Osa 6: Perustukset. Betoniteollisuus 1(10) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Osa 6: Perustukset. Betoniteollisuus 1(10) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu."

Transkriptio

1 1(10) Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn Johdnto Eurokoodien käyttöönotto kntvien rkenteiden suunnitteluss on merkittävin suunnitteluohjeit koskev muutos kutt ikojen. Koko Euroopp on siirtymässä vuonn 2010 yhteisiin rkenteiden suunnitteluohjeisiin, jolloin lähes kikist knsllisist suunnitteluohjeist j stndrdeist luovutn. Tämä julkisu on os opssrj Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn. Oppiden vull pyritään helpottmn siirtymistä eurokoodimitoitukseen betonirkenteiden suunnitteluss. Oppiss on koottu yhteen tyypillisten betonirkenteiden suunnitteluss trvittvt vintiedot j selitykset. Tämä julkisusrj on ldittu lun perin Englnniss, j sen on julkissut UK Concrete Centre. Europen Concrete Pltform (Hwww.europenconcrete.eu/H) on hnkkinut julkisuoikeudet j luovuttnut ne euroopplisten betoni- j sementtiteollisuusjärjestöjen (BIBM, Cembureu, ERMCO, EFCA) knsllisille jäsenjärjestöille. RTT Betonitoimil on kääntänyt oppt suomeksi j muuttnut ne Suomen knsllisten liitteiden mukisiksi. Työ on rhoitettu osittin Rkennustuotteiden Ltu -säätiön tuell. EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu Soveltmisl Perustukset tulee suunnitell siten, että mperä kestää rkenteist iheutuvt kuormt. Perustusten suunnitteluss on kksi vihett: geotekninen suunnittelu j perustusten rkennesuunnittelu. Joisskin perustuksiss (esim. tipuist lttperustukset) mperän j rkenteen vuorovikutuksell stt oll merkitystä j yhteisvikutus tulee ott huomioon. Geotekninen suunnittelu on esitetty eurokoodiss EN Eurokoodiss EN 1997 on kksi os: Yleiset säännöt j Pohjtutkimus j koestus. Tässä oppss on esitetty eurokoodin EN perustusten suunnittelu koskevt olenniset piirteet. Tässä julkisuss käsitellään vin yksinkertisten perustusten mitoitust, mikä on vin pieni os eurokoodin EN 1997 soveltmislst. Tämän tki opst ei voi pitää koko eurokoodi EN 1997 koskevn yleisohjeen. Rjtilt Geoteknisessä suunnitteluss trkstetn seurvien murtorjtilojen vtimukset. (Eurokoodien termejä on esitetty oppss Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn. 1. Eurokoodimitoituksen perusteet 2 ). EQU rkenteen tspinon menetys. STR kntvn rkenteen ti rkenneosn murtuminen ti huomttv muodonmuutos, jok joht kntokyvyn menetykseen. GEO mperän murtuminen ti liillinen muodonmuutos (kestävyys perustuu mpohjn lujuuteen). UPL tspinon menetys vedenpineen iheuttmn nosteen tki. HYD hydrulisten grdienttien iheuttm mpohjn nousu, sisäinen eroosio j sisäinen putkieroosio Eurokoodiss EN on määritetty eri rjtiloiss käytettävät kuormyhdistelmät. Murtorjtilojen lisäksi suunnitteluss tulee trkst myös käyttörjtilojen vtimukset. Yleensä yksi rjtil on mitoituksen knnlt määräävä, joten kikki rjtiloj ei ole trpeellist trkist. Hyvän suunnittelutvn mukn on kuitenkin syytä kirjt, että kikki rjtilt on otettu huomioon.

2 2(10) Geotekniset luokt Eurokoodiss EN käytetään kolme geoteknistä luokk rkenteen geoteknisten suunnitteluvtimusten määrittämiseen (ks. tulukko 1). Luokss 1 geoteknisen suunnittelun voi tehdä myös rkennesuunnittelij. Luokss 3 tulee käyttää geoteknistä suunnittelij. Luokss 2 rkennesuunnittelij suunnittelee perustukset geoteknisen suunnittelijn ntmien lähtötietojen perusteell. Mitoitusmenetelmät j yhdistelmät Geotekniset suunnittelijt eivät ole päässeet yksimielisyyteen rjtilmitoituksen soveltmisest geotekniseen suunnitteluun. Mielipide-erojen tki eurokoodiss EN on esitetty kolme murtorjtiln mitoitusmenettelyä. Käytettävä menettely esitetään kunkin mn knsllisess liitteessä. Tässä oppss esitetään Suomess sovellettv mitoitusmenettely DA2. Tässä menettelyssä on kksi tp sovelt vrmuuskertoimi murtorjtilss (STR/GEO). Menetelmässä DA2 kuormt kerrotn heti osvrmuusluvuill j menettelyssä DA2* osvrmuuslukuj käytetään kuormille vst epäkeskisyyksien määrittämisen jälkeen. Kuormien osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 2. Geoteknisten mteriliominisuuksien osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 3. Rjtilss EQU käytettävät kuormien osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 5. Geoteknisten mteriliominisuuksien osvrmuusluvut tulukoss 6. Geotekninen suunnittelurportti Eurokoodin EN mukinen geotekninen suunnittelurportti tulee tehdä jokisess projektiss. Rportiss esitetään rkennuspikn yksityiskohtiset tiedot, mperätutkimusrportin tulkint, suositukset perustusten suunnittelu vrten, ohjeit geoteknisten töiden vlvonnst j seurnnst sekä kunnosspidost. Rportin ltiminen voi edellyttää tietoj usemmlt suunnittelijlt sen mukn, kuuluuko projekti geotekniseen luokkn 1, 2 vi 3. Perustuksen mitoitussuosituksiss esitetään kntokestävyys j mprmetrien ominisrvot. Suosituksiss ilmoitetn, voidnko rvoj sovelt käyttö- vi murtorjtilss j käytetäänkö mitoitusmenettelyä DA2 vi DA2*. Anturperustukset Anturperustusten (esim. seinä- j pilrinturt) geoteknistä suunnittelu käsitellään eurokoodin EN 1997 osn 1 kohdss 6, joss on kolme mitoitusmenetelmää: suor menetelmä jokinen rjtil trkstetn lskemll epäsuor menetelmä käytetään vertilukelpoist kokemust j testust määritettäessä käyttörjtiln prmetrej, jotk täyttävät myös kikkien kysymykseen tulevien rjtilojen vtimukset (menetelmä on eurokoodiss EN 1997 pääsiss rnsklisen suunnittelukäytännön tki, joten menetelmää ei käsitellä enempää tässä) ohjeellisiin sääntöihin perustuv menetelmä, joss käytetään otksuttu kntokestävyyttä Useimmiss nturperustuksiss pinum on määräävä kriteeri. Perinteisesti pinum on hllittu rjoittmll geoteknistä kntvuutt. Ohjeellisiin sääntöihin perustuvss menetelmässä voidn yhä pinum rjoitt suurentmll kntokestävyyden vrmuusluku. Poikkeuksen ovt pehmeät svet, joill eurokoodi EN edellyttää pinumlskelmi. Suorss menetelmässä jokinen rjtil trkstetn lskennllisesti. Murtorjtilss mperän kntokestävyys trkistetn käyttäen sekä mprmetrien että kuormien osvrmuuslukuj. Käyttörjtilss lsketn perustusten pinum j trkistetn, ettei sllittu rj ylity. Ohjeellisiin sääntöihin perustuv menetelmää voidn käyttää, jos lskent mprmetrien perusteell ei ole mhdollist ti trpeellist j suunnitteluss käytetään vrmll puolell olevi mitoitussääntöjä. Kusskin mss nykyisin käytössä olevi ohjeellisiin sääntöihin perustuvi menetelmiä voidn edelleen käyttää luokss 1 j lustviin lskelmiin luokn 2 rkenteille. Vihtoehtoisesti geotekninen suunnittelij lskee sllitun pinumn perusteell kntokestävyyden j kirj sen geotekniseen suunnittelurporttiin.

3 3(10) Tulukko 1 Rkenteiden geotekniset luokt Luokk Kuvus Geoteknisen murtumn Esimerkkejä eurokoodist EN 1997 riski 1 Pienet j melko yksinkertiset Merkityksetön Ei ole rkenteet 2 Tvnomiset rkenne- j perustustyypit, Ei poikkeuksellist riskiä Anturperustukset ei vikeit mpe- räolosuhteit ti kuormitustpuksi 3 Muut rkenteet Poikkevt riskit Suuret ti epätvlliset rkenteet Poikkeukselliset mperäolosuhteet Tulukko 2 Murtorjtilojen STR/GEO kuormien mitoitusrvot normlisti vllitsev mitoitustilnne j tilpäinen mitoitustilnne Yhdistelmän kv ks. Pysyvät kuormt eurokoodi SFS-EN 1990 Epäedulliset Edulliset Mitoitusmenettely 2 Kv (6.10) Kv (6.10b) 1,35 K FI G k 1,15 K FI G k 0,9 G k 0,9 G k Määräävä muuttuv kuorm Muut smnikiset muuttuvt kuormt Pääsillinen Muut (jos on) 1,5 K FI Q k 1,5K FI ψ 0,i b Q k,i Merkinnät Kun pysyvän kuormn vihtelu ei pidetä merkittävänä, G k,j,sup j G k,j,inf voidn merkitä G k. b ψ o:n rvo otetn eurokoodin SFS-EN 1990 Suomen knsllisen liitteen tulukost A.1.1 (FI) Tulukko 3 Antur- j lttperustusten kestävyyden osvrmuusluvut (eurokoodin EN knsllinen liite, tulukko A.5 (FI)) Kestävyys Merkintä Srj R2 Kntokestävyys γ R,v 1,55 Liukuminen γ R,h 1,1 Tulukko 4 Mprmetrien osvrmuusluvut (STR/GEO) Leikkuskestävyyskulm (tällä vrmuusluvull jetn tn φ) Tehoks Suljettu leikkuslujuus koheesio Yksiksilinen puristuslujuus Tilvuuspino Tunnus γ φ γ c' γ cu γ qu γ γ Mitoitusmenettely 2 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Tulukko 5 Murtorjtiln EQU kuormien mitoitusrvot normlisti vllitsev mitoitustilnne j tilpäinen mitoitustilnne Yhdistelmän kv Pysyvät kuormt Määräävä muuttuv kuorm Muut smnikiset muuttuvt kuormt Epäedulliset Edulliset Pääsillinen Muut (jos on) Kv (6.10) 1,1 K FI G k 0,9 G k 1,5 K FI Q k 1,5 K FI ψ 0,i b Q k,i Merkinnät Kun pysyvän kuormn vihtelu ei pidetä merkittävänä, G k,j,sup j G k,j,inf voidn merkitä G k. b ψ o:n rvo otetn eurokoodin SFS-EN 1990 Suomen knsllisen liitteen tulukost A.1.1 (FI)

4 4(10) Tulukko 6 Mprmetrien osvrmuusluvut (EQU) (eurokoodin EN knsllinen liite, tulukko A.2 (FI)) Mprmetri Merkintä Arvo Leikkuskestävyyskulm γ φ' 1,25 ( Kitkkulm ) Tehoks koheesio γ c' 1,25 Suljettu leikkuslujuus γ cu 1,5 Yksiksilinen puristuslujuus γ qu 1,5 Tilvuuspino γ γ 1,0 Tällä vrmuusluvull jetn tn φ Tulukko 7 Syrjäyttävien plujen, kivettujen plujen j CFA-plujen kestävyyden osvrmuusluvut (STR/GEO) (eurokoodin EN knsllinen liite, tulukko A.6 (FI), A.7(FI) j A.8(FI)) Mprmetri Merkintä Srj R2 Kärki γ b 1,2 Vipp (puristus) γ s 1,2 Kokonis-/yhdistetty (puristus) γ t 1,2 Vedetty vipp - lyhytikinen kuormitus - pitkäikinen kuormitus γ s,t 1,35 γ s,t 1,5 Antur- j lttperustusten suunnitteluprosessi on esitetty vuokvion kuvss 1. Kun perustuksiin kohdistuu vkkuormien iheuttm momentti, voidn joutu myös trkistmn EQUrjtil. EQU-rjtiln trkistminen geoteknisessä mitoituksess rjoittuu kuitenkin hrvoihin tpuksiin kuten jäykkä perustus kllion päällä.

5 5(10) Kuv 1 Anturperustusten mitoitusmenettely Kuv 2 Pilrinturn pohjpinejkum STR j GEO trksteluiss

6 6(10) Kuv 3 Pilrinturn pohjpinejkum käyttörjtilss Mprmetrien osvrmuusluvut kestävyyksien määritystä vrten on esitetty tulukoss 4. Antur- j lttperustusten kestävyyden osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 3. Anturn pohjpinejkum tulee trkst siten, että suurin pohjpine ei ylitä geoteknisestä suunnittelurportist stvi kntvuuksi EQU- j GEO-murtorjtiloiss (ks. kuv 2). Jos epäkeskisyys käyttörjtilss on suurempi kuin L/6, pinumn määrittämisessä käytetään pinejkum, joss mperän j nturn välissä ei ole vetojännityksiä. Tällisess tpuksess suunnittelijn on oltv vrm, että suurest epäkeskisyydestä ei ole hitllisi seuruksi (esim. ntur kiertyy liik). Murtorjtilss käytettävä pinejkum on suorkiteenmuotoinen. Rudoitetut mnvriset nturt Kun mnvrisess nturss trvitn rudoitust, tulee vrmist, että nturll on riittävä: Tivutuskestävyys Lävistyskestävyys (pilrinturt) Leikkuskestävyys (seinänturt) Momentit j leikkusvoimt rvioidn STR-rjtilss käyttäen eurokoodin SFS-EN 1990 j sen knsllisen liitteen kvoj (6.10) ti (6.10b). Tivutusmomentin knnlt kriittinen poikkileikkus on pilrin ulkopinnss. Jos lävistys- ti leikkuskestävyys on liin pieni, ksvtetn yleensä nturn korkeutt. Lävistyskestävyys Eurokoodin EN Suomen knsllisen liitteen mukn lävistysmitoitus tehdään Suomen Rkentmismääräyskokoelmn osn B4 "Betonirkenteet, ohjeet" kohdn mukn. Mitoituskuormt, mterililujuudet j osvrmuusluvut määritetään kuitenkin eurokoodien mukn. HUOM. Vikk lujuudet määritetään eurokoodin mukn, tulee mhdollisen lävistysrudoituksen mitoituslujuus rjt rvoon 300 MP rkentmismääräyskokoelmn mukn. Leikkuskestävyys Anturoiden pksuus vlitn yleensä siten, että leikkusrudoitust ei trvit. Mitoittvn leikkusvoimn VEd iheuttm leikkusjännitys ved = ei s ylittää leikkuskestävyyttä v Rd,c. Leikkusrudoittmttomn bd nturn leikkuskestävyys v Rd,c sdn tulukost 8.

7 7(10) Tulukko 8 v Rd,c leikkusrudoittmttomien rkenneosien kestävyys, MP ρ l (%) Tehollinen korkeus, d (mm) ,25 0,47 0,43 0,40 0,38 0,36 0,35 0,35 0,34 0,50 0,54 0,51 0,48 0,47 0,45 0,44 0,44 0,43 0,75 0,62 0,58 0,55 0,53 0,52 0,51 0,50 0,49 1,00 0,68 0,64 0,61 0,59 0,57 0,56 0,55 0,54 1,25 0,73 0,69 0,66 0,63 0,62 0,60 0,59 0,58 1,50 0,78 0,73 0,70 0,67 0,65 0,64 0,63 0,62 1,75 0,82 0,77 0,73 0,71 0,69 0,67 0,66 0,65 2,00 0,85 0,80 0,77 0,74 0,72 0,70 0,69 0,68 k 1,816 1,707 1,632 1,577 1,535 1,500 1,471 1,447 Huomutukset 1 Tulukkorvot on lskettu kvst: v Rd,c = (0,18/γ c ) k (100ρ I f ck ) 1/3 0,035 k 1,5 0,5 f ck joss k = / d 2 j ρ I = A s /(bd) 0,02 j γ c = 1,5 2 Tässä tulukoss f ck = 30 MP Kun ρ l on suurempi kuin 0,40 %, käytetään seurvi kertoimi: f ck (MP) Kerroin 0,94 0,98 1,02 1,05 1,10 1,14 1,19 Lttperustukset Lttperustusten mitoitusprosessit ovt perusteiltn smnlisi kuin erillisten pilrinturoiden ti plunturoiden. Aino ero on vlittess menetelmää, joll trkstelln lttperustuksen j mperän vuorovikutuksi. Jäykille, säännöllisen muotoisille lttperustuksille (jännemitt/pksuus lle 10) käytetään yksinkertistettu menettelyä kuten myötöviivteori. Ohuemmt j joustvmmt muodoltn monimutkiset yhtenäiset lttperustukset sttvt edellyttää FEM- ti kistmenetelmän käyttöä. Pluperustukset Pluperustusten suunnitteluun kuuluu plutuksen suunnittelu j plunturn suunnittelu. Geoteknisessä rportiss tulee oll ohjeet plutyypin vlitsemiseksi j perusteet plun kntvuuden määrittämiselle. Rkennusten perustuksiss käytetään yleisimmin tukiplun toimivi lyöntipluj (teräsbetoni ti teräspluj). Plujen kestävyyden osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 7. Plunturt voidn suunnitell esimerkiksi ristikkomenetelmällä, jok on esitetty eurokoodin EN kohdiss j 6.5. Kulmn θ tulee oll vähintään 21,8 vksuuntn nähden. Kulm θ mittn pilrin j plun määräämässä tsoss. Päärudoitus tulee nkkuroid täydelle vetovoimlle. Ankkurointipituus lk plun reunst. Jos pluntur mitoitetn tivutukseen perustuvill menetelmillä, ntur tulee trkst myös leikkuksen j lävistyksen suhteen. Vähimmäisrudoitus Hlkeilun rjoittminen Asi on käsitelty oppss Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn. Betonirkenteiden suunnitteluperusteet 5. Päärudoituksen vähimmäisl Päärudoitust tulee molemmiss suunniss oll vähintään A s,min = 0,26 f ctm b t d/f yk, kuitenkin vähintään 0,0013 b t d (ks. tulukko 9).

8 8(10) Tulukko 9 Vähimmäisrudoitusmäärä f ck f ctm Vähimmäisrudoitus % (0,26f ctm /f yk ) 25 2,6 0, ,8 0, ,9 0, ,0 0, ,2 0, ,5 0, ,8 0, ,1 0,21 Merkinnät joss f yk = 500 MP. Rudoituksen vähimmäisjkoväli Rudoitustnkojen vpn välin tulee oll suurempi kuin rudoitustngon hlkisij rekoko + 3 mm 20 mm Kuv 4 Rudoittmttomien perustusten mitt Rudoittmttomt betoniperustukset Seinä- j pilrinturt voidn tehdä rudoittmttomst betonist, jos seurvi sääntöjä noudtetn. Puristuslujuus rudoittmttomlle betonille on α cc,pl f ck /γ M missä α cc,pl = 0,8 α cc α cc = 0,85 (Suomen knsllisen liitteen mukn). Perustusten minimikorkeus h f (ks. kuv 4) lsketn kvst h f 0,85 9σgd fctd missä σ gd = mperän tukipineen mitoitusrvo f ctd = betonin vetolujuuden mitoitusrvo eurokoodin EN yhtälöstä (3.16) Mhdolliset hlkisuvoimt otetn huomioon eurokoodin EN kohdn mukisesti. Eurokoodin EN mukisesti rudoittmttomiss betoniperustuksiss voi oll rudoitust hlkeilun rjoittmiseksi.

9 9(10) Vlitut tunnukset Tunnus Määritelmä Arvo A c Betonin poikkileikkusl bh A s Vetorudoituksen poikkileikkusl A s, prov Poikkileikkuksess olevien vetoterästen poikkileikkusl A s, req d Poikkileikkuksess murtorjtilss vdittv vetoterästen poikkileikkusl d Tehollinen korkeus d eff Keskimääräinen tehollinen korkeus (d y + d z )/2 f cd Betonin puristuslujuuden mitoitusrvo α cc f ck /γ c f ck Betonin lieriölujuuden ominisrvo f ctm Betonin keskimääräinen vetolujuus 0,30 f 2/3 ck lujuusluokille f ck C50/60 (Eurokoodi SFS-EN , tulukko 3.1) G k Pysyvän kuormn ominisrvo h Poikkileikkuksen kokoniskorkeus l eff Rkenneosn tehollinen jännemitt Ks. eurokoodin EN koht (1) M Mitoitusmomentti murtorjtilss Q k Muuttuvn kuormn ominisrvo Q k,w Muuttuvn tuulikuormn ominisrvo V Ed Leikkusvoimn mitoitusrvo v Ed Leikkusjännityksen mitoitusrvo V Rd,c Leikkusrudoittmttomn rkenneosn leikkuskestävyyden mitoitusrvo v Rd,c Ltn lävistyskestävyyden mitoitusrvo, kun pitkin trksteltv trkistuspoikkileikkust ei ole lävistymisrudoitust v Rd,mx Ltn suurimmn lävistyskestävyyden mitoitusrvo, kun pitkin trksteltv trkistuspoikkileikkust on lävistymisrudoitus x Neutrlikselin etäisyys poikkileikkuksen reunst (d z)/0,4 x mx Korkeuden rj-rvo neutrlikseliin nähden (δ 0,4)d, joss δ 1,0 z Momenttivrsi α cc Kerroin, jonk vull otetn huomioon puristuslujuuteen vikuttvt pitkäikistekijät j kuormn vikuttmistvst 0,85 tivutus- j normlikuormille, 1,0 muille kuormille iheutuvt epäedulliset tekijät β Lävistysjännityksen määrittämisessä käytettävä kerroin δ Uudelleen jkutunut momentti jettun kimmoteorin mukisell tivutusmomentill γ m Mteriliominisuuksien osvrmuusluku 1,15 rudoitukselle (γ s ) 1,5 betonille (γ c ) ρ 0 Rudoitussuhteen vertilurvo f ck /1000 ρ l Mitoituskuormist jänteen puoliväliin (ulokkeiden A s /bd tpuksess tuelle) iheutuvn momentin edellyttämä vetorudoitussuhde ψ 0 Muuttuvn kuormn yhdistelyrvon kerroin ψ 1 Muuttuvn kuormn tvllisen rvon yhdistelykerroin Muuttuvn kuormn pitkäikisrvon yhdistelykerroin ψ 2 Viitteet 1 SFS-EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu. (2 os). 2 RTT/betoni, Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn, Eurokoodimitoituksen perusteet. 3 SFS-EN Eurokoodi 2: Betonirkenteiden suunnittelu. Os 1-1: Yleiset säännöt j rkennuksi koskevt säännöt 4 RTT/betoni, Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn, Plkit. 5 RTT/betoni, Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn, Betonirkenteiden suunnitteluperusteet. Alkuperäisen oppn ovt julkisseet BCA j The Concrete Centre in the UK. Julkisun ovt kirjoittneet R Webster CEng, FIStructE j O Brooker BEng, CEng, MICE, MIStructE. Julkisun ovt kääntäneet j sovittneet suomliseen käytäntöön Kri Silvennoinen, Tuno Hietnen, Timo Tiknoj j Jouni Klliomäki. Julkisij j copyright: Rkennustuoteteollisuus RTT ry, betoniteollisuus -josto (seurvss RTT/betoni), versio Kikki oikeudet pidätetään. Tämän julkisun sisällön ti sen osn kopioiminen, siirtäminen, jkelu ti tllentminen missä muodoss thns on kiellettyä ilmn RTT/betonin etukäteistä kirjllist suostumust. RTT/betoni ktsoo tässä julkisuss esitettyjen ohjeiden j tietojen pitävän pikkns julkisujnkohtn.

10 10(10) Vikk RTT/betonin trkoitus on, että tässä julkisuss esitetyt ohjeet j tiedot ovt virheettömiä j jn tsll, kumpkn ei void tt. Jos RTT/betonille ilmoitetn julkisuss olevist virheistä, ne korjtn trkoituksenmukisell menetelmällä. Julkisuss esitetyt mielipiteet ovt osittin lkuperäisen englnninkielisen version kirjoittneiden esittämiä, eikä RTT/betoni ot vstuut niistä. Ohjeet j tiedot on trkoitettu päteville henkilöille, jotk pystyvät soveltmn tässä julkisuss nnettuj ohjeit j tietoj j ymmärtämään niihin liittyvät rjoitukset sekä ottmn vstuun niiden soveltmisest omss työssään. RTT/betoni ei ole vstuuss mistään ohjeiden ti tietojen käytön iheuttmst suorst ti epäsuorst vhingost. Lukijoiden tulee ott huomioon, että RTT/betonin julkisuj päivitetään j vrmist, että käytetään tämän julkisun uusint versiot.

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys 1(12) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 1.6.2010 Kansallinen liite (LVM), 1.6.2010 1/13 KANSALLINEN

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 11.2.2015 Kansallinen liite (LVM), 11.2.2015 1/12 KANSALLINEN

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife 999805711-02/2015 fi Muottimestrit. nkkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti rmx Xlife Käyttäjätieto sennus- j käyttöohje 9764-445-01 Johdnto Käyttäjätieto nkkurijärjestelmä Monotec dnto Joh- by ok

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

SILTAEUROKOODIEN KOULUTUS BETONIRAKENTEET JA GEOSUUNNITTELU SILTOJEN GEOTEKNINEN MITOITUS - YLEISTÄ

SILTAEUROKOODIEN KOULUTUS BETONIRAKENTEET JA GEOSUUNNITTELU SILTOJEN GEOTEKNINEN MITOITUS - YLEISTÄ SILTAEUROKOODIEN KOULUTUS BETONIRAKENTEET JA GEOSUUNNITTELU SILTOJEN GEOTEKNINEN MITOITUS - YLEISTÄ taulukko A2.4(A)(FI) (Sarja A) korvaa SFS-EN 1997-1 taulukon A.1. (EQU) taulukko A2.4(B)(FI) (sarja B)

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv.

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv. Asennusohje EPP-0790-FI-4/02 Kutistemuovijtkos Yksiviheiset muovieristeiset kpelit Cu-lnk kosketussuojll 12 kv & 24 kv Tyyppi: MXSU Tyco Electronics Finlnd Oy Energy Division Konlntie 47 F 00390 Helsinki

Lisätiedot

Käyttäjätietoa 11/2011. Asennus- ja käyttöohje. Niveltyötaso K 9725-201-01. Muottimestarit

Käyttäjätietoa 11/2011. Asennus- ja käyttöohje. Niveltyötaso K 9725-201-01. Muottimestarit 11/2011 Käyttäjätieto 999725011 fi sennus- j käyttöohje Niveltyötso K 9725-201-01 Johdnto Käyttäjätieto Niveltyötso K dnto Joh- by Dok Industrie GmbH, -3300 mstetten 2 999725011-11/2011 Käyttäjätieto Niveltyötso

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

Liitos ja mitat. Murtorajatilan momenttimitoituksen voimasysteemi. laattakaistan leveys. b 1200mm. laatan jänneväli. L 8000mm

Liitos ja mitat. Murtorajatilan momenttimitoituksen voimasysteemi. laattakaistan leveys. b 1200mm. laatan jänneväli. L 8000mm 5.9.013 1/5 Liitoksen DO306 laskentaesimerkki Esimerkissä käsitellään tyypillisten elementtien mittojen mukaista liitosta. Alkuperäisen kuvan mukaisen koukkuraudoituksen sijaan käytetään suoraa tankoa.

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

-kortiston näyte RT 09-10692 ESTEETÖN LIIKKUMIS- JA TOIMIMISYMPÄRISTÖ SISÄLLYSLUETTELO YLEISTÄ

-kortiston näyte RT 09-10692 ESTEETÖN LIIKKUMIS- JA TOIMIMISYMPÄRISTÖ SISÄLLYSLUETTELO YLEISTÄ RT 09-09 ohjetiedosto mliskuu 999 () ESTEETÖN LIIKKUMIS- JA TOIMIMISYMPÄRISTÖ liikkumisesteiset, toimimisesteiset, esteettömyys hndikppde, funktionshindrde, tillgänglighet disled persons, ccessiility Tämä

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

Huoltotiedote. Letkun vaihto. Mallit. Ilmoitus moottorin omistajalle. Veneliikkeen moottorivarasto. Huolto-osavarasto. Tarkastus

Huoltotiedote. Letkun vaihto. Mallit. Ilmoitus moottorin omistajalle. Veneliikkeen moottorivarasto. Huolto-osavarasto. Tarkastus Huoltotiedote N:o 98-16c Letkun vihto Mllit 1999 Mercury/Mriner 6 25 HP (2-thtiset) Srjnumerot 0G818363 0G829089 9.9/15, 25, 30/40, 50 (4-thtiset) Srjnumerot 0G820822 0G822265 135 200 HP (Ks. j EFI) Srjnumerot

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

Liitos ja mitat. Lisäksi mitoitetaan 4) seinän suuntainen sideraudoitus sekä 6) terästapit vaakasuuntaisille voimille.

Liitos ja mitat. Lisäksi mitoitetaan 4) seinän suuntainen sideraudoitus sekä 6) terästapit vaakasuuntaisille voimille. 25.9.2013 1/5 Liitoksen DO501 laskentaesimerkki Esimerkissä käsitellään tyypillisten elementtien mittojen mukaista liitosta. Oletetaan liitoksen liittyvän tavanomaiseen asuinkerrostaloon. Mitoitustarkastelut

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Liitos ja mitat. Murtorajatilan momenttimitoituksen voimasysteemi. laattakaistan leveys. := 1200mm. laatan jänneväli. L := 8000mm

Liitos ja mitat. Murtorajatilan momenttimitoituksen voimasysteemi. laattakaistan leveys. := 1200mm. laatan jänneväli. L := 8000mm 5.9.013 1/5 Liitoksen DO305 laskentaesimerkki Esimerkissä käsitellään tyypillisten elementtien mittojen mukaista liitosta. Alkuperäisen kuvan mukaisen koukkuraudoituksen sijaan käytetään suoraa tankoa.

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

T512905 Puurakenteet 1 5 op

T512905 Puurakenteet 1 5 op T512905 Puurakenteet 1 5 op Kantavat puurakenteet Rajatilamitoituksen periaatteet Murtorajatila Materiaalin osavarmuusluku M Kuorman keston ja kosteusvaikutuksen huomioiva lujuuden ja jäykkyyden muunnoskerroin

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

AHX640W AHX640W VOX400 VOX400 [UUSIA RATKAISUJA VALURAUTOJEN JYRSINTÄÄN] ] [UUSIA RATKAISUJA PROMOTION JYRSIMET VALURAUDOILLE

AHX640W AHX640W VOX400 VOX400 [UUSIA RATKAISUJA VALURAUTOJEN JYRSINTÄÄN] ] [UUSIA RATKAISUJA PROMOTION JYRSIMET VALURAUDOILLE PROMOTION JYRSIMET VALURAUDOILLE NEW CAST IRON FACE MILLING CUTTERS FI-00 AHX0W AHX l Uui tehok -ärmäinen kääntöterä. AHX0W [UUSIA RATKAISUJA [UUSIA RATKAISUJA VALURAUTOJEN JYRSINTÄÄN] ] JYRSINTÄÄN VALURAUTOJEN

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

Arvioitu poikkileikkauksessa oleva teräspinta-ala. Vaadittu raudoituksen poikkileikkausala. Raudoituksen minimi poikkileikkausala

Arvioitu poikkileikkauksessa oleva teräspinta-ala. Vaadittu raudoituksen poikkileikkausala. Raudoituksen minimi poikkileikkausala 1/6 Latinalaiset isot kirjaimet A A c A s A s,est A s,vaad A s,valittu A s,min A sw A sw, min E c E cd E cm E s F F k F d G G k G Ed Poikkileikkausala Betonin poikkileikkauksen ala Raudoituksen poikkileikkausala

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT Käyttöturvllisuustiedote Tekijänoikeuden hltij vuonn 2016, 3M Compny Kikki oikeudet pidätetään. Tämän tiedon kopioiminen j/ti ltminen on sllittu inostn 3M tuotteiden käyttämistä vrten, mikäli (1) tiedot

Lisätiedot

Asennusohje ESD-2995-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. AHXAMK-W 12 kv & 24 kv. Tyyppi: MXSU

Asennusohje ESD-2995-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. AHXAMK-W 12 kv & 24 kv. Tyyppi: MXSU Asennusohje ESD-2995-FI-4/02 Kutistemuovijtkos Yksiviheiset muovieristeiset kpelit AHXAMK-W 12 kv & 24 kv Tyyppi: MXSU Tyco Electronics Finlnd Oy Energy Division Konlntie 47 F 00390 Helsinki Puh:09-5123420

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

KÄYTTÖOHJE KALLIOKÄRKI

KÄYTTÖOHJE KALLIOKÄRKI KÄYTTÖOHJE KALLIOKÄRKI Liite 1 Betoniyhdistyksen käyttöseloste BY 5 B-EC2 Nro 33 12.9.2014 1.3.2010 SISÄLLYSLUETTELO 1 TOIMINTATAPA... 3 2 MATERIAALIT JA RAKENNE... 3 2.1 Kalliokärkien mitat... 3 2.2 Materiaalit...

Lisätiedot

HSL-3 Raskas kiila-ankkuri

HSL-3 Raskas kiila-ankkuri HSL-3 Ankkurin tyyppi HSL-3 Kuusiokanta Mutterikanta HSL-3-B Momenttihattu HSL-3-SH Kuusiokolokanta (ei Suomessa) HSL-3-SK Uppokanta (ei Suomessa) Hyödyt - soveltuu halkeilemattomaan ja halkeilleeseen

Lisätiedot

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Hakemus- ja ilmoituslomake LAPL, BPL, SPL, PPL, CPL, IR lupakirjoja varten vaadittava lentokoe- ja tarkastuslentolausunto

Hakemus- ja ilmoituslomake LAPL, BPL, SPL, PPL, CPL, IR lupakirjoja varten vaadittava lentokoe- ja tarkastuslentolausunto kijn tiot kijn sukunimi kijn tunimt kijn llkirjoitus Lupkirjn tyyppi* Lupkirjn numro* Lupkirjn myöntänyt vltio kmus- j ilmoituslomk LPL, BPL, SPL, PPL, CPL, IR lupkirjoj vrtn vittv lntoko- j trkstuslntolusunto

Lisätiedot

Eurocode Service Oy. Maanvarainen pilari- ja seinäantura. Ohjelmaseloste ja laskentaperusteet

Eurocode Service Oy. Maanvarainen pilari- ja seinäantura. Ohjelmaseloste ja laskentaperusteet Maanvarainen pilari- ja seinäantura Ohjelmaseloste ja laskentaperusteet Eurocode Service Oy Sisarustentie 9 00430 Helsinki tel. +358 400 373 380 www.eurocodeservice.com 10.5.2011 Maanvarainen pilari- ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT Käyttöturvllisuustiedote Tekijänoikeuden hltij vuonn 2015, 3M Compny Kikki oikeudet pidätetään. Tämän tiedon kopioiminen j/ti ltminen on sllittu inostn 3M tuotteiden käyttämistä vrten, mikäli (1) tiedot

Lisätiedot

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRISPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET YLEISTÄ

Lisätiedot

JOHDANTO SEINÄKENKIEN TOIMINNAN KUVAUS TUOTEVALIKOIMA VETO- JA LEIKKAUSKAPASITEETIT

JOHDANTO SEINÄKENKIEN TOIMINNAN KUVAUS TUOTEVALIKOIMA VETO- JA LEIKKAUSKAPASITEETIT SEINÄKENKIEN KÄYTTÖ Václav Vimmr Zahra Sharif Khoda odaei Kuva 1. Erikokoisia seinäkenkiä JOHDNTO Seinäkengät on kehitetty yhdistämään jäykistävät seinäelementit toisiinsa. Periaatteessa liitos on suunniteltu

Lisätiedot

PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA

PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA STANDARDIN EN 1992-1-2 SISÄLTÖÄ: Luvussa 2: Palomitoituksen perusteet Luvussa 3: Materiaaliominaisuudet

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

OSAAVA. kehittämishankkeiden hallinnoinnin opas. Toimintavuosille 2015 2016 ja 2016 2017 tehtyjen valtionavustuspäätösten tueksi

OSAAVA. kehittämishankkeiden hallinnoinnin opas. Toimintavuosille 2015 2016 ja 2016 2017 tehtyjen valtionavustuspäätösten tueksi OSAAVA kehittämishnkkeid hllinnoinnin ops Toimintvuosille 2015 2016 j 2016 2017 tehtyj vltionvtpäätöst tueksi päivitetty 4.1.2016 vsm/pj pä 2 Sisällysluettelo Osv ohjelmn mukis vltionvtuks hkemin.... 3

Lisätiedot

Teräsbetonipaalujen kantokyky

Teräsbetonipaalujen kantokyky Teräsbetonipaalujen kantokyky Tilannetietoa tb-paalujen rakenteellisen kantokyvyn tutkimusprojektista Betonitutkimusseminaari 2.11.2016 Jukka Haavisto, TTY Esityksen sisältö Yleistä tb-paalujen kestävyydestä

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

TULVAONGELMA ESPOOSSA

TULVAONGELMA ESPOOSSA TULVAONGELMA ESPOOSSA Espoon tulvtyöryhmä 6.10.2005 ESIPUHE Teknisen j ympäristötoimen johtoryhmä setti 1.6.05 työryhmän vlmistelemn tulvkysymyksen hllinnn j toimenpideperitteiden vlmistelu. Työryhmän

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

9kpedu. Opetussu unn itelma 2015. Keski-Pohjanmaan am mattiopisto. Sähköasentaja sekä automaatioasentaja

9kpedu. Opetussu unn itelma 2015. Keski-Pohjanmaan am mattiopisto. Sähköasentaja sekä automaatioasentaja 9kpedu Keski-Pohjnmn m mttiopisto Opetussu unn itelm 2015 Sähkö- j utomtiotekniikn perustutkinto, Sähkö- j utomtiotekniikn osmisl Sähkösentj sekä utomtiosentj ldittu: 25.06.2015 Mrko Päiveröinen hyväksytty:

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

VAROITUS ilmaisee mahdollisesti vaarallisen tilanteen, joka voi aiheuttaa vakavan tai kuolemaan johtavan tapaturman.

VAROITUS ilmaisee mahdollisesti vaarallisen tilanteen, joka voi aiheuttaa vakavan tai kuolemaan johtavan tapaturman. Pik-sennusops Aloit tästä MFC-7860DW Lue Turvllisuus j rjoitukset ennen litteen määrittämistä. Lue sen jälkeen tästä Pik-sennusoppst tiedot oikeist määrityksistä j sennuksest. Pik-sennusops on stvn muill

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1990:2002/A1 (Liite A2) RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET Muutos A1: Liite A2: Soveltaminen siltoihin

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1990:2002/A1 (Liite A2) RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET Muutos A1: Liite A2: Soveltaminen siltoihin KANSALLINEN LIITE (LVM) SFSEN 1990:2002/A1 (Liite A2) RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET Muutos A1: Liite A2: Soveltaminen siltoihin LIIKENNE JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 1.6.2010 SFSEN 1990:2002/A1 (Liite A2)

Lisätiedot

A-A B-B RAK D24 L= 1400 D24 L= TARTUNNAT PILARILLE PIIRUSTUKSEN RAK-654 MUKAAN 1:10 1:10 1:10

A-A B-B RAK D24 L= 1400 D24 L= TARTUNNAT PILARILLE PIIRUSTUKSEN RAK-654 MUKAAN 1:10 1:10 1:10 LIITE 5 TY Rudoitteiden tivutustyypit O Hkteräs = ulkopuolinen säde Rudoitusmitt noudttvt terästen ulkopint 99830 102 +99.815 99830 275 D24 L= 1400 D24 L= 1400 MTERILI- J TRVIKELUETTELO P-24 PILRI 0.28x0.28x3.22

Lisätiedot

Asennus, venttiilisarja TBVL GOLD/COMPACT

Asennus, venttiilisarja TBVL GOLD/COMPACT Asennus, venttiilisrj TBVL GOLD/COMPACT. Yleistä Venttiilisrj TBVL on trkoitettu lämmitys-/jäähdytysptterin ohjukseen. Mukn tulee ()-tieventtiili, toimilite, kytkentäkpeli pikliittimillä, jäätymissuoj-nturi

Lisätiedot

Hilti HIT-RE 500 + HIS-(R)N

Hilti HIT-RE 500 + HIS-(R)N HIS-(R)N Hilti HIT-RE 500 + Injektointijärjestelmä Hyödyt Hilti HIT-RE 500 330 ml pakkaus (saatavana myös 500 ml 500 ml ja 1400 ml pakkaus) Sekoituskärki BSt 500 S - soveltuu halkeilemattomaan betoniin

Lisätiedot

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT Käyttöturvllisuustiedote Tekijäoikeude hltij vuo 2016, 3M Compy Kikki oikeudet pidätetää. Tämä tiedo kopioimie j/ti ltmie o sllittu iost 3M tuotteide käyttämistä vrte, mikäli (1) tiedot o kopioitu kokoisuudess

Lisätiedot

Teemat Kaavoittajan vastine 16.1.2013 Kokoukset 12.12.12 ja 3.1.13, muutosesitys 16.1.2013

Teemat Kaavoittajan vastine 16.1.2013 Kokoukset 12.12.12 ja 3.1.13, muutosesitys 16.1.2013 n:o Tekijä os Teemt Kvoittjn vstine 16.1.2013 Kokoukset 12.12.12 j 3.1.13, muutosesitys 16.1.2013 LAUSUNNOT L1 Kymenlkson liitto c joen j meren rntojen tulvherkkyys on huomioitu toteutt mkuntkvn tvoitett

Lisätiedot