Fotonikiteiden laskennalliset menetelmät. Karri Varis

Transkriptio

1 Fotoikiteide laskealliset meetelmät Kai Vais Kai Vais, Optoelectoics Laboato, HUT, 000

2 Luetouko Johdato fotoikiteisii Aikataso meetelmä, FDTD Taajuustaso meetelmä, Plaewave Slabeihi soveltuva hbidimeetelmä Yhteeveto Kai Vais,

3 Itoductio Based o peiodic efactive idex chages Itefeece fobids the popagatio of ligth fo some wavelegths Ca be used to ceate waveguides ad micocavities b itoducig defects Ca be used to ceate filtes Kai Vais, Optoelectoics Laboato, HUT, 000

4 Fotoikiteet Dielektissvakio muuttuu peiodisesti hdessä tai useammassa suuassa

5 Kääteishila (esipokaalie hila) Reaaliavauude hila = peiodie akee, joka ketoo atomie sijaii Kääteishila = kostuktio, joka ketoo eaaliavauude hila peiodisuudet suutiee Kääteishila saadaa eaaliavauude hilasta fouiemuutamalla F k e j k F d S-04.37, 000

6 Reaalihila vs. esipokaalie a x π/ a k S-04.37, 000

7 Kääteishilavektoit Jotta ei tavitse aia fouie-muutaa, ii kääteishilavektoit voidaa laskea kaavoista g a a a a 3 a 3 g a a 3 a a a 3 g 3 a a a a a 3 Huomaa htes Millei idekseihi: Vektoi g h g k g g i a j, i j g i a j 0, i l g 3 o taso [hkl] omaali j S-04.37, 000

8 ! Blochi teoeema Maxwelli htälöide atkaisu peiodisessa ssteemissä f exp j K f a i f a i exp j K a i Ratkaisu o siis peiodise fuktio ja tasoaallo tulo S-04.37, 000

9 # $ $ % & Fotoikiteide atkaisu, leistä Blochi teoeema mukaa kettäatkaisu vieekkäisissä alkeiskopeissa eoaa vai tasoaallo vea " valitaa K ja vaaditaa peiodiset euaehdot a i 0 exp j K # Ratkaistaa kettä, omiaistaajuus, ms vai hdessä a i alkeiskopissa S-04.37, 000

10 * ( ) ) ) +,,... ' ' 0 0 / Fotoikiteide atkaisu, leistä Miksi tät dispesiodiagammia vate tät tutkia vai K 0, a? ' f exp j K - a f exp j a exp j K Riittää ku tutkitaa π/a: pituie väli Tutkitaa väli a, a ja kätetää smmetiaa S-04.37, 000

11 Baddiagam, D π/a 0 k π/a Kai Vais, Optoelectoics Laboato, HUT, 000

12 Baddiagam, D Bad Bad Γ M K Γ K M Γ Bad 3 Bad 4 Kai Vais, Optoelectoics Laboato, HUT, 000

13 Defektie atkaisu Lisätää fotoikiteesee defekti Uusi ogelma ei ole eää peiodie 3 Blochi teoeema ei eää päde ja hde alkeiskopi (mikä alkeiskopi?) atkaisu ei eää atkaise ogelmaa Defekti ulkopuolella mateiaali toistuu samalaisea ääettömtee Tällaise ogelma atkaisuu palataa möhemmi S-04.37, 000

14 Aikataso vs. taajuustaso Aikataso meetelmissä aika o ksi muuttuja laskettavilla ketillä ei ole htä määättä taajuutta taajuudet voi selvittää Fouie-muutamalla jälkikätee soveltuu hvi aikaiippuvie ilmiöide tutkimisee Taajuustaso meetelmissä aikaiippuvuus oletetaa hamoiseksi tutkitaa vai htä taajuutta keallaa omiaismoodit o helppo selvittää Kai Vais,

15 Fiite Diffeece Time Domai (FDTD) Yleie mallitusmeetelmä EM-ogelmissa Kehits alkoi 60-luvulla Tehokas ja ksiketaie 3 Mallittaa suoaa Maxwelli oottoihtälöt Käsittelee aikaa hteä muuttujaa, joka o siis mös disketoitava Kai Vais,

16 4 Mageettiset ja sähköiset viat mahdollistavat häviöt mateiaaleissa Maxwelli oottoihtälöt Kai Vais, D 5 t 6 7 H 8 J e 5 B 5 t E 8 J m 5 H 5 t E 8 : ' 9H 5 E 5 t 6 ; 7 H 8 < ; E

17 > > > F F F A I > > > F F H B B B J J J E M B B B J J J D L B B B J J J E M B B B J J J D L Roottoie avaamie Oletetaa häviöttömät ja isotooppiset mateiaalit = H x t? E z E z E x t G H z H z H t C E z x E x z E t K H x z H z x H z t C E x E x E z t K H x H x Kai Vais,

18 N Eotusosamäää laskemie FD Kai Vais, f x O P? f x O P Q f x Q x O P 4 Q f x Q x O P 3 36 Q 3 f x Q x 3 O O P 4 f x R S T f x R S U f x U x V S 4 U f x U x R S 3 36 U 3 f x U x 3 V O S 4 f x O P W f x W P? P Q f x Q x O O P 3 Q f x Q x? f x O P W f x W P P O O P

19 Z Z Z Z Y b b b e b b b d ] \[ \ ^ \ \[ ^ a ] \[ \ ^ ] _ Diskeetit htälöt Mekitää X x,, z,t i x, j, k z, t H x t c E z E z f Hx i, j, k ] Hx i, j, k t ` i, j, k E i, j, k Ez i, j, k z E i, j, k Ez i, j, k Kai Vais,

20 Diskeetit htälöt, D Kai Vais, Hx k g h i Hx k j h k l t l z m k E k g h E k j h E k o p o q E k o p s t s z t k o p Hx k o o p u Hx k o p

21 Diskeetit htälöt, D Kai Vais,

22 v x x Disketoieista Spatiaalie disketoitiaskel voidaa valita vapaasti v w Yleesä 0-0 pistettä pe kiiostava aallopituus ataa iittäviä tuloksia Aika-askelee pituus o valittava iittävä pieeksi, muute simulaatio muuttuu epästabiiliksi w Magic Time Step c t Numeeie dispesio puuttuu Yleesä valitaa hiema lhempi aika-askel w w x Kai Vais,

23 z { z Heäte FDTD laskee kettie aikakättätmistä, tavitaa siis heäte z Useita eilaisia dipoli, muotokettä, tasoaalto, kova, impedassi, satuaiskettä Kapeakaistaie heäte vaatii pitkä aja Kai Vais,

24 w w w } ~ Reuaehdot Peiodie D esim. Hilavakio a, valitaa haluttu K - 0 a- a x Simuloidaa pisteitä välillä [0,a- ] FD:tä vate kätetää ehtoja f a f 0 exp j Ka f f a exp j Ka Kai Vais,

25 { z { { Ei-peiodiset euat Johtavat euat z { Vaaditaa laitimmaie kettämuuttuja = 0 Toimii kui tädellie peili, teho säteilee takaisi tutkittavaa aketeesee Absoboivat euat Pkims mallitaa vapaata tilaa (tai päättää aaltojohde sovitetusti) Eilaisia polomiapoksimaatioita laitimmaiselle pisteelle, esim Mu, Liao Kai Vais,

26 w w Beege PML Pefectl Matched Lae ƒ' Jos, mateiaali impedassi o sama kui ƒ häviöttömä mateiaali -> ei heijastuksia! Simuloitialuee eualle muutama keos PML mateiaalia, joka taakse johdetta Johteesta heijastuva eegia absoboituu mös tullessaa takaisi Takaisiheijastus (lähes) 0 tietokoee lasketatakkuudella Kai Vais,

27 z z { Vöaketee laskemie Bloch-peiodiset euat, Bloch-peiodie satuaisheäte z Simuloidaa pitkä aikaa, talleetaa kettä jossai satuaispisteissä Fouie muuetaa talleettu aikasaja taajuuspiikit vastaavat aketee omiaismoodeja Kai Vais,

28 ˆ ˆ Omiaisuuksia Kaikki moodit kealla Hajautuva algoitmi Veattai piei muistivaatimus Vasteet heättäisii o helppo laskea Fouie muuokse esoluutio iippuu aikasaja pituudesta. x takkuus vaatii x pitkä aikasaja ˆ Kaikki moodit eivät välttämättä heää ˆ Degeeaatioita (lähes) mahdoto eottaa Lähekkäiset moodit vaativat suue takkuude (aja) ˆ Kettie laskemie vaatii uude simulaatio kapeakaistaisella heätteellä Kai Vais,

29 Mikokaviteetti Figue 3. Schematic epesetatio of a micocavit lase fomed b fillig oe ai hole with backgoud dielectic. D Tasvesal magetic field computed with FDTD is show o ight had side. Backgoud efactive idex is 3.4 ad the adius of the hole is 0.3a Kai Vais,

30 Mutka aaltojohteessa Kai Vais,

31 Œ Š Taajuustaso meetelmät Aikaiippuvuus oletetaa hamoiseksi f t exp j t Ratkaistaa Helmholtzi htälöstä ω omiaisavoa Yhtälö voi disketoida moella tavalla FEM, FD, tasoaalto Tässä käsitellää tasoaaltomeetelmä Kai Vais,

32 Helmholtzi htälö Kai Vais, H t Ž j H Ž E E t j E H j E H H H H c H

33 œ œ ž ž Ÿ Ÿ š š Kätetää Fouie-kataa Siitää takastelemaa -ulotteista ssteemiä ja oletetaa x z 0 Oletetaa lisäksi Lausutaa a hilavakio, K eteemiskeoi -suutaa Fouie kaa edut H h z paikkadeivaatat tiviaaleja Bloch vaihe mukaa automaattisesti h h h exp k j k K a Kai Vais,

34 ««c ± ² ± ± ± ± ² ² ³ Fuktio sijoitus Kijoitetaa aaltohtälö uudestaa Sijoitetaa h h cª h h e j k K h e j k K Kijoitetaa deivaattaopeaattoi toisessa muodossa Kai Vais,

35 ¹ Â Á ¾ À ¾ ¾ ½ ¹ ¼» ¼ ¼» º ¹ ¼» ¼ ¼» º Deivaattoje laskemie µ Lasketaa deivaatat h e j k K. h e j k K. j k K k K h e j k K. k K j k K h e j k K Kai Vais,

36 Ä Ã Ç È Ç Æ È Æ cå É È Æ Ê Ã É Ë Ã É Yhtälöhmä luomie Seuaava deivaatta o hakala, σ o paika fuktio à Keotaa htälö molemmilta puolilta e j k K m ja itegoidaa hde jakso litse, esi oikea puoli cå h peiod e j k K m j k e K d. h e j k m k d peiod Ekspoettifuktio o otogoaalie -> ja peiod e j k m k d a m. a cå h m Kai Vais,

37 Ò Ñ Ï Î Ð Î Î Ð Í Ì Ò Ñ Ò Ó Ï Ð Ó Ñ Ï Ð Ô Ó Ó Ó ÔÍ Ô Ì Í Í Ñ Ó Ï Ð ÔÍ Ó Ñ Ö ÉÕ Õ Itegoiti, vase puoli Ì Vasemmalla puolella esiit paika fuktio, itegoiti hakalaa lhs k K j Takastellaa esi vasemmapuoleista temiä k K h e j k K peiod e j k m K e j k K d Kätetää osittaisitegoitia. peiod e j k m k f ' g fg d a fg 0 fg ' fg '. peiod e j k m k d. peiod j k m k e j k m k d Kai Vais,

38 Þ Ü Ý Ù Û Ù Ù Û ÔØ Ü Ú Ù Ù Û ÔØ Û Ù Ù ÔØ Itegoiti, vase puoli lhs k K j k K h e j k K Sijoitetaa edellie tulos, josta sievekse jälkee saadaa lhs h k K k m K peiod e j k m k d Huomataa, että jäljelle jäävä itegaali ei ole muuta kui fuktio σ omeeaamato fouie keoi ideksillä (-m) lhs a h k K k m K Ü m Kai Vais,

39 â ã â à ä ß ß ß å ã ã ç á ß ß ß Yhtälö kasaamie Ssteemissä o hteesä, N, eli N tutematota ß Itegoiti tät tehdä htä mota ketaa ideksillä m, Jokaie itegoiti luo uude htälö Kasataa htälöhmä á N e j k K m h k K k m K æ m cè h m Jos m kuvaa htälö umeoa, oikealla puolella o pstvektoi, jossa o kaikki tutemattomat vakiolla keottua Vasemmalla o saja ketoimia, jotka ketovat tutemattomia Tämä ei ole muuta kui algeballie htälöhmä fouie-ketoimie atkaisemiseksi Kai Vais,

40 é ê ï î ê ê Paluu todellisuutee é Edellä esitett poseduui o mahdollie mös 3D-vektoiketille ê Kätäössä htälöhmästä tulee kuiteki hvi suui ja hakala muodostaa Iteatiiviset atkaisijat eivät vaadi, että koko matiisia muodostetaa, e haluavat vai matiisitulo testivektoi kassa Pelkkä matiisitulo voidaa muodostaa helpommiki ëíì Lasketaa oottoit fouie-avauudessa -> tiviaalia! H ëíì Fouie muuetaa testivektoi eaaliavauutee ε:lla ketomista vate cð H ê Ketomise jälkee meää takaisi fouie-avauutee Kai Vais,

41 õ ò ò ñ Iteatiiviset atkaisijat óíô fft ifft H óô Em. temppu peustuu siihe, että fuktioide tulo fouie-avauudessa o kovoluutio ñ pitkällä tavalla laskimme oikeastaa juui kseise kovoluutio Lhellä tavalla emme pst muodostamaa matiisia, aioastaa matiisi-vektoitulo Iteatiiviset atkaisijat atavat toistuvasti testivektoeita ja ptävät palauttamaa matiisitulo kues tulos kovegoituu Kai Vais,

42 ö ö Plaewave-meetelmä, omiaisuuksia ö Ratkaisee suoaa omiaisavot ja omiaisvektoit (moodiketät) Iteatiiviset atkaisijat mahdollistavat vai alimpie tai halutulla taajuudella olevie omiaisavoje atkaisemise Degeeoidut muodot o helppo eottaa toisistaa Heätevasteita o hvi hakala laskea, e voidaa muodostaa omiaismuotoje summaa, mutta tavitsee atkaista useita omiaismuotoja Taajuustaso meeltelmillä ei voida laskea aikaiippuvia ilmiöitä Kai Vais,

43 ù Defektie laskemisesta Tasoaaltomeetelmä olettaa aketee peiodiseksi joka suutaa ø ù Defekti ikkoo peiodisuude, oko tasoaaltomeetelmä kättökelvoto? EI! Kätetää isoa supesolua, joka tehdää peiodiseksi Kai Vais,

44 Γ M K Γ Keiotekoie peiodisoiti aiheuttaa tiloje moistumise. Kaviteettitila esiit alkeiskopissa vai kea, eikä ole moistuut. S-04.37, 000

45 ú Slabie laskemisesta ú Supesolumeetelmää voi kättää mös liuskajohteide laskemisee Tehdää kokea solu, joka keskelle laitetaa liuskajohde, loppuosa tätetää thjällä. Toistetaa tätä peiodisesti. Jos muodot hvi johdettuja, johteide välillä ei ole ktketää Kai Vais,

46 ú ú ú Meetelmä liuskajohteille Slab-fotoikiteet ovat peiodisia hdessä tai kahdessa suuassa, mutta kolmaessa suuassa e ovat liuska-aaltojohteita ú Huom! Slab-fotoikide ei ole kaksiulotteie akee, eikä sitä voi (kuolla) mallittaa uohtamalla kolmae suua Tutkitaa tässä ksiketaisuude vuoksi kaksiulotteista akeetta, joka o peiodie hdessä suuassa z Tutkitaa lisäksi vai toista polaisaatiota x Kai Vais,

47 þÿ ý û û ü Diagoalisoiti û Maxwelli htälöt (TE-polaisaatiolle) diagoalisoidussa muodossa j x, z h x j j e x h x z h x z e Huomioitavaa: ü Muuttujia aioastaa x- ja -suuissa ü Oikealla puolella aioastaa z-deivaatat, vasemmalla ei mitää z:sta iippuvaa Idea: Tutemalla h jollai tasolla z=vakio, voidaa laskea e: z-deivaatta ü Vastaavasti mös e ja h Kai Vais,

48 Diagoalisoiti Ajatuksea o kättää fdtd:stä tuttua Leapfog-algoitmiä e z 0 e z 0 Deivaatta voidaa laskea pelkästää tutemalla h tasolla z e z 0 z z 0 Tehtävää o valita sopiva kata, jossa ketät voidaa lausua tasolla Kaa tulisi sallia helposti peiodie euaehto x-suuassa Kaa tulisi sallia ksiketaie deivoiti x-suuassa Fouie kata toteuttaa kaikki em. maiitut ehdot, jote valitaa se Kai Vais,

49 !! Fuktiokata Lausutaa ketät Fouie saja avulla f x, z z 0 f z z 0 e j k K x Nt voitaisii sijoittaa ekspasio diagoalisoituihi htälöihi ja tehdä itegoiti aiva kute tasoaaltomeetelmäki kassa, mutta uskotaa tällä ketaa, että kata o otogoaalie Yksiketaisuude vuoksi määitellää matiisit j x, z h x j j e x h x Ae Bh x z h x z e Kai Vais,

50 ) & ( ' & % $ # +, +, + * /. - " Koko homma htee matiisii Siietää oikea puole temit vasemmalle " A i e i h x i h x i 0 B i h x i Kasataa iso matiisi, jossa o kaikki ketoimet kaikilta tasoilta i e i i e 0 Kai Vais,

51 0 Yhtälöhmä atkaisu Yhtälöhmä o homogeeie, koska oikealla puolella o vai ollavektoi. Tällaisella htälöllä o atkaisu vai, jos keoimatiisi detemiatti = 0 0 Ratkaisustategia: Valitaa haluttu K ja valitaa joku ω ja lasketaa htälö detemiatti Haetaa ω:a vaioimalla detemiati miimi Detemiati miimi vastaa omiaismoodi taajuutta Kai Vais,

52 < ; 98 : : 98 7 = B > = 3 3 Heätevaste Meetelmä soveltuu eiomaisesti kettie laskemisee heättee seuauksea Mageettiketä ajapitaehto lim 465 Eli: mageettiketällä o pitavaaukse suuuie epäjatkuvuus Tämä voidaa sijoittaa htälöö 0 h x x 0, z 0 h x x 0, z 0 x 0, z 0 A i e i Nt oikea puoli ei ole eää 0 eikä htälöhmä homogeeie Se voidaa siis atkaista kute tavallie htälöhmä Ratkaisua saadaa kettävaste heätteesee h x i h x i Di Kai Vais,

53 0 0 0 Reuaehdot Isosta htälöhmästä puuttuu sähköketät tasoilta -/ ja +/ 0 Ratkaisussa se o sama asia kui sähkökettä olisi olla, joka taas takoittaa metallista euaa FD-tasoaaltomeetelmä etua o kuiteki joustava euaehtoje kättö. Lisäämällä htälöhmää puuttuvat sähköketät ja iide iippuvuude mageettiketistä tasoilla 0 ja voidaa toteuttaa hvi moelaisia euaehtoja Vapaassa tilassa sähkö- ja mageettiketä iippuvuus voidaa atkaista aalttisesti, mikä mahdollistaa avoime euaehdo helpo ja tehokkaa kätö Kai Vais,