Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria"

Transkriptio

1 Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria 22. heinäkuuta 24

2 2

3 Sisältö 1 Johdanto: muutoksen mallintaminen 5 2 Diskreettiaikainen mallintaminen Differenssiyhtälöt Mallintaminen differenssiyhtälöillä Käyttäytymisen arviointi differenssiyhtälöllä Rajaton kasvu Rajattu kasvu Differenssiyhtälöryhmä Mallintaminen differenssiyhtälöryhmällä Kilpailevat populaatiot Saalis - saalistaja Ratkaisut Numeerinen ratkaisu ja pitkäaikainen käytös Analyyttinen ratkaisu Tasapainotilat Jatkuva-aikainen mallintaminen Differentiaaliyhtälö Mallintaminen differentiaaliyhtälöllä Populaation kasvu Differentiaaliyhtälöryhmät Mallintaminen differentiaaliyhtälöryhmällä Interaktiiviset populaatiot Dimensioton muoto Ratkaisut Numeerinen Analyyttinen Tasapainoarvot Graafinen tarkastelu Esimerkki - lääkekuurin määrääminen

4 4

5 Luku 1 Johdanto: muutoksen mallintaminen Matemaattisessa mallinnuksessa tarkoituksena on luoda malleja, joiden avulla pystytään selittämään käyttäytymistä tai ennustaa tulevaa. Monesti hyvä lähtökohta on yhtälö nykyinen arvo = vanha arvo + muutos. Usein analyysi aloitetaan tutkimalla vain muutosta. Jos asiat tapahtuvat tietyin aikavälein, tarkastellaan asiaa diskreetissä ajassa. Käytetään differenssiyhtälöitä. Jos aika on taas jatkuvaa, otetaan käyttöön differentiaaliyhtälöt. Jatkuva-aikaista käyttäytymistä voi myös arvioida differenssiyhtälöillä. Toisaalta joskus on hyödyllistä tutkia diskreettiaikaista mallia differentiaaliyhtälöillä. Interaktiivisia järjestelmiä mallintaessa tarvitaan puolestaan differenssi- ja differentiaaliyhtälöryhmiä. Differenssiyhtälöiden teoriassa ja soveltamisessa on monia yhtäläisyyksiä differentiaaliyhtälöiden teoriaan. Seurauksena muunnokset differenssi ja differentiaaliyhtälöiden välillä ovat mahdollisia. 5

6 6

7 Luku 2 Diskreettiaikainen mallintaminen Katsotaan ensin intuitiivinen esimerkki. Esimerkki - Ydinasekilpailu Maat X ja Y ovat ydinasekilpailussa keskenään. Kumpikin maa uskoo, että kunhan silläonohjuksia tietty määrä, toinen ei uskalla hyökätä. Maa Y laskee, ettäse tarvitsee 12 ohjusta vahingoittaakseen vastustajaa. Lisäksi Y laskee, että kahta X:n ohjusta vastaan se tarvitse yhden ylimääräisen. y olkoon Y :n ohjusten määrä ja xx:n ohjusten määrä, jotka Y on havainnut. Y noudattaa tällöin strategiaa y = x. Maa X noudattaa samankaltaista strategiaa. Se laskee, ettäsetarvitsee ainakin 6 ohjusta, sekä lisäksi yhden kolmea Y :n ohjusta kohden. Olkoon x nyt X:n ydinaseiden määrä jayx:n havaitsemat Y :n ydinaseet. X:n strategia on yhtälön x = y mukaista. Miten ydinasekilpailu etenee? Ensimmäisellä askeleella Y rakentaa 12 ohjusta ja X 6. Oletetaan nyt, että X:n ja Y :n tiedustelutiedot ovat täydellisiä, eli kumpikin on tietoinen kaikista toisen maan ohjuksista. Seuraavassa vaiheessa Y lisää kapasiteettinsa y = = 15 ohjukseen. X:n ohjuksia on taas x = = 1. Kun 2 3 merkitsemmä n:nnen vaiheen ohjusmääriä x n :llä jay n :llä, saadaan yhtälöt { yn+1 = x 2 n x n+1 = 6+ 1y. 3 n x =6ja y = 12 ovat mallin alkuarvot, itse yhtälöissä esiintyvät 6, 12, 1 ja 2 ovat mallin parametrejä

8 8 Kun kilpailu jatkuu dynaamisesti (vaiheittain) samojen yhtälöiden mukaisesti tilanteet menevät seuraavasti: n y n x n y y y y 2 3 y 1 x 1 x 2 (12,18) x 3 x x Rakennettavien ohjusten määränäyttääpienenevän vaiheiden edetessä. Y näyttää päätyvän noin 18 ohjukseen, X taas 12 ohjukseen. Ennustaako malli tasapainoarvoja, joihin maat näyttävät päätyvän? Onko tasapainoasema vakaa, eli vaikuttavatko alkuarvojen muutokset paljon siihen? Kuinka herkkä lopputulos on muutoksille mallin parametreissä? Karkaako kilpavarustelu käsistä, jos jompi kumpi poikkeaa strategiastaan hiukan? 2.1 Differenssiyhtälöt Yleisesti k:nnen asteen differenssiyhtälö onmuotoa: f(n, x n+1,x n,x n 1,x n 2,...x n k+1 )= Ensimmäisen asteen differenssiyhtälö Yleensä tullaan toimeen ensimmäisen asteen differenssiyhtälöllä f(n, x n+1,x n )=,

9 9 joka pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x n+1 = g(n, x n ). (Vastaavasti joskus käytetään muotoja f(n, x n,x n 1 )=ja x n = g(n, x n 1 ).) Autonominen yhtälö Differenssiyhtälöä kutsutaan autonomiseksi, mikäli funktio g ei suoraan riipu aikamuuttuja n:stä. x n+1 = g(x n ) Alkuarvotehtävä Alkuarvotehtäväonalkuarvojen ja differenssiyhtälön yhdistelmä. Eksplisiittiseen muotoon sijoittamalla voidaan laskea seuraava arvo. Differenssiyhtälöistä puhuttaessa käytetään usein termejä jono, dynaaminen systeemi, numeerinen ratkaisu jaanalyyttinen ratkaisu. Ensinnäkin differenssiyhtälömäärittelee jonon rekursiivisesti. Jonon termien yhteyden kuvaus on dynaaminen systeemi. Numeerinen ratkaisu on taas taulukko arvoista, jotka toteuttavat differenssiyhtälön. Analyyttinen ratkaisu on taas kaava, jolla jonon n:s alkio voidaan laskea pelkästään n:n perusteella, laskematta edellisiä jonon alkioita etukäteen. Monesti differenssiyhtälön analyyttinen ratkaisu ei ole mahdollinen. 2.2 Mallintaminen differenssiyhtälöillä Kunmuutoksia havaitaan jonkin asian käyttäytymisessä, on hyödyllistä tietää miksi muutos tapahtui kyseisellä tavalla ja mahdollisesti ennustaa mitä tapahtuu seuraavaksi. Matemaattisen mallin avulla voidaan ymmärtääkäyttäytymistä. Voidaan myös kokeilla helposti mitä tapahtuisi, jos alkuehdot tai parametrit muuttuisivat. Jonoja tarkasteltaessa puhutaan ensimmäisistädifferensseistä.jonon A = {a, a 1,a 2,...} n:s ensimmäinen differenssi on a n = a n+1 a n. Usein huomaataan datan muodostaman jonon termien yhteys tarkastelemalla näitä ensimmäisiädifferenssejä. Tämän jälkeen differenssiyhtälön kirjoittaminen onkin vähän helpompaa.

10 1 Käyttämällä ensimmäistä differenssiä voidaan ensimmäisen asteen differenssiyhtälöt kirjoittaa muodossa x n = g(n, x n ), josta näkyykin paremmin yhteys differentiaaliyhtälöihin. Esimerkki - Asuntolaina Otetaan asuntolaina 8 eurolle 2 vuoden ajaksi. Kuukausittain velasta maksetaan euroa, korkoa laina kasvaa kuukausittain 1%. Lainan määrän b n muutos kuukausittain on: b n = b n+1 b n =.1b n Lainan määrä käyttäytyy dynaamisen mallin mukaisesti: { bn+1 = 1.1b n b = 8, jossa b n on siis lainan määrä n:n kuukauden jälkeen. Numeerinen ratkaisu saadaan sijoittamalla differenssiyhtälöön edellinen arvo. n b n b n n

11 Käyttäytymisen arviointi differenssiyhtälöllä Monesti muutoksia ei ole yhtähelppo kuvata tarkasti kuin edellisessäasuntolaina esimerkissä. Olihan kyseessä ihmisen helppoa ymmärrettävyyttä silmällä pitäen luoma tilanne. Yleensä joudutaan esittämään muutos graafisesti, löytämään jokin säännönmukaisuus ja arvioimaan tilannetta matemaattisesti. Kun huomaataan toistuva muutos, pyritään siis löytämään funktion f, joka kuvaa muutosta. Muutoksen mallintaminen onkin pitkälti funktion f löytämistä jaarvioimista. Yleensähän matemaattiset mallit eivät kuvaa tarkasti reaalimaailmaa. Tarvitaan ainakin jonkun verran yksinkertaistuksia ja arviointeja. Eliölajin populaation muutokseen vaikuttaa esimerkiksi syntyvyys, kuolleisuus, ruoan saatavuus, kilpailu ruoasta, saalistajat ja luonnon muutokset. Kaikkien tekijöiden mallintaminen on usein mahdotonta tai ei ainakaan helppoa. Valitaan mukaan helposti mitattavia, helposti mallinnettavia ja malliin vaikuttavia suureita. Samalla kun osa tekijöistäjätetään huomiotta, voidaan tarkasteltava aika muuttaa diskreetiksi, vaikka todellisuudessa tapahtumat olisivatkin luonteeltaan jatkuvia. Erityisen hyödyllistätämäontilanteissa, joissa epäjatkuvia muutoksia tapahtuu tietyin väliajoin, esimerkkinä eläimien vuotuiset lisääntymisajat Rajaton kasvu Yksinkertainen differenssiyhtälömalli saadaan, kun kasvu p n on verrannollista määrään p n : p n = p n+1 p n = αp n p n+1 = p n + αp n, missä α>.tätä kutsutaan Malthusin malliksi. p p n 1 α p n Kuvista huomataan, että malli ennustaa rajatonta kasvua.

12 12 Tämä malli sopii hyvin esimerkiksi populaation kasvuun alkuaikoina, kun resurssien vähyys ei vielä pääse vaikuttamaan asiaan.tällöin populaatiossa p n syntymiä tapahtuu populaatioon verrannollinen määrä eli sp n.myös kuolemia tapahtuu populaatioon verrannollinen määrä kp n.koko populaation muutos on siis p n = sp n kp n =(s k)p n = αp n. Myös säästötilin koronkasvu on Malthusin mallin mukaista. Tällöin α on prosentti, jolla korkoa annetaan ja mittausten väli on koronmaksun aikaväli(esimerkiksi kuukausittain). Esimerkki - Hiivan biomassa Halutaan sovittaa malli seuraavaan dataan ( n = aika tunneissa, p n = havannoitu biomassa, p n = p n+1 p n = biomassan muutos): 1 n p n p n p p Graafisesta esityksestä huomataan, että populaation muutos on suunnilleen verrannollinen populaation kokoon. Siis p n = α p n,jollekin α. Kunpiirretään muutosta arvoivan suoran origon kautta, saadaan kulmakertoimeksi α.5.luotu malli on siis p n = p n+1 p n =.5p n p n+1 =1.5p n Rajattu kasvu Joshalutaan mallin ottavan huomioon myös resurssien äärellisen määrän, voidaan menetellä seuraavasti. Olkoon maksimipopulaatio M raja, jota suuremmaksi tutkittu määrä p n ei voi kasvaa ainakaan pysyvästi. Alussa resurssien rajallisuus ei

13 13 vaikuta ja p n noudattaa rajattoman kasvun mallia p n = αp n. Kun p n kasvaa suureksi, kasvun pitäisi hidastua, eli α:n pitäisi pienentyä. Otetaan malliin mukaan kerroin M p n M, jolla on ominaisuudet p n M : p n M : M p n M =1 p n M 1, M p n M. Nyt malli saa muodon p n = α M p n M p n p n+1 = p n + α M (M p n)p n. Johdettumalli pätee alun rajattomaan kasvuun ja lopun vähenevään kasvuun. Tätä mallia kutsutaan Verhulstin malliksi tai logistisen kasvun malliksi. Huomaa, että mallin yhtälön oikea puoli on kvadraattinen p n :een nähden. Tämä dynaaminen systeemi on epälineaarinen ja yleensä sitäeivoida ratkaista analyyttisesti. p p n M 1 α M p n Esimerkiksi eliöpopulaatiot noudattavat tätä mallia, kun niilläonjonkin rajallinenresurssi (esimerkiksi ruoka). Toinen esimerkki voisi ollaflunssan leviäminen kouluympäristössä.

14 14 Esimerkki - Hiivan biomassa Kun tarkastellaan edellisen esimerkin tilannette ajassa pidemmälle saadaan seuraavat tulokset: n p n p n p 4 n n Näyttää selvästi siltä, että kasvuvauhti pienenee ja kasvu jopa pysähtyy, kun populaatio kasvaa tarpeeksi suureksi. Populaation koko näyttää lähenevän maksimipopulaatiota. Graafisen esityksen perusteella voitaisiin olettaa, että maksimipopulaatio on noin 665. Tämä onsiissemäärä hiivaa, jonka kyseessä oleva ympäristövoipitää kerrallaan hengissä. Korjataan malli muotoon p n = k(665 p n )p n. Koitetaan miten tämämalli selittäisi kerättyädataa. Tämävoidaan tehdäesittämällä graafisesti suure p n suureen (655 p n )p n funktiona p n (665 p n )p n

15 Koepisteet ovat suunnilleen origon kautta kulkevalla suoralle. Kulmakertoimeksi saadaan k.81.malli on siis 15 p n = p n+1 p n =.81(665 p n )p n p n+1 = p n +.81(665 p n )p n Graafisesta esityksestä nähdäänmallinpätevyys. Mallinennustamat arvot ovat kohtuullisen lähellä koetulosten arvoja p 4 n koetulokset mallin ennusteet 5 1 n Differenssiyhtälöryhmä Yleisesti eksplisiittinen differenssiyhtälöryhmä onmuotoa x n+1 = g 1 (n, x n,y n,...,x n 1,y n 1,...) y n+1 = g 2 (n, x n,y n,...,x n 1,y n 1,...). eli vektorimuodossa x n+1 = g(n, x n, x n 1,...). Ensimmäisen asteen differenssiyhtälöryhmä Ensimmäisen asteen yhtälöryhmä onvektorimuodossa x n+1 = g(n, x n ). Huomaa, että x n :n komponentit voivat tietysti vaikuttaa toisiinsa.

16 16 Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä Lineaarinen differenssiyhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa x n+1 = Ax n + b. Korkeamman asteen differenssiyhtälö Oletetaan, että käytössä onk:nnen asteen differenssiyhtälö: x n+1 = g(n, x n,x n 1,...,x n k+1 ). Merkitään nyt eli x 1 n+1 = g(n, x 1 n,x 2 n,...x k+1 n ) x 2 n+1 = x 1 n x 3 n+1 = x 2 n. x k+1 n+1 = x k n x n+1 = g(n, x n ). Muunnoksella saadaan siis korkeamman asteen differenssiyhtälö muutettua yhtälöryhmäksi. x n :n ensimmäinen alkio seuraa alkuperäisen yhtälön arvoja, loput toimivat muistina. Samanlailla korkeamman asteen differenssiyhtälöryhmä voidaan muuntaa ensimmäisen asteen yhtälöryhmäksi. 2.5 Mallintaminen differenssiyhtälöryhmällä Kilpailevat populaatiot Oletetaan, että meilläonesimerkiksi 2 eliölajipopulaatiota p n ja q n,jotka kilpailevatjostain yhteisestäresurssista. Toisen lajin poissa ollessa molemmat populaatiot kasvavat rajatta: p n = α 1 p n, q n = α 2 q n, missä α 1,α 2 >. Toinen populaatio hidastaa toisen kasvuvauhtia. Hidastavaa tekijää voidaan mallintaa monin tavoin. Yksinkertaisimmillaan kasvun hidastuminen on verrannollinen populaatioiden mahdollisiin kanssakäymisiin. Populaation

17 p n kukin yksilö voijoutua kanssakäymisiin kunkin toisen populaation q n :n yksilön kanssa. Eli kasvun hidastuminen on verrannollinen tuloon p n q n : 17 { pn = α 1 p n β 1 p n q n, q n = α 2 q n β 2 p n q n jossa β 1 ja β 2 ovat positiivisia vakioita, lajien suhteelliset haitat. Esimerkki - Pöllöt ja haukat Olkoon meilläpöllöpopulaatio P n ja haukkapopulaatio H n.nekilpailevat samasta ravinnosta (hiiristä), joten niiden voidaan olettaa noudattavan kilpailevien lajien differenssiyhtälömallia. Olkoon yhtälöt { Pn+1 = 1.2P n.1p n H n H n+1 = 1.3H n.2p n H n Katsotaan mitä tapahtuu, kun lähdetään liikkeelle populaatioista P 1 = 151, H 1 = 21. n P n H n Pöllöt Haukat Haukat näyttävät kuolevan vaikka niitä alussa olikin selvästi enemmän. Pöllöpopulaatiolla menee hyvin Saalis - saalistaja Olkoon nyt p n saalispopulaatio ja q n saalistajapopulaatio. Saalispopolaatio kasvaa kuten kilpailevien lajien kohdalla, kasvun hidastuminen on verrannollinen mahdollisiin kanssakäymisiin saalistajien kanssa:

18 18 p n = α 1 p n β 1 p n q n, Saalistajan kohdalla asiat ovat toisin. Jos saalita ei olisi, saalistajapopulaatio kuolisi pois, esimerkiksi populaatioon verrannollisella vauhdilla α 2 q n.saaliiden olemassaolo puolestaan lisää kasvuvauhtia verrannollisena mahdollisiin kanssa käymisiin β 2 p n q n : jossa siis α 2,β 2 >.Yhteensä: q n = α 2 q n + β 2 p n q n, { pn = α 1 p n β 1 p n q n q n = α 2 q n + β 2 p n q n Esimerkki - Pöllöt ja hiiret Pöllöpopulaation P n ja hiiripopulaation M n voidaan olettaa noudattavan saalissaalistaja mallia. Olkoon malli { Mn+1 = 1.2M n.1p n M n P n+1 =.7P n +.2P n M n n P n H n Hiiret Pöllöt Yhteiselo sujuu ainakin jonkin aikaa. Kun hiiriä onpaljon pöllöpopulaatio alkaa kasvaa nopeammin. Kun pöllöjä onpaljon hiiripopulaatio vähenee, joka taas aiheuttaa pöllöpopulaation kutistumisen. n

19 Ratkaisut Numeerinen ratkaisu ja pitkäaikainen käytös Differenssiyhtälön numeerinen ratkaisu on taulukko, jossa arvot on laskettu edellisten arvojen perusteella. Aikaisemmin on ollut useita esimerkkeja tästä. Pitkällä aika välillä numeerinen ratkaisu voi käyttäytyä monin tavoin: kasvaa rajatta vähenee rajatta lähenee raja arvoa värähtelee jaksottain värähtelee vaimenevasti värähtelee voimistuen Auton jousituksen mallintamisessa voimistuva tai jaksollinen värähtely ei olisi toivottavaa. Ilmaston keskilämpötilan puolestaan kuuluu värähdellä vuodenaikojen vaihtuessa. Esimerkki - Dynaamiset systeemit muotoa a n+1 = ra n Dynaaminen systeemi muotoa a n+1 = ra n, alkuehto a annettuna ratkeaa helposti analyyttisesti: a n = r n a.

20 2 Systeemi käyttäytyy seuraavasti: r>1 kasvaa rajatta r =1 vakioratkaisu a 1 >r> suppenee tasaisesti kohti nollaa r = vakioratkaisu >r> 1 suppenee oskilloiden kohti nollaa r = 1 oskilloi ± a r< 1 oskilloi voimistuen Esimerkki - Epälineaariset systeemit Epälineaarisilla systeemeillä eiyleensä ole analyyttistä ratkaisua. Epälineaariset systeemit ovatkin hyvin herkkiä alkuarvoista ja parametreistä. Tarkastellaan differenssiyhtälöä a n+1 = r(1 a n )a n alkuarvolla a =.2.Katsotaan mitä tapahtuu, kun r saa arvot 2, 3, 3.6 ja r=2 1 r= r= r= Kun r =2lähestytään tasaisesti raja-arvoa. Kun r =3tai r =3.6 systeemi värähtelee. Kun r =3.7 systeemi käyttäytyy suorastaan kaoottisesti.

21 Analyyttinen ratkaisu Epälineaarisillädifferenssiyhtälöilläeiole ratkaisua yleisesti. Lineaarisilla vakiokertoimisilla systeemeillä analyyttinen ratkaisu on. Yleensä hyvästrategia yksinkertaisempien differenssiyhtälöiden ratkaisussa on: 1. Kirjoita differenssiyhtälöävastaavan jonon termejä. Huomaa jokin säännönmukaisuus. 2. Kirjoita kaava päätellylle säännönmukaisuudelle, eli ehdotelma analyyttiselle ratkaisulle. 3. Varmista/todista kaavan toimivuus sijoittamalla se differenssiyhtälöön. Seuraavassa esitetään lineaaristen differenssiyhtälöiden ratkaisut suoraan kaavamuodossa. Lineaarinen vakiokertoiminen homogeninen yhtälö Yhtälön ratkaisu alkuarvolla x on selvästi Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälö Tarkastellaan mallia x n+1 = Ax n x n = A n x. x n+1 = Ax n + b, jolle on annettu alkuarvo x.otetaan käyttöön askelfunktio { n< u n = 1 n jolloin differenssiyhtälön voi kirjoittaa muodossa Tämän yhtälön analyyttinen ratkaisu on missä x n+1 = Ax n + u n b. x n = ˆx n +(u h) n,

22 22 ˆx n on homogeenisen yhtälön ˆx n+1 = Aˆx n ratkaisu alkuehdolla ˆx = x.(general Solution, Yleinen ratkaisu) (u h) n on diskreetti konvoluutio (u h) n = n u i h n i, i= jossa edelleen h n on systeemin h n+1 = Ah n + δ n b ratkaisu alkuehdolla h = (Particular Solution, Erikoisratkaisu). Tässä siis δ n on diskreetti herätefunktio δ n = { 1 n = muuten Lineaarisen differenssiyhtälöryhmän ratkaisu saatiin kahden eri yhtälöryhmän ratkaisujen summaksi. Nämä yksinkertaisemmat yhtälöryhmät onkin sitten helppo ratkaista. ˆx n = A n x { n = h n = A n 1 b muuten Mikäli matriisi A on diagonalisoituva, matriisipotenssit saadaan laskettua helposti ominaisarvohajotelman kautta. A n = (PΛP 1 ) n = PΛ n P 1 = P λ n 1... λ n p P 1 Muita menetelmiämatriisipotenssin nopealle laskemiselle löytyy kirjallisuudesta.

23 23 Esimerkki - asuntolaina Haetaan yhtälön b n+1 =1.1b n 88.87, analyyttinen ratkaisu esitetyllä kolmivaiheisella menettelyllä, kun b = Kirjoitetaan jonon termejä. b = 8 b 1 = 1.1b b 2 = 1.1(1.1b 88.87) =1.1 2 b Yhtälön ratkaisu voisi olla (sievennetään käyttäen geometrisen sarjan summakaavaa): ˆbn = 1.1 n n n n 1 = 1.1 n i i= = 1.1 n n = 1.1 n n Todennetaan, että annettu ratkaisu ˆb n todella ratkaisee alkuarvotehtävän. Alkuarvo: ˆb = = 8 Rekursiokaava(oletetaan, että b n = ˆb n ja osoitetaan b n+1 = ˆb n+1 ): b n+1 = 1.1b n = 1.1(1.1 n n 1 ) = 1.1 n n = 1.1 n ( 1.1n = 1.1 n n ) = ˆb n+1

24 24 Esimerkki - Ydinasekilpailu Kirjoitetaan malli ensin matriisimuodossa: ( ) ( xn+1 1 = 3 1 y n+1 x n+1 = Ax n + b 2 )( xn y n ) + ( 6 12 ) Alkuehtona siis x = (6, 12) T.Analyyttinen ratkaisu on x n = ˆx n +(u h) n n 1 = A n x +( A i ) b i= = A n x +(I A) 1 (I A n )b geometrisen sarjan summakaava Lasketaan ratkaisun arvo, kun n =4.Tarvittu matriisipotenssi saadaan ominaisarvohajotelman A = PΛP 1 avulla. Ja lopulta ratkaisun arvo Tasapainotilat ( ).484 Λ =.484 ( ) P = ( ).278 A 4 = PΛ 4 P 1 =.278 x 4 = A 4 x +(I A) 1 (I A 4 )b (118, 178) T Dynaamisen systeemin tasapainotila on jokin tila, jossa systeemin tila pysyy vakiona ajan kasvaessa. Esimmäisen asteen autonomisen differenssiyhtälöryhmän p n+1 = g(p n ) tasapainopiste( eli g:n kiinteä piste ) toteuttaa yhtälön josta se siis voidaan ratkaista. z = g(z),

25 Tasapainopiste on (asymptoottisesti) stabiili, jos tasapainopisteen läheisyydestä lopulta lähestytään kyseistä tasapainopistettä. Linearisoidaan funktio g tasapainopisteen z ympärillä: Linearisoitu malli ratkeaa analyyttisesti: g(p n ) g(z)+g (z)(p n z) p n = z + g (z) n (p z). p n suppenee kohti tasapainopistettä z kaikilla p, mikäli g (z) n O. Analyyttisen ratkaisun yhteydessä olleen ominaisarvohajotelman perusteella saadaan, että yksittäiset lim n λ n i =. Eli stabiilisuusehto: Esimerkki - Hiivan biomassa Hiivan biomassaa kuvasi yhtälö joten tasapainopisteet ovat yhtälön λ eig(g (z)) : λ < 1. p n+1 = p n +.82(665 p n )p n, z = z +.82(665 z)z = g(z) ratkaisut, jotka ovat selvästi z 1 =ja z 2 = 665. g :n derivaatta on g (z) =1+.82(665 z).82z. g (z 1 )=g () = g (z 2 )=g (665) =.4547 Siis z 1 on epästabiili ja z 2 on stabiili. Jos pisteestä z 1 =poiketaan positiiviseen suuntaan, hiivan biomassa alkaa lisääntyärajusti. Jos taas pisteestä z 2 = 665 poiketaan, palautuu hiivan biomassa takaisin z 2 :een. Jos alkuarvo on p =,ei lähestytä stabiilia tasapainopistettä z 2.Josp >, niinp n z 2. Esimerkki - Ydinasekilpailu Maiden X ja Y ydinohjusmäärät mallinnettiin yhtälöillä: { xn+1 = y n y n+1 = x n 25

26 26 Ratkaistaan tasapainopiste: { x = 6+ 1 y { 2 x = 12 y = x y = 18 3 Jacobin matriisi on ( jolla on ominaisarvot λ 1 = 1/ 6.41 ja λ 2 = 1/ Tasapainopiste on siis stabiili. Tämä huomattiin jo numeerisen ratkaisun yhteydessä, ohjusmäärät näyttivät lähenevän tässä selvitettyä tasapainopistettä. ),

27 Luku 3 Jatkuva-aikainen mallintaminen 3.1 Differentiaaliyhtälö k:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälö onyleisesti muotoa f(t, x(t),x (t),x (t),...,x (k) (t)) =. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Ensimmäisen kertaluvun yhtälö f(t, x(t),x (t)) = pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x (t) =g(t, x(t)). Yleensä oletetaan vielä, että funktio g on sopivan säännöllisesti käyttäytyvä. Autonominen yhtälö Autonomisessa yhtälössä g ei riipu suoraan ajasta x (t) =g(x(t)). Differentiaaliyhtälölläonanalyyttinen ratkaisu, aina tätäeikuitenkaan voi kirjoittaa missään eksplisiittisessä muodossa. Alkuarvotehtävässä etsitään ratkaisua, joka kulkee annetun alkupisteen kautta. Numeerinen ratkaisu merkitsee differentiaaliyhtälön numeerista arviointia esimerkiksi differenssiyhtälöllä. Myös graafisesti saadaan paljon kvalitatiivista tietoa systeemin käyttäytymisestä. 27

28 Mallintaminen differentiaaliyhtälöllä Differentiaaliyhtälöt ovat käteviä mallintamisen apuvälineitä, kun meilläontietoa jonkin riippuvan muuttujan muutoksesta toisten riippumattomien muuttujien arvojen vaihtuessa. Differentiaaliyhtälöitäkäytetään yleensä, kun muutos on jatkuvaaikaista. Kun riippuvan muuttujan muutoksesta on malli, tulevan käyttäytymisen ennustaminen on helpompaa. Yleensäpärjätään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöillä. Tällöin derivaatta f (t) =df /dt merkitsee hetkellistä muutosnopeutta. Tällöin muutoksen keskiarvo ajan t aikana on suure: f t eli keskinopeus. Tilanteesta riippuu kuinka nämä suureet suhtautuvat reaalimaailmaan. Esimerkiksi mallinnettaessa kaloja, jotka lisääntyvät vain keväisin, koko vuoden keskilisääntymisnopeudella ei oikein ole merkitystä. Toisaalta joskus on hyödyllistä käyttää differentiaaliyhtälöitä diskreetin systeemin mallintamisessa. Tällöin derivaattalla df /dt arvioidaan muutoksen keskinopeutta. Differentiaalilaskennan teoria saadaan käyttöön, ja muuttujien funktionaalisen suhteen selvittäminen voi olla helpompaa. Differentiaaliyhtälöä ei monesti saada ratkaistua analyyttisesti. Tällöin joudutaan arvioimaan differentiaaliyhtälöädiskreetillädifferenssiyhtälölläjasennumeerisella ratkaisulla. Tietenkäänei ole järkevää ensinarvioida differenssiyhtälöä differentiaaliyhtälölläjasitten käyttääjälleen differenssiyhtälöitä numeerisen ratkaisun saamiseksi. Parempi on käyttää suoraan differenssiyhtälöitä Populaation kasvu Edellisen luvun diskreettiaikaiset mallit voidaan kirjoittaa jatkuvassa muodossa (M oli maksimipopulaatio, α kasvukerroin): p (t) =αp(t) (Malthusin malli / rajaton kasvu) p (t) = α (M p(t))p(t) (Verhulstin malli / rajattu kasvu / logistinen kasvu) M Perustelut jatkuva-aikaisille malleille ovat samat kuin diskreettiaikaisille. Kuten aiemmin on todettu sammakoiden ja kalojen populaatiota kannattaa mallintaa differensseillä kutuaikojen jälkeen, hiivan kasvuun differentiaaliyhtälöiden käyttö on perusteltua.

29 29 Esimerkki - Hiivan biomassa Sovitetaan hiivan biomassalle jatkuva-aikainen Verhulstin malli ja tutkitaan kuvaako se paremmin populaation kasvuprosessia kuin aiemmin luotu diskreettiaikainen malli. Edelleen maksimipopulaatio M = 665. Myöhemmin annettavan analyyttisen ratkaisun yhteydessä saadaan differentiaaliyhtälölle muoto joten piirretään suure ln ln p(t) M p(t) = αt + C, p(t) aikamuutujan t funktiona. 665 p(t) 6 ln(p(t)/(665 p(t))) t Saadaan α.53 ja C Malli on ja sen analyyttinen ratkaisu p (t) =.53 (665 p(t))p(t), 665 p(t) = MCeαt C = e C = Ce αt e.53t = = 1.37e.53t e.53t e.53t Jälleen kuvasta nähdään mallin pätevyys:

30 p(t) mallin ennusteet koetulokset t Malli on huomattavasti parempi, kun aiemmin esitetty differenssiyhtälömalli. Voidaan päätellä, että hiivalla populaation kasvu on luonteeltaan jatkuvaa ja toisaalta differenssiyhtälömallin termien aikaväli on liian suuri. 3.3 Differentiaaliyhtälöryhmät Yleinen k:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä onmuotoa f(t, x(t), x (t),...x (k) (t)) =. Tämä pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x (k) (t) =g(t, x(t), x (t),...,x (k 1) (t)). Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä Ensimmäisen asteen lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä onmuotoa: x (t) =Ax(t)+b. Korkeamman asteen differentiaaliyhtälö Kuten differenssiyhtälöilläkin korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöä voidaan tarkastella ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Eksplisiittisestä p:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä x (p) (t) =g(t, x(t),x (t),...,x (p 1) (t))

31 31 merkitään x 1 (t) = x(t) x 2 (t) = x (t). x p (t) = x (p 1) (t) saadaan alkuperäinen differentiaaliyhtälö kirjoitettua differentiaaliyhtälöryhmänä x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 3 (t). x p 1(t) = x p (t) x p(t) = g(t, x 1 (t),x 2 (t),...,x p (t)) eli vektorimuodossa x (t) =g(t, x(t)). 3.4 Mallintaminen differentiaaliyhtälöryhmällä Differentiaaliryhmiä tarvitaan interaktiivisten systeemien jatkuva-aikaiseen mallintamiseen. Hyviä sovellusaloja voisi olla taloustiede, ekologia, sähkötekniikka, erilaiset mekaaniset systeemit, taivaankappaleiden liikeradat ja erilaiset säätösysteemit. Kuten diskreettiaikaisessa mallintamissa yhtälöistä muodostuu usein epälineaarisia, joille ei ole helppo löytää analyyttisia ratkaisuja. Tällöin joudutaan taas turvautumaan numeeriseen arviointiin sekä tasapainopistetarkasteluihin (linearisoimalla yhtälöitä). Myös graafisista esityksista on usein suurta apua Interaktiiviset populaatiot Diskreettiaikaiset mallit voidaan kirjoittaa jatkuvassa muodossa: { p (t) = α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) q (t) = α 2 q(t) β 2 p(t)q(t) (kilpailevat populaatiot) { p (t) = α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) q (t) = α 2 q(t)+β 2 p(t)q(t) (q saalistaa p:tä) Jatkossa on analysoitu varsinkin kilpailevien populaatioiden mallia monin tavoin. Näissäsysteemistä ainakin keskinäisiähaittoja voisi pitää jatkuva-aikaisina.

32 Dimensioton muoto Yhtälöitä kannattaa kirjoittaa dimensiottomaan muotoon, mikäli parametrejä on liian monta. Kun parametrien määrää saadaan vähennettyä, esimerkiksi graafinen tarkastelu käy helpommaksi. Yleensä tarkasteltava yhtälöryhmän yhtälöt kannattaa jakaa jollain parametreistä. Sitten suureiden y(t) paikalle kirjoitetaan Y (t) = y(t)/y,jossa y on alkuarvotehtävän alkuarvo. Lopulta valitaan uudet parametrit ja muokataan aikamuuttujaa t siten, että derivaatat pitävät paikkaansa. Myös differenssiyhtälöitä voi kirjoittaa dimensiottomaan muotoon. Esimerkki - Kilpailevat populaatiot Tarkastellaan kilpailevien populaatioiden differentiaaliyhtälömallia, jossa on alunperin 6 parametria (alkuarvot p ja q mukaanlukien). Kirjoitetaan malli edelleen dimensiottomaan muotoon. { p (t) =α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) /p α 1 q (t) =α 2 q(t) β 2 p(t)q(t) /q α 1 { p (t)/(α 1 p )=p(t)/p (β 1 /α 1 )q (p(t)/p )(q(t)/q ) q (t)/(α 1 q )=(α 2 /α 1 )(q(t)/q ) (β 2 /α 1 )p (p(t)/p )(q(t)/q ) Kirjoitetaan nyt P (T ) = p(t/α 1) p p:n suhteellinen määrä Q(T ) = q(t/α 1) q q:n suhteellinen määrä γ = α 2 α 1 q:n suhteellinen kasvu δ 1 = β 1 q α 1 q:n suhteellinen haitta p:lle δ 2 = β 2 α 1 p p:n suhteellinen haitta q:lle jolloin selvästi: P (T ) = p(t/α 1) α 1 p Q (T ) = q(t/α 1) α 1 q

33 33 Malli saadaan lopulta kirjoitettua muotoon { P (T ) = P (T ) δ 1 P (T )Q(T ) Q (T ) = γq(t ) δ 2 P (T )Q(T ), jossa on enää 3parametria. Alkuehdoiksi saadaan P () = p()/p =1,Q() = q()/q = Ratkaisut Numeerinen Olkoon käytössä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö x (t) =g(t, x(t)), alkuarvolla x() = x.monissa tapauksissa tätä alkuarvotehtävää eivoida ratkaista analyyttisesti. Numeerinen ratkaisu(approksimointi) voidaan suorittaa yksinkertaisimmillaan seuraavasti. Valitaan askelpituus t. Lasketaan funktion x(t) derivaatan arvo pisteessä t =, x () = g(, x ).Siirrytään sitten derivaatan suuntaan askelpituus t. Päädytään pisteeseen x + t g(, x ).Tässä pisteessä lasketaan taas derivaatta ja jatketaan sen suuntaan. Differentiaaliyhtälöä voidaan näin arvioida differenssiyhtälöllä: x = x x n+1 = x n + t g(n t, x n ) Jos yhtälöitä onvähän arviointia on hyvä tarkastella graafisesti. Muuten differenssiyhtälöryhmän numeerinen ratkaisu on esitettävä taulukkona. Selvästi mitä pienemmäksi askelpituus t valitaan sitä tarkempi ratkaisu on. g( t,x 1 ) x 1 x(t) g(2 t,x 2 ) x 2 g(,x ) x t 2 t t

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Tilayhtälötekniikasta

Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

1. Kuinka monta erilaista tapaa on 10 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille?

1. Kuinka monta erilaista tapaa on 10 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille? Diskreetti matematiikka, syksy 00 Harjoitus -, ratkaisuista. Kuinka monta erilaista tapaa on 0 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille? Ratkaisu. Paikat identtisiä, istumajärjestys oleellinen,

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet

CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit Laskuharjoitus 9/2016 Lisätietoja s-postilla reetta.karinen@aalto.fi tai tiia.viinikainen@aalto.fi vastaanotto huoneessa D406 Energiataseet Tehtävä 1. Adiabaattisen virtausreaktorin

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu

Lisätiedot

Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi

Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

DYNAAMISET SYSTEEMIT kevät 2000

DYNAAMISET SYSTEEMIT kevät 2000 1. harjoitukset, viikko 3 1. Mitkä seuraavista differentiaaliyhtälöistä ovat lineaarisia? a) x = t 2 b) x + t 3 x = t c) x x = x d) x - (x ) 2 = 0 e) e t x + e -t x = (1-t 2 ) ½ f) (x ) 2 = x 2 2. Määritä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Tutkimusmenetelmät-kurssi, s-2004

Tutkimusmenetelmät-kurssi, s-2004 Algoritmitutkimuksen menetelmistä Tutkimusmenetelmät-kurssi, s-2004 Pekka Kilpeläinen Kuopion yliopisto Tietojenkäsittelytieteen laitos Algoritmitutkimuksen menetelmistä p.1/20 Sisällys Tänään Tietojenkäsittelytiede

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002 Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely FYSA/K (FYS/K) Vaimeneva värähtely Työssä tutkitaan vaimenevaa sähköistä värähysliikettä. Erityisesti pyritään havainnollistamaan kelan inuktanssin, konensaattorin kapasitanssin ja ohmisen vastuksen suuruuksien

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

Matemaattisesta mallintamisesta

Matemaattisesta mallintamisesta Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Mikä on probabilistinen malli? Kutsumme probabilistisiksi malleiksi kaikkia

Lisätiedot