Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava"

Transkriptio

1 Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu Puh Tilaukset Kirjavälitys Oy Puh. 5 5 Faksi 5 5 painos Toimittaja: Mare Herlevi Taitto: Jukka Ottelin Piirrokset: Eeva Lehtonen 8 Tarmo Hautajärvi, Jukka Ottelin, Leena Wallin-Jaakkola ja Kustannusosakeyhtiö Otava ISBN ISBN Kopiointiehdot Tämä teos on opettajan opas. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (/6). Teoksen valokopioiminen on kielletty ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry Sidonta: KEURUSKOPIO Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 8

3 RATKAISUT KIRJAN TEHTÄVIIN Testaa lähtötaitosi. a) 7 7 :9 ( 7): b) Vastaus: a) b). a) 8 ( ) ( )( + ) b) + + ( + ) joko muistikaavalla tai. asteen juurten avulla c) Haetaan vastaavan yhtälön ratkaisut. ( ) ± ( ) ( ) 5 ± Lauseke ( + )( ) Vastaus: a) ( )( + ) b) ( + ) c) ( + )( )

4 9 9+. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± 9 ± ± Saadaan Vastaus: + 9. Toisen asteen yhtälöllä diskriminantti on nolla. Vastaus: ( a) a + a eli D D b ac a + a on yksi reaalijuuri, jos 5. Funktio f( ), kun <, kun y y Lasketaan pisteitä. y, < ( ) y

5 y, a) Funktio f ( ) + +. ( + ), kun + <, kun < Poistetaan itseisarvomerkit. + +, kun + +, kun Funktio +, kun <, kun < f( ) , kun +, kun Kun <, kyseessä on -akselin suuntainen suora. y +, 5 y y + y b) Yhtälö + + a-kohdan kuvaajasta nähdään, että f( ) + +, kun >. Saadaan yhtälö (a- kohdan nojalla) + Vastaus: : 6 6 5

6 7. Janan päätepisteet (, ) ja (, ) Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa janaa vasten. + y+ y + + ( ) Janan keskipiste,,, y ( ) Sen suoran, jonka osana jana on, kulmakerroin on k 5. Koska keskinormaali on kohtisuorassa tätä suoraa vasten, niiden kulmakertoimien tulo on. Keskinormaalin kulmakerroin k n. 5 Keskinormaalin yhtälö y y kn( ), y, kn 5 y ( ) ( ) 5 y 5 5 Vastaus: y Funktio f ( ) + 8 a) Toisen asteen polynomifunktion nimi on paraabeli. b) Kuvaaja leikkaa -akselin, kun y f ( ). f( ) ( ) ± ( ) Leikkauspisteet (8, ) ja (, ) 8 6

7 c) Koska paraabelin nollakohdat ovat (b-kohdan nojalla) ja 8 ja se aukeaa y- 8 akselin suuntaan, niin tangentti, joka on - akselin suuntainen pitää kulkea huipun kautta. Paraabeli on ylöspäin aukeava ja sen huippu sijaitsee pisteiden (8, ) ja (, ) puolivälissä, 8 joten huipun y-koordinaatti on negatiivinen. Myös kuvaajalla voidaan asiaa perustella. Vastaus: a) Paraabeli b) (8, ) ja (, ) 8 c) ei 9. Lasketaan suoran y+ on paraabelin y a + leikkauspisteet. Suora on paraabelin tangentti, jos se sivuaa paraabelia. Tällöin niillä on ainoastaan yksi yhteinen piste. y+ y a + sijoitetaan ylempään yhtälöön Vastaus: a + + a + yksi ratkaisu, joten diskriminantti on nolla D ( ) a ( ) a 9 a 9. Suora on paraabelin y tangentti, jos se sivuaa paraabelia. Tällöin niillä on ainoastaan yksi yhteinen piste. Tangentti on nouseva, joten sen kulmakerroin k >. Tangentin yhtälö y y k( ) (, y) (, 5), k > y+ 5 k( ) y k k 5 Paraabelin ja tangentin sivuaminen 7

8 y k k 5 y k k 5 k+ k+ 5 sivuaminen, eli D ( k) ( k + 5) k k 6 ( ) ± ( ) ( 6) k + 6 k 6 k 6 ei käy, k > Vastaus: Kulmakerroin on.. Rationaalifunktio 5) ) a) ( ) b) : c) + : : : Vastaus: a) b) 5 5 c) a) 9+ ) 9+ 9 y y b) : ( ) + ( ) ( ) + y y y y y Vastaus: a) b). a) ) + ) ) ( + ) ( ) ( 7) + ( 7) 8 8

9 b) ) ) ( )( + ) : ( 7) Vastaus: a) 8 b) + 8. a) Määritelty, kun nimittäjä on nollasta eroava, eli b) f( ) Nollakohdat f( ), kun. Nollakohta ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten funktiolla ei ole nollakohtia c) y y Vastaus: a) ja b) ei nollakohtia 5. a) Rationaalifunktio b) Nollakohdat f( ) + f( ) + on määritelty, kun nimittäjä + eli. ± Nollakohta ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten ainoa nollakohta on. 9

10 c) y y + Vastaus: a) ja b) 6. ) Määritelty, kun Nollakohdat Vastaus: 7. + ) ) + Määritelty, kun Nollakohdat + ± Vastaus: tai

11 8. ) ) + + Määritelty, kun Nollakohdat + + ± ( ) () ± + Vastaus: tai ) ) ) ( ) + ( ) Määritelty, kun ja Nollakohdat + ( ) Nollakohta ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten ei nollakohtia. Vastaus: Ei ratkaisuja

12 . ) Määritelty, kun Nollakohdat ± Vastaus: tai. (), molemmat puolet ei-negatiivisia ( ) ( ) ) ( ) + ( ) ( ) Määritelty, kun ( ), eli Nollakohdat Vastaus:. Kohdat, joissa funktio f( ) ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat + + Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta

13 f( ) Merkkikaavio Funktio on positiivinen, kun < tai > Funktio on negatiivinen, kun < < f( ) + f ( ) > + f ( ) < + f () > + Vastaus: Funktio on positiivinen, kun < tai > Funktio on negatiivinen, kun < <. Funktio f( ) + Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat + Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta ± Kohta ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten se ei ole funktion nollakohta. Merkkikaavio f( ) + ( ) f ( ) 5< + f () < f () > Funktio on positiivinen, kun < ja Funktio on negatiivinen, kun > Vastaus: Funktio on positiivinen, kun < ja. Funktio on negatiivinen, kun >.

14 . Funktio f( ) 9 Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat 9 9 ± Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta Kohta ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten se ei ole funktion nollakohta. Merkkikaavio f( ) 9 f ( ) 7 > ( ) 9 f () > f () < Funktio on ei-negatiivinen, kun < ja Vastaus: Funktio on ei-negatiivinen, kun < ja 5 < Funktio f( ) Funktio voi vaihtaa merkkinsä vain kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty ja nollakohdissaan. Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta

15 Merkkikaavio f( ) f () > f (,5),5< f (), 5 > Merkkikaaviosta nähdään, että f( ) <, kun < < Vastaus: < < 6. + ) ) ( )( + ) ( )( + ) Funktio f( ) ( )( + ) Funktio voi vaihtaa merkkinsä vain kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty ja nollakohdissaan. Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat ( )( + ) tai + Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta Merkkikaavio 5 f( ) ( )( + ) () f ( ) < ( )( + ) f (,5) > f (,5) < f () >

16 Merkkikaaviosta nähdään, että f( ) <, kun < tai < Vastaus: < tai < 7. < ) < < Funktio f( ) Funktio voi vaihtaa merkkinsä vain kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty ja nollakohdissaan. Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta ± Merkkikaavio f( ) ( ) f ( ) > f (,5) < f (,5) > f () < Merkkikaaviosta nähdään, että f( ) <, kun < < tai > Vastaus: < < tai > 6

17 8. + ) Funktio f( ) Funktio voi vaihtaa merkkinsä vain kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty ja nollakohdissaan. Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta + ( ) ± Kohta ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten se ei ole funktion nollakohta. Merkkikaavio + f( ) ( ) ( ) + f ( ) < f () < f () > Merkkikaaviosta nähdään, että f (), kun < Vastaus: < 7

18 9. ) f( ) Funktio voi vaihtaa merkkinsä vain kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty ja nollakohdissaan. Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty, eli nimittäjän nollakohdat Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta ± Koska välille [, [ ei kuulu yhtään sellaista kohtaa, jossa funktio voi vaihtaa merkkinsä, on se koko välillä samanmerkkinen. f( ),5 f (,5),75,5 Siis ( ),. f < aina, kun [ [. Oletus: ja < Väite: ) Todistus: Funktio f( ) Funktio f( ), kun lauseke. Koska jaettava ja jakaja <, niin niiden osamäärä on joko positiivinen (kahden negatiivisen luvun osamäärä) tai nolla. Tällöin f( ). Oletetaan, että. 8

19 ) Epäyhtälö toteutuu, kun 5 < Sen sijaan 9 5>. Väite ei siis ole voimassa toisinpäin. a a + a a( a a+ ) ( a ) a a a a ( a ) ( a+ )( a ) a+ a : + Lauseke ei ole määritelty, kun a a : + a : + a : +. + ) + + ( + ) + h ( ) + :( + ) + ( + )( + ) ( + )( + ) + Vastaus: + h ( ),, +. + ( ) : + + ( + ) 9

20 ( ) + + ( ) ( )( + ) + ( + )( ) + + Vastaus: + +. Yhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan a 5 ( 5) + ( 5) + a ( 5) a 8 5a 75 a 5 Sijoitetaan a 5 ja ratkaistaan yhtälö. + + a a Funktio f( ) on määritelty, kun nimittäjä ei saa arvoa, eli Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta. f( ) + 5 ( + 5) tai + 5

21 ± ( 5) ± ei käy, Nollakohdat ovat 5 ja Vastaus: a 5, muut ratkaisut 5. Luku Käänteisluku, Epäyhtälö > ) > > Funktio f( ) Funktio voi vaihtaa merkkinsä vain kohdissa. joissa se ei ole määritelty ja nollakohdissaan. Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty eli nimittäjän nollakohdat Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta. ±

22 Merkkikaavio f( ) ( ) f ( ) < f (,5),5> f (,5),5< f () > Merkkikaaviosta nähdään, että f( ) >, kun < < tai > Vastaus: < < tai > 6. Epäyhtälö + ) ) < + ) < < + < + Funktio f( ) Funktio voi vaihtaa merkkinsä vain kohdissa, joissa se ei ole määritelty ja nollakohdissaan. Kohdat, joissa funktio ei ole määritelty eli nimittäjän nollakohdat ± Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta. + ±

23 Merkkikaavio + f( ) ( ) + f ( ) < ( ) f (,5),6> f () < f (, 5), 6 > f () < Merkkikaaviosta nähdään, että f( ) <, kun < tai < < tai > Vastaus: < tai < < tai > 7. ) ( )( ) a) +, ja ) b) ( ), > ja ) + c) edellisten kohtien sievennykset, > ja + + Vastaus: a), ja b), ja c)

24 8. + a a a + a a ) a + a a a+ a ( a ) + a a Funktio ( a ) + a a f( ) on määritelty, kun nimittäjä ei saa arvoa, eli Funktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohtien joukosta. f( ) a eli a ( a ) + a a ( a ) a + a ( a ) a + a : ( a) a( a+ ) a a Tämä kelpaa ratkaisuksi, jos se ei ole nimittäjän nollakohta, eli jos a. Jos a, niin ratkaisuja ei ole. a eli a ( a ) a + a a identtisesti tosi Ratkaisuksi kelpaavat kaikki määrittelyjoukon luvut, eli ja Vastaus: a, kun a ja a ja, kun a ei ratkaisuja, kun a 9. a) ) ) a a+ a ) a a a a + a a + a + a a+ a a, a ± ( )( )

25 6a a 6 a a( a ) b) : a a a a a ( a ) a a a a ja a a ja a eli a, a Vastaus: a) a, a ± a b), a ja a a. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus. a) Annetaan muuttujalle arvoja ja lasketaan funktion arvot f( ),9,9,999,999,999 99,999 99, , , , , , Funktion arvot lähenevät arvoa. b) Annetaan muuttujalle arvoja ja lasketaan funktion arvot f( ),,,,,,,,,,,, Funktion arvot lähenevät arvoa. Vastaus: Funktion arvot lähestyvät arvoa a) b).. a) Annetaan muuttujalle arvoja ja lasketaan funktion arvot f( ),9,7,999,997,999 99,999 97, , , , , ,

26 Funktion arvot lähenevät arvoa. b) Annetaan muuttujalle arvoja ja lasketaan funktion arvot f( ),,,,,,,,,,,, Funktion arvot lähenevät arvoa. Vastaus: Funktion arvot lähestyvät arvoa a) b). +. Funktio f( ) + Annetaan muuttujalle arvoja, jotka ovat pienempiä kuin ja lasketaan funktion arvot + f( ) +,9,,999,,999 99,, ,, ,, , Funktion arvot lähenevät arvoa. b) Annetaan muuttujalle arvoja, jotka ovat suurempia kuin ja lasketaan funktion arvot + f( ) +,,,,,,,,,,,, Funktion arvot lähenevät arvoa. Vastaus: Funktion raja-arvo on. 6

27 . a) Raja-arvo lim Sievennetään lauseke Raja-arvo b) Raja-arvo lim lim + ( + ) ( ) Sievennetään lauseke + + Raja-arvo lim + 7

28 Vastaus: Raja-arvo on a) b).. a) Funktio, kun < f( ) +, kun, kun < Funktiolla f( ) ei ole raja-arvoa kohdassa, koska toispuoleiset +, kun raja-arvot lim f( ) lim ja lim f( ) lim ( + ) ovat erisuuret. b) Funktio g ( ), kun <, kun + + 8

29 Funktiolla g ( ), kun < ei ole raja-arvoa kohdassa, koska toispuoleiset, kun raja-arvot lim g ( ) lim ja lim g ( ) lim ( ) ovat erisuuret. + + Vastaus: a) Raja-arvoa ei ole olemassa. b) Raja-arvoa ei ole olemassa. 5. Tutki piirtämällä, onko funktiolla raja-arvo kodassa. +, kun a) Funktio f( ), kun > +, kun Funktion f( ) toispuoleiset raja-arvot kohdassa ovat, kun > lim f( ) lim + ja lim f( ) lim + +, joten funktiolla f on raja- arvo kohdassa. b) Funktio g ( ) 9

30 Funktion g ( ) toispuoleiset raja-arvot kohdassa ovat lim f( ) lim ja kohdassa. lim f( ) lim, joten funktiolla g on raja-arvo + + Vastaus: Funktioilla f ja g on raja-arvo kohdassa ja se on. 6. a) lim b) lim c) lim ( ) ( ) Vastaus: Raja-arvo on a) b) c). 7. a) lim ( ) ( + ) lim lim( + ) ( + ) b) lim lim lim ( + ) ( + ) ( ) c) lim lim lim lim( ) ( ) ( ) ( ) Vastaus: Raja-arvo on a) b) c).

31 8. a) ( ) ( )( + ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( ) + 6 b) Raja-arvo lim 7 + Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin käyttäen apuna toisen asteen polynomin nollakohtia. Osoittaja Nimittäjä Raja-arvo + 6 ± ( 6) ( 7) ± ( 7) ( + )( ) lim lim lim 7+ ( ) ( 5) 5 5 c) ) lim[( ):( + )] lim lim + + lim Vastaus: Raja-arvo on a) b) ( ) ( + ) + ( ) 5 c). 9. a) lim + + ( ) + ( ) + Ei raja-arvoa.

32 b) lim lim lim ( ) ( + ) c) Raja-arvo lim Sijoittamalla lausekkeeseen, se muuttuu muotoon, joten sekä osoittajan että nimittäjän tekijänä on polynomi. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa. Osoittajan jakaminen ± ± ± ± Nimittäjän jakaminen + + ± ± ± Raja-arvo ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( + + ) Vastaus: a) Ei raja-arvoa. b) Raja-arvo on. c) Raja-arvo on.. a) Funktio, kun g ( ) + >, kun

33 Koska funktio on paloittain määritelty ja sen lause muuttuu kohdassa, missä raja-arvo pitää laskea, tarkastellaan toispuolisia raja-arvoja kohdassa. Vasemmalta: lim g ( ) lim ( ) ( ) Oikealta: lim g ( ) lim + ( ) Koska toispuoleisien raja-arvojen arvot ovat yhtä suuret, niin funktiolla on raja-arvo kohdassa ja se on toispuoleisten raja-arvojen yhteinen arvo., kun b) Funktio f( ) +, kun > Tarkastellaan toispuoleisia raja-arvoja. Vasemmalta: lim f( ) lim ( ) ( ) Oikealta: lim f( ) lim + ( ) ( ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa. Vastaus: a) Raja-arvo on. b) Funktiolla ei ole raja-arvoa.. Funktio jatkuva kohdassa, jos funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion raja-arvo tässä kohdassa., kun a) Funktio f( ) 5 +, kun > Raja-arvon laskemiseksi tarkastellaan toispuoleisia raja-arvoja kohdassa. Vasemmalta: lim f( ) lim ( ) Oikealta: 5 5 lim f( ) lim ( + ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa. Täten funktio ei ole jatkuva kohdassa.

34 ( ), kun b) Funktio g ( ) + +, kun > Raja-arvon laskemiseksi tarkastellaan toispuoleisia raja-arvoja kohdassa. Vasemmalta: lim g ( ) lim( ) ( ) Oikealta: lim g ( ) lim( + + ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa. Täten funktio ei ole jatkuva kohdassa. Vastaus: a) Funktio ei ole jatkuva. b) Funktio ei ole jatkuva.. Funktio jatkuva kohdassa, jos funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion raja-arvo tässä kohdassa., kun < a) Funktio f( ), kun Raja-arvon laskemiseksi tarkastellaan toispuoleisia raja-arvoja kohdassa. Vasemmalta: lim f( ) lim ( ) Oikealta: + + lim f( ) lim ( ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret, niin funktion raja-arvo kohdassa on lim f( ). Funktion arvo kohdassa on f() Funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion raja-arvo kohdassa, joten funktio on jatkuva kohdassa. +, kun b) Funktio g ( ) + 8, kun > Raja-arvon laskemiseksi tarkastellaan toispuoleisia raja-arvoja kohdassa. Vasemmalta: lim g ( ) lim ( + ) + Oikealta: lim g ( ) lim ( + 8 )

35 Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret, niin funktion raja-arvo kohdassa on lim f( ). Funktion arvo kohdassa on f() + Funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion raja-arvo kohdassa, joten funktio on jatkuva kohdassa. Vastaus: a) Funktio on jatkuva. b) Funktio on jatkuva. a, kun <. Funktio f( ) a, kun Funktion osat ovat polynomifunktioina jatkuvia kaikkialla. Funktio on jatkuva kohdassa, jos funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion raja-arvo tässä kohdassa. f( ) a, < lim f( ) lim f( ) f( ) + f( ) a, lim ( a) lim ( a) a + a a a : a Vastaus: Funktio on jatkuva kaikkialla, kun a.. a) lim + b) lim[: ( + )] lim[: ( )] lim[ ] + Vastaus: a) b) 5. f( ) f() lim lim lim lim lim ( ) Vastaus: 6. Jatkuvuusehto lim f ( ) f ( a ) a 5

36 lim( ) a a a a a + a+ ± ( ) a () a a a y y 5 y a y y y Vastaus: a tai a 7., <, < f( ), < 5, 5 5 Funktio ei ole jatkuva koska esimerkiksi kohdassa lim f( ), 6 f() 6

37 8. Jatkuvuusehto lim f( ) f( ) a Jotta lausekkeella olisi raja-arvo kohdassa, on osoittajalla ja nimittäjällä oltava yhteinen nollakohta kohdassa. ( ) + ( ) + ( ) + a a Osoittajan tekijät ( + )( + ) ( + )( + ) + 5 lim lim lim ( + )( ) lim f( ) f( ) 5 5 ( ) + b b Vastaus: a ja b 9. r + π kr π gr () on kaikkialla jatkuva, jos nimittäjällä ei ole nollakohtia eli kun r + π kr+ k diskriminantti D < D ( πk) k π k k π k k < Nollakohdat π k k k( π k ) k tai π k k π Merkkikaavio Vastaus: < k < π 7

38 5. ( + )( ) lim lim lim ( + )( ) ( + )( ) lim lim lim ( + )( ) ( + )( ) ( + ) Vastaus: 5. ( + ) ( ) + + ( + ) lim lim lim lim ( ) ( ) Vastaus: 5. ( + )( ) lim lim lim lim ( )( ) ( )( ) Vastaus: 5. + ( + + )( + ) lim lim lim lim ( + + ) ( + + ) + + Vastaus: 5. Jotta funktiolla olisi äärellinen raja-arvo kohdassa, on oltava osoittaja ja nimittäjän yhteinen nollakohta eli a 6 + a Osoittajan nollakohdat 8

39 6+ (6) ± (6) Nimittäjän nollakohdat Joten ( ) ± ( ) ( ) 6+ ( )( ) ( ), kun ( )( + ) + Vastaus: a ja raja-arvo on 55. a + b + a a+ b + a a+ b + ( ) ( ) + Jotta funktio olisi jatkuva pisteessä, on se oltava määritelty siinä pisteessä eli osoittajan on oltava nimittäjän tekijä. Suoritetaan jakolasku + a a+ b ( a+ ) + b a + a Jotta jako menisi tasan, tulee lausekkeen (a + ) + b a olla identtisesti nolla eli a + ja b a eli a ja b. + f ( ) + ( ) lim( ) f(), joten f on jatkuva pisteessä. +, kun f( ) ( ), kun Vastaus: a ja b ( + )( ) 56. a) lim lim lim( ) + + 9

40 b) ( )( + + ) lim lim lim( + + ) Vastaus: a) b). Funktion derivaatta 57. a) Kappale kulkee pisteiden (,) ja (9,6) kautta. 6 m m m Keskimääräinen nopeus aikavälillä s 9 s v k,7 9 s s s b) Kappale kulkee pisteiden (,) ja (,) kautta. m m m Keskimääräinen nopeus aikavälillä s s v k,7 s s s c) Hetkellinen nopeus neljän sekunnin kuluttua liikkeelle lähdöstä saadaan kyseiseen käyrän kohtaan piirretyn tangentin kulmakertoimesta. Tangentti kulkee pisteiden (,) ja (,7) kautta. 7 m m m Nopeus neljän sekunnin kuluttua liikkeelle lähdöstä v k,5 s s s Vastaus: Kappaleen nopeus ona),7 m/s b),7 m/s c),5 m/s.

41 58. Piirretään käyrälle kysytyn pisteen kautta kulkeva tangentti. a) Funktion derivaatta kohdassa. Tangentti kulkee pisteiden (, ) ja (,) kautta. Derivaatta f ( ) ( ) 7 ( ) b) Funktion derivaatta kohdassa Tangentti on -akselin suuntainen. Derivaatta f () c) Funktion derivaatta kohdassa Tangentti kulkee pisteiden (,) ja (, ) kautta. Derivaatta f () ( ) d) Funktion derivaatta kohdassa Tangentti kulkee pisteiden (, ) ja (,) kautta. Derivaatta f ( ) ( ) Vastaus: Derivaatta on a) 7 b) c) d). 59. a) Koska funktion kuvaaja on suora kohdassa, niin kuvaajan tangentin kulmakerroin on sama kuin suoran kulmakerroin. Derivaatta kohdassa on f ( ),5 ( ) b) Derivaatta kohdassa ei ole olemassa, koska kyseiseen kohtaan ei voi piirtää tangenttia c) Derivaatta kohdassa

42 Tangentti kulkee pisteiden (,) ja (,) kautta. Derivaatta f (),8 Vastaus: a) Derivaatta on,5. b) Derivaattaa ei ole olemassa. c) Derivaatta on,8. 6. Funktio f() f ( ) f( ) Derivaatta f '( ) lim a) Derivaatta kohdassa f( ) f() ( + )( ) f '() lim lim lim b) Derivaatta kohdassa f( ) f( ) ( )( + ) f '( ) lim lim lim ( ) + + Vastaus: a) f () b) f ( ) + 6. Funktio f() + Δ f f ( ) f( ) Erotusosamäärä Δ f ( ) f( ) Derivaatta f '( ) lim a) Erotusosamäärä kohdassa Δf f( ) f() + 8 Δ Polynomin + 8 nollakohdat + 8

43 ± ( 8) Δ f + 8 ( + )( ) Erotusosamäärä Δ + f( ) f() Derivaatta f '() lim lim( + ) 6 b) Erotusosamäärä kohdassa Δf f( ) f( ) + + ( + ) + Δ f( ) f( ) Derivaatta f '( ) lim lim ( + ) + Vastaus: a) Erotusosamäärä on Δ f + ja derivaatta f () 6. b) Erotusosamäärä on Δ Δ f + ja derivaatta f ( ). Δ 6.a) Funktio f( ) + f ( ) f( ) Derivaatta f '( ) lim f( ) f() + f '() lim lim lim lim ( ) ( + ) + b) Funktio f( ) + 9) + ) f( ) f() 9 Derivaatta f '() lim lim 9 + lim : ( ) 9(+ ) + 8 ( ) lim lim 9(+ ) 9( + ) 9( + ) 8 Vastaus: a) f '() b) f '() 8 + )

44 6. Funktio f( ) + Erotusosamäärä kohdassa ) + ) Δf f( ) f() + :( ) Δ ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) f( ) f() Derivaatta f '() lim lim ( + ) 6 Δ f Vastaus: Erotusosamäärä on ja derivaatta f '(). Δ ( + ) 6 Δ f f ( ) f( ) 6. Funktion f erotusosamäärä Δ Erotusosamäärä kohdassa a) Funktio f() Δf f( ) f() + Erotusosamäärä Δ b) Funktio f() Erotusosamäärä Δf f( ) f() 8 ( ) ( + ) + Δ c) Funktio f() + Δf f( ) f() ( ) ( + ) Erotusosamäärä Δ Δ f Δ f Δ f Vastaus: a) b) + c) Δ Δ Δ f ( + h) f( ) 65. Funktion f derivaatta f '( ) lim h h Derivaatta kohdassa a) Funktio f() f( + h) f() ( + h) h Derivaatta f '() lim lim lim h h h h h h b) Funktio f() f( + h) f() ( + h) + 8h h + Derivaatta f '() lim lim lim h h h h h h h ( 8 h) lim 8 h h

45 c) Funktio f() Derivaatta f( + h) f() ( + h) + 6h+ h f '() lim lim lim h h h h h h h (6 + h) lim 6 h h Vastaus: Derivaatta kohdassa on a) b) 8 c) Funktio f() + Funktion arvo f() + f( + h) f() ( + h) + ( + h) + Derivaatta f () lim lim h h h h h h + h+ h( h) lim lim h h h h Vastaus: f() ja f () 67. Funktion f() + kasvunopeuden ilmaisee funktion derivaatan arvo kysytyssä kohdassa. a) Kasvunopeus kohdassa f( + h) f() ( + h) + ( + h) f () lim lim h h h h h h + + h h lim lim h h h h b) Kasvunopeus kohdassa f + h f + h + + h f ' lim lim h h h h + h + + h h h + + h lim lim h h h h h ( h) lim h h Vastaus: Kasvunopeus on a) b). 68. Funktion f derivaatta kohdassa f ( ) f( ) Derivaatta f '( ) lim 5

46 a) Funktio f() Derivaatta f '( ) ) + f( ) f( ) lim lim + lim : ( + ) lim + b) Funktio f() + + ) f( ) f( ) Derivaatta f '( ) lim lim + lim : ( + ) ( + ) lim lim c) Funktio f() 5 ) 5) f( ) f( ) 8 5 Derivaatta f '( ) lim lim 5 + lim : ( + ) + + ( 5) 5( + ) 5 lim ( 5) + Vastaus: Funktion f derivaatta kohdassa on a) b) c) 69. Funktio f() +. Funktion arvo f() + f( + h) f() ( + h) + ( + h) + Derivaatta f () lim lim h h h h h + h h( h + ) lim lim h h h h Vastaus: f() ja f () Funktio f() +. Funktion arvo f( ) ( ) + ( ) 5 f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) + 5 Derivaatta f ( ) lim lim h h h h 6

47 8+ h 6h + h + h+ h( 6 h+ h ) lim lim h h h h Vastaus: f( ) 5 ja f ( ) 7. Kuvaajan ja -akselin leikkauskohdat eli nollakohdat ovat,;,; ;, ja,. Derivaatan arvo kohdassa, on pisteeseen (, ; ) piirretyn tangentin kulmakerroin, joka on,9. Vastaus: Nollakohdat ovat,;,;,;, ja f ( ),9. 7. Piirretään kuvaajalle tangentti kohtaan. Tangentti kulkee pisteiden (,) ja (,) kautta. Derivaatan arvo on tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä. f () k t Derivaatalla on sama arvo kuin origossa pisteissä (, ) ja (,). Vastaus: f () ja derivaatalla on sama arvo kuin origossa pisteissä (, ) ja (,). 7. Funktio f : f( ) Derivaatan määritelmä f '( ) lim Derivaatta pisteessä l f ( ) f( ) 7

48 ) ( ) '() lim ( + ) f lim : ( ) lim Vastaus: f () ( + ) 7. Funktio f toteuttaa välillä < < yhtälön f() + + f( ). Täten f() + + f() f() Lisäksi lim f( ), joten lim f( ) Derivaatan määritelmä f '( ) lim f + h f h ( ) ( ) f( + h) f() f( h) f() + h+ h f( h ) Derivaatta f () lim lim lim h h h h h h h+ h f( h ) h lim lim + hf ( h ) lim + hf ( h ) h h h h h Vastaus: f () h 75. Funktio f( ) + Derivaatan määritelmä f '( ) lim f ( ) f( ) + ) Derivaatta f () lim + lim : lim + + Vastaus: f () + f ( + h) f( ) 76. Derivaatan määritelmä f '( ) lim h h f( a+ h) f( a) Tällöin f '( a) lim k h h f ( a+ h) f( a h) f( a+ h) f( a) + f( a) f( a h) Kysytty raja-arvo lim lim h h h h f( a+ h) f( a) f( a) f( a h) f( a) f( a h) lim + lim k+ lim k k k h h h h h + h f( a+ h) f( a h) Vastaus: Kysytty raja-arvo on lim k. h h f ( + h) f( ) 77. Derivaatan määritelmä f '( ) lim h h f( + h) f() + ( + h) + ( + h) 9 Derivaatta f () lim lim h h h h 8

49 lim lim lim h h h h h Vastaus: Derivaatta on f () 6. h h h h h h (6 + h) h 6. Polynomifunktion derivaatta 78. a) Funktio f() 5 Derivaatta f () b) Funktio f() π Derivaatta f () Vastaus : Derivaatta on a) f () b) f (). 79. a) D b) D c) D d) D e) D Vastaus: Derivaatta on a) b) c) 8 7 d) 7 6 e) 8. a) D(6 5 ) 6 5 b) D( ) 8 c) D( ) d) D( 9 ) e) D( ) D( 6 ) Vastaus: Derivaatta on a) b) 8 c) d) 5 9 e) a) D( + + ) b) D( + ) c) D( 5 97) Vastaus: Derivaatta on a) b) c) a) D( + + ) b) D( 5 ) c) D( + + ) Vastaus: Derivaatta on a) + b) c)

50 a) D( + + ) D( ) b) D( + ) D( ) c) D( 6 + 5, +,6,6) D(,,6,6) ,,6 + Vastaus: Derivaatta on a) + + b) c) 6 5 5,, a) D( + ) D( + + ) b) D[( )( + )] D[ + ] D[ ] (5 + ) c) D( ) D( ) D(5 7 + ) d) D( ) D( ) Vastaus: Derivaatta on a) 8 + b) 9 c) d) Funktio f( ) Derivaatta f () Derivaatan arvot f () + f ( ) ( ) + ( ) f ( ) ( ) + Vastaus: Derivaatan arvot ovat f (), f ( ) ja f ( ). 86. Funktio f( ) + Derivaatta f () + 5

51 Derivaatan arvo kohdissa, ja f () f () f ( ) ( ) ( ) Vastaus: Derivaatan arvot ovat f (), f () ja f ( ). 87. a) Funktio f ( ) + Derivaatta f '( ) Yhtälö f '( ) b) Funktio f ( ) + Derivaatta f '( ) Yhtälö f '( ) Vastaus: a) b) a) Funktio f ( ) 5+ Derivaatta f '( ) 5 Yhtälö f '( ) 5 ( ) ± ( ) ( 5) b) Funktio f ( ) + 9 Derivaatta f '( ) 5+ Yhtälö f '( ) 5 + ( 5) ± ( 5)

52 Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat a) 5 ja b) ja. 89. a) Funktio f () t + t Derivaatta f () t + t t + t b) Määritä f (t), kun f (t) t + t. Funktio f () t + t Derivaatta f (t) + t + t Vastaus: Derivaatta on a) f () t + t b) f (t) + t. 9. Funktio f() a + + b Ehto f() a + + b a + b Derivaatta f () a + Ehto f () a + a : a Sijoitetaan a ylempään ehtoon. a+ b a + b b Vastaus: Vakiot ovat a ja b Funktio f ( ) + + Funktion kasvunopeus f '( ) + 5 kohdissa, ja f '( ) + 5 f '( ) + 5 f '( ) ( ) + 5 ( ) 9 Vastaus: Funktion kasvunopeus kohdissa, ja on, ja Ilvesten määrä f ( ), Muutosnopeus f '( ) 6, a) Muutosnopeus vuoden kuluttua f '( ) 6,

53 b) Muutosnopeus 5 vuoden kuluttua f '( 5) 6, Vastaus: a) 99 eläintä/a b) 8 eläintä/a 9. Raketin lentorata y + 5 Raketin lentoradan ylin piste on paraabelin huipussa. Derivoimalla saadaan y' Derivaatan nollakohta y' paraabelin huipun -koordinaatti Paraabelin huipun y-koordinaatti y Vastaus: Raketti käy 9 metrin korkeudella. 9. Sukelluksen syvyys dt (), t t Sukelluksen syvyyttä kuvaa ylöspäin aukeava paraabeli, joten suurin syvyys saadaan paraabelin huipusta. Derivoimalla saadaan d'( t) 8, t Derivaatan nollakohta d'( t),8t t 5 Sukelluksen syvyys d( 5), Koska Terho on suurimmassa syvyydessä 5 s:n kuluttua, niin sukellus kestää 5 s 5s Vastaus: Terho käy 5 metrin syvyydellä ja sukellus kestää 5 s. 95. Funktio f() π Derivaatta f () Yhtälö f () + 9 ( ) ± ( ) Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat ja Millä muuttujan arvoilla funktion f() + derivaatta saa arvon nolla? Funktio f() + Derivaatta f () + + Derivaatan nollakohdat f () + 5

54 ± ( ) Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat ja. 97. Funktio f() 5 Derivaatta f () Funktion nollakohdat f() 5 ( ) ± ( ) ( 5) Merkkikaavio Funktio f() 5 saa negatiivisia arvoja eli f() <, kun < < 5 Derivaatta f () saa negatiivisia arvoja eli f () < < < : < Vastaus: Funktio ja sen derivaatta saavat yhtä aikaa negatiivisia arvoja, kun < <. 98. Funktio f() + a + b 8 Derivaatta f () + a + b Ehdot f( ) ( ) + a( ) + b( ) 8 a b 6 f () 9 + a + b 9 a + b 7 Saadaan yhtälöpari. a b 6 a+ b 7 5

55 Alemmasta yhtälöstä saadaan b a + 7, joka sijoitetaan ylempään yhtälöön. a ( a + 7) 6 a 6 : a 5 Täten b Derivaatta f () + Derivaatan nollakohdat f () + ± ( ) Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat ja. 99. Toisen asteen polynomi P() a + b + c Derivaatta P () a + b Yhtälö P() P () a + b + c (a + b) a + (b a) + c b Yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla, kun a b a, eli b c b, eli c Vastaus: Polynomifunktio on P() +.. Polynomifunktio P() + a + Derivaatta P () + a + Derivaatta on kaikkialla positiivinen, kun + a + >. Derivaatan nollakohdat P () + a + Derivaattafunktion kuvaajana on ylöspäin aukeava paraabeli, joten se on kaikkialla positiivinen, kun derivaatalla ei ole nollakohtia. Toisen asteen polynomifunktiolla ei ole nollakohtia, kun D <. (a) < a 6 < Nollakohdat a 6 a 6 : Merkkikaavio a 9 a ± 55

56 Vastaus: Derivaatta on kaikkialla positiivinen, kun < a <. Polynomi P() a + + b Derivaatta P () a + + b Ehdot P( ) P ( ) a ( ) + ( ) + b ( ) a ( ) + ( ) + b a b a+ b Ylemmästä yhtälöstä saadaan a b, joka sijoitetaan alempaan yhtälöön. ( b) + b b Täten a Vastaus: Kertoimet ovat a ja b.. a) Funktio f ( ) ( + ) + Derivaatta f '( ) +. b) Funktio f ( ) ( )( + ) + 6 Derivaatta f '( ) Vastaus: a) + b) Käyrän tangentti ja normaali. Käyrä f( ) 5 Derivaatta f () Tangentin kulmakerroin k t f ( ) ( ) 5 Tangentin yhtälö y y k t ( ), y f( ) ( ) ( ) 5 y ( ) 5( ( )) y 5 6 Normaalin kulmakerroin kn kt 5 5 Normaalin yhtälö y y k n ( ), y f( ) 56

57 y ( ) ( ( )) 5 y 5 5 Vastaus: Tangentin yhtälö on y 5 6 ja normaalin y Käyrä f( ) Derivaatta f () Tangentin kulmakerroin k t f ( ) ( ) 7 Tangentin yhtälö y y k t ( ), y f( ) ( ) ( ) 7 y 7 7( ( )) y 7 7 Normaalin kulmakerroin kn kt 7 7 Normaalin yhtälö y y k n ( ), y f( ) 7 y ( ( )) 7 9 y + 7 Vastaus: Tangentin yhtälö on y 7 7 ja normaalin 9 y Paraabeli y + l Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k t Paraabelin kohta, jonka kautta tangentti kulkee : Tangentin yhtälö y y k t ( ), y y( ) ( ) + y ( ) y 5 Vastaus: Tangentin yhtälö on y 5. 57

58 6. Käyrä f ( ) + Koska f(), niin piste (,) ei ole käyrällä. Derivaatta f () + Tangentin kulmakerroin k t f ( ) + Pisteen (,y ) kautta kulkevan tangentin yhtälö y y k t ( ) y f ( ) +, k t f ( ) + y ( + ) ( + )( ) Tangentti kulkee pisteen (,) kautta + ( + )( ) + ± Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y, k t f () y ( ) y Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y, k t f ( ) y ( ) ( ( )) y + Vastaus: Tangentin yhtälöt ovat y ja y +. 58

59 7. Käyrä f( ) + Koska f(), niin piste (, ) ei ole käyrällä. Derivaatta f () Tangentin kulmakerroin k t f ( ) Pisteen (,y ) kautta kulkevan tangentin yhtälö y y k t ( ) y f( ) +, k t f ( ) y ( + ) ( ) Tangentti kulkee pisteen (, ) kautta ( ) ± Tangentin yhtälö y y k t ( ) y, k t f ( ± ) ± y ± ( ( ± )) y ± Vastaus: Tangentin yhtälöt ovat y ±. 8. Käyrä y Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin pisteessä on k t y ( ) ( ) Normaalin kulmakerroin kn kt Normaalin yhtälö y y k n ( ) y ( ) ( ) 59

60 y ( ( )) y + Vastaus: Tangentin kulmakerroin on ja normaalin yhtälö on y Paraabeli y + Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin pisteessä on k t y () () Normaalilla ei ole kulmakerrointa, joten normaali on y-akselin suuntainen. Normaalin yhtälö Vastaus: Normaalin yhtälö on.. Käyrä : y 5 Derivaatta y () 5 Tangentin kulmakerroin k y () 5 Koska tan α, niin tangentin suuntakulma α 7,56... Käyrä : y + 6 Derivaatta y () + Tangentin kulmakerroin k y () + Koska tan α, niin tangentin suuntakulma α Käyrien välinen leikkauskulma on α α 7,6. Vastaus: Käyrien välinen leikkauskulma on 7,6. 6

61 . Paraabelien y + ja y + leikkauspisteet. y + y ( ) ( ) ± + Symmetrian perusteella molemmissa leikkauspisteissä on yhtä suuri leikkauskulma. Paraabeli : y + Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k y () Koska tan α, niin tangentin suuntakulma α 6,... Paraabeli : y + Derivaatta y () + Tangentin kulmakerroin k y () + Koska tan α, niin tangentin suuntakulma α 6,... Tangenttien välinen kulma on α α α 6,... ( 6,... ) 6, Käyrien välinen kulma β 8 α 5, Vastaus: Käyrien välinen leikkauskulma on 5,.. Käyrät y ja y + sivuavat toisiaan, kun niiden leikkauspisteisiin piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet ovat yhtä suuret. 6

62 Käyrien leikkauspisteet y y : + + ( + ) + Käyrä : y Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k y ( ) ( ) Käyrä : y + Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k y () ( ) Koska k k, niin käyrät sivuavat toisiaan.. Raketti lähtee paikasta, missä Raketin lentorata y + 5 Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k t y () () Koska tan α, niin raketin lähtökulma α 88,6 Vastaus: Raketin lähtökulma on 88,6.. Käyrä Koska y y (6) , niin piste (6,7) on käyrällä. Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k t y (6) 6 Normaalin kulmakerroin k n k t Normaalin yhtälö y y k n ( ) 6, y 7 y 7 ( 6) y + Normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste 6

63 y + 7 y ( 9) ± ( 9) ( 8) Toisen leikkauspisteen y-koordinaatti y + 7 Vastaus: Normaaliin yhtälö on y + ja normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste on,. 6

64 5. Käyrä y Koska y( ), niin piste (, ) ei ole käyrällä. Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k t y ( ) Pisteen (,y ) kautta kulkevan tangentin yhtälö y y k t ( ) y y ( ) Tangentti kulkee pisteen (, ) kautta ( ), k t y ( ) 6

65 + ± ( ) Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y 9, k t y ( ) 6 y 9 6( ( )) y 6 9 Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y, k t y () y ( ) y Vastaus: Tangentin yhtälöt ovat y 6 9 ja y. 6. Käyrä y + Koska y(), niin piste (,) ei ole käyrällä. Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k t y ( ) Pisteen (,y ) kautta kulkevan tangentin yhtälö y y k t ( ) y +, k t y ( ) 65

66 y ( + ) ( )( ) Tangentti kulkee pisteen (,) kautta ( + ) ( )( ) ± ( ) ( ) + Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y, k t y () y ( ) y Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y 6, k t y () y 6 ( ) y 6 Vastaus: Tangentin yhtälöt ovat y ja y Käyrä kulkee pisteen (a, a ), a kautta. Käyrä y Derivaatta y () Tangentin kulmakerroin k t y (a) a Tangentin yhtälö y y k t ( ) a, y a y a a ( a) y a a Tangentin ja y-akselin leikkauspiste y a 66

67 Normaalin kulmakerroin kn kt a Normaalin yhtälö y y k n ( ) a, y a y a ( a ) a y + a + a a Normaalin ja y-akselin leikkauspiste y a + a Tangentti ja normaali yhdessä y-akselin kanssa rajaaman kolmion pinta-ala ( ) ) a + a a a + a 9a + A 6 Alan raja-arvo a A a a 9 + lim lim 6 6 Vastaus: Alan raja-arvo on a) Funktio y ( + l) + + Derivaatta y () 8 + Tangentin kulmakerroin k t y () 8 + Tangentin yhtälö y y k t ( ), y ( + ) 5 y 5 ( ) y 5 b) Tangentti leikkaa -akselin, kun y. 5 5 : Vastaus: a) Tangentin yhtälö on y 5. b) Tangentti leikkaa -akselin kohdassa. 9. Käyrä y + Derivaatta y () + Käyrän pisteiden (,) ja (,) kautta kulkevan suoran kulmakerroin k 9 Kohta, jossa tangentti on suoran suuntainen 67

68 y () k + 9 Pisteen y-koordinaatti y() + Vastaus: Piste on (,).. Käyrä kulkee pisteen (,8) kautta. Käyrä y a + b a + b 8 8a + b 8 : Derivaatta y () a + b b a a) Tangentti on -akselin suuntainen eli k. Tangentin kulmakerroin k t y () a + b a + b Sijoitetaan b a saatuun yhtälöön a + a a b 6 b) Tangentti on suoran y + 5 suuntainen eli k. Tangentin kulmakerroin k t y () a + b a + b Sijoitetaan b a saatuun yhtälöön a + a a 8 b 8 Vastaus: Vakiot ovat a) a ja b 6 b) a ja 8 b. 68

69 . Käyrien leikkauspisteet + y 5 y Sijoitetaan y ylempään yhtälöön. y y+ y 5 + y 5 ± ( 5) y 6 y y Lasketaan. Jos y 5, niin yhtälöllä ( 5) ei ole ratkaisua. Jos y, niin, eli ±. Käyrien leikkauspisteet ovat (,) ja (,). Kuvaajien symmetrisyyden perusteella riittää laskea tangenttien leikkauskulma ainoastaan toisessa leikkauspisteessä (,). Paraabeli y Derivaatta y'( ) Tangentin kulmakerroin kt y'() Koska tan α, niin tangentin suuntakulma α 5 Ympyrän ja paraabelin leikkauspisteeseen piirretyn säteen kulmakerroin k 69

70 Ympyrän tangentin kulmakerroin k k Koska tan α, niin tangentin suuntakulma α 6,... Suuntakulmien erotus α α 5 ( 6,... ) 8, Tangenttien välinen kulma β 8 8, 7,6 Vastaus: Tangenttien välinen kulma on 7,6.. a) Käyrä y + Tangentin kulmakeroin k t y () Suora + y eli y Kohta, jossa suora voi olla käyrän tangentti. Suoran kulmakerroin k on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin : + ( ) ± ( ) Tangentin yhtälö, kun. y y k t ( ), y, k t y ( ) ( ) y Täten suora + y on käyrän tangentti. 7

71 b) Käyrä y + Tangentin kulmakeroin k t y () Normaalin kulmakerroin k n Suora + y eli y Kohta, jossa suora voi olla käyrän normaali. Suoran kulmakerroin k on yhtä suuri kuin normaalin kulmakerroin. (6 8+ ) ( ) tai Normaalin yhtälö, kun. y y k t ( ), y, k n y ( ) y Täten suora + y on käyrän normaali.. Käyrä y + Derivaatta y () 8 + Normaalin kulmakerroin k Normaalin suuntakulma on 5. Normaalin kulmakerroin k Kohta, jossa normaali leikkaa käyrän. (8 + ) Leikkauspisteen y-koordinaatti n k y'( ) 8+ t y + Vastaus: Käyrän normaalin ja -akselin leikkauspiste on,.. Käyrä y + a + b Tangentin kulmakerroin k t y () + a 7

72 Käyrällä on y-akselin suuntainen normaali, siinä pisteessä, missä sillä on -akselin suuntainen tangentti, eli tangentin kulmakerroin on k. Saadaan yhtälö + a a : a a ±, a Normaali on y-akselin suuntainen, kun a, ja b. Vastaus: Normaali on y-akselin suuntainen, kun a, ja b. 5. Origon kautta kulkevan suora y k, k Paraabeli y Suoran ja paraabelin leikkauspisteet y y k 7

73 k + k + k k ± k ( ) ( ) k 6k + 6 k k + k + 6k + 6 k+ k + Derivaatta y'( ) Pisteeseen k k + piirretyn tangentin kulmakerroin y'( ) k k + Pisteeseen k + k + piirretyn tangentin kulmakerroin y'( ) k + k + Kulmakertoimien tulo y y k k '( ) '( ) ( k k + )( k k + ) Koska kulmakertoimien tulo on, niin tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 6. Käyrä y + Derivaatta y () + Suoran y suuntaisen tangentin kulmakerroin k Kohta, jossa tangentti on suoran suuntainen y () k + : ± Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y, k t y () y ( ) y Tangentin yhtälö, kun y y k t ( ) y, k t y ( ) y ( ) ( ( )) y + Vastaus: Tangentin yhtälöt ovat y ja y +. 7

74 7. Paraabeli y Derivaatta y () Normaalin kulmakerroin kn kt Normaalin yhtälö y y k n ( ), y y ( ) y + Normaalin ja paraabelin leikkauspisteet y y ± ( ) Leikkauspisteiden y-koordinaatit 9 Jos, niin y. Jos, niin y Kolmion ala A ( ) 8 7

75 Vastaus: Kolmion ala on Suoran y ja paraabelin y a (a > ) leikkauspisteet a a (a ) tai, a > a 75

76 Pisteen P koordinaatit ovat Paraabeli y a Derivaatta y () a P, a a. Tangentin kulmakerroin y' a a a Tangentin yhtälö y y k t ( ), y a a, k t y a a y a Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y. a a Normaalin yhtälö y y k n ( ), y a a, k n y a a y + a Normaaliin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y. + a a Kolmion ala on 5. Saadaan yhtälö 5 a a a 5 5 a a a a 5 : a, a > a Vastaus: Kolmion ala on viisi, kun a. 76

77 9. Käyrä y Tangentin kulmakerroin k t y () Suora y + y Suoran kulmakerroin k on sama kuin tangentin kulmakerroin. Kohta, johon tangentti piirretään. : Tangentin yhtälö y y k t ( ), y, k t 6 y ( ) 6 y 6 Suoran ja y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla. y 6 6 Vastaus: Käyrän tangentti leikkaa y-akselin pisteessä, 6.. Paraabelin yhtälö y a + b + c Kiven lähtöpiste (,), joten y(), eli c. Kiven putoamispiste (,) eli y() eli 9a + b. Kiven korkein kohta on pisteessä (5,) eli 5a + 5b. Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan a ja b. 5 Paraabelin yhtälö y + 5 Derivaatta y'( ) + 5 Lähtökulma tan α y () tanα α 5, Vastaus: Kiven lähtökulma on 5,. 77

78 . Paraabelin yhtälö y a + b + c Pallon lähtöpiste (,), joten y(), eli c. Pallon putoamispiste (5,) eli y(5) eli 5a + 5b. Kiven lähtökulma on, joten y () tan, eli a + b. Täten b Sijoittamalla b saadaan 5a + 5 a 5 Paraabelin yhtälö y + 5 Derivaatta y'( ) + 5 Paraabelin huipussa y () + (5 ) Pallon suurin lentokorkeus y (5) , 5 5 Vastaus: Pallo käy 7, metrin korkeudessa.. Käyrä y Tangentin kulmakerroin k t y () Tangentti on -akselin suuntainen, kun y (). Saadaan yhtälö :6 + ± ( ) Pisteiden y-koordinaatit Jos 5, niin y 85. Jos, niin y. Vastaus: Pisteet ovat (, ) ja ( 5, 85). 78

79 Testaa hyvät taitosi. a) Funktio f( ) + Nollakohdat f() + ( ) b) Funktio f ( ) Nollakohdat f() ± Vastaus: Nollakohdat ovat a) b) ja. 6. Funktioiden f( ) ja g ( ) + kuvaajien leikkauspiste saadaan merkitsemällä funktiot yhtä suuriksi. f() g() : Leikkauspisteen y-koordinaatti f () Vastaus: Leikkauspiste on (,). + ) ) ( + ) + ( ). Funktio f( ) + + ( )( + ) ( ) Funktion arvo f ( ) ( ) Vastaus: Funktion lauseke on f( ) ja sen arvo on ( ) f. 79

80 . Derivaatta f () k t ( ) Vastaus: Derivaatta f (). 5. Funktion kasvunopeus on funktion derivaatan arvo kyseisessä pisteessä. Funktio f ( ) + Derivaatta f () + Kasvunopeus kohdassa on f () + 5 Vastaus: Kasvunopeus kohdassa on Raja-arvo lim Osoittajan nollakohdat + 6 : + 8 ± ( 8) ( + ) ( ) Raja-arvo lim lim ( ) Vastaus: Raja-arvo on 6. ( + ) 6 8

81 + 7. Funktio f( ) Δ f f( ) f( ) Erotusosamäärä Δ Erotusosamäärä kohdassa on + ) Δf f( ) f() + :( ) Δ Δ f Vastaus: Erotusosamäärä kohdassa on. Δ 5+ a 8. Raja-arvo lim on olemassa, kun nimittäjästä voidaan supistaa pois lauseke Tällöin myös osoittajan tekijänä on + ja samalla osoittajan nollakohta on. Sijoitetaan osoittajan lausekkeeseen ja merkitään se nollaksi. ( ) 5 ( ) + a a 8 Vastaus: Raja-arvo on olemassa, kun a Funktio f () + Derivaatta f () + Derivaatan arvo f ( 5) ( 5) + 9 Vastaus: Derivaatan arvo f ( 5) 9. +, kun. Funktio f( ) a, kun Funktio on jatkuva kohdassa, kun funktion raja-arvo on yhtä suuri kuin funktion arvo. + ( + ) Funktion raja-arvo lim f( ) lim lim Kun määritellään, että f(), niin funktio on jatkuva kohdassa. Tällöin a. Vastaus: Funktio on jatkuva kohdassa, kun a. 8

82 6. Tulon ja osamäärän derivaatta. a) D[ ( )] D[ 5 ] b) D[( 5)( 5 + )] ( 5 + ) + ( 5) c) D + 6 ( ) Vastaus: a) b) c) 6 6. a) D[ ( + )] ( + ) + + b) D[ (+ )( + )] ( + ) + (+ ) + 7 c) D[ 5 ( + )] 5 ( + ) + 5 ( + ) Vastaus: a) + b) + 7 c) ( + ) 5. a) D + ( + ) ( + ) ( + 5) + b) D + 5 ( + 5) ( + 5) + 6 ( + ) ( + ) + 6 c) D + ( + ) ( + ) Vastaus: a) ( + ) b) + ( + 5) c) + 6 ( + ) 6. a) D ( + ) ( )( ) ( ) D (+ ) (+ ) (+ ) ( b) D + 5) 5 ( )( ) ( 5) D ( ) ( ) ( ) ( )(+ ) 8 ( + + ) ( )(+ ) c) D D ( + ) + + ( + + ) (8 + 6 ) ( + ) ( + ) 8

83 Vastaus: a) 6 ( + ) ( + ) ( + ) b) c) ( + ) ( ) ( + ) 7. a) D( + ) ) + ) b) D D( + ) ( )(+ ) 6 + c) D D D(6 + ) 6+ + ) Vastaus: a) b) + 8 c) a) D D6 8 8 b) D D 5 5 c) D( ) D( ) + Vastaus: a) 8 b) c) 5 9. Funktio f() ( + ) Derivaatta f () ( + ) + ( + ) 5 + Yhtälö f () 5 + (5 + ) tai Vastaus: Yhtälö f (), kun tai. 5 8

84 . a) Funktio f( ) ( ) Derivaatta f '( ) ( ) ( ) Yhtälö f () ( ) Ei ratkaisua b) Funktio f( ) ( ) Derivaatta f( ) ( ) ( ) Yhtälö f () ( ) ( ) tai Vastaus: a) Ei nollakohtia b) tai t. a) Funktio f( ) + t t( + t) t t + t Derivaatta f () ( + t) ( + t) t b) Funktio f() t + t. ( + t) t Derivaatta f (t) ( + t) ( + t) t + t Vastaus: a) f () b) f (t) ( + t) ( + t). Funktio h() f()g() Derivaatta h () f ()g() + f ()g () Derivaatan arvo h () f ()g() + f ()g () Funktioiden arvot f () ja g() Funktioiden derivaatat f () ( ) ja g () ( ) Kysytty derivaatta h () f ()g() + f ()g () + ( ) 8

85 Vastaus: Derivaatta on h ().. Funktio f( ) ) Derivaatta f () + + Epäyhtälö f () Osoittajan nollakohta Nimittäjän nollakohta Merkkikaavio f ( ) 6 > f (,5) 6 < f () > Epäyhtälön ratkaisu f () < Vastaus: Epäyhtälö f (), kun <. 85

86 .Funktio ( )( ) + f( ) + + ( )( + ) ( ) + + Derivaatta f () ( + ) ( + ) Epäyhtälö f () > + + > ( + ) Osoittajan nollakohta + + ± ± Ei nollakohtaa Nimittäjän nollakohta ( + ) Merkkikaavio f ( ) > f () > Epäyhtälön ratkaisu f () > Vastaus: Epäyhtälö f () >, kun. 5. Funktio h ( ) f ( ) Derivaatta h'( ) f '( ) f( ) f '( ) ( ) f( ) ( ) Derivaatan arvo h ( ) ( ) ( ) () 7 ( ) Vastaus: Derivaatan arvo on h ( ) 7. f( ) ja f ( ) 86

87 6. Koska tangentti leikkaa positiivisia koordinaattiakseleita, niin vakio on k >. k Käyrä f ( ) k k Derivaatta f '( ) k k Tangentin kulmakerroin kt f '() k Tangentin yhtälö y y k ( ), y k t y k k( ) y k+ k Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y. k + k k k : k Tangentin ja y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla. y k+ k y k Tangentin ja positiivisten koordinaattiakseleiden rajoittaman kolmion ala k A A 8 k 8 : k Vastaus: Vakio k. 87

88 7. Funktio 7 f( ) + 8 (6 )(+ ) ( ) Derivaatta f '( ) (+ ) Derivaatan nollakohdat f () : 5 + ± ( ) Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat ja a) Funktio f( ) + Funktion nollakohdat f() ± b) Funktio f( ) + (+ )(+ ) ( + + ) + 8 Derivaatta f () (+ ) (+ ) 88

89 Derivaatan nollakohdat f () + 8 ( + ) + 8 : + 5 ± ( 5) Vastaus: a) Funktion nollakohdat ovat ja. b) Derivaatan nollakohdat ovat 5 ja. 9. Funktio + + f ( ) + + Derivaatta f () + Derivaatta on negatiivinen f () < Osoittajan nollakohdat ± Nimittäjän nollakohdat Merkkikaavio ) f ( ),5 > f () < f () < f (),5 > Derivaatta on negatiivinen f () < < < tai < < Vastaus: Derivaatta on negatiivinen, kun < < tai < <. 89

90 5. Käyrä y + ( + ) ( ) 9 Derivaatta y'( ) ( + ) ( + ) Tangentin kulmakerroin kt 9 y'() ( + ) Tangentin ja yhtälö y y kt( ), y, kt y ( ) y Normaalin kulmakerroin kn k Normaalin yhtälö y y kn( ), y, kn y ( ) y + 8 t Vastaus: Tangentin yhtälö on 5. y ja normaalin y

91 Käyrä Derivaatta + y ( ) ( + ) y'( ) ( ) ( ) Tangentin kulmakerroin kt y'() ( ) Tangentin ja yhtälö y y kt( ), y 5, kt y 5 ( ) 7 y + Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y Normaalin kulmakerroin kn k Normaalin yhtälö y y kn( ), y 5, kn y 5 ( ) y + Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y. + ( 7) 5 Pinta-ala A Vastaus: Ala on. t a 5. Käyrä y a Derivaatta a y'( ) a Tangentin kulmakerroin k Tangentin ja yhtälö t a y'( ) a a y y k ( ) y, k t t 9

92 a a y ( ) a a y + Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y. a a + a a a Tangentin ja y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla. a a y + a y Kolmion ala Käyrän ala on a. a A a a a y jokainen tangentti muodostaa koordinaattiakseleiden kanssa kolmion, jonka 9

93 5. k Käyrä y + ( + ) k k Derivaatta y'( ) ( + ) ( + ) k k Tangentin kulmakerroin kt y'() (+ ) Tangentin yhtälö k k y y kt( ), y, kt k k y ( ) k k y + Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y. 9

94 k k + k k k : Tangentin ja y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla. k k y + k y Tangentin ja positiivisten koordinaattiakseleiden rajoittaman kolmion ala k A A k 8 : 8 8 k 6 Vastaus: Vakio k Laske sen kolmion ala, jota rajoittavat koordinaattiakselit sekä käyrälle pisteeseen (,) piirretty normaali. (S85/) Käyrä y Derivaatta y'( ) Normaalin kulmakerroin k n k t y'() Normaalin yhtälö y y kn( ), y, kn y ( ) y + Normaalin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y. + Normaalin ja y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla. y 9

95 y + y Normaalin koordinaattiakseleiden rajoittaman kolmion ala Vastaus: Ala on. A 55. Funktio f ( ) + + Derivaatta f '( ) Yhtälö f () : ± Vastaus: Derivaatta on f (). Yhtälön f () ratkaisu on ±. 7. Funktion kulun tutkiminen 56. f( ) f '( ) Derivaatan nollakohdat ( ) ± ( ) ± 56 Ei juuria Kulkukaavio 95

96 f () f () Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on aidosti kasvava kaikilla muuttujan arvoilla. 57. a) Funktio f () 5 ja muuttujan arvot ovat f () 5 f '() Derivaatan nollakohdat Kulkukaavio Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on aidosti kasvava, kun, joten se saa suuremman arvon muuttujan suuremmalla arvolla. a,56 >,5 b, joten funktio saa suuremman arvon muuttujan arvolla a. b) Funktio f () ja muuttujan arvot ovat f () f '() 5, kaikilla, joten funktio on aidosti vähenevä kaikilla muuttujan arvoilla, joten se saa suuremman arvon muuttujan pinemmällä arvolla. d,98776 <,98776 c, joten funktio saa suuremman arvon muuttujan arvolla d. Vastaus: a) a,56 b) d, f ( ) + f '( ) 6 6 Derivaatan nollakohdat 6 6 ( 6) ± ( 6) 6 ( ) Kulkukaavio Vastaus: kasvava, kun tai, vähenevä, kun 96

97 59. y y' Derivaatan nollakohdat ( ) tai tai ± Kulkukaavio y '( ) < y '(,5) > y '(,5) < y '() > Vastaus: a) tai b) tai 6. f () + f ' () + 6 Derivaatan nollakohdat + 6 ( + ) tai Kulkukaavio f '( ) > f '(, 5) > f '() > 7 maksimiarvo f ( ) ( ) + ( ) 6 Vastaus: maksimiarvo f() + 97

98 ( + ) + f '() ( + ) ( + ) Derivaatan nollakohdat ± Kulkukaavio f '( ) < f '() > f '() < minimiarvo f ( ) ( ) + maksimiarvo f () + Vastaus: minimiarvo maksimiarvo 6. f () + 9, välillä [,] f ' () + 9 Derivaatan nollakohdat ± ( ) 5,5 ei kuulu välille + 5 Kulkukaavio maksimiarvo f ( ) ( ) + ( ) 9 ( )

99 minimiarvo f ( ) ( ) + ( ) 9 7 maksimiarvo f () Vastaus: maksimiarvot ja f() ( ) ( + ) f '() ( ) ( ) Derivaatan nollakohdat ( ) + + ± ± ei juuria Kulkukaavio, minimiarvo 7 Vastaus: Ei ääriarvoja. 6. f () + p + p f '() + p + p Derivaattafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa vain negatiivisia arvoja ja funktio on kaikkialla vähenevä, jos derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta eli diskriminantti D. D (p) ( ) p p + 6p Nollakohdat p(p + 9) p tai p 9 Diskriminantin merkkikaavio Vastaus: 9 p 99

100 65. f () p + f ' () p + Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa vain positiivisia arvoja ja funktiolla ei ole ääriarvoja, jos derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta eli diskriminantti D. D ( p) p Nollakohdat p p tai p Diskriminantin merkkikaavio Vastaus: p 66. y 5 5 Kuvaajasta nähdään, että derivaatan nollakohdat ovat, ja sekä,. Derivaatta on negatiivinen, kun <, tai >, ja positiivinen,, kun, < <,. Vastaus: vähenevä, kun, tai,, kasvava, kun,,, minimikohta, ja maksimikohta,

101 67. a) funktion nollakohdat ; ja, derivaatan nollakohdat eli paikalliset ääriarvokohdat ja b) derivaatan nollakohdat ovat ; ja ja derivaatta vaihtaa merkkinsä järjestyksessä + +, joten minimikohdat ovat ja, maksimikohta on ja derivaatan arvo kohdassa on,5, joten kulmakerroin,5 68. Paikallinen ääriarvokohta voi olla: * kohdassa, jossa derivaatta vaihtaa merkkinsä * suljetun välin päätepisteessä * kohdassa, jossa derivaattaa ei ole a) Kohdissa ja 5 on minimi, koska funktion arvo pienempi kuin lähellä olevat muut funktion arvot. Kohdissa ja 7 on maksimi, koska funktion arvo suurempi kuin lähellä olevat muut funktion arvot.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot