VILLE RÄISÄNEN MAGNETOKVASISTAATTISEN PEEC-MENETELMÄN LUO- TETTAVUUSKARTOITUS

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "VILLE RÄISÄNEN MAGNETOKVASISTAATTISEN PEEC-MENETELMÄN LUO- TETTAVUUSKARTOITUS"

Transkriptio

1 TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma VILLE RÄISÄNEN MAGNETOKVASISTAATTISEN PEEC-MENETELMÄN LUO- TETTAVUUSKARTOITUS Painoon lähtenyt vedos diplomityöstä Tarkastaja: Saku Suuriniemi Tarkastaja ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden ja ympäristötekniikan tiedekuntaneuvoston kokouksessa

2 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma VILLE RÄISÄNEN: Magnetokvasistaattisen PEEC-Menetelmän luotettavuuskartoitus Diplomityö, 78 sivua, 10 liitesivua Toukokuu 2009 Pääaine: Sähköfysiiikka Tarkastaja: Saku Suuriniemi Avainsanat: PEEC, Virhelähteet, Piirisimulaatiot Osittaiselementtiekvivalenttipiiri(PEEC)-menetelmät ovat integraalioperaattoreille perustuvia Galerkin-menetelmiä, joissa sähkökenttäintegraaliyhtälön(efie) sisätulot virtakantafunktioiden kanssa ovat tulkittavissa ekvivalenttipiirin haaroina tai silmukoina. Menetelmät mahdollistavat geometrialtaan monimutkaisten johdin- ja eristerakenteiden palauttamisen ekvivalenttipiireiksi, joita voidaan simuloida yhdessä rakenteiseen liitetyn elektroniikan kanssa yleiskäyttöisillä piirisimulaattoreilla kuten SPICE. Näin saadaan huomioitua järjestelmässä tapahtuvia induktiivisia, kapasitiivisia, resistiivisiä ja aaltoilmiöitä Toisaalta PEEC:n koon kasvaessa ekvivalenttipiirin simuloiminen käy nopeasti hyvin raskaaksi, koska jokaisen virta-alkioparin välillä esiintyy keskinäisinduktanssia. Piiriä voidaan kuitenkin yksinkertaistaa esimerkiksi muodostamalla ekvivalenttipiiri, joka täsmää PEEC:n käyttäytymiseen kytkentäterminaaleista nähden yksittäisellä taajuudella. Koska PEEC-mallien verkotukseen ei yleensä ole käytössä valmiita algoritmeja, jää mallintajan tehtäväksi huomioida monia tekijöitä virta- ja varausalkioita valittaessa. Myös PEEC:llä mallinnettava järjestelmän osa on valittava huolellisesti ja yksinkertaistettujen ekvivalenttipiirien luominen edellyttää erityistä varovaisuutta. Olemme pyrkineet kartoittamaan virhelähteitä magnetokvasistaattisissa PEEC-malleissa ja tuottamaan toimintaohjeita, joilla näitä virheitä voidaan välttää.

3 III ABSTRACT TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Degree Programme in Science and Engineering VILLE RÄISÄNEN: Reliability assessment of a magnetoquasistatic PEEC method Master of Science Thesis, 78 pages, 10 Appendix pages May 2009 Major: Electromagnetics Examiner: Saku Suuriniemi Keywords: PEEC, Error sources, Circuit simulations Partial Element Equivalent Circuit(PEEC)-methods apply the Galerkin-method to produce an equivalent circuit, where inner products of the Electric Field Integral Equation(EFIE) with different current basis functions can be interpreted as circuit branches or loops. This allows one to convert geometrically complicated conductor and dielectric structures into equivalent circuits, which can be simulated together with electronics connected to these structures in a circuit simulator such as SPICE. As the size of the PEEC increases, the computational time required also increases very quickly, because in the PEEC every pair of current basis elements corresponds to a mutual inductance. However equivalent circuits can be simplified by replacing the PEEC with a circuit that matches to the functionality seen from the terminals of the PEEC at a single frequency. Because automatic meshing algorithms are usually not available for PEEC, one must take into account many different aspects when choosing current and charge basis functions. Moreover, choosing the part of the system to model with PEEC and creating the simplified equivalent circuit require care. In this work one of our goals has been to study error sources in magnetoquasistatic PEEC-modeling and advice to avoid these errors.

4 IV ALKUSANAT Tämä työ on tehty Tampereen teknillisen yliopiston entisen sähkömagnetiikan, nykysen elektroniikan, laitoksella elokuun 2008 ja huhtikuun 2009 välisenä aikana laskennallisen sähkömagnetiikan ryhmässä. Haluan ensiksi kiittää työn ohjaajaa Saku Suuriniemeä, joka jaksoi kuunnella ja vastata usein hyvin sekaviin kysymyksiini. Lisäksi kiitän laitoksen väkeä hyvän työpisteen ja erinomaisen leppoisan työilmapiirin tarjoamisesta. Haluan myös erityisesti kiittää äitiäni, joka jaksoi kuunnella valitustani stressistä ja tukea minua hermoromahdusteni aikana. Tampereella Ville Räisänen

5 V SISÄLLYS 1. Johdanto PEEC-menetelmä PEEC-mallien luokittelu Menetelmän historia ja tutkimus Työn rakenne PEEC magnetokvasistatiikassa Maxwellin yhtälöt, EFIE ja kenttätehtävän muotoilu Elementteihin jako Osittaisinduktanssit (L p,r)-peec osana piiriä Piiriteoria Formalismi Aliverkot PEEC Porttimuotoilu Galvaaninen erotus PEEC:ssä PEEC:n yksinkertaistaminen yksittäisellä taajuudella Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa Virranahto Virranahto johtimissa Virta-alkioiden jako osiin Yksittäisen virta-alkion esimerkkitapaus Filamenttiapproksimaatio Virta-alkioiden parametrien virheet Resistanssi Osittaiskeskinäisinduktanssi Osittaisitseinduktanssi Yleisemmät PEEC-mallit Kapasitanssi sähköstatiikassa (P)-PEEC Paneelijoukot Ortogonaalisten johdinrakenteiden (L p,r,p,τ)-malli Elementteihin jako Varausalkioiden valinta Eristemateriaalien mallintaminen (L p,r,p,τ)-mallin laajennus epäortogonaalisiin rakenteisiin Model Order Reduction

6 VI 5.6 PEEC-menetelmää hyödyntävät ohjelmistot FastHenry, FastCap ja ConvertHenry LTU - UAQ PEEC-koodi Kaupalliset ohjelmistot Simulaatioita Bondilangat Bondilankamalli Hakkuriregulaattorin kytkeytyminen spiraalimaiseen käämiin Yhteenveto Lähteet A.Liite A.1 Lineaarisen verkon karakterisointi A.2 Riittävä jako virranahdon huomioimiseksi A.3 Rinnakkaisten filamenttien osittaiskeskinäisinduktanssin johto B.Liite C.Liite

7 VII TERMIT JA SYMBOLIT Maxwellin yhtälöt, EFIE ja kenttätehtävän muotoilu Γ e Ω, Ω Tehtäväalue, jolle ekvivalenttipiiri muodostetaan sekä sen komplementti, joka sisältää ulkoisen piirin. Johdinten leikkaama osa Ω:n reunasta Ω. Ẽ, H Sähkökenttä ja magneettikentän voimakkuus. ω ǫ, µ, σ Väliaineen sähköinen permittiivisyys, magneettinen permeabiliteetti ja johtavuus. Kulmataajuus. Ã, Φ Magneettinen vektoripotentiaali ja sähköinen skalaaripotentiaali. J,ρ Virrantiheys ja vapaan varauksen tiheys. I s Ulkoisten kytkentöjen aikaansaama korjaustermi virran jatkuvuusyhtälössä. Virrantiheyden approksimaatio Ψ EFIE:n testivektorikenttä. Ψ k Virtakantafunktio k. χ X σ k S k l k,a k,ˆl k w k J a N b R,L, Z(ω) B(r,R) Φ alku, Φ loppu V b,i b P Joukon X karakteristinen funktio. Virtakantafunktioon Ψ k liitetty johtavuus. Virtakantafunktion Ψ k kantaja. S k :n pituus ja päädyn poikkipinta-ala sekä suunnistusta kuvaava yksikkövektori. Virtakantafunktion Ψ k painofunktio. Kantafunktioiden avulla ilmaistu approksimaatio fysikaalisesta virrantiheydestä. Kantafunktioiden määrä approksimaatiossa J a ja ekvivalentisti PEEC:n P haarojen määrä. P:n haarojen resistansseja, osittaisinduktansseja sekä impedansseja taajuuden funktiona kuvaavat N b N b matriisit. Pisteen r R-säteinen palloympäristö. N b 1 vektori Φ:n keskiarvoista PEEC:n virta-alkioiden alkupäissä ja loppupäissä. N b 1 vektorit Φ:n avulla ilmaistuista jännite-eroista virta-alkioiden alku- ja loppupäiden välillä sekä virta-alkioiden kuljettamista virroista. Osittaiselementtiekvivalenttipiiri(PEEC).

8 VIII Osittaisinduktanssien tulkinta L Matriisi ohuiden silmukoiden itse- ja keskinäisinduktansseista. Θ j Tilavuuden muodostama silmukka j. C j S j Φ ij a j Φ ij L Θ i,j,a i,j Jokin silmukan Θ j ympäri kulkeva käyrä. Jokin käyrän C j rajoittama alue. Silmukan Θ j virrasta aiheutuva magneettivuo pinnan S i läpi. Silmukan Θ j poikkipinta-ala. Keskiarvo magneettivuoista, jotka on laskettu C i :n ympäristön poikkipintojen a i yli. Matriisi tilavuuksista muodostuvien silmukoiden itse- ja keskinäisinduktansseista. Silmukan Θ i alijohdin j ja sen poikkipinta-ala. Piiriteoria G Sähköverkkoa kuvaava suunnattu graafi. k Komponenttien kokonaismäärä verkossa. n i,b i,m i Solmujen, haarojen sekä lineaarisesti riippumattomien silmukoiden määrä komponentissa i. n, b, s, m Solmujen, haarojen, lähdehaarojen sekä lineaarisesti riippumattomien silmukoiden kokonaismäärä verkossa. A,B Verkon liittyvä n b insidenssimatriisi ja m b piirimatriisi. V,I Verkon haarajännitteiden ja -virtojen b 1 vektorit. I z,i g Verkon haarojen impedanssi- ja lähdevirtojen b 1 vektorit. V z,v g Verkon haarojen impedanssi- ja lähdejännitteiden b 1 vektorit. V s,i m Verkon silmukoiden lähdejännitteiden ja silmukkavirtojen m 1 vektorit. G k Verkon G aliverkko k.

9 IX t V t,i t Y t,z t T (P) Tij,T I ij V Verkon terminaalien määrä. Porttiteoria Terminaalien välisten porttijännitteiden ja terminaalipareihin liitettyjen testilähteiden läpikulkevien porttivirtojen vektorit. Porttijännitteitä ja -virtoja sitova admittanssi- ja impedanssimatriisit. PEEC:n P porttivalinnoista muodostettu suunnattu graafi. Muunnosmatriisit porttivirtojen ja -jännitteiden eri esitysten i ja j välillä. P(ω) PEEC:stä P muodostettu yksinkertaistettu kytkentä taajuudella ω. J 0,δ V,P d,r, I n w,n h α w,α h w,h,w 0 β N I 1,R 1 Virranahto Virrantiheyden J suuruuden määräävä kerroinskalaari ja tunkeutumissyvyys tarkasteltaessa puoliavaruuden virranahdon määräämää virrantiheyttä. Tarkasteltavaa johdinta kuvaava tilavuusjoukko, johtimessa tapahtuva resistiivinen häviöteho, johtimen resistanssi sekä johtimessa kulkeva virta. Virta-alkion jakojen määrä vaaka- ja pystysuunnissa. Virta-alkion alialkioiden leveyden ja korkeuden muutoskertoimet siirryttäessä reunimmaisesta yksi alkio sisäänpäin vaaka- tai pystysuunnassa. Virta-alkion kokonaisleveys, kokonaiskorkeus ja ohuimman alialkion leveys. Jaon tiheyttä määritettäessä vaadimme ohuimman alkion olevan leveydeltään korkeintaan βδ, missä δ on tunkeutumissyvyys. Välttämättömän tiheälle jaolle n w = 2N + 1, missä N saadaan yhtälöstä (4.7). Yksittäisen sivun osuus virta-alkion kokonaisvirrasta ja yhtälöllä (4.4) lasketusta resistanssista.

10 X V i,v im, a i,a im M,N C im L f i mj n Filamenttiapproksimaatio Virta-alkiota i ja sen alíalkiota i m kuvaavat tilavuusjoukot ja poikkipinta-alat. Virta-alkion V i ja V j alialkioiden määrä. Alialkion V im keskellä kulkeva käyrä. Filamenttien i m ja j n osittaisinduktanssi. Virta-alkioiden parametrien virheet σ,a,w,h Virta-alkion johtavuus, poikkipinta-ala, leveys ja korkeus. l,d,l 0,d 0, Rinnakkaisten filamenttien pituus ja välimatka sekä ne pituudet ja l, d välimatkat, joiden ympäristössä arvioimme virhettä muutoksilla l ja d. M Rinnakkaisten filamenttien keskinäisosittaisinduktanssi. L(w, t, l) Virta-alkion osittaisitseinduktanssi alkion leveyden w korkeuden t = h ja pituuden l funktiona. Kapasitanssi sähköstatiikassa D Sähkövuon tiheys. φ Sähköstaattinen skalaaripotentiaali. S j,a j Varausalkiota kuvaava pintajoukko ja sen pinta-ala. U Varausjakaumaan varastoitunut sähköstaattinen potentiaalienergia. q, ρ, φ Varausalkioiden varauksien, varaustiheyksien sekä keskipisteiden sähköstaattisten potentiaalien vektorit. P, C Varausalkioiden potentiaalikertoimien ja kapasiitivisten kertoimien N N matriisit. V cj Varausalkion j pseudokapasitanssin ylioleva jännite. c Täyden kapasitanssien verkon ekvivalenttipiirin kapasitanssien N N matriisi.

11 XI J a,ã a Ortogonaalisten johdinrakenteiden (L p,r,p,τ)-malli Approksimaatio virrantiheydestä sekä approksimaatiota vastaava magneettinen vektoripotentiaali. Ψ j,i j,n b Virtakantafunktio j, sen aikariippuvuuden määräävä kerroin sekä V j,a I j,ˆl j ρ a, Φ a Γ j,q j, N n S j,a Q j t I i,t Q i t I ij,t QI ij V Ri,V Li, V Ci R i,l ij P [i±]j,p ij (i±) U (L) i U (C) i v ci kantafunktioiden määrä. Virtakantafunktion j kantaja, poikkipinta-ala ja kantafunktion kuljettaman virran suuntainen yksikkövektori. Approksimaatio varaustiheydestä ja approksimaatiota vastaava sähköinen skalaaripotentiaali. Varauskantafunktio j, sen aikariippuvuuden määräävä kerroin ja kantafunktioiden määrä. Varauskantafunktion j kantaja ja pinta-ala. Viivästys virta-alkion i sekä varausalkion i keskipisteen ja pisteen r välillä. Viivästys virta-alkioiden i ja j keskipisteiden välillä sekä varausalkion i ja virta-alkion j keskipisteiden välillä. Virta-alkiota i vastaavan silmukan jännitteiden resistiivinen, induktiivinen ja kapasitiivinen osa. Virta-alkion i resistanssi ja osittaisinduktanssi virta-alkion j kanssa. Potentiaalikerroin virta-alkion i ±ˆl i -suuntaisen päädyn ja varausalkion j välillä sekä varausalkioiden i ja j välillä. Virta-alkion i ±ˆl i -suuntaisessa päässä oleva varausalkio. Virta-alkion i osittaiskeskinäisinduktansseja kuvaava ekvivalenttilähde, jota ohjaa viivästyneet virrat. Varausalkiota i vastaava kapasitiivista kytkeytymistä kuvaava ekvivalenttilähde, jota ohjaa viivästyneet varaukset. Varausalkion i pseudokapasitanssin ylioleva jännite. J C, J P ρ B,ρ F C + Eristemateriaalien mallintaminen Johtumis- ja polarisaatiovirta. Sidottu ja vapaa varaus. Excess-kapasitanssi.

12 XII Bondilankamalli N B,N b Bondilankojen ja virta-alkioiden bondilangoissa kokonaismäärä. C Bondilangat virta-alkioihin yhdistävä matriisi. J Bondilankojen virtoja kuvaava vektori. V s,i Jännitelähteen lähdejännite ja lähteen läpi kulkeva virta ekvivalenttilaatan mitoitukseen käytettävässä testikytkennässä. Z, R, L Ekvivalenttilaatan impedanssi, resistanssi ja osittaisitseinduktanssi. l,w,h Ekvivalenttilaatan pituus, leveys ja korkeus.

13 1 1. JOHDANTO Usein mallinnettavassa järjestelmässä on johdinrakenteita, joiden toiminta kokonaisuuden kannalta on idealisoitavissa tai helposti mallinnettavissa yksinkertaisilla piirimalleilla. Toisaalta taajuuksien noustessa järjestelmän eri osien kasvava induktiivinen ja kapasitiivinen kytkeytyminen yhdessä monimutkaisten geometrioiden kanssa tekevät rakenteiden tarkasta mallintamisesta kenttämallia käyttäen entistä tärkeämpää. Elementtimenetelmä on vakiintunut työkalu tämäntyyppisten tehtävien ratkaisuun, mutta on käyttäjälle sekä laskennallisesti usein liian raskas. PEEC-menetelmät vastaavat muodostuneeseen tarpeeseen tarjoamalla tavan palauttaa osia järjestelmästä piirimalleiksi, joita voidaan simuloida yhdessä muun järjestelmän kanssa piirisimulaattoreissa. 1.1 PEEC-menetelmä Piiritehtävissä ratkomme sähköverkoista haarajännitteitä ja -virtoja soveltamalla Kirchoffin lakeja sekä haarajännitteiden ja -virtojen yhteyksiä kuvaavia relaatioita. Kenttätehtävissä ratkomme yleensä sähkö- ja magneettikenttiä soveltamalla Maxwellin yhtälöitä ja väliaineyhtälöitä. Yhdistetyissä piiri-kenttätehtävissä eri osia mallinnettavasta järjestelmästä mallinnetaan piiri- ja kenttäsuurein. Tässä työssä käsittelemme menetelmiä, joilla tietyt kenttätehtävät voidaan palauttaa piiritehtäviksi muodostamalla ns. osittaiselementtiekvivalenttipiiri(peec). PEEC:tä tai yhdistetyssä tehtävässä PEEC:n ja ulkoisen piirin yhdistelmää voidaan tällöin simuloida piirisimulaattoreilla. 1.2 PEEC-mallien luokittelu Erilaisten PEEC-mallien luokitteluun on käytössä notaatio, jolla ilmaistaan mitä ilmiöitä PEEC-mallilla pyritään mallintamaan. Merkitsemme (L p,r,p,τ), jos malliin sisällytetään jollain tavoin 1. L p, järjestelmän kyky varastoida energiaa magneettikenttään(induktiivinen ilmiö). 2. P, järjestelmän kyky varastoida energiaa sähkökenttään(kapasitiivinen ilmiö).

14 1. Johdanto 2 3. R, järjestelmän kyky muuttaa sähkömagneettista energiaa esimerkiksi lämmöksi(resistiivinen ilmiö). 4. τ, aaltoilmiöön liittyvät viiveet, jotka huomioidaan viivästyneillä potentiaaleilla. PEEC:ssä induktiivisia, kapasitiivisia ja resistiivisiä ilmiöitä tullaan mallintamaan vastaavasti induktanssein, kapasitanssein ja resistanssein. Notaatio siis viittaa myös ekvivalenttipiirissä esiintyvien piirialkioiden tyyppeihin. Tässä työssä keskitymme pääosin (L p,r)-malleihin, joita soveltaa mm. laajasti käytetty FastHenry-ohjelmisto[29]. Merkkien P ja τ puuttuminen merkinnästä (L p,r) ilmaisee nyt, ettei FastHenry mallinna kapasitiivisia ilmiöitä ja jättää viivästykset huomiotta. Kyse on magnetokvasistatiikasta. Esittelemme lyhyesti myös (P)-sekä (L p,r,p,τ)-mallit johdinrakenteille. 1.3 Menetelmän historia ja tutkimus PEEC-menetelmät pohjautuvat sähkökenttäintegraaliyhtälön(efie) ja virranjatkuvuusyhtälön parin ratkaisuun Galerkin-menetelmällä. Johdin- ja eristerakenteita mallinnetaan virrantiheyttä esittävillä tilavuusalkioilla ja pintavaraustiheyttä kuvaavilla pinta-alkioilla. 1 Ekvivalenttipiirissä virta-alkiot tulevat vastaamaan piirin haaroja piirin solmujen välillä. Menetelmä on lähtöisin Albert Ruehlin väitöskirjasta [9] ja sitä seuranneesta julkaisusta [10] vuodelta 1974, jossa (L p,r,p,τ)-teoria muotoillaan ortogonaalisille johdinrakenteille. Suurin osa PEEC-menetelmien kehityksestä tämän jälkeen on kuitenkin tapahtunut vasta 1990-luvun alun jälkeen, joten PEEC-menetelmät ovat varhaisessa kehitysvaiheessa verrattaessa muihin sähkömagnetiikan mallinnusmenetelmiin [18]. PEEC-menetelmille ei ilmeisesti ole tällä hetkellä olemassa suppenemistuloksia tai virherajoja, jotka takaisivat tulosten luotettavuuden valittaessa alkiot tietyllä tavoin. Lisäksi tämänhetkiset ohjelmistot eivät ole hyviä luomaan automaattisesti PEEC:lle sopivia alkiovalintoja[18]. Magnetoituvien materiaalien PEEC-mallia ei myöskään ilmeisesti löydy, vaikka lineaarisia ja ferromagneettisia magnetoituvia materiaaleja voidaan mallintaa yhdistämällä PEEC FEM-ratkaisijaan[24], [35]. 1.4 Työn rakenne Työn taustalla on ollut erityinen kiinnostus vapaasti saatavilla olevaan FastHenryohjelmistoon, joten kappaleessa 2 pyrimme esittämään ohjelmiston taustalla olevan 1 Käytämme tässä työssä alkio-sanaa viittaamaan sekaisin kantafunktioon, sen kantajaan ja approksimaatioon, joka saadaan kertomalla kantafunktio skalaarilla

15 1. Johdanto 3 magnetokvasistaattisen (L p,r)-teorian mahdollisimman kattavasti. Kappale pyrkii esittämään teoreettisen taustan (L p,r)-peec:n muodostamisesta yksinkertaisille johdinrakenteille. Esimerkkejä erilaisten rakenteiden PEEC:n muodostamisesta lukija voi löytää FastHenry:n mukana tulevista esimerkeistä ja dokumentaatiosta. Koska kappaleessa 2 esitetyllä tavalla muodostettu PEEC voi kuitenkin olla liian suuri simuloitavaksi osana ulkoista piiriä, kappaleessa 3 esitämme FastHenryn tarjoaman menetelmän PEEC:n yksinkertaistamiseksi. Kappaleessa 4 käymme läpi (L p,r)-peec:n soveltamiseen liittyviä virhelähteitä. Teemme aluksi yhteenvedon niistä virhelähteistä, joihin olemme työssä törmänneet. Viittaamme listassa niihin työn osiin ja julkaisuihin, joissa virhelähteitä ja keinoja niiden välttämiseksi käsitellään. Tämän jälkeen käymme läpi sellaisia virhelähteitä, joita emme ole aikaisemmin käsitelleet. Kappaleessa 5 esitämme yleisemmän (L p,r,p,τ)-teorian ortogonaalisille johdinrakenteille, käymme läpi PEEC-menetelmistä tehtyä tutkimusta sekä teemme katsauksen menetelmää käyttäviin ohjelmistoihin. Kappaleessa 6 käsittelemme suorittamiamme simulaatioita, joissa olemme soveltaneet PEEC-menetelmää.

16 4 2. PEEC MAGNETOKVASISTATIIKASSA Tämän kappaleen esitys pohjautuu pääosin Mattan Kamonin väitöskirjan [28] kappaleeseen 3. Taustalla on erityinen kiinnostus vapaasti saatavaan FastHenry-ohjelmistoon, joka on implementoitu Kamonin esittämän teorian pohjalta. Pyrimme esittämään teorian mahdollisimman täydellisenä aina ekvivalenttipiirin muodostamiseen saakka. Toisin kuin Kamon, emme puutu tässä millään tavoin lineaaristen yhtälöryhmien nopeissa ratkaisuissa käytettäviin numeerisiiin menetelmiin emmekä siihen kuinka piirisimulaattorit, joissa menetelmällä luotuja ekvivalenttipiirejä simuloidaan, toimivat. Sen sijaan pyrimme tuomaan esille kaikki menetelmän taustalla tehtävät oletukset ja selvittämään kuinka ja miksi menetelmä itseasiassa toimii. 2.1 Maxwellin yhtälöt, EFIE ja kenttätehtävän muotoilu Jaamme avaruuden R 3 kahteen osaan: 1. Ω:ssa mallinnamme tehtävää käyttämällä magnetokvasistaattisia Maxwellin yhtälöitä tietyin lisäehdoin. Ω koostuu johteista upotettuna mielivaltaisiin eristemateriaaleihin. 2. Ω:n ulkopuoliselle järjestelmälle Ω käytämme piirimallia. Menetelmän tarkoituksena on muodostaa Ω:ssa sijaitsevalle osalle ekvivalenttipiiri, jota voidaan simuloida osana ulkoista piiriä piirisimulaattorissa. Emme tule mallintamaan magneettista kytkeytymistä Ω:n ja Ω:n välillä, joten virheen minimoimiseksi malli on rakennettava siten, että Ω: ja Ω vastaavat magneettisesti mahdollisimman eristettyjä osia mallinnettavasta järjestelmästä. Ω ei myöskään saa koostua erillisistä osista ellemme voi olettaa niitä magneettisesti eristetyiksi. Lähdetään liikkeelle Maxwellin yhtälöistä taajuustasossa Ẽ = jωµ H (2.1) H = jωǫẽ + J = (jωǫ + σ)ẽ (2.2) ǫẽ = ρ (2.3) µ H = 0, (2.4)

17 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 5 missä J = σẽ. Magnetokvasistaattisessa tehtävässä oletamme, että sähkökenttään varastoituva energia on mitätön. Tällöin siirtymävirta jωǫẽ on häviävä ja Ampere-Maxwellin laki palautuu muotoon H = J. (2.5) Ottamalla yhtälöstä divergenssi puolittain J = H = 0. (2.6) J kuvaa virrantiheyttä yksinomaan Ω:ssa. Koska ulkoisesta piiristä voi kuitenkin kulkeutua virtoja Ω:aan, liitämme liitoskohtiin Γ e ulkoisia virtoja. J(r) = I s (r). (2.7) Ω Kuva 2.1: Virrat I s vastaavat ulkoisten kytkentöjen Γ e kautta Ω:aan kulkeutuvia virtoja.ohuemmat viivat kuvaavat magneettisesti eristettyjä onkaloita, johon ulkoinen elektroniikka sijoitetaan. Nyt yhtälön (2.4) nojalla on olemassa vektoripotentiaali à siten, että à = µ H. (2.8) Edelleen sijoittamalla tämä Faradayn lakiin (2.1) (Ẽ + jωã) = 0. (2.9) Nyt, jos Ω:n jokainen silmukka on Ω:n jonkin pinnan reuna, on olemassa [31] skalaaripotentiaali Φ siten, että Φ = Ẽ + jωã. (2.10) Vaadimme siis, ettei Ω:n läpi kulje tunneleita. Toinen hyvä syy tälle löytyy kuvasta 2.2.

18 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 6 jω B 0 Ω B ˆn Ω = 0 Kuva 2.2: Jos Ω:ssa on tunneleita, voimme synnyttää tilanteen, jossa magneettivuo Ω:n reunan läpi on nolla, mutta järjestelmä kytkeytyy magneettisesti ulkoiseen piiriin. Skalaaripotentiaalia Φ ei tule samaistaa sähköstaattiseen potentiaaliin φ liian vapaasti. Kahden pisteen välisellä jännitteellä viittaamme sähkökentän käyräintegraaliin Ẽ d l (2.11) C 12 sellaisilla pisteiden välisillä reiteillä C 12, joilla magneettisen vektoripotentiaalin à reitin suuntainen aikaderivaatta jωã d l katoaa. Tällöin molempien skalaaripotentiaalien avulla ilmaistut potentiaalierot kuvaavat jännitettä, sillä Φ = (Ẽ + jωã) d l = Ẽ d l = φ. (2.12) C 12 C 12 Ulkoisen piirin jännitelähteet ylläpitävät jännitteitä eli sähkökentän käyräintegraaleja tällaisilla reiteillä. Oletetaan nyt, että voimme valita Ω:n siten, että à ˆn = 0. (2.13) Ω Tällöin Ω:ssa liitoskohtien välinen potentiaaliero Φ täsmää jännitelähteen ylläpitämään jännitteeseen. (2.13) on riittävä, muttei välttämätön ehto magneettiselle eristykselle B ˆn = 0. (2.14) Ω Esimerkki 1 (Magneettinen eristys) Tarkastellaan kuvan 2.3 tilannetta, jossa pinnan Ω läpi kulkeva magneettivuo muuttuu nopeasti ja ajaa Ω:n ulkopuolista piiriä. Jos nyt muodostamme ekvivalenttipiirin Ω:ssa sijaitsevalle järjestelmälle, se ei mallinna millään tavoin kytkentää Ω:n ulkopuolisen piirin kanssa. Jos vaadimme Ω:n olevan magneettisesti eristetty, tämän tyyppisiä tilanteita ei voi syntyä.

19 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 7 jω B ˆn 0 Ω Ω Kuva 2.3: Ω:lle muodostettu malli ei mallinna magneettista kytkeytymistä ulkoisen piirin kanssa. Kuinka sitten mallinnamme esimerkiksi kuvan tilannetta? Ekvivalenttipiiri muodostetaan laajemmalle alueelle Ω ja sijoitamme ulkoiset komponentit onkaloihin, joiden reunoilla voimme approksimoida muuttuvan magneettivuon pieneksi. Ω jω B ˆn 0 Ω Kuva 2.4: Sijoitamme ulkoisen piirin osat onkaloihin siten, että magneettinen kytkeytyminen niiden ja Ω:n sisältämien osien välillä on mahdollisimman pieni. Ohje 1 (Magneettinen eristys) Mallintajan on valittava PEEC:llä mallinnettava järjestelmän osuus Ω siten, ettei Ω:n ja tämän ulkopuolisen osan Ω:n välille synny merkittävää magneettista kytkeytymistä. Kyseessä on kytkeytymisen suuruudesta riippuva virhelähde, jonka täydelliseen eliminointiin riittävä keino on valita tunneliton Ω, joka on magneettisesti eristetty Ω:sta. Rajoitumme tässä työssä tarkastelemaan ei-magnetoituvia aineita, joten oletamme µ = µ 0 :n vakioksi. Amperen laista saamme yhtälön H = 1 µ 0 Ã = 1 µ 0 ( Ã) 1 µ 0 2 Ã = J. (2.15)

20 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 8 Otetaan käyttöön Coulombin mittaehto à = 0 ja lim Ã(r) = 0, (2.16) r jolloin (2.15) palautuu Poissonin yhtälöksi 2 à = µ 0 J. (2.17) Tälle löytyy ratkaisu [33] Ã(r) = µ 0 J(r ) 4π Ω r r dv. (2.18) Soveltamalla Ohmin lakia ja sijoittamalla tämän yhtälöön (2.10), saamme sähkökenttäintegraaliyhtälön(efie) johtimissa J(r) σ + jωµ J(r ) 4π Ω r r dv = Φ(r). (2.19) EFIE virranjatkuvuusyhtälön (2.7) ja järkevien reunaehtojen kanssa on riittävä yhtälöryhmä Maxwellin yhtälöiden ratkaisuun magnetokvasistaattisessa tehtävässä. Tässä kannattaa myös huomata, että magnetokvasistaattinen tehtävänmuotoilu on johtanut siihen, ettei permittiivisyys esiinny yhtälöissä millään tavoin. Esimerkki 2 (EFIE:n tulkinta) r 1 C 12 r 1 C 12 r2 (a) V r 2 (b) V Kuva 2.5: (a) C 12 mielivaltaisessa johtimessa. (b) C 12 suoran homogeenisen poikkileikkauksen omaavan johtimen päätypisteiden välillä. Integroidaan sähkökenttäintegraaliyhtälöä (2.19) käyrän C 12 yli mielivaltaisessa johtimessa V kuvan 2.5(a) tapaan C 12 J(r) σ(r) dl + µ 4π t C 12 Ω J(r ) r r dv dl + C 12 Φ(r) dl = 0. (2.20)

21 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 9 Nyt analyysin peruslauseen nojalla Φ(r 1 ) Φ(r 2 ) = C 12 J(r) σ(r) dl + µ 4π t C 12 Ω J(r ) r r dv dl. (2.21) Ensimmäinen termi oikealla on virrantiheyden ja toinen induktiivisen ilmiön aiheuttama potentiaaliero käyrällä C 12. Oletetaan C 12 :n kulkevan virran suuntaisesti homogeenista virrantiheyttä kuljettavassa suorassa johtimessa V kuvan 2.5(b) tapaan johtavuudella σ ja poikkipintaalalla a, jolloin J = I/a, missä I on johtimen kuljettama kokonaisvirta. Nyt C 12 J(r) σ(r) dl = J l σ = I l aσ = RI, (2.22) missä resistanssi R = l/aσ. Oletetaan edelleen, että muiden Ω:n johtimien virrat ovat joko V :stä hyvin kaukana tai ortogonaalisia janaan C 12 nähden. Tällöin meidän ei tarvitse huomioida V :n magneettista kytkeytymistä muihin johtimiin ja voimme kirjoittaa µ 4π t C 12 Ω J(r ) r r dv dl = I t µ 4πa C 12 V 1 r r dv dl = L I t, (2.23) missä itseinduktanssi L = µ 1 4πa C 12 V r r dv dl. Toisinsanoen EFIE:n käyräintegraali C 12 :n yli voidaan nyt kirjoittaa Φ(r 1 ) Φ(r 2 ) = RI + L I t. (2.24) Muotoillaan nyt sellainen kenttätehtävä kokonaisuudessaan, joka tulee pääpiirteiltään vastaamaan lopullista ratkaistavaa PEEC-piiritehtävää. Oletamme, että Ω:ssa sijaitseva järjestelmän osa koostuu johteista, joten johteiden leikkaus Ω:n kanssa on joukko Γ e johtimien poikkileikkauksia. Nyt, jos oletamme sähkökentän tangentiaalikomponentin ˆn Ẽ katoavan Γ e :ssä, potentiaali Φ jokaisella leikkauksella on vakio. Tällöin voimme Ω:ssa sijaitsevilla jännitelähteillä kiinnittää poikkileikkausten potentiaalit ja kentät J sekä Φ voidaan ilmeisesti ratkaista Ω:ssa. Ratkaistava kenttätehtävä voidaan siis tiivistää ryhmäksi J(r) σ + jωµ J(r ) 4π Ω r r dv = Φ(r). (2.25) J(r) = I s (r). (2.26) ˆn Ã Ω = 0, (2.27) ˆn Ẽ Γe = 0, (2.28)

22 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 10 missä Φ Γe on määrätty ja I s = 0 Γ e :n ulkopuolella. 2.2 Elementteihin jako Lähdemme ratkaisemaan tehtävää numeerisesti approksimoimalla virrantiheyttä J sopivien N b kantafunktioin Ψ 1,..., Ψ Nb lineaarikombinaationa. Kun kantafunktiot on valittu, tehtävänä on ratkaista vakiot I 1,...,I Nb siten, että approksimaatio N b J a (r) := I j Ψ j (r) J(r) (2.29) j=1 on mahdollisimman hyvä. Tämä edellyttää, että kantafunktiot tulee valita järkevästi. Tässä työssä käytämme FastHenryn tapaan kantafunktioina suorakulmaisen särmiön muotoisia vakiofunktioita Ψ i = w iˆl i, missä i = 1, 2,...,N b ja w i (r) = χ S i (r) a i. (2.30) a i on särmiön poikkileikkauspinta-ala sekä ˆl i poikkileikkaukseen nähden kohtisuora virran suuntaa ilmaiseva yksikkövektori. χ X :llä merkitään mielivaltaisen joukon X karakteristista funktiota χ X (x) = ja S i :llä on funktion Ψ i kantajaa 1. { 1, x X 0, x / X (2.31) ˆl i n b σ i a i w l i h n a w Kuva 2.6: (a) Kantafunktion kantajan muoto ja tässä käsiteltävän teorian kannalta olennaiset parametrit.(b) Riittävät parametrit kantajan asennon ja muodon kuvaamiseen. Fast- Henrylle annetaan kantajan leveys w, korkeus h, alku- ja loppupisteet n a ja n b sekä rotaatiota kuvaamaan poikkileikkauksen leveyden suuntainen vektori w. 1 Funktion kantaja on se funktion määrittelyalueen osajoukko, jossa funktion arvo poikkeaa nollasta.

23 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 11 Käytämme siis approksimaatiota N b N b J a (r) = I j Ψ j (r) = I j w j (r)ˆl j. (2.32) j=1 Nyt olemme valinneet muodon ratkaisun J a esitykselle. Seuraavaksi johdamme PEEC:n käyttäytymistä kuvaavan lineaarisen yhtälöryhmän. Otetaan EFIE:stä L 2 -sisätulo 2 mielivaltaisen testivektorikentän Ψ kanssa Ω Ψ(r) J(r) σ dv + jωµ 4π Ω j=1 J(r Ψ(r) ) Ω r r dv dv = Ψ(r) Φ(r) dv. (2.33) Ω Nyt ideana on sijoittaa ylläolevaan yhtälöön J:n tilalle yhtälön (2.32) yrite J a ja vaatia, että yhtälö toteutuu jollain joukolla testifunktioita Ψ. Kyseessä on Galerkinmenetelmä, sillä testifunktioina toimii sama joukko vektorikenttiä, joiden avulla esitämme ratkaisun J a. Seuraavaksi suoritamme tämän sijoitusoperaation termi kerrallaan. Kirjoitetaan (2.33):n ensimmäisen termi testifunktiolla Ψ j Ω Ψ(r) J a (r) σ N b dv = I jˆl i ˆl j j=1 Ω w i (r)w j (r) dv = σ(r) N b j=1 R ij I j, (2.34) missä määrittelemme symmetrisen resistanssimatriisin R ij =ˆl i ˆl j Ω w i (r)w j (r) dv. (2.35) σ(r) Resistanssimatriisin ei-diagonaalialkiot johtuvat ei-ortogonaalisten kantafunktioiden leikkauksista. Diagonaalin ulkopuolisten alkioiden merkitys käy pieneksi, jos leikkaukset ovat tarpeeksi pieniä ja häviävät kokonaan, jos leikkaavat kantafunktiot ovat ortogonaalisia. Ei-diagonaaliset resistanssimatriisin alkiot tullaan jättämään huomiotta ekvivalenttipiirissä, joten kyseessä on mahdollinen virhelähde. Käyttäjä liittää jokaiseen virtakantafunktioon vakiojohtavuuden siten, että R ii = 1 a 2 i ( ) ai l i σ i = l i a i σ i. (2.36) Kirjoittamalla kantafunktiot yhtälön (2.30) avulla auki ja merkitsemällä Ψ i :n 2 L 2 -sisätulossa integroimme funktioiden pistetulon koko määrittelyjoukon yli.

24 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 12 kantajaa aina S i :llä, yhtälön (2.33) toinen termi saadaan muotoon jωµ 0 4π Ω Ψ(r) Ω J a (r ) r r dv dv = jωµ 0 4π = jωµ 0 4πa i a j = N b j=1 N b j=1 N b j=1 I j jωl ij I j, Ω I j Ψ i (r) S i S j Ω Ψ j (r ) r r dv dv ˆl i ˆl j r r dv dv (2.37) missä määrittelemme symmetrisen osittaisinduktanssimatriisin 3 L ij = µ 0 4πa i a j S i S j ˆl i ˆl j r r dv dv. (2.39) Osittaisinduktanssimatriisin alkiot liittyvät virta-alkiopareihin eikä kokonaisiin silmukoihin. Jos silmukka täydennetään haaralla PEEC-mallin ulkopuolella, täydentävän silmukan osittaisinduktanssi jää huomiotta. Pyrimme myöhemmin selittämään osittaisinduktanssin käsitettä tarkemmin. Yhtälön (2.33) viimeiselle termille Ψ i (r) Φ(r)dv = 1 Φ(r) ˆl i dv Ω a i S i = 1 (Φ(r)ˆl i )dv (2.40) a i S i = 1 (Φ(r)ˆl i ) ˆnda = Φ alku i Φ loppu i. a i S i missä Φ alku i ja Φ loppu i ovat potentiaalin Φ keskiarvot virtakantafunktion Ψ i kantajan alku- ja loppupääpinnoilla. Yhdistämällä edelliset tulokset voimme kirjoittaa (2.33):n kaikille kantafunktioille matriisiyhtälöksi missä I b = [I 1, I 2, (R + jωl)i b = Φ alku Φ loppu, (2.41)..., I N ] T, Φ alku = [Φ alku 1,...,, Φ alku]t ja Φ loppu määritellään 3 L ij on aina äärellinen, vaikka kantafunktiot olisivat päällekkäisiä. Tämä nähdään integroimalla r-keskisen R-säteisen pallon B(r,R) yli B(r,R) 1 R r r dv = lim α 0 α 2π π 0 0 N r 2 sin θ dθ dφ dr = 2πR 2 <. (2.38) r

25 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 13 vastaavasti. Haarajännitteet voidaan esittää potentiaalien avulla V b := Φ alku Φ loppu, (2.42) jolloin ylläoleva voidaan kirjoittaa muotoon V b = Z(ω)I b, (2.43) missä haaraimpedanssimatriisi Z(ω) = R + jωl. Haaraimpedanssimatriisin imaginääriosa on lineaarinen suhteessa taajuuteen 4. Valitaan virtakantafunktiot siten, että ne voidaan mieltää toisiinsa liitetyiksi päädyissä sijaitsevien solmupisteiden kautta. Virta-alkiot kuljettavat virtaa yksinomaan päätysolmujensa välillä. Virran jatkuvuusyhtälö (2.7) ei toteudu yritteelle J a pisteittäin virta-alkioiden reunoilla. Oletamme sen sijaan Kirchoffin virtalain solmupisteille. I 1 I 2 n 1 n 2 n 3 (a) (b) Kuva 2.7: (a)oletamme I 1 = I 2 solmussa n 2. (b) Vakiokantafunktioilla J a 0 ainoastaan virta-alkioiden päätyreunoilla. Täten, jotta tarkka virranjatkuvuus (2.7) toteutuisi, ainakin virta-alkioiden päätyreunojen tulisi leikata täydellisesti ja olla aina samansuuntaisia. Nyt voimme muodostaa suunnatun graafin P käyttämällä edellämainittuja solmupisteitä sekä haaroina virtakantafunktioita niiden ominaisen suunnistuksen mukaan. Jos oletamme resistanssimatriisin R diagonaaliseksi, voimme kuvan 2.8 tapaan mieltää jokaisen haaran i resistanssin R ii ja itseinduktanssin L ii sarjaankytkennäksi. Haaralla voi lisäksi olla keskinäisinduktanssia(l ij, i j ) kaikkien muiden haarojen kanssa. Näin saamme osittaiselementtiekvivalenttipiirin(peec). Sähköverkko tullaan myöhemmin määrittelemään suunnattuna graafina, joten edelläkuvattuun piiriin ja graafiin P tullaan molempiin viittaamaan P:llä. PEEC:ssä virta-alkioita vastaavat haarat kuljettavat virtaa yksinomaan päätysolmujensa kautta, joten pelkkä virta-alkioiden leikkaus kuvan 2.9 tapaan ei aiheuta verkon topologiaa muuttavaa virrankulkua. 4 Haaraimpedanssimatriisia ei tule sekoittaa myöhemmin käsiteltävään porttiimpedanssimatriisiin Z t (ω).

26 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 14 (d) (a) (b) (c) Kuva 2.8: Joukko virta-alkioita tasossa (a) Esimerkki pienestä johtimesta, jota voisimme näin mallintaa. Virta-alkioita vastaava graafi (c) ja PEEC-piiri (d). L 12 = 0 Kuva 2.9: Kahden virta-alkion systeemi, josta muodostettu PEEC koostuu kahdesta komponentista. Koska virta-alkiot ovat ortogonaalisia, niiden keskinäisinduktanssi on nolla. Kuvan systeemin portti-impedanssit eivät muutu, vaikka johtimia siirrettäisiin, asentoa muuttamatta, mielivaltaisesti. Toisaalta jos haluaisimme mallintaa vasemmanpuoleisen kuvan muotoista johdinta, viittä solmua yhdistämään tulisi valita neljä virta-alkioita. 2.3 Osittaisinduktanssit Seuraavassa käsittelemme osittaisinduktanssien yhteyttä paljon yleisemmin tunnettuihin itse- ja keskinäisinduktansseihin sekä käyttöä PEEC-menetelmässä. Paljon kattavempi esitys osittaisinduktanssien teoriasta ja laskennasta löytyy lähteestä [8]. Yleensä itse- ja keskinäisinduktanssit määritellään kokonaisille virtasilmukoille. Joukolle ohuita silmukoita määrittelemme L ij := Φ ij I j, (2.44) missä Φ ij on silmukan j virrasta I j aiheutunut magneettivuo silmukan i läpi. Termejä L ii kutsutaan itseinduktansseiksi ja L ij,j i:iä keskinäisinduktansseiksi. Mikäli

27 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 15 silmukat ovat stationäärisiä ja väliaineet lineaarisia, voimme kirjoittaa L ij = Φ ij I j. (2.45) Induktanssit on nyt määritelty ohuille johdinsilmukoille. Todelliset johdinsilmukat ovat tilavuuksia ja PEEC saatetaan muodostaa osalle silmukkaa, joka täydennetään ulkoisessa piirissä jollain piirikomponentilla. Jotta voisimme mallintaa induktiivisia kytkentöjä tämäntyyppisissä tilanteissa, käytämme osittaisinduktanssien teoriaa. Laajennamme seuraavassa induktanssien käsitettä ensin tietynlaisista yksinkertaisista tilavuuksista koostuviin silmukoihin ja tämän jälkeen jaamme nämä silmukat osiin muodostaen johtimenpätkiä, joiden muodostamiin pareihin osittaisinduktanssit liitetään. Magnetokvasistatiikassa voimme ratkaista silmukan Θ j virrasta aiheutuvan magneettisen vektoripotentiaalin yhtälöstä (2.18) Ã j (r) = µ 0 J(r ) 4π Θ j r r dv (2.46) Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että silmukat koostuvat suorakulmaisen poikkileikkauksen omaavista johtimenpätkistä, joiden poikkileikkauspinta-ala on vakio. Valitaan silmukan Θ j sisältä suljettu käyrä C j, joka kulkee poikkileikkausten keskipisteiden kautta kuvan tapaan. Nyt C j on murtoviiva, jossa jokaista johdinta vastaa jana. I 1 I 2 S 2 Θ 1 Θ 2 C 2 Kuva 2.10: Silmukat Θ 1 ja Θ 2 ovat tilavuuksia. Magneettivuo Φ 2 liittyy aina johonkin integrointireittiin C 2 silmukan Θ 2 sisällä.

28 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 16 Kuva 2.11: Alkuperäinen silmukka Θ i ja siitä muodostettu yksinkertaisempi integrointialue. Oletetaan virrantiheys homogeeniseksi ja approksimoidaan integraalia (2.46) valitsemalla uusi integrointialue, jossa integroimme aina suljettuun murtoviivaan C j nähden kohtisuoran poikkipinta-alan yli. à j (r) à j(r) := µ 0I j 4πa j C j a j dl da j r r. (2.47) Approksimaation suhteellinen virhe riippuu nyt pääosin mutkien ja muun alueen tilavuuksien suhteesta. Poikkipinta-alan pienetessä suhteessa käyrän muotoon suhteellinen virhe pienenee. Valitaan nyt silmukan Θ i sisältä jokin suljetun käyrän C i rajoittama pinta S i. Silmukan Θ j virrasta aiheutuu tämän läpi magneettivuo Φ ij = à j ˆn da = S i à j dl. C i (2.48) Aikaisempaan tapaan määritellyt itse- ja keskinäisinduktanssit ovat hyvin määriteltyjä johdinsilmukoille vain, jos johtimien poikkipinta-alat ovat äärettömän ohuita. Koska silmukka Θ i ei todellisuudessa ole äärettömän ohut, magneettivuo määräytyy integrointireitistä C i silmukkaa Θ i vastaavan johtimen sisällä. Lasketaan seuraava magneettivuon keskiarvo integroimalla edelliseen tapaan koko tilavuuden Θ i yli ja jakamalla vakioksi oletetulla poikkipinta-alalla Φ ij = 1 a i C i a i à j dl i da i (2.49) Nyt sijoittamalla yhtälöön approksimaation (2.47), voimme keinotekoisesti määritellä tilavuuksiin liittyvien silmukoiden itse- ja keskinäisinduktanssit L ij := Φ ij = µ 0 I j 4πa i a j i a i j a j dl i dl j r i r j da i da j. (2.50) Jaetaan silmukat Θ i ja Θ j peräkkäinkytkettyihin suorista johtimenpätkistä koostuviin osiin Θ i,1,..., Θ i,k ja Θ j,1,..., Θ j,m. Tämä onnistuu huomioimalla kuvasta 2.11

29 2. PEEC magnetokvasistatiikassa 17 integrointialueen muoto. Olkoon b i,k ja c i,k johtimen Θ i,k alku- ja loppupisteet sekä a i,k poikkipinta-ala. Nyt voimme kirjoittaa edellisen induktanssitermin muotoon L ij = = K M k=1 m=1 K k=1 m=1 µ 0 4πa i,k a j,m M L km, a i,k a j,m ci,k cj,m b i,k b j,m dl k dl m r k r m da k da m (2.51) missä johtimenpätkien Θ i,k ja Θ j,m osittaisinduktanssi L km = = µ 0 4πa k a m µ 0 4πa k a m a k V k a m ck cm b k b m ˆl k ˆl m V m r r dv dv. dl k dl m r k r m da k da m (2.52) V k,v m R 3 ovat johtimenpätkiä kuvaavat joukot. Silmukkaa kuvaava indeksi on jätetty kirjoittamatta yksinkertaisuuden vuoksi. Lauseke on ekvivalentti määritelmän (2.39) kanssa. Tosin (2.39) määrittää osittaisinduktanssit kaikille virta-alkiopareille eikä virta-alkioita tarvitse nähdä osina erillisiä silmukoita. Silmukkaparien magneettista kytkeytymistä voidaan nyt mallintaa jakamalla silmukat pienempiin osiin, joista muodostetuille pareille määritämme osittaisinduktanssit. Tässä on hyvin olennaista huomata, että saamme hyödyllistä tietoa myös sellaisia tilanteita varten, joissa silmukka täydennetään ulkoisessa piirissä Ω. Malli tosin toimii hyvin vain silloin kun täydentävä osuus on hyvin pieni osa silmukkaa. Kyseessä on virhelähde. Esimerkki 3 Oletetaan, että haluamme mallintaa kuvan 2.12 järjestelmää, jossa yhdistämme osittaiseen johdinsilmukkaan Ω ulkoisena piirikomponenttina mallinnettavan jännitelähteen (a). Muodostamme Ω:sta PEEC:n P, johon jännitelähde kytketään (b). P:ssä on viisi osittaisinduktanssia, joiden läpi kulkee sama virta ja Φ 5 I = i=1 5 L ij L, (2.53) j=1 missä L on määritetty koko silmukalle (c) yhtälön (2.50) mukaan. Erotus summan ja induktanssin L välillä pienenee kuvassa (a) esiintyvän välin pienetessä. Tässä on syytä painottaa, ettemme tule millään tavoin mallintamaan ulkoisen piirin magneettista kytkentää PEEC:hen.

30 2. PEEC magnetokvasistatiikassa (a) (b) (c) Kuva 2.12: Johdinsilmukka (a) ja sen PEEC-malli (b). Kokonainen silmukka, jonka itseinduktanssia approksimoimme (c).

31 19 3. (L P, R)-PEEC OSANA PIIRIÄ Meillä on nyt mahdollisesti hyvin suuresta komponenttimäärästä koostuva PEEC P. Piiriin P kytketyn ulkoisen piirin simulointi onnistuu yksinkertaisesti kytkemällä ulkoiset komponentit kytkentäpisteitä vastaaviin solmupisteisiin ja simuloimalla koko piiriä. Jos johtimet on jaettu virta-alkioihin hyvin tiheästi, näin saatu piiri voi kuitenkin olla äärimmäisen suuri, joten sen suora simuloiminen piirisimulaattorilla voi käydä hyvin raskaaksi. Laskentaurakkaa voidaan piirisimulaattorin näkökulmasta huomattavasti keventää korvaamalla P piirillä, joka kytkentäpisteistä nähden näyttää mahdollisimman samalta. Esimerkiksi FastHenry tarjoaa tässä kaksi vaihtoehtoa: 1. P korvataan piirillä P(ω), joka toimii tietyllä tietyllä taajuudella ω täsmälleen samoin kuin P. 2. P korvataan piirillä, joka approksimoi P:n toimintaa suuremmalla taajuuskaistalla(model order reduction). Tässä työssä rajoitumme yksinkertaisuuden vuoksi pääasiassa ensimmäiseen menettelytapaan. Kappaleen loppuosassa käsittelemme sitä kuinka ekvivalenttipiiri P(ω) voidaan ja tulee muodostaa, jotta voimme simuloida sitä yhdessä ulkoisen piirin kanssa. Perusideana on tutkia P:tä ulkoisten kytkentäsolmujen(terminaalien) kautta kytkemällä terminaalien välille jännitelähteitä ja laskea lähdejännitteiden ja lähteiden läpi kulkevien virtojen suhde. Tämän jälkeen P korvataan yksinkertaistetulla piirillä P(ω), joka toteuttaa samat suhteet taajuudella ω. Tulee käymään ilmi, että P:n lineaarisuuden seurauksena kaikki oleellinen tieto P:n toiminnasta tietyllä taajuudella terminaaleista nähden saadaan selvitettyä valitsemalla terminaalien väliset testilähteet oikein. Toisinsanoen taajuudella ω yksinkertaistettu piiri P(ω) tulee toimimaan terminaaleista nähden täsmälleen samoin kuin P. 3.1 Piiriteoria Piiriteoria voidaan muotoilla täsmällisesti käyttämällä graafiteoriaa. Tämän käsittelyn tarkoitus on luoda vankka pohja jatkossa käytettäville piiriteorian käsitteille. Oletamme seuraavassa, että lukijalla on ymmärrys graafiteorian peruskäsitteistä. Seuraavien käsitteiden tarkempi käsittely löytyy graafiteorian perusoppikirjoista.

32 3. (L p,r)-peec osana piiriä Formalismi Tarkastellaan k:sta erillisestä komponentista koostuvaa suunnattua graafia G, jonka komponentissa i on n i solmua ja b i haaraa kun i = 1,...,k. Merkitään edelleen n := k n i, ja b := i=1 k b i. (3.1) i=1 G:n insidenssimatriisi on A R n b siten, että 1, haara j on solmun i alkupiste A ij = 1, haara j on solmun i loppupiste 0, muulloin. (3.2) Graafin G silmukka on yhtenäinen aligraafi, jonka jokaiseen solmuun on yhteydessä täsmälleen kaksi aligraafin haaraa. Silmukka voidaan kuvata yksikäsitteisesti valitsemalla 1 b vaakavektori b siten, että 1, haara j kuuluu piiriin ja on samansuuntainen piirin kanssa b j = 1, haara j kuuluu piiriin ja on vastakkaissuuntainen 0, muulloin. (3.3) Koska jokainen komponentti on yhtenäinen graafi, voidaan osoittaa, että komponentissa i on m i := b i n i + 1 lineaarisesti riippumatonta silmukkaa [30]. Merkitään m:llä kaikkien komponenttien yhteenlaskettua riippumattomien silmukoiden määrää. Lineaarisella riippumattomuudella viittamme edellisten vektorien lineaariseen riippumattomuuteen. Näistä lineaarisesti riippumattomista vektoreista voimme muodostaa yhtenäisen graafin piirimatriisin B i R m i b i jokaiselle komponentille i. Useita komponentteja sisältävissä graafeissa piiri- ja insidenssimatriisit voidaan muodostaa jokaiselle komponentille erikseen. Komponentteja vastaavat piiri- ja insidenssimatriisit voidaan yhdistää koko graafia kuvaaviksi matriiseiksi, joissa eri komponentteja vastaavat lohkot. Ts. k komponenttia sisältävälle verkolle A A A = A k n b B B ja B = B k m b. (3.4) Mielivaltainen aikatason sähköverkko voidaan esittää suunnattuna graafina G, jonka jokaiseen haaraan liitetään 2 ajan funktiota:

33 3. (L p,r)-peec osana piiriä Haarajännitteet ajan funktiona v : R R b. 2. Haaravirrat ajan funktiona i : R R b. Taajuustason sähköverkoissa funktiot voidaan esittää säästeliäämmin kompleksisilla vakioilla V,I C b. Haarajännitteiden ja -virtojen vaaditaan toteuttavan nk. Kirchoffin lait, jotka voidaan muotoilla insidenssi- ja piirimatriisien avulla kätevästi. Taajuustasossa oletamme verkon koostuvan lähdehaaroista ja impedanssihaaroista. Lähdehaaroilla joko haarajännite tai -virta oletetaan tunnetuksi kun taas impedanssihaaroilla haaran jännite voidaan esittää virtojen lineaarikombinaatioina käyttämällä tunnettuja kompleksisia impedansseja. Merkitään komponentin i lähteiden määrää s i :llä ja lähteiden yhteenlaskettua kokonaismäärää s:llä. Jos merkitsemme I g :llä virtalähdehaarojen ja I z :lla impedanssi- ja jännitelähdehaarojen virtoja, Kirchoffin virtalaki(kcl) voidaan kirjoittaa muotoon AI = A(I z I g ) = 0. (3.5) Vastaavasti jos merkitsemme V s :llä jännitelähdehaarojen jännitteitä, Kirchoffin jännitelaki(kvl) voidaan kirjoittaa BV = B(V z V s ) = BV z V g = 0, (3.6) missä liitämme jokaiseen piiriin lähdejännitteen V g := BV s. Olemme ratkaisseet piirin, jos olemme selvittäneet V:n ja I:n. Meillä on 2b s tuntematonta, joiden ratkaisemiseen impedanssihaaroilla meillä on apuna Kirchoffin lakien lisäksi joukko haarajännitteitä ja -virtoja yhdistäviä relaatioita(bcr). Impedanssihaaroilla ilman keskinäisinduktansseja BCR:nä toimii aina kompleksinen Ohmin laki 1. Yleisemmin impedanssihaaran BCR kuvaa kuinka haarajännite saadaan verkon haaravirtojen lineaarisena funktiona. Voidaan osoittaa, että komponentille i voidaan kirjoittaa n i 1 lineaarisesti riippumatonta KCL:ää ja b i n i +1 KVL:ää [30]. Edelleen, jos jokaiselle ei-lähde-haaralle on kirjoitettavissa lineaarisesti riippumaton BCR, saamme b i s i yhtälöä lisää. Yhteensä meillä on siis 2b i s i tuntematonta ja (n i 1)+(b i n i +1)+(b i s i ) = 2b i s i lineaarisesti riippumatonta yhtälöä. Ainakin siis BCR:ien ollessa lineaarisia ja lineaarisesti riippumattomia, yksikäsitteinen ratkaisu on olemassa. BCR:t voivat yhdistää eri komponenttien haaroja esimerkiksi kun komponenttien välillä on keskinäisinduktanssia. Tällöin yksikäsitteinen ratkaisu on olemassa, jos kaikkien komponenttien BCR:ien muodostama yhtälöryhmä on lineaarisesti riippumaton. 1 Kapasitanssille V = I/jωC ja itseinduktanssille V = jωli.

34 3. (L p,r)-peec osana piiriä Aliverkot Aliverkko on sähköverkon G aligraafi, jonka virittää G:n haarojen osajoukko. Jos sähköverkko on jaettu haarojen suhteen kahteen yhtenäiseen aliverkkoon G 1 ja G 2, sanomme aliverkkojen jakamia solmuja terminaaleiksi. Terminaalien lukumäärää merkitään t:llä. Aliverkon G 2 terminaalijännitteet ovat terminaalien ja jonkin kiinnitetyn referenssiterminaalin välisiä jännitteitä. Valitsemalla jokin terminaali referenssiterminaaliksi, t-terminaalisella aliverkolla on t 1 riippumatonta terminaalijännitettä. Aliverkon G 2 terminaalivirrat ovat terminaaleista aliverkkoon G 2 kulkevien virtojen summia. Kirchoffin virtalain nojalla referenssiterminaalin virta on muiden terminaalivirtojen summa vastakkaisella etumerkillä ja täten on lineaarisesti riippuva muista terminaalivirroista. Jos G 2 on lineaarinen, lähteetön ja yhtenäinen, on olemassa terminaaliadmittanssimatriisi Y t C (t 1) (t 1) siten, että terminaalijännitteillä V t ja terminaalivirroilla I t on lineaarinen yhteys I t = Y t V t. (3.7) Kiinnitetyllä taajuudella lineaarisen verkon lähteetön aliverkko voidaan korvata millä tahansa muulla aliverkolla, jolla terminaaleihin kulkevien virtojen ja terminaalien välisten jännitteiden suhde on sama. Käytännössä tämä tarkoittaa, että ulkoisen verkon näkökulmasta voimme korvata yhtenäisen PEEC:n yksinkertaisemmalla ekvivalenttikytkennällä, joka on valittu toteuttamaan sama suhde tietyllä taajuudella. Olemme yrittäneet todistaa tätä hypoteesia yksinkertaisemmassa erikoistapauksessa liitteessä A PEEC Kappaleessa 2.2 kuvasimme kuinka PEEC P muodostetaan. Tässä kappaleessa muodostamme piirin P kytkemällä P:n solmujen välille jännitelähteitä. Johdamme yhtälöt kuvaamaan näiden lähdejännitteiden ja jännitelähteiden läpi kulkevien virtojen lineaarista yhteyttä. Kappaleessa 3.2 kerromme kuinka lähteet tulee sijoittaa, jotta voimme käyttää näin saatua tietoa eri tavoilla kytkettyjen ulkoisten piirien simuloimiseen. Lisäämme nyt kuvan 3.1 tapaan lähteettömään P joukon jännitelähdehaaroja, jolloin päädymme verkkoon P. Oletamme, ettei portteja määritellä galvaanisesti erillisten P:n osien välille. Oletetaan, että haarat sekä piirit on numeroitu ensin huomioimalla P:n impedanssihaarat ja tämän jälkeen P \ P:n jännitelähdehaarat. Merkitään P:n jännitteitä ja virtoja yläindeksillä (1) sekä P \ P:n jännitteitä ja virtoja yläindeksillä (2),

35 3. (L p,r)-peec osana piiriä 23 V (2) s2 + I (2) z2 V (2) s1 I (2) z1 + + V (2) s4 I (2) z4 I (2) z3 V (2) s3 + I (2) z5 V (2) s5 + Kuva 3.1: Lisäämme verkkoon P(yhtenäinen viiva) joukon haaroja vastaten jännitelähteitä muodostaen verkon P. Kuvassa katkoviivat vastaavat lisättyjä jännitelähdehaaroja. jolloin P :n jännitevektori V = ( ) V z (1) V s (1) V z (2) V s (2) ( ) V z (1) = V s (2) = V z V s. (3.8) P :ssä ei esiinny virtalähteitä, joten ( ) I = I I (1) z z + 0 = I (2) z (3.9) missä I (2) z on vektori jännitelähteiden läpi kulkevista virroista. Jännitelähdehaarojen impedanssit ovat nolla, joten impedanssijännitteet V z (2) = 0. Soveltamalla yhtälöä (2.43) saadaan ( ) ( ) ( ) V z V z (1) Z(ω) 0 I (1) z = = I (2) = Z (ω)i z. (3.10) z Olkoon B P:n piirimatriisi. Muodostetaan P :lle piirimatriisi B lisäämällä silmukka jokaisen jännitelähteen ja lähteeseen yhteydessä olevan yhtenäisen P:n osan kautta. Nyt ( ) B B 0 =, (3.11) B v1 missä B v1 silmukoiden P:n kautta kulkeva osa ja B v2 jännitelähteiden kautta kulkeva osa. Jos uudet silmukat ja lähteet ovat numeroitu samassa järjestyksessä, B v2 :stä saadaan identiteettimatriisi. Piirimatriisin B avulla P :n virrat voidaan kirjoittaa B v2

36 3. (L p,r)-peec osana piiriä 24 P :n silmukkavirtojen I m avulla I z = I = B T I m. (3.12) Nyt Kirchoffin jännitelain (3.6), (3.10) ja (3.12) nojalla P :n piireihin liitetyt lähdejännitteet Lohkoittain kirjoitettuna V g := B V s = B V z = B Z I z = B ZB T I m. (3.13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 B 0 Z 0 B T Bv1 T I (1) m V g (2) = B v1 B v Bv2 T I (2), (3.14) m mistä voimme ratkaista ensin I (1) m = (BZB T ) 1 BZB T v1i (2) m (3.15) ja lopulta saamme verkon lähdejännitteille ja lähteiden läpi kulkeville virroille lineaarisen relaation 2 V (2) g = [ ] B v1 ZBv1 T B v1 ZB T (BZB T ) 1 BZBv1 T I (2) m. (3.16) Jos siis tunnemme PEEC:lle P piiri- ja haaraimpedanssimatriisit, voimme ratkaista jännitelähteiden läpikulkevien virtojen ja lähdejännitteiden lineaariset suhteet. 3.2 Porttimuotoilu Tulemme korvaamaan P:n sellaisella t terminaalin lineaarisella verkolla, joka täsmää täydellisesti PEEC:n toimintaan yksittäisellä taajuudella. Todellisissa mallinnustilanteissa tämä mallinnuspäätös luonnollisesti johtaa virheeseen, mutta lineaaristen samalla taajuudella toimivien ulkoisten piirien tapauksessa simulointitulokset ovat tarkkoja. Voimmekin korvata P:n millä tahansa lineaarisella verkolla, jonka terminaalijännitteiden ja -virtojen suhteet ovat samat. Lineaarista, galvaanisesti yhtenäistä ja lähteetöntä verkkoa karakterisoivat täydellisesti terminaalien välisten jännitteiden ja terminaaleihin kulkevien virtojen lineaariset suhteet kuvan 3.2 testikytkennällä. Terminaalipareja kutsumme porteiksi. Emme oleta, että portin eri terminaalien kautta kulkeva virta olisi aina yhtä suuri. Porttivirralla tarkoitamme aina 2 Tulemme kutsumaan tätä portti-impedanssimatriisiksi.

37 3. (L p,r)-peec osana piiriä 25 jännitelähteen läpi kohti lähteen positiivista napaa kulkevaa virtaa kuvan 3.2 testikytkennässä ja porttijännitteellä vastaavan jännitelähteen jännitettä. Tässä kappaleessa tulemme aluksi käsittelemään sitä kuinka portit tulee valita, jotta voimme saada luotettavia 3 simulointituloksia kytkettäessä ulkoisia komponentteja P:n terminaalien välille. Tämän jälkeen kerromme kuinka portteja voidaan vähentää P:n sisältäessä galvaanisesti erotettuja osia. Tarkastellaan kuvan 3.2 mukaista t terminaalin lineaarista verkkoa, jonka terminaalien välille on kytketty t 1 lähdettä. Kirchoffin virtalain nojalla I 0 = t 1 k=1 I k, jolloin voimme päätellä, että verkkoa karakterisoi terminaalien välisten jännitteiden ( ) T ) T V t := V 1,..., V t 1 ja terminaaleihin kulkevien virtojen It := (I 1,..., I t 1 suhde. Portti-impedanssimatriisi Z t C (t 1) (t 1) on matriisi, joka sitoo porttijännitteitä ja -virtoja siten, että V t = Z t I t. (3.17) Vastaavasti porttiadmittanssimatriisi Y t C (t 1) (t 1) on matriisi, jolle I t = Y t V t. (3.18) I t 1 t V t 1 V 2 I 2 I P V 1 1 I 0 Kuva 3.2: t terminaalia ja t 1 lähdettä. Oleellista tässä on hahmottaa, että Kirchoffin virtalain nojalla alin virta I 0 = t 1 k=1 I k. Jotta saisimme täydellisen kuvauksen t terminaalin verkolle, on portit valittava oikein. Ylläoleva testikytkentä on aina riittävä galvaanisesti yhtenäisessä verkossa. Toisaalta jos verkko koostuu esimerkiksi kahdesta puhtaasti resistiivisestä galvaanisesti erillisestä osasta, osien välisellä jännitteellä ei ole mitään vaikutusta virtoihin 3 Simulointitulokset voivat olla täsmällisiä ainoastaan, jos oletamme jälleen PEEC:n terminaalijännitteiden- ja virtojen koostuvan yksittäisestä taajuuskomponentista.

38 3. (L p,r)-peec osana piiriä 26 ja porttiadmittanssimatriisi on singulaarinen. Useammasta galvaanisesti erotetusta osasta koostuvissa verkkoissa voimme kuitenkin soveltaa Kirchoffin virtalakia galvaanisesti erillisiin osiin Galvaaninen erotus PEEC:ssä Jos PEEC:ssä on k galvaanisesti erotettua osaa terminaalimäärillä t 1,...,t k, tarvitsemme sen tyhjentävään kuvaamiseen siis k i=1 (t i 1) lähdettä. Muodostetaan porttigraafi T (P) valitsemalla solmuiksi P:n terminaalit ja haaroiksi terminaalien väliset portit. Tällöin soveltamalla edellistä menettelyä kaikkiin galvaanisesti erotettuihin osiin, T (P) koostuu joukosta puita 4, joiden kaikki haarat aina lähtevät samasta solmusta. Kuva 3.3: Galvaanisesti erillisistä osista koostuvan PEEC:n P porttien valinta ja valintaa vastaava porttigraafi T (P). Jos lisäisimme portin osien väliin edellisellä testikokoonpanolla, uusi jännitelähde ei magnetokvasistatiikassa vaikuttaisi porttien virtoihin ja täten olisi merkityksetön. Haaran lisääminen johonkin puista johtaisi taas lineaariseen riippuvuuteen (haara olisi esitettävissä muitten puun haarojen kombinaationa). Nyt onkin oleellista kysyä kuinka haarat(portit) voidaan valita muilla tavoin, jotta saisimme halutulla taajuudella täydellisesti karakterisoitua koko lineaarisen verkon käyttäytymisen terminaalisolmuista nähden? Oletetaan, että meillä on mielivaltainen graafi T 2 (P), jossa jokaista P:n galvaanisesti erotettua osaa vastaa jokin kaikki osan solmut yhdistävä puu. Valitaan myös T 1 (P) valitsemalla portit aikaisemmin esitetyllä menettelyllä. Otetaan käyttöön kaksi helposti todistettavaa tulosta graafeista: 1. Puu on aina lineaarisesti riippumaton. Jos meillä olisi lineaarisesti riippuva puu, lineaarisesti riippuvan haaran e päätypisteiden välillä olisi jokin muu reitti r. Tällöin voisimme muodostaa silmukan r e, mikä johtaa ristiriitaan. 2. n solmua yhdistävässä puussa on aina n 1 haaraa. 4 Puu on (ali)graafi, joka ei sisällä silmukoita

39 3. (L p,r)-peec osana piiriä 27 Koska molempien graafien eri puut yhdistävät aina samat solmut, on ilmeistä että toisen puun haarojen kuvaamat potentiaalierot on aina esitettävissä toisen puun haarojen avulla. Ts. on olemassa kääntyvä matriisi T V 21 siten, että V (2) t = T V 21V (1) t. (3.19) Jos portit on numeroitu järjestyksessä eri osien mukaan, eri puita matriisissa T V 21 vastaavat erilliset lohkot. Vastaavasti graafien T 1 (P) ja T 2 (P) porttivirtojen suhteelle on olemassa kääntyvä lineaarikuvaus T I 21 siten, että I (2) t = T I 21I (1) t. (3.20) Jos siis tunnemme impedanssimatriisin Z (2) t, voimme ratkaista V (1) t = ( ) T21 V 1 (2) V t = ( ) T21 V 1 (2) Z t I (2) t = ( ( ) T21 V 1 (2) Z t T21)I I (1) t (3.21) eli Z (1) t = ( ) T21 V 1 (2) Z t T21. I Ts. porttivalinnat ovat ekvivalentteja. Esimerkki 4 Havainnollistetaan porttiteoriaa esimerkillä, jossa tarkastelemme seuraavan kuvan porttivalintoja P T 1 (P) P T 2 (P) Kuva 3.4: Esimerkki korrekteista porttien valinnoista. Nyt T 2 (P):n haarojen avulla esitetyt potentiaalierot voidaan esittää T 1 (P):n haarojen kuvaamien potentiaalierojen avulla V (2) t = T V 21V (1) t = V (1) t1 V (1) t2 V (1) t3 V (1) t4 V (1) t5 V (1) t6 (3.22)

40 3. (L p,r)-peec osana piiriä 28 ja vastaavasti virroille I (2) t = T I 21I (1) t = I (1) t1 I (1) t2 I (1) t3 I (1) t4 I (1) t5 I (1) t6 (3.23) Rajoitutaan nyt esimerkkinä seuraavan kuvan erikoistapaukseen T 2 (P) testikytkennällä. + V (2) R 3 R t3 I (2) 4 V (2) m3 I (2) m4 t4 + + V (2) L 2 L t2 I (2) 5 V (2) m2 I (2) m5 t5 + + V (2) R 1 R t1 I (2) 6 V (2) m1 I (2) m6 t6 + Kuva 3.5: Piiri, johon edelläkäsiteltyä porttimuotoilua sovelletaan. Terminaalivirrat I t ovat samat kuin silmukkavirrat. Huomioimalla, että silmukka- ja terminaalivirrat ovat yhtäsuuret sekä kirjoittamalla terminaalijännitteiden ja silmukkavirtojen yhteyden, voimme laskea V (2) t (ω) = R 1 I m1 R jωl 2 I m2 jωmi m5 0 jωl jωm 0 R 3 I m3 R 4 I = 0 0 R m R jωl 5 I m5 jωmi m2 0 jωm 0 0 jωl R 6 R 6 I m6 } {{ } Z (2) t I (2) t Graafin T 1 (P) portti-impedanssi voidaan nyt suoraan laskea yhtälöstä (3.21) R 1 R 1 R R 1 R 1 + jωl 2 R 1 + jωl 2 jωm jωm 0 Z (1) t = R 1 R 1 + jωl 2 R 1 + jωl 2 + R3 jωm jωm 0 0 jωm jωm R 4 + jωl 5 + R 6 jωl 5 + R 6 R 6 0 jωm jωm jωl 5 + R 6 jωl 5 + R 6 R R 6 R 6 R 6 (3.24) Tämä vastaa testikytkentää kuvassa 3.6:

41 3. (L p,r)-peec osana piiriä 29 + R 3 R V (1) I (1) 4 t3 m3 I (1) + V (1) m4 t4 + V (1) L 2 L 5 t2 I (1) V (1) m2 I (1) + m5 t5 + V (1) R 1 R t1 I (1) 6 V (1) m1 I (1) + m6 t6 Kuva 3.6: Impedanssimatriisia Z (1) t vastaava testikytkentä vastaten T 1 (P):n porttivalintoja. Kaikki silmukat kulkevat alimpien vastusten kautta. Juuri samaan tapaan FastHenry soveltaa käyttäjän antamille porteille edellä kuvattua testikytkentää määrittäen portti-impedanssimatriiisin. Kaikki korrektit, samat terminaalit yhdistävät, porttivalinnat ovat siinä mielessä ekvivalentteja, että niitä vastaavat portti-impedanssimatriisit saadaan palautettua toisikseen ylläesitetyllä tavalla. Ohje 2 (Porttien valinta) Olkoon P:ssä k galvaanisesti erillistä osaa vastaavaa komponenttia. Tällöin kytkentäsolmut jaetaan osajoukkoihin vastaten P:n komponentteja ja jokaiselle solmujen osajoukolle muodostetaan kaikki osajoukon solmut yhdistävä puu porteista. Esimerkiksi jos P on yhtenäinen, valitsemme jonkin kaikki kytkentäsolmut yhdistävän puun. Toisaalta, jos jokaisella komponentilla on täsmälleen kaksi kytkentäsolmua, valitsemme jokaiselle komponentille täsmälleen yhden portin. Erikoisesti kaikki FastHenryn mukana tulevat esimerkit ovat jälkimmäistä tyyppiä. 3.3 PEEC:n yksinkertaistaminen yksittäisellä taajuudella Edellä esitimme kuinka selvitämme portti-impedanssimatriisin Z t (ω) siten, että V t (ω) = Z t (ω)i t (ω). (3.25)

42 3. (L p,r)-peec osana piiriä 30 Jaetaan Z t reaali- ja imaginääriosuuksiin, jolloin V ti = = Ts. portti vastaa haaraa n [ Re Z ij + jω Im Z ij ω j=1 [ Re Z ii + jω Im Z ii ω ] I tj (3.26) ] I ti + j i ( Re Z ij + jω Im Z ) ij I tj. ω Im Z ii ω Re Z ii j i ( Re Z ij)i tj Kuva 3.7: Yksittäistä porttia vastaava haara. Induktanssilla voi olla keskinäisinduktanssia kaikkien muiden haarojen kanssa. Portteja kuvaavassa graafissa T (P) haarat voidaan nyt luontevasti korvata ylläesitetyillä piirialkioita sisältävillä haaroilla. Näin saamme piirin P(ω). Esimerkki 5 Tarkastellaan kuvan 3.8 johtimista koostuvaa järjestelmää. Vasemmalla puolella olevat johtimet ovat toisistaan ja johdintasosta galvaanisesti erillisiä, joten jokaiselle niistä riittää valita yksi portti. Johdintasolle puolestaan on valittu kolme terminaalia, joten kaksi porttia riittää kuvaamaan johdintasoa sen terminaaleista nähden. P 1 P 2 P 4 P 5 P 3 Kuva 3.8: Mallinnettavan järjestelmän porttigraafi T (P).

43 3. (L p,r)-peec osana piiriä 31 Nyt taajuudella f = 10 6 Hz FastHenry antaa portti-impedanssimatriisin Z t = jω (3.27) Nyt voimme muodostaa kuvan 3.9 yksinkertaistetun ekvivalenttipiirin P(ω): mω 8.75 nh 0.21 nh mω 8.66 nh 4.94 nh 3.57 nh 0.24 nh 9.87 mω 9.69 mω mω 8.75 nh 4.94 nh 1.99 nh 1.01 nh 1.88 nh Kuva 3.9: P(ω) kun ω = 2π 10 6 Hz. Osa keskinäisinduktanssikertoimista sekä virtaohjattujen jännitelähteiden kertoimet on jätetty yksinkertaisuuden vuoksi pois. Lukija voi tässä vaiheessa ihmetellä miksi kaikki tämä teoria porteista on tarpeen? Tarkastellaan kuitenkin nyt mallinnusvirheeseen johtavaa esimerkkiä porttien virheellisestä valinnasta. Esimerkki 6 FastHenryn dokumentaatiossa esimerkkiä together.inp käytetään esimerkkinä ohjelmiston lisäominaisuudesta palauttaa käyttäjille PEEC:ssä esiintyvät virrat. Esimerkissä kaksi ohutta johdinta on kytketty hiukan johdintason yläpuolelle. Johtimien toiset päät on oikosuljettu tasoon ja vastakkaisiin päihin on määritelty yhteensä kaksi porttia johtimien päiden ja läheisten tason pisteiden välille. Tämä on vastoin edellä esitettyjä periaatteita, koska neljää solmupistettä ei yhdistä kolme porttia.

44 3. (L p,r)-peec osana piiriä 32 Kuva 3.10: together.inp Oletetaan, että olemme muodostaneet ekvivalenttipiirin P(ω) käyttämällä esimerkiksi FastHenryn mukana tulevaa MakeLCircuit-työkalua, joka käytännössä toteuttaa edellä esitetyn yksinkertaistuksen. Tällöin päädymme kuvan esittämään piiriin Kuva 3.11: Solmupisteet 1 ja 3 vastaavat porttien ohuilla johtimilla olevia pisteitä ja solmut 2 ja 4 tasolla olevia pisteitä Jos nyt kytkemme solmujen 2 ja 4 välille jännitelähteen, on ilmeistä ettei kytkennässä kulje virta. Koska solmut vastaavat lähekkäisiä pisteitä johdintasolla, todellisuudessa jännitelähteen läpi kulkeva virta olisi hyvin suuri. FastHenryn esimerkissä portit on valittu taustaoletuksella, ettei solmujen 2 ja 4 väliin kytketä mitään. Jos haluamme saada tietoa tilanteista, joissa näiden solmujen väliin kytketään komponentteja, on portit valittava tässä kappaleessa esitetyllä tavalla.

45 33 4. VIRHELÄHTEITÄ (L P, R)-MALLINNUKSESSA Tässä kappaleessa käymme läpi (L p,r)-mallien käytössä esiintyviä virhelähteitä. Eri virhelähteitä voidaan jakaa neljään luokkaan seuraavasti: 1. Ω:n valinnasta ja magnetokvasistaattisesta muotoilusta aiheutuvat virheet: Ω kytkeytyy magneettisesti ulkoisen piirin kanssa (2.1). Merkittävä osa silmukkaa täydennetään Ω:n ulkopuolella (2.3). Ω:ssa varastoituu merkittävä määrä energiaa sähkökenttään. 2. P:n virta-alkioiden valinnoista ja laskemisesta aiheutuvat virheet: Johdinrakennetta kuvaavat virta-alkioiden parametrit ovat epätarkkoja (4.3). Valitut virta-alkiot eivät kykene kuvaamaan fysikaalista virrantiheyttä edes matalilla taajuuksilla [28](kpl. 3, 4). Virta-alkioiden valinta ei huomioi virranahtoa (4.1.2). Epätarkat laskentamenetelmät osittaisinduktansseille. Osittaisinduktanssit lasketaan tarkoilla kaavoilla ainoastaan tietyissä erityistapauksissa. Muulloin laskentaan käytetään filamenttiapproksimaatiota (4.2). 3. P(ω) muodostamisesta aiheutuvat virheet: Portit on valittu virheellisesti (3.2.1). Eri taajuuksilla muodostetut ekvivalenttipiirit P(ω) ovat hyvin riippuvaisia taajuudesta ja kokonaisessa piirissä esiintyy merkittävästi muita taajuuksia kuin se yksittäinen taajuus, jolla ekvivalenttipiiri on muodostettu. Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun liittyvät numeeriset virheet laskettaessa portti-impedanssimatriisia [28](kpl. 3). 4. Piirisimulaattorin aikaansaamat virheet.

46 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa Virranahto Virranahto johtimissa Puoliavaruuden x > 0 täyttävässä johtimessa pinnalla vaihtelevan sähkökentän aiheuttama taajuustasossa esitetty virrantiheys on muotoa[34] J(r) = J 0 e (1+j)x/δ, (4.1) missä tunkeutumissyvyys δ = ( ) 1/2 2. (4.2) µσω Yhtälö (4.1) approksimoi virrantiheyden amplitudin heikkenemistä ja vaihemuutosta hyvin johtimen kaarevuussäteen suhteen tunkeutumissyvyyteen ollessa suuri. Kaarevuussäteen pienetessä virrantiheyden heikkeneminen hidastuu[34]. Ohminen tehohäviö johtimessa V P d = V J Ẽdv = V J J σ dv = RI2, (4.3) joten vakiojohtavuuden omaavan johtimen resistanssi R = 1 J 2 dv. (4.4) σi 2 V Tästä seuraa, että epätasaisuus virrantiheydessä kasvattaa resistanssia. Koska todellisissa johtimissa virranahto on hitaampaa kuin puoliavaruudelle, puoliavaruuden jakaumasta saatu resistanssi edustaa pessimististä ylärajaa. Jos muodostamme ekvivalenttipiirin P(ω) tietyllä taajuudella ω, P(ω):n resistanssit ovat vakioita taajuuden funktiona eivätkä täten mallinna virranahdosta johtuvaa resistanssin muutosta. Voimme kuitenkin päätellä välttämättömän ehdon kuinka koko PEEC:n P virta-alkiot tulee jakaa osiin, jotta P voisi mallintaa virranahtoa tarpeeksi hyvin halutulla taajuudella. Jos tämä ehto toteutuu, voimme laskea resistanssit joukolla eri taajuuksia muodostamalla piirit {P(ω 1 ),..., P(ω n )} ja vertailla resistanssien muutosta suhteessa piiriin P(ω). Tätä kautta saamme hyödyllistä tietoa virranahdon aiheuttamasta virheestä muodostettaessa ekvivalenttipiiri P(ω) tietyllä taajuudella Virta-alkioiden jako osiin FastHenryssä virranahto pyritään huomioimaan jakamalla virta-alkiot vaaka- ja pystysuunnissa n w ja n h osaan siten, että siirryttäessä reunalta sisäänpäin, alkion leveys

47 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 35 tai korkeus kasvaa jollain vakiokertoimella α w tai α h. Jako suositellaan valittavan siten, että ohuimmat virta-alkion osat ovat paksuudeltaan korkeintaan tunkeutumissyvyyden luokkaa. [29], [38] h 0 (a) w 0 (b) Kuva 4.1: (a) Virta-alkion jako parametreilla n w = n h = 5, α w = 3, α h = 2. (b) Jokaista erillistä suorakulmiota vasemmanpuoleisessa kuvassa vastaa resistanssin ja induktanssin sarjaankytkentä. Virranahtoa P:ssä vastaa näiden induktanssien keskinäisinduktansseista johtuva suurempi virta geometrisesti reunimmaisten haarojen läpi. Jotta tämä ehto toteutuisi, käyttäjän on osattava valita riittävän tiheä jako. Liian tiheä jako puolestaan johtaa laskentaurakan hyvin nopeaan kasvamiseen, koska jokainen virta-alkio jaetaan n w n h osaan. Oletetaan ohuimman osan leveyden w 0 olevan korkeintaan βδ, missä δ on tunkeutumissyvyys sekä β R jokin vakio. Jaetaan alkio vaakasuunnassa n = 2N + 1 osaan, jolloin koko virta-alkion leveys missä α 0 = 1. Nyt vaadimme w = w 0 [α N + 2 w 0 = Tästä voimme ratkaista(liite A.2) Ohje 3 (Virranahto) ] N α k 1, (4.5) k=1 w α N + 2 < βδ. (4.6) N k=1 αk 1 ( ) 2βδ w(1 α) N > log α. (4.7) βδ(1 + α)

48 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 36 Käyttäjän on jaettava mallinsa kaikki virta-alkiot virran etenemissuuntaan nähden kohtisuorasti sekä vaaka- että pystysuunnassa siten, että reunimmaisten alkioiden leveys ja korkeus ovat pienempiä kuin tunkeutumissyvyys. Riittävä ehto tälle on jakaa alkiot sekä vaaka- että pystysuunnassa 2N + 1 osaan, missä N saadaan yhtälöstä (4.7). β on vakio, joka sallii mallintajan asettaa ohuimman alkion leveyden ylärajan suhteessa tunkeutumissyvyyteen. Edellä esitettyjen viitteiden ja seuraavaksi tehtävien simulaatioiden nojalla β = 1 vaikuttaa yleensä riittävältä. Pessimistinen mallintaja voi kuitenkin valita β:n pienemmäksi Yksittäisen virta-alkion esimerkkitapaus Tarkastellaan virranahtoa yksittäisessä virta-alkiossa V, jonka leveys on w, korkeus h ja pituus l. Virrantiheys oletetaan pituuden suuntaiseksi. h ŷ ˆx ẑ Ĵ V δ w l Kuva 4.2: Poikkileikkaukseltaan suorakulmainen johdin V. Matalilla taajuuksilla johtimen resistanssia voidaan approksimoida DC-resistanssilla R = l. Korkeilla taajuuksilla approksimoimme virrantiheyden jakautuneen puoliavaruuden jakauman (4.1) mukaisesti johtimen pintakerroksiin. Lasketaan σa approksimaatio resistanssille jälkimmäisessä tapauksessa ensiksi tarkastelemalla virtaa alkion vasemmalla reunalla x = 0. Yhtälöä (4.1) käyttämällä voimme laskea vasemman reunan osuuden virrasta I V :n päädyn läpi I 1 = A J 0 e (1+j)x/δ da. (4.8) Koska virrantiheys heikkenee nopeasti johtimen pintakerroksissa, saamme hyvän ap-

49 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 37 proksimaation virralle epäoleellisella integraalilla I 1 J 0 h 0 e (1+j)x/δ dx = J 0hδ. (4.9) 2 Soveltamalla samaa järkeilyä muille sivuille ja olettamalla integrointialueiden leikkaamisesta johtuvan virheen pieneksi voimme approksimoida virta-alkion kuljettamaa kokonaisvirtaa I = 2J 0 (h + w)δ. (4.10) Koska nyt tunnemme kokonaisvirran, voimme laskea alkion vasemman reunan osuuden resistanssista yhtälöstä (4.4) R 1 = hl δi 2 0 J 2 0e 2x/δ dx = δhlj2 0 2δI 2. (4.11) Toistamalla integroinnin muille sivuille ja käyttämällä yhtälöä (4.10) voimme laskea V :n kokonaisresistanssin R = δlj2 0(h + w) δi 2 = l 2δ(h + w). (4.12) Tämä vastaa δ-paksuisten ohuiden V :n pintalevyjen DC-resistanssia. Suoritetaan seuraavaksi vertailulaskenta käyttämällä FastHenryä. * Suorakulmainen w = h = 1cm, l = 10cm johtimen pätkä, joka jaetaan * vaaka- ja pystysuorassa 9 osaan..units mm.default sigma=37700.default nhinc=9.default nwinc=9 N1 x=0 y=0 z=0 N2 x=100 y=0 z=0 E1 N1 N2 w=10 h=10.external N1 N2.freq fmin=1e2 fmax=1e12 ndec=3.end Suoritetaan simulointi suurella joukolla taajuuksia ja jakoja, jolloin saamme kuvan 4.3. Kuvasta havaitaan erikoisesti induktanssin pieni taajuusriippuvuus verrattuna

50 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 38 resistanssiin. Edelleen yhtälö (4.12) vaikuttaa täsmäävän tiheimmillä jaoilla laskettuihin tuloksiin. Jokaisella jaolla tietyn rajataajuuden jälkeen lasketut resistanssit vaikuttavat vakiintuvan. Virranahdon huomioiminen vaatii jaon tihentämistä taajuuden kasvaessa. Nyt voimme esimerkkinä yhtälöllä (4.7) laskea alarajan jaon tiheydelle taajuudella f = 10 7 Hz kun α = 2 ja β = 1. Edellä σ = S/m, w = h = 0.01m, l = 0.1 m, µ 0 = 4π 10 7, joten tunkeutumissyvyys Nyt yhtälöstä (4.7) δ = ( ) 1/2 2 = m. (4.13) µ 0 σω ( ) ( ) 2βδ w(1 α) 2δ + w N > log α = log βδ(1 + α) α = (4.14) 3δ Tässä todennäköisesti riittää N := 7, jolloin n = 2N + 1 = 15. Kuvasta havaitaan, että jaon resistanssi vakiintuu juuri taajuuden f = 10 7 ympäristössä. Pyöristämällä ylöspäin taajuudella f = 10 8 saamme N := 9 ja n = x x R x17 L x log 10 f 9x9 1x1 3x log 10 f Kuva 4.3: Fasthenryllä lasketut resistanssit Re Z t ja induktanssit Im Z t /ω joukolla eri jakoja(tekstit oikeassa laidassa). Katkoviiva ilmaisee kaavalla (4.12) laskettua resistanssia. Jokainen pallo ilmaisee laskettua 1 1 portti-impedanssimatriisia Z t. 4.2 Filamenttiapproksimaatio Esitämme nyt lyhyesti osittaiskeskinäisinduktanssien laskentaan käytettyjen filamenttiapproksimaatioiden perusidean. Tulemme kappaleessa 4.3 soveltamaan filamenttiapproksimaatioita laskettaessa rinnakkaisten virta-alkioiden osittaiskeskinäisinduktanssien suhteellisten virheiden ylärajoja.

51 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 39 Yhtälön (2.39) osittaiskeskinäisinduktanssien laskentaan on ilmeisesti olemassa tarkat kaavat vain erikoistapauksissa, joissa virta-alkiot ovat keskenään joko samansuuntaisia tai ortogonaalisia. Muulloin osittaiskeskinäisinduktanssien laskentaan käytetään filamenttiapproksimaatiota 1. V i V i1 C i1 C j1 V j V j1 Kuva 4.4: Virta-alkioiden V i ja V j esimerkkijako filamentteihin. Jaetaan virta-alkiot V i ja V j osiin V im ja V jn poikkipinta-aloilla missä a im ja a jn, missä m = 1,...,M ja n = 1,...,N. Tällöin L ij = µ ˆli ˆl j 4π a i a j V i V j dv dv r r = µ ˆli ˆl j 4π a i a j M N m=1 n=1 Jos poikkipinta-alat ovat pieniä, voimme approksimoida V im V jn dv dv r r a i m a jn C im C jn V im V jn dv dv r r, (4.15) dl dl r r, (4.16) missä C im ja C jn ovat tilavuuksien V im ja V jn keskellä kulkevat käyrät. Oletetaan näiden filamenttien olevan valittu homogeenisesti siten, että a i = Ma im, a j = Na jn. Tällöin L ij µ 4πˆl i ˆl j = µ 4πˆl i ˆl j M m=1 n=1 M m=1 n=1 N a im a jn a i a j N 1 MN C im C im C jn C jn dl dl r r dl dl r r = 1 MN M m=1 n=1 N L f i mj n, (4.17) 1 Filamentti-sanalla saatetaan usein viitata myös alivirta-alkioihin, joita käytetään virranahdon huomioimiseen. Tässä työssä filamentit liittyvät yksinomaan osittaiskeskinäisinduktanssien laskennassa käytettyihin approksimaatioihin.

52 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 40 missä filamenttien i m ja j n osittaisinduktanssi määritellään L f i mj n := µ 4π (ˆl im ˆl jn ) C im C jn dl dl r r (4.18) Filamenttien välisille osittaisinduktansseille on olemassa tarkat kaavat ja virta-alkioiden osittaiskeskinäisinduktansseja lasketaan usein approksimoimalla virta-alkioita äärellisellä joukolla filamentteja [17], [8]. Esimerkiksi FastHenry käyttää joko yhden tai neljän filamentin approksimaatioita riippuen virta-alkioiden etäisyydestä. Nyt tihentämällä jakoa saamme yhteyden virta-alkioiden ja filamenttien osittaisinduktanssin määritelmille L ij = lim M,N 1 MN M m=1 n=1 N L f i mj n. (4.19) Virta-alkioiden osittaisinduktanssi on siis keskiarvo eri virta-alkioiden filamenttien osittaisinduktansseista jaon tihentyessä. 4.3 Virta-alkioiden parametrien virheet Geometrisesti tarkkojen mallien muodostaminen on mallintajalle usein raskasta. Haluamme tietää kuinka virheet virta-alkioiden pituuksissa ja etäisyyksissä vaikuttavat resistanssiin sekä osittaisinduktansseihin. Jos edelleen tunnemme PEEC:n piirimatriisin, on todennäköisesti mahdollista arvioida virheiden etenemistä portti-impedansseihin. Toisaalta ainakaan FastHenrystä tällaista verkon topologiaa koskevaa tietoa ei saa helpolla Resistanssi Virta-alkion V i resistanssi R i = l σa = l σwh, (4.20) missä l on virta-alkion pituus, σ johtavuus w virran suuntaan nähden kohtisuoran poikkipinta-alan leveys ja h korkeus. Nyt lineaarisesti approksimoimalla resistanssia leveyden funktiona R(w 0 + w) R(w 0 ) + R w (w 0) w = l σw 0 h l w σw0h. (4.21) 2 Näin saamme approksimaation resistanssin suhteelliselle muutokselle pienillä leveyden muutoksilla w R(w 0 + w) R(w 0 ) R(w 0 ) l w/(σw2 0h) l/(σw 0 h) = w w 0. (4.22)

53 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 41 Vastaavasti pienillä korkeuden ja pituuden muutoksilla h ja l R(h 0 + h) R(h 0 ) R(h 0 ) R(l 0 + l) R(l 0 ) R(l 0 ) Osittaiskeskinäisinduktanssi h h 0 (4.23) l. l 0 (4.24) (a) (b) (c) l C i C j V j C i C j C i C j V i V j V j V i V i d Kuva 4.5: (a) Virherajan johtamiseen käytetty filamenttien valinta rinnakkaisilla virtaalkioilla. (b), (c) Pessimistisiä virherajoja saadaan laskemalla suhteellinen virhe rinnakkaisille filamenteille. Tarkastellaan tilannetta, jossa samanpituiset virta-alkiot V i ja V j ovat rinnakkain. Koska keskenään lähimpänä olevilla filamenteilla integroitava funktio 2.39 on suurin ja ei-negatiivinen, valitsemalla V i ja V j reunoilta pitkittäiset käyräintegraalit C i ja C j saamme L ij = lim M,N 1 MN M N m=1 n=1 L f i mj n < µ 4π C i C j dl dl r r (4.25) Tämä filamenttipari on myös herkin muutoksille filamenttien etäisyydessä ja pituudessa, joten sitä voidaan käyttää suhteellisen virheen ylärajan johtamiseen pienille muutoksille d ja l. Integroimalla saamme(ks. Liite A.3) µ 4π C i C j [ ( dl dl r r = µl ) ] l log 2π d l2 1 + d2 d 2 l + d. (4.26) 2 l Jos l d, voimme approksimoida µ 4π C i C j dl dl r r µl [ log 2l ] 2π d 1 =: M (4.27)

54 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 42 Nyt M l = µ 2l log 2π d ja M d = µl 2πd, (4.28) joten lineaarisesti approksimoimalla funktiota M pisteiden l = l 0 ja d = d 0 ympäristössä, saamme suhteelliset virheet M(l 0 + l) M(l 0 ) M(l 0 ) M(d 0 + d) M(d 0 ) M(d 0 ) l l 0 log(2l 0 /d) log(2l 0 /d) 1 d d 0 1 log(2l/d 0 ) 1 (4.29) (4.30) Olemme tehneet taustaoletuksen l d, joten nimittäjät pysyvät äärellisinä. Jos virta-alkiot eivät ole täysin rinnakkaisia ja yhdensuuntaisia, edelliset yhtälöt toimivat suhteellisen virheen pessimistisenä ylärajana kuvan 4.5 tapaan. Vähemmän pessimistiset virhe-rajat on todennäköisesti johdettavissa yleisestä filamenttien välisen osittaiskeskinäisinduktanssin kaavasta Osittaisitseinduktanssi Suorien poikkileikkaukseltaan suorakulmaisien johtimien itseinduktanssien laskemiseen on olemassa pitkähkö tarkka kaava[21]: L ii l = 2µ ( [ ( ) 1 1 w π 4 w S + 1 ( ) ( )] t 1 α t t S + S (4.31) α w r + 1 [ ( ) ( ) ( t 2 24 w S w + w2 tα t (r + α r t S t + t2 w 2 ) wα w (r + α r w 2S tr(α t + α r ) ( + w2 t 2 S t 2 ) + 1 ( wt 2 ) wr(α w + α r ) wt 2S + 1 ( tw 2 )] α t (α w + α r ) tw 2S α w (α t + α r ) 1 [ ( ) 1 wt 6 wt T + t ( ) w α r w T + w ( )] t tα r t T wα r 1 [ (α r + r + tα t )t 2 60 (α r + r)(r + t)(t + α t )(α t + α r ) + (α r + r + w + α w )w 2 (α r + r)(r + w)(w + α w )(α w + α r ) ] (α r + α w α t ) + 1 [ ]) , (α r + α w )(α w + 1)(α t + 1)(α t + α r ) 20 r + α r α w + α r α t + α r missä w = W/l,t = T/l,r = w 2 + t 2,α w = w 2 + 1,α t = t 2 + 1,α r = w2 + t 2 + 1,S(x) = sinh 1 (x),t(x) = tan 1 (x). W,T ja l ovat nyt vastaavasti virta-alkion leveys, korkeus ja pituus. Helpoin tapa tutkia virta-alkioiden parametrien epätarkkuuksien vaikutusta osittaisitseinduktanssiin on todennäköisesti käyttää lauseketta (4.31), joka on implementoitu MATLAB-funktiossa itseinduktanssi.m (Liite B). Toisaalta suhteellista virhettä voidaan approksimoida graafisesti käyttämällä seuraavaa tulosta:

55 5.6855e e e e e e e e e Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 43 Lemma 1 Olkoon virta-alkion V i pituus l, leveys w ja paksuus t ja vastaavasti virtaalkion V j pituus αl, leveys αw ja paksuus αt. Tällöin L jj = αl ii. Oletetaan nyt, että käyttäjä voi selvittää osittaisitseinduktanssin L(w/l, t/l, 1), missä L(w, t, l) on l-pituisen, w-levyisen ja t-paksuisen virta-alkion osittaisitseinduktanssi. Tällöin edellisen tuloksen nojalla L(w,t,l) = ll(w/l,t/l, 1), (4.32) missä virta-alkion mitat on annettu metreissä. Osittaisitseinduktanssi voidaan nyt määrittää funktiolla itseinduktanssi_kuvaaja.m(liite B) piirretystä kuvasta 4.6. log10 t l e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 06 L(w/l,t/l,1) e e e e e e e e e e e e e w log 10 l e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 07 1 Kuva 4.6: Suhteellinen osittaisitseinduktanssi L/l suhteellisen leveyden w/l ja suhteellisen korkeuden t/l funktiona. Esimerkki 7 Olkoon l = 20cm ja w,h [0.8, 1.2]cm. Tällöin aina pyöristäen väliä laajentavaan suuntaan w/l,h/l [0.04, 0.06] ja log 10 w/l, log 10 h/l [ 1.4, 1.2]. Nyt voimme piirtää kuvaan 4.6 vastaavan laatikon ja havaitsemme, että laatikkoa rajoittavat induktanssikäyrät L/l = H/m ja L/l = H/m. Nyt kertomalla pituudella l saamme L [ nh, nh].

56 4. Virhelähteitä (L p,r)-mallinnuksessa 44 Ohje 4 (Virta-alkioiden parametrien virheet) Virta-alkioparin osittaiskeskinäisinduktanssin virheen ylärajana toimii eri virta-alkioiden lähekkäimpien filamenttien osittaiskeskinäisinduktanssin virhe. Lähes rinnakkaisten virta-alkioiden erikoistapauksessa tätä suhteellista virhettä voidaan approksimoida lausekkeilla (4.29) ja (4.30). Virta-alkion osittaisitseinduktanssin virhettä voidaan arvioida lausekkeella (4.31) tai käyttämällä esimerkiksi kappaleessa kuvattua graafista menetelmää. Virta-alkion resistanssin suhteelliset virheet saadaan lausekkeista (4.22), (4.23) ja (4.24).

57 45 5. YLEISEMMÄT PEEC-MALLIT Tähän mennessä käsitelty teoria rajoittuu yksinomaan käsittelemään (L p,r)-malleja. Tässä kappaleessa tulemme käymään läpi PEEC:stä tehdyn tutkimuksen perusideoita ja selvitämme kuinka voimme laajentaa johdinrakenteiden (L p,r)-mallia. Kappaleessa 5.1 esitämme kuinka kapasitansseja voidaan laskea sähköstatiikassa selvittämällä erityisesti FastCap-ohjelmiston teoreettista taustaa. Tämän jälkeen kappaleessa 5.2 esitämme tiivistäen aaltotehtävien ratkaisuun riittävän (L p,r,p,τ)- teorian ortogonaalisille johdinrakenteille. Kappaleessa 5.3 selvitämme kuinka mallia voidaan laajentaa huomioimaan eristemateriaaleja ja tämän jälkeen kappaleissa 5.4 ja 5.5 selvitämme lyhyesti epäortogonaalisten rakenteiden (L p,r,p,τ)-malleista sekä Model Order Reduction-menetelmistä tehtyä tutkimusta. Tämän jälkeen selvitämme saatavilla olevien PEEC-ohjelmistojen ominaisuuksia. Hyvä esitys PEEC-menetelmien tilasta, ohjelmistoista ja jatkokehityksestä löytyy lähteestä [18]. Vielä kattavempi mutta vanhempi esitys korkeilla taajuuksilla toimivien rakenteiden mallinnukseen liittyvien mm. PEEC-menetelmien tilasta on [12]. Jos lukijaa ei kiinnosta tekniset yksityiskohdat, lukija voi hypätä kappaleeseen Kapasitanssi sähköstatiikassa Seuraavassa esitämme lyhyesti kuinka johdinrakenteiden kapasitansseja voidaan laskea sähköstatiikassa. Tulemme myöhemmin käsittelemään nyt esitettävän teorian yhteyttä (L p,r,p)-malleihin. Tarkastellaan johtimista koostuvaa järjestelmää, joka on upotettu koko avaruuden täyttävään eristeeseen vakiopermittiivisyydellä ǫ. Nyt Gaussin laista D = ǫẽ = ǫ 2 φ = ρ (5.1) saadaan Poissonin yhtälö 2 φ = ρ ǫ, (5.2) josta voidaan ratkaista sähköstaattinen skalaaripotentiaali φ(r) = 1 4πǫ ρ(r ) r r dv. (5.3)

58 5. Yleisemmät PEEC-mallit 46 Sähköstatiikassa voimme olettaa, että varaus kerääntyy johtimien pinnoille. Tulkitsemme tässä varaukset kuljetetuksi nollapotentiaalista äärettömyydessä, joten varausjakauman rakentaminen vaatii työtä. Ilmaistaan approksimaatio varaustiheydelle johtimien pinnoilla jakamalla pinnat yhteensä N osaan siten, että ρ(r) = N ρ j (r), (5.4) j=1 missä ρ j (r) = ρ j χ Sj (r) ja ρ R N on vakiovektori. χ Sj on varausalkion j geometrista muotoa kuvaavan pintajoukon S j karakteristinen funktio. Sijoittamalla edellisen lausekkeeseen (5.3) approksimoimme φ(r) = N j=1 ρ j 1 4πǫ S j r r ds. (5.5) Nyt merkitsemällä alkion j kokonaisvarausta q j := m(s j )ρ j = a j ρ j, sähköstaattinen potentiaali varausalkion i keskipisteessä r i φ i := φ(r i ) = N j=1 q j 4πǫa j 1 S j r i r da = N P ij q j, (5.6) j=1 missä merkitsemme potentiaalikertoimia P ij = 1 1 4πǫa j S j r i r da. (5.7) Ruehli [16] muotoilee vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän integroimalla yhtälön (5.5) alkion S i yli ja jakamalla lopputuloksen pinta-alalla a i. Tällöin saataisiin P ij :lle määritelmä P ij := 1 4πǫa i a j S i 1 S j r r da da. (5.8) P ij määrittäminen edellyttää tällöin kaksinkertaisten pintaintegraalien laskemista. Jälkimmäisellä tavalla määritelty matriisi P on kuitenkin aikaisemmasta määrittelystä poiketen aina täysin symmetrinen. FastCAP:n [27] käyttämän yksinkertaisemman esityksen (5.7) tarkoitus on ilmeisesti approksimoida lauseketta (5.8). Tässä kannattaa muistaa, että varausjakaumaan liittyy aina jokin potentiaalienergia ja täten sen rakentaminen vaatii työtä [26] U = ǫ 2 E 2 dv = 1 2 N q j φ j = 1 2 j=1 N N q i P ij q j. (5.9) j=1 i=1 Meillä on nyt lineaarinen kuvaus P, joka sitoo varauksia q ja potentiaaleja φ

59 5. Yleisemmät PEEC-mallit 47 siten, että φ = Pq. (5.10) Käänteiskuvaus C := P 1 puolestaan kuvaa potentiaalit φ varauksille q siten, että q = Cφ. (5.11) (P)-PEEC Potentiaaliero varausalkion i ja maan välillä saadaan yhtälöstä (5.6) φ i 0 = N j=1 P ij q j = P ii q i + j i P ij q j. (5.12) Toisinsanoen jokainen varausalkio vastaa pseudokapasitanssin 1/P ii ja varausohjatun jännitelähteen j i P ijq j sarjaankytkentää. Nyt alkion j varaus q j := 1 P jj V cj, (5.13) missä V cj on varausalkion j pseudokapasitanssin ylioleva jännite. Varausohjattu jännitelähde voidaan siis korvata jänniteohjatulla jännitelähteellä P ij j i P jj V cj. Näin päädymme kuvan 5.1 ekvivalenttipiiriin. i 1/P ii j i P ij P jj V cj I1 Kuva 5.1: Neljästä varausalkiosta koostuva johtimen pinta ja ekvivalenttikytkentä mallintamaan varausalkion i potentiaalin riippuvuutta pinnan varauksista. Toinen tapa muodostaa ekvivalenttipiiri on rakentaa täysi kapasitanssien verkko kytkemällä jokaisen varausalkioparin välille kapasitanssi. Tällöin miellämme myös

60 5. Yleisemmät PEEC-mallit 48 äärettömyydessä sijaitsevan nollapotentiaalin varausalkioksi. Yhtälöstä (5.11) q i = N C ij φ j = j=1 = ( N N [ C ij (φ i φ j )] + C ij )φ i (5.14) j=1 N j=1,j i j=1 [c ij (φ i φ j )] + c ii φ i, missä kapasitanssiverkon kapasitanssit c ij := { N k=1 C ik, i = j C ij, i j. (5.15) Esimerkiksi kuvassa 5.1.1, voimme laskea c 11 = C 11 + C 12 + C 13 c 22 = C 12 + C 22 + C 23, c 33 = C 13 + C 23 + C 33 c 12 = C 12 c 13 = C 13 (5.16) c 23 = C 23 Ekvivalenttipiirin kapasitanssien määrä kasvaa neliöllisesti varausalkioiden lisääntyessä. Yleisesti n alkiolle tarvitsemme n(n+1) 2 kapasitanssia. (a) (b) (c) J 1 c 13 c 11 c 23 J 3 J 1 J 1 c 12 c 33 J 3 J 2 0 J 2 J 2 J 3 c 22 Kuva 5.2: (a) Ekvivalenttipiiri kolmen varausalkion/alkioryhmän kapasitanssille. (b) Sovelluskohde muodostettuna varausalkioista. (c) Sovelluskohde muodostettuna johtimista. Ei ole itsestäänselvää, että samanlaiset piirimallit kapasitiivisille ilmiöille toimisivat ongelmitta dynamiikassa. Taajuuksien noustessa emme voi enää olettaa johtimien olevan tasapotentiaalipintoja. Myös merkittävät virrat muuttavat potentiaaleja yhtenäisen johtimen eri kohdissa. Myöhemmin (L p,r,p,τ)-mallien esittelyn yhteydessä tulee kuitenkin käymään ilmi, että yleisempi kapasitiivisia ilmiöitä mallintava osa (L p,r,p)-peec:stä tulee olemaan täsmälleen samaa muotoa.

61 5. Yleisemmät PEEC-mallit Paneelijoukot Tarkastellaan tilannetta, jossa N varausalkiota yhdistetään M:ksi suuremmaksi alkioksi. Nämä paneelijoukot yleensä mielletään vastaamaan erillisiä johtimia sähköstatiikassa. Esimerkiksi N varausalkiota on voitu jakaa M:n erillisen johtimen pinnalle. Approksimoimalla epäsäännöllisen muotoisia johtimia suorakulmaisilla varausalkioilla saamme jonkinlaisen arvion johdinten kapasitiivisesta kytkeytymisestä. Joukot ovat tarpeen myös siksi, etteivät pintojen varaustiheydet sähköstatiikassa aina ole vakioita. Määritellään matriisi A R M N siten, että A ij = 1 pätee, jos alkio j kuuluu johtimeen i ja A ij = 0 muulloin. Merkitään joukkojen potentiaaleja φ :lla ja varauksia q :lla. Jos nyt asetamme koko joukot vakiopotentiaaleihin φ, varausalkioiden potentiaalit saadaan lausekkeesta φ = A T φ. (5.17) Edelleen joukon i kokonaisvaraus q i = N A ij q j. (5.18) j=1 Jos asetamme jokaisen joukon varausalkiot keskenään samoihin potentiaaleihin, saamme (5.11), (5.17) ja (5.18) nojalla relaation q = Aq = ACφ = (ACA T )φ. (5.19) Määrittelemme joukoille kapasitanssimatriisin C R M M C := ACA T. (5.20) Käytännössä FastCAP[27] toimii näin. Käyttäjä määrää joukon varausalkioita(paneeleja), jotka jaetaan joukkoihin vastaten esimerkiksi erillisiä johtimia. FastCAP palauttaa näille joukoille lasketun kapasitanssimatriisin C. Edellisellä menettelyllä saadusta kapasitanssimatriisista voimme muodostaa ekvivalenttipiirejä varausalkio-joukoille täsmälleen samoin kuin yksittäisille varausalkioille. Epäselväksi on jäänyt kuinka FastCAP huomioi eristemateriaalit, jotka eivät täytä koko avaruutta. Hyvin yksinkertaisissa geometrioissa tämä onnistuu käytämällä yhtälössä (5.3) monimutkaisempaa Greenin funktiota, joka löydetään esimerkiksi kuvalähde-menetelmällä [26](s ). Esimerkki 8 Tarkastellaan nyt kahden 1m 1m johdinlevyn tapausta. Haluamme tietää levyjen välisen kapasitanssin kun levyjen välimatka on 0.1m.

62 5. Yleisemmät PEEC-mallit 50 1 m 0.1 m 1 m Kuva 5.3:. Jakamalla molemmat levyt paneeliin, saamme FastCAP:lla lausekkkeen (5.20) kapasitanssimatriisin [ ] C nf nf =. (5.21) nf nf Mitä tämä tarkoittaa? Yhtälöstä (5.19) q 1 = C 11φ 1 + C 12φ 2 q 2 = C 21φ 1 + C 22φ 2. (5.22) Haluamme kolmen solmun ekvivalenttipiirin, jossa jokaista solmuparia yhdistää kapasitanssi siten, että solmun varaus tulee olemaan summa kapasitansseihin liitetyistä varauksista. Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa yhtälön (5.14) tapaan q 1 = C 12(φ 1 φ 2) + (C 11 + C 12)φ 1 q 2 = C 21(φ 2 φ 1) + (C 21 + C 22)φ 2. (5.23) Nyt voimme lausekkeen (5.15) mukaisesti merkitä c 11 = C 11 + C 12 = 22.7 pf (5.24) c 22 = C 21 + C 22 = 22.7 pf (5.25) c 12 = C 12 = C 21 = pf, (5.26) jolloin q 1 = c 12 (φ 1 φ 2) + c 11 φ 1 q 2 = c 12 (φ 2 φ 1) + c 22 φ 2. (5.27)

63 5. Yleisemmät PEEC-mallit 51 Toisinsanoen johdinten J 1 ja J 2 varauksien ja potentiaalien välinen relaatio on sama kuin kuvan 5.4 ekvivalenttipiirillä. J 1 c 11 c 12 0 J 2 c 22 Kuva 5.4: Levykondensaattorin ekvivalenttipiiri. Koska tarkastelemme levykondensaattoria, haluamme relaation levyjen vastakkaismerkkisiksi oletettujen kokonaisvarauksien ja potentiaalieron välille. Ts. oletamme q 1 = c 12 (φ 1 φ 2) + c 11 φ 1 = c 12 (φ 2 φ 1) c 22 φ 2 = q 2, (5.28) josta voimme ratkaista q 1 (φ 1 φ 2) = c 12 + c 11 2 = pF. (5.29) Yleisesti käytetyllä approksimaatiolla levykondensaattoreille[26](s. 153) C = ǫ 0A d = pf. (5.30) Levyjen lähetessä toisiaan kentät levyjen välin ulkopuolella menettävät merkitystään ja levyjen välinen sähkökenttä muuttuu homogeenemmaksi, jolloin eri tavoilla laskettujen arvojen suhteelliset erot pienevät. 5.2 Ortogonaalisten johdinrakenteiden (L p, R, P, τ)-malli Historiallisesti PEEC-menetelmä on lähtöisin A.Ruehlin tutkimuksesta 1970-luvun alkupuolelta. Samaa tutkimusta on jatkanut ruotsissa Luleå:n teknillisen yliopiston EISLAB:ssa mm. J. Ekman yhteistyössä Ruehlin kanssa. Tehtävänmuotoilu on jonkin verran erilainen kuin Kamonin lähestymistapa, joten esitämme sen tässä lyhyesti.

64 5. Yleisemmät PEEC-mallit 52 Yleisen aaltotehtävien laskentaan riittävän ortogonaalisten johdinrakenteiden PEEC-malli esitetään A.Ruehlin paperissa [10]. Malli on käytännössä sama kuin J. Ekmanin väitöskirjan [22] kolmannessa kappaleessa esitetty malli. Ekman esittää kuinka mallia on laajennettu eristemateriaalien ja ulkoisten kenttien huomioonottamiseksi sekä esittää erikseen virta- ja varausalkioiden (L p ), (R) sekä (P)-mallit. Ekmanin esitys on kuitenkin tarkoitettu vain esitelmämuotoiseksi menetelmän taustan selvitykseksi, joten se ei ole kovin formaali ja sisältää matemaattisia virheitä sekä määrittelemättömiä käsitteitä. Koska Ruehlin paperi [10] on toiminut periaatteellisena perustana lähes kaikelle PEEC-tutkimukselle, selvitämme tässä tiivistäen paperissa esitetyn teorian. Tämän jälkeen esitämme tiiviimmin kuinka teoriaa on laajennettu huomioimaan eristemateriaalit ja monimutkaisemmat geometriat. Tehtävän formulointi lähtee yleisestä sähkökenttä-integraaliyhtälöstä(efie) johtimessa olevalle pisteelle r Ẽ 0 (r,t) = J(r,t) σ + Ã(r,t) t + Φ(r,t), (5.31) missä magneettinen vektoripotentiaali à saadaan johtimien kuljettaman virrantiheyden J funktiona Ã(r,t) = µ J(r,t ) 4π r r dv, (5.32) sekä sähköinen skalaaripotentiaali Φ vapaan varauksen ρ funktiona Φ(r,t) = 1 ρ(r,t ) 4πǫ r r dv, (5.33) missä viivästetty aika t := t r r. (5.34) c Ẽ 0 = 0 on PEEC-mallin ulkopuolisen järjestelmän indusoima lähdekenttä. Potentiaalit ovat nyt viivästyneitä ja oletamme potentiaalien à ja Φ toteuttavan Lorentz:n mittaehdon à + 1 Φ = 0, (5.35) c 2 t missä c on valonnopeus tyhjiössä. Koska (L p,r)-teoriassa oletimme Coulombin mittaehdon à = 0, aikaisemmissa luvuissa esiintyneitä potentiaaleja ei tule sekoittaa nyt käytettyihin. Malli toimii myös tilanteissa, joissa johtimet ovat upotettuja homogeeniseen koko avaruuden täyttämään eristemateriaaliin dielektrisyyskertoimella ǫ. Ruehlilla on julkaisuissaan tapana jakaa avaruus K johtimeen, jolloin EFIE:ssä summamme eri johtimien virrantiheys- ja varauskenttien yli. Tämä myös Ekmanin käyttämä notaatio

65 5. Yleisemmät PEEC-mallit 53 johtaa yhtälöiden sekaantumiseen, joten vältämme sitä tässä käyttämällä mahdollisimman samankaltaista notaatiota kuin aikaisemmin (L p,r)-teorian yhteydessä Elementteihin jako Johtimia kuvataan aikaisempaan tapaan N b tilavuusvirta-alkioilla siten, että approksimaatio virrantiheydelle N b J a (r,t) := I j (t) Ψ j (r), (5.36) j=1 missä kantafunktio Ψ j (r) := χ V j (r)ˆl j. (5.37) a I j I j (t) kuvaa virta-alkion j kuljettamaa virtaa ajan funktiona ja a I j on alkion kuljettaman virran suuntaan ˆl j nähden kohtisuora poikkipinta-ala. χ Vj on virta-alkion j geometrista muotoa kuvaavan tilavuusjoukon V j karakteristinen funktio. Samaan tapaan kuvaamme johdinten pintavaraustiheyttä N n pintavarausalkiolla siten, että approksimaatio varaustiheydelle N n ρ a (r,t) := Q j (t)γ j (r), (5.38) j=1 missä kantafunktio Γ j (r) := χ S j (r). (5.39) a Q j Q j (t) kuvaa varausalkion j kokonaisvarauksen aika-riippuvuutta ja a Q j on alkion pinta-ala. χ Sj on varausalkion geometrista muotoa kuvaavan pintajoukon S j karakteristinen funktio. Varausalkioiden valintaa käsitellään myöhemmin. Ylläolevaa vakiopintakantafunktio-esitystä voidaan kuitenkin käyttää yleisesti. (r,t) t Q 1 r r Q 1 t I 2 r r I 2 r I 1 V 1 V 2 S 1 r Q 1 r I 1 r I 2 t I 12 r I 2 r I 2 r Q 1 t QI 12 Kuva 5.5: Viivästys- ja etäisyystermien yhteydet.

66 5. Yleisemmät PEEC-mallit 54 Magneettista vektoripotentiaalia voidaan approksimoida lausekkeella à a (r,t) := µ J a (r,t ) 4π r r dv = µ 4π µ 4π N b j=1 N b j=1 I j (t ) Ψ j (r ) V j r r Ψ I j (t I j (r ) j) V j r r dv, dv (5.40) missä viivästystä pisteen r ja virta-alkion j välillä approksimoidaan virta-alkion keskipisteen r I j avulla t I j := t r ri j c t r r, r V j. (5.41) c Oletamme viivästykset virta-alkion kaikista pisteistä r V j alkion keskipisteeseen r I i pieniksi, joten virta- ja varausalkioiden on syytä olla pieniä suhteessa aallonpituuteen. [23] suosittelee sijoittamaan vähintään 10 varausalkiota aallonpituutta kohti. Sähköistä skalaaripotentiaalia voidaan approksimoida lausekkeella Φ a (r,t) := 1 ρ a (r,t ) 4πǫ r r dv = 1 4πǫ 1 4πǫ N n j=1 N n j=1 Q j (t )Γ j (r ) S j r r Q j (t Q j ) Γ j (r ) S j r r dv, dv (5.42) missä viivästyksen pisteen r ja varausalkion j keskipisteen r Q j välillä huomioi t Q j := t r rq j c t r r, r S j. (5.43) c Nyt sijoittamalla potentiaalit yhtälöön (5.31), saamme N b j=1 I j (t) Ψ j (r) σ(r) + µ N b Ψ I j (t I j (r ) t 4π j) j=1 V j r r dv (5.44) + N n Q j (t Q j 4πǫ Γ j (r ) S j r r da = 0. j=1 Otetaan yhtälöstä L 2 -sisätulo virtakantafunktion Ψ i kanssa. Olettamalla ei-ortogonaalista virta-alkioiden leikkaukset nollamittaisiksi yhtälön (5.44) ensimmäistä termiä vastaa

67 5. Yleisemmät PEEC-mallit 55 tällöin lauseke N b V Ri := j=1 I j (t) Ψ j (r) Ψ i (r ) V i σ(r) dv = l i a i I i (t) σ i a 2 i = l i σa i I i (t) = R i I i (t), (5.45) missä merkitsemme R i = l i σ i a i ja oletetamme johtavuuden olevan ilmaistavissa vakiofunktioilla siten, että σ Vi = σ i. Approksimoidaan viivästystä virta-alkion i mielivaltaisen pisteen r V i ja virtaalkion j keskipisteen r I j välillä lausekkeella t I ij := t ri i r I j c t r ri j. (5.46) c t I ij toimii nyt approksimaationa virta-alkioiden i ja j mielivaltaisten pisteiden väliselle viivästykselle. t I ij:tä käytetään kuvaamaan virta-alkioparin induktiivisessa kytkeytymisessä esiintyvää viivästystä. Käyttämällä tätä approksimaatiota yhtälön (5.44) toinen termi voidaan kirjoittaa V Li : = µ 4π V i µ 4π N b j=1 missä osittaisinduktanssi N b j=1 t I j(t I j) I j (t I ij) t 1 a I i ai j Ψ i (r) Ψ j (r ) V j r r V i V j L ij := µ 4πa i a j V i V j ˆl i ˆl j r r dv dv = Yhtälön (5.44) kolmannen termin L 2 -sisätulo Ψ i :n kanssa on V Ci : = 1 Ψ i (r) 4πǫ V i = 1 4πǫa i V i l i N n j=1 N n j=1 dv dv (5.47) N b j=1 I j (t I ij) L ij, t ˆl i ˆl j r r dv dv. (5.48) Q j (t Q j ) Q j (t Q j ) a Q j Γ j (r ) S j r r da dv (5.49) 1 S j r r da dv, missä huomioimme käsittelyä helpottavan yhteyden ˆl i = l i. Approksimoidaan nyt viivästystä virta-alkion i ja varausalkion j välillä lausekkeella t QI ji := t rq j ri i, (5.50) c

68 5. Yleisemmät PEEC-mallit 56 jolloin V Ci = N n Q j (t QI ji ) 4πǫa I j=1 i aq j Otetaan käyttöön approksimaatio V i V i l i 1 S j r r da dv. (5.51) l F(r)dv ai i(f(r + i ) F(r i )), (5.52) missä r ± i piste tilavuuden V i ±l-suuntaisessa päässä. Nyt V Ci = = N n j=1 N n j=1 Q j (t QI ji ) [ ] 1 1 4πǫa Q j S j r + i r da S j r i r da Q j (t QI ji )[P [i+]j P [i ]j ], (5.53) missä P [i±]j = 1 4πǫa Q j 1 S j r ± i r da. (5.54) Nyt vakio P [i±]j liittyy virta-alkion i ±-päädyn ja varausalkion j geometriseen suhteeseen Varausalkioiden valinta Rajoitumme yksinkertaisuuden vuoksi tilanteeseen, jossa jokaisen virta-alkion molempiin päätyihin voidaan liittää täsmälleen yksi yksikäsitteinen varausalkio. Tällöin matriisi P tulee liittymään varausalkiopareihin. Jos voimme mallintaa johdinrakennetta 1-ulotteisena, johdin jaetaan ensin pituussuunnassa N solmuun. Solmuja yhdistävät kuvan 5.6(a) tapaan virta-alkiot ja ympäröi varausalkiot. Varausalkiot sijoitetaan pystysuunnassa kuvan tapaan johdinten keskelle. 2-uloitteiset johtimet jaetaan solmuihin kuvan 5.6(b) tapaan täsmälleen samoin, mutta nyt solmuja yhdistävät virta-alkiot sekä x- että y-suuntaisesti. Varausalkioiden valinta tilanteessa, jossa johtimen malli sisältää kolmeen suuntaan kulkevia virta-alkioita on monimutkaisempaa. Tällöin jaamme johdinten pinnat varausalkioihin vastaten johdinten pintoja, joten emme pysty yhdistämään johtimen sisässä kulkevien virta-alkioiden päitä yksikäsitteisiin varausalkioihin 1. Varausalkioiden valintaa ja niihin liittyvien kertoimien laskemista käsitellään tarkemmin Ekmanin väitöskirjan [22] liitteenä F olevassa julkaisussa[23]. 1 Tästä seuraa, että johtimen sisässä olevien virta-alkioiden päätysolmujen ekvivalenttihaaroissa ei esiinny pseudokapasitanssia. Sen sijaan jännite haaran päätysolmujen ja maan välillä on riippuvainen yksinomaan pintavarausalkioista.

69 5. Yleisemmät PEEC-mallit 57 S 1 V 1 S 2 V 2 replacemen S 3 V 3 S 4 (a) (b) Kuva 5.6: (a) 1-ulotteisen rakenteen jako virta- ja varausalkioihin. Katkoviivat rajoittavat varausalkioita S 1, S 2, S 3, S 4 sekä yhtenäiset viivat nuolien suuntaisia virta-alkioita V 1, V 2, V 3. (b) 2-ulotteisen rakenteen jako. Oletetaan, että mallintamamme rakenne on jaettu alkioihin edelläkuvattuun tapaan, jolloin jokaisen virta-alkion päätysolmuja ympyröivät varausalkiot. Merkitään (±i):llä virta-alkion i ±ˆl i -suuntaisessa päässä sijaitsevaa varausalkiota. Tällöin yhtälön (5.54) vakiot P ij voidaan tulkita sitomaan virta-alkion päädyn ja varausalkion parin sijaan varausalkiopareja (i,j) siten, että P ij := 1 4πǫa Q i aq j S i 1 S j r r da da 1 4πǫa Q j S j 1 r Q i r da. (5.55) Lukijan kannattaa huomata yhteys lausekkeeseen (5.8). Ellemme mallinna johtimia kolmeen suuntaan kulkevilla virta-alkioilla, varausalkiot eivät nyt kuitenkaan ole johtimien pinnoilla. Yhdistämällä yhtälöt (5.45), (5.47) ja (5.53) voimme kirjoittaa jokaiselle virta-alkiolle i = 1,...,N b yhtälön missä N b I j (t I ij) R i I i (t) + L ij t j=1 N n + j=1 Q j (t IQ ij )[ P (i+)j P (i )j ] = 0, (5.56) t I ij = t ri i r I j c ja t IQ ij = t ri i r Q j. c Muodostetaan ekvivalenttipiiri, jossa jokaista virta-alkiota i vastaa virtaa I i kuljettava haara. Haara koostuu osittaisinduktanssien ja resistanssin R i sarjaankytkennästä. Osittaisinduktansseja voidaan kuvata osittaisitseinduktanssin L ii ja virta-ohjatun

70 5. Yleisemmät PEEC-mallit 58 jännitelähteen U (L) i (t) := I j (t I ij)l ij (5.57) i j sarjaankytkentänä. Jos emme mallinna viivästyksiä, voimme käyttää aikaisempaan tapaan induktanssia, jolla on keskinäisinduktanssia kaikkien muiden virta-alkioiden kanssa. Nyt yhtälön (5.56) kolmannesta komponentista N n j=1 Q j (t IQ ij )P (i±)j = Q (i±) (t IQ i(i±) )P (i±)(i±) + N n j=1,j (i±) Q j (t IQ ij )P (i±)j, (5.58) joten virta-alkioden päätysolmujen varausalkioita vastaa solmuista maahan yhteydessä oleva haara, joka koostuu pseudokapasitanssin 1/P (i±)(i±) sarjaankytkennästä varausohjatun jännitelähteen U (c) (i±)(t) := P (i±)j Q j (t IQ ij ) (5.59) j (i±) kanssa. Voimme approksimoida viivästyksen virta-alkion keskipisteen ja päätysolmun välillä pieneksi. Ts. t Q (i±)j := t rq (i±) rq j c t ri i r Q j c = t IQ ij. (5.60) Nyt Q j (t) = v Cj (t)/p jj, missä v Cj on pseudokapasitanssin 1/P jj yli oleva jännite, joten varausohjattu jännitelähde voidaan muuntaa jänniteohjatuksi siten, että varausalkiolle i U (c) i (t) := P ij Q j (t Q ij ) = j i j i P ij v Cj (t Q ij ). (5.61) P jj Näin päädymme kuvan 5.7 ekvivalenttikytkentään yhdelle virta-alkiolle. Jos tulkit- R 1 = (1 ) U (L) 1 L = (1+) 1/P 11 1/P 22 U (c) 1 U (c) 2 Kuva 5.7: Ekvivalenttikytkentä yksittäiselle virta-alkiolle. semme kuvassa esiintyvät solmujen väliset sarjaankytkennät haaroiksi, ekvivalenttipiirissä tulee olemaan N n + N b haaraa sekä N n + 1 solmua.

71 5. Yleisemmät PEEC-mallit 59 Jos unohdamme kapasitiiviset ilmiöt ja viivästykset, ekvivalenttipiiristä tulee täsmälleen sama kuin aikaisemmassa (L p,r)-muotoilussa. Edelleen kertoimet P ij voidaan laskea kappaleen 2 tapaan valitsemalla varausalkiot edelläkuvatulla tavoin. Tämä tarkoittaa, että edelliseen tapaan muodostettua viivästykset unohtavaa (L p,r,p)-peec:tä voidaan ilmeisesti approksimoida FastHenryn ja FastCAP:n yhdistelmällä. Ilmeisesti edelläkuvattu malli soveltuu vain sellaisien ortogonaalisien rakenteiden mallintamiseen, joissa virta-alkiot ovat joko x, y tai z-suuntaisia ja täten keskenään aina joko ortogonaalisia tai samansuuntaisia. Tästä seuraa, että keskinäisinduktansseille ja potentiaalikertoimille on aina olemassa tarkat kaavat [16] [21]. Toisaalta x-, y- tai z-akselien suhteen viistoon kulkevien rakenteiden käyttäminen mallissa edellyttää siksak-tyyppistä virta-alkioiden asettelua, mikä aiheuttaa varmasti virhettä. PEEC:tä yhdessä siihen kytketyn piirin kanssa voidaan nyt simuloida piirisimulaattorilla kytkemällä ulkoiset komponentit kytkentäpisteistä nähden lähimpiin PEEC:n solmuihin. Jotta viivästykset saadaan huomioitua, piirisimulaattorin on mahdollistettava virta- ja jänniteohjatut jännitelähteet, joiden ulostulo määräytyy aikaisemmin piirissä esiintyneistä jännitteistä ja virroista. Avoimeksi on jäänyt mm. seuraavat kysymykset: Mikä on lähdekentän Ẽ 0 täsmällinen tarkoitus? Soveltuuko edelläkuvattu malli vain ortogonaalisten rakenteiden mallintamiseen? Edelleen missä joudumme ongelmiin, jos sovellamme mallia yleisemmin? Kuinka hyvin edellämuodostetun (L p,r,p)-peec:n toimintaa voidaan approksimoida laajentamalla FastHenryn (L p,r)-peec:tä sähköstatiikan oletuksin muodostetulla (P)-PEEC:llä käyttämällä esimerkiksi FastCAP:ia? 5.3 Eristemateriaalien mallintaminen Edelläkuvattu teoria laajennetaan mallintamaan eristeitä paperissa [11]. Ampere- Maxwellin laki voidaan kirjoittaa H = J C + ǫ 0 (ǫ r 1) Ẽ t + ǫ Ẽ 0 t = J T Ẽ + ǫ 0 t, (5.62) missä määrittelemme kokonaisvirran J T, johtumisvirran J C ja polarisaatiovirran J P avulla J T := J C + J P = J C + ǫ 0 (ǫ r 1) Ẽ t. (5.63)

72 5. Yleisemmät PEEC-mallit 60 Vastaavasti kokonaisvaraus kirjoitetaan vapaan ja sidotun varauksen 2 avulla jolloin Gaussin laki saadaan muotoon ρ T := ρ F + ρ B, (5.64) ǫ 0 Ẽ = ρ F + ρ B. (5.65) Tällöin yleinen sähkökenttäintegraaliyhtälö(efie) on muotoa Ẽ(r,t) + ρ F (r,t ) 4πǫ 0 r r dv + ρ T (r,t ) 4πǫ 0 r r dv (5.66) + µ J C (r,t ) dv + µ ǫ0 (ǫ r (r ) 1) 2 Ẽ 4π t r r 4π r r t 2 (r,t )dv = 0, missä t = t r r. Eristemateriaalit jaetaan täsmälleen samaan tapaan tilavuusja pinta-alkioihin kuin johtimet. Tämän jälkeen ekvivalenttipiirin jokainen c haara saadaan jälleen integroimalla alkioihin jaettu EFIE yksittäisen johdin- tai eristetilavuusalkion yli. Integroitaessa johdinalkion yli Ẽ(r,t) = J C (r,t) ja meillä on huomioitavana kaksi uutta termiä EFIE:ssä: ρ T - termi vastaa eristemateriaalien σ(r) pintavarausalkioita, jotka huomioidaan täsmälleen samoin kuin johdinten pintavarausalkiot. Viimeinen termi puolestaan vastaa osittaiskeskinäisinduktansseja johdinvirta-alkion ja eristepolarisaatiovirta-alkion välillä. Integroitaessa eristetilavuusalkion yli Ẽ(r, t)-termi tulee vastaamaan excess-kapasitanssia C + := ǫ 0(ǫ r 1)a, (5.67) l missä ǫ r on alkion suhteellinen permittiivisyys, a poikkipinta-ala sekä l pituus. Varaustermit huomioidaan pseudokapasitanssien ja jänniteohjattujen jännitelähteiden avulla aikaisempaan tapaan sekä viimeiset termit osittainduktansseilla. Eristeen häviöitä voidaan mallintaa excess-kapasitanssin rinnalle kytketyllä resistanssilla[19]. 5.4 (L p, R, P, τ)-mallin laajennus epäortogonaalisiin rakenteisiin Ruehlin esittämä teoria [10] laajennetaan mallintamaan ei-ortogonaalisia rakenteita heksahedreilla julkaisussa [13]. Tämä teoria esitetään tarkemmin Ekmanin väitöskirjan [22] liitteenä annetussa julkaisussa [14]. Jokaiselle 8 kulmapisteen määrää- 2 Sidottu varaus voidaan kirjoittaa polarisaatiotiheyskentän avulla ρ B = ǫ 0 (ǫ r 1) Ẽ = P[26](s. 101).

73 5. Yleisemmät PEEC-mallit 61 C 1 = (1 ) 1 + L = (1+) U (L) 1/P 11 1/P 22 U (c) 1 U (c) 2 Kuva 5.8: Ekvivalenttikytkentä yksittäiselle eristevirta-alkiolle. mälle virta-alkioille määritellään oma koordinaatisto koordinaateilla (a, b, c), missä a, b, c [ 1, 1]. Koordinaatit kuvataan yksikäsitteisesti euklidiseen koordinaatistoon vastaten 8-kulmaisen virta-alkion sijaintia ja muotoa. Lähestymistapa poikkeaa edelläkuvatusta ainoastaan siinä, että EFIE:tä operoidaan L 2 -sisätulon sijaan erilaisella integraalioperaattorilla. Lopputuloksena saatava ekvivalenttipiiri on kuitenkin täsmälleen samaa muotoa. Eroten edellisessä kappaleessa esitetystä Kamonin (L p,r)-menetelmästä, kaarevaa johdinta kuvaavien virta-alkioiden ei nyt tarvitse leikata keskenään. Voimme siis mallintaa geometrialtaan hyvin epäsäännöllisiä rakenteita ilman virheitä, jotka johtuvat ei-ortogonaalisten virta-alkioiden leikkauksista. Haittana lähestymistavassa on kuitenkin on osittaisinduktanssien, potentiaalikertoimien ja resistanssien laskennan vaikeutuminen. Hyvin poikkeava lähestymistapa, joka soveltaa ainoastaan kolmiomaisia pintaalkioita esittämään pintavirrantiheyttä ja pintavarausta esitetään julkaisussa [36]. 5.5 Model Order Reduction PEEC-malleissa yleisenä ongelmana on ekvivalenttipiirin P sisältämien piirialkioiden suuri määrä. P:n alkioiden määrän kasvaessa ekvivalenttipiirin simuloiminen osana ulkoista piiriä käy laskennallisesti raskaaksi. P:n yksinkertaistamiseen käytetään Model Order Reduction(MOR)-menetelmiä, jotka approksimoivat ekvivalenttipiirin siirtofunktiomatriisia taajuustasossa eri tavoilla. Siirtofunktiomatriisin approksimaatiosta voidaan generoida alkuperäistä P:tä pienempi ekvivalenttipiiri, joka toimii makromallina alkuperäiselle PEEC:lle P piirisimulaattoreissa, kuten SPICE. [15] antaa hyvän katsauksen MOR-menetelmien PEEC-sovelluksien tilasta vuonna 2000 ja esittää täsmällisesti teoreettisen taustan eräälle MOR-menetelmälle, joka on tarkoitettu (L p,r,p,τ)-peec:ille. Krylov-aliavaruuksiin perustuvien MORmenetelmien matemaattista taustaa selvittää kattavasti [32]. Eri sovelluksissa menetelmää käsittelevät laajemmin mm. kirjat [37] ja [39].

74 5. Yleisemmät PEEC-mallit PEEC-menetelmää hyödyntävät ohjelmistot FastHenry, FastCap ja ConvertHenry FastHenry on laajasti käytetty MIT-lisensoitu (L p,r)-ohjelmisto, jota käytetään erilaisten johdinrakenteiden mallintamiseen magnetokvasistatiikan oletuksin. FastHenryn teoreettista taustaa on esitetty kappaleissa 2 ja 4. Karkeasti FastHenryn käyttöä ja toimintaa voidaan kuvata seuraavasti: 1. Käyttäjä määrää joukon virta-alkioita, virta-alkioiden päätysolmuparien välisiä portteja sekä taajuuksia. 2. FastHenry joko laskee portti-impedanssimatriisit määrätyillä taajuuksilla tai muodostaa Model Order Reduction-menetelmällä yksinkertaistetun SPICEekvivalenttipiirin. Portti-impedanssimatriiseista voidaan myös muodostaa SPICEekvivalenttipiiri, joka täsmää PEEC:n toimintaan yksittäisellä taajuudella. 3. Käyttäjä simuloi SPICE-ekvivalenttipiiriä PEEC:n ulkopuolisen piirin kanssa piirisimulaattorilla. FastHenry itsessään ei siis sisällä minkäänlaista piirisimulaattoria, jossa PEEC-osaa simuloitaisiin yhdessä ulkoisen piirin kanssa. FastCAP on kapasitanssien laskentaan tarkoitettu ohjelmisto, jonka teoreettista taustaa on esitetty kappaleessa 2.4. FastCap:n käyttäjä määrää joukon varausalkioita(paneeleja), jotka yhdistetään joukkoihin. Näille joukoille lasketaan kapasitanssimatriisi. FastHenry ja FastCAP on alunperin suunnattu UNIX-alustoille, mutta ohjelmistoista on myöhemmin kehitetty Windows-versiot FastModel-paketissa[1]. FastModel korjaa FastHenryn mm. osittaisinduktanssien laskentaan liittyviä bugeja. Toisaalta paketista ei ole saatavilla lähdekoodia, joten korjauksien täsmällinen luonne on jäänyt epäselväksi. Paketissa on mukana myös ConvertHenry-työkalu FastHenrymallien muuntamiseksi FastCAP:lle. Ideana on yksinkertaisesti korvata jokaista johdinta mallintavat virta-alkiot virta-alkioiden pinnoista muodostuvilla paneelijoukoilla. ConvertHenry kuitenkin olettaa, että jokaista porttia vastaa erillinen johdin. Itseasiassa myös FastHenryn kaikissa esimerkeissä eri portit vastaavat galvaanisesti erillisiä johtimia PEEC:llä mallinnettavassa järjestelmän osassa. On jäänyt epäselväksi onko ohjemistoa alunperin tarkoitettu muunlaisten tilanteiden mallintamiseen. Toinen myös suprajohteita tukeva Windows-versio FastHenrystä on Whiteley Research:lta[7].

75 5. Yleisemmät PEEC-mallit LTU - UAQ PEEC-koodi Ekmanin esittämään (L p,r,p,τ)-teoriaan pohjautuva ratkaisija on kehitteillä [5]. Ohjelmisto ei kuitenkaan ole vapaasti saatavilla. Ohjelmaa pääsee kokeilemaan erillisellä SSH-palvelimella pyytämällä Ekmanilta sähköpostilla tunnuksen. Käyttäjän näkökulmasta ohjelma toimii samaan tapaan kuin SPICE-simulaattorit. Syötetiedostossa käyttäjä määrää: 1. Joukon 3-ulotteisia 8-kulmaisia virta- ja eristealkioita, joiden pintavarausalkiot valitaan automaattisesti. 2. Joukon ulkoisia jännite- ja virtalähteitä sekä resistansseja, induktansseja ja kapasitansseja, jotka kytketään PEEC:n solmujen välille. 3. Mallin tyyppi. Malliin voidaan sisällyttää osittaisinduktanssit, kapasitiiviset ilmiöt, resistanssit ja viiveet mielivaltaisella kombinaatiolla. 4. Piiriyhtälöiden muodostustapa(modified Nodal Analysis tai Nodal Analysis). 5. Analyysin tyyppi ja palautettava data(ac tai Aikatransientti). Tulokset palautetaan MATLAB- tai ParaView-yhtensopivassa.vtk-muodossa. Tässä kannattaa huomata, että poiketen FastHenrystä ohjelmistossa on sisäänrakennettu piiriratkaisija eikä se palauta erillistä ekvivalenttipiiriä, jota voitaisiin simuloida ulkoisella SPICE-simulaattorilla. Koska lähteiden lisäksi simulaattori tukee vain lineaarisia passiivisia komponentteja, sillä ei voi mallintaa puolijohteita Kaupalliset ohjelmistot CEDRAT:n InCa3D on mm. tehomoduulien simulointiin suunnattu PEEC-softa. Ohjelmiston esitteessä [3] mainitaan ohjelmiston mallintavan 3d-johdinrakenteita R,L,M-ekvivalenttipiirillä. M viittaa ilmeisesti osittaiskeskinäisinduktansseihin ja L osittaisitseinduktansseihin, joten ohjelmisto ei välttämättä kykene mallintamaan kapasitiivisia ilmiöitä. InCa3D kuitenkin pystyy suorittamaan sekä aika- että taajuustason simulaatioita käyttämällä CEDRAT:n Portunus-ohjelmistoa. On ilmeisesti myös mahdollista generoida FastHenryn tapaan Model Order Reduction-menetelmällä yksinkertaistettu piirimalli SPICE-muodossa [4](s.3). Aiemmat versiot tukivat ainoastaan ortogonaalisia rakenteita, joissa virta-alkiot ovat joko x-, y- tai z-suuntaisia, mutta nykyään InCa3D tukee monimutkaisempia geometrioita. SimLab:n PCBMod[6] on (L p,r,p,τ?) 3 -malleja käyttävä ohjelmisto, joka on suunnattu pääasiassa PCB-tehtäviin. Ohjelmiston toiminnasta ei ilmeisesti ole julkisesti saatavilla tarkempaa tietoa. 3 On jäänyt epäselväksi kyetäänkö PCBMod:lla mallintamaan viivästyksiä.

76 5. Yleisemmät PEEC-mallit 64 [18] mukaan Ansoft:n TPA[2] myös soveltaa PEEC-menetelmää.

77 65 6. SIMULAATIOITA 6.1 Bondilangat Tarkastellaan tilannetta, jossa johdintasoja yhdistetään bondilangoilla kuvan 6.1 tapaan. Nyt PEEC:ssä P jokaisen bondilangan reunimmaiset haarat jakavat päätysolmunsa tiettyjen johdintason haarojen kanssa. Kuvan 6.2(a) tapaan bondilangat koostuvat peräkkäin kytketyistä haarajoukkioista. Mallintajan kannalta tällaisen mallin rakentaminen on FastHenryllä työlästä, koska jokainen bondilanka on liitettävä tasoihin päistään.equiv-komennolla. Myös bondilangan koostuessa useammasta osasta, on tarpeen liittää osat keskenään. Jos bondilankojen joukko on korvattavissa yksittäisellä virta-alkiolla muuttamatta PEEC:n ulkoista käyttäytymistä, mallin rakentaminen tulee olemaan paljon vaivattomampaa. Esitämme yksinkertaisen mallin, joka toimii esimerkkinä siitä kuinka ekvivalenttilaatan mitoitus voitaisiin tehdä. Toisaalta mallissa on vielä seuraavat ongelmat: 1. Korvattaessa bondilankarypäs yksittäisellä virta-alkiolla johdintasojen väliset virrat kulkevat PEEC:ssä yksittäisten solmujen kautta. 2. Malli olettaa, ettei bondilankajoukkio ole magneettisesti kytkeytynyt maatasoon. Oletamme myös, että bondilankojen päätyjen välinen resistanssi katoaa. 3. Virranahto paksuissa ekvivalenttilaatoissa voi olla hyvin erilaista verrattuna bondilankoihin. 4. Mitoituksessa käytetyn funktion keskinduktanssi.m antamat arvot osittaiskeskinäisinduktanssille eivät täsmää 2 filamentin approksimaatioon kun filamenttien etäisyys on suuri. 5. Olemme suorittaneet vasta yhden esimerkkisimulaation, joka käyttää mallia Bondilankamalli Koska virta pääsee yleensä vaivattomasti kulkemaan johdintasojen kautta lähekkäisten lankojen päätyjen välillä, mallin käyttäytyminen tuskin tulee muuttumaan paljoa, jos oikosuljemme bondilankojen päädyt keskenään. Laskemme näin syntyneen

78 6. Simulaatioita 66 Kuva 6.1: Esimerkki bondilankaryppäästä. (a) (b) I V s Kuva 6.2: (a) PEEC:ssä bondilangat vastaavat solmuja yhdistäviä haara-ryppäitä. (b) Oletamme eri bondilankojen johdintasossa sijaitsevat välit vähäresistanssisiksi, jolloin bondilankojen päädyt ovat yhteydessä samoihin solmuihin. kytkennän resistanssin sekä itseinduktanssin oletettaessa lankajoukko magneettisesti eristetyksi loppuosasta PEEC:tä. Tämän jälkeen korvaamme koko joukon yksittäisellä alkiolla, joka täsmää lankajoukon itseinduktanssiin ja resistanssiin mahdollisimman hyvin. Oletetaan, ettei bondilangoissa esiinny merkittävää virranahtoa, jolloin voimme korvata kuvassa 6.2(b) esiintyvät vertikaaliset kolmen virta-alkion ryppäät yksittäisillä virta-alkioilla. Määritellään matriisi { C R N B N b 1, haara j kuuluu bondilankaan i. : C ij =, (6.1) 0, muulloin. missä N B on useita virta-alkioita sisältävien bondilankojen määrä sekä N b virta-

79 6. Simulaatioita 67 alkioiden kokonaismäärä. Nyt V s 1 = CV b = CZ b I = (CZ b C T )J, (6.2) missä J C N B on bondilankojen virtojen vektori, 1 = [1, 1,...1] T ja V s lähdejännite. Bondilankojen virrat voidaan ratkaista lähdejännitteen lineaarisena funktiona J = (CZ b C T ) 1 (V s 1), (6.3) joten kytkennän impedanssi Z = V s 1 T J = V s 1 T (CZ b C T ) 1 1V s = 1 1 T (CZ b C T ) 1 1. (6.4) Tästä saamme laskettua kytkennälle resistanssin R = Re Z ja itseinduktanssin L = Im Z/ω. Esimerkki laskennan implementoinnista on liitteen A2 MATLABfunktio bondilangat_ortog.m, joka mitoittaa ekvivalenttivirta-alkion bondilankaryppäälle, jossa jokainen bondilanka koostuu kahdesta keskenään ortogonaalisesta virta-alkiosta. Resistanssi ja itseinduktanssi voitaisiin määrittää myös FastHenryä soveltamalla kytkemällä bondilangat päistään toisiinsa.equiv-komennolla. Toisaalta juuri tätä.equiv-komentojen työlästä käyttöä pyrimme tässä välttämään. Edellisessä laskennassa Z b määrittäminen edellyttää virta-alkioiden resistanssien sekä itse- ja keskinäisinduktanssien laskemista. Suoran nelikulmaisen johtimen osittaisitseinduktanssille on olemassa tarkka kaava (4.31) ja tätä voidaan soveltaa myös samansuuntaisten johtimien osittaiskeskinäisinduktanssien tarkkaan laskemiseen. [21, 20] Jos bondilangat koostuvat kuvan 6.1 tapaan erisuuntaisista osista, osittaiskeskinäisinduktanssien laskeminen käy hankalammaksi. Toisaalta, jos bondilankojen erisuuntaisten osien virta-alkiot i ja j ovat keskenään ortogonaalisia,yhtälöstä (2.39) nähdään, että L ij = 0 pätee. Lähes ortogonaalisten virta-alkioiden keskinäisinduktanssien voidaan approksimoida katoavan ja lähes samansuuntaisten virta-alkioiden keskinäisinduktanssia voidaan approksimoida kaavalla, joka on tarkoitettu samansuuntaisille alkioille. Esimerkki 9 Tarkastellaan kuvan 6.3 esimerkkiä. Nyt jokainen bondilanka koostuu kahdesta keskenään lähes ortogonaalisesta osasta. Kahdesta ortogonaalisesta osasta koostuvien poikkileikkaukseltaan neliömäisten bondilankojen ekvivalenttilaatan resistanssi ja itse-induktanssi voidaan laskea funktiolla bondilangat_ortog, jolle annetaan bondilankojen määrä, etäisyys, pituus, leveys ja johtavuus. >> [Z, R, L] = bondilangat_ortog(8, , , )

80 6. Simulaatioita 68 Kuva 6.3: Jokainen bondilanka koostuu kahdesta 3.2 mm-pituisesta osasta yhdistäen johdintasojen pisteet, joiden etäisyys on 4 mm. Z = e e-07i R = e-04 L = e-10 Sellaista ekvivalenttilaattaa, jonka resistanssi ja itseinduktanssi täsmäisi täsmälleen laskettuun ei yleensä ole olemassa. Emme ole valinneet minkäänlaista kustannusfunktiota, jolla arvostelisimme eri valintoja, joten valitsemme yksinkertaisesti sellaisen ekvivalenttilaatan, jonka resistanssi ja induktanssi osuvat lähelle toivottuja. Esimerkiksi w = 8.7 mm,h = 0.05 mm,l = 4 mm laatalle: >> itseinduktanssi(0.004, , , 4*pi*1e-7) ans = e-10 >> resistanssi(3.77e7, 0.004, * ) ans = e-04 Laatta on äärimmäisen ohut ja käytettäessä laattaa osana laajempaa mallia sen osittaiskeskinäisinduktanssien laskeminen filamenttiapproksimaatiolla voi olla epäluotettavaa. Äärimmäisen leveä laatta saattaa myös kytkeytyä PEEC-mallissa magneettisesti epätoivotulla tavalla järjestelmän muiden osien kanssa. w = 4.05mm, h = 3.6 mm,l = 4 mm laatalle sen sijaan: >> itseinduktanssi(0.004, , , 4*pi*1e-7) ans = e-10

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

DEE Sähkötekniikan perusteet

DEE Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,

Lisätiedot

Häiriöt kaukokentässä

Häiriöt kaukokentässä Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä 1 Verkon systemaattinen ratkaisu Solmupisteiden lukumäärä n (node) Haarojen lukumäärä b (branch) 2 Verkon systemaattinen ratkaisu Muodostetaan

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Ei-ideaaliset piirikomponentit Tarkastellaan

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Sähkötekiikka muistiinpanot

Sähkötekiikka muistiinpanot Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri

Lisätiedot

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-00: PIIIANAYYSI I Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Kirja: luku. (vastus), luku 6. (käämi), luku 6. (kondensaattori) uentomoniste: luvut 3., 3. ja 3.3 VASTUS ja ESISTANSSI (Ohm,

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-0: SÄHKÖTEKNIIKAN PEUSTEET Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan

Lisätiedot

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 205 Päivityksiä: 4.0.205 klo 5:0. Tehtävässä 3b vektorin x lauseke korjattu. 5.0.205 klo 3:20. Tehtävässä 8d viittaus väärään tehtävään

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Oppimateriaali RMC luku 11 ja CL 8.1; esitiedot KSII luku 5. Toistaiseksi olemme tarkastelleet vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin

Lisätiedot

EMC. Elektroniikan käytön voimakas kasvu mobiililaitteet, sulautetut järjestelmät

EMC. Elektroniikan käytön voimakas kasvu mobiililaitteet, sulautetut järjestelmät EMC Johdanto EMC Mitä tarkoittaa EMC? ElectroMagnetic Compatibility Sähköisen laitteen kyky toimia laboratorion ulkopuolella laite ei aiheuta häiriöitä muille lähietäisyydellä oleville laitteille laitteen

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot