3. Datan tutkiminen ja visualisointi 3.1. Johdanto Datan koostaminen: yksinkertaisia esimerkkejä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3. Datan tutkiminen ja visualisointi 3.1. Johdanto. 3.2. Datan koostaminen: yksinkertaisia esimerkkejä"

Transkriptio

1 3. Datan tutkiminen ja visualisointi 3.. Johdanto ässä luvussa tarkastellaan rakenteiden datasta etsimisen visuaalisia menetelmiä. Näistä on usein hyötyä lähdettäessä tutkimaan datan sisältöä. avallaan nämä ovat vastakohtina mallien muodostamiselle datalle. Menetelmien rajoitukset tulevat luonnollisesti vastaan käsiteltäessä hyvin laajoja tietojoukkoja. utkivaa data analyysia voidaan kuvata dataperusteisena hypoteesin luontina. Dataa tutkitaan rakenteita etsittäessä, jolloin rakenteet saattavat kuvata merkityksellisiä muuttujien välisiä relaatioita. ämä ei ole tavanomaista tilastollista hypoteesin testaamista, jossa on valmiiksi annettu malli ja tilastollisesti testataan, onko jollakin todennäköisyydellä data kyseisen mallin mukaista. Dataperusteisessa lähestymisessä sitä vastoin datan hahmot luovat hypoteesit. 3. luku 69 Hahmoja etsittäessä ei voida testata sitä, onko löydetty hahmo pohjana olevan jakauman todellinen ominaisuus, ottamatta huomioon haun laajuutta, so. tutkittujen hahmojen lukumäärää. Luvussa 3.. käydään läpi yksinkertaiset tilastolliset tunnusluvut. Luvussa 3.3. tarkastellaan yhden muuttujan jakauman visualisointimenetelmiä ja luvussa 3.4. kahden muuttujan suhteiden esittämistä. Lopuksi pohditaan usean muuttujan välisten suhteiden esittämistä. 3. luku Datan koostaminen: yksinkertaisia esimerkkejä Keskiarvo on monesti yksinkertaisin tunnusluku, jota tarvitaan lukuisissa yhteyksissä. Otoksen keskiarvo, kun data arvot ovat x(),,x(n), määritellään tavalliseen tapaan. ˆ= x( / n i (Perusjoukon keskiarvoa merkitään symbolilla.) Keskiarvo on paikan mitta. oinen sellainen on mediaani, jota sekä suurempia että pienempiä datapisteitä on yhtä paljon (arvoja ollessa parillinen määrä mediaani on yleensä kahden keskimmäisen puolivälistä). Datan yleisimmin esiintyvä arvo on moodi. oisinaan jakaumilla voi olla yhtä useampia moodeja, jolloin se on multimodaalinen (bimodaalinen kahden huipun tilanteessa). Muita paikan mittoja ovat jakauman eri osia vastaavat fraktiilit. Ensimmäinen kvartiili eli alakvartiili on arvo, joka on seuraavaksi suurin jakauman pienimmän neljänneksen jälkeen ja kolmas eli yläkvartiili on kolme neljäosan jälkeen. (Mikä on toinen?) Vastaavasti on määriteltävissä desileejä ja persentiilejä. Vaihtelevat hajonnan tai vaihtelevuuden mitat ovat tavallisia. Näitä ovat keskihajonta eli standardipoikkeama ja tämän neliö, varianssi, joka määritellään alkuperäisten data arvojen ja näiden keskiarvon erotusten neliöiden keskiarvona seuraavasti. σˆ = ( x( ) µ / n i 3. luku 7 3. luku 7

2 Kun keskiarvo minimoi näiden erotusten neliöiden summaa, keskiarvo liittyy läheisesti varianssiin. Jos on tuntematon, kuten yleensä on käytännössä, sitä estimoidaan otoksesta lasketulla keskiarvolla saaden oheisen kaavan. ( ( ) ˆ) x i µ /( n ) i Keskihajonta on varianssin neliöjuuri. σˆ = ( x( ) µ / n i Kvartiilien väli, kolmannen ja ensimmäisen kvartiilin erotus, on joissakin sovelluksissa kiinnostava, niin myös suurimman ja pienimmän datapisteen erotus. Vinous mittaa, onko jakaumalla yhtä pitkää häntää ja määritellään mm. oheisella kaavalla. ( x( ˆ) µ ( ( x( ˆ) µ ) 3/ Ihmisten tulojen jakauma on melko vino, ts. valtaosan tulot ovat pieniä tai keskimääräisiä, mutta hyvin suurituloisia on vähän. ällöin voi esiintyä oikealle vino jakauma. vastaavasti saattaa olla (harvemmin) vasemmalle vinoja jakaumia. Symmetrisessä tilanteessa vinous on nolla luku luku Yksittäisten muuttujien esittäminen Yksi perusesitystavoista yksittäisen muuttujan kohdalla on histogrammi, joka kuvaa muuttujan tapausten lukumäärät perättäisin välein. Pienien datajoukkojen tilanteessa histogrammi saattaa olla harhaanjohtava, sillä silloin arvojen määrien satunnaisheilahtelut tai välien vaihtoehtoiset valinnat voivat antaa melko erilaisia diagrammeja. Datajoukon koon kasvaessa näiden vaikutus vähenee. Suurien datajoukkojen yhteydessä jopa vähäiset histogrammin piirteet voivat edustaa jakauman todellisia ominaisuuksia Kuva 3.. esittää erään yhdysvaltalaisen supermarketin asiakkaiden luottokorttiostoja yhtä luottokorttiyhtiötä käytettäessä, kun on annettu, monenako kahden viikon jaksoina vuodessa asiakas käytti luottokorttiaan viikkoja Kuva 3.. Luottokortin käyttöä viikkomäärittäin. 3. luku luku 76

3 Suuri osa asiakkaista ei käyttänyt luottokorttia ollenkaan tai vain hyvin harvoin, minkä osoittaa suuri vasemmanpuoleinen moodi. Käyttömäärien kasvaessa henkilöiden määrä vähenee suhteellisen nopeasti, mutta suurimmilla käyttömäärillä on pienehkö moodi hyvin aktiivisia asiakkaita, jotka käyttivät säännöllisesti luottokorttiaan Esim. 3.. Kuva 3.. esittää henkilöjoukolta mitattua diastolista verenpainetta. Alkuperäinen tietolähde (UCI Machine Learning data archive) väitti, ettei data sisältäisi puuttuvia arvoja. Selvästi väite ei pidä paikkaansa, koska muutaman kymmenen henkilön verenpaine olisi ollut nolla. Mitä todennäköisimmin puuttuvat arvot oli merkitty nollalla. Vaikka histogrammilla on rajoituksensa, sillä voi nopeasti selvittää tällaisia epäilyttäviä arvoja, jotka voisivat muussa tapauksessa sotkea analyysia. 3. luku Kuva 3.. Mitattujen diastolisten verenpaineiden jakauma sekä nolla arvoja. 3. luku 78 Histogrammien epätasaisuuksia voidaan tasoittaa (suodattaa) eri tavoin. Kätevä keino on käyttää kernelestimaattia, jollainen tasoittaa datapisteen yli sen lokaalisen naapuruston. Olkoon mitattava muuttuja X, jolle saadaan arvot {x(),,x(n)}. Datapisteen x( vaikutus estimaattiinsa x* jossakin pisteessä riippuu siitä, kuinka kaukana x( ja x* ovat toisistaan. ämän vaikutuksen laajuus riippuu valitusta kernelfunktion muodosta ja leveydestä. Kun kernelfunktio on K ja sen leveys h, estimoitu tiheysarvo (diagrammin arvo) pisteessä x on seuraava arvo. n x x( fˆ( x) = K( ) nh i= h Kernelestimaatin laatu riippuu vähemmän funktion K muodosta kuin arvosta h. Funktion K yleinen muoto on normaali eli Gaussin käyrä, jonka leveysparametri (keskihajonta) on h seuraavasti. t ( ) K( t, h) = Ce h ässä C on normalisointivakio ja t=x x( on kyselypisteen x ja pisteen x( välinen etäisyys. Kaistanleveys h on ekvivalentti Gaussin kernelfunktion keskihajonnan kanssa. 3. luku luku 80

4 Estimaatin sovitus on optimoitavissa formaalein menetelmin tuntemattomalle jakaumalle, mutta tässä kiinnostus on graafisissa menetelmissä. Vaihtelemalla arvoa h voidaan etsiä otosjakauman muodosta omituisuuksia. Pienet h:n arvot johtavat hyvin teräviin estimaatteihin (lähes ilman tasoittamista), kun taas suuret arvot johtavat liikanaiseen tasoitukseen. ässä saadaan ääriarvot seuraavasti. Kun h lähenee nollaa, raja lähenee kutakin kokeellista datapistettä x( ( deltafunktio ) ja kun h lähenee ääretöntä, saadaan tasainen jakauma. Eräs hyödyllinen kuvaustapa on laatikkopiirrokset (boxplot). Laatikko käsittää pääosan jakaumasta, esim. ensimmäisen ja kolmannen kvartiilin välin. Lisäksi siihen voidaan merkitä suoralla jokin paikkamitta, kuten datan mediaani. Myös voidaan merkitä kokeellisen jakauman päät. Laatikkopiirros on esitetty kuvassa 3.3., jossa jakauman koskee edelliseen kuvaan liittyvää diabetes dataa. 3. luku 8 3. luku 8 diastolinen verenpaine Kahden muuttujan välisen suhteen esitysmuotoja Sirontakuva on tavanomainen menetelmä kuvata kahden muuttujan välistä suhdetta. Kuvassa 3.4. on muuan esimerkki tästä. Siinä on huomattava korrelaatio muuttujien välillä. Kun toisella niistä on pieniä arvoja, niin on toisellakin ja vastaavasti suuria molemmilla. Osa datajoukosta on kuitenkin poikkeavia havaintoja. 0 + luokka Kuva 3.3. Laatikkopiirros yhden muuttujan tapauksessa diabetes datajoukosta. Laatikon ylä ja alataso vastaavat kvartiileja ja jana keskellä mediaania. Lisäksi on merkitty hajonnan rajat.5 kertaa kvartiilien väli laatikon päistä. Näiden rajojen ulkopuoliset yksittäiset pisteet on merkitty erikseen. 3. luku 83 Aina sirontakuvista ei tiedonlouhinnassa ole hyötyä. Näin voi käydä, jos kuvassa on aivan liikaa datapisteitä, jolloin ilmiöt tai niiden ominaisuudet hukkuvat kuvan suureen datajoukkoon. Virheelliseen mielikuvaan voi johtaa helposti myös sellainen kuva, jossa on paljon päällekkäisiä datapisteitä (nähdään kuitenkin vain yhtenä). 3. luku 84

5 Kuva 3.4. (a) ässä ovat data arvot (ylin signaalinpätkä, mitattu 400 Hz:llä 5 s), jotka kuvaavat vestibulo okulaarista silmänliikettä ja alin sen stimulaatiota, melkein symmetristä pään liikettä. Näistä on muodostettu kuva (b), jossa lineaarisen regressiosuoran avulla on laskettu korjattu kalibraatiokerroin (aluksi epätarkempi estimaatti ylimmän pätkän muodostamisessa), jonka mukainen tarkemmin kalibroitu silmänliikesignaali on keskimmäisenä. Virhettä aiheuttivat nopeat sakaadiset silmänliikkeet, jotka näkyvät piikkeinä vastesignaalissa. 3. luku 85 Kuva 3.4. (b) Sirontakuva, jossa on muuttujien välillä voimakas korrelaatio ja jossa on myös poikkeavia havaintoja. ämä on saatu osasta (a), kun on otettu stimulaatiosta ja vasteesta (muuttujina) arvot (pareina) tasolle. Loivempi suora (sen kulmakerroin) kuvaa alkuperäistä kalibraatiokerrointa, jota on tarkennettu poistamalla poikkeavat havainnot (pienet, kauimmaiset rypäät) ja laskemalla sitten uusi regressiosuora. 3. luku 86 Muitakin ongelmallisia kuvauksia sirontakuvissa voi sattua, esimerkkinä tilanne, jossa on määrätyllä kuvausalueella melko tasaisesti ja satunnaisesti datapisteitä, mutta sitten yhdessä nurkassa vinoutuneesti hyvin paljon datapisteitä (voi olla päällekkäisiäkin). ällaisen tulkinta voi olla vaikeaa ja epämääräistä. Ääriviivapiirros voi olla apuna kuvattuun ongelmaan. Siinä datapisteiden edellisen kaltainen keskittymä voidaan saada esiin. Ajan mukaan muuttuvia ilmiöitä kuvataan yleisesti käyrillä, kuten oli kuvassa 3.4.(a). Siitä nähtiin selvästi siniaaltomainen perusmuoto sekä silmänliike että päänliikesignaalissa. ämä johtui suoraan näiden muodostamisesta. Katse oli kiinnitettynä koko testin ajan kiinteään pisteeseen, mutta pää liikkui toistuvasti vasemmalta oikealle ja takaisin. Lisäksi liikkeen nopeutta kasvatettiin (äänimerkin mukaan). ämän vuoksi käyrien siniaallon tapainen muoto kasvaa taajuudeltaan ajan mittaan. 3. luku 87 Pään liikkeet olivat symmetrisiä silmänliikkeille, mikä näkyy käyrien symmetrisyytenä. Jälkimmäisissä oli kuitenkin häiritseviä sakaadeja, jotka toimivat tässä (aivojen aikaansaamina) automaattisina korjausliikkeinä. arkkaan katsoen signaaleissa on pientä peruslinjan (hetken intervallin keskiarvon) liukumista alaspäin (silmä) tai ylöspäin (pää). ämä ei johdu todellisesta ilmiöstä, vaan sähköisen mittalaitteen ominaisuudesta, joka pitäisi joissakin tilanteissa ottaa huomioon. Hyvin tavallinen esitysmuoto on juuri käyrä, kuten kuvassa 3.4., kun toinen muuttuja on aika. Kuvan 3.4. tapauksessa oli kysymyksessä lyhyt fysiologisen mittauksen aika, 5 s. Kuvassa 3.5. on esimerkki Suomen väestötilastotiedoista 900 luvulla. ästä huomaa selkeästi monia kyseistä ilmiötä koskevia seikkoja. 3. luku 88

6 Fertility indeces by age Fertility index Kuvassa 3.6. on vielä yksi esitys, jossa on väestötietoja. Siinä on yhdistetty kahden samankaltaisen muuttujan (naiset ja miehet) tiedot, jotka sinänsä ovat yhden muuttujan (ihminen) tietoja, histogrammeja Kuva 3.5. Suomen väestötilastoja 900 luvulta: hedelmällisyysluvut (syntynyttä lasta / 000 naista) keskimäärin viiden vuoden ikäjaksoryhmittäin. Huomaa syntyvyyden väheneminen ja sotaaikojen vaikutus Year Graafiset esitykset minkälaisia ne ovatkaan kannattaa suunnitella tarkkaan, jotta niistä saa hyvän ja oikeellisen kuvan, mitä data sisältää ja tämän mahdollisia piirteitä ja rakenteita. 3. luku luku 90 Age distribution in Finland in ,000 00,000 00, Male Female Kuva 3.6. Suomen väestötietoja: väestöpyramidi. Huomaa keskiikäisten suhteellisen suuri määrä ja naisten hienoinen enemmistö, joka johtuu miesten matalammasta keskimääräisestä eliniästä Age group 3.5. Kahta useamman muuttujan esittäminen Kun visuaalisia kuvauksia on esitettävä tasolla, kuten kuvaruutu tai paperi, voidaan pohjimmiltaan luonnollisella tavalla esittää vain yksi tai kaksiulotteisia kuvauksia. Korkeampiulotteiset kuvaukset on tavalla tai toisella epäsuorasti saatava aikaan. Kysymys on jonkinlaisesta projektiosta. Edellä esitettiin sirontakuvan idea. Sitä voidaan laajentaa kullekin muuttujaparille muuttujien joukosta, jolloin saadaan sirontakuvamatriisi. Siinä ei luonnollisestikaan ole halkaisijalla kuvauksia. Esimerkkinä voisi olla kuvan 3.7. kaltainen, jossa on sirontakuvat pareittain muuttujien kuvauksina. Näistä voisi sitten olla osa keskenään voimakkaasti korreloivia ja osa kenties heikommin. 3. luku 9 3. luku 9

7 v v v 3 v Sirontakuvamatriisi ei ole oikeasti monimuuttujaesitys, vaan usean kaksimuuttujaisen esityksen kokoelma. ällainen projektio luonnollisesti kadottaa jotakin informaatiota. v v 3 Kuva 3.7. Sirontakuvamatriisi, jossa sirontakuvat on muodostettu kaikille muuttujien {v,v,v 3 } pareille. Ristikkopiirroksessakin (trellis plot) käytetään useita kahden muuttujan kuvauksia. ällöin kiinnitetään jokin tietty muuttujapari, jota on tarkoitus kuvata, ja annetaan sarja sirontakuvia (myös muut tyypit soveltuvat, kuten histogrammit, aikasarjat yms.) yhden tai useamman muun muuttujan suhteen. Kuvassa 3.8. on luonnos tällaisesta. Myös ikoneita voidaan käyttää kuvaamaan monimuuttajakuvausta. Ne ovat pieniä diagrammeja, joissa eri piirteiden merkitys on kuvattu määrättyjen muuttujien arvoilla. ähtiikonit ovat tavallisimpia, joissa eri suunnat origosta nähden vastaavat eri muuttujia ja näihin suuntiin projisoitujen säteiden pituudet vastaavat muuttujien arvoa. 3. luku luku 94 miehet naiset ikä 9 4 vuotta v v Rinnakkaisten koordinaattien piirros esittää muuttujat rinnakkaisina akseleina ja jokaisen tapauksen paloittain lineaarisena kuvauksena yhdistäen tapauksen mittausarvot. Kuva 3.9. on esimerkki tällaisesta. v v Esityksissä voidaan käyttää myös värejä kuvaamaan jotain ominaisuuksia. ikä 8 8 vuotta v v Kuvassa 3.0. on vielä yksi kuvaus, jossa käyrä on edennyt ajan mittaan tasossa muodostaen lopulta vyyhdin esittäen koehenkilön tasapainon ylläpitämistä eli massakeskipisteen paikkaa ajan mittaan origon suhteen. v Kuva 3.8. Ristikkokuvaus koehenkilöiden tiedoista, jossa ikä on kiinnitetty kahteen ryhmään ja toisaalta on kiinnitetty sukupuoleen. v 3. luku 95 Kuva liittyy imo ossavaisen virtuaalitodellisuusmenetelmien tutkimukseen tasapainotutkimuksia varten. 3. luku 96

8 lukema 4 lukema 3 lukema lukema min max Kuva 3.9. Rinnakkaisten koordinaattien piirros, jossa kuvataan usean koehenkilön (murtoviivat) datoja perättäisten mittauskertojen kuluessa. 3. luku 97 Kuva 3.0. ässä on mitattu koehenkilön huojumista eli tasapainon ylläpitämistä seistessä (60 s). Mittaus on tehty voimalevyllä, joka mittaa koehenkilön heilumista sivusuunnassa (X) sekä etu ja takasuunnassa (Y). Koehenkilö on koko mittauksen ajan ollut jonkin verran oikealle vinossa, koska käyrä on selvästi origosta oikealle. 3. luku Pääkomponenttianalyysi Edellä tarkastellut menetelmät kuvasivat pohjimmiltaan vain kahden muuttujien välisiä suhteita, vaikka olivat yhdistettyjä laajaan kokonaisuuteen. ällöin monimutkaisemmat suhteet saattaisivat jäädä osin havaitsematta. Projektiot eri suuntiin tehtyinä (määriteltyinä joillakin painotetuilla lineaarisilla kombinaatioilla) ovat hyödyllisiä esittämään monimutkaisia kuvauksia. Vain muutaman muuttujan ollessa kyseessä kiinnostavat piirteet voivat olla löydettävissä manuaalisella käsittelyllä kiertämällä datajakaumaa avaruudessa. Muuttujien määrän kasvaessa tarvitaan tehokkaita laskentamenetelmiä. On määriteltävä, mikä on kiinnostava projektio, jotta se voidaan hakea algoritmisesti. Laskennallisesti tahokas eksplisiittinen ratkaisu on löydettävissä eräälle tietylle määritelmälle, mitä tulee kiinnostavalle suunnalle. ämä saadaan haettaessa projektio tietylle kaksiulotteiselle tasolle, jolle erotusten neliösumma datapisteiden ja näiden projektioiden tasolla välillä on pienempi kuin minkä muun projektiotason tahansa ollessa kysymyksessä ässä tarkastellaan kaksiulotteista projektiotasoa yksinkertaisuuden vuoksi, mutta yleisesti k ulotteinen taso on yhtä käyttökelpoinen ( k p, p alkuperäinen dimensio). ason voidaan osoittaa olevan () lineaarikombinaation virittämä, jonka muuttujilla on maksimiotosvarianssi, ja () lineaarikombinaation virittämä, jolla on maksimivarianssi, mutta joka ei korreloi edellisen lineaarikombinaation suhteen. ässä kiinnostavuus määritellään maksimivaihtelevuuden suhteen. 3. luku luku 00

9 Prosessia voidaan luonnollisesti jatkaa hakemalla lisää lineaarikombinaatioita, jotka maksimoivat varianssia ollen korreloimatta jo valittujen suhteen. Jos käy hyvin, löydetään pieni määrä sellaisia komponentteja, jotka kuvaavat datan melko tarkasti. Päämääränä on saada esiin datan sisäinen vaihtelevuus. ämä on hyvin hyödyllistä pyrittäessä pienentämään datajoukon dimensiota joko sen tulkinnan helpottamiseksi tai keinona välttää ylisovitus ja käyttää menettelyä esiprosessointina ennen varsinaista analyysia. Olkoon X n p datamatriisi, jossa rivit vastaavat tapauksia (rivi on datavektori x() ja sarakkeet muuttujia. arkkaan ottaen matriisin i:s rivi on i:nnen datavektorin x( transpoosi x, koska nämä on tapana esittää nimenomaan sarakevektoreina. Oletetaan lisäksi X:n keskiarvon lasketun niin, että kukin muuttuja on suhteessa kyseisen muuttujan otoskeskiarvoon (siis estimoitu keskiarvo on vähennetty kunkin sarakkeen arvoista). Olkoon a projektion painoarvojen p sarakevektori (vielä tuntematon), joka johtaa suurimpaan varianssiin, kun data X projisoidaan vektorille a. Minkä tahansa erityisen datavektorin x projektio on oheinen lineaarikombinaatio. p a x = a j x j j= Kaikkien X:n datavektorien projektioarvot a:lla voidaan ilmaista tulona Xa, josta tulee projektioarvojen n sarakevektori. Varianssi vektorin a suhteen on määriteltävissä niin ikään σ ( Xa) ( Xa) a X Xa a a = = = Va, 3. luku 0 3. luku 0 missä V=X X on datan p p kovarianssimatriisi (X:llä on 0 keskiarvo), kuten luvussa määriteltiin. äten yo. varianssi (skalaari, jota halutaan maksimoida) on ilmaistavissa sekä a:n että datan kovarianssimatriisin V funktiona. ämä varianssin maksimointi ei ole suoraan hyvin määritelty, sillä varianssia voitaisiin kasvattaa rajatta kasvattamalla yksinkertaisesti a:n komponentteja. ätä varten määritellään rajoitukseksi a:n normalisointi, jolloin on a a=. Normalisointirajoituksella voidaan optimointiongelma kirjoittaa maksimoiden suuretta u = a Va λ( a a ), missä on Lagrangen kerroin. Osittaisderivoimalla tämä suhteen saadaan u = Va λ a = 0, a joka sieventyy tuttuun ominaisarvomuotoon ( V λ I) a = 0. a:n Ensimmäinen a:n pääkomponentti on ominaisvektori, joka liittyy kovarianssimatriisin V suurimpaan ominaisarvon. oinen pääkomponentti (ortogonaalinen ensimmäiseen nähden, jolla on suurin projisoitu varianss V:n toiseksi suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori ja yleisesti sama pätee k:nnelle pääkomponentille. 3. luku luku 04

10 Käytännössä on monesti tarpeen saada projektio useampaan kuin kahteen dimensioon. (Kahdella on silti merkityksensä visualisoinnissa avaruuden ollessa alunpitäen pienidimensioinen.) Jos datalle lasketaan projektio k ensimmäiselle ominaisvektorille, projektioiden varianssi on ilmaistavissa summana k j= j, missä j on j:s ominaisarvo. Neliövirhe datamatriisin X approksimoinnin suhteen on vastaavasti ilmaistavissa seuraavalla osamäärällä käyttäen vain k ensimmäistä ominaisarvoa p λ j j= k+. p λ l l= Sopivan arvon k valitsemiseksi kasvatetaan tavallisesti sitä, kunnes riittävän pieni neliövirhearvo saavutetaan. Suuridimensioisessa tapauksessa, jos muuttujat korreloivat voimakkaasti keskenään, on mahdollista saada melko pienellä määrällä pääkomponentteja, esim. 5 tai 0, 90 % datan varianssista. Heikommin korreloiville muuttujille tilanne on tietysti merkittävästi huonompi, ja selitys voi olla vain 40 tai 60 % ensimmäisille pääkomponenteille. Hyödyllinen visuaalinen kuvaus on scree piirros, joka esittää peräkkäisten vähenevien ominaisarvojen selittämän varianssin osuuden. Kuva 3.. on luonnos sellaisesta, joka esitettäisiin sekä korrelaatiomatriisille että kovarianssimatriisille. 3. luku luku varianssin selitetty osuus Kuva 3.. on Jorma Laurikkalan tutkimuksesta inkontinenssidatalla. Aineistossa oli alunperin 5 muuttujaa, joista valittiin 8 tilastollisesti tärkeintä (muutamissa paljon puuttuviakin arvoja) oheiseen pääkomponenttianalyysiin. 5 ominaisarvot Pääkomponenttien laskenta suoraan ominaisarvoyhtälöistä käsittää aikakompleksisuuden O(np + p 3 ), joista edellinen tekijä tulee matriisin V laskennasta ja jälkimmäinen ominaisarvoyhtälöiden laskennasta. ämä tarkoittaa, että menetelmää voidaan hyvin soveltaa melko suurille tietuemäärille n, mutta kohtuullisen pienille muuttujamäärille (dimensio) p. Muunkinlaisia menetelmiä laskea pääkomponentit on olemassa. Kuva 3.. Scree kuva (luonnos). 3. luku luku 08

11 Dimension Dimension Dimension (a) Dimension (b) Kuva 3.. (a) Alkuperäisestä datasta lasketut kaksi ensimmäistä pääkomponenttia (akselit) ja (b) kun ensin kohinaiset ja poikkeavat tapaukset oli poistettu, samaa dataa käyttäen saadut kaksi ensimmäistä pääkomponenttia. Mustat neliöt tarkoittavat normaaleja (terveitä) ja muut neljän eri tautiluokan tapauksia. 3. luku 09

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Kvantitatiiviset menetelmät

Kvantitatiiviset menetelmät Kvantitatiiviset menetelmät HUOM! Tentti pidetään tiistaina.. klo 6-8 Vuorikadulla V0 ls Muuttujien muunnokset Usein empiirisen analyysin yhteydessä tulee tarve muuttaa aineiston muuttujia Esim. syntymävuoden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KAKSIULOTTEISEN EMPIIRISEN JAKAUMAN TARKASTELU Jatkuvat muuttujat: hajontakuvio Koehenkilöiden pituus 75- ja 80-vuotiaana ID Pituus 75 Pituus 80 1 156

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat:

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat: Yleistä Tilastoapu on Excelin sisällä toimiva apuohjelma, jonka avulla voit analysoida tilastoaineistoja. Tilastoapu toimii Excelin Windows-versioissa Excel 2007, Excel 2010 ja Excel 2013. Kun avaat Tilastoavun,

Lisätiedot

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen >> Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN

Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Risto Taipale 20.9.2013 1 Tehtävä 1 Erään lämpömittarin vertailu kalibrointistandardiin antoi keskimääräiseksi eroksi standardista 0,98 C ja eron keskihajonnaksi

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Tarkasteluja lähtötason merkityksestä opintomenestykseen. MAMK:n tekniikassa

Tarkasteluja lähtötason merkityksestä opintomenestykseen. MAMK:n tekniikassa 1 Tarkasteluja lähtötason merkityksestä opintomenestykseen MAMK:n tekniikassa 2 1. Tutkimuksen perusteita Tekniikan alalle otetaan opiskelijoita kolmesta eri lähteestä : -ammattitutkinnon suorittaneet

Lisätiedot

Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja. Aki Taanila 2.2.2011

Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja. Aki Taanila 2.2.2011 Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja Aki Taanila 2.2.2011 1 Tilastokuviot Pylväs Piirakka Viiva Hajonta 2 Kuviossa huomioitavia asioita 1 Kuviolla tulee olla tarkoitus ja tehtävä (minkä tiedon haluat välittää

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä. Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3.

Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä. Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3. Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3.2009 Tietosuoja - lähtökohdat! Periaatteena on estää yksiköiden suora

Lisätiedot

Otannasta ja mittaamisesta

Otannasta ja mittaamisesta Otannasta ja mittaamisesta Tilastotiede käytännön tutkimuksessa - kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Aineistot Kvantitatiivisen tutkimuksen aineistoksi kelpaa periaatteessa kaikki havaintoihin perustuva informaatio,

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Luento 6: 3-D koordinaatit

Luento 6: 3-D koordinaatit Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen

Lisätiedot

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä!

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä! VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun

Lisätiedot

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I AA 1.2 Sähkömittauksia Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk.

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I AA 1.2 Sähkömittauksia Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. TTY FYS-1010 Fysiikan työt I 14.3.2016 AA 1.2 Sähkömittauksia 253342 Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk. 246198 Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. Sisältö 1 Johdanto 1 2 Työn taustalla oleva teoria 1 2.1 Oikeajännite-

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Ajankäyttötutkimuksen satoa eli miten saan ystäviä, menestystä ja hyvän arvosanan tietojenkäsittelyteorian perusteista

Ajankäyttötutkimuksen satoa eli miten saan ystäviä, menestystä ja hyvän arvosanan tietojenkäsittelyteorian perusteista Ajankäyttötutkimuksen satoa eli miten saan ystäviä, menestystä ja hyvän arvosanan tietojenkäsittelyteorian perusteista Harri Haanpää 18. kesäkuuta 2004 Tietojenkäsittelyteorian perusteiden kevään 2004

Lisätiedot

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin

Lisätiedot

TyEL-kuolevuusperusteesta

TyEL-kuolevuusperusteesta TyEL-kuolevuusperusteesta 26.5.2015 29.5.2015 Kuolevuusperusteesta Tuomas Hakkarainen 1 Tarve kuolevuusperusteelle TyEL-vakuutuksessa Työnantajan eläkevakuutuksen vanhuuseläkevastuut ovat pitkäikäisiä,

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

naaraat < read.table('http://cs.joensuu.fi/pages/whamalai/dm13/naaraatvalikoitu.csv', head=t, sep=',')

naaraat < read.table('http://cs.joensuu.fi/pages/whamalai/dm13/naaraatvalikoitu.csv', head=t, sep=',') naaraat < read.table('http://cs.joensuu.fi/pages/whamalai/dm13/naaraatvalikoitu.csv', head=t, sep=',') printf < function(...) { print(sprintf(...)) c_by_method < NULL # Listataan ne muuttujaparit, joilla

Lisätiedot