Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria"

Transkriptio

1 Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria 22. heinäkuuta 24

2 2

3 Sisältö 1 Johdanto: muutoksen mallintaminen 5 2 Diskreettiaikainen mallintaminen Differenssiyhtälöt Mallintaminen differenssiyhtälöillä Käyttäytymisen arviointi differenssiyhtälöllä Rajaton kasvu Rajattu kasvu Differenssiyhtälöryhmä Mallintaminen differenssiyhtälöryhmällä Kilpailevat populaatiot Saalis - saalistaja Ratkaisut Numeerinen ratkaisu ja pitkäaikainen käytös Analyyttinen ratkaisu Tasapainotilat Jatkuva-aikainen mallintaminen Differentiaaliyhtälö Mallintaminen differentiaaliyhtälöllä Populaation kasvu Differentiaaliyhtälöryhmät Mallintaminen differentiaaliyhtälöryhmällä Interaktiiviset populaatiot Dimensioton muoto Ratkaisut Numeerinen Analyyttinen Tasapainoarvot Graafinen tarkastelu Esimerkki - lääkekuurin määrääminen

4 4

5 Luku 1 Johdanto: muutoksen mallintaminen Matemaattisessa mallinnuksessa tarkoituksena on luoda malleja, joiden avulla pystytään selittämään käyttäytymistä tai ennustaa tulevaa. Monesti hyvä lähtökohta on yhtälö nykyinen arvo = vanha arvo + muutos. Usein analyysi aloitetaan tutkimalla vain muutosta. Jos asiat tapahtuvat tietyin aikavälein, tarkastellaan asiaa diskreetissä ajassa. Käytetään differenssiyhtälöitä. Jos aika on taas jatkuvaa, otetaan käyttöön differentiaaliyhtälöt. Jatkuva-aikaista käyttäytymistä voi myös arvioida differenssiyhtälöillä. Toisaalta joskus on hyödyllistä tutkia diskreettiaikaista mallia differentiaaliyhtälöillä. Interaktiivisia järjestelmiä mallintaessa tarvitaan puolestaan differenssi- ja differentiaaliyhtälöryhmiä. Differenssiyhtälöiden teoriassa ja soveltamisessa on monia yhtäläisyyksiä differentiaaliyhtälöiden teoriaan. Seurauksena muunnokset differenssi ja differentiaaliyhtälöiden välillä ovat mahdollisia. 5

6 6

7 Luku 2 Diskreettiaikainen mallintaminen Katsotaan ensin intuitiivinen esimerkki. Esimerkki - Ydinasekilpailu Maat X ja Y ovat ydinasekilpailussa keskenään. Kumpikin maa uskoo, että kunhan silläonohjuksia tietty määrä, toinen ei uskalla hyökätä. Maa Y laskee, ettäse tarvitsee 12 ohjusta vahingoittaakseen vastustajaa. Lisäksi Y laskee, että kahta X:n ohjusta vastaan se tarvitse yhden ylimääräisen. y olkoon Y :n ohjusten määrä ja xx:n ohjusten määrä, jotka Y on havainnut. Y noudattaa tällöin strategiaa y = x. Maa X noudattaa samankaltaista strategiaa. Se laskee, ettäsetarvitsee ainakin 6 ohjusta, sekä lisäksi yhden kolmea Y :n ohjusta kohden. Olkoon x nyt X:n ydinaseiden määrä jayx:n havaitsemat Y :n ydinaseet. X:n strategia on yhtälön x = y mukaista. Miten ydinasekilpailu etenee? Ensimmäisellä askeleella Y rakentaa 12 ohjusta ja X 6. Oletetaan nyt, että X:n ja Y :n tiedustelutiedot ovat täydellisiä, eli kumpikin on tietoinen kaikista toisen maan ohjuksista. Seuraavassa vaiheessa Y lisää kapasiteettinsa y = = 15 ohjukseen. X:n ohjuksia on taas x = = 1. Kun 2 3 merkitsemmä n:nnen vaiheen ohjusmääriä x n :llä jay n :llä, saadaan yhtälöt { yn+1 = x 2 n x n+1 = 6+ 1y. 3 n x =6ja y = 12 ovat mallin alkuarvot, itse yhtälöissä esiintyvät 6, 12, 1 ja 2 ovat mallin parametrejä

8 8 Kun kilpailu jatkuu dynaamisesti (vaiheittain) samojen yhtälöiden mukaisesti tilanteet menevät seuraavasti: n y n x n y y y y 2 3 y 1 x 1 x 2 (12,18) x 3 x x Rakennettavien ohjusten määränäyttääpienenevän vaiheiden edetessä. Y näyttää päätyvän noin 18 ohjukseen, X taas 12 ohjukseen. Ennustaako malli tasapainoarvoja, joihin maat näyttävät päätyvän? Onko tasapainoasema vakaa, eli vaikuttavatko alkuarvojen muutokset paljon siihen? Kuinka herkkä lopputulos on muutoksille mallin parametreissä? Karkaako kilpavarustelu käsistä, jos jompi kumpi poikkeaa strategiastaan hiukan? 2.1 Differenssiyhtälöt Yleisesti k:nnen asteen differenssiyhtälö onmuotoa: f(n, x n+1,x n,x n 1,x n 2,...x n k+1 )= Ensimmäisen asteen differenssiyhtälö Yleensä tullaan toimeen ensimmäisen asteen differenssiyhtälöllä f(n, x n+1,x n )=,

9 9 joka pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x n+1 = g(n, x n ). (Vastaavasti joskus käytetään muotoja f(n, x n,x n 1 )=ja x n = g(n, x n 1 ).) Autonominen yhtälö Differenssiyhtälöä kutsutaan autonomiseksi, mikäli funktio g ei suoraan riipu aikamuuttuja n:stä. x n+1 = g(x n ) Alkuarvotehtävä Alkuarvotehtäväonalkuarvojen ja differenssiyhtälön yhdistelmä. Eksplisiittiseen muotoon sijoittamalla voidaan laskea seuraava arvo. Differenssiyhtälöistä puhuttaessa käytetään usein termejä jono, dynaaminen systeemi, numeerinen ratkaisu jaanalyyttinen ratkaisu. Ensinnäkin differenssiyhtälömäärittelee jonon rekursiivisesti. Jonon termien yhteyden kuvaus on dynaaminen systeemi. Numeerinen ratkaisu on taas taulukko arvoista, jotka toteuttavat differenssiyhtälön. Analyyttinen ratkaisu on taas kaava, jolla jonon n:s alkio voidaan laskea pelkästään n:n perusteella, laskematta edellisiä jonon alkioita etukäteen. Monesti differenssiyhtälön analyyttinen ratkaisu ei ole mahdollinen. 2.2 Mallintaminen differenssiyhtälöillä Kunmuutoksia havaitaan jonkin asian käyttäytymisessä, on hyödyllistä tietää miksi muutos tapahtui kyseisellä tavalla ja mahdollisesti ennustaa mitä tapahtuu seuraavaksi. Matemaattisen mallin avulla voidaan ymmärtääkäyttäytymistä. Voidaan myös kokeilla helposti mitä tapahtuisi, jos alkuehdot tai parametrit muuttuisivat. Jonoja tarkasteltaessa puhutaan ensimmäisistädifferensseistä.jonon A = {a, a 1,a 2,...} n:s ensimmäinen differenssi on a n = a n+1 a n. Usein huomaataan datan muodostaman jonon termien yhteys tarkastelemalla näitä ensimmäisiädifferenssejä. Tämän jälkeen differenssiyhtälön kirjoittaminen onkin vähän helpompaa.

10 1 Käyttämällä ensimmäistä differenssiä voidaan ensimmäisen asteen differenssiyhtälöt kirjoittaa muodossa x n = g(n, x n ), josta näkyykin paremmin yhteys differentiaaliyhtälöihin. Esimerkki - Asuntolaina Otetaan asuntolaina 8 eurolle 2 vuoden ajaksi. Kuukausittain velasta maksetaan euroa, korkoa laina kasvaa kuukausittain 1%. Lainan määrän b n muutos kuukausittain on: b n = b n+1 b n =.1b n Lainan määrä käyttäytyy dynaamisen mallin mukaisesti: { bn+1 = 1.1b n b = 8, jossa b n on siis lainan määrä n:n kuukauden jälkeen. Numeerinen ratkaisu saadaan sijoittamalla differenssiyhtälöön edellinen arvo. n b n b n n

11 Käyttäytymisen arviointi differenssiyhtälöllä Monesti muutoksia ei ole yhtähelppo kuvata tarkasti kuin edellisessäasuntolaina esimerkissä. Olihan kyseessä ihmisen helppoa ymmärrettävyyttä silmällä pitäen luoma tilanne. Yleensä joudutaan esittämään muutos graafisesti, löytämään jokin säännönmukaisuus ja arvioimaan tilannetta matemaattisesti. Kun huomaataan toistuva muutos, pyritään siis löytämään funktion f, joka kuvaa muutosta. Muutoksen mallintaminen onkin pitkälti funktion f löytämistä jaarvioimista. Yleensähän matemaattiset mallit eivät kuvaa tarkasti reaalimaailmaa. Tarvitaan ainakin jonkun verran yksinkertaistuksia ja arviointeja. Eliölajin populaation muutokseen vaikuttaa esimerkiksi syntyvyys, kuolleisuus, ruoan saatavuus, kilpailu ruoasta, saalistajat ja luonnon muutokset. Kaikkien tekijöiden mallintaminen on usein mahdotonta tai ei ainakaan helppoa. Valitaan mukaan helposti mitattavia, helposti mallinnettavia ja malliin vaikuttavia suureita. Samalla kun osa tekijöistäjätetään huomiotta, voidaan tarkasteltava aika muuttaa diskreetiksi, vaikka todellisuudessa tapahtumat olisivatkin luonteeltaan jatkuvia. Erityisen hyödyllistätämäontilanteissa, joissa epäjatkuvia muutoksia tapahtuu tietyin väliajoin, esimerkkinä eläimien vuotuiset lisääntymisajat Rajaton kasvu Yksinkertainen differenssiyhtälömalli saadaan, kun kasvu p n on verrannollista määrään p n : p n = p n+1 p n = αp n p n+1 = p n + αp n, missä α>.tätä kutsutaan Malthusin malliksi. p p n 1 α p n Kuvista huomataan, että malli ennustaa rajatonta kasvua.

12 12 Tämä malli sopii hyvin esimerkiksi populaation kasvuun alkuaikoina, kun resurssien vähyys ei vielä pääse vaikuttamaan asiaan.tällöin populaatiossa p n syntymiä tapahtuu populaatioon verrannollinen määrä eli sp n.myös kuolemia tapahtuu populaatioon verrannollinen määrä kp n.koko populaation muutos on siis p n = sp n kp n =(s k)p n = αp n. Myös säästötilin koronkasvu on Malthusin mallin mukaista. Tällöin α on prosentti, jolla korkoa annetaan ja mittausten väli on koronmaksun aikaväli(esimerkiksi kuukausittain). Esimerkki - Hiivan biomassa Halutaan sovittaa malli seuraavaan dataan ( n = aika tunneissa, p n = havannoitu biomassa, p n = p n+1 p n = biomassan muutos): 1 n p n p n p p Graafisesta esityksestä huomataan, että populaation muutos on suunnilleen verrannollinen populaation kokoon. Siis p n = α p n,jollekin α. Kunpiirretään muutosta arvoivan suoran origon kautta, saadaan kulmakertoimeksi α.5.luotu malli on siis p n = p n+1 p n =.5p n p n+1 =1.5p n Rajattu kasvu Joshalutaan mallin ottavan huomioon myös resurssien äärellisen määrän, voidaan menetellä seuraavasti. Olkoon maksimipopulaatio M raja, jota suuremmaksi tutkittu määrä p n ei voi kasvaa ainakaan pysyvästi. Alussa resurssien rajallisuus ei

13 13 vaikuta ja p n noudattaa rajattoman kasvun mallia p n = αp n. Kun p n kasvaa suureksi, kasvun pitäisi hidastua, eli α:n pitäisi pienentyä. Otetaan malliin mukaan kerroin M p n M, jolla on ominaisuudet p n M : p n M : M p n M =1 p n M 1, M p n M. Nyt malli saa muodon p n = α M p n M p n p n+1 = p n + α M (M p n)p n. Johdettumalli pätee alun rajattomaan kasvuun ja lopun vähenevään kasvuun. Tätä mallia kutsutaan Verhulstin malliksi tai logistisen kasvun malliksi. Huomaa, että mallin yhtälön oikea puoli on kvadraattinen p n :een nähden. Tämä dynaaminen systeemi on epälineaarinen ja yleensä sitäeivoida ratkaista analyyttisesti. p p n M 1 α M p n Esimerkiksi eliöpopulaatiot noudattavat tätä mallia, kun niilläonjonkin rajallinenresurssi (esimerkiksi ruoka). Toinen esimerkki voisi ollaflunssan leviäminen kouluympäristössä.

14 14 Esimerkki - Hiivan biomassa Kun tarkastellaan edellisen esimerkin tilannette ajassa pidemmälle saadaan seuraavat tulokset: n p n p n p 4 n n Näyttää selvästi siltä, että kasvuvauhti pienenee ja kasvu jopa pysähtyy, kun populaatio kasvaa tarpeeksi suureksi. Populaation koko näyttää lähenevän maksimipopulaatiota. Graafisen esityksen perusteella voitaisiin olettaa, että maksimipopulaatio on noin 665. Tämä onsiissemäärä hiivaa, jonka kyseessä oleva ympäristövoipitää kerrallaan hengissä. Korjataan malli muotoon p n = k(665 p n )p n. Koitetaan miten tämämalli selittäisi kerättyädataa. Tämävoidaan tehdäesittämällä graafisesti suure p n suureen (655 p n )p n funktiona p n (665 p n )p n

15 Koepisteet ovat suunnilleen origon kautta kulkevalla suoralle. Kulmakertoimeksi saadaan k.81.malli on siis 15 p n = p n+1 p n =.81(665 p n )p n p n+1 = p n +.81(665 p n )p n Graafisesta esityksestä nähdäänmallinpätevyys. Mallinennustamat arvot ovat kohtuullisen lähellä koetulosten arvoja p 4 n koetulokset mallin ennusteet 5 1 n Differenssiyhtälöryhmä Yleisesti eksplisiittinen differenssiyhtälöryhmä onmuotoa x n+1 = g 1 (n, x n,y n,...,x n 1,y n 1,...) y n+1 = g 2 (n, x n,y n,...,x n 1,y n 1,...). eli vektorimuodossa x n+1 = g(n, x n, x n 1,...). Ensimmäisen asteen differenssiyhtälöryhmä Ensimmäisen asteen yhtälöryhmä onvektorimuodossa x n+1 = g(n, x n ). Huomaa, että x n :n komponentit voivat tietysti vaikuttaa toisiinsa.

16 16 Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä Lineaarinen differenssiyhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa x n+1 = Ax n + b. Korkeamman asteen differenssiyhtälö Oletetaan, että käytössä onk:nnen asteen differenssiyhtälö: x n+1 = g(n, x n,x n 1,...,x n k+1 ). Merkitään nyt eli x 1 n+1 = g(n, x 1 n,x 2 n,...x k+1 n ) x 2 n+1 = x 1 n x 3 n+1 = x 2 n. x k+1 n+1 = x k n x n+1 = g(n, x n ). Muunnoksella saadaan siis korkeamman asteen differenssiyhtälö muutettua yhtälöryhmäksi. x n :n ensimmäinen alkio seuraa alkuperäisen yhtälön arvoja, loput toimivat muistina. Samanlailla korkeamman asteen differenssiyhtälöryhmä voidaan muuntaa ensimmäisen asteen yhtälöryhmäksi. 2.5 Mallintaminen differenssiyhtälöryhmällä Kilpailevat populaatiot Oletetaan, että meilläonesimerkiksi 2 eliölajipopulaatiota p n ja q n,jotka kilpailevatjostain yhteisestäresurssista. Toisen lajin poissa ollessa molemmat populaatiot kasvavat rajatta: p n = α 1 p n, q n = α 2 q n, missä α 1,α 2 >. Toinen populaatio hidastaa toisen kasvuvauhtia. Hidastavaa tekijää voidaan mallintaa monin tavoin. Yksinkertaisimmillaan kasvun hidastuminen on verrannollinen populaatioiden mahdollisiin kanssakäymisiin. Populaation

17 p n kukin yksilö voijoutua kanssakäymisiin kunkin toisen populaation q n :n yksilön kanssa. Eli kasvun hidastuminen on verrannollinen tuloon p n q n : 17 { pn = α 1 p n β 1 p n q n, q n = α 2 q n β 2 p n q n jossa β 1 ja β 2 ovat positiivisia vakioita, lajien suhteelliset haitat. Esimerkki - Pöllöt ja haukat Olkoon meilläpöllöpopulaatio P n ja haukkapopulaatio H n.nekilpailevat samasta ravinnosta (hiiristä), joten niiden voidaan olettaa noudattavan kilpailevien lajien differenssiyhtälömallia. Olkoon yhtälöt { Pn+1 = 1.2P n.1p n H n H n+1 = 1.3H n.2p n H n Katsotaan mitä tapahtuu, kun lähdetään liikkeelle populaatioista P 1 = 151, H 1 = 21. n P n H n Pöllöt Haukat Haukat näyttävät kuolevan vaikka niitä alussa olikin selvästi enemmän. Pöllöpopulaatiolla menee hyvin Saalis - saalistaja Olkoon nyt p n saalispopulaatio ja q n saalistajapopulaatio. Saalispopolaatio kasvaa kuten kilpailevien lajien kohdalla, kasvun hidastuminen on verrannollinen mahdollisiin kanssakäymisiin saalistajien kanssa:

18 18 p n = α 1 p n β 1 p n q n, Saalistajan kohdalla asiat ovat toisin. Jos saalita ei olisi, saalistajapopulaatio kuolisi pois, esimerkiksi populaatioon verrannollisella vauhdilla α 2 q n.saaliiden olemassaolo puolestaan lisää kasvuvauhtia verrannollisena mahdollisiin kanssa käymisiin β 2 p n q n : jossa siis α 2,β 2 >.Yhteensä: q n = α 2 q n + β 2 p n q n, { pn = α 1 p n β 1 p n q n q n = α 2 q n + β 2 p n q n Esimerkki - Pöllöt ja hiiret Pöllöpopulaation P n ja hiiripopulaation M n voidaan olettaa noudattavan saalissaalistaja mallia. Olkoon malli { Mn+1 = 1.2M n.1p n M n P n+1 =.7P n +.2P n M n n P n H n Hiiret Pöllöt Yhteiselo sujuu ainakin jonkin aikaa. Kun hiiriä onpaljon pöllöpopulaatio alkaa kasvaa nopeammin. Kun pöllöjä onpaljon hiiripopulaatio vähenee, joka taas aiheuttaa pöllöpopulaation kutistumisen. n

19 Ratkaisut Numeerinen ratkaisu ja pitkäaikainen käytös Differenssiyhtälön numeerinen ratkaisu on taulukko, jossa arvot on laskettu edellisten arvojen perusteella. Aikaisemmin on ollut useita esimerkkeja tästä. Pitkällä aika välillä numeerinen ratkaisu voi käyttäytyä monin tavoin: kasvaa rajatta vähenee rajatta lähenee raja arvoa värähtelee jaksottain värähtelee vaimenevasti värähtelee voimistuen Auton jousituksen mallintamisessa voimistuva tai jaksollinen värähtely ei olisi toivottavaa. Ilmaston keskilämpötilan puolestaan kuuluu värähdellä vuodenaikojen vaihtuessa. Esimerkki - Dynaamiset systeemit muotoa a n+1 = ra n Dynaaminen systeemi muotoa a n+1 = ra n, alkuehto a annettuna ratkeaa helposti analyyttisesti: a n = r n a.

20 2 Systeemi käyttäytyy seuraavasti: r>1 kasvaa rajatta r =1 vakioratkaisu a 1 >r> suppenee tasaisesti kohti nollaa r = vakioratkaisu >r> 1 suppenee oskilloiden kohti nollaa r = 1 oskilloi ± a r< 1 oskilloi voimistuen Esimerkki - Epälineaariset systeemit Epälineaarisilla systeemeillä eiyleensä ole analyyttistä ratkaisua. Epälineaariset systeemit ovatkin hyvin herkkiä alkuarvoista ja parametreistä. Tarkastellaan differenssiyhtälöä a n+1 = r(1 a n )a n alkuarvolla a =.2.Katsotaan mitä tapahtuu, kun r saa arvot 2, 3, 3.6 ja r=2 1 r= r= r= Kun r =2lähestytään tasaisesti raja-arvoa. Kun r =3tai r =3.6 systeemi värähtelee. Kun r =3.7 systeemi käyttäytyy suorastaan kaoottisesti.

21 Analyyttinen ratkaisu Epälineaarisillädifferenssiyhtälöilläeiole ratkaisua yleisesti. Lineaarisilla vakiokertoimisilla systeemeillä analyyttinen ratkaisu on. Yleensä hyvästrategia yksinkertaisempien differenssiyhtälöiden ratkaisussa on: 1. Kirjoita differenssiyhtälöävastaavan jonon termejä. Huomaa jokin säännönmukaisuus. 2. Kirjoita kaava päätellylle säännönmukaisuudelle, eli ehdotelma analyyttiselle ratkaisulle. 3. Varmista/todista kaavan toimivuus sijoittamalla se differenssiyhtälöön. Seuraavassa esitetään lineaaristen differenssiyhtälöiden ratkaisut suoraan kaavamuodossa. Lineaarinen vakiokertoiminen homogeninen yhtälö Yhtälön ratkaisu alkuarvolla x on selvästi Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälö Tarkastellaan mallia x n+1 = Ax n x n = A n x. x n+1 = Ax n + b, jolle on annettu alkuarvo x.otetaan käyttöön askelfunktio { n< u n = 1 n jolloin differenssiyhtälön voi kirjoittaa muodossa Tämän yhtälön analyyttinen ratkaisu on missä x n+1 = Ax n + u n b. x n = ˆx n +(u h) n,

22 22 ˆx n on homogeenisen yhtälön ˆx n+1 = Aˆx n ratkaisu alkuehdolla ˆx = x.(general Solution, Yleinen ratkaisu) (u h) n on diskreetti konvoluutio (u h) n = n u i h n i, i= jossa edelleen h n on systeemin h n+1 = Ah n + δ n b ratkaisu alkuehdolla h = (Particular Solution, Erikoisratkaisu). Tässä siis δ n on diskreetti herätefunktio δ n = { 1 n = muuten Lineaarisen differenssiyhtälöryhmän ratkaisu saatiin kahden eri yhtälöryhmän ratkaisujen summaksi. Nämä yksinkertaisemmat yhtälöryhmät onkin sitten helppo ratkaista. ˆx n = A n x { n = h n = A n 1 b muuten Mikäli matriisi A on diagonalisoituva, matriisipotenssit saadaan laskettua helposti ominaisarvohajotelman kautta. A n = (PΛP 1 ) n = PΛ n P 1 = P λ n 1... λ n p P 1 Muita menetelmiämatriisipotenssin nopealle laskemiselle löytyy kirjallisuudesta.

23 23 Esimerkki - asuntolaina Haetaan yhtälön b n+1 =1.1b n 88.87, analyyttinen ratkaisu esitetyllä kolmivaiheisella menettelyllä, kun b = Kirjoitetaan jonon termejä. b = 8 b 1 = 1.1b b 2 = 1.1(1.1b 88.87) =1.1 2 b Yhtälön ratkaisu voisi olla (sievennetään käyttäen geometrisen sarjan summakaavaa): ˆbn = 1.1 n n n n 1 = 1.1 n i i= = 1.1 n n = 1.1 n n Todennetaan, että annettu ratkaisu ˆb n todella ratkaisee alkuarvotehtävän. Alkuarvo: ˆb = = 8 Rekursiokaava(oletetaan, että b n = ˆb n ja osoitetaan b n+1 = ˆb n+1 ): b n+1 = 1.1b n = 1.1(1.1 n n 1 ) = 1.1 n n = 1.1 n ( 1.1n = 1.1 n n ) = ˆb n+1

24 24 Esimerkki - Ydinasekilpailu Kirjoitetaan malli ensin matriisimuodossa: ( ) ( xn+1 1 = 3 1 y n+1 x n+1 = Ax n + b 2 )( xn y n ) + ( 6 12 ) Alkuehtona siis x = (6, 12) T.Analyyttinen ratkaisu on x n = ˆx n +(u h) n n 1 = A n x +( A i ) b i= = A n x +(I A) 1 (I A n )b geometrisen sarjan summakaava Lasketaan ratkaisun arvo, kun n =4.Tarvittu matriisipotenssi saadaan ominaisarvohajotelman A = PΛP 1 avulla. Ja lopulta ratkaisun arvo Tasapainotilat ( ).484 Λ =.484 ( ) P = ( ).278 A 4 = PΛ 4 P 1 =.278 x 4 = A 4 x +(I A) 1 (I A 4 )b (118, 178) T Dynaamisen systeemin tasapainotila on jokin tila, jossa systeemin tila pysyy vakiona ajan kasvaessa. Esimmäisen asteen autonomisen differenssiyhtälöryhmän p n+1 = g(p n ) tasapainopiste( eli g:n kiinteä piste ) toteuttaa yhtälön josta se siis voidaan ratkaista. z = g(z),

25 Tasapainopiste on (asymptoottisesti) stabiili, jos tasapainopisteen läheisyydestä lopulta lähestytään kyseistä tasapainopistettä. Linearisoidaan funktio g tasapainopisteen z ympärillä: Linearisoitu malli ratkeaa analyyttisesti: g(p n ) g(z)+g (z)(p n z) p n = z + g (z) n (p z). p n suppenee kohti tasapainopistettä z kaikilla p, mikäli g (z) n O. Analyyttisen ratkaisun yhteydessä olleen ominaisarvohajotelman perusteella saadaan, että yksittäiset lim n λ n i =. Eli stabiilisuusehto: Esimerkki - Hiivan biomassa Hiivan biomassaa kuvasi yhtälö joten tasapainopisteet ovat yhtälön λ eig(g (z)) : λ < 1. p n+1 = p n +.82(665 p n )p n, z = z +.82(665 z)z = g(z) ratkaisut, jotka ovat selvästi z 1 =ja z 2 = 665. g :n derivaatta on g (z) =1+.82(665 z).82z. g (z 1 )=g () = g (z 2 )=g (665) =.4547 Siis z 1 on epästabiili ja z 2 on stabiili. Jos pisteestä z 1 =poiketaan positiiviseen suuntaan, hiivan biomassa alkaa lisääntyärajusti. Jos taas pisteestä z 2 = 665 poiketaan, palautuu hiivan biomassa takaisin z 2 :een. Jos alkuarvo on p =,ei lähestytä stabiilia tasapainopistettä z 2.Josp >, niinp n z 2. Esimerkki - Ydinasekilpailu Maiden X ja Y ydinohjusmäärät mallinnettiin yhtälöillä: { xn+1 = y n y n+1 = x n 25

26 26 Ratkaistaan tasapainopiste: { x = 6+ 1 y { 2 x = 12 y = x y = 18 3 Jacobin matriisi on ( jolla on ominaisarvot λ 1 = 1/ 6.41 ja λ 2 = 1/ Tasapainopiste on siis stabiili. Tämä huomattiin jo numeerisen ratkaisun yhteydessä, ohjusmäärät näyttivät lähenevän tässä selvitettyä tasapainopistettä. ),

27 Luku 3 Jatkuva-aikainen mallintaminen 3.1 Differentiaaliyhtälö k:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälö onyleisesti muotoa f(t, x(t),x (t),x (t),...,x (k) (t)) =. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Ensimmäisen kertaluvun yhtälö f(t, x(t),x (t)) = pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x (t) =g(t, x(t)). Yleensä oletetaan vielä, että funktio g on sopivan säännöllisesti käyttäytyvä. Autonominen yhtälö Autonomisessa yhtälössä g ei riipu suoraan ajasta x (t) =g(x(t)). Differentiaaliyhtälölläonanalyyttinen ratkaisu, aina tätäeikuitenkaan voi kirjoittaa missään eksplisiittisessä muodossa. Alkuarvotehtävässä etsitään ratkaisua, joka kulkee annetun alkupisteen kautta. Numeerinen ratkaisu merkitsee differentiaaliyhtälön numeerista arviointia esimerkiksi differenssiyhtälöllä. Myös graafisesti saadaan paljon kvalitatiivista tietoa systeemin käyttäytymisestä. 27

28 Mallintaminen differentiaaliyhtälöllä Differentiaaliyhtälöt ovat käteviä mallintamisen apuvälineitä, kun meilläontietoa jonkin riippuvan muuttujan muutoksesta toisten riippumattomien muuttujien arvojen vaihtuessa. Differentiaaliyhtälöitäkäytetään yleensä, kun muutos on jatkuvaaikaista. Kun riippuvan muuttujan muutoksesta on malli, tulevan käyttäytymisen ennustaminen on helpompaa. Yleensäpärjätään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöillä. Tällöin derivaatta f (t) =df /dt merkitsee hetkellistä muutosnopeutta. Tällöin muutoksen keskiarvo ajan t aikana on suure: f t eli keskinopeus. Tilanteesta riippuu kuinka nämä suureet suhtautuvat reaalimaailmaan. Esimerkiksi mallinnettaessa kaloja, jotka lisääntyvät vain keväisin, koko vuoden keskilisääntymisnopeudella ei oikein ole merkitystä. Toisaalta joskus on hyödyllistä käyttää differentiaaliyhtälöitä diskreetin systeemin mallintamisessa. Tällöin derivaattalla df /dt arvioidaan muutoksen keskinopeutta. Differentiaalilaskennan teoria saadaan käyttöön, ja muuttujien funktionaalisen suhteen selvittäminen voi olla helpompaa. Differentiaaliyhtälöä ei monesti saada ratkaistua analyyttisesti. Tällöin joudutaan arvioimaan differentiaaliyhtälöädiskreetillädifferenssiyhtälölläjasennumeerisella ratkaisulla. Tietenkäänei ole järkevää ensinarvioida differenssiyhtälöä differentiaaliyhtälölläjasitten käyttääjälleen differenssiyhtälöitä numeerisen ratkaisun saamiseksi. Parempi on käyttää suoraan differenssiyhtälöitä Populaation kasvu Edellisen luvun diskreettiaikaiset mallit voidaan kirjoittaa jatkuvassa muodossa (M oli maksimipopulaatio, α kasvukerroin): p (t) =αp(t) (Malthusin malli / rajaton kasvu) p (t) = α (M p(t))p(t) (Verhulstin malli / rajattu kasvu / logistinen kasvu) M Perustelut jatkuva-aikaisille malleille ovat samat kuin diskreettiaikaisille. Kuten aiemmin on todettu sammakoiden ja kalojen populaatiota kannattaa mallintaa differensseillä kutuaikojen jälkeen, hiivan kasvuun differentiaaliyhtälöiden käyttö on perusteltua.

29 29 Esimerkki - Hiivan biomassa Sovitetaan hiivan biomassalle jatkuva-aikainen Verhulstin malli ja tutkitaan kuvaako se paremmin populaation kasvuprosessia kuin aiemmin luotu diskreettiaikainen malli. Edelleen maksimipopulaatio M = 665. Myöhemmin annettavan analyyttisen ratkaisun yhteydessä saadaan differentiaaliyhtälölle muoto joten piirretään suure ln ln p(t) M p(t) = αt + C, p(t) aikamuutujan t funktiona. 665 p(t) 6 ln(p(t)/(665 p(t))) t Saadaan α.53 ja C Malli on ja sen analyyttinen ratkaisu p (t) =.53 (665 p(t))p(t), 665 p(t) = MCeαt C = e C = Ce αt e.53t = = 1.37e.53t e.53t e.53t Jälleen kuvasta nähdään mallin pätevyys:

30 p(t) mallin ennusteet koetulokset t Malli on huomattavasti parempi, kun aiemmin esitetty differenssiyhtälömalli. Voidaan päätellä, että hiivalla populaation kasvu on luonteeltaan jatkuvaa ja toisaalta differenssiyhtälömallin termien aikaväli on liian suuri. 3.3 Differentiaaliyhtälöryhmät Yleinen k:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä onmuotoa f(t, x(t), x (t),...x (k) (t)) =. Tämä pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x (k) (t) =g(t, x(t), x (t),...,x (k 1) (t)). Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä Ensimmäisen asteen lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä onmuotoa: x (t) =Ax(t)+b. Korkeamman asteen differentiaaliyhtälö Kuten differenssiyhtälöilläkin korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöä voidaan tarkastella ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Eksplisiittisestä p:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä x (p) (t) =g(t, x(t),x (t),...,x (p 1) (t))

31 31 merkitään x 1 (t) = x(t) x 2 (t) = x (t). x p (t) = x (p 1) (t) saadaan alkuperäinen differentiaaliyhtälö kirjoitettua differentiaaliyhtälöryhmänä x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 3 (t). x p 1(t) = x p (t) x p(t) = g(t, x 1 (t),x 2 (t),...,x p (t)) eli vektorimuodossa x (t) =g(t, x(t)). 3.4 Mallintaminen differentiaaliyhtälöryhmällä Differentiaaliryhmiä tarvitaan interaktiivisten systeemien jatkuva-aikaiseen mallintamiseen. Hyviä sovellusaloja voisi olla taloustiede, ekologia, sähkötekniikka, erilaiset mekaaniset systeemit, taivaankappaleiden liikeradat ja erilaiset säätösysteemit. Kuten diskreettiaikaisessa mallintamissa yhtälöistä muodostuu usein epälineaarisia, joille ei ole helppo löytää analyyttisia ratkaisuja. Tällöin joudutaan taas turvautumaan numeeriseen arviointiin sekä tasapainopistetarkasteluihin (linearisoimalla yhtälöitä). Myös graafisista esityksista on usein suurta apua Interaktiiviset populaatiot Diskreettiaikaiset mallit voidaan kirjoittaa jatkuvassa muodossa: { p (t) = α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) q (t) = α 2 q(t) β 2 p(t)q(t) (kilpailevat populaatiot) { p (t) = α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) q (t) = α 2 q(t)+β 2 p(t)q(t) (q saalistaa p:tä) Jatkossa on analysoitu varsinkin kilpailevien populaatioiden mallia monin tavoin. Näissäsysteemistä ainakin keskinäisiähaittoja voisi pitää jatkuva-aikaisina.

32 Dimensioton muoto Yhtälöitä kannattaa kirjoittaa dimensiottomaan muotoon, mikäli parametrejä on liian monta. Kun parametrien määrää saadaan vähennettyä, esimerkiksi graafinen tarkastelu käy helpommaksi. Yleensä tarkasteltava yhtälöryhmän yhtälöt kannattaa jakaa jollain parametreistä. Sitten suureiden y(t) paikalle kirjoitetaan Y (t) = y(t)/y,jossa y on alkuarvotehtävän alkuarvo. Lopulta valitaan uudet parametrit ja muokataan aikamuuttujaa t siten, että derivaatat pitävät paikkaansa. Myös differenssiyhtälöitä voi kirjoittaa dimensiottomaan muotoon. Esimerkki - Kilpailevat populaatiot Tarkastellaan kilpailevien populaatioiden differentiaaliyhtälömallia, jossa on alunperin 6 parametria (alkuarvot p ja q mukaanlukien). Kirjoitetaan malli edelleen dimensiottomaan muotoon. { p (t) =α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) /p α 1 q (t) =α 2 q(t) β 2 p(t)q(t) /q α 1 { p (t)/(α 1 p )=p(t)/p (β 1 /α 1 )q (p(t)/p )(q(t)/q ) q (t)/(α 1 q )=(α 2 /α 1 )(q(t)/q ) (β 2 /α 1 )p (p(t)/p )(q(t)/q ) Kirjoitetaan nyt P (T ) = p(t/α 1) p p:n suhteellinen määrä Q(T ) = q(t/α 1) q q:n suhteellinen määrä γ = α 2 α 1 q:n suhteellinen kasvu δ 1 = β 1 q α 1 q:n suhteellinen haitta p:lle δ 2 = β 2 α 1 p p:n suhteellinen haitta q:lle jolloin selvästi: P (T ) = p(t/α 1) α 1 p Q (T ) = q(t/α 1) α 1 q

33 33 Malli saadaan lopulta kirjoitettua muotoon { P (T ) = P (T ) δ 1 P (T )Q(T ) Q (T ) = γq(t ) δ 2 P (T )Q(T ), jossa on enää 3parametria. Alkuehdoiksi saadaan P () = p()/p =1,Q() = q()/q = Ratkaisut Numeerinen Olkoon käytössä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö x (t) =g(t, x(t)), alkuarvolla x() = x.monissa tapauksissa tätä alkuarvotehtävää eivoida ratkaista analyyttisesti. Numeerinen ratkaisu(approksimointi) voidaan suorittaa yksinkertaisimmillaan seuraavasti. Valitaan askelpituus t. Lasketaan funktion x(t) derivaatan arvo pisteessä t =, x () = g(, x ).Siirrytään sitten derivaatan suuntaan askelpituus t. Päädytään pisteeseen x + t g(, x ).Tässä pisteessä lasketaan taas derivaatta ja jatketaan sen suuntaan. Differentiaaliyhtälöä voidaan näin arvioida differenssiyhtälöllä: x = x x n+1 = x n + t g(n t, x n ) Jos yhtälöitä onvähän arviointia on hyvä tarkastella graafisesti. Muuten differenssiyhtälöryhmän numeerinen ratkaisu on esitettävä taulukkona. Selvästi mitä pienemmäksi askelpituus t valitaan sitä tarkempi ratkaisu on. g( t,x 1 ) x 1 x(t) g(2 t,x 2 ) x 2 g(,x ) x t 2 t t

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon: TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),... Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöryhmä

Differentiaaliyhtälöryhmä Differentiaaliyhtälöryhmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti täsmälleen samanlaisilla kaavoilla

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot