Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava"

Transkriptio

1 Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv

2 Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri piirretää ympyrä, jok kulkee kolmio kärkipisteide kutt. Kolmio sisää setet toie ympyrä site, että se sivu kolmio sivuj. Kuik mot prosetti edellise ympyrä l o suurempi kui jälkimmäise ympyrä l? Geometri. Lud leveys o 9 mm j pituus,6 m. Siitä sht smpituisi ploj, jotk setet rikki site, että muodostuu eliö muotoie levy. Mite pitkä voi eliö sivu eitää oll? Todeäköisyyslsket. Tilstoje muk eräässä pääsykuulusteluss % pyrkijöistä epäoistuu mtemtiik j 7 % fysiik kokeess. Pyrkijöistä % epäoistuu kummsski kokeess. Lske todeäköisyys, että fysiik kokeess epäoistuut pyrkijä epäoistuu myös mtemtiik kokeess. Millä todeäköisyydellä pyrkijä epäoistuu iki toisess kokeess? Ekspoetti j logritmi + y. ) Rtkise yhtälöryhmä y 8. b) Piirrä fuktioide lg j / kuvjt sm kuvioo j rtkise tämä perusteell epäyhtälö lg. Etsi vstus khde desimli trkkuudell. (lg log ) Trigoometri 6. Kolmio kulmille α, β j γ pätee siαsiβ cosγ. Osoit, että kolmio o suorkulmie. Vektorit 7. Suor o vektori i + j + k suutie j kulkee pistee (,, 7) kutt. Määritä se j tso + y + z leikkuspiste.

3 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Slliset äärirvosovellukset 8. Yksikkösäteise pllo sisällä o tilvuudelt mhdollisimm suuri suor ympyräpohjie lieriö. Määritä lieriö korkeus j pohjympyrä säde. Lske lieriö j pllo tilvuuksie suhde. Derivt sovellus 9. Määritä fuktio f ( ) +, >, kääteisfuktio f. Millä välillä tämä o määritelty? Osoit lskemll, että f ( f( ), ku >. Määrätty itegrli. A esimerkki jtkuvst fuktiost f : [,] r, joll o omiisuudet f() f() j fd ( ). Alyyttie geometri/käyrät. Olkoo + y. Osoit, että + y y o ympyrä + y tgetti. Mitkä ovt sivumispistee koorditit? Lukujoot j srjt. Geometrise joo kolme esimmäise termi summ o j kuude esimmäise termi summ. Lske yhdeksä esimmäise termi summ. Suppeeeko vstv geometrie srj? Rj-rvo j jtkuvuus. Piste o r-säteise pllo ulkopuolell etäisyydellä d pllo pist. Kuik mot prosetti p p(r, d) pllo pist äkyy pisteestä? Määritä lim d p(r, d). Kuik suuri os mpllo pist äkyy kilometri korkeudell olevst stelliitist? Mpllo säde o 6 7 km. Differetiliyhtälöt, lyysi jtko. Määritä lkurvotehtävä y y, y() ( r) rtkisu y (). Lske lim y (). Kompleksiluvut. Piirrä kompleksitsoo pisteet z cos kπ i k k ( ) ( ) + si π, ku k,,,,. Lske äide pisteide kuvpisteet, ku e kuvt fuktioill f : c c, f(z) z (c kompleksitso). Piirrä toie kuv kompleksitsost j sijoit siihe kuvpisteet.

4 Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe.9. Pitkä oppimäärä Derivtt. Olkoo f(). ) Rtkise yhtälö f(). b) Millä : rvoill o f ()? c) Piirrä derivttfuktio f kuvj. Geometri. Neljäkkää sivu o ts cm, j lävistäjie pituuksie suhde o :. Lske eljäkkää l. Käyrä tgetti j ormli. ) Derivoi fuktio f() e +. b) Määritä käyrä y e + pisteesee (, ) piirrety tgeti yhtälö. c) Määritä se j pituus, jok koordittikselit erottvt edellise kohd tgetist. Vektorit. Mistä y-tso pisteestä pisteisii A (, ), B (, ), C (, ), D (, ) j E (, ) piirrettyje vektoreide summ o ollvektori? Prosettilsku. Pääryämehust j omemehust tehdy sekmehu sokeripitoisuus o %. Määritä mehuje sekoitussuhde, ku pääryämehu sokeripitoisuus o % j omemehu 7 %. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt 6. Määritä si( y), ku si, π / π /, j cos y, π y π. Trkk rvo j kksidesimlie likirvo. Geometri 7. Tssivuie kolmio T kiertyy tsoss keskipisteesä ympäri kulm α verr, jolloi se muuttuu kolmioksi T α. Lske se luee l, jok kolmiot T j T α yhteesä peittävät (ts. uioi T T α peittää), ku kolmio sivu o j kulm α o ) 6, b), c) 8. Piirrä kuviot.

5 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Todeäköisyyslsket 8. Erää stuismuuttuj tiheysfuktio o, ku <,, ku <, f ( ) +, ku <,, ku. ) Piirrä tiheysfuktio kuvj. b) Lske todeäköisyydet P( ), P( < ) j P( > ). Trigoometri 9. Osoit, että kolmio ympäri piirrety ympyrä säde o R, siα missä o kolmio mielivltie sivu j α se vstie kulm. Fuktio äärirvot. Piirrä fuktio f() l kuvj. Millä väleillä fuktio ksv j millä se väheee? Esitä fuktio kullki välillä site, että lusekkeiss ei esiiy itseisrvoj. Millä : rvoill fuktio s pieimmä rvos? Lukujoot j srjt k k. Osoit, että luseke ( ), missä k :t ovt ettuj relilukuj, s pieimmä rvos, ku k k. Lusu tämä piei rvo lukuje k vull mhdollisimm yksikertisess muodoss. Tlousmtemtiikk. Isä tllett poiks tilille jok kuukude luss vuodevihteess tphtueest sytymästä lke. Tilille mkset, % vuotuist korko, jok liitetää pääom i vuode lopuss. ) Kuik pljo rh tilillä o, ku poik täyttää 8 vuott? b) Kuik ku isä olisi tlletettv, jott tilillä olisi rh kksiot vrte, ku kksio hiksi oletet? Itegrlilske sovellus. Käyrä y l välillä e olev os pyörähtää -kseli ympäri. Määritä muodostuee kpplee tilvuus.

6 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Määrätty itegrli. Jtkuv fuktio f : [, [ r keskirvo välillä [, ] ( > ) määritellää seurvsti: G( ) ftdt ( ). Määritä keskirvofuktio derivtt G () j lusu se fuktiorvoje f() j G() vull. Osoit, että G() f(), jos f o ksvv. Osoit edellee, että tällöi myös G o ksvv. Numeeriset meetelmät. ) Tote, että differetiliyhtälö y + si y rtkisu lkuehdoll y() o y() si + cos. b) Määritä Euleri mee - telmällä kyseise rtkisu likirvot y i ( y( i )) välillä [, ] skelpituudell h, sekä ldi tulukko, joss esiityvät i, y( i ), y i j virhe y i y( i ). Mtemtiik koe 9.. Pitkä oppimäärä Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Olkoo f() j g() + +. ) Lske f( ). b) Lske g( ). c) Rtkise yhtälö f() g(). Määrätty itegrli +. Määritä site, että ( + ) d. Prosettilskut. Perhee vuokrmeot olivt % tuloist. Vuokrmeot ousivt %. Motko prosetti vähemmä rh riitti muuhu käyttöö korotukse jälkee? Vektorit. Pisteestä P (, ) lähtevät vektorit i + j j b i + j ovt suuikk sivui. Suuikk lävistä jie leikkuspiste olkoo Q. Määritä vektori PQ sekä pistee Q koorditit. Käyrä tgetti j ormli. Määritä se prbeli y piste, joss prbeli tgeti suutkulm o +.

7 6 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Trigoometri 6. Tlost metri korkeudelt ktsottess likkimsto huippu äkyy stee korkeuskulmss j metriä korkemmlt ktsottess, stee korkeuskulmss vktsoo ähde. Msto perust o metriä korkemmll kui tlo perust. Määritä msto korkeus, metri trkkuudell. Geometri 7. Suorkulmise kolmio hypoteuuslle piirretty korkeusj jk hypoteuus suhteess :7. Määritä kteettie pituuksie suhde. Geometri 8. ) Millä prmetri rvoill yhtälö + y y + + esittää ympyrää? b) Mikä o tällöi ympyrä l suuri mhdollie rvo? Todeäköisyyslsket 9. Leirikoulu hyväksi järjestetyissä rpjisiss ilmoitettii, että jok :s rp voitt. Kuik mot rp o ostettv, jott todeäköisyys iki yhtee voittoo olisi yli %? Itegrlifuktio. Muodost fuktio f : ], [ r, jok kuvj sivu suor y j jok derivtt o f () +. Fuktio äärirvot. Olkoo. Osoit, että e. Millä : rvoill pätee yhtäsuuruus? Määrätty itegrli. Fuktio f : r r määritellää seurvsti: f(), ku π < ( + )π, z. Lske itegrli kπ Ik ( ) f ( )sid, ku k,,,. Määritä tämä jälkee rj-rvo lim k I(k). Lukuteori. Kokoisluku m o kokoisluvu tekijä, jos o olemss kokoisluku k site, että km. Osoit: ) Jos m o : tekijä j o m: tekijä, ii m ±. b) Jos m o : tekijä j o p: tekijä, ii m o p: tekijä.

8 Ylioppilstehtävät vuositti 7 Kevät Lukujoot j srjt. A esimerkki sellisest suppeevst lukujoost,,,, että vstv srj j vstv srj supet? hjtuu. Voiko lukujoo hjtu Differetiliyhtälöt. Suor ympyrälieriö muotoise sti pohjss o reikä, jost stis s olev vesi vluu ulos. Astiss olev vesimäärä jhetkellä t o V(t) πr h(t), missä r cm o sti pohj säde j h(t) pi korkeus hetkellä t; ik t o ilmistu sekutei. Vettä vluu ulos opeudell V (t), jok o suor verrollie pi korkeude eliöjuuree. Muodost differetiliyhtälö vesimäärä tilvuudelle V(t) j rtkise se. Lske, kuko sti tyhjeemie kestää, ku tiedetää, että vettä oli luksi litr j sekuiss vesimäärä oli vähetyyt puolee. Mtemtiik koe.9. Pitkä oppimäärä Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Rtkise epäyhtälöt ) <, b) ( + ), c) <. Trigoometri. Kolmio sivuje pituudet ovt, j +. Määritä site, että kolmio o suorkulmie. Määritä kolmio ympäri piirrety ympyrä säde. Geometri. Kuutio pieeetää toiseksi kuutioksi site, että se kokoispit-l pieeee 6 %. Kuik mot prosetti tilvuus pieeee? Vektorit. Origost O lkv vektori OP o vektori i + j suutie, j se kärki P o pisteide A (, ) j B (7, ) yhdysjll. Missä suhteess piste P jk j AB?

9 8 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Todeäköisyys. Lite koostuu kolmest toimillisesti riippumttomst kompoetist A, B j C, joide viktumistodeäköisyydet tkuuik ovt p A,, p B,7 j p C,. Lite ei toimi, jos yksiki kompoeteist o villie. Mikä o littee viktumistode äköisyys tkuuik? Luotettvuude prtmiseksi kompoetti C khdeet, ts. lite vrustet khdell rikkisell, toisist riippumttomll kompoetill C, j riittää, että iki toie äistä toimii. Mikä o tällöi viktumistodeäköisyys tkuuik? Fuktio äärirvot 6. Etsi fuktio l( ) määrittelylue j äärirvot. Itegrlilske sovelluksi: tilvuus 7. Lske se kpplee tilvuus, jok sytyy ympyrä + y j suor y muodostm pieemmä segmeti pyörähtäessä -kseli ympäri. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt 8. Olkoo ettu trigoometri kvt si α + cos α, siα siα cosα, cosα cos α si α j tα siα / cosα. Osoit pelkästää äide perusteell oikeiksi seurvt kvt: t t si, cos. + t + t Ilmoit, mitä kv olet missäki lsku viheess käyttäyt. Derivt määritelmä 9. Fuktio f : r r jkso o, toisi soe f( + ) f() kikill reliluvuill. Lisäksi o +, ku <, f ( ), ku. Piirrä fuktio f kuvj. Missä pisteissä f ei ole derivoituv? Piirrä fuktioide g j h kuvjt, ku g() f( + ) j h() f() + f( + ). Missä pisteissä ämä eivät ole derivoituvi? Derivt määritelmä. Määritä fuktio f() / derivtt pisteessä lskemll erotusosmäärä rj-rvo.

10 Ylioppilstehtävät vuositti 9 Syksy Alyysi jtkokurssi. Lske itegrli fd ( ) Lukujoot j srjt. Mikä o srj i, jos ti /,, ku f ( ) /, jos / yleise termi luseke? Tutki suppeeeko srj. Käyrä tgetti j ormli. Mikä käyrä y 7 pisteistä o lähiä suor y? Mikä o kyseie lyhi etäisyys? Piirrä kuvio. Differetiliyhtälöt y. Rtkise differetiliyhtälö y +. Lukuteori. Esitä Fermt piei luse j osoit se vull, että (mod ) kikill luoollisill luvuill. Mtemtiik koe.. Pitkä oppimäärä Murtoyhtälö j -epäyhtälö. ) Sieveä luseke +. + b) Rtkise yhtälöstä. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt. ) Rtkise yhtälöryhmä + y, y. b) Tiedetää, että si j 8 < < 7. Määritä cos j t (trkt rvot). Prosettilskut. Asuirkeuksest sdut vuokrt ovt % pieemmät kui ylläpitokustukset. Kuik mot prosetti vuokri olisi korotettv, jott e tulisivt % suuremmiksi kui ylläpitokustukset, jotk smikisesti kohovt %?

11 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Vektorit. Olkoo OA 7 i + 9 j tso vektori. Määritä kikki selliset vektorit OB, että kulm OAB o suor j vektori AB pituus o puolet vektori OA pituudest. Alyyttie geometri. Määritä prbeli y + b + huippu j tote, että se kertoime b rvost riippumtt sijitsee prbelill y +. Trigoometri 6. Kuvio suorkulmisess kolmioss o toise kteeti projektio hypoteuuslle yhtä pitkä kui toie kteetti: AD BC. Määritä kolmio kulmt stee trkkuudell. C A D B Geometri 7. Luvulle π sd krke likirvo sijoittmll ympyrä sisää ) sääöllie kuusikulmio ti b) sääöllie khdekskulmio j ristmll tämä α) piiri pituus ti β) pit-l ympyrä kehä pituutee ti vstvsti ympyrä l. Lske tällä tvoi eljä eri likirvo luvulle π. A vstukset trkkoi rvoi (trigoometrisi fuktioit käyttämättä) j kolmidesimlisi likirvoi. Määrätty itegrli 8. A esimerkki sellisest jtkuvst fuktiost f : [, ] r, että f s rvo 6 josski pisteessä j fd ( ). Sko ämä ehdot täyttävä fuktio i rvo josski pisteessä?

12 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Todeäköisyyslsket 9. Tikktulu säde o cm, j tulu jkutuu kymmeee smkeskisee reksee, jotk o umeroitu ulko sisääpäi :stä :ee. Gbrieli heittämät tikt osuvt tuluu site, että iide etäisyys r tulu keskipisteestä oudtt todeäköisyysjkum, jok tiheys fuktio o ( r ), ku r fr () 6 muulloi. Tässä r o ilmistu settimetreiä ) Lske todeäköisyys, että Gbrieli heittämä tikk osuu 9: ää ti :ee. b) Lske todeäköisyys, että Gbrieli heittämistä viidestä tikst iki kolme osuu 9:ää ti :ee. Käyrä tgetti j ormli. Neljäe stee polyomill o pikllie mksimi 6, ku. Origoss polyomi s rvo. Polyomi kuvj pisteesee (, ) piirrety tgeti kulmkerroi o. Muodost yhtälöryhmä, jost polyomi kertoimet void rtkist. Rtkise tämä lskit käyttämättä. Mikä o kyseie polyomi? Itegrlilske sovellus. Rsi pohj o suorkulmio, jok sivujepituudet ovt 7 cm j cm. Rsi lidt kllistuvt ulospäi kikki smss kltevuudess site, että litoje yläreut muodostvt suorkulmio, jok sivuje pituudet ovt cm j 9 cm. Rsi korkeus (pystysuor mitttu) o 8 cm. Lske pit-l rsi vksuorlle poikkileikkukselle korkeudell z ( z 8, z settimetreiä). Lske myös rsi tilvuus. Derivt määritelmä. Olkoo fuktio f jtkuv origoss. Määritä erotusosmäärä vull fuktio g() f() derivtt origoss. Voidko tulost sovelt fuktioo f() +?

13 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Lukujoot j srjt. Geometrise srj esimmäie termi o + j toie +. Tutki, millä muuttuj rvoill srj suppeee. Differetiliyhtälöt. Etsi rtkisut differetiliyhtälölle y y + y derivoimll se kerr j rtkisemll tällöi sytyyt uusi differetiliyhtälö. Ovtko tämä rtkisut myös lkuperäise differetiliyhtälö rtkisuj? Piirrä lkuperäise yhtälö rtkisuje kuvji. Numeeriset meetelmät. Määritä fuktio f() si piei positiivie äärirvokoht j vstv äärirvo rtkisemll derivt ollkoht Newtoi meetelmällä. A vstukset viide desimli trkkuudell. Hhmottele kuvj välillä [, π]. Mtemtiik koe.9. Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Rtkise relilukulueell yhtälöt ) ( ) + ( + ), b) + Pitkä oppimäärä, c) 6 6. Trigoometri. Suorkulmise kolmio kteettie pituudet ovt j 6. ) Lske hypoteuus pituus. Ilmoit trkk rvo j kksidesimlie likirvo. b) Määritä kolmio kulmt, stee trkkuudell. c) Määritä kolmio l. Vektorit. Vektorie AB j CD päätepisteet ovt A (, l), B (7, ), C (, ) j D (, ). Lske vektorie välise kulm suuruus, stee trkkuudell. Piirrä kuvio. Fuktio. Millä : rvoill fuktio f() + + s vi egtiivisi rvoj?

14 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Geometri. Puu rugo hlkisij tyvestä mitttu ksv vuode ik kolmsos lkuperäisestä mitst. Sm ik puu korkeus ksv kuudesos lkuperäisestä korkeudest. Kuik mot prosetti ksv puu rugo tilvuus tuo ik? Oletet, että ruko o krtio muotoie. Alyyttie geometri 6. Suor y,, jk ympyrä + y rjoittm luee khtee os. Määritä pieemmä luee l suhde suuremm luee l. Ilmoit trkk rvo j kolmidesimlie likirvo. Piirrä kuvio, ku ) >, b) <. Derivt sovellus 7. Olkoo f ( ) + +. Kumpi o suurempi, f() vi f(b), ku l + l j b l + l? Todeäköisyyslsket 8. Ltikoss o ruske, 6 must j 8 siistä mtkpuhelime kuort. Ltikost otet umpimähkää kksi kuort. Millä todeäköisyydellä kuoret ovt smväriset? Derivt sovellus 9. Lskev suor kulkee pistee (, ) kutt site, että se j koordi ttikselie rjoittm kolmio l o mhdollisimm piei. Määritä suor kulmkerroi j vstv piei l. Lukujoot j srjt. Määritä päättymättömä lukujoo, 7,,, 6,... :s jäse j lukujoo rj-rvo. Mistä luvu rvost lke joo jäsee poikkem tästä rj-rvost o itseisrvolt pieempi kui,? Derivtt, fuktio suuri j piei rvo. Osoit, että yhtälöllä l ei ole relijuuri.

15 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Itegrlilske sovellus: pit-l. Suort y j y sekä hyperbeli y l rjvt kksiosise luee. Lske se l. Ilmoit trkk rvo j kksidesimli- e liki rvo. Numeeriset meetelmät. Trkstell lusekett L ( ) t π ) Lske lusekett muokkmtt sille lskimell likirvo, ku π +,,,,,. b) Määritä lim π/ L() tulkitsemll luseke sopiv fuktio erotusosmääräksi. Mitä void so -kohdss lsketuist likirvoist? Differetiliyhtälöt, lyysi jtko. Määritä iide käyrie yhtälöt, joill o sellie omiisuus, että koordittikselie välii jäävä käyrä tgeti os puolittuu sivumispisteessä. Lukuteori. Etsi jkojääös, ku ) jet luvull, b) 67 jet luvull 6.

16 Vstukset Kevät. ) 9 b) y + y y y + y y + y y y y y + y y y ( y) ( + y)( y). Kolmio sivu Tssivuise kolmio ympäri piirrety ympyrä säde R Tssivuise kolmio sisää piirrety ympyrä säde r 6 Ympyröide loje suhde A A eli % suurempi Vstus: % suurempi ympäri sisää π R r π 6 %. Ploj kpl, jolloi eliö sivu o 9 (mm) j ploje yhteispituus o , 9 Jote ploj o eitää j eliö sivu suuri mhdollie pituus o 9 mm 8 mm Vstus: 8 mm. Pyrkijöide kokoismäärä A Fysiikss epäoistuut epäoistuu myös mtemtiikss B Epäoistuu iki toisess kokeess Epäoistuu vi mtemtiikss ti vi fysiikss ti molemmiss Mt Fys 7

17 6 Vstukset Kevät PA ( ) 9, j 7 7 ( ) + ( 7 ) + PB ( ) Vstus:,9 j,,. ) + y y y 8 eli, jost sd y j sijoitet ylempää y + y, jost sd y j edellee b) Kuvjist ähdää, että fuktio lg kuvj kulkee fuktio kuvj yläpuolell, ku <,9 ti >,9. Hrukoid trkempi kuvjie leikkuspistee -koorditi rvo tutkimll fuktio lg merki vihtumist. lg,89, <,9,7 > eli ollkoht o välillä ],89;,9[,89,86 < eli ollkoht o välillä ],89;,9[ Khde desimli trkkuudell kuvjie leikkuspistee -koorditti o,9 ti,9. J lg(), ku,9 ti,9. Vstus: ) j y b),9 ti,9

18 Vstukset 7 Kevät 6. α + β + γ 8 eli γ 8 (α + β) sijoitet ettuu yhtälöö siα siβ cosγ siα siβ cos(8 (α + β)) siα siβ cos(α + β) käytetää kosii summkv tulukkokirjst siα siβ (cosα cosβ siα siβ) siα siβ siα siβ cosα cosβ cosα cosβ cosα ti cosβ eli α 9 ti β 9, jote kummsski tpuksess kolmio o suorkulmie. 7. Suor vektorimuotoie yhtälö r i + j + 7k + s( i + j + k) Lsket tsolt kolme pistettä j määritetää tso vektorimuotoie yhtälö. Sijoitet tso yhtälöö y, jolloi z j yksi tso piste o A(,, ). Sijoittmll z sd piste B Sijoittmll y z sd piste C(,, ). Muodostet tso virittäjävektorit AB ( ) i + ( ) j + ( ) k j k j AC ( ) i + ( ) j + ( ) k i k, jolloi tso vektorimuotoie yhtälö o r k + t j k u i k ( ) + Suor j tso leikkuspiste o kohdss, joss r r. ( ). r r i + j + 7k + s( i + j + k) k + t ( j k u i k ) + ( ) ( + si ) + ( + sj ) + ( 7 + sk ) ui + t j+ ( t uk ) Vektoreide kompoettiesitykse yksikäsitteisyyde perusteell + s u sijoitet limp yhtälöö + s t 7 + s t u

19 8 Vstukset Kevät + s t 7 + s t ( + s) s t Sijoittmll s suor yhtälöö sd suor j tso leikkuspistee pikkvektori. r i + j + 7k ( i j k i j k + + ) + +, jote leikkuspiste o (, ),. ( ) Vstus: leikkuspiste o,, 8. r h Lieriö korkeus h ( h ) j pohj säde r. Suorkulmisest kolmiost, jok kteetit ovt h j r, sd Pythgor luseell h + r eli r h. Lieriö tilvuus V( h) πr h π h h πh πh V (h) π πh. Derivt ollkohdt π πh,jost h. Tilvuude suuri rvo sd määrittelyväli päätepisteissä (h ti h ) ti välillä olevss derivt ollkohdss h.

20 Vstukset 9 Kevät V( ) π π j V( ) π π j V π π π >, suuri Pohjympyrä säde r Lieriö j pllo tilvuuksie suhde V lieriö V pllo π π Vstus: Lieriö korkeus o j pohjympyrä säde. Lieriö j pllo tilvuuksie suhde o. ( ) ( + ) 9. Kosk f ( ) ( ) ( ) o f() idosti väheevä j f o olemss. y jost y y + j edellee <, ku >, +, y + y j f y y + ( ). y Fuktio f määrittelyjoukko A ], [. + Kosk lim + j lim + lim, o fuktio f kuvjoukko f(a) ], [ j kääteis fuktio f määrittelyjoukko B f(a) ], [. f (( f )) ( ), ku >. Vstus: f y + ( y) j se o määritelty välillä ], [. y

21 Vstukset Kevät. Määritetää sellise lspäi ukev prbeli yhtälö, jok leikk -kseli kohdiss j j jok rj -kseli kss luee, jok pit-l o. Origo kutt kulkev prbeli yhtälö o muoto y + b. Sijoittmll pistee (, ) koorditit prbeli yhtälöö sd + b j edellee b eli prbeli yhtälö o muoto y. Prbeli j -kseli rjoittm luee pit-l ( ) / ( ) 6 Jote hettu fuktio o f() 6 + 6, ku Trkistus f() f() ( 6 + 6) Vstus: f() 6 + 6, ku. Suor o ympyrä tgetti, jos suor etäisyys ympyrä keskipisteestä (, ) o ympyrä sätee suuruie. Suor + y y etäisyys origost. + y d, jote suor o ympyrä + y tgetti. Piste (, y ) o ympyrällä, kosk koorditit toteuttvt ympyrä yhtälö + y. Koorditit toteuttvt myös suor yhtälö, kosk + y y + y y + y j siis piste o myös suorll. Tgetill j ympyrällä ei voi oll kui yksi yhteie piste, jote (, y ) o sivumispiste. Vstus: Sivumispiste o (, y ).

22 Vstukset Kevät. J esimmäie termi j peräkkäiste termie suhde q. Rtkist q yhtälöprist + q + q yhteie tekijä q + q + q + q + q + q + q + q sijoitet lemp + q + q + q ( + q + q ) + q, jo s t q S 9 + q + + q + q 6 + q 7 + q 8 + q 6 ( + q + q ) + ( ) 6 9 Kosk q > ei vstv geometrie srj suppee. Vstus: S 9 9 j vstv srj ei suppee.. A r O r h B h d P Pllokloti korkeus h Kolmiot AOP j BOA ovt yhdemuotoiset (kk, suorkulm j yhteie kulm O), jote sd verrto r r h d + r r r dr dh + r rh h dr d + r Aloje suhde A A klotti pllo πrh πr πr dr d + r d d % d %, π r ( d + r) ( d + r) d + r jote prd (, ) d j lim d lim d + r d d + r d + r d Stelliitist äkyvä mpllo os p( 6 7, ) 6, Vstus: prd (, ) d d + r j lim prd (, ) sekä,6 % d

23 Vstukset Kevät. dy y d dy d y + c y y + c Rtkist c y( ) + c c Jos o y vkiofuktio y Alkurvotehtävä rtkisu y ( ) lim y ( ) lim Vstus: y ( ) j lim y ( ). Lsket pisteet z cos kπ + i si kπ k z cos π i + si π cos si + i z cos π si + i π + i z cos π + isi π cos π si π + i i z cos π si + i π + i z cos π + isi π cosπ + i siπ

24 Vstukset Kevät I m z z z z z R e Lsket edelliste pisteide kuvpisteet kuvuksess f(z) z f( z ) z f( z ) z + i f( z ) z i i + + i i f( z ) z + i + i i f( z ) z ( ) I m f(z ) f(z ) f(z ) f(z ) R e f(z )

25 Vstukset Syksy. ) ( ) ± ( ) ( ) 9, 9 + b) f (), ku c) y Vstus: ) 9, + 9 b). Neljäkkää lävistäjät ovt kohtisuorss toisi vst j puolittvt toises. Jos toise lävistäjä puoliks o, o toise lävistäjä puoliks. Suorkulmisest kolmiost sd + (), jost. Neljäkäs koostuu eljästä yhteevästä suorkulmisest kolmiost, joide yhteie pit-l o A. Vstus: cm. ) f () e + f () e + b) Tgeti kulmkerroi pisteessä (, ) o f () e + Tgeti yhtälö y ( ) eli y c) Tgetti leikk y-kseli pisteessä (, ). Lsket -kseli leikkuspiste sijoittmll y.

26 Vstukset Syksy eli j leikkuspiste o, Pisteide (, ) j, välise j pituus + ( ( )) 6 Vstus: ) f () e + b) y c) 6. Piste P(, y). Sd vektoriyhtälö PA + PB + PC + PD + PE eli ( ) i + ( y) j + ( ) i + ( y) j + ( ) i + ( y) j + ( i ) + ( yj ) + ( i ) + ( yj ) ( ) i + ( y y+ y+ y y) j Vektorie kompoettiesitykse yksikäsitteisyyde perusteell y y + y + y y y y Vstus: Pisteestä,. Pääryämehu määrä P j omemehu määrä O. Sokeripitoisuuksist sd yhtälö, P + 7, O, P + O, P + 7, O, P +, O, P, O P O :( O) P O Vstus: Sekoitussuhde o os pääryämehu j os omemehu.

27 6 Vstukset Syksy 6. Käytetää muuoskv si( y) sicosy cossiy Lsket cos j siy si + cos si cos ± π π cos si y + cos y cos y si y ± π y π si y si( y) sicosy cossiy + + 8, Vstus: + 8, 7. ) Kierross muodostuu 6-skrie tähti, jok skrt ovt lkuperäise kolmio kss yhdemuotoisi tssivuisi kolmioit yhdemuotoisuussuhtee :, jolloi pit-loje suhde o : 9 j kysytty l o A + 9 b) Kierross muodostuu lkuperäie kolmio, jote l o A c) Kierross muodostuu sm kuvio kui )-kohdss eli A

28 Vstukset 7 Syksy 8. ) y 6 b) Lsket todeäköisyydet kolmioide j puolisuuikkide pit-loje vull. P( ) o se kolmio l, jok kt o j korkeus eli P( ) P( < ) muodostuu khdest puolisuuikkst, joist esimmäise yhdesuutiste sivuje pituudet ovt j sekä + korkeus j l. ( ) eli + Toise puolisuuikk l o + P( < ) + 9 P( > ) o se kolmio l, jok kt o j korkeus + eli P( > ) Vstus: b) P( ), P( < ) 9, P( > ) 9. R α α R α Kolmio ympäri piirrety ympyrä säde o kolmio sivuje keskiormlie leikkuspisteessä. Kolmio sivu o kolmio ympäri piirrety ympyrä jäe j sivu vstie kulm α o ympyrä kehäkulm. Kehäkulm α vstv keskuskulm α puoliks o suorkulmise kolmio kulm α j kyseisestä suorkulmisest kolmiost sd siα R, jost R siα.

29 8 Vstukset Syksy. y f() l 6 6 l y, ku y l y l y, ku < y < Nyt y, ku ti < <, ku < < ti < < Jote l, ku l, ku < < l l, ku < < l, ku Poistet vielä sisimmät itseisrvomerkit huomioimll, että, ku ( ) +, ku < l( + ), ku l( + ), ku < < l l( ), ku < < l( ), ku Fuktio kulku Dl( + ), D( l( + )), + + D( l( )), Dl( ) f () f() + + f ( ) < f > f < f ( ) >

30 Vstukset 9 Syksy Fuktio s vi ei-egtiivisi rvoj, jote se piei rvo o oll, jok se s kohdiss j. Vstus: Fuktio ksv väleillä < < j > j väheee väleillä < j < <. Fuktio s pieimmä rvos kohdiss j j fuktio luseke o l( + ), ku l( + ), ku < < l l( ), ku < < l( ), ku k. f( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) k f () ( ) + ( ) + ( ) ( ) Derivt ollkoht ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) : : Fuktio f kuvj k k k k k + k k k k k k f ( ) ( ) ( + ) Hvit, että fuktio o toise stee polyomifuktio j se kuvj o ylöspäi ukev prbeli. Fuktio io äärirvokoht o miimikoht, jote se s pieimmä rvos kohdss k k Piei rvo f k. k k k k f ( ) + k k k k k k k k k + k k k k k k k k + k k Vstus: Piei rvo o k k k k

31 Vstukset Syksy. ) Lsket esimmäise säästövuode ik tilille kertyyt summ. Esimmäie euro tlletus ksv korko kuukutt, toie kuukutt j ii edellee. Alle vuode tlletuksest stu korkotulo r o r kit i, %,, k, t,,, kk,, Koko vuode tlletuksist kertyyt korko r, +, +, + +, + S,, ( ),,, + 9, Tlletettu pääom vuode lopuss koro lisäykse jälkee k + 9, 9, Vuosittisi tlletuksi o 8. Korkotekijä q, Pääom tlletusj lopuss Tlletus. vuode lopuss 9, 9,, 7 Tlletus. vuode lopuss 9, 9,, 6 Tlletus. vuode lopuss 9,. 9,, Tlletus 7. vuode lopuss 9, 9,, Tlletus 8. vuode lopuss 9, 9, Tlletukset yhteesä 9,, + 9,, + 9,, + S ,, + 9, 9,,, 9 7, 8 S q, 9 q,, q,, 8

32 Vstukset Syksy b) q S, 9,, q,, S q 9,,,,, lg lg, lg, : lg, > lg 8, lg,, 8... Eli pitäisi tllett vähitää vuott. Vstus: ) Tilillä o rh 9 7,, b) pitäisi tllett vähitää vuott.. Tilvuus V π (l ) d Osittisitegroiti b b e f gd / fg g fd f( ), g( ) (l ) e e e b (l ) d / (l ) l d e e /( l ) e ( e e ( )) e e Tilvuus V π (l ) d π( e ) Vstus: π(e ). G( ) ftdt ( ) / Ft ( ) ( F ( ) F ( )) F ( ) F( ) G ( ) + + F ( ) F '( ) ( F( ) ) F ( ) + f ( ) + F( ) F ( ) + F( ) + f ( ) F ( ) ( F ( ) + f ( ) G ( ) + f ( )

33 Vstukset Syksy Jos f o ksvv, o f() f(t), kikill t Jos f() f(t), ii fdt ( ) ftdt ( ) /( f ( ) t) ftdt () f( ) f( t) dt : ( > ) f ( ) ftdt ( ) G ( ) Kosk G() f (), o G () + > G ( ) f ( ), jote myös G() o ksvv. Vstus: G () + G ( ) f( ). ) y() si + cos, jote y () cos si, sijoitet differetiliyhtälöö y + si cos si + si cos + si y() eli toteutt yhtälö. Trkistet toteutuuko lkuehto y(), sijoitet y() si + cos eli toteutuu b) Alkurvoprobleem y f(, y), y( ) y Euleri meetelmä itertiokv o y i + y i + hf( i, y i ) j i + i + h, missä i,,, Muokt lkuperäistä yhtälöä y + si y y y si Sovellet Euleri meetelmää y i + y i + hf( i, y i ) h,, f( i, y i ) y i si i y i + y i +, (y i si i ),y i si i Alkuehdo muk j y i y( i ) y i y i y( i ),,7,,,88,776,888,,68,8,76,9,7,9

34 Vstukset Kevät. ) f() f( ) ( ) + ( ) b) g() + + g c) f ( ) g ( ) ± ( ) ± + Vstus: ) f( ) b) g 8 c) ti. +. ( + ) d + / ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) Vstus:

35 Vstukset Kevät. Tulot Vuokrmeot luss, Vuokrmeoje ousu % Prosettikerroi % + % %, Vuokrmeot korotukse jälkee,,,87 Muu käyttö luss,,7 Muu käyttö korotukse jälkee,87,7 Muu käytö muutos, 7 9, 7, Käytö pieeys % 9 % % Vstus: Muuhu käyttöö riitti rh % vähemmä kui ee.. Suuikk lävistäjät puolittvt toises, jote AQ AB b ( ). P OQ OP + + (, ), ( b ) i + j, b i + j i j + i + j + i + j ( i + j) i + 7 j y Pistee Q koorditit ovt, B b Q A P(, ) Vektori PQ i j i + 9 j Vstus: PQ i + 9 j, Q, 7

36 Vstukset Kevät. Fuktio f() kuvjlle y piirrety tgeti kulmkerroi k kohdss o yhtä suuri kui fuktio derivt rvo kyseisessä pisteessä. f() f () Toislt suor kulmkerroi k sd suor suutkulm α vull k tα t Het e kohdt, joiss fuktio derivtt s rvo f ( ) f ( ) : Pistee y-koorditti f ( ) f Vstus: Piste, 6. Muodostet yhtälöpri t, t + +, Rtkist ylemmästä yhtälöstä j sijoitet lemp t, t,

37 6 Vstukset Kevät t t t + + t, ( + ) t, t t, + t, (t t, ) t, :(t t, ) t, t t, Msto korkeus + + t, t t, 9, Vstus: Msto korkeus o 9, m 7. O lskettv kteettie suhde b Kolmio hypoteuus c AD 7 c 7, c DB c, c B () β D h α C b (7) α A Kosk α + β 9, ii BCD 9 β α Tällöi kolmiot ABC, ADC j CDB ovt yhdemuotoisi (kk) kikiss terävä kulm α kikiss suor kulm Yhdemuotoiste kolmioide vstisivuje suhde o vkio. Kolmioist ADC j CDB sd h, c 7, c h h, c, h >, c > h, c Kolmioist ABC j CDB sd, c h, c b h, c 9, 9 b, c, 7 Vstus: Kteettie suhde o : 7.

38 Vstukset 7 Kevät 8. ) Muutet eliöö täydetämällä ympyrä yhtälö keskipistemuotoo ( ) + (y y ) r. ( + y y y y + () + + () ( ) + (y ) + Yhtälö esittää ympyrää, jos r + > Rtkist epäyhtälö + > Nollkohdt + ± ( ) ( ) ± Merkkikvio > < < + b) Ympyrä pit-l A πr o suuri, ku sätee eliö r o mhdollisimm suuri. Het sätee eliö r + suuri rvo, ku < < +. Merkitää r f() + Fuktio f() kuvj o lspäi ukev prbeli. Se svutt suurimm rvos huipuss. Prbeli huipuss fuktio derivtt o oll.

39 8 Vstukset Kevät Derivoid fuktio f() + f () Derivt ollkoht f () Kosk derivt ollkoht kuuluu välille < < +, ii sätee eliö o suurimmill tässä kohdss. Suuri mhdollie pit-l A πr r f( ) ( ) ( ) + A π π Vstus: ) Yhtälö esittää ympyrää, ku < < +. b) Ympyrä suuri l o π. 9. Todeäköisyys, että rp yksi voitt p, ei voit q p,,9 Arpoj ostet (kpl), r Tpus A Aiki yksi rp :stä voitt. Tpukse A komplemetti A Ei yhtää voitto :stä rvst. P( A) >, P( A) P( A) P( A) >, P( A) <, P( A) q 9, 9, <, lg(), lg idosti ksvv, säilyttää järjestykse lg 9, < lg, potessi logritmi lg 9, < lg, :lg 9, <, järjestys käätyy lg, > lg 9, >, r Vstus: Arpoj o ostettv iki kpplett.

40 Vstukset 9 Kevät itegrli-. Fuktio f : ], [ r o se fuktio f ( ) + fuktio, mikä sivu suor y. Het kikki itegrlifuktiot f : ], [ r f( ) f ( ) d + d + l + C l l( ), kosk < + l( ) + C Fuktio sivu suor y, jote fuktio derivt rvo o sivumispisteessä sm kui suor kulmkerroi k. Het e kohdt, joiss derivtt s rvo oll. f ( ) f ( ) + + Fuktio rvo kohdss o, kosk fuktio sivu suor. Rtkist C f ( ) + l + C f( ) + l + C l C Kysytty fuktio f() + l( ) + Vstus: f() + l( ) +. Merkitää g() e, ku g() e e l e Kosk e o idosti ksvv, ii g(), ku l Merkitää f() l ( ) l +, ku Osoitet, että fuktio o ei-egtiivie i, ku. Het fuktio piei rvo, ku.

41 Vstukset Kevät Derivtt f( ) l + f ( ) l + l f () l, ku j yhtäsuuruus o voimss vi, ku. Näi olle fuktio f() o idosti ksvv j svutt pieimmä rvos väli lkupisteessä. Piei rvo f() l + f() l + Tällöi f() i, ku eli l +, ku. Jote g() e i, ku. Yhtäsuuruus g() o voimss, ku : e.. Fuktio f : r r f(), π < ( + )π, z Kosk kyseessä o ploitti määritelty fuktio, pitää myös itegrli rvo määrittää smoiss ploiss. kπ π Ik ( ) f ( )si d f ( )si d+ f ( )si d kπ ( k ) π f ( )sid k ( + ) π f ( )sid k π ( + ) π π k k ( + ) π π si d / cos d [ (cos( + ) π cos π] k + { [( ) ( ) ]} k [ ( ) ( )] k ( ) + π π cos π ( ), cos( + ) π ( ) +

42 Vstukset Kevät Kyseessä o geometrie srj, jok esimmäie termi o j suhdeluku q. Srj summ k q S q k ( ) ( ) k Rj-rvo k lim I( k) lim k k ( ) k, ku k k Vstus: Itegrli Ik ( ) j rj-rvo lim Ik ( ) k.. ) Oletus: Luku m o luvu tekijä j luku o luvu m tekijä j m, r Väite: m ± Todistus: Oletuksest seur, että km, k r j m s, s r Tällöi m s m skm m skm m( sk) km Jos m, ii km, jolloi väite o tosi. Jos m, sk, tällöi sk. Lukuje tulo olless luvut ovt toistes kääteislukuj. Kosk luvut s j k ovt kokoislukuj, ii joko s j k, ti s j k. Näi olle m ±. b) Oletus: Luku m o luvu tekijä j luku o luvu p tekijä j m,, p r Väite: Luku m o luvu p tekijä Todistus: Oletuksest seur, että km, k r j p s, s r Tällöi p s p skm km

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot