Klassisen gravitaatioteorian kertauskurssi

Transkriptio

1 Paul Talvio, Liite viestiin Klassisen gravitaatioteorian kertauskurssi 1. Newtonin gravitaatiolaki assapiste on atkan r päässä assakeskittyästä. assat vetävät toisiaan puoleensa. vetää :ää puoleensa voialla F g seuraavan kaavan ukaan. F g = - G/r 2 r (1.1) G on Newtonin gravitaatiovakio, r on yksikkövektori, jonka suunta on assasta poispäin. Voia sen sijaan on assaan päin, joten siitä johtuu iinuserkki. Toisaalta voie erkitä että: F g = - ar = - G/r 2 r (1.2) a = - G/r 2 (1.3) Tällä kaavalla voie laskea painovoian kiihtyvyyden esi. aan pinnalla. Oletae, että sijaitsee :n gravitaatiokentässä. Kentän voiakkuus on paikan funktio. Voia on energian gradientti. Gravitaatiokentän tapauksessa se on: F g = - G/r 2 r = - d/dr(e g )r (1.4) ja koska G/r 2 = d/dr(g/r) (1.5) niin näee, että :n gravitaatioenergia on: E g = - G/r (1.6) assan kerrointa G/r kutsutaan gravitaatiopotentiaaliksi: V = - G/r (1.7) Gravitaatiopotentiaalin voiakkuus on paikasta riippuvainen, joten sillä on gradientti: d/dr(v)r = - d/dr(g/r)r = - G/r 2 r (1.8) Vertaaalla yhtälöön (2.1.3) huoaae, että gravitaatiopotentiaalin gradientti on kiihtyvyys.

2 Gravitaatiokenttä on ns. konservatiivinen kenttä. Tää tarkoittaa sitä, että työ, joka tarvitaan assan siirtäiseksi paikasta toiseen, ei riipu siirron reitistä tai dynaaisesta luonteesta, vaan ainoastaan assan etäisyyden uutoksesta assakeskittyään nähden. ΔE = G/r 1 G/r 2 = G(1/r 1 1/r 2 ) (1.9) Kuvassa 1.1 assaeleentti on onen assakeskittyän kentässä. assaeleentin siirtäisen vaatia työ on sua osatöistä, jotka on erikseen laskettava kullekin assakeskittyälle yhtälön (1.9) ukaisesti. erkitään alkuaseaa alaindeksillä a ja loppuaseaa alaindeksillä b. E = -G 1 (1/r 1a 1/r 1b ) - G 2 (1/r 2a 1/r 2b ) - G 3 (1/r 3a 1/r 3b ) - G 4 (1/r 4a 1/r 4b ) (1.10) Kuva 1.1 assapiste onen assakeskittyän kentässä Erityisesti, jos loppuasea on ääretön, niin sua saa uodon: ΣE = - G 1 /r 1a - G 2 /r 2a - G 3 /r 3a - G 4 /r 4a - (G 1 /r 1a + G 2 /r 2a + G 3 /r 3a + G 4 /r 4a ) (1.11) Tästä näee yös, että gravitaatiopotentiaalin kokonaisarvo on: ΣV = - (G 1 /r 1a + G 2 /r 2a + G 3 /r 3a + G 4 /r 4a ) (1.12) Gravitaatiopotentiaalit ja gravitaatioenergiat ovat siis skalaarisuureita ja suataan sellaisenaan. Gravitaatioenergiaa ja gravitaatiopotentiaalia on vain yhden erkkistä. Tavallisesti käytetään iinuserkkiä. Gravitaatioenergia voi uuttua liikeenergiaksi, jota taas erkitään pluserkillä. Gravitaatioenergiaa/potentiaalia ei

3 siis voi vähentää toisen erkkisellä gravitaatioenergialla/potentiaalilla. Niitä voidaan uuttaa vain lisääällä tai vähentäällä niiden aiheuttajia. Jos halutaan esi. poistaa gravitaatioenergian/potentiaalin gradientin vaikutus (esi. vetovoia), niin on lisättävä entisen gravitaatioenergian/potentiaalin päälle sellainen gravitaatiopotentiaalikenttä, että sen gradientti tasapainottaa entisen gradientin. Saalla itse gravitaatioenergia/potentiaali kuitenkin lisääntyy. Ee voi esoaailassa havaita gravitaatioenergian/potentiaalin tasoa. Voie havaita vain niiden gradienttien vaikutuksia voiina ja kiihtyvyyksinä. Itse gravitaatioenergian tason vaikutuksia kuitenkin ilenee atoaarisella tasolla kuten atoikelloissa. 2. Vapaa pudotus. v Kuva 2.1 Vapaa Kuvassa 2.1 pudotae assan etäisyydeltä r 2 kohti assakeskittyää. Gravitaatioenergia ennen pudotusta on - G/r 2. Pudottuaan etäisyydelle r 1 gravitaatioenergia on uuttunut arvoon - G/r 1. Erotus on kokonaan uuttunut liike-energiaksi. E k = v 2 /2 = - G/r 2 + G/r 1 = G(1/r 1 1/r 2 ) = G(r 2 r 1 )/r 1 r 2 (2.1) josta saadaan putoaisnopeudeksi etäisyydellä r 1 : v = [2(G(r 2 r 1 )/r 1 r 2 )] (2.2)

4 Jos assa on pudotettu äärettöän kaukaa (r 2 = ), niin sen liike-energia on: E k = v 2 /2 = G/r 1 (2.3) v = (2G/r 1 ) (2.4) Vertaaalla yhtälöön (1.6) näee, että E k = - E g eli saa kuin paikallaan etäisyydellä r 1 olevan assan gravitaatioenergia vastakkaiserkkisenä. 3. Ypyräliike. v v Kuva 3.1 Kuvassa 3.1 assa 1 on ypyräliikkeessä r 1 -säteisen ypyrän kehällä nopeudella v 1. Ypyräliikkeessä assa 1 pyrkii ulospäin eli riippuu keskipisteestä painolla: F v1 = 1 v 1 2 /r r = 1 ω 2 r 1 r 1 (3.1) Kiihtyvyys on siis ω 2 r 1. Kiihtyvyys on kuitenkin gravitaatiopotentiaalin gradientti: ω 2 r 1 = -d/dr(v) = -d/dr(-ω 2 r 1 2 /2) (3.2) joten gravitaatiopotentiaali on V v1 = - ω 2 r 1 2 /2 = - v 1 2 /2 (3.3) ja pyörivällä assalla on siis gravitaatioenergia:

5 E v1 = - 1 V 1 = - 1 ω 2 r 1 2 /2 = - 1 v 1 2 /2 (3.4) Pyörivän assan äärettöyys on keskipisteessä, sillä siellä kiihtyvyys on nolla. Gravitaatioenergia on aina yhtä suuri kuin enetetty potentiaalienergia. Potentiaalienergian enetys (pudotus), joka tarvitaan assan siirtäiseksi keskipisteestä kehälle, kun pyöriisnopeus (kulanopeus) pidetään vakiona, on: E pr = - r 0 F vr dr = - r 0 ω 2 r dr = - r 0 ω 2 r 2 /2 = - v r 2 /2 (3.5) Ypyräliike on sellainen liike, jonka nopeus voidaan ilaista tulolla ωr. Ypyräliike synnyttää aina gravitaatiopotentiaalin -ω 2 r 2 /2 = - v 2 /2 riippuatta säteen pituudesta ja vastaavasti pyörivällä assalla on aina yös gravitaatioenergia - v 2 /2. Kehän suuntainen liike-energia eli kineettinen energia on + v 2 /2. Säteen pidentyessä vain tää energia on käytettävissä säteen suuntaiseen työhön. Saoin, jos assan napanuora keskiöön katkaistaan, niin assa jatkaa suoraviivaisesti kehänopeudella ja siis saalla liike-energialla v 2 /2 Kuvassa 3.1 on yös toinen ypyräliike. Siinä assa 2 on ypyräliikkeessä kehänopeudella v 2 ja säteenä r 2. Saalla 2 :n ypyräliikkeen keskipiste on liikkeessä isoan ypyrän kehällä nopeudella v 1. assa 2 synnyttää oassa ypyrässään gravitaatiopotentiaalin: V v2 = v 2 2 /2 (3.6) 2 :n ypyrän liike isossa ypyrässä synnyttää gravitaatiopotentiaalin. V v1 = v 1 2 /2 (3.7) Liikkeiden aiheuttaat gravitaatiopotentiaalit suautuvat skalaareina aivan kuten assojen aiheuttaat gravitaatiopotentiaalit. assan 2 kokonaisgravitaatiopotentiaali on siis: V 2(tot) = V v1 + V v2 = v 1 2 /2 + v 2 2 /2 (3.8) Jotta keskusassan aiheuttaa gravitaatiopotentiaalin lisäys tuntuisi vakiona pikkuypyrän koko kierroksella, niin nopeus v 2 on laskettava sellaisessa pyöriättöässä koordinaatistossa, jonka origo on pikkuypyrän keskipisteessä.

6 4. Orbitaaliliike. v v Kuva 4.1 Orbitaaliliike Kuvassa 4.1 assaeleentti on orbitaali- eli satelliittiliikkeessä assakeskittyän ypäri. Keskipakoisvoia on yhtä suuri kuin gravitaatiovetovoia: v s 2 /r = ω 2 r = G/r 2 (4.1) v s 2 = G/r (4.2) v s = (G/r) (4.3) Orbitaaliassan kehänopeutta vastaava liike-energia on: E ks = v s 2 /2 = ½ G/r (4.4) Yhtälö (4.4) on siis energia, joka on käytettävissä assan loitontaistyöhön r:stä ulospäin. Jos päästäe säteen piteneään. niin kehänopeus pienenee ja luovuttaa energiansa työhön säteen suunnassa. Tää on puolet siitä energiasta, joka riittäisi vieään assaeleentin äärettöyyteen. Jos assa päästetään irti kehältä, niin se ei siis kykene lentäään pois :n gravitaatiokentästä. Orbirtaaliliike varastoi puolet kiertolaisen gravitaatioenergiasta. Lähtönopeus, joka tarvittaisi assan vieiseksi äärettöyyteen, on: v g 2 /2 = G/r (4.5)

7 v g = (2G/r) = v s 2 (4.6) Yhtälöstä (4.2) näee, että koko gravitaatioenergia voidaan ilaista yös tulolla v s 2 eli assa kertaa satelliittinopeus toiseen, siis ilan jakajaa kaksi. Voiatasapaino (gravitaatiopotentiaalin gradientti = 0) orbitaalijärjestelässä sitoo kehänopeuden ja gravitaatioenergian tällä tavalla toisiinsa. Yhtälö (4.6) kertoo, että ypyräliikkeellä saan gradientin saa aikaan pieneällä nopeudella kuin suoralla kiihtyvällä liikkeellä. Puolet gravitaatioenergiasta on nyt siis varastoitu orbitaalisysteeiin. Tuo systeei on kuin kiinteä kappale, sillä on nyt täysin sidottu keskusassan paikallaan pitäään energiakehykseen. Systeei säilyttää sisäisen energiansa silloinkin, kun sitä siirretään paikasta toiseen. Se reagoi siirtäiseen siten kuin sen koko assa olisi painopisteessä. Orbitaalisysteein kokonaisenergia on sen painopisteen energia ulkoisessa kehyksessä plus sisäinen energia. Keskusassa luo ypärilleen gravitaatiopotentiaalikentän, jonka arvo atkan r päässä on: V = G/r (4.7) Tään gravitaatiopotentiaalin tuntevat atkan r päässä olevat assaeleentit. Kuvan 4.1 assaeleentti on yös ypyräliikkeessä yhtälön (4.3) antaalla kehänopeudella v s. Se siis tuntee keskusassan gravitaatiopotentiaalin lisäksi yhtälön (3.3) ukaisen ypyräliikkeen synnyttään gravitaatiopotentiaalin: V vs = v s 2 /2 = ½ G/r (4.8) joten orbitaaliliikkeessä olevan assaeleentin kokonaisgravitaatiopotentiaali on: V orb = V + V vs = G/r +1/2 G/r = 1½ G/r (4.9) aan ypäri satelliittiliikkeessä olevat GPS-kellot osoittavat, että näin asian laita todella on.

8 5. Gravitaatioenergian ja potentiaalienergian suhde Gravitaatioenergian r r Potentiaalienergian Kuva 5.1 Energiauotojen suhteet. Kuvassa 5.1 on esitetty assan energeettiseen tilaan vaikuttavat iliöt. Uloipana on gravitaatioenergian alue. Se on energia joka jo on tuhlattu esi. läöksi töräyksessä, kun assa on pysäytetty atkan r päähän :stä. Jos halutaan viedä takaisin äärettöän kauas, niin tää työ on tuotava :lle takaisin ulkoa. Tarvittava työ on: E g = - G/r (5.1) Haraa sisäypyrä on potentiaalienergian alue. Se edustaa käyttäätöntä gravitaatioenergiaa, sellaista, jolla on potentiaali uuttua liike-energiaksi. Gravitaatiokenttä on ns. konservatiivinen kenttä. Tää tarkoittaa sitä, että työ, joka tarvitaan assan liikuttaiseksi gravitaatiokentässä, on riippuaton kuljetun reitin uodosta. Se on riippuvainen vain alku- ja loppupaikan etäisyyksien erosta assakeskittyästä. Potentiaalienergia on gravitaatioenergioitten erotus kahden paikan välillä. assalla on siis käytettävissään potentiaalienergiaa: E p = ΔE g = - G/r + G/r = G(1/r 1/r ) (5.2) Tää potentiaalienergia uuttuu liike-energiaksi eli kineettiseksi energiaksi E k = v 2 /2 (5.3)

9 Kineettisen energian ja potentiaalienergian sua on vakio. E p + E k = G[1/r 1/r (t)] + v(t) 2 /2 = G(1/r 1/r ) = vakio (5.4) Lähtiessään putoaaan etäisyydeltä r assan kineettinen energia on nolla, joten vakio on yhtälön (5.2) ukainen. Saavuttaessaan assakeskittyän pinnan (r = r ) kaikki potentiaalienergia on uuttunut kineettiseksi energiaksi: E k(loppu) = v loppu 2 /2 = vakio = G(1/r 1/r ) (5.5) Jos autaan tykillä assa äärettöän kauas assakeskittyästä, niin r = ja lähtönopeuden pitää olla: v lähtö = (2G/r ) (5.6) Kun sijoitetaan tähän aan assa ja säde, niin saadaan lähtönopeudeksi 11.2 k/s. Lähtönopeutta vastaava kineettinen energia palauttaa tuhlatun gravitaatioenergian ja se uuttuu saalla yhtä suureksi potentiaalienergiaksi. Kineettinen energia on aina pluserkkisenä yhtä suuri kuin gravitaatioenergia iinuserkkisenä. Niiden sua on siis aina nolla ja äärettöyyteen päästyään yös niiden itseisarvot katoavat. Jäljelle jää potentiaalienergia, joka on itseisarvoltaan lähtötilanteen gravitaatioenergian suuruinen, eli: E k(lätö) = E p(loppu) = v lähtö 2 /2 = G/r (5.7)

10 6. Ohutkuorisen pallon gravitaatiokentät F Kuva 6.1 Ohutkuorinen pallo Kuvassa 6.1 on ohutkuorinen pallo ypäristössä, jossa ei ole uiden assojen aiheuttaaa gravitaatiota. Pallon ulkopuolella olevaan assaan kuoren assa vaikuttaa ikään kuin koko kuoren assa olisi pallon keskipisteessä: F gu = -G u /r 2 (6.1) E gu = -G u /r (6.2) Nää yhtälöt pitävät paikkansa aina kuorelle asti eli aina kun r a. Sen sijaan, kun assapiste siirtyy pallon sisälle, niin gravitaatiovoia katoaa. Gravitaatioenergia on saa s :n paikasta riippuatta, utta energian gradientti on nolla: F gs = 0 (6.3) E gs = -G s /a = vakio (6.4) (Nää yhtälöt on johdettu. kirjassa ichael ansfield & Col O Sullivan: Understanding Physics. s John Wiley & Sons Ltd, 1998) Kuorella oleva assapisteen suhteen gravitaatiovoiat ovat tasapainossa kuoren tangentin suuntaan, vaikka niiden yhteisvaikutuksen suunta on keskipisteeseen päin. Piste ei kuitenkaan voi pudota keskipisteeseen päin, sillä heti, kun se astuu kehän sisälle, gravitaatiovoia katoaa. Näin ollen assapiste pysyy kuoressa ilan kiinnitystä. utta heti kun assapiste yrittää kuoresta ulospäin, niin Keskipisteeseen vetävä voia uuttuu todelliseksi, ja tarvitaan yhtälön (6.1) ukainen voia assapisteen loitontaiseksi. Paul Talvio