Eriävä mielipide käsitykselle akateemisen. kyvykkyyden kansainvälisestä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Eriävä mielipide käsitykselle akateemisen. kyvykkyyden kansainvälisestä"

Transkriptio

1 Eriävä mielipide käsitykselle akateemisen kyvykkyyden kansainvälisestä vertailtavuudesta 4. osa Mihin pitäisi sijoittaa katuvalo kolmion muotoisessa puistossa? -- Versio Fukuokan yliopiston matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Professori Katsuyuki Shibata (Saitaman yliopiston emeritusprofessori) Kirjoitus: Totuus voittaa aina Makoto Matsumoto Tokion yliopiston matemaattis-luonnontieteellinen tutkimuslaitoksen tutkijakoulun professori Where should a streetlight be placed in a triangular-shaped park? Englanninkielinen versio:http://www1.rsp.fukuoka-u.ac.jp/kototoi/igi-ari-4_e.pdf Ou doit-on placer un lampadaire dans un parc publique triangulaire Ranskankielinen versio: Wo sollte eine Strasenlaterne in einem dreieckformigen Park platziert werden? Saksankielinen versio: 路 灯 应 该 设 在 三 角 形 公 园 的 哪 个 部 位? Kiinankielinen versio: 가로등은 삼각형 모양의 공원 어디에 설치해야 하는가? Koreankielinen versio:

2 Mihin pitäisi sijoittaa katuvalo kolmion muotoisessa puistossa? alkeisintegraali-ja differentiaalilaskenta geometrinen optinen (versio 5.1) << Sisällysluettelo >> Johdanto Katuvalo-kysymys Amerikka pimenee Kaksi määritelmää puiston valaistuksesta Tekijän kiitokset Luku 1. 2-ulotteisen valaistuskeskipisteen kaari sitoo yhteen repeämät kolmion symmetriassa Integroi puistossa olevat valaistut pisteet Laske osittaisderivaatat suhteessa vaakasuoran valaistuksen kokonaismäärän Tutki symmetria-akseli suhteessa valaistuksen kokonaismäärän Laske symmetria-akselin mukaisesti osittaisderivaatat vertikaalisesti suhteessa valaistuksen kokonaismäärän 1.5 Kolmion valaistuskeskipiste (yleiskolmion versio) 1.6 Euklidinen määritelmä 1.7 Sijoituspaikka on muuttujaksi määritellyn valaistuksen kokonaismäärän funktion kaavio 1.8 "Mini-Kamiokande" ja muita yleistyksiä Luku 2. Spatiaalisen valaistuskeskipisteen ikuinen matka, joka alkaa alimmaisesta valaistuskeskipisteestä kohti painopistettä 2.1 Korkeuden ollessa nolla, katuvalon valaistuksen funktio on Diracin δ-funktio 2.2 Katuvalon korkeuden ollessa s >0, integroi puiston jokaisen kohteen valaistus 2.3 Katuvalon korkeuden ollessa s, laske osittaisderivaatat suhteessa puiston valaistuksen kokonaismäärän 2.4 Kokonaisvalaistuksen vertikaalisen osittaisderivaatan voimakas konveksisuus 2.5 Puiston valaistuksen kokonaismäärä ja kolmion symmetria-akseli 2.6 Laske symmetria-akselin mukaisesti osittaisderivaatat vaakasuoran puiston valaistuksen kokonaismäärän suhteen 2.7 Symmetria-akselilla olevan valaistuksen kokonaismäärän funktion vahva

3 näkyvyys 2.8 Yhtälön f1(t) + f2(t):n erityisen tärkeä arvo painopisteessä 2.9 Laske raja-arvot spatiaalisen valaistuskeskipisteen korkeuden ollessa sekä nolla ja ääretön 2.10 Miten valaistuskeskipisteen sijainti siirtyy katuvalon korkeuden noustaessa? 2.11 Kolmion spatiaalinen valaistuskeskipiste Luku 3. Potentiaalisen teorian α-asteen potentiaalilla ja hiukkasfysiikan erilaisten olennaisten cut-off tekniikalla määriteltävä kolmion symmetriakeskipisteen yksiparametrinen perhe 3.0 Tiivistelmä 3.1 Potentiaalisen teorian alkeet 3.2 α-aste ε-potentiaali 3.3 Arviointi α-aste ε-potentiaali α 2 (alla on kovera tapaus) 3.4 Arviointi α-aste ε-potentiaali α 2 (yllä on kupera tapaus) 3.5 (- ) -asteen potentiaalin etsivä rajattu arviointi (kolmion sisäympyrän keskipiste) 3.6 (+ ) -asteen potentiaali (kolmion ympäripiirretyn ympyrän keskipiste) 3.7 Johtopäätös ja tulevaisuuden näkökulmat 3.8 Harjoitukset Luku 4. Lopuksi Avainsana: katuvalo-kysymys, PISA, kolmio, valaistuskeskipiste, valaistus, symmetria-akseli, painopiste, kolmion sisäympyrän keskipiste, kolmion ympäripiirretyn ympyrän keskipiste Lisäys 1. Miten valaistuskeskipiste on päätelty? Lisäys 2. Virhe geometriassa havainnossa että katuvalo-kysymyksen vastaus on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste Lisäys 3. Katuvalo-kysymys hyperbolisessa geometriassa Lisäys 4. Vihdoin vuori on liikkunut! - PISA poistaa katuvalo-kysymyksen saadessaan kritiikkiä PISA -kysymykset ovat yhteiskuntavastaisia Lisäys 5. Todiste siitä että ympyrän valaistuskeskipiste ja ellipsin valaistuskeskipiste ovat samassa kohdassa Lisäys 6. Kolmion kärkikulmanpuolittajan mysteeri Määrittely kolmion kannan (BC:n) korkeussuoran puolittajan symmetrisestä ominaisuuksista Apolloninen ympyrä ja bipolaarinen koordinaatisto

4 Lisäys bipolaariseen koordinaatistoon Kirjoitus Totuus voittaa aina (Makoto Matsumoto) Etsi luonnontieteen koulusta... 32

5 Johdanto Katuvalo-kysymys PISA (Programme for International Student Assessment) vuonna 2003 tutkimuksen arvion kehys sanotaan seuraavaksi; [Matematiikka kysymys esimerkki 1: Katuvalo] Kaupunginvaltuusto on päättänyt sijoittaa yhden katuvalon pieneen kolmiomuotoiseen puistoon, siten että se valaisee koko puiston. Mihin katuvalo tulisi puistossa sijoittaa? Tämä sosiaalinen kysymys voidaan ratkaista noudattamalla matemaatikoiden käyttämää yleistä strategiaa, jota matematiikan puitteet lähestymistavassa kutsutaan matematisoimiseksi. Matematisoimisen voidaan katsoa sisältävän viisi aspektia. 1. Aloitetaan ongelmalla joka on todellisesti olemassa. Mihin katuvalo pitäisi sijoittaa? 2. Ongelma muotoillaan käyttäen matemaattisia käsitteitä. Puisto voidaan kuvata kolmioksi. Katuvalon valaistus kuvataan ympyräksi, jonka keskipisteenä on valaisin. 3. Siirrytään asteittain pois arkitodellisuuden käsitteistöstä, muodostaen olettamuksia siitä mitkä tekijät ongelmassa ovat oleellisia, yleistettävissä olevia ja formuloituja. Tämä edustavat tilanteen matemaattista tarkastelua jossa arkitodellisuuden ongelma muutetaan alkuperäistä tilannetta kuvaavaksi matemaattiseksi ongelmaksi. Lopulta ongelma on muutettu muotoon jossa pyritään paikallistamaan kolmion ympäröivän ympyrän keskipiste. 4. Matemaattisen ongelman ratkaisu. Hyödyntäen tietoa, että kolmiota ympäröivän ympyrän keskipiste on kolmion sivujen puolittajien leikkauspiste, saadaan kolmion molempien puoliskojen kohtisuorat puolittajat. Kahden puolittajan leikkauspiste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. 5. Mietitään matemaattisesta vastauksesta todellisuuden tilanteen merkitystä. Kytketään edellä mainittu havainto todelliseen puistoon. Tarkastellessa ratkaisumallia huomataan, että mikäli joku puiston kulmista olisi tylppäkulmainen, tämä samalla johtaisi siihen että katuvalaistuksen pitäisi olla puiston ulkopuolella. Todetaan että puiston puiden sijainti ja korkeus ovat tekijöitä jotka vaikuttavat matemaattisen lähestymistavan käyttökelpoisuuteen. ( PISA/OECD 2003 Arvion kehys, Matemaattinen lukutaito p )

6 .html [Oleellinen havainto] Käsitellessämme ongelmaa joka nousee arkikokemuksesta, kuten kysymys katuvalosta, meidän tulee aluksi määritellä lähtökohtamme, jonka jälkeen etsimme siihen sopivaa ratkaisua. PISAn kriteeri: Ongelma on muutettu kysymykseksi kuinka määritetään kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Tämä lähtökohta edellyttää että kaikki kolmion kolme kulmaa on valaistu yhtä kirkkaasti, mikä on kriteerinä todella outo. Onko siitä todellista haittaa että kulma A olisi 1,2 kertaa kirkkaampi kuin kulma B, tai 0,87 kertaa vähemmän valoisa kuin kulma C? Itse en pysty näkemää vakuuttavaa perustelua. (Lisähuomautus) Tetsuro Kawasaki (Gakushuin yliopisto; Topologia) huomautti tämän artikkelin kirjoittajalle että PISAn edustajat tarkastelevat katuvalokysymystä minimimaksimi lähtökohdasta käsin, ts. kysymys on olettaa että puiston pimein kohta on mahdollisimman valoisa. Tarkastelemme tätä näkökulmaa katuvalokysymyksen matemaattiselta kannalta/lisäys 2/ Virhe geometriassa havainnossa että katuvalokysymyksen vastaus on kolmion ympäripiirretyn ympyrän keskipiste. PISA-kriteeristön vastaisesti oma lähtökohtamme katuvalokysymyksessä on seuraava; Katuvalo pitäisi sijoittaa siten että sähkökulutus voidaan minimoida (Rakkaan maapallon vuoksi!), ja mikäli mahdollista, on pyrittävä myös minimoimaan kunnalle koituvat sähkömaksut (veronmaksajien etu huomioidaan!). Esittämämme metodi parhaan mahdollisen ratkaisun löytämiseksi perustuu seuraaviin kriteereihin; (1) Määritä tavalla tai toisella sen pisteen kirkkaus, joka valaisimesta katsottuna sijaitsee r-etäisyydellä. (2) Integroi puiston kaikkien pisteiden kirkkaus. Integroinnin arvo on katuvalon sijoituspisteen funktio. (3) Laske integroitujen arvojen osittaisderivaatta löytääksesi funktion maksimimaaliset pisteet. Tämä algoritmi on kaikkein käytetyin ja sitä pidetään yleisenä standardina pyrittäessä määrittelemään funktion maksimipisteitä monen muuttajan vallitessa. Tämän kaikki luonnontieteellisen tiedekunnan opiskelijat oppivat ensimmäisenä lukukautena. Amerikka pimenee Oma näkökulmamme edellä mainitun katuvalokysymyksen matemaattisuudesta sisältää seuraavanlaisia sosiaalisia ehtoja.

7 Asahi sanomalehti ( ) Krugmanin kolumni Amerikka pimenee ( America goes dark käännetty 9.8 NY Times) raportoi että kaupunkien katuvalot on sammutettu laman johdosta. Krugman on Princeton yliopiston professori joka sai Nobel talouspalkinnon vuonna Teksti on esitetty englanniksi ja japaniksi Amerikka pimenee Paul Krugman julkaistu Valot ovat sammuvat ympäri Amerikkaa, kirjaimellisesti. Colorado Springs (Colorado osavaltion kaupunki) nousi julkisuutteet pyrkiessään säästää rahaa sammuttaen kolmasosan katuvaloistaan. Vastaavia suunnitelmia on toteutettu tai niitä ollaan harkitsemassa ympäri Amerikkaa, Philadelphiasta Fresnoon. Maa, joka aikoinaan hämmästytti maailmaa kaukonäköisillä kuljetusinvestoinneillaan, Erie- kanavasta valtioiden väliseen moottoritiejärjestelmään, on nyt palaamassa takaisin päällystämättömään tieverkostoon: useat osavaltiot ovat rahan puutteen vuoksi kykenemättömiä ylläpitämään tieverkostoon ja ovat, joka oli palauttamassa niitä takaisin sorateiksi. Maa, joka aikoinaan korosti opiskelun merkitystä ollen ensimmäisenä takaamassa lapsilleen koulutusmahdollisuudet, on nyt leikkaamassa koulutuskuluja. Opettajia lomautetaan ja koulutusohjelmia peruutetaan. Havaijilla kouluvuotta ollaan lyhentämässä merkittävästi. Kaikki merkit viittaavat että lisää leikkauksia on odotettavissa myös tulevaisuudessa. (Jätetty väliin) Hallinnonvastainen kampanja on perinteisesti nimetty tuhlauksen ja petoksen vastaiseksi taisteluksi Nyt kun kampanja on vihdoin saavuttanut päämääränsä, olemme tarkastelemassa mikä on todellinen tyytymättömyyden kohde; kohteena ovat palvelut, joita tarvitsevat kaikki kansalaiset rikkaita lukuun ottamatta. Palvelut, jotka hallinnon tulee toteuttaa, koska kukaan muu ei niitä toteuttaisi. Näitä ovat esimerkiksi katuvalaistus, ajokuntoiset tiet, riittävä koulutus. Pitkän valtionvastaisen kampanjan lopputuloksena on että olemme valinneet turmiollisen, väärän tien. Amerikka seisoo nyt valaisemattomalla, päällystämättömällä tiellä joka ei johda minnekään. Tässä raportissa muodostan kaksi toisistaan poikkeavaa määritelmää. Määritelmän kohteena on sen pisteen kirkkaus joka sijaitsee r-etäisyydellä valaisinpylväästä.

8 [Huomautus 0.0.1] Kirkkaus on valoenergian tiheyttä, eli valon energian määrä jaetaan kuution tilavuudella. Arkipäivän kielenkäytössä kirkkaus ajatellaan olevan valon määrä pinta-ala kohden ja ne normaalistaan laskemalla valosäteen suunnan pituutta. Lisäksi kerrotaan positiivista vakiolukua, joka vastaa valoaaltoa (eli väri), kun ilmastaan valotiheyttä. [1] Ensimmäinen määritelmä puiston jokaisen kohdan kirkkaudesta Katuvalaisimesta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus määritellään valaisimesta saatavan suurimman mahdollisen kirkkauden mukaisesti. Toisin sanoen kun esimerkin henkilö pitää valonlähteen korkeudella lautaa, ja kääntää ko. lautaa kohtisuoraan valonlähteen suuntaan, lauta saa tällöin tämän saman valomäärän. Tämän kirkkauden määrän integrointi kolmion kaikkien pisteiden kanssa merkitsee että: Kuvitellaan valolähteen samassa korkeudessa ja kolmion (puisto) horisontaalisen virtuaalisesti todella matala δ leveyden kolmikulmaista pylvästä. Lasketaan horisontaalisesti lentävien fotonien lukumäärä kolmiokulmaisessa pylväässä ja normalisoidaan saatu luku jakamalla se luvulla δ:lla. Tämän määritelmän perusteella katuvalon sijoituspaikasta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus ilmaistaan termillä c/r 2, jossa c on r:sta riippumaton positiivinen vakioluku. Vakioluvun arvo c ilmaisee valolähteen voimakkuuden. Valitsemme sattumanvaraisesti pienen positiivisen luvun ε ja vakiinnumme sen tästä alkaen. Sitten integroimme c/r 2 kolmiossa katuvalosijoituspisteen ε-lähinaapurin ulkopuolessa olevat kaikki pisteet. Tämä ε-kiekko kuvataan katuvalon hehkulamppuna tai pylväänä. [2] Vaihtoehtoinen kirkkauden määritelmä puiston eri kohdille Katuvalaisimesta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus voidaan vaihtoehtoisesti määritellä eräänä maanpinnalla olevan pisteen kirkkautena. Kun katuvalon korkeus on s > 0, etäisyys maanpinnan ja valonlähteen välillä on (s 2 + r 2 ) 1/2, maanpinta pisteen kohdalla on vinossa suhteessa valonsäteeseen ja meidän tulee moninkertaistaa kosini s / (s 2 +r 2 ) 1/2 pystysuoralle kirkkaudelle. Siten

9 maapinnan olevan pisteen kirkkaus ilmaistaan cs / (s 2 + r 2 ) 3/2. Tämä arvo integroidaan kaikkiin kolmien pisteisiin. Tämä kirkkauden integrointi kaikkiin kolmion pisteisiin merkitsee että: Kuvitellaan kolmiomuotoisella pinnalla (puisto) oleva kolmikulmainen pylväs, jolla on erittäin matala korkeus δ. Laske fotonien määrä joka silmänräpäyksessä lentää tästä kolmikulmaisesta pylväästä, ja normalisoi luku jakamalla se luvulla δ:lla. Mikäli meidän tulee määritellä edellä mainittujen kahden määritelmän erot, ensimmäistä kirkkauden määritelmää kutsutaan planaariseksi (tai 2-ulotteiseksi) kirkkaudeksi, kun vaihtoehtoista määritelmää kutsutaan spatiaaliseksi (tai 3-ulotteiseksi) kirkkaudeksi. Yllä käsitellyt kaksi toisistaan poikkeavaa kirkkauden määritelmä antavat lähtökohdan katuvalokysymyksen matematisoimiselle ja kahdelle eri vastaukselle. Molemmat vastaukset tulevat aiheuttamaan tarkastelijalleen yllätyksen. Kiitokset Olen suuresti kiitollinen Shigeru Tasakille (Fukuokan yliopisto; Hiukkanen fysiikka) että kirkkauden käsitteen vaihtoehtoisen määritelmän, Yoshio Agaokalle (Hiroshiman yliopisto; Geometria) että kolmion jokainen keskipisteen tiedosta ja myös siitä että tarkistat tässä väitteessä määritelty kirkkauskeskus on tuntematon keskus tähän asti, Takito Totsukalle (Tokyo Gakugein yliopisto ; Tietokone tuki koulutus ja kirjailija) ja Naoto Tanakalle (Fukuokan yliopisto ; Differentiaali Tasoitus) että tarkistitte huolellisesti väitteeni koskien ensimmäisen luvun sisältöä ja väitettä tukeviani laskelmia, Shoshichi Kobayashille (Californian yliopisto ; Differentiaali Geometria) että suosittelit väitteeni matemaattiselle tulokselle fysikaalisia tarkoituksia. Lisäksi olen suuresti kiitollinen Jun'ichi Itohlle (Kumamoton yliopisto ; Geometria), Nozomu Matsuuralle (Fukuokan yliopisto : Diskreetti Differentiaali Geometria), Shizuo Kajille (Fukuokan yliopisto ; Algebra Topologia), Shin Akahoshille (Fukuokan yliopisto ; Morfi-Fysiikka), Naoki Yamadalle (Fukuokan yliopisto ; Differentiaali Tasoitus) että annoitte käytännöllisiä ohjeita liittyen katuvalokysymyksen ratkaisemiseksi. Olen suuresti kiitollinen Yuuji Yamashitalle (Iwakunin lukio ; Matematiikka ja IT koulutus) että kehitit tämän väittämieni simulaatioohjelmistot ja esitit ne lukiolaisille geometria-tunteilla jotta lukiolaiset kiinnostivat aiheesta, Takeshi Sasakille (Koben yliopisto ; Algebra Geometria) että kirjoitit uudelleen väitteeni Tex-ohjelmalla. Lopuksi olen suuresti kiitollinen seuraaville henkilöille, jotka esittivät kiinnostusta tutkimustani kohtaan ; Kenji Uenolle (Kioton yliopisto ; Algebra Geometria), Makoto Matsumotolle (Hiroshiman yliopisto ; Numero-teoria Geometria ja Satunnaiset Numerot), Taketoshi Mishimalle (Saitaman yliopisto ; Sähkö Informaatio Teoria), Masashi Sarakille (Keinotekoinen Älykkyys Laboratorio ; Kone Käännös), Tohru Tsujishitalle (Ritsumeikan yliopisto ; Kompleksi Järjestelmä), Tsuneharu Okabelle (Saitaman yliopisto ; Matemaattinen koulutus), Koji Tanakalle (Kääntäjä, Kone Käännöksen

10 Arviointi), Tatsuyoshi Hamadalle (Fukuokan yliopisto ; Differentaarinen Geometria ja Tietojenkäsittelyoppi), Kei-ichi Maedalle (Wasedan yliopisto ; Kosmologia Fysiikka) ja Roland Triaylle (Marseillen Teoreettinen Fysiikan Keskus ; Kosmologia Fysiikka).

11 Luku 1. 2-ulotteisen valaistuskeskipisteen kaari sitoo yhteen repeämät kolmion symmetriassa Ensimmäisessä luvussa suoritetaan laskutoimitus tarkoituksena saada selville funktion maksimimaaliset pisteet integroiden puiston kaikkien pisteiden valonmäärällä. [Määritelmä 1.0.1] Ensimmäinen määritelmä puiston jokaisen kohdan kirkkaudesta: Katuvalaisimesta r-etäisyydellä olevan pisteen kirkkaus määritellään kaavalla c/r 2, jossa c on positiivinen riippumaton vakioluku r. Oletetaan että P on kolmion ABC sisäpisteenä, sen etäisyys ylittää ε jokaisesta sivusta ja D ε (P) on P:n keskipisteenä oleva ε-kiekko Integroi puistossa olevat valaistut pisteet Määrätään satunnainen pieni positiivinen luku ε. Ja integroidaan c/r 2 koko kolmio ilman katuvalosijoitus pisteen ε-kiekon ympäri. Tämä ε-kiekko symboloi hehkulamppua tai valaisinpylvästä. Alla olevan laskukaavassa esitetyn tuloksen perusteella vaikuttaa siltä että etsimämme maksiiminen piste on riippumaton ε arvon valinnasta. Piirretään kohtisuora janastot, PH, PJ, PK piste P:sta kuin kuva 1.1. Siten kolmio ABC jaetaan kuudeksi pieniksi kohtisuorakulma kolmioksi ja suunnataan kulmat α=jpa, β=jpc, γ=hpc, α =KPA, β =KPB, γ =HPB kuin kuva 1.1. Kun kolmesta kulmasta yksi on tylppä kulma ja vastaava kohtisuora ylittää kolmion ulkopuolelle, vastaava keskikulma tulee käänteisesti suunnatuksi. Siten tulkitaan kulman arvo negatiivisena. Näin α+β+γ+α +β +γ =2π pidetään.

12 Kuva 1.1: Jaetaan kolmio ABC P yhteisenä käyttäväksi kuudeksi kohtisuora kulma kolmioksi. Suoritetaan kirkkauden integraatio c/r 2 jokaiselle kohtisuora kulma kolmiolle erikseen. Esimerkiksi JPA:n integraatio on seuraavaksi. Kohtisuora janasto PJ:n pituus merkitään j:ksi. Lasketaan yhteen kaikki kuuden kolmion integraation arvot, ABC:n koko kirkkaus E(P;ε) tulee; 2πc( - logε) + c [(α+β)log j + (α +β )log k + (γ+γ )log h] + c{ α 0 log(θ)dθ + β 0 log(θ)dθ + γ 0 log(θ)dθ + α' 0 log(θ)dθ + β' 0 log(θ)dθ + γ 0 'log(θ)dθ}, h ja k merkitsevät kohtisuorakulma PH ja PK:n pituus Laske osittaisderivaatat suhteessa vaakasuoran valaistuksen kokonaismäärän Kun olemme laskeneet ABC:n valaistuksen kokonaismäärän E(P;), tarkistamme miten sen arvo muuttuu, kun katuvalo P siirretään vaakasuoraan siten, että korkeus h on yhä kohtisuoran segmentin PH pituus. AD kuvaa kohtisuoraa jaoketta, joka kulkee ylimmästä kulmasta A alimman sivun BC kautta. A1 taas kuvaa jaoketta DAC ja A2 jaoketta DAB. Tällöin A1=(/2) - C, A2 =(/2) - B pitää paikkansa.

13 Kulma =DAP (-A2 < < A1) määrittää yksin piste P:n sijainnin. Vaikka valaistuksen kokonaismäärä E(P;) merkitään yhdeksällä muuttajalla (kolmen suorakulmaisen segmentin PH, PJ ja PK:n pituudet h, j ja k sekä P:tä ympäröivät kuusi keskikulmaa), määrittää ne kaikki, ja yhdistelmäfunkutioiden derivointisääntöä voidaan soveltaa. Määrätyn integraalin derivointi palaa alkuperäiseen integroituun funktioon analyysin peruslauseiden mukaan. d d' d d d ' d ' c[( ) log( AP ) ( ) log( CP ) ( ) log( BP ) d d d d d d 1 dj 1 dk ( ) ( ' ' ) ] j d k d ilmaisee suorakulmaisten segmenttien PH, PJ ja PK pituuksia h, j ja k, sekä valonlähdettä P:ta ympäröiviä kuutta keskikulmaa,,,,,. Näiden johdokset suhteessa :n ovat:

14 Nämä toteuttavat siis yhtälön on tulos. 0 ) ( } )sin sin( ) {( ) ( merkitsee että ) )sin( ( ) sin( samoin ja tulee muotoon, 0 ) ( } )sin sin( ) ( { ) ( merkitsee että ) )sin( ( ) sin( ja A h AD A A h AD d dk A h AD A AP k A h AD A A h AD d dj A h AD A AP j h AD AP saadaan. 0 ' ja 0 Siksi on tulos. 0 ' ' samoin ja muotoon, tulee 0 ) ( siksi, tan ) ( tan Myös 2 2 BP AP d d CP AP d d BP AP d d CP AP h h AD d d h AD CD h Näitä yhtälöjä käyttäen sijoitus muuttaa de(p;):n ilmaisun seuraavaksi: jolloin B1 ja C1 ovat sen vaakasuoran jana leikkauspisteitä, joka kulkee AB:n ja AC:n merkitse merkitse merkitse merkitse } { ) ( } )sin ( )sin ' ' ( { ) ( ] ) )( ' ( ) ( ) ( [{ ) ; ( C P APC B P APB h AD c j C k B h AD c k A h AD A h AD j c d P de

15 välillä P:n läpi. On selvää, että B1P:n arvo lähestyy nollaa sivu AB:n lähellä, samoin C1P AC:n lähellä, minkä lisäksi ( APB / B1P - APC / C1P ) vähenee suoraviivaisesti, joten yllä mainittu lukukaavan muutoksen tulos merkitsee sitä että de(p;)/d:n arvo vähenee suoraviivaisesti positiivisesta äärettömyydestä lähelle negatiiviseen äärettömyyteen. Näin ollen B1C1 :n sisällä on vain yksi piste jossa funktio E(P;) pitää paikkansa. Lisäksi katuvaloon siirtyessä tästä pisteestä vaakasuoraan kohti kumpaa tahansa reunoista AB tai AC, puiston kokonaisvalaistuksen määrä E(P;) vähenee suoraviivaisesti. [Määritelmä 1.2.1] Kutsutaan pistettä, jolla on korkein arvo segmentti B1C1:ssa, taso h:n valaistuksen keskipisteeksi ja merkitään se l(h):lla. Kun h:n arvo muuttuu :sta AD - :hen, joukko {l(h); < h < AD - } muodostaa kaaren, joka leikkaa jokaisen horisontaalisen viivan kerran. Kutsumme tätä kaarta valaistuksen keskipistekaareksi, joka lähestyy kärki A:ta. Itse asiassa l(h):n sijainnin määrittää sen etäisyys x suorakulmaisesta segmentti AD:sta (-BD(AD - h) /AD < x < CD(AD - h) /AD). x:n arvo on alla oleva yhtälön ratkaisu; x{arctan[h/(bd+x)] + arctan[h/(cd-x)] + } = (AD-h){(cot B + cot C)arctan[(AD-h)/x] + (cot B)arctan[h/(BD+x)] +(cot B)arctan[h/(CD-x)] (cot B) )}, Tässä AD, BD ja CD ovat kolmio ABC:n määrittämiä vakioita. Ratkaisu x on riippuvainen parametri h:sta Tutki symmetria-akseli suhteessa valaistuksen kokonaismäärän

16 Lisäys 2. Virhe geometriassa havainnossa että katuvalo-kysymyksen vastaus on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste PISAn oma selitys koskien katuvalokysymyksiä, jonka parissa olen innolla työskennellyt tänä vuonna, on seuraava. [Matemaattinen esimerkki 1: Katuvalokysymys] (Poista keskiosa) 2. Puisto voidaan kuvata kolmiona, ja valaistusta ympyränä, jonka keskellä katuvalo on. 3. Tämä kysymys voidaan muuttaa kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen paikallistamiseksi. (Poista loppuosa) Ensin en pystynyt ymmärtämään yllä mainittua äkillistä siirtymää kohdasta 2 kohtaan 3. Sitten arvelin, Ehkäpä kolmion ympäri piirretty ympyrä valittiin täysin sattumanvaraisesti, koska kolmio ja ympyrä oli jo määritetty, tai kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen löytäminen oli alkuperäinen tavoite, ja sosiaalinen tilanne eli puisto ja katuvalo oli lisätty vasta jälkikäteen. Sain hiljattain sähköpostia Tetsuro Kawasakilta, joka työskentelee Gakushuin yliopistolla geometrian laitoksella. Luettuani hänen postinsa ymmärsin lopultakin kuinka PISA ajattelee ja miksi siellä kirjoitetaan yllä mainitun kaltaisia selityksiä. Kawasaki kirjoitti näin:...tämä ajatus on näköjään ristiriidassa sinun ajatuksesi kanssa PISAn ajatus on, että puiston pimeimmän kohdan valoisuus määrittää koko puiston valaistuksen. Tätä en ole itse vahvistanut, mutta esimerkiksi Tosiman osaston asetusten mukaan puiston kirkkauden pitäisi olla enemmän kuin niin-ja-niin monta luxia, ja uskon valaistuksen tässä tarkoittavan pimeimmän kohdan valaistusta. Kun käytämme tätä valaistuksen määritelmää, me ohjaudumme luonnostaan etsimään tietyn kokoista ympyrää, jonka keskellä valonlähde on ja joka sisältää puiston kokonaisuudessaan. Tämä auttaa meitä paikallistamaan kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen. Lisäksi PISAn huomio tylppäkulmaisten kolmioiden suhteen on ymmärrettävissä.

17 Näin arvelen PISAn tutkijoiden ajatelleen. Tässä mielessä PISAn antamat selitykset ovat järkeenkäypiä eivätkä missään nimessä väärin... Häpeäkseni minun on tunnustettava, että lukiessani PISAn katuvalokysymyksen selitystä en huomannut, että PISA piti sitä minimi-maksimi-kysymyksenä, kuten jos ajatellaan puiston valaistusta sen pimeimmän kohdan valaistuksena, etsi se piste, johon asetettu valonlähde tekee puistosta mahdollisimman valoisan. Olen todella kiitollinen Kawasakille hänen yksityiskohtaisista vinkeistään. Vihdoin ymmärsin miksi PISAn matemaattisen lukutaidon selitys siirtyi kohdasta 2 kohtaan 3 ilman varoitusta. Heidän mielestään asia on niin selvä, että siihen ei ole tarvetta. Kawasakin mukaan me ajaudumme luonnollisesti kolmion ympäri piirretyn ympyrään. Itse asiassa tämä ei ole totta monien kolmioiden kohdalla kolmioille ja johtuu täysin vääränlaisesta intuitiosta. Ymmärrän nyt, että PISAn katuvalokysymys ja sen virallinen selitys ovat harvinainen käännekohta opetusmateriaalin tekeminen siihen todistukseen, miten helposti ihmisen geometrisen intuitiota voi huijata. Seuraavaksi selvennämme sitä konkreettista mekanismia, joka tuottaa harhakuvan, että jotta saisimme kolmion pimeimmän kohdan mahdollisimman valaistukseksi, valonlähteen on luonnollisesti oltava kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskellä myös matemaattisen tutkimuksen eturintamalla työskentelevien ammattimatemaatikkojen mielessä. Nämä argumentit lähtevät seuraavasta olettamuksesta: Pisteen valaistus on riippuvainen ainoastaan sen etäisyydestä valonlähteeseen ja pienenee etäisyyden kasvaessa. Näin ollen valaistuksen ääriviivat ovat samankeskisiä ympyröitä, joiden keskipisteenä valonlähde on. Mitä suurempi ympyrän säde on, sitä pimeämpiä alueita se sisältää. Kun olemme valinneet kolmion, piirrämme suuren ympyrän, jonka sisälle kolmio mahtuu. Tämä ympyrä sisältää useita pimeitä alueita. Siispä lyhennämme ympyrän sädettä asteittain niin, etteivät kolmion kärjet missään vaiheessa tule ympyrän ulkopuolelle. Jos jokin kolmion kärjistä on kokonaan ympyrän sisällä, voimme edelleen lyhentää ympyrän sädettä. Näin jatketaan kunnes kaikki kolme kärkeä

18 koskettavat ympyrän reunaa. (Huomio: Toteutamme nyt argumentteja, jotka eivät välttämättä pidä paikkaansa. Voimme kuitenkin jättää virheelliset kohdat toistaiseksi huomiotta ja jatkaa päättelyämme.) Kun kaikki kärjet ovat kehällä, saamme ympyrän joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Jos jatkamme ympyrän säteen lyhentämistä, vaikka vain vähäsen, on selvää että yksi tai useampi kärki tulee ulos ympyrästä. Näin päädymme luonnostaan siihen havaintoon, että pienin mahdollinen ympyrä, jonka sisällä tietty kolmio on, on myös sen kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Huomaatko harhautuksen yllä olevissa väittämissä? Tarkka ala-asteen oppilas, joka pystyy suorittamaan kuuluisan yksityisala-asteen kokeen, huomaa sen. Jos et huomaa, PISA on aivopessyt sinut! Lisäys 2 2. Matemaattisesti oikea vastaus minimi-maksimi kysymyksen- nähtyyn katuvalokysymykseen Olen antanut teille alla olevat kotitehtävät, oletteko miettineet ne läpi? [Edellisen luvun kysymys] Kun kaikki kärjet ovat kehällä, saamme kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Jos jatkamme ympyrän säteen lyhentämistä, vaikka vain vähäsen, on selvää että yksi tai useampi kärki tulee ulos ympyrästä. Näin päädymme luonnostaan siihen havaintoon, että pienin mahdollinen ympyrä, jonka sisällä tietty kolmio on, on myös sen kolmion ympäri piirretyn ympyrä. Mutta tämä päättely on väärin. Huomaatko harhautuksen? Paljastan nyt edellisen kappaleen väittämissä piilevän harhautuksen. Kun ihmiset lukevat lauseen jos jatkamme ympyrän säteen lyhentämistä, vaikka vain vähäsen, he kuvittelevat mielessään ympyrän, jonka säteen pienentäminen pitää itse keskipisteen samassa kohdassa. Ja jos emme siirrä keskipistettä, kolmion kärjet tulisivat tietysti ulos pienemmästä ympyrästä kuin kolmiota ympäri piirretyn ympyrää. Ennakkokäsitykset ja vakiintunut ajattelu johtavat kuitenkin monet ihmiset ajatuskuoppaan. Jos taas siirrämme keskipistettä hieman ja piirrämme kolmion ympäri piirretyn ympyrää hieman pienemmän ympyrän...näettekö?

19 vähän pienempi ympyrän keskipiste kolmion ympäri piirretyn ympyrän k ki i Kuvassa kolmion ympäri piirretyn ympyrä on piirretty mustalla ja pienempi ympyrä punaisella. Kolmio ABC on vieläkin pienemmän ympyrän sisällä. Kuten näette, oikealta vaikuttavasta ensivaikutelmasta huolimatta väittämä * Pienin mahdollinen ympyrä, jonka sisällä tietty kolmio on, on myös sen kolmion ympäri piirretyn ympyrä. on väärin. Tämän takia olen piirtänyt useita kolmioita ja ympyröitä ja löytänyt oikean vastauksen. Yllättävää kyllä, tämän todisteet ovat melko vaikeaselkoisia. Kun olin etsimässä ratkaisua, sain apua samaan aikaan Makoto Matsumotolta (Hiroshiman yliopisto) ja Shizuo Kajilta (Fukuokan yliopisto), jotka olivat yrittäneet löytää saman ratkaisun. Heidän käsityksensä todisteista ovat keskenään eroavia, mutta molempien todisteet perustuvat näkökulmien kääntämiseen. Sillä aikaa kun minä olin jämähtänyt piirtämään ääriviivaympyröitä valonlähteen ympyröille, he piirsivät kärkien A, B ja C ympärille kolme ympyrää, joiden pitäisi saada saman verran valoa ympyröiden koon mukaan. Jos esimerkiksi kärki A valaistaan valaistuksella, joka on c/r 2 tai suurempi, katuvalo on sijoitettava sen ympyrän kehällä (r), jonka keskipisteenä A on. Sama pitää paikkansa kärkien B ja C kohdalla. Niinpä jos kaikki kolme kärkeä, A, B ja C, valaistaan yhdellä katuvalolla c/r 2: :lla tai sitä

20 suuremmalla valaistuksella, ympyröiden sisään jäävien alueiden pitäisi teoriassa kohdata. Jos ymmärsit yllä olevat huomiot, olet ymmärtänyt todisteiden perusperiaatteet. Koska Kaji on nuori mies, hänen todisteensa muistuttavat piirroselokuvaa ja ne otetaan varmasti hyvin vastaan lukioissa. Näytän Kajin todisteet seuraavassa osassa ja sisällytän mukaan lisämateriaalia lukijan avuksi. [Esitys] Katuvalo sijoitetaan valaisemaan kolmion muotoista puistoa, jotta saamme puiston pimeimmän kohdan mahdollisimman valoisaksi, katuvalo tulisi sijaita: (1) pisimmän sivun keskipisteeseen tylppäkulmaisen tai suorakulmaisen kolmion tapauksessa, tai (2) kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteeseen teräväkulmaisen kolmion tapauksessa (Sizuo Kajin esittämä todiste) Oletetaan, että sivuista BC on pisin, ja näin ollen A on kolmion ABC suurin kulma. Seuraavaksi piirrämme kolme ympyrää, joiden keskipisteet ovat A, B ja C ja joiden säteet (r) ovat yhtä pitkät. alussa, kun t=0, r:n arvo lähtee niin ikään nollasta ja kasvaa ajan kuluessa. Tärkein kohta on se hetki, jolloin ne kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat B ja C, kohtaavat ensi kerran pisteessä M, joka sijaitsee sivu BC:n keskellä. M:n sijainti suhteessa kolmanteen ympyrään, jonka keskipisteenä on A, riippuu seuraavista seikoista: (i) M on jo A:n ympyrän sisällä (ii) M on A:n ympyrän kehällä (iii) A:n ympyrä ei ole vielä saapunut M:ään asti Tarkastellaan näitä kolmea tapausta yksitellen. On selvä tapaus (i) ja (ii):ssä ratkaista tämän hetken M:n luvun. Sen edellisen ajan kolmessa ympyrässä ei ole yhteistä osaa, siksi ei ole olemassa pinta-alaa, jossa katuvalo valaisee kolme ympyrää yhtä aikaa ja valon vahvuus vastaa sen hetken säde r. Kärki B ja C keskipisteenä olevat ympyrät joutuvat tekemisiin keskipiste M:ssa ja sen jälkeen kaksi pistettä tulee leikkauspisteeksi ja ne pisteiden etäisyys laajenee. Tapaus (i): Kärki B ja C keskipisteenä olevan ympyrän kahdesta leikkauspisteestä, leikkauspiste, joka on etäisempi kärki A:sta, tulee perässä kärki A keskipisteenä olevaan ympyrään. Sen leikkauspiste on kolmio ABC:n ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja ilmeisesti sijaitsee kolmion ulkopuolella. Kärki A on tylppäkulma. (Se voidaan todistaa siten

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan - tarinaosasto Tero Kilpeläinen

Johdatus matematiikkaan - tarinaosasto Tero Kilpeläinen Tero Kilpeläinen Syksy 2011 Mitä todistettavaa? Seuraavassa esimerkkejä lauseista, joiden todistukset eivät ole ilmeisiä. Aritmetiikan peruslause Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää yksikäsitteisellä

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Heikosta vastauksesta puuttuvat konkreettiset faktat, mikä näkyy esimerkiksi

Heikosta vastauksesta puuttuvat konkreettiset faktat, mikä näkyy esimerkiksi Heikosta vastauksesta puuttuvat konkreettiset faktat, mikä näkyy esimerkiksi asioiden esittämisenä ympäripyöreästi esimerkkien puuttumisena siten, ettei tehtävässä annettuja tai vastauksen kannalta olennaisia

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot