Mikko Saarimäki DISKREETTIÄ JA ÄÄRELLISTÄ MATEMATIIKKAA APPROBATUR 3 -KURSSILLE 3. PAINOS

Transkriptio

1 Mikko Saarimäki DISKREETTIÄ JA ÄÄRELLISTÄ MATEMATIIKKAA APPROBATUR 3 -KURSSILLE 3 PAINOS JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO AVOIN YLIOPISTO JYVÄSKYLÄ 2007

2 Avoimen yliopiston julkaisusarja Oppimateriaaleja 5 ISBN ISSN Yliopistopaino Jyväskylä 2007 Copyright Mikko Saarimäki ja Jyväskylän yliopiston avoin yliopisto

3 1 LUKIJALLE 1 painos Avoimessa yliopistossa on vuonna 1995 aloitettu MALU-projekti, jonka tavoitteena on matematiikan ja luonnontieteiden perusopetuksen kehittäminen ja tarjonnan laajentaminen yhteistyössä yliopiston varsinaisten laitosten kanssa Matematiikassa approbatur-opetus on suunniteltu sisällöltään entistä enemmän erilaiset kohderyhmät huomioivaksi ja toteutukseltaan joustavammaksi Samalla on yhdistetty avoimen yliopiston opetus ja matematiikan laitoksen sivuaineopetus propedeuttisen opetuksen ja approbatur-arvosanan osalta Tällä pyritään molemminpuolin säästämään resursseja sekä ylipäätään mahdollistamaan avoin yliopisto-opetus järkevin panostuksin Approbatur-arvosanan (15 opintoviikkoa) vaatimuksista pääosa (11 ov) muodostuu matemaattisen analyysin piiriin luettavista aiheista, kuten funktioiden raja-arvojen, jatkuvuuden, derivoituvuuden, integroituvuuden ja niihin liittyvien probleema-alueiden käsittelystä sekä näitä tukevista vektorilaskennan ja lineaaristen yhtälöiden käsittelystä Näiden rinnalle on tarkoitettu järjestettäväksi muita ei-analyyttisempiä aiheita käsitteleviä kursseja, kuten geometrian, lukuteorian ja kombinatoriikan opintojaksoja Käsillä oleva kirjanen on erään tällaisen, ja toistaiseksi ainoan toteutetun, osan opiskeluun tarkoitettu moniste Kyseisen approbatur 3 kurssin laajuus on 3 opintoviikkoa Kirjasessa käsitellään lähinnä diskreetin ja äärellisen matematiikan alueisiin luettavia aiheita, kuten looginen päättely, induktiopäättely, kokonaislukujen jaollisuus, järjestysten permutointi, symmetria ja diskreetti todennäköisyys Varsinkin symmetrian kohdalla tarkastelut liitetään myös geometrisiin tilanteisiin Aiheiden käsittelyä on myös pyritty suuntaamaan ongelmakeskeiseksi Kurssin eräänä keskeisenä tavoitteena onkin kehittää matemaattista päättelytaitoa Monisteen pohjana oleva kurssi on toteutettu kolme kertaa vuosien aikana Moniste on pyritty laatimaan sen suuntaiseksi, että sen sisältämät asiat voisi opiskella varsin itsenäisestikin Toki on selvää, että kursseihin liitetyt ohjaustapahtumat ja harjoitustilanteet edistävät aina oppimista Monisteessa on tekstin seassa esimerkkejä ja opiskelutehtäviä sekä pykälien lopussa käsiteltyyn asiaan liittyviä harjoitustehtäviä Lisää käsitellään kurssien ohjauksissa ja harjoituksissa Ratkaisuja ei ole monisteeseen otettu, vaan tarvittavat ohjeet ja vastaukset on ajateltu saatavan opiskelun kuluessa Jyväskylässä uunnavuonna 1997 Mikko Saarimäki

4 2 2 painos Tässä toisessa painoksessa on korjattu ne muutamat painovirheet, jotka ensimmäiseen painokseen olivat jääneet Mutta isompiakin muutoksia on opetus- ja opiskelukokemusten ja muiden ehdotuksien pohjalta tehty Tässä yhteydessä lausun erityiset kiitokset Jarkko Laitiselle rakentavista parannusehdotuksista Lukuteoriassa käsitellään nyt muitakin lukujärjestelmiä kuin kymmenlukujärjestelmää ja selvitetään lukuesitysten muuntamista eri lukujärjestelmien välillä Lukuteoriaosuuden laajuuden takia modulolaskenta on samalla eriytetty omaksi luvukseen Esitysjärjestystä on myös muutettu joissakin kohdin Tason isometriat selvitetään vasta symmetrian käsittelyn jälkeen ja todennäköisyyslaskennassa kombinatoriset tarkastelut esitetään ennen varsinaista todennäköisyyden käsitettä Todennäköisyyslaskentaan on myös lisätty perusasiat jakaumista ja niiden tunnusluvuista Kirjan loppuosaan on lisätty vinkkejä valikoituihin harjoitustehtäviin sekä muutamien tehtävien vastaukset tai ratkaisut Vaikka oppimisen kannalta ideaalisempaa olisi tuottaa ratkaisut aina itse omin keinoin, on toki jossain määrin myös mallivastauksia oltava saatavilla omien ajatuksiensa selventämiseksi ja oikaisemiseksi Kursseilla aktiivisesti mukana olevat saavat malleja ja vertailuaineistoa yleensä riittävästi, mutta itsenäisemmin opiskeleville tällaiset oppimista ohjaavat palautteet saattavat jäädä vähäisiksi Jyväskylässä uunnavuonna 2000 Mikko Saarimäki 3 painos Kolmanteen painokseen on edelleen korjattu painovirheitä ja parannettu ilmaisuja Aiemmin osaan harjoitustehtävistä oli ratkaisuvinkkejä Nämä tehtävät on nyt siirretty tekstin sekaan lähemmäksi asiayhteyttään ja nimetty opiskelutehtäviksi Niihin on edelleen vinkkejä kirjan loppuosassa Käytetyistä merkinnöistä mainittakoon, että merkki rivin lopussa merkitsee todistuksen loppua ja vastaavasti esimerkin loppua Jyväskylässä vappuaattona 2007 Mikko Saarimäki

5 3 SISÄLTÖ LUKIJALLE 1 I MATEMATIIKASTA JA LOGIIKASTA 5 1 Matematiikka tieteenä 5 2 Lauselogiikkaa 6 3 Predikaattilogiikkaa 10 4 Joukko-oppia 12 II LUKUTEORIAA 14 1 Luonnolliset luvut ja täydellinen induktio 14 2 Jaollisuus 19 3 Lukujärjestelmistä 26 4 Alkuluvuista 29 III MODULOLASKENTAA 34 1 Jäännösluokat 34 2 Laskutoimitukset 36 3 Jaollisuustestejä 40 4 Käänteisalkioista 41 5 RSA-menetelmä 44 IV PERMUTAATIO 47 1 Bijektio ja permutaatio 47 2 Permutaatioesityksiä 53 3 Parillisuus ja parittomuus 57 V SYMMETRIA 61 1 Mitä on symmetria? 61 2 Tasokuvioiden symmetriaryhmät 65 3 Monitahokkaista 70 4 Tason isometrioista 77 VI TODENNÄKÖISYYDESTÄ 83 1 Kombinatoriikkaa 83 2 Äärellinen todennäköisyyskenttä 86 3 Otanta ja toistokoe 90 4 Ehdollinen todennäköisyys 93 5 Jakauma ja odotusarvo 97 VINKKEJÄ OPISKELUTEHTÄVIIN 100 KIRJALLISUUTTA 108 ASIAHAKEMISTO 110

6

7 5 I MATEMATIIKASTA JA LOGIIKASTA 1 Matematiikka tieteenä Matematiikka on luonteeltaan päättelevä, deduktiivinen tiede Ennalta asetettujen olettamien kuten aksioomien tai jo tunnettujen tai todistettujen lauseiden avulla pyritään luomaan uusia tuloksia Päättelyssä käytetään usein luonnollista intuitiivista logiikkaa, mutta kun tulos halutaan varmentaa aukottomasti, tarvitaan täsmällisiä, hyvinkin muodollisia sääntöjä Puhutaan formaalista logiikasta Se muodostuu lause- eli propositiologiikasta ja ominaisuus- ja relaatiolaskennasta eli predikaattikalkyylista Aksiooma on väittämä, joka jostain järkevästä tai luonnollisesta syystä tuntuu tai on tuntunut aiheelliselta sopia aina paikkansa pitäväksi lausumaksi Esimerkkinä olkoot eräät jo Eukleideen esittämät aksioomat, jotka muun muassa lausuvat geometrian peruskäsitteistä, pisteistä ja suorista, että "mitkä tahansa kaksi eri pistettä kuuluvat jollekin suoralle" tai että "jokaisella suoralla on ainakin kaksi eri pistettä" Aksioomat eivät saa olla mitä tahansa lausumia, vaan hyvältä aksioomajärjestelmältä vaaditaan sekä riippumattomuus että ristiriidattomuus: aksioomat eivät saa olla todistettavissa toisistaan eivätkä tietenkään ristiriidassa keskenään Aksioomissa ilmaistaan myös usein, mitä peruskäsitteitä saadaan käyttää ja mitä niillä tarkoitetaan Matemaattinen teoria muodostuu aksioomista johdetuista lausumista, teoreemoista Jos aksioomat on valittu taitavasti, teorian kehittyminen saattaa olla loputonta: uusi sukupolvi tarvitsee ja keksii yhä uusia lauseita ja pyrkii hallitsemaan yhä suurempia kokonaisuuksia Alunperin pienistä teorioista muodostuu yhä isompia ja niitä yhdistellään eräänlaisiksi yhtenäisyysteorioiksi Uusia määritelmiäkin tarvitaan uusien kokonaisuuksien käsitteellistämiseksi Matematiikan lauseilla ja käsitteillä on ankara arvojärjestys, hierarkkinen rakenne; uusi lause tai käsite perustuu aina aikaisemmille Esimerkiksi derivaatan käsitteen ymmärtämiseksi pitää ensin tietää, mitä tarkoitetaan funktioilla, sen arvoilla ja raja-arvoilla, funktion ymmärtämiseksi taas pitää tietää, mitä ylipäätään ovat reaaliluvut, jne Derivaatan määrittelemiseksi on siis pitänyt jo aikaisemmin määritellä mm sellaiset käsitteet kuin erotusosamäärä, raja-arvo, funktion arvo, funktio, reaaliluku, murtoluku, kokonaisluku, jne Monen tutun tuloksen tai käsitteen taakse jäävien tulosten ja käsitteitten kartoittaminen saattaakin olla nykyään jo käytännössä mahdotonta Onneksi meidän ei tarvitse sitä yleensä tehdä Käsitteet ovat oppimisen kautta konkretisoituneet ja niiden ominaisuuksista ja käytöstä meillä on valmis mielikuva ilman, että mietimme niiden alkuperää kovin pitkälle

8 6 2 Lauselogiikkaa Matematiikassa aksioomat ja lauseet ovat luonteeltaan väitteitä, propositioita Niille on ominaista, että ne ovat aina joko tosia ( T) tai epätosia ( E), ne ovat siis kaksiarvoisia Esimerkiksi lausumat " " ja " 6 6 0" ovat tällaisia väitelauseita, sen sijaan ilmaisu " " ei ole, koska se ei edes väitä mitään Kullakin lauseella P, Q, on siis totuusarvonaan joko T tai E Lausumaa, jonka totuusarvo riippuu jostain muuttujasta, sanotaan avoimeksi lauseeksi Esimerkiksi lauseen " " totuusarvo riippuu muuttujan suuruudesta; sillä ei ole totuusarvoa ennenkuin muuttujalle annetaan arvo Avoimia lauseita käsitellään lähemmin seuraavassa pykälässä x 13 Väitelauseista voidaan muodostaa uusia lauseita ns loogisten siteiden eli konnektiivien avulla Ne ovat lauseiden väliin lisättäviä sidesanoja tai merkkejä, joista yleisimpiä ovat,,, ja, ja jotka selitetään tarkemmin seuraavassa Negaatio eli vastakohta ( ) Lauseen P negaatio on sen vastaväite P, joka määritellään yksinkertaisesti seuraavalla totuustaulukolla Siinä taulukoidaan, miten lauseen P x P T E P E T totuusarvosta saadaan lauseen totuusarvo Negaatio vaihtaa siis lauseen totuusarvon päinvastaiseksi Esimerkiksi lauseen " 2 3" negaatio on lause " 2 3" Konjunktio eli "ja" ( ) Lauseiden P ja Q konjunktio P Q on tosi täsmälleen silloin, kun sekä P että Q ovat tosia Se määritellään siis seuraavalla totuustaulukolla, jossa taulukoidaan nyt, miten atomilauseiden P ja Q mahdollisista totuusarvoista saadaan yhdistetyn lauseen eli molekyylilauseen totuusarvo Merkin " " sijasta käytetään myös et-merkkiä "&" P P Q P Q P Q T T T T E E E T E E E E Disjunktio eli "tai" ( ) Lauseiden P ja Q disjunktio P Q on tosi täsmälleen silloin, P Q P Q T T T T E T E T T E E E kun P on tosi tai Q on tosi tai molemmat ovat tosia Huomaa tässä tai-sanan merkitys: kyseessä ei ole poissulkeva "tai" eli kyseessä ei ole "joko tai", vaan kun molemmat yhdistettävät lauseet ovat tosia P Q on tosi myös silloin,

9 I MATEMATIIKASTA JA LOGIIKASTA 7 Implikaatio eli seuraus ( ) Kun P ja Q ovat lauseita, tarkoittaa P Q lausetta "jos P pätee, niin Q pätee" tai " P:stä seuraa Q" ja sen totuusarvo määritellään seuraavan totuustaulukon avulla Huomaa, että jos P on epätosi, lause P Q on tosi riippumatta lauseen Q totuusarvosta Esimerkiksi lause " x 3 x 1" on tosi sijoitettiinpa luvun x paikalle mikä kokonaisluku tahansa Sen sijaan lause " " ei ole tosi Ekvivalenssi eli yhtäpitävyys ( ) Kun P ja Q ovat lauseita, tarkoittaa P Q, että lauseet P ja Q ovat yhtäpitäviä ts P ja Q pätevät yhtaikaa, ja sen totuusarvo määritellään seuraavan totuustaulukon mukaan Kun P Q on tosi, eli kun lauseilla P ja Q on samat totuusarvot, sanotaan myös, että lauseet P ja Q ovat loogisesti ekvivalentit Esimerkiksi lause " x 2 9 x 3 " on tosi kaikilla reaaliluvun x arvoilla Jos useita lauseita yhdistetään erilaisilla konnektiiveilla, on selvyyden vuoksi käytettävä apuna sulkeita osoittamaan yhdistelyjärjestykset Seuraavassa esimerkissä on tehty näin Esimerkki 21 Verrataan lauseiden ( P Q) ja ( P) ( Q) totuusarvoja keskenään Tehdään seuraavanlainen taulukko P Q P Q T T T T E E E T T E E T P Q P Q T T T T E E E T E E E T P Q P Q ( P Q) P Q ( P) ( Q) T T T E E E E T E T E E T E E T T E T E E E E E T T T T Taulukosta havaitaan, että lauseiden ( P Q) ja ( P) ( Q) totuusarvot ovat aina samat riippumatta atomilauseiden P ja Q totuusarvoista Tämän mukaan ekvivalenssilause [ ( P Q) ] [( P) ( Q) ] on identtisesti tosi Lukujen kerto- ja yhteenlaskuista kertolasku on perinteisesti vahvempi, ts se suoritetaan lausekkeissa ennen yhteenlaskua Siksi esimerkiksi lausekkeesta ( ab) c voidaan jättää sulut pois Vastaavasti loogisille siteillekin sovitaan suoritusjärjestykset Niistä negaatio ( ) on vahvin, seuraavaksi konjunktio ( ) ja disjunktio ( ) keskenään yhtä vahvoina, sitten implikaatio ( ) ja lopuksi ekvivalenssi ( ) heikoimpana Yllä olevan esimerkin 21 lauseke [ ( P Q) ] [( P) ( Q) ]

10 8 voidaan siten kirjoittaa vähemmin sulkein muodossa ( P Q) P Q Esimerkki 22 Verrataan lauseiden P Q ja P Q totuusarvoja keskenään Tehdään seuraavanlainen taulukko P Q P Q P P Q Havaitaan, että lauseiden P Q ja P Q totuusarvot ovat aina samat riippumatta atomilauseiden P ja Q totuusarvoista Siten lause ( P Q) ( P Q) on identtisesti tosi Edellisten esimerkkien kaltaisia, identtisesti tosia lauseita, sanotaan tautologioiksi Seuraavassa lauseessa on eräitä yleisimpiä tautologioita Ne voidaan todeta päteviksi totuustaulukoiden avulla Lause 23 Kun P ja Q ovat loogisia lauseita, ovat seuraavat tautologioita: (a) P P Kaksoiskiellon poisto (b) Kontraponointilaki (c) ( P Q) ( P Q) De Morganin 1 laki (d) ( P Q) ( P Q) De Morganin 2 laki (e) ( P Q) [( P Q) ( Q P) ] Ekvivalenssilaki (f) P P Vaihtoehtopakko (g) ( P P) Ristiriidattomuuspakko Esimerkiksi ekvivalenssilain mukaan kahden väitteen yhtäpitäväksi osoittaminen voi tapahtua ja useimmiten myös juuri näin tehdään osoittamalla ne erikseen toistensa seurauksiksi ( P Q) ( Q P) Opiskelutehtävä 1 Mieti lausetta "Tämä lause on epätosi" Onko se tosi vai epätosi? Opiskelutehtävä 2 Osoita totuustaulukon avulla, että lauseen P Q [Vastaus s 100] vastaväite on Osoita sama myös käyttäen esimerkkiä 22 ja lausetta 23 hyväksi [Vinkki s 100] Opiskelutehtävä 3 T T T E T T E E E E E T T T T E E T T T a) Osoita seuraavat lauseet loogisesti ekvivalenteiksi: P Q R, P Q R ja P R Q P Q b) Käyttäen a)-kohdan ekvivalentteja muotoja lausu väite "Jaoton kokonaisluku on pariton tai kakkonen" kahdella muulla tavalla [Vinkki s 100] Opiskelutehtävä 4 Sievennä lauseke [( P Q) ( P Q) ] Q [Vastaus s 100]

11 I MATEMATIIKASTA JA LOGIIKASTA 9 Seuraaviin tautologioihin perustuvat yleisimmät matematiikan todistustavat Näidenkin todistukset voidaan tehdä totuustaulukoilla Lause 24 Kun P, Q ja R ovat logiikan lauseita, ovat seuraavat tautologioita: (a) [ P ( P Q) ] Q Suora päättely (b) [ P ( Q P) ] Q Käänteinen suora päättely (c) { P [( P Q) ( R R) ]} Q Epäsuora päättely Suora päättely on näistä selkein ja tavanomaisin, jossa siis lauseesta P, oletuksesta, pyritään suoraan lauseeseen Q, väitteeseen Kontraponointilain mukaan lause P Q voidaan korvata lauseella Q P Tällöin suorasta päättelystä saadaan käänteinen suora päättely, missä siis vastaväitteestä eli antiteesistä Q johdetaan oletuksen vastakohta P Jos tässä ajattelemme oletuksen olevan toden, seuraa siitä, että oletus ja sen vastakohta eivät voi olla yhtaikaa voimassa, se, että vastaväite ei ole tosi, vaan sen vastakohta eli siis itse väite on tosi On kuitenkin huomattava, että päättelyn on toimittava kaikilla totuusarvoilla, jotta voimme tehdä päätelmiä myös hypoteeseista, joiden todellista totuusarvoa emme etukäteen tiedä Epäsuorassa päättelyssä vastaväitteestä Q johdetaan oletuksen P avulla jokin identtisesti epätosi lause, ristiriita eli kontradiktio Käänteinen suora päättely on eräs epäsuoran päättelyn alalaji, sillä siinä lause P on lauseen R roolissa Lauseen R merkitys epäsuorassa päättelyssä on se, että ristiriidan aiheeksi kelpaa mikä tahansa lausuma muukin kuin oletus P R Harjoitustehtäviä 25 1 Muodosta lauseiden P = "on olemassa joukko B, jolle B B B B" ja Q = "kaikille joukoille B on B B B B" negaatiot Mitkä näistä ovat tosia ja mitkä epätosia? (Joukkojen leikkausten ja yhdisteiden määrittelyt kerrataaan pykälässä 4) 2 Tiedetään, että kahdesta laatikosta A ja B toisessa on palkinto Laatikon A päällä lukee "Laatikon B teksti on oikein, ja palkinto on tässä laatikossa" Laatikon B päällä taas lukee "Laatikon teksti on väärin, ja palkinto on laatikossa A" Kummassakohan laatikossa palkinto on? 3 Todista kontraponointilaki ( P Q) ( Q P) tautologiaksi täyttämällä seuraava totuustaulukko R A P Q P Q Q P Q P T T E E T E T E 4 Tutki, onko seuraava tautologia: ( P Q R) ( P R) ( Q R) 5 Tutki, onko seuraava tautologia: ( P Q R) ( Q P R) ( P R)

12 10 Jos jokin lause 3 Predikaattilogiikkaa riippuu jostain muuttujasta x, ilmoitamme riippuvuuden kirjoittamalla P( x) ja sanomme, että se on avoin lause Esimerkiksi P( x) voi olla kokonaisluvusta x riippuva lause " 2x x 1" Jos tässä muuttujalle x annetaan jokin arvo, avoin lause P( x) muuttuu lauseeksi, jolla on jokin totuusarvo, joko tosi tai epätosi Avoin lause P( x) voi siis saada kumpiakin totuusarvoja, ts voi olla olemassa arvo x, jolle P( x) on tosi, ja voi olla olemassa arvo x, jolle P( x) lause " 2x x 1" on epätosi Tällainen on edellä mainittu On toisaalta helppo keksiä avoin lause, joka on tosi kaikilla muuttujansa arvoilla Esimerkiksi kokonaisluvusta riippuva lause " x x 1" on sellainen Vastaavasti lause " x x 1" on aina epätosi Matematiikassa edellisten kaltaiset tilanteet ovat itse asiassa varsin tavallisia ja siksi niitä varten on otettu käyttöön omat operaatiosymbolit: olemassaolokvanttori ( ) ja kaikki- eli universaalikvanttori ( ) Merkitäänkin x : P( x), kun tarkoitetaan, että on olemassa x, jolla on ominaisuus P( x) Vastaavasti merkintä x : P( x) tarkoittaa, että kaikilla x on ominaisuus P( x) Jos näissä lausumissa muuttuja x halutaan rajata johonkin joukkoon tai luokkaan L, merkitään silloin täsmennettynä x L, ts merkitään x L : P( x) tai x L : P( x) Kummassakin tapauksessa avoimesta lauseesta on saatu kvanttorin lisäyksellä aikaan looginen lause, jolla on totuusarvo Esimerkki 31 Lause x : x 2 x väittää, että on olemassa reaaliluku x, jolle epäyhtälö x 2 x pätee Se on tosi lause, sillä esimerkiksi luku x 2 kelpaa etsityksi luvuksi Monet muutkin luvut kelpaavat, mutta olemassaoloväitteen todeksi osoittamiseen riittää löytää yksi Myös lause P x : x on tosi, sillä reaalilukujen neliöt ovat aina ei-negatiivisia, joten x 2 1 on aina positiivinen Usein vastaan saattaa tulla tilanne, jossa kvanttorilauseelle on tarpeen muodostaa negaatiolause Seuraava antaa siihen muodollisen ratkaisun Lause 32 (Negaation ja kvanttorin vaihtosääntö) Avoimelle lauseelle tautologioita: ( x L : P( x) ) x L : P( x), ( x L : P( x) ) x L : P( x) P( x) seuraavat ovat Sanallisesti ilmaistuna edellinen tarkoittaa, että lauseen "jokaiselle luokan L alkiolle x on P( x) voimassa" vastaväite kuuluu "luokassa L on alkio x, jolle P( x) ei päde" Lausu mielessäsi vastaavasti toinen vaihtosääntö Koska jokaiselle lauseelle joko se itse tai sitten sen negaatio on tosi, pätee esimerkiksi lauseista x L : P( x) ja x L : P( x) jokaisessa tilanteessa vain toinen Esimerkki 33 Reaaliluvusta x riippuvan lauseen x 0 : x 2 x vastaväite on vaihtosäännön mukaan x 0 : x 2 x Näistä siis vain toinen on tosi jälkimmäinen, sillä esimerkiksi luku x 1 toteuttaa väitteen

13 I MATEMATIIKASTA JA LOGIIKASTA 11 Kvanttoreita voidaan yhdistellä sellaisiksi lauseiksi, jotka riippuvat useammista muuttujista Esimerkiksi kvanttorilause tarkoittaa, että "jokaista reaalilukua kohti on olemassa luonnollinen luku n siten, että n x", ja on siis tosi lause Tässä on reaalilukujen ja on luonnollisten lukujen joukko Perättäiset kvanttorit yhdistetään vasemmalta oikealle Yllä oleva väite on siten muotoa x : P( x), missä P( x) on luonnollisesta luvusta n riippuva väite n : n x Myös väite eli "on olemassa reaaliluku x, jolle kaikilla luonnollisilla luvuilla n pätee n x" on tosi lause, sillä luvuksi x kelpaa mikä tahansa negatiivinen luku Opiskelutehtävä 5 Seuraavissa väitteissä kaikki muuttujat voivat olla nollasta eroavia kokonaislukuja Määrää kunkin väitelauseen totuusarvo Jos se on epätosi, muodosta myös lauseen negaatio a) x y : xy 1, b) x y : xy 1, c) x y : xy 1 [Vinkki s 100] Opiskelutehtävä 6 Muodosta väitelauseen vastaväite ja mieti, kumpi väite pitää paikkansa ( on reaalilukujen joukko) [Vastaus s 100] Lopputoteamus: Loogisten operaatioiden ja symbolien hallinta ei ole tämän osan pääasia, vaan tarkoitus on tuoda esiin matemaattisen ajattelun perusperiaatteita ja korostaa täsmällisyyden merkitystä Vältä kuitenkin liiallista lyhenteiden ja symbolien käyttöä Pyri käyttämään sanallisempia ilmaisuja ne hallitset automaattisesti paremmin Jo muutamien sidesanojen käyttö ("jos, niin ", "siten, että", "tästä/näistä seuraa ") tuo selkeyttä ja luettavuutta esitykseen Harjoitustehtäviä 34 { 0, 1, 2, 3, } x n : n x 1 Lausu väitelause x y : x y 9 sanallisesti ja muodosta sen vastaväite symbolein ja sanallisesti Kumpi väite pitää paikkansa? ( { 0, 1, 2, 3, } on luonnollisten lukujen joukko) 2 Muodosta väitelauseen x y : x y 9 vastaväite symbolein ja sanallisesti Kumpi väite pitää paikkansa? x n : n x x 0 : x 3 Muodosta väitelauseen x : [( 0: x ) x 0] vastaväite ja mieti, kumpi näistä väitteistä pitää paikkansa ( on reaalilukujen joukko) x

14 12 merkitään 4 Joukko-oppia Yksinkertaisesti ilmaistuna joukko tunnistetaan alkioistaan Kun alkio a on joukon A alkio, a A Yleisin tapa määritellä joukko on ilmoittaa se jonkin tunnetun joukon osajoukoksi Alkioiden valinta voidaan ilmoittaa jollakin lausekkeella, ominaisuudella tai ehdolla Esimerkiksi A { n n on parillinen} tarkoittaa sitä luonnollisten lukujen osajoukkoa, jonka alkiot toteuttavat annetun ehdon, parillisuuden Valinta voidaan tehdä myös luettelemalla joukkoon kuuluvat alkiot, kuten esimerkiksi { 0, 1, 2, 3, } Varsinainen joukon käsitteen aksiomaattinen määrittely on työläs ja ehdotonta tarkkuutta vaativa Kaikki ajateltavissa olevat ilmaisut eivät silti tuota matemaattisesti mielekästä joukkoa, ei esimerkiksi ole olemassa kaikkien joukkojen joukkoa Joukko A on joukon B osajoukko eli A sisältyy joukkoon B, jos kaikki sen alkiot ovat myös joukon alkioita: A B ( x A x B) Kaksi joukkoa ovat samat, jos kumpikin on toisensa osajoukko eli jos kumpikin sisältää toistensa alkiot: A B ( A B B A) ( x A x B) Huomaa, että merkintä A B pitää sisällään sen mahdollisuuden, että A B Jos A B, Yllä joukkojen sisältyvyys ja samuus määriteltiin implikaation ja ekvivalenssin avulla Käyttäen muita loogisia siteitä määrittelyehtoihin saadaan määriteltyä joukkojen komplementti, leikkaus ja yhdiste seuraavaan tapaan Jos E on ns perusjoukko, jonka osajoukkoja tarkasteltavat joukot A ja B ovat, asetetaan leikkaus A B ja yhdiste A B seuraavasti: B { 3, 0, 2, 5, 33, 34} B mutta A B, on joukko A joukon B aito osajoukko, merkitään A B Tyhjä joukko on joukko, jossa ei ole alkioita Se on aina jokaisen joukon osajoukko tai E A B E A B A B A B A B { x E x A x B} A B { x E x A x B} Jos A B, ovat joukot A ja B erilliset Joukoille voidaan muodostaa myös ns joukkoerotus: E A B A \ B A \ B { x E x A x B}

15 I MATEMATIIKASTA JA LOGIIKASTA 13 E B A C Sitä sanotaan myös joukon B komplementiksi joukossa A Osajoukon A komplementtia E\ A koko perusjoukossa merkitään myös A c Kolmesta mielivaltaisesta joukosta A B ja C leikkauksilla ja yhdisteillä saatavat erilliset alkeisjoukot näkyvät seuraavasta ns Vennin kuviosta Siinä joukot A, B ja C ovat keskenään siinä mielessä mahdollisimman yleisessä asennossa, että kaikki näiden avulla muodostettavat kahdeksan erillistä osajoukkoa näkyvät Vennin kuvioiden avulla voidaankin sen takia yleispätevästi katsoa, päteekö jokin korkeintaan kolmea joukkoa koskeva väite paikkansa, esimerkiksi vaikkapa seuraavan opiskelutehtävän väite Opiskelutehtävä 7 Tutki, pitääkö väite ( A C) \ B ( A \ B) ( C \ B) aina paikkansa [Vinkki s 101] Opiskelutehtävä 8 Olkoot A, B ja C saman perusjoukon E osajoukkoja Valitse Vennin kuviosta jotkin kaksi palaa, jotka eivät sivua toisiaan, ja esitä näiden yhdiste joukkojen A, B ja C avulla vähintään kahdella eri tavalla [Vinkki s 101] Opiskelutehtävä 9 Mitä tarkoittaa mielestäsi merkintä A B? Selitä se sanallisesti ja alkioittain määriteltynä sekä anna esimerkki tällaisesta joukkotilanteesta [Vastaus s 101] Harjoitustehtäviä 41 1 Olkoot A, B ja C saman perusjoukon E osajoukkoja Osoita oikeaksi ns osittelulaki A ( B C) ( A B) ( A C) 2 Olkoot A ja B saman perusjoukon E osajoukkoja Osoita oikeaksi ns de Morganin laki E \ ( A B) ( E \ A) ( E \ B) 3 Olkoot A, B ja C saman perusjoukon E osajoukkoja Määrää Vennin kuviosta joukko ( A C) \ ( B C) 4 Mieti ja kokeile, miten muodostaisit neljän joukon Vennin kuvion niin, että kaikki neljä joukkoa olisivat mahdollisimman yksinkertaisen näköisiä ja yhtenäisiä (Jos lähdet liikkeelle kolmen joukon Vennin kuviosta, mieti, mitä pitäisi neljännen joukon tehdä kaikille jo muodostuneille paloille Neljännen joukon sijoittaminen samanmuotoisena ei enää onnistune, ja sen yhtenäisenä pitämiseenkin tarvitaan hieman kekseliäisyyttä!)

16 14 II LUKUTEORIAA 1 Luonnolliset luvut ja täydellinen induktio Joukot voidaan luokitella niiden sisältämien alkioiden lukumäärän avulla Tyhjässä joukossa ei ole alkioita ollenkaan Sen alkioiden lukumäärää merkitään symbolilla 0, ts siinä on 0 alkiota Luvulla 1 merkitään niiden joukkojen luokkaa, jossa on yhtä monta alkiota kuin esimerkiksi joukossa { 0} ; sanotaan myös, että jokaisen sellaisen joukon alkioiden lukumäärä eli mahtavuus on 1 Vastaavasti joukon kokoon luonnollisten lukujen joukko mahtavuus on 2 Ja niin edelleen Näin saadaan Luonnollisia lukuja voidaan varsin luonnollisesti laskea yhteen ja kertoa keskenään Esimerkiksi { 0, 1, 2, 3, } tarkoittaa, että jos 2 alkioisen joukon alkioihin lisätään jonkin 3 alkioisen joukon alkiot, saadaan aina 5 alkioinen joukko Vastaavasti tarkoittaa, että sellaisista alkiopareista, joissa ensimmäinen valitaan 2 alkioisesta joukosta ja toinen 3 alkioisesta joukosta, saadaan koottua 6 alkioinen joukko Järjestyskin saadaan luonnollisesti Esimerkiksi, koska jokaisella 2 alkioisen joukon alkiolla on aina oma vastineensa missä tahansa 3 alkioisessa joukossa Emme kuitenkaan perehdy tässä yhteen- ja kertolaskun tai järjestyksen problematiikkaan sen tarkemmin, vaan oletamme peruslaskutoimitukset tunnetuiksi Edellä mainittujen ominaisuuksien lisäksi luonnollisilla luvuilla on eräs hyvin tärkeä ja luonnollisen tuntuinen ominaisuus, joka voidaan ottaa (tai joudutaan ottamaaan) aksioomaksi Tarkastellaan sitä varten ensin seuraavien yhtälöiden kuvaamaa päättelytehtävää: Miten päätellä lukuun 99 päättyvä summa? Tai yleisemmin parittomien lukujen summa annettuun (mahdollisesti hyvinkin suureen) lukuun asti? Tähän olisi helppo vastata, jos viimeisimmän yhtälön oikealle puolelle keksittäisiin jokin selkeä lauseke Ensimmäisistä yhtälöistä näkyy, että jokin neliölauseke olisi hyvä ehdokas, olisikohan yksinkertaisesti n 2 Mutta miten voimme tietää, onko se oikein? : ? : ( 2n 1)? { 0, 1} Kaikkia summia emme voi kuvitella pystyvämme erikseen tarkistamaan Tämän pulman ratkaisemme ajattelemalla rekursiivisesti: Toteamme ensin, että ensimmäinen yhtälö pitää paikkansa Sitten huomaamme, että edellinen summa esiintyy aina seuraavan osana: toisen

17 II LUKUTEORIAA 15 yhtälön summassa esiintyy ensimmäisen yhtälön summa (tosin typistyneenä pelkäksi luvuksi 1 ), kolmannen yhtälön summassa esiintyy osana toisen yhtälön summa 1 3, neljännen yhtälön summassa esiintyy osana kolmannen yhtälön summa, jne Saamme siis seuraavan summatuloksen varsin helposti, jos tiedämme edellisen tuloksen Jospa vielä pystyisimme löytämään yleispätevän säännön siitä, miksi ja miten edellisen rivin tulos antaa aina seuraavan rivin tuloksen! Tarkastellaan lähemmin kahta peräkkäistä summaa 1 3 ( 2n 1) ja 1 3 ( 2n 1) ( 2n 1) Oletetaan, että edelliselle summalle pätee yhtälö 1 3 ( 2n 1) n 2 Tarkastellaan sitten jälkimmäistä summaa 1 3 ( 2n 1) ( 2n 1) Sen alkuosassa esiintyy edellinen summa, jonka siis otaksumme olevan saamme, että 1 3 ( 2n 1) ( 2n 1) n 2 ( 2n 1) ( n 1) 2 n 2 Sijoittamalla sen Olemme siten saaneet seuraavan säännön: aina jos edellisen summan tulos on n 2, on seuraavan summan tulos ( n 1) 2 Tätä sääntöä käyttäen päättelemme seuraavasti: koska ensimmäinen summa antaa luvun 1 neliön, niin toinen summa antaa luvun 2 neliön, kolmas summa antaa luvun 3 neliön, neljäs summa antaa luvun 4 neliön, jne Mutta mistä tiedämme, että sääntö pätee loputtomiin? Tällaisen päättelyn matemaattiseksi oikeutukseksi tarvitsemme seuraavaa luonnollisten lukujen perusominaisuutta Induktioaksiooma 11 Jos luonnollisten lukujen osajoukolle A pätevät ehdot (a) 0 A ja (b) n : ( n A n 1 A), sisältää joukko A kaikki luonnolliset luvut eli A Nyt voimme muotoilla tuloksen, jota voidaan käyttää pykälän alussa esitetyn kaltaisten tehtävien tulosten todistamiseen Lause 12 (Täydellinen induktio eli matemaattinen induktio) Olkoon jokin luonnollisesta luvusta n (a) P( 0) pätee ja riippuva lause, jolle (b) jokaiselle n siitä, että P( n) pätee, seuraa että P( n 1) pätee Tällöin P( n) pätee kaikilla n P( n) Todistus Tarkastellaan joukkoa A { n P( n) pätee } Tälle joukolle pätee oletuksen mukaan ensinnäkin se, että 0 A, ja toiseksi se, että jokaiselle n ehdosta n A seuraa, että n 1 A Siten induktioaksiooman mukaan A, ts lause P( n) on aina tosi

18 16 Täydellisessä induktiossa se väite, että P( n 1) pätee, on induktio-oletus, ja se väite, että pätee, on induktioväite Oleellisin ja yleensä vaikein kohta induktiotodistuksessa on osoittaa oletuksen P( n) avulla väite P( n 1) oikeaksi Tätä sanotaan induktioaskeleeksi Sellaista päättelyä, jonka todistus perustuu täydelliseen induktioon, sanotaan myös induktiopäättelyksi Täydellistä induktiota ei tarvitse aina aloittaa luvusta 0, vaan se voidaan aloittaa tarvittaessa jostain suuremmastakin luvusta Näin saadaan seuraava induktiotodistuksen muoto Seuraus 13 (Täydellinen induktio jostain luvusta alkaen) Olkoon jokin luonnollisesta luvusta n riippuva lause ja n 0 Oletetaan, että (a) P( n 0 ) pätee, ja (b) jokaiselle n, jolle n n 0, siitä, että P( n) pätee, seuraa että P( n 1) pätee Tällöin P( n) pätee kaikilla n, joilla n n 0 Todistus Kun tarkastellaan avointa lausetta Q( n) P( n 0 n), huomataan, että sille pätevät täydellisen induktion oletukset Siten Q( n) pätee aina eli P( n) pätee kaikilla niillä n, joilla n n 0 Esimerkki 14 Palataan pykälän alussa esitettyyn tehtävään, jossa pyrittiin laskemaan parittomien lukujen summaa Arvasimme silloin, että vastaukseksi tulisi 1 3 ( 2n 1) n 2 Osoitamme sen nyt oikeaksi täydellisellä induktiolla Olkoon P( n) väite, että yllä oleva kaava pätee luvulle n 1 Koska 1 1 2, väite P( 1) pätee Oletetaan sitten induktio-oletuksena, että pätee, ts 1 3 ( 2n 1) n 2 Pitää seuraavaksi osoittaa oikeaksi induktioväite eli että osoittaa, että P( n) 1 3 ( 2( n 1) 1) ( n 1) 2 pätee Toisin sanoen pitää Lähdemme kehittämään yhtälön vasenta puolta tavoitteena saada se muunnettua oikean puolen lausekkeeksi: P( n) P( n 1) 1 3 ( 2( n 1) 1) 1 3 ( 2n 1) P( n) 1 3 ( 2n 1) ( 2n 1) Nyt huomaamme, että alkuosassa esiintyy väitteen P( n) summa, jonka siis tiedämme induktio-oletuksen mukaan olevan n 2 Sijoittamalla sen saamme, että 1 3 ( 2( n 1) 1) n 2 ( 2n 1) ( n 1) 2 Olemme siten todistaneet induktioväitteen P( n 1) oikeaksi Täydellisen induktion periaatteen mukaan siis väite P( n) pätee kaikilla n, joille n 1

19 II LUKUTEORIAA 17 Esimerkki 15 Osoitetaan täydellisellä induktiolla oikeaksi kaava 1 2 n 1 --n ( n 1), kun n 1 2 Olkoon sitä varten P( n) väite, että yllä oleva (ns Gaussin) kaava pätee Väite P( 1) pitää 1 paikkansa, koska ( 1 1) Kun oletamme sitten, että väite P( n) pätee, saamme 2 sen avulla muokattua väitteen P( n 1) vasemman puolen summaa seuraavasti: 1 2 ( n 1) ( 1 2 n) ( n 1) 1 -- ( n 1) ( n 2) 2 mikä osoittaakin jo, että pätee Induktiotodistus on käyty läpi, ja siten annettu kaava pätee kaikilla n 1 Esimerkki 16 Olkoon mielivaltainen reaaliluku Osoitetaan, että kaikilla luonnollisilla luvuilla n Olkoon sitä varten P( n) väite, että yllä oleva kaava pätee Väite P( 0) pätee, koska ( 1 x) 1 1 x 1 (yhtälön vasemmalla puolella käytetään hyväksi sopimusta x 0 1) Kun sitten oletamme, että P( n) pätee, silloin mikä osoittaa, että myös kaava pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n pätee Induktiotodistus on siis käyty läpi, ja siten annettu Opiskelutehtävä 10 Tarkastele summia 1 2, 1 2 4, jne Päättele yleinen sääntö, joka ilmoittaa, mikä tällaisen summan tulokseksi tulee Osoita se oikeaksi Mikä on siten summan tulos? [Vinkki s 101] Opiskelutehtävä 11 Osoita, että 4n n 2 7, kun n 6 [Vinkki s 101] Opiskelutehtävä 12 Osoita, että 2 n n!, kun n 4 [Ratkaisu s 101] Induktioaksiooman avulla voimme todistaa seuraavan, ennalta ilmeisen tuntuisen tuloksen, jota tarvitsemme seuraavassa pykälässä ja myöhemminkin Tämä ns pienimmän alkion periaate on siinä mielessä tasavertainen induktioaksiooman kanssa, että se voidaan ottaa yhtä hyvin aksioomaksi ja induktioperiaate voidaan silloin todistaa sen avulla Lause 17 (Pienimmän alkion periaate) Jokaisessa luonnollisten lukujen epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio P( n 1) x 1 -- ( n 1) [( n 1) 1], 2 ( 1 x) ( 1 x x 2 x n ) 1 x n n ( n 1) ( n 1) 2 ( 1 x) ( 1 x x 2 x n 1 ) ( 1 x) ( 1 x x 2 x n ) ( 1 x)x n 1 ( 1 x n 1 ) ( 1 x)x n 1 1 x n 2 1 x ( n 1) 1, P( n 1) Todistus Olkoon jokin luonnollisten lukujen epätyhjä osajoukko Tarkastellaan apujoukkoa A B { b b a kaikilla a A} Tämä joukko ei ole tyhjä, sillä luku 0 täyttää ilman muuta sen määrittelyehdon

20 18 n Apuväite 1: Joukossa B on alkio n siten, että n 1 B Tehdään vastaväite: Joukossa B ei ole tällaista alkiota, jolloin jokaiselle n B pätee, että 1 B Silloin joukko B toteuttaa induktioaksiooman oletukset, joten sen mukaan B N Joukon A mielivaltaiselle alkiolle a on a 1 luonnollisena lukuna myös joukon B alkio Siten joukon B määritelmän mukaan olisi a 1 a, mikä on selvä ristiriita Vastaväite on siis väärin ja itse väite eli apuväite 1 oikein Apuväite 2: Luku n on joukon A pienin alkio, ts n mina Koska n 1 B, on olemassa alkio a 0 A siten, että a 0 n 1 Toisaalta n a 0, joten on oltava n a 0 A Koska edelleen ehdon n B mukaan n a kaikilla a A, on luku n joukon A pienin alkio Apuväite 2 ja siten koko lause on todistettu Pienimmän alkion periaatteesta seuraa ns rajallisen laskeutumisen periaate: Jos lähdetään jostain positiivisesta kokonaisluvusta ja sitä pienennetään askel askeleelta yhä pienemmäksi luonnolliseksi luvuksi, ei tätä voida tehdä loputtomasti positiivisten lukujen joukossa, vaan jossain vaiheessa päädytään välttämättä nollaan Harjoitustehtäviä 18 1 Osoita, että ( 4n 1) ( n 1) ( 2n 1), kun n 1 2 Osoita, että n n( n 1) ( 2n 1), kun n Osoita, että 2 n n 2, kun n 5 4 Piirretään ympyrään n eri jännettä ( n 1) Osoita, että näiden rajoittamat ympyräalueet voidaan värittää kahdella värillä niin, että milloinkaan jänteen tai sen osankaan eri puolin ei tule saman väristä aluetta (samanväristen alueitten kärjet voivat koskettaa toisiaan) 5 Tason monikulmio on konveksi, jos kahta eri kärkeä yhdistävät janat ovat aina kokonaan kulmion sisällä (eli mikään sisäkulma ei ole oikokulmaa isompi) Konveksi Epäkonveksi Osoita, että kun n 3, on konveksissa n kulmiossa sisäkulmien summa ( n 2) Oletetaan, että käytössäsi on kolmenkymmenen ja viidenkymmenen sentin postimerkkejä Osoita, että näillä voit maksaa minkä tahansa vähintään kahdeksankymmentä senttiä maksavan tasakymmensenttisen postimaksun 7 Todista binomikertoimille n n! ns Pascalin sääntö r r! ( n r)! n n, kun r 1 r n 1 1 r n r (Yllä määrittelyssä esiintyvä n kertoma n! tarkoittaa tuloa n( n 1) ( n 2) 2 1 Lisäksi sovitaan, että 0! 1)

21 II LUKUTEORIAA 19 8 Todista induktiolla ns Pascalin binomikaava: ( 1 x) n n n n x x 2 n, n x n missä n ja x (Vihje: Käytä edellisen tehtävän sääntöä hyväksi) 9 Osoita, että kaikilla reaaliluvuilla r 1 ja kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1 pätee ns geometrisen sarjan osasummakaava 1 r r 2 r n 1 r n r n r 1 2 Jaollisuus Esittäessämme murtoluvun muodossa 13 1 käytämme itse asiassa hyväksi yhtälöä Yleisemmin, kun kaksi luonnollista lukua jaetaan tällä tavalla, saadaan ilmeisesti aina aikaan jakotuloksen kokonaisosa ja jakojäännös Tämä ns jakoyhtälö osoitetaan seuraavassa oikeaksi pienimmän alkion periaatteella Koska samat tarkastelut voidaan tehdä jatkossa usein myös negatiivisille luvuille, siirrymme tarkastelemaan kaikkien kokonaislukujen joukkoa {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Tässä esiintyvät negatiiviset luvut voidaan matemaattisesti määritellä luonnollisten lukujen väärässä järjestyksessä tehdyillä erotuksilla: jne,,, Todistamme tulevien tarkastelujen perustaksi heti kokonaislukuja koskevan jakoyhtälön Jakoyhtälö 21 Kahdelle kokonaisluvulle m ja n, joista n on positiivinen, on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt kokonaisluvut q ja r siten, että m qn r ja 0 r n Tässä yhtälössä m on jaettava, n on jakaja, q on jakotulos (tai osamäärä) ja r on jakojäännös (eli "jaettava = jakotulos jakaja + jakojäännös") Todistus Havainnollistetaan väitettä ensin reaaliakselilla alla olevilla kuvioilla m Š 0 0 qn m (q + 1) n r m < 0 qn m (q + 1) n r Jakoyhtälön olemassaolon todistamiseksi tarkastellaan luonnollisten lukujen osajoukkoa A { s s m qn jollekin q } 0

22 20 Se ei ole tyhjä joukko, sillä ainakin on sen alkio Pienimmän alkion periaatteen mukaan joukossa A on pienin alkio, olkoon se r Joukon A alkiona sillä on esitys r m qn jollekin kokonaisluvulle q Siten m qn r Lisäksi tässä r n, sillä jos olisi päinvastoin r n, olisi luku s m qn n m ( q 1)n lukua r pienempi joukon A alkio Osoitamme sitten jakoyhtälön yksikäsitteisyyden Oletetaan, että on kaksi esitystä m q 1 n r 1, 0 r 1 n m q 2 n r 2, 0 r 2 n Koska silloin ( q 1 q 2 )n r 2 r 1, riittää osoittaa, että q 1 q 2 Jos olisi q 1 q 2, olisi q 1 q 2 1 ja edelleen r 2 r 1 ( q 1 q 2 )n 1 n n, mikä on mahdotonta Samasta syystä vaihtoehto q 1 q 2 ei käy Siten on oltava q 1 q 2 Silloin myös r 1 r 2 Esimerkki 22 Luvuille m 4187 ja n 129 saadaan laskimella jakotulokseksi likiarvo 32,46 Kun valitaan tämän kokonaisosa 32 jakotulokseksi q, saadaan jakojäännökseksi r Annetuille luvuille m ja n jakoyhtälö on siten muotoa , ts niille q 32 ja r 59 Jakoyhtälön erikoistapaus saadaan silloin, jos jakojäännös sattuu olemaan nolla, ts jos jako sattuu menemään tasan Jos kokonaisluvuille m ja n on m qn jollekin kokonaisluvulle q, sanotaan, että luku m on jaollinen luvulla n, tai että n on luvun m tekijä, tai että n jakaa luvun m, merkitään n m m m 0 n (jolloin pystyviivan voi lukea jakaa-sanana) Siis n m m qn jollekin q Tehtävä Määrää kaikki luvun 45 tekijät Määrää edelleen luvun 60 kaikki positiiviset tekijät Opiskelutehtävä 13 Määrää kaikki luvun 496 positiiviset tekijät ja laske ne yhteen Mitä huomaat? Eräällä luvulla lukujen 20 ja 30 välissä on sama ominaisuus Millä? [Vinkki s 102] Seuraavassa on tärkeimpiä jaollisuuden perusominaisuuksia Lause 23 Olkoot m, n ja p kokonaislukuja (a) Jos m n ja n p, niin m p (b) Jos p m ja p n, niin p am bn kaikilla kokonaisluvuilla a ja b (c) Jos p m ja p n, niin p m n (d) Jos m n ja n m, niin m n Todistus (a) Oletuksen mukaan n qm ja p rn joillekin kokonaisluvuille q ja r, joten p ( rq)m eli m p (b) Tämän kohdan oletuksen mukaan m rp ja n sp, joten kaikilla kokonaisluvuilla a ja b on am bn arp bsp ( ar bs)p eli p am bn (c) Jos luku p jakaisi summan m n, oletuksen p m ja kohdan (b) mukaan se jakaisi myös luvun ( m n) m n, mikä on vastoin oletusta Siis p m n

23 II LUKUTEORIAA 21 (d) Koska oletuksen mukaan n rm ja m sn, on m srm Jos m 0, myös n 0 Jos taas m 0, yhtälöstä m srm seuraa, että sr 1 ja siten joko s r 1 tai s r 1 Joka tapauksessa pätee, että m n Opiskelutehtävä 14 Osoita (induktiolla), että luonnollisille luvuille n pätee: a) 5 n 5 n ja b) 6 n 3 5n [Vinkki s 102] Kahdella eri luvulla voi olla samoja lukuja tekijöinään Ne ovat näiden lukujen yhteisiä tekijöitä tekijä Tehtävä Määrää lukujen 45 ja 60 kaikki yhteiset tekijät Määrittelemme edelleen, että nollasta eroavien kokonaislukujen ja n suurin yhteinen on näiden yhteinen positiivinen tekijä, joka on jaollinen kaikilla muilla yhteisillä tekijöillä Toisin sanoen luonnollinen luku d on syt( m, n), jos se toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa: (a) d n ja d m, (b) jos e n ja e m, niin e d Lisäksi sovitaan, että syt( 0, n) n, kun n 0 Tehtävä Mikä lukujen 45 ja 60 yhteisistä tekijästä on suurin? Mitä voit jaollisuuden mielessä sanoa muitten suhteesta suurimpaan (muuta kuin, että ne ovat pienempiä)? Onko tämä yhteisten tekijöiden suurin luku myös suurin yhteinen tekijä edellä olevan määrittelyn mukaan? On selvää, etteivät lukujen merkit vaikuta suurimpaan yhteiseen tekijään, joten syt( m, n) syt( m, n) Voimme siis tarkasteluissa yleisesti ilman rajoituksia olettaa, että kaikki tarkasteltavat luvut ovat positiivisia Selvää on myös, että luvun ja sen tekijän suurin yhteinen tekijä on se tekijä: Isoille luvuille yhteisten tekijöiden etsiminen on työläs tehtävä On osoitettu jopa, että ei ole olemassa mitään nopeaa ja yleisesti toimivaa algoritmia, joilla kokonaislukujen tekijät voitaisiin määrätä Täysin yllättävää onkin, että paitsi etsimällä yhteisten tekijöiden joukosta suurinta, suurin yhteinen tekijä voidaan määrätä suoraankin, ilman muiden tekijöiden etsimistä Tämän jo Eukleideen tunteman menettelyn johtamiseksi todetaan ensin, että suurinta yhteistä tekijää määrättäessä toista lukua voidaan muuttaa toisen monikerralla Lause 24 Nollasta eroaville kokonaisluvulle m ja n on kaikille kokonaisluvuille c Todistus Jokainen lukujen m ja n yhteinen tekijä on myös luvun m cn tekijä Ja päinvastoin lukujen m cn ja n yhteinen tekijä on myös luvun m ( m cn) cn tekijä Tarkasteltavilla lukupareilla on siis samat yhteinen tekijät ja siten myös sama suurin yhteinen tekijä d m n syt( m, n) syt( m, n) m syt( m, n) syt( m cn, n) m

24 22 Kahden luvun suurinta yhteistä tekijää määrättäessä voimme siis suuremmasta luvusta vähentää pienemmän monikertoja ilman että suurin yhteinen tekijä muuttuu Esimerkiksi luvuille 4187 ja 129 on jakoyhtälön mukaan , joten syt( 4187, 129) syt( , 129) syt( 59, 129) Käyttämällä saatuun lukupariin uudelleen jakoyhtälöä voimme edelleen pienentää suurempaa lukua: koska , on syt( 59, 129) syt( 59, ) syt( 59, 11) Tällä parilla ei selvästikään ole ykköstä isompia tekijöitä, joten niitä ei ole alkuperäisellä lukuparillakaan Tällaisen päättelyn toistamiseen perustuukin ns Eukleideen algoritmi suurimman yhteisen tekijän määräämiseksi Esitetään seuraavassa sen yleiset vaiheet ja palataan sen jälkeen vielä äskeiseen esimerkkiin Eukleideen algoritmi 25 Olkoot ja n positiivisia kokonaislukuja Näiden suurin yhteinen tekijä d saadaan seuraavalla algoritmilla: 1 Jaetaan luku m luvulla n jakoyhtälön mukaisesti: m q 0 n r 0, 0 r 0 n Jos tässä r 0 0, valitaan d n ja lopetetaan 2 Jos r 0 0, muodostetaan jakoyhtälö luvuille n ja r 0 : n q 1 r 0 r 1, 0 r 1 r 0 Jos tässä r 1 0, valitaan d r 0 ja lopetetaan 3 Tästä eteenpäin jatketaan seuraavan periaatteen mukaisesti: Aina, jos jakojäännös on nolla, valitaan edellinen jakojäännös luvuksi d Jos taas jakojäännös ei ole nolla, muodostetaan uusi jakoyhtälö niin, että edellinen jakaja siirretään uudeksi jaettavaksi ja edellinen jakojäännös uudeksi jakajaksi m jaettava = jakotulos jakaja + jakojäännös jaettava = jakotulos jakaja + jakojäännös 4 Koska tällaisessa menettelyssä uusi jakojäännös on aina edellistä pienempi, ei pienimmän alkion (tai rajallisen laskeutumisen) periaatteen johdosta jakojäännös voi olla loputtomasti positiivinen, vaan jossain vaiheessa jakojäännökseksi on tultava nolla Silloin, olkoon se vaiheessa k, saadaan seuraavanlainen tilanne: r k 2 q k r k 1 r k, 0 r k r k 1 r k 1 q k 1 r k 5 Valitaan d r k, ts valitaan viimeinen nollasta eroava jakojäännös suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi Todistus Perustellaan lyhyesti algoritmin toimivuus Ensinnäkin, viimeisestä yhtälöstä nähdään, että r k r k 1 Tällöin myös r k q k r k 1 r k eli r k r k 2 Näin päättelyä jatkamalla (ja tarvittaessa induktiolla todistamalla) nähdään, että luku r k jakaa jokaisen edeltävistä jakojäännöksistä ja lopulta myös luvut n ja m Luku r k on siis näiden yhteinen tekijä

25 II LUKUTEORIAA 23 Toisaalta, koska r k r k 2 q k r k 1 r k 2 q k ( r k 3 q k 1 r k 2 ) a k 2 r k 2 b k 3 r k 3 (joillekin kokonaisluvuille a k 2 ja b k 3 ), voidaan ilmeisesti (ja täydellisellä induktiolla todistaen) r k ilmoittaa muodossa r k am bn joillekin a, b Tämän yhtälön ja lauseen 23 kohdan (b) perusteella jokainen lukujen ja n yhteinen tekijä on myös luvun r k tekijä Määritelmän mukaan luku r k on lukujen m ja n suurin yhteinen tekijä Esimerkki 26 Määrätään d syt( 4187, 129) : Siten d 1 Tehtävä Määrää Eukleideen algoritmilla lukujen 345 ja 45 suurin yhteinen tekijä m Lause 27 Nollasta eroavien kokonaislukujen m ja n suurin yhteinen tekijä d voidaan esittää muodossa d am bn joillekin a, b Todistus Katso Eukleideen algoritmin 25 todistuksen loppuosa h Muotoa am bn, missä a, b, olevaa summaa sanomme lukujen m ja n monikertasummaksi Myös lineaarialgebrallista termiä "kokonaislukukertoiminen lineaarikombinaatio" käytetään yleisesti Opiskelutehtävä 15 Ilmoita luvuille 60 ja 84 a) niiden positiiviset tekijät, b) niiden yhteiset positiiviset tekijät, c) niiden suurin yhteinen tekijä, ja d) yritä keksiä tälle jokin esitys alkuperäisten lukujen monikertasummana [Vinkki s 102] Esimerkki 28 Edellisessä esimerkissä 26 saatiin lukujen m 4187 ja n 129 suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi d 1 Esitetään se muodossa d am bn: ( ) ( ) ( ) ( ) Luvuiksi a ja b kelpaavat siis esimerkiksi luvut a 35 ja b 1136

26 24 Huomaa, että monikertasumman kertoimia a ja b ratkaistaessa, ns paluualgoritmia tehtäessä, laskuissa esiintyviä jakojäännöksiä ei kerrota koskaan, vaan vain näiden kertoimia yhdistellään Se jakojäännös, joka on luvun d ratkaisualgoritmissa, menoalgoritmissa, myöhemmin saatu, korvataan aina kahden edellisen jakojäännöksen monikertasummalla, kunnes lopulta saadaan lukujen m ja n monikertasumma Opiskelutehtävä 16 Määrää Eukleideen algoritmilla lukujen 60 ja 84 suurin yhteinen tekijä ja sille esitys näiden lukujen monikertasummana [Vinkki s 102] Suurimman yhteisen tekijän esityksessä d am bn kertoimet a ja b eivät ole yksikäsitteiset, koska näiden tilalle voi aina sijoittaa myös luvut a q n -- ja b q m, missä d --- d voi olla mikä tahansa kokonaisluku Jos toisaalta jokin muu luku e voidaan esittää muodossa e am bn, silloin lukujen m ja n suurin yhteinen tekijä d jakaa luvun e Olemme siten todenneet oikeaksi seuraavan karakterisoinnin Lause 29 Nollasta eroavien kokonaislukujen m ja n suurin yhteinen tekijä d on pienin positiivinen luku e, joka voidaan esittää muodossa e am bn, missä a, b Jos erikoisesti syt( m, n) 1, kuten esimerkissä 26, sanomme, että luvut m ja n ovat keskenään jaottomat tai suhteellisesti jaottomat Puhutaan myös suhteellisista alkuluvuista Nämä ovat vakiintuneita termejä, kuvaavampia voisivat olla yhteistekijättömät tai keskenään supistumattomat Huomaa, että keskenään jaottomuus ei tarkoita sitä, että luvut eivät jaa toisiaan, vaan sitä, että niillä ei ole ykköstä isompia yhteisiä tekijöitä Tehtävä Ovatko luvut 15 ja 28 keskenään jaottomat? Entä 35 ja 84? q ja n ovat keskenään jaottomat täsmälleen sil- Lause 210 Nollasta eroavat kokonaisluvut loin, kun am bn 1 joillekin a, b m Todistus Kokonaisluvut m ja n ovat keskenään jaottomat, jos ja vain jos niiden suurin yhteinen tekijä on yksi Lauseiden 27 ja 29 perusteella tämä on taas yhtäpitävää sen kanssa, että am bn 1 joillekin kokonaisluvuille a ja b Seuraavassa on eräitä tavallisimpia suurimman yhteisen tekijän ominaisuuksia Näiden todistukset sivuutetaan tässä Lause 211 Olkoot m, n ja k nollasta eroavia kokonaislukuja Tällöin seuraavat pätevät: (a) jos c 0, niin syt( cm, cn) c syt( m, n), (b) syt( m, n) syt( m, n cm) kaikilla c, (c) syt( syt( m, n), k) syt( m, syt( n, k) ) syt( syt( m, k), n), (d) jos syt( m, n) 1 ja syt( m, k) 1, niin syt( m, nk) 1, (e) jos syt( m, n) 1 sekä m ja n ovat molemmat luvun k tekijöitä, myös tulo mn on luvun k tekijä Opiskelutehtävä 17 Olkoot m ja n keskenään jaottomia kokonaislukuja sekä kokonaisluku k sellainen, että m kn Osoita, että tällöin m k [Vinkki s 102]

27 II LUKUTEORIAA 25 Suurin yhteinen tekijä voidaan määritellä luontevasti myös useammalle kuin kahdelle luvulle: se on kaikille yhteisistä positiivisista tekijöistä suurin, tai se on yhteisistä positiivisista tekijöistä se, joka on jaollinen kaikilla muilla yhteisillä tekijöillä Monen luvun yhteisen tekijän etsiminen voidaan aina palauttaa kahden luvun yhteisten tekijöiden määräämisiin Esimerkiksi kolmelle luvulle m, n ja k pätee, että syt( m, n, k) syt( syt( m, n), k) Nollasta eroaville kokonaisluvuille m ja n voidaan myös määritellä pienin yhteinen jaettava (pyj) Se on positiivinen kokonaisluku e, jolle on voimassa ehdot (a) m e ja n e, ja (b) jos m f ja n f, niin e f On selvää, että aina e mn, mutta pienin yhteinen jaettava voi olla tätä tuloa pienempikin Esimerkiksi lukujen 12 ja 18 pienin yhteinen jaettava on 36 Voidaan osoittaa, että pienimmälle yhteiselle jaettavalle e pätee yhtälö de mn, kun d on kyseisten lukujen suurin yhteinen tekijä Pienimmän yhteisen jaettavan laskeminen palautuukin siis kaavalla e mn d suurimman yhteisen tekijän määräämiseen Harjoitustehtäviä Määrää lukujen 2279 ja 989 suurin yhteinen tekijä 2 Osoita, että syt( 127, 87) 1, ja määrää jotkin sellaiset kokonaisluvut x ja y, että 127x 87y 1 3 Oletetaan, että kokonaisluku d 1 on sellainen, että jollekin kokonaisluvulle k sekä d ( 3k 5) että d ( 7k 2) Osoita, että tällöin d 29 4 Olkoot m ja n nollasta eroavia kokonaislukuja ja d niiden suurin yhteinen tekijä Osoita, että kokonaisluvut m ja n ovat keskenään jaottomia d d 5 Tarkastellaan, milloin ns Diofantoksen yhtälöllä ax by c, missä a, b ja c ovat kokonaislukuja, on kokonaislukuratkaisuja x ja y Olkoon d syt( a, b) Osoita, että edellä oleva Diofantoksen yhtälö ratkeaa täsmälleen silloin kun d c

28 26 3 Lukujärjestelmistä Kun kirjoitamme esimerkiksi luvun 2785, tarkoitamme sillä lukua, joka saadaan, kun lasketaan yhteen kaksi tuhatta, seitsemän sataa, kahdeksan kymmentä ja viisi yksikköä Toisin sanoen Meistä on selvää, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää ns desimaalimuodossa eli 10 kantaisessa muodossa n d r d r 1 d 2 d 1 d 0, missä luvut d i ovat kokonaislukuja ja 0 d i 9 Tällä tarkoitamme summaesitystä n d 0 d 1 10 d d r 1 10 r 1 Desimaaliesityksen etunahan on se, että kymmenellä merkillä 0, 1,, 9 pystytään ilmaisemaan isohkojakin lukuja Mihin tämä desimaaliesitys itse asiassa perustuu? Entä onko luvulla 10 jokin erityinen ominaisuus, joka mahdollistaa tällaiset esitykset? Voisiko luvut esittää vähemminkin merkein? Voisiko kaikki kokonaisluvut esittää käyttäen peräti vain kahta merkkiä, esimerkiksi nollaa ja ykköstä? Katsotaan kertoimien muotoutumista ensin luvulle 2785 Muodostetaan jakoyhtälöt , jolloin näistä saadaan esitys Tämä menettely voidaan yleistää mielivaltaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n Muodostetaan jakoyhtälön mukaisesti peräkkäiset yhtälöt Tässä kaikki jakojäännökset d 0, d 1, d 2, toteuttavat ehdon 0 d i 9 Kertoimet n 1, n 2, n 3, taas muodostavat laskevan kokonaislukujonon n 1 n 2 n 3 Pienimmän alkion periaatteen mukaan näin ei voi kuitenkaan jatkua loputtomasti Jollekin indeksille r tulee siten vastaan yhtälö n r 1 n r 10 d r 1, jossa n r 1 10 ja n r 10 (paitsi jos n 10, jolloin on jo n 0 0) Silloin n r 0 10 n r Kun valitaan d r n r ja sijoitetaan luvun n i 1 esitys yksi kerrallaan edellisen luvun n i esitykseen, saadaan luvulle n yllä mainittu esitys Käytetäänkö edellä olevassa menettelyssä jotain luvun 10 erityistä ominaisuutta? Ei, käytetään vain sitä, että tämän luvun suhteen voidaan muodostaa jakoyhtälö, jossa jakotulos on jaettavaa pienempi Sama menettely voidaan tehdä siten minkä tahansa ykköstä isomman ko- n d r 10 r ( ) ( ) n n 1 10 d 0 n 1 n 2 10 d 1 n 2 n 3 10 d 2 jne n d 0 d 1 10 d d r 1 10 r 1 d r 10 r

29 II LUKUTEORIAA 27 konaisluvun suhteen Tuloksena tästä kaikesta on, että jos k on ykköstä isompi kokonaisluku, on jokaisella positiivisella kokonaisluvulla esitys n d 0 d 1 k d 2 k 2 d r 1 k r 1 d r k r, missä 0 d i k Tämän sanotaan olevan luvun n esitys k kantaisessa lukujärjestelmässä Lukua k sanotaan lukujärjestelmän kantaluvuksi Desimaaliesityksen tapaan se voidaan merkitä lyhyemmin muodossa n ( d r d r 1 d 2 d 1 d 0 ) k Tarkempi todistus esityksen olemassaolosta voidaan tehdä täydellisellä induktiolla Samalla voi osoittaa, että tällainen esitys on yksikäsitteinen, ts jos esityksessä yksikin numero vaihdetaan toiseksi, saadaan eri luku Negatiivisille kokonaisluvuille vastaava esitys saadaan sen itseisarvon esityksestä vaihtamalla kaikkien kertoimien d i merkit negatiivisiksi Lyhennetyssä merkinnässä miinusmerkki kirjoitetaan kuitenkin vain kerran koko esityksen eteen Tietokonemaailmassa käytetään erityisesti kantalukuja k 2, k 8 ja k 16 Kokonaislukujen esityksiä näissä lukujärjestelmissä sanotaan vastaavasti binääri-, oktaali- ja heksadesimaaliesityksiksi Binääriesityksessä käytetään vain numeroita 0 ja 1, oktaaliesityksessä taas numeroita 0, 1,, 7 Heksadesimaaliesityksessä käytetään yleisesti numeroiden 0, 1, 2,, 9 jälkeen desimaalilukujen 10, 11, 12, 13, 14 ja 15 tilalla merkkejä A, B, C, D, E ja F Miten sitten kokonaisluvun esitys toisessa lukujärjestelmässä voidaan löytää? Tarkastellaan ensin kymmenjärjestelmässä esitetyn luvun muuntamista k kantaiseen järjestelmään Periaatteessa on kaksi mahdollisuutta, ylhäältä alas ja alhaalta ylös Jälkimmäisessä määrätään ensin vähäpainoisin numero d 0 ja edetään sitten yksi kerrallaan suuripainoisimpaan numeroon d r Tämä menettely on itse asiassa aivan sama kuin yllä esitetty menetelmä, jolla esityksen olemassaolo perusteltiin Jakoyhtälöistä saadaan luettua esitys n ( d r d 2 d 1 d 0 ) k (kun n 0 ) Toinen tapa huomataan esityksestä n d 0 d 1 k d 2 k 2 d r 1 k r 1 d r k r kun se kirjoitetaan muotoon n d r k r ( d 0 d 1 k d 2 k 2 d r 1 k r 1 ) Tässä esityksessä suluissa oleva luku on pienempi kuin k r, joten se on itse asiassa se jakojäännös c r, joka saadaan, kun luku n jaetaan luvulla k r Toisaalta ehtojen d r k ja c r k r perusteella on n n 1 k d 0 n 1 n 2 k d 1 n 2 n 3 k d 2 A n r 0 k n r n d r k r c r d r k r k r ( d r 1)k r k k r k r 1 n

30 28 Tämän mukaan r on suurin sellainen potenssi, että k r ei ylitä lukua n ja johtava numero d r saadaan silloin jakoyhtälöstä n d r k r c r Seuraava numero saadaan jakoyhtälöstä c r d r 1 k r 1 c, jne Tämä menettely on käyttökelpoinen varsinkin silloin, kun tiedetään valmiiksi kantaluvun k r 1 potenssit Esimerkki 31 Muunnetaan kymmenjärjestelmän luku 109 binäärijärjestelmään Ensimmäinen tapa Kakkosella jakaen muodostetaan jakoyhtälöt Jakojäännökset takaperoisesti lukien saadaan esitys 109 ( ) 2 Toinen tapa Kakkosen potensseista huomataan, että on suurin potenssi, joka ei ylitä lukua 109 Aloitetaan jakaminen sillä ja edetään sitten jakamalla saadut jakojäännökset aina edellisellä kakkosen potenssilla: Kakkosen potenssien kertoimista saadaan nyt esitys 109 ( ) 2 Esimerkki 32 Muunnetaan kymmenjärjestelmän luku 2000 heksadesimaalijärjestelmään Huomaten, että , , , , , ,, muodostetaan jakoyhtälöt 2 3 8, Tästä nähdään, että 2000 ( 7D0) 16 Tehtävä Muunna heksadesimaaliluvut 1, 2,, F binääri- ja oktaaliluvuiksi Muista lukujärjestelmistä kymmenjärjestelmään päin siirtyminen on suoraviivaisempaa Esityksestä n ( d r d 2 d 1 d 0 ) k saadaan nimittäin kymmenjärjestelmän esitys n d 0 d 1 k d 2 k 2 d r 1 k r 1 d r k r, kunhan vain ensin lasketaan tarvittavat kantaluvun potenssit

31 II LUKUTEORIAA 29 Esimerkki 33 Muunnetaan heksadesimaaliluku 1B2F kymmenjärjestelmään Se tarkoittaa lukua Binääriluku vuorostaan tarkoittaa kymmenjärjestelmän lukua Opiskelutehtävä 18 Muunna heksadesimaaliluku ABC ensin desimaaliluvuksi ja sitten binääriluvuksi [Vinkki s 102] Harjoitustehtäviä 34 1 Ilmoita luku 2 22 heksadesimaalilukuna 2 Muunna heksadesimaaliluku 12AB binääriluvuksi 3 Olkoon S( n) kokonaisluvun n numeroiden summa sen desimaaliesityksessä a) Onko olemassa lukua n, jolle n S( n) 2000? b) Entä, onko olemassa lukua n, jolle n S( n) 2001? c) Mitkä luvut voidaan esittää muodossa n S( n)? 4 Alkuluvuista Jokainen nollasta eroava kokonaisluku on aina jaollinen luvulla 1 ja itsellään sekä näiden vastaluvuilla Välttämättä luvulla ei olekaan muita tekijöitä Ykköstä suurempaa kokonaislukua p, joka on jaollinen vain luvuilla 1, 1, p ja p, sanotaankin alkuluvuksi eli jaottomaksi luvuksi Muut ykköstä isommat kokonaisluvut ovat yhdistettyjä lukuja (tai jaollisia lukuja) Ne ovat silloin muotoa n rs, missä 1 r n ja 1 s n Alkulukuja ovat mm 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19 Pienet alkuluvut voi löytää suhteellisen helposti ns Eratostheneen seulalla Esimerkkinä menetelmästä määrätään lottoruudukossa esiintyvät alkuluvut (ks kuviota alla) Ensin hylätään luku 1 Luku 2 on ensimmäinen alkuluku, ja sen jälkeen viivataan yli kaikki sen monikerrat Tämän jälkeen ensimmäinen luku, jota ei ole vielä viivattu yli, on seuraava alkuluku, siis luku 3 Taas viivataan yli kaikki tämän monikerrat Näin jatketaan: Ensimmäinen vastaan tuleva luku, jota ei ole siihen mennessä viivat-

32 30 tu yli, on suuruusjärjestyksessä seuraava alkuluku Sen kaikki monikerrat viivataan sitten yli, jne Oheisessa kuviossa ympyröidyt luvut ovat tämän menetelmän mukaan lottoruudukossa esiintyvät alkuluvut Eratostheneen seulalla voi käsinkin etsiä varsin suuria alkulukuja, aina viisi-kuusinumeroisiin asti Tietokoneilla päästään tietenkin paljon kauemmaksi! Tällä menetelmällä saadaan siis kaikki tiettyyn lukuun mennessä esiintyvät alkuluvut Aina ei kuitenkaan tarvita kaikkia perättäisiä alkulukuja, vaan syystä tai toisesta ollaan kiinnostuneita löytämään mahdollisimman suuria alkulukuja Näihin palataan tämän pykälän lopussa ja RSA-menetelmän yhteydessä (tämän luvun 5 pykälässä) Opiskelutehtävä 19 Määrää kaikki satasta pienemmät alkuluvut [Vinkki s 102] Opiskelutehtävä 20 Osoita, että kaikki lukua 3 suuremmat alkuluvut ovat muotoa jollekin n [Vinkki s 102] Alkuluvuilla on jaollisuuden kannalta eräitä tärkeitä erikoisominaisuuksia Seuraava on perustavanlaatuinen Eukleideen lemma 41 Jos alkuluku p jakaa kahden kokonaisluvun m ja n tulon, se jakaa ainakin toisen tulon tekijöistä, ts jos p mn, niin p m tai p n Todistus Oletuksen mukaan mn rp jollekin r Jos luku m on jaollinen luvulla p, pitää väite paikkansa Oletetaan sitten, että m ei ole jaollinen luvulla p, ja osoitetaan, että silloin luku n on jaollinen luvulla p Koska p on alkuluku, sillä on positiivisina tekijöinään vain luvut 1 ja p Toisaalta m ole nyt jaollinen luvulla p, joten välttämättä syt( m, p) 1 On siis olemassa esitys 1 am bp joillekin kokonaisluvuille a ja b Kertomalla tämä esitys luvulla n yhtälö n n 1 amn nbp arp nbp ( ar nb)p, ei saadaan mistä näkyykin, että luku n on jaollinen luvulla p Esimerkki 42 Osoitetaan, että yhtälöllä ei ole yhtään rationaalista ratkaisua Koska kaikkia rationaalilukuja ei voi käydä läpi, lienee viisainta yrittää todistaa väitettä antiteesillä Oletetaan siis, että ( m n) 2 2 joillekin kokonaisluvuille m ja n Voimme olettaa lisäksi, että rationaaliluku m --- on supistetussa muodossa eli että luvut m ja n ovat keskenään jaottomia, ts syt( m, n) 1 Yhtälön ( m n) 2 2 mukaan m 2 2n 2, joten tulo m 2 on jaollinen alkuluvulla n 2 Eukleideen lemman mukaan silloin 2 m tai 2 m Joka tapauksessa m on siis jaollinen luvulla 2, ts m 2r jollekin kokonaisluvulle r Siten 4r 2 2n 2 eli 2r 2 n 2 luvun Vastaavasti kuin edellä päätellään, että 2 n Mutta nyt luku 2 olisi sekä luvun m että n tekijä, mikä on ristiriita näiden keskinäisen jaottomuuden kanssa Antiteesi on siis epätosi ja väite oikein x 2 2 6n 1 Esimerkki 43 Eukleideen lemmaa ei voi käyttää alkuluvun sijasta yhdistetyille luvuille Esimerkiksi 6 4 3, mutta luku 6 ei jaa kumpaakaan tekijää

33 II LUKUTEORIAA 31 Opiskelutehtävä 21 Osoita, että jos luku ei ole alkuluku, niin sillä on tekijänä jokin alkuluku p, jolle p 2 n [Vinkki s 102] Aritmetiikan peruslause 44 Ykköstä suurempi kokonaisluku on joko itse alkuluku tai se on alkulukujen tulo Todistus Tehdään vastaoletus: On olemassa yhdistettyjä positiivisia kokonaislukuja, joita ei voi esittää alkulukujen tulona Olkoon näistä pienin Yhdistettynä lukuna m on muotoa m rs, missä 1 r m ja 1 s m Koska molemmat luvut r ja s ovat pienempiä kuin m, ne ovat joko alkulukuja tai niiden tuloja Mutta silloinhan myös luku m on alkulukujen tulo, vastoin vastaoletusta Väite on siis oikein Sellaista kokonaisluvun tekijää, joka on alkuluku, sanotaan myös sen alkutekijäksi Aritmetiikan peruslauseen mukaan jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku on itse asiassa esitettävissä muodossa n 2 m n n n n p 1 1 p 2 2 p r r, missä luvut p i ovat eri alkulukuja, r 1 ja potenssit n i vähintään ykkösiä Tätä esitystä sanotaan luvun n alkutekijäesitykseksi Jos vielä alkutekijät p i ovat esityksessä pienuusjärjestyksessä, voidaan osoittaa, että esitys on silloin yksikäsitteinen Opiskelutehtävä 22 Jaa luvut 1999, 2000 ja 2001 alkutekijöihinsä [Vinkki s 102] Jos luvuilla n ja m on alkutekijäesitykset n n n n m m m p 1 1 p 2 2 p r r ja m q 1 1 q 2 2 q s s, nähdään alkulukujen jaollisuusominaisuuksien perusteella, että luku m on luvun n tekijä eli m n täsmälleen silloin, kun luvun m jokainen alkutekijä q i on luvun n jokin alkutekijä p j ja sen potenssi m i ei ylitä vastaavaa potenssia n j Kahdelle kokonaisluvulle alkutekijäesityksistä voidaan helposti muodostaa niiden suurin yhteinen tekijä: poimitaan molemmissa esiintyvät alkuluvut, valitaan näille potenssiluvuksi esitysten potensseista pienempi ja muodostetaan näiden tulo Menettelyn voi induktiivisesti yleistää useammallekin luvulle Esimerkki 45 Luvuilla 540, 450 ja 882 on alkutekijäesitykset joten , ja , syt( 540, 450, 882) Alkutekijäesityksistä näkyy myös, että mikään näistä luvuista ei jaa toista Tehtävä Selvitä, kuinka monta eri tekijää on luvuilla 108 ja (Vihje: Käytä lukujen alkutekijäesityksiä hyväksi) Lause 46 Alkulukuja on äärettömän monta Todistus Tehdään vastaoletus (millä muulla tavalla tätä voisi todistaakaan?): alkulukuja on vain äärellinen määrä, olkoot ne p 1 2, p 2 3,, p n 1 ja p n

34 32 Tarkastellaan näiden tulosta seuraavaa kokonaislukua eli lukua m p 1 p 2 p n 1 p 1 n Se ei ole jaollinen millään luetellulla alkuluvulla p i, sillä muutoin sellainen alkuluku jakaisi myös luvun 1 Se on siis joko itse alkuluku tai yhdistetty luku, jonka kaikki alkulukutekijät ovat suurempia kuin luetelluista suurin p n Joka tapauksessa on siis olemassa alkulukua suurempi alkuluku, mikä on vastoin antiteesiä Lauseen väite on siis oikein Jossain mielessä alkulukuja on kuitenkin vähemmän kuin yhdistettyjä lukuja Ovathan esimerkiksi kaikki kakkosta suuremmat parilliset luvut yhdistettyjä lukuja On myös olemassa mielivaltaisen pitkiä yhdistettyjen lukujen muodostamia jonoja Annetulle luvulle p n nimittäin luvut n! 2, n! 3,, n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja; ensimmäinen on jaollinen luvulla 2, toinen luvulla 3,, ja viimeinen luvulla n Näitä peräkkäisiä lukuja on yhteensä Jos kappaletta ( x) on niiden alkulukujen määrä, jotka ovat korkeintaan luvun x suuruisia, lähestyy ns alkulukulauseen mukaan suurilla luvun x arvoilla siihen mennessä vastaan tulleiden alkulukujen määrän ja lausekkeen suhde lukua 1 (tässä ln tarkoittaa luonnollista logaritmia) Esimerkiksi luvulle ja lauseke n 1 on alkulukujen määrä x lnx , joten niiden suhde on likimain 1,054 Alkulukulauseen todistivat J Hadamard ja J C de la Vallée-Poussin vuonna 1896 Oikein suurelle luvulle voi olla työlästä löytää sen alkutekijäesitystä Ylivoimaista voi olla jo senkin selvittäminen, onko se yhdistetty luku tai alkuluku Toisaalta eri tilanteita, esimerkiksi salakirjoitusta, varten halutaan löytää yhä suurempia ja suurempia alkulukuja Sellaisia etsittiin joskus Fermat n lukujen F n 2 2n 1 ja nykyään etenkin Mersennen lukujen x lnx x n ( x) M n 2 p 1 ( p alkuluku) joukosta (jälkimmäisistä yleisesti vain alkuluvut numeroidaan, eikä kaikkia kyseisen tyyppisiä lukuja) Pierre de Fermat ( ) itse osoitti, että luvut F 0 3, F 1 5, F 2 17, F ja F ovat alkulukuja ja väitti, että kaikki kyseisen muotoiset luvut olisivat alkulukuja Mutta Leonhard Euler osoitti v 1732, että luvulla F 5 on tekijäesitys F , ja I F Zolotarov v 1878, että F 6 on jaollinen luvulla Nykyään tiedetään, että F n ei ole alkuluku, kun 5 n 27 Luku F 11 lienee kuitenkin toistaiseksi suurin, jolle tiedetään tekijöihinjako Alkuluvuiksi Fermat n luvuista on todettu vain nuo viisi ensimmäistä ja avoin probleema onkin, onko niiden joukossa yhtään muuta Mersennen alkuluvuista ensimmäiset ovat M , M , M , M , M , M Vuoden 2006 loppuun mennessä oli löydetty kaikkiaan 44 Mersennen alkulukua Näistä tiedettiin, että

35 II LUKUTEORIAA 33 M Tämän lisäksi oli löydetty vielä isommat alkuluvut , , , ja , mutta niistä ei vielä tiedetty, olivatko ne nimenomaan järjestyksessä seuraavat Mersennen alkuluvut Viimeisimmän luvun desimaaliesityksessä on yli 9,8 miljoonaa numeroa Alkulukuihin liittyy edelleen monia avoimia kysymyksiä Ei ole esimerkiksi pystytty selvittämään, onko Mersennen alkulukuja ylipäätään olemassa loputtomasti Avoin kysymys on myös ns Goldbachin väittämä, jonka mukaan jokainen kakkosta suurempi parillinen luku voidaan esittää kahden alkuluvun summana Vastausta vaille on edelleen ns alkulukukaksosia koskeva pulma: onko olemassa loputtomasti lukupareja p ja p 2, joista molemmat olisivat alkulukuja? Alkulukuihin liittyvää tietoutta, varsinkin uusimmista alkuluvuista, löytyy monilta internetin sivuilta, mm osoitteesta " Harjoitustehtäviä 47 1 Määrää kaikki lukua 200 pienemmät alkuluvut 2 Montako nollaa on kertoman 2000! lopussa, jos se kirjoitetaan desimaalimuodossa auki? (Vihje: Nollat tulevat lukujen 2 ja 5 tuloista! Selvitä kysymys ensin pienemmille kertomille) 3 Oletetaan, että alkuluku p jakaa luvun a ja summan a 2 b 2 Osoita, että se jakaa myös luvun b 4 Osoita, että yhtälöllä x 2 p, missä p on alkuluku, ei ole yhtään rationaalista ratkaisua 5 Osoita, että olkoonpa kokonaisluku k mikä tahansa, ovat luvut k 2 k, k 2 k, k 3 k ja k 3 k kaikki parillisia 6 Määrää lukujen ja alkutekijäesitykset ja niiden suurin yhteinen tekijä 7 Osoita induktiolla, että ns Fermat n lukujen F n 2 2n 1 ( n 2 ) desimaaliesitys päättyy aina numeroon 7 8 Onko lukujen 3, 5 ja 7 lisäksi olemassa muita kolmikoita p, p 2 ja p 4 siten, että jokainen näistä kolmesta luvusta on alkuluku?

36 34 III MODULOLASKENTAA 1 Jäännösluokat Ajatellaanpa kysymyksiä "mitä kello on sadan tunnin kuluttua?" tai "mikä viikonpäivä on tuhannen yön jälkeen?" Miten saamme vastauksen näihin? Edellisessä tapauksessa laskemme kuinka monta vuorokautta eli 24 tunnin jaksoa sataan tuntiin mahtuu ja katsomme, mitä jää yli Koska eteenpäin Jälkimmäiseen kysymykseen vastaamme samaan tapaan Koska viikossa on seitsemän päivää ja , kello siirtyy neljä tuntia , on tuhannen yön jälkeen edetty kuusi viikonpäivää eteenpäin eli silloin on laskentahetkeä edeltävä viikonpäivä Kummassakaan tapauksessa emme loppupäätelmässä tarvitse tietoa, montako vuorokautta tai viikkoa kyseiseen ajanjaksoon on mahtunut, vaan vastauksen antamiseen riittää tietää, mitä jäi yli Tarkastellaankin seuraavassa lähemmin kiinteälle jakajalle jakojäännöksiä Kun m, jakoyhtälön mukaan on jakoyhtälössä esiintyviä joillekin q ja r, missä 0 r n Tällaisessa tilanteessa luvut m ja r eroavat toisistaan luvun n monikerralla, ts erotus m r on jaollinen luvulla n Yleisesti sanotaan, että kokonaisluvulle n kokonaisluvut m ja k ovat (keskenään) kongruentteja modulo n, jos moduli n jakaa niiden erotuksen m k; merkitään silloin, että m qn r m k ( mod n) Siis m k ( mod n) n m k Tälle kongruenssikäsitteelle on varsin helppo todeta seuraavat ominaisuudet: (a) m m ( mod n), (b) jos m k ( mod n), niin k m ( mod n), (c) jos m k ( mod n) ja k l ( mod n), niin m l ( mod n) Relaatioita, jotka toteuttavat nämä kolme ehtoa (nimiltään refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus), sanotaan yleisemmin ekvivalenssirelaatioiksi Tällaisille relaatioille on ominaista, että ne määräävät osituksen siihen joukkoon, jossa ne on määritelty Tämä taas tarkoittaa sitä, että keskenään ekvivalentit alkiot muodostavat erillisiä osajoukkoja, joiden yhdiste on koko määrittelyjoukko n 1 Esimerkki 11 Kongruenssit ( mod 5) ja ( mod 6) pätevät, sillä ja ( 73) 6 Sen sijaan 23 / 4 (mod 7), sillä Opiskelutehtävä 23 Määrää kaikki ne kokonaisluvut x väliltä 25 x 25, jotka toteuttavat ehdon x 3 ( mod 5) [Vinkki s 103]

37 III MODULOLASKENTAA 35 Opiskelutehtävä 24 Päättele seuraavista, päteekö se vai eikö se päde? a) ( mod 9), b) 29 6 ( mod 7), c) 29 1 ( mod 7), d) ( mod 97), e) ( mod 11) [Vinkki s 103] Opiskelutehtävä 25 Etsi kaikki kokonaisluvut k, jotka toteuttavat annetun ehdon: a) 4 2k ( mod 7), b) 3k k ( mod 9) [Vinkki s 103] Kun kokonaisluvulle m on jakoyhtälön mukaisesti m qn r, luku n jakaa erotuksen m r, ts m on kongruentti (modulo n) luvun r kanssa Jokainen kokonaisluku m on siten kongruentti (modulo n) jonkin luvun r, 0 r n, kanssa Keskenään kongruenteista luvuista saadaan aikaan seuraavat joukot, ns jäännösluokat (modulo n): [ 0] n {, 2n, n, 0, n, 2n, 3n, } [ 1] n {, 2n 1, n 1, 1, n 1, 2n 1, 3n 1, } [ 2] n {, 2n 2, n 2, 2, n 2, 2n 2, 3n 2, } [ n 1] n {, n 1, 1, n 1, 2n 1, 3n 1, } Muita jäännösluokkia ei olekaan, sillä [ n] n [ 0] n [ n] n, [ n 1] n [ 1] n [ n 1] n, jne Huomaa, että erikoisesti m [ 0] n täsmälleen silloin, kun m on jaollinen luvulla n Merkitään näiden joukkojen muodostamaa joukkoa symbolilla n, siis n { [ 0] n, [ 1] n, [ 2] n,, [ n 2] n, [ n 1] n } Nämä osajoukot muodostavat siis erään kokonaislukujen osituksen, eli sen jaon erillisiin osajoukkoihin Joukkoa n tullaan sanomaan jäännösluokkarenkaaksi (ks s 38) Esimerkki 12 Kun n 2, joukko 2 koostuu kahdesta alkiosta (joukosta) [ 0] n {, 4, 2, 0, 2, 4, 6, } = parilliset luvut, ja [ 1] n {, 3, 1, 1, 3, 5, 7, } = parittomat luvut Esimerkki 13 Tapauksessa n 3 joukko 3 koostuu kolmesta alkiosta [ 0] n {, 6, 3, 0, 3, 6, 9, }, [ 1] n {, 5, 2, 1, 4, 7, 10, } ja [ 2] n {, 4, 1, 2, 5, 8, 11, } Esimerkki 14 Joukossa 7 on [ 48] [ 6], koska 48 6 ( mod 7), mikä taas pätee, koska Tehtävä Etsi pienin ei-negatiivinen luku jäännösluokasta [ 993] 11 Tehtävä Kuinka monta alkiota on joukossa 993?

38 36 Harjoitustehtäviä 15 1 Määrää kullekin annetulle luvulle ja modulille pienin positiivinen kokonaisluku, jonka kanssa annettu luku on kongruentti: a) 999 (mod 50) b) 999 (mod 25) c) 999 (mod 37) 2 Tarkastele lukuja x, joille x 5 (mod 13) Määrää itseisarvoltaan pienin luku x, jolle a) x 100, b) x 200 ja c) x Laskutoimitukset Oletetaan, että taskulaskin näyttää kymmenen numeroa Lasketaan sillä seuraavia potensseja: , , , Huomataan, että luvussa on 13 numeroa, mutta laskin ei näytä niistä kuin kymmenen ensimmäistä Mitkä olisivat puuttuvat kolme numeroa, ja voisiko ne kuitenkin jotenkin laskea laskimella? Jätetäänpä luvusta tuhannet pois eli otetaan vain sen kolme viimeistä numeroa käyttöön ja lasketaan sen potensseja: , , Vertaamalla tuloksia edellisiin tuloksiin nähdään, että lukujen 2 20 ja 24 2 kolme viimeistä numeroa yhtyvät, samoin lukujen 2 30 ja 24 3 Olisivatko myös luvun 2 40 kolme viimeistä numeroa samat kuin luvun 24 4? Jos olisivat, niin miksi? Koska ( mod 1000), riittäisi ilmeisesti perustella, miksi olisi voimassa myös ( mod 1000), ( mod 1000) ja ( mod 1000) Pitäisi siis selvittää, milloin kongruenssiyhtälön toisella puolella tehty laskutoimitus voidaan toistaa myös toisella puolella ja saada uusi paikkansa pitävä yhtälö Tarkastellaan yleisesti kongruenssin muuttumista lukujen yhteen- ja kertolaskuissa Olkoot sitä varten a b ja verrataan keskenään vasemmanpuoleisten lukujen summaa ja tuloa oikeanpuoleisten lukujen summaan ja tuloon Oletuksen mukaan on a a 1 qn ja b b 1 rn joillekin kokonaisluvuille q ja r Tällöin saadaan summien erotukselle esitys ja vastaavasti tulojen erotukselle Näistä nähdään, että 2 10 a 1 ( mod n) b 1 ( mod n), 2 40 ( a b) ( a 1 b 1 ) qn rn ( q r)n ab a 1 b 1 ab ab 1 ab 1 a 1 b 1 a( b b 1 ) ( a a 1 )b 1 ( ar qb 1 )n a b a 1 b 1 ab ( mod n) a 1 b 1 ( mod n) Kokonaislukujen yhteen- ja kertolasku säilyttää siis kongruenttisuuden, ts kongruenttien lukujen summat ja tulot ovat edelleen keskenään kongruentteja

39 III MODULOLASKENTAA 37 Esimerkki 21 Koska ( mod 1000), edellä olevan perusteella on ( mod 1000) Luvun 2 40 kolme viimeistä numeroa ovat siis 776 (kuten edellä arvailtiinkin) Tehtävä Laskemalla 2 40 ( mod 10000) selvitä, onko luvun 2 40 neljänneksi viimeinen numero 6 vai 7 Laskinhan on nimittäin voinut pyöristää viimeisen ilmoittamansa numeron Vaikka joukon n alkiot ovatkin joukkoja, yllä olevan tarkastelun perusteella voimme määritellä sen alkioille yhteen- ja kertolaskut asettamalla [ a] [ b] [ a b] [ a] [ b] [ ab] Määrittelyt ovat nimittäin silloin siinä mielessä hyvin tehtyjä, että laskutoimitusten tulokset eivät riipu edustajien a ja b valinnasta Merkitään jatkossa lyhyemmin n { 0, 1, 2,, n 1}, mikäli on selvää, mikä moduli n on kyseessä Samoin ehdon lyhyemmin a b [ a] n [ b] n sijasta kirjoitetaan Esimerkki 22 Muodostetaan joukon 2 alkioiden yhteen- ja kertolaskutaulukot: Huomaa, että nyt Tällaisessa taulukossa, ns operaatiotaulukossa, laskutoimituksen vasemmanpuoleinen alkio (esimerkiksi summassa alkio a) luetaan ensimmäiseltä pystysarakkeelta ja oikeanpuoleinen alkio (summassa a b alkio b) ensimmäiseltä vaakariviltä Tulos (summa a b) luetaan näiden määräämän rivin ja sarakkeen yhtymäkohdasta Esimerkiksi yllä olevassa yhteenlaskutaulussa summan a b 1 1 tulos 0 on siis taulukon oikeassa alanurkassa Tehtävä Muodosta joukon 3 alkioiden yhteen- ja kertolaskutaulukot Tehtävä Laske joukossa 10 alkioiden 5, 7 ja 9 summa sekä tulo Koska joukon n alkioiden yhteen- ja kertolasku määritellään olennaisesti kokonaislukujen vastaavien toimitusten avulla, on seuraava tulos varsin ilmeinen Lause 23 Joukon n alkioille pätevät samat laskusäännöt kuin kokonaisluvuillekin, ts (a) a b b a ja ab ba, (b) a ( b c) ( a b) c ja a( bc) ( ab)c, (c) a 0 a ja a 1 a, (d) a ( a) 0, (e) a( b c) ab ac

40 38 Tässä lauseessa lueteltujen ominaisuuksien perusteella joukko n, samoin kuin kokonaislukujen joukko, on eräs erikoistapaus yleisemmästä algebrallisesta struktuurista, nimittäin renkaasta Tästä syystä joukkoa n sanotaan myös jäännösluokkarenkaaksi Alkiota 0 sanotaan nolla-alkioksi, alkiota 1 ykkösalkioksi ja alkiota a alkion a vasta-alkioksi Alkion ja toisen alkion vasta-alkion summaa a ( b) merkitään lyhyemmin erotuksella a b Esimerkki 24 Renkaan n alkioita voidaan graafisesti kuvata ympyrämuotoon sijoitettuna, jolloin näkyy sen kiertomaisuus yhteenlaskun suhteen Tehdään se, kun n 5: Opiskelutehtävä 26 Muodosta renkaan 6 yhteen- ja kertolaskutaulukot [Vinkki s 103] Renkaan n alkioilla lasketaan siis yhteen- ja kertolaskulausekkeita (ja siis polynomeja) aivan kuten kokonaisluvuilla ottamalla vain lisäksi huomioon kongruenttisuudet: negatiiviset luvut ja vähintään luvun n 1 n suuruiset luvut voidaan aina korvata jollakin luvuista 0, 1,, Kongruenttisuuden huomioiminen saattaa usein helpottaa laskuja huomattavasti Esimerkki 25 Lasketaan potenssi a 5 kaikille renkaan 5 alkioille ja taulukoidaan tulokset: a a ( 1) Siten saadaan ensi silmäyksellä ehkä yllättävän tuntuinen, identtisesti pätevä yhtälö renkaassa 5 Toisin sanoen kaikille kokonaisluvuille a pätee kongruenssi a 5 a ( mod 5) Niinpä yhtälöllä a 5 a ( mod 5) a 5 a on äärettömän monta kokonaislukuratkaisua, mutta renkaan 5 vain viisi (toki kummassakin kaikki mahdolliset alkiot) Yhtälöiden ratkaisemisen kannalta moduloyhtälöt eroavatkin tämän takia tavallisista yhtälöistä! Opiskelutehtävä 27 Osoita, että luku ei voi olla minkään kokonaisluvun neliö [Vinkki s 103]

41 III MODULOLASKENTAA 39 Esimerkki 26 Etsitään vastaus seuraavaan kysymykseen: Mikä on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 9? Kun jakoyhtälön mukaisesti esitetään q 9 r, missä 0 r 9, on silloin r ( mod 9) Määrätäänkin luku r laskemalla renkaassa 9 Koska siinä renkaassa ja edelleen , on potenssilaskusääntöjen mukaan Siten ( 4 3 ) r 7 on vastaus esitettyyn kysymykseen Toinen tapa määrätä kysytty potenssiinkorotuksen tulos perustuu potenssin binaariesitykseen Koska eli 119 ( ) 2, niin Tämän laskemista varten pitää määrätä alkion 4 potenssien potensseja (modulo 9): , 4 4 ( 4 2 ) , 4 8 ( 4 4 ) , 4 16 ( 4 8 ) , 4 32 ( 4 16 ) ja 4 64 ( 4 32 ) Siten Opiskelutehtävä 28 Määrää pienin positiivinen kokonaisluku m 7 25 ( mod 11) siten, että yhtälö toteutuu [Vinkki s 103] Opiskelutehtävä 29 Osoita modulolaskennan avulla, että luonnollisille luvuille n pätee: a) 5 n 5 n, b) 6 n 3 5n (Vrt opiskelutehtävä 14, s 21) [Vinkki s 103] Opiskelutehtävä 30 Osoita, että neljän peräkkäisen kokonaisluvun tulo on aina kahdeksalla jaollinen [Ratkaisu s 103] Renkaat n eroavat kokonaislukujen renkaasta lähinnä parissa ominaisuudessa: Ensinnäkään renkaassa n ei päde välttämättä ns supistamissääntö kuten kokonaisluvuille, joille ehdoista ab ac ja a 0 seuraa, että b c Toisaalta monilla alkioilla voi olla käänteisalkioita päinvastoin kuin renkaassa, jossa vain luvuilla 1 ja 1 on käänteisluvut Näitä tilanteita kuvaavat seuraavat esimerkit Esimerkki 27 Renkaassa 6 on , mutta 4 / 1 Esimerkki 28 Renkaassa 7 on , joten alkiot 2 ja 4 ovat toistensa käänteisalkioita siinä mielessä, että niiden tulo on ykkösalkio Tällaisia tilanteita tarkastellaan lähemmin pykälässä 4 Harjoitustehtäviä 29 1 Mikä on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 7? 2 Määrää auki lasketun luvun viimeinen numero 3 Laske ( mod 55) 4 Osoita, että neljän peräkkäisen kokonaisluvun summa ei ole koskaan neljällä jaollinen m

42 40 3 Jaollisuustestejä Tunnetusti kokonaisluku on jaollinen luvulla 2 tai luvulla 5, jos sen viimeisellä numerolla on sama ominaisuus Perustellaan nämä ja keksitään lisää jaollisuustestejä Kuten edellisen luvun pykälässä 3 (s 26) todettiin jokainen kokonaisluku voidaan esittää desimaalimuodossa (eli 10 kantaisessa muodossa) n d r d r 1 d 2 d 1 d 0, missä luvut d i ovat kokonaislukuja ja 0 d i 9 Tämä tarkoittaa luvun n esitystä Esimerkiksi luku 2875 on siis muotoa Kun muistamme vielä, että luku m on jaollinen luvulla n täsmälleen silloin, kun m 0 ( mod n), saamme kehitettyä useita jaollisuustestejä Esimerkki 31 (2 jaollisuustesti) Olkoon luvulla n yllä oleva desimaaliesitys Tiedämme siis, että 2 n, jos ja vain jos n 0 ( mod 2) Koska nyt 10 0 ja yleisemmin 10 r 0 kaikilla n d 0 d 1 10 d d r 1 10 r 1 r 1, saamme seuraavan päättelyketjun: d r 10 r 2 n d 0 d 1 10 d d r 1 10 r 1 d r 10 r 0 4 Kokonaisluvun n d r d r 1 d 2 d 1 d 0 seitsemällä jaollisuus voidaan testata laskemalla modulo 7 seuraavasti: Kerrotaan vasemmanpuolimmaisin numero d r luvulla 3 ja lin d d d 0 Tulos on siis todella se, mitä ennakoitiin Tehtävä Osoita vastaavasti 5 jaollisuustesti oikeaksi Esimerkki 32 (9 jaollisuustesti) Olkoon luvulla n edelleen sama desimaaliesitys Laskemme nyt modulo 9 Koska 10 1 ja yleisemmin 10 r 1 kaikilla r 1, saamme seuraavan päättelyketjun: 9 n d 0 d 1 10 d d r 1 10 r 1 d r 10 r 0 Luku on siis yhdeksällä jaollinen, jos ja vain jos sen numeroiden summa on yhdeksällä jaollinen Esimerkiksi luvun n numerosumma 36 on jaollinen luvulla 9, joten myös itse luku n on jaollinen luvulla 9 Tehtävä Muodosta 3 jaollisuustesti ja osoita se oikeaksi Harjoitustehtäviä 33 1 Muodosta 4 jaollisuustesti ja osoita se oikeaksi 2 Osoita, että kokonaisluku n d r d r 1 d 2 d 1 d 0 on jaollinen luvulla 11 täsmälleen silloin, kun summa d 0 d 1 d 2 ( 1) r d r on jaollinen luvulla 11 3 Käyttäen hyväksi sitä, että luku 1001 on jaollinen luvulla 7, johda testi seitsemällä jaollisuudelle d 0 d 1 d 2 d r 1 d 0 r 9 ( d 0 d 1 d 2 d r 1 d r )

43 III MODULOLASKENTAA 41 sätään siihen seuraava numero d r 1 Kerrotaan saatu tulos luvulla 3 ja lisätään siihen seuraava numero d r 2 Näin jatketaan, kunnes viimeinen numero d 0 on lisätty Mikäli lopputuloksena on nolla, päätellään, että luku n on jaollinen luvulla 7 Perustele, miksi tämä menetelmä toimii 4 Käänteisalkioista Yhteenlaskulla muodostettu yhtälö a x b voidaan aina ratkaista; ratkaisu on x b a Mutta muotoa Tarkastellaanpa vaikka aluksi yhtälöä olevalle yhtälölle ratkaiseminen ei ole yhtä selvää 5x 2 ( mod 17) Voisiko siitä ratkaista muuttujan x? Koska moduli 17 on nyt varsin pieni, on tietenkin helppo kokeilla kaikki luvut 0, 1, 2,, 16 ja siten löytää kaikki ratkaisut Mutta tämä menettely ei toimi, jos moduli on hyvin suuri Yleisemmin toimivan ratkaisumenetelmän johtamiseksi laskemmekin seuraavasti Ensinnäkin Eukleideen algoritmin mukaisesti on ja , josta voimme ratkaista luvun 1 muodossa ( ) Siitä näkyy edelleen, että ( mod 17) Käytetään tätä tietoa sitten yhtälön ratkaisemiseen: Kerrotaan se ensin luvulla 7, jolloin saadaan yhtälö Koskapa päti ax b 7 5x , onkin saatu, että 1 x 14 eli x 14 Tämä on siis ainoa ratkaisuehdokas (renkaassa , se myös kelpaa ratkaisuksi Yllä saatiin välituloksena, että 5x ) Koska toisaalta, joka siis ilmoittaa, että alkio 7 on alkion 5 käänteisalkio renkaassa 17 Tämän löytämisessä taas oli olennaista, että syt( 5, 17) 1 Sanommekin yleisesti, että renkaassa n alkio b on alkion a käänteisalkio, jos ab 1 ( mod n), merkitään b a Alkiota a sanotaan silloin myös kääntyväksi alkioksi Symmetriasyistä myös alkio b on kääntyvä ja sen käänteisalkio on a eli b a Erityisesti siten ( a ) 1 a Seuraava lause ilmoittaa, millaisille alkioille käänteisalkioita löytyy Lause 41 Renkaan n ( n 2) alkiolla a on käänteisalkio täsmälleen silloin, kun luvut a ja n ovat keskenään jaottomat, ts syt( a, n) 1 Todistus Oletetaan ensin, että syt( a, n) 1 Pitää löytää siis a 1 Oletuksen perusteella 1 ba cn joillekin kokonaisluvuille b ja c, joten ba 1 cn 1 ( mod n)

44 42 Tämän mukaan alkio b kelpaakin alkion a käänteisalkioksi Oletetaan sitten kääntäen, että ba 1 jollekin alkiolle b Silloin n ( 1 ba) eli 1 ba cn jollekin kokonaisluvulle c Jos nyt d syt( a, n), jakaa se luvut a ja n, ja siten myös summan ba cn 1 Niinpä välttämättä d 1, mikä olikin osoitettava Esimerkki 42 Renkaan 10 kääntyvät alkiot ovat ne, jotka ovat suhteellisesti jaottomia luvun 10 kanssa, eli siis alkiot 1, 3, 7 ja 9 Lisäksi 1 1 1, ja , joten näiden käänteisalkiot ovat seuraavat: 1 1 1, 3 1 7, ja Ilman muuta pätee aina, että alkio 1, samoin kuin myös 1, on itsensä käänteisalkio, mutta edellisen esimerkin mukaan muullakin alkiolla voi olla tämä ominaisuus Esimerkki 43 Kuvataan seuraavissa kuvioissa renkaiden 3, 4, 7 ja 8 kääntyvät alkiot Kuvioissa nuolet osoittavat alkion käänteisalkion; ruksi alkion päällä taas merkitsee sitä, että kyseisellä alkiolla ei ole käänteisalkiota Tehtävä Määrää renkaiden 5, 6 ja 9 kääntyvät alkiot ja niiden käänteisalkiot Jäännösluokkarenkaissa käänteisalkioita voidaan käyttää yhtälöiden ratkaisemisessa samaan tapaan kuin luvuilla käänteislukuja Lause 44 Jos alkio a on renkaan n kääntyvä alkio, yhtälöllä ax b on jokaisella renkaan alkiolla b yksikäsitteinen ratkaisu x a 1 b Todistus Jos ax b, saadaan väitetty ratkaisu kertomalla tämä yhtälö alkiolla a 1 ja huomioimalla, että a 1 a 1 Toisaalta, jos x a 1 b, on ax aa 1 b b, ts yhtälö ax b toteutuu

45 III MODULOLASKENTAA 43 Opiskelutehtävä 31 Määrää kaikki ne renkaan 12 alkiot, joilla on käänteisalkio, ja ilmoita kunkin käänteisalkio [Vinkki s 103] Opiskelutehtävä 32 Ratkaise yhtälö 7x 9 renkaassa 12 [Vinkki s 103] Opiskelutehtävä 33 Keksi esimerkki renkaasta n ja sen alkioista a ja b siten, että ab 0 ( mod n), mutta a / 0 ( mod n) ja b / 0 ( mod n) [Vinkki s 104] Jos renkaan n moduli n on alkuluku, on siinä renkaassa paljon kääntyviä alkioita Seuraus 45 Kun p on alkuluku, on jokaisella renkaan nollasta eroavalla alkiolla käänteisalkio p Todistus Väite seuraa siitä, että alkuluvulla on positiivisina tekijöinään vain ykkönen ja se itse, joten jokaiselle renkaan p alkiolle a, jolle 1 a p 1, on syt( a, p) 1 Lauseen 41 mukaan sellaisella alkiolla taas on käänteisalkio kaikille kokonaisluvu- Fermat n pikkulause 46 Kun p on alkuluku, pätee a p a ( mod p) ille a Todistus Luvulle 0 väite pätee Riittää sen jälkeen osoittaa, että 1 ( mod p), kun a 1, 2,, p 1 Kaikilla näillä on edellisen seurauslauseen 45 mukaan käänteisalkio renkaassa p Olkoon siis 1 a p 1 Tarkastellaan lukuja a, 2a, 3a,, ( p 1)a ja näiden tuloa T a 2a 3a ( p 1)a a p 1 ( p 1)! Kyseiset luvut ovat, paitsi tietysti kokonaislukuina, myös renkaan p alkioina eri alkioita, sillä jos on ka la, on kaa 1 laa 1 eli k l Siten ne ovat samat kuin alkiot 1, 2,, p 1, mahdollisesti vain eri järjestyksessä Niinpä renkaassa T ( p 1) ( p 1)! Yhdistämällä yllä olevat tulon a p 1 ( p 1)! ( p 1)! arvot saadaan yhtälö pätee, että Koska jokainen alkioista 1, 2,, p 1 on kääntyvä, yllä oleva yhtälö voidaan supistaa muotoon a p 1 1 Olemme siis osoittaneet sen, mitä pitikin Esimerkissä 25 on todennettu Fermat n pikkulause renkaassa 5 Tehtävä Todenna kokeilemalla, että Fermat n pikkulause pätee renkaassa 7 Fermat n pikkulause on tärkeä perustulos lukuteoriassa Sitä voidaan käyttää mm sen testaamiseen, voiko joku luku p olla alkuluku Jos nimittäin 10 p 1 / 1 ( mod p), ei p voi olla alkuluku Fermat n pikkulause on myös perusta seuraavassa pykälässä käsiteltävälle salausmenetelmälle (RSA) T a p 1 Pierre de Fermat ( ) oli ranskalainen lakimies, joka harrasti matematiikkaa Häntä pidetään eräänä todennäköisyyslaskennan pioneerina, mutta tunnetumpi hän on lukuisista lu- p

46 44 kuteorian tuloksistaan Fermat n suuren lauseen (tai viimeisen lauseen) nimellä kulkee eräs hänen väittämistään, jonka mukaan yhtälöllä x n y n z n ei ole nollasta eroavia kokonaislukuratkaisuja, kun Fermat ilmoitti aikanaan muistiinpanojensa reunahuomautuksena todistaneensa väittämän, mutta reunatila ei vain riittänyt sen esittämiseen On syytä epäillä tätä, koska monet jälkipolvetkaan eivät lukuisista yrityksistä huolimatta ole pystyneet todistamaan tai kumoamaan väitettä Väittämän todistusyrityksiä on vuosisatojen kuluessa ollut lukuisia ja ne ovat johtaneet monien matematiikan alueiden kehitykseen, muidenkin kuin lukuteorian Todistuksen väittämälle esitti lopultakin englantilainen Andrew Wiles vuonna 1993 ja korjattuna vuonna 1994 Tästä uudentyyppisestä ja Wilesin yli seitsemän vuotta kehittämästä todistuksesta eivät tähänastiset tarkistajat ole löytäneet virhettä ja todistus onkin yleisesti hyväksytty oikeaksi Harjoitustehtäviä 47 1 Määrää alkion 7 käänteisalkio renkaassa 40 ja ratkaise sitten yhtälö 7x 9 samassa renkaassa n 3 2 Osoita, että yleisellä moduloyhtälöllä ax b ( mod n) on ratkaisu x täsmälleen silloin, kun d b, missä d syt( a, n) 3 Ratkaise täydellisesti moduloyhtälö 12x 21 ( mod 33) (Vihje: Selvitä ensin, miten voit moduloyhtälöä yksinkertaistaa huomioiden lukujen yhteiset tekijät) 5 RSA-menetelmä Englantilaiset Rivest, Shamir ja Adleman julkaisivat vuonna 1978 erään suuriin alkulukuihin perustuvan salausmenetelmän, joka on osoittautunut tarpeeksi yksinkertaiseksi, mutta kuitenkin riittävän suojaavaksi Menetelmää kutsutaan nykyään RSA-menetelmäksi Se perustuu seuraavaan tulokseen Lause 51 Olkoot p ja q eri alkulukuja, n pq ja m ( p 1) ( q 1) Olkoon edelleen kokonaisluku e 2 sellainen, että e 1 ( mod m), ja kokonaisluku x sellainen, että syt( x, n) 1 Silloin pätee, että x e x ( mod n) Todistus (Jos todistus ei tunnu kiinnostavalta, hyppää sen yli! Todistuksen ideoita ei tarvita myöhemmin) Oletuksen e 1 ( mod m) nojalla e 1 ym jollekin kokonaisluvulle y Silloin joten riittää osoittaa, että x m 1 ( mod n) Koska syt( x, n) 1, luku p ei jaa lukua x eli x / 0 ( mod p) Fermat n pikkulause 46 ilmoittaa silloin, että ja siten x e x p 1 x 1 my 1 ( mod p) x ( x m ) y, x m x ( p 1) ( q 1) ( x p 1 ) q 1 1q 1 1 ( mod p) Vastaavasti symmetriasyistä x m 1 ( mod q) Siten sekä p että q jakavat luvun x m 1 Koska ne ovat eri alkulukuja, myös niiden tulo jakaa samaisen luvun Siten on saatu, että x m 1 0 ( mod n), mikä pitikin todistaa n pq

47 III MODULOLASKENTAA 45 Itse menetelmän kulku selvinnee parhaiten esimerkin avulla Esimerkki 52 RSA-menetelmän algoritmi 1 Koodin laatija valitsee kaksi (yleensä suurta) alkulukua, esimerkiksi p 11 ja q 13 2 Laatija laskee luvut n pq 143 ja m ( p 1) ( q 1) Laatija valitsee koodausavaimen k siten, että syt( k, m) 1, esimerkiksi 4 Laatija laskee luvulle k käänteisalkion k k 1 renkaassa m : Jakoyhtälön mukaisesti , joten ( mod 120) Siten ja edelleen ( ) 7 1 eli Niinpä nyt 5 Laatija antaa viestin lähettäjälle tiedoksi vain luvut k ja n Ja viestin vastaanottajalle vain luvut k ja n Luku k on ns purkuavain 6 Lähettäjä lähettää sellaisen (numero)viestin x, jolle syt( x, n) 1, koodattuna kaavalla r x k ( mod n) ; esimerkiksi viestille lähetettävä viesti on, r 9 7 ( mod 143) Koska ja , koodatuksi viestiksi saadaan laskettua r Vastaanottaja purkaa koodatun viestin r kaavalla x r k ( mod n) : x ( mod 143) Tarkistetaan vielä, että purkutulos on oikein Kun lasketaan modulo 143, saadaan ensinnä alkion 48 neliön neliöille jne: , , , , , Käyttäen potenssiluvun 103 binääriesitystä hyväksi saadaan siten, että k 7 k 103 x x e syt( x, n) 1, joten edellä olevaa lausetta 51 voidaan käyttää Sen mukaan Miksi sitten viestin purku onnistuu aina? Jos merkitään, että 1 ( mod m) x e eli todellakin ja x ( mod n) x x kk ( x k ) k r k ( mod n) e kk, on silloin

48 46 Eräs RSA-menetelmän etu on se, että siinä viestin lähettäjä ja vastaanottaja käyttävät eri avaimia Perinteisissä salausmenetelmissä he yleensä ovat käyttäneet samaa avainta Pelkästään toisen avaimen avulla on myös lähes mahdotonta murtaa salausmenetelmää Edes koodauksen perustana olevan luvun tietäminen ei anna heti murtomahdollisuutta Tätä kuvannee hyvin internet-verkossa 1990-luvun alussa julkaistu koodattu viesti, jonka ilmoitettiin perustuvan annettuun 129 numeroiseen lukuun Ensimmäisenä ratkaisun löytänyt ryhmä ilmoitti käyttäneensä viestin murtamiseen kahdeksan kuukautta ja noin 600 alilaskijaa 20 eri maassa Yhteenlaskettuna tietokoneaikaa tarvittiin noin 5000 mips-vuotta (mips = miljoona toimintoa sekunnissa)! Harjoitustehtäviä 53 1 Olkoon RSA-menetelmässä p 5 ja q 11 sekä koodausavain k 7 Laske viestille koodattu viesti 2 Määrää edellisen tehtävän tilanteessa purkuavain, pura koodattu viesti (41) ja tarkista, että tuloksena on alkuperäinen viesti n 3 Sinulle on annettu RSA-menetelmän käyttöä varten luku n ja koodausavain k 5 x 6 Koodaa tämän perusteella numeroviestit 24 ja 53 Mikä on purkuavain? pq

49 47 IV PERMUTAATIO 1 Bijektio ja permutaatio Kertaamme ensin perusasioita kuvauksista Kahden kuvauksen f : X Y ja g : Y Z yhdistetty kuvaus g f : X Z määritellään asettamalla ( g f) ( x) g( f( x) ) kaikilla x X Joukon X identtinen kuvaus id X taas määritellään yksinkertaisesti säännöllä id X ( x) x kaikilla x X Kahden joukon välinen kuvaus f : X Y on erikoisesti injektio, surjektio tai bijektio seuraavassa taulukossa esitettyjen määrittelyjen mukaisesti Tyyppi Sanallinen ehto Looginen ehto Injektio Kaikki joukon X alkiot kuvautuvat eri alkioiksi x 1 x 2 f( x 1 ) f( x 2 ) eli f( x 1 ) f( x 2 ) x 1 x 2 Surjektio Kaikki joukon Y alkiot ovat kuva-alkioita y Y x X : f( x) y Bijektio Jokainen joukon Y alkio on täsmälleen yhden joukon X alkion kuva y Y x ja X : f( x) x 1 x 2 f( x 1 ) f( x 2 ) y Bijektiolla f : X Y on aina käänteiskuvaus f 1 : Y X, jolle f 1 ( f( x) ) x kaikille x X, ja f( f 1( y) ) y kaikille y Y Nämä ehdot voidaan kirjoittaa myös muotoon f 1 f id X ja f f1 id Y Esimerkiksi alla olevan kuvan mukainen nelialkioisten joukkojen välinen kuvaus on bijektio X a b c d Y f f1

50 48 Tarkastelemme jatkossa erityisesti saman joukon X bijektioita f : X X itselleen Näitä sanotaan, varsinkin äärellisille joukoille X, myös permutaatioiksi Kiinteälle joukolle käytämme kaikkien sen bijektioiden joukosta merkintää S X { f : X X f on bijektio eli permutaatio } S X, siis Koska bijektioiden yhdistetyt kuvaukset ja niiden käänteiskuvaukset ovat edelleen bijektioita, ovat joukon X kahden permutaation f ja g myötä aina permutaatioita myös kuvaukset f g, g f, f1, g 1, ( f g) 1, ( g f) 1, f 1 g 1 jne Lisäksi tiedetään, että bijektioille pätee sääntö ( f g) 1 g1 f1 Erityisesti joukoille X { 1, 2, 3,, n} käytetään permutaatioiden muodostamasta joukosta myös merkintää S X S n Tapauksessa n 1 löytyy vain yksi permutaatio, identtinen kuvaus Siitä syystä oletammekin jatkossa aina, että n 2 Näitä joukkoja S n tarkastelemme lähemmin Esimerkki 11 Määrätään joukon S 2 alkiot Kaksialkioiselle joukolle X { 1, 2} voi löytää vain kaksi bijektiota Kuvan merkinnöin siis S 2 { 1, 2 } X X 1 2 π X X 1 2 π X Esimerkki 12 Määrätään joukon S 3 alkiot Kolmialkioisen joukon X { 1, 2, 3} alkiot voi panna eri järjestykseen (permutoida) seuraavasti: 1 2 3, 2 1 3, 3 2 1, 1 3 2, 2 3 1, 3 1 2, yhteensä siis kuudella eri tavalla Näistä jokainen voidaan ilmoittaa kuvauksena, esimerkiksi tapausta esittää alla kuvattu kuvaus f X 1 f X Tämä sama riippuvuus ilmoitetaan usein myös vähemmän pystysuunnassa tilaa vievästi kaksirivisenä taulukkona tai matriisina seuraavaan tapaan: f Siinä alarivissä ovat lueteltuina ylärivin alkioiden kuvat: f( 1) 2, f( 2) 1 ja f( 3) 3 Tällä tavalla esitettynä joukon S 3 alkiot ovat siten: , ,, , ,

51 IV PERMUTAATIO 49 Yleisemminkin permutaatiota merkitsemme 2 rivisenä taulukkona seuraavasti Tällaisessa esityksessä alkio ja sen kuva-alkio ovat aina allekkain Näiden parien järjestyksellä ei ole merkitystä, vaikkakin ne usein esitetään ylärivin lukujen pienuusjärjestyksessä Esimerkiksi kaikki seuraavat matriisit esittävät samaa edellä olevan esimerkin permutaatiota 2 : Koska permutaatiot ovat kuvauksia, ovat kaksi permutaatiota samat, jos ne kuvaavat kaikki alkiot täsmälleen samalla tavalla Tämän perusteella voimmekin päätellä, montako eri permutaatiota joukossa S n on Ensinnäkin kuva-alkio ( 1) voidaan valita n eri tavalla Koska permutaatioille (eli bijektioille) eri alkioiden pitää kuvautua eri alkioiksi, alkio voidaan valita sen jälkeen enää saadaan seuraava tulos eri tavalla Näin jatkamalla (ja induktiolla todistamalla) Lause 13 Joukossa S n on n! eri alkiota (permutaatiota), ts #S n n! Lauseessa esiintyvä kertoma n! määritellään tulona ( n 1) n Tuloksen mukaan #S 2 2 ja #S 3 6, kuten edellä esimerkeissä 11 ja 12 todettiinkin Sen jälkeen mahtavuudet kasvavat nopeasti: #S 4 24, #S 5 120, #S 6 720, #S , jne Opiskelutehtävä 34 (a) Kuinka monta sellaista permutaatiota, jotka kuvaavat alkion 1 itselleen, on ryhmässä S 5? Entä sellaista, jotka kuvaavat joko alkiot 1 ja 2 molemmat itselleen tai molemmat toisikseen? (b) Yleistyksenä ilmoita edelleen, kuinka monta sellaista permutaatiota, jotka kuvaavat ensimmäistä alkiota kaikki itselleen, on ryhmässä S n? Entä sellaista, jotka kuvaavat ne keskenään joko itselleen tai toisikseen? [Vinkki s 104] Permutaatioita voidaan tietenkin yhdistää kuten kuvauksiakin Usein vain kuvausten yhdistämistä osoittava pallomerkintä jätetään pois ja sen sijasta käytetään pelkkää tulomerkintää (ilman mitään välimerkkiä) Esimerkki 14 Muodostetaan joukon ja, alkioiden tulot (esimerkin 12 merkintöjä käyttäen) Näiden yhdistetylle kuvaukselle on joten S n n ( 1) ( 2) ( 3) ( n) n 1 S ( 1) 6 ( 2 ( 1) ) 6 ( 2) ( 2) 6 ( 2 ( 2) ) 6 ( 1) ( 3) 6 ( 2 ( 3) ) 6 ( 3) 2, ( 2) k

52 50 Sama nähdään myös graafisesti: X 1 π 2 1 X π X X π 6 π X Vastaavasti samat permutaatiot toisinpäin kerrottuna antavat tuloksen Huomaa erityisesti, että permutaatiot kerrotaan, kuten kuvaukset yhdistetään, oikealta vasemmalle: ensin siis katsotaan, mitä oikeanpuoleinen kuvaus tekee kullekin alkiolle, ja sitten, mitä vasemmanpuoleinen tekee niille sen jälkeen Esimerkiksi yllä viimeisimmässä yhtälössä 6 kuvaa alkion 3 ensin alkioksi 2 ja 2 3 kuvautuu alkioksi 1 sitten alkion 2 alkioksi 1; yhdistettynä siis alkio Huomaa myös, että kertolasku voi antaa eri tuloksen kertomisjärjestyksestä riippuen Näin tapahtuikin yllä esimerkissä 14, jossa siis Permutaation käänteispermutaatio (käänteiskuvaus) näkyy helposti matriisiesityksestä: riittää vain vaihtaa ylä- ja alarivit keskenään (jonka jälkeen kuvausparit voi järjestää ylärivin mukaan pienuusjärjestykseen) Tämä perustuu yksinkertaisesti siihen, että permutaatiolle on ( 1 ( k) ) k ja 1 ( ( k) ) k Esimerkki 15 Muodostetaan joukon S 3 alkion 6 (ks esimerkki 12) käänteispermutaatio: Opiskelutehtävä 35 Laske permutaatioille ja tulot ja sekä käänteispermutaatiot 1 ja 1 [Vinkki s 104] Opiskelutehtävä 36 Käyttäen esimerkin 12 merkintöjä määrää joukon S 3 alkioille permutaatiot 2 3, 3 2, 1 2, 1 3, , , ( 2 3 ) 1 ja ( 3 2 ) 1 Selvitä kussakin tapauksessa, mikä joukon S 3 alkio tulee vastaukseksi Vertaa myös eri tuloksia keskenään Tunnistatko mitään sääntöjä? [Vinkki s 104]

53 IV PERMUTAATIO 51 Lause 16 Joukon S n kaikille alkioille, ja pätevät seuraavat: (a) S n, (b) ( ) ( ), (c), kun id on identtinen kuvaus, (d) 1 Todistus Kaikki kyseiset ominaisuudet seuraavat suoraan kuvausten ja bijektioiden ominaisuuksista Yllä olevassa lauseessa kohdan (b) ominaisuutta voi sanoa sulkujen poistoluvaksi, sillä sen mukaan tulo on riippumaton ryhmittelyjärjestyksestä eikä siinä siten tarvita sulkuja osoittamaan sitä Kertomisjärjestyksellä on sen sijaan merkitystä Joukko S n varustettuna yllämainituilla alkioiden yhdistelyominaisuuksilla on taasen esimerkki eräästä yleisemmästä algebrallisesta struktuurista, nimittäin ryhmästä Joukkoa S n sanotaankin astetta n olevaksi symmetriseksi ryhmäksi Symmetria-sanan esiintyminen nimessä selittyy myöhemmin luvussa V, kun tarkastelemme lähemmin tasokuvioiden ja avaruuskappaleiden symmetrisyyttä Osoittautuu nimittäin, että näiden symmetrian kuvaamiseen voidaan käyttää ryhmiä S n Ryhmän S n alkioiden tulot ovat siis aina edelleen sen alkioita Kun aste n on pieni, voidaan kertomisen tulokset esittää kertolasku- eli operaatiotaulukon avulla Seuraavissa esimerkeissä tämä tehdään, kun n 2 ja n 3 Esimerkki 17 Merkitään ryhmän S 2 alkioita ja, jolloin 1 on identtinen kuvaus ja Näillä tiedoilla saadaan seuraava kertotaulukko: S Esimerkki 18 Merkitään ryhmän S 3 alkioita esimerkin 12 mukaisesti , ,, , , Esimerkissä 14 on laskettu, että ja Kun lasketaan vastaavasti kaikki muut tulot, saadaan seuraava operaatiotaulukko:

54 52 S Opiskelutehtävä 37 Tarkista ryhmän S 3 kertotaulukon jotkin kaksi riviä tai saraketta (mutta ei kahta ensimmäistä) oikeiksi [Vinkki s 104] Renkaassa n yhtälöä ax b ei voitu aina ratkaista Ryhmässä S n voidaan kuitenkin aina tämäntyyppiset yhtälöt x ratkaista Lause 19 Ryhmässä S n yhtälöllä x on yksikäsitteinen ratkaisu x Vastaavasti yhtälöllä y on yksikäsitteinen ratkaisu y Todistus Jos x ja y, on x ( ) ( ) ja y ( ) ( ), joten ne ovat väitettyjen yhtälöiden ratkaisuja Se, että nämä ovat ainoat ratkaisut, nähdään taas heti, kun kerrotaan ratkaistavat yhtälöt alkiolla, edellinen vasemmalta ja jälkimmäinen oikealta Yhtälöiden x ja y ratkaiseminen tapahtuu siis kertomalla yhtälöt kertoimen käänteispermutaatiolla siltä samalta puolelta, jolla kerroin on ratkaistavan muuttujan suhteen Lause 110 Ryhmässä S n pätee ns supistamissääntö: jos, niin välttämättä, ja vastaavasti, jos, niin Todistus Yhtälöstä seuraa edellisen lauseen perusteella, että Vastaavasti ehdosta seuraa, että Supistamissääntö on hyödyllistä muistaa silloin, kun laaditaan ryhmille S n kertolaskutaulukoita Tämän säännön mukaan nimittäin tällaisessa taulukossa kukin ryhmän alkio esiintyy kullakin rivillä ja sarakkeella korkeintaan yhden kerran Toisaalta paikkoja on yhtä monta kuin käytettäviä alkioita, joten itse asiassa kukin ryhmän alkio esiintyy kullakin rivillä ja sarakkeella täsmälleen kerran

55 IV PERMUTAATIO 53 Harjoitustehtäviä Tutki permutaatiolle sen potensseja Laske siis potensseja 2, 3 2,, sekä myös potensseja 1, 2 1 1, 3, Päättele sääntö, jonka avulla voit ilmoittaa minkä tahansa potenssin k 2 Olkoot ja Ratkaise x, y ja z yhtälöistä x, y ja z 3 Osoita, että ryhmässä S n ehdosta ei voi päätellä aina, että (Vihje: Etsi ensin ryhmästä S 3 sopiva vastaesimerkki ja yleistä se sitten) 2 Permutaatioesityksiä Suuriasteisille symmetrisille ryhmille niiden alkioiden tuloja on suoraan hankala määrätä, puhumattakaan kokonaisten kertolaskutaulukoiden tekemisestä Permutaatioiden käsittelyn ja hahmottamisen helpottamiseksi on olemassa muutamia käyttökelpoisia esitystapoja Tarkastellaan ensin permutaatiossa graafisesti sen alkioiden kuvautumista Voi huomata, että on eräänlainen kiertokuvaus : alkio 1 kuvautuu alkioksi 3, se kuvautuu alkioksi 4, se alkioksi 2, ja lopulta 2 takaisin alkioksi 1 Jos merkitsemme tällaista permutaatiota lyhyemmin sen toiminnan S ( ), voikin tästä itse asiassa jo lukea Yleisemmin merkintä ( k 1 k 2 k 3 k r 1 k ) S r n tarkoittaa kiertoa (eli sykliä) ja tämä permutaatio määritellään asettamalla ( k i ) k i 1, kun i 1, 2,, r 1, ( k r ) k 1, ( l) l, muutoin Luku r on kierron pituus ja r pituista kiertoa sanotaan myös r kierroksi Kierron pituuden r ei tarvitse olla sama kuin ryhmän aste n, vaan se voi olla pienempi Ääritapauksena ryhmän S n identtistä kuvausta merkitsemme myös kiertomaisesti ( 1) Esimerkki 21 Seuraavat permutaatiot ovat kiertoja: ( ) 4 3 ja ( ) 2 1

56 54 Esimerkki 22 Ryhmän S 3 kaikki alkiot voidaan esittää kiertoina (käytämme edelleen esimerkkien 12 ja 18 merkintöjä): 1 ( 1), 2 ( 1 2 ), 3 ( 1 3 ), 4 ( 2 3 ), 5 ( ), 6 ( ) Kun aste n on suurempi kuin 3, eivät kaikki permutaatiot kuitenkaan enää ole kiertoja Tarkastellaan esimerkkinä permutaatiota S Tämä permutaatio kuvaa alkiot monessa ketjussa: Graafisesti esitettynä näistä saadaan neljä osakuvausta: Nyt voimme esittää permutaation kolmen kierron tulona (neljäs osakuvaus ei muuta mitään): ( )( 4 6 )( ) Sanomme, että kaksi kiertoa ovat erilliset, jos niissä ei esiinny samoja alkioita Yllä olevat kierrot ( ), ( 4 6 ) ja ( ) ovat siten erillisiä Tällaisten erillisten kiertojen kertominen voidaan lisäksi suorittaa missä järjestyksessä tahansa Siten permutaatio voidaan esittää myös mm tuloina ( 4 6 )( )( ) ja ( )( )( 4 6 ) Opiskelutehtävä 38 Ilmoita permutaatio erillisten kiertojen tulona [Vinkki s 104] Edellä johdettu permutaatioesitys on esimerkki yleisemmästä tilanteesta Lause 23 Jokainen ryhmän S n permutaatio (joka ei ole identtinen kuvaus) on joko itse kierto tai sitten se voidaan esittää erillisten kiertojen tulona

57 IV PERMUTAATIO 55 n 2 Todistus Osoitetaan väite oikeaksi täydellisellä induktiolla Ensimmäisessä tapauksessa väite pitää paikkansa Oletetaan sitten, että se pitää paikkansa kaikille alkion permutaatio, ja siten väite pätee sille induktio-oletuksen mukaan alkion permutaatioille Induktioväitteen todistamiseksi olkoon S n 1 Jos sattuu kuvaamaan alkion n 1 samaksi alkioksi n 1, se onkin olennaisesti n Olkoon sitten ( n 1) n 1 ja luku m sellainen, että ( m) n 1 Olkoon lisäksi 2 kierto ( m n 1 ) ja Tällöin, sillä Koska permutaatiolle on nyt ( n 1) ( n 1) ( m) n 1, on se induktio-oletuksen mukaan joko kierto tai se voidaan esittää erillisten kiertojen tulona Jos myöskin ( m) m, niin joko tai sen esityksen kaikki kierrot ovat erillisiä 2 kiertoon verrattuna Mutta tällöinhän myös voidaan esittää erillisten kiertojen tulona Jäljelle jää tapaus, jossa ( n 1) n 1 ja ( m) m Tällöin joko permutaatio tai sen tuloesityksen yksi kierto kuvaa luvun m joksikin muuksi luvuksi Niinpä voidaan esittää muodossa n ( m k 1 k 2 k r ), missä ( m k 1 k 2 k r ) on kierto ja on joko identtinen kuvaus (jos on jo itse kierto) tai sellaisten kiertojen tulo, jotka eivät muuta lukuja m, k 1, k 2,, k r Lisäksi tiedetään, että mikään edellä luetelluista luvuista ei ole luku n 1 Nyt saadaan permutaatiolle esitys ( m k 1 k 2 k r )( m n 1 ) ( m n 1 k 1 k 2 k r ), mikä osoittaa lopultakin, että voidaan esittää erillisten kiertojen tulona Esimerkki 24 Ryhmän S 4 kaikki alkiot voidaan siis nyt esittää kiertojen avulla Niistä saadaan seuraavanlainen taulukko ( 1) ( 1 2 ) ( ) ( ) ( 1 2 )( 3 4 ) ( ) ( 1 3 ) ( ) ( ) ( 1 3 )( 2 4 ) ( ) ( 1 4 ) ( ) ( ) ( 1 4 )( 2 3 ) ( ) ( 2 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4 ) ( ) ( 3 4 ) ( ) Huomaa, että koska permutoitavassa joukossa on vain neljä alkiota, kierrotkin voivat olla pituudeltaan korkeintaan neljä Lisäksi vain 2 kierroista voidaan muodostaa erillisiä tuloja Opiskelutehtävä 39 Ilmoita permutaatiotulo ( )( ) erillisten kiertojen tulona sekä myös kaksirivisessä esitysmuodossa [Vinkki s 104] Opiskelutehtävä 40 Määrää permutaatiolle ( )( ) käänteispermutaatio ja esitä se erillisten kiertojen tulona Vertaa tulosta alkuperäiseen esitykseen [Vinkki s 104]

58 56 Lyhyintä mahdollista kiertoa eli 2 kiertoa ( k l ) sanotaan myös vaihdoksi eli transpositioksi On helppo nähdä, että jokainen kierto voidaan esittää vaihtojen tulona Esimerkiksi ( ) ( 1 2 )( 1 7 )( 1 3 ), ja yleisemmin ( k 1 k 2 k 3 k r 1 k r ) ( k 1 k r )( k 1 k r 1 ) ( k 1 k 2 ) Yhdistämällä tämä huomio edelliseen lauseeseen saadaan seuraava tulos Lause 25 Jokainen permutaatio S n voidaan esittää vaihtojen tulona Vaihtojen tuloesitys ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, kuten seuraavassa pykälässä tarkemmin todetaan Tarvitsemme myöhemmin vielä seuraavaa tulosta, joka ilmoittaa, että permutaatio voidaan esittää myös eräiden erityistyyppisten vaihtojen tulona Lause 26 Jokainen permutaatio S n voidaan esittää vaihdoista ( 1 2 ), ( 1 3 ),, ( 1 n 1 ) ja ( 1 n ) muodostettuna tulona Se voidaan esittää aina myös vaihdoista ( 1 2 ), ( 2 3 ),, ( n 2 n 1 ) ja ( n 1 n ) muodostettuna tulona (Ääritapauksena tulossa voi olla vain yksi termi) Todistus Ensimmäinen väite seuraa edellisestä lauseesta, kun huomataan, että mielivaltainen vaihto ( k l ) voidaan esittää tulona ( k l ) ( 1 k )( 1 l )( 1 k ) Toinen väite seuraa taas siitä, että edelleen ( 1 k ) ( k 1 k ) ( 3 4 )( 2 3 )( 1 2 )( 2 3 )( 3 4 ) ( k 1 k ) Harjoitustehtäviä 27 1 Ilmoita permutaatio erillisten kiertojen tulona 2 Ilmoita permutaatiotulo ( )( )( ) erillisten kiertojen tulona Ilmoita se myös kaksirivisessä esitysmuodossa 3 Tarkastellaan permutaatiota a) Ilmoita se erillisten kiertojen tulona b) Ilmoita se vaihtojen tulona c) Ilmoita se lauseen 26 mukaisten vaihtojen tulona 4 Osoita, että ryhmässä S 3 kierrolle ( ) ja vaihdolle ( 1 2) pätee, että 3 2 ( 1) ja 2 Osoita edelleen, että koko ryhmän S 3 alkiot voidaan luetella muodossa S 3 {,, 2,,, 2 }

59 IV PERMUTAATIO 57 S 6 S 7 5 Anna ryhmissä S 5, ja esimerkki kustakin erityyppisestä permutaation esityksestä erillisten kiertojen tulona (Käytä lähtömallina ryhmää S 4, missä kyseiset esimerkkityypit ovat ( 1), ( 1 2), ( 1 23), ( 1 2) ( 3 4) ja ( ) Lukujen vaihtelua ei siis tarvitse huomioida) 6 Olkoon ( k 1 k 2 k r ) kierto ja S n ( r n) Osoita, että permutaatio on myös kierto, ja että itse asiassa ( ( k 1 ) ( k 2 ) ( k r )) 7 a) Osoita, että permutaatio on oma käänteispermutaationsa täsmälleen silloin, kun 2 b) Mitä voit sanoa sellaisen kierron pituudesta, joka on oma käänteispermutaationsa? c) Kuvaa edellisten kohtien perusteella, millaisia voivat olla ne permutaatiot, joille 2 8 Jos permutaatio on esitetty erillisten kiertojen tulona, selvitä, miten tästä esityksestä saadaan käänteispermutaatiolle esitys erillisten kiertojen tulona 3 Parillisuus ja parittomuus Edellisen pykälän lauseen 26 mukaan jokainen permutaatio S n voidaan esittää vaihtojen tulona Tällainen esitys ei ole kuitenkaan yksikäsitteinen, koska aina voidaan mihin tahansa esitykseen lisätä esimerkiksi tulopari ( 1 2 )( 1 2 ) ( 1) Tällöin kuitenkin lisätään kaksi vaihtoa, ja yleisemmin osoittautuukin, että vaihtoja voidaan lisätä tai vähentää aina vain parillinen määrä Perustellaan se seuraavaksi Avuksi tarvitsemme ensin paria apulausetta Apulause 31 Olkoot 1 ja 2 eri vaihtoja, joista 1 vaihtaa luvun k (ts 1 ( k) k) Silloin tulo 2 1 voidaan esittää kahden sellaisen vaihdon 1 ja 2 tulona, , joista vaihto 1 ei vaihda lukua k miksikään, mutta 2 vaihtaa sen (ts 1 ( k) k, mutta 2 ( k) k) Todistus Merkintöjen yksinkertaistamiseksi oletetaan ensin, että k 1 ja 1 ( 1 2 ) Silloin on oleellisesti seuraavat kolme mahdollisuutta: (1) Jos 2 ( 1 3 ), niin 2 1 ( 1 3 )( 1 2 ) ( 1 2 )( 2 3 ) (2) Jos 2 ( 2 3 ), niin 2 1 ( 2 3 )( 1 2 ) ( 1 3 )( 2 3 ) (3) Jos 2 ( 3 4 ), niin 2 1 ( 3 4 )( 1 2 ) ( 1 2 )( 3 4 ) Jokaisessa tapauksessa on siis saatu väitetynlainen esitys Koska yllä lukujen 1, 2, 3 ja 4 tilalla voivat esiintyä mitkä tahansa eri luvut, kattavat yllä käsitellyt tapaukset kaikki mahdollisuudet Apulause 32 Jos identtinen permutaatio ( 1) voidaan esittää tulona, jossa on r vaihtoa, ja jos r 3, voidaan ( 1) esittää tulona, jossa on vain r 2 vaihtoa Todistus Olkoon identtisellä permutaatiolla seuraavanlainen esitys vaihtojen tulona: ( 1) r r Jos 2 1, on 2 1 ( 1) ja tämä tulo voidaan permutaation ( 1) esityksestä poistaa, jolloin saadaan vaadittu lyhyempi esitys

60 58 Oletetaan sitten, että 2 1 Merkitään, että 1 ( k l ), missä k l Koska 1 ( k) l k, on apulauseen 31 mukaan , missä 1 ja 2 ovat sellaisia vaihtoja, että 1 ( k) k ja 2 ( k) k Siten ( 1) r r Jos tässä esityksessä 3 2, voidaan tulo 3 2 taas poistaa, jolloin saadaan vaadittu lyhyempi esitys Jos 3 2, löytyvät samoin kuin edellä vaihdot 3 ja ' 2 siten, että ' 2, ' 2 ( k) k ja 3 ( k) k Näin jatketaan Jos sitten missään vaiheessa ei voitaisi supistaa kahta vierekkäistä vaihtoa pois, saataisiin tilanne, jossa ( 1) r ' r 1 ' 3 ' 2 1, ja 1 ( k) k, ' 2 ( k) k, ' 3 ( k) k,, r 1 ( k) k, mutta r ( k) k Edelleen saataisiin, että k ( r ' r 1 ' 3 ' 2 1 )( k) ( r ' r 1 ' 3 ' 2 )( 1 ( k) ) ( r ' r 1 ' 3 ' 2 )( k) ( r ' r 1 ' 3 )( k) r ( ' r 1 ( k) ) r ( k) k, mikä on tietenkin ristiriita Jossain vaiheessa siis kyseistä identtisen permutaation esitystä voidaan lyhentää kahdella vaihdolla, kuten väitettiinkin Näiden kahden apulauseen jälkeen voidaan todistaa varsinainen päätulos Lause 33 Missä tahansa permutaation esityksessä vaihtojen tulona on joko aina parillinen tai aina pariton määrä vaihtoja S n Todistus Olkoon permutaatiolla S n seuraavat esitykset vaihtojen tulona: r r s s Kertomalla tämä yhtälö vuoronperään oikealta vaihdon i käänteisvaihdolla ja huomioimalla lopuksi, että se on sama vaihto i, saadaan seuraava päättelyketju: Siten identtinen permutaatio on saatu esitettyä vaihdon tulona Lauseen väitteen todistamiseksi riittää tämän jälkeen osoittaa, että Jos luku r r s s 1 2 r r s s 1 3 : r r s ( ) r r s ( 1) r s r s on parillinen r s olisi pariton, voisi apulauseen 32 mukaan identtisen permutaation ( 1) esitystä lyhentää ensin ( r s 2) pituiseksi, sitten ( r s 4) pituiseksi, jne, kunnes saataisiin jokin 1 pituinen esitys ( 1) ( k l ) Mutta tämä ei selvästikään ole mahdollista Siten luku r s ja sen myötä myös r s on parillinen eli joko molemmat luvuista r ja s ovat parillisia tai sitten molemmat ovat parittomia Lauseen väite on todistettu

61 IV PERMUTAATIO 59 Permutaation S n sanotaankin olevan parillinen tai pariton sen mukaan tarvitaanko sen tuloesitykseen parillinen vai pariton määrä vaihtoja Sanotaan myös, että sen merkki ( ) on 1; parilliselle ( ) 1 ja parittomalle ( ) 1 On helppo huomata, että kahden parillisen tai kahden parittoman permutaation tulo on parillinen, kun taas parittoman ja parillisen permutaation tulo on pariton Toisin sanoen permutaatiotulon merkki saadaan tekijöiden ja merkkien tulona eli ( ) ( )( ) Tämän säännön voi selvästi yleistää usean permutaation tuloille Kuten edellisessä pykälässä todettiin, voidaan kierrot esittää vaihtojen tulona seuraavasti: ( k 1 k 2 k 3 k r 1 k ) r ( k k )( k 1 r 1 k r 1 ) ( k 1 k 3 )( k 1 k 2 ) Tässä esityksessä on vaihtoa, joten näemme, että r kierto on parillinen, mikäli sen pituus r on pariton, ja pariton, mikäli r on parillinen Toisin sanoen, kierron merkki saadaan kaavasta ( k 1 k 2 k 3 k r 1 k ) r ( 1 ) r 1 Koska jokainen permutaatio voitiin edelleen esittää erillisten kiertojen tulona, sen merkki saadaan selville tuloesityksessä olevien kiertojen pituuksien avulla Esimerkki 34 Permutaatio voidaan esittää kiertojen tulona seuraavasti: ( )( ) Koska vasemmanpuoleinen kierto on parillinen (sen pituus on 5 ) ja oikeanpuoleinen kierto on pariton (sen pituus on 4), on merkistä r 1 näiden tulona pariton Sama päätelmä voidaan tehdä myös ( ) ( ) ( ) ( 1) 4 ( 1) 3 1 Opiskelutehtävä 41 Ilmoita tehtävien 271 ja 272 permutaatiot vaihtojen tulona Ovatko ne parillisia vai parittomia? [Vinkki s 105] Tarkastelemme lähemmin parillisten permutaatioiden muodostamaa joukkoa A n { S n on parillinen } { S n ( ) = 1} Sen alkioilla on mm seuraavat ominaisuudet Lause 35 Joukon A n alkioille pätee: (a) ( 1) A n, (b) jos A n, niin myös 1 A n, (c) jos A n ja A n, niin myös A n Todistus (a) Koska ( 1) ( 1 2 )( 1 2 ), on ( 1) parillinen (b) Jos parillisille permutaatioille olisi käänteispermutaatio 1 pariton, olisi niiden tulo 1 ( 1 ) pariton vastoin edellisen kohdan tulosta

62 60 (c) Parillisille permutaatioille ja merkit ovat ( ) 1 ja ( ) 1, joten ( ) ( )( ) 1 eli A n Algebrallisesti yllä oleva lause ilmaisee, että joukko A n on ryhmän S n aliryhmä Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että se on myös ryhmä, ts sillä on samat lauseen 16 ominaisuudet kuin ryhmällä S n Ryhmää A n sanotaan astetta n olevaksi alternoivaksi ryhmäksi Osoitamme seuraavaksi, että parillisia ja parittomia permutaatioita on yhtä paljon, kumpiakin sen mukaisesti puolet ryhmän alkioista 1 Lause 36 Ryhmässä A n on --n! eri alkiota 2 Todistus Merkitään parittomien permutaatioiden muodostamaa joukkoa B n { S n on pariton } { S n ( ) = 1} Koska permutaatio on joko parillinen tai pariton, joukoille A n ja B n on S n A n B n ja A n B n Jos sitten kerromme parillisen permutaation vaihdolla ( 1 2 ), saamme tulokseksi parittoman permutaation Voimme siis määritellä kuvauksen f : A n B n asettamalla f( ) ( 1 2 ) Osoitamme, että tämä kuvaus on bijektio Ensinnäkin, ehdosta ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 saadaan ( 1 2 )( 1 2 ) 1 ( 1 2 )( 1 2 ) 2 eli 1 2 Kuvaus f on siten injektio Toisaalta jokaiselle parittomalle on permutaatio ( 1 2 ) parillinen ja f( ( 1 2 )) Kuvaus f on siten myös surjektio Joukot A n ja B n ovat siis yhtä mahtavat eli niissä on yhtä monta alkiota Koska niissä on yhteensä #S n n! alkiota, joukossa A n on tästä määrästä puolet, kuten väitettiin Esimerkki 37 Ryhmän S 3 {( 1), ( 1 2 ), ( 1 3 ), ( 2 3 ), ( ), ( )} alkioista puolet ovat parillisia: A 3 {( 1), ( ) ( 1 3 )( 1 2 ), ( ) ( 1 2 )( 1 3 )} Opiskelutehtävä 42 Luettele alternoivan ryhmän A 4 alkiot [Vinkki s 105] Opiskelutehtävä 43 Anna ryhmissä A 5, A 6 ja A 7 esimerkki kustakin erityyppisestä permutaation esityksestä erillisten kiertojen tulona (Apu: Käytä lähtömallina ryhmää A 4, missä kyseiset esimerkkityypit ovat ( 1), ( 1 23) ja ( 1 2) ( 3 4) Lukujen vaihtelua ei siis tarvitse huomioida) [Vinkki s 105] Harjoitustehtäviä 38 1 a) Olkoot 1, 2,, r vaihtoja Osoita, että ( 1 2 r ) 1 r 2 1 b) Osoita, että permutaatiolla ja sen käänteispermutaatiolla on aina sama merkki c) Osoita, että kaikille permutaatioille ja permutaatioilla ja 1 on aina sama merkki S n 2 Osoita, että jokainen A n voidaan esittää 3 kiertojen tulona (Vihje: Käytä hyväksi tietoa, että jokainen permutaatio voidaan esittää muotoa ( 1 k ) olevien vaihtojen tulona, ja yhdistele sitten näitä pareittain)

63 61 V SYMMETRIA 1 Mitä on symmetria? Jokaisella lienee valmiina jonkinlainen mielikuva siitä, mitä symmetrisyys ja symmetria tarkoittavat Mutta miten ilmoittaa täsmällisemmin, kuinka symmetrinen joku kuvio tai kappale on? Tai voiko sanoa, mikä annetuista kuvioista tai kappaleista on symmetrisin? Tarkastellaan ensin kolmea avaruuskappaletta: 12 pyramidia, 6 prismaa ja 4 tahokasta eli tetraedria Oletetaan kaikkien kappaleiden pohjana olevat monikulmiot säännöllisiksi 12 pyramidi 6 prisma Tetraedri Tehtävä Mikä näistä kappaleista on mielestäsi symmetrisin? Mihin arviosi perustuu? Löydätkö päättelysi tueksi jotain rationaalista mallia, jota voisi yleisemminkin soveltaa? Todennäköisesti löydät symmetriaa kahdella tavalla On helppo havaita tasokuvioissa peilisymmetriaa, kuten alla olevassa sydänkuviossa, ja usein myös kiertosymmetriaa, kuten esimerkiksi kirjaimessa N Edellisessä tapauksessa kuviosta löytyy suora, peilausakseli, jonka suhteen kuvio on itsensä peilikuva Jälkimmäisessä tapauksessa taas on yksi piste, kiertokeskus, jonka suhteen kiertämällä kuvio yhtyy (ennen täyttä kierrosta) alkuperäiseen muotoonsa Peilisymmetriaa voi periaatteessa esiintyä myös yhden pisteen suhteen (tähtimäisesti), mutta se voidaan kuvata peilausakselien tai kiertokeskusten avulla, kuten esimerkiksi viereisen kuvion tapauksessa

64 62 Avaruuskappaleissa peilausakselin tilalla on ilmeisestikin peilaustaso ja kiertokeskuksen tilalla kiertoakseli Lisäksi avaruuskappaleissakin voi periaatteessa olla peilisymmetriaa suoran tai pisteen suhteen Palataan alussa tarkasteltuihin kolmeen avaruuskappaleeseen Niiden symmetrisyyttä voisi siis yrittää kuvata etsimällä kaikki mahdolliset peilaustasot ja kiertosuorat On siis yritettävä vastata seuraaviin kahteen kysymykseen: Kuinka monella oleellisesti eri tavalla kappaletta voi kiertää siten, että uudessa asennossa kappaletta ei voi erottaa alkuperäisessä asennossa olevasta (muuten kuin nimeämällä alunpitäen jotkin kappaleen osat, kuten esimerkiksi kärkipisteet)? Kuinka monta eri peilikuvaansa kappaleella on? Tarkastellaan kutakin kappaletta erikseen 12 pyramidi Pyramidia voidaan kiertää lähtöasennosta pystyakselinsa suhteen 11 eri tavalla (kun täyttä kiertoa ei enää oteta mukaan) Pienin kierto on kulman verran, ja muut ovat sen toistoja eli monikertoja Peilauksia löytyy yhteensä 12 kappaletta; peilaustasoina ovat sellaiset tasot, jotka kulkevat huippupisteen kautta ja sisältävät joko 12 kulmion kaksi vastakkaista kärkeä tai kahden vastakkaisen sivun keskipisteet Yhteensä on siis saatu: Lähtöasento, 11 kiertoa kulman 30 monikertojen verran ja 12 peilausta 6 prisma Kiertoja löytyy nyt kolmenlaisten suorien suhteen: kappaleen pystyakselin, vastakkaisten sivutahkojen keskipisteiden kautta kulkevan ja vastakkaisten sivusärmien keskipisteiden kautta kulkevan Pystyakselin suhteen pienin kierto on kulman verran ja sen monikertoina saadaan neljä kiertoa lisää (täysi kierros poisluettuna) Vastakkaisia sivutahkoja yhdistävän suoran suhteen saadaan yksi kierto lisää, kulman verran Eri sivutahkopareja taas on kolme kappaletta, joten yhteensä saadaan kolme kiertoa lisää Vastaavasti sivusärmien suhteen saadaan kolme kiertoa lisää, ja kukin niistä kiertää prismaa kulman Kaikkiaan löytyy siis eri kiertoa verran Peilauksia löytyy 6 prismasta kaikkiaan 7 kappaletta Peilaustasoina ovat eri kiertoakseliparien määräämät tasot

65 V SYMMETRIA 63 Yhteensä siis 6 prismasta löytyy: Lähtöasento, 5 eri kiertoa kulman 60 monikertojen verran, kiertoa kulman 180 verran, kiertoa kulman 180 verran ja 7 eri peilausta Tetraedri Kiertoja löytyy nyt kahdenlaisten suorien suhteen: Yhdestä kärjestä katsottuna tetraedrin vastakkaista tahkoa voi kiertää kulman verran ja sen monikertana saadaan yksi kierto lisää (täysi kierros poisluettuna) Tällaisia kiertoja on kaikkiaan neljän eri kärjen suhteen yhteensä kahdeksan kappaletta Yhdistämällä sitten aina vastakkaisten särmien keskipisteet saadaan lisää kolme uutta kiertoa, kukin kulman verran Peilauksia löytyy tetraedrista kaikkiaan vain 6 kappaletta Yhteensä siis tetraedrista löytyy: Lähtöasento, eri kiertoa kulman 120 monikertojen verran, kiertoa kulman 180 verran ja 6 eri peilausta Opiskelutehtävä 44 Kuvaa kaikki kuution erilaiset kiertosymmetriat ja määrää näiden kokonaismäärä [Vinkki s 105] Seuraavassa on näistä kolmesta esimerkistä yhteenvetona eräitä huomioita, joilla voisi olla merkitystä kappaleiden symmetrisyyden kuvaamisessa: Kaikilla kolmella kappaleella on yhteensä 12 erilaista kiertosymmetriaa Pyramidilla on vain yksi kiertoakseli, prismalla ja tetraedrilla niitä on kummallakin kaikkiaan seitsemän erilaista Pyramidilla yhden kierron toistaminen antaa kaikki muut sen monikertoina, mutta prismalla ja tetraedrilla ei tällaista kiertoa löydy Pyramidilla kaksi kiertoa voidaan aina toistaa missä järjestyksessä tahansa, mutta prismalla ja tetraedrilla kiertojen suoritusjärjestyksellä on merkitystä (Prismalla epävaihdannaisia kiertopareja löytyy 30 ja tetraedrilla 29) Pyramidilla on vain yksi sellainen kierto (kulman 180 verran), joka yhden kerran toistettuna antaa alkuperäisen asennon, prismalla niitä on kaikkiaan seitsemän erilaista ja tetraedrilla vastaavasti kolme Pyramidilla ja prismalla on kaksi sellaista kiertoa (kulmien 120 ja 240 verran), jotka toistettuna kahdesti antavat alkuperäisen asennon, tetraedrilla niitä on vastaavasti kahdeksan Erilaisia peilaustasoja on pyramidilla yhteensä 12, prismalla 7 ja tetraedrilla 6

66 64 Yleisesti tunnutaan oleva sitä mieltä, että näistä kolmesta esimerkkikappaleesta pyramidilla on vähiten sisäistä symmetriaa Prisman ja tetraedrin välillä mielipiteet jo jonkun verran vaihtelevat, mutta enemmistö kallistuu yleensä sille kannalle, että tetraedri olisi symmetrisempi kappale kuin prisma Mitkä yllä luetellut näiden kappaleiden ominaisuudet sitten tukisivat tällaista tuntumaa? Teemme esimerkkien pohjalta seuraavan hypoteesin: Enemmän kiertoja omaava kuvio tai kappale on symmetrisempi Enemmän kiertoakseleita omaava kuvio tai kappale on symmetrisempi Enemmän epävaihdannaisia kiertoja omaava kuvio tai kappale on symmetrisempi Enemmän isokulmaisia kiertoja omaava kuvio tai kappale on symmetrisempi Voisimme siis ilmeisesti sanoa, että mitä enemmän kappaleella on kiertoja, ja ennen kaikkea mitä pahemmin ne ovat sekoittuneet keskenään, sitä symmetrisempi kappale on! Kun symmetriaa alunpitäen pohditaan, usein ensivaikutelmana korostetaan peilauksien määrää symmetrian mittarina Yllä olevat esimerkit kuitenkin osoittavat, ettei ainakaan näiden lukumäärä kuvaa kappaleiden symmetriaa Ehkä päinvastoin niiden vähyys! Jatkossa osoitammekin, että matemaattisesti selkeämpää on ensin tarkastella mahdollisia kiertoja ja niiden keskinäistä käyttäytymistä Sen jälkeen riittää vain tutkia, onko kappaleella ylipäätään yhtään peilausta Jos on, riittää näistä ottaa tarkasteluihin mukaan vain yksi muut mahdolliset peilaukset saadaan tämän yhden peilauksen ja kiertojen avulla Harjoitustehtäviä 11 1 Liimaa kaksi tetraedria yhdestä tahostaan yhteen Kuvaa saadun (epäsäännöllisen) 6 tahokkaan kaikki kiertosymmetriat 2 Tarkastele vierekkäistä viivoitettua kuutiota Mitkä kuution kierrot kuvaavat sen niin, että viivat tulevat samoihin asentoihin?

67 V SYMMETRIA 65 2 Tasokuvioiden symmetriaryhmät Symmetrian kuvaamismallin kehittämiseksi tarkastelemme ensin tasokuvioiden symmetrisyyttä Ja sitä varten taas tarkastelemme ensin yksinkertaista tasokuviota, tasasivuista kolmiota Pyrimme kuvaamaan kaikki ne tason symmetriakuvaukset, jotka kuvaavat kolmion takaisin samaksi kolmioksi (mahdollisesti uuteen asentoon) Lisäksi on luonnollista vaatia, että nämä kuvaukset säilyttävät pisteiden etäisyydet Numeroidaan kolmion kärjet 1 3 ja tarkastellaan sen mahdollisia symmetriakuvauksia, eli kiertoja ja peilauksia Kolmion eri symmetriakuvaukset ovat selvästikin seuraavat: identtinen kuvaus I, kierrot K + ja K, peilaukset P 1, P 2 ja P 3, yhteensä siis kuusi kappaletta Tarkastelemalla kärkipisteiden kuvautumista huomataan, että jokainen näistä muunnoksista voidaan kuvata permutaatioina Otetaan käyttöön permutaatiot ( 1), ( 1 2 3) ja ( 2 3 ), jotka vastaavat kuvauksia I, K ja P 1 Tässä kierron suunta on valittu paikka-orientoituneesti : luvun 1 kuvautuminen luvuksi 2 tarkoittaa nyt graafisesti sitä, että kolmiota kierretään siten, että kärjen 1 paikalle tulee kärki 2 (tämä sen takia, että permutaatioiden kertomisjärjestys oikealta vasemmalle olisi sopusoinnussa havainnollistamisen kanssa) Permutaatioiden ja tulojen avulla saadaan edelleen, että 2 ( 1 2 3) ( 1 2 3) ( 1 3 2) ( = K + ), 3 ( 1 2 3) ( 1 3 2) ( 1) ( = I), ( 1 2 3) ( 2 3) ( 1 2) ( = P 3 ), 2 ( 1 3 2) ( 2 3) ( 1 3) ( = P 2 ) P 3 3 P 2 2 K K + 1 P 1 Esimerkkinä kuvataan näistä tulon 2 muotoutuminen graafisesti (huomaa kierron suunta!) 3 1 ( 2 3) ( 1 2 3) ( 1 2) 3 2 Kaikki mahdolliset symmetriakuvaukset on siten saatu esitettyä permutaatioiden ja avulla Tuloksena on ns tasasivuisen kolmion symmetriaryhmä eli dihedraaliryhmä ( tuplatahoryhmä ) D 3 {,, 2,,, 2 } { ( 1), ( 1 2 3), ( 1 3 2), ( 2 3), ( 1 2), ( 1 3) }

68 66 Dihedraaliryhmä D 3 on siten aivan sama kuin kolmialkioisen joukon symmetriaryhmä S 3 Tarkastelemalla sen alkioiden tuloja voi edelleen helposti laskea, että ( 1 2) ( 1 2 3) ( 2 3), 2 ( 2 3) ( 1 2 3) ( 1 3) ( 2 3) ( 1 3 2) ( 1 2) 2, Täten kuvauksia ja kertomalla keskenään ei saada aikaan mitään muita alkioita kuin ne, jotka ovat jo joukossa D 3 Keräämällä tulokset yhteen saadaan kokoon seuraava taulukko, ryhmän D 3 operaatiotaulukko Se on oleellisesti sama kuin ryhmän S 3 operaatiotaulukko (s 52), alkiot ovat vain eri nimisiä ja eri järjestyksessä D Ryhmän D 3 alkioiden tuloja laskiessa joudutaan muotoa k l oleviin tuloihin Näitä sieventäessä on kätevää käyttää hyväksi yhtälöitä ja 3 Taulukkoa täyttäessä on myös hyödyllistä muistaa supistamissääntö, jonka mukaan kukin alkio esiintyy kullakin rivillä ja sarakkeella täsmälleen kerran Tehtävä Tarkista ryhmän D 3 operaatiotaulukon kaksi alinta riviä Opiskelutehtävä 45 Tarkista ryhmässä D 3 tulo ( 2 ) graafisesti kolmioiden avulla [Vinkki s 105] Tarkastellaan sitten yleisemmin säännöllisen n kulmion symmetriaryhmää, kun n 3 Olkoon n ensin pariton, n 2k 1 Alla olevasta kuviosta on löydettävissä seuraavat symmetriakuvaukset: 3 2 P 2 k k + 1 K 2 K n 1 K 1 1 P 1 P k+1 n P n

69 V SYMMETRIA 67 identtinen kuvaus I, kierrot K 1, K 2,, K n 1, peilaukset P 1, P 2,, P n, yhteensä siis 2n kappaletta Olkoon n sitten parillinen, n 2k Alla olevasta kuviosta on löydettävissä nyt seuraavat symmetriakuvaukset: P k k 3 Q 2 2 P 2 Q k Q 1 K 2 K 1 k P 1 K n 1 n identtinen kuvaus I, kierrot K 1, K 2,, K n 1, peilaukset P 1, P 2,, P k, peilaukset Q 1, Q 2,, Q k, yhteensä siis 2n kappaletta Otetaan kummassakin tapauksessa käyttöön permutaatiot missä l k 1, jos n on pariton, ja l k 2, jos n on parillinen Permutaatio vastaa siten kiertoa K 1 ja permutaatio peilausta P 1 Lasketaan näiden potensseja ja tuloja: 2 ( n 2 4 n1) tai ( = K 2 ) ( n1) ( 2 4 n ) n 1 ( 1 n n 1 2) ( = K n 1 ) ( = I) ( 1 2) ( 3 n) ( = P k 1 / Q 1 ) 2 ( 1 3) ( 4 n) ( = P 2 ) ( 1) ( n ) ( 2 n )( 3 n1 ) ( k l ), n ( 1) n 1 ( 1 n )( 2 n1) ( = P k / Q k )

70 68 Yhteensä on eri permutaatioita saatu jo 2n kappaletta, ja koska jokainen niistä vastaa eri symmetriakuvausta, olemme jo siis löytäneet kaikki mahdolliset permutaatiot Näin on muodostettu ns säännöllisen n kulmion dihedraaliryhmä D n {,, 2,, n 1,,, 2,, n 1 } Koska jokainen ryhmän D n alkio on n alkion permutaatio, on D n ryhmän S n aliryhmä Se ei ole kuitenkaan koko ryhmä, kun n 4, sillä #D n 2n, mutta #S n n! Opiskelutehtävä 46 Kuvaa kirjaimen H symmetriaryhmä permutaatioilla ja ilmoita saadun ryhmän kertotaulukko [Vinkki s 105] Merkitään dihedraaliryhmän yhden kierron potenssien muodostamaa ns syklistä ryhmää symbolilla C n, ts C n {,, 2,, n 1 }, ( n ) C n on säännöllisen n kulmion kiertojen muodostama joukko, sen ns kiertoryhmä Syklisen ryhmän C n alkiolle pätee, että n, mutta k, kun 0 k n Sanotaan, että tällaisen alkion kertaluku on n Erikoisesti tällöin k l täsmälleen silloin, kun k l ( mod n) Edelleen pätee, että 1 n 1, 2 n 2, jne Dihedraaliryhmässä vastaavasti peilauksen kertaluku on 2, ts 2, mutta 1 Lisäksi alkioiden ja tulolle pätee: ( 2 n) ( 3 n1) Dihedraaliryhmän n 2 ja kertotaulukko määräytyykin itse asiassa täysin ehdoista Esimerkki 21 Edellisen pykälän alussa tarkastellussa 12 pyramidissa kierto kulman 30 verran virittää kaikki muut mahdolliset kierrot Pohjan 12 kulmion peilaukset taas eivät ole enää pyramidin kiertoja Siten 12 pyramidin ns kiertoryhmä eli rotaatioryhmä eli se ryhmä, joka muodostuu sen kierroista (ilman peilauksia), on C 12 {,, 2,, 11 }, missä on kierto ( ), kun 12 kulmion kärjet on numeroitu 1, 2,, 12 Esimerkki 22 Palataan toiseen edellisen pykälän alussa tarkasteltuun kappaleeseen, 6 prismaan Sen voidaan ajatella olevan kaksitahoinen 6 kulmio, sillä jokainen sen kierto on jokin vastaavan 6 kulmion symmetriamuunnos (kierto tai peilaus), ja kääntäen Siten 6 prisman kiertoryhmä on dihedraaliryhmä D 6 Tämä voidaan kuvata numeroimalla ylä- ja alapuolen vastinkärjet samoin numeroin 1 6 ja valitsemalla esimerkiksi ( ) ja ( 2 6) ( 3 5) Silloin ja D n D 6 {,, 2, 3, 4, 5,,, 2, 3, 4, 5 } #D 6 12 Huomioimalla myös peilaukset saadaan lisää symmetriamuunnoksia Kuinka paljon? Tuplatenko? Vastataan siihen myöhemmin! (Seuraavassa pykälässä!)

71 V SYMMETRIA 69 Seuraava tulos annetaan tässä ilman todistusta Lause 23 (Leonardo da Vincin lause) Tasokuvion äärellinen symmetriaryhmä on oleellisesti jokin syklisistä ryhmistä C n tai jokin dihedraaliryhmistä D n Se, mikä symmetriaryhmä kullakin tasokuviolla on, saadaan selville seuraavalla tavalla Etsitään ensin pienikulmaisin kierto ja määrätään sen kertaluku n Sitten selvitetään, liittyykö tasokuvioon ylipäätään yhtään peilausta Jos liittyy, tuloksena on dihedraaliryhmä D n jos ei, tuloksena on syklinen ryhmä C n Esimerkki 24 Kirjaimella N on symmetriana kierto, jolle 2, mutta ei yhtään peilausta, joten sen symmetriaryhmä on C 2 {, } Esimerkki 25 Kirjaimella M ei ole yhtään kiertoa, mutta sillä on peilaus, joten sen symmetriaryhmä on D 1 {, } Esimerkki 26 Kirjaimella H on symmetriana sekä kierto, jolle 2, että peilaus, joten sen symmetriaryhmä on D 2 {,,, } Esimerkki 27 Kirjaimella O (ympyränä!) on äärettömän monta kiertoa ja peilausta Sen symmetriaryhmä ei siksi ole mikään ryhmistä C n tai D n Tästä äärettömästä symmetriaryhmästä käytetään joskus merkintää D Opiskelutehtävä 47 Määrää alla olevien kuvioiden symmetriaryhmät [Vinkki s 105] a) b) Harjoitustehtäviä 28 1 Kuvaa neliön symmetriat ja määrää sen symmetriaryhmä sekä ilmoita sen kertotaulukko Ilmoita tulos vielä dihedraalimaisesti sopivan ryhmän D n avulla 2 Kuvaa suorakaiteen (joka ei ole neliö) symmetriat ja määrää sen symmetriaryhmä sekä ilmoita saadun ryhmän kertotaulukko 3 Millainen on janan symmetriaryhmä? 4 Kuvaa säännöllisen viisikulmion symmetriat, määrää sen symmetriaryhmä ja ilmoita saadun ryhmän kertotaulukko 5 Kuvaa šakkilaudan symmetriat ja määrää sen symmetriaryhmä 6 Määrää kaikkien ryhmän D 3 alkioiden kertaluvut 7 Montako kertalukua 2 olevaa alkiota on neliön symmetriaryhmässä?

72 70 8 Määrää alla olevien kuvioiden symmetriaryhmät a) b) 9 Mikä on seuraavien yhtälöiden määräämien tasokäyrien symmetriaryhmä: a) y x 2 (paraabeli), b) 3x 2 4y 2 12 (ellipsi), c) xy 1 (hyperbeli), d) xy 1 (kaksi hyperbeliä)? 10 Millaisia ryhmiä löytyy kirjainten A Z symmetriaryhmistä? (Voit olettaa kirjaimet mahdollisimman säännöllisiksi) 3 Monitahokkaista Tässä pykälässä tarkastelemme kolmiulotteisia säännöllisiä kappaleita sekä niiden kierto- ja symmetriaryhmiä On varsin helppo keksiä kaksi tai kolmekin klassista säännöllistä monitahokasta eli avaruuden kappaletta, jotka ovat konvekseja (eli kärkien yhdysjanat eivät jää tahokkaan ulkopuolelle), ja joiden reuna muodostuu (aina samantyyppisistä) säännöllisistä monikulmioista Yleisesti tuttuja ovat ainakin tetraedri ja kuutio sekä myös oktaedri (eli 4, 6 ja 8 tahokkaat), joissa rakennussivuina käytetään kolmioita ja neliöitä Pohdintojen tai kokeilujen jälkeen voi keksiä lisäksi dodekaedrin ja ikosaedrin (eli 12 ja 20 tahokkaat) Edellinen rakentuu viisikulmioista ja jälkimmäinen taas kolmioista, mutta siis useammasta kuin tetraedri tai oktaedri Alla ovat mainittujen monitahokkaitten kuvat Tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri Onko muita tällä tavalla konstruoitavia kappaleita? Jos ei, niin miksi ei? Tarkastellaan tilannetta palauttamalla ongelma tasokuvioihin Säännöllisistä monitahokkaista voidaan aina tehdä ns Schlegelin tasokuvio katsomalla yhden tahkon läpi tai venyttämällä yhden tahkon särmät (ja niiden myötä osin muitakin särmiä) sillä tavalla, että ne ympäröivät kaikki muut Alla ovat yllämainituista monitahokkaista tällä tavalla saatavat Schlegelin kuviot Tällainen kuvio muodostuu monitahokkaan kärjistä (eli solmupisteistä), särmistä (yhdysviivoista) ja tahkoista (alueista) Se on myös yhtenäinen, ts jokaisesta kärjestä pääsee särmiä pitkin mihin tahansa muuhun kärkeen Tarkastellaan tarkemmin tällaisia yhtenäisiä tasograafeja, jotka muodostuvat pisteistä ja niitä yhdistävistä, toisiaan leikkaamattomista viivoista sekä niiden rajaamista tason alueista Yhdistävien viivojen ei välttämättä tarvitse olla suoraviivaisia, vaan ne voivat olla esimerkiksi kaarevia

73 V SYMMETRIA 71 Apulause 31 Yhtenäisessä pisteistä ja niitä yhdistävistä, toisiaan leikkaamattomista viivoista muodostuvassa tasokuviossa pätee kaava P V A 2, missä P on pisteiden, V viivojen ja A alueiden lukumäärä Todistus Jokainen tällainen yhtenäinen kuvio voidaan ajatella muodostuneen yhdestä pisteestä lisäämällä siihen viivoja ja pisteitä Yhden pisteen muodostamalle kuviolle pätee, että P 1, V 0 ja A 1 (koko taso), joten sille yhtälö P V A 2 pätee Jos sitten johonkin yhtenäiseen kuvioon halutaan lisätä uusi piste tai viiva, se voidaan tehdä oleellisesti kahdella eri tavalla: joko lisäämällä uusi piste ja yhdistämällä se johonkin olemassaolleeseen pisteeseen tai sitten lisäämällä vain kahta olemassaolevaa pistettä yhdistävä viiva Edellisessä tapauksessa luvut P ja V kasvavat yhdellä, mutta A pysyy ennallaan Jälkimmäisessä tapauksessa luku P pysyy ennallaan, mutta luvut V ja A kasvavat yhdellä Kummassakaan tapauksessa lausekkeen arvo ei muutu Päättelemmekin siten induktiivisesti, että jokaiselle tarkasteltavalle kuviolle summa P V A on aivan sama kuin mitä se on yksinkertaisimmalle mahdolliselle eli yhden pisteen kuviolle Toisin sanoen kaava pätee kaikille väitteen mukaisille tasokuvioille Lause 32 (Eulerin kaava) Jokaiselle monitahokkaalle pätee kaava K S T 2, missä K on kärkien, S särmien ja T tahkojen lukumäärä Todistus Monitahokkaan Schlegelin kuvio on yhtenäinen tasograafi, joten väite seuraa edellisestä apulauseesta Tarkastellaan sitten mielivaltaista säännöllistä monitahokasta, joka muodostuu säännöllisistä n kulmioista siten, että samaan kärkeen liittyy aina k monikulmiota tahkoina Olkoot edelleen K monitahokkaan kärkien lukumäärä, S särmien lukumäärä ja T tahkojen lukumäärä P V A P V A 2

74 72 Koska jokaiseen kärkeen liittyy myös k särmää, saadaan yhtälö (särmät tulevat laskettua kahteen kertaan) Vastaavasti jokaiseen tahkoon liittyy särmää, joten pätee myös yhtälö kk nt 2S 2S Sijoitetaan nämä ehdot Eulerin kaavaan 2S S 2S , k n mistä saadaan edelleen seuraava päättelyketju: n K S T 2 Siten k 3 2 n 1 2nS kns 2kS 2kn ( 2n kn 2k)S 2kn 2kn S n kn 2k Sijoittamalla tämä saadaan edelleen ratkaisut: K T 2S k 2S n 4n n kn 2k 4k n kn 2k Koska luvut S, K ja T ovat kaikki positiivisia, saadaan edelleen seuraava päättelyketju: 2n kn 2k 0 kn 2n 2k 0 ( k 2)n 2k 4 4 ( k 2)n 2( k 2) 4 ( n 2) ( k 2) 4 Koska on oltava n 3 ja k 3, on vain seuraavat vaihtoehdot: n 3 ja k 3, jolloin saadaan tetraedri; n 3 ja k 4, jolloin saadaan oktaedri; n 3 ja k 5, jolloin saadaan ikosaedri; n 4 ja k 3, jolloin saadaan kuutio; n 5 ja k 3, jolloin saadaan dodekaedri Tuloksena on siis, että on olemassa vain nämä viisi säännöllistä monitahokasta, ns Platonin kappaleet Opiskelutehtävä 48 Yhdistä tetraedrin vierekkäisten tahkojen keskipisteet janoilla Mikä monitahokas saadaan, kun nämä saadut janat ajatellaan sen särmiksi? [Vinkki s 105] Jos sallitaan enemmän vaihtelua monitahokkaan tahkojen valinnoissa, saadaan kyllä enemmän monitahokkaita Esimerkiksi jos sallitaan käytettävän useammanlaisia monikulmioita tahkoina, mutta edellytetään kuitenkin, että jokaisessa kärjessä tahkojen asettelu on täysin

75 V SYMMETRIA 73 samanlainen, saadaan Platonin kappaleitten lisäksi ns Arkhimedeen monitahokkaat, joita on kaikkiaan 13 erilaista Jalkapallon malli perustuu mm erääseen tällaiseen kappaleeseen, joka muodostuu 5 ja 6 kulmioista Seuraavalla sivulla ovat kaikki 13 Arkhimedeen monitahokasta kuvattuna Arkhimedeen monitahokkaiden lisäksi on vielä olemassa ääretön määrä erikokoisia prismoja, joissa samanlaiset monikulmiot yhdistetään joko neliöillä (prisma) tai tasasivuisilla kolmioilla (vino prisma) Seuraavassa kuvassa ovat viisikulmioista muodostetut prismat 5 prisma vino 5 prisma Opiskelutehtävä 49 Valitse yksi Arkhimedeen monitahokas ja selvitä päteekö sille Eulerin kaava [Vinkki s 105] Palataan säännöllisiin monitahokkaisiin eli Platonin kappaleisiin ja määrätään niiden kiertoryhmät Tehdään se tarkemmin tetraedrille ja kuutiolle ja annetaan muille pelkkänä tuloksena Esimerkki 33 Tetraedrin kiertoryhmä Numeroidaan säännöllisen tetraedrin kärjet 1 4 ja määrätään sen kierrot permutaatioiden avulla samaan tapaan kuin tasossa tehtiin 4 kolmiolle Valitaan lähtökohdaksi kierrot ( 2 3 4) ja ( 1 4) ( 2 3), 2 jolloin 2 ( 2 4 3) ja 3 2 ( 1) Laskemalla havaitaan edelleen, että 2 ( 2 3 4) ( 1 4) ( 2 3) ( 1 2 4), ( 2 4 3) ( 1 4) ( 2 3) ( 1 3 4), 2 ( 1 2 4) ( 2 3 4) ( 1 2 3), ( 1 3 4) ( 2 3 4) ( 1 3) ( 2 4), 2 2 ( 1 3) ( 2 4) ( 2 3 4) ( 1 3 2), 2 ( 1 4) ( 2 3) ( 2 3 4) ( 1 4 3), ( 1 4 3) ( 2 3 4) ( 1 4 2), 2 ( 2 3 4) ( 1 4 2) ( 1 2) ( 3 4) 3 1

76 74 Arkhimedeen monitahokkaat (englannin- ja suomenkieliset nimet ovat kuvien yläpuolella) typistetty tetraedri kuutio-oktaedri typistetty oktaedri typistetty kuutio rombikuutio-oktaedri typistetty kuutio-oktaedri vino kuutio ikosidodekaedri typistetty ikosiedri typistetty dodekaedri rombi-ikosidodekaedri typistetty ikosidodekaedri vino dodekaedri