Eriävä mielipide käsitykselle akateemisen. kyvykkyyden kansainvälisestä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Eriävä mielipide käsitykselle akateemisen. kyvykkyyden kansainvälisestä"

Transkriptio

1 Eriävä mielipide käsitykselle akateemisen kyvykkyyden kansainvälisestä vertailtavuudesta 4. osa Mihin pitäisi sijoittaa katuvalo kolmion muotoisessa puistossa? -- Versio Fukuokan yliopiston matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Professori Katsuyuki Shibata (Saitaman yliopiston emeritusprofessori) Kirjoitus: Totuus voittaa aina Makoto Matsumoto Tokion yliopiston matemaattis-luonnontieteellinen tutkimuslaitoksen tutkijakoulun professori Where should a streetlight be placed in a triangular-shaped park? Englanninkielinen versio:http://www1.rsp.fukuoka-u.ac.jp/kototoi/igi-ari-4_e.pdf Ou doit-on placer un lampadaire dans un parc publique triangulaire Ranskankielinen versio: Wo sollte eine Strasenlaterne in einem dreieckformigen Park platziert werden? Saksankielinen versio: 路 灯 应 该 设 在 三 角 形 公 园 的 哪 个 部 位? Kiinankielinen versio: 가로등은 삼각형 모양의 공원 어디에 설치해야 하는가? Koreankielinen versio:

2 Mihin pitäisi sijoittaa katuvalo kolmion muotoisessa puistossa? alkeisintegraali-ja differentiaalilaskenta geometrinen optinen (versio 5.1) << Sisällysluettelo >> Johdanto Katuvalo-kysymys Amerikka pimenee Kaksi määritelmää puiston valaistuksesta Tekijän kiitokset Luku 1. 2-ulotteisen valaistuskeskipisteen kaari sitoo yhteen repeämät kolmion symmetriassa Integroi puistossa olevat valaistut pisteet Laske osittaisderivaatat suhteessa vaakasuoran valaistuksen kokonaismäärän Tutki symmetria-akseli suhteessa valaistuksen kokonaismäärän Laske symmetria-akselin mukaisesti osittaisderivaatat vertikaalisesti suhteessa valaistuksen kokonaismäärän 1.5 Kolmion valaistuskeskipiste (yleiskolmion versio) 1.6 Euklidinen määritelmä 1.7 Sijoituspaikka on muuttujaksi määritellyn valaistuksen kokonaismäärän funktion kaavio 1.8 "Mini-Kamiokande" ja muita yleistyksiä Luku 2. Spatiaalisen valaistuskeskipisteen ikuinen matka, joka alkaa alimmaisesta valaistuskeskipisteestä kohti painopistettä 2.1 Korkeuden ollessa nolla, katuvalon valaistuksen funktio on Diracin δ-funktio 2.2 Katuvalon korkeuden ollessa s >0, integroi puiston jokaisen kohteen valaistus 2.3 Katuvalon korkeuden ollessa s, laske osittaisderivaatat suhteessa puiston valaistuksen kokonaismäärän 2.4 Kokonaisvalaistuksen vertikaalisen osittaisderivaatan voimakas konveksisuus 2.5 Puiston valaistuksen kokonaismäärä ja kolmion symmetria-akseli 2.6 Laske symmetria-akselin mukaisesti osittaisderivaatat vaakasuoran puiston valaistuksen kokonaismäärän suhteen 2.7 Symmetria-akselilla olevan valaistuksen kokonaismäärän funktion vahva

3 näkyvyys 2.8 Yhtälön f1(t) + f2(t):n erityisen tärkeä arvo painopisteessä 2.9 Laske raja-arvot spatiaalisen valaistuskeskipisteen korkeuden ollessa sekä nolla ja ääretön 2.10 Miten valaistuskeskipisteen sijainti siirtyy katuvalon korkeuden noustaessa? 2.11 Kolmion spatiaalinen valaistuskeskipiste Luku 3. Potentiaalisen teorian α-asteen potentiaalilla ja hiukkasfysiikan erilaisten olennaisten cut-off tekniikalla määriteltävä kolmion symmetriakeskipisteen yksiparametrinen perhe 3.0 Tiivistelmä 3.1 Potentiaalisen teorian alkeet 3.2 α-aste ε-potentiaali 3.3 Arviointi α-aste ε-potentiaali α 2 (alla on kovera tapaus) 3.4 Arviointi α-aste ε-potentiaali α 2 (yllä on kupera tapaus) 3.5 (- ) -asteen potentiaalin etsivä rajattu arviointi (kolmion sisäympyrän keskipiste) 3.6 (+ ) -asteen potentiaali (kolmion ympäripiirretyn ympyrän keskipiste) 3.7 Johtopäätös ja tulevaisuuden näkökulmat 3.8 Harjoitukset Luku 4. Lopuksi Avainsana: katuvalo-kysymys, PISA, kolmio, valaistuskeskipiste, valaistus, symmetria-akseli, painopiste, kolmion sisäympyrän keskipiste, kolmion ympäripiirretyn ympyrän keskipiste Lisäys 1. Miten valaistuskeskipiste on päätelty? Lisäys 2. Virhe geometriassa havainnossa että katuvalo-kysymyksen vastaus on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste Lisäys 3. Katuvalo-kysymys hyperbolisessa geometriassa Lisäys 4. Vihdoin vuori on liikkunut! - PISA poistaa katuvalo-kysymyksen saadessaan kritiikkiä PISA -kysymykset ovat yhteiskuntavastaisia Lisäys 5. Todiste siitä että ympyrän valaistuskeskipiste ja ellipsin valaistuskeskipiste ovat samassa kohdassa Lisäys 6. Kolmion kärkikulmanpuolittajan mysteeri Määrittely kolmion kannan (BC:n) korkeussuoran puolittajan symmetrisestä ominaisuuksista Apolloninen ympyrä ja bipolaarinen koordinaatisto

4 Lisäys bipolaariseen koordinaatistoon Kirjoitus Totuus voittaa aina (Makoto Matsumoto) Etsi luonnontieteen koulusta... 32

5 Johdanto Katuvalo-kysymys PISA (Programme for International Student Assessment) vuonna 2003 tutkimuksen arvion kehys sanotaan seuraavaksi; [Matematiikka kysymys esimerkki 1: Katuvalo] Kaupunginvaltuusto on päättänyt sijoittaa yhden katuvalon pieneen kolmiomuotoiseen puistoon, siten että se valaisee koko puiston. Mihin katuvalo tulisi puistossa sijoittaa? Tämä sosiaalinen kysymys voidaan ratkaista noudattamalla matemaatikoiden käyttämää yleistä strategiaa, jota matematiikan puitteet lähestymistavassa kutsutaan matematisoimiseksi. Matematisoimisen voidaan katsoa sisältävän viisi aspektia. 1. Aloitetaan ongelmalla joka on todellisesti olemassa. Mihin katuvalo pitäisi sijoittaa? 2. Ongelma muotoillaan käyttäen matemaattisia käsitteitä. Puisto voidaan kuvata kolmioksi. Katuvalon valaistus kuvataan ympyräksi, jonka keskipisteenä on valaisin. 3. Siirrytään asteittain pois arkitodellisuuden käsitteistöstä, muodostaen olettamuksia siitä mitkä tekijät ongelmassa ovat oleellisia, yleistettävissä olevia ja formuloituja. Tämä edustavat tilanteen matemaattista tarkastelua jossa arkitodellisuuden ongelma muutetaan alkuperäistä tilannetta kuvaavaksi matemaattiseksi ongelmaksi. Lopulta ongelma on muutettu muotoon jossa pyritään paikallistamaan kolmion ympäröivän ympyrän keskipiste. 4. Matemaattisen ongelman ratkaisu. Hyödyntäen tietoa, että kolmiota ympäröivän ympyrän keskipiste on kolmion sivujen puolittajien leikkauspiste, saadaan kolmion molempien puoliskojen kohtisuorat puolittajat. Kahden puolittajan leikkauspiste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. 5. Mietitään matemaattisesta vastauksesta todellisuuden tilanteen merkitystä. Kytketään edellä mainittu havainto todelliseen puistoon. Tarkastellessa ratkaisumallia huomataan, että mikäli joku puiston kulmista olisi tylppäkulmainen, tämä samalla johtaisi siihen että katuvalaistuksen pitäisi olla puiston ulkopuolella. Todetaan että puiston puiden sijainti ja korkeus ovat tekijöitä jotka vaikuttavat matemaattisen lähestymistavan käyttökelpoisuuteen. ( PISA/OECD 2003 Arvion kehys, Matemaattinen lukutaito p )

6 .html [Oleellinen havainto] Käsitellessämme ongelmaa joka nousee arkikokemuksesta, kuten kysymys katuvalosta, meidän tulee aluksi määritellä lähtökohtamme, jonka jälkeen etsimme siihen sopivaa ratkaisua. PISAn kriteeri: Ongelma on muutettu kysymykseksi kuinka määritetään kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Tämä lähtökohta edellyttää että kaikki kolmion kolme kulmaa on valaistu yhtä kirkkaasti, mikä on kriteerinä todella outo. Onko siitä todellista haittaa että kulma A olisi 1,2 kertaa kirkkaampi kuin kulma B, tai 0,87 kertaa vähemmän valoisa kuin kulma C? Itse en pysty näkemää vakuuttavaa perustelua. (Lisähuomautus) Tetsuro Kawasaki (Gakushuin yliopisto; Topologia) huomautti tämän artikkelin kirjoittajalle että PISAn edustajat tarkastelevat katuvalokysymystä minimimaksimi lähtökohdasta käsin, ts. kysymys on olettaa että puiston pimein kohta on mahdollisimman valoisa. Tarkastelemme tätä näkökulmaa katuvalokysymyksen matemaattiselta kannalta/lisäys 2/ Virhe geometriassa havainnossa että katuvalokysymyksen vastaus on kolmion ympäripiirretyn ympyrän keskipiste. PISA-kriteeristön vastaisesti oma lähtökohtamme katuvalokysymyksessä on seuraava; Katuvalo pitäisi sijoittaa siten että sähkökulutus voidaan minimoida (Rakkaan maapallon vuoksi!), ja mikäli mahdollista, on pyrittävä myös minimoimaan kunnalle koituvat sähkömaksut (veronmaksajien etu huomioidaan!). Esittämämme metodi parhaan mahdollisen ratkaisun löytämiseksi perustuu seuraaviin kriteereihin; (1) Määritä tavalla tai toisella sen pisteen kirkkaus, joka valaisimesta katsottuna sijaitsee r-etäisyydellä. (2) Integroi puiston kaikkien pisteiden kirkkaus. Integroinnin arvo on katuvalon sijoituspisteen funktio. (3) Laske integroitujen arvojen osittaisderivaatta löytääksesi funktion maksimimaaliset pisteet. Tämä algoritmi on kaikkein käytetyin ja sitä pidetään yleisenä standardina pyrittäessä määrittelemään funktion maksimipisteitä monen muuttajan vallitessa. Tämän kaikki luonnontieteellisen tiedekunnan opiskelijat oppivat ensimmäisenä lukukautena. Amerikka pimenee Oma näkökulmamme edellä mainitun katuvalokysymyksen matemaattisuudesta sisältää seuraavanlaisia sosiaalisia ehtoja.

7 Asahi sanomalehti ( ) Krugmanin kolumni Amerikka pimenee ( America goes dark käännetty 9.8 NY Times) raportoi että kaupunkien katuvalot on sammutettu laman johdosta. Krugman on Princeton yliopiston professori joka sai Nobel talouspalkinnon vuonna Teksti on esitetty englanniksi ja japaniksi Amerikka pimenee Paul Krugman julkaistu Valot ovat sammuvat ympäri Amerikkaa, kirjaimellisesti. Colorado Springs (Colorado osavaltion kaupunki) nousi julkisuutteet pyrkiessään säästää rahaa sammuttaen kolmasosan katuvaloistaan. Vastaavia suunnitelmia on toteutettu tai niitä ollaan harkitsemassa ympäri Amerikkaa, Philadelphiasta Fresnoon. Maa, joka aikoinaan hämmästytti maailmaa kaukonäköisillä kuljetusinvestoinneillaan, Erie- kanavasta valtioiden väliseen moottoritiejärjestelmään, on nyt palaamassa takaisin päällystämättömään tieverkostoon: useat osavaltiot ovat rahan puutteen vuoksi kykenemättömiä ylläpitämään tieverkostoon ja ovat, joka oli palauttamassa niitä takaisin sorateiksi. Maa, joka aikoinaan korosti opiskelun merkitystä ollen ensimmäisenä takaamassa lapsilleen koulutusmahdollisuudet, on nyt leikkaamassa koulutuskuluja. Opettajia lomautetaan ja koulutusohjelmia peruutetaan. Havaijilla kouluvuotta ollaan lyhentämässä merkittävästi. Kaikki merkit viittaavat että lisää leikkauksia on odotettavissa myös tulevaisuudessa. (Jätetty väliin) Hallinnonvastainen kampanja on perinteisesti nimetty tuhlauksen ja petoksen vastaiseksi taisteluksi Nyt kun kampanja on vihdoin saavuttanut päämääränsä, olemme tarkastelemassa mikä on todellinen tyytymättömyyden kohde; kohteena ovat palvelut, joita tarvitsevat kaikki kansalaiset rikkaita lukuun ottamatta. Palvelut, jotka hallinnon tulee toteuttaa, koska kukaan muu ei niitä toteuttaisi. Näitä ovat esimerkiksi katuvalaistus, ajokuntoiset tiet, riittävä koulutus. Pitkän valtionvastaisen kampanjan lopputuloksena on että olemme valinneet turmiollisen, väärän tien. Amerikka seisoo nyt valaisemattomalla, päällystämättömällä tiellä joka ei johda minnekään. Tässä raportissa muodostan kaksi toisistaan poikkeavaa määritelmää. Määritelmän kohteena on sen pisteen kirkkaus joka sijaitsee r-etäisyydellä valaisinpylväästä.

8 [Huomautus 0.0.1] Kirkkaus on valoenergian tiheyttä, eli valon energian määrä jaetaan kuution tilavuudella. Arkipäivän kielenkäytössä kirkkaus ajatellaan olevan valon määrä pinta-ala kohden ja ne normaalistaan laskemalla valosäteen suunnan pituutta. Lisäksi kerrotaan positiivista vakiolukua, joka vastaa valoaaltoa (eli väri), kun ilmastaan valotiheyttä. [1] Ensimmäinen määritelmä puiston jokaisen kohdan kirkkaudesta Katuvalaisimesta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus määritellään valaisimesta saatavan suurimman mahdollisen kirkkauden mukaisesti. Toisin sanoen kun esimerkin henkilö pitää valonlähteen korkeudella lautaa, ja kääntää ko. lautaa kohtisuoraan valonlähteen suuntaan, lauta saa tällöin tämän saman valomäärän. Tämän kirkkauden määrän integrointi kolmion kaikkien pisteiden kanssa merkitsee että: Kuvitellaan valolähteen samassa korkeudessa ja kolmion (puisto) horisontaalisen virtuaalisesti todella matala δ leveyden kolmikulmaista pylvästä. Lasketaan horisontaalisesti lentävien fotonien lukumäärä kolmiokulmaisessa pylväässä ja normalisoidaan saatu luku jakamalla se luvulla δ:lla. Tämän määritelmän perusteella katuvalon sijoituspaikasta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus ilmaistaan termillä c/r 2, jossa c on r:sta riippumaton positiivinen vakioluku. Vakioluvun arvo c ilmaisee valolähteen voimakkuuden. Valitsemme sattumanvaraisesti pienen positiivisen luvun ε ja vakiinnumme sen tästä alkaen. Sitten integroimme c/r 2 kolmiossa katuvalosijoituspisteen ε-lähinaapurin ulkopuolessa olevat kaikki pisteet. Tämä ε-kiekko kuvataan katuvalon hehkulamppuna tai pylväänä. [2] Vaihtoehtoinen kirkkauden määritelmä puiston eri kohdille Katuvalaisimesta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus voidaan vaihtoehtoisesti määritellä eräänä maanpinnalla olevan pisteen kirkkautena. Kun katuvalon korkeus on s > 0, etäisyys maanpinnan ja valonlähteen välillä on (s 2 + r 2 ) 1/2, maanpinta pisteen kohdalla on vinossa suhteessa valonsäteeseen ja meidän tulee moninkertaistaa kosini s / (s 2 +r 2 ) 1/2 pystysuoralle kirkkaudelle. Siten

9 maapinnan olevan pisteen kirkkaus ilmaistaan cs / (s 2 + r 2 ) 3/2. Tämä arvo integroidaan kaikkiin kolmien pisteisiin. Tämä kirkkauden integrointi kaikkiin kolmion pisteisiin merkitsee että: Kuvitellaan kolmiomuotoisella pinnalla (puisto) oleva kolmikulmainen pylväs, jolla on erittäin matala korkeus δ. Laske fotonien määrä joka silmänräpäyksessä lentää tästä kolmikulmaisesta pylväästä, ja normalisoi luku jakamalla se luvulla δ:lla. Mikäli meidän tulee määritellä edellä mainittujen kahden määritelmän erot, ensimmäistä kirkkauden määritelmää kutsutaan planaariseksi (tai 2-ulotteiseksi) kirkkaudeksi, kun vaihtoehtoista määritelmää kutsutaan spatiaaliseksi (tai 3-ulotteiseksi) kirkkaudeksi. Yllä käsitellyt kaksi toisistaan poikkeavaa kirkkauden määritelmä antavat lähtökohdan katuvalokysymyksen matematisoimiselle ja kahdelle eri vastaukselle. Molemmat vastaukset tulevat aiheuttamaan tarkastelijalleen yllätyksen. Kiitokset Olen suuresti kiitollinen Shigeru Tasakille (Fukuokan yliopisto; Hiukkanen fysiikka) että kirkkauden käsitteen vaihtoehtoisen määritelmän, Yoshio Agaokalle (Hiroshiman yliopisto; Geometria) että kolmion jokainen keskipisteen tiedosta ja myös siitä että tarkistat tässä väitteessä määritelty kirkkauskeskus on tuntematon keskus tähän asti, Takito Totsukalle (Tokyo Gakugein yliopisto ; Tietokone tuki koulutus ja kirjailija) ja Naoto Tanakalle (Fukuokan yliopisto ; Differentiaali Tasoitus) että tarkistitte huolellisesti väitteeni koskien ensimmäisen luvun sisältöä ja väitettä tukeviani laskelmia, Shoshichi Kobayashille (Californian yliopisto ; Differentiaali Geometria) että suosittelit väitteeni matemaattiselle tulokselle fysikaalisia tarkoituksia. Lisäksi olen suuresti kiitollinen Jun'ichi Itohlle (Kumamoton yliopisto ; Geometria), Nozomu Matsuuralle (Fukuokan yliopisto : Diskreetti Differentiaali Geometria), Shizuo Kajille (Fukuokan yliopisto ; Algebra Topologia), Shin Akahoshille (Fukuokan yliopisto ; Morfi-Fysiikka), Naoki Yamadalle (Fukuokan yliopisto ; Differentiaali Tasoitus) että annoitte käytännöllisiä ohjeita liittyen katuvalokysymyksen ratkaisemiseksi. Olen suuresti kiitollinen Yuuji Yamashitalle (Iwakunin lukio ; Matematiikka ja IT koulutus) että kehitit tämän väittämieni simulaatioohjelmistot ja esitit ne lukiolaisille geometria-tunteilla jotta lukiolaiset kiinnostivat aiheesta, Takeshi Sasakille (Koben yliopisto ; Algebra Geometria) että kirjoitit uudelleen väitteeni Tex-ohjelmalla. Lopuksi olen suuresti kiitollinen seuraaville henkilöille, jotka esittivät kiinnostusta tutkimustani kohtaan ; Kenji Uenolle (Kioton yliopisto ; Algebra Geometria), Makoto Matsumotolle (Hiroshiman yliopisto ; Numero-teoria Geometria ja Satunnaiset Numerot), Taketoshi Mishimalle (Saitaman yliopisto ; Sähkö Informaatio Teoria), Masashi Sarakille (Keinotekoinen Älykkyys Laboratorio ; Kone Käännös), Tohru Tsujishitalle (Ritsumeikan yliopisto ; Kompleksi Järjestelmä), Tsuneharu Okabelle (Saitaman yliopisto ; Matemaattinen koulutus), Koji Tanakalle (Kääntäjä, Kone Käännöksen

10 Arviointi), Tatsuyoshi Hamadalle (Fukuokan yliopisto ; Differentaarinen Geometria ja Tietojenkäsittelyoppi), Kei-ichi Maedalle (Wasedan yliopisto ; Kosmologia Fysiikka) ja Roland Triaylle (Marseillen Teoreettinen Fysiikan Keskus ; Kosmologia Fysiikka).

11 Luku 1. 2-ulotteisen valaistuskeskipisteen kaari sitoo yhteen repeämät kolmion symmetriassa Ensimmäisessä luvussa suoritetaan laskutoimitus tarkoituksena saada selville funktion maksimimaaliset pisteet integroiden puiston kaikkien pisteiden valonmäärällä. [Määritelmä 1.0.1] Ensimmäinen määritelmä puiston jokaisen kohdan kirkkaudesta: Katuvalaisimesta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus määritellään kaavalla c/r 2, jossa c on positiivinen riippumaton vakioluku r. Oletetaan että P on kolmion ABC sisäpisteenä, sen etäisyys ylittää ε jokaisesta sivusta ja D ε (P) on P:n keskipisteenä oleva ε-kiekko Integroi puistossa olevat valaistut pisteet Määrätään satunnainen pieni positiivinen luku ε. Ja integroidaan c/r 2 koko kolmio ilman katuvalosijoitus pisteen ε-kiekon ympäri. Tämä ε-kiekko symboloi hehkulamppua tai valaisinpylvästä. Alla olevan laskukaavassa esitetyn tuloksen perusteella vaikuttaa siltä että etsimämme maksiiminen piste on riippumaton ε arvon valinnasta. Piirretään kohtisuora janastot, PH, PJ, PK piste P:sta kuin kuva 1.1. Siten kolmio ABC jaetaan kuudeksi pieniksi kohtisuorakulma kolmioksi ja suunnataan kulmat α=jpa, β=jpc, γ=hpc, α =KPA, β =KPB, γ =HPB kuin kuva 1.1. Kun kolmesta kulmasta yksi on tylppä kulma ja vastaava kohtisuora ylittää kolmion ulkopuolelle, vastaava keskikulma tulee käänteisesti suunnatuksi. Siten tulkitaan kulman arvo negatiivisena. Näin α+β+γ+α +β +γ =2π pidetään.

12 Kuva 1.1: Jaetaan kolmio ABC P yhteisenä käyttäväksi kuudeksi kohtisuora kulma kolmioksi. Suoritetaan kirkkauden integraatio c/r 2 jokaiselle kohtisuora kulma kolmiolle erikseen. Esimerkiksi JPA:n integraatio on seuraavaksi. Kohtisuora janasto PJ:n pituus merkitään j:ksi. Lasketaan yhteen kaikki kuuden kolmion integraation arvot, ABC:n koko kirkkaus E(P;ε) tulee; 2πc( - logε) + c [(α+β)log j + (α +β )log k + (γ+γ )log h] + c{ α 0 log(θ)dθ + β 0 log(θ)dθ + γ 0 log(θ)dθ + α' 0 log(θ)dθ + β' 0 log(θ)dθ + γ 0 'log(θ)dθ}, h ja k merkitsevät kohtisuorakulma PH ja PK:n pituus Laske osittaisderivaatat suhteessa vaakasuoran valaistuksen kokonaismäärän Kun olemme laskeneet ABC:n valaistuksen kokonaismäärän E(P;), tarkistamme miten sen arvo muuttuu, kun katuvalo P siirretään vaakasuoraan siten, että korkeus h on yhä kohtisuoran segmentin PH pituus. AD kuvaa kohtisuoraa jaoketta, joka kulkee ylimmästä kulmasta A alimman sivun BC kautta. A1 taas kuvaa jaoketta DAC ja A2 jaoketta DAB. Tällöin A1=(/2) - C, A2 =(/2) - B pitää paikkansa.

13 Kulma =DAP (-A2 < < A1) määrittää yksin piste P:n sijainnin. Vaikka valaistuksen kokonaismäärä E(P;) merkitään yhdeksällä muuttajalla (kolmen suorakulmaisen segmentin PH, PJ ja PK:n pituudet h, j ja k sekä P:tä ympäröivät kuusi keskikulmaa), määrittää ne kaikki, ja yhdistelmäfunkutioiden derivointisääntöä voidaan soveltaa. Määrätyn integraalin derivointi palaa alkuperäiseen integroituun funktioon analyysin peruslauseiden mukaan. d d' d d d ' d ' c[( ) log( AP ) ( ) log( CP ) ( ) log( BP ) d d d d d d 1 dj 1 dk ( ) ( ' ' ) ] j d k d ilmaisee suorakulmaisten segmenttien PH, PJ ja PK pituuksia h, j ja k, sekä valonlähdettä P:ta ympäröiviä kuutta keskikulmaa,,,,,. Näiden johdokset suhteessa :n ovat:

14 Nämä toteuttavat siis yhtälön on tulos. 0 ) ( } )sin sin( ) {( ) ( merkitsee että ) )sin( ( ) sin( samoin ja tulee muotoon, 0 ) ( } )sin sin( ) ( { ) ( merkitsee että ) )sin( ( ) sin( ja A h AD A A h AD d dk A h AD A AP k A h AD A A h AD d dj A h AD A AP j h AD AP saadaan. 0 ' ja 0 Siksi on tulos. 0 ' ' samoin ja muotoon, tulee 0 ) ( siksi, tan ) ( tan Myös 2 2 BP AP d d CP AP d d BP AP d d CP AP h h AD d d h AD CD h Näitä yhtälöjä käyttäen sijoitus muuttaa de(p;):n ilmaisun seuraavaksi: jolloin B1 ja C1 ovat sen vaakasuoran jana leikkauspisteitä, joka kulkee AB:n ja AC:n merkitse merkitse merkitse merkitse } { ) ( } )sin ( )sin ' ' ( { ) ( ] ) )( ' ( ) ( ) ( [{ ) ; ( C P APC B P APB h AD c j C k B h AD c k A h AD A h AD j c d P de

15 välillä P:n läpi. On selvää, että B1P:n arvo lähestyy nollaa sivu AB:n lähellä, samoin C1P AC:n lähellä, minkä lisäksi ( APB / B1P - APC / C1P ) vähenee suoraviivaisesti, joten yllä mainittu lukukaavan muutoksen tulos merkitsee sitä että de(p;)/d:n arvo vähenee suoraviivaisesti positiivisesta äärettömyydestä lähelle negatiiviseen äärettömyyteen. Näin ollen B1C1 :n sisällä on vain yksi piste jossa funktio E(P;) pitää paikkansa. Lisäksi katuvaloon siirtyessä tästä pisteestä vaakasuoraan kohti kumpaa tahansa reunoista AB tai AC, puiston kokonaisvalaistuksen määrä E(P;) vähenee suoraviivaisesti. [Määritelmä 1.2.1] Kutsutaan pistettä, jolla on korkein arvo segmentti B1C1:ssa, taso h:n valaistuksen keskipisteeksi ja merkitään se l(h):lla. Kun h:n arvo muuttuu :sta AD - :hen, joukko {l(h); < h < AD - } muodostaa kaaren, joka leikkaa jokaisen horisontaalisen viivan kerran. Kutsumme tätä kaarta valaistuksen keskipistekaareksi, joka lähestyy kärki A:ta. Itse asiassa l(h):n sijainnin määrittää sen etäisyys x suorakulmaisesta segmentti AD:sta (-BD(AD - h) /AD < x < CD(AD - h) /AD). x:n arvo on alla oleva yhtälön ratkaisu; x{arctan[h/(bd+x)] + arctan[h/(cd-x)] + } = (AD-h){(cot B + cot C)arctan[(AD-h)/x] + (cot B)arctan[h/(BD+x)] +(cot B)arctan[h/(CD-x)] (cot B) )}, Tässä AD, BD ja CD ovat kolmio ABC:n määrittämiä vakioita. Ratkaisu x on riippuvainen parametri h:sta Tutki symmetria-akseli suhteessa valaistuksen kokonaismäärän

16 Lisäys 2. Virhe geometriassa havainnossa että katuvalo-kysymyksen vastaus on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste PISAn oma selitys koskien katuvalokysymyksiä, jonka parissa olen innolla työskennellyt tänä vuonna, on seuraava. [Matemaattinen esimerkki 1: Katuvalokysymys] (Poista keskiosa) 2. Puisto voidaan kuvata kolmiona, ja valaistusta ympyränä, jonka keskellä katuvalo on. 3. Tämä kysymys voidaan muuttaa kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen paikallistamiseksi. (Poista loppuosa) Ensin en pystynyt ymmärtämään yllä mainittua äkillistä siirtymää kohdasta 2 kohtaan 3. Sitten arvelin, Ehkäpä kolmion ympäri piirretty ympyrä valittiin täysin sattumanvaraisesti, koska kolmio ja ympyrä oli jo määritetty, tai kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen löytäminen oli alkuperäinen tavoite, ja sosiaalinen tilanne eli puisto ja katuvalo oli lisätty vasta jälkikäteen. Sain hiljattain sähköpostia Tetsuro Kawasakilta, joka työskentelee Gakushuin yliopistolla geometrian laitoksella. Luettuani hänen postinsa ymmärsin lopultakin kuinka PISA ajattelee ja miksi siellä kirjoitetaan yllä mainitun kaltaisia selityksiä. Kawasaki kirjoitti näin:...tämä ajatus on näköjään ristiriidassa sinun ajatuksesi kanssa PISAn ajatus on, että puiston pimeimmän kohdan valoisuus määrittää koko puiston valaistuksen. Tätä en ole itse vahvistanut, mutta esimerkiksi Tosiman osaston asetusten mukaan puiston kirkkauden pitäisi olla enemmän kuin niin-ja-niin monta luxia, ja uskon valaistuksen tässä tarkoittavan pimeimmän kohdan valaistusta. Kun käytämme tätä valaistuksen määritelmää, me ohjaudumme luonnostaan etsimään tietyn kokoista ympyrää, jonka keskellä valonlähde on ja joka sisältää puiston kokonaisuudessaan. Tämä auttaa meitä paikallistamaan kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen. Lisäksi PISAn huomio tylppäkulmaisten kolmioiden suhteen on ymmärrettävissä.

17 Näin arvelen PISAn tutkijoiden ajatelleen. Tässä mielessä PISAn antamat selitykset ovat järkeenkäypiä eivätkä missään nimessä väärin... Häpeäkseni minun on tunnustettava, että lukiessani PISAn katuvalokysymyksen selitystä en huomannut, että PISA piti sitä minimi-maksimi-kysymyksenä, kuten jos ajatellaan puiston valaistusta sen pimeimmän kohdan valaistuksena, etsi se piste, johon asetettu valonlähde tekee puistosta mahdollisimman valoisan. Olen todella kiitollinen Kawasakille hänen yksityiskohtaisista vinkeistään. Vihdoin ymmärsin miksi PISAn matemaattisen lukutaidon selitys siirtyi kohdasta 2 kohtaan 3 ilman varoitusta. Heidän mielestään asia on niin selvä, että siihen ei ole tarvetta. Kawasakin mukaan me ajaudumme luonnollisesti kolmion ympäri piirretyn ympyrään. Itse asiassa tämä ei ole totta monien kolmioiden kohdalla kolmioille ja johtuu täysin vääränlaisesta intuitiosta. Ymmärrän nyt, että PISAn katuvalokysymys ja sen virallinen selitys ovat harvinainen käännekohta opetusmateriaalin tekeminen siihen todistukseen, miten helposti ihmisen geometrisen intuitiota voi huijata. Seuraavaksi selvennämme sitä konkreettista mekanismia, joka tuottaa harhakuvan, että jotta saisimme kolmion pimeimmän kohdan mahdollisimman valaistukseksi, valonlähteen on luonnollisesti oltava kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskellä myös matemaattisen tutkimuksen eturintamalla työskentelevien ammattimatemaatikkojen mielessä. Nämä argumentit lähtevät seuraavasta olettamuksesta: Pisteen valaistus on riippuvainen ainoastaan sen etäisyydestä valonlähteeseen ja pienenee etäisyyden kasvaessa. Näin ollen valaistuksen ääriviivat ovat samankeskisiä ympyröitä, joiden keskipisteenä valonlähde on. Mitä suurempi ympyrän säde on, sitä pimeämpiä alueita se sisältää. Kun olemme valinneet kolmion, piirrämme suuren ympyrän, jonka sisälle kolmio mahtuu. Tämä ympyrä sisältää useita pimeitä alueita. Siispä lyhennämme ympyrän sädettä asteittain niin, etteivät kolmion kärjet missään vaiheessa tule ympyrän ulkopuolelle. Jos jokin kolmion kärjistä on kokonaan ympyrän sisällä, voimme edelleen lyhentää ympyrän sädettä. Näin jatketaan kunnes kaikki kolme kärkeä

18 koskettavat ympyrän reunaa. (Huomio: Toteutamme nyt argumentteja, jotka eivät välttämättä pidä paikkaansa. Voimme kuitenkin jättää virheelliset kohdat toistaiseksi huomiotta ja jatkaa päättelyämme.) Kun kaikki kärjet ovat kehällä, saamme ympyrän joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Jos jatkamme ympyrän säteen lyhentämistä, vaikka vain vähäsen, on selvää että yksi tai useampi kärki tulee ulos ympyrästä. Näin päädymme luonnostaan siihen havaintoon, että pienin mahdollinen ympyrä, jonka sisällä tietty kolmio on, on myös sen kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Huomaatko harhautuksen yllä olevissa väittämissä? Tarkka ala-asteen oppilas, joka pystyy suorittamaan kuuluisan yksityisala-asteen kokeen, huomaa sen. Jos et huomaa, PISA on aivopessyt sinut! Lisäys 2 2. Matemaattisesti oikea vastaus minimi-maksimi kysymyksen- nähtyyn katuvalokysymykseen Olen antanut teille alla olevat kotitehtävät, oletteko miettineet ne läpi? [Edellisen luvun kysymys] Kun kaikki kärjet ovat kehällä, saamme kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Jos jatkamme ympyrän säteen lyhentämistä, vaikka vain vähäsen, on selvää että yksi tai useampi kärki tulee ulos ympyrästä. Näin päädymme luonnostaan siihen havaintoon, että pienin mahdollinen ympyrä, jonka sisällä tietty kolmio on, on myös sen kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Mutta tämä päättely on väärin. Huomaatko harhautuksen? Paljastan nyt edellisen kappaleen väittämissä piilevän harhautuksen. Kun ihmiset lukevat lauseen jos jatkamme ympyrän säteen lyhentämistä, vaikka vain vähäsen, he kuvittelevat mielessään ympyrän, jonka säteen pienentäminen pitää itse keskipisteen samassa kohdassa. Ja jos emme siirrä keskipistettä, kolmion kärjet tulisivat tietysti ulos pienemmästä ympyrästä kuin kolmiota ympäri piirretyn ympyrää. Ennakkokäsitykset ja vakiintunut ajattelu johtavat kuitenkin monet ihmiset ajatuskuoppaan. Jos taas siirrämme keskipistettä hieman ja piirrämme kolmion ympäri piirretyn ympyrää hieman pienemmän ympyrän...näettekö?

19 vähän pienempi ympyrän keskipiste kolmion ympäri piirretyn ympyrän k ki i Kuvassa kolmion ympäri piirretyn ympyrä on piirretty mustalla ja pienempi ympyrä punaisella. Kolmio ABC on vieläkin pienemmän ympyrän sisällä. Kuten näette, oikealta vaikuttavasta ensivaikutelmasta huolimatta väittämä * Pienin mahdollinen ympyrä, jonka sisällä tietty kolmio on, on myös sen kolmion ympäri piirretyn ympyrä. on väärin. Tämän takia olen piirtänyt useita kolmioita ja ympyröitä ja löytänyt oikean vastauksen. Yllättävää kyllä, tämän todisteet ovat melko vaikeaselkoisia. Kun olin etsimässä ratkaisua, sain apua samaan aikaan Makoto Matsumotolta (Hiroshiman yliopisto) ja Shizuo Kajilta (Fukuokan yliopisto), jotka olivat yrittäneet löytää saman ratkaisun. Heidän käsityksensä todisteista ovat keskenään eroavia, mutta molempien todisteet perustuvat näkökulmien kääntämiseen. Sillä aikaa kun minä olin jämähtänyt piirtämään ääriviivaympyröitä valonlähteen ympyröille, he piirsivät kärkien A, B ja C ympärille kolme ympyrää, joiden pitäisi saada saman verran valoa ympyröiden koon mukaan. Jos esimerkiksi kärki A valaistaan valaistuksella, joka on c/r 2 tai suurempi, katuvalo on sijoitettava sen ympyrän kehällä (r), jonka keskipisteenä A on. Sama pitää paikkansa kärkien B ja C kohdalla. Niinpä jos kaikki kolme kärkeä, A, B ja C, valaistaan yhdellä katuvalolla c/r 2: :lla tai sitä

20 suuremmalla valaistuksella, ympyröiden sisään jäävien alueiden pitäisi teoriassa kohdata. Jos ymmärsit yllä olevat huomiot, olet ymmärtänyt todisteiden perusperiaatteet. Koska Kaji on nuori mies, hänen todisteensa muistuttavat piirroselokuvaa ja ne otetaan varmasti hyvin vastaan lukioissa. Näytän Kajin todisteet seuraavassa osassa ja sisällytän mukaan lisämateriaalia lukijan avuksi. [Esitys] Katuvalo sijoitetaan valaisemaan kolmion muotoista puistoa, jotta saamme puiston pimeimmän kohdan mahdollisimman valoisaksi, katuvalo tulisi sijaita: (1) pisimmän sivun keskipisteeseen tylppäkulmaisen tai suorakulmaisen kolmion tapauksessa, tai (2) kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteeseen teräväkulmaisen kolmion tapauksessa (Sizuo Kajin esittämä todiste) Oletetaan, että sivuista BC on pisin, ja näin ollen A on kolmion ABC suurin kulma. Seuraavaksi piirrämme kolme ympyrää, joiden keskipisteet ovat A, B ja C ja joiden säteet (r) ovat yhtä pitkät. alussa, kun t=0, r:n arvo lähtee niin ikään nollasta ja kasvaa ajan kuluessa. Tärkein kohta on se hetki, jolloin ne kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat B ja C, kohtaavat ensi kerran pisteessä M, joka sijaitsee sivu BC:n keskellä. M:n sijainti suhteessa kolmanteen ympyrään, jonka keskipisteenä on A, riippuu seuraavista seikoista: (i) M on jo A:n ympyrän sisällä (ii) M on A:n ympyrän kehällä (iii) A:n ympyrä ei ole vielä saapunut M:ään asti Tarkastellaan näitä kolmea tapausta yksitellen. On selvä tapaus (i) ja (ii):ssä ratkaista tämän hetken M:n luvun. Sen edellisen ajan kolmessa ympyrässä ei ole yhteistä osaa, siksi ei ole olemassa pinta-alaa, jossa katuvalo valaisee kolme ympyrää yhtä aikaa ja valon vahvuus vastaa sen hetken säde r. Kärki B ja C keskipisteenä olevat ympyrät joutuvat tekemisiin keskipiste M:ssa ja sen jälkeen kaksi pistettä tulee leikkauspisteeksi ja ne pisteiden etäisyys laajenee. Tapaus (i): Kärki B ja C keskipisteenä olevan ympyrän kahdesta leikkauspisteestä, leikkauspiste, joka on etäisempi kärki A:sta, tulee perässä kärki A keskipisteenä olevaan ympyrään. Sen leikkauspiste on kolmio ABC:n ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja ilmeisesti sijaitsee kolmion ulkopuolella. Kärki A on tylppäkulma. (Se voidaan todistaa siten

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Tieteellisiä havaintoja kännykällä

Tieteellisiä havaintoja kännykällä Tieteellisiä havaintoja kännykällä Havainto Arkipäivässäkin voi tehdä tieteellisiä havaintoja erilaisista luonnonilmiöistä. Tieteellisiin havaintoihin kuuluu havainnon dokumentointi ja erilaisten mittausten

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Prosentti Prosentti on arkielämän matematiikkaa. Kuitenkin prosenttilaskut ovat oppilaiden mielestä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat

2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat 2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat Laskentatavat Yleistä - vaakageometrian suunnittelusta Paalu Ensimmäinen paalu Ensimmäisen paalun tartuntapiste asetetaan automaattisesti 0.0:aan. Tämä voidaan muuttaa

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys 10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen

Lisätiedot

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita 3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä. POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot