S PIIRIANALYYSI 2 Luentomoniste 2012 Martti Valtonen

Transkriptio

1 A! Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakoulu S PIIRIANALYYSI 2 Luentomoniste 22 Martti Valtonen > WAVELENGTHS TOWARD GENERATOR > < WAVELENGTHS TOWARD LOAD < INDUCTIVE REACTANCE COMPONENT (+jx/zo), OR CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jb/yo).44 RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo) CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jx/zo), OR INDUCTIVE SUSCEPTANCE (-jb/yo) ANGLE OF TRANSMISSION COEFFICIENT IN DEGREES ANGLE OF REFLECTION COEFFICIENT IN DEGREES

2 2 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen

3 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 3 Sisältö (viittaukset kalvonumerointiin) S Piirianalyysi 2 (5 op) Kirjallisuus Suorittaminen APLAC 4 PIIRIANALYYSI PIKAKERTAUS 5 Kiinteä tehollisarvon osoitin Impedanssi ja admittanssi Yleistetty Ohmin laki Esimerkki Passiiviset peruskomponentit Kompleksinen teho Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi Theveninin lähde Silmukkamenetelmä Esimerkki Solmumenetelmä Esimerkki Determinantti ja alideterminantti Matriisin determinantti Alideterminantti x 2-matriisin determinantti Determinanttikehitelmä Cramerin sääntö Ohjatut lähteet Siirtoimpedanssi Siirtoadmittanssi Jännitevahvistus Virtavahvistus Esimerkki TRANSIENTTIANALYYSI 25 Johdanto RC-esimerkki RC-piirin ominaisvaste Askelfunktio ja askelvaste RC-piirin askelvaste Yhteenveto transienttianalyysistä Pulssi askelfunktioiden avulla Esimerkki: Pulssin vääristyminen RC-piirissä RL-piirin ominaisvaste RL-piirin askelvaste Esimerkki: Pulssin vääristyminen RL-piirissä

4 4 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen LAPLACE-MUUNNOS 49 Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu Laplace-muunnoksen määritelmä Laplace-käänteismuunnos Askelfunktion Laplace-muunnos Vaimennussääntö Esimerkki cos- ja sin-funktioiden Laplace-muunnokset Viivästyssääntö Esimerkki Pengerfunktion Laplace-muunnos Funktion paloittelu askelfunktioiden avulla Esimerkki Derivaatan ja integraalin Laplace-muunnokset Alkuarvoteoreema Loppuarvoteoreema RL-piirin ominaisvaste RL-piirin askelvaste RATIONAALIFUNKTIOIDEN KÄÄNTEISMUUNNOS 62 A. Reaaliset eri suuret navat Osamurtokehitelmä Residy Heavisiden kehitelmä Esimerkki Esimerkki: RL-piirin askelvaste Johdanto värähtelevään ominaisvasteeseen B. Kompleksiset eri suuret napaparit Esimerkki C. Reaaliset kaksinkertaiset navat Esimerkki Impulssifunktio (Diracin deltafunktio) Yhteenveto Esimerkki TRANSIENTTIANALYYSI L-MUUNNOKSEN AVULLA 76 Piirielementtien Laplace-muuntaminen Resistanssi Induktanssi Kapasitanssi Esimerkki: RC-piirin vaste Esimerkki: RL-piirin vaste Yhteenveto Esimerkki

5 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 5 JAKSOLLISTEN FUNKTIOIDEN LAPLACE-MUUNNOS 97 Sinifunktiot Esimerkki: Muutosilmiö sinimuotoisella herätteellä Mielivaltaiset jaksolliset funktiot Jaksolliselta näyttävän funktion käänteismuunnos Esimerkki Puoliaaltotasasuuntaus Kokoaaltotasasuuntaus Esimerkki Puoliaaltotasasuunnattu sinisignaali Kokoaaltotasasuunnattu sinisignaali Esimerkki: Puoliaaltotasasuunnattu 5 Hz:n sinisignaali... 2 Esimerkki: Kokoaaltotasasuunnattu 5 Hz:n sinisignaali... 3 Ideaalidiodin malli Esimerkki: Tasasuunnattu vaihtovirta MONITAAJUUS- JA HARMONINEN ANALYYSI 7 Monitaajuusanalyysi Esimerkki Fourier-sarja Fourier-sarjan kertoimien määrääminen Jaksollisen funktion Fourier-sarja Fourier-kertoimien laskeminen Laplace-muunnoksen avulla.. 3 Esimerkki: Saha-aaltojännite Esimerkki: Puoliaaltotasasuunnattu sinisignaali Viivaspektri Esimerkki: Saha-aaltojännitteen viivaspektri Esimerkki: Puoliaaltotasasuunnatun sinin viivaspektri Tehollisarvo Harmoninen analyysi Esimerkki: Puoliaaltotasasuunnatun 5 Hz:n sinin suodatus. 42 Tasavirtakomponentti Perustaajuinen komponentti f = 5 Hz harmoninen f = Hz harmoninen f = 2 Hz SYSTEEMIFUNKTIOT 47 Johdanto Syöttöpistefunktio Siirtofunktio Nollat Navat Vakiokerroin Taajuusvaste Syöttöpistefunktio Siirtofunktio Syöttöpisteimpedanssi Syöttöpisteadmittanssi

6 6 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Siirtoimpedanssi Siirtoadmittanssi Jännitevahvistus Virtavahvistus Syöttöpisteadmittanssin laskeminen silmukkamenetelmällä Syöttöpisteimpedanssin laskeminen solmumenetelmällä Siirtoimpedanssin laskeminen solmumenetelmällä Siirtoadmittanssin laskeminen silmukkamenetelmällä Esimerkki Esimerkki Ominaistaajuudet Ominaistaajuuksia vastaavat signaalit Esimerkki Esimerkki Impulssivaste Esimerkki Esimerkki Stabiilisuus Esimerkki Piirin lineaarisuus Konvoluutio KAKSIPORTTIPARAMETRIT 73 Resiprookkisuus (vastavuoroisuus) Oikosulkuadmittanssi- eli y-parametrit y-parametrien määrääminen y-parametrit y-parametrien laskeminen silmukkamenetelmällä Esimerkki Kaksiportin sijaiskytkentä y-parametrien avulla Resiprookkisen 2-portin sijaiskytkentä y-parametrien avulla. 85 Esimerkki Esimerkki Avoportti-impedanssi- eli z-parametrit z-parametrien määrääminen z-parametrit z-parametrien laskeminen silmukkamenetelmällä Esimerkki Esimerkki z- ja y-parametrien välinen yhteys Kaksiportin sijaiskytkentä z-parametrien avulla Resiprookkisen 2-portin sijaiskytkentä z-parametrien avulla. 2 Esimerkki Esimerkki Ketju- eli ABCD-parametrit Symmetrinen piiri Resiprookkinen piiri

7 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 7 Peräkkäin kytketyt kaksiportit Sarjaimpedanssi Rinnakkaisadmittanssi Esimerkki SIIRTOJOHDOT AIKA-ALUEESSA 29 Johdanto Esimerkkejä erilaisista siirtojohdoista Mikroliuskajohto Siirtojohdon aaltoyhtälö aika-alueessa Jakautunut sarjainduktanssi Jakautunut rinnakkaiskapasitanssi Aaltoyhtälön ratkaisu Etenemisnopeus Esimerkki Aaltoon liittyvä virta Ominaisimpedanssi Esimerkki: koaksiaalikaapeli Siirtojohdon merkintä Reunaehdot Esimerkki Esimerkki: Ukkosen aiheuttama syöksyaalto Heijastus- ja läpäisykerroin Jatkuvuusehto liitoskohdassa Jännite ja virta liitoskohdassa Heijastus ja läpäisy päätetyllä johdolla Suuntavaikutus Esimerkki: edestakaiset heijastukset Siirtojohdon sijaiskytkentä aika-alueessa Esimerkki Siirtojohdon sijaiskytkentä Laplace-muunnettuna Esimerkki: Siirtojohdon muutosilmiö SIIRTOJOHDOT TAAJUUSALUEESSA 239 Johdanto Jakautunut sarjaresistanssi Jakautunut sarjainduktanssi Jakautunut rinnakkaiskonduktanssi Jakautunut rinnakkaiskapasitanssi Siirtojohdon lennätinyhtälöt Siirtojohdon aaltoyhtälö taajuusalueessa Etenemiskerroin Vaimennuskerroin Vaihekerroin Ominaisimpedanssi Häviötön siirtojohto Heijastus- ja läpäisykerroin jatkuvassa tilassa Jatkuvuusehto liitoskohdassa

8 8 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Jännite ja virta liitoskohdassa Heijastuskerroin pitkin johtoa Heijastuskerrointaso Seisova aalto Seisovan aallon suhde (voltage standing-wave ratio) Esimerkki Virta johdossa Siirtojohdon ketjumatriisi Häviötön johto γ = jβ Siirtojohdon syöttöpisteimpedanssi Oikosuljettu siirtojohto Avoin siirtojohto Esimerkki: Siirtojohdon avulla siirretty teho SMITHIN KARTTA 263 Johdanto Heijastuskerrointaso Normalisoitu impedanssi Vakio-r- ja vakio-x-ympyrät Smithin kartta Esimerkki Admittanssi Smithin kartalla Lähteen sovittaminen Pätöteho siirtojohdossa Pätöteho siirtojohdossa, kun Z s = Z Lähteen Z s = Z sovittaminen siirtojohdoilla Esimerkki Reaktanssin toteuttaminen siirtojohdolla Lopullinen sovituspiiri Sovitus admittanssitasossa Ratkaisun kulku Ratkaistu sovituspiiri Sovituspiirin avulla siirretty teho Impedanssi taajuuden funktiona

9 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 9 S Piirianalyysi 2 Viikko : Muutosilmiöt (transienttianalyysi) Piirianalyysin tarkoituksena on opettaa ymmärtämään, miten sähköisistä komponenteista, kuten vastuksista, kondensaattoreista, keloista, muuntajista, koaksiaalikaapeleista, diodeista, transistoreista ja operaatiovahvistimista, koottujen laitteiden toiminta ja käyttäytyminen voidaan ennustaa riittävän tarkasti onnistuneen teollisen tuotteen aikaansaamiseksi. Tavoitteeseen pääsemiseksi tarvitaan ) mallit, jotka kuvaavat hyvin komponenttien ominaisuuksia, ja 2) menetelmät, joiden avulla malleista koottuja kytkentöjä voidaan analysoida. Piirianalyysi :n yhteydessä on jo tutustuttu joidenkin peruskomponenttien malleihin sekä jatkuvan tilan tasavirta- ja vaihtovirta-analyysimenetelmiin. Piirianalyysi 2:ssa tutustumme sähkö- ja tietoliikennetekniikassa keskeisen siirtojohdon (esim. koaksiaalikaapeli, optinen kuitu) malliin sekä opettelemme uuden transientti- eli muutosilmiöanalyysimenetelmän, jonka avulla voidaan tutkia esimerkiksi pulssien vääristymistä tiedonsiirtopiireissä. Edelleen opettelemme uuden, jatkuvan tilan monitaajuusanalyysimenetelmän ja sen erikoistapauksena harmonisen analyysimenetelmän, jolla voidaan ennustaa piirien käyttäytyminen jaksollisilla, ei vain sinimuotoisilla vaan mielivaltaisen muotoisilla signaaleilla. Samalla opimme miten jaksollisten signaalien spektrit muokkautuvat piireissä. Lopuksi tutustumme Smithin karttaan ja sen käyttöön impedanssien sovittamisessa. Tähän mennessä opitut analyysimenetelmät ovat olleet jatkuvan tilan menetelmiä, mikä tarkoittaa sitä, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet) on kytketty päälle äärettömän kauan aikaa sitten. Ensimmäisellä viikolla tutustumme transientti- eli muutosilmiöanalyysiin, jonka avulla voidaan selvittää ajan funktiona, mitä piirissä tapahtuu välittömästi sen jälkeen, kun herätteet kytketään päälle. Raja-arvona, kun aikaa on kulunut riittävän kauan, transienttianalyysi antaa saman tuloksen kuin jatkuvan tilan analyysi. Se, että piirissä tapahtuu muutosilmiö ja jatkuvaa tilaa ei saavuteta heti, johtuu energiaa varastoivien komponenttien, kapasitanssien ja induktanssien hitaudesta. Ominaisvasteen ratkaisemiseksi opimme kirjoittamaan. kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yksinkertaisille RC- ja RL-piireille. Ratkaisun yhteydessä tutustumme piirin karakteristiseen polynomiin. Tämän jälkeen tutustumme askelfunktioon sekä RC- ja RL-piirien askelvasteeseen, jonka löydämme ratkaisemalla piirille kirjoitetun. kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön. Opettelemme kirjoittamaan pulssin askelfunktion avulla ja tätä kautta ennustamaan pulssin vääristymisen RC- ja RL-piireissä.

10 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen

11 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen S Piirianalyysi 2 (5 op) radio.tkk.fi noppa.aalto.fi jari.j.hanninen@aalto.fi Luennot ti 2-4 S4, Martti Valtonen, C23 Harjoitukset 2t/vko, Jari Hänninen, C2 Ilmoittautuminen Oodilla viimeistään 3..!!! Luentokalvot ja laskuharjoitukset ratkaisuineen Nopassa Itseopiskelijoille: K. Silvonen: SÄHKÖTEKNIIKKA JA PIIRI- TEORIA, Otatieto (62), 29, luvut 3, 6, (n. 5 sivua, teoriapainotteinen) J.A.Edminister and M.Nahvi: ELECTRIC CIRCUITS, Third Edition, Schaum s Outline Series, 997, luvut 6-8, 3 ja 6-7 (n. sivua, harjoituspainotteinen) J.W.Nilsson and S.A.Riedel: ELECTRIC CIRCUITS, Sixth Edition, Prentice-Hall, 999, luvut 7-8, 2-3, 6 ja 8 (n. 33 sivua) D.K.Cheng: FIELD AND WAVE ELECTRO- MAGNETICS, 2nd Edition, Addision-Wesley, 989, luku 9: Theory and Applications of Transmission Lines (n. 7 sivua) D.K.Cheng: FUNDAMENTALS OF ENGINEERING ELECTROMAGNETICS, Addision-Wesley, 993, luku 8: Transmission Lines (n. 5 sivua) 2

12 2 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Suorittaminen 3 Välikokeilla (2 kpl) tai tentillä (4 kpl/vuosi) Välikokeissa 5 tehtävää (max. 5 * 5 p.) tehtävä laskuharjoituksista Hyvitys palautettavista kotitehtävistä max. 5 p. (+ hyvitys labratyöstä p.) Tentissä 5 tehtävää (max. 5 * p.) Pistemäärä Arvosana APLAC 4 Piirianalyysi- ja suunnitteluohjelmisto: mm. NOKIAn matkapuhelimien integroitujen RF-piirien suunnittelutyökalu RF = Radio Frequency Ohjelman käytön osaaminen ei kuulu vaatimuksiin S Piirisimulointi (4-5 op)

13 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 3 Kiinteä tehollisarvon osoitin Im I = I ϕ i = I e jϕ i I ϕ i Re 5 Merkintä I ϕ i tarkoittaa todellista virtaa i(t) = I 2 sin (ωt + ϕ i ) aika-alue: i(t) = I 2 sin (ωt + ϕ i ) taajuusalue: I = I ϕ i taajuusalueanalyysi (AC-analyysi) Impedanssi ja admittanssi Impedanssi I Z U Z = U I = U ϕ u ϕ i = R + jx I R = resistanssi X = reaktanssi Admittanssi 6 I Y U Y = Z = I U = I U G = konduktanssi B = suskeptanssi ϕ i ϕ u = G + jb

14 4 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Yleistetty Ohmin laki U = Z I I = Y U U = RI DC-analyysi, reaaliaritmetiikka U = Z I AC-analyysi, kompleksiaritmetiikka 7 Esim. A 5 Ω U = RI = 5 V A 45 3 Ω 6 U = Z I = 3 V 5 Passiiviset peruskomponentit aika-alue i taajuusalue I R u = R i R U = R I 8 i C u = C i L u = L di dt i dt C I I L U = I jωc U = jωl I dt jω d dt jω

15 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 5 Passiiviset peruskomponentit taajuusalueessa I R U = Z I I C U = Z I I L U = Z I Z = R Z = jωc Y = R = G Y = jωc Z = jωl Y = jωl 9 Kompleksinen teho S = P + jq = U I ( I = I ϕ i, I = I ϕ i ) kompl. teho S = U I pätöteho P = Re{U I } = U I cos ϕ [ P ] = W loisteho Q = Im{U I } = U I sin ϕ [ Q ] = VAr=vari näennäisteho S = U I = U I [ S ] = VA ϕ = ϕ u ϕ i tehokerroin cos ϕ S induktiivinen loisteho ϕ > jq kapasitiivinen loisteho ϕ < ϕ P

16 6 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi E Z Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi E Z Z J Z JZ Z Theveninin lähde Jokainen kaksinapainen piirielementti (ideaalista virtalähdettä lukuunottamatta) voidaan esittää Theveninin lähteen avulla: 2 N A E T Z T A B B E T Z T on piirin tyhjäkäyntijännite on navoista AB näkyvä impedanssi, kun piirin N kaikki riippumattomat lähteet on merkitty nolliksi

17 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 7 Silmukkamenetelmä I 3 I I 2 ZI = E 3 Z Impedanssimatriisi (yllä 3x3) I E Silmukkavirtavektori Lähdejännitevektori Yleistetty Ohmin laki Silmukkamenetelmä [Z ij ] [I j ] = [E i ] Z ii = Silmukan i impedanssien summa Z ij = Silmukoiden i ja j yhteisten impedanssien summa. Impedanssit otetaan negatiivisina, jos virrat kiertävät niissä eri suuntiin. E i = Silmukkaan i kuuluvien lähdejännitteiden summa, kun silmukan suuntaiset ( +) lähteet otetaan positiivisina. Silmukoita b n + kpl 4

18 8 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Esim. Z F I 3 Z B Z D E D Z A I Z C I 2 Z E 5 E A E C Z A + Z B + Z C Z C Z B Z C Z C + Z D + Z E Z D Z B Z D Z B + Z D + Z F I I 2 I 3 = E A E C E C E D E D Solmumenetelmä 2 3 U U 2 U 3 6 Y U = J Y Admittanssimatriisi (yllä 3x3) U J Solmujännitevektori Lähdevirtavektori Yleistetty Ohmin laki

19 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 9 Solmumenetelmä [Y ij ] [U j ] = [J i ] Y ii = Solmupisteeseen i liittyvien admittanssien summa Y ij = Solmupisteitä i ja j yhdistävien admittanssien summa negatiivisena J i = Solmupisteeseen i liittyvien lähdevirtojen summa, kun tulevat virrat otetaan positiivisina 7 Esim. J A U Y A Y B U 2 Y F Y C J D 2 3 Y A + Y B + Y F Y B Y F Y B Y B + Y C + Y D Y D Y F Y D Y D + Y E + Y F Y D U U 2 U 3 Y E U 3 = J A J D J D 8

20 2 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 9 Determinantti ja alideterminantti Matriisin determinantti Z Z 2 Z 3 Z 4 = Z = Z 2 Z 22 Z 23 Z 24 Z 3 Z 32 Z 33 Z 34 Z 4 Z 42 Z 43 Z 44 Z Z 2 Z 4 Alideterminantti 23 = Z 3 Z 32 Z 34 Z 4 Z 42 Z 44 2 x 2-matriisin Z Z 2 determinantti Z 2 Z 22 = Z Z 22 Z 2 Z 2 Determinanttikehitelmä = i=4,j= ( ) i+j Z ij ij = Z Z Z 3 3 Z 4 4 i=,j= 2 ZI = E Cramerin sääntö I = Z Z 2 Z 2 Z 22 Z 3 Z 23 Z 3 Z 32 Z 33 Z I Z 2 Z 3 Z 2 I Z 22 Z 23 Z 3 I Z 32 Z 33 Z I + Z 2 I 2 + Z 3 I 3 Z 2 Z 3 Z 2 I + Z 22 I 2 + Z 23 I 3 Z 22 Z 23 Z 3 I + Z 32 I 2 + Z 33 I 3 Z 32 Z 33 I = E Z 2 Z 3 E 2 Z 22 Z 23 E 3 Z 32 Z 33 = I I 2 I 3 = = E E 2 E 3 E Z 2 Z 3 E 2 Z 22 Z 23 E 3 Z 32 Z 33

21 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 2 Ohjatut lähteet E = ZI CCVS N I sopiva silmukkamenetelmässä E = αu VCVS N U 2 J = βi CCCS N I J = Y U VCCS N U sopiva solmumenetelmässä Ohjatut lähteet Z = siirtoimpedanssi (Current-Controlled Voltage Source) Y = siirtoadmittanssi (Voltage-Controlled Current Source) α = jännitevahvistus (Voltage-Controlled Voltage Source) β = virtavahvistus (Current-Controlled Current Source) Ohjattujen lähteiden arvot - toisin kuin riippumattomilla lähteillä - ovat funktioita piirin jännitteistä ja/tai virroista. Edellä määritellyt lähteet ovat lineaarisia, mikäli Z, Y, α ja β ovat vakioita. Ohjatut lähteet aiheuttavat epäsymmetrian matriiseissa Z ja Y. 22

22 22 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Esim. Z 3 23 E Z I Z 2 I 2 I Z 4 ZI Z + Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 + Z 3 + Z 4 E = V Z = Ω U =? Z 2 = 9 Ω Z 3 = j Ω Z = 9 Ω Z 4 = Ω Z + Z 2 Z 2 Z 2 Z Z 2 + Z 3 + Z 4 + Z epäsymmetrinen I I 2 E = Z(I I 2 ) I I 2 = E 9 j I I 2 = 24 = ( j) ( ) ( 9) = j 9 j j I = A = j j A I 2 = j A = j A U = Ω I 2 9 Ω (I I 2 ) = 9 + j V 6,43 V 34 j

23 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 23 TRANSIENTTIANALYYSI k t= R i() = Induktanssin energia e(t) = E L W L = 2 Li2 = Jatkuvuustilassa (t = ) kytkimen sulkemisen jälkeen: k R i( ) = E R E L W L = 2 L ( E R ) 2 25 Energia (W = p(t) dt) ei voi hypätä yhtäkkiä arvosta toiseen: vaatisi äärettömän tehon. k t= R RC-esimerkki Kapasitanssin energia e(t) = E C u() = W C = 2 Cu2 = Jatkuvuustilassa (t = ) kytkimen sulkemisen jälkeen: k R 26 E + + C u( ) = E W C = 2 CE2 Kapasitanssin varaus q(t) = Cu(t)

24 24 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Johtopäätökset Kytkimen asennon vaihdon jälkeen induktanssin virta tai kapasitanssin jännite (varaus) muuttuu jatkuvasti alkuarvosta jatkuvan tilan arvoon 27 muutosilmiö Energiaa varaavat komponentit aiheuttavat piiriin hitautta Induktanssin virta tai kapasitanssin jännite eivät voi olla epäjatkuvia: E k R L i u = L di dt k C i = C du dt u Muutosilmiön nopeus määritellään aikavakion τ avulla RC-piirin ominaisvaste 28 t= k Ominaisvaste tarkoittaa piirin vastetta, kun herätteet =. R C u k 2 t= i R = i C hetken t = jälkeen: R U C i R R i C k C u =? u R = C du dt RC du dt + u =. kertaluvun homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö (R ja C vakioita) Jatkuvassa tilassa u( ) =, koska herätteitä ei ole.

25 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 25 Yhtälö Yleinen ratkaisu RC du dt +u= u=ue st srcue st +Ue st = (src +)Ue st = Karakteristinen polynomi: Q(s) = src + Nollasta poikkeava ratkaisu, mikäli: Q(s)= s= RC u=ue RC t Jatkuvassa tilassa u( )= (R >, C > ) 29 Alkuehto u( + )=U C U =U C Ratkaisu u(t)=u C e RC t RC-piirin ominaisvaste, u(t) V APLAC Simulator R= Ω, C= F, U C = V i C (t), i(t) A,75 u(t),37 A,25,5,5 3,25,37 V 63% muutoksesta (e,37) tapahtuu aikavakion τ määräämässä ajassa,75 τ=rc aikavakio, t /s,

26 26 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Askelfunktio ja askelvaste, t < Askelfunktio ε(t) =, t > 3 ε(t) ε(t) epäjatkuva hetkellä t = ε( + ) = ε( ) = t Askelvaste on alunperin levossa olevan piirin vaste, kun herätteenä on askelfunktio. RC-piirin askelvaste k R t= R i R e(t) = E C u E C i C u =? 32 Kytkimen sulkemisen jälkeen: i R = i C RC du dt + u = E. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö Piiri alunperin levossa u( + ) = Jatkuvassa tilassa u( ) = E, koska tasavirralla kapasitanssi on avoin piiri.

27 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 27 Yhtälö RC du dt +u=e Jatkuvassa tilassa u( )=E (R >, C > ) Ratkaisuehdotus u=ue RC t +E 33 Alkuehto u( + )= =U +E U = E Ratkaisu u(t)=e( e RC t ) i C (t)= E R e RC t RC-piirin askelvaste, u(t) V,75,5 APLAC Simulator R= Ω, C= F, E= V i C (t) u(t),63 V,37 A, i(t) A,75,5 34,25,25 τ=rc, t /s,

28 28 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Transienttianalyysi 35 Ratkaistaan alkutila jatkuvan tilan analyysillä Mikäli piirissä on useita vastuksia ja lähteitä, mutta vain yksi riippumaton energiaa varastoiva komponentti, esitetään vastusten ja lähteiden muodostama piiri Theveninin lähteenä Ratkaistaan differentiaaliyhtälö i(t), u(t) Tarkistetaan alkutila i( + ), u( + ) Tarkistetaan jatkuva tila (muutosilmiö tasaantunut) Pulssi askelfunktioiden avulla 36 u(t) ε(t) u(t) = ε(t) ε(t t ) t t ε(t t )

29 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 29 Esim. E = V, t = ns, R = 5 Ω, C = {4 pf; 4 pf;,4 pf} R e(t)=e[ε(t) ε(t t )] C R u(t) =? Muutetaan kapasitanssin näkemä piiri Theveninin lähteeksi: R T 37 E T [ε(t) ε(t t )] C u(t) =? E T = E 2, R T = R 2 Ratkaistaan R T C du dt + u = e(t) 2 paloittain: ) t t Ratkaisu askelvasteen avulla: u(t) = E T ( e R T C t ) Aikavakio τ = R T C = { ns;, ns;, ns} 2) t > t Ratkaisu ominaisvasteen avulla: 38 Alkuarvo U C = E T ( e R T C t C/pF τ/ns U C/V ) 4 3,6 4, 5,,4, 5, u(t) = U C e R T C (t t )

30 3 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Pulssin vääristyminen RC-piirissä 5, u(t) V 3,75 APLAC Simulator E T =5 V, t = ns, R T =25 Ω 39 2,5,25 C=4 pf (τ= ns) C=,4 pf C=4 pf (τ=, ns) (τ=, ns), t /ns RL-piirin ominaisvaste 4 t= k R i k 2 t= R L E Kirchhoffin jänniteyhtälö hetken t = jälkeen: k R u R u L i =? L u R + u L = Ri + L di dt =. kertaluvun homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö i( + ) = I L = E R Jatkuvassa tilassa i( ) =, koska herätteitä ei ole.

31 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 3 Yhtälö Yleinen ratkaisu L di dt +Ri= i=ie st slie st +RIe st = (sl+r)ie st = Karakteristinen polynomi: Nollasta poikkeava ratkaisu, mikäli: Q(s) = sl+r Q(s)= s= R L i=ie R L t 4 Jatkuvassa tilassa i( )= (R >, L > ) Alkuehto i( + )=I L Ratkaisu I =I L i(t)=i L e R L t RL-piirin ominaisvaste, i(t) A APLAC Simulator R= Ω, L= H, I L = A u L (t), u(t) V,75 i(t),37 V,25,5,5 42,25,37 A 63% muutoksesta (e,37) tapahtuu aikavakion τ määräämässä ajassa,75 τ=l/r aikavakio, t /s,

32 32 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen RL-piirin askelvaste k R t= R i e(t)=e L E u R u L i =? L 43 Kirchhoffin jänniteyhtälö kytkimen sulkemisen jälkeen: u R + u L = Ri + L di dt = E. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö Piiri alunperin levossa i( + ) = Jatkuvassa tilassa i( ) = E, koska tasavirralla induktanssi on R oikosulku. Yhtälö Jatkuvassa tilassa L di dt +Ri=E i( )= E R (R >, L > ) 44 Ratkaisuehdotus i=ie R L t + E R Alkuehto i( + )= =I + E R I = E R Ratkaisu i(t)= E R ( e R L t ) u L (t)=ee R L t

33 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 33 RL-piirin askelvaste, i(t) A,75 APLAC Simulator R= Ω, L= H, E= V u L (t) i(t),63 A, u(t) V,75,5,37 V,5 45,25,25 τ=l/r, t /s, Esim. E = 5 V, t = ns, R = 5 Ω, L = {5 nh; 5 nh;,5 nh} i(t) L e(t)=e[ε(t) ε(t t )] R u(t) =? Ratkaistaan L di dt + Ri = e(t) paloittain: ) t t i(t) = E Ratkaisu askelvasteen avulla: R ( e R L t ) u(t) = Ri(t) 46 Aikavakio τ = L = { ns;, ns;, ns} R

34 34 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 2) t > t Ratkaisu ominaisvasteen avulla: L/nH τ/ns I L/mA Alkuarvo I L = i(t ) = E R ( e R L t ) 5 63,2 5, 99,99,5,, 47 i(t) = I L e R L (t t ), u(t) = Ri(t) u(t) = t < u(t) = E( e R L t ) t t u(t) = E( e R L t )e R L (t t ) t > t Pulssin vääristyminen RL-piirissä u(t) V 5, 3,75 APLAC Simulator E=5 V, t = ns, R=5 Ω 48 2,5,25 L=5 nh (τ= ns) L=,5 nh L=5 nh (τ=, ns) (τ=, ns), t /ns

35 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 35 S Piirianalyysi 2 Viikko 2: Laplace-muunnos Mikäli piirissä on m kpl energiaa varastoivia riippumattomia komponentteja, piiriyhtälöt johtavat m. kertaluvun lineaariseen differentiaaliyhtälöryhmään m alkuehdolla. Sen sijaan, että pyrkisimme ratkaisemaan tämän yhtälöryhmän aika-alueessa (ts. ajan funktiona), siirrämme ratkaisun ns. s eli Laplace-tasoon Laplace-muunnoksen avulla. Tällöin ajan mukana muuttuvat virrat i(t) ja jännitteet u(t) muuntuvat vastaavasti s-tason virroiksi I(s) ja jännitteiksi U(s). Laplace-tasossa piiriyhtälöt voidaan esittää algebrallisessa muodossa, jolloin ratkaisukin voidaan löytää algebrallisesti käyttämällä opittuja esim. solmu- ja silmukkamenetelmiä. Kun piirin ratkaisu on löytynyt s-tasossa, voidaan lopuksi siirtyä takaisin aika-alueeseen Laplace-käänteismuunnoksen avulla. Tekniikka on samankaltainen kuin vaihtovirta-analyysissä, missä aika-alueen sijasta ratkaisu etsittiin taajuusalueessa kompleksilukujen avulla ja saatu ratkaisu tulkittiin takaisin aikaalueen reaaliseksi signaaliksi. Tällä viikolla tutustumme lähinnä itse Laplace-muunnokseen ja opettelemme askel-, cos-, sin- ja pengerfunktioiden sekä derivaatan ja integraalin Laplace-muunnokset. Edelleen opettelemme em. funktioiden muunnosten löytämistä helpottavat vaimennus- ja viivästyssäännöt sekä tekniikan funktioiden paloittelemiseksi viivästettyjen askelfunktioiden avulla. Laplace-käänteismuunnosta varten opettelemme menetelmän, millä voidaan löytää s-tason rationaalifunktiota F (s) vastaava aika-alueen funktio f(t). Tässä yhteydessä tutustumme käsitteisiin nolla, napa, residy ja osamurtokehitelmä. Tarkastelemme aluksi rationaalifunktioita F (s) = P (s)/q(s), joiden osoittajapolynomi P (s) on alempaa astetta kuin nimittäjäpolynomi Q(s). Mikäli navat (= nimittäjäpolynomin nollakohdat) ovat reaalisia ja eri suuria, voidaan käänteismuunnos löytää Heavisiden kehitelmän avulla. Tutustumme myös tekniikkaan, millä käänteismuunnos löydetään silloin, kun navat (napaparit) ovat kompleksisia ja eri suuria.

36 36 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen

37 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 37 Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu Jos piirissä on m kpl riippumattomia energiaa varastoivia komponentteja, silmukka- ja solmuyhtälöt johtavat m. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmään m alkuehdolla. Muutetaan differentiaaliyhtälöt algebrallisiksi yhtälöiksi Laplace-muunnoksen avulla. Ratkaisun kulku 49 Muutetaan piiri aika-alueesta Laplace-tasoon Laplace-muunnoksen avulla. Ratkaistaan syntynyt algebrallinen matriisiyhtälö normaaliin tapaan. Saatu Laplace-tason ratkaisu muunnetaan takaisin aika-alueeseen: etsitty ratkaisu Laplace-muunnos F (s) = L [f(t)] = f(t)e st dt s = σ + jω = Laplace-muuttuja (kompleksinen taajuus) f(t)e st hyvin käyttäytyvä (integraali olemassa) Muunnos kuvaa funktiot aika-alueesta (t) Laplace-tasoon (s) hetken t = jälkeen. Käänteismuunnos L [F (s)] = f(t) 5 Muunnos on lineaarinen: L [f (t) + f 2 (t)] = F (s) + F 2 (s) L [kf(t)] = kf (s) Merkitään myös f(t) F (s)

38 38 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Askelfunktion Laplace-muunnos 5 ε(t) ε(t) epäjatkuva hetkellä t = ε( + ) = ε( ) =, t < Askelfunktio ε(t) =, t > Laplace-muunnos: L [ε(t)] = e st dt = t s e st = s L [ε(t)] = s Vaimennussääntö [ L e at ] f(t) = F (s + a) 52 Todistus: [ L e at ] f(t) = e at f(t)e st dt= f(t)e (s+a)t dt=f (s+a) Esim. Vaimennettu askelfunktio e at, t e at (t ) L [ e at ε(t) ] = s + a t

39 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 39 cos- ja sin-funktioiden Laplace-muunnokset [ Vaimennussääntö L e jω t ] = e jω t = cos ω t j sin ω t Lineaarisuus [ L e jω t ] = L [cos ω t] jl [sin ω t] s + jω = s s 2 + ω 2 L [cos ω t] = j s s 2 + ω 2 L [sin ω t] = ω s 2 + ω 2 ω s 2 + ω 2 s + jω 53 cos- ja sin-funktioiden Laplace-muunnokset cos(ω t) t huom t s L [cos ω t]= s 2 + ω 2 54 sin(ω t) t huom t L [sin ω t]= ω s 2 + ω 2

40 4 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Viivästyssääntö L [f(t a)ε(t a)] = e as F (s), a > f(t)ε(t) f(t a)ε(t a) 55 t a t Todistus: L [f(t a)ε(t a)] = f(t a)ε(t a)e st dt = f(t a)e st dt = f(τ)e s(τ + a) dτ = e as Esim. L [2ε(t 4)] = 2 s e 4s f(τ)e sτ dτ = e as F (s) a Pengerfunktion Laplace-muunnos t t t L [tε(t)]= s 2 56 Funktion paloittelu askelfunktioiden avulla f(t) g(t) {}}{ f(t), t t t 2 g(t) =, muulloin t t 2 t g(t) = f(t) [ε(t t ) ε(t t 2 )]

41 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 4 Esim. f(t) 2 f f 2 f t f = f + f 2 + f 3 = 2t [ε(t) ε(t )]+2 [ε(t ) ε(t 2)]+(4 t) [ε(t 2) ε(t 4)]= 57 2tε(t) 2(t )ε(t ) (t 2)ε(t 2) + (t 4)ε(t 4) F (s) = s 2 ( 2 2e s e 2s + e 4s) Derivaatan ja integraalin Laplace-muunnokset L [f (t)] = sf (s) f( + ), f jatkuva origossa Todistus: L [f (t)] = f (t)e st dt = f(t)e st + s f(t)e st dt = sf (s) f( + ) [ t ] L f(t) dt = F (s) s 58 Todistus: Merkitään g(t) = t f(t) dt g (t) = f(t) L [f(t)] = F (s) = sg(s) g( + ) = sg(s) G(s) = F (s) s L [f (t)] = sf (s) f( ), f epäjatkuva origossa

42 42 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Alkuarvoteoreema lim s sf (s) = f(+ ), f jatkuva origossa 59 Todistus: L [f (t)] = sf (s) f( + ) lim sf (s) = s lim f (t)e st dt +f( + ) s } {{ } = Loppuarvoteoreema lim sf (s) = f( ), s f määritelty äärettömyydessä Todistus: lim sf (s) = lim f (t)e st dt + f( + ) = s s f (t) dt + f( + ) = f(t) + f( + ) = f( ) f( + ) + f( + ) RL-piirin ominaisvaste 6 t= k R L i k 2 t= R i( + )=I L = E R E u R + u L = Ri + L di dt = Siirrytään aika-alueesta Laplace-tasoon: RI(s) + L(sI(s) i( + )) = (sl + R)I(s) LI L = k R u R u L i =? L Algebrallinen yhtälö: I(s) = LI L sl + R = I L s + R/L lim s si(s)=i L, lim s si(s)= Siirrytään takaisin aika-alueeseen: i(t) = I L e R L t, t

43 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 43 k RL-piirin askelvaste R t= R i e(t) = E L Eε(t) u R u L i =? L u R + u L = Ri + L di dt = Eε(t) Siirrytään aika-alueesta Laplace-tasoon: 6 RI(s) + L(sI(s) i( + )) = E s Algebrallinen yhtälö: I(s) = Käänteismuunnos? (sl + R)I(s) = E s E s(sl+r) lim s si(s)= lim s si(s)= E R Rationaalifunktioiden käänteismuunnos F (s) = P (s) Q(s) = P (s) (s s )(s s 2 )... (s s n ) L [F (s)] =? P (s) ja Q(s) reaalikertoimisia polynomeja Aluksi oletus: asteluku{p (s)} < asteluku{q(s)} Polynomien P (s) ja Q(s) nollakohdat F(s):n nollia ja napoja A. Reaaliset eri suuret navat Tehdään osamurtokehitelmä: F (s) = P (s) Q(s) = k + k s s s s 2 k i = navan s i residy (s s )F (s) = k + (s s ) ( k2 s s k n s s n k n s s n ) 62 s s k = [(s s )F (s)] s=s

44 44 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Heavisiden kehitelmä 63 Paloitellaan funktio osiin, joille käänteismuunnos on helppo: F (s) = P (s) Q(s) = k s s + k 2 s s k n s s n = n i= k i s s i k i = [(s s i )F (s)] s=si f(t) = k e s t + k2 e s 2t kn e s n nt = k i e s it, t i= Esim. F (s) = s + 2 (s + )(s + 3) 64 F (s) = k s + + k 2 s + 3 [ ] s + 2 k = [(s + )F (s)] s= = = s + 3 s= 2 [ ] s + 2 k 2 = [(s + 3)F (s)] s= 3 = s + s= 3 = 2 f(t) = 2 (e t + e 3t ), t Toinen tapa laskea residyt: F (s) = (k + k 2 )s + (3k + k 2 ) (s + )(s + 3) k + k 2 = 3k + k 2 = 2

45 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 45 Esim. RL-piirin askelvaste: I(s) = E/L s(s + R/L) = k s + k 2 s + R/L [ ] E/L k = [si(s)] s= = = E s + R/L s= R [ ] E/L k 2 = [(s + R/L)I(s)] s= R = s s= R/L = E R L 65 Tarkistus: lim s si(s)==i(+ ), lim s si(s)= E R =i( ) OK i(t) = k + k 2 e R L t = E R ( e R L t ), t Tarkistus: i( + ) =, i( ) = E R OK Johdanto värähtelevään ominaisvasteeseen,6 u(t) V,3 L = L 3 = t= k C 2 =2 U C = R L = U(s) = L [u(t)] sisältää kompleksisen napaparin, mikä näkyy värähtelynä aika-alueessa: APLAC Simulator u(t) =? 66 -,3 -, t /s

46 46 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen F (s) = B. Kompleksiset eri suuret napaparit as + b s 2 + cs + d = as + b (s s )(s s ) s = σ + jω s = σ jω 67 k k 2 F (s) = + s + σ jω s + σ + jω k 2 = k (reaalikertoimisuus!) F (s) = (k + k )(s + σ ) + jω (k k ) (s + σ ) 2 + ω 2 A = k + k, B = j(k k ) = A (s + σ ) + B ω (s + σ ) 2 + ω 2 Verrataan uutta osoittajaa alkuperäiseen: A (s + σ ) + B ω = as + b A = a, B = b aσ ω s s 2 + ω 2 cos ω t s + σ (s + σ ) 2 + ω 2 e σ t cos ω t ω s 2 + ω 2 sin ω t ω (s + σ ) 2 + ω 2 e σ t sin ω t F (s) = A (s + σ ) + B ω (s + σ ) 2 + ω 2 68 f(t) = e σ t (A cos ω t + B sin ω t), t F(s):n muuttaminen helposti käänteismuunnettavaan muotoon F (s) = as + b a(s + s 2 + cs + d = 2 c) + (b 2 ac) (s + 2 c)2 + (d 4 c2 ) σ = 2 c, ω = d 4 c2 = A (s + σ ) + B ω (s + σ ) 2 + ω 2

47 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 47 Esim. F (s) = s + 2 (s + )(s 2 + s + ) = A s + + Bs + C s 2 + s + F (s) = As2 + As + A + Bs 2 + Bs + Cs + C (s + )(s 2 + s + ) A + B = A + B + C = C = A + C = 2 A =, B = 69 F (s) = s + + s + s 2 + s + = (s + s ) (s )2 + ( 2 )2 f(t) = e t e 2 t (cos 3 2 t 3 3 sin 2 t), t (tarkoituksella tyhjä) 7

48 48 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen

49 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 49 S Piirianalyysi 2 Viikko 3: Laplace-muunnos muutosilmiöiden käsittelyssä Jatkamme käänteismuunnoksen etsimistä tapauksille, missä rationaalifunktion F (s) = P (s)/q(s) nimittäjäpolynomilla Q(s) on kaksinkertaisia reaalisia nollakohtia ja P (s) ja Q(s) ovat samaa astelukua. Viimemainitussa tapauksessa tutustumme impulssi- eli Diracin deltafunktioon ja sen Laplace-muunnokseen. Matemaattisen johdannon jälkeen pääsemme käsiksi varsinaiseen transienttianalyysiin Laplace-muuntamalla yksittäiset piirielementit erikseen ja saamalla näin sijaiskytkennät Laplace-tasossa resistansseille, induktansseille, kapasitansseille, sekä riippumattomille jännite- ja virtalähteille. Sovellamme sijaiskytkentöjä RLC-esimerkkipiirin täydelliseen transienttianalyysiin alkuarvoista jatkuvaan tilaan asti.

50 5 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen

51 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 5 C. Reaaliset kaksinkertaiset navat F (s) = as + b (s s ) 2 = k s s + A 2 (s s ) 2 Kertoimet k ja A 2 voidaan määrätä laventamalla: F (s) = as + b (s s ) 2 = k (s s ) + A 2 (s s ) 2 k = a k s + A 2 = b 7 Käänteismuunnos termi kerrallaan: f(t) = (k + A 2 t)e s t, t Esim. F (s) = 4(s + 2) (s + ) 2 (s + 3), f(t) =? Osamurtokehitelmä: ( lim sf (s)=, lim sf (s)=) s s F (s) = k s + + A 2 (s + ) 2 + k 2 s + 3 = k (s + )(s + 3) + A 2 (s + 3) + k 2 (s + ) 2 (s + ) 2 (s + 3) (k + k 2 )s 2 + (4k + A 2 + 2k 2 )s + (3k + 3A 2 + k 2 ) (s + ) 2 (s + 3) k + k 2 = 4k + A 2 + 2k 2 = 4 3k + 3A 2 + k 2 = 8 = k = A 2 = 2 k 2 = F (s) = s (s + ) 2 s + 3 f(t) = ( + 2t)e t e 3t, t, f( + )=, f( )= 72

52 52 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Impulssifunktio (Diracin deltafunktio) δ(t) 73 t kavennetaan pulssia nollan pituiseksi s.e. pinta-ala = δ(t) =, t δ(t) dt = impulssi f(t)δ(t) = f()δ(t) f(t)δ(t) dt = f() t L [δ(t)] = δ(t)e st dt = Rationaalifunktioiden käänteismuunnos F (s) = N(s) Q(s) L [F (s)] =? 74 N(s) ja Q(s) reaalikertoimisia polynomeja Oletus: asteluku{n(s)} = asteluku{q(s)} Osamurtokehitelmässä vakio: F (s) = P (s) }{{} A + lim s F (s) Q(s) }{{} kuten edellä [ ] P (s) f(t) = Aδ(t) + L Q(s) Esimerkiksi jännitteessä δ(t) merkitsee läpilyöntiä

53 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 53 Esim. F (s) = s2 + s + (s + )(s + 2), f(t) =? F (s) = A + k s + + k 2 s + 2 A = lim s F (s) = [ s 2 ] + s + k = [(s + )F (s)] s= = = s + 2 s= [ s 2 ] + s + k 2 = [(s + 2)F (s)] s= 2 = s + s= 2 = 3 75 F (s) = + s + 3 s + 2 f(t) = δ(t) + e t 3e 2t, t Piirielementtien Laplace-muuntaminen Laplace-muunnetaan piirielementin yhtälö ja etsitään sille sijaiskytkentä i(t) R u(t) Resistanssi u(t) = Ri(t) U(s) = RI(s) I(s) R U(s) 76

54 54 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 77 i(t) L u(t) Induktanssi u(t) = L di(t) dt U(s) = sli(s) LI L I L = i( + ) LI L I(s) sl U(s) Induktanssin impedanssi Alkuenergian vaikutus näkyy lähteenä Z(s) = sl LI L 78 i(t) C u(t) u(t) = C Kapasitanssi t i(t) dt + U C ε(t) U(s) = sc I(s) + U C s U C = u( + ) I(s) sc U C s U(s) Kapasitanssin impedanssi Z(s) = sc Alkuenergian vaikutus näkyy lähteenä U C s

55 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 55 Esim. R= Ω, C = µf, E = V, u( + )=U C = V k e(t)=e R t= R I(s) C u(t) =? E s sc U C s U(s)=? 79 I(s) = E U C s R + sc = (E U C)/R s + /(RC) Aikavakio τ = RC = µs U(s) = I(s) sc + U C s U(s) = (E U C)/τ + U C = k s(s + /τ) s s + k 2 s + /τ + U C s [ ] (E UC )/τ k = s + /τ s= = E U C [ ] (E UC )/τ k 2 = = (E U C ) s s= /τ U(s) = E s E U C s + /τ u(t) = E (E U C )e t τ, t 8 u(t) = ( 2e 4 t ) V, t Tarkistus: lim s su(s) = U C = u( + ) = V, OK lim su(s) = E = u( ) = V OK s

56 56 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen RC-piirin vaste 8 u(t) V 5 26,4 V APLAC Simulator u(t) t /µs 82 Esim. E = V, R = Ω, L = mh k R t= R i(t) =? e(t)=e L E s I(s) =? sl LI L Induktanssin alkuvirta nähdään piiristä: I L = i( + ) = I(s) = E/s + LI L sl + R = E/L s(s + /τ) + Aikavakio τ = L = ms R I L s + /τ

57 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 57 I(s) = E/L s(s + /τ) + k = k 2 = I(s) = E/R s I L s + /τ = k s + k 2 s + /τ + [ ] E/L s + /τ s= = E R [ ] E/L = E s s= /τ R E/R I L s + /τ i(t) = E ( R + I L E ) e t τ, t R I L s + /τ 83 i(t) = ( e t ) A, t Tarkistus: OK lim s si(s) = i(+ ) = A, lim si(s) = i( ) = A s RL-piirin vaste, i(t) A,75,5,632A APLAC Simulator i(t) 84,25, t /ms

58 58 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Piirielementtien Laplace-muuntaminen 85 i(t) R i(t) aika-alue u(t) = Ri(t) t C u(t)= i(t) dt+u C ε(t) C U C = u( + ) Laplace-taso I(s) R I(s) sc U C s U(s) = RI(s) U(s)= sc I(s)+ U C s aika-alue i(t) I L = i( + ) L u(t)=l di(t) dt Laplace-taso I(s) sl U(s)=sLI(s) LI L LI L 86 e(t) u(t) = e(t) E(s) U(s) = E(s) sopivia silmukkamenetelmään

59 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 59 Piirielementtien Laplace-muuntaminen aika-alue i(t) = u(t) R R u(t) C i(t) = C du(t) dt u(t) U C = u( + ) CU C Laplace-taso I(s) = U(s) R R U(s) I(s) = scu(s) CU C sc U(s) 87 aika-alue i(t)= L t u(t) dt+i L ε(t) Laplace-taso I(s) = sl U(s) + I L s L u(t) I L = i( + ) I L s sl U(s) 88 i(t) = j(t) I(s) = J(s) j(t) J(s) sopivia solmumenetelmään

60 R R 2 R 3 6 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Transienttianalyysi 89 Ratkaistaan alkutilanne jatkuvan tilan analyysillä Laplace-muunnetaan piiri Ratkaistaan s-tasossa F (s) Tarkistetaan lim s sf (s)=f(+ ) Tarkistetaan lim sf (s)=f( ) edellyttäen, s että f( ) määritelty Etsitään käänteismuunnos (aika-alueen ratkaisu f(t)) ( ) Tarkistetaan alkutilanne, kun t = + Tarkistetaan uusi jatkuva tila, kun t Esim. E = 2 V, R = Ω, R 2 = R 3 = 2 Ω, L = H, C = F 9 E L t= Ratkaistaan alkutilanne jatkuvan tilan analyysillä: E I R R 2 I L R 3 U C k I = C u(t) =? E R +R 2 R 3 /(R 2 +R 3 ) = A I L =,5 A U C =R 2 I L = V

61 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 6 Laplace-muunnetaan piiri kytkimen aukaisemisen jälkeen: R R 2 E s I (s) LI L sl I 2 (s) sc U C s U(s) =? 9 R +R 2 +sl R 2 sl R 2 sl R 2 +sl+ sc I (s) I 2 (s) = E s +LI L LI L U C s Ratkaistaan s-tasossa: 3 + s 2 s 2 s 2 + s + I 2 (s) = s + 2 I 2 (s) s 2 s 3 + s 2 s = 2 s 2 + s + = (3 + s)(2 + s + s ) (2 + s)2 = s 6 + 3s + 3 s + 2s + s s s 2 = s s s s s I 2 (s) = 2 3 s s = 2 3 s s s s 2 s s s 92 I 2 (s) = 2 s + 2 s 2 + 3s + 3, U(s) = sc I 2(s) + U C s

62 62 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Tarkistetaan alkutilanne: 93 lim s su(s) = U C = V Tarkistetaan uusi jatkuva tila: OK lim s su(s) = I 2() C + U C = ( 3 + ) V = 4 V = u( ) OK: 3 R E R 2 u( ) = R 2 R + R 2 E = 4 3 V 94 Etsitään käänteismuunnos: U(s) = I 2(s) sc + U C s = 2 k s 2 + 3k s + 3k + A 2 s 2 + B 2 s s(s 2 + 3s + 3) k + A 2 = s + 2 s(s 2 + 3s + 3) + s = k s + A 2s + B 2 s 2 + 3s s = 2 s + 2 s(s 2 + 3s + 3) k = /3 3k + B 2 = /2 A 2 = /3 3k = B 2 = /2 U(s) = 4 3s s (s )2 + ( 2 )2 u(t) = e 3 2 t 3 cos( 2 t) V, t

63 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 63 Tarkistetaan alkutilanne: u( + ) = ( ) V = V OK Tarkistetaan uusi jatkuva tila: u( ) = 4 3 V OK: 95 R E R 2 u( ) = R 2 R + R 2 E = 4 3 V Esimerkkipiirin vaste u(t) V,4 APLAC Simulator,3,2 96, 2,5 5 7,5 t /s

64 64 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen

65 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 65 S Piirianalyysi 2 Viikko 4: Laplace-muunnos transienttianalyysissä jaksollisilla herätteillä Tähän mennessä käsitellyissä muutosilmiöissä herätteet ovat olleet tasavirtalähteitä ja siksi laskenta on lähtenyt liikkeelle etsimällä ensin piirin alkuarvot tasavirta-analyysin avulla. Mikäli herätteet ovat sinimuotoisia vaihtovirtalähteitä, täytyy alkuarvot etsiä vaihtovirta-analyysin avulla. Alkuarvojen löydyttyä transienttianalyysi suoritetaan kuten ennenkin etsimällä piirin sijaiskytkentä s-tasossa, ratkaisemalla haluttu suure ja tekemällä sille käänteismuunnos. Käymme läpi kaikkine vaiheineen yhden täyden muutosilmiöesimerkin, missä esiintyy sinimuotoinen heräte. Yleisesti jaksollisia herätteitä varten tutustumme jaksollisten signaalien Laplace-muuntamiseen ja perehdymme käänteismuunnostekniikkaan, jolla mahdollisesti jaksolliset signaalit voidaan löytää. Esimerkkinä tutustumme keskeisen puoliaalto- ja kokoaaltotasasuunnatun sinisignaalin Laplace-muuntamiseen. Katsomme, miten diodin, kapasitanssin ja resistanssin avulla voidaan muodostaa yksinkertainen tasasuuntaaja ja analysoimme piirin synnyttämän tasavirran.

66 66 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen

67 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 67 Jaksolliset funktiot: sinimuotoiset herätteet Muutosilmiö lasketaan kuten tasavirtaherätteilläkin. Jatkuvan tilan analyysi on nyt tasavirta-analyysin sijasta vaihtovirta-analyysi Esim. ê= V, ω = rad s, R =R 2 = Ω, L =L 2 = H, C =2 F 97 R L L 2 k t= i(t) =? ê sin ωt C R 2 Ratkaistaan alkutilanne vaihtovirta-analyysillä: ê 2 R jωl jωc I = jωcu U = jωc R + jωl + jωc ê 2 j U = 2 ê + j,4472 V 6, u(t),4472 sin(t 2,35) V u( + ) = U C =,4 V I = jωcu 2,8944 A 26,6 i(t),8944 sin(t,4643) A i( + ) = I L =,4 A 98

68 68 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Laplace-muunnetaan piiri kytkimen sulkemisen jälkeen: 99 E(s)= êω s 2 + ω 2 R sl I (s) L I L sc U C s Ratkaistaan s-tasossa: R +sl + I sc sc (s) sc sc +sl = 2+R 2 I 2 (s) + s + I 2s 2s (s) 2s 2s + s + = I 2 (s) sl 2 I 2 (s) I(s) = I 2 (s) R 2 E(s)+L I L U C s U C s,4 s 2,4 + + s,4 s Kerrotaan puolittain 2s:llä: 2s + 2s2 + I 2s (s),8s +,8 = s s 2 + 2s I 2 (s),8 2s = 2 + 2s + 2s 2 + 2s + = 4s4 +4s 2 ++8s 3 +4s 2 +4s = 4s(s 3 + 2s 2 + 2s + ) = 4s(s + )(s 2 + s + ) I(s) = I 2 (s) = 2s 2 2s + 2s + s 2,8s +,8 +,8 = (,6s2,6s,8+ 2s s 2 +,8s+,8) = ( 2s s 2 +,6s2 2,4s) I(s) = s(,6s3 2,4s 2,6s,4) 4s(s 2 +)(s+)(s 2 +s+) I(s) = 2 = 2 P (s) (s 2 +)(s+)(s 2 +s+) = 2 (as+b 8s 3 2s 2 8s 2 (s 2 +)(s+)(s 2 +s+) s c s+ + ds+e s 2 +s+ )

69 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 69 P (s) = 8s 3 2s 2 8s 2 = (as+b)(s 3 +2s 2 +2s+)+c(s 4 +s 3 +2s 2 +s+)+(ds+e)(s 3 +s 2 +s+) Kertoimien päättely vaiheittain, 2, 3: s n 2 3 s 4 a + c + d = d = 4 s 3 2a + b + c + d + e = 8 a + b + e = 8 a = 5 s 2 2a + 2b + 2c + d + e = 2 b + c = 4 c = s a + 2b + c + d + e = 8 2b + e = 8 b = 5 s b + c + e = 2 e = 2 I(s)= 2 I(s) = + ) ( 5(s 2 s s + + 4s + 2 s 2 + s + ) 5 s s s s + s (s + 2 )2 + ( 2 3) 2 Tarkistetaan lauseke lim s si(s) = i(+ ): lim s si(s) = i(+ ) = ( )/2 = OK Tarkistusta lim si(s) = i( ) ei voida käyttää, s koska i( ) ei ole määritelty Etsitään käänteismuunnos: i(t) = 5 cos t 5 sin t + e t + 4e 2 t cos 3t A, t Tarkistetaan alkutilanne, kun t = + : lim s si(s) = i(+ ) = ( )/2 = OK

70 7 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Tarkistetaan uusi jatkuva tila, kun t : 2 lim t i(t) = (cos t + sin t) A = 4 4 sin(t + π 4 ) A OK?: 3 2 R R +jωl + jωc jωc + j j 2 j 2 I jωl jωc jωc jωc +jωl 2+R 2 j 2 j 2 + j + jωl 2 I 2 I I 2 I I 2 = I = I 2 = R Kerrotaan puolittain 2:lla: 2 + j j I 2 = j 2 + j I 2 4 I = I 2 = = (2 + j) 2 j 2 = 4 + 4j 2 + j 2 j = j 2 2 4( + j) = j( j) 4 2 = 2 8 (+j) I = 4 45 i(t) = 2 4 sin(t + π 4 ) A kuten edellä saatiin eli OK

71 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen 7 Muutosilmiö sinimuotoisella herätteellä i(t) A,4,2 APLAC Simulator 5 -,2 jatkuva tila -, t /s Jaksollisen funktion Laplace-muunnos Kertailmiö Jaksollinen funktio (t ) f (t) F (s) f(t) F (s) T t Muodostetaan jaksollinen funktio toistamalla kertailmiötä: f(t) = f (t)ε(t) + f (t T )ε(t T ) + f (t 2T )ε(t 2T ) +... F (s) = F (s) + F (s)e st + F (s)e 2sT +... T 2T t 6 F (s) = F (s)[+e st +e 2sT +...]=F (s) [+e st +(e st ) ] }{{} geometrinen sarja q = + q + q F (s) = F (s) e st

72 72 Aalto-yliopisto, Copyright c 22 Martti Valtonen Jaksolliselta näyttävän funktion käänteismuunnos 7 F (s) = F (s) ei välttämättä esitä jaksollista funktiota! e st Ennen käänteismuuntamista esitetään F (s) geometrisena sarjana Esim. F (s) = F (s) e st, F (s) = e s, f(t) =? s Kertailmiön käänteismuunnos: F (s) = s e s s f (t) = ε(t) ε(t ) Käänteismuunnos geometrisen sarjan avulla: F (s) = F (s)[ + e st + e 2sT +...] f(t) = f (t)ε(t) + f (t T )ε(t T ) + f (t 2T )ε(t 2T ) +... f(t) F (s) T > 8 T T + 2T 2T + 3T 3T + 4T 4T + f(t) F (s) T = f(t) F (s),5 < T < 2 t t T 3T T + 5T 3T + 7T 5T + 9T 7T + t