Matematiikkalehti 2/2013.

Transkriptio

1 Matematiialehti 2/2013

2 2 Solmu 2/2013 Solmu 2/2013 ISSN-L ISSN (Painettu) ISSN (Verolehti) Matematiian ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf Hällströmin atu 2b) Helsingin yliopisto Päätoimittaja: Maru Halmetoja, lehtori, Mäntän luio Toimitussihteeri: Juha Ruoolainen, FT, Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Sähöposti: Toimitusunta: Pea Alestalo, dosentti, Matematiian ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden oreaoulu Heii Apiola, dosentti, Matematiian ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden oreaoulu Sira-Liisa Erisson, professori, Matematiian laitos, Tampereen tenillinen yliopisto Aapo Halo, FT, Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Ari Koistinen, FM, Metropolia Ammattioreaoulu Mia Kosenoja, yliopistonlehtori, Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Matti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopisto Liisa Näveri, tutijatohtori, Opettajanoulutuslaitos, Helsingin yliopisto Marjatta Näätänen, dosentti, Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Heii Poela, tuntiopettaja, Tapiolan luio Antti Rasila, tutija, Matematiian ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden oreaoulu Hila Taavitsainen, lehtori, Ressun luio Graafinen avustaja: Marjaana McBreen Yliopistojen ja oreaoulujen yhteyshenilöt: Virpi Kauo, FT, matemaatio, Jyväsylä Jorma K. Mattila, professori, Sovelletun matematiian laitos, Lappeenrannan tenillinen yliopisto Jorma Meriosi, dosentti, Informaatiotieteiden ysiö, Tampereen yliopisto Petri Rosendahl, assistentti, Matematiian laitos, Turun yliopisto Matti Nuortio, tutijatohtori, Biocenter Oulu, Oulun yliopisto Antti Viholainen, tutijatohtori, Fysiian ja matematiian laitos, Itä-Suomen yliopisto Numeroon 3/2013 taroitetut irjoituset pyydämme lähettämään mennessä. Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa. Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin ouluihin, jota ovat sitä eriseen pyytäneet. Toivomme, että lehteä opioidaan ouluissa aiille haluaille.

3 Solmu 2/ Sisällys Pääirjoitus: Pitän matematiian opetussuunnitelmasta (Maru Halmetoja) P NP -ongelma miä se on? (Tuomas Korppi) Käänteistä marjanpoimintaa (Jua Liuonen) Komplesiluvut ja olmannen asteen yhtälön rataisut (Lauri Ajani) Binomiaava (Pea Alestalo) Binomijaaumasta (Maru Halmetoja) Lasentoa ja jääieoa (Matti Lehtinen) Sealaisia ilpailutehtäviä (Heii Poela) Supremum (Tuomas Korppi)

4 4 Solmu 2/2013 Pitän matematiian opetussuunnitelmasta Pääirjoitus Helsingin yliopiston matematiian ja tilastotieteen laitosen johtaja, professori Mats Gyllenberg uuluu jossain yhteydessä sanoneen, että yhtään ihmisunnan suurista ongelmista ei rataista ilman matematiian apua. Ajatusta voi täydentää toteamalla, että tusin on olemassa yhtään tällaista ongelmaa, jona rataisemisessa tarvittava matematiia ei tavalla tai toisella pohjautuisi edellisen Solmun pääirjoitusessa [1] luion pitän matematiian opetussuunnitelman pohjasi ehdottamaani asialistaan. Seuraavassa pohditaan tätä seitsemän ohdan ohjelmaa hieman ysityisohtaisemmin. Sen sisältö vastaa suurelta osin nyyistä opetussuunnitelmaa, mutta asiat ovat oppimisen ja myös fysiian annalta paremmassa järjestysessä. Nyyiset valtaunnalliset syventävät urssit sisältyvät arsittuina esittämääni paolliseen oppimäärään. 1. Opiselu alaa reaaliluujen lasulaien ja ominaisuusien esittelyllä. Verrannollisuus ja prosenttilasut errataan harjoitustehtävissä. Pääsisältönä on perehtyminen algebrallisten, esponentti- ja logaritmifuntioiden ominaisuusiin. Niihin liittyvien lauseeiden, yhtälöiden ja epäyhtälöiden äsittely suoritetaan samassa laajuudessa uin nyyisinin. Lasetaan myös funtioiden ja luujonojen raja-arvoja. Tämä ei rasauta oppimäärää, vaan piemminin lisää ymmärrystä esimerisi rationaalifuntioiden määrittelyehdoista. Määritellään funtion jatuvuus ja todetaan jatuvan funtion perusominaisuudet. Juurifuntiot ja potenssi, missä esponenttina ei ole oonaisluu, äsitellään ennen esponenttifuntioon perehtymistä. Logaritmien osalta esitytään pääasiassa Briggsin logaritmiin, mutta johdetaan myös antaluvun vaihtosääntö. Luonnollinen logaritmi opisellaan myöhemmin analyysin yhteydessä. Käänteisfuntioita äsitellään esimerien autta. 2. Logiia ja luuteoria otetaan osasi paollista oppimäärää, sillä, uten monet ovat todenneet, matematiian opetusen on seurattava aiaansa. Logiian aleet, indutio, Boolen algebra ja jouo-opin perusäsitteet ovat ongruenssiopin lisäsi tämän osion eseisiä asioita. Sovellusina esitellään luuteoriaan perustuvia salairjoitusjärjestelmiä, erityisesti RSA-algoritmi. Sivustolla oleva oppiirja [2] attaa suunnilleen nämä asiat. 3. Suora ja epäsuora todistus on opittu edeltävässä logiian osiossa, joten valmiudet dedutiiviseen geometrian opiseluun ovat olemassa. Päättelyn pohjasi annetaan tiettyjä selviöinä pidettäviä lauseita. Eräiden Euleideen-Hilbertin asioomien lisäsi niitä ovat mm. samanohtaisia ulmia oseva lause seä olmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseet. Taroitusena ei ole problematisoida intuitiivisesti selviä totuusia vaan näyttää muutaman esimerin avulla, miten väittämät todistuvat loogisesti tietyistä perusteista lähtien. Pääasiana on oppia soveltamaan algebraa ja yhdenmuotoisuutta geometrisissa ongelmissa. Moniulmioiden pinta-aloja johdetaan suoraulmiosta lähtien. Yleisempien appaleiden tilavuudet annetaan valmiina, josin eräitä niistä voi johtaa irjoitusessa [3] esitetyllä tavalla. Opitaan sini- ja osinilauseet, ja tässä yhteydessä laajennetaan trigonometristen funtioiden määritelmät mielivaltaisille ulmille. Vetoreita tarastellaan alustavasti jo nyt määrittelemällä niiden sum-

5 Solmu 2/ ma ja erotus, luvulla ertominen ja yhdensuuntaisuus, miltä pohjalta voidaan äsitellä vetorin jaaminen tasossa omponentteihin. Vetorioppi antaa perspetiiviä eräille geometrian lauseille ja niitä tarvitaan myös fysiiassa. Sen opiselu on helpompaa, jos hallitsee ulloinin tarvittavat matemaattiset äsitteet. Luiossa matematiian on uljettava fysiian edellä. Nämä olme asiaoonaisuutta muodostavat ensimmäisen luiovuoden oppimäärän. Opettajalla on oltava mahdollisuus oman harintansa muaan iihdyttää tai hidastaa etenemisnopeutta opettamansa ryhmän tarpeita vastaavasi. Matematiian opiselu tulisiin järjestää jasottomasi äsittämään viisi tai uusi oppituntia viiossa oo luuvuoden ajan, onhan pitä matematiia sen valinneille äidinielen ohella oulun tärein oppiaine. Aiaa äytetään piemminin syvyyssuunnassa tapahtuvaan opiseluun, joten perusasiat ehditään äymään läpi aiialla luuvuoden loppuun mennessä. Tällöin esimerisi oulun vaihto ei aiheuta merittäviä ongelmia. Luultavasti eräissä muissain oppiaineissa on tarvetta palata jasottomaan opiseluun. Koulun hallinnon on tässä joustettava, sillä sen tehtävähän on taata oppimisen edellytyset eiä tuhota niitä opetusta byroratisoimalla. 4. ja 5. Trigonometria, omplesiluvut, vetorioppi ja analyyttinen geometria muodostavat monin tavoin toisiinsa ietoutuvan oonaisuuden, joa on parasta aloittaa vetoreilla. Opisellaan alusi muotoa xi + yj olevien vetorien yhteen- ja vähennyslasu, reaaliluvulla ertominen, pituus ja yhdensuuntaisuus. Trigonometriset funtiot on jo määritelty ysiöympyrän avulla, joten radiaaniin tutustumisen jäleen voidaan todistaa osinin ja sinin yhteen- ja vähennyslasuaavat, uten irjoitusessa [4] on tehty. Trigonometristen funtioiden perusominaisuusien johtamisen jäleen päästään perehtymään yhtälöihin seä ilman derivointia rateaviin ääriarvotehtäviin. Komplesiluvut esitetään xy-tason luupareina, joille määritellään alussa opitun vetorilasennan lisäsi ertolasu. Luonnollisesti opitaan myös omplesiluvun tavanomainen esitystapa, napaoordinaattiesitys ja de Moivren aava. Polynomien jaollisuusoppi täydennetään algebran peruslauseen avulla. Vetorilasentaa voidaan nyt jataa esittelemällä alusi xyz-oordinaatisto tavanomaisine antavetoreineen. Komponenttiesitysten rinnalle otetaan oordinaattiesityset ja niiden avulla suoritettavat lasutoimituset. Määritellään salaaritulo ja todistetaan sitä osevat lasusäännöt. Määritellään vetoritulo ja annetaan sitä osevat lasusäännöt ilman todistusia. Esitetään suuntaissärmiön tilavuus salaariolmitulon itseisarvona. Analyyttisen geometrian osuus aloitetaan xy-tason suoran vetoriyhtälöllä, joa voidaan saman tien todeta dimensiosta riippumattomasi. Vetoriyhtälöstä johdetaan suoran parametriyhtälö ja siitä edelleen tavanomainen yhtälö. Kulmaertoimeen ja sen trigonometriseen merityseen päästään suuntavetorin avulla. Johdetaan xy-tason suoran normaaliyhtälö vaatimalla, että annetun pisteen autta uleva suora on ohtisuorassa tunnettua vetoria vastaan. Samalla tavalla saadaan xyz-oordinaatiston tasolle normaaliyhtälö. Johdetaan aava pisteen etäisyydelle xy-tason suorasta ja xyz-oordinaatiston tasosta. Hyödynnetään vetoreita mahdollisimman tehoaasti aiissa muissain suoria ja tasoja osevissa ysymysissä. Lineaarisia yhtälöryhmiä rataistaan seä algebrallisesti että geometrisesti. Toisen asteen äyriä äsitellään nyyistä perusteellisemmin. Ellipsi, paraabeli ja hyperbeli määritellään yhdenmuaisesti uraominaisuuden autta ja niille johdetaan parametriesitysiä. Niiden tangentteja määritetään tavanomaisen disriminanttitarastelun lisäsi lasemalla äyrien seanttien ulmaertoimien raja-arvoja. Näin saadaan differentiaalilasennan perusajatus irastettua niin, ettei se välittömästi atoa muodollisten derivoimissääntöjen alle. 6. Todennäöisyyslasenta aloitetaan ombinatoriian aleilla. Binomilause todistetaan (s. [5]), sillä sitä tarvitaan myöhemmin myös potenssin derivoimissääntöä johdettaessa. Tilastollisen aineiston esiarvo ja esihajonta äsitellään, osa niitä tullaan tarvitsemaan normaalijaauman yhteydessä. Jouo-opin äsitteet ja merinnät tulevat luontevasti äyttöön todennäöisyyttä määriteltäessä ja lasusääntöjä johdettaessa. Todennäöisyyslasennan eseistä sisältöä geometrisen, tilastollisen ja ehdollisen todennäöisyyden lisäsi ovat äärellisiin enttiin liittyvät disreetit satunnaismuuttujat. Niiden todennäöisyysjaaumista esitetään myös massatulinta, miä seliyttää odotusarvon ja varianssin äsitteitä. Toistooeisiin liittyvien tehtävien yhteydessä ertautuvat esponentti- ja logaritmifuntioiden ominaisuudet. Opiselun precalculusvaihe on näin saatu päätöseen, ja on luotu luja pohja oreamman matematiian opiselulle. Sen voi aloittaa jo toisen opiseluvuoden eväällä välittömästi todennäöisyyslasennan tultua äsitellysi. Aiataulut ovat järjestelyysymysiä. 7. Analyysin opiselu aloitetaan derivaatan määritelmällä, jona soveltamista harjoitellaan perusteellisesti. Yleisten derivoimissääntöjen todistamisen jäleen päädytään johtamaan aleisfuntioiden derivaatat. Samalla harjoitellaan myös integraalifuntion muodostamista, uten opetussuunnitelmaehdotusessa [6] esitetään. Näiden lasutoimitusten opiselu samanaiaisesti estänee niiden seaantumisen myöhemmissä opinnoissa. Luonnollisesti integrointiteniiaa on harjoiteltava vielä eriseen ennen määrätyn integraalin äsittelyä. Funtion uluun liittyvät asiat perustellaan väliarvolauseen avulla. Tavanomaisten sovellusten lisäsi äsitellään yhtälön numeerinen rataiseminen Newtonin menetelmällä, sillä siinä tulee taas erran esille differentiaalilasennan ydin. Tähän aieen riittää aiaa, osa opiselua ei tarvitse alati eseyttää uusien funtiotyyppien esittelyyn. Määrätty integraali määritellään ala- ja yläsummia äyttäen. Indutiota opetel-

6 6 Solmu 2/2013 taessa on todistettu erilaisia oonaisluujen potenssisummia, joiden avulla voidaan todeta, että tietyllä välillä esimerisi funtion g(x) x 3 tasavälisillä alaja yläsummilla on yhteinen raja-arvo. Tämän jäleen oppilaan on helppo hyväsyä, että sama pätee ainain jatuville funtioille. Ennen määrätyn integraalin ja integraalifuntion välisen yhteyden johtamista lasetaan integraalien liiarvoja puolisuunniasmenetelmällä. Se havainnollistaa hyvin sitä, mistä integraalilasennassa on ysymys. Määrätyn integraalin osalta nyyiseen oppimäärään lisätään fysiian sovellusia, ensimmäisen ertaluvun separoituvia differentiaaliyhtälöitä, epäoleelliset integraalit ja jatuvia satunnaismuuttujia oseva todennäöisyyslasennan osuus, joa huipentuu normaalijaauman äsittelyyn. Viimeisenä äsitellään sarjat, osa nyt on mahdollista testata niiden suppenemista myös integraalitestein. Tällaisen pitän matematiian oppimäärän unnollinen suorittaminen taaa pääsyn matematiian taitoja edellyttäviin oreaouluopintoihin ja suurella todennäöisyydellä myös niissä menestymisen. Tehoas opiselu edellyttää taitavasti laadittua oppimateriaalia. Harjoitustehtävissä laadun on orvattava määrä. Hyvä periaate on, että matematiiaa sovelletaan matematiiaan, eli aiaisemmin opitut asiat esiintyvät osina myöhempiä harjoitustehtäviä. Näin oppimäärä ei pirstaloidu erillisiin osiin. Arielämän sovellusten tulee olla järeviä. Oiein mitoitettu oppimateriaali ja hyvä ouluopetus ei puresi aiea valmiisi. Harjoitustehtäviä rataisemalla oivalletaan asioiden välisiä yhteysiä ja opitaan lasurutiineja, mitä uaan ei voi tehdä enenään puolesta. Matematiia asvaa osasi harrastajansa esushermostoa, ja näin juuri sen on oltava, jos josus aioo osallistua ihmisunnan suurten ongelmien rataisemiseen. Muussa tapausessa niiden pohtiminen jää hyödyttömäsi taivastelusi. Ylioppilasoe saisi perustua pelästään tässä ehdotettuun paolliseen oppimäärään, josin sen lisäsi voidaan opisella ouluohtaisia syventäviä oppimääriä. Sopivia aihepiirejä löytyy analyyttisesta geometriasta, sillä esimerisi toisen asteen äyriä on muava tutia napaoordinaatistossa ja vetorituloon liittyvät todistuset ovat myös syventävää oppiainesta. Geometriaaaan ei ole tyhjentävästi opiseltu paollisen osuuden yhteydessä ja luuteoriaa voi aina opisella lisää. Analyysin rinnalla voidaan opisella differentiaaliyhtälöitä. Vetoriopin jatosi sopii erinomaisesti myös lineaarialgebra. Sen voi jaaa onreettiseen asi- ja olmiulotteiseen osaan ja abstratimpaan osaan, jossa vetoreita ja matriiseja tarastellaan yleisemmin. On outoa, että oppimateriaalien teeminen on jätetty sisältöä osevan ontrollin tavoittamattomiin ysityisesi liietoiminnasi. Matematiian annalta olisi parempi, jos opetushallitus värväisi ammattimatemaatioita laatimaan ja taristamaan vapaasti äytettävät oo luion attavat oppiirjat. Avoin-irjaprojetissa työsentelevät saattaisivat olla ydinjouona niiden laatimisessa. Tämän irjoitusen seitsenohtainen ohjelma on aiin puolin sopiva jäsennys ysityisohtaiselle opetussuunnitelmalle ja siihen pohjautuvalle oppiirjasarjalle, sillä siinä esitetyt asiat on joa tapausessa opittava ja ne on asetettu ohtuullisen loogiseen järjestyseen. Mitä muuta luion pitä matematiia voisi olla? Sanomattain on selvää, että pitän matematiian opiselu on aloitettava välittömästi luion alaessa. Mihinään ahdesta neljään aiille yhteisiin ursseihin ei ole mahdollisuutta eiä motiivia. Ne johtaisivat ysinomaan tyhjääyntiin ja turhautumiseen, sillä matemaattisesti heioin luioon tuleva oppilasaines ei hallitse aleitaaan irjaimilla lasemisesta ja numeeriset taidotin ovat huassa. Miään ei enää luiossa saa hidastaa oppimaan haluavien ja yenevien etenemistä. Luion lyhyen matematiian oppimäärää on ehitettävä nyyistä paremmin vastaamaan matemaattisesti heiompien oppilaiden tarpeita. Se voisi sisältää arielämän lasentoa äsittelevän oonaisuuden, jona päälle olisi mahdollisuus valita lisäursseja, joilla opitaan yhteisunnallisten yliopisto-opintojen, OKL:n ja eräiden am-opintojen annalta olennaisia asioita. Lyhyestä matematiiasta lisää seuraavassa Solmussa. Maru Halmetoja Viitteet [1] Maru Halmetoja, Lopultain, vai eiö sittenään, paa_1_13.pdf [2] Anna-Maija Partanen, Antti Rasila, Mia Setälä, Vapaa matia 11, matematiia/vapaa_matia_11_v1.pdf [3] Maru Halmetoja, Indutio, ympyrä, artio ja pallo, indutio_ympyra_artio_pallo.pdf [4] Maru Halmetoja, Luion trigonometriaa, trigonometriaa.pdf [5] Pea Alestalo, Binomiaava, math.helsini.fi/2013/2/binomi.pdf [6] Heii Poela, Ehdotus luion uudesi opetussuunnitelmasi, ehdotus-uudesi-opetussuunnitelmasi

7 Solmu 2/ P NP -ongelma miä se on? Tuomas Korppi Johdanto Tässä irjoitelmassa esittelemme erään uuluisimmista avoimista matemaattisista ongelmista. Kyse on P N P -ysymysestä, joa ysyy, voidaano tiettyjä tietooneella suoritettavia lasentoja suorittaa nopeasti. Yhtälössä P taroittaa n. polynomisessa ajassa lasettavia ongelmia ja N P n. polynomisessa ajassa ei-deterministisesti lasettavia ongelmia. Nämä äsitteet määritellään myöhemmin tässä testissä. Yhtälö P NP siis väittää, että nämä asi ongelmaluoaa ovat samat. Ono näin? Sitä uaan ei tiedä. Kosa yse on matemaattisesta ongelmasta, rataisusi vaaditaan todistusta jommalle ummalle seuraavista: Todistus sille, että yseiset luoat ovat samat. Tämä voitaisiin todistaa mm. teemällä tiettyjä N P - luoaan uuluvia ongelmia nopeasti ratova tietooneohjelma. Todistus sille, että luoat ovat eri. Tämä taroittaisi todistusta sille, että on mahdotonta tehdä tiettyjä N P -luoaan uuluvia ongelmia nopeasti ratovaa tietooneohjelmaa. Jos jou saa P N P -ysymysen rataistua, Clay Mathematics Institute on luvannut rataisusta miljoonan dollarin palinnon. Yllättävää yllä, palinto olisi periaatteessa mahdollista saada riittävän hyvällä Miinaharava-pelin analyysilla. Lasennasta Tässä irjoitelmassa taroitamme tietooneohjelmalla ohjelmaa, joa saa alusi yhden syötteen, joa on äärellinen merijono 1, lasee sitä aiansa, ja lopusi palauttaa joo merijonon Kyllä tai merijonon Ei. Tavallisessa tietooneessa on rajallinen määrä muistia, ja tavallisissa yhteysissä on rajallinen määrä aiaa lasennalle, mutta lasennan teoreettisessa tarastelussa oletetaan, että nämä suureet ovat riittävän suuria äsillä olevan lasennan loppuunviemisesi, olivatpa ne uina suuria tahansa, unhan ne ovat äärellisiä. Samoin ohjelman saama syöte saa olla uina pitä tahansa, unhan se on äärellinen. Polynominen aia Oloon T tietooneohjelma edellisessä luvussa uvaillussa mielessä. Meritään f(1):llä pisintä aiaa, jona ohjelma äyttää yhden merin mittaisen syötteen äsittelyyn. Yhden merin mittaisia syötteitä on useita, ja meritsemme siis f(1):llä masimia aiien yhden 1 Yhteen merijonoon voidaan oodata vaia millä mitalla tietoa, eli ohjelmamme voi saada syötteesi esimerisi useita luuja vaiapa puolipisteellä erotettuna.

8 8 Solmu 2/2013 merin mittaisten syötteiden vaatimista ajoista. Meritään f(2):lla pisintä aiaa, jona ohjelma äyttää ahden merin mittaisen syötteen äsittelyyn ja niin edelleen. Näin saamme funtion f : N N (voidaan olettaa, että lasenta-ajat ovat oonaisluuja, ja voidaan asettaa f(0) 0). Tyypillisesti lim n f(n), ja meitä iinnostava ysymys on: Kuina nopeasti f lähenee ääretöntä? Sanomme, että ohjelman T vaatima aia on polynominen, jos on olemassa (oonaisertoiminen) polynomi Q, jolle f(n) Q(n) aiilla n. Tässä sillä, miä on yöstä edustava ajanjaso f:n määritelmässä ei ole meritystä. Samat ohjelmat ovat polynomisia, valittiinpa tuo ajanjaso lyhyesi tai pitäsi. Jos ohjelman T vaatima aia on polynominen, ohjelmaa T pidetään yleensä nopeana. Tämä johtuu siitä, että n:n asvaessa minä tahansa polynomin Q(n) arvo asvaa ohti ääretöntä suhteellisen hitaasti. Polynominen ohjelma onin oieasti nopea, jos polynomin Q aste on pieni. Jos polynomin Q aste on suuri, voi ohjelma olla äytännössä liian hidas, vaia se olisiin polynominen. Jos ohjelman T vaatima aia ei ole polynominen, se on niin hidas, että lasenta yhtään pidemmillä syötteillä on äytännössä toivotonta. Esponenttifuntio f(n) 2 n asvaa nopeammin uin miään polynomi. Voidaan siis todistaa, että jos Q on polynomi, on olemassa sellainen n 0 N, että aiilla n > n 0 pätee f(n) > Q(n). Ei-polynomisten tietooneohjelmien aiavaatimuset ovatin melo usein joitain esponenttifuntion johdannaisia. Esimeri 1. Oloon T ohjelma, joa saa syötteenään listan luuja seä luvun, ja joa tutii äymällä listan läpi, ono luu listassa. Tällaiselle ohjelmalle parhaan polynomin Q aste on ysi, eli T on polynominen ja nopea. Esimeri 2. Tässä esimerissä puhutaan aluluutesteistä, eli ohjelmista, jota saavat syötteenään ymmenjärjestelmässä esitetyn luvun ja palauttavat tiedon siitä, ono yseessä aluluu. Huomautamme, että un puhumme siitä, ono jou aluluutesti polynominen, emme taroita, että ono ohjelman suoritusaia oreintaan jou syötteenä saadun luvun polynomi, vaan sitä, ono ohjelman suoritusaia oreintaan jou syötteenä saadun luvun ymmenjärjestelmäesitysen pituuden polynomi. Esimerisi luvun ymmenjärjestelmäesitysessä on seitsemän meriä, miä on huomattavasti vähemmän uin miljoona. Jos äymme läpi aii aii luonnolliset luvut, jota ovat oreintaan syötteenä annetun luvun neliöjuuri, ja testaamme joaisen ohdalla, ono yseessä syötteen teijä, saamme aiaan aluluutestin, mutta sen vaatima lasenta-aia on niin pitä, että testimme ei ole polynominen. Jos n on syötteenä saadun luvun ymmenjärjestelmäesitysen pituus, syötteenä saadun luvun neliöjuurta pienempiä luuja on yli 10 n/ n 10, miä on suurempi uin 2 n, un n on riittävän suuri. Paras tunnettu varmasti toimiva aluluutesti on polynominen, mutta paras sille tunnettu polynomi Q on astetta seitsemän. Näin suuri aste taroittaa sitä, että äytännössä tätä ohjelmaa ei äytetä aluluujen testaamiseen, vaan aluluutesteinä äytetään nopeampia ohjelmia, jota toimivat vain tietyllä todennäöisyydellä, joa tosin saadaan huomattavan oreasi. Päätösongelmat Oloon M (jossain äärellisessä aaostossa esitettyjen) äärellisten merijonojen jouo, ja M, M jouon M jao ahteen osaan eli päätösongelma. Oloon m M. Meitä iinnostaa, umpaan osaan, M vai M, m uuluu. Oloon T tietooneohjelma, joa rataisee tämän, eli T on ohjelma, joa saa syötteenään m:n, ja T ertoo, umpaan osaan, M vai M, syöte m uuluu. Oletamme siis, että T toimii näin aiien M:n alioiden ohdalla. Tällaisessa tapausessa sanomme, että T rataisee päätösongelman M, M. Jos jollein päätösongelmalle M, M on mahdollista irjoittaa sen rataiseva tietooneohjelma, joa toimii polynomisessa ajassa, sanomme, että M, M on polynominen. Polynomisten päätösongelmien luoaa meritään irjaimella P. Kauppamatustajan ongelma Tutitaan seuraavaa päätösongelmaa: On annettu jouo aupuneja seä hinnat aiien ahden aupungin välisille matoille. On lisäsi annettu masimihinta h. Kauppamatustajan ongelma uuluu: Voidaano tehdä iertomata, joa alaa jostain aupungista ja päättyy samaan aupunin niin, että joaisessa aupungissa äydään erran ja ierrosen yhteishinta on oreintaan h? Jos haluamme saada tämän päätösongelman edellisessä appaleessa esitettyyn formalismiin, M siis uvaa niitä systeemejä s (jossain merijonooodausessa esitettynä; tässä siis s sisältää tiedot aupungeista, niiden välisten matojen hinnoista seä masimihinnan h), joille yseisenlainen iertomata on olemassa, ja M uvaa muita systeemejä. Kuaan ei tiedä, ono tämä päätösongelma polynominen, eli ono nopein mahdollinen tämän päätösongelman rataiseva tietooneohjelma polynominen. Luijalla ävi ehä mielessä, että ongelma voitaisiin rat-

9 Solmu 2/ aista äymällä aii mahdolliset reitit läpi ja atsomalla joaisen reitin ohdalla, ono sen hinta oreintaan h. Syötteen pituuden asvaessa tällaisen lasennan viemä aia asvaa uitenin nopeammin uin miään syötteen pituuden polynomi, eli tämä ei elpaa polynomisesi rataisusi. Polynomisessa ajassa tämän ongelman rataisevan tietooneohjelman pitäisi siis olla huomattavasti ovelammin laadittu. Kuitenin seuraavanlainen polynominen tietooneohjelma T on olemassa: Oloon s uten edellä ja iertomata systeemissä s. T saa syötteenään parin s, ja rataisee, ono sellainen ierros, että sen hinta on oreintaan h. Ei-deterministinen polynominen aia Oloon M, M päätösongelma. Oletetaan, että joaiselle m M on olemassa toinen merijono m, jota utsutaan m:n todistajasi. Sallimme myös sen, että merijonolla voi olla useita todistajia. Lisäsi oletamme, että m:n lyhyimmän todistajan pituus on oreintaan jou m:n pituuden polynomi. Lisäsi oletamme, että jos m M, m:llä ei ole todistajia. Esimerisi Kauppamatustajan ongelma on tällainen päätösongelma: Systeemin s todistaja on iertomata, jona hinta on oreintaan h. Sanomme, että M, M on ei-deterministinen polynominen päätösongelma, jos on olemassa polynomisessa ajassa toimiva tietooneohjelma T, joa saa syötteenään parin m, m ja rataisee, ono m jonon m todistaja. Ei-determinististen polynomisten päätösongelmien luoaa meritään N P. Kuten edellisen luvun viimeisessä appaleessa totesimme, Kauppamatustajan ongelma on ei-deterministinen polynominen päätösongelma. Huomautamme, että jos M, M on ei-deterministinen polynominen päätösongelma, on olemassa tietooneohjelma T, joa rataisee tämän päätösongelman, josin epärealistisen hitaasti. T muodostetaan seuraavasti: Oloon Q polynomi siten, että jos m on pituutta n oleva syöte, jolla on todistaja, m:llä on oreintaan pituutta Q(n) oleva todistaja. Nyt un tietooneohjelmalle T annetaan syöte m, se äy aii oreintaan pituutta Q(n) olevat merijonot läpi ja oeilee joaisen ohdalla, ono yseessä m:n todistaja. Syötteen pituuden asvaessa tällaisen lasennan viemä aia asvaa uitenin nopeammin uin miään syötteen pituuden polynomi, eli tämä ei elpaa polynomisesi rataisusi. Sivuhuomautusena vielä mainittaoon, että nimitys ei-deterministinen polynominen tulee siitä, että tällaiset ongelmat voidaan rataista polynomisessa ajassa uvitteellisilla tietooneohjelmilla, jota toimivat ei-deterministisesti eli osaavat arvata oiein. N P - päätösongelma voidaan rataista ei-deterministisesti niin, että ensin arvataan oiein todistaja ja sen jäleen tarastetaan polynomisessa ajassa, että arvattiin oiein. Ono P NP? Nyt saamme muotoiltua P NP -ysymysen. Se siis ysyy, ono luoa P sama uin luoa NP. Jos T on jonin päätösongelman M, M rataiseva polynominen tietooneohjelma, voidaan ajatella, että joaisen M :uun uuluvan syötteen todistaja on tyhjä merijono, joten T toimii myös ei-deterministisessä polynomisessa ajassa. Siis P sisältyy luoaan NP. Kysymys siis uuluu: Voidaano joainen ei-deterministinen polynominen päätösongelma rataista polynomisessa ajassa, siis ohjelmalla, joa saa syötteeseen vain aluperäisen syötteen eiä todistajaandidaattia? Kuaan ei tiedä. Yleisesti usotaan, että nämä asi luoaa ovat eri, mutta uaan ei osaa todistaa, että aiia NP - ongelmia on mahdotonta rataista polynomisessa ajassa. Sen verran uitenin tiedetään, että jos Kauppamatustajan ongelma saataisiin rataistua polynomisessa ajassa, rataisusta osattaisiin muoata minä tahansa N P -päätösongelman polynominen rataisu. Tällaisia N P -päätösongelmia, joiden polynominen rataisu rataisisi P N P -ysymysen ertaheitolla on muitain. Esimerinä tällaisesta mainittaoon seuraava: Esimeri 3. Miinaharava-pelin tilanteella taroitamme mielivaltaisen ooista Miinaharava-pelin tilannetta, jossa osa ruuduista on avattu ja osa avaamatta, ja ussain avatussa ruudussa on numero, joa voi olla myös nolla. Lisäsi tilanteessa on asetettu lippuja osaan niistä ruuduista, joissa on miina. On myös mahdollista, että yhtään lippua ei ole asetettu. Oletamme uitenin, että liput on asetettu oiein, eli joaisessa sellaisessa ruudussa, jossa on lippu, on myös miina. Nyt päätösongelmamme on seuraava: On annettu Miinaharava-pelin tilanne. Ono olemassa (muiden uin liputettujen) miinojen sellaisia sijainteja, että ne sopivat annettuun tilanteeseen? Lopusi N P ei suinaan ole vaieimpien mahdollisten päätösongelmien luoa. On olemassa päätösongelmia, jota ovat rataistavissa tietooneella 2, mutta jota ovat niin vaieita, että ne eivät uulu edes luoaan NP. Päätösongelmille on määritelty paljon muitain luoia uin 2 Josin äytännön annalta epärealistisen hitaasti.

10 10 Solmu 2/2013 P ja NP, ja P NP -ysymysen lisäsi myös paljon muita luoia osevia ysymysiä on vastaamatta. P NP -ysymys on pelästään näistä uuluisin. On olemassa myös päätösongelmia, joita miään tietooneohjelma ei rataise. Tällaisiin tutustuimme irjoitelmassa Korppi [1]. Pähinöitä 1. Oloon f : N N funtio, jolle on olemassa polynomi Q ja luonnollinen luu n 0 siten, että f(n) Q(n) aina, un n n 0. Osoita, että on olemassa polynomi Q siten, että f(n) Q (n) aiilla n N. (Tämä tehtävä osoittaa, että tässä irjoitelmassa annettu polynomisen aiavaatimusen määritelmä on yhtäpitävä irjallisuudesta yleisemmin löytyvän määritelmän anssa.) 2. Tutitaan Esimerissä 3 esitettyä Miinaharavaa osevaa päätösongelmaa. Osoita, että yseinen ongelma uuluu luoaan NP. 3. Osoita, että jos Esimerissä 3 esitetty Miinaharavaa oseva päätösongelma saataisiin rataistua polynomisessa ajassa, saataisiin polynomisessa ajassa rataistua myös seuraava päätösongelma: On annettu Miinaharava-pelin tilanne ja suljettu ruutu r. Ono varmaa, että ruudussa r ei ole miinaa? 4. Ono P NP? Viitteet [1] Korppi, Tuomas, Mitä ei voida lasea?, Solmu 1/2013 Vero-Solmun oppimateriaalit Osoitteesta löytyvät oppimateriaalit: Kilpailumatematiian opas (Matti Lehtinen) Geometrian perusteita (Matti Lehtinen) Geometria (K. Väisälä) Luualueiden laajentamisesta (Tuomas Korppi) Jasolliset desimaaliesityset algebrallisesta näöulmasta (Jasa Poranen ja Pentti Hauanen) Algebra (Tauno Metsänylä ja Marjatta Näätänen) Algebra (K. Väisälä) Matemaattista fysiiaa luiolaiselle 1: Meaniiaa (Maru Halmetoja ja Jorma Meriosi) Matemaattista fysiiaa luiolaiselle 2: Sähöoppia (Maru Halmetoja ja Jorma Meriosi) Luuteorian helmiä luiolaisille (Jua Piho) Matematiian perusäsitteiden historia (Eri Luoma-aho) Matematiian historia (Matti Lehtinen) Reaalianalyysiä englannisi (William Trench)

11 Solmu 2/ Käänteistä marjanpoimintaa Jua Liuonen Metropolia Ammattioreaoulu Mistä on ysymys? Mustian pinnalla on normaalisti ohut ultraviolettivaloa heijastava vahaerros. Näyvän valon aallonpituudella erros aiheuttaa sen, että marja näyttää siniseltä. Tervamustiasi utsutulta iiltävänmustalta värimuunnoselta vahaerros puuttuu. Teeret ja punaylirastaat suosivat sinisiä mustioita, sillä linnut ovat mieltyneitä ultraviolettivaloon. Tervamustiat ovat melo harvaluuisia, mutta joillain alueilla niitä tavataan runsaastiin. Sammeli on äynyt eräämässä ipollisen mustioita. Velipoia Miihali yrittää arvata, mistä Sammeli on mustiansa haenut. Ahujärven rannoilla asvavista mustioista p A 100 % on tervamustioita, Bieggajängän laitamien mustiasadossa tervamustioiden osuus on p B 100 %. Muita mustiapaioja lähimaastossa ei ole. Sammelin eräämässä otosessa tervamustioiden osuus aiista mustioista ei välttämättä ole lähelläään mainittuja prosenttimääriä, mutta esittyäsemme Miihalin äyttämään päättelymenetelmään tarastelemme pelistettyä tilannetta, jossa Sammelin marjasaaliin tervamustiapitoisuus on tasan p A 100 % tai tasan p B 100 %. Edellisessä tapausessa marjat tulitaan Ahujärven ja jälimmäisessä Bieggajängän sadon osasi. Sammeli ei anna Miihalin tutia ipponsa sisältöä, vaan näyttää hänelle iposta summamutiassa ottamansa marjan ysi errallaan palauttaen mustian aina taaisin ippoon. Tällaista utsutaan otannasi taaisinpanolla. Se jatuu unnes lasintaan näpräilevä Miihali lopulta rohaistuu ilmoittamaan hyvinin valistuneen arvausen mustioiden aluperästä. Normaaliäsittelyssä mustian vahaerros uluu helposti pois, mutta nyt oletamme vahan pysyvän. Millainen on Miihalin menetelmä? Matemaattinen malli Todennäöisyyslasennan ielellä ilmaistuna yseessä on toistooe, jossa perättäiset toistot ovat toisistaan riippumattomat. Mustan (M) ja sinisen (S) värin todennäöisyydet ehdoilla, että marja on poimittu Ahujärveltä (A) tai vastaavasti Bieggajängältä (B), ovat P (M A) P (M A) P (A) p A, P (S A) 1 p A, P (M B) p B, P (S B) 1 p B. Suleasemme pois mieleniinnottomat erioistapauset oletamme, että 0 < p A < 1, 0 < p B < 1 ja p A p B. Oloon V n marjojen värien jono siinä vaiheessa, un Miihali on nähnyt n mustiaa, ja m(n) mustan värin esiintymisertojen luumäärä jonossa V n. Jos esimerisi asi ensimmäistä mustiaa ovat sinisiä ja olmas musta, värijono on V 3 (S,S,M), ja m(3) 1.

12 12 Solmu 2/2013 Tällaisen jonon esiintymistodennäöisyydet ovat P (V 3 A) P (S A)P (S A)P (M A) p A (1 p A ) 2, P (V 3 B) P (S B)P (S B)P (M B) p B (1 p B ) 2. Yleisesti P (V n A) p m(n) A (1 p A ) n m(n), P (V n B) p m(n) B (1 p B ) n m(n). Todennäöisyyden ertolasusäännöstä P (A V n )P (V n ) P (V n A)P (A) saadaan Bayesin aava P (A V n ) P (V n A)P (A). P (V n ) Koonaistodennäöisyyden aava P (V n ) P (V n A)P (A) + P (V n B)P (B) antaa Bayesin aavalle muodon P (V n A)P (A) P (A V n ) P (V n A)P (A) + P (V n B)P (B) P (V. (1) n B) P (B) P (V n A) P (A) Jos näiden todennäöisyysien jono lähestyisi nollaa otannan edistyessä, olisi varmaanin yse Bieggajängän mustioista. Jos jono lähestyisi yöstä, mustiat luultavasti olisivat Ahujärveltä peräisin. Mallin suppeneminen Suppenemistarastelut saattavat tuntua hanalilta tottumattomasta luijasta. Edes joninlaiseen täsmällisyyteen pyrivän esitysen ysityisohtien ymmärtäminen ei ole oleellista itse asian annalta. Yritämme selvittää, milloin jonolla P (A V n ) on raja-arvo, ja miä se on. Ehdollisten todennäöisyysien P (V n B) ja P (V n A) suhde on P (V n B) P (V n A) pm(n) B (1 p B ) n m(n) p m(n) A (1 p A ) n m(n) ) ( m(n) ( pb n 1 pb p A 1 p A ) 1 m(n) n Luumäärien m(n) ja n suhde m(n)/n on mustan värin suhteellinen frevenssi jonossa V n. Jos marjat ovat Ahujärven mustioita, suurten luujen lain ns. vahvan version nojalla suhteellinen frevenssi lähestyy rajaarvonaan todennäöisyyttä p A siinä mielessä, että ( ) m(n) P p A 1. n n. Tällöin sanotaan, että m(n)/n onvergoi melein varmasti (engl. almost surely) ohti luua p A, ja meritään m(n) n a.s. p A. On periaatteessa mahdollista, että iposta sattumalta tulee poimitusi esim. oo ajan vain sinisiä marjoja, jolloin m(n)/n 0 0 p A, mutta tämänaltainen tilanne on äärimmäisen harvinainen, sen todennäöisyys on 0. Seuraavassa tarastelemme vain niitä värijonoja, joille m(n)/n p A tavanomaisessa mielessä, un n. Sellaisille jonoille johtamamme tuloset pätevät todennäöisyydellä 1 aiien värijonojen jouossa. Edellä oletimme marjojen sisältyvän Ahujärven satoon. Bieggajängän mustioiden tapausessa tarastelemme vastaavasti vain niitä värijonoja, joilla m(n)/n p B. Voimme siis irjoittaa lim n ] 1 n [ P (Vn B) P (V n A) ( ) pa ( ) 1 pa pb 1 pb tapausessa A, p A 1 p A ( ) pb ( ) 1 pb pb 1 pb tapausessa B. p A 1 p A (2) Suhteen P (V n B)/P (V n A) raja-arvon määrittämisesi tarvitsemme pari aputulosta eli lemmaa: Lemma 1. Oloon 0 < x < 1, 0 < y < 1 ja x y. Tällöin ( ) y ( ) 1 y x 1 x (a) < 1, y 1 y ( ) x ( ) 1 x x 1 x (b) > 1. y 1 y Todistus: Jälimmäinen väite (b) seuraa edellisestä äänteisluuihin siirtymällä, joten riittää todistaa (a). Se on yhtäpitävä epäyhtälön f(x) x y (1 x) 1 y < y y (1 y) 1 y (3) anssa. Tässä f(y) y y (1 y) 1 y. Funtion f derivaatta muuttujan x suhteen on f (x) yx y 1 (1 x) 1 y + x y (1 y)(1 x) y ( 1) ( ) ( ) y ( ) y 1 x 1 x 1 x y + (y 1) x x x [( ) ] ( ) y 1 x 1 x + 1 y 1 x x [ y ] ( ) y x 1 1 x. x Tässä tulossa jälimmäinen teijä on positiivinen, joten ensimmäinen teijä määrää tulon etumerin. Täten f (x) > 0 eli f on aidosti asvava, un 0 < x < y.

13 Solmu 2/ Vastaavasti f (x) < 0 eli f on aidosti vähenevä, un y < x < 1. Lemman perusteella siis ja ( pb p A ( pb p A Lemma 2. Oloon Tällöin ) pa ( ) 1 pa 1 pb < 1, 1 p A ) pb ( ) 1 pb 1 pb > 1. 1 p A lim a n a, missä 0 < a 1. n { 0, 0 < a < 1, lim n an n, a > 1. Todistus: Perustamme todistusen luujonon rajaarvon määritelmään. Oloon λ (a+1)/2 luujen a ja 1 esiarvo. Tapausessa 0 < a < 1 on olemassa sellainen positiivinen oonaisluu n 1, että 0 < a n < λ < 1 aina, un n > n 1. Indesin arvoilla n > n 1 pätee 0 < a n n < λ n 0. Tapausessa a > 1 on olemassa sellainen positiivinen oonaisluu n 2, että a n > λ > 1 aina, un n > n 2. Indesin arvoilla n > n 2 pätee a n n > λ n. Soveltamalla lemmaa raja-arvoyhtälöön (2) saamme yhtälön lim n { P (V n B) 0 tapausessa A, P (V n A) tapausessa B. Lopusi otamme taas aii värijonot muaan, jolloin tavallisen suppenemisen tilalle astuu melein varma suppeneminen. Kaavan (1) perusteella P (A V n ) P (V n B) P (B) P (V n A) P (A) Lasentaaava a.s. { 1 tapausessa A, 0 tapausessa B. (4) Taroitusenamme on johtaa äytännöllinen iteraatioon eli toistoon perustuva aava todennäöisyysien P (A V n ) lasemisesi. Oloon F n jonon V n viimeinen alio. Kun F n poistetaan jonosta V n, jäljelle jää jono V n 1. Kaavasta (1) saadaan Bayesin aavan avulla P (A V n) P (V n A)P (A) P (V n A)P (A) + P (V n B)P (B) P (F n A)P (V n 1 A)P (A) P (F n A)P (V n 1 A)P (A) + P (F n B)P (V n 1 B)P (B) P (Vn 1 A)P (A) P (F n A) P (V n 1) P (Vn 1 A)P (A) P (Vn 1 B)P (B) P (F n A) + P (F n B) P (V n 1) P (V n 1) P (F n A)P (A V n 1) P (F n A)P (A V n 1) + P (F n B)P (B V n 1). Symmetriasyistä vastaavat yhtälöt pätevät myös vaihtamalla A ja B esenään: P (A V n) P (B V n) P (F n A)P (A V n 1) P (F n A)P (A V n 1) + P (F n B)P (B V n 1), P (F n B)P (B V n 1) P (F n A)P (A V n 1) + P (F n B)P (B V n 1). Meritsemme P 0 (A) P (A), P 0 (B) P (B), P n (A) P (A V n ) ja P n (B) P (B V n ), un n > 0. Näillä merinnöillä todennäöisyysille saadaan helppoäyttöinen iteratiivinen lasentaaava { P0(A) P (A) P 0(B) P (B) P (F n A)P n 1(A) P n(a) P (F n A)P n 1(A) + P (F n B)P n 1(B) P (F n B)P n 1(B) P n(b) P (F n A)P n 1(A) + P (F n B)P n 1(B) Alin yhtälö on muana vain symmetrian havainnollistamisen taia. Lasennassa se annattaa orvata yhtälöllä P n (B) 1 P n (A). Jos jompiumpi todennäöisyysistä P n (A) ja P n (B) on tasan 1, jolloin toinen on tasan 0, iteroinnin jataminen ei enää muuta todennäöisyysiä. Verrattuna lasentaaavaan (1) iteraatio (5) on ätevä siinä mielessä, että oo havaintojonoa V n ei tarvitse säilyttää muistissa, vaan ainoastaan jompiumpi edellisistä todennäöisyysistä P n 1 (A) ja P n 1 (B). Toinen riittää, sillä P n 1 (A) + P n 1 (B) 1. Tietysti P (M A), P (M B), P (S A) ja P (S B) tarvitaan myös, mutta ne säilyvät samoina oo lasennan ajan. Kun vaiheen n 1 jäleen tulee uusi havainto (so. atsotaan seuraavan mustian väri F n ), vaiheen n 1 posterioritodennäöisyydet P n 1 (A) ja P n 1 (B) otetaan vaiheen n prioritodennäöisyysisi, ja lasetaan uudet posterioritodennäöisyydet P n (A) ja P n (B). Kertoimia P (F n A) ja P (F n B) utsutaan nimellä usottavuus (engl. lielihood), ja nimittäjä P (F n A)P n 1 (A) + P (F n B)P n 1 (B) on normeerausvaio. Viimesi mainitun ainoana tehtävänä on varmistaa, että P n (A) + P n (B) 1. (5)

14 14 Solmu 2/2013 Esimeri 4. Tervamustioiden osuudet aiista mustioista ovat tavallisesti sen verran pieniä, että havainnollista esimeriä ajatellen musta mustia toistuu aivan liian harvoin. Sen taia tässä simulaatiossa liioitellaan: Ahujärven marjoista 60 % ja Bieggajängän marjoista 30 % oletetaan tervamustioisi. Sammeli eräsi marjat Ahujärveltä, mutta Miihali ei sitä etuäteen tiedä. n F n P n(a) P n(b) Kommentti Arvattu priorijaauma 1 S Sininen tuee Bieggajänää 2 S M Musta tuee Ahujärveä 4 M M M M M S Sininen tuee Bieggajänää 10 M Musta tuee Ahujärveä 11 S Sininen tuee Bieggajänää 12 S S S M Musta tuee Ahujärveä 16 M S Sininen tuee Bieggajänää 18 S M Musta tuee Ahujärveä 20 M Aia hyvin asettuivat todennäöisyydet oiean vaihtoehdon eli Ahujärven annalle jo 20 ensimmäisellä iteraatioierrosella. Ise asiassa paras tulos saatiin jo ierrosella 8, mutta sen jäleen tuli sattumalta paljon sinisiä mustioita, jota houuttelivat todennäöisyyttä Bieggajängän suuntaan. Suurten luujen lai alaa uitenin vääjäämättä (so. todennäöisyydellä 1) toimia jossain vaiheessa. Kierrosen 20 jäleen Miihali tietää yli 90 %:n varmuudella, että yse on Ahujärven mustioista vai tietääö sittenään? Viimeiseltä riviltä nähdään todennäöisyys sille, että marjat on poimittu Ahujärveltä ehdolla, että Sammelin suorittamassa jälipoiminnassa on saatu värisaraeen muainen mustiajono. Todennäöisyydet ovat päteviä vain, miäli ensimmäisen rivin priorijaauma on todellisen tilanteen muainen. Priorijaauma taroittaa, että 45 % Sammelin poimintaretistä suuntautuu Ahujärvelle ja loput 55 % Bieggajängälle. Vaia priorijaauma olisi arvattu täysin pieleen, iteraation jossain vaiheessa alaa selvästi näyä, ummasta paiasta marjat ovat peräisin. Väärästä priorijaaumasta lähteneen iteraation antamat ehdolliset välitodennäöisyydet ovat enemmän tai vähemmän rosaa, mutta tavoitteenahan onin lopputulos, siis umman vaihtoehdon ohdalle todennäöisyys lopulta asaantuu. Yleistyset Edellä esitetty oli enties ysinertaisin mahdollinen esimeri tilastollisesta inversiosta. Se yleistyy ilmeisellä tavalla tilanteisiin, joissa mustiapaioja on K pl, siis esim. A 1,...,A K. Nyt ahden todennäöisyyden P n (A) ja P n (B) muodostaman jaauman paialla on todennäöisyysistä P n (A 1 ),...,P n (A K ) muodostuva jaauma. Malliin on myös helppoa ottaa useampi väri. Iteraatio (5) ei muutu paljon: P 0 (A 1 ) P (A 1 ). P 0 (A K ) P (A K ) P n (A 1 ). P (F n A 1 )P n 1 (A 1 ) K 1 P (F n A )P n 1 (A ) P n (A K ) P (F n A K )P n 1 (A K ) K 1 P (F n A )P n 1 (A ) Värien lisääntyminen meritsee vain muuttujan F n mahdollisten arvojen lisääntymistä. Tällöin pitää tietää myös näiden arvojen todennäöisyydet joaisen marjapaian A ohdalla. Kun marjastusesimeristä irrottaudutaan ja etäännytään, saadaan yleistyset aienulotteisille disreeteille ja jatuville jaaumille. Nämä yleistyset toimivat yötäpäivää luemattomien ariäytössä olevien laitteiden prosessoreissa, mutta näistä asioista ertomisen jätän viisaammille.

15 Solmu 2/ Komplesiluvut ja olmannen asteen yhtälön rataisut Lauri Ajani Helsingin yliopisto Johdanto Reaaliluua α voidaan graafisesti ajatella x-aselin eli reaaliaselin pisteenä (α,0). Näin saamme samaistusen reaaliluujen ja reaaliaselin välille. Komplesiluvut määritellään tason yleisinä pisteinä (a,b). Komplesiluvuille määritellään yhteen- ja ertolasu aavoilla (a,b) + (c,d) (a + c, b + d) (a,b)(c,d) (ac bd, ad + bc). Näin määriteltynä omplesiluvut muodostavat luonnollisen laajennosen reaaliluvuille. Esimerisi joainen reaaliluu x on samaistusen x (x,0) autta myös omplesiluu. Reaaliluvulla 1 ertominen ei muuta omplesiluua (a,b), sillä määritelmän nojalla (1,0)(a,b) (1 a 0 b, 1 b+0 a) (a,b). Huomaa myös, että molemmat lasutoimituset ovat vaihdannaisia eli ne toteuttavat ehdot (a,b) + (c,d) (c,d) + (a,b) (a,b)(c,d) (c,d)(a,b). Luvulla (0,1) on ominaisuus (0,1)(0,1) ( 1,0) 1. Tätä luua sanotaan imaginaariysiösi ja meritään lyhyemmin merinnällä i. Lyhyemmin merittynä saamme siis tulosen i 2 1. Imaginaariysiön avulla joainen omplesiluu voidaan esittää muodossa (a,b) (a,0) + (0,b) (a,0) + (0,1)(b,0) a + ib, joa on usein ätevämpi esitysmuoto. Taremmin omplesiluuja on Solmussa äsitellyt Matti Lehtinen, atso [3]. Komplesiluvuilla on paljon reaaliluvuista poieavia ominaisuusia: edellä jo havaittiin, että yhtälöllä x on omplesinen rataisu x i. Voidaanin osoittaa, että polynomiyhtälöillä on aina omplesirataisuja: algebran peruslauseen muaan joaisella n-asteisella polynomiyhtälöllä on tasan n appaletta omplesirataisuja un ne lasetaan ertaluuineen, s. [2]. Miä on yhtälön x toinen rataisu? Tarastellaan tässä erästä lähtöohdiltaan reaalista ilmiötä, jona tutimiseen tarvitsemme omplesiluuja. Kuutiojuuria ja de Moivren aava 1500-luvun matematiian historian suuria ehitysvaiheita oli olmannen ja neljännen asteen yhtälöiden rataisuaavojen löytyminen. Italialainen Gerolamo Cardano julaisi vuonna 1545 nimeään antavan rataisuaavan muotoa x 3 mx + n oleville yhtälöille. Kaavan muaan x 3 n 2 + n 2 4 m n 2 n 2 4 m3 27. Kaavan aluperäisestä esijästä äytiin aianaan iivas julinen sananvaihto useamman matemaation välillä. Suositeltavana taustaluemisena olmannen ja neljännen asteen yhtälöiden rataisuaavojen löytymisestä seä aluperäiseen esijään liittyvästä iistasta

16 16 Solmu 2/2013 mainittaoon Mario Livion suomennettu teos Yhtälö, jota ei voinut rataista [4]. Rataisuaava ei uitenaan ole aivan niin ysinertainen uin päällisin puolin näyttää ja sen oieellisuus herättiin aianaan ihmetystä. Viitteitä tästä antaa yhtälö x 3 6x + 4. Kyseinen yhtälö voidaan toi rataista ilman aavaain: oeilemalla havaitaan, että vaiotermin teijöistä x 2 on eräs rataisu. Muut rataisut löydettäisiin teijöihinjaolla. Tässä irjoitusessa on uitenin taroitus tutia, miten rataisuaava äyttäytyy mainitun yhtälön tapausessa. Lähteenä on äytetty vastaavaa esitystä teosessa [1]. Kosa funtio f(x) x 3 6x 4 on jatuva ja vaihtaa meriään väleillä [ 3, 3 2 ], [ 1, 0] seä [1, 3], on näillä väleillä oltava nollaohdat. Monotonisuuden nojalla ullain välillä on tasan ysi nollaohta. Suora sijoitus aavaan antaa 4 16 x i i. (1) Päädymme siis ahden omplesisen uutiojuuren summaan. Rataisuja tiedetään uitenin olevan olme appaletta ja niiden aiien pitäisi olla reaalisia jotain näyttäisi olevan pielessä. Cardanon aava on uitenin oiein, aavassa (1) itse asiassa esiintyy olme reaaliluua. Tämän näemisesi tarvitsemme hieman trigonometriaa. Kun ajattelemme omplesiluua tason pisteenä (a,b), saadaan sen etäisyys origosta Pythagoraan muaan aavalla r a 2 + b 2. Origosta poieavan omplesiluvun vaiheulma on ulma, joa jää positiivisen x- aselin seä origon ja pisteen (a,b) määräämän janan väliin. Origolle ei määritellä vaiheulmaa. Vaiheulma on ätevintä määrittää uvan avulla: esimerisi ensimmäisessä neljännesessä sijaitsevan pisteen vaiheulma θ toteuttaa ehdon tan θ b a. y r sin θ r (a, b) θ r cos θ Vaiheulma ei ole ysiäsitteinen: jos θ on eräs pisteen (a,b) vaiheulma, myös θ + 2πn elpaa vaiheulmasi millä tahansa oonaisluvulla n. Usein vaiheulma rajoitetaanin jollein 2π-mittaiselle puoliavoimelle välille. Nyt suoraulmaisille oordinaateille a ja b saadaan esitysmuodot a r cos θ, b r sin θ ja omplesiluu x voidaan esittää muodossa z a + ib r(cos θ + i sin θ). Tätä esitystä utsutaan napaoordinaattiesitysesi. Napaoordinaattien perustulosia on de Moivren aava, jona muaan oonaisluvulla n pätee (cos θ + i sin θ) n cos nθ + i sin nθ. Kaavan todistus tapahtuu indutiolla. Palataan nyt selvittämään, mitä ovat uutiojuuret aavassa (1). Käsitellään ensin juurta i. Kuutiojuuren määritelmän nojalla 3 z taroittaa sitä luua w, joa toteuttaa ehdon w 3 z. Tehtävänä on siis määrittää luu, jona olmas potenssi on 2 + 2i. Tämä onnistuu de Moivren aavan avulla. Luvun 2 + 2i napaoordinaattiesitysesi saadaan 8(cos π 4 + i sin π 4 ). Meritään w r(cos θ + i sin θ) ja muodostetaan yhtälö (r(cos θ + i sin θ)) 3 8(cos π 4 + i sin π 4 ) r 3 (cos 3θ + i sin 3θ) 8(cos π 4 + i sin π 4 ). Vertaamalla yhtälön molempia puolia havaitaan, että täytyy olla r 3 8 ja 3θ π 4 + 2πn, r 3 8 ja 3θ π 4 + 2πn, r 2 ja θ π πn 3 π(1 + 8n), n Z. 12 Rataisuja on siis useita. Havaitaan uitenin, että arvolla n 3 saadaan θ 25π 12 π π, josta sini ja osini ovat samat uin ulmasta θ π 12. Siis arvosta n 3 alaen saadut rataisut alavat iertämään ehää. On siis olme eri luua, joiden uutio on 2 + 2i napaoordinaateissa ne ovat 2(cos π 12 + i sin π 12 ), 2(cos 3π 4 + i sin 3π 4 ) seä 2(cos 17π 17π 12 + i sin 12 ). Vastaavasti luu 2 2i on napaoordinaateissa 8(cos( π 4 ) + i sin( π 4 )) 8(cos π 4 i sin π 4 ), joten de Moivren aava antaa (r(cos θ + i sin θ)) 3 8(cos π 4 i sin π 4 ) r 3 (cos 3θ + i sin 3θ) 8(cos π 4 i sin π 4 ) r 2 ja 3θ π 4 + 2πn r 2 ja θ π(1 + 8n), n 0,1,2. 12 Eli juuren 3 2 2i arvot ovat 2(cos π 12 i sin π 12 ), 2(cos 3π 4 i sin 3π 4 ) seä 2(cos 17π 17π 12 i sin 12 ).

17 Solmu 2/ Sijoitetaan saadut luvut aavaan (1). Jos luua n vastaa rataisu z n, niin saadaan z 0 ( 2 cos π 12 + i sin π ) + ( 2 cos π i sin π ) cos π ( 6 + 2) 1 2 ( ) z 1 ( 2 cos 3π 4 + i sin 3π cos 3π z 2 ( 2 cos 17π ( cos 17π 12 ) + ( 2 cos 3π 4 i sin 3π ) 4 ( 1 ) 2 2 ) 17π + i sin cos 17π ) 17π i sin 12 ( 1 4 ( 6 2) 1 2 (2 3 2) ( 3 1) 1 3 ) eli olme reaaliluua. Sijoittamalla saadut luvut taaisin yhtälöön x 3 6x + 4 nähdään, että ne todella ovat yhtälön rataisut. Kirjoittaja opiselee matematiian opettajasi. Viitteet [1] William Dunham: Euler The Master of Us All, The Mathematical Association of America, [2] Tuomas Hytönen: Algebran peruslause luiolaisille, Solmu 3/2011. [3] Matti Lehtinen: Kaii tarpeellinen omplesiluvuista, Solmu 1/2006. [4] Mario Livio: Yhtälö, jota ei voinut rataista Miten matematiia paljasti symmetrian ielen, Terra Cognita, Diplomitehtävien oheisluemistoa Osoitteessa on diplomitehtäville oheisluemistoa, joa varmasti iinnostaa muitain uin diplomien teijöitä: Luujärjestelmistä Desimaaliluvut, mitä ne oieastaan ovat? Murtoluujen lasutoimitusia Negatiivisista luvuista Hiuan osittelulaista Lauseeet, aavat ja yhtälöt Äärettömistä jouoista Eri Luoma-aho: Matematiian perusäsitteiden historia Gaussin jalanjäljissä K. Väisälä: Algebra Yläoulun geometriaa Geometrisen todistamisen harjoitus K. Väisälä: Geometria Luuteorian diplomitehtävät

18 18 Solmu 2/2013 Binomiaava Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden oreaoulu Tässä irjoitusessa vertaillaan ahta tapaa lähestyä binomiaavaa (2). Niistä ensimmäinen perustuu luumäärien lasemiseen, jota utsutaan ombinatoriiasi. Toinen tapa viittaa puolestaan analyysiin, jolla matematiiassa yleensä taroitetaan jotain derivaattaan tai integraaliin liittyvää. Kombinatorinen binomiaava Kertoma n! n(n 1)(n 2) on eräs täreimmistä luumäärän lasemiseen liittyvistä lauseeista. Se antaa vastausen esimerisi ysymyseen, uina monella eri tavalla n ihmistä voidaan asettaa jonoon. Monien eri syiden vuosi on luontevaa määritellä 0! 1; esimerisi tyhjä jouo on sopimusen muaan aiien jouojen osajouo. Lisäsi on syytä muistaa, että jouossa alioiden järjestysellä ei ole meritystä; järjestetyn jouon oiea matemaattinen nimitys on nimenomaan jono. Kertomalauseeiden sieventämisessä tarvitaan usein seuraavaa tulosta. Esimerisi 5! 3! , 3 2 ja samalla periaatteella saadaan yleinen aava n(n 1)... (n m + 1) n! (n m)!, un 0 m n. Oloot 0 n luonnollisia luuja (nolla muana). Kombinatorinen määritelmä binomiertoimelle ( n ) on luumäärä sille, uina monella eri tavalla n:n alion jouosta voidaan valita :n alion osajouo. Lausee ( n ) luetaan n yli ; englannisi n over tai n choose, joista jälimmäinen viittaa suoraan näiden luujen ombinatoriseen taustaan. Esimerisi viiden hengen ryhmästä saadaan ( 5 2) erilaista sulapallon asinpeliä. Monet binomierrointen ominaisuudet on helppo päätellä ilman esplisiittistä aavaa n!!(n )!, (1) joa johdettaneen aiissa luioirjoissa vertaamalla :n alion jonojen luumäärää vastaavien :n alion osajouojen luumäärään. Tehtävä 1. Päättele binomierrointen ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n,, ja 0 n 1 n 1 arvot ombinatorisesti. Tarista tuloset aavan (1) avulla. Tehtävä 2. Esitä ombinatorinen perustelu aavalle ( ) ( ) n n. n