FYt2: Matemaattinen fvsiikka
|
|
- Veikko Pesonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 FYt2: Matemaattinen fvsiikka Vsstaa kuuteen (6) tehtäväön!! Koe 26.1L Pallon lentokorkeutta (m) ajan funktiona kuvaa funktio f (t) = -Tt' *'it, missä t on aika sekunteina välillä [0; 3,0]. Selvitå, milloin pallo on korkeimmillaan ia kuinka korkealla se silloin on? 2. Vaimentumattomassa värähtelyliikkeessä olevan kappaleen sijainti ajan funktiona on s(t) = 4rot75fl, missä sijainti s on metreinä (m)ia aika t sekunteina (s). a) Määritä derivoimalla kappaleen nopeus v ajan t funktiona. b) Mikä on nopeuden suurin arvo? c) Määritä kappaleen kiihtyvyys a ajan t funktiona. 3. Määritä sen kappaleen tilavuus, joka syntyy, kun käyrä! : e-x pyörähtää x-akselin ympäri välitlå [0,1]. 4. Vaihtovirran tehollinen arvo I on sama kuin sellaisen tasavirran arvo, joka muuttaa vastuksessa sähköenergiaa lämmöksi samalla keskimääräisellä teholla kuin kyseinen vaihtovirta. Vastaavasti rnääritellään vaihtojännitteen tehollinen arvo U. Osoittautuu, että tältöin jännitteen tehollisarvo on jännitteen neliöllinen keskiarvo. Sinimuotoisen vaihtojånnitteen u(t) * fisinat tapauksessa on siis,' - +!: ug)zdt - i t{ fi2 sin2astdt =T i{ *O - coszat)dt, missä a = Zrf : T. U on jännitteen tehollinen arvo, 0 on jännitteen huippuarvo ja T on jaksonaika. a) Laske integraalin U' - * $(L - coshat) dtarvoja osoita, että U = a^lz' b) Suomessa vaihtovirran taajuus f = 50 Hz ja vaihtojännitteen tehollinen arvo U = 230 V. Mikä on jännitteen huippuarvo 0 ja jaksonaika T? 5. Kuvan tasavirtapiirissä on jännitelähde (jännite U), vastus, jonka resistanssi on R sekä käämi, jonka induktanssi on L. Kuvan 1 LR-piirin kytkin K suljetaan hetkellä t = 0 s. Kirchhoffin 2. lain mukaan virtapiirin jännitehäviöiden summa on yhtä suuri kuin lähdejännitteiden summa efi Lff* Ri : U, joka jakamalla induktanssilla L saadaan muotoon i' * lri :I. Ratkaise tästä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä piirin virta ajan funktiona i{t}. Alussa i{0) = 6. Määritä raja-arvo }1å rfo. I] - Kuva 1. LR-tasavirtapliri
2 6. Ydinfysiikassa aktiivisuus Atarkoittaa hajoavien ytimien lukumäärää aikayksikössä. Aktiivisuuden yksikkö [A] : 1= Un (= Becquerel). Aktiivisuuden muutosnopeudelle pätee ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö #: -^O, missä.1on hajoamistodennäköisyyttä kuvaava hajoamisvakio (Us)ja t = aika (s). a) Johda lausekkeesa^ X - _ J,A aktiivisuudelle A suureyhtälö A - Ao -fut. Alkuehtona on, että aktiivisuus alussa A(0) = 40. b) Hahmottele aktiivisuuden kuvaaja A(t). c) Puoliintumisaika \y2on aika, jonka kuluessa radioaktiivisen aineen aktiivisuus fia ytimien lukumäärä) on vähentynyt puoleen. Johda puoliintumisaialle lauseke Trp = T asettamalla yhtälössä A: Aoe-h aktiivisuuden arvoksi A::Aoja ratkaisemalla aika t (t = Trrz). 7. Osoita, ettäy1 - Crsinx * Crcosx on differentiaaliyhtälöa y" +!:0 ratkaisu (vakiot Ct, Cz R). ' 8. Ratkaise täydellinen toisen asteen differentiaaliyhtälö # - 4y : 5. Määritä myös sellainen eo. differentiaaliyhtälön yksityisratkaisu y (y * 0), jolle pätee ehdot: y(0) : 0 ja y'(0) - 0. t2., HH HHHHHHHHHHHHHHHTHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Ohieistus: Toisen kertaluvun lineaarinen vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa: y"*dy'*by:91*1 jonka karakteristinen yhtälö on 12 + at" + b = 0. Homogeenisella differentiaaliyhtälöllä (*) on kolme ratka isua yx riippuen karakteristinen yhtälön juurista. 1) Kaksi erisuurta reaalijuurta rr ja rz Caerrx * C2erzx. 7n: 2l Kaksoisjuuril 11 = 12 = t 1' 7n = e'*(ct * C2x) 3) Kaksiimaginaarijuurta r= a+bi " 7n: edx(c inbx * C2cosbx) Toise n kertal uvu n täydell ise n I i neaa risen va kioke rtoimise n d iffere ntiaaliyhtä lön y" + oy' * by : u(x) ratkaisu on homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisu + yksityisratkaisu: y - yr, + yr. Yksityisratkaisu löydetään esim. yritteellä.
3 tr xr9haattt Me N Fv(tt(<ra 9-6,{l' gols g.+f k^t,{vt 0) ftil= - ffr* ) f (*) = Le-qvra L<r egevf (n) å *-,A t Fa C(), t [o; 3,aj De*tv,'\,.rrt f t*1 " -ä.åt {'(il t = -1!+ +-*g r-aot E J: f+0 i7 g b J Öa Rtva^,t4?.r, M0 LLÅ,ror'{Ö^r.' f t(tl -- o,: tj.tr =0 5J f,{t) - 1ot e -åo - 3J J- = -åo ö f- s*- 3 o t L= f 5 efots,ol,(: +a ) *?/ +o\?t t2 lr, {9,. Y s,a $4aJ t: a)?r*j or TerT\) Kvr rcv ka.,\vt o (fttrftrr batvta) { $
4 yå Lr nr e)l ärc pt,f ree r.' F fol = FvN /<Tt O,11.. tvurzt n r1ä(y ^RvorvCÅ tlay{trtlfo ttdit/"åån {=7, ls. y,lakjrhlc^r{yo).' fclrs)= ry f ClF). tr'ct,s) = to -,- a/, Lo..a -- 1?a f +lo = 5...: FG,o) =0 ^ / lvo./t,,{{\/, (å)'* T" ao - - 'll PrlLLo O N l<cl e ts,h m tll,,rln l-l-e r ts e uu t= /, 5? Ja eåluonl larvtttsorf vf, on t0ffi Ir 3t llvo m t PeJIcr^l<\/ONa to= W LQ MTO KO f (to) = l*v, Pv N t- p-oo 12 Dt NA..{ r*t*fr f,åa OA^ N FrY ö.f MO LL^fcl r+116r"l r[,,5) = E o =11.. J/{ e
5 @ r(il = I csa (e t) {.=.2\ I Fzn CJ) a) MoPev-r 1;(t)= st(t) s clr l- dt : Mö,Pev{rerv Jvv\tN ^,&va %^*= g+* 3
6 4=,e v= V-- Tr v= V: *E s( W; rr (t ö J ö I { o I I q\k : " jlr-)u* e& -trx I P \, -åx -T (.*-. : I o\ ) ot ir. (-* ) {e *1 (4 Å"( J o ii- / - å', -å'o \ ä (c - e ) : -ä [.:*-r) V= ä(r-d*),
7 Q";,å. \J;.21. = tr 'ts* T -r Ä1 f (,1 ^= t-: t ([ * coze aurt)# ;TJ \ I a ft Tfrs My3 ) {*+å-ir*'rli l\-,ff i \ "l "tr I ( o fl W)-(o -d*.i V= (),n (.',]** U^=,- tj= U ft [r _ /ri,^*-f.r _{o_")l aj L' e,^j UJ A-,}- : /14-lry a,j åf t åw J 4!-r- o] ä ä"j- 5 Å åtl-retå 4Å tr- J^ tus å /74 J,^a.å "4' IT VT,. t/' 23 av- tiå r -,tr) 3å5V, f-s å Ä" 3å Y t* -**.r 5ot+e qatot å 7o nt 5
8 *7-..- L i fui=q B * f -l a -f-.[*vt-:-=-$-t.:1,c, - (c=t+ ("
9 å) tco Fo t)y :, -'rf": f L; K O teo»"t; Al t'la r F,r tj V o l"./ FlOm 0 C" 1JY; N LA rf^ rs r.j + Y KJ't ry I J P^r h/l t.f v.'.y'.'=- -4*-Äi - r. -?Llr -N.t --_ - f.oe-+ Y.- L. E -r- =7{ f--r< ---*i,c* -;-Gct ; l- *^L&y-ettrsi- -i{
10 I I ',1,-' -O,;-,V' l 'l *_.l:rl. l i -r,: i _-., - i,,_ i. I.llll,) :i Å'{ä}= -[,:' { *f -1s I L.
11 J - - r-- L fq A r.,t clrl *ej+g rl r (-åcj"t t-_ I*nz * IT u L f B,.*vf : -ä Å^.= tjå - ; +l -8 Åt L r = -,? låf g_j - Rt+ I z) C, *å* *Cr A \- ' r;l Jå K.h 'r1,^ql t-4 å \r' =fb r-c; l'. * Yl Ia- r-u T^tL,e.= U L'+ t z f;=( ic) ' -å( i(o)=0" t (, e"e -f * c - r +Pe G\-\-,eJ- D -T& L R-L c e "' L-T_ U cez BÅ Y ) r\sl VEE -,/ (c l- (ci t-) få) eo- t ) I?
12 !1r i--'----,a=--'åffi]''-r--_:-.:'-i i'- I ll '"- s} ' ffi*.-i -+ru l- åo -O, l.- f *----l'-----= _---- :, l'i,-? af. ' *'..--t'--'* 4r _, U, 'I
13 i E -å l ÅCd =Aa,, i --. I, - -.Ce o_ =^ A't+I= lt'
14 lll A.= /-_'- -_- - å trv, ;År il il futn tut å "J_-_. ly* _.fiå
15 @ o$. TIn 4, å C, lv*'x {- Q coa \ 6N åtff ref ^l rl{ alty t+r*t*iinl 'a 4,: {trcx,r4', : c, co<n x at c, c& }r 4,' 1;', ru" + q co.,å + q' (-i-*,s - C&M4 = C, (-4x) -q ce' x - C, ft":ax - Cq (w-\ -lj 4','..1 ^ y»yi rtyn : 4"+a :0/ JoLLo,v rxjaaat' -c) s.=0 -f IIJ -i <qx * c, -n T-oT vr-r^^ l<o" å1ff * oox-u E} l3
16 MrF^tJe DY "l ^rf dte 4 cl - +4 ' nt= r,) $orto6- ÖY tsa&i '<?-G re t 'f fr N 6 4 N " -q =o y prär-ä,' f t - I : o 2. 1^= I l^s t A hr - -"1 T'a' t " 2 l+ono G- th= D:r-'N YLG ra/c^, _Å^ Å^ Ct g +- c*e (zlrtsa t,lv e) /<o Ko r-,d v De LLr J ry rc 4, fv Yerr( D}l; A/ tl 4 -+X --5 Yrrr ry - Lf?AY kr+ljy 'f',atc 1) H o,i{,;; sa =0 (nnrto) 1,";c) l,
17 trj " t{ 4, ')^ n'l - 14 *: A a ** 5,ö f ltg Yrrå't-ääru A- - I Yr rtvt.[åarrl1 t,ru -r - 1, -4 IoHo ;-tlrvp- ÖY,'nr Y(Gtlv-er',/ *ar k^r.f V 4Fv 4 5.* Fth*4, c/ e - å,ä +qe åj( -E 5-4(el) = Q : o: qr c,e o +q {- qe -.g L. rj q 4'u, = 4' (o) : FåCr =$ _,*xx e 0 o Fl r "Å Lt t-e å 3c^e * - Cf eu * 1C*eo - e C, r a Cr_,Cxt Cr=Ca t
18 C+-C=.5!,4 #{trs.g f\,5 -l 5 fr tii Frb \{a + ffi # -år lrf ft' l-&.evtv TT:r $grrr?y I-f fä.,* f h,e #U #fqf F. J, E {{,
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedotääexgäl*ääääe ääg I ä*fre3 I äee iäa ää-äälgü il leääö ää; i ääs äei:ä ä+ i* äfä g u ;; + EF'Hi: 2 ä ; s i r E:;g 8ää-i iää: Ffärg',
!P9) (?trtrr('l rl 9< l ( r,r^iüfl.l ltrt ;ä r!! (r, t 6 t, rti 'le )( ö O RRZöF;ä x öö 1 74ö 9 jii\rtr lrl l jipäp. ldrrr_.^!. 9r. i P.^vä P. t!! v 7 ' '.ä e.q i >6l( t (p C ] ä il; ', +t n l ( e iei
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotSU01\1JEL\I MAINJ[ OY
KAIRAREIÄN NO 44 SIVUSUUNAMIAUS HYVELÄSSÄ MARRASKUUSSA 98 SU0\JEL\I MAINJ[ OY FlNNEXPLORAlON & ESPOO 27..98 HANNU SILVENNOINEN,. Dl 2 KAIRAREIÄN NO 44 SIVUSUUNAMIAUS HYVELÄSSÄ MARRASKUUSSA 98. s I s Ä
Lisätiedot3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=."fl: ä; E!, \ ins:" qgg ;._ EE üg.
t AJ 1., t4 t4 \J : h J \) (.) \ ( J r ) tḡr (u (1) m * t *h& r( t{ L.C g :LA( g9; p ö m. gr iop ö O t : U 0J (U.p JJ! ä; >
LisätiedotNEN PAINOVOIMAMITTAUS N:o OU 10/7b
I RAUTARUUKKI Oy I RAUTUVAARAN YlVlPÄ.RISTi-)N ALUEELLI- MALMINETSINTÄ NEN PAINOVOIMAMITTAUS N:o OU 0/7b I 3.2. - 30.4.976 osa II -- TUTKIMUSALUE LAATIJA I JAKELU KUNTA LAAT.PVM HYV. SlVlOY OU ma KARTTALEHTI
LisätiedotPUTKIKAKSOISNIPPA MUSTA
Takorauta Tuote LVI-numero Pikakoodi 0753007 RU33 KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS DN 65 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS SK/UK SK/UK
LisätiedotKondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)
Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.
Lisätiedot=*' igäiäigä$jii,äägääggägääfä. E'EEEEiäs*'ääääEäggägäiiläägäääägäää. i;giggggäggg äg;gfggäiggis. E Ei. ä jggä;fäfäää. e;egelgäf EEE : !
l d=. ö^ 3k 4rcna lc ' *O\ J * '\ tia.2 t :q(cblz c i;iä ä;fäis il 6! iää; iäiäää 9 S # öt == cf) \n.vdtd &= e;läf ;:c cj '5 'tr=lz ä jä;fäfäää c5 FrO! =*' ":rf : 6 Ä'^üi= iu l n. :S Xn.!.< V,; :;,^?'=.!.=Na'tY
Lisätiedotl, ; i.'s ä E.ä E o gäästaefiiä,ggäeäeää;äggtää EI ;äe E H * eaä* E E 8EP.E .e= äe eääege F EEE;säääg lee sa 8NY ExE öe äec E= : ;H ä a(ü
,. 8\ ( P ;! l, ;.'s ä.ä >. u.a ä q x ö ä : ; ä ;äe * eä* 8P. ee s $e ää ä F äsä ff ääsfä,ääää;äää ä eääe F ;säää le sa r T e q ( r "j (,{,!. r JJ fl *r ( + T r {rl J Y '( S YC T 8Y C0 ( (f J, r, C,9 l
Lisätiedot-lllii;i i Eiää: Iiiii:; ä;äiäeiäi
I z v x 'uz1zz?z., d!?.,rtz l t! r zx x tru tl Ifl Ag, lp llg l!q?6 ff -lll I 'g l 1 II giigur gtl,l9 t grliffglgi ggrygtgg , ur?.1,ä.r 'r,!,tzlt "z'.1 {r,? yr,! rz fl. r F g g!fi z,. g! q I?!?+ t f g
Lisätiedotäiäää?l älägcläälii äisrä lää äää
E m vf z ln7 r vr ll n U d \r .Tl vr r E0.Tl : N. ' 6 J n n 5 EF g m : ' ".E q ' v { m i. 'n 9. E!. G r'.n ff ge re E'l n,. q (f,,r L : n 6 :. G N. +.:, lrf s 'T ^ x vr L : @ : L 5 T g G H liäiiiiii$ä1läl
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedotw%i rf* meccanoindex.co.uk
&, w% r* lr,ryd* kro g ; - C +gä!! r -. ä.;'! dg+s Zt t0, y < 9 -! 8 tü;r" lun.'-y; ',ä lrl;!tä u l - 9 9! - ä 6 ^ 9 b - q - cz * ; *'a! a = ;6 f
LisätiedotVOLKER BECK P. =H. o:_ie!r n^: =:l - dö5i6 = '1 arcii - a; +; s*. P <,R< qe 5 +ä a. c g-;i-(d1. ::qp io > iädaa :; 3fE,:E A. Ö!\lo: Y.
-Tl (D 'f.g) = (,g L! (D =5.T 0) \ (:) ( P. =H ''. @ 5q 9
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotKondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)
Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.
Lisätiedott P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<
1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotRATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi
Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa
Lisätiedot+ () 4 Abä. o t-{ +J t4. -s. -r) -^.b. L,'iI. o I=={ ) ts{ A L] l--.l. l*4. op{ cta-rff" ii F{ H H. !Jrl) ..:
\ H + t4 + to t{ F{ O 4, ) e) 4 Abä,.,'i M ^.b 4 r), U) A ] l.l { ) t{ ) C5 t< cff" rl) t{ A p{ H H ii F{ c l4 ä..: v \ \ \ ) ) \ R V) A ) \ g'ä$ää e;'ü ä; {3;t:Hfä F",r ri 3 äääätäää c;{r;l ä:ärugärlsä:h$
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotArvio metsdmaan arvosta
Arv metsmaan arvsta Omstaja Kuusam, Nskajrv Kunta Kyll Tla Rn: Ala, ha 35 477 Nskajrv 31. : 77,5 SPOO LO.6.2L7 Lstetja Teemu Saarnen KTM, LKV Arv phjautuu 14.1,23 pvtyn metssuunntelman kuvtethn ja Kuusamn
Lisätiedotg - s Eä;t;i;s!itää# EiäErE ii:ääg Eä E *läeäfiäeräsil* E sis $ä äce:;!ääfät ;1*iEs ;tää:gi g;ää*f ;ij !äef ä:e'geä;:ä Elä tä Efiäilii: ; g E
H!äf ä'gä;ä lä tä fäl ; $ä äc;!ääfät ;1* ;tääg ä;t;;!tää# är ääg ä *läääeräl* tä*äätäääägtätg B g - ü ;;*ä9äää g;ää*f ' g ;j ä u e *; t t ;; t ü t p ä; u ä; e r * g t g U ).l t r A ä O.* 6) l- C ) t n
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotRahoitusmarkkinoiden kuukausisarjoja
iillh Tilastokeskus W Statistikcentralen S VT Rahoitus 1997:27 Finansiering Rahoitusmarkkinoiden kuukausisarjoja Finansmarknadens mänadsserier Tilastokeskus Tilastoarkisto 1997,-heinäkuu - juli Joukkovelkakirjojen
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään,
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedot1, MITÄ TARKOITETAAN SEURAAVILLA TERMEILLÄ:
KRANPDON TNTT 14.4.2014 LAY/OTK OT: Vst jkseen kysymykseen erllselle pperlle (must merktä nm myös krjnptu"t.u"ppern). ös et vst jhnkn kysymykseen, jätä nmetty vstuspper myös kysesen tehtävän slt' rrävär:
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotEo C)sl. oarl. d to E= J. o-= o cy) =uo. f,e. ic v. .o6. .9o. äji. :ir. ijo 96. {c o o. ';i _o. :fe. C=?i. t-l +) (- c rt, u0 C.
C C C)l A\ d Y) L P C v J J rl, ( 0 C.6 +) ( j 96.9 :r : C (Db]? d '; _ äj r, { . 3 k l: d d 6 60QOO:ddO 96.l ä.c p _ : 6 äp l P C..86 p r5 r!l (, ō J. J rl r O 6!6 (5 ) ä dl r l { ::: :: :: 6e g r : ;
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotLappeenrannan Ilmailuyhdistys
Lappeenrannan Ilmailuyhdistys Tapahtuman tuloksia, moottoripyörät Kierroksia: 396 Osallistujia: 328 Autot Moottoripyörät Kaikki Ajoneuvo Lähtöaika Aika 400 (s) Nopeus (km/h) Valmistaja Malli Tyyppi Selitys
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot6. KOKOUKSEN LAILLISUUSEN JA PÄÄTÖSVALTAISUUDEN TOTEAMINEN
(3) PÖYTÄKIRJA 5..203 SÄÄNTÖMÄÄRÄISEN SYYSKOKOUKSEN PÖYTÄKIRJA Aika Paikka 5..203 klo 9.20 alkaen Ideapark, Kokoustila Kotka. Lempäälä Läsnä Osallistujalista liitteenä (liite ). KOKOUKSEN AVAUS TaLVIn
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
LisätiedotJakotukit / tarvikkeet
Jakotukit / tarvikkeet Tuote LVI-numero Pikakoodi 2022115 BF71 VM 2X3/4 EURO VM 3X3/4 EURO VM 4X3/4 EURO VM 5X3/4 EURO VM 6X3/4 EURO VM 7X3/4 EURO VM 8X3/4 EURO VM 9X3/4 EURO VM 10X3/4 EURO VM 11X3/4 EURO
LisätiedotRIIHIMÄEN MELUSELVITYS 2008
S rj v Pljärv Pä väylly Rj Rjr R T Päväv v Oj Lä öyälä äää j Prj Sr rä v rj I vä Vh Sj U Rääyää hh rj P J Pl rä Ar rvj Al-A Pr löyrä l Th Plr Pä Plä h Uh Tv Tl Oj Slä Rj Al v Prä-r Tl Ojrä Rää Läj Vjh
LisätiedotPakkauksen sisältö: Sire e ni
S t e e l m a t e p u h u v a n v a r a s h ä l y t ti m e n a s e n n u s: Pakkauksen sisältö: K e s k u s y k sikk ö I s k u n t u n n i s ti n Sire e ni P i u h a s a rj a aj o n e st or el e Ste el
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotKuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi
31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotK Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A
K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E
LisätiedotAluevarausmerkinnät: T/kem Maakuntakaava
kk mk mv se jl ma ge pv nat luo un kp me va sv rr rr A AA C P TP T TT T/kem V R RA RM L LM LL LS E ET EN EJ EO EK EP S SL SM SR M MT MU MY W c ca km at p t t/ kem mo vt/kt/st vt/kt st yt tv /k /v ab/12
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Lisätiedot> 40 db > 45 db > 50 db > 55 db > 60 db > 65 db > 70 db > 75 db
Pet jr t Kvm Kr Hyyr yl Sr m Hm Ko e o LIITE.. Mtede melelvty 0 Yömelto (etore: m) Ortmp Petmo Immo Kop Rto Tehr Rö Voe Lepelto Pr Ptlh Rm Kymht Netytem Vroj Prorp Sem Rto Tlllo Vtter Sotmp It-Sto M Korvet
LisätiedotJohdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet 1 Vaihtovirta vs tasavirta Sähkömagneettinen induktio tuottaa kaikissa pyörivissä generaattoreissa vaihtojännitettä. Vaihtosähköä on
LisätiedotRCL-vihtovirtapiiri: resonanssi
CL-vihtovirtapiiri: resonanssi Olkoon tarkastelun kohteena tavallinen LC-vaihtovirtapiiri. Piirissä on kolme komponenttia, ohmin vastus, L henryn induktanssi ja C faradin kapasitanssi. Piiriin syötettyyn
Lisätiedot-d;'$ d{ee lr a ;{*.v. ii{:i; rtl i} dr r/ r ) i a 4 a I p ;,.r.1 il s, Karttatuloste. Maanmittauslaitos. Page 1 of 1. Tulostettu 22.08.
Maanmttauslats Page 1 f 1 -d;'$ d{ee lr a ;{*.v {:; rtl } dr r/ r ) a 4 a p ;,.r.1 l s, Karttatulste Tulstettu 22.08.2014 Tulsteen keskpsteen krdnaatt (ETRS-TM3SFlN): N: 6998249 E: 379849 Tulse e le mttatarkka.
Lisätiedot- Mistä tekijöistä ilmanvaihdon energiatehokkuus riippuu
KSU-6120 Rakennusten konetekniset laitteet Tentti 24.1.2011 Tentissci ei saa kaynaa muuta kirjallisuutta kuin jaettua kaavakokoelntaa. Kaikenlaisia laskimia,saa kayuaa. Tehlcitc)n loppuun on nterkitty
LisätiedotErään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.
DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä
Lisätiedot1i; i S;Ji'l i. ?::Z+i?; i i räf. i:ä;äi +;la=;iilsi*t li +t ' ?1*1i+;s iii:e: riile s:: : ri;-r2=" ii1js:?i_?7-i17;i i
,.24 1,? V ) J.,, q " < ^ ; > ). p. Ä I +, 1. ) d. + 1 \ d ; t l r Y ^ L j. 1 > \ 7. r 7 5 r r E,^.. l, 2 9 ; r t 9 j J l 2 1 ; Y,7, ) r 4.. ; G / ) ^ ^ ^ 7 ^ t. r P l t L ) 2 4 P? D 9 ; F I*, 1.. ) /
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotJakotukit / tarvikkeet
Jakotukit / tarvikkeet Tuote LVI-numero Pikakoodi VIRTAUSMITTARI UPONOR SMART S 2022148 BT40 JAKOTUKKIIN PALUUVENTTIILI UPONOR SMART S JAKOTUKKIIN JAKOTUKKI DANFOSS FBH-F RST 2+2 LATTIALÄMMITYS 2+2 VIRTAUKSEN
LisätiedotArvio metsd maa n a rvosta
Arvi metsd maa n a rvsta Omistaja Lpr Klmenharju Kunta Kylli Tila Rn: Ala, ha 405 572 Klmenharju :l:89 24,9 ESPOO L6.5.20L7 Laatijan allekirjitus Teemu Saarinen Lisdtietja Arvi phjautuu Teemu Saarinen
LisätiedotSUODATIN- PATRUUNAT MASINO-HYDROSTO KEY OY
1 SUODATIN- PATRUUNAT 2006 10 MASINO- KEY OY 2 Masino-Hydrosto key Oy toimittaa suodatusjärjestelmiä, suodattimia ja patruunoita hydrauli- ja kiertovoitelujärjestelmiin, kompressoreihin, ilmalle, vedelle
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Lisätiedot= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)
Harjoitukset 6, syksy 017 1. Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion
Lisätiedotatr E e, öp = J';i i o bi O() 8.;.E ä '=OOtr 3:E B TJJ I.U EEäH ir> cö
o O() N r r F F TJJ.U e, P J' o b tr 8.. ä 'OOtr B äh r> c ...\ 'ffuä ut\'o' " "\.\ ' FF rl,c # _ xl r äää1 r *..s5 +_.P eä
LisätiedotSähkövirran määrittelylausekkeesta
VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien
LisätiedotPUUT T E H TÄV. käyttää hyödyksi.
PUU / j j l Y / E H ÄÄ l l l l r r Ä E H Ä l l j l j H rl r j K PUU j r r j r IE OA P P r j r l J rj r P r l j r l l j l r r j r j r P P l r j r l j P j Ml r j rg j r r l M A R JA r l l O E H ÄÄ l / l
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotNIKKILÄN SYDÄMEN LAAJENTAMINEN VAIHE 2 MAANTASOKERROS 1/ / ARK - house
tk, J e, hu p rr, Ä, 9,,, Ä Ä Ä 9,, 9 h vut tk k D uk, C lut, kpk C tr, rv tr C9, y e yv tt t rv lkr tl lut e pll t-k-hu kek u v pt + C C tr C9 tr lut C, C C, yp + phu te kt kpl bet uur rv gr ttpe t +
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotDYNAAMISET SYSTEEMIT 1998
1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y
Lisätiedot14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.
Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotRuskon Laakeritie 22
äi äättä Rs Lri lvsitrstl.... g Sittll sijitt rär rl vl-lll (), issä dll sj vl-l (.) ltvll. lvdt lsvt Rsj yyösjärv j sjärv tt rär. sj vl-l it-l ~ l-l äi äättä.. g Lri vl-lt äi äättä Al läisyydssä lss lv
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Lisätiedot4rrr. PYSwvYoesrÄ. 0809-cPR-1115. Tarvasjoen Teräsovi Oy Junnaronkatu 16 24100 Salo SE RTI FI KAATTI TUOTTEE N SUORITUSTASON EN 12101-2:2003
4rrr VTT XPRT SRVCS Y llmeu ls r 0809 VTT XPRT SRVCS Y P 1001.02044\TT S RT KAATT TUTT SURTUSTAS PYSwvYesrÄ 0809PR1115 urpn prlmenn j neuvsn seuksen : 305/201 1 (rkennusueseus el CPR), jk n nneu mlskuun
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Lisätiedot-Jotta maailma olisi parempi paikka wappuna. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012
-J w. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012 JOS ET NÄE LUKEA ALLAOLEVAA PIILOTETTUA TEKSTIÄ, JUO LISÄÄ SKUMPPAA, SILLÄ STEREOGRAMMIEN NÄKEMINEN ONNISTUU VAIN SILMÄT KILLISSÄ.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
Lisätiedotb) '5555z-?:lo -1:7 ' 5 ',r+i (i-å) n- r*or i+i- sl4-4 s-5-''- (å) 2:+ 2 r t I 3-3 a)23+42 Ð'+., (, -:), u)j++ b)2-1 "i
Tampereen kesäyliopisto, kevät 20 1 5 Thlousmatematiikan perusteet, orrr s ro30 L. harjoitus, (la 12.11.2015) 1. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin þnää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset
Lisätiedot