautta AB:n AC:n ja AC:n ja AB:n pisteissä suuntaiset D ja E. suorat, Silloin jotka D on leikkaavat janalla AG AB:n ja ja E AC:n janallapisteissä AF, ADHE D ja E. on suunnikas Silloin D on ja janalla HE = AG ADjasekä E janalla HD = AF AE., ADHE Nyt on AF suunnikas + AG = ja (AE HE + EF)+(AD = sekä + HD DG) = = AE. (HD Nyt + AF DG)+(HE + AG = + (AE EF) + >HG+ EF)+(AD HE. Epäyhtälö + DG) = perustuu (HD + kolmioepäyhtälöön DG)+(HE + EF) (ja >HG+ siihen, HE. että Epäyhtälö DGH ja EHF 1perustuu ovat kolmioepäyhtälöön aitoja kolmioita). (ja siihen, että DGH ja EHF ovat aitoja kolmioita).
2 mukaan DG = EG, joten DG EG = 0. Muut kuin DE:n keskinormaalin pisteet ovat lähempänä jompaakumpaa pisteistä D ja E. G on siis ainoa toisen kysymyksen ehdon toteuttava piste. 3 Piirretään H:n kautta AC:n ja AB:n suuntaiset suorat, jotka leikkaavat AB:n ja AC:n pisteissä D 3. Piirretään ja E. H:n Silloinkautta D on janalla AC:n ja AGAB:n ja E janalla suuntaiset AF, suorat, jotka ADHE leikkaavat on suunnikas AB:njaja HE AC:n = AD pisteissä sekä HD D ja= E. SilloinAE. D on Nytjanalla AG ja E janalla AF, ADHE on suunnikas ja HE = AD sekä HD = AE. Nyt AF + AG = AF (AE + AG + EF)+(AD = (AE + + ) DG) (AD + = DG) (HD + DG)+(HE + EF) >HG+ = (HD HE. + DG) Epäyhtälö + (HE + perustuu EF ) kolmioepäyhtälöön (ja siihen, > HG + että HE. DGH ja EHF ovat aitoja kolmioita). Epäyhtälö perustuu kolmioepäyhtälöön (ja siihen, että DGH ja EHF ovat aitoja kolmioita). 4 [Tehtävän alkuperäisessä tekstissä oli painovirhe. Todistettavan 4. [Tehtävänyhtälön alkuperäisessä pitäisi olla tekstissä AR = oli painovirhe. SL.] Piirretään Todistettavan S:n kautta yhtälön CR:n pitäisi suuntainen olla AR = suora. SL.] SePiir- retään AB:n S:n pisteessä kautta CR:n E. Koska suuntainen KL suora. BF, Se BFleik- on kaa kolmioiden AB:n pisteessä BLR ja E. BSE Koskakorkeussuora. KL BF, BFSuo- on kol- leikkaa mioiden rakulmaiset 4. [Tehtävän BLR ja kolmiot alkuperäisessä BSE korkeussuora. BF S ja DFtekstissä S ovatoli SuorakulmaisetTodistettavan kolmiot BFSyhtälön ja DFS pitäisi ovat ollayhteneviä AR = (sks). SL.] Piir- yhteneviä painovirhe. (sks). FBS = F SDF, BS = joten SDF BF, joten on kulman BF on EBS kulman retään S:n kautta CR:n suuntainen suora. Sepuolit- taja. kaapuolittaja. Kolmio, AB:n pisteessä jonka Kolmio, korkeusjana E. Koska jonkakl BF, korkeusjana yhtyy kulmanpuolit- BF on yh-koltyytajaan, kulmanpuolittajaan, mioiden on BLR tasakylkinen. BSEon korkeussuora. tasakylkinen. BL = BR, Suorakulmai- BS = BE ja leik- EBS siisset SL kolmiot = BS BFS BL ja = DFS BE ovat BR yhteneviä = ER. Mutta (sks). koska BL SE CR = FBS BR, ja = BS S SDF, on= AC:n joten BEkeskipiste, BF ja siis on kulman SL niin= E EBS on BSAR:n puolittaja. Kolmio, jonka korkeusjana yhtyy kulmanpuolit- BL keskipiste. = BE BR AR = = ER. = Mutta koska SL. tajaan, SE on tasakylkinen. CR ja S on BL AC:n = BR, keskipiste, BS = BE niin ja E on AR:n keskipiste. AR 5. = siis Koska SL ER = AB = BS OC BA SL. BL = BE ja AB BR = ER. OC Mutta = BA koska, nelikulmio SE CR ABA B on suunnikas. Jos D on janojen AA 5 Koska AB ja BB leikkauspiste, ja S on AC:n OC BA niin keskipiste, ja AB suunnikkaan niin E on AR:n = OC = BA lävistäjien keskipiste. AR = ER = SL., tutun ominaisuuden ABA B perusteella on suunnikas. D onjos AA D :n on keskipiste. ja- nelikulmio 5. Koska nojen Mutta AA samoin AB ja BB OC BA kuin leikkauspiste, ja AB = OC = BA ABA B,myösniin AC A suunnikkaanikas. lävistäjien ja BB Näin leikkauspiste, ollen tutuncc ominaisuuden niin leikkaa suunnikkaan AA :n perusteella AA lävistäjien :n keskipis- Dtu- on AA teessä tun :n ominaisuuden eli keskipiste. pisteessä Mutta D. perusteella Toisen samoin väitteen D onkuin AA todistamiseksi ABA :n keskipiste. B,, nelikulmio ABA B on suunnikas. Jos D on janojen C on suun- AA myös todetaan, Mutta AC A samoin Cettämyös on suunnikas. kuinbcb ABA C B Näin,myös on suunnikas. ollen AC A CC CTunnetus- suunnikkaan nikas. :n AA Näin :nollen lävistäjien keskipisteessä CC leikkaa neliöiden AA :npisteessä summa AA on keskipis- D. sama kuin suunnikkaan sivujen neliöiden on leikkaatiaa suun- Toisen summa teessä väitteen (ns. eli pisteessä suunnikaslause, D. Toisen todistamiseksi todetaan, seuraa väitteen kosinilauseesta todistamiseksi että myös ja siitä, että suunnikkaan viereisissä BCB kärjissä todetaan, C onolevat ettämyös suunnikas. kulmat BCB Tunnetusti ovat C vieruskulmia, on suunnikas. suunnikkaan joiden Tunnetusti suunnikkaan + BB = lävistäjien AB + neliöiden AB summa = AB on sama + kuin OC suunnikkaan ja vastaavasti sivujen AA neliöiden kosinit ovat toistensa vastalukuja). AA lävistäjien neliöiden summa on sama kuin suunnikkaan sivujen neliöiden summa + CC = summa AC + (ns. OBsuunnikaslause, ja BB + CC seuraa = kosinilauseesta BC + AOja.Väite siitä, että saadaan, suunnikkaan kun edelliset viereisissä (ns. suunnikaslause, kolme kärjissä olevat kulmat seuraa ovatkosinilauseesta vieruskulmia, joiden ja siitä, kosinitettä ovat suunnikkaan toistensa vastalukuja). viereisissä kärjissä yhtälöä lasketaan puolittain yhteen ja supistetaan kahdella. AA olevat + BB kulmat = AB ovat + vieruskulmia, AB = AB joiden + kosinit OC jaovat vastaavasti toistensa AA vastalukuja). AC AA + + OB BB ja = BB + AB CC + = BC A B + = AO.Väite AB + saadaan, OCkun jaedelliset vastaavasti kolme + CC = AA 6. + yhtälöä Olkoon CC lasketaan = AC = AC AL puolittain + = LK OB= yhteen bja BB AB ja supistetaan = + AG CC = GF = kahdella. = BC + AO. Väite saadaan, kunc; edelliset olkoonam kolme = yhtälöa x ja AN lasketaan = y. Yhdenmuotoisista puolittain yhteen ja supistetaan kahdella. suorakulmaisista 6. Olkoon AC = kolmioista AL = LK BMA = b ja AB ja BKL = AG saadaan = GF = c; olkoonam = x ja AN x b = c = y. Yhdenmuotoisista suorakulmaisista kolmioista BMA ja BKL saadaan b + c x ja vastaavasti kolmioista b = c ANC b + cja GFC ja vastaavasti kolmioista y ANC b ja GF C =.
3 summa (ns. suunnikaslause, seuraa kosinilauseesta ja siitä, että suunnikkaan viereisissä kärjissä olevat kulmat ovat vieruskulmia, joiden kosinit ovat toistensa vastalukuja). AA + BB = AB + AB = AB + OC ja vastaavasti AA + CC = AC + OB ja BB + CC = BC + AO.Väite saadaan, kun edelliset kolme 6 Olkoon yhtälöä AC lasketaan = AL = puolittain LK = yhteen b ja AB ja supistetaan = AG = kahdella. GF = c; olkoon AM = x ja AN = y. Yhdenmuotoisista 6. Olkoon suorakulmaisista AC = AL = LK = kolmioista b ja AB = BM AG = AGF ja = BKLc; saadaan olkoonam = x ja AN x b = c = y. Yhdenmuotoisista suorakulmaisista kolmioista BMA ja BKL saadaan xb + c ja vastaavasti kolmioista b ANC = c b + jac GF C ja vastaavasti kolmioista ANC ja GF C 7 (a) Jos n = jk, y c = b b + c. x = bc b + c = y. x = y c = b b + c. bc b + c = y. (b) Jos n = j(k + 1), Huomaa vaihtelevat etumerkit. n 1 = ( j 1)(1 + j + j + + (k 1)j ). n + 1 = ( j + 1)(1 j + j + kj ). 8 (a) Jaetaan lauseke tekijöihin. Muutama tekijä löydetään havaitsemalla, että jos n { 1, 0, 1 }, niin lauseke on nolla, ja loput keksitään binomin neliön kaavasta: n 5 5n 3 + 4n = n(n 4 5n + 4) = n(n 1)(n 3 + n 4n 4) = n(n 1)(n + 1)(n 4) = n(n 1)(n + 1)(n )(n + ). Lauseke on siis viiden peräkkäisen kokonaisluvun tulo. Näistä luvuista yksi on jaollinen viidellä ja ainakin yksi jaollinen kolmella. Ainakin kaksi lukua on jaollisia kahdella, ja näistä ainakin yksi jaollinen neljällä. Koska 10 = 3 3 5, on todistettu että se jakaa koko lausekkeen. (b) Tarkastellaan 4:n potensseja modulo 9: 4 4, 4 7, (mod 9). Olkoon n = 3k +p, 0 p < 3. Ensinnäkin 4 3k+p = (4 3 ) k 4 p 1 k 4 p (mod 9) ja toiseksi 15n = 5 (9k + 3p) 15p 3p (mod 9). Kun p = 0, 4 n + 15n (mod 9). Kun p = 1, 4 n + 15n (mod 9). Kun p =, 4 n + 15n (mod 9). 9 Jos jokainen summa σ(i) kirjoitetaan auki, luku d (1 d n) esiintyy n/d kertaa, kerran jokaista sellaista monikertaansa kohti joka on enintään n. Merkintä tarkoittaa pyöristystä lähimpään pienempään tai yhtäsuureen kokonaislukuun. epäyhtälön vasen puoli on n n n n n 1 3 n 3 1 n 1 + n + 3 n n n n = n.
4 Vaikeahkot tehtävät 1 Tapauksessa p = on w n = 11, joten n = 1. Tapauksessa p = 5 on w n = 75 = 5 11, joten n = 1. Oletetaan, että p on muu pariton alkuluku. Vasen puoli on jaollinen 5:llä, joten w on jaollinen 5:llä. Jos n > 1, w n on jaollinen 5:llä. Kun jaetaan vasen puoli 5 = + 3:lla, saadaan p 1 i=0 ( 1) i i 3 p 1 i = p 1 p 3 + p p + 3 p 1. Koska 3 (mod 5), summan jokainen termi on p 1 (mod 5). Koko summa on siis p + 3 p + 3 pp 1 (mod 5). Tämä ei ole jaollinen viidellä, kun p 5. Kirjoitetaan väite muotoon 1 7n > m + m. Tarkastellaan m:n neliötä modulo 7: se on joko 1, tai 4, joten jos luku 7n m on positiivinen, se on vähintään 3 eli 7n m + 3. Riittää todistaa m + 3 > m + 1/m. Mutta (m + 1/m) = m + m + m + 3, missä yhtäsuuruus vallitsee vain jos m = 1, ja tässä tapauksessa 7n m 6 eli aiempi epäyhtälö on aito. 3 Jos 8n on kokonaisluku, juurrettava on parittoman luvun neliö, 8n + 1 = (m + 1). Järjestelemällä termejä uudelleen ja sieventämällä saadaan 7n = m(m+1). Koska syt(m, m+1) = 1, on oltava joko m = 7s ja m+1 = t tai m = u ja m+1 = 7v. Jälkimmäisessä tapauksessa 7v u = 1, mikä on ristiriidassa edellisessä ratkaisussa todistetun epäyhtälön 7v u 3 kanssa. Edellisessä tapauksessa tehtävän luku on (m + 1) + = 4(m + 1) = (t). 4 Merkitään a n :llä niiden joukon {0,..., n 1} osajoukkojen lukumäärää, joissa ei ole peräkkäisiä alkioita, kun n N. Jos n = 0 tai n = 1, missään osajoukossa ei ole peräkkäisiä alkioita, joten a 0 = 0 = 1 (tyhjä joukko kelpaa) ja a 1 = 1 =. Tapauksessa n = joukko {0, 1} itse on ainoa osajoukkonsa, jossa on peräkkäiset alkiot, joten a = 1 = 3 = a 0 + a 1. Osoitetaan, että rekursiokaava a n+ = a n+1 + a n pätee yleisesti, kun n N. Olkoon siis B {0,..., n + 1} joukko, johon ei kuulu peräkkäisiä kokonaislukuja. Käsitellään kaksi eri mahdollisuutta. 1) n + 1 B, jolloin B {0,..., n}. Tällaisia joukkoja B on tietenkin a n+1 kappaletta. 4
5 ) n+1 B: Koska B:ssä ei saa olla peräkkäisiä alkioita, niin n B. Huomataan, että B {n+1} {0,..., n 1} on yksi niistä {0,..., n 1}:n a n osajoukosta, joissa ei ole peräkkäisiä alkioita. Kääntäen, jos joukossa C {0,..., n 1} ei ole peräkkäisiä alkiota, niin ei myöskään joukko C {n + 1} ei sisällä sellaisia. tällaisia tapauksia on a n kappaletta. Kaikkiaan saadaan a n+ = a n+1 + a n. kysytynlaisia joukkojen lukumäärä a n on Fibonaccin luku niin indeksoituna, että a 0 = 1 ja a 1 =. 5 [Tehtävän kysymys on virheellisesti asetettu: Pitäisi kysyä oikeiden vastausten lukumäärän odotusarvoa.] Paras mahdollinen arvaus on tietenkin arvata väriä sen mukaan, kummanvärisiä on enemmän. Määritetään oikeiden vastausten lukumäärä peruuttamalla, ts. merkitään a m,n :llä oikeiden vastausten lukumäärän odotusarvoa tilannetta seuraavilla kierroksilla, kun jäljellä laatikossa on m sinistä ja n punaista palloa. Erityisesti määritelmän mukaan a 0,0 = 0, sillä kun laatikko on tyhjä, jäljellä ei ole enää arvauksia. Huomataan myös, että a m,n = a n,m, kun m, n {0, 1,, 3, 4}. Tietenkin a m,0 = m, kun m 1,, 3, 4. Muut lukumäärät saadaan rekursiokaavasta a m,n = m m + n (1 + a m 1,n) + n m + n a m,n 1, kun m n > 0. Tämä kaava saadaan seuraavasti: Koska sinisiä palloja on vähintään yhtä monta laatikossa kuin punaisia, arvataan sinistä. Todennäköisyydellä m/(m + n) nostettava pallo on sininen, jolloin oikeiden arvausten lukumäärä kasvaa yhdellä ja odotettavissa on a m 1,n oikeata arvausta, sillä sinisten pallojen lukumäärä on vähentynyt yhdellä. Vastaavasti todennäköisyydellä n/(m + n) nostettava pallo on punainen, arvaus on väärä ja odotettavissa on a m,n 1 oikeata arvausta. Erityistapauksena rekursiokaavasta saadaan a m,m = 1 (1 + a m 1,m) + 1 a m,m 1 = (a m,m 1 + a m,m 1 ) = 1 + a m,m 1. Lasketaan nyt arvoja a 1,1 = 1 + a 1,0 = = 11, a, = 1 + a,1 = (1 + a 1,1) a,0 = = 5 6, a 3,1 = 3 4 (1 + a,1) a 3,0 = 3 4 ( ) = 1 4 ( ) = 31 4, a 3, = 3 5 (1 + a,) + 5 a 3,1 = = 1 ( ) = 3,6, a 3,3 = 1 + a 3, = 4,1, a 4,1 = 4 5 (1 + a 3,1) a 4,0 = 3,4 + 0,8 = 4,, a 4, = 3 (1 + a 3,) a 4,1 = 3 +,4 + 1,4 = , 5
6 a 4,3 = 4 7 (1 + a 3,3) a 4, = a 4,4 = = = = , 6 Olkoon n N, n >. Tällöin joukon {0,..., n 1} (n 1)-osaisessa osituksessa on n osaa, jotka ovat yksiöitä, ja yksi osa, jossa on kaksi alkiota. Tämä pari eli poikkeava osa määrä tällaisen osituksen täysin. näitä osituksia on yhtä monta kuin joukosta {0,..., n 1} valittuja pareja eli p(n, n 1) = ( ) n. Luku p(n, n ) voidaan päätellä vastaavasti: Joukon {0,..., n 1} (n )-osaisessa osituksessa on joko yksi kolmen alkion osa ja kaikki muut ovat yksiöitä tai kaksi paria ja loput ovat yksiöitä. Edellisen kaltaisia osituksia on ( ) n 3 kappaletta, jälkimmäiset taas voidaan muodostaa niin, että valitaan ensin 4 alkiota ja jaetaan ne sitten pareiksi (3 eri tapaa). p(n, n ) = ( ) ( ) n n = (n) 3 4! + 3 (n) 4 4! n(n 1)(n )(3n 5) (4 + 3(n 3)) =. 4 = (n) 3 3! (Tehtävän voi tietenkin ratkaista myös käyttämällä valmennusviikonloppuna esitettyä rekursiokaavaa ja induktiota.) 7 Olkoon k Z + ja n N, missä n k. Lasketaan joukon {0,..., n 1} niitten k-osaisten ositusten lukumäärä, joissa alkiot 0,..., k 1 ovat kaikki eri luokissa. Nämä pienet alkiot siis takaavat, että osituksessa todella on k osaa, ja kukin suuremmista alkioista kuuluu jonkin pienen alkion kanssa samaan osaan. Mutta toisaalta kunkin alkion k,..., n 1 kohdalla voidaan tietenkin vapaasti valita, minkä alkion l {0,..., k 1} kanssa se on samassa osassa, joten tällaisia osituksia on k n k kappaletta ja p(n) p(n, k) k n k, kun n N, n k. Olkoon c > 1. Valitaan k Z + niin, että k > c. Tällöin k/c > 1, joten kun m N on riittävän suuri, niin (k/c) m > k k. Kaikilla n N, n m saadaan siis p(n) k n k = k k ( k c ) n ( ) m k c n k k c n c n. c 8 Olkoon G = (V, E) tehtävän ehdon täyttävä verkko ja m sen särmien lukumäärä. Valitaan 5 alkion solmujoukko A V umpimähkään. Tällöin todennäköisyys, että yksittäinen G:n särmä on mukana indusoidussa aliverkossa G A on ( ( ) 5 ) / 9 = 10/36 = 5/18. Indusoidun aliverkon särmien lukumäärän odotusarvo on siten 5m/18. Koska 6
7 jokaisessa G:n viiden alkion indusoidussa aliverkossa on vähintään särmää, myös tässä umpimähkään valitussa on, joten 5m/18 > eli m > 36/5 eli m 8. Osoitetaan, että kahdeksankaan ei riitä. Oletetaan vastoin tätä, että G:ssä olisi vain kahdeksan särmää, vaikka se täyttäisi tehtävän ehdon. Ensiksi havaitaan, että G:ssä ei voi olla erillisiä solmuja eli solmuja, joista ei lähde särmiä. Jos nimittäin a olisi tällainen, niin G:n indusoidulla aliverkolla G = G a = G (V {a}), joka siis saadaan G:stä poistamalla solmu a, olisi seuraava ominaisuus: Jos B V {a} ja B = 4, niin G B:ssä on vähintään kaksi särmää. Tämä siksi, että verkossa G (B {a}) tulee myös olla vähintään kaksi särmää. Samalla tavalla kuin yllä saadaan, että verkossa G tulee olla vähintään ( ) 8 ( 56 4 ) = = 10 6 särmää, mikä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että G:ssä on 8 särmää. G:ssä ei ole erillisiä solmuja. Seuraavaksi huomataan tutulla tavalla, että kun G:stä poistetaan mikä tahansa solmu a, niin G a:ssa on vähintään ( ) 8 ( 56 5 ) = = 6 10 särmää, joten solmun a aste on korkeintaan kaksi. Koska G:ssä ei ole erillisiä solmuja, se koostuu siis erillisistä sykleistä ja poluista. Toisaalta k solmun polussa on k 1 särmää, kun taas syklissä on k särmää, joten koska G:ssä on 9 solmua ja 8 särmää, sen komponenteista täsmälleen yksi on polku. Koska syklissä on aina vähintään kolme solmua, syklejä on G:ssä korkeintaan kaksi. Eri tapauksien tarkastelua helpottaa se, että p solmun polussa on p/ solmun riippumaton joukko ja s solmun syklissä vastaavasti s/ solmun riippumaton joukko. Lisäksi s solmun syklistä voidaan aina valita s/ solmua niin, että valittujen solmujen välillä on korkeintaan yksi särmä. (a) Jos verkossa G ei ole syklejä lainkaan, niin G on itsessään polku ja siitä voidaan valita 9/ = 5 solmun riippumaton joukko, mikä on vastoin oletusta. (b) Oletetaan, että verkko G koostuu s solmun syklistä ja 9 s solmun riippumattomasta joukosta. Tällöin voidaan valita s 9 s + = s + 9 s + 1 = s + 9 s + 1 solmun joukko A niin, että indusoidussa aliverkossa G A on yksi särmä, mikä on jälleen ristiriidassa oletuksen kanssa. = 5 7
8 (c) Oletetaan lopuksi, että verkko G koostuu s 0 solmun ja s 1 solmun sykleistä sekä p solmun polusta. Voidaan olettaa, että jos ainakin toisen syklin koko on pariton, niin s 0 on pariton. Valitaan s 1 solmun syklistä s 1 / solmun riippumaton joukko A 1 ja polusta p/ solmun riippumaton joukko B sekä s 0 solmun syklistä s 0 / solmun joukko A 0 niin, että verkossa G A 0 on vain yksi särmä. Merkitään A = A 0 A 1 B. Tällöin A = s 0 / + s 1 / + p/ 5 ja G A:ssa on yksi särmä, mikä on vastoin oletusta. tehtävän ehdon täyttävää 8-särmäistä verkkoa ei ole olemassa. Osoitetaan vielä, että on olemassa 9 solmun 9-särmäinen verkko, joka toteuttaa tehtävän ehdon. Valitaan yksinkertaisesti verkoksi G kolmesta kolmiosta muodostuva verkko. G Mikä tahansa G:n viisisolmuinen indusoitu aliverkko sisältää joko kolmion tai kahdesta kolmiosta särmän, joten tehtävän ehto täyttyy. 8
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotHarjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotPyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedot57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa
57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa Esa V. Vesalainen Basque Center for Applied Mathematis 57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset järjestettiin Hongkongissa 9 16.7.2016. Suomea
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Lisätiedotx+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan
19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedoty + z. z + xyz
2. 11. 2010 Kuusi ensimmäistä tehtävää ovat monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Monivalintatehtävien vastauksia varten on erillinen lomakkeensa. Tehtävät 7 ja 8 ovat perinteisiä tehtäviä,
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotKenguru 2019 Student Ratkaisut
sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
Lisätiedota) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 toukokuun tehtävät
Matematiikan olympiavalmennus 05 toukokuun tehtävät Ratkaisuja Kuperan viisikulmion jokainen lävistäjä on jonkin viisikulmion sivun suuntainen Osoita, että jokaisessa tällaisessa parissa lävistäjän ja
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotBaltian Tie 2005 ratkaisuja
Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät
Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Ratkaisuja 1. Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan sisäpuolisesti pisteessä T. Ulomman ympyrän sekantti AB on sisemmän ympyrän tangentti pisteessä P. Osoita,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotHarjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat
Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on
Lisätiedot+ + + y:llä. Vuoden 2017 lopussa oppilasmäärät ovat siis a =1,05x ja b =1,10y, mistä saadaan vuoden 2017 alun oppilasmäärien suhteeksi.
31. 10. 018 a b c d 1. +. + 3. + + + 4. + + 5. + + + 6. + + P1. Merkitään lukion A oppilasmäärää vuoden 017 alussa x:llä ja lukion B oppilasmäärää y:llä. Vuoden 017 lopussa oppilasmäärät ovat siis a =1,05x
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
Lisätiedot3 Vektorin kertominen reaaliluvulla
3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Lisätiedotjoissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
Lisätiedot57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa
Solmu 3/2016 1 57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa Esa V. Vesalainen Basque Center for Applied Mathematis 57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset järjestettiin Hongkongissa 9
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2012
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 01 Tehtävien ratkaisuja 1. Olkoot kolmion kulmat α, β ja γ ja olkoon ω ympyrä, jonka halkaisija on AJ. Koska kulmat JKA ja JLA ovat suoria, niin K ja L ovat tällä
Lisätiedotc) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
LisätiedotEuroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015
Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015 Mirjam Kauppila Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Esa V. Vesalainen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos,
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Lisätiedot