Ohjeita uudelle matematiikan opiskelijalle. Heikki Pitkänen 2009

Transkriptio

1 Ohjeita uudelle matematiian opiselijalle Heii Pitänen 2009

2

3 Esipuhe Tämä edessäsi oleva ooelma muistiinpanoja on taroitettu uusien matematiian opiselijoiden tuesi. Kahteen ensimmäiseen appaleeseen olen oonnut yleisiä ohjeita matematiian opiseluun. Jälimmäisissä appaleissa olen selvittänyt täreimpien perusurssien pääpiirteitä ja tehnyt muutamia esimeritehtäviä. Aloitin itse matematiian opiselun Jyväsylän yliopistossa vuonna Helpoholta tuntuneen Johdatus matematiiaan -urssin jäleen tuli ulttuurishoi Analyysi 1 ja Lineaarinen algebra ja geometria 1 -urssien muodossa. Harjoitustehtävät tuntuivat äsittämättömiltä ja luennoilla istuminen ja muistiinpanojen raapustaminen turhalta. Jotta mahdollisuutesi välttyä myös omassa mielessäni äyneiltä alanvaihtoajatusilta olisivat paremmat ja mieleniintosi matematiiaan säilyisi, olen oonnut muutamia neuvoja näille sivuille. Tämän oppaan irjoittaminen lähti aluille vapaa-ajan projetistani esällä 2008, mutta on nyt asvanut miltei olmiymmensivuisesi. Se on uitenin vain pelä pintaraapaisu yliopistossamme opetettavasta matematiiasta. Toivon sinulle antoisia luuhetiä ja menestystä opinnoissasi. Toivoisin, että lähettäisit palautetta tämän ooelman sisällöstä ja erityisesti, ono siitä ollut apua opinnoissasi osoitteeseen: hejupit@jyu. Jyväsylässä 2009, Heii Pitänen 3

4 Kiitoset Tämä opas ei olisi valmistunut lopulliseen muotoonsa ilman sysyllä 2008 aloittaneiden opiselijoiden annustavaa palautetta ja pientä painostusta varsinin lineaarista algebraa äsittelevän appaleen valmistumisen suhteen. Kiitosen ja hatunnoston ansaitsevat myös ne vanhemmat opiselijat, jota ovat jasaneet luea eseneräisiä vedosiani ja ovat annustaneet jatamaan. Erityisiitoset Jaro Laasoselle L A TEX-tuesta ja Piritta Ylöstalolle pilunviilausesta. 4

5 Sisältö Esipuhe 3 Kiitoset 4 1 Matematiian opiselusta 6 2 Matemaattinen ongelmanrataisu 7 3 Perusursseista Johdatus matematiiaan Käänteinen todistus Analyysi Muuttujista Kurssin perusoletus Miä ihmeen epsilon? Supremum ja inmum Arvioiminen Jatuvuus Jatuvuuden jäleen Lineaarinen algebra ja geometria Lineaariavaruus Normi Aliavaruus Sisä- eli pistetulo Lineaariuvaus Matriisit Matriisien tulo Lyhenteitä ja matemaattisia merintöjä 29 Kirjallisuutta 30 5

6 1 Matematiian opiselusta Luiossa opetettiin lasentoa, yliopistossa opetetaan matematiiaa. Huomannet, että suurin osa harjoitus- eli demotehtävistä alaa sanalla todista, näytä tai osoita. Enää tehtävän vastausesi ei välttämättä riitä pelä luu, vaan useimmat tehtävänannot vaativat oonaista todistusta. Todistusen teeminen vaatii erilaista matemaattista ajattelua uin mihin olet ehä luiossa oppinut. Todistus on loogisesti ehjä ja seurattavissa oleva perustelu, jossa tulee selvästi ilmi uina väite seuraa oletusista. Oletuset annetaan joo väitteessä tai niiden oletetaan pätevän oo urssin ajan, ns. asioomat. Todistus ei ole siis puhdasta lasemista. Usein todistusesi elpaa myös sanallinen perustelu, jossa ei tarvitse olla yhtään numeroa. Pelä uva sen sijaan ei riitä juuri osaan perusteluisi. Matematiian opiselu on siäli helppoa, ettei tarvitse muistaa paljon. Täreintä on muistaa määritelmät. Kun määritelmät muistaa, on helppo opetella ja ymmärtää täreimmät todistuset. Kun luee ja varsinin un itse teee todistusia, oma todistusteniia ehittyy. Matematiiaa oppiiin parhaiten teemällä demoja. Ja vaiet olisi tehnyt tehtäviä, älä jätä äymättä demoissa! Osa demotehtävistä ja varsinin ohjaustehtävistä voi tuntua itsestäänselviltä ja varsin tyhmiltä. Näiden tehtävien teeminen on uitenin hyödyllistä, sillä ne ohjaavat ajatteluasi matemaattiseen suuntaan. Useat vanhemmat opiselijat sanovat jopa, että usein selvästi tosilta näyttävät väitteet ovat vaieimpia todistaa. Ohjaustehtävistä saa myös apua itse demojen teemiseen, ja vaia ei ehtisi äymään ohjausissa, annattaa ohjaustehtävät äydä läpi mielessä. Muutamilla ursseilla, uten Analyysi 1 & 2, on myös lasuryhmä, josta aiemmin äytettiin nimitystä linia. Lasuryhmä poieaa normaalista ohjausryhmästä siinä, että linialla äsitellään ohjaustehtävien sijaan seuraavia demoja. Lisäsi lasuryhmässä on useampia ohjaajia, joten mahdollisuus saada henilöohtaista ohjausta on parempi. Kliniaan osallistuminen ei taroita, että olisit muita tyhmempi tai mitään vastaavaa, vaan siellä äyvät aivan normaalit opiselijat. Lasuryhmässä on hyvää aiaa esittyä rauhassa demojen teemiseen ja tarvittaessa apu on lähellä. Demojen teeminen on muavaa yhdessä. Yleensä muutaman hengen poruaan mahtuu ainain ysi, joa on sisäistänyt luennolla äsitellyn asian ja mielellään selittää sen toisille. Uuteen aupuniin ysin muuttaneen opiselijan voi olla alusi vaiea löytää samanhenistä ryhmää. Tällöin annattaa ysyä neuvoa reippaasti omalta tutorilta, Ynnän opiselijatilasta tai muilta vanhemmilta opiselijoilta. Usein ongelma rateaa, un sitä yrittää selittää toiselle. Professoreita- 6

7 aan ei tarvitse pelätä, ja useimmat heistä vastailevat ysymysiin mielellään myös virallisen vastaanottoajan ulopuolella. Jos ongelmaan ei tahdo löytyä rataisua, ei annata jäädä haaamaan päätä seinään, vaan antaa alitajunnan tehdä töitä. Hyviin yöuniin panostaminen on annattavaa. Tiivistettynä voisi sanoa: Opettele määritelmät ja äy demoissa! 2 Matemaattinen ongelmanrataisu Luuvuonna ei opinto-oppaan muaan järjestetä Matemaattinen ongelmanrataisu -urssia. Kurssi on suunnattu toisen vuoden opiselijoille, mutta mielestäni se sopisi äytäväsi opintojen aluvaiheessa. Seuraavaan olen oonnut muutamia urssilta mieleen jääneitä neuvoja matemaattisten ongelmien rataisuun. Periaatteet soveltuvat erityisesti geometrisiin onstrutioihin, mutta niitä voi soveltaa myös yleisiin todistusiin: 1. Tee heti alussa itsellesi selväsi mitä ovat ongelman/tehtävän oletuset ja miä väite tai väitteet. 2. Meritse muistiin: i Mitä on annettu (A). Mitä ovat väitteen/tehtävän oletuset? ii Mitä halutaan (H)... Siis lopputulos/vastaus (todistus) iii...ja millä ehdoilla (E). Mitä rajoitusia vastausella on? 3. Piirrä uva! Meritse uvaan annetut ja tuntemattomat. Kuva ei yleensä riitä perustelusi, mutta se auttaa hahmottamaan tilannetta. 4. Voito rataista ongelman suoralla päättelyllä? Entä äänteisessä järjestysessä lähtemällä lopputulosesta? Tai ehä lähtemällä oletusista ja tulemalla vastaan lopputulosesta solmien päättelytetjut jossain vaiheessa yhteen Osaato rataista helpotetun ongelman? Saato ongelman rataistua, jos jätät ehtoja huomioimatta? Entä lisäämällä oletusia? Ovato aii oletuset tarpeellisia? 6. Oleto nähnyt samanlaista ongelmaa? Voito soveltaa aiemmin opittua einoa tai erityisesti aiemmin todistettua lausetta ongelman rataisemisesi? Ehä olet rataissut ongelman eri muodossa. 1 Vertaa esimerisi derivaatan ja integraalin rataisua. 7

8 7. Kun olet saanut ongelmat rataistua, äy läpi aii vaiheet. Ovato ne varmasti pitäviä? Tämä on niin sanottu jälipeli. Mieti, olisito voinut rataista ongelman toisin. Mitä oletusia äytettiin, mitä olivat turhia? Mihin voisit äyttää oppimaasi? Suosittelen tutustumista urssin irjallisuuteen: Laatos: Proofs and Refutations - the Logic of Mathematical Discovery, Polya: How to Solve it - A New Aspect of Mathematical Method, Polya: Mathematical Discovery - On Understanding, Learning and Teaching Problem Solving. Näistä viimeistä voi suositella varsinin matematiian opettajisi aiovalle. Kaii olme löytyvät myös Mattilanniemen irjastosta. 3 Perusursseista 3.1 Johdatus matematiiaan Johdatus matematiiaan -urssin sisältö vaihtelee hieman riippuen luennoitsijasta. Opinto-oppaan muaan urssi äsittelee luiossa opittua yliopistomatematiian annalta. Lähinnä urssilla opetellaan matematiian perusasioita uten matemaattisia merintöjä, todistamisen perusteniioita, logiiaa ja jouo-oppia. Käänteinen todistus ja väitteen loogisen negaation muodostaminen ovat täreitä urssilla opittavista asioista. Olen huomannut, että erityisesti äänteisen todistusen idea voi olla tuntematon vielä useamman uuauden opiselleille, joten otan sen nyt tarasteluun: Käänteinen todistus Käänteistä todistusta äytetään, un suora todistus on äytännössä mahdoton tehdä esimerisi äärettömän monen eri mahdollisuuden taia (ysiäsitteisyystodistuset tehdään usein äänteisesti). Loogisesti idea on seuraava: Oloon A oletuset ja B väite. Halutaan, että A B. Merintää äytetään uvaamaan matemaattisesti pitävää päättelyä. Logiian sääntöjen muaan todesta voi seurata vain totta, joten tehdään väitteen B looginen negaatio, B ja väitetäänin, että se seuraa oletusista. Seuraavasi osoitetaan, että B:stä seuraa ristiriita jonin oletusen 2 anssa. Meritään tätä ristiriitaista tulosta C. Nyt: A B C joten A C 2 Tehtävänannossa ei välttämättä lue aiia oletusia, joiden voidaan uvitella uuluvan oletusiin A. Esimerisi 1 = 0 on ristiriitainen tulos jo pelän terveen järjen perusteella. 8

9 Kosa C on epätosi ja todesta ei voi seurata epätotta, myös B on oltava epätosi. Tällöin B on tosi ja joten A B. Katso esimerit äänteisestä todistusesta sivuilla 11 ja 18. Kosa urssi on paollinen pääaineopiselijoille, oletan luijan hallitsevan sen sisällön enä äsittele sitä tässä taremmin. 3.2 Analyysi 1 Analyysi 1 -urssi lueutuu yhteen täreimmistä perusursseista. Kurssilla tutitaan reaaliluuja, funtioiden ominaisuusia joista erityisesti jatuvuutta, jonoja ja niiden suppenemista ja raja-arvoa. Seuraavissa esimereissä esityn erityisesti erioiseen epsilon-äsitteeseen ja jatuvuuteen. Näiden esimerien taroitus ei ole orvata luennoilla äymistä tai muun opintomateriaalin luemista, vaan toimia tuena niissä aiheissa, jota itse oin vaieimmisi. Suosittelen Tero Kilpeläisen Analyysi 1 -monisteen [4] luemista urssin aiana Muuttujista Todistuset halutaan tehdä niin, että ne pätevät aiissa tapausissa, jota toteuttavat oletuset. Tämän taia on täreää ymmärtää, mitä oletusilla taroitetaan, mitä luvut ovat muuttujia ja mitä lisäoletusia voidaan tehdä. Ei tarvitse säiähtää ummallisen näöisiä reialaisia irjaimia. Esimeri Oloon x, y R. Nyt x ja y on iinnitetty ja on tasan olme mahdollista tilannetta: 1. x > y 2. x < y tai 3. x = y Ellei luvuista x ja y anneta muita oletusia, on niitä osevan väitteen todistus jaettava olmeen osaan. Tällöin otetaan apuoletusesi ensin esimerisi x > y ja atsotaan pitääö väite paiansa tällöin. Jos väite ei päde jollain näistä olmesta apuoletusesta, väite on epätosi. 9

10 Esimeri Oletetaan, että x ]a, b[. Osoita, että on olemassa ε > 0 siten, että [x ε, x + ε] ]a, b[ Todistus: Annettu: x, a, b siten, että x ]a, b[ tai siis a < x < b (määritelmä!). Nämä luvut ovat annettuja eivätä siis muutu enää. Halutaan: ε Ehdot: ε > 0 ja [x ε, x + ε] ]a, b[ ts. x ε > a ja x + ε < b Piirretään uva: a x b Kuvasta huomataan, että on olme mahdollista tilannetta: Joo x on lähempänä luua a tai luua b tai x on esellä väliä. Tehdään siis todistus ahdessa osassa, joista ensimmäinen attaa ensimmäisen ja viimeisen tilanteen: 1: Jos x on lähempänä luua a tai esellä, x a b x. Valitaan ε = x a > 0. Siis ε on puolet a:n ja x:n etäisyydestä. Tällöin: 2 ja x ε = x (x a) 2 = 2x (x a) 2 = x 2 + a 2 > a, sillä x > a (x a) x+ε = x+ 2 2x + (b x) 2 x 2 + b 2 < b, sillä x a b x ja x < b joten [x ε, x + ε] ]a, b[ ja ε > 0. Valittu epsilon on siis sopiva. 2: Jos x on lähempänä luua b, x a > b x. Valitaan ε = b x > 0 Tällöin 2 todistus etenee samalla tavalla uin ohdassa 1. Jätän todistusen taran loppuunviemisen ja jälipelin luijan tehtäväsi. Edellisessä esimerissä x, a ja b oli siis iinnitetty, vaia niiden suuruutta ei tiedetä, vain suuruusjärjestys. Todistus tehtiinin siten, että se pätee aiilla x:n, a:n ja b:n arvoilla joille pätee: a < x < b. Huomaa, että epsilon voidaan 10

11 valita useammalla tavalla, unhan se määritellään annettujen luujen avulla. Jotta todistus olisi mahdollisimman helppo ymmärtää, on yhtälöitä syytä perustella. Tämä on parasta tehdä meritsemällä yhtäsuuruusmerin yläpuolelle, jos on äytetty jotain oletusista tai lausetta, tai viimeistään yhtälön perään uten esimerissä. Näin todistus on helppo luea vielä useanin vuoden päästä Kurssin perusoletus Kurssin perusoletusesi otetaan joo sisääisten välien periaate tai täydellisyysasiooma. Nämä ovat evivalentteja eli toisen voi todistaa toisen avulla. Yleensä uitenin valitaan näistä ensimmäinen, sillä se on alusi helpompi ymmärtää. Asiooma Jos I 1 I 2 I 3... I I +1 on jono sisääisiä suljettuja välejä, niin I =1 ts. on olemassa y R s.e y I aiilla = 1, 2... Tästä seuraa, että rationaali- ja irrationaaliluvut ovat tiheässä reaaliluujen jouossa. Siis ahden reaaliluvun välistä löytyy ääretön määrä rationaali- ja irrationaaliluuja. Esimeri Oletetaan, että on x R s.e. 0 x < ε aiilla ε > 0. Osoita, että x = 0 Todistus: Tehdään äänteinen todistus eli oletetaan, että väite on epätosi ja osoitetaan, että siitä seuraa ristiriita oletusten anssa. Muodostetaan antiteesi: x 0, siis x > 0 TAI x < 0. Väite x < 0 voidaan unohtaa suoraan oletusen perusteella. Tutitaan siis toista väitettä x > 0. Todistaasemme väitteen riittää löytää ysi reaaliluu, jolla antiteesi ei päde. Tälläinen luu löytyy, osa asiooman muaan ahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä reaaliluuja. Siis on olemassa ainain ysi reaaliluu, meritäään sitä ε 0, siten, että 0 < ε 0 < x. Tämä on ristiriidassa oletusen 0 x < ε aiilla ε > 0 anssa, sillä nyt ε 0 > 0 ja antiteesin piti päteä aiilla ε > 0. Täten antiteesi on epätosi ja väite tosi. 11

12 Kuvan piirtäminen auttaa ymmärtämään todistusta: Väite: Antiteesi ja ristiriita: 0 = x 0 ε 0 x Miä ihmeen epsilon? Kurssilla tulevat määritelmät jatuvuudelle, funtion raja-arvolle ja jonon suppenemiselle tehdään äyttäen epsilonia. Epsilon on vaiintunut merintä. Erään luennoitsijan muaan se voitaisiin orvata hevosen päällä, mutta sen piirtäminen useaan ertaan todistusessa olisi turhan työlästä. Epsilonilla meritään yleensä sellaista positiivista reaaliluua, jota pienemmäsi funtion arvojen erotusia, funtion arvoa, jonon alioita tai jonon alioiden erotusia halutaan arvioida. Voitaisiin sanoa, että epsilon on hyvin pieni positiivinen luu tai nollasta seuraava reaaliluu 3. Kuten edellisessä esimerissä havaittiin, x:n määritteleminen epsilonin avulla johtaa siihen, että epsilon paottaa x:n menemään täsmälleen nollaan. Tällainen ominaisuus on toivottu esimerisi, un määritellään rajaarvoa: Raja-arvon määritteleminen epsilonin autta paottaa raja-arvon yhdesi luvusi. Jatuvuuden määrittely epsilonin autta taas paottaa funtion f(x) arvot pisteen x 0 pienessä lähiympäristössä lähestymään äärettömän lähelle arvoa f(x 0 ), miä intuitiivisestiin tuntuu järevältä määritelmältä Supremum ja inmum Edellisen esimerin altaista äänteistä todistusta äytetään useissa supremum- ja inmum-todistusissa. Supremum on jouon pienin yläraja ja inmum jouon suurin alaraja. Jouon A inmumista äytetään merintää inf A ja supremumista sup A. Inmum ja supremum seä ala- ja yläraja määritelmineen äsitellään taremmin urssilla. Todistus etenee yleensä pääpiirteittäin näin: On annettu jouo ja väittenä on, että inmum/supremum on join luu, meritään sitä tässä R:llä. 1. Osoitetaan, että R on alaraja/yläraja. 3 Huomaa uitenin, että tällaisen nollasta seuraavan reaaliluvun olemassaolo on edellisen esimerin muaan mahdotonta. 12

13 2. Muodostetaan väitteen vastaväite: On olemassa ala-/yläraja, joa on suurempi/pienempi uin R, meritään sitä N:llä. 3. Osoitetaan, että jouosta löytyy pienempi/suurempi alio uin N, jolloin N ei voi olla ala-/yläraja. Huomaa, että todistusessa todistetaan ensin, että M on ala-/yläraja (1.) ja sitten äänteisellä todistusella, että M on suurin/pienin mahdollinen (2. ja 3.). Esimeri Oloon A = { 1 : n N}. Osoita, että infa = 0 n 1. 0 on alaraja, osa aiilla n N 1 > 0 n 2. Vastaväite: infa = N > Oloon M seuraava N 1 :stä suurempi oonaisluu. Siis M > 1 N ja M N, jolloin 1 < N M ja 1 A. N ei siis ole alaraja. M Huomaa, että M voidaan valita usealla tavalla. Kuitenaan ei voida valita M = N 1 + 1, osa N 1 ei välttämättä ole oonaisluu - voisihan inf A olla irrationaalinen! Arvioiminen Vaia matematiiaa pidetään yhtenä esateimmista tieteistä, useissa analyysin tehtävissä ei haluta välttämättä taraa tietoa funtion arvosta tietyssä pisteessä, vaan riittää, että arvoa arvioidaan ylöspäin. Arvioinnilla on suuri meritys useissa jatuvuustodistusissa. Erityisen täreää urssilla on muistaa muutama ehä jo entuudesta tuttu relaatio: ja etenin olmioepäyhtälöt: a 2 b 2 = (a + b)(a b) (1) 0 (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (2) a + b a + b ja a b a + b (3) Ei hätää, jos et tunne ahta viimeistä. Kolmioepäyhtälöt äsitellään urssilla perinpohjaisesti. Analyysi 1 -urssilla äsitellään tarasti aleisfuntioita ja funtioiden perusominaisuusia uten injetiivisyyttä ja surjetiivisuutta. Jätän näiden äsittelyn urssille ja siirryn suoraan urssin yhteen täreimmistä aiheista eli jatuvuuteen. 13

14 3.2.6 Jatuvuus Luiossa jatuvuutta tutittiin usein funtion uvaajasta. Jatuvuuden päättely tällä tavalla ei ole uitenaan luotettavaa. Tutitaan esimerifuntiota: { 2 un x Q f(x) = 1 un x R\Q Kosa rationaali- ja irrationaaliluvut ovat tiheässä reaaliluujen jouossa, uvaaja näyttää tältä: 2 1 Funtion uvaaja näyttäisi ahdelta jatuvalta suoralta, mutta samalla se saa joaisella mahdollisella välillä ahta eri arvoa. Sillä on siis äärettömästi hyppäysepäjatuvuuspisteitä. Yliopistossa jatuvuus määritelläänin uudella tavalla. Motivaationa suosittelen luemaan sivut lähteestä [6]. Määritelmä Oloon I R väli ja f : I R uvaus. f on jatuva pisteessä x 0 I, jos aiilla ε > 0 on olemassa δ > 0, siten että un x x 0 < δ. f(x) f(x 0 ) < ε, Tämä taroittaa siis sitä, että joaiselle annetulle luvulle ε ja x 0 löydetään luvun δ levyinen väli, jolla funtion arvot vaihtelevat vähemmän uin ε. Taremmin ilmaistuna, joaiselle ε > 0 löydetään δ > 0 siten, että väli ]x 0 δ, x 0 + δ[ uvautuu välin ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ osajouosi: f(]x o δ, x o + δ[) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ 14

15 f(x 0 ) + ε f(x) f(x 0 ) f(x 0 ) ε x 0 δ x 0 x 0 + δ Ysinertainen esimeri Oloon f : R R, f(x) = x. Osoita, että f on jatuva pisteessä 0. Todistus: Oloon ε > 0. 4 Tälle ε:lle ja annetulle pisteelle x 0 = 0 tulisi löytää sopiva δ siten, että f(x) f(x 0 ) = f(x) f(0) = x 0 = x < ε un x x 0 = x 0 = x < δ. Huomataan, että deltasi voidaan valita annettu epsilon. Tällöin: ε = δ > 0 x = f(0) f(x) siis f(x) f(0) < ε uten haluttiinin. Monimutaisempi esimeri Oloon f : R R, f(x) = x 2. Osoita, että f on jatuva pisteessä 0. Todistus: Oloon ε > 0. Kosa halutaan tutia funtiota pisteen x 0 = 0 lähiympäristössä, voidaan olettaa, että ε < 1. Tutitaan erotusta f(x) f(0) : f(x) f(0) = f(x) = x 2 = x x = x x < 1 x = x = x 0 un x < 1. Huomataan, että deltasi voidaan valita jälleen annettu epsilon, jolloin: f(x) f(0) < x 0 = δ = ε Tämä edellyttää uitenin edellä mainittua lisäoletusta, ε < 1, jolloin δ < 1. Tällaisen oletusen teeminen on sallittua, sillä jos olisi ε 1, voitaisin valita δ = 1. 4 Tässä iinnitetään epsilon. Jatuvuustodistuset alavat miltei aina näin. 15

16 Monimutainen esimeri Oloon f : R R, f(x) = x 2. Osoita, että f on jatuva pisteessä 2. Todistus: Oloon ε > 0. Kuten edellisessä esimerissä, voidaan olettaa, että ε < 1. Tutitaan erotusta f(x) f(2) : f(x) f(2) = x 2 4 = (x 2)(x + 2) = x 2 x + 2 Lisäämällä nolla itseisarvomerien väliin ja olmioepäyhtälön avulla saadaan: x 2 x + 2 = x 2 x x 2 ( x ) = x x 2 Nyt valitsemalla δ = ε 5 ja olettaen, että ε < 1 saadaan: jolloin: x 2 < δ = ε 5 < 1 x x 2 < 1 x x 2 = 5 x 2 < 5δ = 5 ε 5 = ε Siis: f(x) f(2) < ε un x 2 < δ = ε 5 Huomaa, uina esimerissä äytettin ohdan aavoja asi ertaa, jotta erotus x 2 saadaan aivettua esille. Näiden aavojen meritystä ei voi orostaa liiaa. Kuvaus x 2 voidaan todistaa jatuvasi myös joaisessa reaalipisteessä x 0 R. Todistus etenee samalla tavalla uin edellisessä esimerissä, mutta alussa ε f(2) tilalle sijoitetaan f(x 0 ), jolloin päädytään valitsemaan δ = 2x Esimeri epäjatuvuustodistusesta Ennen jatuvuuden taraa määritelmää tutittiin epäjatuvan funtion uvaajaa. Todistetaan tämä funtio nyt epäjatuvasi joaisessa rationaalipisteessä: Oloon x 0 Q. Osoitetaan, että uvaus f : R R: { 2 un x Q f(x) = 1 un x R\Q on epäjatuva pisteessä x 0. 16

17 Todistus: Tehdään antiteesi: f on jatuva pisteessä x 0. Epäjatuvuuden todistamisesi riittää löytää ysi epsilon, jolla väite 5 ei pidä paiaansa. Oloon siis ε = 1. Jos f olisi jatuva, olisi olemassa δ > 0 siten, että: 2 f(x) f(x 0 ) < ε = 1 2 un x x 0 < δ. Kuitenin urssin perusoletusen muaan löydetään sellainen irrationaaliluu, i R\Q, jolla i x 0 < δ, mutta: f(i) f(x 0 ) = 1 2 = 1 > 1 2 = ε Tämä on ristiriita, joten antiteesi on väärä ja aluperäinen väite tosi. Huomaa, että edellisessä todistusesa äytettiin äänteistä todistusta ja etsittiin deltan sijaan sopiva epsilon. Esimerin f voidaan todistaa samalla tavalla epäjatuvasi joaisessa irrationaalipisteessä, mutta tämä jääöön luijan tehtäväsi Jatuvuuden jäleen Jatuvuuden jäleen urssilla edetään jonoihin ja ääriarvoihin, joissa olennaisessa roolissa on edelleen epsilon. Näihin liittyvät todistuset ovat jatuvuustodistusten altaisia, mutta deltan sijaan haetaan jonolle tarpeesi suurta indesiä tai funtiolle sopivaa x:n arvoa. Kuten jatuvuuden yhteydessä, myös jono- ja ääriarvotarasteluissa arvioinnilla on suuri meritys. Miäli luija on sisäistänyt urssilla tähän asti äsitellyt asiat, ei näiden todistusten teeminen tuottane ongelmia. 3.3 Lineaarinen algebra ja geometria 1 Lineaarinen algebra ja geometria 1 -urssi, lyhennetään usein LAG1, on sisällöltään sama uin entinen Vetorit ja matriisit. Erioisesta nimestään huolimatta urssi äsittelee ysinertaisia lineaarisia yhtälöitä ja yhtälöryhmiä. Kurssilla tutustutaan alusi äärellisulotteisten lineaariavaruusien ominaisuusiin, mistä hypäätään pian matriiseihin ja Gaussin-Jordanin yhtälöryhmien rataisumenetelmään. Tässä vaiheessa todennäöisyys jäädä urssilla jäleen on hyvin suuri. 5 Kaiille ε > 0 löytyy δ >

18 3.3.1 Lineaariavaruus Lineaariavaruus R n on pisteistä x = (x 1,..., x n ) oostuva jouo, jossa on määritelty summa, ertominen reaaliluvulla ja nolla-alio ja joa toteuttaa ahdesan asioomaa. Määritelmät ja asioomat löytyvät urssin monisteesta [5], joten niiden ertaaminen tässä on turhaa. Esimeri Todistetaan ysi lineaariavaruuden R n lause suoraan asioomista: Joaisella x R n on täsmälleen ysi vasta-alio x = ( 1) x. Todistus: Tehdään äänteinen todistus: Oletetaan että aliolla x on toinen vasta-alio y = (y 1,..., y n ) ja että y ( 1) x. Todetaan, että tämä johtaa ristiriitaan. Kosa y on x:n vasta-alio, niin asiooman 4 muaan: x + y = 0 eli (x 1 + y 1,..., x n + y n ) = (0,..., 0) tästä seuraa x i + y i = 0 aiilla i = 1,..., n eli y i = x i aiilla i = 1,..., n, jolloin y = (y 1,..., y n ) = ( x 1,..., x n ). Reaaliluvulla ertomisen määritelmän muaan ( x 1,..., x n ) = ( 1) (x 1,..., x n ), joten y = (y 1,..., y n ) = ( x 1,..., x n ) = ( 1) (x 1,..., x n ) = ( 1) x Tämä on ristiriita, sillä oletettiin, että y ( 1) x. Huomaa, että todistusessa äytettiin yhtä asioomaa, vetoreiden summan määritelmää ja reaaliluujen lasusääntöä. Vastaavanlaisella päättelyllä voidaan todistaa, että on olemassa täsmälleen ysi avaruuden R n nolla-alio: Oletetaan ensin, että on olemassa toinen nolla-alio, = (0,..., 0), ja johdetaan tästä ristiriita äyttäen hyväsi nolla-aliota osevaa asioomaa seä vetoreiden ja reaaliluujen yhteenlasua. Tara todistus jääöön luijan tehtäväsi Normi Normi on uvaus : R n R, joa täyttää normille asetetut arateristiset ominaisuudet. Nämä olme ominaisuutta on lueteltu urssimonisteessa, mutta niiden opettelu uloa tällä urssilla on turhaa. Erilaisiin normien määritelmiin tutustutaan myöhemmin LAG2-urssilla. Ellei muuta ole mainittu, oletusena LAG1:ssä normina äytetään niin sanottua eulidista normia: ( x = x 2 i 18 ) 1 2 = n x 2 i

19 Normin geometrinen tulinta on origosta pisteeseen x = (x 1,..., x n ) piirretyn janan pituus eli pisteen x etäisyys origosta. Vetoria, jona pituus on 1 sanotaan ysiövetorisi. Huomaa, että normin määritelmästä seuraa: x 2 = n x2 i Normin x y geometrinen tulinta on pisteiden x ja y etäisyys. (Vertaa itseisarvoon x y avaruudessa R!) Esimeri R 2 tapausessa eulidinen normi saa Pythagoraan lausetta vastaavan muodon: Oloon x = (1, 1) R 2. Tällöin c := x = = 2 (1, 1) Esimeri R 3 :n ysiövetorit muodostavat pallopinnan S(0, 1) = {x R 3 : x = 1} 19

20 Esimeri Osoitetaan, että aiilla x, y R n pätee ns. suunniasyhtälö: x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 Todistus: Oloon x, y R n. Tällöin: ( ( x + y 2 = (x i + y i ) 2) ) = (x i + y i ) 2 = x 2 i + 2x i y i + yi 2 ja vastaavasti: ( ( x y 2 = (x i + y i ) 2) ) = (x i y i ) 2 = x 2 i 2x i y i + yi 2 Kun nämä yhdistetään ja äytetään summan lasusääntöjä: x + y 2 + x y 2 = x 2 i + 2x i y i + yi 2 + x 2 i 2x i y i + yi 2 = x 2 i + yi 2 + x 2 i + yi 2 = 2x 2 i + 2yi 2 = 2 x y 2 Luijan tehtäväsi jää suunniasyhtälön geometrinen tulinta Aliavaruus Lineaarisen avaruuden R n osajouoa H sanotaan aliavaruudesi, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: 1. x, y H x + y H 2. x H ja λ R λ x R Siis aliavaruuden H aii alioiden summat ja aiien alioiden reaalierronnaiset uuluvat aliavaruuteen H. Jouo {0} (siis jouo joa sisältää vain yhden alion, älä seoita tyhjään jouoon!) on triviaali aliavaruus, miä luijanin lienee helppo todeta itsenäisesti. 20

21 Esimeri Osoitetaan, että x-aseli X = {x R 2 : x = (t, 0), t R} on tason R 2 aliavaruus: 1. Oloon r = (r 1, 0) X ja u = (u 1, 0) X. Tällöin r + u = (r 1 + u 1, 0). Kosa r, u X niin r 1, u 1 R ja r 1 + u 1 R joten (r 1 + u 1, 0) X 2. Oloon λ R ja p = (p 1, 0) X. Nyt λ p = λ (p 1, 0) = (λ p 1, 0). Kosa p X niin p 1 R ja tällöin λ p 1 R ja λ p X. Huomaa, että todistusessa oletettiin tunnetusi reaaliluujen lasusäännöt. Luijan tehtäväsi jää osoittaa minä tahansa origon autta uleva suoran K c x = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 = c x 1, c R} olevan tason R 2 aliavaruus. Misi suora K x+c = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 = x 1 + c, c 0} ei ole aliavaruus? Sisä- eli pistetulo Sisä- eli pistetulo on uvaus ( ) : R n R n R. Kuten normille, myös sisätulolle on määritelty yleiset ominaisuudet. Näihin tutustutaan taremmin LAG2-urssilla. LAG1-urssilla äytetään eulidista sisätuloa: x y = (x y) = x i y i Jos (x y) = 0 niin vetoreilla x ja y ei ole yhteisiä omponentteja, jolloin ne ovat ohtisuorassa toisiaan vasten. Tällöin sanotaan, että vetorit ovat ortogonaalisia ja meritään x y. Normin ja pistetulon välillä on yhteys: x = (x x) x 2 = (x x) Yleisesti normi määritelläänin juuri sisätulon avulla ja tällöin puhutaan niin sanotusta sisätuloavaruudesta. Pistetulon määritelmästä Tutitaan pistetuloa asiulotteisessa tapausessa: Oloon vetorit x, y R 2, α vetorin x ja x-aselin välinen ulma, β vetorin y ja x-aselin välinen ulma ja γ vetoreiden x ja y välinen ulma. Tällöin siis γ = β α. 21

22 Tällöin: x 1 = x cos α, x 2 = x sin α y 1 = y cos β, y 2 = y sin β Nyt pistetulo (x y) voidaan irjoittaa uudestaan: (x y) = 2 x i y i = x cos α y cos β + x sin α y sin β = x y (cos α cos β + sin α sin β) = x y cos β α = x y cos γ Tämä yleistyy myös useampiulotteisiin avaruusiin. Tällaisessa määritelmässä on järeä, sillä varsinin fysiiassa monet suureet lasetaan ahden vetorin ja niiden välisen ulman avulla. Esimerisi työ W = F s cos α. Esimeri Oloon (3, 3) R 2 ja e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1) luonnollisia antavetoreita. Tällöin: (x e 1 ) = = 3 ja (x e 2 ) = = 3 22

23 Kuva selventänee tilannetta: 3 e 2 (3, 3) e Lineaariuvaus Kuvaus L : R n R m on lineaarinen, lyhyesti sanottuna lineaariuvaus, jos aiilla x, y R n ja aiilla λ R pätee: ja Esimeri Oloon a R n. Osoitetaan uvaus lineaarisesi uvausesi: Oloon x, y R n ja λ R L(x + y) = (x + y a) = L(x + y) = L(x) + L(y) L(λx) = λl(x) L : R n R : L(x) = (a x) (x i + y i ) a i = x i a i + y i a i = (x a) + (y a) = L(x) + L(y) Kuvaus täyttää siis ensimmäisen ehdon... L(λx) = (λx a) = λx i a i = λ x i a i = λ(x a) = λl(x)... ja myös toisenin. Huomaa, että uvaus voitaisiin todistaa helposti lineaarisesi myös äyttämällä hyväsi edellä mainittuja pistetulon yleisiä eli arateristisia ominaisuusia. Tämä jääöön uitenin luijan tehtäväsi. 23

24 Esimeri Kuvaus f(x) = x 2 ei ole lineaarinen, sillä f(λx) = λ 2 x 2 λx 2 = λf(x) jos λ Matriisit Sivuutan matriisien määritelmän ja taremman tutailun ja jätän sen luennolla tehtäväsi. Sen sijaan esittelen muutamia neuvoja, joista on hyötyä demojen teemisessä: Joaista lineaariuvausta L : R n R m vastaa ysiäsitteinen 6 matriisi A L = A m n. Tämän matriisin määrittäminen helpottuu, un tarastellaan antavetorien e i uvautumista: Oloon L : R n R n lineaariuvaus, x R n, x = (x 1,..., x n ) ja L(x) = (a 11 x a 1n x n, a 21 x a 2n x n,..., a m1 x a mn x n ). Huomaa, että pilut erottavat vetorin omponentit toisistaan! Kosa e 1 = (1, 0,..., 0) ja uvaus L on lineaarinen, niin matriisin ensimmäinen saraevetori saadaan lasemalla L(e 1 ) = (a 11 1, a 21 1,..., a m1 1) = (a 11, a 21,..., a m1 ) = Vastaavasti lasemalla loput saraevetorit saadaan matriisi: a 11 a 1n a 21 a 2n A L =.. a m1 a mn a 11 a 21. a m1. Tällöin: A L x = a 11 a 1n a 21 a 2n.. x 1 x 2. = a 11 x a 1n x n a 21 x a 2n x n. = L(x) a m1 a mn x n a m1 x 1 +,..., a mn x n 6 Tämä todistettanee luennolla tai demoissa. 24

25 Huomaa, että voi olla a ij = 0 millä tahansa i, j N, jopa aiilla! Lisäsi merintä A L = A m n taroittaa että A L on m n-matriisi. Siis siinä on m riviä ja n saraetta. Edellä ollut yleistä lineaariuvausta vastaavan matriisin esitys lienee vähintäänin seava. Toivottavasti seuraava esimeri selventää teniiaa. Esimeri Oloon L : R 2 R 2, L(x) = L((x 1, x 2 )) = (11x x 2, 21x x 2 ). Nyt: [ ] 11 L(e 1 ) = L((1, 0)) = (11 + 0, ) = (11, 21) = 21 [ ] 12 L(e 2 ) = L((0, 1)) = (0 + 12, ) = (12, 22) = 22 Ja vastaava matriisi: A L = [ ] Ole tara indesien anssa! Monia matriiseihin liittyvä määritelmiä on vaiea yrittää hahmottaa. Varsinin yli olmiulotteisten vetorien tai tilavuusien äsittäminen olmiulotteisessa maailmassa on miltei ylitsepääsemätön haaste. Sisi erityisesti lineaarialgebrassa määritelmien opetteleminen uloa on täreää. Useiden indeseihin perustuviin määritelmien anssa on oltava tarana. Esimerisi määriteltäessä matriisin tuloa, määritelläänin tulomatriisin j:nnen rivin i:nnessä saraeessa oleva alio c ji. Indesien vaihtaminen voi johtaa hyvin ummallisiin ja lopulta turhauttaviin tulosiin. Demotehtävissä esiintyy usein identiteettimatriisi I = [i l ], jolle pätee i l = 1, un = l ja i l = 0, un l. Tällaisten tehtävien rataisu annattaa jaaa ahteen osaan, joista ensimmäisessä tutitaan tapaus = l ja toisessa tapaus l. Esimerisi ahden identiteettimatriisin alioiden tulo i j i l on 1 vain jos = j = l. Lineaarialgbressa esiintyy hyvin vähän Analyysi-ursseilta tuttua arvioimista. Siten monet demotehtävät rateavatin suoraan määritelmistä johtamalla tai äyttämällä niitä hyväsi. 25

26 3.3.7 Matriisien tulo Kahdelle matriisille A = A l m ja B = B m n määritetään tulomatriisin AB = C = C l n j:nnen rivin i:nnessä saraeessa oleva alio c ji asettamalla: c ji = m a j b i =1 Huomaa, että matriisin A rivien määrä on oltava sama uin matriisin B saraeiden määrä. Tällöin tulomatriisin on l n-matriisi. Kirjoitetaan nyt matriisi A = A l m rivivetoriensa a 1, a 2,..., a l avulla muodossa: a 1 a 2 A =. a m missä a = (a 1, a 2,..., a m ) on avaruuden R m vetori aiilla = 1,..., l. Ja irjoitetaan matriisi B = B m n saraevetoriensa b 1, b 2,..., b l avulla muodossa: [ ] B = b1 b2 bm missä b = (b 1, b 2,..., b m ) on myös avaruuden R m vetori aiilla = 1,..., n. Nyt huomataan: (AB) ji = c ji = m a j b i = ( a j b i ) =1 Siis tulomatriisin C = AB j:nnellä rivillä, i:nnessä saraeessa oleva alio c ji saadaan lasemalla matriisin A j:nnen rivivetorin ja matriisin B i:nnen saraevetorin pistetulo. Viimeinen esimeri Oloon A = A n n ja I = I n. Osoitetaan, että A 2 = I jos ja vain jos (A + I)(A I) = 0. 26

27 Todistus: Kosa A 2 = I niin identiteettimatriisin ja matriisien tulon määritelmän nojalla A 2 ij = I ji = n =1 a ja i eli: a j a i = 1 = I ji =1 a j a i = 0 = I ji =1 un i = j un i j Tutitaan tuloa (A + I)(A I): ((A + I)(A I)) ji = a j a i + a i I j a j I i I j I i Jaetaan summattavien termien tarastelu nyt ahteen osaan: Kun i = j: a j a i = 1 oletusen nojalla =1 a i I j = a ji sillä I j = 0 aina un j a j I i = a ji uten ylempi I j I i = 1 sillä I j I i = 1 vain un = i = j. 27

28 ((A + I)(A I)) ji = 0, un j = i. Kun i j vastaavasti: a j a i = 0 oletusen nojalla =1 a i I j = a ji sillä I j = 0 aina un j a j I i = a ji uten ylempi I j I i = 0 sillä I j I i = 0 aiilla silläi j. ((A + I)(A I)) ji = 0, un j i. Siispä ((A + I)(A I)) ji = 0 aina un i = j ja aina un i j joten (A + I)(A I) = 0. Käyttäen hyväsi edellisessä päättelyssä huomattuja ominaisuusia: a j a i + a i I j } {{ } =0 (A + I)(A I) = 0 a j I i I j I i = 0 a j a i = A 2 ji = A 2 ji = A 2 = I I j I i I j I i { 1, j = i 0, j i Väite on nyt todistettu. Kurssin loppupuoli oostuu miltei ysinomaan matriisien tutimisesta ja niiden uusien ominaisuusien määrittelystä ja tarastelusta. Tämä on hyvin pitälti meaanista lasemista ja määritelmästä/aavasta johtamista, joten täreintä on muistaa määritelmät ja olla tara indesien anssa. 28

29 Lyhenteitä ja matemaattisia merintöjä em. edellä mainittu ey epäyhtlö l. eli / lause mv. mielivaltainen s.e. siten, että t.s toisin sanoen voe voidaan olettaa, että ht haista toi / harjoitustehtävä A A:n looginen negaatio A B Jos A niin B uuluu jouooon osajouo [a, b] suljettu väli a:sta b:hen: [a, b] = {x R : a x b} ]a, b[ avoin väli a:sta b:hen: ]a, b[= {x R : a < x < b} aiilla on olemassa jouojen leiaus i äy yhdestä :hon jouojen yhdiste i äy yhdestä :hon (x y) vetoreiden x ja y pistetulo A m n A ij matriisi A, jossa on m riviä ja n saraetta matriisin A i:nnen rivin j:nnessä saraeessa oleva alio summa i äy yhdestä :hon x vetorin x normi 29

30 Kirjallisuutta [1] Laatos: Proofs and Refutations - the Logic of Mathematical Discovery, irja [2] Polya: How to Solve it - A New Aspect of Mathematical Method, irja [3] Polya: Mathematical Discovery - On Understanding, Learning and Teaching Problem Solving, irja [4] Tero Kilpeläinen: Analyysi 1, moniste, Jyväsylän yliopisto, Matematiian laitos 2000/ [5] Veio T. Purmonen: Lineaarinen algebra ja geometria, moniste, Jyväsylän yliopisto, Matematiian laitos 2007 [6] Paavo Heisanen: Jatuvuus- ja derivoituvuusäsitteet luion pitässä matematiiassa, Pro gradu -tutielma, Jyväsylän yliopisto, Matematiian laitos Monisteen sai ladattua aiemmin Kilpeläisen otisivuilta, mutta nyt opinto-opas neuvoo atsomaan urssin otisivuja. Lisätietoja tullee urssilla. 30