Laboratoriotyö 1 FYSA240 (FYS242) Juha Merikoski (työohjeet) ja Sami Kähkönen (tietokoneohjelma) 1999,2005

Transkriptio

1 ISING-MALLIN MONTE CARLO -SIMULOINTI Laboratoriotyö Statistinen fysiikka FYSA40 (FYS4) Juha Merikoski (työohjeet) ja Sami Kähkönen (tietokoneohjelma) 999,005 Työssä tutustutaan magneettiseen järjestäytymiseen ja termodynaamisten suureiden numeeriseen laskemiseen Monte Carlo -menetelmän avulla. Tutkittava järjestelmä on kaksiulotteinen Ising-ferromagneetti neliöhilassa. Työ tehdään omaan tahtiin pc-luokan tietokoneilla eikä siihen tarvitse varata laboratoriovuoroa.. Ising-malli Ising-mallin idean keksi tiettävästi ensimmäisenä saksalainen fyysikko Wilhelm Lenz ( ). Hänen oppilaansa Ernst Ising ( ) julkaisi vuonna 95 artikkelin, jossa ratkaistiin mallin yksiulotteinen versio ja todettiin, ettei tässä tapauksessa mallissa ole faasitransitiota missään nollasta poikkeavassa lämpötilassa. Valitettavasti Ising päätteli, että näin olisi myös useampiulotteisessa tapauksesa, mikä osoitettiin eksaktisti virhepäätelmäksi 30-luvulla. Merkittävin askel Ising-mallin historiassa otettiin 944, jolloin norjalaissyntyinen Lars Onsager ( ) melkoisen matemaattisen yksilösuorituksen tuloksena julkaisi kaksiulotteisen mallin eksaktin ratkaisun nollakentässä. Mainittakoon, että Onsager sai vuonna 968 kemian Nobel-palkinnon toisesta merkitykseltään vastaavantasoisesta, epätasapainotermodynamiikkaan liittyvästä työstä. Vuoden 944 jälkeen kaksiulotteista mallia nollasta poikkeavassa kentässä samoin kuin kolmeulotteista mallia on yrittänyt ratkaista useampikin fyysikkosukupolvi kumpikin tapaus kuuluu statistisen fysiikan merkittävimpien toistaiseksi ratkaisemattomien ongelmien joukkoon []. Tarkastellaan Kuvan mukaista kaksiulotteista hilaa, jossa kuhunkin hilapisteeseen i on määritelty klassistyyppinen spin-muuttuja, joka voi saada arvot =± ( spin ylös tai spin alas ). Kutsumme näitä olioita jatkossa yksinkertaisesti spineiksi, vaikka varsinaisesti sana spin viittaakin kvanttimekaaniseen ominaisuuteen []. Ideaalisen paramagneetin tapauksessa ulkoisessa magneettikentässä B yhden spinin energia on µb, kun spin ylös -suunta on sama kuin magneettikentän suunta [3]. Tällöin systeemi voittaa energiaa spinien kääntyessä magneettikentän suuntaan. Ising-mallissa oletetaan lisäksi, että jokainen spin vuorovaikuttaa lähinaapuriensa kanssa ja kunkin lähinaapuriparin i, j energia on J S j. Kun spinien välillä on ferromagneettinen kytkentä eli J > 0, tämä vuorovaikutusenergia minimoituu, kun lähekkäin olevat spinit ovat samansuuntaiset. Kaksiulotteisessa neliöhilamallissa kullakin spinillä on neljä naapurispiniä. Näillä määrittelyillä koko systeemin energia mikrotilassa r on E tot r = J i,j S (r) i S (r) j µb S (r) i, () missä N on spinien lukumäärä ja S (r) i on spinin i suunta ko. tilassa. Merkintä i, j tarkoittaa summaamista yli kaikkien lähinaapuriparien siten, että jokainen pari lasketaan kerran. Jälkimmäinen summa käy yli kaikkien spinien. Keskeinen mitattavissa oleva suure on magneettinen momentti spiniä kohti M = µ N N, () koska Ising-mallin tapauksessa ei ole oikein mielekästä määritellä magneettista momenttia tilavuutta kohti, kuten kurssikirjassa [3] on tehty. i Kuva : Kaksiulotteinen Ising-malli. Pisteessä i olevan spinin lähinaapurit on merkitty katkoviivoilla.

2 Muita työssä vastaan tulevia suureita ovat magneettisen momentin itseisarvon keskiarvo M = µ N N, (3) joka on varsinainen järjestyksen mittari tapauksessa J > 0, ja keskimääräinen energia spiniä kohti E = Etot N = J S j µb N i,j. (4) Huomaa, että tapauksessa J 0 kunkin spinin energia riippuu myös naapurispinien tilasta, joten ei ole mahdollista kirjoittaa koko järjestelmän energiaa (ja muita suureita) yksittäisen spinin tilojen avulla, toisin kuin ideaalisen paramagneetin tapauksessa. Määrittelemme vielä M:n ja E:n fluktuaatioita kuvaavat suureet ( M) = (M M) ( E) = (E E). (5). Monte Carlo -menetelmä Statistisessa fysiikassa (edelläkin) on usein kiinnostuksen kohteena lämpötilassa T olevaa järjestelmää kuvaavan termodynaamisen suureen A keskiarvo A = Z r A r e Etot r /kt ; Z = r e Etot r /kt, (6) missä on summattu yli systeemin kaikkien mikrotilojen r ja A r on A:n arvo tilassa r. Monissa fysikaalisesti mielenkiintoisissa järjestelmissä partitiofunktion Z ja keskiarvon (6) eksakti analyyttinen laskeminen on hankalaa ja on käytettävä numeerisia menetelmiä [4]. Koska Ising-mallia ei pystytä yleisessä tapauksessa ratkaisemaan kynällä ja paperilla, tutkitaan sitä usein numeerisesti, tavallisimmin käyttäen Monte Carlo -simulointia, jolla pyritään tuottamaan keskiarvojen laskemista varten edustava otos mallin N mikrotilasta. Lisäksi simulaatiot antavat hyvin havainnollisen kuvan järjestelmän käyttäytymisestä, joten ne voivat täydentää käsistystämme sellaisistakin ilmiöistä, joita pystymme analysoimaan teoreettisesti... Satunnainen otanta Yksi mahdollisuus on luoda satunnaisesti (tietokoneessa satunnaislukugeneraattorin avulla) suuri määrä systeemin tiloja (Kuva ), esimerkiksi tilat r, r,..., r m. Suureen A arvolle näistä laskettu tekijällä exp[ Er tot /kt] painotettu keskiarvo on likiarvo summalle (6). On ilmeistä, että arvio paranee, kun m kasvaa. Suuri osa tiloista r s vaikuttaa kuitenkin hyvin vähän lopputulokseen, koska tilan painokerroin on eksponentiaalisesti vähenevä energian funktio. Tämän vuoksi menetelmä tässä yksinkertaisimmassa muodossa kuluttaa tarkkuuteensa nähden kohtuuttoman paljon tietokoneaikaa... Metropolis-algoritmi Laskenta on huomattavasti tehokkaampaa, jos tilat r s alunalkaen valitaan niiden todennäkäisyyden mukaan. Tällöin pyritään tuottamaan niitä systeemin tiloja, jotka eniten vaikuttavat keskiarvoon (6). Tällainen otanta (importance sampling) voidaan tietokoneessa toteuttaa monella tavalla [4]. Seuraavalla sivulla hahmotellaan tietokoneohjelman käyttämä ns. Metropolis-algoritmi [5] muokattuna Ising-mallille sopivaksi: Kuva : Esimerkkejä tietokonesimuloinnilla tuotetuista Ising-mallin mikrotiloista matalassa ja korkeassa lämpötilassa. Musta neliö = spin ylös, valkoinen = spin alas.

3 Metropolis-algoritmi: (i) Aloitetaan jostain satunnaisesta järjestelmän mikrotilasta. (ii) Valitaan jokin spin, jonka senhetkistä tilaa (spin tai ) yritetään muuttaa. (iii) Toteutetaan tilan muutos todennäköisyydellä w = min{, e Etot /k BT }, missä E tot on koko järjestelmän energian muutos, jos valittua spiniä käännetään. (iv) Palataan kohtaan (ii). Algoritmin kohta (iii) onnistuu seuraavasti: Tuotetaan satunnaislukugeneraattorilla satunnaisluku s [0, ]. Lasketaan spinin käännön todennäköisyys w. Jos sattuu olemaan w > s, käännetään spin; muussa tapauksessa jätetään spinin suunta ennalleen. Se, että algoritmia toistamalla lopulta tuotetaan (6):n mukaisia keskiarvoja, on todistettavissa todennäköisyyslaskennan menetelmin (stokastiikan alkeita: Markovin ketjujen teoria). 3. Työn suoritus Työssä tarvitaan kurssin Statistinen fysiikka alkuosan tietoja. Aluksi kannattaa kerrata kurssikirjasta [] kappale 3., jossa tarkastellaan ideaalista paramagneettia. Kirjan luvun 8 termodynaamiset ideat ovat hyvin käyttökelpoisia ferromagneetin tapauksessa (kirjassa ei kuitenkaan valitettavasti ole esimerkkejä faasimuutoksista magneettisissa systeemeissä vaan ainoastaan fluidisysteemeissä). Kuten luennolla on todettu, ferromagneetin faasidiagrammi on kuitenkin analoginen fluidisysteemin faasidiagrammin kanssa höyrynpainekäyrän osalta (Kuva 3). Magneettien ja fluidien faasimuutoksissa onkin paljon yhtäläisyyksiä. (a).5 (b) B 0 P / P C T / T C T / T C Kuva 3: (a) Ising-mallin faasidiagrammi (T,B)-tasossa. (b) Fluidisisteemin höyrynpainekäyrä. Työssä tarkasteltavat fysikaaliset tilanteet ja suoritettavat tehtävät: 3.0. Tietokoneohjelman käyttöön tutustuminen Tietokoneohjelma antaa aloitusruudussa työn tekijöiden syntymäaikojen perusteella sopivan arvon kytkentävakiolle J. Kirjoita saamasi arvo muistiin (koska joudut kohdassa 3. asettamaan J:n ensin nollaksi) ja käytä sitä kohtien 3. ja 3.3 laskuissa. Kirjoita muistiin myös samalla määräytyvä vaihtuvan tehtävän (kohta 3.5) numero. Automaattisesti alustetaan myös ohjelman käyttämä satunnaislukugeneraattori. Tarkemmat ohjeet ohjelman käyttöä varten ovat kansiossa työn suorituspaikalla. Halutessasi voit kopioda simulointiohjelman exe-version kotimikroosi; ohjelman tulostusparametrit on tosin optimoitu fysiikan laitoksen käyttöympäristön mukaan. Kokeile ohjelman käyttöä ja testaa myös tulostus ennenkuin siirryt varsinaisiin tehtäviin. Kunkin tehtävän kohdalla kannattaa tulostaa pari kuvaa tyypillisistä ohjelman tuottamista spin-konfiguraatioista. Tämä helpottaa myöhemmin selostuksen kirjoittamista. 3.. Ideaalinen paramagneetti J = 0 Tämä tilanne on käsitelty oppikirjassa [3] ja luennolla. Kun spinien välillä ei ole vuorovaikutuksia eli J = 0, saa lauseke () muodon Er tot = µb S (r) i. (7) Tällöin magneettinen momentti lämpötilassa T on ( µb ) M = µ tanh kt 3 (8)

4 ja energia spiniä kohti (huomaa erilainen merkintä kirjassa) on ( E = Etot µb ) N = µb tanh = MB. (9) kt Oppikirjassa on käytetty merkintää x = µb/kt. Piirrä käyrät (8) ja (9) eri kuviin x:n funktiona alueella x = Mitä voit päätellä systeemin käyttäytymisestä lämpötilan funktiona? Laske muutama piste edellä piirtämillesi käyrille osaston mikrotietokoneessa olevalla Monte Carlo -ohjelmalla. Huomaa, että ohjelman käyttämässä yksikköjärjestelmässä on k = ja µ =, mikä on tavallinen käytäntö statistisen fysiikan laskuissa. Tästä seuraa myös, että B ja T ilmaistaan samoissa yksiköissä, samoin myöhemmin J. Sovimme nyt yksinkertaisuuden vuoksi, että kaikki tulokset ilmaistaan yksiköttöminä [6]. Piirrä ohjelman laskemat pisteet samaan kuvaan kaavoista (8) ja (9) laskemiesi käyrien kanssa. Vertaamalla pisteitä teorian ennusteisiin voit varmistaa tässä vaiheessa, että olet saanut tietokoneohjelman toimimaan oikein. 3.. Ferromagneetti J > 0 nollakentässä B = 0 Kun J > 0, spinien välinen vuorovaikutus pyrkii kääntämään naapurispinit samaan suuntaan (ferromagnetismi). Tällöinkin voidaan johtaa tarkat analyyttiset lausekkeet suureille ( 4) kaksiulotteisessa tapauksessa rajalla N, kun B = 0. Teoreettinen tarkastelu on kuitenkin hyvin vaikea [,7], minkä vuoksi turvaudumme jatkossa yksinomaan Monte Carlo -simulointiin. Laske magneettisen momentin itseisarvo M, kun kt/j = ja B = 0 käyttäen ohjelman aiemmin antamaa J:n arvoa. Aseta sama arvo vaaka- ja pystysuuntaiselle kytkennälle eli J x = J y = J. Piirrä tulos parametrin y = kt/j:n funktiona (ohjelmassa siis k = ). Miten M mittaa systeemin järjestäytymisastetta? Kriittinen lämpötila T c tarkoittaa lämpötilaa, jonka yläpuolella spontaani magnetoituma eli magnetoituma nollakentässä häviää. Arvioi kriittinen lämpötila simulaatiotuloksistasi (tarvitset riittävän monta datapistettä) ja vertaa saamaasi arviota teoreettiseen tulokseen: sinh(j/kt c ) = eli T c.69j/k äärettömän kokoiselle kaksiulotteiselle Ising-mallille [7]. Jos haluaisit mallintaa tällä Ising-mallilla raudan ferromagnetismia [6], mikä olisi J:n arvo elektronivoltteina, jos kiderakennekorjaukset voi jättää huomiotta? 3.3. Ferromagneetti J > 0 magneettikentässä B > 0 Toista kohdan 3. laskut, kun B > 0. Valitse kokeillen kaksi sellaista magneettikentän B arvoa, joilla ero edelliseen tapaukseen näkyy selvästi (B:n täytyy olla samaa suuruusluokkaa kuin J). Piirrä tulokset samaan kuvaan. Mikä on J:n ja B:n suhteen vaikutus eri lämpötila-alueilla? 3.4. Antiferromagneetti J < 0 Muuta J negatiiviseksi ja tarkastele ohjelman tuottamia systeemin tiloja eri lämpötiloissa, kun B = 0. Voit myös kokeilla muuttaa kytkentävakioista vain toisen (joko J x tai J y ) etumerkkiä Vaihtuva tehtävä Työpaikalla olevassa kansiossa on joukko numeroituja ja aika ajoin vaihtuvia tehtäviä, joista jokainen työpari suorittaa yhden. Tietokone määrää kunkin parin suoritettavaksi tulevan tehtävän parin syntymäaikojen perusteella ohjelman aloitusruudussa. 4

5 4. Työselostus Työstä laaditaan tiivis kirjallinen selostus, jossa esitellään lyhyesti Ising-malli, tarkastellaan kohdan 3 laskujen tuloksia ja vastataan esitettyihin kysymyksiin. Työn filosofia ja selostuksen sävy on lähinnä kompuutterieksperimentti, ei niinkään teoreettinen tutkielma. Systeemi minimoi vapaan energian F = E T S, jolloin lämpötilan kasvaessa entropia S eli epäjärjestys voittaa. Miten tämä näkyy ohjelman tuottamista systeemin tiloista kussakin kohdassa? Tervetulleita ovat muutkin havainnot systeemin tilojen luonteesta, kuten järjestyksen saarekkeista ja mahdollisesta metastabiiliudesta demonstroi havaintosi kuvin. Yksi mahdollinen pohdiskelun aihe on myös kvalitatiivinen yhtäläisyys Ising-mallissa ja muissa fysikaalisissa systeemeissä tapahtuvien faasimuutosten välillä. Monte Carlo -menetelmää ei tarvitse yksityiskohtaisesti käsitellä selostuksessa. Liite Eräiden ferro- ja antiferromagneettisten materiaalien kriittisiä lämpötiloja (Lähde: Ashcroft & Mermin [6]): Ferromagneetteja T c Antiferromagneetteja T c Fe 043 K MnO K Co 388 K FeO 98 K Ni 67 K KFeF 3 5 K Gd 93 K VS 040 K GdCl 3. K Cr 3 K Kirjallisuus [] Ising-mallin fysiikkaan ja historiaan liittyvää materiaalia työn suorituspaikalla olevassa kansiossa. [] Ising-malli voidaan johtaa aidosti kvanttimekaanisesta Heisenbergin mallista eräille systeemeille pätevänä rajatapauksena. Kyseisellä rajalla malliin jää vain toistensa kanssa kommutoivia operaattoreita, minkä ansiosta mallin statistista mekaniikkaa voidaan tarkastella ilman kvanttimekaniikan koneistoa [Plischke & Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, nd edition, World Scientific (994)]. [3] F. Mandl, Statistical Physics, Luku 3. A Paramagnetic Solid in a Heat Bath, Wiley (988). [4] D. W. Heermann, Computer Simulation Methods in Theoretical Physics, Springer (990). [5] Nimi Monte Carlo viittaa luonnollisesti kuuluisaan kasinoon, jossa tuotetaan satunnaislukuja ruletilla, kun taas Metropolis on algoritmin kehittäjän nimi. Alkuperäinen artikkeli [N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller & E. Teller, J. Chem. Phys., 0 (953)] sisältää yksinkertaisen perustelun sille miksi algoritmin voi odottaa toimivan. [6] Ising-mallin parametrit, kuten kytkentävakio J, saavat jonkin tietyn arvon energia- ja lämpötilayksiköissä vasta sitten, kun mallia aletaan soveltaa johonkin realistiseen systeemiin. Esim. raudalle kokeellisesti mitattu kriittinen lämpötila on noin 043 K, mistä saa J:lle arvion. Tarkkaan ottaen asiaan vaikuttaisi jonkin verran myös raudan kiderakenne, joka on bcc-rakenne eikä neliöhila, ja monet muut komplikaatiot, joihin ei ole tarpeen puuttua tässä [Luvut 4 ja 33, Ashcroft & Mermin, Solid State Physics (976)]. [7] Kriittisen pisteen lähellä pätevän skaalauksen M (T c T) /8 ja muiden tunnettujen eksaktien tulosten [R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press (98)] todentaminen Monte Carlo -menetelmällä vaatii pidempiä simulointeja kuin mihin tässä työssä voidaan ryhtyä. 5