Vanajan hiihtäjä. Tässä numerossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vanajan hiihtäjä. Tässä numerossa"

Transkriptio

1

2 Seepia 4 Tässä numerossa 3. Sienisolut 6. Kiertoratamekaniikkaa 9. Aritmetiikkaa geometrialla 1. Latina elävä kuollut kieli 14. Julian joukot fraktaaleja kompleksitasolla 1. Metafysiikan ominaisuuksista Seepia on neljä kertaa vuodessa ilmestyvä tiedelehti. Sitä jaetaan ilmaiseksi Helsingin matematiikka- ja luonnontiedelukioiden opiskelijoille. Päätoimittaja: Teemu Varis Toimituskunta: Aapo Ahola Petri Arvo Sam Harwick Einar Karttunen Jaakko Kortesharju Veli Peltola Sampo Tiensuu Pekka Tolvanen Teemu Varis Jari Varje Ulkoasu: Sampo Tiensuu Toimitukseen voi ottaa yhteyttä sähköpostitse: tai koulujen sisäisen postin kautta (Ressun lukio / Pekka Piri). Seepian kotisivut ovat Internetissä osoitteessa: Olemme kiitollisia palautteesta, korjauksista ja kysymyksistä. Mikäli haluaisit kirjoittaa artikkelin Seepiaan, ota yhteyttä. Seepian toimituksella on ylin päätösvalta julkaistavan materiaalin suhteen. Emme vastaa tilaamattoman materiaalin säilyttämisestä tai palauttamisesta. Artikkelien tekijänoikeudet ovat niiden kirjoittajilla. Kuvien tekijänoikeuksien haltijat on mainittu niiden vieressä. Seepialla on kuitenkin oikeus korvauksetta käyttää uudelleen siinä julkaistua materiaalia. Seepian edellisiä numeroita voi tilata jälkitilauksena hintaan 5 mk/kpl + postitus- ja käsittelykulut 0 mk niin kauan kuin painosta riittää. Perjantai Vanajan hiihtäjä Mies seisoo keskellä Vanajavettä. On siis talvi, ja koko valtava järvi on jäässä. Niin, tämä mies seisoo keskellä avarinta Vanajanselkää Kalvolan, Hattulan ja Valkeakosken kuntien rajalla sijaitsevassa saaressa; jalassa hänellä on sukset ja selässä teodoliitti eli sellainen koje, jolla mitataan kulmia maastossa. Ja ehkä vähän näkkileipää muonitukseen. Mies lähtee liikkeelle ja hiihtää pitkillä metsäsuksillaan 100 täyttä suksenmittaa kohtisuoraan länteen päin, kunnes pysähtyy. Hän pystyttää teodoliittinsa ja määrittää edestäpäin suunnan, joka on kymmenen astetta eli 11,11... goonia1) hänen äsken kulkemastaan suunnasta vasemmalle. Tästä suunnasta hän ottaa kiintopisteen, ja kulkee sitä kohti jälleen 100 suksenmittaa. Teodoliittinsa avulla hän ottaa uuden suunnan: 0 astetta edellisestä suunnasta vasemmalle. Hän siis kaksinkertaistaa edellisen suunnanmuutoksen, ja hiihtää jo tutuksi tulleen matkan, tarkasti suoraa linjaa noudattaen. Näin miehemme jatkaa, kääntyen aina vasemmalle kaksi kertaa edellisen käännöksen verran ja sitten hiihtäen aina saman matkan. Käännökset, jotka mies tekee, muodostavat siis jonon: 10, 0, 40, 80, 160, jne. Kysymys kuuluu: minne ihmeeseen mies päätyy? Tampereelle vai Hämeenlinnaan? Tilanne olisi toki yksinkertaisempi, mikäli ensimmäinen kulmanmuutos olisi ollut 45. Silloin matka kävisi seuraavan näköistä rataa pitkin luoteeseen (Nokialle): Tehtävässämme mies kuitenkin nääntyy nälkään ellei ymmärrä lopettaa. Näin retki etenee: Kuvio on rekursiivista prosessia kuvaava tasokäyrä. Kuvaajan perusteella näyttäisi neljänkymmenen asteen käännöksen jälkeen prosessissa toistuvan eräs jakso loputtomasti. Kulmajonon jaksojen toisiaan vastaavien jäsenten arvo modulo 360 on siis sama. Myös muilla astelukemilla ilmenee reitissä tavalla tai toisella geometrisesti jaksollista kehitystä, mutta millä tavalla astelukema tarkalleen ottaen vaikuttaa geometrisen kuvion laatuun sääntöä toistettaessa? Esimerkkejä: Seepia julistaakin lukijoilleen kilpailun, jossa tehtävä on seuraava: Selvitä, millä perusteilla geometrien kuvio riippuu annetun kulman kokonaislukusuhteista (esim. 9/360, 10/360). Kaikki vastaukset huomioidaan, ja paras ehdotus palkitaan vaelluskompassilla. Aapo Ahola 1) Maanmittaajat jakavat ympyrän neljäänsataan gooniin (g). Suorassakulmassa on tällöin looginen määrä kulmayksikköjä, 100g.

3 Seepia 4 Perjantai Sienikunta on laaja eliölajien ryhmä: se sisältää niin kaikille tutut perinteiset sienet kuten tatit, rouskut ja haarakkaat, mutta myös useita muita kaaria 1). Sieniin kuuluvat myös mm. homeet, hiivat ) ja limasienet. Jäkälät puolestaan ovat sienen ja levän symbiooseja Tutkijat eivät vielä tänä päivänäkään ole yhtä mieltä sienten luokittelusta, ja sienten, protokistien, eläinten ja kasvien erottaminen toisistaan on joissakin tapauksissa hyvin ongelmallista. Kaikilla sienillä katsotaan kuitenkin olevan joitakin yhteisiä piirteitä. Sienet ovat heterotrofisia eli toisenvaraisia. Ne käyttävät ympäristön ravinteita hyödykseen, mutta eivät syö saalistaan kuten eläimet, vaan erittävät ruoansulatusentsyymejä ympärilleen. Sienet ovat usein lahottajia, loisia tai symbiontteja. Sienet lisääntyvät itiöistä joko suvullisesti tai suvuttomasti. Niiden perusrakenne koostuu tavallisesti hyyfien eli sienirihmojen muodostamasta rihmastosta. Sienisoluilla on soluseinä, joka on useimmiten kitiiniä. Lisäksi solujen tumat ja kromosomit ovat erittäin pieniä. Sienisoluja on monenlaisia, vaikka erilaisten solujen kirjo yhdessä yksilössä onkin suppeampi 1) Kaari on kasvikunnan luokituksessa käytettävä pääryhmä. Eläinkunnassa sitä vastaa pääjakso. ) On kiistanalaista ovatko hiivat alkueliömäisiä sieniä vai sienimäisiä alkueliöitä. Sampo Tiensuu kuin monimutkaisemmilla eliöillä. Sienten toiminnallisena yksikkönä on tavallisesti hyyfi. Hyyfeissä on usein monta tumaa, eikä se jakaudu selkeästi soluihin. Hyyfin voidaan ajatella olevan eräänlainen useiden solujen yhteensulautuma. Toisaalta esim. hiivat ovat usein yksisoluisia ja eräät rihmamaiset sienet jakautuvat selvästi soluihin. Sienisolut ovat aitotumallisia ja sienillä on sekä haploidinen että diploidinen vaihe. Hyyfien muoto ja koko vaihtelee suuresti hyyfin sijainnin ja tehtävien mukaan. Lajien väliset erot ovat kuitenkin selviä. Tyypillisen hyyfin koko vaihtelee 3-1µm välillä. Hyyfejä erottaa toisistaan soluseinä. Korkeampien sienten 3) hyyfit jakautuvat osastoihin. Osastojen koko vaihtelee 5-75µm välillä. Rihmaston kärjessä on usein muita 5-10 kertaa suurempi kärkeä kohti suippeneva hyyfi. Ascomycota- eli kotelosienten rihmoissa on usein monta tavallisesti, ja kärkihyyfi sisältää usein 5-15 kertaa enemmän tumia kuin muut hyyfit. Poikkeuksen muodostaa lahko Saccharomycetales (hiivasienet), jotka esiintyvät yleisimmin yksittäisinä silmikoitumalla lisääntyvinä soluina. Basidiomyceteiden rihmoissa on usein yksi tai kaksi tumaa, riippuen rihmojen sijainnista. Sienten tumat ovat pieniä (1-µm) verrattuna eläinten ja kasvien tumiin, eikä niissä ole paljon 3) nimityksellä tarkoitetaan kaaria Ascomycota (kotelosienet) ja Basidiomycota (kantasienet). Kuva 1: Taulakääpä on kouvua lahottava sieni, jonka monivuotisia itiöemiä on käytetty mm. tulen tekemiseen.keskikokoinen taulakääpä tuottaa keväällä noin itiötä sekunnissa. 3

4 Seepia 4 Perjantai kromosomeja. Tämä tekee niiden tutkimisen vaikeaksi, vaikka geenien määrä on pienehkö. Sienisolujen DNA on yleensä kiertyneenä neljän histonin muodostaman ryhmän ympärille. Histonien aminohappokoostumus eroaa jonkun verran kasvien ja eläinten vastaavasta. Erityisesti sienisoluille on tyypillistä nukleosomien välinen lyhyt etäisyys. Eräillä sienillä on osoitettu olevan myös vähäisiä määriä kromosomeihin liittymätöntä DNA:ta. Sienten DNA:ssa on vain vähän toistuvia jaksoja - yleensä vähemmän kuin 10%. Useilla nisäkkäillä vastaava osamäärä on 30%. Useimmat toistot lienevät geeneissä, jotka koodaavat rrna:ta. Introneja on sienien DNA:ssa yleensä vähemmän ja ne ovat lyhyempiä kuin kehittyneemmissä soluissa. Sienisolut sisältävät mitokondrioita kuten eläinsolutkin. Nämä eivät kuitenkaan ole solun selviytymisen kannalta aina välttämättömiä, sillä useat sienisolut selviävät anaerobisissa olosuhteissa, tosin kasvaen hitaammin. Mitokondrioiden määrä vaihtelee huomattavasti kuten kasvi- ja eläinsoluillakin. Mitokondrioiden kokokin vaihtelee suuresti: solussa saattaa olla esimerkiksi viisi isoa haaroittunutta mitokondriota tai 0 pientä yksittäistä mitokondriota. Sienisolujen mitokondrioissa on runsaasti mtdna:ta 4), usein jopa kolme kertaa enemmän kuin ihmisellä. mtdna:n vastuulla on sienten mitokondrioissa, enemmän asioita kuin varsin yksinkertaisissa nisäkkäiden mitokondrioissa - nisäkkäillä vastaavat tehtävät hoitaa tuman DNA. mtdna voi mitokondrioiden lukumäärän vuoksi muodostaa jopa 5-5% sienisolun DNA:sta. 4) mtdna eli mitokondrio DNA. Mitokondriot sisältävät perintötekijöitä, joita ne tarvitsevat toiminnassaan. 4 Michael Wood Kuva : Limakkosienen keskenkasvuisia itiöemiä 5) dsrna (double stranded RNA) kaksijuosteinen RNA. Bakteerisoluissa yleiset plasmidit ovat harvinaisia sienisoluissa. Niitä on tavattu joillakin lajeilla, mutta on epäselvää osallistuvatko ne isäntäsolunsa toimintaan. On esitetty, että sienten plasmidit ovat vain DNA:n kappaleita, jotka vain pyrkivät monistamaan itseään ilman että ne edesauttaisivat sientä mitenkään. Sienisolut - kuten kaikki muutkin solut - kärsivät viruksista. Sienivirukset sisältävät usein dsrna 5) :ta ja ovat muodoltaan isometrisiä eli suunnilleen pallomaisia. Virusten yleisyys vaihtelee lajeittain, joidenkin lajien melkein jokaisessa yksilössä on virus, toisilla viruksia ei ole havaittu. Sienivirukset eivät tartu helposti, ja sienten välinen tartunta vaatii usein protoplastin. Useille sieniviruksille on myös tyypillistä, että dsrna-molekyylit ovat omissa erillisissä kapseleissaan eivätkä yhdessä vaipan suojaamassa kapselissa. Sienivirukset eivät useinkaan ole kovin vaarallisia sienille, vaikka joitakin poikkeuksiakin on. Niinpä viruksia onkin havaittu enimmäkseen erityisissä tutkimuksissa. Sienisoluissa esiintyy myös jonkin verran vapaita dsrna-molekyylejä, joilla ei ole suojanaa minkäänlaista vaippaa ja käyttäytyvät usein virusmaisesti, vaikkakin aiheuttaen vähemmän haittaa kuin varsinaiset virukset. Solut pyrkivät varastoimaan toiminnalleen tärkeitä aineita, sillä solun ympärillä on harvoin riittävästi kaikkia mitä se tarvitsisi. Sienisolut sisältävät suuria määriä hiiltä, jota ne pyrkivät varastoimaan monin tavoin. Sienisolut säilyttävät hiiltä usein lipideissä, rasvakuplissa ja glykogeeninä. Glykogeeni on soluissa liukenemattomina makromolekyyleinä. Glykogeeni voi olla jopa 10% solun kuivapainosta. Hiiltä varastoidaan myös pienimolekyylisiin yhdisteisiin. Monosakkaridit ovat sienisoluissa harvinaisia, ja selvästi yleisin yhdiste on pienimolekyylinen sokeri trehaloosi. Myös mannitoli ja arabitoli sekä muut moniarvoiset alkoholit ovat tyypillisiä varastoaineita. Trehaloosi ja moniarvoiset alkoholit muodostavat usein solun kuivapainosta jopa 15%. Pienimolekyylisiä yhdisteitä

5 Seepia 4 Perjantai Vicki Tariq Kuva 3: Hyyfin rakenne varastoidaan usein tiettyjä tehtäviä varten kun taas isomolekyyliset ovat usein materiaalivarastoja. Monet sienet varastoivat useiden protokistien tavoin fosforia polyfosfaattiina erityisiin jyväsiin. Solujen ympärillä on puoliläpäisevä solukalvo. Sienisolujen solukalvon rakennetta ei tunneta kovin hyvin, mutta sen päärakennusaineena on ergosteroli, kun taas eläimillä se on kolesteroli. Solukalvon ulkopuolella on polysakkarideja kuten galaktaania. Sienillä kuten kasveillakin on soluseinät. Hyyfin seinämä rakentuu yleensä kitiinistä, mutta useimmilla Oomycota- eli mu- Michael Wood nasienillä se on selluloosaa. Kitiini on lineaarinen polymeeri, joka tunnetaan myös hyönteisten tukirakenteiden rakennusmateriaalina. Hyyfien seinämien rakenne on usein monimutkainen, ja seinämät sisältävät usein muitakin polymeerejä. Seinämän vahvuus perustuukin useimmiten komposiittirakenteeseen tai molekyylikuitujen ominaisuuksiin. Hyyfien seinien rakenne vaihtelee suuresti niiden sijainnin ja tehtävän mukaan. Monesti pitkälle kehittyneiden seinien ulkopuolella on vielä erillinen ulkoseinä. Sienisolujen seinissä on usein myös jonkun verran lipidejä, ja joillakin sienillä melaniineja, jotka suojaavat soluja mikrobeilta. Korkeampien sienillä on usein hyyfien seinissä aukko, jonka kautta voi joskus siirtyä hyyfistä toiseen soluliman lisäksi tumia. Aukkojen läheisyydessä on usein ns. Woronin kappaleita 6), jotka siirtyvät tukkimaan aukon, jos viereinen hyyfi on vioittunut. Sienisolut ovat oma selvästi erillinen ja mielenkiintoinen ryhmänsä muiden solutyyppien joukossa. Ne eroavat selkeästi muista aitotumallisista soluista muodostaen välimuodon kasvien, eläinten ja protokistien välille. Sienten tutkimus ja tuntemus on mullistunut viimevuosikymmeninä mikrobiologian kehityksen myötä. Niiden tuntemus käynee tulevaisuudessa yhä tärkeämmäksi geenitekniikan edistyessä. Einar Karttunen Kirjallisuutta Kuva 4: Kokonaiskantaisten (Holobasidiomycetidae) alaluokkaan kuuluva myrkyllinen Amanita virosa, joka kasvaa yhdysvaltojen itäosissa. [1] Härkkönen, Marja; Ukkola, Tarja; Helsingin yliopiston kasvitieteen monisteita 16 Sienten rakenteen ja systematiikan pääpiirteitä. Yliopistopaino, Helsinki 1998 [] Härkkönen, Marja; Koponen, Hilkka; Renvall, Pertti; Stenroos, Soili; Helsingin yliopiston kasvitieteen monisteita 10 Sienitieteen perusteet. Yliopistopaino, Helsinki 1990 [3] Carlile, Michael J.; Watkinson, Sarah C.; The Fungi. Academic press, Iso- Britannia, Bath ) englanniksi Woronin body. 5

6 Seepia 4 Perjantai Kiertoratamekaniikka on mekaniikan ala, joka tarkastelee kappaleiden liikkeitä gravitaatiovoimien vaikutusten alaisina. Tässä artikkelissa tarkastellaan aihetta satelliittien ja avaruusalusten näkökulmasta. Avaruudessa kappaleisiin ei vaikuta muita kuin gravitaatiosta johtuvia voimia, sillä väliainetta ja siten ollen vastusta ei käytännössä ole. Tämän takia liike avaruudessa on hyvin lainalaista ja siksi kohtuullisen helppoa tarkastella, jos kappaleita on vain kaksi. Useamman kappaleen systeemeissä matemaattinen tarkastelu on erittäin vaikeaa, jollei jopa mahdotonta. Satelliittien kohdalla tätä ongelmaa ei kuitenkaan ole, koska ongelmat käsittelevät yleensä satelliitteja kiertoradalla, jolloin Auringon ja muiden taivaankappaleiden vaikutusta ei juuri tarvitse huomioida. Avaruusalukset liikkuvat avaruudessa siis tiettyjä ratoja pitkin, jotka Keplerin ensimmäisen lain mukaan ovat ellipsejä (ympyrä on ellipsin erikoistapaus). Jotta aluksen kiertorata saataisiin määri- 6 tettyä, on tunnettava radasta kuusi ns. rataelementtiä: isoakselin puolikas, eksentrisyys, inklinaatio, nousevan solmun pituus, perigeumin argumentti sekä perigeumaika. Isoakselin puolikas on puolet rataellipsin isoakselin pituudesta. Eksentrisyys on lukuarvo, joka saadaan, kun rataellipsin polttopisteiden välimatka jaetaan isoakselin pituudella. Tämä luku määrää radan muodon. Ympyräradalla eksentrisyys on nolla. Inklinaatio on kiertoradan ja kierrettävän kappaleen ekvaattoritason välinen kulma. Nouseva solmu on kiertoradan piste, jossa satelliitti nousee radallaan Maan ekvaattoritason pohjoispuolelle. Vastaavasti laskeva solmu on piste, jossa siirrytään eteläpuolelle. Nousevan solmun pituus on nollapituuspiirin ja solmun välinen kulma. Perigeum on ellipsiradan piste, joka on lähimpänä Maata. Aurinkoa kierrettäessä vastaava piste on nimeltään periheli. Kauimmainen piste on nimeltään apogeum (apheli). Perigeumin argumentti on perigeumin ja nousevan solmun välinen kulma. Perigeumaika on hetki, jolloin satelliitti ohittaa perigeuminsa. Näiden rataelementtien avulla voidaan edelleen laskea radan apogeum- ja perigeumetäisyydet sekä määrittää aluksen tarkka paikka radalla. Näitä tietoja voi- Kuva : Kuva, jossa Maapallo on harmaa ympyrä, on kuvattu kohtisuoraan ratatasoa vasten. Toinen kuva on kolmiulotteinen. Kumpikin kuva esittää samaa rataa. Merkkien selitykset: A = apogeum, B = perigeum, C = laskeva solmu, D = nouseva solmu, E = nollapituuspiiri, = nousevan solmun pituus, = perigeumin argumentti, = inklinaatio.

7 Seepia 4 Perjantai NASA Kuva 1: Kansainvälinen ISS-avaruusasema daan käyttää siirtymäratojen, laukaisu- ja laskeutumisikkunoiden sekä kohtaamisaikojen määrittämiseen. Seuraavassa johdetaan joitakin peruskaavoja lähtien liikkeelle tutuista mekaniikan laeista. Kauniita kaavoja Newtonin ensimmäisen lain mukaan kappale jatkaa suoraviivaista liikettä, mikäli siihen ei vaikuta voimia. Ympyräradalla kiertävään kappaleeseen vaikuttaa siis jokin voima, joka vetää kappaletta pois suoralta radalta. Kiertoratamekaniikan kohdalla kyseessä on gravitaatio, jonka suuruus saadaan Newtonin gravitaatiolaista. Tämä voima aiheuttaa kappaleeseen keskeiskiihtyvyyden, joka on siis yhtä suuri kuin normaalikiihtyvyys ympyräradalla. Näistä voidaan ratkaista nopeudeksi r-säteisellä ympyräradalla M-massaisen kappaleen ympärillä: M v = γ (1) r Kaavassa ei oteta huomioon satelliitin massaa, koska se on kierretävään taivaankappaleeseen, esim. Maahan, verrattuna merkityksetön, jolloin se ei aiheuta mainittavaa muutosta Maan liiketilassa. Kulmaliikemäärän säilymisen periaatteen perusteella ellipsiradalla kappaleen kulmaliikemäärä on joka hetkellä vakio eli L = mv φ r = vakio [3 s.64]. Radan kahdelle mielivaltaiselle pisteelle voidaan siis kirjoittaa mv φ1 r 1 = mv φ r,, mistä massat supistuvat. Jos näiksi kahdeksi pisteeksi määrätään perigeum ja apogeum, voidaan kirjoittaa r p v p = r a v a, missä alaindeksi p tarkoittaa perigeumia ja a apogeumia [1]. Energian säilymislain mukaan kappaleen liike-energian ja potentiaalienergian summa on vakio. Voidaan siis kirjoittaa: 1 mv = mv γmm 1 p rp a γmm ra. Tämän yhtälön sekä yhteyden r p v p = r a v a avulla saadaan ratkaistua nopeudet ja säteet ellipsiradan perigeumissa: v p = r p = γmr a r ( r + r ) p a p r a γm 1 vara () (3) Apogeumissa vastaavat nopeudet ja säteet saadaan vastaavasti vaihtamalla alaindeksit a:sta p:ksi ja p:stä a:ksi, mikä voidaan osoittaa johtamalla kyseiset kaavat. Kiertoaika tasaisessa ympyräliikkeessä on T = πr/v. Tähän sijoittamalla ratanopeuden kaava (1) saadaan kiertoajaksi r T = 4 π 3 γm (4) Tämä pätee myös ellipsiradoille, jos säteen tilalla käytetään isoakselin puolikasta 1 a [1]. Ympyräradallahan isoakseli a = r, jol- loin 1a = r. Isoakselin puolikkaan 1a ja eksentrisyyden e avulla voidaan laskea perigeumin ja apogeumin etäisyydet kaavoilla [1] a rp = e ( 1 ) (5) a ra = +e ( 1 ) (6) Näistä saadaan johdettua kaava isoakselin puolikkaalle, kun tunnetaan säteet: a rp + ra = (7) Näiden avulla päästään siis käsiksi kiertoratamekaanisiin ongelmiin, jos tiedetään vain rataelementit. Avaruuslennon mekaniikkaa Käytännössä näitä kaavoja käytetään ongelmissa, joissa on selvitettävä nopeudenmuutokset, jotka avaruusaluksen on tehtävä siirtyäkseen kiertoradalta toiselle. Esimerkiksi matalan kiertoradan satelliitin on ajoittain korotettava ilmanvastuksen takia madaltunutta rataansa. Tällöin energian kannalta edullisin keino on laittaa satelliitti ellipsiradalle, jonka apogeum on halutun radan korkeudella. Ensimmäinen poltto suoritetaan tämän ns. siirtymäradan perigeum-pisteessä. Toinen poltto tarvitaan apogeum-pisteessä, jotta rata saataisiin uudelleen ympyräradaksi. Tällaisen tehtävän nopeudenmuutokset eli delta-v:t on helppo laskea. Esimerkki 1: ISS-avaruusaseman rata on ilmakehän ulko-osien vastuksen takia pudonnut ympyräradaksi 35 km korkeuteen. Tehtävänä on laskea tarvittavat delta-v:t polttoja varten, jotta rata saadaan palautettua 400 km korkeuteen. NASA Ratkaisu: Ratojen säteet eli siirtymäradan perigeum- ja apogeum-pisteet ovat r 1 = r p = m ja r = r a = m. Satelliitin nopeudet alemmalla ja ylemmällä ympyräradalla saadaan kaavasta (1): v 1 = 7711 m/s ja v = 7668 m/s. Nopeudet siirtymäradan apogeumissa ja perigeumissa saadaan sijoittamalla kaavaan (): v p = 773 m/s ja v a = 7647 m/s. Näin voidaan laskea polttojen edellyttämät delta-v:t: v 1 = v p v 1 = 1 m/s ja v = v v a = 1 m/s. Ensimmäisessä poltossa Kuva 3: Hubble-avaruusteleskooppi 7

8 Seepia 4 Perjantai nopeutta on siis kiihdytettävä 1 m/s. Tämän jälkeen odotetaan puoli kiertoaikaa, jonka jälkeen toisessa poltossa nopeutta kiihdytetään vielä 1 m/s, jolloin ollaan ympyräradalla 400 km korkeudessa. Vastaavasti voidaan laskea tarvittavat delta-v:t, jos halutaan pudottaa rataa. Tällöin arvot ovat luonnollisesti negatiiviset. Edellä esitelty siirtymäradan määritys on vielä hyvin yksinkertaista, mutta tehtävä vaikeutuu hieman, jos mukana on aikarajoitus. Tällöin otetaan käyttöön ns. laukaisuikkuna, joka tarkoittaa hetkeä, jolloin poltto on suoritettava, jotta alus olisi oikeassa paikassa oikeaan aikaan. Tämä on usein tilanne, kun on laskettava siirtymäratoja kahden aluksen välistä kohtaamista varten. Esimerkki : Hubble-avaruusteleskooppi kiertää Maata 750 km korkeudella ympyräradalla. Teleskoopin ohjausjärjestelmää korjaamaan lähetetty Endeavour-avaruussukkula on ympyräradalla 350 km korkeudella. Laske tarvittavat poltot sekä hetki, jolloin poltto on suoritettava, jotta Endeavour saapuisi Hubblen luo. Hetkellä T=0 h 0 min 0 s Endeavour sijaitsee radallaan 40 W pituuspiirin yläpuolella ja Hubble 10 E yläpuolella. Ratojen inklinaatiot ovat samat. Ratkaisu: Perigeum- ja apogeum-etäisyydet: r 1 = r p = m ja r = r a = m. Nopeudet ympyräradoilla kaavasta (1): v 1 = 7697 m/s ja v = 7479 m/s. Nopeudet siirtymäradan perigeumissa ja apogeumissa kaavasta (): v p = 7807 m/s ja v a = 7369 m/s. Tarvittavat nopeudenmuutokset polttoja varten: v 1 = v p v 1 = 110 m/s ja v = v v a = 110 m/s. Nyt on siis saatu tarvittavat poltot ratkaistua, enää ratkaistavana on ajoitus. Ulomman radan 8 kiertoaika on kaavalla (4) laskettuna T 1 = 549 s. Siirtymäradan kiertoaika saadaan samasta kaavasta: T s = 5738 s, kun ensin on laskettu isoakselin puolikas kaavalla (7) ja sijoitettu se säteen paikalle. Merkitään t = aika, joka on odotettava ennen polttoa. Voidaan kirjoittaa: α 1 + α s = α 0 + α + α h, missä α 1 ja α ovat sukkulan ja satelliitin kiertymät odotuksen aikana, α 0 satelliitin etumatka alkutilanteessa ja α s sekä α h siirtymisen aikaiset kiertymät, s sukkulalle ja h hubblelle. Koska kiertymä ympyräradalla α = vt/r, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon v 1 t/r 1 + = 5 /18 + v t/r + 1T s /T 1, mistä saadaan ratkaistua t = 1069 s. Poltto on siis aloitettava hetkellä T+1069 s eli T+ h 58 min 1 s. Samalla tavoin voidaan määrittää laskeutumisikkuna, kun tiedetään, että laskeutumispisteen säde = maan säde ja kiertoaika = 4 h. Tässä esitetyt esimerkit ovat kaikki hyvin yksinkertaistettuja malleja. Siirtymäradat on laskettu ns. Hohmannin siirtymäratoina, mikä on kyllä energian kannalta tehokkain menetelmä, mutta sen suorittaminen kestää puoli kiertoaikaa. Tätä menetelmää käytetäänkin lähinnä hyvin korkealla lentävien satelliittien ratojen korotukseen. Todellisuudessa käytetään ns. nopeaa siirtymärataa, jolloin satelliitti saa ellipsiradan, jonka apogeum on kohdekiertoradan ulkopuolella. Tällöin joudutaan halutulle korkeudelle saavuttaessa suorittamaan pidempi poltto, jotta saataisiin oikealle radalle. Tämä menetelmä siis kuluttaa paljon polttoainetta, mutta on nopeampi suorittaa. Erityisen tärkeää tämä on esim. vakoilusatelliitteille, joiden on pystyttävä muuttamaan rataansa nopeasti. Toinen yksinkertaistus on se, että tässä on tarkasteltu tasossa tapahtuvia siirtymiä. Nämä muuttavat radan muotoa, mutta eivät sen sijaintia avaruudessa. Kaikki poltot tapahtuvat samassa tasossa. Kuitenkin esim. inklinaatiota muutettaessa on suoritettava pois tasosta suuntatunut poltto joko nousevan tai laskevan solmun kohdalla. Jari Varje Kirjallisuutta Kuva 4: Avaruussukkula Atlantis [1] R. Braeunig; Rocket and Space Technology. [] H. Karttunen; H. Oja; P. Kröger; M. Poutanen; Tähtitieteen perusteet. Ursa, Helsinki [3] E. M. Salonen; Dynamiikka II. Yliopistokustannus/Otatieto, Helsinki NASA

9 Seepia 4 Perjantai Kun puhutaan geometrialla tapahtuvasta aritmetiikasta, tarkoitetaan tällöin tietenkin klassista harpilla ja viivaimella tapahtuvaa geometriaa. Jos janojen pituudet ajatellaan lukuina, niillä voidaan laskea geometrisesti. Yhteen- ja vähennyslasku on helppo toteuttaa siirtämällä janoja harpin avulla samalle suoralle. Kerto- ja jakolasku seuraavat yhdenmuotoisuudesta. Niistä on hyvä huomata se, että niitä ei voida laskea tietämättä yksikköjanaa, vaikka tämä onnistuikin yhteen- ja vähennyslaskussa. Näiden lisäksi voidaan kahden luvun tulon neliöjuuri laskea geometrisesti. Tämä perustuu siihen, että yhdenmuotoisuuden mukaan a h =, h b josta seuraa, että ab vh. Yksittäisenkin luvun neliöjuuri voidaan laskea jos tiedetään yksikköjana. Piirrettävät reaaliluvut Oletetaan, että on annettu yksikköjana. Reaalilukua x sanotaan piirrettäväksi, mikäli tästä voidaan äärellisellä määrällä askelia muodostaa jana, jonka pituus on x. Edellä esitetyistä laskutoimituksista huomaa, että ainakin kaikki rationaaliluvut ovat piirrettäviä. Tutkitaan, miten piirrettäviä lukuja voisi saada lisää, jos oletetaan, että alussa on käytössä rationaalikoordinaatit. Ensimmäisessä tapauksessa voidaan piirtää kaksi suoraa, ja katsoa missä ne leikkaavat. Tällöin syntyy ensimmäisen asteen yhtälö, jonka ratkaisemiseen yhteen- vähennys, kerto- ja jakolasku riittävät. Jos tutkitaan ympyrän ja suoran tai kahden ympyrän leikkauspistettä, saadaan toisen asteen yhtälö. Tällöin syntyy toisen asteen yhtälö, ja tarvitaan lisäksi myös neliöjuurta. Kun lopulta ollaan generoitu halutut kaksi pistettä, otetaan näiden etäisyys Pythagoraan lauseella. Tähänkin tarvitaan vain yhteen, kerto- ja jakolaskua. Tästä voidaan huomata, että itse asiassa edellä esitetyt viisi laskutoimitusta riittävät kaikkien piirrettävien lukujen kuvaamiseen. Ei ole kuitenkaan aivan helppoa päätellä lukua katsomalla voidaanko sitä esittää näiden operaatioiden avulla. Esimerkiksi moni- 3 mutkaisen näköinen luku + 5, joka näyttäisi mahdottomalta piirtää, onkin itse asiassa vain toisessa muodossa esitetty kultaisen leikkauksen suhde 1 + 5, joka on piirretävä 1). Juuri tätä kultaista leikkaus- tahan käytettiin Seepian 3. numerossa säännöllisen viisikulmion muodostamiseen. Kuntalaajennukset Tämän kaltaisten lukujen käsittelyyn tarvitaan tietynlaisia työkaluja. Kunta on rakenne, jolle pätevät seuraavat, reaalilukujen aksioomia muistuttavat ehdot: (1) Kunnan F kaikille alkioille a ja b on määritelty a+b ja a b siten, että a+ b F ja ab F () Kommutatiivisuus: a+b = b+a ja a b = b a (3) Assosiatiivisuus: (a+b)+c = b+(a+c) ja (a b) c = b (a c) 1) Pascalin kolmion avulla voidaan laskea ( ), josta saadaan 3 ( )/ 8 = ( )/ 8= + 5. Tämän takia = ( ) 3 = ab Kuva 1: Kerto- ja jakolaskun suorittaminen sekä neliöjuuren laskeminen geometrisesti 9

10 Seepia 4 Perjantai (4) Distributiivisuus: a (b+c) = a b+a c ja (a+b) a = a c+b c (5) On olemassa alkio (merkitään esimerkiksi 0) siten, että 0+x = x+0 = x kaikilla x. (6) Jokaiselle alkiolle x on olemassa käänteisalkio y yhteenlaskun suhteen siten, että x+y = y+x = 0. (7) On olemassa alkio (merkitään esimerkiksi 1) siten, että 1 x = x 1 =xkaikilla x (8) Jokaiselle alkiolle x 0 on olemassa käänteisalkio y kertolaskun suhteen siten, että x y = y x = 1. Kuntia ovat esimerkiksi, ja. Jos kunta E sisältää kunnan F, sanotaan kuntaa E kunnan F kuntalaajennukseksi. Otetaan esimerkiksi rationaalilukujen kunta, ja lisätään siihen. Lopputulos on kunta, jonka alkiot ovat muotoa a+ b, missä a,b. Tämä täyttää vaadittavat ominaisuudet. Jos otetaan vastaavalla tavalla mahdollisimman pieni kunta, joka 3 sisältää, saadaan kunta 3 3 a+ b + c 4, missä a,b,c. Tähän tarvittiin kolme komponenttia. Näiden komponenttien määrää kutsutaan kuntalaajennuksen asteeksi, ts. ensimmäisen kuntalaajennuksen aste oli ja toisen 3. Piirrettävät reaaliluvut ovat selvästikin kunta, sillä ne täyttävät annetut vaatimukset. Jos lähdetään jostain piirrettävien reaalilukujen osakunnasta, kuten rationaaliluvuista, ovat plus-, miinus-, kerto-, ja jakolasku määriteltyjä kunnan sisällä. Laajennus voi siis tapahtua ainoastaan neliöjuuren ottamisen yhteydessä. Oletetaan, että laajennus tehdään siten, että halutaan pienin kunta, joka sisältää edellisen kunnan ja luvun a. Tällöin on kaksi vaihtoehtoa. Jos a kuuluu jo valmiiksi kuntaan, ei laajennusta tapahdu, joten tätä tapausta ei tarvitse ottaa huomioon. Jos se ei kuulu, tarvitaan lisää komponentteja. Jokaista vanhan kunnan komponenttia x kohden täytyy uudessa kunnassa olla kaksi komponenttia: x ja x a. Tämän takia laajennuksen aste kaksinkertaistuu aina täsmälleen silloin, kun joudutaan ottamaan ei-neliöllisen luvun neliöjuuri. Lopputulos on se, että jos otetaan pienin mahdollinen rationaalilukujen kuntalaajennus, johon x sisältyy, niin x on piirrettävä jos ja vain jos kuntalaajennuksen aste on kakkosen potenssi. Yksi kuntalaajennusten teorian perustuloksista on se, että jos otetaan pienin kunta, joka sisältää jonkin tietyn jaottoman kolmannen asteen polynomin minkä tahansa juuren, on tämän kunnan laajennuksen aste rationaalilukujen yli 3. Koska 3 ei ole kakkosen potenssi, saadaan sellainen käyttökelpoinen tulos, että jos on olemassa kolmannen asteen yhtälö, jolla ei ole rationaaliratkaisuja, ei sen mitään juurta voida piirtää harpilla ja viivaimella. Lähdettäessä rationaaliluvuista laajennus voi syntyä neliöjuuren ottamisen yhteydessä. Tämä tuplaa kuntalaajennuksen asteen. Lopputulos on se, että jos otetaan pienin mahdollinen rationaalilukujen kuntalaajennus, johon x sisältyy, niin x on piirrettävä jos ja vain jos kuntalaajennuksen aste on kakkosen potenssi. Tästä saadaan sellainen käyttökelpoinen tulos, että jos kolmannen asteen rationaalikertoimisella yhtälöllä ei ole rationaalijuuria, sen mikään juuri ei ole piirrettävä. Klassiset ongelmat Matematiikassa klassisiksi ongelmiksi kutsutaan kolmea geometrista konstruktio-ongelmaa: kuution kahdentamista, kulman jakoa kolmeen osaan ja ympyrän neliöintiä. Suhteessa ongelmien ikään onkin yllättävää, että niiden mahdottomaksi todistamiseen tarvitaan niinkin uutta matematiikan haaraa kuin abstraktia algebraa. Viimenumeron pääkirjoituksessa mainitun legendan mukaan jumalat vaativat, että kuution muotoisen alttarin tilavuus pitäisi kahdentaa. Piti siis muodostaa vanhan alttarin sivua käyttäen uuden, tilavuudeltaan kaksinkertaisen alttarin sivu. Tähän kreikkalaiset eivät kuitenkaan harpilla ja viivaimella tietenkään pystyneet. Olkoon alkuperäisen alttarin sivun pituus yksikköjana. Tällöin yritetään piirtää luku, joka toteuttaisi yhtälön x 3 = 0. Tällä yhtälöllä ei ole rationaalijuuria, sillä mikään mahdollisista vaihtoehdoista (-, - 1, 1, ) ei toteuta yhtälöä. Sen juu- 3 ri ei siis ole piirrettävä luku. Kulman jako kahteen osaan on helppoa, mutta kulman jakaminen kolmeen osaan on tietyissä tapauksissa mahdotonta. Piirretään annettu kulma 3α yksikköympyrään käsittelyn helpottamiseksi. Kun tiedetään kulma 3α, tiedetään myös cos 3α. Kulma α on piirrettävissä täsmälleen silloin, kun cos α on piirrettävissä. Nyt saadaan kolmannen asteen yhtälö: cos 3α = 4cos 3 α 3cos α 3 4x 3x t= 0 (x = cos α, t = cos 3α) Jos valitaan 3α = 90, saadaan yhtälö 4x 3x = 0, jolle löy- 3 tyy piirrettävä ratkaisu 3. Suora Kuva 3: Kulman jakaminen kolmeen osaan.

11 Seepia 4 Perjantai kulma voidaan siis jakaa kolmeen osaan. Sen sijaan valinta 3α = 60 3 antaa yhtälön 8x 6x 1= 0, jolla ei ole rationaalisia juuria. 60 kulmaa ei siis voida jakaa kolmeen yhtä suureen osaan. Tämä vastaesimerkki riittää osoittamaan, että yleistä tapaa jakaa kulma kolmeen yhtä suureen osaan ei ole. Suorakulmion neliöinti tarkoittaa sitä toimenpidettä, kun muodostetaan neliö, jonka pintaala on sama kuin annetun suorakulmion. Tämä voidaan suorittaa melko helposti, koska tällaisen neliön pinta-alahan on sivujen tulojen neliöjuuri. Ympyrän neliöinnissä on vastaavasti muodostettava neliö, jonka pinta-ala on sama kuin annetun ympyrän. Jos annetun ympyrän sädettä käytetään yksikköjanana, on ympyrän pinta-ala π, jolloin neliön sivun pituus on π. Jos luku π on piirrettävä, myös luku π on piirrettävä. Tällöin kunta, joka sisältää luvun π on n asteen kuntalaajennus. Tällöin kuitenkin olisi olemassa rationaalikertoiminen n asteen polynomi, jonka nollakohta π olisi. Tämä on ristiriita, sillä π on transsendenttinen luku, mikä tarkoittaa sitä, että ei ole olemassa mitään rationaalilukukertoimista polynomia, jonka nollakohta π olisi. Tämä voidaan ilmaista, myös siten, että transsendenttisen luvun sisältävän kunnan laajennuksen aste on, joka ei ole kakkosen potenssi. asteen yhtälöille ei ole yleistä ratkaisukaavaa juurten avulla. Monikulmion konstruoimiseen vaaditaan hieman samaan tapaan kuin kulman jaossa kolmeen osaan luvun cos π konstruointia, ja n Galois'n-teorian avulla voidaan osoittaa, että pienimmän kunnan, joka sisältää cos π laajennuksen n aste on φ( n), jossa φ(n) on Eulerin φ-funktio. φ(n) merkitsee niiden lukujen määrää, jotka ovat pienempiä kuin n, ja niillä ei ole yhteisiä tekijöitä n kanssa. Otetaan esimerkiksi φ(15). Luvuilla 1,, 4, 7, 8, 11, 13 ja 14 ei ole yhteisiä tekijöitä 15 kanssa, siispä φ(15) = 8. Kuten aikaisemminkin, laajennuksen asteen on oltava kakkosen potenssi. Tässä tapauksessa siis säännöllinen n-kulmio (n 3) on piirrettävä, mikäli φ( n) on kakkosen potenssi. Tämän voi ilmaista myös toisel- la tavalla siten, että n-kulmio on piirrettävä, jos sen kakkosesta poikkeavat tekijät ovat Fermat n alkulukuja (kuitenkin eri alkulukuja). Fermat n alkuluvuksi kutsutaan alkulukua muotoa n + 1. Näin ensim- mäiset ei-piirrettävät monikulmiot ovat 7-, 9-, 11-, 13- ja 14-kulmiot. Kun n kasvaa, piirrettävien n-kulmioiden osuus pienenee. Piirrettäviä monikulmioita on kuitenkin hyvin isoilla n arvoilla, kuten esimerkiksi kulmio (65537 on Fermat n alkuluku). Tällainen puhtaan algebrallinen lähestymistapa ei kuitenkaan kerro itse konstruoinnin tapahtumisesta mitään. Tällaisessa tapauksessa tieto, että kulmio voidaan konstruoida on varmasti hyödyllisempi kuin tarkka selitys siitä miten se tapahtuisi. Veli Peltola Kirjallisuutta [1] Pogorelov, A.; Geometry. Mir Publishers 1987 [] Hanneken, C. B.; Introduction to Abstract Algebra. Dickenson Publishing Company, Inc., Belmont, California 1968 Oletko tullut ajatelleeksi, että 40% korkeakoulujen aloituspaikoista sijaitsee aloilla, joissa tarvitaan kemian osaamista? Piirrettävät monikulmiot Samalla tavalla kuin kulman jaossa kolmeen osaan, säännöllisten monikulmioiden piirtäminen on mahdollista tietyissä erikoistapauksissa, mutta yleisessä tapauksessa se ei onnistu. Tässä tapauksessa käsittelyyn tarvitaan lisäksi Galois'n-teoriaa ), joka tunnetaan parhaiten siitä, että sillä voidaan osoittaa se, että yli neljännen ) Evariste Galois ( ) Helsingin yliopiston kemian laitos 11

12 Seepia 4 Perjantai Kutakuinkin keskellä Apenniinien saappaanmuotoista niemimaata kohoavat Tiberjoen varren seitsemällä kukkulalla modernin eurooppalaisen suurkaupungin teräs- ja betonikolossien varjossa länsimaisen sivistyksen kehdon sammaloituneet rauniot. Vaikka meidän päiviemme Roomaa kansoittaakin keisarin alamaisten sijaan Maranellon punaisen oriin nimeen vannovien tifosojen riehakas joukko, Augustuksen imperiumi on kahden vuosituhannenkin jälkeen voimissaan - aikamme gladiaattoreita formulakuskeja myöten. Jo muinaisten roomalaisten edesottamuksiin vetoaminen lienee kuluneimpia kliseitämme, jota - Juppiterin kiitos - kuulee tätä nykyä lausuttavan enää lähinnä vitsinä. Fraasissa piilee kuitenkin totuutensa: niin aakkostomme kuin oikeuslaitoksemme juuret ulottuvat Ikuisen kaupungin aamunkoittoon, ja onpa kirkkommekin monituiset perinteet omaksuttu pitkälti antiikin mystiikasta. Kenties väkevimmin muinainen Rooma elää nykypäivänä kuitenkin latinalaisessa kulttuurissa, joka värittää likipitäen miljardin ihmisen arkea kolmella mantereella. Latina, aikansa lingua franca, aloitti matkansa maailmankieleksi sangen vaatimattomista lähtökohdista. Latiumin piskuisen maakunnan kunnianhimoinen asujaimisto kamppaili kuitenkin historian alkuhämärissä ensin itsensä vapaaksi pohjoisnaapuriensa etruskien ikeen alta ja ryhtyi sitten itse menestyksekkäästi harjoittamaan imperialistista ulkopolitiikkaa. Divide et impera! -doktriinin hengessä Rooman valtakunta levitti lonkeronsa Tiberin rannoilta koko tunnettuun maailmaan hajottaen vastarinnan ylivoimaisella sotakoneistollaan ja halliten valloittamiaan provinsseja rautaisin ottein. Palatinus-kukkulalta johdettiin legioonien voimin keisarikuntaa, joka ulottui laajimmillaan Karthagosta Kaledoniaan ja Lusitaniasta Lähiitään. Kansalaiset rajaseutujen barbaareja myöten pantiin puhumaan latinaa, ja ajanlaskumme alkaessa pienen Latiumin murre oli saavuttanut niin Välimeren ääret kuin kaukaisen pohjoisen. Vastaavaan ei sittemmin ole kyennyt kuin muuan germaanissukuinen kieli, joka ponnisti erään saarivaltakunnan eteläosista siirtomaasotien tuoksinassa todelliseksi joka maailmankolkan yleiskieleksi. Latina, Euroopan äidinkieli, paiskautui keskiajan syövereihin isänmaansa menettäneenä - imperiumi oli vuosisatojen saatossa hajonnut omaan rappioonsa, ja olipa itse Ikuinen kaupunkikin vandaalien visiitin jäljiltä raunioina. Latinan kultaisin kausi oli kuopattu jo Caesarin ja Ciceron mukana, mutta kansainvaellusten jälkeisessä taantumuksen feodaali-euroopassa kielenhuolto kärsi lopullisen arvonmenetyksen, ja kielen ränsistyminen ryöstäytyi valloilleen. Kansan suussa muovautunutta vulgaarilatinaa meidän on kiittäminen sellaisista nyttemmin kansalliskieliksi profiloituneista provinssimurteista kuin italiasta, espanjasta, portugalista, ranskasta ja romaniasta, joiden puristuksessa baskin kaltaiset todelliset kielireliikit ovat päätyneet taistelemaan elintilasta jopa terroristien voimin. Etelä-Euroopan viinivaltioiden ohella nämä latinan perilliset saavuttivat tukevan jalansijan eten- 1

13 Seepia 4 Perjantai kin Uudella mantereella, jossa löytöretkeilyn suurvallat Espanja ja Portugali pitivät komentoa vuosisatojen ajan. Rio Grandelta Tulimaahan ulottuva Latinalainen Amerikka onkin paitsi paavin myös Rooman perinnön vankkaa tukialuetta, ja kielten kirjoa täydentää itsenäisyyttäkin tavoitteleva Québecin osavaltio Kanadan ranskankielisessä kaakkoisosassa. Nämä romaanisten kielten kolme suurta ovat edustettuina - ainakin virastoissa - myös ympäri Afrikan valtavaa mannerta aivan muinaisen siirtomaajaon mukaisesti. Latinalaisesta Afrikasta ei kuitenkaan liene koskaan edes yritetty puhua - syvälle juurtuneet heimoperinteet ovat uhmanneet eurooppalaista kulttuuri-imperialismia Amerikan alkuperäisasutusta menestyksekkäämmin, eivätkä sitä paitsi siirtolaiset ole koskaan saavuttaneet enemmistöä minkään afrikkalaisprotektoraattinsa asujaimistosta. Latinan kieli, sellaisena kuin klassillisten kielten professorit suostuvat sen vielä isommitta mukinoitta tunnistamaan, säilyi kuitenkin läpi keskiajan norsunluutorniensa kätköissä katolisen kirkon piirissä. Katedraaleissa saarnattiin jääräpäisesti latinaksi ummikkoina toimitusta seuranneen rahvaan yrittäessä kätkeä haukotuksensa, syntisimpien kuorsatessa äänekkäästi ja vielä uskaliaampien syljeskellessä parvelta permannon väen niskaan - kaunis traditio, josta vasta herra Luther uskonpuhdistajakollegoineen teki lopun. Vaikka roomalaiskatolisenkin kirkon ruohonjuuritaso on sittemmin alkanut puhua kansalle sen omaa barbaarista kieltä, latinistit voinevat vastedeskin turvallisin mielin luottaa Vatikaaniin latinan viimeisenä, vankkumattomana linnakkeena - iskettäköön Tähtilippu Kuun kamaraan, kärytköön karpaasi kotikisoissaan ja jäätyköön Helvetti syvimpiä hornankattiloitaan myöten, mutta joulupäivänä televisiossa paavi puhuu varmasti latinaa. Keskiajan taittuessa renessanssiksi klassisista kielistä klassisin avasi menestystarinansa viimeisen suuren luvun uuteen kultakauteensa vapautuneen tieteen parissa. Vanhastaan sivistyneistön kielenä latina oli ilmeinen valinta myös tieteellisten julkaisujen kieleksi - esittipä Isaac Newtonkin aikansa maailmankuvan pirstoneen painovoimateoriansa teoksessaan nimeltä Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, kavereiden kesken pelkkä Principia. Leijonanosa sellaisista perusluonteisista löydöksistä kuin alkuaineet ja taivaankappaleet oli ennätetty nimetä latinalaisittain, ennen kuin englanti alkoi toissa vuosisadalla vallata alaa luonnontieteiden terminologiassa. Silti esimerkiksi Amazonasin siimeksessä havaittu uusi nuolimyrkkysammakkolaji saa yhä universaalin nimensä perinteitä kunnioittaen latinaksi. Vaikka klassinen latina elävänä puhekielenä haavoittuikin kuolettavasti jo barbaarien rynnäkössä Rooman forumille 400-luvulla ja menehtyi viimeistään keskiajan kynnyksellä omaa rappeutuneisuuttaan, on tämä todellinen kielten klassikko välttynyt lopulliselta kuljetukselta krematorioon kunniakkaan elinkaarensa ja eritoten postuumien mainetekojensa ansiosta. Keskellä uutta revalvaatiotaan kukoistava latina on esimerkillinen elävä kuollut kieli - täsmennettäköön, etten tarkoita ilmaisulla B-kauhuelokuvista tuttua zombieta, joka kiertää ilmeettömänä tienoota kuunvalossa ihmisaivoja illallisekseen metsästämässä. Latina nimittäin elää väkevästi - uuden maailman kulttuuriperintöä Grimmin saduista Elvikseen julkaistaan tuon tuosta ikuiselle kielelle käännettynä, ja onpa edelläkävijä Suomen Yleisradio jo vuosia toimittanut viikoittaista latinankielistä radiouutislähetystä, vain modernin latinismin pintaa raapaistakseni - kuolleenakin, ilman ainuttakaan äidinkielistä puhujaa; melkoinen saavutus yli 700-vuotiaalta veteraanilta! Säkenöivästä älystään tunnettu, useasti lainattu Yhdysvaltain entinen varapresidentti Dan Quayle pahoitteli kerran Latinalaisesta Amerikasta palattuaan, ettei ollut juurikaan päässyt selville paikallisväestön puheesta - hän kun ei ollut millään tavoin panostanut kouluaikoinaan latinan opintoihinsa. Vuosikymmenen takainen republikaani-ikoni osui tässä pelottavan liki totuutta: latinan taitaja ymmärtänee hyvinkin espanjaa tai portugalia kuin suomalainen savolaista, yksityiskohdat saattavat jäädä hämärän peittoon, mutta viesti tullee kyllä perille. Edesmenneen latinan perikunta, romaaninen klaani, on maailmamme kielten voimasuhteissa sangen vahvoilla, eikä peruna niin kauas puusta putoa, että latinan opiskelu jäisi täysin pölyttyneille keisareille ja sivistyssanoille uhratuksi ajaksi. Kuolleeksijulistamisen ja elävältä hautaamisen sijaan latina voitaneenkin päästää ansaituille eläkepäiville sellaisten maailmankielten legendojen kuin volapükin ja esperanton seuraan - näistä jälkimmäisestä tosin kuulemme vielä, mikäli maailmassa on tippaakaan oikeudenmukaisuutta. Kaikkia yhdistää aktiivinen, globaali harrastajayhteisö, johon päästäkseen on opittava kieli. Porkkanaksi latinaan syventymiseen voi värikkään muinaishistorian, sivistyssanojen etymologian ymmärtämisen ja elitistisen kuppikunnan jäsenyyden ohella tarjota ilmeisintä: kielitaitoa. Ennen latinan opintojani en minäkään kuvitellut osaavani sanaakaan retoromaniaa - enää en menisi vannomaan. Janne L. Käki Kirjallisuutta [1] Taskutietojätti, Gummerus hakusanat: latina; Newton, Isaac [] Former USA VP Dan Quayle quotes: [5] 13

14 Seepia 4 Perjantai Luonnossa esiintyy joka puolella äärimmäisen monimutkaisia ja kauniita muotoja, jotka jatkuvasti toistavat itseään eri mittakaavoissa. Niitä löytyy niin vuorista ja meren aalloista, kuin elävästä luonnostakin, kuten puiden oksistoista ja sammalkasvustoista. Vielä ihmeellisempää on, että yksi puhtaasti matemaattinen lauseke saattaa sisältää aivan yhtä monimutkaisia ja kauniita rakenteita. Rationaalifunktioiden muodostamien dynaamisten systeemien tarkastelulla kompleksitasolla ei vaikuta olevan mitään tekemistä taiteen kanssa, mutta sen jälkeen, kun ranskalainen matemaatikko Benoit B. Mandelbrot teki tällaiset systeemit tunnetuiksi, on niiden kuvia esiintynyt enemmän taiteilijoiden kuin matemaatikoiden töissä. Näiden kuvien tuottamiseen käytettävä sääntö on niin yksinkertainen, että kuka tahansa pystyy tietokoneellaan tuottamaan niitä. Ne ovat kuitenkin niin monimutkaisia, että maailmassa tuskin on ketään, joka pystyisi todella ymmärtämään niitä. Siksi on kiehtovaa tarkastella lähemmin näiden kuvien taustalla olevaa matematiikkaa. Dynaaminen systeemi Dynaamisella systeemillä tarkoitetaan muuttuvaa matemaattista tai fysikaalista systeemiä, jossa jokainen tila riippuu sitä edeltävästä tilasta. Jos systeemillä on erillisiä peräkkäisiä tiloja, sitä kutsutaan diskreetiksi. Tällöin systeemiä voidaan usein kuvata kaavalla, joka kertoo, miten edellisestä tilasta saadaan seuraava. Systeemi voi olla myös jatkuva, jolloin sitä kuvataan yleensä differentiaaliyhtälöllä. Tarkastellaan esimerkiksi lukujonoa, jolle pätee zn + 1 = f( zn) = z n. Kun merkitään lukujonon ensimmäistä jäsentä z 0 :lla, saadaan 4 8 jono z0, z1 = z0, z = z0, z3 = z0,.... Lukujonon käyttäytyminen riippuu valitusta alkuarvosta z 0. Jos z 0 < 1, jono lähestyy nollaa kun n lähestyy ääretöntä. Tätä merkitään lim z =0. Jos taas z 0 > 1, n niin lim z n n n =, ja jos z 0 = 1, niin z n =1kaikille n:n arvoille. Reaaliluvuille tällainen käyttäytyminen on helppoa ymmärtää, mutta sama pätee myös kompleksiluvuille. Alkupisteet, joiden pohjalta tuotetut lukujonot eivät lähene nollaa eivätkä ääretöntä muodostavat siis kompleksitasolle origokeskeisen yksikköympyrän. Tätä pistejoukkoa kutsutaan funktion f Julian joukoksi. Merkitsemme sitä J(f) Nimi on annettu ranskalaisen matemaatikon Gaston Julian ( ) mukaan, joka määritteli joukon 1918 [6]. Julian joukko voidaan muodostaa mille tahansa funktiolle, jonka määrittelyjoukko on sama kuin sen arvojoukko. Tunnetuin esimerkki ovat Julian joukot funktioille muotoa p ()= c z z + c, jonka erikoistapausta c=0 äsken tarkastelimme. Julian työtoverina oli Pierre Fatou, jonka mukaan niiden pisteiden joukkoa, jotka eivät kuulu Julian joukkoon, kutsutaan Fatoun joukoksi. Tässä artikkelissa käsitellään lähinnä muotoa p ()= c z z + c olevien funktioiden Julian joukko- Kuva 1: Julian joukot funktioille p 0 (z)=z (yllä) ja p 0,5i (z) z +0,5i (alla). Kummankin funktion attraktiivinen kiinteä piste on merkitty. Sen attraktion altaaseen kuuluu Julian joukon sisään jäävä alue. 14

15 Seepia 4 Perjantai ja. Jatkossa käytämme tätä merkintää (p c ) näille funktioille. Edellisessä esimerkissä tarkasteltiin siis funktiota p 0. Muutetaan nyt äskeistä esimerkkiä siten, että lisätään z:aan joka välissä jokin pieni vakio esim. c=0,5i. Nyt pienet z:n arvot eivät enää lähenekään nollaa, vaan pistettä, jonka likiarvo on 0,136+0,393i. (Tämä piste on yhtälön z=z +0,5i reaaliakselin yläpuolella oleva ratkaisu) Julian joukkokaan ei ole enää ympyrä, vaan monimutkainen, itseään toistava fraktaalinen käyrä. (ks. kuva 1) Äskeisissä esimerkeissä käytetyn kaltaista laskutoimituksen toistoa kutsutaan iteroinniksi. Funktion fn:nnelle iteraatiolle on käytössä merkintätapa f n ( x) = f( f( f(... f( x)...))), missä f esiintyy n kertaa. Merkinnällä ei siis ole mitään tekemistä potenssiin korottamisen kanssa. f:n käänteisfunktiota merkitään käyttäen funktiolaskimista tuttua merkintää f 1. Näin voidaan laajentaa iteraation käsite kaikille kokonaisluvuille, kun määritellään, että f n =(f 1 ) n ja että f 0 (x)=x kaikille funktioille f. Iteraatioluvuilla voidaan nyt laskea kuten potensseilla: f o f = f + n m nm n m n m ja ( f ) = f riippumatta siitä, ovatko m ja n negatiivisia vai positiivisia. Kompleksifunktioiden iteroinnin yhteydessä puhutaan usein kiertoradoista. Kompleksitason pisteen z positiivisella kiertoradalla tarkoitetaan niiden pisteiden joukkoa, jotka tulevat vastaan jotakin funktiota iteroitaessa. Merkitsemme positiivista kiertorataa: + 3 O ( z) = { f( z), f ( z), f ( z),...}. Negatiiviseksi kiertoradaksi kutsutaan vastaavasti joukkoa: 1 3 O ( z) = { f ( z), f ( z), f ( z),...}. Negatiivisten kiertoratojen yhteydessä on kuitenkin muistettava, että jos funktion aste on suurempi kuin yksi, on sen käänteisfunktiol- Kompleksiluvut lyhyesti Perinteisessä matematiikassa yhtälöllä x = 1 ei ole ratkaisua. Voimme kuitenkin kuvitella sille ratkaisun, vaikka sitä ei todellisuudessa olisikaan olemassa. Tätä ratkaisua kutsutaan imaginääriyksiköksi, ja sitä merkitään i:llä. Yhtälön toinen ratkaisu on i. Imäginääriyksikköä voidaan käsitellä kuten mitä tahansa lukua. Näin voidaan laskea esim. että 8 = 8 1= i. Lukuja, joissa i on tekijänä kutsutaan imaginääriluvuiksi. Imaginäärilukuja ja reaalilukuja voidaan myös laskea yhteen, mutta tällaiset luvut täytyy kuitenkin aina esittää kahdessa osassa. Lukuja, joissa on sekä reaali- että imaginääriosa kutsutaan kompleksiluvuiksi. Kompleksilukuja ovat esimerkiksi 7,4i ja 5,3+i sekä π i. Kompleksiluvuillakin voidaan laskea, kuten kaikilla luvuilla. Seuraavat peruslaskusäännöt on helppo johtaa: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d) (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + bdi =ac bd + i(ad + bc) a+ ib ac + bd = + i bc ad c+ id c + d c + d Kerto- ja jakolaskussa käytetään hyväksi tietoa, että i = 1. Nykyään on yleisesti käytössä tapa esittää kompleksiluvut pisteinä ns. kompleksitasolla, jossa vaakasuuntaan kulkee reaali- ja pystysuuntaan imaginääriakseli. Oikeanpuoleisessa kuvassa näkyy luku,5 + 3i kompleksitasolle piirrettynä. Kompleksitasolle käytetään tunnusta. Edellä kompleksiluvut on esitetty kahtena komponenttina. Kompleksiluku on aina yksikäsitteisesti määritelty, kun sen reaali- ja imaginääriosat on määritelty. Tämän lisäksi käytössä on toinenkin tapa määritellä kompleksiluku: itseisarvonsa ja argumenttinsa avulla. Kompleksiluvun itseisarvolla tarkoitetaan samaa, kuin reaaliluvuillakin, eli etäisyyttä origosta. Kun kompleksiluku on esitetty komponenttimuodossa, sen itseisarvon laskemiseksi tarvitaan Pythagoraan lausetta: a+ ib= a + b. Kuvaan merkityn kompleksiluvun itseisarvo on siis 5, + 3i = 61. Argumentilla tarkoitetaan vastapäivään kiertyvää kulmaa, jonka origosta lukuun piirretty jana muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kuvassa argumentti on merkitty θ:lla. Argumentin laskemiseksi komponenttimuodosta tarvitaan trigonometriaa: arg( a + ib) = arctan( b a). Argumentti ilmoitetaan yleensä radiaaneina. Myös itseisarvo ja argumentti määrittelevät kompleksiluvun yksikäsitteisesti. Kompleksiluku z, jonka itseisarvo on r ja argumentti θ on: z= rcosθ+ irsin θ= re i θ Jälkimmäinen merkintätapa saattaa näyttää erikoiselta, mutta se pitää paikkaansa. Voidaan tosiaan osoittaa, että yhtälön z= e iθ ratkaisu on kompleksiluku, jonka itseisarvo on yksi ja argumentti θ. Tämä on kaikkein tavallisin tapa ilmaista kompleksiluku polaarisessa muodossa. Tästä erikoistapauksena on Leonhard Eulerin ( ) esittämä matematiikan kaunein kaava : e πi = 1, jossa yhdistyvät hienosti kolme matematiikassa ehkä kaikkein tärkeintä lukua. Reaalilukujen yhteydessä puhutaan positiivisesta ja negatiivisesta äärettömästä. Kompleksitasolla on kuitenkin vain yksi ääretön. Tätä havainnollistaa tapa esittää kompleksitaso ns. Riemannin pallona. Alla olevassa kuvassa on esitetty projektio tason ja pallon välillä. Pallon pohjoisnavalla sijaitsee ääretön, ja etelänavalla luku 0. Muut pisteet projisoidaan pallolle piirtämällä suora äärettömän, ja tasolla olevan pisteen kautta. Suora leikkaa pallon projektiopisteessä. Tällöin argumentti vastaa itse asiassa pituuspiiriä. Päiväntasaajalle kuvautuu origokeskeinen yksikköympyrä. Kompleksitasoa, jossa ääretön on mukana kutsutaan laajennetuksi kompleksitasoksi, ja merkitään. 15

16 Seepia 4 Perjantai la useita arvoja. Tällöin negatiivinen kiertorata koostuu kaikista mahdollisista käänteisfunktioiden arvoista. Ts. pisteen z negatiiviseen kirtorataan kuuluvat kaikki ne pisteet, joiden positiiviseen kiertorataan z kuuluu. Jaksolliset pisteet Kuten edellä olevassa esimerkissä havaittiin, pisteen 0 positiivinen kiertorata funktiota p 0 iteroitaessa pysyy nollassa, sillä p 0 (0)=0. Yleisesti jos f(z 0 )=z 0 jollekin funktiolle f(z), sanotaan z 0 :aa f:n kiinteäksi pisteeksi. Joillakin funktioilla on myös ns. jaksollisia pisteitä, eli pisteitä joille z 0 =f n (z 0 ) (1) jollekin positiiviselle kokonaisluvulle n. Tällöin voidaan myös sanoa pisteen positiivisen kiertoradan olevan jaksollinen. Pienintä n:n arvoa, joilla (1) toteutuu kutsutaan kiertoradan jaksoksi. Kaavasta (1) seuraa myös, että f k (z 0 )=f k n (z 0 ) () Kaikille positiivisille kokonaisluvuille k. Esimerkiksi kun c toteuttaa yhtälön ( c + c) + c= 0, eli kun c 0,1561+0,744861i, niin piste 0 kuuluu jaksolliseen sykliin, jonka jakso on 3: p 0 c (0)= 0 Kuva 3: Julian joukko funktiolle p c (z) z 0,1561+0,744861i. Jaksollinen kiertotara on merkitty mustilla pisteillä. Julian joukon sisäpuolelle jäävä alue muodostaa sen attraktion altaan. Kuva : Funktion derivaatan vaikutus kiinteän pisteen (z 0 ) luonteeseen. Ja sen lähellä sijaitsevan pisteen (z' 0 ) positiiviseen kiertorataan. a: Jos f ( z 0) > 1, niin f(z' 0 ) sijaitsee kauempana z 0 :sta kuin z' 0. b: Jos taas f ( z 0) < 1, niin f(z' 0 ) sijaitsee lähempänä z 0 :aa kuin z' 0. Huomaa, että kuvaajien molemmat akselit ovat reaaliakseleita. Vaaka-akseli kuvaa funktion argumenttia ja pystyakseli sen arvoa. p 1 c (0) 0,1561+0,744861i p c (0) 0, ,5680i p 3 c (0)= 0 p 4 c (0) 0,1561+0,744861i p 5 c (0) 0, ,5680i jne... Tämä sykli on merkitty kuvaan 3. Pisteitä, jotka eivät ole jaksollisia, mutta joiden kiertoradat päätyvät jaksolliseen silmukkaan äärellisen iteraatiomäärän jälkeen kutsutaan esijaksollisiksi. Tällainen on edellisen esimerkin funktiolle esimerkiksi piste 0,1561 0,744861i. Se on c:n arvon vastaluku, joten sen neliö on sama kuin c:n. Jo ensimmäisellä iteraatiolla päästään siis edellä esitettyyn sykliin. Lisää tällaisia pisteitä löydetään funktion käänteisfunktiota käyttämällä. Attraktiiviset ja repulsiiviset pisteet 1) Funktion derivaatta pisteessä z 0 tarkoittaa sen kulmakerrointa tuossa pisteessä. Sitä merkitään f (z 0 ). Jos iteroitava funktio on jatkuva ja derivoituva, on luonnollista, että sen kiinteiden pisteiden lähettyvillä sijaitsevat pisteet käyttäytyvät lähes kiinteän pisteen tavoin. Se, miten kiertorata poikkeaa kiinteän pisteen kieroradasta, riippuu kyseisen kiinteän pisteen luonteesta. Joissakin tapauksissa läheltä valitun pisteen kiertorata lähenee pikkuhiljaa kiinteää pistettä, eli mitä pidemmälle iteroidaan, sitä lähemmäksi kiertoradan pisteet tulevat kiinteää pistettä. Toisissa tapauksissa kiertorata taas etääntyy kiinteästä pisteestä. Kiinteitä pisteitä, joiden ympärillä kiertoradat käyttäytyvät ensin mainitulla tavalla kutsutaan attraktiivisiksi, ja jälkimmäisellä tavalla käyttäytyviä repulsiivisiksi. Jos kiertorata ei etäänny, eikä lähesty kiinteää pistettä, vaan pysyy suhteellisesti ottaen samalla etäisyydellä, sanotaan pisteen olevan neutraali. Pisteen luonteen tarkka määrittäminen edellyttää iteroitavan funktion derivaatan laskemista kyseisessä pisteessä. Kompleksifunktio voidaan derivoida samoin menetelmin kuin reaalifunktiokin. Sen derivaatta on myös kompleksifunktio, jonka reaali- ja imaginääriosa vastaavat alkuperäisen funktion reaali- ja imaginääriosien muutosnopeuksia kussakin pisteessä. Kiinteät pisteet (z 0 ) luokitellaan yleensä funktion derivaatan 1) (λ=f (z 0 )) perusteella seuraavasti: λ =0 superattraktiivinen 0<λ <1 attraktiivinen λ =1 λ >1 neutraali repulsiivinen 16

17 Seepia 4 Perjantai ) Tämä ei ole Julian joukon alkuperäinen määritelmä, vaikka se lieneekin yleisimmin käytetty. Alkuperäinen määritelmä löytyy esim. lähteistä [1] tai [14]. Se voidaan osoittaa tässä esitetyn kanssa yhtäpitäväksi. Kuva 4: Julian joukko funktiolle f(z)=z (z 3 1)/3z. Kuvaan on merkitty kolme 3 attraktiivista kiinteää pistettä 1 ja 0, 5± i, sekä niiden attraktion altaat ei harmaan sävyillä. Kaikilla attraktion altailla on yhteinen reunaviiva, joka on funktion f Julian joukko. Kuva havainnollistaa derivaatan merkitystä. Myös useamman pisteen syklille voidaan määritellä vastaava ominaisuus. Tällöin tarkastellaan vastaavasti derivaattaa λ=(f k ) (z 0 ), missä k on syklin jakso. Esimerkiksi attraktiivisen syklin ympärillä olevien pisteiden kiertoradat lähenevät sykliä siten, että joka k:s piste lähenee jotakin tiettyä syklin pistettä ts. ne kiertoradan pisteet z n, joille n mod k on sama, lähenevät samaa syklin pistettä. Attraktiivisille sykleille ja kiinteille pisteille voidaan määritellä ns. attraktion allas. Sillä tarkoitetaan kaikkien niiden pisteiden joukkoa, joiden kiertoradat lähenevät ko. kiinteää pistettä tai sykliä, kun iteraatioluku lähestyy ääretöntä. Merkitsemme pisteen z 0 attraktion allasta A f (z 0 ). Esimerkiksi kuvassa 1 kiinteän pisteen attraktion allas on Julian joukon sisään jäävä alue. Alussa tarkastellussa esimerkissä Julian joukko oli siis äärettömän attraktion altaan reuna: J(f)= A f ( ), () missä tarkoittaa reunaviivaa. Tätä määritelmää voidaan kuitenkin käyttää vain funktioille, joille on kiinteä piste. Se voidaan yleistää seuraavasti: J(f)= A f (z 0 ), (3) missä z 0 on jokin attraktiivinen kiinteä piste. Kaavan (3) määrittelemä joukko on todellakin riippumaton kiinteän pisteen z 0 valinnasta. Voidaan todellakin osoittaa, että mikäli funktiolla on useita kiinteitä pisteitä, niiden kaikkien attraktion altailla on yhteinen reuna. Tällainen Julian joukko on esitetty kuvassa 4. Koska attraktion altaaseen ei luonnollisesti voi kuulua attraktorin lisäksi muita kiinteitä tai jaksollisia pisteitä, seuraa tästä luonnollisesti, että kaikki repulsiiviset kiinteät pisteet kuuluvat Julian joukkoon. Julian joukko voidaan myös määritellä repulsiivisten pisteiden avulla: Funktion f Julian joukko on f:n kaikkien repulsiivisten periodisten pisteiden muodostaman joukon sulkeuma. ) Joukon S sulkeumalla tarkoitetaan pienintä suljettua joukkoa, joka sisältää joukon S. Sitä merkitään S. Sulkeuma voidaan määritellä myös siten, että se on joukon ja sen reunalla sijaitsevien pisteiden yhdiste. Siihen kuuluvat siis kaikki pisteet, jotka joko kuuluvat alkuperäiseen joukkoon S, tai joille on mielivaltaisen läheltä löydettävissä piste, joka kuuluu joukkoon S. Esimerkiksi reaalilukujen joukko on rationaalilukujen joukon sulkeuma. Itse asiassa myös laajennettu kompleksitaso on kompleksitason sulkeuma. Sulkeuman määritelmästä seuraa, että S on tiheä S:ssä ts. minkä tahansa kahden pisteen, jotka kuuluvat joukkoon S välillä on kolmas piste, joka kuuluu joukkoon S. Mikä tahansa Julian joukko on siis täynnä repulsiivisia jaksollisia pisteitä. Tämä on kaikkein yleisimmin käytetty Julian joukon määritelmä. Sen avulla voidaan määritellä Julian joukko sellaisillekin funktioille, joilla ei ole attraktiivisia kiinteitä pisteitä. Mikäli kiinteä piste kuitenkin löytyy, on tämä määritelmä yhtäpitävä kaavan (3) kanssa. Repulsiiviset pisteet siis kuuluvat Julian joukkoon ja attraktiiviset eivät. Neutraaleille pisteille asia ei ole niin yksinkertainen. Ne kuuluvat Julian joukkoon, jos niiden Kuva 5: Tyypillinen epäyhtenäinen Julian joukko (c 0,8 0,8i) 17

18 Seepia 4 Perjantai derivaatan argumentti jaettuna π:llä on rationaaliluku, mutta eivät kuulu, jos se on irrationaaliluku. ks. tarkemmin [11]. Edellä mainittujen lisäksi Julian joukoilla on seuraavia ominaisuuksia: Julian joukko sisältää ylinumeroituvan määrän pisteitä. Ts. Julian joukon pisteitä ei voi numeroida luonnollisilla luvuilla. Ne voidaan sen sijaan numeroida reaaliluvuilla. [11] Minkä tahansa Julian joukkoon kuuluvan pisteen positiivinen ja negatiivinen kiertorata kuuluvat myös Julian joukkoon. Minkä tahansa Julian joukkoon kuuluvan pisteen negatiivinen kiertorata on tiheä Julian joukossa. Julian joukko J(f) on invariantti funktiossa f. Ts. Kun kaikille Julian joukon pisteille suoritetaan funktio f, saadaan uusi joukko, joka on sama kuin alkuperäinen Julian joukko. Minkä tahansa jossakin attraktion altaassa sijaitsevan pisteen negatiivinen kiertorata lähenee Julian joukkoa, kun iteraatiomäärä lähenee ääretöntä. Toisen asteen polynomeja Kaikkein tutkituimpia ovat Julian joukot toisen asteen polynomeille, eli funktioille, jotka ovat muotoa: f(z) = az + bz + d. (4) Tällaisia funktioita näyttäisi olevan varsin laaja valikoima, sillä kaavassa on kolme kompleksista vakiota, joille voidaan antaa eri arvoja. Ongelma on kuitenkin yksinkertaisempi, kuin miltä näyttää. Mikä tahansa muotoa (4) olevan funktion Julian joukko voidaan nimittäin muuttaa jonkin muotoa p c =z +c olevaksi Julian joukoksi pelkästään muuttamalla sen kokoa, pyörittämällä ja siirtämällä sitä kompleksitasolla [1]. Tämä muunnos voidaan esittää funktiona M(z) = uz + v. Väitämme nyt, että mikä tahansa funktion f iteraatioaskel voidaan suorittaa siten, että kuvataan lähtöpiste funktiolla M toiseen paikkaan, sen jälkeen suoritetaan vastaava iteraatioaskel funktiolla p ja kuvataan saatu piste takaisin funktiolla M 1. Toisin sanoen: f(z)=m 1 (p(m(z))) =M 1 (p(uz+v)) =M 1 ((uz+v) +c) =M 1 (u z +uvz+v +c) Ja koska M:n käänteisfunktio on M 1 =(z v)/u, niin f(z)= ( u z uvz v c) v u =uz +vz+ v v + c, u mikä on selvästikin samaa muotoa kuin (4). Vakiot voidaan nyt valita siten, että a=u, b=v ja d= v v + c u c=ad b +b. Kun iteraatioita suoritetaan useita peräkkäin, voidaan muunnosfunktiot jättää välistä pois: f (z)=m 1 (p(m(m 1 (p(m(z)))))) =M 1 (p(p(m(z)))) =M 1 (p (M(z))) Tästä seuraa, että z kuuluu funktion f Julian joukkoon jos ja vain jos M(z) kuuluu vastaavan funktion p c Julian joukkoon. Näin ollen voidaan ymmärtää kaikkia toisen asteen Julian joukkoja pelkästään funktiota p c tutkimalla. Paraabeleilla on vastaava ominaisuus: Muotoa y=az + bz + d olevan reaalifunktion kuvaaja on paraabeli, jonka huippu voi sijaita missä tahansa pisteessä. Siirtämällä ja kokoa muuttamalla se voidaan kuitenkin muuttaa paraabeliksi, jonka yhtälö on muotoa y=ax. Toisen asteen Julian joukoilla on mm. seuraavia ominaisuuksia: Kaikki toisen asteen Julian joukot ovat symmetrisiä pisteen suhteen. Funktion p c Julian joukot ovat symmetrisiä origon suhteen. Toisen asteen Julian joukot ovat joko yhtenäisiä, tai ns. Cantorin joukkoja, eli ne koostuvat äärettömästä määrästä irrallisia pisteitä. Funktiolla p c on enintään yksi äärellinen attraktori, joka voi olla joko sykli tai kiinteä piste. Voidaan nimittäin osoittaa, että, että jokaiseen attraktion altaaseen kuuluu vähintään yksi ns. kriittinen piste. Funktion kriittisellä pisteellä tarkoitetaan pistettä, jossa funktion derivaatta on nolla, tai sitä ei ole. Toisen asteen funktiolla on kaksi kriittistä pistettä: ääretön, sekä derivaatan nollakohta (Yhtälöllä D(az +bz+d) =az+b=0 on vain yksi ratkaisu.) [1] Fraktaalisuus ja kaaottisuus Fraktaalilla tarkoitetaan kohdetta, jonka monimutkaisuus ei riipu tarkastelumittakaavasta. Esimerkiksi alempi kuvan 1 esittämistä Julian joukoista on fraktaali, sillä mikä tahansa sen osa näyttää suurennettuna yhtä monimutkaiselta kuin alkuperäinen joukko. Toisaalta esimerkiksi ympyrä ei ole fraktaali, sillä mitä enemmän jotakin sen kohtaa suurennetaan, sitä enemmän se muistuttaa suoraa viivaa. Fraktaaleista tarkemmin ks. esim. [15], [7] tai [5]. Jo Julia ja Fatou [6] olivat tietoisia monien Julian joukkojen fraktaalisista ominaisuuksista, vaikka heidän aikanaan ei ollut käytettävissä tarpeeksi tehokkaita tietokoneita, jotta joukoista olisi voitu tuottaa kuvia. 18

19 Seepia 4 Perjantai tätä Julian joukon osajoukkoa W:llä. Tällöin on olemassa jokin sellainen luonnollinen luku n, että f n (W)=J(f). f n on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, mistä seuraa, että koko Julian joukon rakenne esiintyy myös yhdessä sen palasessa. Tämä ei kuitenkaan välttämättä tarkoita, että joukko olisi fraktaalinen. Esimerkiksi funktion p c Julian joukoista tapaukset c=0 (origokeskeinen yksikköympyrä) ja c= (jana :sta 0:aan) eivät ole fraktaaleja. [14] Joukon fraktaalisuutta mitataan yleensä ns. Hausdorff-dimensiolla [15]. Se on luku, joka on sitä suurempi, mitä fraktaalisempi joukko on. Mikäli joukko ei ole lainkaan fraktaalinen sen dimensio on yhtä suuri kuin sen topologinen dimensio (esim. käyrälle 1 pinnalle jne.). Julian joukoille Hausdorff-dimension tarkka määrittäminen on vaikeaa, mutta sitä voidaan arvioida kokeellisesti piirtämällä kuva joukosta, ja mittaamalla sitä eri tarkkuuksilla [14] [15]. Funktion p c Julian joukoille, kun c on tarpeeksi pieni, voidaan laskea likiarvoja kaavalla [13]: c d H = 1+ 4 log. Arvot ovat sitä tarkempia, mitä pienempi c on. Mandelbrotin joukko Kuva 6: Mandelbrotin joukko. Komponenttien sisälle merkityt luvut kertovat montako pistettä on funktion p c (z)=z+c attraktiivisessa syklissä, kun c sijaitsee jossakin kyseisen komponentin sisällä. Esimerkiksi jo kaavasta (3) seuraa, että jos funktiolla on vähintään kolme attraktiivista kiinteää pistettä, sen Julian joukko on väistämättä fraktaalinen. Kaikkien Julian joukon pisteiden täytyy nimittäin sijaita kaikkien kolmen attraktion altaan kohtaamispisteissä. Tästä seuraa, että jos jollakin alueella näyttäisi olevan kahdella attraktion altaalla yhteinen reunaviiva, on tässä välissä väistämättä sijaittava pala kolmannen attraktorin allasta. Jos näin ei olisi, tuossa kohtaa olisi pala Julian joukkoa, joka ei olisi kolmannen altaan reunalla. Ks. kuva 4. Kaikille Julian joukoille pätee myös, että jos otetaan mikä tahansa jonkin ympyrän rajaama osajoukko Julian joukosta J(f), ja suoritetaan sille funktiota f tarpeeksi monta kertaa, se peittää lopulta koko Julian joukon. Merkitään Jo pitkään on tiedetty, että funktion p c Julian joukot ovat joillakin c:n arvoilla yhtenäisiä ja toisilla epäyhtenäisiä. Epäyhtenäiset joukot ovat ns. Cantorin joukkoja, eli ne koostuvat äärettömästä määrästä erillisiä pisteitä. Epäyhtenäiset joukot syntyvät yleensä suuremmilla c:n arvoilla kuin yhtenäiset. Esimerkiksi jos c >,onj(p c ) aina yhtenäinen. Julian ja Fatoun aikaan ei kuitenkaan pystytty tarkasti sanomaan, millaiselta alueelta c piti valita, jotta saataisiin aikaiseksi yhtenäinen Julian joukko. Julia ja Fatou saivat kuitenkin selville, että Julian joukon yhtenäisyys voidaan päätellä funktion kriittisten pisteiden avulla. Funktiolla p c on kaksi kriittistä pistettä: nolla ja ääretön. Jos piste 0 kuuluu äärettömän attraktion altaaseen, niin funktiolla ei voi äärettömän lisäksi olla muita attraktoreita, sillä jokaisen attraktorin altaassahan on oltava vähintään yksi kriittinen piste. Tällöin Julian joukolla ei voi olla sisäpuolta. Mm. tätä tietoa hyödyntäen Julia ja Fatou osoittivat, että J(p c ) on yhtenäinen jos ja vain jos nolla kuuluu äärettömän attraktion altaaseen. Niiden kompleksitason pisteiden joukkoa, joille J(p c ) on yhtenäinen, kutsutaan nykyään Mandelbrotin joukoksi Benoit B. Mandelbrotin mukaan, joka ensimmäisenä tuotti tietokoneella kuvan 19

20 Seepia 4 Perjantai Kuva 7: Julian joukot funktiolle p c (z) z c, kun c=i, c= 0, ,58679i ja c= 0,6830+0,338i. Kuva-ala on kaikissa [ 1,5 1,5i; 1,5+1,5i]. Julian joukko c=i on tyypillinen dendriitti. tästä joukosta 1970-luvun lopussa [7] [9]. Merkitsemme Mandelbrotin joukkoa M:llä. (ks. kuva 6) Mandelbrotin joukkoa on sanottu matematiikan kauneimmaksi ja monimutkaisimmaksi kuvioksi. Sen reunaviiva on fraktaalinen, ja sen Haussdorf-Besicovitch dimensio on, eli se on monimutkaisin mahdollinen käyrä, joka voi esiintyä kaksiulotteisessa avaruudessa. Mandelbrotin joukkoa on sanottu yhden sivun kartaksi kaikista Julian joukoista, sillä sen reunaviivan muoto jonkin pisteen c läheisyydessä muistuttaa vastaavan Julian joukon (J(p c )) muotoja. Tämä on luonnollista, sillä koska jokainen Mandelbrotin joukon piste c vastaa Julian joukon J(p c ) pistettä 0, se vastaa myös sen pistettä c (p c (0)=0 +c=c). Tällöin liikkuminen jossakin Mandelbrotin joukon paikassa vastaa liikkumista vastaavan Julian joukon samassa paikassa. Julian joukko kuitenkin muuttuu jatkuvasti c:n arvon muuttuessa. Mandelbrotin joukko kertoo muutakin Julian joukoista. Esimerkiksi kaikki ne c:n arvot, joilla p c :llä on jokin attraktiivinen kiinteä piste sijaitsevat Mandelbrotin joukon kardioidin muotoisessa osassa. Vastaavasti jokaista Mandelbrotin joukon ympyrää vastaa jokin kokonaisluku, joka kertoo, montako pistettä on funktion p c äärellisessä attraktiivisessa syklissä, kun c valitaan kyseisen ympyrän sisältä. Kuvaan 6 on merkitty numeroilla kutakin ympyrää vastaava jakso. Esimerkiksi kuvan 1 ylemmän Julian joukon tuottamiseen käytetty c on pääkardioidin yläpuolella suuren ympyrän keskipiste. Ympyröiden keskipisteet ovat aina attraktiivisia jaksollisia pisteitä. Jos p c on jokin jaksollinen sykli s, muodostaa tämän syklin attraktion allas Julian joukolle sisäpuolen, eli J(p c )= A(s)=A( ), ja Julian joukko on yhtenäinen. Mandelbrotin joukossa on kuitenkin myös pisteitä, joiden p c :llä ei ole yhtään äärellistä jaksollista sykliä. Tällaisia ovat mm. ns. Misiurewiczin pisteet. Ne ovat sellaisia Mandelbrotin joukon pisteitä c, joille 0 on funktion p c esijaksollinen, mutta ei jaksollinen piste. Tällaisten pisteiden Julian joukkoja kutsutaan dendriiteiksi. Niillä ei ole sisäpuolta, mutta ne ovat kuitenkin yhtenäisiä. Tällainen on esimerkiksi J(p 1 ) (ks. kuva 7). Kuvien tuottaminen Julian ja Mandelbrotin joukoista on varsin yksinkertaista. Funktiolle p c voidaan osoittaa, että jos kiertoradan jokin piste on itseisarvoltaan suurempi kuin ja suurempi kuin c:n itseisarvo, niin kiertorata lähestyy ääretöntä. Jos itseisarvo ei ylitä tuota rajaa esimerkiksi 18 ensimmäisen iteraatiokerran aikana, voidaan melko varmasti todeta, että piste c kuuluu Mandelbrotin joukkoon, tai että se on Julian joukon sisäpuolella. Usein käytetyn efektin saa aikaan värittämällä jokainen piste sen mukaan, kuinka monennella iteraatiolla itseisarvo ylitti valitun rajan. Kuvien tuottamiseksi on myös saatavilla lukuisia valmiita tietokoneohjelmia, joista muutamia on lueteltu Seepian Internetsivulla. Sampo Tiensuu Kirjallisuutta [1] Blanchard, B.; Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere. Bulletin of the American Mathematical Society 11 (1984): [] Devaney, R. L.; Julia Sets and Bifurcation Diagrams For Exponential Maps. Bulletin of the American Mathematical Society 11 (1984): [3] Devaney R. L.; Fractal Patterns Arising in Chaotic Dynamical Systems. Kirjassa [1]. [4] Devaney, R. L.; An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison- Wesley Publishing Company, [5] Falconer, K. J.; Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications. John Wiley Sons, [6] Julia, G.; Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles. Journal de Mathématiques pures et Appliquées 83 (1918): [7] Mandelbrot, B. B.; The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York 1983 (1977). [8] Mandelbrot, B. B.; Fractal Aspects of the Iteration of z z(1 z) for complex and z. Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980): [9] Mandelbrot, B. B.; Fractals and the Rebirth of Iteration Theory. Kirjassa [11]. [10] Peitgen, H.-O.; Fantastic Deterministic Fractals. Kirjassa [1]. [11] Peitgen, H.-O.; Ricter, P. H. (toim.) The Beauty of Fractals Images of Complex Dynamical Systms. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [1] Peitgen, H.-O.; Saupe, D. (toim.); The Science of Fractal Images. Springer- Verlag, New York [13] Ruelle, D.; Repellers for Real Analytic Maps. Ergodic Theory and Dynamical Systems (198): [14] Saupe, D.; Efficient Computation of Julia Sets and Their Fractal Dimension. Physica 8D (1987): [15] Tiensuu, S.; Luonnon geometriaa. Seepia 1 (1999): 6. 0

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 6..009 OSA Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 0 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot