Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava"

Transkriptio

1 Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö Otava ISBN-0: ISBN-: Kopiointiehdot Tämä teos on opettajan aineisto. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (404/6). Tekstisivujen valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, Teoksen kaikkien kalvopohjien ja kokeiden valokopiointi opetuskäyttöön on sallittua, mikäli oppilaitoksellanne on voimassaoleva valokopiointilupa. Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty. Sidonta: KEURUSKOPIO Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 008

3 RATKAISUT Testaa lähtötasosi. a) km 0000 dm, joten 0,00000 km 0,0 dm b) m 0000 cm, joten 00 m cm. a) cm 0,00 dm, joten 0 cm 0,00 dm b) ml cm 000 mm, joten 0 ml 0000mm c) cm 0,00 l, joten 0,0 cm 0,0000 l 4. a) Yksi sentti kartalla on senttiä eli 400 metriä luonnossa. b) Suurennos c) 4 cm 44 cm 5. a ja b ovat kateetteja, c on hypotenuusa. Pythagoraan lause on tällöin a + b c. 6. Suorakulmaisen kolmion lyhempi kateetti on ja hypotenuusa on 5 5 m. Toinen kateetti on siten 5 4 m. Kolmion pinta-alaksi saadaan 4 6 m Vastaus: Pinta-ala on 6 m. 7. a tan 5 5, 5, tan 5 a a 4,85 cm ah 4,85 5, A,6 Vastaus: Kolmion ala on,6 cm ja kanta on 4,85 cm. 9. Ympyräkartion ala lasketaan kaavalla A πrs, jossa r on säde ja s on sivujana. Ratkaistaan sivujana annetun säteen ja korkeuden avulla Pythagoraan lauseella. s 0,5 + 0, 0,9 m Kysytty ala A πrs π 0,5 0,9 0,09 m Vastaus: 9 dm

4 0. Pyramidin tilavuus lasketaan särmän pituuden s ja korkeuden h avulla. Muutetaan mitat desimetreiksi ja ratkaistaan h. V s h 0,75,5 h 0,75 h, 5 Vastaus: Korkeus on dm.. PERUSKÄSITTEITÄ. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. a) Kulman 47 samankohtaisena kulmana α 47. Vieruskulmien summa on 80, joten β Kulman β samankohtaisena kulmana on γ 9. b) Kulman 6 samankohtaisena α 6, vastaavasti β 4. Kolmion kulmien summa on 80, joten γ Vastaus: a) α 47, β 9, γ 9 b) α 6, β 4, γ 75. a) Kolmion kulmien summa on 80, joten α b) Kolmion kulmien summa on 80, kolmion kolmas kulma Vieruskulmien summa on 80, joten α Vastaus: a) α 54, b) α 4. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Kulman ( ) suuruus : 4 Vastaus: 4 4. a) Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma Vieruskulmien summa on 80, joten α

5 b) Vieruskulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma on Kolmion kulmien summa on 80, joten α c) Kysytty kulma on kolmion kolmannen kulman ristikulma ja näin ollen yhtä suuri kuin se, koska ristikulmat ovat yhtä suuret. Vieruskulmien summa on 80, joten kolmion toinen kulma on Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma ja siis kysytty kulma on α d) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion toinen kulma on 64. Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma on Täysikulma on 80, joten α Vastaus: a) α 74 b) α 4 c) α 7 d) α 8 5. a) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion kolmas kulma on 77. Kolmion kulmien summa on 80, joten kulma α ( ) α + α α 0 : α 5,5 b) Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma Vieruskulmien summa on 80, joten kysytty kulma on α c) Määritetään sen kolmion kolmas kulma, jonka kulmat ovat α ( ) ja 08. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Kulman 4 samankohtaisena kulmana kolmion kolmas kulma on 4. Kolmion kulmien summa on 80, joten α Vastaus: a) α 5,5 b) α 8 c) α 6. a) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion kolmas kulma on 50. Kolmion kulmien summa on 80, joten :5 4 5

6 b) Kolmion kulmien summa on 80, joten + (+ 56) ± 4 ( 4) Vastaus: a) 4 b) 4 tai 7. a) Koska kulmien samannimiset kyljet ovat yhdensuuntaiset, kulmat ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret. α 0 δ (samankohtaisuus) Vieruskulmien summa on 80, joten β Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten γ β 60 b) Kolmion kulmien summa 80. Kolmio DEB on suorakulmainen, koska ristikulmat ovat yhtä suuret. β Kolmio AEF on suorakulmainen ja kolmas kulma on 60, koska ristikulmat ovat yhtä suuret. α Kolmio ABC on suorakulmainen, koska vieruskulmien summa on 80. γ 80 α Vastaus: a) α 0, β 60, γ 60 ja δ 0 b) α 0, β 0 ja γ 60 A F E C 60 B D 8. Katkoviiva merkitsee pinnan normaalia. Normaali on kohtisuorassa pintaa vasten. Kulma α Kulma β Kulma γ Kulma δ Vastaus: 0, 56, 56 ja 0 60 α 0 56 β 4 4 γ 56 0 δ Vanhempien äänilevyjen pyörimisnopeus on 78 kierrosta minuutissa. Yksi kierros kierrosta ,8 min 60 s s 0, s Vastaus: Levy kiertyy kymmenesosasekunnissa 46,8. 6

7 0. Ensimmäinen kulma ( ) Toinen kulma ( ) Kolmas kulma 6 Kolmion kulmien summa on 80, joten :4 9,5 9,5 9,5 88,5. Vastaus: Kulmat ovat 9,5, 88,5 ja 6.. Ensimmäinen kulma ( ) Toinen kulma,5 Kolmas kulma 0,75. Kolmion kulmien summa on 80, joten +,5+ 0, : 60 Ensimmäinen kulma 60 Toinen kulma on, ja kolmas on 0, Vastaus: Kulmat ovat 60, 75 ja a) , b) , c) 5 + +, Vastaus: a) 5,5 b),6 0 9 c), a) 5, ,5 60' 5 0' b) 5, ,6 60' 5 ' + 0,6 60'' 5 '6'' c) 5, ,5 60' 5 7,5' 5 7' + 0,5 60'' 5 7'0'' Vastaus: a) 5 0 b) 5 6 c)

8 4. Täysi kulma on tykistöpiirua. a) Suora kulma: tykistöpiirua 60 b) Yksi aste: tykistöpiirua 60 c) Yksi tykistöpiiru: 60 0, Vastaus: a) Suora kulma on 500 tykistöpiirua. b) Yksi aste on c) Yksi tykistöpiiru on 0, Kulma α ( ) Komplementtikulma,5 α Komplementtikulmien summa on 90 α +, 5α 90,5α 90 :,5 α 6 Komplementtikulma, Vastaus: Komplementtikulman suuruus on Kulma α ( ) Vieruskulma 0, α Vieruskulmien summa on 80 α + 0, α 80, α 80 :, α 50 Kulma 50 Vieruskulma 0, 50 0 Vastaus: Kulmien suuruudet ovat 50 ja S/S Ainon kurssi lounaaseen M/S Marien kurssi pohjoisesta astetta länteen S/S Aino M/S Mariesta katsottuna suoraan pohjoisessa 6 tykistöpiirua. Laivojen kurssien välinen kulma on Vastaus: Laivojen kurssit leikkaavat toisensa kulmassa. 8

9 8. Kolmion, missä kulma α on kolmas kulma (vieruskulmien summa 80 ) Kolmion kulmien summa on 80, joten Kulma α 80 0 (80 5 ) Vastaus: Majakan ikkuna näkyy kauempana olevasta soutuveneestä kulmassa. 9. Kulma α Suorakulmaisesta kolmiosta ADC Kulma γ γ β C B Kolmion kulmien summa on 80. Kulma β Vastaus: Kulmat ovat 7, 8 ja 55. A 8 5 α D 0. Kulmat α ja β ovat vieruskulmia, joten niiden summa on α + β 80. Kulman α kulmanpuolittaja on puolisuora p α ja kulman β puolisuora p β. p α α_ α _ β β p β Puolittajien välinen kulma α β a + β 80 ( pα, pβ) + 90 Siis vieruskulmien puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vasten.. Kolmion kulmien summa on 80. γ 80 α β Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kulman vieruskulma 80 γ 80 (80 α β) α + β Eli kolmion kahden kulman summa on yhtä suuri kuin kolmannen kulman vieruskulma. B β γ C. Jos kolmion kulma α on suurempi tai yhtä suuri kuin kolmion kulman (β) vieruskulma, niin α 80 β β 80 α γ, kulmien summa α 80 (80 α γ) α α + γ α A Epäyhtälö on tosi vain, jos kolmion kulma on korkeintaan 0, mikä mahdotonta. Joten kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat. 9

10 . Ristikulmat yhtä suuret, joten α 0. Piirretään kulman β kärjen kautta suorien l ja s suuntainen suora t. Koska t l s, niin samankohtaisina kulmina γ 60 ja δ 0 Vieruskulmien summa on 80, joten β (80 γ) + δ α δ β γ 60 s t l Vastaus: α 0 ja β Ristikulmat yhtä suuret ( 5) ± ( 5) Vastaus: tai. YHDENMUOTOISUUS 5. a) 00 cm 0 dm m b) km 000 m c) 4,5 mm 0,45 cm d) 00dm 0 m e) 5 cm,5 dm,5m 0,005 km f) 0,5 km 5 m 50 dm 500 cm mm Vastaus: a) m b) 000 m c) 0,45 cm d) 0 m e)0,005 km f) mm 6.,45 m + 6 dm + 05 cm 45 cm + 60 cm + 05 cm 70 cm Vastaus: 70 cm 7. a),897 cm 89,7 mm b) 0,0009 mm 0, cm 0, dm 0, m c) 0,50456 ha 50,456 a 5 045,6 m dm cm Vastaus: a) 89,7 mm b) 0, m c) cm 0

11 8. a + 0,05 ha + 0 dm + 0 cm 00 m m +, m + 0,0 m 7, m Vastaus: 7, m 9. a) 0,09809 dm 98,09 cm mm b) 45,098 cm 0, dm 0, m c) 876,98 mm,87698 cm 0, dm Vastaus: a) mm b) 0, m c) 0, dm 0. 0, m + 5 mm +,987 cm 50009,8 cm + 0,5 cm +,987 cm 50 0,0 cm Vastaus: 50 0,0 cm. a) 4,090 dl 40,90 cl 409, 0 ml b) 0,00080 ml 0, cl 0, dl 0, l c), cl 0, dl 0,0 l 0,000 hl Vastaus: a) 409,0 ml b) 0, l c) 0,000 hl.,00 dl 9,0 cl + 0,90 l + ml,00 dl 0,9 dl +,90 dl + 0,0 dl,0 dl Vastaus:,0 dl. a) 6,078 l 6,078 dm cm b) 0,89 cm 0,89 ml 0,089 cl c) 6 890,65 ml 6 890,65 cm 6,89065 dm 0, m Vastaus: a) cm b) 0,089 cl c) 0, m 4. a) 56 dm,56 m b) m dm,0 m c) 5 dm 4 cm 0,5m + 0,004 m 0,54m Vastaus: a),56 m b),0 m c) 0,54m 5. a) dm 40,5 mm dm + 0, dm, dm b) 5 m 0 cm dm + 0,0 dm 5 000,00 dm c) 6 m 5 mm dm + 0,00005 dm 6 000,00005 dm Vastaus: a), dm b) 5 000,00 dm c) 6 000,00005 dm 6. a) 4 l 0 cl + 5 (45 ml + l + 7 dl) 4, l + 5 (4,856 l) 58,48 l b) 58,48 l ml c) 58,48 l 58,48 dm < 00 dm Vastaus: a) 58,48 l b) ml c) kyllä

12 Mittakaava 7. Kaikki ympyrät ovat yhdenmuotoisia. Jos ympyrän säde kasvaa,5 % eli tulee,5- ketaiseksi, niin kaikki muutkin pituudet muuttuvat samoin. Piiri kasvaa myös,5 %. Vastaus: Ympyrän piiri kasvaa,5 %. 8. Hiiren pituus luonnossa (m) Hiiren pituus kuvassa on noin 9 mm. Kuvassa sivun pituus on 5 mm ja luonnossa 5,0 m. Koska mittakaava on sama, niin , Vastaus: Hiiri oli Ventin mielestä, m pitkä. 9. Mittakaava : 000 a) Matka kartalla 9,0 cm Matka luonnossa (cm) Matka luonnossa cm 080 m. b) Matka luonnossa 6 km cm Matka kartalla (cm) Vastaus: a) Matka luonnossa on 080 m. b) 50 senttimetrin päästä.

13 40. Maantiekartan mittakaava : Matka kartalla,5 cm Matka luonnossa (cm), , Matka luonnossa on cm 8 km. Tähän menee aikaa 8 km 0,7 h 4 min 40 km/h Vastaus: Janilta kului aikaa 4 min. 4. Rakennuspiirroksen mittakaava : 50. Huoneen pituus 9,6 cm Huoneen pituus luonnossa (cm) 9,6 50 9, Pituus: 480 cm 4,80 m Huoneen leveys 7,9 cm Huoneen leveys luonnossa y (cm) 7,9 y 50 7, Leveys: 95 cm,95 m. Pinta-ala on 4,80 m,95 m 8,96 m 9 m. Vastaus: Huoneen pinta-ala on 9 m. 4. Kartan mittakaava : a) Matka kartalla mm, cm Matka maastossa (cm), , Maastossa cm, km

14 b) Kartan mittakaava : Matka luonnossa, km Matka kartalla (cm) Matka kartalla 66 cm Vastaus: a) Väli maastossa on, km. b) Väli peruskartalla on 66 cm. 4. Jyväskylän ja Kuopion välinen etäisyys kartalla 4,7 cm Jyväskylän ja Kuopion välinen etäisyys maastossa 8 km Mittakaava : 4,7 cm 8 km 8 km 4,7 cm , Vastaus: Kartan mittakaava on : Pinta-ala 44. Ympyrät ovat yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava on sama kuin vastinjanojen suhde. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. a) Kuvan pikkuympyrän säde on kolmasosa ison ympyrän säteestä, eli mittakaava k Apikkuymp. k Aisoymp. 9 5 Apikkuymp. 5 5 A 9 9 isoymp b) Hukkaan menee loput, eli % 44 % Vastaus: a) Pinta-alojen suhde on 5 9. b) Pannun pinta-alasta menee hukkaan 400 % 44 %. 9 4

15 45. Kymmenkulmion sivuja kasvatetaan 0 %:lla. Koska kaikkia sivuja kasvatetaan saman verran, kuviot ovat yhdenmuotoiset. a) Yhdenmuotoisten kuvioiden kulmat ovat yhtä suuret. b) Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava on sama kuin vastinjanojen suhde. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Sivun pituus a Uuden kuvion sivun pituus,0a Auusi, 0a k, 44 A vanha a Kasvua 44 % 00 % 44 % Vastaus: a) Kulmat eivät kasva. b) Pinta-ala kasvaa 44 %. Tilavuus 46. Maastokartan mittakaava : Rakennukset merkitty mm :n suuruisilla suorakulmioilla. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Oikea mittakaava mm A A mm A 500 m Tämä ylittää normaalitalon pinta-alan moninkertaisesti. Vastaus: Eivät 47. Alue suorakulmion muotoinen ja pinta-alaltaan 75 m Kartalla alue 5 cm 75 cm 875 cm a) Mittakaava k : Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. k 0,875 m 75 m 0, 005, k > 0 5

16 0,05 0,05 0 Mittakaava on k : : 0. b) Hautapaikan pinta-ala kartalla 4 cm Hautapaikan todellinen ala a (cm ) Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. 4 k a 4 0 a a a Hautapaikan todellinen ala cm 0,96 m. Vastaus: a) Kartan mittakaava on :0. b) Hautapaikan todellinen ala on 0,96 m. 48. Aikuisen kirahvin korkeus s 4,5 m Aikuisen kirahvin laikun koko (cm ) Vastasyntyneen kirahvin korkeus s,8 m Vastasyntyneen kirahvin laikun koko A 0 cm Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A s, 8 k k A s 4,5,8 0 4,5 0,6 0 : 0,6 750 Vastaus: Laikku on kooltaan 750 cm. 49. Pallon malli mittakaavassa k : 0 a) Mallin pituus 0,0 cm Tilatun pallon pituus (cm)

17 b) Mallin vatsanympärysmitta 6 cm Pallon vastaava mitta (cm) c) Mallipalloon tarvitaan materiaalia 50 cm. Suureen palloon tarvittava materiaalimäärä (cm ) Yhdenmuotoisten kappaleiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö Materiaalia tarvitaan cm 0,8 m d) Mallipallon heliummäärä 50 cm Suuren pallon heliummäärä (cm ) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio Suuren pallon heliummäärä cm,8 m Vastaus: a) Tilatun pallon pituus on 6,00 m. b) Pallon vastaava mitta on,0 m. c) Suureen palloon tarvitaan materiaalia 0,8 m. d) Heliumia tarvitaan suureen palloon,80 m. 50. Säilytysastioiden tilavuudet: l, l, 5 l, 0 l ja 0 l Pienimmän astian korkeus on cm ja pohjan halkaisija 0 cm. Muiden astioiden vastaavat mitat korkeus h (cm) pohjan halkaisija d (cm) tilavuus V (l) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. 7

18 k V h V h V h V Vastaavasti d 0 litran astia korkeus h cm 7 cm pohjan halkaisija d 0 cm 4 cm V 5 litran astia korkeus h 5 cm cm pohjan halkaisija d 0 5 cm 7 cm 0 litran astia korkeus h 0 cm 6 cm pohjan halkaisija d 0 0 cm cm 0 litran astia korkeus h 0 cm cm pohjan halkaisija d 0 0 cm 7 cm Vastaus: l: h cm 7 cm; d 0 cm 4 cm ; 5 l: h 5 cm cm; d 0 5 cm 7 cm ; 0 l: h 0 cm 6 cm; d 0 0 cm cm ; 0 l: h 0 cm cm; d 0 0 cm 7 cm 5. Yhden tölkin tilavuus cl Tölkin korkeus, 5 cm Juomaa l Ison tölkin korkeus (cm) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. 8

19 Ison tölkin korkeus,5 0, ,5 8, 0,5 8, Korkeus 585 cm 5,9 m Vastaus: Noin 5,9 m korkeaan tölkkiin. 5. Pienemmän pitsan halkaisija 5,0 cm Suuremman pitsan halkaisija 40,0 cm Pienemmän pitsan salamimäärä 0,0 g Suuremman pitsan salamimäärä (g) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. Salamia ,88 Vastaus: Salamia tarvitaan grammaa. 5. Vastasyntyneen massa 40 kg Vastasyntyneen korkeus 0,50 cm Täysikokoisen korkeus,5 m Täysikasvuisen massa (kg) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. Massa, 5 0, Vastaus: Täysikokoisen sarvikuonon massa on 080 kg. 9

20 54. Samasta aineesta tehtyjen pallojen massat ovat 54 kg ja 6 kg Isomman pallon maalaamiseen kului maalia 50 g Pienemmän pallon maalaamiseen kului (g) Kaikki pallot ovat keskenään yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen suhde mittakaavan neliö. Koska massa on verrannollinen tilavuuteen ja maalin menekki taas on verrannollinen pintaalaan, saadaan verranto ,75 50,75 50, Vastaus: Maalia tarvitaan 67 grammaa. 55. Alkuperäisen ympyrän ala A ja piiri p Ympyrän pinta-ala pienenee 9 % Uusi ala on 0,8A ja piiri Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Kaikki ympyrät ovat keskenään yhdenmuotoisia. Uusi piiri 0,8A, k > 0 A p p 0,8 p 0,9 p Uusi piiri on 90 % vanhasta. Piirin pienennys 00 % 90 % 0 % Vastaus: Piiri pienenee 0 %. 0

21 56. Kaikki kuutiot ovat keskenään yhden muotoisia. Särmien pituuksien suhde on mittakaava, pinta-alojen suhde mittakaavan neliö ja tilavuuksien suhde mittakaavan kuutio. Kuution tilavuus V Kuution tilavuus kasvaa, % eli uusi tilavuus on,v Mittakaava (uuden suhde vanhaan), V k V k, k,, k Särmän pituus tulee,-keratiseksi eli kasvaa 0 % 00 % 0 % b) Pinta-alojen suhde on k,,. Pinta-ala tulee,-kertaiseksi eli kasvaa % 00 % %. Vastaus: a) Särmän pituus kasvaa 0 %. b) Kuution ala kasvaa %. 57. Kaikki pallot ovat keskenään yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen suhde mittakaavan neliö. Pallon alkuperäinen tilavuus V Tilavuus pienenee 0 % eli uusi tilavuus on 0,8V Pallon alkuperäinen ala A Mittakaava (uuden suhde vanhaan) 0,8V k V k 0,8 Uusi pinta-ala k A ( 0,8) A 0, A Alan pieneneminen 00 % 86,77 % 4 % Vastaus: Ala pienenee noin 4 %. 58. Yläosan korkeus h Yläosan tilavuus V Jäljellä olevan hiekan korkeus h Jäljellä olevan hiekan tilavuus Tiimalasin yläosassa oleva hiekkakartio on yhden muotoinen yläosan lasikartion kanssa. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.

22 h k k V h V V 8 7 Hiekkaa on valunut tunnissa V V V, jäljellä on V. Koska 7 V 7 V, niin loppuosa vaatii seitsemäsosan kuluneesta ajasta eli 8 8 h 60 min 4 8 min 8,6 min Vastaus: Hiekan valumiseen kuluu noin 8,6 min. 59. Nykyisen TV:n mitat: korkeus a ja leveys 4a HDTV:n mitat: korkeus 9b ja leveys 6b Kuvien korkeudet yhtä suuret a 9 b : a b Nykyisen TV:n mitat korkeus a 9b leveys 4a 4 b b a 9b Nykyisen TV:n ja HDTV:n leveyksien erotus on 6b b 4b Mustaksi jäävä pinta-ala on 4b 9b 6b Koko kuvaruudun ala on 6b 9b 44b 6b Pinta-alojen suhde on eli tämän 44b 4 verran jää kuvaruudusta mustaksi. a 9b 6b 4a Kuvien leveydet ovat yhtä suuret, kun 4a 6b, eli a 4b. Siten korkeudet ovat b ja 9b, eli erotus on b. Ulkopuolelle jäävä ala; b 6b 48b. Koko ala on b 6b 9b. 48b Näiden suhde on 9b 4. Tämän verran kuva-alasta jäisi ulkopuolelle. 6b 4a Vastaus: Mustaksi jäisi 4 kuvaruudusta ja kuvaruudun ulkopuolelle jäisi 4 kuva-alasta.

23 60. Arkit ovat yhdenmuotoiset, joten kirjoituskokojen suhde on mittakaava ja pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Arkkien A4 ja A5 alojen suhde on 00 : 50 A4 kirjoituskoko l 4 A5 kirjoituskoko l 5 A4 l4 A4 00 k k A5 l5 A5 50 l4 l4, > 0 l5 l5 l4 l5 l5 l4 ) Kirjoituskoko pienenee ( ) 00 % 9, % Vastaus: Tekstin korkeus pienenee noin 9, %. 6. Öljyä myydään litran ja litran pulloissa Pullojen muovimäärä suoraan verrannollinen niiden pinta-alaan Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen suhde mittakaavan neliö. litran pullon tilavuus V ja muovimäärä s litran pullon tilavuus V muovimäärä s Mittakaava V V V k V k k Muovimäärä Pinta-alojen suhde mittakaavan neliö s k k s s s s s 9 s 9 s s,08

24 s Litraa kohden muovia menee litran pulloon s Menekkien suhde s 9s 9 s s s 9 Ero prosentteina 00 % 0,7 % s ja litran pulloon. Vastaus: Muovimäärä on 9,08-kertainen. Muovia on käytetty 9 00 % 0,7 % vähemmän litraa kohti. 6. Pinta-ala kartalla (cm ) 0 Pinta-ala luonnossa 60 km 60 (0 0 cm) 60 0 cm,6 0 cm Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö , ,6 0, 6 0 0, Vastaus: Es ist 0 cm. 6. Joensuun pinta-ala kartalla 480 cm 0 Joensuun pinta-ala luonnossa 0 km 0 (0 0 cm) 0 0 cm Kartan mittakaava k :. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Mittakaava 480, 0 0 > k : : Vastaus: Mittakaava on :

25 . Kolmiot 64. a) Kolmiot AFE, ABD, BCD eli A E D F B C b) Kolmiot ABE, ABC, AED, ACD, BCE, BCD, CDE eli 7 D E C c) Kolmiot ABF, ABE, ABD, ADE, AHE, BCG, BCD, BCE, BFD, BGE, CDG, CDH, CDE, DEH, DBE, DEF, DHG, EHF eli 8 A D E H G F A B B C 65. Kolmion FGH pinta-ala ah A a g, h s A gs H g F f s G Vastaus: Pinta-ala on g s. 66. Kolmio A`B`C` yhdenmuotoinen kolmion ABC kanssa mittakaavassa 5 : 6 Sivun BC pituus 98 m Sivun B C pituus (m) Mittakaava on vastinsivujen suhde Vastaus: Vastinsivun B`C` pituus on 65 m. 67.a) ABE CDE D C AE CE sks AEB CED, ristikulmina BE DE A E B 5

26 b) ABE CDE D C AE CE sss AB CD BE DE A E B c) Tasakylkisen kolmion ABC kantaa vasten piirretty korkeusjana CD puolittaa C kannan AB. ADC BDC A C, tasakylkisen kolmion kantakulmina ksk AD BD ADC BDC 90 A B D d) ABD CDB D C AD CB ksk ADB CBD DAB BCD A B 68. Kolmion sivujen pituudet 4 cm, 6 cm ja 9 cm Yhdenmuotoisen kolmion sivu on 6 cm Suuremman kolmion piiri on suurin silloin kuin 6 senttimetrin sivu vastaa toisen kolmion lyhintä sivua. Kun lyhintä sivua 4 cm vastaa mainittu 6 cm, on vastinsivujen suhde eli mittakaava Kaikki janat ovat suuremmassa kolmiossa 9-kertaiset pienempään kolmioon nähden, myös piiri. Piiri on maksimissaan 9 (4 cm + 6 cm + 9 cm) 7 cm Vastaus: Suuremman kolmion piiri on korkeintaan 7 cm. 69. Janin varjon pituus AD,4 m Lipputangon varjon pituus AB,7 m Janin pituus DE 40 cm Lipputangon pituus BC (cm) C Kolmiot ABC ja ADE ovat yhdenmuotoisia, koska A on yhteinen kk D B( 90 ) A E D B 6

27 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama,7 40, 4 40,7 40, Lipputangon pituus 800 cm 8,0 m Vastaus: Lipputangon pituus on 8,0 metriä. 70. Kolmion kanta 5,0 cm Kolmion korkeus 5 cm Kolmion pinta-ala A 5 cm cm cm 00 mm mm 00 mm Vastaus: Kolmion pinta-ala on 00 mm. 7. Tasasivuisen kolmion korkeusjana, kulmanpuolittaja mediaani ja keskinormaali ovat samoja, joten kaikki merkilliset pisteet ovat yksi sama piste. 7. a) Kolmiot ABC ja ADE ovat yhdenmuotoiset, koska A on yhteinen kk D B Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama a a 70 4 a 9 5 A a E D 6 48 B C b) Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska C on yhteinen kk A D Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama.,0 C b,0 D a E 6,0 9,0 B A 7

28 Ratkaistaan a. Ratkaistaan b. a + 6+ a + 6 a 4 b b 4 Vastaus: a) a 9 9,8 b) a 4 ja b 5 7. Kaivon syvyys (m) Kaivon halkaisija,8 m Ihmisen pituus,5 m Ihmisen etäisyys kaivosta 0,6 m Kaivon syvyys saadaan yhdenmuotoisista kolmioista. Kolmiot ABC ja EDC ovat yhdenmuotoiset, koska ACB ECD ristikulmina kk B D 90 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama, 8, 5, 5 0, 6 4,5 A E,5 m C D 0,6 m B,8 m Vastaus: Kaivon syvyys on 4,5 m. 74. Sivu AB 9,0 cm +,0 cm cm Sivu AC (cm) Sivu BC y (cm) Kolmion ABC piiri 56 cm Lasketaan y y y 5 A C y 9,0 m,0 m D Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. B 8

29 Lasketaan. 9 y 5 y : 5 Sivu AC 5 cm Sivu BC y 5 0 cm Vastaus: Sivujen pituudet ovat 0,0 cm ja 5,0 cm. 75. Kolmion sivujen pituudet ovat, 6 ja 4 Yhdysjanan pituus Lyhyimmän sivun suuntaisesti piirretty jana puolittaa pisimmän sivun. Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska A D samankohtaisina kulmina, AB DE kk C yhteinen Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama. Lasketaan sivu. 4 6 C D 6 A 4 E B Vastaus: Yhdysjanan pituus on AC 50 cm 5 dm AB dm BC 0 dm CD (dm) DE y (dm) A 50 cm y E D c,0 dm Kolmion CBA kulman A puolittaja on myös kolmion CEA kulman A puolittaja. C a 0 dm B Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Joten kysytty suhde on AC. y AE Sivun AC pituus tunnetaan. Lasketaan sivun AC pituus. 9

30 Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa, joten kolmiossa CBA kulman C puolittaja jakaa sivun BA sivujen CB ja CA suhteessa. BE CB CB 0 dm, CA 5 dm EA CA BE 0 EA 5 BE EA EA BA dm dm Lasketaan kysytty suhde. AC AC 5 dm, AE EA dm y AE 5 5 y Vastaus: Suhteessa 5 : 77. AB km ED 5km BD 6 km Kysytty etäisyys AE (km) Täydennetään kuviota piirtämällä pisteen A kautta janan BD suuntainen suora ja jatketaan sivua ED. Merkitään näiden suorien leikkauspistettä kirjaimella F. km A B C F D 5 km Koska AF BD, niin samankohtaisina kulmina F D 90. Suorakulmaisesta kolmiosta EFA saadaan 6 km AE FA + FE FA 6 km, FE km + 5 km 8 km AE AE , AE > 0 AE 0 E Vastaus : Etäisyys on 0 km. 78. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC Väite: Kantakulmat ovat yhtä suuret, eli A B Todistus: Piirretään yhdistysjana kolmion kärjestä C sivun AB keskipisteeseen D. C Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät. 0 A D B

31 ADC BDC AC BC sss AD DB, jana CD puolittaa kannan CD on yhteinen Yhtenevien kolmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten A B. Näin ollen tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. 79. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC ja CD on kantaa AB vasten piirretty korkeus. C Väite: Korkeusjana CD puolittaa kannan, eli AD DB, ja huippukulman, eli ACD BCD Todistus: Piirretään korkeusjana kolmion kärjestä C kannalle AB. A D B Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät. ADC BDC AC BC ssk k A B, tasakylkisen kolmion kantakulmina CD on yhteinen Koska CD on korkeus, niin kummatkin syntyvistä kolmioista ovat suorakulmaisia. Muut kulmat ovat teräviä. Yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret ja vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten AD DB ja ACD BCD Näin ollen tasakylkisen kolmion kantaa vasten piirretty korkeus puolittaa kannan ja huippukulman. 80. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC ja AD on kylkeä BC vasten piirretty keskijana sekä BE kylkeä AC vasten piirretty keskijana. Väite: Keskijanat ovat yhtä suuret, eli AD BE. Todistus: Piirretään kylkiä vasten keskijanat. C Näin syntyvät kolmiot ADC ja BEC ovat yhtenevät. ADC BEC E D AC BC tasakylkisen kolmion kyljet sks C on yhteinen CD CE, keskijana puolittaa kyljet, jotka ovat yhtä suuret A B Yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret, eli AD BE. Näin ollen tasakylkisen kolmion kylkiä vasten piirretyt keskijanat ovat yhtä suuret.

32 8. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC ja CD on kantaa AB vasten piirretty keskijana. Väite: Keskijana CD puolittaa huippukulman, eli ACD BCD Todistus: Piirretään keskijana kolmion kärjestä C kannalle AB. C Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät. ADC BDC AC BC tasakylkisen kolmion kyljet A B sss AD BD keskijana puolittaa kolmion sivun D CD on yhteinen Yhtenevien kolmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten ACD BCD Näin ollen tasakylkisen kolmion kantaa vasten piirretty keskijana puolittaa huippukulman. 8. Saari on kolmion muotoinen. Saaren keskipiste on kauimpana rannasta, eli kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Tämä on kulman puolittajien leikkauspiste. Vastaus: Kulmanpuolittajien leikkauspiste 8. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet, 4 ja 5 Sivu AD, sivu DB 5 Kolmiot ABC ja ACD ovat yhdenmuotoisia C ABC ACD A yhteinen kk C D 90 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastin sivut ovat verrannolliset Sivu DB A 4 5 D B Osien suhde: AD : DB : Vastaus: Suhteessa 6 : 9

33 84.a) Suorakulmaiset kolmiot FCE ja FAB ovat yhtenevät. C FCE FAB EFC BFA ristikulmina ksk EF FB piste F puolittaa janan EB E B 90 E D F B A b) Koska yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret, niin CE AB. Nelikulmio DABE on suorakulmio, koska E B 90, joten DE AB. Näin ollen CE DE. Piste E puolittaa sivun DC. Vastaus: a) Kolmiot ovat yhdenmuotoiset. 4. KULMIEN PIIRTÄMINEN HARPILLA JA VIIVAIMELLA 85. Kulmien puolittajat leikkaavat samassa pisteessä. 88. Olkoon P janan keskinormaalin mielivaltainen piste. Kolmiot ACP ja BCP ovat yhtenevät, koska sivut AC ja BC ovat yhtä pitkät (kyseessä janan keskipisteeseen piirretty normaali) molemmissa kolmioissa on suora kulma sivu CP on molemmissa kolmioissa sama. Säännöt sks perusteella kolmiot ovat yhtenevät, joten sivut AP ja BP ovat yhtä pitkät eli piste P on yhtä etäällä janan päätepisteistä. 89. Olkoon P piste, joka on yhtä etäällä janan AB päätepisteistä. Piirretään pisteestä P janalle AB normaali. Kolmiot ACP ja BCP ovat yhtenevät, koska sivut AP ja BP ovat yhtä pitkät (piste P on yhtä etäällä janan AB päätepisteistä) molemmissa kolmioissa on suora kulma sivu CP on molemmissa kolmioissa sama. Säännöt sks perusteella kolmiot ovat yhtenevät, joten sivut AP ja BP ovat yhtä pitkät eli piste P on janan keskinormaalilla. P P B C A B C A 90. Mittaa jana, jonka pituus on 6,0 cm. Piirrä janan päätepisteistä ympyrän kaaret, joiden säe on 6,0 cm. Kaarien leikkauspisteeseen muodostuu kolmion kolmas kärkipiste. 9. Piirrä ensin 6 cm:n pituinen jana. Piirrä harpilla janan toinen päätepiste keskipisteenä 5 cm -säteinen ympyränkaari ja janan toinen päätepiste keskipisteenä cm -säteinen ympyränkaari siten, että ympyränkaaret leikkaavat toisiaan yhdessä pisteessä. Yhdistä saatu leikkauspiste janan päätepisteisiin.

34 9. Piirrä ensin 6 cm pituinen jana. Mittaa janan päätepisteeseen 0 asteen kulma. Piirrä puolisuora kulman toiseksi kyljeksi. Piirrä janan toinen päätepiste keskipisteenä 5 cm -säteinen ympyrä. Ympyrä leikkaa toista kylkeä kahdessa pisteessä. Leikkauspiste on kolmion kolmas kärkipiste. Huomaa, että saat kaksi eri kolmiota. 9. Piirrä suora l ja sille leikkaaja m. Valitse leikkaajalta sellainen piste P, joka ei ole suoralla l. Siirrä suorien l ja m välinen kulma pisteeseen P siten, että saat kaksi yhdensuuntaista suoraa. 94. Annettu suora ja jokin kulma, joka ei sijaitse suoralla. Piirrä suoralle piste P. Siirrä annettu kulma suoralle siten että kulman kärkipisteenä on piste P. Jatka kulman toinen kylki suoraksi. 95. Piirrä pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora. Piirrä janalle PQ keskinormaali. Kysytty piste on annetun ja piirretyn keskinormaalin leikkauspiste. 96. Piirrä ensin mallikuvioiksi kolmio, johon on merkitty sivujen keskipisteet. Yhdistä kolmion sivujen keskipisteet keskenään. Mitä voit sanoa syntyneiden kolmioiden sivuista ja samalla syntyneistä neljästä kolmiosta? Eli ratkaisuna: Yhdistä annetut pisteet, jolloin saat kolmion. Piirrä jokaiselle saadun kolmion sivulle yhtenevä kolmio. 5. SUORAKULMAINEN KOLMIO 97. a) Pythagoraan lause 5 +, > b) Pythagoraan lause , > , 9,0 m 8,0 m 5 c) Pythagoraan lause cm 5 cm Vastaus: a), b) 4, m, c) 4 cm. 4

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Cadets Sivu 1

Cadets Sivu 1 Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta sitä on kierrettävä kunnes

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi 2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) Ratkaisut.

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) Ratkaisut. sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Kello laitetaan pöydälle viisaripuoli ylöspäin juuri silloin, kun minuuttiviisari osoittaa etelään. Kuinka monen minuutin kuluttua minuuttiviisari seuraavan kerran osoittaa itään?

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot