VIRHEENKORJAUS JA -ILMAISU

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "VIRHEENKORJAUS JA -ILMAISU"

Transkriptio

1 VIRHEENKORJAUS JA -ILMAISU Kanavakoodaus B. Sklar, Digital Communications () Shannon Hartleyn-laki Tiedonsiirron perusresurssit Otsikon lain mukaan ideaalisen (analogisen) kanavan kapasiteetti (kohina valkoista Gaussin kohinaa) on S S = E C = B log+ bit/s b R b = teho N = N N B missä B on kaistanleveys ja S/N on signaali-kohinasuhde Siirtojärjestelmän perusresurssit ovat tämän mukaan lähetysteho (määrää signaali-kohinasuhteen) ja kaistanleveys suorituskykyä mitataan virhetodennäköisyyden avulla käytännössä suorituskykyä ei saada täysin ideaaliseksi järjestelmän monimutkaisuus asettaa rajoituksia LÄHETYSTEHO MONIMUTKAISUUS KAISTANLEVEYS VIRHETODENNÄKÖISYYS () 4 () Tiedonsiirron perusresurssit Tiedonsiirron perusresurssit Perusresursseja pyritään käyttämään säästeliäästi Siirtojärjestelmät jaetaan tehorajoitettuihin ja kaistarajoitettuihin tehorajoitetuissa järjestelmissä lähetystehoa on niukasti mutta kaistanleveyttä runsaasti esim. avaruustietoliikennejärjestelmät kaistarajoitetuissa järjestelmissä tilanne on päinvastainen esim. analoginen puhelinkanava Perusresursseja pyritään säästämään erilaisilla modulaatio- ja koodausmenetelmillä KOODAUS MODULOINTI Monimutkaisuus Lähetysteho KANAVA Kaistanleveys Signaali-kohinasuhde Monimutkaisuus DEKOODAUS DEMODULOINTI Virhetodennäköisyys () ()

2 Tiedonsiirron perusresurssit Erilaisia koodausjärjestelmiä Tavoitteet ovat ristiriitaiset esim. lähetystehon pienentäminen pienentää lähettimen tehonkulutusta ja kokoa, mutta virhetodennäköisyys kasvaa ellei kaistanleveyttä tai käytetyn koodaus- tai modulointimenetelmän monimutkaisuutta lisätä Jotkut järjestelmät ovat sekä kaista- että tehorajoitettuja Tällöin järjestelmän suunnittelussa on oltava erityisen huolellinen käytettävä koodaus- ja modulaatiomenetelmät on yhdistettävä FEC-MENETELMÄT KANAVAKOODAUSMENETELMÄT ARQ-MENETELMÄT () 8 () Erilaisia koodausjärjestelmiä Erilaisia koodausjärjestelmiä FEC (forward error correction) virheen ilmaisu ja korjaus dekooderissa ei tarvita paluukanavaa, reaaliaikainen toiminta käytössä tehorajoitetuissa järjestelmissä ARQ (automatic repeat request) virheen ilmaisu ja virheellisen lohkon toistopyyntö vaatii paluukanavan toiminta ei reaaliaikainen sekä teho- että kaistarajoitettuihin järjestelmiin soveltuva menetelmä KOODERI KANAVA FEC KOODERI KANAVA PALUU- KANAVA Virheenkorjaus ARQ NAK = negative acknowledgement ACK = positive acknowledgement 9 () () Kanavakoodien jako Kanavakoodaus LOHKOKOODIT KANAVAKOODIT KONVOLUUTIOKOODIT Kanavakoodauksessa signaaliin lisätään sellaista systemaattista redundanssia (ns. ylimäärää), että sitä voidaan käyttää tehokkaasti virheen ilmaisuun ja korjaukseen dekooderissa Redundanssi lisätään pariteettibittien avulla esimerkkinä viitenumeron ja tilinumeron tarkisteen laskeminen Nämä pariteettibitit lasketaan informaatiobiteistä erityisillä kanavakoodausalgoritmeilla n bitin koodilohko n bitin koodilohko n bitin koodilohko k informaatiobittiä (n k) pariteettibittiä k informaatiobittiä (n k) pariteettibittiä k informaatiobittiä (n k) pariteettibittiä () (mod--summa) LOHKOKOODI koodaus koodaus koodaus ()

3 Merkinnät Lohko- ja konvoluutiokoodien ero Redundanssi tuo signaaliin tietynlaisen muistiominaisuuden Jos kanavassa syntyy bittivirhe tai -virheitä, muistia hyväksikäyttäen virhe voidaan ilmaista ja mahdollisesti korjata Merkinnät: n = lohkon pituus (koodisanan tai koodin pituus) k = informaatiobittien lukumäärä (informaatiosanan pituus) n k = pariteettibittien lukumäärä R c = k/n = koodisuhde (koodinopeus) informaatiobittien suhteellinen osuus kaikista biteistä Jos pariteettibitit lasketaan vain samaan lohkoon sisältyvien informaatiobittien avulla, kysymyksessä on lohkokoodi Jos pariteettibitteihin vaikuttavat myös aikaisempien lohkojen informaatiobitit, kysymyksessä on konvoluutiokoodi n bitin koodilohko k informaatiobittiä (n k) pariteettibittiä n bitin koodilohko k informaatiobittiä (n k) pariteettibittiä KONVOLUUTIOKOODI n bitin koodilohko k informaatiobittiä koodaus (mod--summa) (n k) pariteettibittiä () 4 () Perusteita Perusteita Erilaisia koodisanoja on siis n kpl kooderi käyttää niistä vain k kpl n > k Kanavassa koodisanaan saattaa tulla virheitä vastaanotettu koodisana voi olla mikä tahansa n :stä koodisanasta Dekoodaus tapahtuu kahdessa vaiheessa Virheen korjaaminen (virheen paikallistaminen) on paljon monimutkaisempaa kuin virheen ilmaisu ARQ-järjestelmässä virhettä ei korjata virheellinen lohko pyydetään lähettämään uudestaan Virheen ilmaisu perustuu siihen, että dekooderi laskee pariteettibitit uudestaan ja vertaa niitä vastaanotettuihin pariteettibitteihin virheellinen lohko täytyy ensin ilmaista sen jälkeen virheen (virheiden) paikka täytyy määrittää k n k virheen ilmaisu MOD- (OR) virheen korjaus + virhe korjataan invertoimalla virheellinen bitti vertailu () () Perusteita Perusteita Merkintä (n,k)-koodi tarkoittaa kanavakoodia, jonka lohkonpituus on n ja informaatiobittien lukumäärä k Samaa merkintää käytetään sekä lohko- että konvoluutiokoodeille Jos lähteen nopeus on R s bit/s, niin kooderin lähdössä nopeus on Koska n/k >, bittinopeus kasvaa kanavakooderissa johtuu redundanssin lisäämisestä Samalla yhden bitin energia pienenee k εc = εb = εb Rc n pidetään koodisanan energiaa samana n Rs Rs = k R c bit/s Kanavassa siis syntyy enemmän virheitä kuin koodaamattomassa järjestelmässä jossa R c = k/n on koodisuhde Koodinkorjauskyvyn ansiosta kuitenkin dekooderin lähdössä tilanne on enemmän kuin kompensoitu () 8 ()

4 Perusteita Perusteita P( e) dekooderi (joskus, -, voidaan hyväksyä) P( e) << Dekooderin tulossa virhesuhteen (virheellisten bittien osuus kaikista biteistä) on yleensä oltava, muuten dekooderi ei toimi asianmukaisesti Monimutkaisia koodeja käytettäessä virhesuhde,, voidaan vielä hyväksyä Rajan yläpuolella dekooderi ei vastaanota riittävästi oikeita bittejä ja dekooderi itse asiassa alkaa lisätä virheitä (kynnysilmiö) Kanavakoodauksessa siis signaalin kaistanleveys kasvaa (jos informaationopeus halutaan säilyttää), mutta virhesuhde paranee Samalla lähetysteholla päästään pienempään virhesuhteeseen kaistanleveyden kustannuksella 9 () () Shannonin raja Shannonin raja Kirjassa Sklar, Digital Communications, Fundamentals and Applications, Second Edition (s. 8) on osoitettu, että jatkuvan kanavan kapasiteetti on positiivinen (C > ), kun signaali-kohinasuhde bittiä kohti on E N b > = ˆ, db log e Tätä alarajaa sanotaan Shannonin rajaksi, jota ei voida millään koodaus- tai modulaatiomenetelmällä alittaa Raja on johdettu kvantisoimattomalle pehmeälle päätöksenteolle Kovan päätöksenteon raja on db suurempi P(e) raja P(e) = / - koodattu järjestelmä koodaamaton antipodaalinen järjestelmä - (esim. binäärinen PSK) E b P( e) = erfc N kovan päätöksenteon raja (+,4 db) koodausvahvistus Shannonin raja (, db) () () Koodausvahvistus Koodausvahvistus tarkoittaa koodauksella saavutettua etua signaali-kohinasuhteessa Koodausvahvistus riippuu virhetodennäköisyydestä (ja tietysti koodista) Esim. edellä olevassa tilanteessa on teoriassa mahdollista saavuttaa koodausvahvistus, db (kun P(e) = - ) kvantisoimatonta pehmeää päätöksentekoa käytettäessä Kovaa päätöksentekoa käytettäessä menetetään koodausvahvistuksesta db ja kolmen bitin kvantisoinnissa (Q = 8), db Huom. koodausvahvistus tulee kaistanleveyden kustannuksella Lohkokoodit Koodien toiminta perustuu modulo--aritmetiikkaan + k n k Lineaarisessa kooderissa käytetään vain mod--summaimia eli OR-piirejä (exclusive or = ehdoton tai) n mod- () 4 () 4

5 Lohkokoodit Lohkokoodit Esim. (n,n )-koodi informaatiosana koodisana informaatiosana koodisana pariteettibitti (parillinen pariteetti) Koodi on systemaattinen, jos informaatiobitit sisältyvät sellaisenaan koodisanaan Koodi on lineaarinen, jos pariteettibitit lasketaan informaatiobittien lineaarisena kombinaationa modulo--summana Lineaarisessa koodissa saa käyttää vain ORoperaatioita ei esim. AND-operaatioita Merk. u = [u, u,, u k ] informaatiosana x = [x, x,, x n ] koodisana () () Lohkokoodit Lohkokoodit Esim. Toistokoodi (n = ) (,)-koodi Esim. Hamming-koodi ((,4)-koodi) u u 4 u u u x x x Esim. (,)-koodi u u x x x u u x x x () x x x x 4 x Koska koodit ovat systemaattisia, tarvitsee laskea vain n k pariteettibittiä x x 8 () Lohkokoodin generoijamatriisi Lohkokoodin generoijamatriisi Generoijamatriisi (generoiva matriisi) määrittelee kooderin rakenteen Esim. (,4)-Hamming-koodi x x x u 4 x 4 x u u x u x x x x x 4 x x x u u = G u u 4 Koodisana x lasketaan informaatiosanasta u seuraavasti: x = ug Jos u = (), niin x = = = ( ) 4 ( ) + ( ) ( ) 4 9 () ()

6 (,4)-Hamming-koodi Lohkokoodin generoijamatriisi Informaatiosanat Koodisanat Koodisana saadaan siis laskemalla yhteen generoijamatriisin ne rivit, jotka vastaavat informaatiosanan ykkösiä Systemaattisen koodin generoijamatriisi on muotoa G = [ I k P ] jossa I k on yksikkömatriisi (kxk-matriisi) P on kx(n k)-matriisi (pariteettimatriisi) Onko koodi systemaattinen? On se () () Lineaarisen lohkokoodin ominaisuuksia Käsitteitä. Jokainen koodisana on generoijamatriisin tiettyjen rivien summa. Lohkokoodin koodisanat saadaan selville laskemalla kaikki mahdolliset generoijamatriisin rivien summat. Kahden koodisanan summa on koodisana (superpositioperiaate) 4. Nollasana on aina koodisana Nimitys lineaarinen koodi tarkoittaa sitä, että kaikki koodisanat voidaan laskea generoijamatriisin rivien lineaarisena kombinaationa Hamming-paino = koodisanan sisältämien ykkösten lukumäärä x = () Hamming-paino = 4 Hamming-etäisyys = kahden koodisanan välinen ero = kahden koodisanan summan Hamming-paino x = () x = () x + x =() Hamming-etäisyys = () 4 () Käsitteitä Käsitteitä koodisanat poikkeavat toisistaan kuudessa bittipaikassa merk. d = huom. d ij n Minimietäisyys = koodin koodisanojen välisistä Hamming-etäisyyksistä pienin merk. d min lineaarisen lohkokoodin minimietäisyys on sama kuin minimietäisyys nollasanasta ts. nollasanaa lähimpänä olevan koodisanan Hamming-paino () Esim. (,4)-Hamming-koodi koodisana Hamming-paino ()

7 Käsitteitä Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky painojakauma Kova päätöksenteko, kanavamalli paino koodisanojen lkm. 4 x + e y x = lähetetty koodisana y = vastaanotettu sana e = virhesana taulukosta nähdään, että koodin minimietäisyys on d min = Huom. Lineaarisen lohkokoodin painojakauma on samalla etäisyysjakauma mistä tahansa koodisanasta y = x + e () 8 () Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Virheen ilmaisu verrataan vastaanotettuja pariteettibittejä (n k kpl) dekooderissa laskettuihin pariteettibitteihin virhe on tapahtunut, jos yksikin vastaanotettu pariteettibitti on erilainen kuin informaatiobiteistä dekooderissa laskettu y = k mod- n s = + = mod--summa oiresana (syndrome) Jos oiresana s =, niin virhe on tapahtunut Oiresana voidaan laskea pariteetintarkistusmatriisin H avulla: s = y H T x(n k) xn nx(n k) jossa matriisi H T on matriisin H transpoosi nx(n-k) (n-k)xn 9 () 4 () Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Esim. (,4)-Hamming-koodi. Oiresanan s = (s, s, s ) bitit saadaan seuraavasti: y = (y, y,, y ) kooderi x = u + u + u x = u + u + u 4 x = u + u + u 4 u x x x x 4 x x x u = G u u 4 kxn dekooderi s = (y + y + y ) + y s = (y + y + y 4 ) + y s = (y + y + y 4 ) + y lasketaan pariteettibitit uudestaan verrataan vastaanotettuihin vastaaviin bitteihin s H = s = I s y y y y 4 y y y (n-k)xn T ( P ) n k 4 () s = y H T x(n k) xn nx(n k) s = = ( y y y y y y y ) ( y + y + y + y, y + y + y + y, y + y + y + y ) = ( s, s, s) 4 n 4 n ( n k ) 4 4 ()

8 Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky "pariteettimatriisi" pariteetintarkistusmatriisi G = (I k P) H = (P T I n k ) x = ug s = yh T Esim. T GH = = 4 4x Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Ominaisuus: oiresana s = yh T on nollasana, jos ja vain jos y on koodisana Ominaisuus: dekooderi voi ilmaista kaikki virhesanat e, jotka eivät ole koodisanoja s = yh T = (x + e)h T = xh T + eh T = eh T jos e on koodisana, niin oiresana on nollasana Tulos on voimassa yleisesti: GH T = 4 () 44 () Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Teoreema jos lineaarisen lohkokoodin minimietäisyys on d min, niin koodi voi ilmaista kaikki virhesanat, joiden paino on enintään d min d min x y x d min s = yh T = (x + e)h T = xh T + eh T = eh T Erilaisia oiresanoja on n k kpl Erilaisia vastaanotettuja sanoja on n kpl Jokaista oiresanaa kohti on siis k kpl vastaanotettua sanaa Selitys: virhesanaan e voi lisätä minkä tahansa koodisanan x ( k kpl) eikä oiresana silti muutu 4 () 4 () Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Lohkokoodin virheen ilmaisu- ja korjauskyky Teoreema. jos lineaarisen lohkokoodin minimietäisyys on d min, niin koodi voi korjata kaikki virhesanat, joiden paino on enintään t = [(d min )/], [ ] tarkoittaa tässä kokonaislukuosaa koodia sanotaan tällöin t virhettä korjaavaksi koodiksi d min d min (ilmaisu) [(d min )/] (korjaus) 4 4 d min d = min dmin t = d min t = d = d min min Koodinsuunnittelun tavoite on käyttää redundanssia mahdollisimman suuren minimietäisyyden saavuttamiseksi 4 () 48 () 8

9 Lohkokoodin taulukkohakudekoodaus Lohkokoodin taulukkohakudekoodaus Esim. (,4)-Hamming-koodi oiresana virhesana H T = jos y = (), niin s = yh T = ( ) = ( ) dekoodaustaulukosta ê = () korjattu sana on xˆ = y + ê = () korjaus 49 () () Lohkokoodin taulukkohakudekoodaus Koodiperheiden kehitys koska taulukkohakudekoodaus on monimutkainen, (jos n k on suuri) käytetään käytännössä erilaisia dekoodausalgoritmeja dekoodaus saadaan yksinkertaiseksi valitsemalla koodi sopivasta koodiperheestä () () Hamming-koodit Hamming-koodit s = yh T = (x + e)h T = eh T Oiresanaan lasketaan mukaan ne H:n sarakkeet (H T :n rivit), joita vastaava virhesanan bitti on ykkönen Etsitään sellaista matriisia H (eli samalla matriisia G), joka korjaa yhden virheen Huom. H:n sarakkeet ovat itse asiassa oiresanoja Jos jokin H:n sarakkeista olisi nollasana, virhettä tuossa paikassa ei voitaisi ilmaista Jos taas kaksi H:n saraketta olisi samanlaisia, virhettä jommassakummassa näistä paikoista ei voitaisi korjata, koska oiresanat olisivat samoja Johtopäätös: lohkokoodi voi korjata yhden virheen, jos ja vain jos H:n sarakkeet ovat kaikki erilaisia eikä yksikään ole nollasana Hamming-koodit ovat koodeja, joilla H:n sarakkeet (n kpl) muodostavat kaikki mahdolliset (n k):n bitin sekvenssit paitsi nollasekvenssin H on (n k)xn-matriisi, joten Hamming-koodilla n = n k Merkitään m = n k Hamming-koodit ovat siis ( m, m m)-koodeja m =,, () 4 () 9

10 Hamming-koodit Hamming-koodit m (n,k) r c = k/n (,) (,), (,4), 4 (,), (,),89 (,),9 ei koodi koodisuhde kasvaa Esim. (,)-koodin pariteetintarkistusmatriisi H = jos virhesana on e = (), oiresanaksi tulee s = eh T = () oiresana ilmoittaa tässä tapauksessa suoraan binäärisessä muodossa virheellisen bitin paikan dekoodaus on suoraviivaista 4 () () Hamming-koodit Lohkokoodeja koodi ei ole kuitenkaan systemaattinen systemaattinen muoto saadaan yksinkertaisesti järjestelemällä sarakkeet uudelleen = H koska Hamming-koodi korjaa yhden virheen, sen minimietäisyyden täytyy olla d min = Hamming-koodi duaalikoodi Maksimipituuskoodi lisää pariteettibitti Laajennettu maksimipituuskoodi lisää vastakkaiset koodisanat Reed Müller-koodi (r = ) simplex-koodi ortogonaalinen koodi biortogonaalinen koodi () 8 () Sykliset koodit Sykliset koodit Lineaarinen lohkokoodi on syklinen, jos ja vain jos minkä tahansa koodisanan syklisesti siirretty versio on myös koodisana Syklisten koodien ominaisuuksia: koodaus ja dekoodaus suhteellisen yksinkertaista takaisinkytketyt siirtorekisterit käytössä matemaattinen käsittely polynomialgebraa käyttäen Esim. (,4)-Hamming-koodi on syklinen 9 () ()

11 Sykliset koodit Sykliset koodit Koodisana x = (x n, x n,, x ) esitetään koodipolynomin Esim. Hamming-koodi on syklinen (,4)-koodilla on avulla x(d) = x n D n + x n D n + + x D + x G = Kertoimet x n, x n,, x ovat binäärisiä merk. nollia ja ykkösiä D D G(D) = D D 4 + D + (D + D + )(D + D + D + (D + )(D = + D + D D(D + D + D + D + ) + D + ) + D + ) + D + () () Sykliset koodit Sykliset koodit Kaikki koodipolynomit ovat siis jaollisia polynomilla g(d) = D + D + Tämä polynomi on koodin generoijapolynomi Teoreema syklisen (n,k)-koodin generoijapolynomi g(d) on polynomin D n + tekijä kääntäen: jokainen polynomin D n + tekijä, jonka asteluku on (n k), generoi syklisen (n,k)-koodin Taulukossa. on esitetty polynomin D n + tekijöitä oktaalimuodossa esim. toisella rivillä (n = 9) on = = + D = = + D + D 444 = = + D + D huom. järjestys () 4 () Sykliset koodit Sykliset koodit siten D 9 + = (D + )(D + D + )(D + D + ) (9,8)-koodi (9,)-koodi (9,)-koodi mitä muita koodeja on vielä mahdollista muodostaa? Taulukossa. on vain parittomia n:n arvoja Jos n = m on parillinen, D n + jaetaan ensin tekijöihin D n + = D m + =(D m + )(D m + ) ja katsotaan taulukosta polynomin D m + tekijät jos m on parillinen, menetelmää jatketaan, kunnes tullaan parittomaan astelukuun Taulukosta. havaitaan, että polynomin D n + tekijöihin kuuluu aina polynomi D + Tämä polynomi generoi (n,n )-koodin, jossa on vain yksi pariteettibitti (koodisanan pariteetti on aina parillinen), ja koodi on syklinen Tietyillä n:n arvoilla (n =,,,, 9, 9,,, 9,, ) jako tekijöihin on helppo: D n + =(D + )(D n + D n + + D + ) Nämä n:n arvot on jätetty pois taulukosta. () ()

12 Sykliset koodit Syklisten koodien koodausalgoritmit Esim. n = D + D + D + D + D + D D + D + D D + D + koodipolynomin muodostaminen x(d) = D n k u(d) + r(d) r(d) on jakojäännös, kun D n k u(d) jaetaan g(d):llä D + = (D + )(D + D + ) systemaattinen koodi () 8 () Syklisten koodien koodausalgoritmit Syklisten koodien koodausalgoritmit x(d) = D n k u(d) + r(d) D u(d) = D (D + D + ) = D + D + D D + D + D + D + D + D + D + D D + D 4 + D D + D 4 D + D + D D 4 + D + D D 4 + D + D D + D x(d) = D + D + D + D + D + D D D 4 D D D D = x = (), koodi on systemaattinen Syklisen koodin generointi perustuu kertoja- ja jakajapiirien käyttöön Piirit koostuvat yhteenlaskupiireistä, muistielementeistä (kiikkupiireistä) ja vakiolla kertojista 9 () () Syklisten koodien koodausalgoritmit Syklisten koodien koodausalgoritmit a a modulo--summain (OR-piiri) muistielementti (kiikkupiiri), jonka muistissa binääriluku a (piirin lähtö on siis luku a) vakiolla kertoja (kertoo binääriluvulla a) Esim. Piirrä piiri, joka kertoo polynomilla D n k = D ja jakaa polynomilla g(d) = D + D + tulo r r r lähtö D Q a a = u i Q a a = () ()

13 Syklisten koodien koodausalgoritmit Syklisten koodien koodausalgoritmit u i r r r 4 jakojäännös () Tämä piiri muodostaa perustan systemaattisen syklisen (,4)-koodin generoinnille Toiminta kooderina: A lähde B A B B A kanava Piirin etuna on se, että jakojäännös (pariteettibitti) voidaan lukea rekisteristä ulos heti, kun informaatiobitit on luettu sisään () 4 () Syklisten koodien koodausalgoritmit Virheen ilmaisu ja korjaus Toiminta informaatiobitit luetaan siirtorekisteriin ja samanaikaisesti kanavaan kytkimet asennossa A neljän kellopulssin jälkeen kytkimet siirretään asentoon B ja luetaan pariteettibitit kanavaan huom. takaisinkytkentä täytyy katkaista, jotta pariteettibitit eivät muuttuisi Edellä esitetty kooderi sisältää (n k) muistielementtiä Piiriä voidaan käyttää mille tahansa sykliselle koodille, jonka generoijapolynomi on tunnettu Kanavassa koodipolynomiin x(d) summautuu virhepolynomi e(d), vastaanotettu polynomi on y(d) = x(d) + e(d) Jaetaan vastaanotettu polynomi koodin generoijapolynomilla: y(d) = m(d)g(d) + s(d) osamäärä jakojäännös y(d) s(d) = m(d) + g(d) g(d) y(d) on koodipolynomi, jos ja vain jos polynomi s(d) = Tämä polynomi (asteluku enintään n k ) on y(d):n oirepolynomi () () Virheen ilmaisu ja korjaus Virheen ilmaisu ja korjaus Virheen ilmaisu tapahtuu siis jakamalla y(d) generoijapolynomilla g(d) ja tutkimalla, onko jakojäännös eli oirepolynomi s(d) = Virhe on tapahtunut, jos s(d) D n k u(d) x(d) y(d) g(d) g(d) s(d) e(d) u G x y H T s generoijamatriisi e pariteetintarkastusmatriisi () 8 ()

14 Virheen ilmaisu ja korjaus Virheen ilmaisu ja korjaus Esim. generoijapolynomi on g(d) = D + D + vastaanotettu sekvenssi y(d) = D + D + y = () oirepolynomi s(d) =? D + D + D D + D + D + D + D + D 4 + D D + D 4 + D + D + D + D D 4 + D + D 4 + D + D D + = s(d) s s s s = () 9 () 8 () Virheen ilmaisu ja korjaus Virheen ilmaisu ja korjaus oiresanan laskeminen (jakajapiiri): y s s s s(d) = D + s s s y s s s b c lähtö xˆ oiresanan laskeminen oiresanan siirtäminen 8 () 8 () Virheen ilmaisu ja korjaus Virheen ilmaisu ja korjaus B A s s s & A B c toiminta:. luetaan vastaanotettu sana y oiresanageneraattoriin ja puskuriin (kytkimet asennossa A). siirretään kytkimet asentoon B ja siirretään oiresanaa ja puskuria Edellä esitetty dekooderi on ns. Meggit-dekooderi, jota voidaan soveltaa myös useamman virheen korjaamiseen kanava b xˆ Menetelmää sanotaan myös virheen "vangitsemiseksi" error trapping 8 () 84 () 4

15 Erityisiä syklisiä koodeja Erityisiä syklisiä koodeja BCH-koodit (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem) korjaavat t virhettä generoijapolynomit taulukossa. (eniten merkitsevä bitti vasemmalla, päinvastoin kuin aikaisemmassa taulukossa) esim. rivillä m = 4, n =, n k = = 8, t = g(d) = D 8 + D + D + D () 8 () Erityisiä syklisiä koodeja Erityisiä syklisiä koodeja vrt. taulukon. mukaan syklisen koodin generoijapolynomit ovat (n = ) g (D) = + D g (D) = + D + D 4 g (D) = + D + D 4 BCH-koodit ovat tärkeitä käytännössä riittävän yksinkertaiset dekoodausalgoritmit parametriarvot melko vapaasti valittavissa kun n on enintään muutamia satoja, monet BCH-koodeista ovat lähes parhaita mahdollisia koodeja g 4 (D) = + D + D 4 g (D) = + D + D + D + D 4 BCH-koodin generoijapolynomi on g(d) = g 4 (D)g (D) = (D 4 + D + )(D 4 + D +D + D +) = D 8 + D + D + D + D 4 + D + D 4 + D + D + D + D 4 + D + D + D + = D 8 + D + D + D 4 + Reed Salomon-koodit ei-binäärisiä BCH-koodeja m bittiä muodostavat symbolin erilaisia symboleita m = q kpl 8 () 88 () Erityisiä syklisiä koodeja Ryöppyvirheiden ilmaisu ja korjaus n kpl m m m m m m m k kpl n = m symbolia = m ( m ) bittiä n k = t symbolia = mt bittiä Kanava ei ole muistiton, esim. magneettinauha yms., häipyvä kanava, pulssimainen häiriö kanavassa virheet eivät tapahdu toisistaan riippumatta Tällöin satunnaisvirheitä korjaava koodi on tehoton virhetyypit koodi korjaa t symbolivirhettä (mt bittivirhettä) sopivat hyvin ryöppyvirheiden korjaamiseen käytetään myös ketjukoodien ulkokoodina satunnaisvirheet ryöppyvirheet 89 () 9 ()

16 Ryöppyvirheiden ilmaisu ja korjaus Ryöppyvirheiden ilmaisu ja korjaus Eri mahdollisuuksia. ryöppyvirheitä korjaavat koodit sykliset koodit (esim. fire-koodi) ketjukoodit. lomittimien käyttö Taulukossa.9 on lueteltu tehokkaita syklisiä ja lyhennettyjä syklisiä koodeja ryöppyvirheiden korjaamiseen Generoijapolynomit ovat oktaalimuodossa, suurinta astelukua vastaava termi vasemmalla 9 () 9 () Ryöppyvirheiden ilmaisu ja korjaus Lomittimet Esim. taul..9 (,)-koodi g(d) = D + D + D 4 + kooderi lomitin kanava vastalomitin dekooderi (n,k)-koodi (in,ik)-koodi ryöppyvirheitä (i = lomitteluaste) satunnaisia virheitä Satunnaisvirheitä korjaavaa koodia voidaan käyttää myös kanavassa, jossa syntyy ryöppyvirheitä Virheet on kuitenkin ensin tehtävä satunnaisiksi lomittimen ja vastalomittimen avulla 9 () 94 () Lomittimet Konvoluutiokoodit Esim. (,)-BCH-koodi, t =, i = jos lomitteluaste i =, saadaan (,)-koodi, joka korjaa edelleen satunnaisvirhettä tai virheryöpyn, jonka pituus on enintään it = = virhettä On olemassa useita erilaisia tapoja toteuttaa lomittelu lohkolomittelu konvoluutiolomittelu Lomittelua voi esiintyä myös useassa eri tasossa (vrt. esim. CD-levy) Konvoluutiokoodit ovat lineaarisia koodeja, jotka toimivat yleensä vähintään yhtä hyvin kuin lohkokoodit Konvoluutiokoodien koodimatematiikka ei ole niin pitkälle kehittynyt kuin lohkokoodeilla konvoluutiokooderi k n muistissa N aikaisempaa lohkoa (n,k )-koodi koodisuhde r c = k /n N = vaikutuspituus (constraint length) v = (N )k = muistin koko n, k ja N pieniä kokonaislukuja 9 () 9 ()

17 Konvoluutiokoodit Konvoluutiokoodit u N k k k Kooderi ottaa aina sisään k bittiä ja laskee N:n lohkon avulla n bittiä Lohkokoodilla vaikutuspituus N = x nämä kytkennät määrittelevät konvoluutiokoodin generaattorivektorit konvoluutiokoodit lohkokoodit N > N = n Lohkokoodi on siis konvoluutiokoodin rajatapaus 9 () 98 () Konvoluutiokoodit Konvoluutiokoodit Esim. (,)-koodi, vaikutuspituus N = u x kommutaattori (korvaa toisen siirtorekisterin) 99 () () Konvoluutiokoodit Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Esim. (,)-koodi, N = u generaattorivektorit: g = () g = () g = () k N kpl n kpl Konvoluutiokooderia voidaan pitää koneena, jolla on äärellinen määrä sisäisiä tiloja FSM = finite-state-machine Kooderin toimintaa voidaan kuvata usealla tavalla tiladiagrammi trellisdiagrammi puudiagrammi x Kaikki nämä esitystavat sisältävät saman tiedon kooderin toiminnasta () ()

18 Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Usein käyttökelpoisin esitystapa on trellisdiagrammi, jossa puudiagrammin jaksollisuus on otettu huomioon jaksollisuus johtuu äärellisestä muistista Esim. (,)-koodi, N = u u l u l u l muistin pituus v = N = merk. kooderin tila hetkellä l on muistin sisältö tuolla hetkellä σ l (u l, u l ) erilaisia tiloja on v = 4 kpl:,,, jos esim. kooderi on tilassa ja tulobitti on, lähtöbiteiksi tulevat ja seuraava tila on x () 4 () Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Täydellinen tiladiagrammi on seuraava: S S S S = () S = () S = () S 4 = () alussa ollaan tilassa S = () jos esim. u = ( ), niin tilakaavion mukaan x = ( ) ja kooderi käy tiloissa S S S 4 S S S 4 tätä kooderin tilasekvenssiä sanotaan poluksi esimerkkisiirtymä S 4 katkoviiva vastaa tulobittiä jatkuva viiva vastaa tulobittiä () () Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen muistin pituuden kasvaessa tiladiagrammin koko kasvaa eksponentiaalisesti ja muodostuu vaikeaksi käsitellä Trellisdiagrammi on tiladiagrammi, jossa aika esitetään eksplisiittisesti S S Luku l ilmoittaa, kuinka syvällä trellisdiagrammissa ollaan menossa Tulosekvenssiä vastaa jokin polku trellisdiagrammissa Tätä polkua vastaavat koodatut bitit voidaan lukea diagrammista Esim. u = ( ), x = ( ), tilasekvenssi (polku): S S S 4 S S S 4 S S 4 l = l = l = l = l = 4 () 8 () 8

19 Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Puudiagrammi vastaa trellisdiagrammia, mutta puudiagrammissa haarautuminen jatkuu loputtomasti (kuva.8) Puudiagrammin osia ovat solmut ja haarat Solmut vastaavat tiladiagrammin tiloja Haarat vastaavat tilasiirtymiä solmu haara 9 () () Konvoluutiokooderin toiminnan esittäminen Konvoluutiokoodien etäisyysominaisuudet Trellisdiagrammi on puudiagrammi, jossa samaa tilaa vastaavat solmut on yhdistetty puudiagrammi trellisdiagrammi tiladiagrammi yhdistä samaa tilaa vastaavat solmut esitä aika vain implisiittisesti Myös konvoluutiokoodin suorituskyvyn määräävät koodattujen sekvenssien etäisyysominaisuudet Kovassa päätöksenteossa merkitystä on Hammingetäisyyksillä Koska konvoluutikoodit ovat lineaarisia, etäisyysjakauma on sama riippumatta siitä, mikä sekvenssi on koodattu Suurin merkitys on koodin vapaalla etäisyydellä, joka on kahden äärettömän pitkän koodatun sekvenssin pienin Hamming-etäisyys () () Parhaat konvoluutiokoodit Parhaat konvoluutiokoodit Konvoluutiokoodi on optimaalinen, jos sen vapaa etäisyys on mahdollisimman suuri, kun koodisuhde k /n ja vaikutuspituus N on annettu Optimaalisia koodeja on etsittävä tietokoneen avulla (taulukot..) Esim. taul.., N = 4, koodisuhde / g = () g = () u x () 4 () 9

20 Parhaat konvoluutiokoodit Parhaat konvoluutiokoodit Taul.., N = v =, koodisuhde / Siirtofunktiomatriisi, jossa g i,j on generaattorivektori g G = gk,, g g, n k, n g = g,, g g,, g g,, = 4 () () Parhaat konvoluutiokoodit Punkturointi G = Käyttämällä ns. punkturoituja konvoluutiokoodeja (punctured convolutional codes) voidaan pienentää monimutkaisuuden kasvua, joka seuraa, kun siirrytään käyttämään koodisuhteen k /n koodeja suhteen /n :n sijasta Koodisuhteen k /n punkturoitu konvoluutiokoodi voidaan siis muodostaa koodisuhteen /n koodista ( äitikoodi ) poistamalla pariteetintarkastusbittejä sopivasti Optimoituja punkturoituja koodeja löytyy taulukoituna vapaa etäisyys on maksimoitu Punkturoinnin haittapuolia ovat ainakin: punkturoidujen koodien etäisyysominaisuudet ovat yleensä hiukan huonommat kuin vastaavan suhteen punkturoimattomilla koodeilla dekooderissa tarvitaan tarkka kehyssynkronointi, koska punkturoidun koodin trelliskaavio vaihtelee periodilla k () 8 () Punkturointi Punkturointi Esim. Kuvassa.4 on 4-tilainen konvoluutiokooderi, jonka tuottaman koodin koodisuhde on / Jos u = ( ) x = ( ) Punkturoidaan joka neljäs pariteettibitti Saadaan koodisuhteeksi / Jos u = ( ) x = ( ) Suurempia koodisuhteita saadaan aikaan kasvattamalla punkturoitavien pariteettibittien lukumäärää Edellä saatu punkturoitu koodi on sama kuin kuvassa. olevalla rakenteella ilman punkturointia saatava koodi, jossa yksi trellisdiagrammin väli vastaa kahta väliä punkturoidun koodin trellisdiagrammissa Jos u = ( ) x = ( ) Jos u = ( ) x = ( ) 9 () ()

21 Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: n idea käy ilmi parhaiten esimerkin avulla (kooderi kalvolla, tiladiagrammi kalvolla ja trellisdiagrammi kalvolla ) esim. lähetetty sekvenssi on trellisdiagrammista voidaan lukea, että koodattu sekvenssi on oletetaan, että vastaanotettu sekvenssi on tätä sekvenssiä ei löydy trellisdiagrammista, joten on käytettävä päätössääntöä (algoritmin toiminta seuraavilla sivuilla) S S S u Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: u l u l u l S 4 l = l = l = l = l = 4 x S S S S 4 () () Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: Jokaiseen tilaan tulee vain yksi sekvenssi (etäisyydet merkitty) l = 4 () 4 () Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: 4 4 Jokaiseen tilaan tulee kaksi sekvenssiä hylätään kauempana oleva (jos kumpikin samalla etäisyydellä: arvotaan tai valitaan aina esim. alempi sekvenssi). 4 4 Tutkitaan vain edellisessä vaiheessa jäljelle jääneiden sekvenssien jatkeita. Jokaiseen tilaan tulee taas kaksi sekvenssiä, joista hylätään kauempana oleva (tarvittaessa arvonta). () ()

22 Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: Sama jatkuu Tässä vaiheessa jäljellejääneiden polkujen alkupäät ovat identtisiä ja voidaan tehdä bittipäätöksiä: () 8 () Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: näin jatketaan aina kun alkupäässä tapahtuu polkujen yhtymistä, voidaan tehdä bittipäätöksiä lopussa valitaan päätökseksi se sekvenssi neljästä jäljellä olevasta, joka on Hammnig-etäisyydeltään kaikkein lähimpänä tulokseksi tulee päätös ja alussa olleet kaksi virhettä ovat tulleet korjatuiksi 9 () () Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: Konvoluutiokoodin ML-dekooderi: perustuu kahteen ajatukseen: C. etäisyydet lasketaan rekursiivisesti summaamalla edelliseen etäisyyteen polun jatkeen etäisyys 8 8 esim. 8 8 A B D 8 4 F A B C E etäisyys A B 8 A C = 44 A D 44 + = 94 D etäisyys A B C D on 94 etäisyys A B E D on 88 (hylätään). jokaisessa vaiheessa hylätään samaan tilaan tulevista sekvensseistä kauempana olevat seuraavassa vaiheessa tutkittavaksi jäävät sekvenssit ovat edellisessä vaiheessa jäljelle jääneiden sekvenssien jatkeita () ()

23 Koodien käytännön sovelluksia Koodien käytännön sovelluksia A brief Overview of the GSM Radio Interface Thierry Turletti The Eurepean Digital Audio Broadcasting (DAB) punkturoitu konvoluutiokoodi (äitikoodi: r c = /4, N = ) koodisuhde vaihtelee 8/9 /4 lomittelua sekä aika että taajuustasossa The Eurepean Digital Video Broadcasting (DVB) ulkokoodina (4,88) RS-koodi, lyhennetty koodista (,9) konvoluutiolomittelu sisäkoodina (,,)-konvoluutiokoodi, jota voidaan punkturoida koodisuhteille /8 / IEEE 8. (LAN standardi) punkturoitu konvoluutiokoodi äitikoodi (,,) koodisuuhteet /4 ja / () 4 () Koodien käytännön sovelluksia Compact disc (CD) digital audio system CIRC (cross-interleave Reed-Solomon code) lomittelutasoa, RS-koodia sisäkoodina (,8) ja ulkokoodina (8,4) CD-levyyn voi porata 8 mm reikiä ilman haittaa Virheenkorjaus selviää n. 4 bitistä =, mm levyllä Lähes kaikki uudet sotilastiedonsiirtojärjestelmät, kuten JTIDS (Joint Tactical Information Distribution System) JRSC (Jam Resistant Secure Communications) DSCS (Defense Satellite Communications System) Costello: Applications of Error-Control Coding Jacobsmeyer: Introduction to Error-Control Coding ()

VIRHEENKORJAUS JA -ILMAISU

VIRHEENKORJAUS JA -ILMAISU VIRHEENKORJAUS JA -ILMAISU Kanavakoodaus B. Sklar, Digital Communications Langattomien tietoliikennejärjestelmien perusteet: Kanavakoodaus Timo Kokkonen Kevät 29 2 (35) Shannon Hartleyn-laki Otsikon lain

Lisätiedot

INFORMAATIOTEORIA & KOODAUS TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 28 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

INFORMAATIOTEORIA & KOODAUS TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 28 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 1 INFORMAATIOTEORIA & KOODAUS TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS TEENVETO 2 Informaatioteoria tarkastelee tiedonsiirtoa yleisemmällä, hieman abstraktilla tasolla ei enää tarkastella signaaleja aika- tai taajuusalueissa.

Lisätiedot

JOHDANTO VIRHEENKORJAAVAAN KOODAUKSEEN KANAVAKOODAUSMENETELMÄT A Tietoliikennetekniikka II Osa 22 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

JOHDANTO VIRHEENKORJAAVAAN KOODAUKSEEN KANAVAKOODAUSMENETELMÄT A Tietoliikennetekniikka II Osa 22 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 1 JOHDANTO VIRHEENKORJAAVAAN KOODAUKSEEN KANAVAKOODAUSMENETELMÄT RESURSSIEN VÄLINEN KAUPANKÄYNTI 2 LÄHETYSTEHO KAISTANLEVEYS MONIMUTKAISUUS VIRHETODEN- NÄKÖISYYS RESURSSIEN VÄLINEN KAUPANKÄYNTI 3 Resurssien

Lisätiedot

esimerkkejä erilaisista lohkokoodeista

esimerkkejä erilaisista lohkokoodeista 6.2.1 Lohkokoodit tehdään bittiryhmälle bittiryhmään lisätään sovitun algoritmin mukaan ylimääräisiä bittejä [k informaatiobittiä => n koodibittiä, joista n-k lisäbittiä], käytetään yleensä merkintää (n,k)-koodi

Lisätiedot

KONVOLUUTIOKOODIT A Tietoliikennetekniikka II Osa 25 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

KONVOLUUTIOKOODIT A Tietoliikennetekniikka II Osa 25 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 1 KONVOLUUTIOKOODIT KONVOLUUTIOKOODERIN PERUSIDEA 2 Konvoluutiokoodi on lohkoton koodi. Pariteettibitit lasketaan liukuen informaatiobittijonon yli. Muistin pituudesta K käytetään nimitystä vaikutuspituus

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Virheen havaitseminen ja korjaus

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Virheen havaitseminen ja korjaus Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 2 (10) Johdanto Tässä luvussa esitetään virheen havaitsevien ja korjaavien koodaustapojen perusteet ja käyttösovelluksia

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti

Lisätiedot

KAISTANLEVEYDEN JA TEHON KÄYTÖN KANNALTA OPTIMAALINEN MODULAATIO TRELLISKOODATTU MODULAATIO (TCM)

KAISTANLEVEYDEN JA TEHON KÄYTÖN KANNALTA OPTIMAALINEN MODULAATIO TRELLISKOODATTU MODULAATIO (TCM) 1 KAISTANLEVEYDEN JA TEHON KÄYTÖN KANNALTA OPTIMAALINEN MODULAATIO TRELLISKOODATTU MODULAATIO (TCM) CPM & TCM-PERIAATTEET 2 Tehon ja kaistanleveyden säästöihin pyritään, mutta yleensä ne ovat ristiriitaisia

Lisätiedot

JATKUVAN AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI SHANNON-HARTLEY -LAKI

JATKUVAN AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI SHANNON-HARTLEY -LAKI 1 JATKUVAN AWGN-KANAVAN KAPASITEETTI SHANNON-HARTLEY -LAKI Miten tiedonsiirrossa tarvittavat perusresurssit (teho & kaista) riippuvat toisistaan? SHANNONIN 2. TEOREEMA = KANAVAKOODAUS 2 Shannonin 2. teoreema

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.3 Lineaarisen koodin dekoodaus Oletetaan, että lähetettäessä kanavaan sana c saadaan sana r = c + e, missä e on häiriön aiheuttama

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

MAANPUOLUSTUSKORKEAKOULU VIRHEENKORJAUSALGORITMIT. Kandidaatintutkielma. Kadetti Ville Parkkinen. 99. kadettikurssi Maasotalinja

MAANPUOLUSTUSKORKEAKOULU VIRHEENKORJAUSALGORITMIT. Kandidaatintutkielma. Kadetti Ville Parkkinen. 99. kadettikurssi Maasotalinja MAANPUOLUSTUSKORKEAKOULU VIRHEENKORJAUSALGORITMIT Kandidaatintutkielma Kadetti Ville Parkkinen 99. kadettikurssi Maasotalinja Maaliskuu 2015 MAANPUOLUSTUSKORKEAKOULU Kurssi Linja 99. kadettikurssi Maasotalinja

Lisätiedot

TURBOKOODAUS. Miten turbokoodaus eroaa konvoluutiokoodauksesta? 521361A Tietoliikennetekniikka II Osa 26 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

TURBOKOODAUS. Miten turbokoodaus eroaa konvoluutiokoodauksesta? 521361A Tietoliikennetekniikka II Osa 26 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 1 TURBOKOODAUS Miten turbokoodaus eroaa konvoluutiokoodauksesta? TURBOKOODAUKSEN IDEA 2 V. 1993 keksityt koodit eivät löytyneet systemaattisen koodausteorian soveltamisen seurauksena pyrkimyksenä päästä

Lisätiedot

Algebralliset menetelmät virheenkorjauskoodin tunnistamisessa

Algebralliset menetelmät virheenkorjauskoodin tunnistamisessa Algebralliset menetelmät virheenkorjauskoodin tunnistamisessa Jyrki Lahtonen, Anni Hakanen, Taneli Lehtilä, Toni Hotanen, Teemu Pirttimäki, Antti Peltola Turun yliopisto MATINE-tutkimusseminaari, 16.11.2017

Lisätiedot

Laajennetut Preparata-koodit

Laajennetut Preparata-koodit Laajennetut Preparata-koodit Pro gradu -tutkielma Petri Eklund 1512717 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö 1 Esitietoja 1.1 Yleistä.................................. 1.2

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:

Lisätiedot

ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät

ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.

Lisätiedot

Luku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15)

Luku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) A = a = i i w i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 2 (15) Johdanto Tässä luvussa esitetään kymmenjärjestelmän lukujen eli BCD-lukujen esitystapoja

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

5. Siirtoyhteyskerros linkkikerros (Data Link Layer)

5. Siirtoyhteyskerros linkkikerros (Data Link Layer) 5. Siirtoyhteyskerros linkkikerros (Data Link Layer) yhtenäinen linkki solmusta solmuun bitit sisään => bitit ulos ongelmia: siirtovirheet havaitseminen korjaaminen solmun kapasiteetti vuonvalvonta yhteisen

Lisätiedot

5. Siirtoyhteyskerros linkkikerros (Data Link Layer)

5. Siirtoyhteyskerros linkkikerros (Data Link Layer) 5. Siirtoyhteyskerros linkkikerros (Data Link Layer) yhtenäinen linkki solmusta solmuun bitit sisään => bitit ulos ongelmia: siirtovirheet havaitseminen korjaaminen solmun kapasiteetti vuonvalvonta yhteisen

Lisätiedot

Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten,

Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten, Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten, että se pystyy suorittamaan kaikki mahdolliset algoritmit?

Lisätiedot

MONITILAISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 18 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

MONITILAISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 18 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 1 MONITILAISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 2 M-tilaisilla yhdellä symbolilla siirtyy k = log 2 M bittiä. Symbolivirhetn. sasketaan ensin ja sitten kuvaussäännöstä riippuvalla muunnoskaavalla

Lisätiedot

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä?

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Voidaanko dataa tai informaatiota tallettaa tiiviimpään tilaan koodaamalla se uudelleen? 2012-2013 Lasse

Lisätiedot

Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut

Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 09/02/2009 Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan edut Tarkoituksena

Lisätiedot

Signaalien datamuunnokset

Signaalien datamuunnokset Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 06/02/2004 Luento 4a: Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan

Lisätiedot

KOODAUS- JA INFORMAATIOTEORIA. Keijo Ruohonen

KOODAUS- JA INFORMAATIOTEORIA. Keijo Ruohonen KOODAUS- JA INFORMAATIOTEORIA Keijo Ruohonen 1999 Sisältöluettelo i 1 I LINEAARISET KOODIT 1 1. Lohkokoodit 3 2. Ekskursio: Alkukunnat 5 3. Lineaariset koodit 8 4. Systemaattinen koodaus 9 5. Standardidekoodauskaavio

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.6 Alternanttikoodin dekoodaus, kun esiintyy pyyhkiytymiä ja virheitä Joissakin tilanteissa vastaanotetun sanan kirjainta ei saa tulkittua

Lisätiedot

Suodatus ja näytteistys, kertaus

Suodatus ja näytteistys, kertaus ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 6: Kantataajuusvastaanotin AWGN-kanavassa II: Signaaliavaruuden vastaanotin a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.6.3-10.6.6;

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN JATKOKURSSI 2003

SIGNAALITEORIAN JATKOKURSSI 2003 SIGNAALITEORIAN JATKOKURSSI 2003 Harri Saarnisaari University of Oulu Telecommunication laboratory & Centre for Wireless Communications (CWC) Yhteystiedot Luennot Harri Saarnisaari puh. 553 2842 vastaanotto

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. 1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

Digitaalinen tiedonsiirto ja siirtotiet. OSI-kerrokset

Digitaalinen tiedonsiirto ja siirtotiet. OSI-kerrokset A! Aalto University Comnet ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät, Luento 1 Digitaalinen tiedonsiirto ja siirtotiet Olav Tirkkonen [Luku 1: Introduction, kokonaisuudessaan] A! OSI-kerrokset Tiedonsiirtojärjestelmiä

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

TLT-5400 DIGITAALINEN SIIRTOTEKNIIKKA

TLT-5400 DIGITAALINEN SIIRTOTEKNIIKKA TLT-5400 DIGITAALINEN SIIRTOTEKNIIKKA Tehtäväkokoelma: Päivitetty 16.3.2006 / MV 1. Piirrä digitaalisen siirtojärjestelmän yleinen lohkokaavio josta nähdään lähettimen ja vastaanottimen keskeiset toiminnot

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

LÄHTEENKOODAUS. Mikä on lähteenkoodauksen perusidea? A Tietoliikennetekniikka II Osa 20 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

LÄHTEENKOODAUS. Mikä on lähteenkoodauksen perusidea? A Tietoliikennetekniikka II Osa 20 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 1 LÄHTEENKOODAUS Mikä on lähteenkoodauksen perusidea? LÄHTEENKOODAUKSEN IDEA 2 Lähteen symbolien keskimääräinen informaatio (keskimääräinen epävarmuus) määritellään entropian H(X) avulla, ja se on symbolien

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

Signaalien generointi

Signaalien generointi Signaalinkäsittelyssä joudutaan usein generoimaan erilaisia signaaleja keinotekoisesti. Tyypillisimpiä generoitavia aaltomuotoja ovat eritaajuiset sinimuotoiset signaalit (modulointi) sekä normaalijakautunut

Lisätiedot

ELEC-C5070 Elektroniikkapaja (5 op)

ELEC-C5070 Elektroniikkapaja (5 op) (5 op) Luento 5 A/D- ja D/A-muunnokset ja niiden vaikutus signaaleihin Signaalin A/D-muunnos Analogia-digitaalimuunnin (A/D-muunnin) muuttaa analogisen signaalin digitaaliseen muotoon, joka voidaan lukea

Lisätiedot

Muuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset

Muuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset Muuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset valintakriteerit resoluutio ja nopeus Yleisimmät A/D-muunnintyypit:

Lisätiedot

Puheenkoodaus. Olivatpa kerran iloiset serkukset. PCM, DPCM ja ADPCM

Puheenkoodaus. Olivatpa kerran iloiset serkukset. PCM, DPCM ja ADPCM Puheenkoodaus Olivatpa kerran iloiset serkukset PCM, DPCM ja ADPCM PCM eli pulssikoodimodulaatio Koodaa jokaisen signaalinäytteen binääriseksi (eli vain ykkösiä ja nollia sisältäväksi) luvuksi kvantisointitasolle,

Lisätiedot

Flash AD-muunnin. Ominaisuudet. +nopea -> voidaan käyttää korkeataajuuksisen signaalin muuntamiseen (GHz) +yksinkertainen

Flash AD-muunnin. Ominaisuudet. +nopea -> voidaan käyttää korkeataajuuksisen signaalin muuntamiseen (GHz) +yksinkertainen Flash AD-muunnin Koostuu vastusverkosta ja komparaattoreista. Komparaattorit vertailevat vastuksien jännitteitä referenssiin. Tilanteesta riippuen kompraattori antaa ykkösen tai nollan ja näistä kootaan

Lisätiedot

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä

Lisätiedot

KOODAUSTEORIA S

KOODAUSTEORIA S KOODAUSTEORIA 800667S syksy 2009 Marko Rinta-aho Sisältö 1 Perusteita 1 1.1 Johdanto.............................. 1 1.2 Kanavista............................. 2 1.3 Koodaus-dekoodausjärjestelmä..................

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Tehtävä 2: Tietoliikenneprotokolla

Tehtävä 2: Tietoliikenneprotokolla Tehtävä 2: Tietoliikenneprotokolla Johdanto Tarkastellaan tilannetta, jossa tietokone A lähettää datapaketteja tietokoneelle tiedonsiirtovirheille alttiin kanavan kautta. Datapaketit ovat biteistä eli

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Alla olevassa kuvassa on millisekunnin verran äänitaajuisen signaalin aaltomuotoa. Pystyakselilla on jännite voltteina.

Alla olevassa kuvassa on millisekunnin verran äänitaajuisen signaalin aaltomuotoa. Pystyakselilla on jännite voltteina. TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki 1 Kirjan lukuun 3 liittyvää lisäselitystä ja esimerkkejä Kirjan luvussa 3 (Signals Carried over the Network) luodaan katsaus siihen, minkälaisia

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Harjoitustehtäviä

Digitaalitekniikan matematiikka Harjoitustehtäviä arjoitustehtäviä Sivu 6 6.3.2 e arjoitustehtäviä uku 3 ytkentäfunktiot ja perusporttipiirit 3. äytäväkytkin on järjestelmä jossa käytävän kummassakin päässä on kytkin ja käytävän keskellä lamppu. amppu

Lisätiedot

Successive approximation AD-muunnin

Successive approximation AD-muunnin AD-muunnin Koostuu neljästä osasta: näytteenotto- ja pitopiiristä, (sample and hold S/H) komparaattorista, digitaali-analogiamuuntimesta (DAC) ja siirtorekisteristä. (successive approximation register

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,

Lisätiedot

Reedin ja Solomonin koodit Katariina Huttunen

Reedin ja Solomonin koodit Katariina Huttunen Pro Gradu Reedin ja Solomonin koodit Katariina Huttunen Jyväskylän yliopisto Matematiikan laitos Lokakuu 2016 Tiivistelmä Huttunen Katariina, Reedin ja Solomonin koodit, matematiikan pro gradututkielma,

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Digitaalinen tiedonsiirto ja siirtotiet

Digitaalinen tiedonsiirto ja siirtotiet A! Aalto University Comnet ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät, Luento 1 Digitaalinen tiedonsiirto ja siirtotiet Olav Tirkkonen [Luku 1: Introduction, kokonaisuudessaan] A! OSI-kerrokset Tiedonsiirtojärjestelmiä

Lisätiedot

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät Kytkentäkentät, luento - Kolmiportaiset kentät Kolmiportaiset kytkentäkentät - esitystapoja ja esimerkkejä Kytkentäkenttien vertailuperusteet ƒ Estottomuus, looginen syvyys, ajokyky Closin -verkko Paull

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä 1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 9 Ti 17.4.2018 Timo Männikkö Luento 9 Merkkitiedon tiivistäminen Huffmanin koodi LZW-menetelmä Taulukointi Editointietäisyys Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 9 Ti 17.4.2018 2/29 Merkkitiedon

Lisätiedot

T Privacy amplification

T Privacy amplification T-79.4001 Privacy amplification Ari Nevalainen ajnevala@cc.hut.fi T-79.4001Privacy amplification 1/25 ALKUTILANNE Alkutilanne. Kaksi erikoistapausta. Yleinen tapaus. Yhteenveto. T-79.4001Privacy amplification

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI. Virheenkorjauskoodien tunnistus signaalitiedustelussa

TIIVISTELMÄRAPORTTI. Virheenkorjauskoodien tunnistus signaalitiedustelussa 2014/2500M-0014 ISSN 1797-3457 (verkkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2639-0 TIIVISTELMÄRAPORTTI Virheenkorjauskoodien tunnistus signaalitiedustelussa Prof. Patric Östergård, TkT Jussi Poikonen, Ville

Lisätiedot

Helsinki University of Technology

Helsinki University of Technology Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.211 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Syksy 1997 3. Luento: Optimaalinen

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

A! Modulaatioiden luokittelu. Luento 4: Digitaaliset modulaatiokonstellaatiot, symbolijonolähetteet. ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät

A! Modulaatioiden luokittelu. Luento 4: Digitaaliset modulaatiokonstellaatiot, symbolijonolähetteet. ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 4: Digitaaliset modulaatiokonstellaatiot, symbolijonolähetteet Olav Tirkkonen, Jari Lietzen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos A! Modulaatioiden

Lisätiedot

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 14.2.2018 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelmanratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Lisäyslajittelu Valintalajittelu Permutaatiot

Lisätiedot

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 536A Tietoliienneteniia II Osa Kari Käräinen Sysy 5 Kantataajuusjärjestelmä lähettää ±A -tasoisia symboleita T:n välein. Optimaalinen vastaanotin

Lisätiedot

Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut

Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoinaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta

Lisätiedot

521361A TIETOLIIKENNETEKNIIKKA II

521361A TIETOLIIKENNETEKNIIKKA II 1 521361A TIETOLIIKENNETEKNIIKKA II KURSSI DIGITAALISEN TIEDONSIIRRON PERUSTEISTA KARI KÄRKKÄINEN Tietoliikennetekniikan osasto, huone TS439 kk@ee.oulu.fi, puh: 029 448 2848, http://www.ee.oulu.fi/~kk/

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 12 To 3.5.2018 Timo Männikkö Luento 12 Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To 3.5.2018 2/35 Algoritmien

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA

SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA Digitaalitekniikan perusteita...2 Bitti (bit)...2 Tavu (bytes)...2 Sana (word)...2 Yksiköt...2 Binääri järjestelmän laskutapa...2 Esimerkki: Digikuvan siirron kestoaika...2

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

LUKU 6 TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS

LUKU 6 TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS LUKU 6 TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 1 (8) Kantatajuisen järjestelmän lähdön (SNR) D = P T /N 0 W käytetään referenssinä verrattaessa eri kantoaaltomodulaatioita keskenään. Analyysissä oletettiin AWGN-kanava,

Lisätiedot

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot