Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava"

Transkriptio

1 Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv

2 Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri piirretää ympyrä, jok kulkee kolmio kärkipisteide kutt. Kolmio sisää setet toie ympyrä site, että se sivu kolmio sivuj. Kuik mot prosetti edellise ympyrä l o suurempi kui jälkimmäise ympyrä l? Geometri. Lud leveys o 9 mm j pituus,6 m. Siitä sht smpituisi ploj, jotk setet rikki site, että muodostuu eliö muotoie levy. Mite pitkä voi eliö sivu eitää oll? Todeäköisyyslsket. Tilstoje muk eräässä pääsykuulusteluss % pyrkijöistä epäoistuu mtemtiik j 7 % fysiik kokeess. Pyrkijöistä % epäoistuu kummsski kokeess. Lske todeäköisyys, että fysiik kokeess epäoistuut pyrkijä epäoistuu myös mtemtiik kokeess. Millä todeäköisyydellä pyrkijä epäoistuu iki toisess kokeess? Ekspoetti j logritmi + y. ) Rtkise yhtälöryhmä y 8. b) Piirrä fuktioide lg j / kuvjt sm kuvioo j rtkise tämä perusteell epäyhtälö lg. Etsi vstus khde desimli trkkuudell. (lg log ) Trigoometri 6. Kolmio kulmille α, β j γ pätee siαsiβ cosγ. Osoit, että kolmio o suorkulmie. Vektorit 7. Suor o vektori i + j + k suutie j kulkee pistee (,, 7) kutt. Määritä se j tso + y + z leikkuspiste.

3 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Slliset äärirvosovellukset 8. Yksikkösäteise pllo sisällä o tilvuudelt mhdollisimm suuri suor ympyräpohjie lieriö. Määritä lieriö korkeus j pohjympyrä säde. Lske lieriö j pllo tilvuuksie suhde. Derivt sovellus 9. Määritä fuktio f ( ) +, >, kääteisfuktio f. Millä välillä tämä o määritelty? Osoit lskemll, että f ( f( ), ku >. Määrätty itegrli. A esimerkki jtkuvst fuktiost f : [,] r, joll o omiisuudet f() f() j fd ( ). Alyyttie geometri/käyrät. Olkoo + y. Osoit, että + y y o ympyrä + y tgetti. Mitkä ovt sivumispistee koorditit? Lukujoot j srjt. Geometrise joo kolme esimmäise termi summ o j kuude esimmäise termi summ. Lske yhdeksä esimmäise termi summ. Suppeeeko vstv geometrie srj? Rj-rvo j jtkuvuus. Piste o r-säteise pllo ulkopuolell etäisyydellä d pllo pist. Kuik mot prosetti p p(r, d) pllo pist äkyy pisteestä? Määritä lim d p(r, d). Kuik suuri os mpllo pist äkyy kilometri korkeudell olevst stelliitist? Mpllo säde o 6 7 km. Differetiliyhtälöt, lyysi jtko. Määritä lkurvotehtävä y y, y() ( r) rtkisu y (). Lske lim y (). Kompleksiluvut. Piirrä kompleksitsoo pisteet z cos kπ i k k ( ) ( ) + si π, ku k,,,,. Lske äide pisteide kuvpisteet, ku e kuvt fuktioill f : c c, f(z) z (c kompleksitso). Piirrä toie kuv kompleksitsost j sijoit siihe kuvpisteet.

4 Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe.9. Pitkä oppimäärä Derivtt. Olkoo f(). ) Rtkise yhtälö f(). b) Millä : rvoill o f ()? c) Piirrä derivttfuktio f kuvj. Geometri. Neljäkkää sivu o ts cm, j lävistäjie pituuksie suhde o :. Lske eljäkkää l. Käyrä tgetti j ormli. ) Derivoi fuktio f() e +. b) Määritä käyrä y e + pisteesee (, ) piirrety tgeti yhtälö. c) Määritä se j pituus, jok koordittikselit erottvt edellise kohd tgetist. Vektorit. Mistä y-tso pisteestä pisteisii A (, ), B (, ), C (, ), D (, ) j E (, ) piirrettyje vektoreide summ o ollvektori? Prosettilsku. Pääryämehust j omemehust tehdy sekmehu sokeripitoisuus o %. Määritä mehuje sekoitussuhde, ku pääryämehu sokeripitoisuus o % j omemehu 7 %. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt 6. Määritä si( y), ku si, π / π /, j cos y, π y π. Trkk rvo j kksidesimlie likirvo. Geometri 7. Tssivuie kolmio T kiertyy tsoss keskipisteesä ympäri kulm α verr, jolloi se muuttuu kolmioksi T α. Lske se luee l, jok kolmiot T j T α yhteesä peittävät (ts. uioi T T α peittää), ku kolmio sivu o j kulm α o ) 6, b), c) 8. Piirrä kuviot.

5 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Todeäköisyyslsket 8. Erää stuismuuttuj tiheysfuktio o, ku <,, ku <, f ( ) +, ku <,, ku. ) Piirrä tiheysfuktio kuvj. b) Lske todeäköisyydet P( ), P( < ) j P( > ). Trigoometri 9. Osoit, että kolmio ympäri piirrety ympyrä säde o R, siα missä o kolmio mielivltie sivu j α se vstie kulm. Fuktio äärirvot. Piirrä fuktio f() l kuvj. Millä väleillä fuktio ksv j millä se väheee? Esitä fuktio kullki välillä site, että lusekkeiss ei esiiy itseisrvoj. Millä : rvoill fuktio s pieimmä rvos? Lukujoot j srjt k k. Osoit, että luseke ( ), missä k :t ovt ettuj relilukuj, s pieimmä rvos, ku k k. Lusu tämä piei rvo lukuje k vull mhdollisimm yksikertisess muodoss. Tlousmtemtiikk. Isä tllett poiks tilille jok kuukude luss vuodevihteess tphtueest sytymästä lke. Tilille mkset, % vuotuist korko, jok liitetää pääom i vuode lopuss. ) Kuik pljo rh tilillä o, ku poik täyttää 8 vuott? b) Kuik ku isä olisi tlletettv, jott tilillä olisi rh kksiot vrte, ku kksio hiksi oletet? Itegrlilske sovellus. Käyrä y l välillä e olev os pyörähtää -kseli ympäri. Määritä muodostuee kpplee tilvuus.

6 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Määrätty itegrli. Jtkuv fuktio f : [, [ r keskirvo välillä [, ] ( > ) määritellää seurvsti: G( ) ftdt ( ). Määritä keskirvofuktio derivtt G () j lusu se fuktiorvoje f() j G() vull. Osoit, että G() f(), jos f o ksvv. Osoit edellee, että tällöi myös G o ksvv. Numeeriset meetelmät. ) Tote, että differetiliyhtälö y + si y rtkisu lkuehdoll y() o y() si + cos. b) Määritä Euleri mee - telmällä kyseise rtkisu likirvot y i ( y( i )) välillä [, ] skelpituudell h, sekä ldi tulukko, joss esiityvät i, y( i ), y i j virhe y i y( i ). Mtemtiik koe 9.. Pitkä oppimäärä Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Olkoo f() j g() + +. ) Lske f( ). b) Lske g( ). c) Rtkise yhtälö f() g(). Määrätty itegrli +. Määritä site, että ( + ) d. Prosettilskut. Perhee vuokrmeot olivt % tuloist. Vuokrmeot ousivt %. Motko prosetti vähemmä rh riitti muuhu käyttöö korotukse jälkee? Vektorit. Pisteestä P (, ) lähtevät vektorit i + j j b i + j ovt suuikk sivui. Suuikk lävistä jie leikkuspiste olkoo Q. Määritä vektori PQ sekä pistee Q koorditit. Käyrä tgetti j ormli. Määritä se prbeli y piste, joss prbeli tgeti suutkulm o +.

7 6 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Trigoometri 6. Tlost metri korkeudelt ktsottess likkimsto huippu äkyy stee korkeuskulmss j metriä korkemmlt ktsottess, stee korkeuskulmss vktsoo ähde. Msto perust o metriä korkemmll kui tlo perust. Määritä msto korkeus, metri trkkuudell. Geometri 7. Suorkulmise kolmio hypoteuuslle piirretty korkeusj jk hypoteuus suhteess :7. Määritä kteettie pituuksie suhde. Geometri 8. ) Millä prmetri rvoill yhtälö + y y + + esittää ympyrää? b) Mikä o tällöi ympyrä l suuri mhdollie rvo? Todeäköisyyslsket 9. Leirikoulu hyväksi järjestetyissä rpjisiss ilmoitettii, että jok :s rp voitt. Kuik mot rp o ostettv, jott todeäköisyys iki yhtee voittoo olisi yli %? Itegrlifuktio. Muodost fuktio f : ], [ r, jok kuvj sivu suor y j jok derivtt o f () +. Fuktio äärirvot. Olkoo. Osoit, että e. Millä : rvoill pätee yhtäsuuruus? Määrätty itegrli. Fuktio f : r r määritellää seurvsti: f(), ku π < ( + )π, z. Lske itegrli kπ Ik ( ) f ( )sid, ku k,,,. Määritä tämä jälkee rj-rvo lim k I(k). Lukuteori. Kokoisluku m o kokoisluvu tekijä, jos o olemss kokoisluku k site, että km. Osoit: ) Jos m o : tekijä j o m: tekijä, ii m ±. b) Jos m o : tekijä j o p: tekijä, ii m o p: tekijä.

8 Ylioppilstehtävät vuositti 7 Kevät Lukujoot j srjt. A esimerkki sellisest suppeevst lukujoost,,,, että vstv srj j vstv srj supet? hjtuu. Voiko lukujoo hjtu Differetiliyhtälöt. Suor ympyrälieriö muotoise sti pohjss o reikä, jost stis s olev vesi vluu ulos. Astiss olev vesimäärä jhetkellä t o V(t) πr h(t), missä r cm o sti pohj säde j h(t) pi korkeus hetkellä t; ik t o ilmistu sekutei. Vettä vluu ulos opeudell V (t), jok o suor verrollie pi korkeude eliöjuuree. Muodost differetiliyhtälö vesimäärä tilvuudelle V(t) j rtkise se. Lske, kuko sti tyhjeemie kestää, ku tiedetää, että vettä oli luksi litr j sekuiss vesimäärä oli vähetyyt puolee. Mtemtiik koe.9. Pitkä oppimäärä Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Rtkise epäyhtälöt ) <, b) ( + ), c) <. Trigoometri. Kolmio sivuje pituudet ovt, j +. Määritä site, että kolmio o suorkulmie. Määritä kolmio ympäri piirrety ympyrä säde. Geometri. Kuutio pieeetää toiseksi kuutioksi site, että se kokoispit-l pieeee 6 %. Kuik mot prosetti tilvuus pieeee? Vektorit. Origost O lkv vektori OP o vektori i + j suutie, j se kärki P o pisteide A (, ) j B (7, ) yhdysjll. Missä suhteess piste P jk j AB?

9 8 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Todeäköisyys. Lite koostuu kolmest toimillisesti riippumttomst kompoetist A, B j C, joide viktumistodeäköisyydet tkuuik ovt p A,, p B,7 j p C,. Lite ei toimi, jos yksiki kompoeteist o villie. Mikä o littee viktumistode äköisyys tkuuik? Luotettvuude prtmiseksi kompoetti C khdeet, ts. lite vrustet khdell rikkisell, toisist riippumttomll kompoetill C, j riittää, että iki toie äistä toimii. Mikä o tällöi viktumistodeäköisyys tkuuik? Fuktio äärirvot 6. Etsi fuktio l( ) määrittelylue j äärirvot. Itegrlilske sovelluksi: tilvuus 7. Lske se kpplee tilvuus, jok sytyy ympyrä + y j suor y muodostm pieemmä segmeti pyörähtäessä -kseli ympäri. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt 8. Olkoo ettu trigoometri kvt si α + cos α, siα siα cosα, cosα cos α si α j tα siα / cosα. Osoit pelkästää äide perusteell oikeiksi seurvt kvt: t t si, cos. + t + t Ilmoit, mitä kv olet missäki lsku viheess käyttäyt. Derivt määritelmä 9. Fuktio f : r r jkso o, toisi soe f( + ) f() kikill reliluvuill. Lisäksi o +, ku <, f ( ), ku. Piirrä fuktio f kuvj. Missä pisteissä f ei ole derivoituv? Piirrä fuktioide g j h kuvjt, ku g() f( + ) j h() f() + f( + ). Missä pisteissä ämä eivät ole derivoituvi? Derivt määritelmä. Määritä fuktio f() / derivtt pisteessä lskemll erotusosmäärä rj-rvo.

10 Ylioppilstehtävät vuositti 9 Syksy Alyysi jtkokurssi. Lske itegrli fd ( ) Lukujoot j srjt. Mikä o srj i, jos ti /,, ku f ( ) /, jos / yleise termi luseke? Tutki suppeeeko srj. Käyrä tgetti j ormli. Mikä käyrä y 7 pisteistä o lähiä suor y? Mikä o kyseie lyhi etäisyys? Piirrä kuvio. Differetiliyhtälöt y. Rtkise differetiliyhtälö y +. Lukuteori. Esitä Fermt piei luse j osoit se vull, että (mod ) kikill luoollisill luvuill. Mtemtiik koe.. Pitkä oppimäärä Murtoyhtälö j -epäyhtälö. ) Sieveä luseke +. + b) Rtkise yhtälöstä. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt. ) Rtkise yhtälöryhmä + y, y. b) Tiedetää, että si j 8 < < 7. Määritä cos j t (trkt rvot). Prosettilskut. Asuirkeuksest sdut vuokrt ovt % pieemmät kui ylläpitokustukset. Kuik mot prosetti vuokri olisi korotettv, jott e tulisivt % suuremmiksi kui ylläpitokustukset, jotk smikisesti kohovt %?

11 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Vektorit. Olkoo OA 7 i + 9 j tso vektori. Määritä kikki selliset vektorit OB, että kulm OAB o suor j vektori AB pituus o puolet vektori OA pituudest. Alyyttie geometri. Määritä prbeli y + b + huippu j tote, että se kertoime b rvost riippumtt sijitsee prbelill y +. Trigoometri 6. Kuvio suorkulmisess kolmioss o toise kteeti projektio hypoteuuslle yhtä pitkä kui toie kteetti: AD BC. Määritä kolmio kulmt stee trkkuudell. C A D B Geometri 7. Luvulle π sd krke likirvo sijoittmll ympyrä sisää ) sääöllie kuusikulmio ti b) sääöllie khdekskulmio j ristmll tämä α) piiri pituus ti β) pit-l ympyrä kehä pituutee ti vstvsti ympyrä l. Lske tällä tvoi eljä eri likirvo luvulle π. A vstukset trkkoi rvoi (trigoometrisi fuktioit käyttämättä) j kolmidesimlisi likirvoi. Määrätty itegrli 8. A esimerkki sellisest jtkuvst fuktiost f : [, ] r, että f s rvo 6 josski pisteessä j fd ( ). Sko ämä ehdot täyttävä fuktio i rvo josski pisteessä?

12 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Todeäköisyyslsket 9. Tikktulu säde o cm, j tulu jkutuu kymmeee smkeskisee reksee, jotk o umeroitu ulko sisääpäi :stä :ee. Gbrieli heittämät tikt osuvt tuluu site, että iide etäisyys r tulu keskipisteestä oudtt todeäköisyysjkum, jok tiheys fuktio o ( r ), ku r fr () 6 muulloi. Tässä r o ilmistu settimetreiä ) Lske todeäköisyys, että Gbrieli heittämä tikk osuu 9: ää ti :ee. b) Lske todeäköisyys, että Gbrieli heittämistä viidestä tikst iki kolme osuu 9:ää ti :ee. Käyrä tgetti j ormli. Neljäe stee polyomill o pikllie mksimi 6, ku. Origoss polyomi s rvo. Polyomi kuvj pisteesee (, ) piirrety tgeti kulmkerroi o. Muodost yhtälöryhmä, jost polyomi kertoimet void rtkist. Rtkise tämä lskit käyttämättä. Mikä o kyseie polyomi? Itegrlilske sovellus. Rsi pohj o suorkulmio, jok sivujepituudet ovt 7 cm j cm. Rsi lidt kllistuvt ulospäi kikki smss kltevuudess site, että litoje yläreut muodostvt suorkulmio, jok sivuje pituudet ovt cm j 9 cm. Rsi korkeus (pystysuor mitttu) o 8 cm. Lske pit-l rsi vksuorlle poikkileikkukselle korkeudell z ( z 8, z settimetreiä). Lske myös rsi tilvuus. Derivt määritelmä. Olkoo fuktio f jtkuv origoss. Määritä erotusosmäärä vull fuktio g() f() derivtt origoss. Voidko tulost sovelt fuktioo f() +?

13 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Lukujoot j srjt. Geometrise srj esimmäie termi o + j toie +. Tutki, millä muuttuj rvoill srj suppeee. Differetiliyhtälöt. Etsi rtkisut differetiliyhtälölle y y + y derivoimll se kerr j rtkisemll tällöi sytyyt uusi differetiliyhtälö. Ovtko tämä rtkisut myös lkuperäise differetiliyhtälö rtkisuj? Piirrä lkuperäise yhtälö rtkisuje kuvji. Numeeriset meetelmät. Määritä fuktio f() si piei positiivie äärirvokoht j vstv äärirvo rtkisemll derivt ollkoht Newtoi meetelmällä. A vstukset viide desimli trkkuudell. Hhmottele kuvj välillä [, π]. Mtemtiik koe.9. Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Rtkise relilukulueell yhtälöt ) ( ) + ( + ), b) + Pitkä oppimäärä, c) 6 6. Trigoometri. Suorkulmise kolmio kteettie pituudet ovt j 6. ) Lske hypoteuus pituus. Ilmoit trkk rvo j kksidesimlie likirvo. b) Määritä kolmio kulmt, stee trkkuudell. c) Määritä kolmio l. Vektorit. Vektorie AB j CD päätepisteet ovt A (, l), B (7, ), C (, ) j D (, ). Lske vektorie välise kulm suuruus, stee trkkuudell. Piirrä kuvio. Fuktio. Millä : rvoill fuktio f() + + s vi egtiivisi rvoj?

14 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Geometri. Puu rugo hlkisij tyvestä mitttu ksv vuode ik kolmsos lkuperäisestä mitst. Sm ik puu korkeus ksv kuudesos lkuperäisestä korkeudest. Kuik mot prosetti ksv puu rugo tilvuus tuo ik? Oletet, että ruko o krtio muotoie. Alyyttie geometri 6. Suor y,, jk ympyrä + y rjoittm luee khtee os. Määritä pieemmä luee l suhde suuremm luee l. Ilmoit trkk rvo j kolmidesimlie likirvo. Piirrä kuvio, ku ) >, b) <. Derivt sovellus 7. Olkoo f ( ) + +. Kumpi o suurempi, f() vi f(b), ku l + l j b l + l? Todeäköisyyslsket 8. Ltikoss o ruske, 6 must j 8 siistä mtkpuhelime kuort. Ltikost otet umpimähkää kksi kuort. Millä todeäköisyydellä kuoret ovt smväriset? Derivt sovellus 9. Lskev suor kulkee pistee (, ) kutt site, että se j koordi ttikselie rjoittm kolmio l o mhdollisimm piei. Määritä suor kulmkerroi j vstv piei l. Lukujoot j srjt. Määritä päättymättömä lukujoo, 7,,, 6,... :s jäse j lukujoo rj-rvo. Mistä luvu rvost lke joo jäsee poikkem tästä rj-rvost o itseisrvolt pieempi kui,? Derivtt, fuktio suuri j piei rvo. Osoit, että yhtälöllä l ei ole relijuuri.

15 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Itegrlilske sovellus: pit-l. Suort y j y sekä hyperbeli y l rjvt kksiosise luee. Lske se l. Ilmoit trkk rvo j kksidesimli- e liki rvo. Numeeriset meetelmät. Trkstell lusekett L ( ) t π ) Lske lusekett muokkmtt sille lskimell likirvo, ku π +,,,,,. b) Määritä lim π/ L() tulkitsemll luseke sopiv fuktio erotusosmääräksi. Mitä void so -kohdss lsketuist likirvoist? Differetiliyhtälöt, lyysi jtko. Määritä iide käyrie yhtälöt, joill o sellie omiisuus, että koordittikselie välii jäävä käyrä tgeti os puolittuu sivumispisteessä. Lukuteori. Etsi jkojääös, ku ) jet luvull, b) 67 jet luvull 6.

16 Vstukset Kevät. ) 9 b) y + y y y + y y + y y y y y + y y y ( y) ( + y)( y). Kolmio sivu Tssivuise kolmio ympäri piirrety ympyrä säde R Tssivuise kolmio sisää piirrety ympyrä säde r 6 Ympyröide loje suhde A A eli % suurempi Vstus: % suurempi ympäri sisää π R r π 6 %. Ploj kpl, jolloi eliö sivu o 9 (mm) j ploje yhteispituus o , 9 Jote ploj o eitää j eliö sivu suuri mhdollie pituus o 9 mm 8 mm Vstus: 8 mm. Pyrkijöide kokoismäärä A Fysiikss epäoistuut epäoistuu myös mtemtiikss B Epäoistuu iki toisess kokeess Epäoistuu vi mtemtiikss ti vi fysiikss ti molemmiss Mt Fys 7

17 6 Vstukset Kevät PA ( ) 9, j 7 7 ( ) + ( 7 ) + PB ( ) Vstus:,9 j,,. ) + y y y 8 eli, jost sd y j sijoitet ylempää y + y, jost sd y j edellee b) Kuvjist ähdää, että fuktio lg kuvj kulkee fuktio kuvj yläpuolell, ku <,9 ti >,9. Hrukoid trkempi kuvjie leikkuspistee -koorditi rvo tutkimll fuktio lg merki vihtumist. lg,89, <,9,7 > eli ollkoht o välillä ],89;,9[,89,86 < eli ollkoht o välillä ],89;,9[ Khde desimli trkkuudell kuvjie leikkuspistee -koorditti o,9 ti,9. J lg(), ku,9 ti,9. Vstus: ) j y b),9 ti,9

18 Vstukset 7 Kevät 6. α + β + γ 8 eli γ 8 (α + β) sijoitet ettuu yhtälöö siα siβ cosγ siα siβ cos(8 (α + β)) siα siβ cos(α + β) käytetää kosii summkv tulukkokirjst siα siβ (cosα cosβ siα siβ) siα siβ siα siβ cosα cosβ cosα cosβ cosα ti cosβ eli α 9 ti β 9, jote kummsski tpuksess kolmio o suorkulmie. 7. Suor vektorimuotoie yhtälö r i + j + 7k + s( i + j + k) Lsket tsolt kolme pistettä j määritetää tso vektorimuotoie yhtälö. Sijoitet tso yhtälöö y, jolloi z j yksi tso piste o A(,, ). Sijoittmll z sd piste B Sijoittmll y z sd piste C(,, ). Muodostet tso virittäjävektorit AB ( ) i + ( ) j + ( ) k j k j AC ( ) i + ( ) j + ( ) k i k, jolloi tso vektorimuotoie yhtälö o r k + t j k u i k ( ) + Suor j tso leikkuspiste o kohdss, joss r r. ( ). r r i + j + 7k + s( i + j + k) k + t ( j k u i k ) + ( ) ( + si ) + ( + sj ) + ( 7 + sk ) ui + t j+ ( t uk ) Vektoreide kompoettiesitykse yksikäsitteisyyde perusteell + s u sijoitet limp yhtälöö + s t 7 + s t u

19 8 Vstukset Kevät + s t 7 + s t ( + s) s t Sijoittmll s suor yhtälöö sd suor j tso leikkuspistee pikkvektori. r i + j + 7k ( i j k i j k + + ) + +, jote leikkuspiste o (, ),. ( ) Vstus: leikkuspiste o,, 8. r h Lieriö korkeus h ( h ) j pohj säde r. Suorkulmisest kolmiost, jok kteetit ovt h j r, sd Pythgor luseell h + r eli r h. Lieriö tilvuus V( h) πr h π h h πh πh V (h) π πh. Derivt ollkohdt π πh,jost h. Tilvuude suuri rvo sd määrittelyväli päätepisteissä (h ti h ) ti välillä olevss derivt ollkohdss h.

20 Vstukset 9 Kevät V( ) π π j V( ) π π j V π π π >, suuri Pohjympyrä säde r Lieriö j pllo tilvuuksie suhde V lieriö V pllo π π Vstus: Lieriö korkeus o j pohjympyrä säde. Lieriö j pllo tilvuuksie suhde o. ( ) ( + ) 9. Kosk f ( ) ( ) ( ) o f() idosti väheevä j f o olemss. y jost y y + j edellee <, ku >, +, y + y j f y y + ( ). y Fuktio f määrittelyjoukko A ], [. + Kosk lim + j lim + lim, o fuktio f kuvjoukko f(a) ], [ j kääteis fuktio f määrittelyjoukko B f(a) ], [. f (( f )) ( ), ku >. Vstus: f y + ( y) j se o määritelty välillä ], [. y

21 Vstukset Kevät. Määritetää sellise lspäi ukev prbeli yhtälö, jok leikk -kseli kohdiss j j jok rj -kseli kss luee, jok pit-l o. Origo kutt kulkev prbeli yhtälö o muoto y + b. Sijoittmll pistee (, ) koorditit prbeli yhtälöö sd + b j edellee b eli prbeli yhtälö o muoto y. Prbeli j -kseli rjoittm luee pit-l ( ) / ( ) 6 Jote hettu fuktio o f() 6 + 6, ku Trkistus f() f() ( 6 + 6) Vstus: f() 6 + 6, ku. Suor o ympyrä tgetti, jos suor etäisyys ympyrä keskipisteestä (, ) o ympyrä sätee suuruie. Suor + y y etäisyys origost. + y d, jote suor o ympyrä + y tgetti. Piste (, y ) o ympyrällä, kosk koorditit toteuttvt ympyrä yhtälö + y. Koorditit toteuttvt myös suor yhtälö, kosk + y y + y y + y j siis piste o myös suorll. Tgetill j ympyrällä ei voi oll kui yksi yhteie piste, jote (, y ) o sivumispiste. Vstus: Sivumispiste o (, y ).

22 Vstukset Kevät. J esimmäie termi j peräkkäiste termie suhde q. Rtkist q yhtälöprist + q + q yhteie tekijä q + q + q + q + q + q + q + q sijoitet lemp + q + q + q ( + q + q ) + q, jo s t q S 9 + q + + q + q 6 + q 7 + q 8 + q 6 ( + q + q ) + ( ) 6 9 Kosk q > ei vstv geometrie srj suppee. Vstus: S 9 9 j vstv srj ei suppee.. A r O r h B h d P Pllokloti korkeus h Kolmiot AOP j BOA ovt yhdemuotoiset (kk, suorkulm j yhteie kulm O), jote sd verrto r r h d + r r r dr dh + r rh h dr d + r Aloje suhde A A klotti pllo πrh πr πr dr d + r d d % d %, π r ( d + r) ( d + r) d + r jote prd (, ) d j lim d lim d + r d d + r d + r d Stelliitist äkyvä mpllo os p( 6 7, ) 6, Vstus: prd (, ) d d + r j lim prd (, ) sekä,6 % d

23 Vstukset Kevät. dy y d dy d y + c y y + c Rtkist c y( ) + c c Jos o y vkiofuktio y Alkurvotehtävä rtkisu y ( ) lim y ( ) lim Vstus: y ( ) j lim y ( ). Lsket pisteet z cos kπ + i si kπ k z cos π i + si π cos si + i z cos π si + i π + i z cos π + isi π cos π si π + i i z cos π si + i π + i z cos π + isi π cosπ + i siπ

24 Vstukset Kevät I m z z z z z R e Lsket edelliste pisteide kuvpisteet kuvuksess f(z) z f( z ) z f( z ) z + i f( z ) z i i + + i i f( z ) z + i + i i f( z ) z ( ) I m f(z ) f(z ) f(z ) f(z ) R e f(z )

25 Vstukset Syksy. ) ( ) ± ( ) ( ) 9, 9 + b) f (), ku c) y Vstus: ) 9, + 9 b). Neljäkkää lävistäjät ovt kohtisuorss toisi vst j puolittvt toises. Jos toise lävistäjä puoliks o, o toise lävistäjä puoliks. Suorkulmisest kolmiost sd + (), jost. Neljäkäs koostuu eljästä yhteevästä suorkulmisest kolmiost, joide yhteie pit-l o A. Vstus: cm. ) f () e + f () e + b) Tgeti kulmkerroi pisteessä (, ) o f () e + Tgeti yhtälö y ( ) eli y c) Tgetti leikk y-kseli pisteessä (, ). Lsket -kseli leikkuspiste sijoittmll y.

26 Vstukset Syksy eli j leikkuspiste o, Pisteide (, ) j, välise j pituus + ( ( )) 6 Vstus: ) f () e + b) y c) 6. Piste P(, y). Sd vektoriyhtälö PA + PB + PC + PD + PE eli ( ) i + ( y) j + ( ) i + ( y) j + ( ) i + ( y) j + ( i ) + ( yj ) + ( i ) + ( yj ) ( ) i + ( y y+ y+ y y) j Vektorie kompoettiesitykse yksikäsitteisyyde perusteell y y + y + y y y y Vstus: Pisteestä,. Pääryämehu määrä P j omemehu määrä O. Sokeripitoisuuksist sd yhtälö, P + 7, O, P + O, P + 7, O, P +, O, P, O P O :( O) P O Vstus: Sekoitussuhde o os pääryämehu j os omemehu.

27 6 Vstukset Syksy 6. Käytetää muuoskv si( y) sicosy cossiy Lsket cos j siy si + cos si cos ± π π cos si y + cos y cos y si y ± π y π si y si( y) sicosy cossiy + + 8, Vstus: + 8, 7. ) Kierross muodostuu 6-skrie tähti, jok skrt ovt lkuperäise kolmio kss yhdemuotoisi tssivuisi kolmioit yhdemuotoisuussuhtee :, jolloi pit-loje suhde o : 9 j kysytty l o A + 9 b) Kierross muodostuu lkuperäie kolmio, jote l o A c) Kierross muodostuu sm kuvio kui )-kohdss eli A

28 Vstukset 7 Syksy 8. ) y 6 b) Lsket todeäköisyydet kolmioide j puolisuuikkide pit-loje vull. P( ) o se kolmio l, jok kt o j korkeus eli P( ) P( < ) muodostuu khdest puolisuuikkst, joist esimmäise yhdesuutiste sivuje pituudet ovt j sekä + korkeus j l. ( ) eli + Toise puolisuuikk l o + P( < ) + 9 P( > ) o se kolmio l, jok kt o j korkeus + eli P( > ) Vstus: b) P( ), P( < ) 9, P( > ) 9. R α α R α Kolmio ympäri piirrety ympyrä säde o kolmio sivuje keskiormlie leikkuspisteessä. Kolmio sivu o kolmio ympäri piirrety ympyrä jäe j sivu vstie kulm α o ympyrä kehäkulm. Kehäkulm α vstv keskuskulm α puoliks o suorkulmise kolmio kulm α j kyseisestä suorkulmisest kolmiost sd siα R, jost R siα.

29 8 Vstukset Syksy. y f() l 6 6 l y, ku y l y l y, ku < y < Nyt y, ku ti < <, ku < < ti < < Jote l, ku l, ku < < l l, ku < < l, ku Poistet vielä sisimmät itseisrvomerkit huomioimll, että, ku ( ) +, ku < l( + ), ku l( + ), ku < < l l( ), ku < < l( ), ku Fuktio kulku Dl( + ), D( l( + )), + + D( l( )), Dl( ) f () f() + + f ( ) < f > f < f ( ) >

30 Vstukset 9 Syksy Fuktio s vi ei-egtiivisi rvoj, jote se piei rvo o oll, jok se s kohdiss j. Vstus: Fuktio ksv väleillä < < j > j väheee väleillä < j < <. Fuktio s pieimmä rvos kohdiss j j fuktio luseke o l( + ), ku l( + ), ku < < l l( ), ku < < l( ), ku k. f( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) k f () ( ) + ( ) + ( ) ( ) Derivt ollkoht ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) : : Fuktio f kuvj k k k k k + k k k k k k f ( ) ( ) ( + ) Hvit, että fuktio o toise stee polyomifuktio j se kuvj o ylöspäi ukev prbeli. Fuktio io äärirvokoht o miimikoht, jote se s pieimmä rvos kohdss k k Piei rvo f k. k k k k f ( ) + k k k k k k k k k + k k k k k k k k + k k Vstus: Piei rvo o k k k k

31 Vstukset Syksy. ) Lsket esimmäise säästövuode ik tilille kertyyt summ. Esimmäie euro tlletus ksv korko kuukutt, toie kuukutt j ii edellee. Alle vuode tlletuksest stu korkotulo r o r kit i, %,, k, t,,, kk,, Koko vuode tlletuksist kertyyt korko r, +, +, + +, + S,, ( ),,, + 9, Tlletettu pääom vuode lopuss koro lisäykse jälkee k + 9, 9, Vuosittisi tlletuksi o 8. Korkotekijä q, Pääom tlletusj lopuss Tlletus. vuode lopuss 9, 9,, 7 Tlletus. vuode lopuss 9, 9,, 6 Tlletus. vuode lopuss 9,. 9,, Tlletus 7. vuode lopuss 9, 9,, Tlletus 8. vuode lopuss 9, 9, Tlletukset yhteesä 9,, + 9,, + 9,, + S ,, + 9, 9,,, 9 7, 8 S q, 9 q,, q,, 8

32 Vstukset Syksy b) q S, 9,, q,, S q 9,,,,, lg lg, lg, : lg, > lg 8, lg,, 8... Eli pitäisi tllett vähitää vuott. Vstus: ) Tilillä o rh 9 7,, b) pitäisi tllett vähitää vuott.. Tilvuus V π (l ) d Osittisitegroiti b b e f gd / fg g fd f( ), g( ) (l ) e e e b (l ) d / (l ) l d e e /( l ) e ( e e ( )) e e Tilvuus V π (l ) d π( e ) Vstus: π(e ). G( ) ftdt ( ) / Ft ( ) ( F ( ) F ( )) F ( ) F( ) G ( ) + + F ( ) F '( ) ( F( ) ) F ( ) + f ( ) + F( ) F ( ) + F( ) + f ( ) F ( ) ( F ( ) + f ( ) G ( ) + f ( )

33 Vstukset Syksy Jos f o ksvv, o f() f(t), kikill t Jos f() f(t), ii fdt ( ) ftdt ( ) /( f ( ) t) ftdt () f( ) f( t) dt : ( > ) f ( ) ftdt ( ) G ( ) Kosk G() f (), o G () + > G ( ) f ( ), jote myös G() o ksvv. Vstus: G () + G ( ) f( ). ) y() si + cos, jote y () cos si, sijoitet differetiliyhtälöö y + si cos si + si cos + si y() eli toteutt yhtälö. Trkistet toteutuuko lkuehto y(), sijoitet y() si + cos eli toteutuu b) Alkurvoprobleem y f(, y), y( ) y Euleri meetelmä itertiokv o y i + y i + hf( i, y i ) j i + i + h, missä i,,, Muokt lkuperäistä yhtälöä y + si y y y si Sovellet Euleri meetelmää y i + y i + hf( i, y i ) h,, f( i, y i ) y i si i y i + y i +, (y i si i ),y i si i Alkuehdo muk j y i y( i ) y i y i y( i ),,7,,,88,776,888,,68,8,76,9,7,9

34 Vstukset Kevät. ) f() f( ) ( ) + ( ) b) g() + + g c) f ( ) g ( ) ± ( ) ± + Vstus: ) f( ) b) g 8 c) ti. +. ( + ) d + / ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) Vstus:

35 Vstukset Kevät. Tulot Vuokrmeot luss, Vuokrmeoje ousu % Prosettikerroi % + % %, Vuokrmeot korotukse jälkee,,,87 Muu käyttö luss,,7 Muu käyttö korotukse jälkee,87,7 Muu käytö muutos, 7 9, 7, Käytö pieeys % 9 % % Vstus: Muuhu käyttöö riitti rh % vähemmä kui ee.. Suuikk lävistäjät puolittvt toises, jote AQ AB b ( ). P OQ OP + + (, ), ( b ) i + j, b i + j i j + i + j + i + j ( i + j) i + 7 j y Pistee Q koorditit ovt, B b Q A P(, ) Vektori PQ i j i + 9 j Vstus: PQ i + 9 j, Q, 7

36 Vstukset Kevät. Fuktio f() kuvjlle y piirrety tgeti kulmkerroi k kohdss o yhtä suuri kui fuktio derivt rvo kyseisessä pisteessä. f() f () Toislt suor kulmkerroi k sd suor suutkulm α vull k tα t Het e kohdt, joiss fuktio derivtt s rvo f ( ) f ( ) : Pistee y-koorditti f ( ) f Vstus: Piste, 6. Muodostet yhtälöpri t, t + +, Rtkist ylemmästä yhtälöstä j sijoitet lemp t, t,

37 6 Vstukset Kevät t t t + + t, ( + ) t, t t, + t, (t t, ) t, :(t t, ) t, t t, Msto korkeus + + t, t t, 9, Vstus: Msto korkeus o 9, m 7. O lskettv kteettie suhde b Kolmio hypoteuus c AD 7 c 7, c DB c, c B () β D h α C b (7) α A Kosk α + β 9, ii BCD 9 β α Tällöi kolmiot ABC, ADC j CDB ovt yhdemuotoisi (kk) kikiss terävä kulm α kikiss suor kulm Yhdemuotoiste kolmioide vstisivuje suhde o vkio. Kolmioist ADC j CDB sd h, c 7, c h h, c, h >, c > h, c Kolmioist ABC j CDB sd, c h, c b h, c 9, 9 b, c, 7 Vstus: Kteettie suhde o : 7.

38 Vstukset 7 Kevät 8. ) Muutet eliöö täydetämällä ympyrä yhtälö keskipistemuotoo ( ) + (y y ) r. ( + y y y y + () + + () ( ) + (y ) + Yhtälö esittää ympyrää, jos r + > Rtkist epäyhtälö + > Nollkohdt + ± ( ) ( ) ± Merkkikvio > < < + b) Ympyrä pit-l A πr o suuri, ku sätee eliö r o mhdollisimm suuri. Het sätee eliö r + suuri rvo, ku < < +. Merkitää r f() + Fuktio f() kuvj o lspäi ukev prbeli. Se svutt suurimm rvos huipuss. Prbeli huipuss fuktio derivtt o oll.

39 8 Vstukset Kevät Derivoid fuktio f() + f () Derivt ollkoht f () Kosk derivt ollkoht kuuluu välille < < +, ii sätee eliö o suurimmill tässä kohdss. Suuri mhdollie pit-l A πr r f( ) ( ) ( ) + A π π Vstus: ) Yhtälö esittää ympyrää, ku < < +. b) Ympyrä suuri l o π. 9. Todeäköisyys, että rp yksi voitt p, ei voit q p,,9 Arpoj ostet (kpl), r Tpus A Aiki yksi rp :stä voitt. Tpukse A komplemetti A Ei yhtää voitto :stä rvst. P( A) >, P( A) P( A) P( A) >, P( A) <, P( A) q 9, 9, <, lg(), lg idosti ksvv, säilyttää järjestykse lg 9, < lg, potessi logritmi lg 9, < lg, :lg 9, <, järjestys käätyy lg, > lg 9, >, r Vstus: Arpoj o ostettv iki kpplett.

40 Vstukset 9 Kevät itegrli-. Fuktio f : ], [ r o se fuktio f ( ) + fuktio, mikä sivu suor y. Het kikki itegrlifuktiot f : ], [ r f( ) f ( ) d + d + l + C l l( ), kosk < + l( ) + C Fuktio sivu suor y, jote fuktio derivt rvo o sivumispisteessä sm kui suor kulmkerroi k. Het e kohdt, joiss derivtt s rvo oll. f ( ) f ( ) + + Fuktio rvo kohdss o, kosk fuktio sivu suor. Rtkist C f ( ) + l + C f( ) + l + C l C Kysytty fuktio f() + l( ) + Vstus: f() + l( ) +. Merkitää g() e, ku g() e e l e Kosk e o idosti ksvv, ii g(), ku l Merkitää f() l ( ) l +, ku Osoitet, että fuktio o ei-egtiivie i, ku. Het fuktio piei rvo, ku.

41 Vstukset Kevät Derivtt f( ) l + f ( ) l + l f () l, ku j yhtäsuuruus o voimss vi, ku. Näi olle fuktio f() o idosti ksvv j svutt pieimmä rvos väli lkupisteessä. Piei rvo f() l + f() l + Tällöi f() i, ku eli l +, ku. Jote g() e i, ku. Yhtäsuuruus g() o voimss, ku : e.. Fuktio f : r r f(), π < ( + )π, z Kosk kyseessä o ploitti määritelty fuktio, pitää myös itegrli rvo määrittää smoiss ploiss. kπ π Ik ( ) f ( )si d f ( )si d+ f ( )si d kπ ( k ) π f ( )sid k ( + ) π f ( )sid k π ( + ) π π k k ( + ) π π si d / cos d [ (cos( + ) π cos π] k + { [( ) ( ) ]} k [ ( ) ( )] k ( ) + π π cos π ( ), cos( + ) π ( ) +

42 Vstukset Kevät Kyseessä o geometrie srj, jok esimmäie termi o j suhdeluku q. Srj summ k q S q k ( ) ( ) k Rj-rvo k lim I( k) lim k k ( ) k, ku k k Vstus: Itegrli Ik ( ) j rj-rvo lim Ik ( ) k.. ) Oletus: Luku m o luvu tekijä j luku o luvu m tekijä j m, r Väite: m ± Todistus: Oletuksest seur, että km, k r j m s, s r Tällöi m s m skm m skm m( sk) km Jos m, ii km, jolloi väite o tosi. Jos m, sk, tällöi sk. Lukuje tulo olless luvut ovt toistes kääteislukuj. Kosk luvut s j k ovt kokoislukuj, ii joko s j k, ti s j k. Näi olle m ±. b) Oletus: Luku m o luvu tekijä j luku o luvu p tekijä j m,, p r Väite: Luku m o luvu p tekijä Todistus: Oletuksest seur, että km, k r j p s, s r Tällöi p s p skm km

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

S , Fysiikka IV (ES) Tentti

S , Fysiikka IV (ES) Tentti S-1436, Fysiikk IV (S) Tetti 81 35 19 1 Vierekkäiste spektriviivje piei hvittu tjuuser Cl F mlekyyli 1 rttispektrissä 1,1 1 Hz Lske tmie välie etäisyys mlekyylissä Rtkisu Kksitmise mlekyyli pyörimiseergi

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot