Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava"

Transkriptio

1 Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv

2 Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri piirretää ympyrä, jok kulkee kolmio kärkipisteide kutt. Kolmio sisää setet toie ympyrä site, että se sivu kolmio sivuj. Kuik mot prosetti edellise ympyrä l o suurempi kui jälkimmäise ympyrä l? Geometri. Lud leveys o 9 mm j pituus,6 m. Siitä sht smpituisi ploj, jotk setet rikki site, että muodostuu eliö muotoie levy. Mite pitkä voi eliö sivu eitää oll? Todeäköisyyslsket. Tilstoje muk eräässä pääsykuulusteluss % pyrkijöistä epäoistuu mtemtiik j 7 % fysiik kokeess. Pyrkijöistä % epäoistuu kummsski kokeess. Lske todeäköisyys, että fysiik kokeess epäoistuut pyrkijä epäoistuu myös mtemtiik kokeess. Millä todeäköisyydellä pyrkijä epäoistuu iki toisess kokeess? Ekspoetti j logritmi + y. ) Rtkise yhtälöryhmä y 8. b) Piirrä fuktioide lg j / kuvjt sm kuvioo j rtkise tämä perusteell epäyhtälö lg. Etsi vstus khde desimli trkkuudell. (lg log ) Trigoometri 6. Kolmio kulmille α, β j γ pätee siαsiβ cosγ. Osoit, että kolmio o suorkulmie. Vektorit 7. Suor o vektori i + j + k suutie j kulkee pistee (,, 7) kutt. Määritä se j tso + y + z leikkuspiste.

3 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Slliset äärirvosovellukset 8. Yksikkösäteise pllo sisällä o tilvuudelt mhdollisimm suuri suor ympyräpohjie lieriö. Määritä lieriö korkeus j pohjympyrä säde. Lske lieriö j pllo tilvuuksie suhde. Derivt sovellus 9. Määritä fuktio f ( ) +, >, kääteisfuktio f. Millä välillä tämä o määritelty? Osoit lskemll, että f ( f( ), ku >. Määrätty itegrli. A esimerkki jtkuvst fuktiost f : [,] r, joll o omiisuudet f() f() j fd ( ). Alyyttie geometri/käyrät. Olkoo + y. Osoit, että + y y o ympyrä + y tgetti. Mitkä ovt sivumispistee koorditit? Lukujoot j srjt. Geometrise joo kolme esimmäise termi summ o j kuude esimmäise termi summ. Lske yhdeksä esimmäise termi summ. Suppeeeko vstv geometrie srj? Rj-rvo j jtkuvuus. Piste o r-säteise pllo ulkopuolell etäisyydellä d pllo pist. Kuik mot prosetti p p(r, d) pllo pist äkyy pisteestä? Määritä lim d p(r, d). Kuik suuri os mpllo pist äkyy kilometri korkeudell olevst stelliitist? Mpllo säde o 6 7 km. Differetiliyhtälöt, lyysi jtko. Määritä lkurvotehtävä y y, y() ( r) rtkisu y (). Lske lim y (). Kompleksiluvut. Piirrä kompleksitsoo pisteet z cos kπ i k k ( ) ( ) + si π, ku k,,,,. Lske äide pisteide kuvpisteet, ku e kuvt fuktioill f : c c, f(z) z (c kompleksitso). Piirrä toie kuv kompleksitsost j sijoit siihe kuvpisteet.

4 Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe.9. Pitkä oppimäärä Derivtt. Olkoo f(). ) Rtkise yhtälö f(). b) Millä : rvoill o f ()? c) Piirrä derivttfuktio f kuvj. Geometri. Neljäkkää sivu o ts cm, j lävistäjie pituuksie suhde o :. Lske eljäkkää l. Käyrä tgetti j ormli. ) Derivoi fuktio f() e +. b) Määritä käyrä y e + pisteesee (, ) piirrety tgeti yhtälö. c) Määritä se j pituus, jok koordittikselit erottvt edellise kohd tgetist. Vektorit. Mistä y-tso pisteestä pisteisii A (, ), B (, ), C (, ), D (, ) j E (, ) piirrettyje vektoreide summ o ollvektori? Prosettilsku. Pääryämehust j omemehust tehdy sekmehu sokeripitoisuus o %. Määritä mehuje sekoitussuhde, ku pääryämehu sokeripitoisuus o % j omemehu 7 %. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt 6. Määritä si( y), ku si, π / π /, j cos y, π y π. Trkk rvo j kksidesimlie likirvo. Geometri 7. Tssivuie kolmio T kiertyy tsoss keskipisteesä ympäri kulm α verr, jolloi se muuttuu kolmioksi T α. Lske se luee l, jok kolmiot T j T α yhteesä peittävät (ts. uioi T T α peittää), ku kolmio sivu o j kulm α o ) 6, b), c) 8. Piirrä kuviot.

5 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Todeäköisyyslsket 8. Erää stuismuuttuj tiheysfuktio o, ku <,, ku <, f ( ) +, ku <,, ku. ) Piirrä tiheysfuktio kuvj. b) Lske todeäköisyydet P( ), P( < ) j P( > ). Trigoometri 9. Osoit, että kolmio ympäri piirrety ympyrä säde o R, siα missä o kolmio mielivltie sivu j α se vstie kulm. Fuktio äärirvot. Piirrä fuktio f() l kuvj. Millä väleillä fuktio ksv j millä se väheee? Esitä fuktio kullki välillä site, että lusekkeiss ei esiiy itseisrvoj. Millä : rvoill fuktio s pieimmä rvos? Lukujoot j srjt k k. Osoit, että luseke ( ), missä k :t ovt ettuj relilukuj, s pieimmä rvos, ku k k. Lusu tämä piei rvo lukuje k vull mhdollisimm yksikertisess muodoss. Tlousmtemtiikk. Isä tllett poiks tilille jok kuukude luss vuodevihteess tphtueest sytymästä lke. Tilille mkset, % vuotuist korko, jok liitetää pääom i vuode lopuss. ) Kuik pljo rh tilillä o, ku poik täyttää 8 vuott? b) Kuik ku isä olisi tlletettv, jott tilillä olisi rh kksiot vrte, ku kksio hiksi oletet? Itegrlilske sovellus. Käyrä y l välillä e olev os pyörähtää -kseli ympäri. Määritä muodostuee kpplee tilvuus.

6 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Määrätty itegrli. Jtkuv fuktio f : [, [ r keskirvo välillä [, ] ( > ) määritellää seurvsti: G( ) ftdt ( ). Määritä keskirvofuktio derivtt G () j lusu se fuktiorvoje f() j G() vull. Osoit, että G() f(), jos f o ksvv. Osoit edellee, että tällöi myös G o ksvv. Numeeriset meetelmät. ) Tote, että differetiliyhtälö y + si y rtkisu lkuehdoll y() o y() si + cos. b) Määritä Euleri mee - telmällä kyseise rtkisu likirvot y i ( y( i )) välillä [, ] skelpituudell h, sekä ldi tulukko, joss esiityvät i, y( i ), y i j virhe y i y( i ). Mtemtiik koe 9.. Pitkä oppimäärä Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Olkoo f() j g() + +. ) Lske f( ). b) Lske g( ). c) Rtkise yhtälö f() g(). Määrätty itegrli +. Määritä site, että ( + ) d. Prosettilskut. Perhee vuokrmeot olivt % tuloist. Vuokrmeot ousivt %. Motko prosetti vähemmä rh riitti muuhu käyttöö korotukse jälkee? Vektorit. Pisteestä P (, ) lähtevät vektorit i + j j b i + j ovt suuikk sivui. Suuikk lävistä jie leikkuspiste olkoo Q. Määritä vektori PQ sekä pistee Q koorditit. Käyrä tgetti j ormli. Määritä se prbeli y piste, joss prbeli tgeti suutkulm o +.

7 6 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Trigoometri 6. Tlost metri korkeudelt ktsottess likkimsto huippu äkyy stee korkeuskulmss j metriä korkemmlt ktsottess, stee korkeuskulmss vktsoo ähde. Msto perust o metriä korkemmll kui tlo perust. Määritä msto korkeus, metri trkkuudell. Geometri 7. Suorkulmise kolmio hypoteuuslle piirretty korkeusj jk hypoteuus suhteess :7. Määritä kteettie pituuksie suhde. Geometri 8. ) Millä prmetri rvoill yhtälö + y y + + esittää ympyrää? b) Mikä o tällöi ympyrä l suuri mhdollie rvo? Todeäköisyyslsket 9. Leirikoulu hyväksi järjestetyissä rpjisiss ilmoitettii, että jok :s rp voitt. Kuik mot rp o ostettv, jott todeäköisyys iki yhtee voittoo olisi yli %? Itegrlifuktio. Muodost fuktio f : ], [ r, jok kuvj sivu suor y j jok derivtt o f () +. Fuktio äärirvot. Olkoo. Osoit, että e. Millä : rvoill pätee yhtäsuuruus? Määrätty itegrli. Fuktio f : r r määritellää seurvsti: f(), ku π < ( + )π, z. Lske itegrli kπ Ik ( ) f ( )sid, ku k,,,. Määritä tämä jälkee rj-rvo lim k I(k). Lukuteori. Kokoisluku m o kokoisluvu tekijä, jos o olemss kokoisluku k site, että km. Osoit: ) Jos m o : tekijä j o m: tekijä, ii m ±. b) Jos m o : tekijä j o p: tekijä, ii m o p: tekijä.

8 Ylioppilstehtävät vuositti 7 Kevät Lukujoot j srjt. A esimerkki sellisest suppeevst lukujoost,,,, että vstv srj j vstv srj supet? hjtuu. Voiko lukujoo hjtu Differetiliyhtälöt. Suor ympyrälieriö muotoise sti pohjss o reikä, jost stis s olev vesi vluu ulos. Astiss olev vesimäärä jhetkellä t o V(t) πr h(t), missä r cm o sti pohj säde j h(t) pi korkeus hetkellä t; ik t o ilmistu sekutei. Vettä vluu ulos opeudell V (t), jok o suor verrollie pi korkeude eliöjuuree. Muodost differetiliyhtälö vesimäärä tilvuudelle V(t) j rtkise se. Lske, kuko sti tyhjeemie kestää, ku tiedetää, että vettä oli luksi litr j sekuiss vesimäärä oli vähetyyt puolee. Mtemtiik koe.9. Pitkä oppimäärä Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Rtkise epäyhtälöt ) <, b) ( + ), c) <. Trigoometri. Kolmio sivuje pituudet ovt, j +. Määritä site, että kolmio o suorkulmie. Määritä kolmio ympäri piirrety ympyrä säde. Geometri. Kuutio pieeetää toiseksi kuutioksi site, että se kokoispit-l pieeee 6 %. Kuik mot prosetti tilvuus pieeee? Vektorit. Origost O lkv vektori OP o vektori i + j suutie, j se kärki P o pisteide A (, ) j B (7, ) yhdysjll. Missä suhteess piste P jk j AB?

9 8 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Todeäköisyys. Lite koostuu kolmest toimillisesti riippumttomst kompoetist A, B j C, joide viktumistodeäköisyydet tkuuik ovt p A,, p B,7 j p C,. Lite ei toimi, jos yksiki kompoeteist o villie. Mikä o littee viktumistode äköisyys tkuuik? Luotettvuude prtmiseksi kompoetti C khdeet, ts. lite vrustet khdell rikkisell, toisist riippumttomll kompoetill C, j riittää, että iki toie äistä toimii. Mikä o tällöi viktumistodeäköisyys tkuuik? Fuktio äärirvot 6. Etsi fuktio l( ) määrittelylue j äärirvot. Itegrlilske sovelluksi: tilvuus 7. Lske se kpplee tilvuus, jok sytyy ympyrä + y j suor y muodostm pieemmä segmeti pyörähtäessä -kseli ympäri. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt 8. Olkoo ettu trigoometri kvt si α + cos α, siα siα cosα, cosα cos α si α j tα siα / cosα. Osoit pelkästää äide perusteell oikeiksi seurvt kvt: t t si, cos. + t + t Ilmoit, mitä kv olet missäki lsku viheess käyttäyt. Derivt määritelmä 9. Fuktio f : r r jkso o, toisi soe f( + ) f() kikill reliluvuill. Lisäksi o +, ku <, f ( ), ku. Piirrä fuktio f kuvj. Missä pisteissä f ei ole derivoituv? Piirrä fuktioide g j h kuvjt, ku g() f( + ) j h() f() + f( + ). Missä pisteissä ämä eivät ole derivoituvi? Derivt määritelmä. Määritä fuktio f() / derivtt pisteessä lskemll erotusosmäärä rj-rvo.

10 Ylioppilstehtävät vuositti 9 Syksy Alyysi jtkokurssi. Lske itegrli fd ( ) Lukujoot j srjt. Mikä o srj i, jos ti /,, ku f ( ) /, jos / yleise termi luseke? Tutki suppeeeko srj. Käyrä tgetti j ormli. Mikä käyrä y 7 pisteistä o lähiä suor y? Mikä o kyseie lyhi etäisyys? Piirrä kuvio. Differetiliyhtälöt y. Rtkise differetiliyhtälö y +. Lukuteori. Esitä Fermt piei luse j osoit se vull, että (mod ) kikill luoollisill luvuill. Mtemtiik koe.. Pitkä oppimäärä Murtoyhtälö j -epäyhtälö. ) Sieveä luseke +. + b) Rtkise yhtälöstä. Trigoometriset lusekkeet j yhtälöt. ) Rtkise yhtälöryhmä + y, y. b) Tiedetää, että si j 8 < < 7. Määritä cos j t (trkt rvot). Prosettilskut. Asuirkeuksest sdut vuokrt ovt % pieemmät kui ylläpitokustukset. Kuik mot prosetti vuokri olisi korotettv, jott e tulisivt % suuremmiksi kui ylläpitokustukset, jotk smikisesti kohovt %?

11 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Vektorit. Olkoo OA 7 i + 9 j tso vektori. Määritä kikki selliset vektorit OB, että kulm OAB o suor j vektori AB pituus o puolet vektori OA pituudest. Alyyttie geometri. Määritä prbeli y + b + huippu j tote, että se kertoime b rvost riippumtt sijitsee prbelill y +. Trigoometri 6. Kuvio suorkulmisess kolmioss o toise kteeti projektio hypoteuuslle yhtä pitkä kui toie kteetti: AD BC. Määritä kolmio kulmt stee trkkuudell. C A D B Geometri 7. Luvulle π sd krke likirvo sijoittmll ympyrä sisää ) sääöllie kuusikulmio ti b) sääöllie khdekskulmio j ristmll tämä α) piiri pituus ti β) pit-l ympyrä kehä pituutee ti vstvsti ympyrä l. Lske tällä tvoi eljä eri likirvo luvulle π. A vstukset trkkoi rvoi (trigoometrisi fuktioit käyttämättä) j kolmidesimlisi likirvoi. Määrätty itegrli 8. A esimerkki sellisest jtkuvst fuktiost f : [, ] r, että f s rvo 6 josski pisteessä j fd ( ). Sko ämä ehdot täyttävä fuktio i rvo josski pisteessä?

12 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Todeäköisyyslsket 9. Tikktulu säde o cm, j tulu jkutuu kymmeee smkeskisee reksee, jotk o umeroitu ulko sisääpäi :stä :ee. Gbrieli heittämät tikt osuvt tuluu site, että iide etäisyys r tulu keskipisteestä oudtt todeäköisyysjkum, jok tiheys fuktio o ( r ), ku r fr () 6 muulloi. Tässä r o ilmistu settimetreiä ) Lske todeäköisyys, että Gbrieli heittämä tikk osuu 9: ää ti :ee. b) Lske todeäköisyys, että Gbrieli heittämistä viidestä tikst iki kolme osuu 9:ää ti :ee. Käyrä tgetti j ormli. Neljäe stee polyomill o pikllie mksimi 6, ku. Origoss polyomi s rvo. Polyomi kuvj pisteesee (, ) piirrety tgeti kulmkerroi o. Muodost yhtälöryhmä, jost polyomi kertoimet void rtkist. Rtkise tämä lskit käyttämättä. Mikä o kyseie polyomi? Itegrlilske sovellus. Rsi pohj o suorkulmio, jok sivujepituudet ovt 7 cm j cm. Rsi lidt kllistuvt ulospäi kikki smss kltevuudess site, että litoje yläreut muodostvt suorkulmio, jok sivuje pituudet ovt cm j 9 cm. Rsi korkeus (pystysuor mitttu) o 8 cm. Lske pit-l rsi vksuorlle poikkileikkukselle korkeudell z ( z 8, z settimetreiä). Lske myös rsi tilvuus. Derivt määritelmä. Olkoo fuktio f jtkuv origoss. Määritä erotusosmäärä vull fuktio g() f() derivtt origoss. Voidko tulost sovelt fuktioo f() +?

13 Ylioppilstehtävät vuositti Kevät Lukujoot j srjt. Geometrise srj esimmäie termi o + j toie +. Tutki, millä muuttuj rvoill srj suppeee. Differetiliyhtälöt. Etsi rtkisut differetiliyhtälölle y y + y derivoimll se kerr j rtkisemll tällöi sytyyt uusi differetiliyhtälö. Ovtko tämä rtkisut myös lkuperäise differetiliyhtälö rtkisuj? Piirrä lkuperäise yhtälö rtkisuje kuvji. Numeeriset meetelmät. Määritä fuktio f() si piei positiivie äärirvokoht j vstv äärirvo rtkisemll derivt ollkoht Newtoi meetelmällä. A vstukset viide desimli trkkuudell. Hhmottele kuvj välillä [, π]. Mtemtiik koe.9. Polyomiyhtälö j -epäyhtälö. Rtkise relilukulueell yhtälöt ) ( ) + ( + ), b) + Pitkä oppimäärä, c) 6 6. Trigoometri. Suorkulmise kolmio kteettie pituudet ovt j 6. ) Lske hypoteuus pituus. Ilmoit trkk rvo j kksidesimlie likirvo. b) Määritä kolmio kulmt, stee trkkuudell. c) Määritä kolmio l. Vektorit. Vektorie AB j CD päätepisteet ovt A (, l), B (7, ), C (, ) j D (, ). Lske vektorie välise kulm suuruus, stee trkkuudell. Piirrä kuvio. Fuktio. Millä : rvoill fuktio f() + + s vi egtiivisi rvoj?

14 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Geometri. Puu rugo hlkisij tyvestä mitttu ksv vuode ik kolmsos lkuperäisestä mitst. Sm ik puu korkeus ksv kuudesos lkuperäisestä korkeudest. Kuik mot prosetti ksv puu rugo tilvuus tuo ik? Oletet, että ruko o krtio muotoie. Alyyttie geometri 6. Suor y,, jk ympyrä + y rjoittm luee khtee os. Määritä pieemmä luee l suhde suuremm luee l. Ilmoit trkk rvo j kolmidesimlie likirvo. Piirrä kuvio, ku ) >, b) <. Derivt sovellus 7. Olkoo f ( ) + +. Kumpi o suurempi, f() vi f(b), ku l + l j b l + l? Todeäköisyyslsket 8. Ltikoss o ruske, 6 must j 8 siistä mtkpuhelime kuort. Ltikost otet umpimähkää kksi kuort. Millä todeäköisyydellä kuoret ovt smväriset? Derivt sovellus 9. Lskev suor kulkee pistee (, ) kutt site, että se j koordi ttikselie rjoittm kolmio l o mhdollisimm piei. Määritä suor kulmkerroi j vstv piei l. Lukujoot j srjt. Määritä päättymättömä lukujoo, 7,,, 6,... :s jäse j lukujoo rj-rvo. Mistä luvu rvost lke joo jäsee poikkem tästä rj-rvost o itseisrvolt pieempi kui,? Derivtt, fuktio suuri j piei rvo. Osoit, että yhtälöllä l ei ole relijuuri.

15 Ylioppilstehtävät vuositti Syksy Itegrlilske sovellus: pit-l. Suort y j y sekä hyperbeli y l rjvt kksiosise luee. Lske se l. Ilmoit trkk rvo j kksidesimli- e liki rvo. Numeeriset meetelmät. Trkstell lusekett L ( ) t π ) Lske lusekett muokkmtt sille lskimell likirvo, ku π +,,,,,. b) Määritä lim π/ L() tulkitsemll luseke sopiv fuktio erotusosmääräksi. Mitä void so -kohdss lsketuist likirvoist? Differetiliyhtälöt, lyysi jtko. Määritä iide käyrie yhtälöt, joill o sellie omiisuus, että koordittikselie välii jäävä käyrä tgeti os puolittuu sivumispisteessä. Lukuteori. Etsi jkojääös, ku ) jet luvull, b) 67 jet luvull 6.

16 Vstukset Kevät. ) 9 b) y + y y y + y y + y y y y y + y y y ( y) ( + y)( y). Kolmio sivu Tssivuise kolmio ympäri piirrety ympyrä säde R Tssivuise kolmio sisää piirrety ympyrä säde r 6 Ympyröide loje suhde A A eli % suurempi Vstus: % suurempi ympäri sisää π R r π 6 %. Ploj kpl, jolloi eliö sivu o 9 (mm) j ploje yhteispituus o , 9 Jote ploj o eitää j eliö sivu suuri mhdollie pituus o 9 mm 8 mm Vstus: 8 mm. Pyrkijöide kokoismäärä A Fysiikss epäoistuut epäoistuu myös mtemtiikss B Epäoistuu iki toisess kokeess Epäoistuu vi mtemtiikss ti vi fysiikss ti molemmiss Mt Fys 7

17 6 Vstukset Kevät PA ( ) 9, j 7 7 ( ) + ( 7 ) + PB ( ) Vstus:,9 j,,. ) + y y y 8 eli, jost sd y j sijoitet ylempää y + y, jost sd y j edellee b) Kuvjist ähdää, että fuktio lg kuvj kulkee fuktio kuvj yläpuolell, ku <,9 ti >,9. Hrukoid trkempi kuvjie leikkuspistee -koorditi rvo tutkimll fuktio lg merki vihtumist. lg,89, <,9,7 > eli ollkoht o välillä ],89;,9[,89,86 < eli ollkoht o välillä ],89;,9[ Khde desimli trkkuudell kuvjie leikkuspistee -koorditti o,9 ti,9. J lg(), ku,9 ti,9. Vstus: ) j y b),9 ti,9

18 Vstukset 7 Kevät 6. α + β + γ 8 eli γ 8 (α + β) sijoitet ettuu yhtälöö siα siβ cosγ siα siβ cos(8 (α + β)) siα siβ cos(α + β) käytetää kosii summkv tulukkokirjst siα siβ (cosα cosβ siα siβ) siα siβ siα siβ cosα cosβ cosα cosβ cosα ti cosβ eli α 9 ti β 9, jote kummsski tpuksess kolmio o suorkulmie. 7. Suor vektorimuotoie yhtälö r i + j + 7k + s( i + j + k) Lsket tsolt kolme pistettä j määritetää tso vektorimuotoie yhtälö. Sijoitet tso yhtälöö y, jolloi z j yksi tso piste o A(,, ). Sijoittmll z sd piste B Sijoittmll y z sd piste C(,, ). Muodostet tso virittäjävektorit AB ( ) i + ( ) j + ( ) k j k j AC ( ) i + ( ) j + ( ) k i k, jolloi tso vektorimuotoie yhtälö o r k + t j k u i k ( ) + Suor j tso leikkuspiste o kohdss, joss r r. ( ). r r i + j + 7k + s( i + j + k) k + t ( j k u i k ) + ( ) ( + si ) + ( + sj ) + ( 7 + sk ) ui + t j+ ( t uk ) Vektoreide kompoettiesitykse yksikäsitteisyyde perusteell + s u sijoitet limp yhtälöö + s t 7 + s t u

19 8 Vstukset Kevät + s t 7 + s t ( + s) s t Sijoittmll s suor yhtälöö sd suor j tso leikkuspistee pikkvektori. r i + j + 7k ( i j k i j k + + ) + +, jote leikkuspiste o (, ),. ( ) Vstus: leikkuspiste o,, 8. r h Lieriö korkeus h ( h ) j pohj säde r. Suorkulmisest kolmiost, jok kteetit ovt h j r, sd Pythgor luseell h + r eli r h. Lieriö tilvuus V( h) πr h π h h πh πh V (h) π πh. Derivt ollkohdt π πh,jost h. Tilvuude suuri rvo sd määrittelyväli päätepisteissä (h ti h ) ti välillä olevss derivt ollkohdss h.

20 Vstukset 9 Kevät V( ) π π j V( ) π π j V π π π >, suuri Pohjympyrä säde r Lieriö j pllo tilvuuksie suhde V lieriö V pllo π π Vstus: Lieriö korkeus o j pohjympyrä säde. Lieriö j pllo tilvuuksie suhde o. ( ) ( + ) 9. Kosk f ( ) ( ) ( ) o f() idosti väheevä j f o olemss. y jost y y + j edellee <, ku >, +, y + y j f y y + ( ). y Fuktio f määrittelyjoukko A ], [. + Kosk lim + j lim + lim, o fuktio f kuvjoukko f(a) ], [ j kääteis fuktio f määrittelyjoukko B f(a) ], [. f (( f )) ( ), ku >. Vstus: f y + ( y) j se o määritelty välillä ], [. y

21 Vstukset Kevät. Määritetää sellise lspäi ukev prbeli yhtälö, jok leikk -kseli kohdiss j j jok rj -kseli kss luee, jok pit-l o. Origo kutt kulkev prbeli yhtälö o muoto y + b. Sijoittmll pistee (, ) koorditit prbeli yhtälöö sd + b j edellee b eli prbeli yhtälö o muoto y. Prbeli j -kseli rjoittm luee pit-l ( ) / ( ) 6 Jote hettu fuktio o f() 6 + 6, ku Trkistus f() f() ( 6 + 6) Vstus: f() 6 + 6, ku. Suor o ympyrä tgetti, jos suor etäisyys ympyrä keskipisteestä (, ) o ympyrä sätee suuruie. Suor + y y etäisyys origost. + y d, jote suor o ympyrä + y tgetti. Piste (, y ) o ympyrällä, kosk koorditit toteuttvt ympyrä yhtälö + y. Koorditit toteuttvt myös suor yhtälö, kosk + y y + y y + y j siis piste o myös suorll. Tgetill j ympyrällä ei voi oll kui yksi yhteie piste, jote (, y ) o sivumispiste. Vstus: Sivumispiste o (, y ).

22 Vstukset Kevät. J esimmäie termi j peräkkäiste termie suhde q. Rtkist q yhtälöprist + q + q yhteie tekijä q + q + q + q + q + q + q + q sijoitet lemp + q + q + q ( + q + q ) + q, jo s t q S 9 + q + + q + q 6 + q 7 + q 8 + q 6 ( + q + q ) + ( ) 6 9 Kosk q > ei vstv geometrie srj suppee. Vstus: S 9 9 j vstv srj ei suppee.. A r O r h B h d P Pllokloti korkeus h Kolmiot AOP j BOA ovt yhdemuotoiset (kk, suorkulm j yhteie kulm O), jote sd verrto r r h d + r r r dr dh + r rh h dr d + r Aloje suhde A A klotti pllo πrh πr πr dr d + r d d % d %, π r ( d + r) ( d + r) d + r jote prd (, ) d j lim d lim d + r d d + r d + r d Stelliitist äkyvä mpllo os p( 6 7, ) 6, Vstus: prd (, ) d d + r j lim prd (, ) sekä,6 % d

23 Vstukset Kevät. dy y d dy d y + c y y + c Rtkist c y( ) + c c Jos o y vkiofuktio y Alkurvotehtävä rtkisu y ( ) lim y ( ) lim Vstus: y ( ) j lim y ( ). Lsket pisteet z cos kπ + i si kπ k z cos π i + si π cos si + i z cos π si + i π + i z cos π + isi π cos π si π + i i z cos π si + i π + i z cos π + isi π cosπ + i siπ

24 Vstukset Kevät I m z z z z z R e Lsket edelliste pisteide kuvpisteet kuvuksess f(z) z f( z ) z f( z ) z + i f( z ) z i i + + i i f( z ) z + i + i i f( z ) z ( ) I m f(z ) f(z ) f(z ) f(z ) R e f(z )

25 Vstukset Syksy. ) ( ) ± ( ) ( ) 9, 9 + b) f (), ku c) y Vstus: ) 9, + 9 b). Neljäkkää lävistäjät ovt kohtisuorss toisi vst j puolittvt toises. Jos toise lävistäjä puoliks o, o toise lävistäjä puoliks. Suorkulmisest kolmiost sd + (), jost. Neljäkäs koostuu eljästä yhteevästä suorkulmisest kolmiost, joide yhteie pit-l o A. Vstus: cm. ) f () e + f () e + b) Tgeti kulmkerroi pisteessä (, ) o f () e + Tgeti yhtälö y ( ) eli y c) Tgetti leikk y-kseli pisteessä (, ). Lsket -kseli leikkuspiste sijoittmll y.

26 Vstukset Syksy eli j leikkuspiste o, Pisteide (, ) j, välise j pituus + ( ( )) 6 Vstus: ) f () e + b) y c) 6. Piste P(, y). Sd vektoriyhtälö PA + PB + PC + PD + PE eli ( ) i + ( y) j + ( ) i + ( y) j + ( ) i + ( y) j + ( i ) + ( yj ) + ( i ) + ( yj ) ( ) i + ( y y+ y+ y y) j Vektorie kompoettiesitykse yksikäsitteisyyde perusteell y y + y + y y y y Vstus: Pisteestä,. Pääryämehu määrä P j omemehu määrä O. Sokeripitoisuuksist sd yhtälö, P + 7, O, P + O, P + 7, O, P +, O, P, O P O :( O) P O Vstus: Sekoitussuhde o os pääryämehu j os omemehu.

27 6 Vstukset Syksy 6. Käytetää muuoskv si( y) sicosy cossiy Lsket cos j siy si + cos si cos ± π π cos si y + cos y cos y si y ± π y π si y si( y) sicosy cossiy + + 8, Vstus: + 8, 7. ) Kierross muodostuu 6-skrie tähti, jok skrt ovt lkuperäise kolmio kss yhdemuotoisi tssivuisi kolmioit yhdemuotoisuussuhtee :, jolloi pit-loje suhde o : 9 j kysytty l o A + 9 b) Kierross muodostuu lkuperäie kolmio, jote l o A c) Kierross muodostuu sm kuvio kui )-kohdss eli A

28 Vstukset 7 Syksy 8. ) y 6 b) Lsket todeäköisyydet kolmioide j puolisuuikkide pit-loje vull. P( ) o se kolmio l, jok kt o j korkeus eli P( ) P( < ) muodostuu khdest puolisuuikkst, joist esimmäise yhdesuutiste sivuje pituudet ovt j sekä + korkeus j l. ( ) eli + Toise puolisuuikk l o + P( < ) + 9 P( > ) o se kolmio l, jok kt o j korkeus + eli P( > ) Vstus: b) P( ), P( < ) 9, P( > ) 9. R α α R α Kolmio ympäri piirrety ympyrä säde o kolmio sivuje keskiormlie leikkuspisteessä. Kolmio sivu o kolmio ympäri piirrety ympyrä jäe j sivu vstie kulm α o ympyrä kehäkulm. Kehäkulm α vstv keskuskulm α puoliks o suorkulmise kolmio kulm α j kyseisestä suorkulmisest kolmiost sd siα R, jost R siα.

29 8 Vstukset Syksy. y f() l 6 6 l y, ku y l y l y, ku < y < Nyt y, ku ti < <, ku < < ti < < Jote l, ku l, ku < < l l, ku < < l, ku Poistet vielä sisimmät itseisrvomerkit huomioimll, että, ku ( ) +, ku < l( + ), ku l( + ), ku < < l l( ), ku < < l( ), ku Fuktio kulku Dl( + ), D( l( + )), + + D( l( )), Dl( ) f () f() + + f ( ) < f > f < f ( ) >

30 Vstukset 9 Syksy Fuktio s vi ei-egtiivisi rvoj, jote se piei rvo o oll, jok se s kohdiss j. Vstus: Fuktio ksv väleillä < < j > j väheee väleillä < j < <. Fuktio s pieimmä rvos kohdiss j j fuktio luseke o l( + ), ku l( + ), ku < < l l( ), ku < < l( ), ku k. f( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) k f () ( ) + ( ) + ( ) ( ) Derivt ollkoht ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) : : Fuktio f kuvj k k k k k + k k k k k k f ( ) ( ) ( + ) Hvit, että fuktio o toise stee polyomifuktio j se kuvj o ylöspäi ukev prbeli. Fuktio io äärirvokoht o miimikoht, jote se s pieimmä rvos kohdss k k Piei rvo f k. k k k k f ( ) + k k k k k k k k k + k k k k k k k k + k k Vstus: Piei rvo o k k k k

31 Vstukset Syksy. ) Lsket esimmäise säästövuode ik tilille kertyyt summ. Esimmäie euro tlletus ksv korko kuukutt, toie kuukutt j ii edellee. Alle vuode tlletuksest stu korkotulo r o r kit i, %,, k, t,,, kk,, Koko vuode tlletuksist kertyyt korko r, +, +, + +, + S,, ( ),,, + 9, Tlletettu pääom vuode lopuss koro lisäykse jälkee k + 9, 9, Vuosittisi tlletuksi o 8. Korkotekijä q, Pääom tlletusj lopuss Tlletus. vuode lopuss 9, 9,, 7 Tlletus. vuode lopuss 9, 9,, 6 Tlletus. vuode lopuss 9,. 9,, Tlletus 7. vuode lopuss 9, 9,, Tlletus 8. vuode lopuss 9, 9, Tlletukset yhteesä 9,, + 9,, + 9,, + S ,, + 9, 9,,, 9 7, 8 S q, 9 q,, q,, 8

32 Vstukset Syksy b) q S, 9,, q,, S q 9,,,,, lg lg, lg, : lg, > lg 8, lg,, 8... Eli pitäisi tllett vähitää vuott. Vstus: ) Tilillä o rh 9 7,, b) pitäisi tllett vähitää vuott.. Tilvuus V π (l ) d Osittisitegroiti b b e f gd / fg g fd f( ), g( ) (l ) e e e b (l ) d / (l ) l d e e /( l ) e ( e e ( )) e e Tilvuus V π (l ) d π( e ) Vstus: π(e ). G( ) ftdt ( ) / Ft ( ) ( F ( ) F ( )) F ( ) F( ) G ( ) + + F ( ) F '( ) ( F( ) ) F ( ) + f ( ) + F( ) F ( ) + F( ) + f ( ) F ( ) ( F ( ) + f ( ) G ( ) + f ( )

33 Vstukset Syksy Jos f o ksvv, o f() f(t), kikill t Jos f() f(t), ii fdt ( ) ftdt ( ) /( f ( ) t) ftdt () f( ) f( t) dt : ( > ) f ( ) ftdt ( ) G ( ) Kosk G() f (), o G () + > G ( ) f ( ), jote myös G() o ksvv. Vstus: G () + G ( ) f( ). ) y() si + cos, jote y () cos si, sijoitet differetiliyhtälöö y + si cos si + si cos + si y() eli toteutt yhtälö. Trkistet toteutuuko lkuehto y(), sijoitet y() si + cos eli toteutuu b) Alkurvoprobleem y f(, y), y( ) y Euleri meetelmä itertiokv o y i + y i + hf( i, y i ) j i + i + h, missä i,,, Muokt lkuperäistä yhtälöä y + si y y y si Sovellet Euleri meetelmää y i + y i + hf( i, y i ) h,, f( i, y i ) y i si i y i + y i +, (y i si i ),y i si i Alkuehdo muk j y i y( i ) y i y i y( i ),,7,,,88,776,888,,68,8,76,9,7,9

34 Vstukset Kevät. ) f() f( ) ( ) + ( ) b) g() + + g c) f ( ) g ( ) ± ( ) ± + Vstus: ) f( ) b) g 8 c) ti. +. ( + ) d + / ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) Vstus:

35 Vstukset Kevät. Tulot Vuokrmeot luss, Vuokrmeoje ousu % Prosettikerroi % + % %, Vuokrmeot korotukse jälkee,,,87 Muu käyttö luss,,7 Muu käyttö korotukse jälkee,87,7 Muu käytö muutos, 7 9, 7, Käytö pieeys % 9 % % Vstus: Muuhu käyttöö riitti rh % vähemmä kui ee.. Suuikk lävistäjät puolittvt toises, jote AQ AB b ( ). P OQ OP + + (, ), ( b ) i + j, b i + j i j + i + j + i + j ( i + j) i + 7 j y Pistee Q koorditit ovt, B b Q A P(, ) Vektori PQ i j i + 9 j Vstus: PQ i + 9 j, Q, 7

36 Vstukset Kevät. Fuktio f() kuvjlle y piirrety tgeti kulmkerroi k kohdss o yhtä suuri kui fuktio derivt rvo kyseisessä pisteessä. f() f () Toislt suor kulmkerroi k sd suor suutkulm α vull k tα t Het e kohdt, joiss fuktio derivtt s rvo f ( ) f ( ) : Pistee y-koorditti f ( ) f Vstus: Piste, 6. Muodostet yhtälöpri t, t + +, Rtkist ylemmästä yhtälöstä j sijoitet lemp t, t,

37 6 Vstukset Kevät t t t + + t, ( + ) t, t t, + t, (t t, ) t, :(t t, ) t, t t, Msto korkeus + + t, t t, 9, Vstus: Msto korkeus o 9, m 7. O lskettv kteettie suhde b Kolmio hypoteuus c AD 7 c 7, c DB c, c B () β D h α C b (7) α A Kosk α + β 9, ii BCD 9 β α Tällöi kolmiot ABC, ADC j CDB ovt yhdemuotoisi (kk) kikiss terävä kulm α kikiss suor kulm Yhdemuotoiste kolmioide vstisivuje suhde o vkio. Kolmioist ADC j CDB sd h, c 7, c h h, c, h >, c > h, c Kolmioist ABC j CDB sd, c h, c b h, c 9, 9 b, c, 7 Vstus: Kteettie suhde o : 7.

38 Vstukset 7 Kevät 8. ) Muutet eliöö täydetämällä ympyrä yhtälö keskipistemuotoo ( ) + (y y ) r. ( + y y y y + () + + () ( ) + (y ) + Yhtälö esittää ympyrää, jos r + > Rtkist epäyhtälö + > Nollkohdt + ± ( ) ( ) ± Merkkikvio > < < + b) Ympyrä pit-l A πr o suuri, ku sätee eliö r o mhdollisimm suuri. Het sätee eliö r + suuri rvo, ku < < +. Merkitää r f() + Fuktio f() kuvj o lspäi ukev prbeli. Se svutt suurimm rvos huipuss. Prbeli huipuss fuktio derivtt o oll.

39 8 Vstukset Kevät Derivoid fuktio f() + f () Derivt ollkoht f () Kosk derivt ollkoht kuuluu välille < < +, ii sätee eliö o suurimmill tässä kohdss. Suuri mhdollie pit-l A πr r f( ) ( ) ( ) + A π π Vstus: ) Yhtälö esittää ympyrää, ku < < +. b) Ympyrä suuri l o π. 9. Todeäköisyys, että rp yksi voitt p, ei voit q p,,9 Arpoj ostet (kpl), r Tpus A Aiki yksi rp :stä voitt. Tpukse A komplemetti A Ei yhtää voitto :stä rvst. P( A) >, P( A) P( A) P( A) >, P( A) <, P( A) q 9, 9, <, lg(), lg idosti ksvv, säilyttää järjestykse lg 9, < lg, potessi logritmi lg 9, < lg, :lg 9, <, järjestys käätyy lg, > lg 9, >, r Vstus: Arpoj o ostettv iki kpplett.

40 Vstukset 9 Kevät itegrli-. Fuktio f : ], [ r o se fuktio f ( ) + fuktio, mikä sivu suor y. Het kikki itegrlifuktiot f : ], [ r f( ) f ( ) d + d + l + C l l( ), kosk < + l( ) + C Fuktio sivu suor y, jote fuktio derivt rvo o sivumispisteessä sm kui suor kulmkerroi k. Het e kohdt, joiss derivtt s rvo oll. f ( ) f ( ) + + Fuktio rvo kohdss o, kosk fuktio sivu suor. Rtkist C f ( ) + l + C f( ) + l + C l C Kysytty fuktio f() + l( ) + Vstus: f() + l( ) +. Merkitää g() e, ku g() e e l e Kosk e o idosti ksvv, ii g(), ku l Merkitää f() l ( ) l +, ku Osoitet, että fuktio o ei-egtiivie i, ku. Het fuktio piei rvo, ku.

41 Vstukset Kevät Derivtt f( ) l + f ( ) l + l f () l, ku j yhtäsuuruus o voimss vi, ku. Näi olle fuktio f() o idosti ksvv j svutt pieimmä rvos väli lkupisteessä. Piei rvo f() l + f() l + Tällöi f() i, ku eli l +, ku. Jote g() e i, ku. Yhtäsuuruus g() o voimss, ku : e.. Fuktio f : r r f(), π < ( + )π, z Kosk kyseessä o ploitti määritelty fuktio, pitää myös itegrli rvo määrittää smoiss ploiss. kπ π Ik ( ) f ( )si d f ( )si d+ f ( )si d kπ ( k ) π f ( )sid k ( + ) π f ( )sid k π ( + ) π π k k ( + ) π π si d / cos d [ (cos( + ) π cos π] k + { [( ) ( ) ]} k [ ( ) ( )] k ( ) + π π cos π ( ), cos( + ) π ( ) +

42 Vstukset Kevät Kyseessä o geometrie srj, jok esimmäie termi o j suhdeluku q. Srj summ k q S q k ( ) ( ) k Rj-rvo k lim I( k) lim k k ( ) k, ku k k Vstus: Itegrli Ik ( ) j rj-rvo lim Ik ( ) k.. ) Oletus: Luku m o luvu tekijä j luku o luvu m tekijä j m, r Väite: m ± Todistus: Oletuksest seur, että km, k r j m s, s r Tällöi m s m skm m skm m( sk) km Jos m, ii km, jolloi väite o tosi. Jos m, sk, tällöi sk. Lukuje tulo olless luvut ovt toistes kääteislukuj. Kosk luvut s j k ovt kokoislukuj, ii joko s j k, ti s j k. Näi olle m ±. b) Oletus: Luku m o luvu tekijä j luku o luvu p tekijä j m,, p r Väite: Luku m o luvu p tekijä Todistus: Oletuksest seur, että km, k r j p s, s r Tällöi p s p skm km

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot . Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Menetelmiä formuloinnin parantamiseen

Menetelmiä formuloinnin parantamiseen Meetelmiä formuloii prtmisee Mikko Korpel Dimitris Bertsims & Robert Weismtel, 2005, Optimiztio over Itegers, ch 2.-2.5 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri-

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c) Luku ) 8 8 + = + 6 6 ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) 9 6 7 7 = 7 := = = ( 7) ( 7) b) 5 5 5 5 + : = + 6 6 ) + + + = + + + 9 ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = 6 6 6 6 = + + + = + + = + + = + = 9 9 9 ( c) ) 9

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot