OPTINEN KOLMIULOTTEINEN MITTAUS OHUTLEVY- TUOTTEIDEN LAADUNVALVONNASSA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "OPTINEN KOLMIULOTTEINEN MITTAUS OHUTLEVY- TUOTTEIDEN LAADUNVALVONNASSA"

Transkriptio

1 LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO TIETOTEKNIIKAN OSASTO OPTINEN KOLMIULOTTEINEN MITTAUS OHUTLEVY- TUOTTEIDEN LAADUNVALVONNASSA Diplomityön aihe on hyväksytty Tietotekniikan osaston osastoneuvoston kokouksessa Työn tarkastajana toimi professori, TkT Heikki Kälviäinen ja ohjaajana yliassistentti, TkT Ville Kyrki. Helsingissä Kari Jyrkinen Hitsaajankatu 15 A Helsinki puh

2 TIIVISTELMÄ Lappeenrannan teknillinen yliopisto Tietotekniikan osasto Kari Jyrkinen Optinen kolmiulotteinen mittaus ohutlevytuotteiden laadunvalvonnassa Diplomityö sivua, 16 kuvaa, 4 taulukkoa ja 1 liite Tarkastaja: Professori Heikki Kälviäinen Hakusanat: Keywords: Kolmiulotteinen mittaus, 3D-mittaus, konenäkö, optiset menetelmät, koordinaattimittaus, kolmiomittaus, fotogrammetria, rakenteinen valo, laadunvalvonta, ohutlevy Three-dimensional measuring, 3D measuring, machine vision, optical methods, coordinate measurement, triangulation, photogrammetry, structured light, quality control, sheet metal Ohutlevyteollisuuden markkinatilanne on muuttunut, kun tuotantomäärät ovat kasvaneet, laatuvaatimukset tiukentuneet ja markkinat globalisoituneet. Konenäön avulla on mahdollista tehostaa laadunvalvontaa, jolloin virheet voidaan havaita nopeammin ja siten säästää tuotantokustannuksissa. Muotoiltujen ohutlevyosien tarkastamiseksi tarvitaan kolmiulotteisia mittausmenetelmiä, joilla pystytään varsin nopeasti ja tarkasti analysoimaan kappaleita. Erityisesti fotogrammetriaan perustuvaa rakenteista valoa on sovellettu erilaisissa mittalaitteissa, ja menetelmä on myös varsin joustava sekä edullinen käyttää. Fotogrammetriaan ja rakenteiseen valoon perustuvista mittalaitteista valittiin arvioitavaksi Mapvision 4D. Testeissä tutkittiin laitteen tarkkuutta, nopeutta ja soveltuvuutta teollisuusympäristöön sekä erityisesti taivutuskulmien, reikien halkaisijoiden ja etäisyyksien mittaamista. Sovittamalla mitattu data CAD-malliin pystytään kappaleen mitoitus tarkastamaan vaaditulla 0,1 millimetrin tarkkuudella. Testitulosten perusteella voidaan todeta sekä mittalaitteen että mittausmenetelmän soveltuvan ohutlevykappaleiden laadunvalvontaan, kunhan reunojen määrityksessä esiintyvä säännöllinen epätarkkuus otetaan huomioon. ii

3 ABSTRACT Lappeenranta University of Technology Department of Information Technology Kari Jyrkinen Optical Three-Dimensional Measuring in the Quality Control of Sheet Metal Products Master s thesis pages, 16 figures, 4 tables, and 1 appendix Supervisor: Professor Heikki Kälviäinen Keywords: Three-dimensional measuring, 3D measuring, machine vision, optical methods, coordinate measurement, triangulation, photogrammetry, structured light, quality control, sheet metal The market situation of sheet metal production has changed by increased production volumes, strict quality requirements, and globalized markets. By utilizing machine vision it is possible to enhance quality control so that defects can be detected more quickly and thereby costs can be reduced. Three-dimensional measuring methods are needed to examine formed sheet metal parts and with them it is possible to analyze objects rather quickly and accurately. Especially structured light, which is based on photogrammetry, is utilized in different kinds of measuring devices and the method is rather flexible and inexpensive to use. Mapvision 4D was selected for evaluation of the several measuring devices based on photogrammetry and structured light. Tests covered measurement accuracy and rate as well as suitability for the industrial environment. More extensive measurements were conducted on selected features, such as angles, hole diameters, and distances. By fitting the measured data to the CAD model, it was possible to verify the dimensioning of the object with the desired accuracy of 0.1 millimeter. The test results proved that both measuring device and method are applicable for the quality control of sheet metal products, as long as the regular inaccuracy in the measurement data of edges is taken into account. iii

4 ALKUSANAT Suuret kiitokset diplomityöni tarkastajalle, professori Heikki Kälviäiselle neuvoista ja mahdollisuudesta perehtyä tähän mielenkiintoiseen aiheeseen sekä ohjaajalleni, yliassistentti Ville Kyrjelle lukuisista neuvoista sekä asiantuntevasta ohjauksesta. Kotvan kesti mutta valmista tuli. Levytekniikkaan liittyvistä neuvoista sekä mahdollisuudesta osallistua tähän projektiin kiitokset professori Juha Varikselle sekä projektipäällikkö Mikael Ollikaiselle konetekniikan osastolle. Käytännön testauksessa avustamisesta parhaimmat kiitokset Mapvision Oy:n henkilökunnalle, Esa Leikakselle, Mikko Järvelle sekä Mika Hautamäelle. Oikoluvusta kiitokset Jani Peusaarelle ja Juuso Sokuralle. Lämpimät kiitokset myös kaikille opetukseensa panostaneille opettajille ja luennoitsijoille, jotka ovat Lautealan ala-asteelta alkaen avustaneet tässäkin työssä tarvittavien taitojen kartuttamiseen. Kiitokset myös vanhemmilleni niin rahallisesta kuin muustakin tuesta. Erityiskiitokset #plop- ja #esa-kanavien avustuksesta sekä siitä, ettei diplomityö päässyt unohtumaan - ehkä te vielä valmistujaisetkin saatte, ehkä... iv

5 SISÄLLYSLUETTELO 1 JOHDANTO Tausta Tavoitteet ja työn rajaus Työn rakenne OHUTLEVYTUOTTEIDEN LAADUNVALVONTA Aiemmat tutkimukset Ohutlevytuotteiden valmistusprosessi Ohutlevykappaleiden mittaaminen Optiselle mittalaitteelle asetettavat vaatimukset KOLMIULOTTEINEN MITTAUS KONENÄÖN AVULLA Konenäön soveltaminen Kolmen ulottuvuuden geometria Mittausmenetelmät Fotogrammetria ja stereonäkö Rakenteinen valo Laseriin perustuvat menetelmät Muut menetelmät Menetelmien vertailu Konenäkölaitteisto ja sen kalibrointi Kameroiden optiset ominaisuudet Jatkuvien arvojen kvantisointi Valaistus Kameran kalibrointi Konenäkölaitteiston kalibrointi D-mittauslaitteiston suunnittelunäkökohtia Mallin muodostaminen mittausdatasta Mitatun datan vertaaminen CAD-kuvaan D-MITTALAITE JA SEN TESTAUS: MAPVISION 4D Laitteen rakenne Toimintaperiaate Kalibrointi Kokeellinen analysointi

6 5 TULOKSET Havaintoja mittausproseduurista Tasot ja kulmien mittaaminen Kaksiulotteisten dimensioiden mittaaminen JOHTOPÄÄTÖKSET 49 LÄHDELUETTELO 51 LIITE 1: KAUPALLISET 3D-MITTALAITTEET 2

7 LYHENTEET 2D 3D CAD CCD CMM ICP IDEAS IGES ISO LCD PSD QI SFS-EN STL VDA-FS Two-dimensional, kaksiulotteinen Three-dimensional, kolmiulotteinen Computer aided design, tietokoneavusteinen suunnittelu Charge coupled device, varauskytketty laite Coordinate measuring machine, koordinaattimittakone Iterative closest point algorithm, iteratiivinen lähimmän pisteen algoritmi Integrated Decisions and Systems, yritys sekä sen luoma CAD-standardi Initial Graphics Exchange Specification, CAD-standardi International Organization for Standardization, kansainvälinen standardointijärjestö Liquid crystal display, nestekidenäyttö Position sensitive detector, paikkaherkkä ilmaisin Quality index, mitatun pisteen hyvyysarvio Finnish Standards Association - European norm, Suomen standardoimistoimiston eurooppalainen standardi Structural Triangle Language, CAD-standardi Verband der Automobilindustrie - Flächen-Schnittstelle, CAD-standardi 3

8 1 JOHDANTO 1.1 Tausta Levyteollisuuden laatukustannukset arvioidaan 2-3 prosentiksi liikevaihdosta [48]. Samalla kuin tuotantoa pitäisi tehostaa, tulisi tuotteiden laadun parantua entisestään. Virheitä, jotka eivät estä kappaleen jatkojalostusta, ei ihmissilmä välttämättä huomaa. Niinpä suurissa tuotantosarjoissa voivat menetykset nousta merkittäviksi. Kalliimmiksi tulevat virheet, jotka huomataan vasta, kun tuote on jo toimitettu asiakkaalle. Suorien kustannusten lisäksi kärsii myös yhtiön maine, sillä laatu on oleellinen osa tuotteen brändiä. Monet ohutlevytuotteita käyttävät yritykset, kuten Nokia, ovat kustannuksia säästääkseen ja toimintaansa tehostaakseen keskittyneet oman alansa osaamiseen ja hankkivat tarvitsemansa komponentit sopimusvalmistajilta. Tällöin on erityisen tärkeää, että osien mitat vastaavat piirustuksia, muuten lopputuotteen kokoaminen voi osoittautua mahdottomaksi. ISO-laatustandardit, joissa määritellään, mitä tuotantoprosessissa pitää mitata, asettavat omat minimivaatimuksensa tuotteiden laadun tarkkailuun. Laatustandardien lisäksi monet asiakkaat ovat alkaneet vaatia kaikista toimitettavista tuotteista toimituseräkohtaisen tarkastusraportin, jolloin kaikkien tuotteiden on vastattava sovittua. Ohutlevyteollisuudessa on ollut pitkään käytössä koordinaattimittakoneita (CMM) kappaleiden mittojen tarkastamista varten. Koordinaattimittakoneilla saavutetaan riittävä mittatarkkuus, mutta ne ovat hitaita [51]. Kappale pitää aina kiinnittää tukevasti ennen mittausta, ja mittauksen automatisoiminen on myös hankalaa. Konenäköä on alettu käyttää teollisuudessa erilaisten rutiininomaisten valvonta- ja lajittelutehtävien automatisointiin. Tällöin kohteesta otetaan kuvia, jotka analysoidaan tietokoneella, ja tämän perusteella ohjataan teollisuusrobottia, muutetaan prosessia, hylätään tutkittava kappale tai annetaan muita ohjeita. Tietokoneiden nopeuden ja muistin määrän kasvu, kuvankaappauskorttien kehittyminen sekä digitaalikameroiden tarkkuuden paraneminen ovat mahdollistaneet konenäön yhä laajemman käytön teollisuudessa, myös laadunvarmistuksessa. Konenäköjärjestelmä on mahdollista viedä suoraan tuotantolinjalle, ja se etsii virheitä väsymättä. Samalla kun työvoimakustannuksissa voidaan säästää, paranee tuotannon laadunvalvonta [47]. Tämä diplomityö on osa Levytuotteiden laadunvalvonta -projektia [49], jonka tarkoituksena on selvittää levyteollisuuden tuotteissa esiintyvien virheiden syyt, virhejakaumat ja 4

9 kustannukset. Samalla selvitetään menetelmiä, joilla virheet voidaan havaita mahdollisimman aikaisessa tuotantoprosessin vaiheessa. Projekti on Lappeenrannan teknillisen korkeakoulun Konetekniikan osaston Konepajatekniikan laitoksen koordinoima ja Tietotekniikan osaston Tietojenkäsittelytekniikan laitos tarjoaa tarvittavaa konenäköosaamista. Rahoitukseen osallistuu Teknologian kehittämiskeskus sekä projektissa mukana olevat yritykset. 1.2 Tavoitteet ja työn rajaus Tässä työssä selvitetään erilaisten mittausmenetelmien soveltumista taivutettujen tai kokoonpantujen levytuotteiden mittaamiseen. Pääpaino on konenäkömenetelmillä, jolloin mittaaminen tapahtuu kappaleesta otettuja kuvia analysoimalla. Muista optisista menetelmistä esitellään lasertutkan toiminta. Valmista mittausjärjestelmää ei pyritä kehittämään, vaan keskitytään mahdollisuuksien ja rajoitusten selvittämiseen. Lisäksi testataan levytuotteiden laadunvalvontaan soveltuvan mittalaitteen suorituskyky. Tasomaisten ohutlevyosien mittausta [33] on tutkittu jo aiemmin, joten työssä ei käsitellä näitä kaksiulotteisia mittausmenetelmiä. Menetelmistä perehdytään vain niihin, joilla on ainakin periaatteessa mahdollista mitata kokonainen kappale kolmiulotteisesti. Monet teollisuudessa käytettävät kolmiulotteiset mittalaitteet mittaavat käytännössä vain tasomaisen pinnan korkeuseroja tai ne toimivat ainoastaan tietyissä erikoistapauksissa [36]. 1.3 Työn rakenne Seuraavassa luvussa perehdytään ohutlevytuotannon laadunvalvontaan. Levytuotteiden valmistusta, eri vaiheessa syntyviä virheitä sekä niiden mittauslaitteille asettamia vaatimuksia käsitellään lyhyesti. Konenäköön ja sen käyttöön kolmiulotteisessa mittauksessa tutustutaan kolmannessa luvussa. Kolmiulotteisen geometrian lisäksi esitellään erilaisia mittausmenetelmiä ja niissä tarvittavia laitteita. Neljännessä luvussa perehdytään tarkemmin fotogrammetriaa ja rakenteista valoa hyväksi käyttävään konenäköjärjestelmään. Viidennessä luvussa esitetään ja analysoidaan laitteen testauksesta saadut mittaustulokset. Viimeisessä luvussa pohditaan tutkittujen menetelmien soveltumista levyteollisuuteen ja tehdään johtopäätökset. 5

10 2 OHUTLEVYTUOTTEIDEN LAADUNVALVONTA Aluksi esitellään lyhyesti aikaisempia tutkimuksia sekä ohutlevyjen tuotantoa yleensä, jotta voitaisiin keskittyä oleellisiin, parannusta kaipaaviin laadunvalvonnan ongelmiin. Yhteistyöyrityksissä nykyisin käytössä oleviin mittausmenetelmiin tutustutaan myös, ennen kuin määritellään tarvittavan optisen mittalaitteen ominaisuudet ja vaatimukset. 2.1 Aiemmat tutkimukset Ohutlevyosien laaduntarkkailua konenäöllä on tutkittu Lappeenrannan teknillisessä korkeakoulussa aikaisemminkin. Pääpaino on kuitenkin ollut tasomaisten kappaleiden mittaamisessa eli lähinnä levytyökeskuksen toimintatarkkuuden tarkkailussa. Lakso ja Selesvuo [34] ovat tutkineet levytyöstön virhelähteitä mekaanisilla ja optisilla sensoreilla. Automaattisessa työstössä on tärkeää, että esimerkiksi työkalun rikkouduttua tuotanto saadaan mahdollisimman äkkiä pysäytettyä. Tätä varten kehitettiin konenäköohjelma, joka tarkkailee reikien muotoa ja vertaa niitä järjestelmälle opetettuihin eri työkalujen tuottamiin reikien muotoihin. Kaksiulotteisten kappaleiden mittausta konenäöllä on tutkittu myös Kyrjen diplomityössä [33]. Kehitetty mittausjärjestelmä etsii reiät sekä vertaa niiden paikkaa ja muotoa CAD-kuvaan. 3D-mittausta on tutkittu paljon, mutta yleiskäyttöisiä ja nopeita 3D-mittalaitteita on tullut markkinoille vasta viime vuosina kameroiden ja tietotekniikan kehittyessä, eikä niiden käyttö ole vielä laajalti yleistynyt. Auto- ja lentokoneteollisuudessa optisia 3D-mittalaitteita on jo käytössä, mutta tutkimuksia ja testejä, joissa olisi perehdytty eri menetelmien ja pelkästään konenäköä hyödyntävien laitteiden soveltuvuuteen ohutlevytuotteille tai edes samankaltaisille kappaleille, ei juuri löydy. 2.2 Ohutlevytuotteiden valmistusprosessi Ohutlevy on aina metallia, yleensä terästä. Ohutlevyn enimmäispaksuudeksi on SFS-EN standardissa määritelty 3 mm. Levy itsessään on puolivalmiste, josta valmistetaan koneenosia, työkaluja, suojakoteloita jne. Muun muassa elektroniikkateollisuus käyttää hyvin paljon ohutlevytuotteita. Levy on ohuutensa puolesta kevyttä materiaalia, helppoa muokata ja edullista käyttää. Toisaalta se ei ole kovin jäykkää, niinpä levy saattaa päästä 6

11 taipumaan väärästä kohtaa, jos kiinnityksessä ja työstössä ei olla huolellisia. Ohutlevytuotteiden valmistus jakaantuu työstöön levynä, taivutukseen sekä saumojen ja liitosten tekoon [6]. Suuria metallilevyjä työstetään sarjatuotannossa levytyökeskuksilla, joissa aihiot leikataan irti laserilla ja samalla voidaan tehdä tarvittavat rei itykset ja muovailut. Muun muassa työvälineen rikkoutuminen, väärä ohjelmointi tai suunnitteluvirhe voi tässä vaiheessa aiheuttaa virheitä. Aihion taivutus voidaan tehdä esimerkiksi särmäyspuristimella. Jos taivutuskulma ei vastaa suunnitelmia, ei lopputuotteen kokoonpano välttämättä onnistu. Pahimmassa tapauksessa levyn särmä taivutetaan kokonaan väärään suuntaan. Taivutetun aihion reunat pitää tämän jälkeen tarvittaessa liittää toisiinsa hitsaamalla, niittaamalla tai jotenkin muuten. Tämän jälkeen ohutlevykappale voidaan vielä viimeistellä muun muassa hiomalla tai maalaamalla, useista erillisistä kappaleista voidaan koota valmis tuote ja myös tuotteen pakkaus voidaan nähdä erillisenä vaiheena [48]. Esimerkki taivutetusta ja muotoillusta ohutlevykappaleesta on nähtävissä kuvassa 1. Kuva 1: Ohutlevykappale levytyöstön ja taivutuksen jälkeen. Työstettävässä levyssä itsessään on harvoin pahoja virheitä: levyä valssatessa saadaan levyn paksuuskin pysymään yllättävän vakiona [6]. Sen sijaan kaikissa edellä esitetyissä levytyöstön vaiheissa voi tapahtua virheitä tai tuote voi vahingoittua. Syynä voi olla inhimillinen huolimattomuus tai esimerkiksi laitteen vikaantuminen. Monimutkaisia muotoiluja tehtäessä voi myös metallin muotoiltavuuden raja tulla vastaan ja virheet yleistyä. Virheet olisi hyvä huomata mahdollisimman nopeasti ja heti siinä työvaiheessa, jossa virhe on sattunut, jotta virheen kustannukset jäisivät mahdollisimman pieniksi. Tämä taasen onnistuu vain automatisoimalla tarkastus. Levytyöstövaiheessa pärjätään vielä osin 2D-mittalaitteillakin, mutta taivutusten tarkas- 7

12 tus ja myöhemmät työvaiheet vaativat 3D-mittalaiteita. Kaikissa työvaiheissa on tarkastuksista hyötyä, mutta suurien sarjojen automaattisessa työstössä virheiden nopea havaitseminen on erityisen tärkeää. Ennen tuotteen pakkaamista olisi myös hyvä tarkastaa, että asiakkaalle menevä tuote on sovitun mukainen, sillä reklamaatiot ja jälkikäteiskorjaukset tulevat kalliiksi. Ennalta ehkäisevillä toimenpiteillä, tässä tapauksessa kappaleen 3Dmittauksella, voidaan vähentää sekä sisäisiä että ulkoisia virhekustannuksia mm. luomalla edellytykset mahdollisimman virheettömälle tuotannolle [4]. 2.3 Ohutlevykappaleiden mittaaminen Kappaletta tarkastettaessa tutkitaan, ovatko kappaleen mitat mitoituksen mukaisia. Taivutetuissa ja muovatuissa ohutlevyosissa tarkastettavia piirteitä voivat olla tasojen väliset kulmat, dimensiot, tiettyjen piirteiden, esimerkiksi reikien, välimatkat tai vain piirteiden olemassaolon tarkistus. Millimetrin poikkeama reiän halkaisijassa ei välttämättä aiheuta ongelmia toisin kuin reiän puuttuminen kokonaan. Kaikki kappaleen piirteet ja mitat eivät ole niin oleellisia lopputuotteen toiminnan kannalta, joten kaikkea ei myöskään tarvitse yleensä mitata. Optisten 2D-mittalaitteiden lisäksi on projektin yrityksissä käytössä koordinaattimittakoneita 3D-mittausta varten; kuvassa 2(a) on nähtävissä Zeissin Spectrum-mittalaite. Koordinaattimittakone koostuu johteista (kiskoista), joiden avulla koneen luistit voivat liikkua mahdollisimman suoraviivaisesti ja kohtisuorasti toisiinsa nähden [4]. Nämä johteet muodostavat mekaanisen koordinaatiston. Luistien tarkka asema koordinaatistossa pitää tietää joka vaiheessa, jotta mittauspään koskettaessa mitattavan kappaleen pintaan pystytään kosketuspisteet kolmiulotteiset koordinaatit laskemaan. Mekaanisen mittapään (kuva 2(b)) sijasta voidaan käyttää myös optista mittapäätä, mutta mittaustulos riippuu silti osaltaan mekaanisesta koordinaatistosta. Itse mittaustulos havaitaan sähköisten antureiden avulla ja siirretään yleensä tietokoneelle. Koordinaattimittakoneella saadaan tarkkoja mittapisteitä, mutta mittaus vie liikaa aikaa, jotta koordinaattimittakonetta voisi käyttää sarjatuotannossa tuotannon valvontaan. Optiset menetelmät ovat nopeampia käyttää ja helpommin automatisoitavissa, vaikka mittaustarkkuudessa koordinaattimittakoneet monesti vielä päihittävätkin konenäkölaitteet. Levytuotantoon optiset menetelmät ovat kuitenkin riittäviä. Optisilla mittalaitteilla ei tarvita kosketusta mitattavaan kappaleeseen, joten kappaletta ei 8

13 (a) (b) Kuva 2: (a) Carl Zeissin Spectrum -koordinaattimittakone [11]. (b) Kartiopyörän mittaus koordinaattimittakoneella, kuvassa koneen mekaaninen mittapää [10]. (Kuvat lainattu Carl Zeiss Industrielle Messtechnik GmbH:n lehdistötiedotteista A. Lindmayerin luvalla.) tarvitse kiinnittää mittausalustaan toisin kuin mekaanista mittapäätä käytettäessä. Ohutlevytuotteet tuskin vahingoittuvat mittausanturin kosketuksesta, mutta joissain muissa sovelluksissa tämäkin voi olla ongelma [9]. Mittauksessa käytettävä mittausvoima sekä mittapään tulokulma voivat sen sijaan vaikuttaa tulokseen, mikä ei optisilla menetelmillä ole ongelma. Tämän vuoksi koordinaattimittakoneissakin on alettu nykyisin käyttää mekaanisen mittapään vaihtoehtona myös optista mittapäätä. Optisilla menetelmillä tietyssä ajassa saatavien mittapisteiden määrä on ylivoimaisesti suurempi verrattuna koordinaattimittakoneisiin, eivätkä monimutkaiset pinnat aiheuta ongelmia samalla lailla kuin koordinaattimittakoneita käytettäessä. Aina riittävän tarkkaa tulosta ei kuitenkaan saada kuin koordinaattimittakoneella [9]: kappaleen sisäpintoja ei muun muassa pysty kameralla kuvaamaan kovin helposti. 2.4 Optiselle mittalaitteelle asetettavat vaatimukset Teollisuusympäristö asettaa rajoituksia ja vaatimuksia 3D-mittausjärjestelmälle. Riittävän mittaustarkkuuden lisäksi mittalaitteen tulee olla tarpeeksi nopea, sietää tärinää ja likaa 9

14 eikä se saa olla herkkä ympäristön valaistuksen muutoksille. Jos mitattavien kappaleiden koko ja muoto vaihtelee paljon, kamerat pitää voida sijoitella mitattavan kohteen mukaan. Järjestelmän tarkkuus ja mittausaika olisi hyvä olla mukautettavissa. Mittalaitteen tulisi perustua lähinnä yleisesti saataviin standardikomponentteihin, jotta sen hinta ei kohoa liian korkeaksi. Laitteen tuotantoketjuun liitettävyyteen kannattaa kiinnittää huomiota kuten myös siihen, että mittalaitetta pystyy käyttämään ilman erikoiskoulutusta. [36] Monimutkaisten, taivutettujen kappaleen kaikkia oleellisia piirteitä ei näe yhdestä suunnasta kerralla, mikä pitää ottaa huomioon mittauksessa. Pelkän kappaleen pinnan 3Dmittaus yhdestä suunnasta ei siis yleensä riitä. Työstetyistä tai kiillotetuista metalliosista voi löytyä lähelle peilimäisiä pintoja, joita on vaikea mitata. Valo ei heijastu tällaisesta pinnasta tasaisesti, jos käytetään pistemäistä valaistusta, vaan osa pinnasta näkyy erittäin kirkkaana, joten tällaisen pinnan tutkiminen kuvista on hankalaa [46, 60]. Jos heijastus tuottaa ongelmia, on toki kappaleen pinta mahdollista käsitellä ennen mittausta, mutta tämä aiheuttaa ylimääräistä työtä. Kaartuvan pinnan tarkka mittaaminen on erityisen ongelmallista [30], mutta tähän ei projektiyrityksillä ollut juuri tarvetta. Yhteistyöyritysten valmistamat tuotteet vaihtelevat pienistä metalliosista isoihin keskuskaappeihin. Mitattavien kappaleiden maksimikooksi rajattiin kuitenkin kuutio, jonka särmä on noin 600 millimetriä. Millin kymmenesosa on useimmissa tapauksissa riittävä mittaustarkkuus. Yhden kappaleen mittausaika voi vaihdella kymmenestä sekunnista kahteen tuntiin, riippuen siitä, mitataanko kaikki kappaleet suoraan tuotantolinjalla vai tarkastetaanko vain osa kappaleista. Laitetta voidaan käyttää myös tuotekehitysvaiheessa, jolloin mittausaika ei ole niin kriittinen. Kaikista yritysten ohutlevykappaleista löytyy CAD-mallit, jolloin mittausdataa voi verrata suoraan CAD-kuvaan. Järjestelmässä on järkevää käyttää jotain 3D-mallien CADstandardia, kuten IGES [6]. Yritysten tarpeet ovat erilaisia sekä mitattavat kappaleet hyvin erikokoisia ja toisistaan poikkeavia, joten täysin yleispätevää, kaikissa tapauksissa hyvin toimivaa ratkaisua tuskin on löydettävissä. Universaali järjestelmä on hankala ja kallis toteuttaa [47], niinpä ennemmin kannattaa etsiä mittalaitetta, joka on muokattavissa yritysten erilaisiin tarpeisiin. 10

15 3 KOLMIULOTTEINEN MITTAUS KONENÄÖN AVULLA Tässä luvussa perehdytään ensin yleisesti konenäköön ja kolmiulotteiseen mittaukseen sekä mittauksen eri vaiheisiin. Seuraavaksi esitellään kolmiulotteisen avaruuden geometriaa ja eri mittausmenetelmiä erityispiirteineen sekä arvioidaan menetelmien soveltuvuutta levytuotteiden laadunvalvontaan. Lopuksi tutustutaan yksityiskohtaisesti konenäkölaitteistoon, mittaukseen vaikuttaviin tekijöihin, mitatun datan käsittelyyn sekä sen analysointiin 3.1 Konenäön soveltaminen Konenäössä mallinnetaan todellisuutta kuvien avulla. Kohteesta otetaan kuvia yhdellä tai useammalla kameralla, ja näistä kolmiulotteisen maailman kaksiulotteisista projektioista pyritään laskemaan haluttu informaatio. Konenäkölaitteisto koostuu yhdestä tai useammasta kamerasta, joko tavallisesta tai videokamerasta, erilaisista kameroihin liitettävistä objektiiveista, valoista sekä tietokoneesta, jolle kuvat siirretään kuvankaappauskortin avulla ja joka suorittaa varsinaisen kuvien analysoinnin ja käsittelyn. Esimerkiksi teollisuudessa konenäköä käytetään virheellisten kappaleiden tai materiaalivirheiden tunnistamiseen. Sitä voidaan hyödyntää satelliittikuvien analysoinnissa vaikkapa ympäristötuhojen kartoittamiseksi tai palvelurobotin automaattiohjauksessa, jotta robotti osaa väistää eteensä tulevat esteet. Konenäkö jakaantuu kaksi- ja kolmiulotteiseen hahmontunnistukseen sovellustarpeen mukaan. Kolmiulotteisessa mittauksessa (3D-mittaus) tavoitteet vaihtelevat kolmiulotteisen hahmon tunnistamisesta pinnan tai kokonaisen kappaleen tarkkaan mittaamiseen. Kosketukseen perustuvista, mekaanisista laitteista, on alettu siirtyä yhä enemmän optisten menetelmien käyttöön. Useimmat menetelmät hyödyntävät konenäköä, johon tässä työssä on keskitytty, mutta muitakin tapoja on kehitetty, kuten laseretäisyysmittaus. Eri menetelmiä ja niiden variaatioita on paljon, mutta käyttötarkoitus rajaa mahdollisia menetelmiä varsin tehokkaasti. Konenäkölaitteiston valinnassa tulee mittaustarkkuuden lisäksi huomioida monta muutakin mittaukseen liittyvää seikkaa, kuten valaistus, skaalautuvuus, helppokäyttöisyys ja mitattavien kappaleiden muoto [2]. Konenäkölaitteiston ominaisuuksia käsitellään tarkemmin luvussa 3.4. Valmiita mittauslaitteistokokoonpanoja on nykyisin tarjolla, mutta 11

16 usein laitteisto joudutaan, ainakin osittain, kokoamaan paikan päällä osista. Tällöin kamerat ja tarvittavat lisälaitteet tulee kiinnittää tukevasti paikalleen, etteivät ne pääse heilumaan ja vaikuttamaan mittaustulokseen. Kun kappale halutaan mitata konenäköjärjestelmällä kolmiulotteisesti, voidaan mittausprosessi jakaa kuuteen osaan (kuva 3). Ennen kuin mittausjärjestelmää voidaan käyttää, täytyy se kalibroida. Kalibroinnilla tarkoitetaan mittalaitteen mitta-asteikon tarkistamista ja asettamista kohdalleen. Konenäössä tämä tarkoittaa muun muassa kameroiden paikkojen ja linssivirheen määrittämistä. Kalibroimattomalla laitteella ei saada tarkkoja mittaustuloksia. Kalibrointi joudutaan uusimaan, jos mittalaitetta on siirretty tai jos kamerat ovat muuten päässeet liikkumaan. Järjestelmän kalibrointi Mittaus Mittadatan esikäsittely Erillisten mittausten yhdistäminen Mallin luominen Mallin vertaaminen CAD kuvaan Kuva 3: Optisen 3D-mittauksen vaiheet: Kaikkia vaiheita ei aina tarvita, ne voivat olla vähän eri järjestyksessä tai yhdistettyinä toisiinsa. Seuraavaksi pitää tehdä itse mittaus. Kappaleesta otetaan kuvia yhdellä tai useammalla kameralla, mahdollisesti eri asennoissa ja erilaisessa valaistuksessa, ja digitaaliset kuvat siirretään tietokoneelle. Useasti tätä mittausdataa pitää esikäsitellä, ennen kuin sitä voidaan käyttää. Erilaisilla esikäsittelymenetelmillä [21] voidaan muun muassa poistaa mahdollisia häiriöitä tai erotella käyttökelpoinen data. Mitattava kappale voi olla niin monimutkainen, etteivät kaikki sen oleelliset piirteet näy kameroille yhdestä suunnasta. Kappaletta joutuu usein joko pyörittämään tai kameroita liikuttelemaan, ellei kameroita sitten ole jo valmiiksi joka puolella kappaletta. Eri puolilta kappaletta mitattu data tulee pystyä yhdistämään. Käytännössä tämä tehdään koordinaatistomuunnoksella, jolla eri suunnasta otettu data sovitetaan samaan koordinaatistoon. 12

17 Monesti mittaustuloksista pitää vielä muodostaa malli, jota voidaan verrata ideaalisen kappaleen malliin. Vertailussa voidaan käyttää joskus pelkästään mitattujen pisteiden muodostamaa pistepilveä, mutta pistepilvestä voidaan etsiä myös kappaleen muotoja tai joitain geometrisia ominaisuuksia ja verrata sitten näistä muodostettua mallia. Useimmiten on helpointa verrata suoraan kappaleen kolmiulotteiseen CAD-kuvaan, mutta vertailussa voidaan käyttää myös toista kappaletta, niin sanottua referenssikappaletta. Sen mitat on tarkastettu, ja se on samalla tavoin mitattu kuin varsinainen tutkittava kappale. Kaikki piirteet eivät ehkä ole oleellisia, mikä voidaan ottaa huomioon jo mallia luodessa. 3.2 Kolmen ulottuvuuden geometria Tarkan mittaustuloksen saamiseksi täytyy 3D-mittauksessa tarvittava geometria tuntea. Esimerkkinä tarkastellaan pelkistettyä järjestelmää, jolla kolmiulotteisia muotoja voidaan mitata, ja sen avulla esitellään epipolaarigeometrian ja kolmiomittauksen perusteet. Yksinkertaisin kameramalli on neulanreikäkamera, jota käytettäessä otetaan huomioon vain kameroiden ja niiden projektiokeskipisteiden paikat; linssien polttoväleistä tai linssivääristymistä ei tarvitse välittää. Neulanreikäkamerassa kuvataso voi olla millä tahansa etäisyydellä neulanreiästä, kun taasen linssejä käytettäessä pitää kuvatason olla polttovälin etäisyydellä, jotta kuvasta tulisi terävä. Käyttämällä vähintään kahta kameraa, voidaan kaksiulotteisista kuvista määrittää myös etäisyyksiä. Kuvattavassa kohteessa pitää olla selkeästi erottuvia muotoja, kuten reunojen muodostamia kulmia tai kuviointia, joiden sijainti voidaan sitten mitata. Ensimmäiseksi pitää selvittää, mitkä kuvissa näkyvät mittapisteet vastaavat toisiaan. Tähän voidaan käyttää epipolaarigeometriaa. Yksinkertainen malli epipolaarigeometrian käytöstä on nähtävissä kuvassa 4. Piste P kuvautuu vasemman kameran kuvatasolle pisteeksi p vas. Oikean kameran kuvasta voi löytyä useita toisiaan muistuttavia mittapisteitä, joten ensimmäisenä on määritettävä, mikä piste vastaa P :tä oikeanpuoleisella kuvatasolla. Kun tarkastellaan vasemman kameran kuvaa, niin voidaan päätellä, että piste P on vasemman kameran projektiokeskipisteen O vas ja kuvatason pisteen p vas muodostamalla suoralla. Tämä suora kuvautuu oikean kameran kuvatasolle suoraksi, jota kutsutaan epipolaari- tai sydänsuoraksi. Pistettä P vastaava kuvapiste p oik täytyy siten löytyä tältä suoralta, jos se oikeanpuoleisen kameran kuvassa yleensä näkyy. Kahden kameran tapauksessa on mahdollista, että tältä suoralta löytyy vieläkin kaksi lähes samanlaista pistettä. Kun käytetään kolmatta kameraa, saadaan kuvatasolle kaksi epipolaarisuoraa, joitten leikkauspisteestä projisoitunut piste löytyy. Epi- 13

18 polaarigeometriaa ovat käsitelleet tarkemmin muun muassa Faugeras [18] sekä Trucco ja Verri [56]. P Epipolaarisuora Epipolaarisuora Epipolaaritaso p vas p oik e vas e oik O vas O oik Kuva 4: Epipolaarigeometria [56]: Menetelmä on saanut nimensä epipolaari- eli sydänpisteiden mukaan. Nämä pisteet syntyvät kohtiin, joissa kameroiden projektiokeskipisteiden kautta kulkeva suora leikkaa kuvatasot. Kolmiomittauksen eli kolmioinnin (triangulation) avulla voidaan laskea mittauspisteille tarkkoja 3D-koordinaatteja. Kun tiedetään pisteen P projektioiden eli vastinpisteiden p vas ja p oik paikka kuvissa, kameroiden tarkka paikka ja linssien polttoväli f (tai projektiokeskipisteen kohtisuora etäisyys kuvatasosta neulanreikäkameraa käytettäessä), voidaan P :n koordinaatit kolmiulotteisessa avaruudessa laskea (kuva 5). Koordinaatisto voidaan asettaa niin, että kameroiden projektiokeskipisteet ovat x-akselilla yhtä kaukana origosta eli niiden koordinaatit ovat ( a, 0, 0) ja (a, 0, 0). Jos oletetaan lisäksi, että kamerat osoittavat samaan suuntaan, voidaan pisteen koordinaatit (x, y, z) laskea. Pisteen ja sen projektioiden suhdetta kuvaavat seuraavat yhtälöt [22]: ( ) p x vas p y = f ( ) x a vas z y ja ( ) p x oik p y = f ( ) x + a oik z y (1) Kun tiedetään pisteen P vastinpisteiden koordinaatin p vas ja p oik kuvatasolla, voidaan P :n 14

19 Vasemman kameran kuvausakseli Oikean kameran kuvausakseli P (x,y,z) z p vas p oik Kanta (0,0,0) f O vas O oik a a Kuva 5: Kolmiomittaus [27]: Piste P kuvautuu kameroiden kuvatasolle vähän eri paikkaan, ja tämän poikkeaman avulla voidaan etäisyys z laskea. Jos kuvatasot eivät ole samansuuntaiset, täytyy ne ensin matemaattisella muunnoksella oikaista. etäisyys laskea muodostamalla koordinaattien erotukset: p x vas p x oik = f z [x + a (x a)] = f z a (2) Tästä saadaan laskettua pisteen P z-koordinaatti z = fa p x vas px oik (3) ja edelleen kaavan 1 avulla x- ja y-koordinaatit. Käytännössä kolmiomittaus ei ole ihan näin yksinkertaista. Vaikka kaavoissa tarvittavat parametrit yleensä tiedetäänkin, muun muassa filmin tai digitaalikameran tarkkuus ja linssivääristymä aiheuttaa mittausvirhettä, jolloin p y vas py oik. Kameroiden suunta voi myös erota, jolloin kuvat pitää ensin oikaista kannan suuntaisiksi, tai kameroiden linssien polt- 15

20 tovälit voivat olla erilaiset. Koska arvot eivät ole absoluuttisen tarkkoja, eivät projektiokeskipisteiden ja pisteen projektioiden kautta kulkevat suorat välttämättä leikkaakaan toisiaan. Tällöin on etsittävä kohta, jossa suorat ovat lähimpänä toisiaan ja pisteen paikaksi tulee lyhimmän mahdollisen viivojen väliin piirretyn vektorin keskipiste [56]. Ennen pisteen sijainnin määrittämistä pyritään mittausvirhettä pienentämään kalibroinnin avulla, mistä tarkemmin kalibroinnin yhteydessä. Yksittäisen kolmiointipisteen tarkkuus on suoraan verrannollinen kuvahavaintojen tarkkuuteen. 3.3 Mittausmenetelmät Optisia 3D-mittausmenetelmiä on useita, ja niitten jaottelu vaihtelee eri lähteissä. Menetelmistä löytyy erilaisia variaatioita, ja joitakin menetelmiä käytetään yhdessä toisten kanssa parhaan tuloksen saamiseksi. Menetelmät voidaan jakaa muun muassa mittaustarkkuuden mukaan, käytettävän valonlähteen mukaan laseriin tai valkoiseen valoon perustuviin [53] tai aktiivisiin ja passiivisiin menetelmiin [39, 52]. Aktiivisissa menetelmissä mitattavan kappaleen pinnalle heijastetaan säännöllinen kuviointi ja kuvista tutkitaan, kuinka kuviointi heijastuu kappaleen pinnasta. Passiiviset menetelmät perustuvat kappaleen muotojen suoraan tutkimiseen. Aktiiviset menetelmät yksinkertaistavat ja nopeuttavat mittausprosessia, mutta ne eivät sovi kaikkiin tilanteisiin niin hyvin kuin joustavammat passiiviset menetelmät. Tässä kappaleessa käsiteltävät mittausmenetelmät on luokiteltu kuvassa 6. Optiset menetelmät Fotogrammetria Muoto varjostuksesta Passiiviset Muoto syvyysterävyydestä Muoto tekstuurista Tutkakuvaus Aktiiviset Laserskannaus Rakenteinen valo Interferometria Fotometria Moiré Laserseurain Kuva 6: 3D-mittausmenetelmät voidaan jakaa aktiivisiin ja passiivisiin menetelmiin [52]. Tutkakuvausmenetelmä ei kuulu kummankaan kategorian alle, koska se perustuu valon kulkeman matkan mittaamiseen. 16

21 3.3.1 Fotogrammetria ja stereonäkö Fotogrammetria (photogrammetry) on alun pitäen kehitetty topografiakartoitusta varten, ja sitä on käytetty jo 1900-luvun alusta lähtien [22]. Se on perusmenetelmä, jota käytetään 3D-mittauksessa monesti yhdessä muiden menetelmien kanssa. Fotogrammetria viittaa terminä valokuvien käyttöön, kun taas konenäössä kuvia käsitellään digitaalisessa muodossa; konenäkökirjallisuudessa puhutaankin usein stereonäöstä. Stereonäkö viittaa toisaalta kahden kuvan käyttöön, koska se pohjautuu ihmisnäön tutkimukseen, mutta käytännössä molemmat termit viittaavat samaan tekniikkaan. Fotogrammetria perustuu valkoisen valon ja kappaleiden muotojen hyväksikäyttöön sekä kolmiomittaukseen, jota käytetään syvyystiedon laskemiseen. Kun kappaleesta otetaan kuvia hieman eri suunnista, voidaan kappaleen kolmiulotteisia muotoja arvioida kuvien erojen perusteella. Kolmiulotteisen muodon määrittäminen voidaan jakaa kahteen osaan. Ensin pitää löytää kuvista toisiaan vastaavat osat. Useimmiten etsitään vastinpisteitä, mutta myös viivoja tai pintoja voidaan käyttää. Lisähankaluutta tuo se, että kaikki vastinpisteet eivät välttämättä näy kaikissa kuvissa. Vastinpisteet näkyvät eri kohdissa eri suunnista otetuissa kuvissa, ja näiden poikkeamien avulla voidaan kappaleen kolmiulotteinen muoto laskea. [56] Vastinpisteiden etsintään käytetyt menetelmät voidaan jakaa korrelaatioon ja piirreirrotukseen perustuviin. Korrelaatioon perustuvissa menetelmissä etsitään kuvista samankaltaisia alueita. Ensimmäisestä kuvasta valitaan mittapisteet, jotka muista kuvista halutaan löytää. Piste ja sen ympäristö muodostavat vertailuikkunan. Muut kuvat käydään systemaattisesti lävitse ja sieltä etsitään vertailuikkunaa muistuttavaa aluetta laskemalla korrelaatio [56]. Kun jokaisesta kuvasta on löydetty lähimpänä vertailuikkunaa oleva alue, voidaan etsityn pisteen olettaa löytyvän tämän alueen keskeltä. Piirreirrotusta käytettäessä täytyy etukäteen tietää, minkälaisia piirteitä kuvista etsitään. Piirteiksi soveltuvat muun muassa geometriset muodot, kuten suorat, ympyrät ja erilaiset käyrät, jotkin rajatun alueen ominaisuudet, kuten pinta-ala tai halkaisija, tai reunapisteet. Piirteiden etsintään käytetty menetelmä valitaan sen mukaan, minkälainen piirre on. Reunat voidaan löytää gradientin avulla [56] tutkimalla harmaasävyjen äkkinäisiä muutoksia ja kappaleen ääriviivat Canny-suodattimella [8]. Ääriviivoista voidaan etsiä geometrisia muotoja edelleen Hough-muunnoksen avulla [25, 17]. Eri kuvista löytyviä piirteitä kuvaavia piirrevektoreita verrataan toisiinsa ja lähimpänä toisiaan olevat luokitellaan samaksi piirteeksi. 17

22 Fotogrammetriaa käytetään usein kolmiulotteisten muotojen määrittämiseen, mutta myös mittaamiseen. Jotta kappale voitaisiin tarkasti mitata, pitää kappaleessa olla riittävästi selkeitä vastinpisteitä. Usein joudutaan joko kiinnittämään tai heijastamaan mittapisteitä, jotta homogeeninenkin pinta voitaisiin mitata [12, 20]. Kun kameroiden paikat ja ominaisuudet tiedetään, voidaan pisteiden tarkka sijainti kolmiulotteisessa koordinaatistossa laskea kolmiomittauksen avulla. Parhaimmillaan tällä menetelmällä on päästy ainakin yhden miljoonasosan tarkkuuteen mitattavan esineen kokoon nähden [19]. Fotogrammetria on erittäin tarkka mittausmenetelmä, ja mittaustarkkuutta rajoittaa lähinnä vain kameroiden resoluutio ja kalibroinnin tarkkuus. Mittauslaitteisto on helposti vietävissä mittauspaikkaan ja tarvittava tekniikka on edullista. Monimutkaisia kappaleita mitattaessa voi kuitenkin syntyä katvealueita, jonne kamerat eivät näe. Kolmiulotteisten koordinaattien määrittäminen vaatii myös laskentatehoa, jonka tarvetta voidaan vähentää kehittämällä laskennassa käytettäviä algoritmeja Rakenteinen valo Rakenteista valoa (structured light) käytettäessä kappaleen pinnalle heijastetaan valokuvio, joka havaitaan yhdellä tai useammalla kameralla. Heijastettava kuvio voi olla yksinkertaisimmillaan valopiste, mutta myös viiva, useampia viivoja, ristikko, pistematriisi tai jokin monimutkaisempi kuvio [24, 31, 53]. Kun tiedetään valonlähteen ja yhden kameran - tai pelkästään kahden kameran - paikka ja suunta, voidaan kappaleen pinnasta heijastuneen kuvion pisteiden paikka laskea. Syvyystieto lasketaan kolmiomittauksella, joten menetelmää kutsutaan myös aktiiviseksi kolmiomittaukseksi [12]. Yksinkertainen malli rakenteisen valon käytöstä 3D-mittauksessa on esitetty kuvassa 7(a). Kameran linssin keskipiste sijaitsee origossa ja kuvataso polttovälin f päässä sen takana. Projektori, jonka projisoima valopiste heijastuu mitattavan kappaleen pinnasta pisteestä (x, y, z), sijaitsee x-akselilla etäisyydellä b origosta. Kuvatason ja projektorin välinen kulma xz-tasossa on θ. Kun lisäksi tiedetään pisteen kuvan paikka (x, y ) kuvatasolla, voidaan pinnan koordinaatti laskea kaavalla [27] [ x y z ] = b f cotθ x [ x y f ]. (4) Kappaleen 3D-koordinaatit saadaan yhdeltä puolelta mitattua, kun kaikkialle mitattavalle 18

23 pinnalle heijastetaan valoprojektorilla mittapisteitä vuorotellen. Tällaista järjestelmällistä pinnan läpikäyntiä valoprojektorilla kutsutaan skannaukseksi. Jokainen heijastunut piste lasketaan kaavalla 4. Mitä tarkemmin kappale halutaan mitata, sitä enemmän pisteitä pitää mitata. Tämä menetelmä on varsin hidas, koska kerralla saadaan mitattua ainoastaan yksi piste. z akseli Mitattava piste (x,y,z) Epäjatkuvuus kohtia Heijastuskulma θ (0,0,0) x akseli Heijastettu valojuova b f Projektori x akseli x Kuvataso Projektori Kamera (a) (b) Kuva 7: (a) Yksinkertainen malli rakenteisen valon käytöstä [27]. (b) Valojuovien heijastuminen kappaleen pinnasta; osa pinnasta voi olla joko projektorilta tai kameralta piilossa, jolloin syntyy epäjatkuvuuskohtia [27]. Pinnan kattavammin peittävää valokuviota käyttämällä voidaan kerralla mitata enemmän, mutta samalla itse mittaus monimutkaistuu. Jos käytetään esimerkiksi useampia viivoja, kuten kuvassa 7(b), eivät viivat välttämättä näy yhtenäisinä kappaleesta otetuissa kuvissa. Kuvasta ei aina voi päätellä, mitkä siinä näkyvät viivan osat kuuluvat samaan projisoituun viivaan. Viivat voitaisiin heijastaa eri väreillä, mutta eri pintamateriaalit heijastavat valoa eri tavalla, jolloin värien tunnistus voi muodostua ongelmaksi. Yksi tapa on käyttää Graykoodausta ja ottaa kuvasarja mitattavasta kohteesta niin, että vain osa valoviivoista heijastetaan kerralla kappaleen pinnalle [27, 52]. Kuviota valittaessa tulisi ottaa huomioon, ettei se saisi muuttua liian rajusti heijastuessaan erilaisista pinnoista, kuvion löytäminen pitäisi olla helppoa ja se pitäisi pystyä määrittämään tarkasti [52]. Yleensä sääntönä voi pitää, että mitä monimutkaisempi kappale on mitattava, sitä yksinkertaisempaa kuviota kannattaa käyttää. Monimutkaisissa pinnoissa ongelmaksi muodostuvat kohdat, jonne kuviota ei saada käytetystä suunnasta heijastettua tai jota useampikaan kamera ei näe. Myöskään kokonaista kappaletta ei voida mitata yhdestä suunnasta. Tällöin kameroita ja projektoria pitää jo- 19

24 ko siirtää tai kappaletta pyörittää [12]. Kappaleen pyörittäminen on helpompi vaihtoehto, koska silloin joudutaan määrittämään ainoastaan kappaleen uusi asento, ei sekä kameroiden että projektorin paikkaa. Eri suunnista mitattu data pitää pystyä yhdistämään, mitä käsitellään tarkemmin luvussa 3.5. Käyttämällä useampaa kameraa voidaan paremmin taata, että kappaleen pinta saadaan kattavasti kuvattua. Rakenteista valoa voidaan hyödyntää ilman kallista erikoistekniikkaa, vaikka valonlähteenä voidaankin käyttää haluttaessa laseria tai LCD-projektoria ja kamerana korkearesoluutioista CCD-kameraa [12]. Tarvittava videotekniikka on edullista ja energian kulutus pieni [59]. Rakenteinen valo on ehkä eniten tuotteistettu mittausmenetelmä ja laajalti käytössä teollisuudessa. Valaistusta pitää kuitenkin pystyä kontrolloimaan, jotta valokuviot erottuisivat kappaleitten pinnalta [27]. Ongelmallisia ovat heijastavat, peilimäiset pinnat, kuten hiotut metalliosat, koska heijastuneen valon intensiteetti voi kohota liian suureksi sensorille [31], kuten myös erittäin monimutkaiset kappaleet. Menetelmän nopeus riippuu skannaustavasta ja käytetystä kuviosta, digitaalisen signaalin saantinopeudesta, pisteiden etäisyyden laskualgoritmista ja osaltaan myös kappaleen monimutkaisuudesta [59]. Rakenteisella valolla ylletään samoihin tarkkuuksiin kuin fotometriaa käyttämällä, tosin kaikilla valokuvioilla ei välttämättä saavuteta kiinteiden mittapisteiden antamaa tarkkuutta Laseriin perustuvat menetelmät Laseria voi käyttää muiden menetelmien apuna muun muassa valonlähteenä, mutta pelkkään laseriin perustuvia menetelmiäkin on olemassa. Laserskanneri ja laserseurain käyttävät konenäköä hyväkseen toisin kuin tutkakuvausmenetelmä, jossa etäisyys lasketaan valon nopeuden avulla. Tutkakuvausmenetelmä (imaging radar, time/light in flight) perustuu valon kulkeman matkan mittaamiseen [27]. Yleensä käytetään lasersädettä, jolloin puhutaan myös lasertutkasta. Säde heijastetaan kappaleen pintaan, ja sen lähtö- ja tuloaika mitataan. Kun säteen suunta ja edestakaiseen matkaan kulkenut aika tiedetään, voidaan pinnan pisteen paikka laskea. Etäisyyttä voidaan arvioida myös käyttämällä amplitudimoduloitua lasersädettä ja tutkimalla heijastuneen säteen vaihe-eroa alkuperäiseen verrattuna [35]. Tällöin pitää kuitenkin tietää jonkin mitatun pisteen absoluuttinen etäisyys, sillä menetelmällä saadaan mitattua vain jokaisen pisteen etäisyyden muutos edelliseen mitattuun pisteeseen verrattuna. 20

25 Lasertutkalla päästään noin millimetrin tarkkuuteen, diodilaseria ja korkearesoluutioista elektroniikkaa käyttämällä voidaan tarkkuutta hieman parantaa [12]. Parhaimmillaan pinnan etäisyys on saatu mitattua muutaman sadasosamillimetrin tarkkuudella, kun mittausetäisyys on ollut noin yksi metri, mutta sivusuunnassa päästään vain alle puolen millimetrin tarkkuuteen [41]. Tutkakuvausmenetelmällä kappaleet saadaan mitattua kattavammin kuin kolmio- ja stereomittaukseen perustuvilla menetelmillä, sillä riittää, että pinta nähdään joltakin suunnalta. Toisaalta kappaletta on vaikea mitata kovin läheltä, koska valon kulkema matka ja matkaan kulunut aika on silloin hyvin pieni ja hankala määrittää tarkasti. Laserskanneri perustuu kolmiomittauksen käyttöön kuten rakenteinen valokin, mutta se luokitellaan usein eri menetelmäksi pistemäisen laservalonlähteen vuoksi. Laserilla lähetetään mitattavan kappaleen pintaan valopulssi, joka havaitaan CCD-kameralla tai paikkaherkällä tunnistimellä (position sensitive detector, PSD). Kun tiedetään lähettimen ja sensorin välinen etäisyys ja toisen kulma, voidaan etäisyys laskea. Menetelmän tarkkuus riippuu lähinnä saatavien kuvien tarkkuudesta ja jonkin verran käytetystä laserista. Myös mitattava pinta vaikuttaa tarkkuuteen ja yleensä mittalaite pitää kalibroida erityyppisille pinnoille uudelleen tarkan tuloksen saamiseksi. [12] Laserskannerilla saadaan tarkkoja mittaustuloksia. Parhaimmillaan päästään sadasosamillimetrin tarkkuuteen ja pisteitä saadaan mitattua 2500 sekunnissa [9]. Laserin liikuttelu kappaleen pinnalla voi olla ongelmallista, sillä askelmoottorin pitää olla tarkka [36]. Kovin etäältä kappaletta ei myöskään kannata mitata laserskannauksella. Laserseurain (laser tracker) perustuu osin interferometriaan [12]. Mittausjärjestelmä koostuu lähettimestä ja liikuteltavasta, lasersäteen takaisin heijastavasta optisesta sensorista (retro-reflector). Sensoria liikutellaan pitkin mitattavan kappaleen pintaa, ja sen kupera peili pyrkii heijastamaan lasersäteen takaisin lähetinyksikköön. Absoluuttinen etäisyys lasketaan samoin kuin lasertutkassa, mutta suurin osa pisteistä voidaan määrittää laskemalla paikan suhteellinen muutos interferometrian avulla. Sensorin heijastama säde palaa kahta tai useampaa eri reittiä takaisin, valon aallon vaiheesta riippuen palaavat säteet vahvistavat tai heikentävät toisiaan. Syntyvän valopisteen kirkastumisen tai himmenemisen perusteella voidaan etäisyyden muutos mitata. Valon aallonpituus on pieni, joten menetelmällä pystytään mittaamaan etäisyys tarkasti. Nykyisillä laitteilla päästään jo kahdeskymmenesosamillimetrin tarkkuuteen [32], mutta tarkempiakin mittaustuloksia on mahdollista saada [28]. Sivusuunnassa tarkkuus riippuu mittausetäisyydestä ja siitä, kuinka tarkasti pystytään määrittämään lasersäteen kulman 21

26 muutokset sensoria liikuteltaessa. Laseriin perustuvat menetelmät eivät ole herkkiä ympäristön valaistuksen vaihteluille [53]. Sen sijaan pintamateriaalin pitää heijastaa laservalo kyllin voimakkaana takaisin, jotta tarkka etäisyys voidaan mitata [41]. Erityisesti valoa absorboivat pinnat ovat hankalia mitata. Peilimäiset pinnat voivat haitata laserskannerin toimintaa, kun taasen laserseurain ei välitä pintamateriaalista ollenkaan, koska lasersäde ei heijastu missään vaiheessa suoraan kappaleen pinnasta. Esitellyt menetelmät ovat varsin hitaita esimerkiksi rakenteiseen valoon verrattuna, koska kerralla voidaan mitata yksi piste, vaikka mittausnopeus onkin parhaimmillaan mittausta sekunnissa [53] Muut menetelmät Interferometriaan ja Moiré-ilmiöön perustuvat mittausmenetelmät käyttävät hyväkseen valon aaltoluonnetta. Fotometrinen stereo sekä varjostusta, pinnan kuviontia ja syvyysterävyyttä käyttävät menetelmät ovat epäsuoria mittausmenetelmiä (shape from X), joista monet arvioivat pinnan suuntaa paikallisesti eivätkä suoraan etäisyyttä. Ainakin yhden pisteen absoluuttinen etäisyys on tiedettävä, että voidaan laskea pinnan absoluuttiset mitat. [27] Interferometria tarkoittaa ilmiötä, jossa valo kulkiessaan hilan lävitse taipuu. Valkoinen valo sisältää usean taajuista valoa. Eri taajuudet taipuvat eri tavalla, ja hilan taakse muodostuu tämän takia spektri. Kun käytetään laservaloa, saadaan heijastuspinnalle muodostumaan viivakuvio aaltomaksimeista ja -minimeistä. Tämä kuvio muovautuu epätasaiselle taustalle sen pinnan muotojen mukaan, ja kuviosta otetuista kuvista voidaan pinnan muodot laskea [39]. Tällä menetelmällä voidaan päästä jopa kymmenestuhannesosan tarkkuuteen suhteessa viivan leveyteen [12]. Moiré-tekniikka perustuu kahden samanlaisen hilan käyttöön [12]. Kun hilat asetetaan päällekkäin, syntyy Moiré-ilmiö, kuten kuvassa 8(a) näkyy. Toinen hila asetetaan valonlähteen eteen, jolloin hilan lävitse kulkenut valo muodostaa kuvion mitattavan kappaleen pintaan. Kameran edessä on samanlainen hila, jolloin kuvatasolle muodostuu Moiréilmiön aiheuttamat varjot. Kohteen epätasainen pinta aiheuttaa varjokuvion vääristymisen ja tämän vääristymän perusteella voidaan kappaleen pinnanmuodot laskea. Esimerkki kuvion vääristymisestä on nähtävissä kuvassa 8(b). Mittausetäisyys vaihtelee tyypillisesti yhdestä millimetristä puoleen metriin ja mittaustarkkuus varjokuvion raidanleveyden 22

27 kymmenesosasta sadasosaan [12]. (a) (b) Kuva 8: Moiré-ilmiö: (a) Ilmiö on havaittavissa, kun kaksi samanlaista hilaa asetetaan päällekkäin. (b) Esimerkki Moiré-ilmiön käytöstä 3D-mittauksessa. Kappaleen muodot aiheuttavat kuvion vääristymisen, minkä perusteella kolmiulotteinen muoto voidaan laskea. (Kuvat on lainattu 3D-Matic tutkimuslaboratorion [40] WWW-sivuilta laboratorion johtajan Dr. Siebertin luvalla.) Fotometrinen stereo (photometric stereo) ja varjojen hyväksikäyttö (shape from shading) perustuvat kohteesta heijastuneen valon intensiteetin mittaamiseen. Fotometriassa kappaletta kuvataan yhdellä kameralla, mutta valonlähteitä on useampia [22, 27]. Kappaletta valaistaan yhdellä valonlähteellä kerrallaan. Kun tiedetään kameran ja valonlähteen paikka kussakin kuvassa, voidaan pinnan muotoa arvioida vertaamalla kunkin pisteen heijastaman valon intensiteettiä eri kuvissa. Varjoja hyödynnettäessä kohdetta valaistaan yhdellä valonlähteellä, ja pinnan muotoa arvioidaan intensiteettimuutosten eli varjojen perusteella [27]. Pinnan pitää olla sileä (smooth) [1] ja homogeeninen, ja sen kyky heijastaa valoa pitää tietää, jotta pinnan suunnan muutokset voitaisiin laskea. Kovin tarkkaan näillä menetelmillä ei voi mitata, ja ongelmaksi voi muodostua valo, joka ei heijastu kameraan suoraan, vaan jonkin toisen pinnan kautta [44]. Vain neulanreikäkameran syvyysterävyys on ääretön. Yleensä vain tietyllä etäisyydellä olevat kohteet näkyvät tarkkana kameralla otetuissa kuvissa. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää hyväksi kappaleen pinnanmuotoja mitattaessa (shape from focus) [27]. Kamera tarkennetaan eri alueille tai kuvia otetaan eri etäisyydellä kohteesta, jolloin kohteen eri osat ovat tarkkoja vain osassa kuvista. Jokaisen piirteen terävyyden perusteella arvioidaan sen etäisyys, kun tiedetään kameran terävyysalue kussakin kuvassa. Menetelmän tarkkuus 23

Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön

Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön Juho Kannala 7.5.2010 Johdanto Tietokonenäkö on ala, joka kehittää menetelmiä automaattiseen kuvien sisällön tulkintaan Tietokonenäkö on ajankohtainen

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

PERMITTIIVISYYS. 1 Johdanto. 1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla . (1) , (2) (3) . (4) Permittiivisyys

PERMITTIIVISYYS. 1 Johdanto. 1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla . (1) , (2) (3) . (4) Permittiivisyys PERMITTIIVISYYS 1 Johdanto Tarkastellaan tasokondensaattoria, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta metallilevystä Siirretään varausta levystä toiseen, jolloin levyissä on varaukset ja ja levyjen välillä

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt

Lisätiedot

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi 7Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 7.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 5.2.2004 ) Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Lisätiedot

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen 08.09.2014 Ohjaaja: DI Mikko Harju Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

1 TYÖNTÖMITTA. sisä mittakärjet tuuma-nonio lukitusruuvi. 1.1 Yleistä työntömitasta

1 TYÖNTÖMITTA. sisä mittakärjet tuuma-nonio lukitusruuvi. 1.1 Yleistä työntömitasta MITTAVAUNU MATERIAALIA 1( 35) 1 TYÖNTÖMITTA 1.1 Yleistä työntömitasta Työntömitta ( tönäri, mauseri ) kuuluu tekniikan alan perustyökaluihin, joten sen oikeaoppinen käyttö on jokaisen ammattilaisen osattava.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

9. Polarimetria. 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä. 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria

9. Polarimetria. 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä. 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 9. Polarimetria 1. Stokesin parametrit 2. Polarisaatio tähtitieteessä 3. Polarisaattorit 4. CCD polarimetria 10.1 Stokesin parametrit 10.1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Fotogrammetrian termistöä

Fotogrammetrian termistöä Fotogrammetrian termistöä Petri Rönnholm, Henrik Haggrén, 2015 Hei. Sain eilen valmiiksi mukavan mittausprojektin. Kiinnostaako kuulla yksityiskohtia? Totta kai! (Haluan tehdä vaikutuksen tähän kaveriin,

Lisätiedot

EVTEK/ Antti Piironen & Pekka Valtonen 1/6 TM01S/ Elektroniikan komponentit ja järjestelmät Laboraatiot, Syksy 2003

EVTEK/ Antti Piironen & Pekka Valtonen 1/6 TM01S/ Elektroniikan komponentit ja järjestelmät Laboraatiot, Syksy 2003 EVTEK/ Antti Piironen & Pekka Valtonen 1/6 TM01S/ Elektroniikan komponentit ja järjestelmät Laboraatiot, Syksy 2003 LABORATORIOTÖIDEN OHJEET (Mukaillen työkirjaa "Teknillisten oppilaitosten Elektroniikka";

Lisätiedot

Spektri- ja signaalianalysaattorit

Spektri- ja signaalianalysaattorit Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden

Lisätiedot

KANNATTAVUUDEN ARVIOINTI JA KEHITTÄMINEN ELEMENTTILIIKETOIMINNASSA

KANNATTAVUUDEN ARVIOINTI JA KEHITTÄMINEN ELEMENTTILIIKETOIMINNASSA LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO TEKNISTALOUDELLINEN TIEDEKUNTA Tuotantotalouden koulutusohjelma KANNATTAVUUDEN ARVIOINTI JA KEHITTÄMINEN ELEMENTTILIIKETOIMINNASSA Diplomityöaihe on hyväksytty Tuotantotalouden

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia, 3 op 9 luentoa, 3 laskuharjoitukset ja vierailu mittausasemalle Tentti Oppikirjana Rinne & Haapanala:

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Erikoistekniikoita. Moiré - shadow-moiré - projection-moiré. Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä

Erikoistekniikoita. Moiré - shadow-moiré - projection-moiré. Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä Erikoistekniikoita Moiré - shadow-moiré - projection-moiré Rasterifotogrammetria - yhden juovan menetelmä - monen juovan menetelmä Tomografia - periaate Hologrammetria - periaate Motografia Moiré-tekniikka

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Koesuunnitelma. Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Janne Mattila.

Koesuunnitelma. Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Janne Mattila. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys Janne Mattila Teemu Koitto Lari Pelanne Sisällysluettelo 1. Tutkimusongelma ja tutkimuksen

Lisätiedot

Ene-58.4139 LVI-tekniikan mittaukset ILMAN TILAVUUSVIRRAN MITTAUS TYÖOHJE

Ene-58.4139 LVI-tekniikan mittaukset ILMAN TILAVUUSVIRRAN MITTAUS TYÖOHJE Ene-58.4139 LVI-tekniikan mittaukset ILMAN TILAVUUSVIRRAN MITTAUS TYÖOHJE Aalto yliopisto LVI-tekniikka 2013 SISÄLLYSLUETTELO TILAVUUSVIRRAN MITTAUS...2 1 HARJOITUSTYÖN TAVOITTEET...2 2 MITTAUSJÄRJESTELY

Lisätiedot

Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa

Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa Valtakunnallisesti kattavaa laserkeilausaineistoa ei vielä ole. Kaltevuusmallit perustuvat tällä hetkellä digitaalisen korkeusmallin

Lisätiedot

Ultraäänen kuvausartefaktat. UÄ-kuvantamisen perusoletukset. Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005

Ultraäänen kuvausartefaktat. UÄ-kuvantamisen perusoletukset. Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005 Ultraäänen kuvausartefaktat Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005 kaikissa radiologisissa kuvissa on artefaktoja UÄ:ssä artefaktat ovat kaikuja, jotka näkyvät kuvassa, mutta eivät vastaa sijainniltaan

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

testo 460 Käyttöohje

testo 460 Käyttöohje testo 460 Käyttöohje FIN 2 Pikaohje testo 460 Pikaohje testo 460 1 Suojakansi: käyttöasento 2 Sensori 3 Näyttö 4 Toimintonäppäimet 5 Paristokotelo (laitteen takana) Perusasetukset Laite sammutettuna >

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden laskeminen

Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO Johdanto Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin mekaniikan lait pätevät. Tällaista koordinaatistoa ei reaalimaailmassa kuitenkaan ole. Epäinertiaalikoordinaatisto

Lisätiedot

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE9 (8) LIITE Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu Sisältö Sisältö... Johdanto... Tulokset.... Lämpökynttilät..... Tuote A..... Tuote B..... Päätelmiä.... Ulkotulet.... Hautalyhdyt,

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, yhteenveto

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, yhteenveto Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, yhteenveto Luento 23.4.2009, T. Hackman & J. Näränen 1. Yleisesti tärkeätä Peruskäsitteet Mitä havaintomenetelmää kannatta käyttää? Minkälaista teleskooppia millekin

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Epäeuklidista geometriaa

Epäeuklidista geometriaa Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset

Lisätiedot

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ henri.t.talviaho@student.jyu.fi Kuva 1. Nuoli TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 30.3.2016 1. Näytöt... 3 1.1. Kuvaputkinäytöt (Cathode Ray Tube (CRT))... 3 1.2. Kuvanlaatuun vaikuttavia tekijöitä...

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA Juha Lehtonen 20.3.2002 Joensuun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Kandidaatintutkielma ESIPUHE Olen kirjoittanut tämän kandidaatintutkielman Joensuun yliopistossa

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta...

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta... JHS 160 Paikkatiedon laadunhallinta Liite III: Otanta-asetelmat Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Todennäköisyysotanta... 2 2.1 Yksinkertainen satunnaisotanta... 3 2.2 Ositettu otanta... 3 2.3 Systemaattinen

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy. Heikki Hyyti, Aalto-yliopisto

Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy. Heikki Hyyti, Aalto-yliopisto Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy, Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy Miksi uutta sensoritekniikkaa? Tarkka paikkatieto metsässä Metsäkoneen ja puomin asennon mittaus Konenäkö Laserkeilaus Tietolähteiden

Lisätiedot

Mitä ovat yhteistyörobotit. Yhteistyörobotit ovat uusia työkavereita, robotteja jotka on tehty työskentelemään yhdessä ihmisten kanssa.

Mitä ovat yhteistyörobotit. Yhteistyörobotit ovat uusia työkavereita, robotteja jotka on tehty työskentelemään yhdessä ihmisten kanssa. Yhteistyörobotiikka Mitä ovat yhteistyörobotit Yhteistyörobotit ovat uusia työkavereita, robotteja jotka on tehty työskentelemään yhdessä ihmisten kanssa. Yhteistyörobotit saapuvat juuri oikeaan aikaan

Lisätiedot

= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus)

= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus) Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 7: MEKAANINEN VÄRÄHTELIJÄ Teoriaa Vaimeneva värähdysliike y ŷ ŷ ŷ t T Kuva. Vaimeneva värähdysliike ajan funktiona.

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Leica Sprinter Siitä vain... Paina nappia

Leica Sprinter Siitä vain... Paina nappia Sprinter Siitä vain... Paina nappia Sprinter 50 Tähtää, paina nappia, lue tulos Pölyn ja veden kestävä Kompakti ja kevyt muotoilu Virheettömät korkeuden ja etäisyyden lukemat Toiminnot yhdellä painikkeella

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka 1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Pintamallintaminen ja maastomallinnus

Pintamallintaminen ja maastomallinnus 1 / 25 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Pintamallintaminen ja maastomallinnus Muistilista uuden ohjelman opetteluun 2 / 25 1. Aloita käyttöliittymään tutustumisesta: Mitä hiiren näppäintä

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Datan käsittely ja tallentaminen Käytännössä kaikkien mittalaitteiden ensisijainen signaali on analoginen Jotta tämä

Lisätiedot

DIODIN OMINAISKÄYRÄ TRANSISTORIN OMINAISKÄYRÄSTÖ

DIODIN OMINAISKÄYRÄ TRANSISTORIN OMINAISKÄYRÄSTÖ 1 IOIN OMINAISKÄYRÄ JA TRANSISTORIN OMINAISKÄYRÄSTÖ MOTIVOINTI Työ opettaa mittaamaan erityyppisten diodien ominaiskäyrät käyttämällä oskilloskooppia XYpiirturina Työssä opetellaan mittaamaan transistorin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA JA TAIDE II

MATEMATIIKKA JA TAIDE II 1 MATEMATIIKKA JA TAIDE II Aihepiirejä: Hienomotoriikkaa harjoittavia kaksi- ja kolmiulotteisia väritys-, piirtämis- ja askartelutehtäviä, myös sellaisia, joissa kuvio jatkuu loputtomasti, ja sellaisia,

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Esimerkki - Näkymätön kuu

Esimerkki - Näkymätön kuu Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Y ja

Y ja 1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)

Lisätiedot

Rakennusautomaation käytettävyys. Rakennusautomaatioseminaari 30.5.2013 Sami Karjalainen, VTT

Rakennusautomaation käytettävyys. Rakennusautomaatioseminaari 30.5.2013 Sami Karjalainen, VTT Rakennusautomaation käytettävyys Rakennusautomaatioseminaari 30.5.2013 Sami Karjalainen, VTT 2 Oma tausta Perusinsinööri DI, lvi-tekniikka, TKK 1993 Herääminen käytettävyysasioihin noin 2002 Tekniikan

Lisätiedot

ARTO-PERIMETRI TUTUKSI

ARTO-PERIMETRI TUTUKSI ARTO-PERIMETRI TUTUKSI Näköä 2013, Helsinki 12.10.2013 Arto Hartikainen Bachelor of Science in Optometry, optikko Tmi. Optivisio www.optivisio.fi arto.hartikainen@optivisio.fi Ajokortin uudistuneet näkövaatimukset

Lisätiedot

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset 15.7. 14.11.2014 Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Avaintulokset 2500 2000 Ylös vaellus pituusluokittain: 1500 1000 500 0 35-45 cm 45-60 cm 60-70 cm >70 cm 120

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa

Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Sisältö: 1. Virtauksiin vaikuttavat tekijät 2. Tuulen vaikutus 3. Järven syvyyden

Lisätiedot

Konepajatekniset mittaukset ja kalibroinnit

Konepajatekniset mittaukset ja kalibroinnit Veli-Pekka Esala - Heikki Lehto - Heikki Tikka Konepajatekniset mittaukset ja kalibroinnit T E K N I N E N T I E D O T U S 3 2 0 0 3 A L K U S A N A T Tarkoitus Tämä tekninen tiedotus on tarkoitettu käytettäväksi

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN

Lisätiedot

RAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS

RAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS 466111S Rakennusfysiikka, 5 op. RAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS Opettaja: Raimo Hannila Luentomateriaali: Professori Mikko Malaska Oulun yliopisto LÄHDEKIRJALLISUUTTA Suomen rakentamismääräyskokoelma,

Lisätiedot

POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio

POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio POHDIN - projekti Funktio Funktio f joukosta A joukkoon B tarkoittaa sääntöä, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon jonkin alkion joukosta B. Yleensä merkitään f : A B. Usein käytetään sanaa kuvaus synonyymina

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot 5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot