Vanajan hiihtäjä. Tässä numerossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vanajan hiihtäjä. Tässä numerossa"

Transkriptio

1

2 Seepia 4 Tässä numerossa 3. Sienisolut 6. Kiertoratamekaniikkaa 9. Aritmetiikkaa geometrialla 1. Latina elävä kuollut kieli 14. Julian joukot fraktaaleja kompleksitasolla 1. Metafysiikan ominaisuuksista Seepia on neljä kertaa vuodessa ilmestyvä tiedelehti. Sitä jaetaan ilmaiseksi Helsingin matematiikka- ja luonnontiedelukioiden opiskelijoille. Päätoimittaja: Teemu Varis Toimituskunta: Aapo Ahola Petri Arvo Sam Harwick Einar Karttunen Jaakko Kortesharju Veli Peltola Sampo Tiensuu Pekka Tolvanen Teemu Varis Jari Varje Ulkoasu: Sampo Tiensuu Toimitukseen voi ottaa yhteyttä sähköpostitse: tai koulujen sisäisen postin kautta (Ressun lukio / Pekka Piri). Seepian kotisivut ovat Internetissä osoitteessa: Olemme kiitollisia palautteesta, korjauksista ja kysymyksistä. Mikäli haluaisit kirjoittaa artikkelin Seepiaan, ota yhteyttä. Seepian toimituksella on ylin päätösvalta julkaistavan materiaalin suhteen. Emme vastaa tilaamattoman materiaalin säilyttämisestä tai palauttamisesta. Artikkelien tekijänoikeudet ovat niiden kirjoittajilla. Kuvien tekijänoikeuksien haltijat on mainittu niiden vieressä. Seepialla on kuitenkin oikeus korvauksetta käyttää uudelleen siinä julkaistua materiaalia. Seepian edellisiä numeroita voi tilata jälkitilauksena hintaan 5 mk/kpl + postitus- ja käsittelykulut 0 mk niin kauan kuin painosta riittää. Perjantai Vanajan hiihtäjä Mies seisoo keskellä Vanajavettä. On siis talvi, ja koko valtava järvi on jäässä. Niin, tämä mies seisoo keskellä avarinta Vanajanselkää Kalvolan, Hattulan ja Valkeakosken kuntien rajalla sijaitsevassa saaressa; jalassa hänellä on sukset ja selässä teodoliitti eli sellainen koje, jolla mitataan kulmia maastossa. Ja ehkä vähän näkkileipää muonitukseen. Mies lähtee liikkeelle ja hiihtää pitkillä metsäsuksillaan 100 täyttä suksenmittaa kohtisuoraan länteen päin, kunnes pysähtyy. Hän pystyttää teodoliittinsa ja määrittää edestäpäin suunnan, joka on kymmenen astetta eli 11,11... goonia1) hänen äsken kulkemastaan suunnasta vasemmalle. Tästä suunnasta hän ottaa kiintopisteen, ja kulkee sitä kohti jälleen 100 suksenmittaa. Teodoliittinsa avulla hän ottaa uuden suunnan: 0 astetta edellisestä suunnasta vasemmalle. Hän siis kaksinkertaistaa edellisen suunnanmuutoksen, ja hiihtää jo tutuksi tulleen matkan, tarkasti suoraa linjaa noudattaen. Näin miehemme jatkaa, kääntyen aina vasemmalle kaksi kertaa edellisen käännöksen verran ja sitten hiihtäen aina saman matkan. Käännökset, jotka mies tekee, muodostavat siis jonon: 10, 0, 40, 80, 160, jne. Kysymys kuuluu: minne ihmeeseen mies päätyy? Tampereelle vai Hämeenlinnaan? Tilanne olisi toki yksinkertaisempi, mikäli ensimmäinen kulmanmuutos olisi ollut 45. Silloin matka kävisi seuraavan näköistä rataa pitkin luoteeseen (Nokialle): Tehtävässämme mies kuitenkin nääntyy nälkään ellei ymmärrä lopettaa. Näin retki etenee: Kuvio on rekursiivista prosessia kuvaava tasokäyrä. Kuvaajan perusteella näyttäisi neljänkymmenen asteen käännöksen jälkeen prosessissa toistuvan eräs jakso loputtomasti. Kulmajonon jaksojen toisiaan vastaavien jäsenten arvo modulo 360 on siis sama. Myös muilla astelukemilla ilmenee reitissä tavalla tai toisella geometrisesti jaksollista kehitystä, mutta millä tavalla astelukema tarkalleen ottaen vaikuttaa geometrisen kuvion laatuun sääntöä toistettaessa? Esimerkkejä: Seepia julistaakin lukijoilleen kilpailun, jossa tehtävä on seuraava: Selvitä, millä perusteilla geometrien kuvio riippuu annetun kulman kokonaislukusuhteista (esim. 9/360, 10/360). Kaikki vastaukset huomioidaan, ja paras ehdotus palkitaan vaelluskompassilla. Aapo Ahola 1) Maanmittaajat jakavat ympyrän neljäänsataan gooniin (g). Suorassakulmassa on tällöin looginen määrä kulmayksikköjä, 100g.

3 Seepia 4 Perjantai Sienikunta on laaja eliölajien ryhmä: se sisältää niin kaikille tutut perinteiset sienet kuten tatit, rouskut ja haarakkaat, mutta myös useita muita kaaria 1). Sieniin kuuluvat myös mm. homeet, hiivat ) ja limasienet. Jäkälät puolestaan ovat sienen ja levän symbiooseja Tutkijat eivät vielä tänä päivänäkään ole yhtä mieltä sienten luokittelusta, ja sienten, protokistien, eläinten ja kasvien erottaminen toisistaan on joissakin tapauksissa hyvin ongelmallista. Kaikilla sienillä katsotaan kuitenkin olevan joitakin yhteisiä piirteitä. Sienet ovat heterotrofisia eli toisenvaraisia. Ne käyttävät ympäristön ravinteita hyödykseen, mutta eivät syö saalistaan kuten eläimet, vaan erittävät ruoansulatusentsyymejä ympärilleen. Sienet ovat usein lahottajia, loisia tai symbiontteja. Sienet lisääntyvät itiöistä joko suvullisesti tai suvuttomasti. Niiden perusrakenne koostuu tavallisesti hyyfien eli sienirihmojen muodostamasta rihmastosta. Sienisoluilla on soluseinä, joka on useimmiten kitiiniä. Lisäksi solujen tumat ja kromosomit ovat erittäin pieniä. Sienisoluja on monenlaisia, vaikka erilaisten solujen kirjo yhdessä yksilössä onkin suppeampi 1) Kaari on kasvikunnan luokituksessa käytettävä pääryhmä. Eläinkunnassa sitä vastaa pääjakso. ) On kiistanalaista ovatko hiivat alkueliömäisiä sieniä vai sienimäisiä alkueliöitä. Sampo Tiensuu kuin monimutkaisemmilla eliöillä. Sienten toiminnallisena yksikkönä on tavallisesti hyyfi. Hyyfeissä on usein monta tumaa, eikä se jakaudu selkeästi soluihin. Hyyfin voidaan ajatella olevan eräänlainen useiden solujen yhteensulautuma. Toisaalta esim. hiivat ovat usein yksisoluisia ja eräät rihmamaiset sienet jakautuvat selvästi soluihin. Sienisolut ovat aitotumallisia ja sienillä on sekä haploidinen että diploidinen vaihe. Hyyfien muoto ja koko vaihtelee suuresti hyyfin sijainnin ja tehtävien mukaan. Lajien väliset erot ovat kuitenkin selviä. Tyypillisen hyyfin koko vaihtelee 3-1µm välillä. Hyyfejä erottaa toisistaan soluseinä. Korkeampien sienten 3) hyyfit jakautuvat osastoihin. Osastojen koko vaihtelee 5-75µm välillä. Rihmaston kärjessä on usein muita 5-10 kertaa suurempi kärkeä kohti suippeneva hyyfi. Ascomycota- eli kotelosienten rihmoissa on usein monta tavallisesti, ja kärkihyyfi sisältää usein 5-15 kertaa enemmän tumia kuin muut hyyfit. Poikkeuksen muodostaa lahko Saccharomycetales (hiivasienet), jotka esiintyvät yleisimmin yksittäisinä silmikoitumalla lisääntyvinä soluina. Basidiomyceteiden rihmoissa on usein yksi tai kaksi tumaa, riippuen rihmojen sijainnista. Sienten tumat ovat pieniä (1-µm) verrattuna eläinten ja kasvien tumiin, eikä niissä ole paljon 3) nimityksellä tarkoitetaan kaaria Ascomycota (kotelosienet) ja Basidiomycota (kantasienet). Kuva 1: Taulakääpä on kouvua lahottava sieni, jonka monivuotisia itiöemiä on käytetty mm. tulen tekemiseen.keskikokoinen taulakääpä tuottaa keväällä noin itiötä sekunnissa. 3

4 Seepia 4 Perjantai kromosomeja. Tämä tekee niiden tutkimisen vaikeaksi, vaikka geenien määrä on pienehkö. Sienisolujen DNA on yleensä kiertyneenä neljän histonin muodostaman ryhmän ympärille. Histonien aminohappokoostumus eroaa jonkun verran kasvien ja eläinten vastaavasta. Erityisesti sienisoluille on tyypillistä nukleosomien välinen lyhyt etäisyys. Eräillä sienillä on osoitettu olevan myös vähäisiä määriä kromosomeihin liittymätöntä DNA:ta. Sienten DNA:ssa on vain vähän toistuvia jaksoja - yleensä vähemmän kuin 10%. Useilla nisäkkäillä vastaava osamäärä on 30%. Useimmat toistot lienevät geeneissä, jotka koodaavat rrna:ta. Introneja on sienien DNA:ssa yleensä vähemmän ja ne ovat lyhyempiä kuin kehittyneemmissä soluissa. Sienisolut sisältävät mitokondrioita kuten eläinsolutkin. Nämä eivät kuitenkaan ole solun selviytymisen kannalta aina välttämättömiä, sillä useat sienisolut selviävät anaerobisissa olosuhteissa, tosin kasvaen hitaammin. Mitokondrioiden määrä vaihtelee huomattavasti kuten kasvi- ja eläinsoluillakin. Mitokondrioiden kokokin vaihtelee suuresti: solussa saattaa olla esimerkiksi viisi isoa haaroittunutta mitokondriota tai 0 pientä yksittäistä mitokondriota. Sienisolujen mitokondrioissa on runsaasti mtdna:ta 4), usein jopa kolme kertaa enemmän kuin ihmisellä. mtdna:n vastuulla on sienten mitokondrioissa, enemmän asioita kuin varsin yksinkertaisissa nisäkkäiden mitokondrioissa - nisäkkäillä vastaavat tehtävät hoitaa tuman DNA. mtdna voi mitokondrioiden lukumäärän vuoksi muodostaa jopa 5-5% sienisolun DNA:sta. 4) mtdna eli mitokondrio DNA. Mitokondriot sisältävät perintötekijöitä, joita ne tarvitsevat toiminnassaan. 4 Michael Wood Kuva : Limakkosienen keskenkasvuisia itiöemiä 5) dsrna (double stranded RNA) kaksijuosteinen RNA. Bakteerisoluissa yleiset plasmidit ovat harvinaisia sienisoluissa. Niitä on tavattu joillakin lajeilla, mutta on epäselvää osallistuvatko ne isäntäsolunsa toimintaan. On esitetty, että sienten plasmidit ovat vain DNA:n kappaleita, jotka vain pyrkivät monistamaan itseään ilman että ne edesauttaisivat sientä mitenkään. Sienisolut - kuten kaikki muutkin solut - kärsivät viruksista. Sienivirukset sisältävät usein dsrna 5) :ta ja ovat muodoltaan isometrisiä eli suunnilleen pallomaisia. Virusten yleisyys vaihtelee lajeittain, joidenkin lajien melkein jokaisessa yksilössä on virus, toisilla viruksia ei ole havaittu. Sienivirukset eivät tartu helposti, ja sienten välinen tartunta vaatii usein protoplastin. Useille sieniviruksille on myös tyypillistä, että dsrna-molekyylit ovat omissa erillisissä kapseleissaan eivätkä yhdessä vaipan suojaamassa kapselissa. Sienivirukset eivät useinkaan ole kovin vaarallisia sienille, vaikka joitakin poikkeuksiakin on. Niinpä viruksia onkin havaittu enimmäkseen erityisissä tutkimuksissa. Sienisoluissa esiintyy myös jonkin verran vapaita dsrna-molekyylejä, joilla ei ole suojanaa minkäänlaista vaippaa ja käyttäytyvät usein virusmaisesti, vaikkakin aiheuttaen vähemmän haittaa kuin varsinaiset virukset. Solut pyrkivät varastoimaan toiminnalleen tärkeitä aineita, sillä solun ympärillä on harvoin riittävästi kaikkia mitä se tarvitsisi. Sienisolut sisältävät suuria määriä hiiltä, jota ne pyrkivät varastoimaan monin tavoin. Sienisolut säilyttävät hiiltä usein lipideissä, rasvakuplissa ja glykogeeninä. Glykogeeni on soluissa liukenemattomina makromolekyyleinä. Glykogeeni voi olla jopa 10% solun kuivapainosta. Hiiltä varastoidaan myös pienimolekyylisiin yhdisteisiin. Monosakkaridit ovat sienisoluissa harvinaisia, ja selvästi yleisin yhdiste on pienimolekyylinen sokeri trehaloosi. Myös mannitoli ja arabitoli sekä muut moniarvoiset alkoholit ovat tyypillisiä varastoaineita. Trehaloosi ja moniarvoiset alkoholit muodostavat usein solun kuivapainosta jopa 15%. Pienimolekyylisiä yhdisteitä

5 Seepia 4 Perjantai Vicki Tariq Kuva 3: Hyyfin rakenne varastoidaan usein tiettyjä tehtäviä varten kun taas isomolekyyliset ovat usein materiaalivarastoja. Monet sienet varastoivat useiden protokistien tavoin fosforia polyfosfaattiina erityisiin jyväsiin. Solujen ympärillä on puoliläpäisevä solukalvo. Sienisolujen solukalvon rakennetta ei tunneta kovin hyvin, mutta sen päärakennusaineena on ergosteroli, kun taas eläimillä se on kolesteroli. Solukalvon ulkopuolella on polysakkarideja kuten galaktaania. Sienillä kuten kasveillakin on soluseinät. Hyyfin seinämä rakentuu yleensä kitiinistä, mutta useimmilla Oomycota- eli mu- Michael Wood nasienillä se on selluloosaa. Kitiini on lineaarinen polymeeri, joka tunnetaan myös hyönteisten tukirakenteiden rakennusmateriaalina. Hyyfien seinämien rakenne on usein monimutkainen, ja seinämät sisältävät usein muitakin polymeerejä. Seinämän vahvuus perustuukin useimmiten komposiittirakenteeseen tai molekyylikuitujen ominaisuuksiin. Hyyfien seinien rakenne vaihtelee suuresti niiden sijainnin ja tehtävän mukaan. Monesti pitkälle kehittyneiden seinien ulkopuolella on vielä erillinen ulkoseinä. Sienisolujen seinissä on usein myös jonkun verran lipidejä, ja joillakin sienillä melaniineja, jotka suojaavat soluja mikrobeilta. Korkeampien sienillä on usein hyyfien seinissä aukko, jonka kautta voi joskus siirtyä hyyfistä toiseen soluliman lisäksi tumia. Aukkojen läheisyydessä on usein ns. Woronin kappaleita 6), jotka siirtyvät tukkimaan aukon, jos viereinen hyyfi on vioittunut. Sienisolut ovat oma selvästi erillinen ja mielenkiintoinen ryhmänsä muiden solutyyppien joukossa. Ne eroavat selkeästi muista aitotumallisista soluista muodostaen välimuodon kasvien, eläinten ja protokistien välille. Sienten tutkimus ja tuntemus on mullistunut viimevuosikymmeninä mikrobiologian kehityksen myötä. Niiden tuntemus käynee tulevaisuudessa yhä tärkeämmäksi geenitekniikan edistyessä. Einar Karttunen Kirjallisuutta Kuva 4: Kokonaiskantaisten (Holobasidiomycetidae) alaluokkaan kuuluva myrkyllinen Amanita virosa, joka kasvaa yhdysvaltojen itäosissa. [1] Härkkönen, Marja; Ukkola, Tarja; Helsingin yliopiston kasvitieteen monisteita 16 Sienten rakenteen ja systematiikan pääpiirteitä. Yliopistopaino, Helsinki 1998 [] Härkkönen, Marja; Koponen, Hilkka; Renvall, Pertti; Stenroos, Soili; Helsingin yliopiston kasvitieteen monisteita 10 Sienitieteen perusteet. Yliopistopaino, Helsinki 1990 [3] Carlile, Michael J.; Watkinson, Sarah C.; The Fungi. Academic press, Iso- Britannia, Bath ) englanniksi Woronin body. 5

6 Seepia 4 Perjantai Kiertoratamekaniikka on mekaniikan ala, joka tarkastelee kappaleiden liikkeitä gravitaatiovoimien vaikutusten alaisina. Tässä artikkelissa tarkastellaan aihetta satelliittien ja avaruusalusten näkökulmasta. Avaruudessa kappaleisiin ei vaikuta muita kuin gravitaatiosta johtuvia voimia, sillä väliainetta ja siten ollen vastusta ei käytännössä ole. Tämän takia liike avaruudessa on hyvin lainalaista ja siksi kohtuullisen helppoa tarkastella, jos kappaleita on vain kaksi. Useamman kappaleen systeemeissä matemaattinen tarkastelu on erittäin vaikeaa, jollei jopa mahdotonta. Satelliittien kohdalla tätä ongelmaa ei kuitenkaan ole, koska ongelmat käsittelevät yleensä satelliitteja kiertoradalla, jolloin Auringon ja muiden taivaankappaleiden vaikutusta ei juuri tarvitse huomioida. Avaruusalukset liikkuvat avaruudessa siis tiettyjä ratoja pitkin, jotka Keplerin ensimmäisen lain mukaan ovat ellipsejä (ympyrä on ellipsin erikoistapaus). Jotta aluksen kiertorata saataisiin määri- 6 tettyä, on tunnettava radasta kuusi ns. rataelementtiä: isoakselin puolikas, eksentrisyys, inklinaatio, nousevan solmun pituus, perigeumin argumentti sekä perigeumaika. Isoakselin puolikas on puolet rataellipsin isoakselin pituudesta. Eksentrisyys on lukuarvo, joka saadaan, kun rataellipsin polttopisteiden välimatka jaetaan isoakselin pituudella. Tämä luku määrää radan muodon. Ympyräradalla eksentrisyys on nolla. Inklinaatio on kiertoradan ja kierrettävän kappaleen ekvaattoritason välinen kulma. Nouseva solmu on kiertoradan piste, jossa satelliitti nousee radallaan Maan ekvaattoritason pohjoispuolelle. Vastaavasti laskeva solmu on piste, jossa siirrytään eteläpuolelle. Nousevan solmun pituus on nollapituuspiirin ja solmun välinen kulma. Perigeum on ellipsiradan piste, joka on lähimpänä Maata. Aurinkoa kierrettäessä vastaava piste on nimeltään periheli. Kauimmainen piste on nimeltään apogeum (apheli). Perigeumin argumentti on perigeumin ja nousevan solmun välinen kulma. Perigeumaika on hetki, jolloin satelliitti ohittaa perigeuminsa. Näiden rataelementtien avulla voidaan edelleen laskea radan apogeum- ja perigeumetäisyydet sekä määrittää aluksen tarkka paikka radalla. Näitä tietoja voi- Kuva : Kuva, jossa Maapallo on harmaa ympyrä, on kuvattu kohtisuoraan ratatasoa vasten. Toinen kuva on kolmiulotteinen. Kumpikin kuva esittää samaa rataa. Merkkien selitykset: A = apogeum, B = perigeum, C = laskeva solmu, D = nouseva solmu, E = nollapituuspiiri, = nousevan solmun pituus, = perigeumin argumentti, = inklinaatio.

7 Seepia 4 Perjantai NASA Kuva 1: Kansainvälinen ISS-avaruusasema daan käyttää siirtymäratojen, laukaisu- ja laskeutumisikkunoiden sekä kohtaamisaikojen määrittämiseen. Seuraavassa johdetaan joitakin peruskaavoja lähtien liikkeelle tutuista mekaniikan laeista. Kauniita kaavoja Newtonin ensimmäisen lain mukaan kappale jatkaa suoraviivaista liikettä, mikäli siihen ei vaikuta voimia. Ympyräradalla kiertävään kappaleeseen vaikuttaa siis jokin voima, joka vetää kappaletta pois suoralta radalta. Kiertoratamekaniikan kohdalla kyseessä on gravitaatio, jonka suuruus saadaan Newtonin gravitaatiolaista. Tämä voima aiheuttaa kappaleeseen keskeiskiihtyvyyden, joka on siis yhtä suuri kuin normaalikiihtyvyys ympyräradalla. Näistä voidaan ratkaista nopeudeksi r-säteisellä ympyräradalla M-massaisen kappaleen ympärillä: M v = γ (1) r Kaavassa ei oteta huomioon satelliitin massaa, koska se on kierretävään taivaankappaleeseen, esim. Maahan, verrattuna merkityksetön, jolloin se ei aiheuta mainittavaa muutosta Maan liiketilassa. Kulmaliikemäärän säilymisen periaatteen perusteella ellipsiradalla kappaleen kulmaliikemäärä on joka hetkellä vakio eli L = mv φ r = vakio [3 s.64]. Radan kahdelle mielivaltaiselle pisteelle voidaan siis kirjoittaa mv φ1 r 1 = mv φ r,, mistä massat supistuvat. Jos näiksi kahdeksi pisteeksi määrätään perigeum ja apogeum, voidaan kirjoittaa r p v p = r a v a, missä alaindeksi p tarkoittaa perigeumia ja a apogeumia [1]. Energian säilymislain mukaan kappaleen liike-energian ja potentiaalienergian summa on vakio. Voidaan siis kirjoittaa: 1 mv = mv γmm 1 p rp a γmm ra. Tämän yhtälön sekä yhteyden r p v p = r a v a avulla saadaan ratkaistua nopeudet ja säteet ellipsiradan perigeumissa: v p = r p = γmr a r ( r + r ) p a p r a γm 1 vara () (3) Apogeumissa vastaavat nopeudet ja säteet saadaan vastaavasti vaihtamalla alaindeksit a:sta p:ksi ja p:stä a:ksi, mikä voidaan osoittaa johtamalla kyseiset kaavat. Kiertoaika tasaisessa ympyräliikkeessä on T = πr/v. Tähän sijoittamalla ratanopeuden kaava (1) saadaan kiertoajaksi r T = 4 π 3 γm (4) Tämä pätee myös ellipsiradoille, jos säteen tilalla käytetään isoakselin puolikasta 1 a [1]. Ympyräradallahan isoakseli a = r, jol- loin 1a = r. Isoakselin puolikkaan 1a ja eksentrisyyden e avulla voidaan laskea perigeumin ja apogeumin etäisyydet kaavoilla [1] a rp = e ( 1 ) (5) a ra = +e ( 1 ) (6) Näistä saadaan johdettua kaava isoakselin puolikkaalle, kun tunnetaan säteet: a rp + ra = (7) Näiden avulla päästään siis käsiksi kiertoratamekaanisiin ongelmiin, jos tiedetään vain rataelementit. Avaruuslennon mekaniikkaa Käytännössä näitä kaavoja käytetään ongelmissa, joissa on selvitettävä nopeudenmuutokset, jotka avaruusaluksen on tehtävä siirtyäkseen kiertoradalta toiselle. Esimerkiksi matalan kiertoradan satelliitin on ajoittain korotettava ilmanvastuksen takia madaltunutta rataansa. Tällöin energian kannalta edullisin keino on laittaa satelliitti ellipsiradalle, jonka apogeum on halutun radan korkeudella. Ensimmäinen poltto suoritetaan tämän ns. siirtymäradan perigeum-pisteessä. Toinen poltto tarvitaan apogeum-pisteessä, jotta rata saataisiin uudelleen ympyräradaksi. Tällaisen tehtävän nopeudenmuutokset eli delta-v:t on helppo laskea. Esimerkki 1: ISS-avaruusaseman rata on ilmakehän ulko-osien vastuksen takia pudonnut ympyräradaksi 35 km korkeuteen. Tehtävänä on laskea tarvittavat delta-v:t polttoja varten, jotta rata saadaan palautettua 400 km korkeuteen. NASA Ratkaisu: Ratojen säteet eli siirtymäradan perigeum- ja apogeum-pisteet ovat r 1 = r p = m ja r = r a = m. Satelliitin nopeudet alemmalla ja ylemmällä ympyräradalla saadaan kaavasta (1): v 1 = 7711 m/s ja v = 7668 m/s. Nopeudet siirtymäradan apogeumissa ja perigeumissa saadaan sijoittamalla kaavaan (): v p = 773 m/s ja v a = 7647 m/s. Näin voidaan laskea polttojen edellyttämät delta-v:t: v 1 = v p v 1 = 1 m/s ja v = v v a = 1 m/s. Ensimmäisessä poltossa Kuva 3: Hubble-avaruusteleskooppi 7

8 Seepia 4 Perjantai nopeutta on siis kiihdytettävä 1 m/s. Tämän jälkeen odotetaan puoli kiertoaikaa, jonka jälkeen toisessa poltossa nopeutta kiihdytetään vielä 1 m/s, jolloin ollaan ympyräradalla 400 km korkeudessa. Vastaavasti voidaan laskea tarvittavat delta-v:t, jos halutaan pudottaa rataa. Tällöin arvot ovat luonnollisesti negatiiviset. Edellä esitelty siirtymäradan määritys on vielä hyvin yksinkertaista, mutta tehtävä vaikeutuu hieman, jos mukana on aikarajoitus. Tällöin otetaan käyttöön ns. laukaisuikkuna, joka tarkoittaa hetkeä, jolloin poltto on suoritettava, jotta alus olisi oikeassa paikassa oikeaan aikaan. Tämä on usein tilanne, kun on laskettava siirtymäratoja kahden aluksen välistä kohtaamista varten. Esimerkki : Hubble-avaruusteleskooppi kiertää Maata 750 km korkeudella ympyräradalla. Teleskoopin ohjausjärjestelmää korjaamaan lähetetty Endeavour-avaruussukkula on ympyräradalla 350 km korkeudella. Laske tarvittavat poltot sekä hetki, jolloin poltto on suoritettava, jotta Endeavour saapuisi Hubblen luo. Hetkellä T=0 h 0 min 0 s Endeavour sijaitsee radallaan 40 W pituuspiirin yläpuolella ja Hubble 10 E yläpuolella. Ratojen inklinaatiot ovat samat. Ratkaisu: Perigeum- ja apogeum-etäisyydet: r 1 = r p = m ja r = r a = m. Nopeudet ympyräradoilla kaavasta (1): v 1 = 7697 m/s ja v = 7479 m/s. Nopeudet siirtymäradan perigeumissa ja apogeumissa kaavasta (): v p = 7807 m/s ja v a = 7369 m/s. Tarvittavat nopeudenmuutokset polttoja varten: v 1 = v p v 1 = 110 m/s ja v = v v a = 110 m/s. Nyt on siis saatu tarvittavat poltot ratkaistua, enää ratkaistavana on ajoitus. Ulomman radan 8 kiertoaika on kaavalla (4) laskettuna T 1 = 549 s. Siirtymäradan kiertoaika saadaan samasta kaavasta: T s = 5738 s, kun ensin on laskettu isoakselin puolikas kaavalla (7) ja sijoitettu se säteen paikalle. Merkitään t = aika, joka on odotettava ennen polttoa. Voidaan kirjoittaa: α 1 + α s = α 0 + α + α h, missä α 1 ja α ovat sukkulan ja satelliitin kiertymät odotuksen aikana, α 0 satelliitin etumatka alkutilanteessa ja α s sekä α h siirtymisen aikaiset kiertymät, s sukkulalle ja h hubblelle. Koska kiertymä ympyräradalla α = vt/r, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon v 1 t/r 1 + = 5 /18 + v t/r + 1T s /T 1, mistä saadaan ratkaistua t = 1069 s. Poltto on siis aloitettava hetkellä T+1069 s eli T+ h 58 min 1 s. Samalla tavoin voidaan määrittää laskeutumisikkuna, kun tiedetään, että laskeutumispisteen säde = maan säde ja kiertoaika = 4 h. Tässä esitetyt esimerkit ovat kaikki hyvin yksinkertaistettuja malleja. Siirtymäradat on laskettu ns. Hohmannin siirtymäratoina, mikä on kyllä energian kannalta tehokkain menetelmä, mutta sen suorittaminen kestää puoli kiertoaikaa. Tätä menetelmää käytetäänkin lähinnä hyvin korkealla lentävien satelliittien ratojen korotukseen. Todellisuudessa käytetään ns. nopeaa siirtymärataa, jolloin satelliitti saa ellipsiradan, jonka apogeum on kohdekiertoradan ulkopuolella. Tällöin joudutaan halutulle korkeudelle saavuttaessa suorittamaan pidempi poltto, jotta saataisiin oikealle radalle. Tämä menetelmä siis kuluttaa paljon polttoainetta, mutta on nopeampi suorittaa. Erityisen tärkeää tämä on esim. vakoilusatelliitteille, joiden on pystyttävä muuttamaan rataansa nopeasti. Toinen yksinkertaistus on se, että tässä on tarkasteltu tasossa tapahtuvia siirtymiä. Nämä muuttavat radan muotoa, mutta eivät sen sijaintia avaruudessa. Kaikki poltot tapahtuvat samassa tasossa. Kuitenkin esim. inklinaatiota muutettaessa on suoritettava pois tasosta suuntatunut poltto joko nousevan tai laskevan solmun kohdalla. Jari Varje Kirjallisuutta Kuva 4: Avaruussukkula Atlantis [1] R. Braeunig; Rocket and Space Technology. [] H. Karttunen; H. Oja; P. Kröger; M. Poutanen; Tähtitieteen perusteet. Ursa, Helsinki [3] E. M. Salonen; Dynamiikka II. Yliopistokustannus/Otatieto, Helsinki NASA

9 Seepia 4 Perjantai Kun puhutaan geometrialla tapahtuvasta aritmetiikasta, tarkoitetaan tällöin tietenkin klassista harpilla ja viivaimella tapahtuvaa geometriaa. Jos janojen pituudet ajatellaan lukuina, niillä voidaan laskea geometrisesti. Yhteen- ja vähennyslasku on helppo toteuttaa siirtämällä janoja harpin avulla samalle suoralle. Kerto- ja jakolasku seuraavat yhdenmuotoisuudesta. Niistä on hyvä huomata se, että niitä ei voida laskea tietämättä yksikköjanaa, vaikka tämä onnistuikin yhteen- ja vähennyslaskussa. Näiden lisäksi voidaan kahden luvun tulon neliöjuuri laskea geometrisesti. Tämä perustuu siihen, että yhdenmuotoisuuden mukaan a h =, h b josta seuraa, että ab vh. Yksittäisenkin luvun neliöjuuri voidaan laskea jos tiedetään yksikköjana. Piirrettävät reaaliluvut Oletetaan, että on annettu yksikköjana. Reaalilukua x sanotaan piirrettäväksi, mikäli tästä voidaan äärellisellä määrällä askelia muodostaa jana, jonka pituus on x. Edellä esitetyistä laskutoimituksista huomaa, että ainakin kaikki rationaaliluvut ovat piirrettäviä. Tutkitaan, miten piirrettäviä lukuja voisi saada lisää, jos oletetaan, että alussa on käytössä rationaalikoordinaatit. Ensimmäisessä tapauksessa voidaan piirtää kaksi suoraa, ja katsoa missä ne leikkaavat. Tällöin syntyy ensimmäisen asteen yhtälö, jonka ratkaisemiseen yhteen- vähennys, kerto- ja jakolasku riittävät. Jos tutkitaan ympyrän ja suoran tai kahden ympyrän leikkauspistettä, saadaan toisen asteen yhtälö. Tällöin syntyy toisen asteen yhtälö, ja tarvitaan lisäksi myös neliöjuurta. Kun lopulta ollaan generoitu halutut kaksi pistettä, otetaan näiden etäisyys Pythagoraan lauseella. Tähänkin tarvitaan vain yhteen, kerto- ja jakolaskua. Tästä voidaan huomata, että itse asiassa edellä esitetyt viisi laskutoimitusta riittävät kaikkien piirrettävien lukujen kuvaamiseen. Ei ole kuitenkaan aivan helppoa päätellä lukua katsomalla voidaanko sitä esittää näiden operaatioiden avulla. Esimerkiksi moni- 3 mutkaisen näköinen luku + 5, joka näyttäisi mahdottomalta piirtää, onkin itse asiassa vain toisessa muodossa esitetty kultaisen leikkauksen suhde 1 + 5, joka on piirretävä 1). Juuri tätä kultaista leikkaus- tahan käytettiin Seepian 3. numerossa säännöllisen viisikulmion muodostamiseen. Kuntalaajennukset Tämän kaltaisten lukujen käsittelyyn tarvitaan tietynlaisia työkaluja. Kunta on rakenne, jolle pätevät seuraavat, reaalilukujen aksioomia muistuttavat ehdot: (1) Kunnan F kaikille alkioille a ja b on määritelty a+b ja a b siten, että a+ b F ja ab F () Kommutatiivisuus: a+b = b+a ja a b = b a (3) Assosiatiivisuus: (a+b)+c = b+(a+c) ja (a b) c = b (a c) 1) Pascalin kolmion avulla voidaan laskea ( ), josta saadaan 3 ( )/ 8 = ( )/ 8= + 5. Tämän takia = ( ) 3 = ab Kuva 1: Kerto- ja jakolaskun suorittaminen sekä neliöjuuren laskeminen geometrisesti 9

10 Seepia 4 Perjantai (4) Distributiivisuus: a (b+c) = a b+a c ja (a+b) a = a c+b c (5) On olemassa alkio (merkitään esimerkiksi 0) siten, että 0+x = x+0 = x kaikilla x. (6) Jokaiselle alkiolle x on olemassa käänteisalkio y yhteenlaskun suhteen siten, että x+y = y+x = 0. (7) On olemassa alkio (merkitään esimerkiksi 1) siten, että 1 x = x 1 =xkaikilla x (8) Jokaiselle alkiolle x 0 on olemassa käänteisalkio y kertolaskun suhteen siten, että x y = y x = 1. Kuntia ovat esimerkiksi, ja. Jos kunta E sisältää kunnan F, sanotaan kuntaa E kunnan F kuntalaajennukseksi. Otetaan esimerkiksi rationaalilukujen kunta, ja lisätään siihen. Lopputulos on kunta, jonka alkiot ovat muotoa a+ b, missä a,b. Tämä täyttää vaadittavat ominaisuudet. Jos otetaan vastaavalla tavalla mahdollisimman pieni kunta, joka 3 sisältää, saadaan kunta 3 3 a+ b + c 4, missä a,b,c. Tähän tarvittiin kolme komponenttia. Näiden komponenttien määrää kutsutaan kuntalaajennuksen asteeksi, ts. ensimmäisen kuntalaajennuksen aste oli ja toisen 3. Piirrettävät reaaliluvut ovat selvästikin kunta, sillä ne täyttävät annetut vaatimukset. Jos lähdetään jostain piirrettävien reaalilukujen osakunnasta, kuten rationaaliluvuista, ovat plus-, miinus-, kerto-, ja jakolasku määriteltyjä kunnan sisällä. Laajennus voi siis tapahtua ainoastaan neliöjuuren ottamisen yhteydessä. Oletetaan, että laajennus tehdään siten, että halutaan pienin kunta, joka sisältää edellisen kunnan ja luvun a. Tällöin on kaksi vaihtoehtoa. Jos a kuuluu jo valmiiksi kuntaan, ei laajennusta tapahdu, joten tätä tapausta ei tarvitse ottaa huomioon. Jos se ei kuulu, tarvitaan lisää komponentteja. Jokaista vanhan kunnan komponenttia x kohden täytyy uudessa kunnassa olla kaksi komponenttia: x ja x a. Tämän takia laajennuksen aste kaksinkertaistuu aina täsmälleen silloin, kun joudutaan ottamaan ei-neliöllisen luvun neliöjuuri. Lopputulos on se, että jos otetaan pienin mahdollinen rationaalilukujen kuntalaajennus, johon x sisältyy, niin x on piirrettävä jos ja vain jos kuntalaajennuksen aste on kakkosen potenssi. Yksi kuntalaajennusten teorian perustuloksista on se, että jos otetaan pienin kunta, joka sisältää jonkin tietyn jaottoman kolmannen asteen polynomin minkä tahansa juuren, on tämän kunnan laajennuksen aste rationaalilukujen yli 3. Koska 3 ei ole kakkosen potenssi, saadaan sellainen käyttökelpoinen tulos, että jos on olemassa kolmannen asteen yhtälö, jolla ei ole rationaaliratkaisuja, ei sen mitään juurta voida piirtää harpilla ja viivaimella. Lähdettäessä rationaaliluvuista laajennus voi syntyä neliöjuuren ottamisen yhteydessä. Tämä tuplaa kuntalaajennuksen asteen. Lopputulos on se, että jos otetaan pienin mahdollinen rationaalilukujen kuntalaajennus, johon x sisältyy, niin x on piirrettävä jos ja vain jos kuntalaajennuksen aste on kakkosen potenssi. Tästä saadaan sellainen käyttökelpoinen tulos, että jos kolmannen asteen rationaalikertoimisella yhtälöllä ei ole rationaalijuuria, sen mikään juuri ei ole piirrettävä. Klassiset ongelmat Matematiikassa klassisiksi ongelmiksi kutsutaan kolmea geometrista konstruktio-ongelmaa: kuution kahdentamista, kulman jakoa kolmeen osaan ja ympyrän neliöintiä. Suhteessa ongelmien ikään onkin yllättävää, että niiden mahdottomaksi todistamiseen tarvitaan niinkin uutta matematiikan haaraa kuin abstraktia algebraa. Viimenumeron pääkirjoituksessa mainitun legendan mukaan jumalat vaativat, että kuution muotoisen alttarin tilavuus pitäisi kahdentaa. Piti siis muodostaa vanhan alttarin sivua käyttäen uuden, tilavuudeltaan kaksinkertaisen alttarin sivu. Tähän kreikkalaiset eivät kuitenkaan harpilla ja viivaimella tietenkään pystyneet. Olkoon alkuperäisen alttarin sivun pituus yksikköjana. Tällöin yritetään piirtää luku, joka toteuttaisi yhtälön x 3 = 0. Tällä yhtälöllä ei ole rationaalijuuria, sillä mikään mahdollisista vaihtoehdoista (-, - 1, 1, ) ei toteuta yhtälöä. Sen juu- 3 ri ei siis ole piirrettävä luku. Kulman jako kahteen osaan on helppoa, mutta kulman jakaminen kolmeen osaan on tietyissä tapauksissa mahdotonta. Piirretään annettu kulma 3α yksikköympyrään käsittelyn helpottamiseksi. Kun tiedetään kulma 3α, tiedetään myös cos 3α. Kulma α on piirrettävissä täsmälleen silloin, kun cos α on piirrettävissä. Nyt saadaan kolmannen asteen yhtälö: cos 3α = 4cos 3 α 3cos α 3 4x 3x t= 0 (x = cos α, t = cos 3α) Jos valitaan 3α = 90, saadaan yhtälö 4x 3x = 0, jolle löy- 3 tyy piirrettävä ratkaisu 3. Suora Kuva 3: Kulman jakaminen kolmeen osaan.

11 Seepia 4 Perjantai kulma voidaan siis jakaa kolmeen osaan. Sen sijaan valinta 3α = 60 3 antaa yhtälön 8x 6x 1= 0, jolla ei ole rationaalisia juuria. 60 kulmaa ei siis voida jakaa kolmeen yhtä suureen osaan. Tämä vastaesimerkki riittää osoittamaan, että yleistä tapaa jakaa kulma kolmeen yhtä suureen osaan ei ole. Suorakulmion neliöinti tarkoittaa sitä toimenpidettä, kun muodostetaan neliö, jonka pintaala on sama kuin annetun suorakulmion. Tämä voidaan suorittaa melko helposti, koska tällaisen neliön pinta-alahan on sivujen tulojen neliöjuuri. Ympyrän neliöinnissä on vastaavasti muodostettava neliö, jonka pinta-ala on sama kuin annetun ympyrän. Jos annetun ympyrän sädettä käytetään yksikköjanana, on ympyrän pinta-ala π, jolloin neliön sivun pituus on π. Jos luku π on piirrettävä, myös luku π on piirrettävä. Tällöin kunta, joka sisältää luvun π on n asteen kuntalaajennus. Tällöin kuitenkin olisi olemassa rationaalikertoiminen n asteen polynomi, jonka nollakohta π olisi. Tämä on ristiriita, sillä π on transsendenttinen luku, mikä tarkoittaa sitä, että ei ole olemassa mitään rationaalilukukertoimista polynomia, jonka nollakohta π olisi. Tämä voidaan ilmaista, myös siten, että transsendenttisen luvun sisältävän kunnan laajennuksen aste on, joka ei ole kakkosen potenssi. asteen yhtälöille ei ole yleistä ratkaisukaavaa juurten avulla. Monikulmion konstruoimiseen vaaditaan hieman samaan tapaan kuin kulman jaossa kolmeen osaan luvun cos π konstruointia, ja n Galois'n-teorian avulla voidaan osoittaa, että pienimmän kunnan, joka sisältää cos π laajennuksen n aste on φ( n), jossa φ(n) on Eulerin φ-funktio. φ(n) merkitsee niiden lukujen määrää, jotka ovat pienempiä kuin n, ja niillä ei ole yhteisiä tekijöitä n kanssa. Otetaan esimerkiksi φ(15). Luvuilla 1,, 4, 7, 8, 11, 13 ja 14 ei ole yhteisiä tekijöitä 15 kanssa, siispä φ(15) = 8. Kuten aikaisemminkin, laajennuksen asteen on oltava kakkosen potenssi. Tässä tapauksessa siis säännöllinen n-kulmio (n 3) on piirrettävä, mikäli φ( n) on kakkosen potenssi. Tämän voi ilmaista myös toisel- la tavalla siten, että n-kulmio on piirrettävä, jos sen kakkosesta poikkeavat tekijät ovat Fermat n alkulukuja (kuitenkin eri alkulukuja). Fermat n alkuluvuksi kutsutaan alkulukua muotoa n + 1. Näin ensim- mäiset ei-piirrettävät monikulmiot ovat 7-, 9-, 11-, 13- ja 14-kulmiot. Kun n kasvaa, piirrettävien n-kulmioiden osuus pienenee. Piirrettäviä monikulmioita on kuitenkin hyvin isoilla n arvoilla, kuten esimerkiksi kulmio (65537 on Fermat n alkuluku). Tällainen puhtaan algebrallinen lähestymistapa ei kuitenkaan kerro itse konstruoinnin tapahtumisesta mitään. Tällaisessa tapauksessa tieto, että kulmio voidaan konstruoida on varmasti hyödyllisempi kuin tarkka selitys siitä miten se tapahtuisi. Veli Peltola Kirjallisuutta [1] Pogorelov, A.; Geometry. Mir Publishers 1987 [] Hanneken, C. B.; Introduction to Abstract Algebra. Dickenson Publishing Company, Inc., Belmont, California 1968 Oletko tullut ajatelleeksi, että 40% korkeakoulujen aloituspaikoista sijaitsee aloilla, joissa tarvitaan kemian osaamista? Piirrettävät monikulmiot Samalla tavalla kuin kulman jaossa kolmeen osaan, säännöllisten monikulmioiden piirtäminen on mahdollista tietyissä erikoistapauksissa, mutta yleisessä tapauksessa se ei onnistu. Tässä tapauksessa käsittelyyn tarvitaan lisäksi Galois'n-teoriaa ), joka tunnetaan parhaiten siitä, että sillä voidaan osoittaa se, että yli neljännen ) Evariste Galois ( ) Helsingin yliopiston kemian laitos 11

12 Seepia 4 Perjantai Kutakuinkin keskellä Apenniinien saappaanmuotoista niemimaata kohoavat Tiberjoen varren seitsemällä kukkulalla modernin eurooppalaisen suurkaupungin teräs- ja betonikolossien varjossa länsimaisen sivistyksen kehdon sammaloituneet rauniot. Vaikka meidän päiviemme Roomaa kansoittaakin keisarin alamaisten sijaan Maranellon punaisen oriin nimeen vannovien tifosojen riehakas joukko, Augustuksen imperiumi on kahden vuosituhannenkin jälkeen voimissaan - aikamme gladiaattoreita formulakuskeja myöten. Jo muinaisten roomalaisten edesottamuksiin vetoaminen lienee kuluneimpia kliseitämme, jota - Juppiterin kiitos - kuulee tätä nykyä lausuttavan enää lähinnä vitsinä. Fraasissa piilee kuitenkin totuutensa: niin aakkostomme kuin oikeuslaitoksemme juuret ulottuvat Ikuisen kaupungin aamunkoittoon, ja onpa kirkkommekin monituiset perinteet omaksuttu pitkälti antiikin mystiikasta. Kenties väkevimmin muinainen Rooma elää nykypäivänä kuitenkin latinalaisessa kulttuurissa, joka värittää likipitäen miljardin ihmisen arkea kolmella mantereella. Latina, aikansa lingua franca, aloitti matkansa maailmankieleksi sangen vaatimattomista lähtökohdista. Latiumin piskuisen maakunnan kunnianhimoinen asujaimisto kamppaili kuitenkin historian alkuhämärissä ensin itsensä vapaaksi pohjoisnaapuriensa etruskien ikeen alta ja ryhtyi sitten itse menestyksekkäästi harjoittamaan imperialistista ulkopolitiikkaa. Divide et impera! -doktriinin hengessä Rooman valtakunta levitti lonkeronsa Tiberin rannoilta koko tunnettuun maailmaan hajottaen vastarinnan ylivoimaisella sotakoneistollaan ja halliten valloittamiaan provinsseja rautaisin ottein. Palatinus-kukkulalta johdettiin legioonien voimin keisarikuntaa, joka ulottui laajimmillaan Karthagosta Kaledoniaan ja Lusitaniasta Lähiitään. Kansalaiset rajaseutujen barbaareja myöten pantiin puhumaan latinaa, ja ajanlaskumme alkaessa pienen Latiumin murre oli saavuttanut niin Välimeren ääret kuin kaukaisen pohjoisen. Vastaavaan ei sittemmin ole kyennyt kuin muuan germaanissukuinen kieli, joka ponnisti erään saarivaltakunnan eteläosista siirtomaasotien tuoksinassa todelliseksi joka maailmankolkan yleiskieleksi. Latina, Euroopan äidinkieli, paiskautui keskiajan syövereihin isänmaansa menettäneenä - imperiumi oli vuosisatojen saatossa hajonnut omaan rappioonsa, ja olipa itse Ikuinen kaupunkikin vandaalien visiitin jäljiltä raunioina. Latinan kultaisin kausi oli kuopattu jo Caesarin ja Ciceron mukana, mutta kansainvaellusten jälkeisessä taantumuksen feodaali-euroopassa kielenhuolto kärsi lopullisen arvonmenetyksen, ja kielen ränsistyminen ryöstäytyi valloilleen. Kansan suussa muovautunutta vulgaarilatinaa meidän on kiittäminen sellaisista nyttemmin kansalliskieliksi profiloituneista provinssimurteista kuin italiasta, espanjasta, portugalista, ranskasta ja romaniasta, joiden puristuksessa baskin kaltaiset todelliset kielireliikit ovat päätyneet taistelemaan elintilasta jopa terroristien voimin. Etelä-Euroopan viinivaltioiden ohella nämä latinan perilliset saavuttivat tukevan jalansijan eten- 1

13 Seepia 4 Perjantai kin Uudella mantereella, jossa löytöretkeilyn suurvallat Espanja ja Portugali pitivät komentoa vuosisatojen ajan. Rio Grandelta Tulimaahan ulottuva Latinalainen Amerikka onkin paitsi paavin myös Rooman perinnön vankkaa tukialuetta, ja kielten kirjoa täydentää itsenäisyyttäkin tavoitteleva Québecin osavaltio Kanadan ranskankielisessä kaakkoisosassa. Nämä romaanisten kielten kolme suurta ovat edustettuina - ainakin virastoissa - myös ympäri Afrikan valtavaa mannerta aivan muinaisen siirtomaajaon mukaisesti. Latinalaisesta Afrikasta ei kuitenkaan liene koskaan edes yritetty puhua - syvälle juurtuneet heimoperinteet ovat uhmanneet eurooppalaista kulttuuri-imperialismia Amerikan alkuperäisasutusta menestyksekkäämmin, eivätkä sitä paitsi siirtolaiset ole koskaan saavuttaneet enemmistöä minkään afrikkalaisprotektoraattinsa asujaimistosta. Latinan kieli, sellaisena kuin klassillisten kielten professorit suostuvat sen vielä isommitta mukinoitta tunnistamaan, säilyi kuitenkin läpi keskiajan norsunluutorniensa kätköissä katolisen kirkon piirissä. Katedraaleissa saarnattiin jääräpäisesti latinaksi ummikkoina toimitusta seuranneen rahvaan yrittäessä kätkeä haukotuksensa, syntisimpien kuorsatessa äänekkäästi ja vielä uskaliaampien syljeskellessä parvelta permannon väen niskaan - kaunis traditio, josta vasta herra Luther uskonpuhdistajakollegoineen teki lopun. Vaikka roomalaiskatolisenkin kirkon ruohonjuuritaso on sittemmin alkanut puhua kansalle sen omaa barbaarista kieltä, latinistit voinevat vastedeskin turvallisin mielin luottaa Vatikaaniin latinan viimeisenä, vankkumattomana linnakkeena - iskettäköön Tähtilippu Kuun kamaraan, kärytköön karpaasi kotikisoissaan ja jäätyköön Helvetti syvimpiä hornankattiloitaan myöten, mutta joulupäivänä televisiossa paavi puhuu varmasti latinaa. Keskiajan taittuessa renessanssiksi klassisista kielistä klassisin avasi menestystarinansa viimeisen suuren luvun uuteen kultakauteensa vapautuneen tieteen parissa. Vanhastaan sivistyneistön kielenä latina oli ilmeinen valinta myös tieteellisten julkaisujen kieleksi - esittipä Isaac Newtonkin aikansa maailmankuvan pirstoneen painovoimateoriansa teoksessaan nimeltä Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, kavereiden kesken pelkkä Principia. Leijonanosa sellaisista perusluonteisista löydöksistä kuin alkuaineet ja taivaankappaleet oli ennätetty nimetä latinalaisittain, ennen kuin englanti alkoi toissa vuosisadalla vallata alaa luonnontieteiden terminologiassa. Silti esimerkiksi Amazonasin siimeksessä havaittu uusi nuolimyrkkysammakkolaji saa yhä universaalin nimensä perinteitä kunnioittaen latinaksi. Vaikka klassinen latina elävänä puhekielenä haavoittuikin kuolettavasti jo barbaarien rynnäkössä Rooman forumille 400-luvulla ja menehtyi viimeistään keskiajan kynnyksellä omaa rappeutuneisuuttaan, on tämä todellinen kielten klassikko välttynyt lopulliselta kuljetukselta krematorioon kunniakkaan elinkaarensa ja eritoten postuumien mainetekojensa ansiosta. Keskellä uutta revalvaatiotaan kukoistava latina on esimerkillinen elävä kuollut kieli - täsmennettäköön, etten tarkoita ilmaisulla B-kauhuelokuvista tuttua zombieta, joka kiertää ilmeettömänä tienoota kuunvalossa ihmisaivoja illallisekseen metsästämässä. Latina nimittäin elää väkevästi - uuden maailman kulttuuriperintöä Grimmin saduista Elvikseen julkaistaan tuon tuosta ikuiselle kielelle käännettynä, ja onpa edelläkävijä Suomen Yleisradio jo vuosia toimittanut viikoittaista latinankielistä radiouutislähetystä, vain modernin latinismin pintaa raapaistakseni - kuolleenakin, ilman ainuttakaan äidinkielistä puhujaa; melkoinen saavutus yli 700-vuotiaalta veteraanilta! Säkenöivästä älystään tunnettu, useasti lainattu Yhdysvaltain entinen varapresidentti Dan Quayle pahoitteli kerran Latinalaisesta Amerikasta palattuaan, ettei ollut juurikaan päässyt selville paikallisväestön puheesta - hän kun ei ollut millään tavoin panostanut kouluaikoinaan latinan opintoihinsa. Vuosikymmenen takainen republikaani-ikoni osui tässä pelottavan liki totuutta: latinan taitaja ymmärtänee hyvinkin espanjaa tai portugalia kuin suomalainen savolaista, yksityiskohdat saattavat jäädä hämärän peittoon, mutta viesti tullee kyllä perille. Edesmenneen latinan perikunta, romaaninen klaani, on maailmamme kielten voimasuhteissa sangen vahvoilla, eikä peruna niin kauas puusta putoa, että latinan opiskelu jäisi täysin pölyttyneille keisareille ja sivistyssanoille uhratuksi ajaksi. Kuolleeksijulistamisen ja elävältä hautaamisen sijaan latina voitaneenkin päästää ansaituille eläkepäiville sellaisten maailmankielten legendojen kuin volapükin ja esperanton seuraan - näistä jälkimmäisestä tosin kuulemme vielä, mikäli maailmassa on tippaakaan oikeudenmukaisuutta. Kaikkia yhdistää aktiivinen, globaali harrastajayhteisö, johon päästäkseen on opittava kieli. Porkkanaksi latinaan syventymiseen voi värikkään muinaishistorian, sivistyssanojen etymologian ymmärtämisen ja elitistisen kuppikunnan jäsenyyden ohella tarjota ilmeisintä: kielitaitoa. Ennen latinan opintojani en minäkään kuvitellut osaavani sanaakaan retoromaniaa - enää en menisi vannomaan. Janne L. Käki Kirjallisuutta [1] Taskutietojätti, Gummerus hakusanat: latina; Newton, Isaac [] Former USA VP Dan Quayle quotes: [5] 13

14 Seepia 4 Perjantai Luonnossa esiintyy joka puolella äärimmäisen monimutkaisia ja kauniita muotoja, jotka jatkuvasti toistavat itseään eri mittakaavoissa. Niitä löytyy niin vuorista ja meren aalloista, kuin elävästä luonnostakin, kuten puiden oksistoista ja sammalkasvustoista. Vielä ihmeellisempää on, että yksi puhtaasti matemaattinen lauseke saattaa sisältää aivan yhtä monimutkaisia ja kauniita rakenteita. Rationaalifunktioiden muodostamien dynaamisten systeemien tarkastelulla kompleksitasolla ei vaikuta olevan mitään tekemistä taiteen kanssa, mutta sen jälkeen, kun ranskalainen matemaatikko Benoit B. Mandelbrot teki tällaiset systeemit tunnetuiksi, on niiden kuvia esiintynyt enemmän taiteilijoiden kuin matemaatikoiden töissä. Näiden kuvien tuottamiseen käytettävä sääntö on niin yksinkertainen, että kuka tahansa pystyy tietokoneellaan tuottamaan niitä. Ne ovat kuitenkin niin monimutkaisia, että maailmassa tuskin on ketään, joka pystyisi todella ymmärtämään niitä. Siksi on kiehtovaa tarkastella lähemmin näiden kuvien taustalla olevaa matematiikkaa. Dynaaminen systeemi Dynaamisella systeemillä tarkoitetaan muuttuvaa matemaattista tai fysikaalista systeemiä, jossa jokainen tila riippuu sitä edeltävästä tilasta. Jos systeemillä on erillisiä peräkkäisiä tiloja, sitä kutsutaan diskreetiksi. Tällöin systeemiä voidaan usein kuvata kaavalla, joka kertoo, miten edellisestä tilasta saadaan seuraava. Systeemi voi olla myös jatkuva, jolloin sitä kuvataan yleensä differentiaaliyhtälöllä. Tarkastellaan esimerkiksi lukujonoa, jolle pätee zn + 1 = f( zn) = z n. Kun merkitään lukujonon ensimmäistä jäsentä z 0 :lla, saadaan 4 8 jono z0, z1 = z0, z = z0, z3 = z0,.... Lukujonon käyttäytyminen riippuu valitusta alkuarvosta z 0. Jos z 0 < 1, jono lähestyy nollaa kun n lähestyy ääretöntä. Tätä merkitään lim z =0. Jos taas z 0 > 1, n niin lim z n n n =, ja jos z 0 = 1, niin z n =1kaikille n:n arvoille. Reaaliluvuille tällainen käyttäytyminen on helppoa ymmärtää, mutta sama pätee myös kompleksiluvuille. Alkupisteet, joiden pohjalta tuotetut lukujonot eivät lähene nollaa eivätkä ääretöntä muodostavat siis kompleksitasolle origokeskeisen yksikköympyrän. Tätä pistejoukkoa kutsutaan funktion f Julian joukoksi. Merkitsemme sitä J(f) Nimi on annettu ranskalaisen matemaatikon Gaston Julian ( ) mukaan, joka määritteli joukon 1918 [6]. Julian joukko voidaan muodostaa mille tahansa funktiolle, jonka määrittelyjoukko on sama kuin sen arvojoukko. Tunnetuin esimerkki ovat Julian joukot funktioille muotoa p ()= c z z + c, jonka erikoistapausta c=0 äsken tarkastelimme. Julian työtoverina oli Pierre Fatou, jonka mukaan niiden pisteiden joukkoa, jotka eivät kuulu Julian joukkoon, kutsutaan Fatoun joukoksi. Tässä artikkelissa käsitellään lähinnä muotoa p ()= c z z + c olevien funktioiden Julian joukko- Kuva 1: Julian joukot funktioille p 0 (z)=z (yllä) ja p 0,5i (z) z +0,5i (alla). Kummankin funktion attraktiivinen kiinteä piste on merkitty. Sen attraktion altaaseen kuuluu Julian joukon sisään jäävä alue. 14

15 Seepia 4 Perjantai ja. Jatkossa käytämme tätä merkintää (p c ) näille funktioille. Edellisessä esimerkissä tarkasteltiin siis funktiota p 0. Muutetaan nyt äskeistä esimerkkiä siten, että lisätään z:aan joka välissä jokin pieni vakio esim. c=0,5i. Nyt pienet z:n arvot eivät enää lähenekään nollaa, vaan pistettä, jonka likiarvo on 0,136+0,393i. (Tämä piste on yhtälön z=z +0,5i reaaliakselin yläpuolella oleva ratkaisu) Julian joukkokaan ei ole enää ympyrä, vaan monimutkainen, itseään toistava fraktaalinen käyrä. (ks. kuva 1) Äskeisissä esimerkeissä käytetyn kaltaista laskutoimituksen toistoa kutsutaan iteroinniksi. Funktion fn:nnelle iteraatiolle on käytössä merkintätapa f n ( x) = f( f( f(... f( x)...))), missä f esiintyy n kertaa. Merkinnällä ei siis ole mitään tekemistä potenssiin korottamisen kanssa. f:n käänteisfunktiota merkitään käyttäen funktiolaskimista tuttua merkintää f 1. Näin voidaan laajentaa iteraation käsite kaikille kokonaisluvuille, kun määritellään, että f n =(f 1 ) n ja että f 0 (x)=x kaikille funktioille f. Iteraatioluvuilla voidaan nyt laskea kuten potensseilla: f o f = f + n m nm n m n m ja ( f ) = f riippumatta siitä, ovatko m ja n negatiivisia vai positiivisia. Kompleksifunktioiden iteroinnin yhteydessä puhutaan usein kiertoradoista. Kompleksitason pisteen z positiivisella kiertoradalla tarkoitetaan niiden pisteiden joukkoa, jotka tulevat vastaan jotakin funktiota iteroitaessa. Merkitsemme positiivista kiertorataa: + 3 O ( z) = { f( z), f ( z), f ( z),...}. Negatiiviseksi kiertoradaksi kutsutaan vastaavasti joukkoa: 1 3 O ( z) = { f ( z), f ( z), f ( z),...}. Negatiivisten kiertoratojen yhteydessä on kuitenkin muistettava, että jos funktion aste on suurempi kuin yksi, on sen käänteisfunktiol- Kompleksiluvut lyhyesti Perinteisessä matematiikassa yhtälöllä x = 1 ei ole ratkaisua. Voimme kuitenkin kuvitella sille ratkaisun, vaikka sitä ei todellisuudessa olisikaan olemassa. Tätä ratkaisua kutsutaan imaginääriyksiköksi, ja sitä merkitään i:llä. Yhtälön toinen ratkaisu on i. Imäginääriyksikköä voidaan käsitellä kuten mitä tahansa lukua. Näin voidaan laskea esim. että 8 = 8 1= i. Lukuja, joissa i on tekijänä kutsutaan imaginääriluvuiksi. Imaginäärilukuja ja reaalilukuja voidaan myös laskea yhteen, mutta tällaiset luvut täytyy kuitenkin aina esittää kahdessa osassa. Lukuja, joissa on sekä reaali- että imaginääriosa kutsutaan kompleksiluvuiksi. Kompleksilukuja ovat esimerkiksi 7,4i ja 5,3+i sekä π i. Kompleksiluvuillakin voidaan laskea, kuten kaikilla luvuilla. Seuraavat peruslaskusäännöt on helppo johtaa: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d) (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + bdi =ac bd + i(ad + bc) a+ ib ac + bd = + i bc ad c+ id c + d c + d Kerto- ja jakolaskussa käytetään hyväksi tietoa, että i = 1. Nykyään on yleisesti käytössä tapa esittää kompleksiluvut pisteinä ns. kompleksitasolla, jossa vaakasuuntaan kulkee reaali- ja pystysuuntaan imaginääriakseli. Oikeanpuoleisessa kuvassa näkyy luku,5 + 3i kompleksitasolle piirrettynä. Kompleksitasolle käytetään tunnusta. Edellä kompleksiluvut on esitetty kahtena komponenttina. Kompleksiluku on aina yksikäsitteisesti määritelty, kun sen reaali- ja imaginääriosat on määritelty. Tämän lisäksi käytössä on toinenkin tapa määritellä kompleksiluku: itseisarvonsa ja argumenttinsa avulla. Kompleksiluvun itseisarvolla tarkoitetaan samaa, kuin reaaliluvuillakin, eli etäisyyttä origosta. Kun kompleksiluku on esitetty komponenttimuodossa, sen itseisarvon laskemiseksi tarvitaan Pythagoraan lausetta: a+ ib= a + b. Kuvaan merkityn kompleksiluvun itseisarvo on siis 5, + 3i = 61. Argumentilla tarkoitetaan vastapäivään kiertyvää kulmaa, jonka origosta lukuun piirretty jana muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kuvassa argumentti on merkitty θ:lla. Argumentin laskemiseksi komponenttimuodosta tarvitaan trigonometriaa: arg( a + ib) = arctan( b a). Argumentti ilmoitetaan yleensä radiaaneina. Myös itseisarvo ja argumentti määrittelevät kompleksiluvun yksikäsitteisesti. Kompleksiluku z, jonka itseisarvo on r ja argumentti θ on: z= rcosθ+ irsin θ= re i θ Jälkimmäinen merkintätapa saattaa näyttää erikoiselta, mutta se pitää paikkaansa. Voidaan tosiaan osoittaa, että yhtälön z= e iθ ratkaisu on kompleksiluku, jonka itseisarvo on yksi ja argumentti θ. Tämä on kaikkein tavallisin tapa ilmaista kompleksiluku polaarisessa muodossa. Tästä erikoistapauksena on Leonhard Eulerin ( ) esittämä matematiikan kaunein kaava : e πi = 1, jossa yhdistyvät hienosti kolme matematiikassa ehkä kaikkein tärkeintä lukua. Reaalilukujen yhteydessä puhutaan positiivisesta ja negatiivisesta äärettömästä. Kompleksitasolla on kuitenkin vain yksi ääretön. Tätä havainnollistaa tapa esittää kompleksitaso ns. Riemannin pallona. Alla olevassa kuvassa on esitetty projektio tason ja pallon välillä. Pallon pohjoisnavalla sijaitsee ääretön, ja etelänavalla luku 0. Muut pisteet projisoidaan pallolle piirtämällä suora äärettömän, ja tasolla olevan pisteen kautta. Suora leikkaa pallon projektiopisteessä. Tällöin argumentti vastaa itse asiassa pituuspiiriä. Päiväntasaajalle kuvautuu origokeskeinen yksikköympyrä. Kompleksitasoa, jossa ääretön on mukana kutsutaan laajennetuksi kompleksitasoksi, ja merkitään. 15

16 Seepia 4 Perjantai la useita arvoja. Tällöin negatiivinen kiertorata koostuu kaikista mahdollisista käänteisfunktioiden arvoista. Ts. pisteen z negatiiviseen kirtorataan kuuluvat kaikki ne pisteet, joiden positiiviseen kiertorataan z kuuluu. Jaksolliset pisteet Kuten edellä olevassa esimerkissä havaittiin, pisteen 0 positiivinen kiertorata funktiota p 0 iteroitaessa pysyy nollassa, sillä p 0 (0)=0. Yleisesti jos f(z 0 )=z 0 jollekin funktiolle f(z), sanotaan z 0 :aa f:n kiinteäksi pisteeksi. Joillakin funktioilla on myös ns. jaksollisia pisteitä, eli pisteitä joille z 0 =f n (z 0 ) (1) jollekin positiiviselle kokonaisluvulle n. Tällöin voidaan myös sanoa pisteen positiivisen kiertoradan olevan jaksollinen. Pienintä n:n arvoa, joilla (1) toteutuu kutsutaan kiertoradan jaksoksi. Kaavasta (1) seuraa myös, että f k (z 0 )=f k n (z 0 ) () Kaikille positiivisille kokonaisluvuille k. Esimerkiksi kun c toteuttaa yhtälön ( c + c) + c= 0, eli kun c 0,1561+0,744861i, niin piste 0 kuuluu jaksolliseen sykliin, jonka jakso on 3: p 0 c (0)= 0 Kuva 3: Julian joukko funktiolle p c (z) z 0,1561+0,744861i. Jaksollinen kiertotara on merkitty mustilla pisteillä. Julian joukon sisäpuolelle jäävä alue muodostaa sen attraktion altaan. Kuva : Funktion derivaatan vaikutus kiinteän pisteen (z 0 ) luonteeseen. Ja sen lähellä sijaitsevan pisteen (z' 0 ) positiiviseen kiertorataan. a: Jos f ( z 0) > 1, niin f(z' 0 ) sijaitsee kauempana z 0 :sta kuin z' 0. b: Jos taas f ( z 0) < 1, niin f(z' 0 ) sijaitsee lähempänä z 0 :aa kuin z' 0. Huomaa, että kuvaajien molemmat akselit ovat reaaliakseleita. Vaaka-akseli kuvaa funktion argumenttia ja pystyakseli sen arvoa. p 1 c (0) 0,1561+0,744861i p c (0) 0, ,5680i p 3 c (0)= 0 p 4 c (0) 0,1561+0,744861i p 5 c (0) 0, ,5680i jne... Tämä sykli on merkitty kuvaan 3. Pisteitä, jotka eivät ole jaksollisia, mutta joiden kiertoradat päätyvät jaksolliseen silmukkaan äärellisen iteraatiomäärän jälkeen kutsutaan esijaksollisiksi. Tällainen on edellisen esimerkin funktiolle esimerkiksi piste 0,1561 0,744861i. Se on c:n arvon vastaluku, joten sen neliö on sama kuin c:n. Jo ensimmäisellä iteraatiolla päästään siis edellä esitettyyn sykliin. Lisää tällaisia pisteitä löydetään funktion käänteisfunktiota käyttämällä. Attraktiiviset ja repulsiiviset pisteet 1) Funktion derivaatta pisteessä z 0 tarkoittaa sen kulmakerrointa tuossa pisteessä. Sitä merkitään f (z 0 ). Jos iteroitava funktio on jatkuva ja derivoituva, on luonnollista, että sen kiinteiden pisteiden lähettyvillä sijaitsevat pisteet käyttäytyvät lähes kiinteän pisteen tavoin. Se, miten kiertorata poikkeaa kiinteän pisteen kieroradasta, riippuu kyseisen kiinteän pisteen luonteesta. Joissakin tapauksissa läheltä valitun pisteen kiertorata lähenee pikkuhiljaa kiinteää pistettä, eli mitä pidemmälle iteroidaan, sitä lähemmäksi kiertoradan pisteet tulevat kiinteää pistettä. Toisissa tapauksissa kiertorata taas etääntyy kiinteästä pisteestä. Kiinteitä pisteitä, joiden ympärillä kiertoradat käyttäytyvät ensin mainitulla tavalla kutsutaan attraktiivisiksi, ja jälkimmäisellä tavalla käyttäytyviä repulsiivisiksi. Jos kiertorata ei etäänny, eikä lähesty kiinteää pistettä, vaan pysyy suhteellisesti ottaen samalla etäisyydellä, sanotaan pisteen olevan neutraali. Pisteen luonteen tarkka määrittäminen edellyttää iteroitavan funktion derivaatan laskemista kyseisessä pisteessä. Kompleksifunktio voidaan derivoida samoin menetelmin kuin reaalifunktiokin. Sen derivaatta on myös kompleksifunktio, jonka reaali- ja imaginääriosa vastaavat alkuperäisen funktion reaali- ja imaginääriosien muutosnopeuksia kussakin pisteessä. Kiinteät pisteet (z 0 ) luokitellaan yleensä funktion derivaatan 1) (λ=f (z 0 )) perusteella seuraavasti: λ =0 superattraktiivinen 0<λ <1 attraktiivinen λ =1 λ >1 neutraali repulsiivinen 16

17 Seepia 4 Perjantai ) Tämä ei ole Julian joukon alkuperäinen määritelmä, vaikka se lieneekin yleisimmin käytetty. Alkuperäinen määritelmä löytyy esim. lähteistä [1] tai [14]. Se voidaan osoittaa tässä esitetyn kanssa yhtäpitäväksi. Kuva 4: Julian joukko funktiolle f(z)=z (z 3 1)/3z. Kuvaan on merkitty kolme 3 attraktiivista kiinteää pistettä 1 ja 0, 5± i, sekä niiden attraktion altaat ei harmaan sävyillä. Kaikilla attraktion altailla on yhteinen reunaviiva, joka on funktion f Julian joukko. Kuva havainnollistaa derivaatan merkitystä. Myös useamman pisteen syklille voidaan määritellä vastaava ominaisuus. Tällöin tarkastellaan vastaavasti derivaattaa λ=(f k ) (z 0 ), missä k on syklin jakso. Esimerkiksi attraktiivisen syklin ympärillä olevien pisteiden kiertoradat lähenevät sykliä siten, että joka k:s piste lähenee jotakin tiettyä syklin pistettä ts. ne kiertoradan pisteet z n, joille n mod k on sama, lähenevät samaa syklin pistettä. Attraktiivisille sykleille ja kiinteille pisteille voidaan määritellä ns. attraktion allas. Sillä tarkoitetaan kaikkien niiden pisteiden joukkoa, joiden kiertoradat lähenevät ko. kiinteää pistettä tai sykliä, kun iteraatioluku lähestyy ääretöntä. Merkitsemme pisteen z 0 attraktion allasta A f (z 0 ). Esimerkiksi kuvassa 1 kiinteän pisteen attraktion allas on Julian joukon sisään jäävä alue. Alussa tarkastellussa esimerkissä Julian joukko oli siis äärettömän attraktion altaan reuna: J(f)= A f ( ), () missä tarkoittaa reunaviivaa. Tätä määritelmää voidaan kuitenkin käyttää vain funktioille, joille on kiinteä piste. Se voidaan yleistää seuraavasti: J(f)= A f (z 0 ), (3) missä z 0 on jokin attraktiivinen kiinteä piste. Kaavan (3) määrittelemä joukko on todellakin riippumaton kiinteän pisteen z 0 valinnasta. Voidaan todellakin osoittaa, että mikäli funktiolla on useita kiinteitä pisteitä, niiden kaikkien attraktion altailla on yhteinen reuna. Tällainen Julian joukko on esitetty kuvassa 4. Koska attraktion altaaseen ei luonnollisesti voi kuulua attraktorin lisäksi muita kiinteitä tai jaksollisia pisteitä, seuraa tästä luonnollisesti, että kaikki repulsiiviset kiinteät pisteet kuuluvat Julian joukkoon. Julian joukko voidaan myös määritellä repulsiivisten pisteiden avulla: Funktion f Julian joukko on f:n kaikkien repulsiivisten periodisten pisteiden muodostaman joukon sulkeuma. ) Joukon S sulkeumalla tarkoitetaan pienintä suljettua joukkoa, joka sisältää joukon S. Sitä merkitään S. Sulkeuma voidaan määritellä myös siten, että se on joukon ja sen reunalla sijaitsevien pisteiden yhdiste. Siihen kuuluvat siis kaikki pisteet, jotka joko kuuluvat alkuperäiseen joukkoon S, tai joille on mielivaltaisen läheltä löydettävissä piste, joka kuuluu joukkoon S. Esimerkiksi reaalilukujen joukko on rationaalilukujen joukon sulkeuma. Itse asiassa myös laajennettu kompleksitaso on kompleksitason sulkeuma. Sulkeuman määritelmästä seuraa, että S on tiheä S:ssä ts. minkä tahansa kahden pisteen, jotka kuuluvat joukkoon S välillä on kolmas piste, joka kuuluu joukkoon S. Mikä tahansa Julian joukko on siis täynnä repulsiivisia jaksollisia pisteitä. Tämä on kaikkein yleisimmin käytetty Julian joukon määritelmä. Sen avulla voidaan määritellä Julian joukko sellaisillekin funktioille, joilla ei ole attraktiivisia kiinteitä pisteitä. Mikäli kiinteä piste kuitenkin löytyy, on tämä määritelmä yhtäpitävä kaavan (3) kanssa. Repulsiiviset pisteet siis kuuluvat Julian joukkoon ja attraktiiviset eivät. Neutraaleille pisteille asia ei ole niin yksinkertainen. Ne kuuluvat Julian joukkoon, jos niiden Kuva 5: Tyypillinen epäyhtenäinen Julian joukko (c 0,8 0,8i) 17

18 Seepia 4 Perjantai derivaatan argumentti jaettuna π:llä on rationaaliluku, mutta eivät kuulu, jos se on irrationaaliluku. ks. tarkemmin [11]. Edellä mainittujen lisäksi Julian joukoilla on seuraavia ominaisuuksia: Julian joukko sisältää ylinumeroituvan määrän pisteitä. Ts. Julian joukon pisteitä ei voi numeroida luonnollisilla luvuilla. Ne voidaan sen sijaan numeroida reaaliluvuilla. [11] Minkä tahansa Julian joukkoon kuuluvan pisteen positiivinen ja negatiivinen kiertorata kuuluvat myös Julian joukkoon. Minkä tahansa Julian joukkoon kuuluvan pisteen negatiivinen kiertorata on tiheä Julian joukossa. Julian joukko J(f) on invariantti funktiossa f. Ts. Kun kaikille Julian joukon pisteille suoritetaan funktio f, saadaan uusi joukko, joka on sama kuin alkuperäinen Julian joukko. Minkä tahansa jossakin attraktion altaassa sijaitsevan pisteen negatiivinen kiertorata lähenee Julian joukkoa, kun iteraatiomäärä lähenee ääretöntä. Toisen asteen polynomeja Kaikkein tutkituimpia ovat Julian joukot toisen asteen polynomeille, eli funktioille, jotka ovat muotoa: f(z) = az + bz + d. (4) Tällaisia funktioita näyttäisi olevan varsin laaja valikoima, sillä kaavassa on kolme kompleksista vakiota, joille voidaan antaa eri arvoja. Ongelma on kuitenkin yksinkertaisempi, kuin miltä näyttää. Mikä tahansa muotoa (4) olevan funktion Julian joukko voidaan nimittäin muuttaa jonkin muotoa p c =z +c olevaksi Julian joukoksi pelkästään muuttamalla sen kokoa, pyörittämällä ja siirtämällä sitä kompleksitasolla [1]. Tämä muunnos voidaan esittää funktiona M(z) = uz + v. Väitämme nyt, että mikä tahansa funktion f iteraatioaskel voidaan suorittaa siten, että kuvataan lähtöpiste funktiolla M toiseen paikkaan, sen jälkeen suoritetaan vastaava iteraatioaskel funktiolla p ja kuvataan saatu piste takaisin funktiolla M 1. Toisin sanoen: f(z)=m 1 (p(m(z))) =M 1 (p(uz+v)) =M 1 ((uz+v) +c) =M 1 (u z +uvz+v +c) Ja koska M:n käänteisfunktio on M 1 =(z v)/u, niin f(z)= ( u z uvz v c) v u =uz +vz+ v v + c, u mikä on selvästikin samaa muotoa kuin (4). Vakiot voidaan nyt valita siten, että a=u, b=v ja d= v v + c u c=ad b +b. Kun iteraatioita suoritetaan useita peräkkäin, voidaan muunnosfunktiot jättää välistä pois: f (z)=m 1 (p(m(m 1 (p(m(z)))))) =M 1 (p(p(m(z)))) =M 1 (p (M(z))) Tästä seuraa, että z kuuluu funktion f Julian joukkoon jos ja vain jos M(z) kuuluu vastaavan funktion p c Julian joukkoon. Näin ollen voidaan ymmärtää kaikkia toisen asteen Julian joukkoja pelkästään funktiota p c tutkimalla. Paraabeleilla on vastaava ominaisuus: Muotoa y=az + bz + d olevan reaalifunktion kuvaaja on paraabeli, jonka huippu voi sijaita missä tahansa pisteessä. Siirtämällä ja kokoa muuttamalla se voidaan kuitenkin muuttaa paraabeliksi, jonka yhtälö on muotoa y=ax. Toisen asteen Julian joukoilla on mm. seuraavia ominaisuuksia: Kaikki toisen asteen Julian joukot ovat symmetrisiä pisteen suhteen. Funktion p c Julian joukot ovat symmetrisiä origon suhteen. Toisen asteen Julian joukot ovat joko yhtenäisiä, tai ns. Cantorin joukkoja, eli ne koostuvat äärettömästä määrästä irrallisia pisteitä. Funktiolla p c on enintään yksi äärellinen attraktori, joka voi olla joko sykli tai kiinteä piste. Voidaan nimittäin osoittaa, että, että jokaiseen attraktion altaaseen kuuluu vähintään yksi ns. kriittinen piste. Funktion kriittisellä pisteellä tarkoitetaan pistettä, jossa funktion derivaatta on nolla, tai sitä ei ole. Toisen asteen funktiolla on kaksi kriittistä pistettä: ääretön, sekä derivaatan nollakohta (Yhtälöllä D(az +bz+d) =az+b=0 on vain yksi ratkaisu.) [1] Fraktaalisuus ja kaaottisuus Fraktaalilla tarkoitetaan kohdetta, jonka monimutkaisuus ei riipu tarkastelumittakaavasta. Esimerkiksi alempi kuvan 1 esittämistä Julian joukoista on fraktaali, sillä mikä tahansa sen osa näyttää suurennettuna yhtä monimutkaiselta kuin alkuperäinen joukko. Toisaalta esimerkiksi ympyrä ei ole fraktaali, sillä mitä enemmän jotakin sen kohtaa suurennetaan, sitä enemmän se muistuttaa suoraa viivaa. Fraktaaleista tarkemmin ks. esim. [15], [7] tai [5]. Jo Julia ja Fatou [6] olivat tietoisia monien Julian joukkojen fraktaalisista ominaisuuksista, vaikka heidän aikanaan ei ollut käytettävissä tarpeeksi tehokkaita tietokoneita, jotta joukoista olisi voitu tuottaa kuvia. 18

19 Seepia 4 Perjantai tätä Julian joukon osajoukkoa W:llä. Tällöin on olemassa jokin sellainen luonnollinen luku n, että f n (W)=J(f). f n on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, mistä seuraa, että koko Julian joukon rakenne esiintyy myös yhdessä sen palasessa. Tämä ei kuitenkaan välttämättä tarkoita, että joukko olisi fraktaalinen. Esimerkiksi funktion p c Julian joukoista tapaukset c=0 (origokeskeinen yksikköympyrä) ja c= (jana :sta 0:aan) eivät ole fraktaaleja. [14] Joukon fraktaalisuutta mitataan yleensä ns. Hausdorff-dimensiolla [15]. Se on luku, joka on sitä suurempi, mitä fraktaalisempi joukko on. Mikäli joukko ei ole lainkaan fraktaalinen sen dimensio on yhtä suuri kuin sen topologinen dimensio (esim. käyrälle 1 pinnalle jne.). Julian joukoille Hausdorff-dimension tarkka määrittäminen on vaikeaa, mutta sitä voidaan arvioida kokeellisesti piirtämällä kuva joukosta, ja mittaamalla sitä eri tarkkuuksilla [14] [15]. Funktion p c Julian joukoille, kun c on tarpeeksi pieni, voidaan laskea likiarvoja kaavalla [13]: c d H = 1+ 4 log. Arvot ovat sitä tarkempia, mitä pienempi c on. Mandelbrotin joukko Kuva 6: Mandelbrotin joukko. Komponenttien sisälle merkityt luvut kertovat montako pistettä on funktion p c (z)=z+c attraktiivisessa syklissä, kun c sijaitsee jossakin kyseisen komponentin sisällä. Esimerkiksi jo kaavasta (3) seuraa, että jos funktiolla on vähintään kolme attraktiivista kiinteää pistettä, sen Julian joukko on väistämättä fraktaalinen. Kaikkien Julian joukon pisteiden täytyy nimittäin sijaita kaikkien kolmen attraktion altaan kohtaamispisteissä. Tästä seuraa, että jos jollakin alueella näyttäisi olevan kahdella attraktion altaalla yhteinen reunaviiva, on tässä välissä väistämättä sijaittava pala kolmannen attraktorin allasta. Jos näin ei olisi, tuossa kohtaa olisi pala Julian joukkoa, joka ei olisi kolmannen altaan reunalla. Ks. kuva 4. Kaikille Julian joukoille pätee myös, että jos otetaan mikä tahansa jonkin ympyrän rajaama osajoukko Julian joukosta J(f), ja suoritetaan sille funktiota f tarpeeksi monta kertaa, se peittää lopulta koko Julian joukon. Merkitään Jo pitkään on tiedetty, että funktion p c Julian joukot ovat joillakin c:n arvoilla yhtenäisiä ja toisilla epäyhtenäisiä. Epäyhtenäiset joukot ovat ns. Cantorin joukkoja, eli ne koostuvat äärettömästä määrästä erillisiä pisteitä. Epäyhtenäiset joukot syntyvät yleensä suuremmilla c:n arvoilla kuin yhtenäiset. Esimerkiksi jos c >,onj(p c ) aina yhtenäinen. Julian ja Fatoun aikaan ei kuitenkaan pystytty tarkasti sanomaan, millaiselta alueelta c piti valita, jotta saataisiin aikaiseksi yhtenäinen Julian joukko. Julia ja Fatou saivat kuitenkin selville, että Julian joukon yhtenäisyys voidaan päätellä funktion kriittisten pisteiden avulla. Funktiolla p c on kaksi kriittistä pistettä: nolla ja ääretön. Jos piste 0 kuuluu äärettömän attraktion altaaseen, niin funktiolla ei voi äärettömän lisäksi olla muita attraktoreita, sillä jokaisen attraktorin altaassahan on oltava vähintään yksi kriittinen piste. Tällöin Julian joukolla ei voi olla sisäpuolta. Mm. tätä tietoa hyödyntäen Julia ja Fatou osoittivat, että J(p c ) on yhtenäinen jos ja vain jos nolla kuuluu äärettömän attraktion altaaseen. Niiden kompleksitason pisteiden joukkoa, joille J(p c ) on yhtenäinen, kutsutaan nykyään Mandelbrotin joukoksi Benoit B. Mandelbrotin mukaan, joka ensimmäisenä tuotti tietokoneella kuvan 19

20 Seepia 4 Perjantai Kuva 7: Julian joukot funktiolle p c (z) z c, kun c=i, c= 0, ,58679i ja c= 0,6830+0,338i. Kuva-ala on kaikissa [ 1,5 1,5i; 1,5+1,5i]. Julian joukko c=i on tyypillinen dendriitti. tästä joukosta 1970-luvun lopussa [7] [9]. Merkitsemme Mandelbrotin joukkoa M:llä. (ks. kuva 6) Mandelbrotin joukkoa on sanottu matematiikan kauneimmaksi ja monimutkaisimmaksi kuvioksi. Sen reunaviiva on fraktaalinen, ja sen Haussdorf-Besicovitch dimensio on, eli se on monimutkaisin mahdollinen käyrä, joka voi esiintyä kaksiulotteisessa avaruudessa. Mandelbrotin joukkoa on sanottu yhden sivun kartaksi kaikista Julian joukoista, sillä sen reunaviivan muoto jonkin pisteen c läheisyydessä muistuttaa vastaavan Julian joukon (J(p c )) muotoja. Tämä on luonnollista, sillä koska jokainen Mandelbrotin joukon piste c vastaa Julian joukon J(p c ) pistettä 0, se vastaa myös sen pistettä c (p c (0)=0 +c=c). Tällöin liikkuminen jossakin Mandelbrotin joukon paikassa vastaa liikkumista vastaavan Julian joukon samassa paikassa. Julian joukko kuitenkin muuttuu jatkuvasti c:n arvon muuttuessa. Mandelbrotin joukko kertoo muutakin Julian joukoista. Esimerkiksi kaikki ne c:n arvot, joilla p c :llä on jokin attraktiivinen kiinteä piste sijaitsevat Mandelbrotin joukon kardioidin muotoisessa osassa. Vastaavasti jokaista Mandelbrotin joukon ympyrää vastaa jokin kokonaisluku, joka kertoo, montako pistettä on funktion p c äärellisessä attraktiivisessa syklissä, kun c valitaan kyseisen ympyrän sisältä. Kuvaan 6 on merkitty numeroilla kutakin ympyrää vastaava jakso. Esimerkiksi kuvan 1 ylemmän Julian joukon tuottamiseen käytetty c on pääkardioidin yläpuolella suuren ympyrän keskipiste. Ympyröiden keskipisteet ovat aina attraktiivisia jaksollisia pisteitä. Jos p c on jokin jaksollinen sykli s, muodostaa tämän syklin attraktion allas Julian joukolle sisäpuolen, eli J(p c )= A(s)=A( ), ja Julian joukko on yhtenäinen. Mandelbrotin joukossa on kuitenkin myös pisteitä, joiden p c :llä ei ole yhtään äärellistä jaksollista sykliä. Tällaisia ovat mm. ns. Misiurewiczin pisteet. Ne ovat sellaisia Mandelbrotin joukon pisteitä c, joille 0 on funktion p c esijaksollinen, mutta ei jaksollinen piste. Tällaisten pisteiden Julian joukkoja kutsutaan dendriiteiksi. Niillä ei ole sisäpuolta, mutta ne ovat kuitenkin yhtenäisiä. Tällainen on esimerkiksi J(p 1 ) (ks. kuva 7). Kuvien tuottaminen Julian ja Mandelbrotin joukoista on varsin yksinkertaista. Funktiolle p c voidaan osoittaa, että jos kiertoradan jokin piste on itseisarvoltaan suurempi kuin ja suurempi kuin c:n itseisarvo, niin kiertorata lähestyy ääretöntä. Jos itseisarvo ei ylitä tuota rajaa esimerkiksi 18 ensimmäisen iteraatiokerran aikana, voidaan melko varmasti todeta, että piste c kuuluu Mandelbrotin joukkoon, tai että se on Julian joukon sisäpuolella. Usein käytetyn efektin saa aikaan värittämällä jokainen piste sen mukaan, kuinka monennella iteraatiolla itseisarvo ylitti valitun rajan. Kuvien tuottamiseksi on myös saatavilla lukuisia valmiita tietokoneohjelmia, joista muutamia on lueteltu Seepian Internetsivulla. Sampo Tiensuu Kirjallisuutta [1] Blanchard, B.; Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere. Bulletin of the American Mathematical Society 11 (1984): [] Devaney, R. L.; Julia Sets and Bifurcation Diagrams For Exponential Maps. Bulletin of the American Mathematical Society 11 (1984): [3] Devaney R. L.; Fractal Patterns Arising in Chaotic Dynamical Systems. Kirjassa [1]. [4] Devaney, R. L.; An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison- Wesley Publishing Company, [5] Falconer, K. J.; Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications. John Wiley Sons, [6] Julia, G.; Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles. Journal de Mathématiques pures et Appliquées 83 (1918): [7] Mandelbrot, B. B.; The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York 1983 (1977). [8] Mandelbrot, B. B.; Fractal Aspects of the Iteration of z z(1 z) for complex and z. Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980): [9] Mandelbrot, B. B.; Fractals and the Rebirth of Iteration Theory. Kirjassa [11]. [10] Peitgen, H.-O.; Fantastic Deterministic Fractals. Kirjassa [1]. [11] Peitgen, H.-O.; Ricter, P. H. (toim.) The Beauty of Fractals Images of Complex Dynamical Systms. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [1] Peitgen, H.-O.; Saupe, D. (toim.); The Science of Fractal Images. Springer- Verlag, New York [13] Ruelle, D.; Repellers for Real Analytic Maps. Ergodic Theory and Dynamical Systems (198): [14] Saupe, D.; Efficient Computation of Julia Sets and Their Fractal Dimension. Physica 8D (1987): [15] Tiensuu, S.; Luonnon geometriaa. Seepia 1 (1999): 6. 0

. Jos < 1, jono lähestyy nollaa kun n lähestyy ääretöntä. Tätä merkitään lim z =0. Jos taas z 0. = 1, niin z n. =, ja jos z 0

. Jos < 1, jono lähestyy nollaa kun n lähestyy ääretöntä. Tätä merkitään lim z =0. Jos taas z 0. = 1, niin z n. =, ja jos z 0 Seepia 4 Perjantai 1.6.001 Luonnossa esiintyy joka puolella äärimmäisen monimutkaisia ja kauniita muotoja, jotka jatkuvasti toistavat itseään eri mittakaavoissa. Niitä löytyy niin vuorista ja meren aalloista,

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen 6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition

Lisätiedot

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Mikrobiryhmät. Bakteeriviljelmät

Mikrobiryhmät. Bakteeriviljelmät Mikrobit Kuuluvat moneen eri eliökunnan ryhmään (bakteereihin, arkkeihin, alkueliöihin ja sieniin lisäksi virukset) Hajottajia (lahottajat ja mädättäjät), patogeeneja (taudinaiheuttajia), tuottajia (yhteyttävät),

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita 3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia. Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

nopeusvektoria säädettäessä. kuvaruudulla olevien kappaleiden

nopeusvektoria säädettäessä. kuvaruudulla olevien kappaleiden 1 2 Ohjelman perusidea on varsin yksinkertainen. Kyseessä on tietokonepeli, jossa pelaaja pyrkii lähettämään kuvaruudulle ilmestyviä planeettoja radoilleen siten, että ne eivät törmäile virtuaalisessa

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot