1. Materiaalien rakenne

Transkriptio

1 1. Materiaalien rakenne 1.2 Atomirakenne ja atomien 2. Luento

2 Alkusanat Oppikirja 1: Brian S. Mitchell: Materials Engineering and Science for Chemical and Materials Engineers Oppikirja 2: William D. Callister, Jr.: Materials Science and Engineering, An Introduction (sixth edition) Luentomuistiinpanot Kotisivu Almassa: matfys-i-2010 Luennot: ti, to 12-14, Exactum BK 113 Laskuharjoitukset: ti ja ke 8-10 Aarne Pohjonen paikka: BK 113 Koe: klo

3 1.2.3 Atomien Kiinteän materiaalin aikaansaamiseksi on atomien oltava sidottu toisiinsa. Kahden atomin vuorovaikutus voidaan aina kirjoittaa potentiaalienergiafunktion avulla E pot (r). Potentiaalin derivaatta etäisyyden r suhteen antaa atomien välisen voiman. Potentiaali ja voima kirjoitetaan attraktiivisen ja repulsiivisen komponentin avulla, jotka johtuvat erilaisista vuorovaikutuksista. ETOT EA E F R TOT FA FR 3

4 1.2.3 Atomien voima F U r potentiaalienergia atomien välinen sidosenergia 4

5 1.2.3 Atomien : Repulsiivinen potentiaali Etäisyyksillä, jotka << tasapainoetäisyys, sama funktionaalinen muoto kaikilla atomeilla. Etäisyyksillä, jotka > tasapainoetäisyys, elektronit varjostavat positiivisesti varautuneiden ydinten vuorovaikutuksen lähes täysin. Hyvin pienillä etäisyyksillä varjostus on hyvin pieni, jolloin lähes puhdas ydinten välinen vuorovaikutus. pieni etäisyys suuri etäisyys 5

6 1.2.3 Atomien : Repulsiivinen potentiaali Hyvin pienillä etäisyyksillä varjostus on hyvin pieni, jolloin lähes puhdas ydinten välinen vuorovaikutus. V Coulomb () r ZZe 1 2 r Kun etäisyys kasvaa, elektronipilvet varjostavat ytimiä ja pienentävät ydinten välistä repulsiivista varausta. Syntyy muita repulsiivisia vuorovaikutuksia Elektroni-elektroni repulsiot Paulin repulsio johtuen samassa tilavuudessa olevien elektronien välisestä Paulin kieltosäännön mukaisesta repulsiosta

7 1.2.3 Atomien : Repulsiivinen potentiaali Kolmesta vuorovaikutustyypistä huolimatta repulsiota kuvaa hyvin seuraava funktio: 1 ZZe V r r 4 r 2 Screened Coulomb 1 2 () () 0 missä funktio (r) muuttuu arvosta 1 arvoon 0. Tämä funktio on voimassa aina energioihin ~10 ev/atomipari. 7

8 1.2.3 Atomien : Vuorovaikutus suurilla etäisyyksillä Hyvin suurilla etäisyyksillä lähestyy vuorovaikutus arvoa 0, kun elektronikuoret eivät ole päällekkäin ja toisensa näkevät atomit ovat neutraalit. Coulombinen vuorovaikutus on pitkän kantaman voima Ionien, joiden varaus on q, välinen vuorovaikutus menee hitaasti arvoon 0 V Coulomb () r qqe 1 2 r 2 8

9 1.2.3 Atomien : Attraktiivinen potentiaali, syy sidoksiin Puhtaasti repulsiivisella potentiaalilla on merkitystä ydin- ja ionisuihkufysiikassa ja rajalla, kun vuorovaikutus menee nollaan kaasujen fysiikassa ja kemiassa, siis ei merkitystä tällä kurssilla. Materiaalifysiikan kannalta perusasia on ymmärtää miten atomit on sidottu toisiinsa, siis mikä aiheuttaa attraktiivisen voiman. Vahvoilla sidoksilla on kolme päätyyppiä, primäärit sidostyypit Ionisidos (P1) Kovalentti sidos (P2) Metallinen sidos (P3) Huom. Kemialliseksi sidokseksi kutsutaan joskus kaikkia kolmea joskus vain kovalenttista. 9

10 1.2.3 Atomien : Attraktiivinen potentiaali, syy sidoksiin Lisäksi on heikompia sekundäärisiä sidostyyppejä Vetysidos (S1) (Joskus yhtä vahva kuin primäärisidos) Dipoli-dipoli vuorovaikutus (S2) Dipolin indusoima dipolivuorovaikutus (S3) Indusoitu dipoli-indusoitu dipoli -vuorovaikutus (S4) Käsitteitä van der Waalsin sidos tai fysikaalinen sidos käytetään usein kuvaamaan kaikkia heikkoja sidoksia. Alkuperäisen johtamisen mukaan van der Waalsin sidos on S4. Joka tapauksessa käsitteet Londonin vuorovaikutus tai Londonin dispersiovuorovaikutus tai dispersiovuorovaikutus koskevat vain tyyppiä S

11 1.2.3 Atomien : Esimerkkejä sidoksista ja niiden vahvuuksista 11

12 1.2.4 Koheesioenergia Riippumatta sidostyypistä voidaan kiinteälle aineelle tai nesteelle, joiden komponentit ovat N A kappaletta tyypin A atomeja ja N B kappaletta tyypin B atomeja, määrittää koheesioenergia E coh seuraavasti: E co h Esolid ( NAEA NBEB) N N missä E A ja E B ovat vapaiden atomien energiat perustilassa. Ionisille systeemeille käytetään määritystä hilaenergia, missä atomien sijasta on ionit. Koheesio on siis mitta sille, kuinka lujasti materiaali on sidottu. Potentiaalienergia/atomi lämpötilassa 0 K = - E coh. A B 12

13 1.2.4 Koheesioenergia 13

14 1.2.5 Esimerkkejä sidostyypeistä 14

15 1.2.5 Esimerkkejä sidostyypeistä: Elektronipilvet eri sidostyypeissä 15

16 1.2.5 Esimerkkejä sidostyypeistä: Potentiaalikuopan muoto ja materiaalin ominaisuudet a) syvä ja jyrkkä potentiaalikuoppa: korkea sulamispiste, korkea elastinen moduuli, pieni lämpölaajenemiskerroin b) päinvastoin kuin a) Huom. Kaksi viimeistä riippuvat derivaatasta: 2 E F 2 r 16

17 1.2.6 Ionisidos Ionisidos on yksinkertaisin sidostyyppi ymmärtää. Ionisidoksessa attraktiivinen voima on coulombinen (sähköstaattinen) voima positiivisten ja negatiivisten ionien välillä (anionien ja kationien välillä). Sidos syntyy vahvan ja heikoin elektronegatiivisen atomin välille, vasemman ja oikean puolen atomien välille jaksollisessa järjestelmässä. Prototyyppi on NaCl. Na 17

18 1.2.6 Ionisidos Atomiparin kokonaisenergia NaCl:ssa on Attraktiivinen osa on missä q on atomien varaus (+1 ja -1). Tekijä E ions on energia, joka tarvitaan atomien ionisoimiseksi. Energia saadaan positiivisille ioneilla (Na) ionisaatioenergiasta IE ja negatiivisille ioneille (Cl) elektroniaffiniteetista EA. Sen arvo on (Huom. EA:n merkki) V () r V () r V () r E 2 VA() r 4 R A ions 2 1 qqe r 18

19 1.2.6 Ionisidos Kokonaisenergian saamiseksi kiteessä täytyy laskea summa kaikkien atomiparien yli V V ( r ) V ( r ) TOT R ij A ij i j Repulsiivinen termi vähenee nopeasti etäisyyden kasvaessa ja voidaan useimmissa tapauksissa rajoittaa lähimpiin naapureihin. Mutta attraktiivinen termi vähenee hitaasti Puhtaasti matemaattisesti se ei konvergoi ollenkaan Naapurien lukumäärä kasvaa kuten r 2 dr ja potentiaali vähenee kuten 1/r. 19

20 1.2.6 Ionisidos Summa konvergoi kuitenkin, koska positiivinen ja negatiivinen vaikutus vuorottelevat Ensimmäinen termi +-, toinen ++, kolmas +1, jne Järjestelemällä termit sopivasti saadaan äärellinen arvo 2 1 qqe i j Summaa V A 4 i, j 0 r ij kutsutaan hilasummaksi ja sen laskemista Madelungin summaukseksi Numeerisesti tehokas tapa laskea, joka voidaan tehdä jopa ilman tietokoneita, on nk. Ewaldin summaus. Nykyisin summa on helppo laskea tietokeilla. 20

21 1.2.6 Ionisidos Nähdään, että tietylle hilarakenteelle summa määräytyy täysin lähinaapurien etäisyyden r nn perusteella. Kaikille suuremmille etäisyyksille arvo on joku geometrinen vakio kertaa tämä arvo. Siten koko hilasumma voidaan kirjoittaa potentiaalille V A seuraavasti: missä on Madelungin vakio, siis V A 1/r nn Muutamia esimerkkiarvoja 21

22 1.2.6 Ionisidos: attraktiivinen ja repulsiivinen termi Repulsiivinen termi voidaan matalan energian alueella kirjoittaa ensimmäisenä approksimaationa muotoon (nk. Born- Mayer-potentiaali) Silloin kokonaisenergian yhtälö kiteessä, jossa N atomia missä z on lähinaapurien lukumäärä ja repulsiivinen osa rajoitetaan lähinaapureihin Parametreilla ja ei ole fysikaalisia perusteita, vaan ne saadaan sovittamalla kokeellisista arvoista 22

23 1.2.6 Ionisidos: attraktiivinen ja repulsiivinen termi Siis vain kahden sovitusparametrin avulla saadaan ionikiteiden koko energetiikka. 23

24 1.2.6 Ionisidos: attraktiivinen ja repulsiivinen termi 24

25 1.2.7 Kovalentti sidos Kovalenttisten sidosten perusteiden ymmärtäminen vaatii kvanttimekaanista tarkastelua. Elektronit muodostavat pareja (spin ylös, spin alas) Tästä johtuu, että atomin, jonka elektronikuori ei ole täysi, elektronit muodostavat pareja toisen vastaavan atomin elektronien kanssa. Näillä atomipareilla voi olla hyvin vahva sidosenergia. 25

26 1.2.7 Kovalentti sidos: hybridisoituminen Mahdolliset elektronin aaltofunktiot, jotka muodostuvat, kun atomit yhtyvät, voivat olla hyvin monimutkaisia ja erilaisia kuin atomin elektronirakenne. Yhdistyneitä aaltofunktioita kutsutaan hybridisoituneiksi. Oheisessa kuvassa esimerkkejä mahdollisista sidotuista ja ei-sidotuista molekyyliorbitaaleista, jotka muodostuvat yksinkertaisista atomiorbitaaleista. 26

27 1.2.7 Kovalentti sidos: hybridisoituminen On tyypillistä, että sidosta karakterisoi korkeamman elektronitiheyden alue avaruudessa. Esim. Elektronien isotiheyskontuurit Si:ssä. Malli sovitettu kokeellisiin datoihin. On ilmeistä, että tiheys ei ole pallosymmetrinen. [Sillanpää et al, PRB 62 (2000) 3109] 27

28 1.2.7 Kovalentti sidos: hybridisoituminen Kovalenttisia sidoksia ja ionisidos 28

29 1.2.7 Kovalentti sidos: sp 3, sp 2, sp hybridisoitumiset Monella tavalla tärkeimmät hybridisoitumiset ovat ne, jotka muodostuvat, kun uloimmat s- ja p-elektronit kuorilla 2 tai 3 sekoittuvat. sp 3 hybridisoitumisella tarkoitetaan elektronirakennetta, missä atomin 4 ulointa elektronia hybridisoituvat 4 naapuriatomin 4 elektronin kanssa. Sidokset (elektronitiheydet) ovat mahdollisimman kaukana toisistaan. Tetraedri, sidosten välinen kulma 109,47 o. sp 2 hybridisoitumisella tarkoitetaan elektronirakennetta, missä atomin 4 ulointa elektronia hybridisoituvat 3 naapuriatomin 3-4 elektronin kanssa. Sidokset samassa tasossa! Sidosten välinen kulma 120 o. sp hybridisoituminen: 4 ulointa elektronia, 2-4 ylimääräistä, samalla suoralla samassa tasossa. 29

30 1.2.7 Kovalentti sidos: sp 3 ja sp 2 hybridisoitumiset Esimerkki hiilen rakenteesta sp 3 hybridisoituminen muodostuu C:ssä, kun 2s-orbitaali ja kolme 2p-orbitaalia (p x, p y ja p z ) yhdistyvät sekoittuneeksi orbitaaliksi. Nimi tulee siitä kuinka monta orbitaalia kombinoidaan. sp 2 hybridisoituminen muodostuu C:ssä, kun 2s-orbitaali ja kaksi 2p-orbitaalia (p x ja p y ) yhdistyvät sekoittuneeksi orbitaaliksi. Nimi tulee siitä kuinka monta orbitaalia kombinoidaan. Kun sp 2 kombinoi p-orbitaalit xy-tasossa, täytyy sen olla tasomainen. 30

31 1.2.7 Kovalentti sidos: sp 3 ja sp 2 hybridisoitumiset 31

32 1.2.7 Kovalentti sidos: sp 3, sp 2, sp hybridisoitumiset sp 3 Metaanimolekyyli CH 4 Timanttirakenne: C, Si, Ge Sinkkivälkerakenne: GaAs, ZnS,... Huom. 3+5 ulointa elektronia = 4+4 Wurtziittirakenne: GaN, ZnO,... sp 2 Etyleenimolekyyli C 2 H 4 Grafiitin bulkkirakenne Grafeeni -taso (Eng. graphene) sp Asetyleenimolekyyli C 2 H 2 Harvoin tärkeitä materiaalifysiikassa 32

33 1.2.7 Kovalentti sidos: ominaisuuksia Hybridisoituminen johtuu siis siitä, että elektroniaaltofunktiot voivat kombinoitua energeettisesti edullisemmalla tavalla. Siten kovalenteilla sidoksilla on vahva kulmariippuvuus. Jokaisella hybridisoitumisella on hyvin määritelty kulma, joka energeettisesti edullisin, tasapainokulma 0 Kovalentit sidokset voivat olla erittäin vahvoja (tai heikkoja ) Esim. sp 2 -sidos hiilelle (C-atomi) grafiitissa: E coh = -7,4 ev/atomi, 2 atomia/sidos, 3 sidosta/atomi => 1 C-C-sidoksella energia 4.9 ev/sidos Sidoksilla hyvin lyhyt kantama koska atomien elektronipilvien täytyy peittää toisiaan ja niiden ulottuvuus vähenee ~ eksponentiaalisesti 33

34 1.2.7 Kovalentti sidos: yksöis-, kaksois-, kolmoissidos, dangling bond Käsitteitä yksöis-, kaksois-, kolmoissidos käytetään usein kuvaamaan kovalenttien sidosten tyyppiä. Ne liittyvät sidoksen muodostaviin elektronipareihin. Mutta on jossain määrin harhaanjohtava, koska kvanttimekaniikassa elektronisidosten kaikki sekoitukset ovat mahdollisia. Esimerkiksi grafiittisidoksia ei voi karakterisoida näin. On kuitenkin hyödyllinen ajattelutapa. Vastaava käsite on dangling bond : yksittäinen pariton elektroni. Mieluummin esimerkiksi atomi, jonka sidosympäristö on jostain syystä epäedullinen ja siksi muodostaa sidoksen. Esim. timanttipinta ja puuttuva H-atomi. Harhaanjohtavuudesta kuten edellä. 34

35 1.2.7 Kovalentti sidos: repulsiivinen osa Toisin kuin ionisidoksilla kovalentin sidoksen attraktiivisen ja repulsiivisen osan ei voida sano johtuvan eri ilmiöistä. Kovalentilla sidoksella on hyvin määritelty tasapainotila. Hyvin pienille etäisyyksille on voimassa samat repulsiomekanismit kuin mitkä lueteltu edellä. Toisin kuin ionisidokselle ei kovalentille sidokselle voida helposti johtaa yksikäsitteistä funktiomuotoa. On useita erilaisia fenomenologisia ja kvanttimekaanisesti perusteltuja muotoja. 35

36 1.2.7 Kovalentti sidos: Kovalentin ja ionisidoksen vertailu Kovalenttien ja ionisidosten kaikki välimuodot mahdollisia. Tämä riippuu elektronegatiivisuudesta Sama elektronegatiivisuus => täysin kovalentti Alkuaineet, aineet lähellä toisiaan Hyvin erilainen elektronegatiivisuus => lähes täysin ioninen Karakterisoimiseksi on useita erilaisia ionisuusskaaloja tämäkään ei ole hyvin määriteltyä... Yksinkertainen on jos aineella A on korkeampi A [Callister]: ( A B) % ionisuus 1 e 100 Esim. Ga-N: Ga,Pauling = 1.6, N,Pauling = 3.0 => %ionisuus = 40% 36

37 1.2.8 Metallinen sidos Metallit luovuttavat helposti elektroneja. Uloimmat elektronit delokalisoituvat, eli aaltofunktio on hyvin laaja. Siten metallia kuvataan positiivisilla ioneilla negatiivisessa elektronikaasussa. vapaa elektronikaasu Käyttäytyy joissakin tapauksissa kuin plasma. 37

38 1.2.8 Metallinen sidos Metallien sidokset voidaan ymmärtää, jos elektronien ajatellaan olevan jonkinlainen negatiivisesti varautunut liima, jellium, johon positiivisesti varatut metalli-ionit sijoitetaan. Metalli-ionien ja jelliumin välillä attraktiivinen vuorovaikutus, sijoittamisenergia jokaisella jelliumiin sijoitetulla ionilla. Jos metalli-ionit lähelle toisiaan, syntyy repulsio. On useita voimamalleja metalleissa, jotka perustuvat tähän ideaan. Niitä kutsutaan yleisesti nimellä Effectiv Medium Theory (EMT) Mallin teoriaa kehittäneet suomalaiset [Puska, Nieminen, Manninen, Phys. Rev. B 24 (1981) 3037 mm.] Samaa ideaa kutsutaan joskus nimellä Embedded Atom Method. 38

39 1.2.8 Metallinen sidos: funktiomuoto Vuorovaikutus kirjoitetaan muotoon missä V rep (r) on puhtaasti repulsiivinen vuorovaikutus, (r) elektronitiheys ja F( ) elektronitiheyden funktio, joka antaa sijoittamisenergian. Jos tarkastellaan elektronien ensimmäisen kertaluvun vuorovaikutuksia, voidaan osoittaa, että F on neliöjuuri, ja saadaan helposti lauseke 39

40 1.2.8 Metallinen sidos: ominaisuuksia Kuten edellä on motivoitu, metallisidoksilla ei ole kulmariippuvuutta Tämä pitää yhtä todellisuuden kanssa jalometalleilla (Cu, Ag, Au) ja monilla muilla metalleilla, FCC-rakenne Mutta esimerkiksi metalleilla, joilla BCC-rakenne, on vuorovaikutuksessa kulmariippuvuus. Niitä voidaan pitää metallisen ja kovalentin sidoksen sekoituksina. Kun ei ole (tai on vain vähän) kulmariippuvuutta, metalliatomit pakkautuvat hyvin tiiviisti. Metalliset sidokset voivat olla hyvin vahvoja. Esim. E coh = -8,9 ev/atom 40

41 1.2.8 Metallinen sidos: ominaisuuksia Yksittäisestä metallisidoksesta puhuminen ei useimmiten ole perusteltua! Johtuen johtavien elektronien ja ionien välisestä erosta puhutaan usein sidotuista elektroneista: sisäiset eli ydinelektronit ( core electrons ) vapaista eli valenssielektroneista Fe erikoistapaus: tuore tutkimus osoittaa, että noin ¼ sidosenergiasta tulee magneettisista vuorovaikutuksista [Dudarev, Derlet, J. Phys.: Condens. Matter 17 (2005) 1]. Loppu on metallisidosta. 41

42 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit Sekundäärien sidostyyppien määrittely ei ole täsmällinen. Kemiassa erotetaan usein ionidipoli sidokset omaan kategoriaan. Mutta pitkälti niiden voidaan olettaa olevan ionisidosten erikoistapaus. 42

43 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: vetysidos Vetysidos on selvästi vaikeimmin ymmärrettävä sidostyyppi. Se perustuu oikeastaan siihen, että protoni on niin kevyt, että se käyttäytyy kuten kvanttimekaaninen aaltofunktio, eikä pistemäinen hiukkanen. Tavallinen ajasta riippumaton kvanttimekaniikka ei riitä sen kuvaamiseen. Mutta kvalitatiivisesti se voidaan ymmärtää suunnilleen seuraavasti: Vetyatomi H voi luovuttaa osan elektronistaan vahvasti elektronegatiiviselle atomille A H muuttuu osittain positiivisesti varatuksi Vetysidos muodostuu lähellä olevaan negatiivisesti varattuun atomiin B A on sidosdonori ja B sidosakseptori. 43

44 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: vetysidos Esimerkki Soveltuu vain vetyyn, koska se on niin pieni: elektronipilven siirtyminen vastaa suurta varaustiheyttä. Yleensä vetysidokset vahvimmat atomeilla O, N ja F Yksinkertainen tapaus on HF 44

45 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: vetysidos Esimerkki Tärkeitä ovat vetysidokset vedessä. Happi muodostaa kaksi kovalenttista sidosta ja useita vetysidoksia. Tarkka lukumäärä vedelle on edelleen tuntematon ja tutkimuskohde! 45

46 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: dipoli-dipoli - vuorovaikutukset Molekyyleillä on usein pysyvä sähköinen dipoli. Johtuen elektronegatiivisuuden eroista tämä on luonnollista. Vuorovaikutus sähköisten dipolien välillä p 1 p

47 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: dipolin indusoima dipoli - vuorovaikutus Ensi ajatuksena pitäisi ionin tai dipolin ja neutraalin atomin tai molekyylin, jolla ei sähköistä varausta tai multipoolimomenttia, välisen vuorovaikutuksen olla nolla, mutta niin ei ole! Pysyvä dipoli voi nimittäin indusoida polarisaation lähellä olevaan neutraaliin atomiin/molekyyliin. Tämä vuorovaikutus on heikompi kuin dipolien välinen. 47

48 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: dipolin indusoima dipoli - vuorovaikutus Vielä enemmän ei-intuitiivista on, että täysin neutraalit ja multipoolivapaat atomit tai molekyylit voisivat vuorovaikuttaa. Kuitenkin, vaikka atomeilla ei keskimäärin ole dipolimomenttia, on todennäköistä, että jokaisena ajanhetkenä t elektronipilvi atomin ympärillä ei ole täysin symmetrisesti ytimen ympärillä! 48

49 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: dipolin indusoima dipoli - vuorovaikutus Atomilla 1 on dipolimomentti p 1 ja sähkökenttä verrannollinen tekijään p 1 /r 3. Tämä sähkökenttä indusoi dipolimomentin atomiin 2, joka verrannollinen kenttään missä on polarisoituvuus atomilla 2. Energia saadaan nyt dipoli-dipoli vuorovaikutuksen yhtälöstä 49

50 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: dipolin indusoima dipoli -vuorovaikutus Nyt saadaan energian riippuvuudeksi etäisyydestä r Vuorovaikutus vähenee etäisyyden funktiona kuten -1/r 6, siis hyvin nopeasti Sama tulos saadaan ratkaisemalla Schrödingerin yhtälö kahdelle kvanttimekaaniselle oskillaattorille. Vuorovaikutus on hyvin heikko. Vuorovaikutusta kutsutaan van der Waalsin sidokseksi tai Londonin dispersion vuorovaikutukseksi tai dispersiovuorovaikutukseksi. 50

51 1.2.9 Sekundääriset sidostyypit: dipolin indusoima dipoli vuorovaikutus ja Lennard-Jones-potentiaali Termi -1/r 6 on tietysti puhtaasti attraktiivinen. Useimmiten lisätään repulsiivinen osa samoin potenssimuotoisena. Potenssi 12 toimii usein hyvin ja siten saadaan klassinen Lennard-Jones - potentiaali Jos eksponentti ei ole 12, silloin potentiaalia kutsutaan esimerkiksi LJ 6-9 potentiaaliksi, jolloin repulsiivisen osan eksponentti on 9. Lennard-Jones potentiaali toimii erittäin hyvin jalokaasuille. Parametrit voidaan johtaa kaasufaasille ja otaksua, että ne ovat muutaman prosentin tarkkuudella samat kiinteässä olomuodossa! 51

52 1.2.9 Sekundäärit sidostyypit: dipolin indusoima dipoli vuorovaikutus ja Lennard-Jones-potentiaali Mutta erityisesti molekyylimekaniikassa ja biofysiikassa käytetään LJ-potentiaalia lukemattomille muille sidoksille, jopa kovalenteille sidoksille. Tämä siitä huolimatta, että ei ole hyvää fysikaalista/kemiallista perustetta tehdä niin. 52

53 Sulamispiste 53

54 Elastinen kovuus 54

55 1. Materiaalien rakenne 1.3 Kiderakenteista 2. Luento