Asuntojen soveltuminen pyörätuolilla liikkumiseen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Asuntojen soveltuminen pyörätuolilla liikkumiseen"

Transkriptio

1 Asuntojen soveltuminen pyörätuolilla liikkumiseen Neea Palojärvi Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka, tietotekniikka ja terveystieto

2 1 Tiivistelmä Suomessa pyörätuolia käyttäviä on noin 0,3 % väestöstä (Lehto, 2012). Suomen Maankäyttöja rakennusasetuksen 53 sekä Suomen Rakentamismääräyskokoelman osan F1 mukaan asunnon tulisi olla sopiva myös pyörätuolin käyttäjille ja asunnoissa tulisi olla riittävästi tilaa mm. liikkumiseen ja asumiseen. (Maankäyttö- ja rakennusasetus 1999/895, 1999), (Suomen Rakentamismääräyskokoelma, 2004) Geometria taas on vanha tiede, jota on aikojen kuluessa hyödynnetty rakentamisessa (Kurittu, Hokanen& Kahanpää, 2008). Tietotekniikan ja matematiikan yhdistämistä on kehitetty luvun alkupuolelta lähtien, mutta nykyään tietotekniikka keskittyy lähinnä numeeriseen laskentaan eikä hyödynnä geometrian mahdollisuuksia (Orponen, 1996). Tutkielmani aiheena oli ohjelmoida geometrinen malli pyörätuolin liikkumisesta ohjelmaksi. Ohjelman tarkoituksena on laskea annettujen syötteiden avulla, mahtuuko pyörätuoli kulkemaan huoneissa ja asunnossa. Näin saadaan heti pohjapiirrustuksen avulla selville, soveltuuko asunto pyörätuolin käyttäjälle eikä soveltumattomaan asuntoon tarvitse edes mennä tutustumaan. Testasin ohjelmalla asuntoja pyörätuolin liikkumisen kannalta. Tutkittavia asuntoja oli yhteensä 40, joista 20 oli senioriasuntoja ja 20 tavallisia asuntoja. Testauksessa jaoin testattavat huoneet neljään kategoriaan sen mukaan, miten niissä oli mahduttava liikkumaan. Pyörätuolilla liikkumiselle aiheutuvia ongelmia löytyi yhteensä 94. Senioriasunnoista ongelmallisia oli 60 % ja tavallisista asunnoista 100 %. Eniten ongelmia, 55 %, aiheutui siitä, ettei oviaukoista mahtunut kulkemaan. Huoneista sauna osoittautui ongelmallisimmaksi: 36 % ongelmista johtui saunoista. Ongelmien määrä oli myös esiintyneiden saunojen määrään nähden suuri: 96 % saunoista oli ongelmallisia. Huoneista WC/pesuhuoneet ja vaatehuoneet olivat seuraavaksi ongelmallisempi, näistä aiheutui yhteensä 38 % ongelmista. Tuloksien perusteella pyörätuolinkäyttäjän kannattaisi etsiä asuntoaan senioritaloista. Ovien sijoitteluun ja muidenkin kuin asuinhuoneiden ovien leveyksiin tulisi kiinnittää lainsäädännössä enemmän huomiota, koska ovista kulkeminen osoittautui suurimmaksi ongelmaksi. Lisäksi saunojen kokoon olisi kiinnitettävä enemmän huomiota.

3 2 Sisällysluettelo 1. Johdanto Lainsäädäntö ja ohjeet Aineisto ja menetelmät Tutkielmassa käsiteltävät huoneiden muodot ja käännökset Geometrinen malli Pyörätuoli Pyörätuolin liikkuminen ja kääntyminen suorakaiteen muotoisissa huoneissa L:n muotoiset huoneet Oviaukot Ohjelmointi Käytetty ohjelmointikieli Ohjelmiston rakenne Testaus Tulokset Johtopäätökset Jatkokehitysideoita Lähdeluettelo... 27

4 3 1. Johdanto Isovanhempieni etsiessä uutta asuntoa havaitsin, että Suomen Maankäyttö- ja rakennusasetuksen 53 (Maankäyttö- ja rakennusasetus 1999/895, 1999) ja Suomen Rakentamismääräyskokoelman osista G1 ja F1 (Suomen Rakentamismääräyskokoelma, 2004) huolimatta uutta asuntoa on vaikea löytää pyörätuolissa liikkuvan isoisäni vuoksi. Apuna sopivan asunnon etsimisessä käytettiin mittanauhoja ja muistia, jotta pyörätuolissa liikkuvaa henkilöä ei tarvitsisi rasittaa useilla asunnonetsintämatkoilla. Kysymykseksi heräsi, voisiko tämän tehdä yksinkertaisemmin geometrian ja tietotekniikan avulla. Pyörätuolia käyttäviä ihmisiä on Suomessa 0,3 % väestöstä (Lehto, 2012). Heidän on pystyttävä liikkumaan kodeissaan mahdollisimman esteettömästi. Tämän takia laissa on asetuksia, joiden tarkoituksena on turvata mahdollisimman esteetön liikkuminen. (Maankäyttö- ja rakennusasetus 1999/895, 1999) Geometria on vanha tiede; jo muinaiset babylonialaiset, egyptiläiset ja kreikkalaiset käyttivät geometriaa ja osasivat sen alkeita. Geometria ei ollut pelkkää teoriaa vaan sitä hyödynnettiin rakentamisessakin, esimerkiksi egyptiläiset osasivat laskea rakentamiensa pyramidien tilavuuden oikein. (Kurittu;Hokanen;& Kahanpää, 2008). Tietotekniikan ja matematiikan yhdistäminen ongelmanratkaisussa on kehittynyt 1900-luvun alkupuolelta lähtien. Tietotekniikkaa opetettiinkiin 1960-luvun alkupuolelle asti matematiikan ja fysiikan erikoiskursseina. Tietotekniikka keskittyy nykyään numeeristen ongelmien ratkaisuun ja asioiden mallinnukseen numeerisilla tavoilla eikä klassista geometriaa hyödyntäen. (Orponen, 1996.) ISO standardista on annettu muutamista pyörätuolin koosta esimerkkejä, millaiset huoneen kokojen tulisi olla, mutta en löytänyt laskentaohjelmaa, joka tutkisi ongelmakohdat kaikenkokoisilla pyörätuoleilla. (Working Group WG1 of Sub Committee SC1 of Technical Committee TC173 of the International Organization for Standardization ISO, 2008). Työni tavoitteena on tuottaa geometrisen mallin avulla ohjelma, jolla saadaan tutkittua erilaisten huoneratkaisujen sopivuutta pyörätuolilla liikkuville asukkaille. Ohjelma selvittää erilaisten huoneiden sopivuutta pyörätuolipotilaille. Uudehkoja senioritaloja ja tavallisia taloja testataan tämän mallin avulla

5 4 2. Lainsäädäntö ja ohjeet Suomen Rakentamismääräyskokoelman osan G1 mukaan kulkuaukkoihin pitää jättää vähintään 800 mm vapaata tilaa liikkumista varten, kun kulkuaukot johtavat huoneistossa asumista palveleviin tiloihin. Asuinhuoneiston tilojen tulee olla yleisesti soveltuvia asumiseen, ottaen huomioon, että aiottu käyttäjämäärä, asuntojen yhteiset tilat ja käyttötarpeet saattavat muuttua. Tilaa pitää olla tarpeeksi oleskelua, lepoa, ruokailua, ruuanvalmistusta, vapaa-ajan viettoa, hygieniaa ja asumiseen liittyvää huoltoa sekä säilytystä varten. (Suomen Rakentamismääräyskokoelma, 2004) Rakennuksen tulee myös soveltua henkilöille, joiden liikkumis- tai toimimiskyky on rajoittunut (Maankäyttö- ja rakennusasetus 1999/895, 1999). Suomen Rakennusmääräyskokoelman osan F1 kohdan mukaan rakennuksissa on oltava tarpeeksi paljon liikkumisesteisille sopivia WC- ja pesutiloja, niin huoneen koon kuin varustuksenkin suhteen. Lisäksi, jos WC- tai pesutila on tarkoitettu tilanteisiin, jossa WCistuimelle voidaan siirtyä sen molemmilta puolilta, on WC-istuimen molemmilla puolilla oltava vähintään 800 mm tyhjää tilaa. (Suomen Rakentamismääräyskokoelma, 2004) Invalidiliitto on antanut ohjeita esteettömän asunnon rakentamiseen. Ohjeistusten mukaan oviaukkojen leveyden pitäisi olla vähintään 850 mm ja vapaan yksikaistaisen huoneen leveys on 900 mm. Tavallisen pyörätuolin kokonaisuudessaan viemä leveys (ei välttämättä pyörätuolin leveys) on 900 mm ja pituus 1400 mm. Yleisin kääntymishalkaisija on 2300 mm eli kääntymissäde on 1150 mm. Kääntymissäde riippuu pyörätuolin koon ohella pyörätuolin pyörien koosta. (Invalidiliitto, 2010) Malli on suunniteltu pyörätuolia itsenäisesti käyttävälle asukkaalle. On siis oletettu, ettei pyörätuolin käyttäjillä ole jatkuvasti avustajaa käytettävissään, joka voisi auttaa tiukoissa käännöksissä. Yksin asuvien pyörätuolin käyttäjien määrää ei ole laillisista tilastoida Suomessa (Invalidiliitto, 2012). 3. Aineisto ja menetelmät 3.1 Tutkielmassa käsiteltävät huoneiden muodot ja käännökset Tutkielmassa pyörätuolin liikkumista käsitellään suorakaiteen ja L:n muotoisissa huoneissa. Suorakaiteen muotoisissa huoneissa pyörätuolin on pystyttävä normaalin eteenpäin

6 5 liikkumisen lisäksi kääntymään 180, jotta pyörätuolin katsottaisiin pystyvän kulkemaan huoneessa. L:n muotoisissa huoneissa riittää, että pyörätuoli pystyy kääntymään huoneen kulmasta. 3.2 Geometrinen malli Pyörätuoli Pyörätuoli oletetaan tehtävissä suorakulmaisen särmiön muotoiseksi kappaleeksi, joka kääntyy ympyrän kehää pitkin. Pyörätuolin leveydeksi on määritelty a ja pituudeksi b (a, b R + ) (Kuva 1). Tutkittavan huoneen leveys on c ja pituus d (c, d R + ). Pyörätuolin kääntymissäteeksi on määritelty k (k R + ). Kuva 1 Pyörätuoli Pyörätuolin liikkuminen ja kääntyminen suorakaiteen muotoisissa huoneissa Kuva 2 Pyörätuolin liikkuminen suorakaiteen muotoisissa huoneissa Jotta pyörätuoli mahtuisi kulkemaan suorakaiteen muotoisissa huoneissa (Kuva 2), sen on mahduttava kulkemaan leveyssuunnasta käytävää. Siis on pädettävä a < c, jotta pyörätuoli mahtuisi kulkemaan annetunlaisessa huoneessa.

7 6 Pyörätuolin katsotaan pystyvän kääntymään huoneessa, jos se pystyy kääntymään vähintään yhdessä huoneen kohdassa. Pyörätuoli pystyy kääntymään suorakulmion muotoisessa huoneessa, jos sen kääntösäteinen ympyrä ei missään vaiheessa leikkaa tai sivua huoneen reunoja. Siis täytyy päteä k < c/2 ja k < d/2, jotta pyörätuoli mahtuisi kääntymään 180 huoneessa. (Kuva 3) Kuva 3 Kääntyminen suorakaiteen muotoisessa huoneessa L:n muotoiset huoneet Pyörätuolin kääntyessä kulmassa x= kulman C ja kulman toisella puolella jäävän pyörätuolin pituuden pituus (Kuva 4) (x R + ). Kuva 4. Pyörätuoli L:n muotoisessa huoneessa

8 7 Pyörätuolin pyörän A ja huoneen kulman C välinen jana on pyörää A vastaavan ympyrän säteen pituus. Olkoon tämä säde = r 1 (Kuva 4) (r 1 R + ). Koska pyörätuoli on suorakulmaisen särmiön muotoinen, Pythagoraan lauseen mukaan: Negatiivinen ratkaisu voidaan hylätä, sillä r 1 R +. Pythagoraan lauseen avulla saadaan myös: Negatiivinen ratkaisu voidaan hylätä, sillä r 2 R +. Nyt r 1, r 2 < min (d, c) = M, sillä pyörien täytyy mahtua kulkemaan kulmasta ilman, että ne tarttuvat seiniin kiinni. Saadaan siis rajoitusehdot: (1) (2) Joista saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla (1), jossa (yhtäsuuruus ei tässä kohtaa käy, koska muuten pyörätuoli tarttuu reunoihin). Jos epäyhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä yhtälöllä ei ole reaalistaratkaisua (Kuva 5). Tällöin eli pyörätuoli ei mahdu kulkemaan käännöksestä. (2), jossa (yhtäsuuruus ei tässä kohtaa käy, koska muuten pyörätuoli tarttuu reunoihin). Jos epäyhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua (Kuva 5). Tällöin eli pyörätuoli ei mahdu kulkemaan käännöksestä.

9 8 -> kulkemaan, jossa. Jos edellä mainituilla epäyhtälöillä ei ole ratkaisuja eli pyörätuoli ei mahdu kulkemaan käännöksistä (eli L:n muotoisesta huoneesta), (Kuva 5). Jos on olemassa edellä mainittu x R +. ja, pyörätuoli mahtuu kulkemaan annetusta kulmasta (yhtäsuuruus ei tässä kohtaa käy, koska muuten pyörätuoli tarttuu reunoihin), (Kuva 5), (Kuva 6), (Kuva 7) Kuva 5. M < a eli pyörätuoli ei mahdu kulkemaan toisessa käytäväosuudessa.

10 9 Kuva 6 eli pyörätuoli jä seinään kiinni. Kuva 7 eli pyörätuoli jää seinään kiinni.

11 Oviaukot Oviaukot eroavat laskennallisessa käsittelyssä huoneiden kulmista siten, ettei pyörätuolin kääntymistä huoneeseen välttämättä rajoita molemmilta puolilta samalla lailla seinä kuin huoneiden käännöksiä (Kuva 8). Näin ollen pyörätuolilla voidaan kääntyä oikeaan kulkusuuntaan myös toisessa oviaukon jommallakummalla puolella olevassa huoneessa, eikä pyörätuolilla tarvitse pystyä kääntymään juuri oviaukon käännöskohdassa. Tämän takia oviaukoissa kulkeminen voidaan katsoa mahdolliseksi myös silloin, kun toisessa huoneessa on mahdollista kääntyä oviaukon vaatimaan kulkusuuntaan/kääntymään huoneessa eri suuntaan kuin siihen on tultu, vaikkei oviaukon kohdassa mahduttaisikaan kääntymään niin kuin kulmassa. Lisäksi on otettava huomioon oviaukon leveys. Kuva 8 Oviaukko Laskennallisessa mallissa oviaukosta kulkeminen on siis jaettu kolmeen tapaukseen. Ensin tutkitaan, onko oviaukko riittävän leveä pyörätuolin kulkemiseen siitä eli onko pyörätuolinleveys < oviaukon leveys. Jos tämä pitää paikkansa, tutkitaan, mahtuuko pyörätuoli kääntymään jommassakummassa huoneessa oviaukon vaatimaan kulkusuuntaan tai kääntymään huoneessa eri suuntaan kuin siihen on tultu. Jos tämä ei pidä paikkaansa, on tutkittava vielä, mahtuuko pyörätuolilla kääntymään oviaukosta kuten kulmasta. Jos jompikumpi kahdesta jälkimmäisestä tapauksesta pitää paikkansa, pyörätuolilla mahtuu kulkemaan oviaukosta. Muussa tapauksessa oviaukosta ei mahdu kulkemaan. Oviaukoissa on myös otettava huomioon että oviaukon koko rajoitaa minimikääntymiskulmaa. Esimerkiksi jos oven leveys on vain hiukan suurempi kuin pyörätuolin leveys, oveen voi tulla vain 90 kulmassa. Ensin on tarkasteltava, missä kulmassa pyörätuoli voi tulla oviaukkoon.

12 11 Oviaukon leveys on o (o R +.). Pyörätuolin viemä leveys oviaukossa on q (q R +.). Maksimikulma, joka pyörätuolilla voi olla oviaukkoon tullessa, on α (0 α 90 ). Kulma β (0 β 90 ). on pyörätuolin halkaisijan muodostama kulma BDA. β voidaan näin ollen määrittää: (Kuva 9). Halkaisija BD on Pythagoraan lauseen nojalla:, josta vain positiivinen ratkaisu käy. Sivun pituus ei voi olla negatiivinen. Jos 0 α 45, voidaan määrittää suoraan Jos 45 <α 90, niin, Koska 0 90, ratkaisu on yksikäsitteinen. edellisessä kohdassa 0 α 45., sillä. Loppu etenee samalla tavoin kuin Kuva 9 Oviaukosta mahtuminen

13 12 Piste E on valittu siten, että jana AE on oviaukon suuntainen. Siis eli. BEA =α. Siis Jotta pyörätuoli mahtuisi oviaukosta, näin ollen on oltava q < o eli <o. (Kuva 9) On myös tutkittava, mahtuuko pyörätuoli oviaukosta kulkemisen jälkeen, vielä uudessa huoneessa on pystyttävä kääntymään tarvittavan loppumatka. Edellisestä kohdasta saadaan kääntäen maksimikääntymiskulma α. <o eli, edelleen. Koska janat BC ja AD ovat yhdensuuntaiset, samankohtaisina kulmina BCH =α min, jolloin saadaan mahdollisimman pieni arvo pituudelle. Saadaan siis, että eli BH =, d>bh. Pyörätuolin on myös mahduttava kääntymään loppu matka huoneessa eli b<d. Nykyinenkin tila on pystyttävä saavuttamaan eli r < tila oviaukon reunan ja toisen huoneen seinän välillä (o R +.) (ks. Kuva 10). AG = b- DG = = b-. Nyt eli (Kuva 10) Kuva 10 Oviaukosta liikkuminen 3.3 Ohjelmointi Luvussa 3.2 saatua laskennallista mallia käytettiin pyörätuolin asunnossa liikkumaan mahtumista tutkivan ohjelman runkona. Ohjelma laskee annettujen laskukaavojen ja käyttäjän antamien syötteiden perusteella, mahtuuko pyörätuoli liikkumaan annetuissa huoneissa ja näin myös koko talossa.

14 13 Tutkimuksessa pyörätuolin mahtumista liikkumaan huoneessa tutkittiin ohjelmoimalla laskukaavat. Ohjelmassa käyttäjältä pyydetään laskettavien huoneiden mitat ja tiedot siitä, onko huoneessa kulmaa. Oviaukot tulkitaan ohjelmassa huoneiksi, joissa on kulma. Koot syötetään ohjelmaan senttimetreinä Käytetty ohjelmointikieli Ohjelmointi toteutettiin oliopohjaisella Java-kielellä. Olio-ohjelmoinnissa ohjelman rakenne koostuu eri olioista, joilla on jokaisella omat toimintonsa ja ominaisuutensa. Nämä ominaisuudet ja toiminnallisuudet määritellään luokissa. Oliot ovat siis luokan yksittäisiä esiintymiä, esim. tutkielmassa luvusta mainitusta Huone-luokasta muodostetaan useita erilaisia huone-olioita laskentaa varten. (Itä-Suomen yliopisto, 2011) Ohjelmiston rakenne Kuva 11 Luokkakaavio Kuva 12 Tilakaavio

15 14 Pääohjelma-luokka Pääohjelma-luokassa käytetään ohjelman pääohjelmaa. Siellä luodaan Huone-luokan huoneolio ja Laskenta-luokan laskenta-olio sopivien huonekokojen tarkistamiseksi (Kuva 11), (Kuva 12). Käyttäjältä kysytään ensin asunnossa olevien huoneiden määrä ja tämän tiedon avulla kysytään jokaisesta huoneesta erikseen sen pituus ja leveys sekä onko siinä kulmaa. Huoneessa voi olla myös oviaukko, jota tarkastellaan erikseen. Jokaisen huoneen tietojen antamisen jälkeen Laskenta-luokassa lasketaan, mahtuuko pyörätuoli liikkumaan kyseisessä huoneessa. Tulos kerrotaan käyttäjälle. Huone-luokka Huone-luokka sisältää tiedot kyseessä olevan huoneen pituudesta ja leveydestä. Näitä tietoja käytetään Laskenta-luokasta tulleiden komentojen avulla. Tiedot asetetaan Pääohjelmaluokassa käyttäjän syötteiden perusteella. (Kuva 11), (Kuva 12) Pyörätuoli-luokka Pyörätuoli-luokka sisältää tiedot pyörätuolin leveydestä, pituudesta ja kääntösäteestä. Nämä on asetettu vakioiksi, joten niitä saa muutettua vain ohjelmakoodista. Tietoja käytetään Laskenta-luokassa sieltä tulevien komentojen perusteella (Kuva 11), (Kuva 12) Laskenta-luokka Laskenta-luokassa lasketaan, mahtuuko pyörätuoli kulkemaan annetussa huoneessa. Luokkaa käytetään Pääohjelma-luokasta tulleiden komentojen mukaan. Käyttö riippuu siitä, onko huone L:n muotoinen ja pitääkö pyörätuolin päästä kääntymään 180 suorakulmion muotoisessa huoneessa. Laskenta-luokassa luodaan Pyörätuoli-luokan olio pyörätuoli ja Huone-luokan olio huone. Pyörätuoli- ja Huone-luokista saadaan pyörätuolin ja huoneen koot sekä pyörätuolin kääntösäde laskentaa varten (Kuva 11), (Kuva 12) Suorakulmaisistahuoneista tutkitaan sekä se, mahtuuko pyörätuoli ylipäätänsä kulkemaan suorakulmaisessa huoneessa ja syötteestä riippuen, pystytäänkö siinä myös kääntymään 180. Luvun mallin mukaisesti pyörätuoli mahtuu kulkemaan huoneessa, jos pyörätuolin leveys < huoneen leveys. Ohjelmassa siis verrataan pyörätuolin ja huoneen leveyttä toisiinsa. Kääntymisissä noudatetaan luvun mallia eli pyörätuolin kääntösäteen on oltava pienempi kuin min (huoneen leveys/2, huoneen pituus/2). Ohjelmassa tämä tarkastus on

16 15 toteutettu kertomalla kääntösäde kahdella ja tarkastamalla, että tämä säde on pienempää kuin huoneen leveys ja korkeus. Jos huone on L:n muotoinen, ohjelma tarkastaa vain sen, että pyörätuoli mahtuu kulkemaan kulmasta. Tämä laskenta toteutetaan luvussa olevan mallin mukaan. On löydettävä jokin positiivinen reaaliluku, ehdon mukaan. Ohjelma tarkistaa, että luku on pienempää kuin ja eli näiden välistä löytyy pakosti positiivinen reaaliluku x:lle eli pyörätuoli mahtuu kulkemaan kulmasta. Ensin tutkitaan, onko huoneen pituus vai leveys pienempi (=M). Tutkitaan sen jälkeen ehto, että ja. Jos kyseessä on oviaukon laskeminen, se toteutetaan mallin mukaan. Ensin siis selvitetään, mahtuuko pyörätuoli kulkemaan oviaukosta eli onko oviaukko > a. Jos tämä pitää paikkansa, tutkitaan sitä, pystyykö pyörätuoli kääntymään kummassakaan huoneessa. Jos pyörätuoli ei mahdu kääntymään kummassakaan huoneessa, tutkitaan pääseekö huoneeseen luvussa esitetyllä tavalla. Lopuksi tarkastetaan vielä oviaukon asettamat rajoitukset. Jokaisen tarkistuksen jälkeen Laskenta-luokasta palautetaan Main-luokkaan tieto siitä, pystyykö pyörätuolilla kulkemaan kyseisessä huoneessa. Lisäksi kaikissa liikkumisissa on kahden senttimetrin liikkumavara, jotta varmistetaan, että pyörätuoli pystyy käytännössäkin liikkumaan huoneesta toiseen ilman, että liikkuminen on tehtävä todella tarkasti. 4. Testaus Ohjelman testaus toteutettiin Asus-X5 -koneella ja Windows 7 -käyttöjärjestelmällä. Testien lähtöparametrit saatiin S-Eco 300 -merkkisestä pyörätuolista, jonka kokonaisleveys valittiin mahdollisimman suureksi eli 70 cm ja kokonaispituus laskettiin jalkatukien kanssa eli 103 cm (Apuväline Alux, 2011). Ohjelmalla arvioitiin pyörätuolilla liikkumista 20 senioriasunnossa ja 20 uudehkossa tavallisessa asunnossa. Kaikki talot olivat kerrostaloja, jotka oli rakennettu tai on suunnitteilla rakentaa vuosien välisenä aikana. Suurin osa oli valmistunut vuoden 2012 aikana. Asuntojen pohjapiirustukset löytyivät YHKOTI - sivustolta Turun ja Tampereen alueen asunnoista. Tutkittavat kerrostalot valittiin sen mukaan, missä kerrostaloissa oli selkeimmät pohjapiirustukset mittakaavoineen. Jokaisesta talosta valittiin viisi asuntoa testattavaksi.

17 16 Tutkittavia taloja oli kahdeksan. Asunnot valittiin satunnaisotannalla (KvantiMOTV, 2003). Kuitenkaan kahta täysin samanlaista pohjapiirustusta ei otettu. Huoneet jaoteltiin eri kategorioihin sen mukaan, millaisia liikkumistarpeita niissä on (Taulukko 1). Taulukko 1 Liikkumistarpeet Huone/Huoneet Liikkumistarve Ruokailutila, olohuone Liikkuminen ja kääntyminen Eteinen, keittiö, makuuhuone, alkovi, tupakeittiö, Liikkuminen asuinhuone*, keittotila, keittokomero Vaatehuone, kodinhoitohuone** Sisäänpääsy (osittain) WC, suihkutilat, sauna, pesuhuone, parveke, Sisäänpääsy (kokonaan) patio, viherhuone * Poikkeuksena tapaukset, joissa asuinhuoneen voidaan olettaa myös toimivan yleisenä tilana, eikä talossa ole yhtään huonetta, joissa pitäisi mahtua kääntymään. Tällöin on käännyttävä asuinhuoneessa. ** Vain ne kodinhoitohuoneet, jotka eivät sijainneet pesutilojen yhteydessä. Muuten ne on lueteltu pesuhuoneisiin. Jos pohjapiirustukseen on merkitty huonekaluja, ne on otettu testauksessa huomioon. Pyörätuolilla ei pysty liikkumaan huonekalujen päältä tai läpi. Ovien oletettiin olevan kiinni, ellei huoneeseen oltu menossa sisään. 5. Tulokset Ongelmia löytyi 94 kappaletta. Näistä 32 esiintyi senioriasunnoissa ja 62 tavallisissa asunnoissa (Kaavio 1). Kaiken kaikkiaan 32 asunnosta löytyi jokin ongelma, joka esti pyörätuolilla liikkumisen asunnossa. Näistä asunnoista 12 oli senioriasuntoja ja 20 tavallisia asuntoja. Senioriasunnoista ongelmallisia oli 60 % ja tavallisista asunnoista 100 %.

18 17 Kaavio 1 Ongelmat talotyypeittäin Ongelmat talotyypeittäin Senioritalot 34 % Tavalliset talot 66 % Suurin ongelma oli liikkuminen oviaukoista; joko pyörätuoli ei mahtunut liikkumaan oviaukosta tai oviaukko oli sijoitettu siten, ettei pyörätuolilla päässyt sen luokse oikeassa kulmassa. Tällaisia ongelmia oli 51 kaikkiaan 94 ongelmasta. Toisiksi suurimmaksi ongelmatyypiksi (35 kpl) nousi huoneeseen sisäänpääsy kokonaan. (Kuva 13). Sen sijaan yhdessäkään asunnossa ei ollut ongelmaa, että pyörätuolilla ei olisi mahtunut kulkemaan sen suorakulmaisissa huoneissa. (Kaavio 2) Kaavio 2 Ongelmat tyypeittäin Ongelmat tyypeittäin 2 % 2 % 4 % 0 % 37 % 55 % L:n muotoisessa huoneessa liikkuminen Suorakulmaisessa huoneessa liikkuminen Suorakulmaisessa huoneessa kääntyminen Oviaukosta/ovesta kulkeminen Sisäänpääsy kokonaan WC-istuimelle tarpeeksi lähelle pääsy

19 18 Kuva 13 Esimerkki ongelma-asunnosta. Talon ongelmahuoneet on merkitty punaisilla pisteillä. (Tarkka lähde on jätetty tarkoituksella kertomatta, koska tutkielman tarkoituksena ei ole leimata tutkittavia taloja.) Ongelmat jakautuivat voimakkaasti talojen mukaan. Vähiten ongelmia oli seniorivuokratalossa 3, jossa yhdessäkään sen viidestä testausasunnosta ei löytynyt pyörätuolille liikkumiselle ongelmaa. Eniten ongelmia oli tavallisessa vuokratalossa 2, josta löytyi yhteensä 25 ongelmaa sen viidestä testausasunnosta. (Kaavio 3) Mediaani senioritaloissa esiintyville ongelmille oli 7,5 ja tavallisille taloille 14. Kaikki talot mukaan otettuina mediaanina oli 11,5 ongelmaa taloa kohti. (KvantiMOTV, 2003) Kaavio 3 Ongelmat taloittain Ongelmat taloittain (kpl) Ongelmat taloittain (kpl) Asunnoissa esiintyi nollasta kahdeksaan ongelmaa; seitsemää ongelmaa ei löytynyt mistään asunnosta. Eniten esiintyi nollan, yhden ja kahden ongelman asuntoja; kutakin oli 20%

20 19 asunnoista. Seuraavaksi eniten esiintyi asuntoja, joissa oli kolme ongelmaa, näitä oli 17% asunnoista. "Viiden ongelman" asuntoja oli 7 % asunnoista ja "kuuden ongelman" asuntoja 8 %. Yhdestä asunnosta löytyi kahdeksan ongelmaa, kahdesta asunnosta löytyi neljä ongelmaa. (Kaavio 4) Kaavio 4 Ongelmien määrät asunnoissa Ongelmien määrät asunnossa 0 % 3 % nolla 7 % 8 % 20 % yksi kaksi 5 % kolme neljä 17 % 20 % viisi kuusi 20 % seitsemän kahdeksan Ongelmat jakautuivat tasaisesti talon sisällä. Esim. seniorivuokratalossa 1 oli yhteensä kaksi ongelmaa, jotka olivat eri asunnoissa ja tavallisessa vuokratalossa 3 kaikki sen yhdeksän ongelmaa olivat eri asunnoissa. Jos talosta löytyi ongelmia, niitä löytyi useimmiten kaikista asunnoista; poikkeuksen tekee vain seniorivuokratalo 1, josta löytyi kahdesta asunnosta ongelmia. Muissa taloista löytyi joko kaikista asunnoista ongelmia tai sitten ei yhdestäkään, esim. seniorivuokratalosta 3 ei löytynyt yhtään ongelmaa. (Taulukko 2) Taulukko 2 Ongelmia esiintyvien asuntojen määrät Talo Ongelmallisten asuntojen määrät (jokaisesta talosta tutkittiin viisi asuntoa) Ongelmien määrä yhteensä Tavallinen vuokratalo Tavallinen vuokratalo Tavallinen vuokratalo Tavallinen vuokratalo Seniorivuokratalo Seniorivuokratalo Seniorivuokratalo Senioriomistustalo 5 18

21 20 Selkeästi eniten ongelmia esiintyi saunoissa; niistä esiintyi 33 ongelmaa. Suurin osa saunoissa esiintyvistä ongelmista johtui siitä, ettei pyörätuolilla mahtunut kokonaan sisään saunaan. Loput ongelmat aiheutuivat siitä, että saunan oviaukosta ei päässyt sisään johtuen useimmiten oviaukon huonosta sijainnista. (Kaavio 5) Saunan lisäksi pyörätuolilla liikkumiselle aiheutui ongelmia erityisesti myös WC:stä/kylpyhuoneesta ja vaatehuoneista. Näistä löytyi yhteensä 35 ongelmaa. WC:ssä/kylpyhuoneissa esiintyneet ongelmat olivat pääosin tyypiltään samanlaisia kuin saunoissa esiintyneet ongelmat. Pyörätuoli ei mahtunut huoneeseen kokonaan sisään tai oviaukko oli sellaisessa paikassa, ettei huoneeseen päässyt sisään. Lisäksi kahdessa tapauksessa huoneeseen mahtui sisään, mutta WC-istuin oli sellaisessa paikassa, ettei sen luokse päässyt. Vaatehuoneissa kaikki ongelmat aiheutuivat siitä, että oviaukko oli sijoiteltu huonoon paikkaan tai se oli liian pieni pyörätuolilla liikkumisen kannalta. (Kaavio 5) Kaikki pyörätuolilla 180 kääntymiseen tai kulmasta kulkemiseen liittyvät ongelmat löytyivät ruuanlaittotilasta, ruokailutilasta/olohuoneesta ja eteisestä. (Kaavio 5) Kaavio 5 Ongelmat huoneittain Ongelmat huoneittain 2 % Vaatehuone Eteinen Parveke/patio 20 % 17 % 2 % Asuinhuone Ruokailutila/olohuone 8 % Sisäänpääsy 36 % 9 % 1 % 2 % 3 % Ruuanlaittotila Sauna WC/kylpyhuone Kodinhoitohuone Tutkituista huonetyypeistä kolmessa huoneista vähintään 50 % oli ongelmallisia. Näitä huonetyyppejä olivat vaatehuone, sauna ja kodinhoitohuone. Saunoista peräti 96 % oli ongelmallisia. Vaatehuoneista ongelmallisia oli 71 %. (Kaavio 6) Kodinhoitohuoneista aiheutuneiden ongelmien määrä oli kaikkien ongelmien määrään verrattain pieni, vain 2 %, vaikka 67 % vaatehuoneista oli ongelmallisia. Tämä selittyy sillä,

22 21 että erillisiä kodinhoitohuoneita oli vain kolme kappaletta, joista kahdessa ei pystynyt kulkemaan oviaukosta sisään. Yksi kodinhoitohuone oli ongelmaton. Sama toisin päin tapahtui WC:ssä/kylpyhuoneissa: vaikka WC/kylpyhuone -huonetyyppi aiheutti 21 % esiintyneistä ongelmista, niistä ongelmallisia on 38 % eli alle puolet. (Kaavio 5), (Kaavio 6) Lisäksi parvekkeista/patioista huomattava määrä oli ongelmallisia. Niistä ongelmallisia oli 23 % eli lähestulkoon joka neljäs. Ongelmat aiheutuivat siitä, oven huonosta sijoittelusta tai pienestä koosta. Kaavio 6 Ongelmallisten huoneiden osuudet kaikista huoneista Ongelmallisten huoneiden osuudet kaikista huoneista 100 % 80 % 60 % 40 % 20 % 0 % Ongelmattomat Ongelmalliset Huoneista 85 oli ongelmallisia. Näistä huoneista eniten, 28 kappaletta, oli saunoja. Ongelmallisia vaatehuoneita ja WC/kylpyhuoneita oli yhtä paljon; molempia 16 kappaletta. 71 % ongelmallisista huoneista kuului edellisiin huonetyyppeihin. Yli 5 %:n osuuden ongelmallisista huoneista veivät myös asuinhuoneet (10 %) ja parvekkeet/patiot (8 %). (Kaavio 7)

23 22 Kaavio 7 Ongelmahuoneiden osuudet kaikista huoneista Ongelmahuoneiden osuudet 2 % 19 % 19 % 2 % 8 % 10 % 33 % 1 % 2 % 4 % Vaatehuone Eteinen Parveke/patio Asuinhuone Ruokailutila/olohuone Sisäänpääsy Ruuanlaittotila Sauna WC/kylpyhuone Kodinhoitohuone Ongelmahuoneista 57 eli 67 % löytyi tavallisissa taloissa. Esiintyneistä ongelmahuonetyypeistä neljä esiintyi vain tavallisissa taloissa ja kaksi vain senioritaloissa. Vain tavallisissa taloissa esiintyneitä ongelmahuoneita olivat parveke/patio, asuinhuone, ruokailutila/olohuone ja sisäänpääsy (oviaukko). Eteisissä ja kodinhoitohuoneissa esiintyi ongelmia vain senioritaloissa. Neljä ongelmahuonetyyppiä esiintyi molemmissa talotyypeissä. (Kaavio 8) Suurimmat ongelmahuonetyypit olivat senioritaloissa WC/kylpyhuone ja sauna, näistä molemmista 9 huonetta oli ongelmallisia senioritaloissa eli 32 % ongelmahuoneista. Tavallisissa taloissa suurin ongelmahuonetyyppi oli sauna, niistä 19 oli ongelmallisia. Tämä tarkoittaa 33 % tavallisten talojen ongelmahuoneista. (Kaavio 8) Toisiksi suurin ongelmahuonetyyppi tavallisissa taloissa oli vaatehuone. Vaatehuoneista 11:ssä esiintyi ongelmia eli 19 % kaikista tavallisten talojen ongelmahuoneista. Senioritaloissa ongelmahuoneista toisiksi suurin osa oli vaatehuoneita. Vaatehuoneista viisi oli ongelmallisia, mikä tarkoittaa 19 % senioritalojen ongelmallisista huoneista. (Kaavio 7)

24 23 Kaavio 8 Ongelmalliset huoneet talotyypeittäin Ongelmalliset huoneet talotyypeittäin Seniori Tavallinen 6. Johtopäätökset Ohjelmalla pystyttiin arvioimaan asuntojen soveltuvuutta pyörätuolin käyttäjälle. Kaikki tutkitut talot olivat uudehkoja, 2000-luvun aikana rakennettuja tai vielä rakenteilla olevia. Näistä asunnoista 32:ssa eli 80 %:ssa oli jokin ongelma pyörätuolilla liikkumisella. Uusia asuntoja ei voida pitää automaattisesti soveltuvina pyörätuolin käyttäjälle. Senioritaloja voidaan pitää tavallisia taloja paremmin soveltuvina pyörätuolin käyttäjälle. Olihan 100 %:ssa tavallisista asunnoista jokin ongelma pyörätuolilla liikkumiselle. Senioriasunnoistakin 60 % oli ongelmallisia. Kannattaa siis suosia senioritalossa asumista, mikäli se on mahdollista, mutta senioriasuntokaan ei automaattisesti ole esteetön. Oviaukoista kulkeminen osoittautui suurimmaksi ongelmaksi; 55 % löytyneistä ongelmista aiheutui oviaukosta kulkemisesta. Määräysten ja suositusten mukainen oviaukon leveys ei ole riittävä, jos oviaukko sijaitsee huonossa paikassa. Laissa ja rakentamisessa olisi kiinnitettävä enemmän huomiota huoneiden ovien sijoitteluun asunnossa.

25 24 Kuva 14 Pyörätuolilla ei mahdu kääntymään huoneeseen, vaikka huoneen oviaukko onkin muuten riittävän iso. Asunnossa on muitakin ongelmia. (Tarkka lähde on jätetty tarkoituksella kertomatta, koska tutkielman tarkoituksena ei ole leimata tutkittavia taloja.) Suureksi ongelmatyypiksi osoittautui myös pyörätuolin pääseminen WC-, pesu- ja saunatiloihin kokonaan sisään. Tällaisia ongelmia oli 37 % löytyneistä ongelmista. Suomen Rakentamismääräyskokoelmassa osassa F1 mainittu 800 mm:n tila WC-istuimen molemmille puolille ei ole riittävä, jos pyörätuolin halutaan mahtuvan WC:hen kokonaan. Tämän lisäksi WC:ssä tulisi kiinnittää huomiota WC-istuimen eteen jäävään tilaan, jos tarkoituksena on nousta siitä WC-istuimeen. Pyörätuoli ei mahdu huoneeseen, jos tätä tilaa on esimerkiksi vain 500 mm. (Suomen Rakentamismääräyskokoelma, 2004) Erityiseksi ongelmakohdaksi muodostui sauna: tutkituista saunoista lähes kaikissa oli jokin ongelma. Sauna sijaitsi hankalassa paikassa pyörätuolin sisääntulon kannalta tai sinne ei mahtunut kokonaan sisään. Pyörätuolinkäyttäjälle ei siis anneta mahdollisuutta saunoa ainakaan kovissa löylyissä, koska hänen on joko pidettävä ovea auki saunomisensa ajan tai jätettävä saunominen kokonaan. Rakentamisessa tulisi kiinnittää enemmän huomiota saunojen kokoon ja sijoitteluun. Vaatehuoneistakin suuri osuus, 71 % oli ongelmallisia. Tämä on vastoin Suomen Rakentamismääräyskokoelman osaa G1, jonka mukaan asunnoissa täytyy olla mahdollisuus asumisen vaatimaan säilytystilaan ja asunnon tulisi olla liikuntaesteisillekin asumiseen kelvollinen (Suomen Rakentamismääräyskokoelma, 2004). Yksin asuva liikuntaesteinen ei

26 25 saa säilytettyä tavaroitaan vaatehuoneessa. Oviaukkojen sijoittelun lisäksi tulisi kiinnittää enemmän huomiota vaatehuoneiden ovien kokoon. Suomen Rakentamismääräyskokoelmassa määrätään 800 mm kokoisen kulkutilan asuinhuoneisiin, mutta se ei koske vaatehuoneita. Kuitenkin taloissa tulisi olla säilytystilaa ja sen tulisi olla liikuntaesteisillekin sopiva (Suomen Rakentamismääräyskokoelma, 2004). Suurin osa ongelmista/ongelmahuoneista saataisiin poistettua kiinnittämällä enemmän huomiota saunojen, WC:n/pesuhuoneen ja vaatehuoneiden sijoitteluun sekä kokoon. Näin poistuisi 74 % ongelmista ja 71 % ongelmahuoneista. Samalla ongelmallisten tavallisten asuntojen osuus putoaisi 100 %:sta 50 %:n. Jos pyörätuolinkäyttäjän ei ole mahdollista asua senioritalossa, hänelle avautuisi edellisten rakennusmuutosten myötä mahdollisuus muuttaa uuteen asuntoon ilman, että asuntoon jouduttaisiin tekemään korjauksia. Senioritaloissa vastaava osuus muuttuisi 60 %:sta 30 %:n. Näihin huoneisiin keskittymällä saataisiin ongelmallisten asuntojen osuus pudotettua puoleen alkuperäisestä. Jos taloista löytyi ongelmia pyörätuolilla liikkumiseen, ongelmia oli yli yksi. Ongelmat olivat talon sisällä jakautuneet eri asuntoihin. Jos löytää talosta ongelman, on todennäköistä, että ongelmia löytyy myös muista talon asunnoista. Sopivaa asuntoa ostettavaksi etsiessään kannattaa siis suosia senioritaloja, jos niitä on tarjolla ja ikää on riittävästi senioritalossa asumiseen (Heikkilä, 2008). Senioriasunnotkaan eivät ole ongelmattomia, vaan ne tulisi testata etukäteen esim. kehittämälläni ohjelmalla, jotta tutustumiskäynnit voisi kohdentaa ennakolta mahdollisiin kohteisiin. Nuoremmat pyörätuolinkäyttäjät tulisi ottaa paremmin huomioon taloja suunnitellessa, sillä he eivät voi hankkia asuntoa senioritalosta ikärajoitteiden takia. Yksikään testatuista tavallisista asunnoista ei soveltunut sellaisenaan pyörätuolin käyttäjälle. 7. Jatkokehitysideoita Vaikka tehty ohjelma tutkiikin laaja-alaisesti, mahtuuko huoneessa kulkemaan pyörätuolilla, se ei ota huomioon muita pyörätuolilla liikkumisen edellytyksiä. Esim. kynnysten kokoja tai hissin olemassaoloa ei oteta huomioon. Ohjelmaan voisi vielä kehittää laskentatoiminnon, jolla tutkitaan muita asunnossa mahdollisesti esiintyviä esteitä, kuten liian korkeita kynnyksiä.

27 26 (Invalidiliitto, 2010) Edellä mainittuja asunnon ominaisuuksia ei useimmiten saa pelkän pohjapiirustuksen avulla selvitettyä, joten ohjelman käytöstä saattaisi tulla samalla myös hankalampaa. Ohjelma ei huomioi asunnon muita pyörätuolillisia tai pyörätuolittomia asukkaita. Ohjelmaan voisi ottaa mukaan vaihtelevan määrän avustajia ja pyörätuolinkäyttäjiä asunnossa, jotta sen tarjoamat mahdollisuudet monipuolistuisivat. Ohjelmassa huomioidaan huonekalut siten, että ne vain pienentävät huoneen kokoa. Tätä voisi kehittää siten, että asuntoihin olisi mahdollisuus lisätä erilaisia huonekaluja ja näiden sijoittelulle toiveita, jonka jälkeen ohjelma tutkisi, löytyykö huoneesta ylipäänsä paikkaa, johon kyseisen huonekalun voisi sijoittaa ilman, että pyörätuolilla liikuttavuus kärsisi. Ohjelma voisi myös ehdottaa tälle huonekalulle paikkaa. Tehtyä ohjelmaa voisi kehittää myös siten, että se antaisi ehdotuksia, miten huonetta muuttamalla talosta saisi pyörätuolinkäyttäjälle sopivan. Se voisi esimerkiksi kertoa, pitäisikö oviaukkoa suurentaa vaikkapa 10 senttimetrillä tai auttaisiko sen siirtäminen toiseen paikkaan tekemään asunnosta pyörätuolilla liikuttavan. Tämä olisi toimiva työkalu rakennusten suunnitteluvaiheessa. Tällä hetkellä käyttäjän on syötettävä käyttöliittymään yksitellen huoneiden ja oviaukkojen mitat. Jos asunnossa on monta huonetta tai tutkittavia asuntoja on useita, tällainen menettelytapa käy työlääksi. Ohjelmaa voisikin muuttaa siten, että yksittäisten arvojen antamisen sijasta sille annettaisiin vain pohjapiirustus. Tämän avulla ohjelma tutkisi talon ongelmakohdat ja laskisi, pystyykö pyörätuolilla kulkemaan siinä.

28 27 8. Lähdeluettelo Apuväline Alux. (7. Marraskuu 2011). Peruspyörätuolit: Apuväline Alux. Haettu 3. Marraskuu 2012 osoitteesta Heikkilä, S. (Huhtikuu 2008). Senioritalon asukkaan roolit. Haettu 18. Marraskuu 2012 osoitteesta Invalidiliitto. (2010). Pyörätuolin käyttäjät: Invalidiliitto. Haettu 15. Marraskuu 2010 osoitteesta Invalidiliitto. (2012). Asiantuntija vastaa: Invalidiliitto. Haettu 3. Marraskuu 2012 osoitteesta Question&category_id=308&question_id=824 Invalidiliitto. (2012). Asiantuntija vastaa: Invalidiliitto. Haettu 25. Marraskuu 2012 osoitteesta Question&category_id=313&question_id=1689 Itä-Suomen yliopisto. (2011). Ohjelmointi 1:Mitä ovat luokat ja oliot? Haettu 4. Marraskuu 2012 osoitteesta Kurittu, L.;Hokanen, V.-M.;& Kahanpää, L. (24. heinäkuu 2008). Kurssimateriaali. Haettu 6. lokakuu 2012 osoitteesta KvantiMOTV. (31. Elokuu 2003). Keskilluvut: KvantiMOTV. Haettu 4. Marraskuu 2012 osoitteesta KvantiMOTV. (3. Syyskuu 2003). Otos ja otantamenetelmät: KvantiMOTV. Haettu 3. Marraskuu 2012 osoitteesta Lehto, L. (Syyskuu 2012). Pyörätuolin huomioonottaminen sähkönsuunnittelussa. Haettu 6. Lokakuu 2012 osoitteesta e=1

29 28 Maankäyttö- ja rakennusasetus 1999/895. (10. Syyskuu 1999). 1999/895: Maankäyttö- ja rakennusasetus. Haettu 25. Marraskuu 2012 osoitteesta rakentaminen#l10p53 Orponen, P. (11. Marraskuu 1996). Matematiikka ja tietotekniikka. Haettu 6. Lokakuu 2012 osoitteesta Suomen Rakentamismääräyskokoelma. (1. Lokakuu 2004). Haettu 15. Marraskuu 2012 osoitteesta Working Group WG1 of Sub Committee SC1 of Technical Committee TC173 of the International Organization for Standardization ISO. (2008). Working Area of Wheelchairs. Haettu 18. Marraskuu 2012 osoitteesta %20Working%20Area%20of%20%20Wheelchairs%20_Ziegler_.pdf

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Valtioneuvoston asetus

Valtioneuvoston asetus LUONNOS 8.6.2016 Valtioneuvoston asetus rakennuksen esteettömyydestä Valtioneuvoston päätöksen mukaisesti säädetään maankäyttö- ja rakennuslain (132/1999) 117 e :n 2 momentin nojalla, sellaisena kuin se

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Spittelhof Estate. Biel-Benken, Sveitsi, 1996 Peter Zumthor. 50m

Spittelhof Estate. Biel-Benken, Sveitsi, 1996 Peter Zumthor. 50m Spittelhof Estate Biel-Benken, Sveitsi, 1996 Peter Zumthor Spittelhof Estate on Peter Zumthorin suunnittelema maaston mukaan porrastuva kolmen eri rakennuksen muodostama kokonaisuus Biel-Benkenissä, Sveitsissä.

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Harjoitustyön testaus. Juha Taina

Harjoitustyön testaus. Juha Taina Harjoitustyön testaus Juha Taina 1. Johdanto Ohjelman teko on muutakin kuin koodausta. Oleellinen osa on selvittää, että ohjelma toimii oikein. Tätä sanotaan ohjelman validoinniksi. Eräs keino validoida

Lisätiedot

CO 2. GREENBUILD KOMBI Ekotoimiva passiivitalomallisto. Paremman tulevaisuuden koteja

CO 2. GREENBUILD KOMBI Ekotoimiva passiivitalomallisto. Paremman tulevaisuuden koteja CO 2 GREENBUILD KOMBI Ekotoimiva passiivitalomallisto KOMBI 144 Kaksikerroksinen puutalo on perinyt ulkomuotonsa perinteiseltä rintamamiestalolta. Lopputulos on silti moderni ja suunniteltu vastaamaan

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

AJANKOHTAISTA ASUNTOSUUNNITTELUSTA

AJANKOHTAISTA ASUNTOSUUNNITTELUSTA 17.11.2015 AJANKOHTAISTA ASUNTOSUUNNITTELUSTA SELVITYKSEN TULOKSIA ARA:N ERITYISRYHMÄ- KOHTEIDEN TILAMITOITUS SELVITYKSEN TAUSTA JA TAVOITTEET Ramboll Management Consulting toteutti yhdessä Arkkitehtitoimisto

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä.

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

SELVITYS Esteetön Espoo -tunnus yrityksille ja palveluille

SELVITYS Esteetön Espoo -tunnus yrityksille ja palveluille SELVITYS Esteetön Espoo -tunnus yrityksille ja palveluille 1 (5) VASTAUSOHJE Täytetty lomake pyydetään palauttamaan sähköpostin liitteenä osoitteeseen: esteeton.espoo@espoo.fi Tämän lomakkeen tarkoituksena

Lisätiedot

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi 1 MITTAAMINEN I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I IV. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: oma

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Pyörätuolihissit. Helsinki kaikille -projekti, Vammaisten yhdyskuntasuunnittelupalvelu (VYP) ja Jyrki Heinonen

Pyörätuolihissit. Helsinki kaikille -projekti, Vammaisten yhdyskuntasuunnittelupalvelu (VYP) ja Jyrki Heinonen Pyörätuolihissit Pyörätuolihissit ovat kevytrakenteisia pystyhissejä tai porrashissejä jotka soveltuvat yleensä melko pieniin tasoeroihin. Kerroksesta toiseen siirtymisessä on uudisrakennuksissa käytettävä

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Missä sinä asut? Minä asun kaupungissa. Asuuko Leena kaupungissa vai maalla? Leena asuu maalla, mutta hän on työssä kaupungissa.

Missä sinä asut? Minä asun kaupungissa. Asuuko Leena kaupungissa vai maalla? Leena asuu maalla, mutta hän on työssä kaupungissa. ASUNTO JA ASUMINEN ASUMINEN 1. Missä sinä asut? Minä asun kaupungissa. Asuuko Leena kaupungissa vai maalla? Leena asuu maalla, mutta hän on työssä kaupungissa. 2. Missä kaupungissa sinä asut? Asun Lahdessa.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

KOLJONVIRRAN KÄYTTÖMAHDOLLISUUDET

KOLJONVIRRAN KÄYTTÖMAHDOLLISUUDET 1 KOLJONVIRRAN KÄYTTÖMAHDOLLISUUDET Sisällys 1. Tilarakenne ja muunneltavuus... 2 1.1. Käytävälinjan muuttaminen... 3 2. Koljonvirran tilat asumiskäytössä... 4 2.1. Hoitolaitostyyppinen asuminen... 4 2.1.1.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana. Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

esteettömyysselvitys s. 1 / 7 ESTEETTÖMYYSSELVITYS Hankkeen nimi: Savonia-ammattikorkeakoulu Oy, Opiskelijankatu 3

esteettömyysselvitys s. 1 / 7 ESTEETTÖMYYSSELVITYS Hankkeen nimi: Savonia-ammattikorkeakoulu Oy, Opiskelijankatu 3 esteettömyysselvitys s. 1 / 7 ESTEETTÖMYYSSELVITYS Hankkeen nimi: Savonia-ammattikorkeakoulu Oy, Opiskelijankatu 3 Kunta: Varkaus Päivämäärä: 13.12.2016 esteettömyysselvitys s. 2 / 7 KOHTEEN YHTEYSTIEDOT

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Sinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0.

Sinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0. A Bittien nollaus Sinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0. Saat käyttää seuraavia operaatioita: muuta jokin bitti vastakkaiseksi (0 1 tai 1 0) muuta kaikki

Lisätiedot

Lisätietoa majoituksesta

Lisätietoa majoituksesta Lisätietoa majoituksesta Huoneet Kartanon päärakennuksessa Huoneita on yhteensä 11, joista yksi on neljän hengen huone (hinta 95 per vrk), kaksi kolmen hengen (75 vrk), kuusi kahden hengen (60 vrk) ja

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kansalaisten asenteet rakennetun ympäristön esteettömyyteen liittyen. Tutkimuksen keskeisimmät tulokset Tiedekeskus Heureka 20.6.

Kansalaisten asenteet rakennetun ympäristön esteettömyyteen liittyen. Tutkimuksen keskeisimmät tulokset Tiedekeskus Heureka 20.6. Kansalaisten asenteet rakennetun ympäristön esteettömyyteen liittyen Tutkimuksen keskeisimmät tulokset Tiedekeskus Heureka 20.6.2016 Esteettömyystutkimuksen taustaa Aula Research Oy toteutti Invalidiliiton

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Fritidsboendeforum i Pargas Mökkiläisfoorumi Paraisilla Får man flytta till sitt fritidshus? Voinko muuttaa vapaa-ajanasunnolleni?

Fritidsboendeforum i Pargas Mökkiläisfoorumi Paraisilla Får man flytta till sitt fritidshus? Voinko muuttaa vapaa-ajanasunnolleni? Fritidsboendeforum i Pargas 8.8.2015 Mökkiläisfoorumi Paraisilla 8.8.2015 Får man flytta till sitt fritidshus? Voinko muuttaa vapaa-ajanasunnolleni? Bostadshus / Asuinrakennus Ändring av fritidshusets

Lisätiedot

Asuntokunnat ja asuminen vuonna 2015

Asuntokunnat ja asuminen vuonna 2015 Irja Henriksson 2.6.2016 Asuntokunnat ja asuminen vuonna 2015 Lahdessa oli vuoden 2015 lopussa 61 930 asuntokuntaa, joiden määrä kasvoi vuodessa 457 asuntokunnalla. Asuntokuntien keskikoko pienenee jatkuvasti.

Lisätiedot

esteettömyysselvitys s. 1 / 7 ESTEETTÖMYYSSELVITYS Hankkeen nimi: Kuopion Musiikkikeskus, Kuopionlahdenkatu 23 C

esteettömyysselvitys s. 1 / 7 ESTEETTÖMYYSSELVITYS Hankkeen nimi: Kuopion Musiikkikeskus, Kuopionlahdenkatu 23 C esteettömyysselvitys s. 1 / 7 ESTEETTÖMYYSSELVITYS Hankkeen nimi: Kuopion Musiikkikeskus, Kuopionlahdenkatu 23 C Kunta: Kuopio Päivämäärä: 4.1.2017 esteettömyysselvitys s. 2 / 7 KOHTEEN YHTEYSTIEDOT Rakennuskohteen

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

HEKA TAPANINVAINIO VIHERVARPUSENTIE 3 Vihervarpusentie 3, 5, 7, 9 00730 Helsinki Vuokrausaineisto

HEKA TAPANINVAINIO VIHERVARPUSENTIE 3 Vihervarpusentie 3, 5, 7, 9 00730 Helsinki Vuokrausaineisto Kerrostalo Vihervarpusentie Rivitalot Vihervarpusentie, ja 9 avainnekuvat ovat taiteellinen näkemys kohteesta eikä kaikin osin vastaa rakennettavaa kohdetta. EKA TAPANINVAINIO VIERVARPUSENTIE 000 elsinki

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Ryhmätyöprojekti, 9. luokka

Ryhmätyöprojekti, 9. luokka Ryhmätyöprojekti, 9. luokka Opettajan määräämissä noin kolmen hengen ryhmissä toteutetaan projekti, jossa yhdistyy yhtälöiden ratkaiseminen hahmotuskyky ja luovuus annettujen resurssien käyttö tutustuminen

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

1. Tarvikkeet omatoimisiin remontteihin

1. Tarvikkeet omatoimisiin remontteihin 1.9. - 30.11.2016 erikoistarjoukset Etupisteitä voi käyttää kodin kunnostukseen, sisustukseen tai tarvikkeisiin. Kerralla on lunastettava vähintään viisisataa (500) tuhat (1000) pistettä. Kaikissa hankinnoissa

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot