Mekaniikka ylioppilaskirjoituksissa vuosina

Transkriptio

1 Mekaniikka ylioppilaskirjoituksissa vuosina Juha Naamanka Pro gradu -tutkielma Huhtikuu 2008 Oulun yliopisto Fysikaalisten tieteiden laitos

2 SISÄLLYS 1 JOHDANTO MEKANIIKAN OSA-ALUEET MEKANIIKAN OPETUS KOULUSSA Kouluopetuksen didaktiikkaa Opetussuunnitelmien muutoksia 7 4 ESIMERKKITEHTÄVÄT VASTAUKSINEEN ERI VUOSIKYMMENILTÄ.9 5 TUTKIMUSKYSYMYKSET -AINEISTO JA -MENETELMÄT TULOSTEN TARKASTELU / MEKANIIKAN TEHTÄVIEN ANALYSOINTI Mekaniikan tehtävien määrä ja jaottelu Mekaniikan tehtävien määrä fysiikan tehtävistä Tehtävien jakautuminen mekaniikan osa-alueille Tehtävien jakautuminen mekaniikan osa-alueille vuosikymmenittäin jen välisenä aikana Mekaniikan osa-alueiden jakautuminen aihealueittain Statiikan aihealueiden jakautuminen Kinematiikan aihealueiden jakautuminen Dynamiikan aihealueiden jakautuminen Hydro- ja aeromekaniikan aihealueiden jakautuminen Mekaniikan tehtävätyyppien määrä ja jakauma Muutoksia ylioppilaskirjoituksissa mekaniikan osalta Kokeen rakenteen muutokset Kysymysten kielelliset ja rakenteelliset muutokset Mekaniikan kysymysten aihepiirit YHTEENVETO JA JOHTOPÄÄTÖKSIÄ.. 41 KIRJALLISUUS.. 43 LIITE 1 2

3 1 JOHDANTO Fysiikka on luonnontiede, joka tutkii kaikkien luonnonilmiöiden yhteisiä peruslakeja. Mekaniikka on fysiikan klassinen osa-alue, joka tutkii liikeilmiöitä ja sen lainalaisuuksia sekä kappaleiden vuorovaikutuksia. Isaac Newton ( ) esitti mekaniikan klassisen teorian ja ensimmäisen yleisen painovoimateorian teoksessaan Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, joka julkaistiin vuonna Sitä voidaan pitää fysiikan historian keskeisimpänä työnä. Newtonin mekaniikka selittää yksinkertaisesti sekä dynamiikan että statiikan ilmiöt. Se on kaikkia kappaleita ja makroskooppista ainetta koskeva teoria. Newtonin mekaniikan peruslait ovat Newtonin I laki eli jatkavuuden laki, Newtonin II laki eli dynamiikan peruslaki, Newtonin III laki eli voiman ja vastavoiman laki sekä voimien yhdistämislaki. Mekaniikka jaetaan pääpiirteittäin kinematiikkaan eli liikeoppiin, dynamiikkaan eli mekaaniseen voimaoppiin ja statiikkaan eli tasapaino-oppiin. (Kurki- Suonio ym. 1982, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1988, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1997) Mekaniikalla on keskeinen merkitys fysiikan kehityksessä. Mekaniikka on vanha, merkittävä ja konkreettinen fysiikan osa-alue, minkä vuoksi fysiikan käsittely alkaa usein mekaniikkaan liittyvistä aiheista. Tämä on havaittavissa niin fysiikan historiallisessa kehityksessä kuin nykypäivän fysiikan opiskelussakin. Hyvin monet fysikaaliset ilmiöt pyritään selittämään mekanististen mallien avulla. Ylioppilaskirjoitustehtävät antavat käsityksen kunkin ajan vaatimustasosta, keskeisistä teemoista sekä tehtävien tyypeistä ja tyyleistä. Tämän vuoksi halusin tarkastella mekaniikan esiintymistä ylioppilaskirjoitusten fysiikan tehtävissä eri vuosikymmeninä. (Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1997) 3

4 2 MEKANIIKAN OSA-ALUEET Mekaniikka jaetaan kolmeen pääosaan: kinematiikkaan, dynamiikkaan ja statiikkaan. Kimmoisuus ja lujuus ovat aineen mekaanisia ominaisuuksia, siksi myös niiden tutkiminen kuuluu mekaniikkaan. Kappale on tällöin tavallisesti levossa ympäristöön nähden, mutta voi olla myös tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä, koska tällainen liike säilyy jatkavuuden lain mukaan itsestään, eikä siten millään tavalla häiritse voimien tasapainoa. Nesteiden mekaniikkaa kutsutaan hydromekaniikaksi ja kaasujen mekaniikkaa aeromekaniikaksi. Hydromekaniikka jaetaan hydrostatiikkaan ja hydrodynamiikkaan eli hydrauliikkaan. Hydrostatiikka käsittelee nesteiden tasapainotiloja ja hydrauliikka niiden liikettä ja voimaa. Aeromekaniikka jaetaan aerostatiikkaan ja aerodynamiikkaan. Aerostatiikka tarkastelee kaasujen tasapainotiloja ja aerodynamiikka niiden liikettä ja voimaa. Hydro- ja aerostatiikan asiat sisältyvät statiikkaan. Hydro- ja aerodynamiikan asiat kuuluvat puolestaan dynamiikkaan. (Kurki-Suonio ym. 1982, Lehtonen 1971) Kuva 1. Mekaniikan osa-alueiden jakautuminen. Esittämäni mekaniikan aihepiirit koskevat koulufysiikan aiheita. Kinematiikka tutkii ja kuvaa kaikkia liikeilmiöitä sellaisenaan. Siinä ei kiinnitetä huomiota liikkeen syihin. Kinematiikan peruslakeja ovat matkan, nopeuden, vauhdin sekä kiihtyvyyden määrittelyt. Kinematiikan aiheita ovat mm. tasainen liike, tasaisesti kiihtyvä liike ja heittoliike. Dynamiikka tutkii massojen ja voimien vaikutusta liikkeeseen. Se käsittelee voimien kappaleelle aiheuttamia liiketiloja. Mekaniikassa tavallisesti oletetaan, että kappaleet ovat täysin jäykkiä, ts. jätetään kappaleissa voimien vaikutuksesta tapahtuvat vähäisetkin muodonmuutokset huomioon ottamatta. Jos rakenteen voimajärjestelmä ei riipu näistä muodonmuutoksista, sanotaan rakennetta staattisesti määrätyksi, päinvastaisessa 4

5 tapauksessa staattisesti epämääräiseksi. Dynamiikan aiheita ovat muun muassa voima ja massa, työ, energia, hyötysuhde, teho, työnti ja liikesuure, keskeisliike, harmoninen värähdysliike, kriitillinen pyörimisnopeus, pyörivän kappaleen energia sekä heiluri. (Kurki- Suonio ym. 1982, Lehtonen 1971) Statiikka tarkastelee kappaleiden ja mekaanisten systeemien tasapainotiloja ja -ehtoja. Kappale on tasapainossa, jos se voimien siihen vaikuttaessa pysyy levossa. Statiikan aiheita ovat muun muassa voima, voiman momentti, voimien yhdistäminen, tasapaino, voiman jakaminen komponentteihin, kannattimet, painopiste, kappaleitten tasapaino, kitka ja mekaniikan koneet. (Kattainen 1960, Lehtonen 1971) Hydromekaniikka käsittelee nesteiden ja niistä ennen kaikkea veden tasapaino- ja liiketiloja. Oppia levossa olevista nesteistä nimitetään hydrostatiikaksi ja liikkeessä olevista hydrodynamiikaksi, jonka käytäntöön sovellettua osaa nimitetään hydrauliikaksi eli virtausopiksi. Hydrostatiikan aiheita ovat muun muassa paineen leviäminen nesteessä, nesteen painosta johtuva paine, nesteen kannatus ja uivan kappaleen vakavuus. Hydrauliikan aiheita ovat muun muassa virtaamisnopeus, virtauksen energia ja nesteen purkautuminen aukoista. Aeromekaniikka käsittelee kaasujen ja useimmiten ilman tapauksessa vastaavia aiheita kuin hydromekaniikkakin. Esimerkiksi ilmanpaine on aerostatiikan aihe ja kaasujen virtaus aerodynamiikan aihe. (Lehtonen 1971) 3 MEKANIIKAN OPETUS KOULUSSA 3.1 Kouluopetuksen didaktiikkaa Mekaniikka tutkii liikeilmiöitä ja vuorovaikutuksia. Vaikka mekaniikan perustana olevat käsitykset ovat aikojen kuluessa muuttuneet, ilmiöiden selittämiseen pyritään edelleenkin mekanististen mallien avulla. Mekaniikan opetus aloitetaan jo peruskoulun fysiikan tunneilla, mikä antaa pohjan lukion kursseille. Opetuksessa on tärkeää herättää motivaatio opetettavaan asiaan. Sitä voi lisätä mm. käytännönelämään liittyvillä oppilaille merkityksellisillä esimerkeillä, vaihtelevilla työtavoilla ja oheislukemistoilla. Uusien asioiden oppiminen perustuu aikaisemmin opittujen tietojen, taitojen ja ymmärtämisen pohjalle. (Kurki-Suonio ym. 1982, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1988, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1997) Fysikaalisen tiedon hierarkkiset käsitetasot ovat ilmiöt, suureet, lait, teoriat ja sovellukset. Ilmiöt perustuvat havaintoihin, joiden perusteella niitä tunnistetaan, luonnehditaan ja luokitellaan. Tässä käsitteenmuodostuksen vaiheessa ilmiöille ja ominaisuuksille annetaan nimet sekä tehdään rajaukset ja pelkistykset, mitkä mahdollistavat niiden tutkimisen. Kappaleiden ja ilmiöiden mitattavia ominaisuuksia sanotaan suureiksi. Suureiden tasolla suoritetaan mittauksia ja otetaan käyttöön mitattavat suureet, jotka mahdollistavat luonnonilmiöitä koskevan tiedon esittämisen matemaattisessa muodossa. Esimerkiksi liikeilmiössä muuttuvia suureita ovat paikka ja aika, joista johdetaan suureet nopeus ja kiihtyvyys. Massa on suure, joka kuvaa olion pysyviä ominaisuuksia. Voima on suure, joka kuvaa ympäristön vaikutuksia. Massasta ja voimasta johdetaan muita dynaamisia suureita. (Kurki-Suonio ym. 1982, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1988, Kurki-Suonio & Kurki- Suonio 1997) 5

6 Laeiksi sanotaan kaikkia säännönmukaisuuksia, jotka toistuvat tutkittaessa aina samanlaisina. Lait noudattavat matemaattisia malleja ja esittävät ilmiöt täsmällisesti numeerisena, graafisena tai algebrallisena. Lakien tasolla lakien pätevyysalue selvitetään testaamalla suure-ennusteet kokeellisesti. Teorian taso on ymmärtämisen ja selittämisen taso, joka sisältää peruslait ja selittävät mallit. Tällä tasolla tutkitaan lakiennusteita ja pyritään sovellettavuuteen. Mekaniikan teorialla tarkoitetaan klassista mekaniikkaa, joka nojautuu mekaniikan peruslakeihin. Nämä ovat Newtonin kolme lakia ja voimien yhteenlaskulaki. Sovellukset ovat ylin fysikaalisen tiedon hierarkkinen taso. Se sisältää koneet, rakenteet sekä toiminnot, joissa tarvitaan liikkeen ennustettavuutta tai optimointia. Ne kaikki perustuvat Newtonin mekaniikkaan. (Kurki-Suonio ym. 1982, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1988, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1997) Mekaniikan opetuksessa on tärkeää käyttää oikeita ja täsmällisiä nimityksiä suureille, käsitteille ja määritelmille. Epätarkat tai väärät nimitykset voivat harhauttaa tai vaikeuttaa opetettavan asian ymmärtämistä. Mekaniikan laajempi kokonaisuus rakentuu spiraalimaisesti. Asiat on opetettava siinä järjestyksessä, että aiemmin opittujen asioiden pohjalta voidaan sekä oppia uusia vaativampia asioita että yhdistää niitä muihin tietoihin ymmärrettäväksi kokonaisuudeksi. Opetettava kokonaisuus on suunniteltava yhtenäiseksi siten, ettei oppirakenteeseen jää aukkoja, jotka vaikeuttavat tai jopa estävät uusien asioiden ymmärtämisen ja liittämisen aiemmin opittuihin asioihin. Mekaniikan asioiden opetus aloitetaan usein kinematiikasta. Sen jälkeen siirrytään statiikkaan tai dynamiikkaan. Erityisesti dynamiikan asiat pohjautuvat kinematiikkaan. Hydro- ja aeromekaniikka käsitellään usein vasta mekaniikan kurssin loppupuolella, koska ne pohjautuvat statiikan ja dynamiikan lakeihin. (Kurki-Suonio ym. 1982, Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1988, Kurki- Suonio & Kurki-Suonio 1997) Mekaniikkaa voidaan lähestyä teoreettisesti tai kokeellisesti. Teoreettisessa lähestymistavassa pyritään uusi asia oppimaan suureiden, kaavojen ja teorioiden avulla lukemalla, johtamalla ja laskemalla. Siinä johdetaan ensin teoria, jonka oikeellisuus pyritään vasta tämän jälkeen testaamaan käytännössä. Tämän menetelmän etuna on nopeus sekä teoreettisen ajattelun ja laskutaidon kehittyminen. Teoreettisen lähestymistavan käyttäminen kuitenkin vaatii opiskelijalta jo tietynlaisia valmiuksia ja pohjatietoa. Mikäli ne eivät ole riittävän hyvät, voi seurauksena olla se, että opiskelijat oppivat asiat vain ulkoa opeteltuina irrallisina tietoina ja mekaanisena laskutaitona. Tällöin he eivät välttämättä ymmärrä oppimaansa asiaa eivätkä osaa soveltaa niitä erilaisiin tilanteisiin. Tämä saattaa paljastua esimerkiksi siten, että oppilaat osaavat laskea kvantitatiivisia tehtäviä mutta eivät silti ymmärrä vastaavia kvalitatiivisia tehtäviä. Ongelmia voi ilmetä myös sellaisissa tehtävissä, joissa on osattava soveltaa, yhdistellä tai selostaa käytännönläheisesti opittuja tietoja. Jos tehtäviä ei ole ymmärretty, vastausten järkevyyttä on vaikea arvioida. (Kurki- Suonio & Kurki-Suonio 1994) Kokeellisessa lähestymistavassa uusi asia opetetaan aluksi havainnon avulla käyttäen esimerkiksi demonstraatioita tai kokeita. Tämän jälkeen pohditaan, mistä asioista havainnossa oli kyse ja johdetaan sen mukaisesti suureiden ja kaavojen avulla teoriaa, joka mallittaa kyseistä ilmiötä mahdollisimman hyvin. Lopuksi tehdään yleistyksiä ja sovellutuksia sekä testataan saadun teorian paikkansapitävyyttä niiden avulla. Mikäli teorian ja havainnon välillä ilmenee eroavaisuuksia, on pohdittava, johtuvatko eroavaisuudet virhetekijöistä, muusta epätarkkuudesta tai teorian virheellisyydestä. Mikäli kyse on teorian virheellisyydestä, on teoriaa kehitettävä siten, että se vastaa ilmiötä. (Kurki- Suonio & Kurki-Suonio 1994) 6

7 Fysiikan teorioiden kehittyminen on yleensä edennyt kokeellisen lähestymistavan kautta, joten se on luonnollinen lähestymistapa asioiden oppimiseen. Se antaa myös heti tietynlaisen kuvan käsiteltävästä asiasta, mikä saattaa helpottaa asioiden ymmärtämistä ja lisätä mielenkiintoa opiskeluun. Tämän vuoksi sen käyttö on usein hyväksi oppimisprosessin alkuvaiheessa. Kokeellisen lähestymistavan käyttö vaatii useimmiten enemmän aikaa kuin teoreettinen lähestymistapa. Demonstraatioiden ja kokeiden tekemisen vaarana on se, että aikaa voi kulua liian paljon oppimisen kannalta toisarvoisiin asioihin. Tällöin oppilaat eivät välttämättä ehdi sisäistää, mistä demonstraatioissa ja kokeissa oli varsinaisesti kysymys, ja mikä oli niiden päämäärä tai merkitys. Teoria ja käytännönläheiset kokeet voidaan kokea tällöin irrallisina asioina, jotka eivät tue toisiaan kuten pitäisi. Tämän vuoksi jonkinlainen pohjatieto on hyväksi myös ennen kokeellisen lähestymistavan käyttöä, jotta opiskelijat tietäisivät ainakin, mistä ilmiöstä on kyse, tai mitä he ovat tekemässä. (Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1994) Opetuksen päämääränä on yhdistää teoria ja käytäntö siten, että ne tukisivat mahdollisimman hyvin toisiaan. Molempien käyttö on hyväksi sopivassa suhteessa ja järjestyksessä riippuen opiskelijoista ja opetettavasta asiasta. Sopivia opetusmenetelmiä käyttämällä voidaan oppimistapahtumasta saada mahdollisimman tehokas ja mielekäs. Jos opiskelu on liian nopeaa, teoreettista tai vaativaa, opiskelijat eivät välttämättä ehdi ymmärtää asioita. Mikäli opiskelu on liian hidasta, samanlaista tai helppoa, voi seurauksena olla mielenkiinnon väheneminen ja opiskelun hidas eteneminen. (Kurki- Suonio & Kurki-Suonio 1994) 3.2 Opetussuunnitelman muutoksia Jouun 15 p:nä 1919 annetulla asetuksella ylioppilastutkinnosta kumottiin tammikuun 14 p:nä 1874 ylioppilastutkinnosta annettu ohjesääntö sekä sitä muuttavat tai täydentävät säännökset. Uusi asetus lisäsi kirjallisiin tutkintoaineisiin reaalikokeen, jossa fysiikka ja kemia muodostivat kourssin yhden aineryhmän. Ylioppilaskirjoituskokeiden tehtävien tuli olla koulussa suoritettujen oppimäärien alalta ja läheisesti liittyä niihin. Ylioppilastutkintolautakunta määräsi kirjelmässään huhtikuun 4 p:ltä 1922, että ylioppilaskokelas on oikeutettu vastaamaan kaikkiin kysymyksiin riippumatta siitä, onko asiaa käsitelty koulun ylimmällä luokalla. Vastausten odotettiin olevan asiallisia ja suhteellisen suppeita, mutta vastaukseen voitiin tarvittaessa liittää myös selventävä piirustus. (Virtanen 1941) Vanhan koulujärjestelmän mukaan lukiossa annetun fysiikan opetuksen pohjana oli keskikoulussa annettu fysiikan opetus. Kokeellisuus oli useimmiten opettajan tunnilla tekemää, eikä kirjoissa esitetty vaihtoehtoisia opetusmenetelmiä (Nurmi 1964). Oppikirjat olivat kouluhallituksen hyväksymiä, ja niiden ohjaava vaikutus oli voimakas koulun opetuksessa (Meisalo & Lavonen 2008). Kattaisen kirjat Fysiikan oppikirja lukioluokille I ja II, sekä Nurmen ym. kirjat Lukion fysiikka, edellinen osa ja Lukion fysiikka, jälkimmäinen osa sisälsivät koko lukion fysiikan. Näistä ensimmäiset osat sisälsivät lukion mekaniikan luvulla lukion fysiikan opetussuunnitelmaa uudistettiin. Fysiikan oppimäärä jakautui kursseihin. Yleisen oppimäärän kursseja oli kaksi ja laajan oppimäärän kursseja kahdeksan. Kullekin kurssimäärälle asetettiin omat kurssikohtaiset tavoitteet. Kurssien sisältöjen 7

8 asiakohtaisten tavoitteiden perusteella opettajien oletettiin laativan tuntisuunnitelmat omaa opetusta varten luvulla oppikirjat olivat yleensä kouluhallituksen hyväksymiä, jolloin opettajat saattoivat tukeutua niiden oppisisältöihin luvun puolivälin jälkeen useimmat ylioppilaskokelaat olivat suorittaneet oppivelvollisuutensa peruskouluvaatimuksen mukaan. (Kurki-Suonio & Kurki-Suonio 1994:36) ja 1990 jen vaihteessa ylioppilaskirjoitusten fysiikan kysymyksistä osa oli laadittu erikseen yleiselle ja laajalle fysiikalle. Yleisen ja laajan fysiikan opiskelussa saatettiin käyttää eri oppikirjasarjaa. Ylioppilaskirjoituksissa oli kuitenkin sääntö, etteivät ylioppilaskokelaat, jotka olivat suorittaneet enemmän kuin kolme fysiikan kurssia, saaneet vastata yleisen fysiikan kysymyksiin. Yleisen fysiikan opiskelijoiden mekaniikan opiskelu rajoittui todennäköisesti yhteisen kurssin ja lämpöopin kurssin sisältämiin mekaniikan asioihin. Varsinaisen mekaniikan kurssin suorittivat luultavasti vain laajan fysiikan opiskelijat. Valtakunnallinen opetussuunnitelma tai sen kuntakohtainen sovellus oli kaikkialla hyvin samankaltainen. Vuonna 1991 valtioneuvosto päätti, että lukion opetussuunnitelma uudistetaan vuonna Silloin päätettiin valinnaisuuden huomattavasta lisäämisestä. Opetushallitus antaa opetussuunnitelman perusteet, joissa määrätään oppimisen valtakunnalliset tavoitteet ja sisällöt sekä asetusta täydentävät oppilasarvostelun yleiset perusteet. Oppisisältöjen omaksumisen lisäksi tähdennettiin tavoitteita, jotka kehittävät oppilaiden aloitekykyä, sosiaalisuutta, itsenäistä tiedonhankintataitoa ja objektiivista arviointikykyä. Opetussuunnitelmaan lisättiin selkeitä työtapojen valintaan liittyviä ohjeita, joiden avulla pyrittiin lisäämään kokeellisuutta, tietotekniikan hyödyntämistä ja graafista tarkastelua. Päätösvalta yksityiskohtaisen opetussuunnitelman laadinnassa annettiin kouluille. Vuonna 1994 lukio muuttui luokattomaksi. (Meisalo & Lavonen 2008) Uuden opetussuunnitelman myötä lukion fysiikan kurssitarjonta monipuolistui. Oppilaille on tarjottava fysiikkaa yksi pakollinen ja ainakin seitsemän syventävää kurssia. Lukio voi lisäksi tarjota oppilaille fysiikasta syventäviä, valinnaisia tai soveltavia kursseja. Valinnaiset ja soveltavat kurssit voivat liittyä koulun profiiliin, tai ne voivat olla jonkin alan erikoiskursseja tai luonnontieteiden työkursseja. Uudessa opetussuunnitelmassa oppilas voi valita itselleen tarkoituksenmukaisen määrän sopivia kursseja. Fysiikan yhteisen kurssin pääpaino on mekaniikan perusteissa. Kurssilla käsiteltäviä mekaniikan aiheita ovat mm. vuorovaikutus mekaniikassa, voima, tarvittavat vuorovaikutukset liiketilan muutokseen, liikkeelle lähtöön tai pysäytykseen, kitkavoima, tukivoima, langan jännitys, tasainen liike ja tasaisesti kiihtyvä liike. Syventävät Fysiikka yhteiskunnassa - kurssi ja Lämpö ja energia -kurssi sisältävät myös mekaniikan asioita. Kursseilla perehdytään tarkemmin mm. mekaaniseen energiaan, työhön ja tehoon. (Meisalo & Lavonen 2008) Mekaniikka kuuluu syventäviin kursseihin. Siinä syvennetään keskeisten mekaniikan osaalueiden hallintaa sekä tutkitaan liikettä, vuorovaikutuksia sekä statiikan ja dynamiikan perusteita. Mekaniikan kurssin sisältöalueita ovat mm. suoraviivainen liike, käyräviivainen liike, vuorovaikutus, voima ja massa, jatkavuuden laki, dynamiikan peruslaki kokeellisena voiman määrittelevänä lakina, voiman- ja vastavoiman laki, momentti, voimien tasapaino, momenttien tasapaino, yksinkertaiset koneet, pyörimisen liikeyhtälö, liikemäärä, liikemäärän säilymislaki, impulssi ja impulssiperiaate. Aiemmin oli vain yksi varsinainen mekaniikan kurssi, jossa käsiteltiin mekaniikan asioita luvulta alkaen se jaettiin kahdeksi erilliseksi kurssiksi. Mekaniikan jatkokurssi kuuluu valinnaisiin kursseihin. 8

9 Kurssilla perehdytään kvantitatiivisesti käyräviivaiseen liikkeeseen, pyörimisliikkeeseen ja keskeisliikkeeseen. Kurssilla tutustutaan myös gravitaatiovuorovaikutukseen ja gravitaation alaiseen liikkeeseen kvantitatiivisesti sekä syvennetään statiikkaan ja pyörimiseen liittyvien ilmiöiden laskennallista hallintaa. Mekaniikan työkurssi kuuluu soveltaviin kursseihin. Kurssin töinä voidaan tutkia ja määrittää mm. tiheys, jousivakio, heilurin heilahdusaika, putoamiskiihtyvyys, hitausmomentti, nesteen pintajännitys, törmäyksiä, energiaperiaate ja aineen kimmo-ominaisuuksia. (Meisalo & Lavonen 2008) Ylioppilaskirjoituksien mekaniikan kysymykset antavat vuosittaisen kuvan siitä, millaisia tietoja mekaniikasta ylioppilaiden on odotettu hallitsevan. Vertaamalla oppikirjoja, opetussuunnitelmaa ja ylioppilaskysymyksiä voidaan tarkastella niissä käsiteltyjen asioiden yhtäläisyyksiä. Eri aikakausien opetussuunnitelmia ja ylioppilaskysymyksiä vertaamalla voidaan puolestaan havaita mahdollisia muutoksia mekaniikan aiheissa, vaatimuksissa ja painotuksissa. Mahdolliset havaittavat eroavaisuudet voivat johtua opetuksen määrän muuttumisesta, opetuksen painotuksen muuttumisesta, opetustyylin muuttumisesta, opetussuunnitelman muuttumisesta, koulujärjestelmän muuttumisesta tai jostain muusta. 4 ESIMERKKITEHTÄVÄT VASTAUKSINEEN ERI VUOSIKYMMENILTÄ Ylioppilastehtävien esimerkeillä olen halunnut havainnollistaa, millaisia mekaniikan tehtäviä on esiintynyt ylioppilaskirjoituksissa eri vuosikymmeninä. Ne voivat ilmentää eri aikakausien tehtävätyyppejä ja mahdollisia muutoksia sekä fysiikan opetuksessa että yhteiskunnassa. Julkaistut mallivastaukset esittävät, miten ylioppilaskokelaiden on edellytetty vastaavan kysymyksiin. Useimmat ratkaisut pohjautuvat näihin julkaistuihin mallivastauksiin, joita olen myös selventänyt ja analysoinut. Valitsin yhden tehtävän edustamaan jokaista vuosikymmentä. Pyrin myös valitsemaan erilaisia, aikakaudelle tyypillisiä tehtäviä. 9

10 SYKSY 1921 Pohdintaa: Syksynä 1921 oli lyhyesti esitetty esseekysymys: kiila. Tämän tyyppiset kysymykset olivat tyypillisiä tuohon aikaan. Tähän statiikan kysymyksen vastaukseen on kirjoitettava ainakin kiilan määrittely ja käyttötarkoituksia sekä mahdollisesti myös piirtää havainnollistavia kuvia. Kysymys: Kiila Ratkaisu: Kiila on poikkileikkaukseltaan teräväkärkisen kolmion muotoinen työkalu tai rakenteen osa. Se on voiman suuntaukseen tai kasvattamiseen tarkoitettu alkeellinen mekaaninen kone, työkalu ja apuväline. Voima saadaan kasvatettua kiilan avulla moninkertaiseksi poikkisuuntaiseksi puristusvoimaksi sen terävän kärjen avulla, jolloin koko voima kohdistuu hyvin pienelle pinta-alalle. Kiila on yleensä valmistettu metallista, puusta, luusta tai muovista. Esimerkiksi kirveen, kangen, taltan ja heinähangon toinen pää on kiilamainen, mistä on hyötyä esimerkiksi puun tai kivien halkaisussa tai koloa tehtäessä. Kiilan avulla voidaan kohottaa raskaita esineitä. Sitä käytetään lisäksi tukemiseen, levittämiseen ja kiinnitysvälineenä. Rakennustyömailla käytetään usein puusta valmistettuja kiiloja, joilla voidaan esimerkiksi tukea rakenteita. Kiila voidaan määritellä myös kolmisärmäiseksi, terävän särmiön muotoiseksi kappaleeksi, jonka pitkittäisleikkaus on tasakylkinen kolmio. Alla olevassa kuvassa on esitetty voiman jakautuminen kiilassa. Kiilan päähän sovitetaan sen korkeuden suuntainen voima DE. Tämän kiilan sivuja vastaan kohtisuorat komponentit voittavat sivuja vastaan vaikuttavan puristuksen. Kiila on siis tasapainossa, kun työntävä voima DE suhtautuu toista sivua vastaan kohdistuvaan kuormaan GD kuten kiilan pää AB sen sivuun AC. (Forsman ym. 1926) 10

11 KEVÄT 1931 SYKSY 1939 Pohdintaa: Keväällä 1931 ja syksyllä 1939 kysyttiin käytännössä sama kysymys Newtonin peruslaeista. Kysymysmuodossa on kuitenkin pieniä eroavaisuuksia. Tehtävä on jaettu kolmeksi erilliseksi osakysymykseksi, joihin edellytetään lyhyet ja täsmälliset selostukset. Kysymys: Mikä on a) jatkuvaisuuden laki, b) voimain vaikutuksen riippumattomuuden laki, c) vaikutuksen ja vastavaikutuksen laki? Valaiskaa kutakin niistä esimerkillä. (Kevät 1931) Mitkä ovat a) jatkavaisuuden (hitauden) laki, b) voiman vaikutuksen riippumattomuuden laki, c) vaikutuksen ja vastavaikutuksen laki? Valaiskaa kutakin niistä esimerkillä. (Syksy 1939) Ratkaisu: a) Newtonin jatkavaisuuden laki tunnetaan myös hitauden lakina tai Newtonin I peruslakina. Sen mukaan kappale pysyy lepotilassa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä, jos siihen ei vaikuta mikään voima. Esimerkiksi junan lähtöön asemalta ja nopeuden lisäämiseen tarvitaan veturin höyrykoneen kehittämän voiman vastavoima, joka on kitka. Liikkeessä olevan junan nopeuden säilyttämiseen tarvitaan kitkan ja ilmanvastuksen kumoava voima, jolloin junaan vaikuttavien voimien resultantti on nolla. Toisena esimerkkinä mainittakoon moukarinheitto. Kun moukarinheittäjä pyörittää moukaria, se on sentraali- eli keskeisliikkeessä. Jos sentripetaali- eli keskeisvoima lakkaa äkkiä vaikuttamasta, lähtee kappale kulkemaan suoraviivaisesti ja tasaisella nopeudella radan tangentin suuntaan. Näin tapahtuu moukarinheittäjän irroittaessa otteensa moukarista. Sentripetaalivoima on siten liikkeen jatkuvan suunnanmuutoksen syynä. b) Voimain vaikutuksen riippumattomuuden laki tunnetaan myös dynamiikan peruslakina tai Newtonin II peruslakina. Sen mukaan voiman vaikutus kappaleeseen on riippumaton kappaleen liiketilasta ja kappaleeseen vaikuttavista muista voimista. Sama asia voidaan ilmaista myös yhdistetyn liikkeen säännöllä: Jos kappaleeseen vaikuttaa useita voimia, joutuu kappale määrätyn ajan kuluttua paikkaan, johon se olisi joutunut, jos nämä voimat olisivat vaikuttaneet siihen saman ajan perättäisesti, kukin erikseen. Vaakasuoraan heitetty kappale putoaa maahan samassa ajassa ja saavuttaa saman pystysuoran putoamisnopeuden kuin samalta korkeudelta vapaasti putoava kappale. Maan vetovoiman vaikutus kappaleeseen, joka ilmenee putoamisliikkeessä, on siis 11

12 riippumaton kappaleen vaakasuorasta liikkeestä. Jokainen heittoliike voidaan katsoa yhdistetyksi äkillisen heittoliikkeen aiheuttamasta tasaisesta, suoraviivaisesta ja painovoiman aiheuttamasta tasaisesti kiihtyvästä, niin ikään suoraviivaisesta putoamisliikkeestä. Molempien voimien ja niiden aiheuttamien liikkeiden riippumattomuudesta seuraa, että kappale t sekunnissa joutuu samaan paikkaan, johon se joutuisi, jos se ensin kulkisi t sekuntia heiton suuntaan heittovoiman antamalla vakionopeudella ja sen jälkeen vapaasti putoaisi saman t sekunnin ajan. c) Newtonin vaikutuksen ja vastavaikutuksen laki tunnetaan myös Newtonin voiman ja vastavoiman lakina tai Newtonin III peruslakina. Sen mukaan kappaleen A vaikuttaessa kappaleeseen B määrätyn suuruisella voimalla, vaikuttaa kappale B yhtä suurella mutta vastakkaissuuntaisella voimalla kappaleeseen A. Esimerkiksi puristettaessa alustaa jollakin voimalla, vaikuttaa se takaisin yhtä suurella mutta vastakkaissuuntaisella voimalla. Toisena esimerkkinä tarkastellaan kahta posliinikuppia, jotka kelluvat veden pinnalla. Jos toiseen posliinikuppiin laitetaan rautapala ja toiseen magneetti, lähtevät molemmat posliinikupit liikkumaan toisiaan kohti. Kun magneetti vetää rautaa puoleensa, vetää myös rautakappale magneettia puoleensa yhtä suurella voimalla. Voimien yhtä suuruus voidaan havaita posliinikuppien kiihtyvyyksistä a1 ja a2. Posliinikuppien massojen ollessa m1 ja m2 ne noudattavat yhtälöä m1 a1 = m2 a2, eli dynamiikan peruslain mukaisesti F1 = F2. (Virtanen 1958) 12

13 SYKSY 1948 Pohdintaa: Syksyn 1948 kysymysten joukossa esiintyi nykyisin suhteellisen harvinainen hydrostatiikan tehtävä. Tämä on lähes täysin essee kysymys, joka edellyttää perusteellista selitystä kirjoittamalla. Kysymys: Pintajännitys ja hiushuokoisuus- (kapillariteetti) ilmiö Ratkaisu: Pintajännitys ja hiushuokoisuusilmiö perustuvat nesteiden rajapinnoissa esiintyviin molekyylien välisiin voimiin. Nesteen sisässä olevaan molekyyliin kohdistuu samansuuruinen vetovoima jokaiseen suuntaan, joten voimat kumoavat toisensa. Kahden aineen rajapinnan lähellä molekyyliin vaikuttaa yleensä eri suuruisia voimia. Sen nesteen, jossa molekyyli on, molekyyliin kohdistavaa vetovoimaa kutsutaan koheesioksi. Vieraan aineen molekyyliin kohdistavaa vetovoimaa kutsutaan adheesioksi. Molekyyli pyrkii siirtymään koheesion ja adheesion resultantin mukaiseen suuntaan. Adheesiota ei tarvitse huomioida sen vähäisen vaikutuksen vuoksi, mikäli neste rajoittuu kaasuun. Jos neste rajoittuu toiseen nesteeseen tai kiinteään aineeseen, on adheesio otettava huomioon. Adheesio voi olla tällöin jopa suurempi kuin koheesio. Pintajännityksen tapauksessa tarkastelemme kaasuun rajoittuvan nesteen pintaa. Tällöin tarvitsee huomioida vain koheesion vaikutus. Koheesio vetää nesteen pinnassa olevia molekyylejä sisäänpäin. Tällöin nesteen pinta pyrkii painumaan sisäänpäin ja pienenemään. Toisin sanoen: nesteen pinnassa on jännitystä omaan suuntaansa, jonka vuoksi pinta pyrkii mahdollisimman pieneksi. Nesteen pinta pyrkii pienenemään venytetyn kumikalvon tavoin. Nesteen pinnalla on siten potentiaalienergiaa. Ilmiötä voidaan käsitellä joko voima- tai energiasuureella. Mikäli ilmiötä käsitellään vain voiman kannalta, voidaan sitä varten määritellä pintajännitykseksi kutsuttu suure. Pintajännitys määritellään siten, että se on pinnan laajentamiseen tarvittava voima jaettuna liikkuvan reunan pituudella, eli voima pituusyksikköä kohden. Pintajännitys ζ = F / 2l, missä F = pinnan laajentamiseen tarvittava voima 2l = liikkuvan reunan pituus. Tekijä 2 johtuu siitä, että nesteessä on kaksi kalvoa ja liikkuvan reunan pituus on 2l. Energia pyrkii pienimpään mahdolliseen arvoonsa, mikä määrää myös nestepinnan muodon. Pintajännityksen vuoksi nestepisaralla on pyrkimys saada pallomainen muoto, koska tietyn tilavuuden omaavista kappaleista pallolla on pienin pinta. Samasta syystä useat pallomaiset nestepisarat pyrkivät yhdistymään yhdeksi suureksi pallomaiseksi nestepisaraksi, koska sen pinta-ala on pienempi kuin pienten pisaroiden pinta-alojen summa. Nesteitten pintajännitysvakiot vaihtelevat suuresti. Pintajännitys on kullekin aineelle ominainen suure, jonka arvo riippuu myös lämpötilasta. Yleensä epäorgaaniset aineet suurentavat hieman pintajännitysvakiota. Orgaaniset aineet sitä vastoin pienentävät pintajännitysvakiota usein hyvin voimakkaasti. Pesuaineet alentavat veden pintajännitystä, mikä auttaa lian irroittamisessa. Esimerkkinä pintajännitysilmiöstä on myös vesihyönteisten kyky juosta vedenpintaa pitkin. 13

14 Nesteen pinnan rajoittuessa kiinteään aineeseen on adheesio huomioitava ilmiön oleellisena osana. Jos adheesio on suurempi kuin koheesio, pyrkii neste kohti kiinteää ainetta. Kyseessä on nesteen ja kiinteän aineen rajapinnan laajenemispyrkimys energian minimoimisen vuoksi. Se havaitaan nesteen pinnan kaartumisena ylöspäin. Tästä esimerkkinä on veden leviäminen puhtaalle lasille yksimolekulaariseksi kerrokseksi, eli vesi pyrkii peittämään mahdollisimman suuren osan lasin pinnasta. Jos koheesio on suurempi kuin adheesio, pyrkii neste pois kiinteästä aineesta. Kyseessä on nesteen ja kiinteän aineen rajapinnan pienenemispyrkimys energian minimoimisen vuoksi. Se havaitaan nesteen pinnan kaartumisena alaspäin. Tästä esimerkkinä on elohopean ja lasin välinen vuorovaikutus. Kun neste rajoittuu pystysuoraan seinään, nestepinnan reunassa vaikuttaa nestemolekyyliin sekä koheesio että adheesio. Näiden voimien resultantilla on kolme erityyppistä suuntaa. Nestepinta asettuu kohtisuoraan resultanttia vastaan. Siten saadaan kolme erilaista pinnan asentoa ja vastaavasti terävä, suora ja tylppä reunakulma. Nestepinnan reunaan piirretyn tangentin astian nesteenpuoleisen seinän kanssa muodostamaa kulmaa kutsutaan reunakulmaksi. Se on aineparille ominainen vakio eli kiinteän aineen ja nesteen mukainen. Kapillaari-ilmiö aiheutuu edellä kerrotusta ilmiöstä kapeassa kapillaariputkessa. Nesteen ja kiinteän aineen välisen rajapinnan pienenemis- tai suurenemispyrkimys on voimakkaampi kuin nesteen ja ilman välinen voimavaikutus. Esimerkiksi vedenpinta kaartuu lasiputkessa ylöspäin edellä esitetyn mukaisesti, sillä niiden välisen rajapinnan suurenemispyrkimys voittaa veden ja ilman välisen rajapinnan pienenemispyrkimyksen. Reunakulman suuruus määräytyy veden ja lasin muodostamalle aineparille ominaisesta vakiosta. Samanaikaisesti nestepinta pyrkii pintajännityksen vuoksi minimiarvoonsa eli tasoksi. Näiden ilmiöiden yhteisvaikutuksesta vesi nousee lasiputkessa korkeudelle, jossa painovoima ja pintajännityksen aiheuttama nostovoima pitävät toisensa tasapainossa. Vesi kohoaa niin korkealle, että sen putkessa olevan osan paino on yhtä suuri kuin veden pintajännityksestä aiheutuva kannattava voima. Neste nousee kapillaariputkessa, jos reunakulma on pienempi kuin 90º. Näin tapahtuu esimerkiksi lasisen kapillaariputken ollessa vedessä. Mikäli reunakulma on suurempi kuin 90º, neste laskee kapillaariputkessa. Tämä ilmiö tapahtuu esimerkiksi lasisen kapillaariputken ollessa elohopeanesteessä. Lasin ja elohopean välinen rajapinta pyrkii pienenemään samoin kuin elohopean ja ilman välinen rajapinta. Kapillaari-ilmiön nousukorkeus h voidaan laskea riippumatta koheesion ja adheesion keskinäisestä suuruudesta, kun tiedetään kapillaariputken säde r, nesteen tiheys ja pintajännitys ζ. Mikäli reunakulma = 0 kuten lasin ja veden välillä, niin nostovoima on 2 rζ ja nostettavan patsaan paino r²h g. Tässä g tarkoittaa gravitaatiokiihtyvyyttä. Kun nostovoima ja nostettavan patsaan paino merkitään samansuuruisiksi, saadaan nousukorkeudeksi johdettua h = 2ζ / r g. Jos reunakulma ei ole nolla, on pintajännityksen sijasta käytettävä pintajännityksen pystykomponenttia. Nesteen pinnan nousu ja lasku on sitä voimakkaampi mitä pienempi on upotetun lasiputken sisähalkaisija. Hyvin ohuita putkia nimitetään kapillaariputkiksi. Nesteen nousua tai laskua näissä putkissa nimitetään hiushuokoisuus- tai kapillariteetti-ilmiöksi. Esimerkkinä kapillaari-ilmiöstä voidaan mainita veden nousu esimerkiksi hienoissa maakerroksissa, betonissa, tiilessä, villassa ja imupaperissa. Huokoisten aineiden kyky imeä nesteitä perustuu yleensä myös kapillaariilmiöön. Kapillaari-ilmiöön perustuu osittain myös veden nousu kasvien putkiloissa. (Kattainen 1960, Nurmi ym. 1964) 14

15 KEVÄT 1958 Pohdintaa: Keväällä 1958 hydrostatiikan nostetehtävä oli laadittu mielenkiintoiseksi, todelliseen elämään liittyväksi. Sen ratkaiseminen edellyttää Arkhimedeen lain riittävää ymmärrystä, koska tehtävä ei ratkea pelkällä kaavaan sijoittamisella. Juuri muuta tietoutta tehtävän ratkaisemiseen ei kuitenkaan tarvita. Kysymys: Laiva, jonka massa lasti mukaan luettuna on tonnia, kulkee Atlantilta Suomenlahdelle. Kuinka paljon lastia olisi purettava Suomenlahdella, jotta laiva täällä kulkisi yhtä syvällä kuin alkuaan, kun veden tiheys on vähentynyt arvosta 1026 kg/m³ arvoon 1004 kg/m³? Ratkaisu: Alkutietoina tehtävässä on annettu seuraavat asiat: Veden tiheys Atlantilla (Atlantti) = 1026 kg/m³ Veden tiheys Suomenlahdella (Suomenlahti) = 1004 kg/m³ Laivan massa lasteineen Atlantilla m(atlantti) = tonnia = kg Selvitettävänä on aluksi laivan massa lasteineen Suomenlahdella eli m(suomenlahti). Nesteen hydrostaattinen paine p = gh, missä = nesteen tiheys, g = gravitaatiokiihtyvyys ja h = nesteen syvyys. Nesteen kokonaispaine P = P(0) + gh, missä P(0) = ilmanpaine ja gh = hydrostaattinen paine. Oletetaan laivan vedenalainen osa kuution muotoiseksi, jonka särmän pituus on a ja tahkon ala A. Kuution pystysuoriin tahkoihin kohdistuvat voimat kumoavat toisensa. Ylätahkoon kohdistuu voima alaspäin F(1) = P(1) A = [P(0) + gh] A. Alatahkoon kohdistuu voima ylöspäin F(2) = P(2) A = [P(0) + g(h+a)] A. Voimien erotukseksi saadaan F(2) F(1) = [P(0) + g(h+a)] A [P(0) + gh] A = ga A = gv, joka on kappaleen syrjäyttämän nestemäärän paino. V on nesteessä olevan kappaleen tahkon alan A ja särmän pituuden a tulona saatu tilavuus, jonka nesteessä oleva kappale syrjäyttää nestettä. Kappaleen muodosta riippumatta sen kokema nostevoima saadaan laskettua pinta-alkiovektorin ja voiman välisen pistetulon avulla. Kappaleen nostevoiman resultantti saadaan näiden pistetulojen summana. Tulos on riippumaton kappaleen muodosta, joten myös laivan kokema nostevoima on yhtäsuuri kuin sen syrjäyttämän veden paino. Nostevoimaa ilmaiseva laki F = V g tunnetaan myös Arkhimedeen lakina. Vesi kannattelee laivaa Arkhimedeen lain mukaisesti. Jotta laivan kulkusyvyys säilyy vakiona, on veden laivaan kohdistama nostevoima F oltava samansuuruinen laivan painovoiman G kanssa. Koska laivan pinta-ala on muuttumaton, ja kulkusyvyyden on oltava vakio sekä Atlantilla että Suomenlahdella, on myös veden pinnan alla olevan laivan osan tilavuus V vakio. Laiva syrjäyttää siis saman verran vettä sekä Atlantilla että 15

16 Suomenlahdella. Laivaan kohdistuva nostevoimaero Atlantin ja Suomenlahden välillä johtuu siten ainoastaan veden tiheyden eroavaisuudesta. Laivan painovoiman on oltava samansuuruinen sen kokeman nostevoiman kanssa sekä Atlantilla että Suomenlahdella, koska laiva kulkee koko ajan samalla syvyydellä: G(Atlantti) = F(Atlantti) ja G(Suomenlahti) = F(Suomenlahti) Laivan kokema painovoima Atlantilla: G(Atlantti) = m(atlantti) g Laivan kokema nostevoima Atlantilla: F(Atlantti) = V (Atlantti) g Näistä saadaan m(atlantti) g = V (Atlantti) g, ja gravitaatiokiihtyvyyden supistuessa pois jää jäljelle m(atlantti) = V (Atlantti). Tästä saadaan laskettua laivan syrjäyttämän veden tilavuus: V = m(atlantti) / (Atlantti) = kg / 1026 kg/m³ Laivan kokema painovoima Suomenlahdella: G(Suomenlahti) = m(suomenlahti) g Laivan kokema nostevoima Suomenlahdella: F(Suomenlahti) = V (Suomenlahti) g Näistä saadaan m(suomenlahti) g = V (Suomenlahti) g, ja gravitaatiokiihtyvyyden supistuessa pois jää jäljelle m(suomenlahti) = V (Suomenlahti). Laivan kulkusyvyys ei saanut muuttua sen tullessa Suomenlahdelle, joten laivan syrjäyttämä vesimäärä on sama kuin Atlantilla. Nyt saadaan ratkaistua laivan massa lasteineen Suomenlahdella: m(suomenlahti) = V (Suomenlahti) = [m(atlantti) / (Atlantti)] (Suomenlahti) = [ kg / 1026 kg/m³] 1004 kg/m³ kg Varsinaisena tehtävänä oli selvittää, kuinka paljon lastia olisi purettava Suomenlahdella, jotta laiva kulkisi siellä yhtä syvällä kuin Atlantilla. m(atlantti) m(suomenlahti) = kg kg = kg Vastaus: Lastia on purettava kg (Kattainen 1960) 16

17 SYKSY 1964 Pohdintaa: Syksyllä 1964 kysyttiin hydrauliikkaan liittyvä tehtävä. Se on samalla laskutehtävä ilman numeroita. Kysymys: Avonaisen astian pohjassa olevasta aukosta virtaavan nesteen nopeus on vo nesteen pinnan ollessa tietyllä korkeudella. Miten paljon nesteen pinta on alentunut, kun virtausnopeus on vo/2? Ratkaisu: Oletetaan virtaavan nesteen olevan pyörteetöntä ja pieni kitkaista. Tällöin energiaperiaatteen nojalla voidaan osoittaa seuraavan yhtälön pitävän paikkansa pitkin virtaa: p + ½ v² = vakio, missä p on staattinen paine ja ½ v² on dynaaminen paine eli patopaine. Niiden summa on kokonaispaine. Kyseinen yhtälö on Bernoullin yhtälö eli virtausopin perusyhtälö. Staattinen- eli nestepaine p on ilmanpaineen po ja hydrostaatisen paineen h g summa. Dynaaminen paine ½ v² on seuraus aineen hitaudesta. Bernoullin yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa: po + ½ v² + h g = vakio, missä h = nesteen pinnan ja virtausaukon välinen korkeusero nestettä sisältävässä avonaisessa astiassa, = nesteen tiheys ja g = gravitaatiokiihtyvyys Perusyhtälön mukaisesti vaakasuorassa putkessa paine on pienimmillään siellä, missä nopeus tai virtaviivojen tiheys on suurimmillaan. Dynaaminen paine voidaan ratkaista kokonaispaineen ja staattisen paineen erotuksena. Ilmanpainetta po ei tarvitse huomioida avonaisen astian tapauksessa, sillä se vaikuttaa saman verran sekä astian sisällä olevassa nesteessä että astian ulkopuolella. Dynaamisen paineen yhtälöstä ½ v² ja hydrostaatisen paineen yhtälöstä h g saadaan ratkaistua virtausnopeus v = (2gh). Tehtävässä kerrotaan, että avonaisen astian pohjassa olevasta aukosta virtaavan nesteen nopeus on vo nesteen pinnan ollessa tietyllä korkeudella ho. Nesteen virtausaukon ja nesteen pinnan välinen korkeusero on tässä tapauksessa sama kuin nesteen pinnan korkeus. Nesteen purkautumisnopeus on alussa vo = (2gho) = (2g) ho. Kun virtausnopeus on puolittunut arvoon vo/2, on myös yhtälön toinen puoli puolittunut eli vo/2 = ½ (2g) ho. Tekijä (2g) säilyy vakiona riippumatta nesteen pinnan vaihtelusta. Virtausnopeuden puolittuminen merkitsee siis tekijän ho puolittumista. Tämän perusteella vo/2 = (2gh) ja h = ½ ho, missä h on nesteen pinnan loppukorkeus. Korottamalla kumpikin puoli toiseen potenssiin saadaan h = ¼ ho. Nesteen pinnan korkeus on alentunut neljäsosaan alkuperäisestä nesteen pinnan korkeudesta, kun virtausnopeus on puolittunut. Nesteen pinta on siis alentunut ¾ ho verran nesteen pinnan korkeudesta ho korkeuteen ¼ ho. (Kattainen 1960) 17

18 SYKSY 1973 Pohdintaa: Syksyllä 1973 kysymyksen aiheena oli jo tekokuu. Avaruusasiat olivat jo esillä ja näkyivät myös ylioppilastehtävissä. Tällainen soveltava todelliseen elämään liittyvä tehtävänaihe lisää monien mielenkiintoa sekä kyseisen tehtävän ratkaisuun että yleisestikin fysiikkaan. Tämän tyyppisten todelliseen elämään liittyvien tehtävien ratkaisua auttaa myös se, että saadun tuloksen oikeellisuutta on mahdollista arvioida. Siten esimerkiksi huolimattomuusvirheet saattavat paljastua, jos vastaukseksi saadaan järjen vastainen tulos. Tämän kysymyksen ratkaisemisen edellytyksenä on ymmärrys gravitaatiovoimasta ja tekokuun kiertämisen periaatteesta. Kysymys: Millä korkeudella tekokuu kiertää Maan ekvaattoritasossa, jos se Maasta katsoen näyttää pysyvän paikoillaan? Maan säde on 6400 km. Ratkaisu: Kiertoradallaan olevaan tekokuuhun kohdistuu sekä gravitaatio- eli painovoima että liikevoima. Maata voidaan pitää likimäärin pallona, jonka säde R = 6400 km. Maan pyörähdysaika on 23 h 56 min = s. Tehtävässä on selvitettävä tekokuun kiertokorkeus h Maan ekvaattoritasossa. Tiedetään, että Maan säde R = 6400 km. Tiedetään myös, että tekokuu näyttää Maasta katsoen pysyvän paikoillaan, joten se on Maan painovoimakentässä tasaisessa ympyräliikkeessä Maan keskipisteen ympäri. Tekokuun kulmanopeus on sama kuin Maan pyörimisliikkeen kulmanopeus eli = 2 / s = 72,9 10pot(-6) 1/s Tekokuun etäisyys Maan keskipisteestä r ja ratanopeus v ovat vakioita. Sekä tasaisen ympyräliikkeen kiihtyvyys a = (v² / r) ur = ²r ur, että myös gravitaatiolain mukainen voima F = ( m M / r²) ur ovat keskukseen suunnattuja ja suuruudeltaan vakioita. Kun nämä lausekkeet sijoitetaan liikeyhtälöön F = ma, saadaan ( m M / r²) ur = m(v² / r) ur m on tekokuun massa, = gravitaatiovakio ja M = Maan massa. Sekä tekokuun massa m että nimittäjästä tekijä r saadaan supistettua pois, jolloin yhtälö saadaan muotoon ( M / r) ur = v² ur, eli tekokuu tarvitsee Maan painovoimakentässä tasaiseen ympyräliikkeeseen r-säteisellä radalla nopeuden v = ( M / r). Tekokuuhun kohdistuva painovoima Maan pinnalla olisi mg = (m M) / R², missä g = gravitaatiokiihtyvyys. Yhtälö saadaan supistettua muotoon g = M / R² eli g R² = M, joten ympyräradan ehto saadaan myös muotoon v = ( M / r) = (g R²/ r) = R (g / r) Maan painovoimakentässä olevan kappaleen liikeyhtälö voidaan siis kirjoittaa muotoon F = ma = m(v² / r) ur = mg(r² / r²) ur, jossa ei esiinny gravitaatiovakiota eikä Maan massaa. 18

19 Edellisistä yhtälöistä saadaan (v² / r) = ²r = g (R² / r²), josta voidaan ratkaista tekokuun radan säde. Tekokuun radan säteeksi saadaan r = ³ ( g (R / )² ) = ³ ( 9,8 m/s² (6400 km / 72,9 10pot(-6) 1/s)² ) r = km km Tekokuun etäisyys Maan pinnasta on siis h = r R = km 6400 km = km km (Kurki-Suonio ym. 1988) KEVÄT 1982 Pohdintaa: Kevään 1982 kysymysten joukossa esiintyi mäkihyppyaiheinen tehtävä. Mahdollisesti Matti Nykäsen innoittamana tämä aihe lisäsi myös ylioppilaskokelaiden mielenkiintoa tehtävän ratkaisemiseen. Tehtävän ratkaisun oikeellisuutta on myös helppo arvioida, koska se on niin käytännönläheinen ja tuttu aihe, vaikkakin kysytty työn suuruus voi olla oudompi ja siten vaikeampi hahmottaa kuin esimerkiksi matka tai nopeus. Kysymys: Mäkihyppääjä, jonka massa varusteineen on 82 kg, lähtee liukumaan vauhtimäkeä alkunopeudella 3,0 m/s. Hänen nopeudekseen hyppyrin nokalla, joka on pystysuunnassa mitattuna 53 m lähtökohdan alapuolella, mitataan 26,5 m/s. Kuinka suuri on liikevastusvoimien liu'un aikana tekemä työ? Ratkaisu: Ilmoitetut ja tiedetyt suureet ovat: Hyppääjän massa m = 82 kg Hyppääjän alkunopeus vo = 3,0 m/s Hyppääjän nopeus hyppyrin nokalla v = 26,5 m/s Lähtökohdan ja hyppyrin nokan korkeusero h = 53 m Gravitaatiokiihtyvys g = 9,81 m/s² Tehtävässä on ratkaistava liikevastusvoimien liu'un aikana tekemä työ Wμ, joka on mäkihyppääjän liike-energiaa vähentävä työ. Ilman kyseistä työtä hyppääjän potentiaalienergia EP muuttuisi täysin liike-energiaksi EK liu'un aikana. Hyppääjällä on jo alussa hieman liike-energiaa EKo, joten hänen saamansa kokonaisenergia on EKo + EP. Ilman liikevastusvoimia kokonaisenergia olisi muuttunut täysin liike-energiaksi hyppääjän tullessa hyppyrin nokalle. Toisin sanoen EKo + EP Wμ = EK Hyppääjän potentiaalienergian muutos liu'un aikana EP = mgh = 82 kg 9,81 m/s² 53 m = J Hyppääjän liike-energia alussa EKo = ½ mv² = ½ (82 kg) (3,0 m/s)² = 369 J Hyppääjän liike-energia hyppyrin nokalla EK = ½ mv² = ½ (82 kg) (26,5 m/s)² = J Liikevastusvoimien liu'un aikana tekemäksi työksi saadaan siten Wμ = EKo + EP EK Wμ = 369 J J J = kj 14 kj (Erätuuli ym. 1993) 19

20 KEVÄT 1995 Pohdintaa: Kevään 1995 kysymysten joukossa esiintyi nykyisin kohtalaisen yleinen dynamiikan tehtävä, jossa tutkitaan liikemäärän säilymistä ilmatyynyradalla toteutetussa törmäyksessä. Kyseinen koe on mahdollista suorittaa oppitunnilla. Tämän tehtävän ratkaisussa edellytetään ilmatyynyradalla liikkuneiden kappaleiden liiketilaa esittävän graafisen kuvaajan taitoa. b)-kohdassa kysytään kappaleen A massaa. Sen suuruusluokka voi olla helposti pääteltävissä annetun B:n massan ja kuvaajan tulkinnan avulla riippumatta siitä, osataanko tehtävää varsinaisesti ratkaista. Mikäli tehtävä osataan laskea, voidaan ratkaisun oikeellisuuskin arvioida helposti. Kysymys: Kappaleet A ja B voivat liikkua ilmatyynyradalla kitkattomasti samaa suoraa pitkin. Oheisessa kuviossa on esitetty kummankin kappaleen paikka ajan funktiona. a) Selosta tapahtuma, johon kuvio liittyy. b) Määritä kappaleen A massa, kun B:n massa on 51 g. Ratkaisu: a) Tapahtuman selostukseen on ensin tulkittava kuviota riittävän tarkasti. Pystysuoralla akselilla on esitetty kappaleiden paikka s metreinä ja vaakasuoralla akselilla kulunut aika t sekunteina. Koska kappaleet liikkuvat samaa suoraa pitkin, voidaan kappaleen A lähtöpaikaksi s = 0 tulkita ilmatyynyradan toinen pääty. Kappaleen B lähtöpaikaksi havaitaan 0,8 metrin etäisyys siitä ilmatyynyradan päädystä, jossa kappale A on. Seuraavaksi tarkastellaan, miten kappaleiden paikka muuttuu ilmatyynyradalla ajan kuluessa. Havaitaan, että kappale A lähtee samantien etenemään kohti ilmatyynyradan toista päätyä tasaisella nopeudella. Liike nähdään tasaiseksi nopeudeksi, koska kappaleen A paikan muutos suhteessa kuluneen ajan muutokseen säilyy vakiona. Ruutuja apuna käyttäen saadaan laskettua, että kyseinen tasainen nopeus on 0,8 metriä / 0,5 sekuntia. Kappaleen B paikka ei muutu eli se pysyy liikkumattomana ensimmäisen 0,5 sekunnin 20

21 aikana. Havaitaan, että kappaleiden liikeradat kohtaavat eli kappale A saavuttaa kappaleen B ajanhetkellä 0,5 sekuntia. Tällä hetkellä tasaisella nopeudella etenevä kappale A törmää paikallaan olevaan kappaleeseen B, koska kappaleet ovat samalla suoralla. Törmäyksen jälkeen havaitaan, että kappaleet lähtevät etenemään samaan suuntaan eli kappaleen A alkuperäiseen liikesuuntaan mutta eri nopeuksilla, joten ne erkaantuvat jälleen. Kumpikin kappale etenee vakiomatkan vakioajassa eli tasaisella nopeudella. Kuvaajasta voidaan laskea, että kappale A on edennyt 0,2 metriä törmäyksen jälkeisen 0,5 sekunnin kuluessa. Vastaavasti voidaan laskea, että kappale B on edennyt vastaavana aikana 1,0 metriä. Kappaleen A nopeus on siten hidastunut törmäyksen jälkeen. Kappaleen B nopeus on törmäyksen jälkeen suurempi kuin kappaleen A nopeus missään vaiheessa. Kahden kappaleen välinen törmäys kitkattomalla ilmatyynyradalla liittyy liikemäärän säilymisen havainnointiin. Liikemäärä p = mv, missä m on kappaleen massa ja v = kappaleen nopeus. Koska kappaleen B nopeus oli ennen törmäystä nolla, oli myös sen liikemäärä nolla. Kappale A luovutti törmäyksessä osan liikemäärästään kappaleelle B. Tästä syystä kappaleen A nopeus hidastui ja kappale B lähti liikkeelle. Liikemäärän säilymislain mukaisesti kappaleiden A ja B liikemäärien summa törmäyksen jälkeen on oltava sama kuin ennen törmäystä eli kappaleen A alkuperäinen liikemäärä. Liikemääräyhtälön mukaisesti kappaleiden nopeus on kääntäen verrannollinen niiden massaan. Siten kappaleen B saadessa kappaletta A suuremman nopeuden törmäyksen jälkeen, voidaan huomata, että kappaleen B massa on pienempi kuin kappaleen A massa. b) On määritettävä kappaleen A massa ma, kun tiedetään kappaleen B massan olevan mb = 51 g. Törmäyksessä liikemäärä säilyy, joten saadaan kaava: ma va + mb vb = ma ua + mb ub, missä va = kappaleen A nopeus ennen törmäystä, vb = kappaleen B nopeus ennen törmäystä, ua = kappaleen A nopeus törmäyksen jälkeen, ub = kappaleen B nopeus törmäyksen jälkeen Koska kappale B oli paikallaan ennen törmäystä, saadaan vb = 0, joten myös mb vb = 0. Siten yhtälö supistuu muotoon: ma va = ma ua + mb ub Tästä yhtälöstä on ratkaistava ma, joten laitetaan kyseinen tuntematon muuttuja yhtälön samalle puolelle: ma va ma ua = mb ub Tämän jälkeen erotetaan se omaksi tekijäkseen: ma (va ua) = mb ub Lopuksi ratkaistava tekijä saadaan yksin yhtälön vasemmalle puolelle: ma = mb ub / (va ua) Seuraavaksi on ratkaistava kappaleiden nopeudet kuvaajan avulla. Nopeudet saadaan s(t)- kuvaajasta fysikaalisina kulmakertoimina: va = (0,8 m / 0,5 s) = 1,6 m/s, ua = (0,2 m / 0,5 s) = 0,4 m/s ja ub = (1,0 m / 0,5 s) = 2,0 m/s Lopuksi sijoitetaan arvot ratkaistuun kaavaan ma = mb ub / (va ua) ma = (51 g 2,0 m/s) / (1,6 m/s 0,4 m/s) = 85 g Vastaus: Kappaleen A massa on 85 g. (Arminen 2003) 21

22 SYKSY 2000 Pohdintaa: Syksyn 2000 kysymysten joukossa esiintyi dynamiikan tehtävä, jossa tutkitaan jousen värähtelyä. Tehtävän mukainen koe on mahdollista suorittaa oppitunnilla. Tämän tehtävän ratkaisussa edellytetään graafisten kuvaajien taitoa. Koska kyseessä on käytännönläheinen tehtävä, ratkaisun järkevyyttä on suhteellisen helppo arvioida. Kysymys: Kappale, jonka massa on 125 g, värähtelee pystysuoran jousen varassa. Kappaleen poikkeama tasapainoasemasta mitattiin tietokoneeseen kytketyllä ultraäänianturilla (kuvat 1 ja 2). a) Määritä kuvan 1 perusteella värähtelyn taajuus ja jousen jousivakio. b) Kuinka suuri on kappaleen nopeus hetkellä 1,0 s? c) Arvioi kuvan 2 perusteella, kuinka paljon mekaanista energiaa kappale menettää aikavälillä 0-80 s. Ratkaisu: a) Määritetään kuvasta 1 jaksoaika T. Mittaustarkkuuden parantamaiseksi luetaan kuvasta mahdollisimman moneen jaksonaikaan kuluva aika ja jaetaan se niiden määrällä. Kuvasta on mahdollista lukea viisi jaksonaikaa, joiden kesto on 5T = 2,8 s. Yhden jaksonajan pituudeksi saadaan siis T = 0,56 s. Kysytty värähtelyn taajuus on jaksonajan käänteis eli f = 1 / T = 1 / 0,56 s = 1,79 Hz 1,8 Hz Harmonisen värähtelijän jaksonaika T = 2 (m/k), missä m = värähtelevän kappaleen massa ja k = jousen jousivakio. Kysytty jousen jousivakio k = 4 ²m / T ² = 4 ² 0,125 kg / 0,56² s² = 15,7 kg /s² 16 kg /s² 22