Osa 6: Perustukset. Betoniteollisuus 1(10) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Osa 6: Perustukset. Betoniteollisuus 1(10) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu."

Transkriptio

1 1(10) Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn Johdnto Eurokoodien käyttöönotto kntvien rkenteiden suunnitteluss on merkittävin suunnitteluohjeit koskev muutos kutt ikojen. Koko Euroopp on siirtymässä vuonn 2010 yhteisiin rkenteiden suunnitteluohjeisiin, jolloin lähes kikist knsllisist suunnitteluohjeist j stndrdeist luovutn. Tämä julkisu on os opssrj Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn. Oppiden vull pyritään helpottmn siirtymistä eurokoodimitoitukseen betonirkenteiden suunnitteluss. Oppiss on koottu yhteen tyypillisten betonirkenteiden suunnitteluss trvittvt vintiedot j selitykset. Tämä julkisusrj on ldittu lun perin Englnniss, j sen on julkissut UK Concrete Centre. Europen Concrete Pltform (Hwww.europenconcrete.eu/H) on hnkkinut julkisuoikeudet j luovuttnut ne euroopplisten betoni- j sementtiteollisuusjärjestöjen (BIBM, Cembureu, ERMCO, EFCA) knsllisille jäsenjärjestöille. RTT Betonitoimil on kääntänyt oppt suomeksi j muuttnut ne Suomen knsllisten liitteiden mukisiksi. Työ on rhoitettu osittin Rkennustuotteiden Ltu -säätiön tuell. EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu Soveltmisl Perustukset tulee suunnitell siten, että mperä kestää rkenteist iheutuvt kuormt. Perustusten suunnitteluss on kksi vihett: geotekninen suunnittelu j perustusten rkennesuunnittelu. Joisskin perustuksiss (esim. tipuist lttperustukset) mperän j rkenteen vuorovikutuksell stt oll merkitystä j yhteisvikutus tulee ott huomioon. Geotekninen suunnittelu on esitetty eurokoodiss EN Eurokoodiss EN 1997 on kksi os: Yleiset säännöt j Pohjtutkimus j koestus. Tässä oppss on esitetty eurokoodin EN perustusten suunnittelu koskevt olenniset piirteet. Tässä julkisuss käsitellään vin yksinkertisten perustusten mitoitust, mikä on vin pieni os eurokoodin EN 1997 soveltmislst. Tämän tki opst ei voi pitää koko eurokoodi EN 1997 koskevn yleisohjeen. Rjtilt Geoteknisessä suunnitteluss trkstetn seurvien murtorjtilojen vtimukset. (Eurokoodien termejä on esitetty oppss Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn. 1. Eurokoodimitoituksen perusteet 2 ). EQU rkenteen tspinon menetys. STR kntvn rkenteen ti rkenneosn murtuminen ti huomttv muodonmuutos, jok joht kntokyvyn menetykseen. GEO mperän murtuminen ti liillinen muodonmuutos (kestävyys perustuu mpohjn lujuuteen). UPL tspinon menetys vedenpineen iheuttmn nosteen tki. HYD hydrulisten grdienttien iheuttm mpohjn nousu, sisäinen eroosio j sisäinen putkieroosio Eurokoodiss EN on määritetty eri rjtiloiss käytettävät kuormyhdistelmät. Murtorjtilojen lisäksi suunnitteluss tulee trkst myös käyttörjtilojen vtimukset. Yleensä yksi rjtil on mitoituksen knnlt määräävä, joten kikki rjtiloj ei ole trpeellist trkist. Hyvän suunnittelutvn mukn on kuitenkin syytä kirjt, että kikki rjtilt on otettu huomioon.

2 2(10) Geotekniset luokt Eurokoodiss EN käytetään kolme geoteknistä luokk rkenteen geoteknisten suunnitteluvtimusten määrittämiseen (ks. tulukko 1). Luokss 1 geoteknisen suunnittelun voi tehdä myös rkennesuunnittelij. Luokss 3 tulee käyttää geoteknistä suunnittelij. Luokss 2 rkennesuunnittelij suunnittelee perustukset geoteknisen suunnittelijn ntmien lähtötietojen perusteell. Mitoitusmenetelmät j yhdistelmät Geotekniset suunnittelijt eivät ole päässeet yksimielisyyteen rjtilmitoituksen soveltmisest geotekniseen suunnitteluun. Mielipide-erojen tki eurokoodiss EN on esitetty kolme murtorjtiln mitoitusmenettelyä. Käytettävä menettely esitetään kunkin mn knsllisess liitteessä. Tässä oppss esitetään Suomess sovellettv mitoitusmenettely DA2. Tässä menettelyssä on kksi tp sovelt vrmuuskertoimi murtorjtilss (STR/GEO). Menetelmässä DA2 kuormt kerrotn heti osvrmuusluvuill j menettelyssä DA2* osvrmuuslukuj käytetään kuormille vst epäkeskisyyksien määrittämisen jälkeen. Kuormien osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 2. Geoteknisten mteriliominisuuksien osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 3. Rjtilss EQU käytettävät kuormien osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 5. Geoteknisten mteriliominisuuksien osvrmuusluvut tulukoss 6. Geotekninen suunnittelurportti Eurokoodin EN mukinen geotekninen suunnittelurportti tulee tehdä jokisess projektiss. Rportiss esitetään rkennuspikn yksityiskohtiset tiedot, mperätutkimusrportin tulkint, suositukset perustusten suunnittelu vrten, ohjeit geoteknisten töiden vlvonnst j seurnnst sekä kunnosspidost. Rportin ltiminen voi edellyttää tietoj usemmlt suunnittelijlt sen mukn, kuuluuko projekti geotekniseen luokkn 1, 2 vi 3. Perustuksen mitoitussuosituksiss esitetään kntokestävyys j mprmetrien ominisrvot. Suosituksiss ilmoitetn, voidnko rvoj sovelt käyttö- vi murtorjtilss j käytetäänkö mitoitusmenettelyä DA2 vi DA2*. Anturperustukset Anturperustusten (esim. seinä- j pilrinturt) geoteknistä suunnittelu käsitellään eurokoodin EN 1997 osn 1 kohdss 6, joss on kolme mitoitusmenetelmää: suor menetelmä jokinen rjtil trkstetn lskemll epäsuor menetelmä käytetään vertilukelpoist kokemust j testust määritettäessä käyttörjtiln prmetrej, jotk täyttävät myös kikkien kysymykseen tulevien rjtilojen vtimukset (menetelmä on eurokoodiss EN 1997 pääsiss rnsklisen suunnittelukäytännön tki, joten menetelmää ei käsitellä enempää tässä) ohjeellisiin sääntöihin perustuv menetelmä, joss käytetään otksuttu kntokestävyyttä Useimmiss nturperustuksiss pinum on määräävä kriteeri. Perinteisesti pinum on hllittu rjoittmll geoteknistä kntvuutt. Ohjeellisiin sääntöihin perustuvss menetelmässä voidn yhä pinum rjoitt suurentmll kntokestävyyden vrmuusluku. Poikkeuksen ovt pehmeät svet, joill eurokoodi EN edellyttää pinumlskelmi. Suorss menetelmässä jokinen rjtil trkstetn lskennllisesti. Murtorjtilss mperän kntokestävyys trkistetn käyttäen sekä mprmetrien että kuormien osvrmuuslukuj. Käyttörjtilss lsketn perustusten pinum j trkistetn, ettei sllittu rj ylity. Ohjeellisiin sääntöihin perustuv menetelmää voidn käyttää, jos lskent mprmetrien perusteell ei ole mhdollist ti trpeellist j suunnitteluss käytetään vrmll puolell olevi mitoitussääntöjä. Kusskin mss nykyisin käytössä olevi ohjeellisiin sääntöihin perustuvi menetelmiä voidn edelleen käyttää luokss 1 j lustviin lskelmiin luokn 2 rkenteille. Vihtoehtoisesti geotekninen suunnittelij lskee sllitun pinumn perusteell kntokestävyyden j kirj sen geotekniseen suunnittelurporttiin.

3 3(10) Tulukko 1 Rkenteiden geotekniset luokt Luokk Kuvus Geoteknisen murtumn Esimerkkejä eurokoodist EN 1997 riski 1 Pienet j melko yksinkertiset Merkityksetön Ei ole rkenteet 2 Tvnomiset rkenne- j perustustyypit, Ei poikkeuksellist riskiä Anturperustukset ei vikeit mpe- räolosuhteit ti kuormitustpuksi 3 Muut rkenteet Poikkevt riskit Suuret ti epätvlliset rkenteet Poikkeukselliset mperäolosuhteet Tulukko 2 Murtorjtilojen STR/GEO kuormien mitoitusrvot normlisti vllitsev mitoitustilnne j tilpäinen mitoitustilnne Yhdistelmän kv ks. Pysyvät kuormt eurokoodi SFS-EN 1990 Epäedulliset Edulliset Mitoitusmenettely 2 Kv (6.10) Kv (6.10b) 1,35 K FI G k 1,15 K FI G k 0,9 G k 0,9 G k Määräävä muuttuv kuorm Muut smnikiset muuttuvt kuormt Pääsillinen Muut (jos on) 1,5 K FI Q k 1,5K FI ψ 0,i b Q k,i Merkinnät Kun pysyvän kuormn vihtelu ei pidetä merkittävänä, G k,j,sup j G k,j,inf voidn merkitä G k. b ψ o:n rvo otetn eurokoodin SFS-EN 1990 Suomen knsllisen liitteen tulukost A.1.1 (FI) Tulukko 3 Antur- j lttperustusten kestävyyden osvrmuusluvut (eurokoodin EN knsllinen liite, tulukko A.5 (FI)) Kestävyys Merkintä Srj R2 Kntokestävyys γ R,v 1,55 Liukuminen γ R,h 1,1 Tulukko 4 Mprmetrien osvrmuusluvut (STR/GEO) Leikkuskestävyyskulm (tällä vrmuusluvull jetn tn φ) Tehoks Suljettu leikkuslujuus koheesio Yksiksilinen puristuslujuus Tilvuuspino Tunnus γ φ γ c' γ cu γ qu γ γ Mitoitusmenettely 2 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Tulukko 5 Murtorjtiln EQU kuormien mitoitusrvot normlisti vllitsev mitoitustilnne j tilpäinen mitoitustilnne Yhdistelmän kv Pysyvät kuormt Määräävä muuttuv kuorm Muut smnikiset muuttuvt kuormt Epäedulliset Edulliset Pääsillinen Muut (jos on) Kv (6.10) 1,1 K FI G k 0,9 G k 1,5 K FI Q k 1,5 K FI ψ 0,i b Q k,i Merkinnät Kun pysyvän kuormn vihtelu ei pidetä merkittävänä, G k,j,sup j G k,j,inf voidn merkitä G k. b ψ o:n rvo otetn eurokoodin SFS-EN 1990 Suomen knsllisen liitteen tulukost A.1.1 (FI)

4 4(10) Tulukko 6 Mprmetrien osvrmuusluvut (EQU) (eurokoodin EN knsllinen liite, tulukko A.2 (FI)) Mprmetri Merkintä Arvo Leikkuskestävyyskulm γ φ' 1,25 ( Kitkkulm ) Tehoks koheesio γ c' 1,25 Suljettu leikkuslujuus γ cu 1,5 Yksiksilinen puristuslujuus γ qu 1,5 Tilvuuspino γ γ 1,0 Tällä vrmuusluvull jetn tn φ Tulukko 7 Syrjäyttävien plujen, kivettujen plujen j CFA-plujen kestävyyden osvrmuusluvut (STR/GEO) (eurokoodin EN knsllinen liite, tulukko A.6 (FI), A.7(FI) j A.8(FI)) Mprmetri Merkintä Srj R2 Kärki γ b 1,2 Vipp (puristus) γ s 1,2 Kokonis-/yhdistetty (puristus) γ t 1,2 Vedetty vipp - lyhytikinen kuormitus - pitkäikinen kuormitus γ s,t 1,35 γ s,t 1,5 Antur- j lttperustusten suunnitteluprosessi on esitetty vuokvion kuvss 1. Kun perustuksiin kohdistuu vkkuormien iheuttm momentti, voidn joutu myös trkistmn EQUrjtil. EQU-rjtiln trkistminen geoteknisessä mitoituksess rjoittuu kuitenkin hrvoihin tpuksiin kuten jäykkä perustus kllion päällä.

5 5(10) Kuv 1 Anturperustusten mitoitusmenettely Kuv 2 Pilrinturn pohjpinejkum STR j GEO trksteluiss

6 6(10) Kuv 3 Pilrinturn pohjpinejkum käyttörjtilss Mprmetrien osvrmuusluvut kestävyyksien määritystä vrten on esitetty tulukoss 4. Antur- j lttperustusten kestävyyden osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 3. Anturn pohjpinejkum tulee trkst siten, että suurin pohjpine ei ylitä geoteknisestä suunnittelurportist stvi kntvuuksi EQU- j GEO-murtorjtiloiss (ks. kuv 2). Jos epäkeskisyys käyttörjtilss on suurempi kuin L/6, pinumn määrittämisessä käytetään pinejkum, joss mperän j nturn välissä ei ole vetojännityksiä. Tällisess tpuksess suunnittelijn on oltv vrm, että suurest epäkeskisyydestä ei ole hitllisi seuruksi (esim. ntur kiertyy liik). Murtorjtilss käytettävä pinejkum on suorkiteenmuotoinen. Rudoitetut mnvriset nturt Kun mnvrisess nturss trvitn rudoitust, tulee vrmist, että nturll on riittävä: Tivutuskestävyys Lävistyskestävyys (pilrinturt) Leikkuskestävyys (seinänturt) Momentit j leikkusvoimt rvioidn STR-rjtilss käyttäen eurokoodin SFS-EN 1990 j sen knsllisen liitteen kvoj (6.10) ti (6.10b). Tivutusmomentin knnlt kriittinen poikkileikkus on pilrin ulkopinnss. Jos lävistys- ti leikkuskestävyys on liin pieni, ksvtetn yleensä nturn korkeutt. Lävistyskestävyys Eurokoodin EN Suomen knsllisen liitteen mukn lävistysmitoitus tehdään Suomen Rkentmismääräyskokoelmn osn B4 "Betonirkenteet, ohjeet" kohdn mukn. Mitoituskuormt, mterililujuudet j osvrmuusluvut määritetään kuitenkin eurokoodien mukn. HUOM. Vikk lujuudet määritetään eurokoodin mukn, tulee mhdollisen lävistysrudoituksen mitoituslujuus rjt rvoon 300 MP rkentmismääräyskokoelmn mukn. Leikkuskestävyys Anturoiden pksuus vlitn yleensä siten, että leikkusrudoitust ei trvit. Mitoittvn leikkusvoimn VEd iheuttm leikkusjännitys ved = ei s ylittää leikkuskestävyyttä v Rd,c. Leikkusrudoittmttomn bd nturn leikkuskestävyys v Rd,c sdn tulukost 8.

7 7(10) Tulukko 8 v Rd,c leikkusrudoittmttomien rkenneosien kestävyys, MP ρ l (%) Tehollinen korkeus, d (mm) ,25 0,47 0,43 0,40 0,38 0,36 0,35 0,35 0,34 0,50 0,54 0,51 0,48 0,47 0,45 0,44 0,44 0,43 0,75 0,62 0,58 0,55 0,53 0,52 0,51 0,50 0,49 1,00 0,68 0,64 0,61 0,59 0,57 0,56 0,55 0,54 1,25 0,73 0,69 0,66 0,63 0,62 0,60 0,59 0,58 1,50 0,78 0,73 0,70 0,67 0,65 0,64 0,63 0,62 1,75 0,82 0,77 0,73 0,71 0,69 0,67 0,66 0,65 2,00 0,85 0,80 0,77 0,74 0,72 0,70 0,69 0,68 k 1,816 1,707 1,632 1,577 1,535 1,500 1,471 1,447 Huomutukset 1 Tulukkorvot on lskettu kvst: v Rd,c = (0,18/γ c ) k (100ρ I f ck ) 1/3 0,035 k 1,5 0,5 f ck joss k = / d 2 j ρ I = A s /(bd) 0,02 j γ c = 1,5 2 Tässä tulukoss f ck = 30 MP Kun ρ l on suurempi kuin 0,40 %, käytetään seurvi kertoimi: f ck (MP) Kerroin 0,94 0,98 1,02 1,05 1,10 1,14 1,19 Lttperustukset Lttperustusten mitoitusprosessit ovt perusteiltn smnlisi kuin erillisten pilrinturoiden ti plunturoiden. Aino ero on vlittess menetelmää, joll trkstelln lttperustuksen j mperän vuorovikutuksi. Jäykille, säännöllisen muotoisille lttperustuksille (jännemitt/pksuus lle 10) käytetään yksinkertistettu menettelyä kuten myötöviivteori. Ohuemmt j joustvmmt muodoltn monimutkiset yhtenäiset lttperustukset sttvt edellyttää FEM- ti kistmenetelmän käyttöä. Pluperustukset Pluperustusten suunnitteluun kuuluu plutuksen suunnittelu j plunturn suunnittelu. Geoteknisessä rportiss tulee oll ohjeet plutyypin vlitsemiseksi j perusteet plun kntvuuden määrittämiselle. Rkennusten perustuksiss käytetään yleisimmin tukiplun toimivi lyöntipluj (teräsbetoni ti teräspluj). Plujen kestävyyden osvrmuusluvut on esitetty tulukoss 7. Plunturt voidn suunnitell esimerkiksi ristikkomenetelmällä, jok on esitetty eurokoodin EN kohdiss j 6.5. Kulmn θ tulee oll vähintään 21,8 vksuuntn nähden. Kulm θ mittn pilrin j plun määräämässä tsoss. Päärudoitus tulee nkkuroid täydelle vetovoimlle. Ankkurointipituus lk plun reunst. Jos pluntur mitoitetn tivutukseen perustuvill menetelmillä, ntur tulee trkst myös leikkuksen j lävistyksen suhteen. Vähimmäisrudoitus Hlkeilun rjoittminen Asi on käsitelty oppss Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn. Betonirkenteiden suunnitteluperusteet 5. Päärudoituksen vähimmäisl Päärudoitust tulee molemmiss suunniss oll vähintään A s,min = 0,26 f ctm b t d/f yk, kuitenkin vähintään 0,0013 b t d (ks. tulukko 9).

8 8(10) Tulukko 9 Vähimmäisrudoitusmäärä f ck f ctm Vähimmäisrudoitus % (0,26f ctm /f yk ) 25 2,6 0, ,8 0, ,9 0, ,0 0, ,2 0, ,5 0, ,8 0, ,1 0,21 Merkinnät joss f yk = 500 MP. Rudoituksen vähimmäisjkoväli Rudoitustnkojen vpn välin tulee oll suurempi kuin rudoitustngon hlkisij rekoko + 3 mm 20 mm Kuv 4 Rudoittmttomien perustusten mitt Rudoittmttomt betoniperustukset Seinä- j pilrinturt voidn tehdä rudoittmttomst betonist, jos seurvi sääntöjä noudtetn. Puristuslujuus rudoittmttomlle betonille on α cc,pl f ck /γ M missä α cc,pl = 0,8 α cc α cc = 0,85 (Suomen knsllisen liitteen mukn). Perustusten minimikorkeus h f (ks. kuv 4) lsketn kvst h f 0,85 9σgd fctd missä σ gd = mperän tukipineen mitoitusrvo f ctd = betonin vetolujuuden mitoitusrvo eurokoodin EN yhtälöstä (3.16) Mhdolliset hlkisuvoimt otetn huomioon eurokoodin EN kohdn mukisesti. Eurokoodin EN mukisesti rudoittmttomiss betoniperustuksiss voi oll rudoitust hlkeilun rjoittmiseksi.

9 9(10) Vlitut tunnukset Tunnus Määritelmä Arvo A c Betonin poikkileikkusl bh A s Vetorudoituksen poikkileikkusl A s, prov Poikkileikkuksess olevien vetoterästen poikkileikkusl A s, req d Poikkileikkuksess murtorjtilss vdittv vetoterästen poikkileikkusl d Tehollinen korkeus d eff Keskimääräinen tehollinen korkeus (d y + d z )/2 f cd Betonin puristuslujuuden mitoitusrvo α cc f ck /γ c f ck Betonin lieriölujuuden ominisrvo f ctm Betonin keskimääräinen vetolujuus 0,30 f 2/3 ck lujuusluokille f ck C50/60 (Eurokoodi SFS-EN , tulukko 3.1) G k Pysyvän kuormn ominisrvo h Poikkileikkuksen kokoniskorkeus l eff Rkenneosn tehollinen jännemitt Ks. eurokoodin EN koht (1) M Mitoitusmomentti murtorjtilss Q k Muuttuvn kuormn ominisrvo Q k,w Muuttuvn tuulikuormn ominisrvo V Ed Leikkusvoimn mitoitusrvo v Ed Leikkusjännityksen mitoitusrvo V Rd,c Leikkusrudoittmttomn rkenneosn leikkuskestävyyden mitoitusrvo v Rd,c Ltn lävistyskestävyyden mitoitusrvo, kun pitkin trksteltv trkistuspoikkileikkust ei ole lävistymisrudoitust v Rd,mx Ltn suurimmn lävistyskestävyyden mitoitusrvo, kun pitkin trksteltv trkistuspoikkileikkust on lävistymisrudoitus x Neutrlikselin etäisyys poikkileikkuksen reunst (d z)/0,4 x mx Korkeuden rj-rvo neutrlikseliin nähden (δ 0,4)d, joss δ 1,0 z Momenttivrsi α cc Kerroin, jonk vull otetn huomioon puristuslujuuteen vikuttvt pitkäikistekijät j kuormn vikuttmistvst 0,85 tivutus- j normlikuormille, 1,0 muille kuormille iheutuvt epäedulliset tekijät β Lävistysjännityksen määrittämisessä käytettävä kerroin δ Uudelleen jkutunut momentti jettun kimmoteorin mukisell tivutusmomentill γ m Mteriliominisuuksien osvrmuusluku 1,15 rudoitukselle (γ s ) 1,5 betonille (γ c ) ρ 0 Rudoitussuhteen vertilurvo f ck /1000 ρ l Mitoituskuormist jänteen puoliväliin (ulokkeiden A s /bd tpuksess tuelle) iheutuvn momentin edellyttämä vetorudoitussuhde ψ 0 Muuttuvn kuormn yhdistelyrvon kerroin ψ 1 Muuttuvn kuormn tvllisen rvon yhdistelykerroin Muuttuvn kuormn pitkäikisrvon yhdistelykerroin ψ 2 Viitteet 1 SFS-EN 1997 Eurokoodi 7: Geotekninen suunnittelu. (2 os). 2 RTT/betoni, Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn, Eurokoodimitoituksen perusteet. 3 SFS-EN Eurokoodi 2: Betonirkenteiden suunnittelu. Os 1-1: Yleiset säännöt j rkennuksi koskevt säännöt 4 RTT/betoni, Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn, Plkit. 5 RTT/betoni, Betonirkenteiden suunnittelu eurokoodien mukn, Betonirkenteiden suunnitteluperusteet. Alkuperäisen oppn ovt julkisseet BCA j The Concrete Centre in the UK. Julkisun ovt kirjoittneet R Webster CEng, FIStructE j O Brooker BEng, CEng, MICE, MIStructE. Julkisun ovt kääntäneet j sovittneet suomliseen käytäntöön Kri Silvennoinen, Tuno Hietnen, Timo Tiknoj j Jouni Klliomäki. Julkisij j copyright: Rkennustuoteteollisuus RTT ry, betoniteollisuus -josto (seurvss RTT/betoni), versio Kikki oikeudet pidätetään. Tämän julkisun sisällön ti sen osn kopioiminen, siirtäminen, jkelu ti tllentminen missä muodoss thns on kiellettyä ilmn RTT/betonin etukäteistä kirjllist suostumust. RTT/betoni ktsoo tässä julkisuss esitettyjen ohjeiden j tietojen pitävän pikkns julkisujnkohtn.

10 10(10) Vikk RTT/betonin trkoitus on, että tässä julkisuss esitetyt ohjeet j tiedot ovt virheettömiä j jn tsll, kumpkn ei void tt. Jos RTT/betonille ilmoitetn julkisuss olevist virheistä, ne korjtn trkoituksenmukisell menetelmällä. Julkisuss esitetyt mielipiteet ovt osittin lkuperäisen englnninkielisen version kirjoittneiden esittämiä, eikä RTT/betoni ot vstuut niistä. Ohjeet j tiedot on trkoitettu päteville henkilöille, jotk pystyvät soveltmn tässä julkisuss nnettuj ohjeit j tietoj j ymmärtämään niihin liittyvät rjoitukset sekä ottmn vstuun niiden soveltmisest omss työssään. RTT/betoni ei ole vstuuss mistään ohjeiden ti tietojen käytön iheuttmst suorst ti epäsuorst vhingost. Lukijoiden tulee ott huomioon, että RTT/betonin julkisuj päivitetään j vrmist, että käytetään tämän julkisun uusint versiot.

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys

Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Osa 4: Palkit Palkkien suunnittelu eurokoodeilla Johdanto Mitoitusmenettely Palonkestävyys 1(12) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Osa 3: Laatat. Betoniteollisuus 1(11) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien. Laattojen suunnittelu eurokoodeilla. Johdanto.

Osa 3: Laatat. Betoniteollisuus 1(11) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien. Laattojen suunnittelu eurokoodeilla. Johdanto. 1(11) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Osa 7: Pilarilaatat. Betoniteollisuus 1(10) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. Suunnittelu eurokoodin EN 1992 mukaisesti.

Osa 7: Pilarilaatat. Betoniteollisuus 1(10) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. Suunnittelu eurokoodin EN 1992 mukaisesti. 1(10) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Kohteen turvaluokitus on

Kohteen turvaluokitus on LVI 03-10517 SIT 13-610091 KH X4-00513 INFRA 053-710109 ST 41.01 HANKETIETOKORTTI HT12 Hnketietokortiss esitetään rkennuskohteen lähtötiedot j tiljn edellyttämä ltutso suunnittelun työmäärän rviointi vrten.

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 1.6.2010 Kansallinen liite (LVM), 1.6.2010 1/13 KANSALLINEN

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

RTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia.

RTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia. RTS 16:2 RT XX-XXXXX KH XX-XXXXX Infr x-x AJONEUVOJEN MITTOJA OHJEET xxxkuu 2016 1 (8) korv RT 98-10914 Tässä ohjeess esitetään joneuvojen j yleisimpien utotyyppien mittoj, mssoj sekä liikenteeseen hyväksymistä

Lisätiedot

STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 7: GEOTEKNINEN SUUNNITTELU. Osa 1 Yleiset säännöt

STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 7: GEOTEKNINEN SUUNNITTELU. Osa 1 Yleiset säännöt LIITE 18 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1997-1 EUROKOODI 7: GEOTEKNINEN SUUNNITTELU. Osa 1 Yleiset säännöt Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN 1997-1:2004 kanssa. SISÄLLYSLUETTELO

Lisätiedot

Osa 1: Eurokoodimitoituksen perusteet

Osa 1: Eurokoodimitoituksen perusteet 1(9) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1997-1 GEOTEKNINEN SUUNNITTELU Yleiset säännöt: Soveltaminen infrarakenteisiin LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 11.2.2015 Kansallinen liite (LVM), 11.2.2015 1/12 KANSALLINEN

Lisätiedot

SILTAEUROKOODIEN KOULUTUS BETONIRAKENTEET JA GEOSUUNNITTELU SILTOJEN GEOTEKNINEN MITOITUS - YLEISTÄ

SILTAEUROKOODIEN KOULUTUS BETONIRAKENTEET JA GEOSUUNNITTELU SILTOJEN GEOTEKNINEN MITOITUS - YLEISTÄ SILTAEUROKOODIEN KOULUTUS BETONIRAKENTEET JA GEOSUUNNITTELU SILTOJEN GEOTEKNINEN MITOITUS - YLEISTÄ taulukko A2.4(A)(FI) (Sarja A) korvaa SFS-EN 1997-1 taulukon A.1. (EQU) taulukko A2.4(B)(FI) (sarja B)

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Eurokoodit tulevat myös elementtien nostoihin!

Eurokoodit tulevat myös elementtien nostoihin! NOSTOANKKURIT j -TARVIKKEET KÄYTTÖOHJE Päivitetty 27.03.2012 Eurokoodit tulevt myös elementtien nostoihin! BY:n käyttöselosteet nro BY 287, BY 326, BY 339, BY351, BY 366 BY-EC2-27 Semtun kierteisten nostojärjestelmien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife 999805711-02/2015 fi Muottimestrit. nkkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti rmx Xlife Käyttäjätieto sennus- j käyttöohje 9764-445-01 Johdnto Käyttäjätieto nkkurijärjestelmä Monotec dnto Joh- by ok

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Käyttäjätietoa 11/2011. Asennus- ja käyttöohje. Niveltyötaso K 9725-201-01. Muottimestarit

Käyttäjätietoa 11/2011. Asennus- ja käyttöohje. Niveltyötaso K 9725-201-01. Muottimestarit 11/2011 Käyttäjätieto 999725011 fi sennus- j käyttöohje Niveltyötso K 9725-201-01 Johdnto Käyttäjätieto Niveltyötso K dnto Joh- by Dok Industrie GmbH, -3300 mstetten 2 999725011-11/2011 Käyttäjätieto Niveltyötso

Lisätiedot

Osa 5. Pilarit. Betoniteollisuus 1(17) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien. Suunnittelu eurokoodin EN 1992 mukaisesti.

Osa 5. Pilarit. Betoniteollisuus 1(17) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien. Suunnittelu eurokoodin EN 1992 mukaisesti. 1(17) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

LATO - Lastensuojelun ja toimeentulotuen toimintaprosessien ja tiedonhallinnan kehittäminen ja tehostaminen(2014-2015)

LATO - Lastensuojelun ja toimeentulotuen toimintaprosessien ja tiedonhallinnan kehittäminen ja tehostaminen(2014-2015) LATO - Lstensuojelun j toimeentulotuen toimintprosessien j tiedonhllinnn kehittäminen j tehostminen(2014-2015) 27.9.2013 Päivitetty: 30.12.2013 Sisältö 1 YHTEENVETO... 3 1.1 TAUSTA JA PERUSTELUT... 4 2

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

PILKKO 1/6 2056 TK EV 56 LPA VU- VU-6 KM 631. II e=0.40 25:52 25:27 25:25 88 88:8 25:93 88:5. 88:7 p 17:13 1:5705 19:39 28:2 19:32 10 19:39 19:39

PILKKO 1/6 2056 TK EV 56 LPA VU- VU-6 KM 631. II e=0.40 25:52 25:27 25:25 88 88:8 25:93 88:5. 88:7 p 17:13 1:5705 19:39 28:2 19:32 10 19:39 19:39 0 00 0 : : 0 / KM : : ONTTOLANTE 0 : p 0 PLKKO 00 00 / s y - 0 0 VL 0 LÄNSLNJA PUUTARHAPUSTO 0 VL / s y - RP : 0 :0 0 LPA hi 0 : VL : 0 kt 0-0 VU- - 0 linj - nsi : Lä 0 0 jo : POKKTE 0 : jo 0 :0 0 VU-

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

YLEISTÄ EUROKOODI MITOITUKSESTA

YLEISTÄ EUROKOODI MITOITUKSESTA YLEISTÄ EUROKOODI MITOITUKSESTA MITÄ KOSKEE 1. Rakenne- ja geosuunnittelua 2. Lähinnä varmuuskerroin menettely uudistuu. Itse laskenta menetelmät, kaavat ja teoriat pysyvät ennallaan (joitain esimerkkitapoja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Koestusnormit: VDE 0660 osa 500/IEC Suoritettu koestus: Nimellinen virtapiikkien kestävyys I pk. Ip hetkellinen oikosulkuvirta [ka]

Koestusnormit: VDE 0660 osa 500/IEC Suoritettu koestus: Nimellinen virtapiikkien kestävyys I pk. Ip hetkellinen oikosulkuvirta [ka] Oikosulkukestoisuus EC:n mukn Oikosulkukestoisuus DN EN 439-1/EC 439-1:n mukn Tyyppikoestus DN EN 439-1 Järjestelmän tyyppikoestuksen yhteyessä suoritettiin seurvt Rittl-virtkiskojärjestelmien sekä vstvien

Lisätiedot

Osa 8: Taipuma. Betoniteollisuus 1(9) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. Taipuman rajoittaminen. Johdanto

Osa 8: Taipuma. Betoniteollisuus 1(9) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. Taipuman rajoittaminen. Johdanto 1(9) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen

Lisätiedot

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT)

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT) Vlmennuksen j rvioinnin tukijärjestemä (VAT) Työhön kuntoutuksen trkoitus on utt sikst kuntoutumn siten, että siirtyminen koulutukseen ti työelämään on mhdollist. VAT -järjestelmä on kehitetty kuntoutumisen

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv.

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv. Asennusohje EPP-0790-FI-4/02 Kutistemuovijtkos Yksiviheiset muovieristeiset kpelit Cu-lnk kosketussuojll 12 kv & 24 kv Tyyppi: MXSU Tyco Electronics Finlnd Oy Energy Division Konlntie 47 F 00390 Helsinki

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

SEMTU Oy NOSTOANKKURIT ja -TARVIKKEET

SEMTU Oy NOSTOANKKURIT ja -TARVIKKEET SEMTU Oy NOSTOANKKURIT j -TARVIKKEET Käyttöohje 1.4.2000 BY:n käyttöselosteet nro 259, 287, 326, 339 j 351 Päivitetty 15.06.2011 semtu oy - PL 124 04201 KERAVA puh. (09) 2747950, fx (09) 27479540 E-mil:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-4 RAKENTEIDEN KUORMAT Tuulikuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-4 RAKENTEIDEN KUORMAT Tuulikuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-4 RAKENTEIDEN KUORMAT Tuulikuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 1.6.2010 Kansallinen liite (LVM), 1.6.2010 1/4 Alkusanat KANSALLINEN LIITE (LVM) STANDARDIIN SFS-EN

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1990 EUROKOODI. RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1990 EUROKOODI. RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET 1 LIITE 1 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1990 EUROKOODI. RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN 1990:2002 kanssa. Tässä kansallisessa

Lisätiedot

Doka laatikko pienosille

Doka laatikko pienosille 11/2010 lkuperäinen käyttöohje 999281411 fi Säilyttäkää käyttöohje ok ltikko pienosille rt. no 583010000 Muottimestrit lkuperäinen käyttöohje ok ltikko pienosille Tuotekuvus Tuotteen kuvus ok ltikko pienosille

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

Doka kuljetus- ja varastointikehikot

Doka kuljetus- ja varastointikehikot 11/2010 lkuperäinen käyttöohje 999281811 fi Säilyttäkää käyttöohje ok kuljetus- j vrstointikehikot Muottimestrit lkuperäinen käyttöohje ok kuljetus- j vrstointikehikot Tuotekuvus Tuotteen kuvus ok-kuljetus-

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla

Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla YTV MUISTIO 1 Asi 7 / Liite 1 PÄÄKAUPUNKISEUDUN ILMASTOSTRATEGIA 2030 YTV:n hllitus on kokouksessn 14.12.2006 hyväksynyt Pääkupunkiseudun ilmstostrtegiluonnoksen 2030 lusuntojen j knnnottojen pyytämistä

Lisätiedot

Osa 2: Betonirakenteiden suunnitteluperusteet

Osa 2: Betonirakenteiden suunnitteluperusteet 1(9) Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan Johdanto Eurokoodien käyttöönotto kantavien rakenteiden suunnittelussa on merkittävin suunnitteluohjeita koskeva muutos kautta aikojen. Koko Eurooppa

Lisätiedot

Tuomas Kaira. Ins.tsto Pontek Oy. Tuomas Kaira

Tuomas Kaira. Ins.tsto Pontek Oy. Tuomas Kaira Ins.tsto Pontek Oy Lasketaan pystykuorman resultantin paikka murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaan Lasketaan murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaisen pystykuorman aiheuttama kolmion muotoinen pohjapainejakauma

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Käyttöohjeet LCH (D8 / D8 Plus / C1)

Käyttöohjeet LCH (D8 / D8 Plus / C1) Käyttöohjeet LCH (D8 / D8 Plus / C1) Käyttöohjeet LCH (D8 / B8 Plus / C1) perustuvt GCH-mllien (9400.9000.0) käyttöohjeisiin. Tämä liite on os käyttöohjeit. Mukn ovt vin täydennetyt ti korjtut luvut. 0

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

1. Elementin ulkopinta Teräslevy, jonka paksuus on 0,5 tai 0,6 mm. 2. Lämpöeriste Polystyreeni Tenapors EPS, standardin LVS EN 13163 mukaisesti

1. Elementin ulkopinta Teräslevy, jonka paksuus on 0,5 tai 0,6 mm. 2. Lämpöeriste Polystyreeni Tenapors EPS, standardin LVS EN 13163 mukaisesti YLEISKUVAUS 1.3. Sndwich-elementtien tekniset tiedot Tulukko 1.1 1. Elementin ulkopint Teräslevy, jonk pksuus on 0,5 ti 0,6 mm 2. Lämpöeriste Polystyreeni Tenpors EPS, stndrdin LVS EN 13163 mukisesti Minerlivill

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot