Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava"

Transkriptio

1 Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö Otava ISBN-0: ISBN-: Kopiointiehdot Tämä teos on opettajan aineisto. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (404/6). Tekstisivujen valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, Teoksen kaikkien kalvopohjien ja kokeiden valokopiointi opetuskäyttöön on sallittua, mikäli oppilaitoksellanne on voimassaoleva valokopiointilupa. Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty. Sidonta: KEURUSKOPIO Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 008

3 RATKAISUT Testaa lähtötasosi. a) km 0000 dm, joten 0,00000 km 0,0 dm b) m 0000 cm, joten 00 m cm. a) cm 0,00 dm, joten 0 cm 0,00 dm b) ml cm 000 mm, joten 0 ml 0000mm c) cm 0,00 l, joten 0,0 cm 0,0000 l 4. a) Yksi sentti kartalla on senttiä eli 400 metriä luonnossa. b) Suurennos c) 4 cm 44 cm 5. a ja b ovat kateetteja, c on hypotenuusa. Pythagoraan lause on tällöin a + b c. 6. Suorakulmaisen kolmion lyhempi kateetti on ja hypotenuusa on 5 5 m. Toinen kateetti on siten 5 4 m. Kolmion pinta-alaksi saadaan 4 6 m Vastaus: Pinta-ala on 6 m. 7. a tan 5 5, 5, tan 5 a a 4,85 cm ah 4,85 5, A,6 Vastaus: Kolmion ala on,6 cm ja kanta on 4,85 cm. 9. Ympyräkartion ala lasketaan kaavalla A πrs, jossa r on säde ja s on sivujana. Ratkaistaan sivujana annetun säteen ja korkeuden avulla Pythagoraan lauseella. s 0,5 + 0, 0,9 m Kysytty ala A πrs π 0,5 0,9 0,09 m Vastaus: 9 dm

4 0. Pyramidin tilavuus lasketaan särmän pituuden s ja korkeuden h avulla. Muutetaan mitat desimetreiksi ja ratkaistaan h. V s h 0,75,5 h 0,75 h, 5 Vastaus: Korkeus on dm.. PERUSKÄSITTEITÄ. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. a) Kulman 47 samankohtaisena kulmana α 47. Vieruskulmien summa on 80, joten β Kulman β samankohtaisena kulmana on γ 9. b) Kulman 6 samankohtaisena α 6, vastaavasti β 4. Kolmion kulmien summa on 80, joten γ Vastaus: a) α 47, β 9, γ 9 b) α 6, β 4, γ 75. a) Kolmion kulmien summa on 80, joten α b) Kolmion kulmien summa on 80, kolmion kolmas kulma Vieruskulmien summa on 80, joten α Vastaus: a) α 54, b) α 4. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Kulman ( ) suuruus : 4 Vastaus: 4 4. a) Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma Vieruskulmien summa on 80, joten α

5 b) Vieruskulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma on Kolmion kulmien summa on 80, joten α c) Kysytty kulma on kolmion kolmannen kulman ristikulma ja näin ollen yhtä suuri kuin se, koska ristikulmat ovat yhtä suuret. Vieruskulmien summa on 80, joten kolmion toinen kulma on Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma ja siis kysytty kulma on α d) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion toinen kulma on 64. Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma on Täysikulma on 80, joten α Vastaus: a) α 74 b) α 4 c) α 7 d) α 8 5. a) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion kolmas kulma on 77. Kolmion kulmien summa on 80, joten kulma α ( ) α + α α 0 : α 5,5 b) Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma Vieruskulmien summa on 80, joten kysytty kulma on α c) Määritetään sen kolmion kolmas kulma, jonka kulmat ovat α ( ) ja 08. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Kulman 4 samankohtaisena kulmana kolmion kolmas kulma on 4. Kolmion kulmien summa on 80, joten α Vastaus: a) α 5,5 b) α 8 c) α 6. a) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion kolmas kulma on 50. Kolmion kulmien summa on 80, joten :5 4 5

6 b) Kolmion kulmien summa on 80, joten + (+ 56) ± 4 ( 4) Vastaus: a) 4 b) 4 tai 7. a) Koska kulmien samannimiset kyljet ovat yhdensuuntaiset, kulmat ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret. α 0 δ (samankohtaisuus) Vieruskulmien summa on 80, joten β Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten γ β 60 b) Kolmion kulmien summa 80. Kolmio DEB on suorakulmainen, koska ristikulmat ovat yhtä suuret. β Kolmio AEF on suorakulmainen ja kolmas kulma on 60, koska ristikulmat ovat yhtä suuret. α Kolmio ABC on suorakulmainen, koska vieruskulmien summa on 80. γ 80 α Vastaus: a) α 0, β 60, γ 60 ja δ 0 b) α 0, β 0 ja γ 60 A F E C 60 B D 8. Katkoviiva merkitsee pinnan normaalia. Normaali on kohtisuorassa pintaa vasten. Kulma α Kulma β Kulma γ Kulma δ Vastaus: 0, 56, 56 ja 0 60 α 0 56 β 4 4 γ 56 0 δ Vanhempien äänilevyjen pyörimisnopeus on 78 kierrosta minuutissa. Yksi kierros kierrosta ,8 min 60 s s 0, s Vastaus: Levy kiertyy kymmenesosasekunnissa 46,8. 6

7 0. Ensimmäinen kulma ( ) Toinen kulma ( ) Kolmas kulma 6 Kolmion kulmien summa on 80, joten :4 9,5 9,5 9,5 88,5. Vastaus: Kulmat ovat 9,5, 88,5 ja 6.. Ensimmäinen kulma ( ) Toinen kulma,5 Kolmas kulma 0,75. Kolmion kulmien summa on 80, joten +,5+ 0, : 60 Ensimmäinen kulma 60 Toinen kulma on, ja kolmas on 0, Vastaus: Kulmat ovat 60, 75 ja a) , b) , c) 5 + +, Vastaus: a) 5,5 b),6 0 9 c), a) 5, ,5 60' 5 0' b) 5, ,6 60' 5 ' + 0,6 60'' 5 '6'' c) 5, ,5 60' 5 7,5' 5 7' + 0,5 60'' 5 7'0'' Vastaus: a) 5 0 b) 5 6 c)

8 4. Täysi kulma on tykistöpiirua. a) Suora kulma: tykistöpiirua 60 b) Yksi aste: tykistöpiirua 60 c) Yksi tykistöpiiru: 60 0, Vastaus: a) Suora kulma on 500 tykistöpiirua. b) Yksi aste on c) Yksi tykistöpiiru on 0, Kulma α ( ) Komplementtikulma,5 α Komplementtikulmien summa on 90 α +, 5α 90,5α 90 :,5 α 6 Komplementtikulma, Vastaus: Komplementtikulman suuruus on Kulma α ( ) Vieruskulma 0, α Vieruskulmien summa on 80 α + 0, α 80, α 80 :, α 50 Kulma 50 Vieruskulma 0, 50 0 Vastaus: Kulmien suuruudet ovat 50 ja S/S Ainon kurssi lounaaseen M/S Marien kurssi pohjoisesta astetta länteen S/S Aino M/S Mariesta katsottuna suoraan pohjoisessa 6 tykistöpiirua. Laivojen kurssien välinen kulma on Vastaus: Laivojen kurssit leikkaavat toisensa kulmassa. 8

9 8. Kolmion, missä kulma α on kolmas kulma (vieruskulmien summa 80 ) Kolmion kulmien summa on 80, joten Kulma α 80 0 (80 5 ) Vastaus: Majakan ikkuna näkyy kauempana olevasta soutuveneestä kulmassa. 9. Kulma α Suorakulmaisesta kolmiosta ADC Kulma γ γ β C B Kolmion kulmien summa on 80. Kulma β Vastaus: Kulmat ovat 7, 8 ja 55. A 8 5 α D 0. Kulmat α ja β ovat vieruskulmia, joten niiden summa on α + β 80. Kulman α kulmanpuolittaja on puolisuora p α ja kulman β puolisuora p β. p α α_ α _ β β p β Puolittajien välinen kulma α β a + β 80 ( pα, pβ) + 90 Siis vieruskulmien puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vasten.. Kolmion kulmien summa on 80. γ 80 α β Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kulman vieruskulma 80 γ 80 (80 α β) α + β Eli kolmion kahden kulman summa on yhtä suuri kuin kolmannen kulman vieruskulma. B β γ C. Jos kolmion kulma α on suurempi tai yhtä suuri kuin kolmion kulman (β) vieruskulma, niin α 80 β β 80 α γ, kulmien summa α 80 (80 α γ) α α + γ α A Epäyhtälö on tosi vain, jos kolmion kulma on korkeintaan 0, mikä mahdotonta. Joten kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat. 9

10 . Ristikulmat yhtä suuret, joten α 0. Piirretään kulman β kärjen kautta suorien l ja s suuntainen suora t. Koska t l s, niin samankohtaisina kulmina γ 60 ja δ 0 Vieruskulmien summa on 80, joten β (80 γ) + δ α δ β γ 60 s t l Vastaus: α 0 ja β Ristikulmat yhtä suuret ( 5) ± ( 5) Vastaus: tai. YHDENMUOTOISUUS 5. a) 00 cm 0 dm m b) km 000 m c) 4,5 mm 0,45 cm d) 00dm 0 m e) 5 cm,5 dm,5m 0,005 km f) 0,5 km 5 m 50 dm 500 cm mm Vastaus: a) m b) 000 m c) 0,45 cm d) 0 m e)0,005 km f) mm 6.,45 m + 6 dm + 05 cm 45 cm + 60 cm + 05 cm 70 cm Vastaus: 70 cm 7. a),897 cm 89,7 mm b) 0,0009 mm 0, cm 0, dm 0, m c) 0,50456 ha 50,456 a 5 045,6 m dm cm Vastaus: a) 89,7 mm b) 0, m c) cm 0

11 8. a + 0,05 ha + 0 dm + 0 cm 00 m m +, m + 0,0 m 7, m Vastaus: 7, m 9. a) 0,09809 dm 98,09 cm mm b) 45,098 cm 0, dm 0, m c) 876,98 mm,87698 cm 0, dm Vastaus: a) mm b) 0, m c) 0, dm 0. 0, m + 5 mm +,987 cm 50009,8 cm + 0,5 cm +,987 cm 50 0,0 cm Vastaus: 50 0,0 cm. a) 4,090 dl 40,90 cl 409, 0 ml b) 0,00080 ml 0, cl 0, dl 0, l c), cl 0, dl 0,0 l 0,000 hl Vastaus: a) 409,0 ml b) 0, l c) 0,000 hl.,00 dl 9,0 cl + 0,90 l + ml,00 dl 0,9 dl +,90 dl + 0,0 dl,0 dl Vastaus:,0 dl. a) 6,078 l 6,078 dm cm b) 0,89 cm 0,89 ml 0,089 cl c) 6 890,65 ml 6 890,65 cm 6,89065 dm 0, m Vastaus: a) cm b) 0,089 cl c) 0, m 4. a) 56 dm,56 m b) m dm,0 m c) 5 dm 4 cm 0,5m + 0,004 m 0,54m Vastaus: a),56 m b),0 m c) 0,54m 5. a) dm 40,5 mm dm + 0, dm, dm b) 5 m 0 cm dm + 0,0 dm 5 000,00 dm c) 6 m 5 mm dm + 0,00005 dm 6 000,00005 dm Vastaus: a), dm b) 5 000,00 dm c) 6 000,00005 dm 6. a) 4 l 0 cl + 5 (45 ml + l + 7 dl) 4, l + 5 (4,856 l) 58,48 l b) 58,48 l ml c) 58,48 l 58,48 dm < 00 dm Vastaus: a) 58,48 l b) ml c) kyllä

12 Mittakaava 7. Kaikki ympyrät ovat yhdenmuotoisia. Jos ympyrän säde kasvaa,5 % eli tulee,5- ketaiseksi, niin kaikki muutkin pituudet muuttuvat samoin. Piiri kasvaa myös,5 %. Vastaus: Ympyrän piiri kasvaa,5 %. 8. Hiiren pituus luonnossa (m) Hiiren pituus kuvassa on noin 9 mm. Kuvassa sivun pituus on 5 mm ja luonnossa 5,0 m. Koska mittakaava on sama, niin , Vastaus: Hiiri oli Ventin mielestä, m pitkä. 9. Mittakaava : 000 a) Matka kartalla 9,0 cm Matka luonnossa (cm) Matka luonnossa cm 080 m. b) Matka luonnossa 6 km cm Matka kartalla (cm) Vastaus: a) Matka luonnossa on 080 m. b) 50 senttimetrin päästä.

13 40. Maantiekartan mittakaava : Matka kartalla,5 cm Matka luonnossa (cm), , Matka luonnossa on cm 8 km. Tähän menee aikaa 8 km 0,7 h 4 min 40 km/h Vastaus: Janilta kului aikaa 4 min. 4. Rakennuspiirroksen mittakaava : 50. Huoneen pituus 9,6 cm Huoneen pituus luonnossa (cm) 9,6 50 9, Pituus: 480 cm 4,80 m Huoneen leveys 7,9 cm Huoneen leveys luonnossa y (cm) 7,9 y 50 7, Leveys: 95 cm,95 m. Pinta-ala on 4,80 m,95 m 8,96 m 9 m. Vastaus: Huoneen pinta-ala on 9 m. 4. Kartan mittakaava : a) Matka kartalla mm, cm Matka maastossa (cm), , Maastossa cm, km

14 b) Kartan mittakaava : Matka luonnossa, km Matka kartalla (cm) Matka kartalla 66 cm Vastaus: a) Väli maastossa on, km. b) Väli peruskartalla on 66 cm. 4. Jyväskylän ja Kuopion välinen etäisyys kartalla 4,7 cm Jyväskylän ja Kuopion välinen etäisyys maastossa 8 km Mittakaava : 4,7 cm 8 km 8 km 4,7 cm , Vastaus: Kartan mittakaava on : Pinta-ala 44. Ympyrät ovat yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava on sama kuin vastinjanojen suhde. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. a) Kuvan pikkuympyrän säde on kolmasosa ison ympyrän säteestä, eli mittakaava k Apikkuymp. k Aisoymp. 9 5 Apikkuymp. 5 5 A 9 9 isoymp b) Hukkaan menee loput, eli % 44 % Vastaus: a) Pinta-alojen suhde on 5 9. b) Pannun pinta-alasta menee hukkaan 400 % 44 %. 9 4

15 45. Kymmenkulmion sivuja kasvatetaan 0 %:lla. Koska kaikkia sivuja kasvatetaan saman verran, kuviot ovat yhdenmuotoiset. a) Yhdenmuotoisten kuvioiden kulmat ovat yhtä suuret. b) Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava on sama kuin vastinjanojen suhde. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Sivun pituus a Uuden kuvion sivun pituus,0a Auusi, 0a k, 44 A vanha a Kasvua 44 % 00 % 44 % Vastaus: a) Kulmat eivät kasva. b) Pinta-ala kasvaa 44 %. Tilavuus 46. Maastokartan mittakaava : Rakennukset merkitty mm :n suuruisilla suorakulmioilla. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Oikea mittakaava mm A A mm A 500 m Tämä ylittää normaalitalon pinta-alan moninkertaisesti. Vastaus: Eivät 47. Alue suorakulmion muotoinen ja pinta-alaltaan 75 m Kartalla alue 5 cm 75 cm 875 cm a) Mittakaava k : Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. k 0,875 m 75 m 0, 005, k > 0 5

16 0,05 0,05 0 Mittakaava on k : : 0. b) Hautapaikan pinta-ala kartalla 4 cm Hautapaikan todellinen ala a (cm ) Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. 4 k a 4 0 a a a Hautapaikan todellinen ala cm 0,96 m. Vastaus: a) Kartan mittakaava on :0. b) Hautapaikan todellinen ala on 0,96 m. 48. Aikuisen kirahvin korkeus s 4,5 m Aikuisen kirahvin laikun koko (cm ) Vastasyntyneen kirahvin korkeus s,8 m Vastasyntyneen kirahvin laikun koko A 0 cm Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A s, 8 k k A s 4,5,8 0 4,5 0,6 0 : 0,6 750 Vastaus: Laikku on kooltaan 750 cm. 49. Pallon malli mittakaavassa k : 0 a) Mallin pituus 0,0 cm Tilatun pallon pituus (cm)

17 b) Mallin vatsanympärysmitta 6 cm Pallon vastaava mitta (cm) c) Mallipalloon tarvitaan materiaalia 50 cm. Suureen palloon tarvittava materiaalimäärä (cm ) Yhdenmuotoisten kappaleiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö Materiaalia tarvitaan cm 0,8 m d) Mallipallon heliummäärä 50 cm Suuren pallon heliummäärä (cm ) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio Suuren pallon heliummäärä cm,8 m Vastaus: a) Tilatun pallon pituus on 6,00 m. b) Pallon vastaava mitta on,0 m. c) Suureen palloon tarvitaan materiaalia 0,8 m. d) Heliumia tarvitaan suureen palloon,80 m. 50. Säilytysastioiden tilavuudet: l, l, 5 l, 0 l ja 0 l Pienimmän astian korkeus on cm ja pohjan halkaisija 0 cm. Muiden astioiden vastaavat mitat korkeus h (cm) pohjan halkaisija d (cm) tilavuus V (l) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. 7

18 k V h V h V h V Vastaavasti d 0 litran astia korkeus h cm 7 cm pohjan halkaisija d 0 cm 4 cm V 5 litran astia korkeus h 5 cm cm pohjan halkaisija d 0 5 cm 7 cm 0 litran astia korkeus h 0 cm 6 cm pohjan halkaisija d 0 0 cm cm 0 litran astia korkeus h 0 cm cm pohjan halkaisija d 0 0 cm 7 cm Vastaus: l: h cm 7 cm; d 0 cm 4 cm ; 5 l: h 5 cm cm; d 0 5 cm 7 cm ; 0 l: h 0 cm 6 cm; d 0 0 cm cm ; 0 l: h 0 cm cm; d 0 0 cm 7 cm 5. Yhden tölkin tilavuus cl Tölkin korkeus, 5 cm Juomaa l Ison tölkin korkeus (cm) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. 8

19 Ison tölkin korkeus,5 0, ,5 8, 0,5 8, Korkeus 585 cm 5,9 m Vastaus: Noin 5,9 m korkeaan tölkkiin. 5. Pienemmän pitsan halkaisija 5,0 cm Suuremman pitsan halkaisija 40,0 cm Pienemmän pitsan salamimäärä 0,0 g Suuremman pitsan salamimäärä (g) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. Salamia ,88 Vastaus: Salamia tarvitaan grammaa. 5. Vastasyntyneen massa 40 kg Vastasyntyneen korkeus 0,50 cm Täysikokoisen korkeus,5 m Täysikasvuisen massa (kg) Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastinjanojen suhde. Massa, 5 0, Vastaus: Täysikokoisen sarvikuonon massa on 080 kg. 9

20 54. Samasta aineesta tehtyjen pallojen massat ovat 54 kg ja 6 kg Isomman pallon maalaamiseen kului maalia 50 g Pienemmän pallon maalaamiseen kului (g) Kaikki pallot ovat keskenään yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen suhde mittakaavan neliö. Koska massa on verrannollinen tilavuuteen ja maalin menekki taas on verrannollinen pintaalaan, saadaan verranto ,75 50,75 50, Vastaus: Maalia tarvitaan 67 grammaa. 55. Alkuperäisen ympyrän ala A ja piiri p Ympyrän pinta-ala pienenee 9 % Uusi ala on 0,8A ja piiri Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Kaikki ympyrät ovat keskenään yhdenmuotoisia. Uusi piiri 0,8A, k > 0 A p p 0,8 p 0,9 p Uusi piiri on 90 % vanhasta. Piirin pienennys 00 % 90 % 0 % Vastaus: Piiri pienenee 0 %. 0

21 56. Kaikki kuutiot ovat keskenään yhden muotoisia. Särmien pituuksien suhde on mittakaava, pinta-alojen suhde mittakaavan neliö ja tilavuuksien suhde mittakaavan kuutio. Kuution tilavuus V Kuution tilavuus kasvaa, % eli uusi tilavuus on,v Mittakaava (uuden suhde vanhaan), V k V k, k,, k Särmän pituus tulee,-keratiseksi eli kasvaa 0 % 00 % 0 % b) Pinta-alojen suhde on k,,. Pinta-ala tulee,-kertaiseksi eli kasvaa % 00 % %. Vastaus: a) Särmän pituus kasvaa 0 %. b) Kuution ala kasvaa %. 57. Kaikki pallot ovat keskenään yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen suhde mittakaavan neliö. Pallon alkuperäinen tilavuus V Tilavuus pienenee 0 % eli uusi tilavuus on 0,8V Pallon alkuperäinen ala A Mittakaava (uuden suhde vanhaan) 0,8V k V k 0,8 Uusi pinta-ala k A ( 0,8) A 0, A Alan pieneneminen 00 % 86,77 % 4 % Vastaus: Ala pienenee noin 4 %. 58. Yläosan korkeus h Yläosan tilavuus V Jäljellä olevan hiekan korkeus h Jäljellä olevan hiekan tilavuus Tiimalasin yläosassa oleva hiekkakartio on yhden muotoinen yläosan lasikartion kanssa. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.

22 h k k V h V V 8 7 Hiekkaa on valunut tunnissa V V V, jäljellä on V. Koska 7 V 7 V, niin loppuosa vaatii seitsemäsosan kuluneesta ajasta eli 8 8 h 60 min 4 8 min 8,6 min Vastaus: Hiekan valumiseen kuluu noin 8,6 min. 59. Nykyisen TV:n mitat: korkeus a ja leveys 4a HDTV:n mitat: korkeus 9b ja leveys 6b Kuvien korkeudet yhtä suuret a 9 b : a b Nykyisen TV:n mitat korkeus a 9b leveys 4a 4 b b a 9b Nykyisen TV:n ja HDTV:n leveyksien erotus on 6b b 4b Mustaksi jäävä pinta-ala on 4b 9b 6b Koko kuvaruudun ala on 6b 9b 44b 6b Pinta-alojen suhde on eli tämän 44b 4 verran jää kuvaruudusta mustaksi. a 9b 6b 4a Kuvien leveydet ovat yhtä suuret, kun 4a 6b, eli a 4b. Siten korkeudet ovat b ja 9b, eli erotus on b. Ulkopuolelle jäävä ala; b 6b 48b. Koko ala on b 6b 9b. 48b Näiden suhde on 9b 4. Tämän verran kuva-alasta jäisi ulkopuolelle. 6b 4a Vastaus: Mustaksi jäisi 4 kuvaruudusta ja kuvaruudun ulkopuolelle jäisi 4 kuva-alasta.

23 60. Arkit ovat yhdenmuotoiset, joten kirjoituskokojen suhde on mittakaava ja pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Arkkien A4 ja A5 alojen suhde on 00 : 50 A4 kirjoituskoko l 4 A5 kirjoituskoko l 5 A4 l4 A4 00 k k A5 l5 A5 50 l4 l4, > 0 l5 l5 l4 l5 l5 l4 ) Kirjoituskoko pienenee ( ) 00 % 9, % Vastaus: Tekstin korkeus pienenee noin 9, %. 6. Öljyä myydään litran ja litran pulloissa Pullojen muovimäärä suoraan verrannollinen niiden pinta-alaan Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen suhde mittakaavan neliö. litran pullon tilavuus V ja muovimäärä s litran pullon tilavuus V muovimäärä s Mittakaava V V V k V k k Muovimäärä Pinta-alojen suhde mittakaavan neliö s k k s s s s s 9 s 9 s s,08

24 s Litraa kohden muovia menee litran pulloon s Menekkien suhde s 9s 9 s s s 9 Ero prosentteina 00 % 0,7 % s ja litran pulloon. Vastaus: Muovimäärä on 9,08-kertainen. Muovia on käytetty 9 00 % 0,7 % vähemmän litraa kohti. 6. Pinta-ala kartalla (cm ) 0 Pinta-ala luonnossa 60 km 60 (0 0 cm) 60 0 cm,6 0 cm Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö , ,6 0, 6 0 0, Vastaus: Es ist 0 cm. 6. Joensuun pinta-ala kartalla 480 cm 0 Joensuun pinta-ala luonnossa 0 km 0 (0 0 cm) 0 0 cm Kartan mittakaava k :. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Mittakaava 480, 0 0 > k : : Vastaus: Mittakaava on :

25 . Kolmiot 64. a) Kolmiot AFE, ABD, BCD eli A E D F B C b) Kolmiot ABE, ABC, AED, ACD, BCE, BCD, CDE eli 7 D E C c) Kolmiot ABF, ABE, ABD, ADE, AHE, BCG, BCD, BCE, BFD, BGE, CDG, CDH, CDE, DEH, DBE, DEF, DHG, EHF eli 8 A D E H G F A B B C 65. Kolmion FGH pinta-ala ah A a g, h s A gs H g F f s G Vastaus: Pinta-ala on g s. 66. Kolmio A`B`C` yhdenmuotoinen kolmion ABC kanssa mittakaavassa 5 : 6 Sivun BC pituus 98 m Sivun B C pituus (m) Mittakaava on vastinsivujen suhde Vastaus: Vastinsivun B`C` pituus on 65 m. 67.a) ABE CDE D C AE CE sks AEB CED, ristikulmina BE DE A E B 5

26 b) ABE CDE D C AE CE sss AB CD BE DE A E B c) Tasakylkisen kolmion ABC kantaa vasten piirretty korkeusjana CD puolittaa C kannan AB. ADC BDC A C, tasakylkisen kolmion kantakulmina ksk AD BD ADC BDC 90 A B D d) ABD CDB D C AD CB ksk ADB CBD DAB BCD A B 68. Kolmion sivujen pituudet 4 cm, 6 cm ja 9 cm Yhdenmuotoisen kolmion sivu on 6 cm Suuremman kolmion piiri on suurin silloin kuin 6 senttimetrin sivu vastaa toisen kolmion lyhintä sivua. Kun lyhintä sivua 4 cm vastaa mainittu 6 cm, on vastinsivujen suhde eli mittakaava Kaikki janat ovat suuremmassa kolmiossa 9-kertaiset pienempään kolmioon nähden, myös piiri. Piiri on maksimissaan 9 (4 cm + 6 cm + 9 cm) 7 cm Vastaus: Suuremman kolmion piiri on korkeintaan 7 cm. 69. Janin varjon pituus AD,4 m Lipputangon varjon pituus AB,7 m Janin pituus DE 40 cm Lipputangon pituus BC (cm) C Kolmiot ABC ja ADE ovat yhdenmuotoisia, koska A on yhteinen kk D B( 90 ) A E D B 6

27 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama,7 40, 4 40,7 40, Lipputangon pituus 800 cm 8,0 m Vastaus: Lipputangon pituus on 8,0 metriä. 70. Kolmion kanta 5,0 cm Kolmion korkeus 5 cm Kolmion pinta-ala A 5 cm cm cm 00 mm mm 00 mm Vastaus: Kolmion pinta-ala on 00 mm. 7. Tasasivuisen kolmion korkeusjana, kulmanpuolittaja mediaani ja keskinormaali ovat samoja, joten kaikki merkilliset pisteet ovat yksi sama piste. 7. a) Kolmiot ABC ja ADE ovat yhdenmuotoiset, koska A on yhteinen kk D B Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama a a 70 4 a 9 5 A a E D 6 48 B C b) Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska C on yhteinen kk A D Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama.,0 C b,0 D a E 6,0 9,0 B A 7

28 Ratkaistaan a. Ratkaistaan b. a + 6+ a + 6 a 4 b b 4 Vastaus: a) a 9 9,8 b) a 4 ja b 5 7. Kaivon syvyys (m) Kaivon halkaisija,8 m Ihmisen pituus,5 m Ihmisen etäisyys kaivosta 0,6 m Kaivon syvyys saadaan yhdenmuotoisista kolmioista. Kolmiot ABC ja EDC ovat yhdenmuotoiset, koska ACB ECD ristikulmina kk B D 90 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama, 8, 5, 5 0, 6 4,5 A E,5 m C D 0,6 m B,8 m Vastaus: Kaivon syvyys on 4,5 m. 74. Sivu AB 9,0 cm +,0 cm cm Sivu AC (cm) Sivu BC y (cm) Kolmion ABC piiri 56 cm Lasketaan y y y 5 A C y 9,0 m,0 m D Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. B 8

29 Lasketaan. 9 y 5 y : 5 Sivu AC 5 cm Sivu BC y 5 0 cm Vastaus: Sivujen pituudet ovat 0,0 cm ja 5,0 cm. 75. Kolmion sivujen pituudet ovat, 6 ja 4 Yhdysjanan pituus Lyhyimmän sivun suuntaisesti piirretty jana puolittaa pisimmän sivun. Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska A D samankohtaisina kulmina, AB DE kk C yhteinen Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama. Lasketaan sivu. 4 6 C D 6 A 4 E B Vastaus: Yhdysjanan pituus on AC 50 cm 5 dm AB dm BC 0 dm CD (dm) DE y (dm) A 50 cm y E D c,0 dm Kolmion CBA kulman A puolittaja on myös kolmion CEA kulman A puolittaja. C a 0 dm B Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Joten kysytty suhde on AC. y AE Sivun AC pituus tunnetaan. Lasketaan sivun AC pituus. 9

30 Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa, joten kolmiossa CBA kulman C puolittaja jakaa sivun BA sivujen CB ja CA suhteessa. BE CB CB 0 dm, CA 5 dm EA CA BE 0 EA 5 BE EA EA BA dm dm Lasketaan kysytty suhde. AC AC 5 dm, AE EA dm y AE 5 5 y Vastaus: Suhteessa 5 : 77. AB km ED 5km BD 6 km Kysytty etäisyys AE (km) Täydennetään kuviota piirtämällä pisteen A kautta janan BD suuntainen suora ja jatketaan sivua ED. Merkitään näiden suorien leikkauspistettä kirjaimella F. km A B C F D 5 km Koska AF BD, niin samankohtaisina kulmina F D 90. Suorakulmaisesta kolmiosta EFA saadaan 6 km AE FA + FE FA 6 km, FE km + 5 km 8 km AE AE , AE > 0 AE 0 E Vastaus : Etäisyys on 0 km. 78. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC Väite: Kantakulmat ovat yhtä suuret, eli A B Todistus: Piirretään yhdistysjana kolmion kärjestä C sivun AB keskipisteeseen D. C Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät. 0 A D B

31 ADC BDC AC BC sss AD DB, jana CD puolittaa kannan CD on yhteinen Yhtenevien kolmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten A B. Näin ollen tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. 79. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC ja CD on kantaa AB vasten piirretty korkeus. C Väite: Korkeusjana CD puolittaa kannan, eli AD DB, ja huippukulman, eli ACD BCD Todistus: Piirretään korkeusjana kolmion kärjestä C kannalle AB. A D B Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät. ADC BDC AC BC ssk k A B, tasakylkisen kolmion kantakulmina CD on yhteinen Koska CD on korkeus, niin kummatkin syntyvistä kolmioista ovat suorakulmaisia. Muut kulmat ovat teräviä. Yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret ja vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten AD DB ja ACD BCD Näin ollen tasakylkisen kolmion kantaa vasten piirretty korkeus puolittaa kannan ja huippukulman. 80. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC ja AD on kylkeä BC vasten piirretty keskijana sekä BE kylkeä AC vasten piirretty keskijana. Väite: Keskijanat ovat yhtä suuret, eli AD BE. Todistus: Piirretään kylkiä vasten keskijanat. C Näin syntyvät kolmiot ADC ja BEC ovat yhtenevät. ADC BEC E D AC BC tasakylkisen kolmion kyljet sks C on yhteinen CD CE, keskijana puolittaa kyljet, jotka ovat yhtä suuret A B Yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret, eli AD BE. Näin ollen tasakylkisen kolmion kylkiä vasten piirretyt keskijanat ovat yhtä suuret.

32 8. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC BC ja CD on kantaa AB vasten piirretty keskijana. Väite: Keskijana CD puolittaa huippukulman, eli ACD BCD Todistus: Piirretään keskijana kolmion kärjestä C kannalle AB. C Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät. ADC BDC AC BC tasakylkisen kolmion kyljet A B sss AD BD keskijana puolittaa kolmion sivun D CD on yhteinen Yhtenevien kolmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten ACD BCD Näin ollen tasakylkisen kolmion kantaa vasten piirretty keskijana puolittaa huippukulman. 8. Saari on kolmion muotoinen. Saaren keskipiste on kauimpana rannasta, eli kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Tämä on kulman puolittajien leikkauspiste. Vastaus: Kulmanpuolittajien leikkauspiste 8. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet, 4 ja 5 Sivu AD, sivu DB 5 Kolmiot ABC ja ACD ovat yhdenmuotoisia C ABC ACD A yhteinen kk C D 90 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastin sivut ovat verrannolliset Sivu DB A 4 5 D B Osien suhde: AD : DB : Vastaus: Suhteessa 6 : 9

33 84.a) Suorakulmaiset kolmiot FCE ja FAB ovat yhtenevät. C FCE FAB EFC BFA ristikulmina ksk EF FB piste F puolittaa janan EB E B 90 E D F B A b) Koska yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret, niin CE AB. Nelikulmio DABE on suorakulmio, koska E B 90, joten DE AB. Näin ollen CE DE. Piste E puolittaa sivun DC. Vastaus: a) Kolmiot ovat yhdenmuotoiset. 4. KULMIEN PIIRTÄMINEN HARPILLA JA VIIVAIMELLA 85. Kulmien puolittajat leikkaavat samassa pisteessä. 88. Olkoon P janan keskinormaalin mielivaltainen piste. Kolmiot ACP ja BCP ovat yhtenevät, koska sivut AC ja BC ovat yhtä pitkät (kyseessä janan keskipisteeseen piirretty normaali) molemmissa kolmioissa on suora kulma sivu CP on molemmissa kolmioissa sama. Säännöt sks perusteella kolmiot ovat yhtenevät, joten sivut AP ja BP ovat yhtä pitkät eli piste P on yhtä etäällä janan päätepisteistä. 89. Olkoon P piste, joka on yhtä etäällä janan AB päätepisteistä. Piirretään pisteestä P janalle AB normaali. Kolmiot ACP ja BCP ovat yhtenevät, koska sivut AP ja BP ovat yhtä pitkät (piste P on yhtä etäällä janan AB päätepisteistä) molemmissa kolmioissa on suora kulma sivu CP on molemmissa kolmioissa sama. Säännöt sks perusteella kolmiot ovat yhtenevät, joten sivut AP ja BP ovat yhtä pitkät eli piste P on janan keskinormaalilla. P P B C A B C A 90. Mittaa jana, jonka pituus on 6,0 cm. Piirrä janan päätepisteistä ympyrän kaaret, joiden säe on 6,0 cm. Kaarien leikkauspisteeseen muodostuu kolmion kolmas kärkipiste. 9. Piirrä ensin 6 cm:n pituinen jana. Piirrä harpilla janan toinen päätepiste keskipisteenä 5 cm -säteinen ympyränkaari ja janan toinen päätepiste keskipisteenä cm -säteinen ympyränkaari siten, että ympyränkaaret leikkaavat toisiaan yhdessä pisteessä. Yhdistä saatu leikkauspiste janan päätepisteisiin.

34 9. Piirrä ensin 6 cm pituinen jana. Mittaa janan päätepisteeseen 0 asteen kulma. Piirrä puolisuora kulman toiseksi kyljeksi. Piirrä janan toinen päätepiste keskipisteenä 5 cm -säteinen ympyrä. Ympyrä leikkaa toista kylkeä kahdessa pisteessä. Leikkauspiste on kolmion kolmas kärkipiste. Huomaa, että saat kaksi eri kolmiota. 9. Piirrä suora l ja sille leikkaaja m. Valitse leikkaajalta sellainen piste P, joka ei ole suoralla l. Siirrä suorien l ja m välinen kulma pisteeseen P siten, että saat kaksi yhdensuuntaista suoraa. 94. Annettu suora ja jokin kulma, joka ei sijaitse suoralla. Piirrä suoralle piste P. Siirrä annettu kulma suoralle siten että kulman kärkipisteenä on piste P. Jatka kulman toinen kylki suoraksi. 95. Piirrä pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora. Piirrä janalle PQ keskinormaali. Kysytty piste on annetun ja piirretyn keskinormaalin leikkauspiste. 96. Piirrä ensin mallikuvioiksi kolmio, johon on merkitty sivujen keskipisteet. Yhdistä kolmion sivujen keskipisteet keskenään. Mitä voit sanoa syntyneiden kolmioiden sivuista ja samalla syntyneistä neljästä kolmiosta? Eli ratkaisuna: Yhdistä annetut pisteet, jolloin saat kolmion. Piirrä jokaiselle saadun kolmion sivulle yhtenevä kolmio. 5. SUORAKULMAINEN KOLMIO 97. a) Pythagoraan lause 5 +, > b) Pythagoraan lause , > , 9,0 m 8,0 m 5 c) Pythagoraan lause cm 5 cm Vastaus: a), b) 4, m, c) 4 cm. 4

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävienratkaisut KustannusosakeyhtiöOtava päivitetty17.10.016 Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x,8... x,8 (cm) Kateetin

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Lukion geometrian opiskelusta

Lukion geometrian opiskelusta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Visama Lukion geometrian opiskelusta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö VISAMA, JOHANNA:

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia

Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Geometrian perusteet Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia 1.1.1. Todista, että tason kahdella eri suoralla on joko yksi yhteinen piste tai ei yhtään yhteistä pistettä.

Lisätiedot

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa.

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11. Geometria Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11.1 Valikot ja näppäintoiminnot Kun valitset päävalikosta Geometry, näyttö tyhjenee ja näkyviin ilmestyy uusi painikevalikko

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi 2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot