Avouomavirtauksen perusteet

Transkriptio

1 WETS15 Avouomavirtaus 1 Avouomavirtauksen perusteet Timo Huttula 1. Johdanto...1. Avouomavirtaus Avouomavirtauksessa vaikuttavista voimista Virtauksen luokitteluperusteet Avouoman geometria Virtausyhtälöt Perusoletukset Hydrostaattinen paine Hydrodynamiikan perusyhtälöt Virtaustila Frouden luku ja rajasyvyys Virtaustilan merkitys käytännön tarkasteluissa Käytetyt merkinnät Kirjallisuus Johdanto Uomaverkosto (norot, purot, joet, jne.) kuljettavat vettä valuma alueella ja vievät ne lopulta järveen tai merelle. Seuraavassa tarkastellaan joen ja yleensä avouoman perushydrauliikkaa.. Avouomavirtaus.1.Avouomavirtauksessa vaikuttavista voimista Virtausta purossa tai joessa voidaan usein pitää yksidimensionaalisena avouomavirtauksena. Veden tiheyttä ρ voidaan pitää vakiona. Avouomavirtauksen teoria ja kaavat ovat läheistä sukua putkivirtaukselle. Käytännössä miltei kaikki vesistöissä tapahtuva virtaus on avouomavirtausta. Poikkeuksen muodostavat veden kulku eräissä rakenteissa sekä jotkin lähinnä teoreettiset erikoistilanteet kuten tiivis jääkansi pienessä uomassa. Avouomavirtauksen tunnusomainen piirre on myös se, että veden pinta on avoin ja sillä vallitsee ilmanpaine. Virtauksen saa aikaan pääasiassa painovoima, joka siirtää Timo Huttula

2 HYDMET Avouomavirtaus vettä uoman kaltevuuden mukaan. Tietyissä tilanteissa tuuli (laajat suvannot) ja vuorovesi (suistot) aiheuttavat virtauksia. Lisäksi keskipakoisvoima vaikuttaa uomien mutkissa. Erityisesti vaihtelevat uomatekijät aiheuttavat sen, että avouomavirtauksen käsittely on monessa suhteessa hankalaa. Uomatekijöillä tarkoitetaan tässä muun muassa pinnankorkeutta, poikkileikkauksen suuruutta ja seinämän laatua. Nämä ja jotkut muutkin avouomavirtaukseen liittyvät tekijät ovat vuorovaikutussuhteessa keskenään. Luonnonuomissa avouomavirtaukseen vaikuttavien voimien tärkeysjärjestys on yleensä seuraava: 1. Painovoima. Turbulenssiin liittyvä voima 3. Tuuli 4. Keskipakoisvoima 5. Coriolis eli maan pyörimisestä johtuva näennäinen voima 6. Pintajännitys 7. Viskositeetti Pintajännitys ja tuuli vaikuttavat pinnalla, muiden voimien vaikutus jakautuu tasaisemmin. Leikkausjännitys ja turbulenssia esiintyy rajapintojen (pohja, reunat, harppauskerros) läheisyydessä. Seuraavassa taulukossa (Taulukko1) on voimien arvoja eri tapauksissa. Taulukko 1. Avouomavirtauksessa vaikuttavien voimien arvoja eri tapauksissa, kun veden lämpötila on 10 0 C...Virtauksen luokitteluperusteet

3 HYDMET Avouomavirtaus 3 Virtauksen ominaisuuksia ja luonnetta voidaan kuvata monella tavoin. Seuraavat neljä virtaustilan ryhmittelyperustetta ovat keskeisiä: 1) kriteerinä virtauksen ajallinen vaihtelu stationäärinen eli pysyvä virtaus (steady flow), ei muutu ajan suhteen epästationäärinen eli muuttuva virtaus (unsteady flow), muuttuu ajan suhteen ) kriteerinä virtauksen paikallinen vaihtelu tasaisessa virtauksessa (uniform flow) virtaustekijät kuten uoman poikkileikkaus ja pinnankorkeus säilyvät muuttumattomina koko uomaosuudella epätasaisessa virtauksessa (varied flow) virtaustekijät muuttuvat paikan suhteen 3) kriteerinä nestepartikkelien liikerata laminaarivirtauksessa (laminar flow) nestepartikkelien liikeratoja voidaan kuvata rinnakkaisilla viivoilla: neste ei virratessaan sekoitu turbulenttisessa eli pyörteisessä virtauksessa (turbulent flow) nestepartikkelit liikkuvat myös sivuttaissuuntiin ja virtaavat nestekerrokset sekoittuvat keskenään 4) kriteerinä suhteellinen virtausnopeus verkasvirtauksessa (subcritical flow) virtausnopeus on pienempi kuin uomassa etenevän häiriöaallon nopeus kiitovirtauksessa (supercritical flow) virtausnopeus on suurempi kuin uomassa etenevän häiriöaallon nopeus Kuvassa 1 esitetään virtauksen muuttuminen yksittäisten vesiosasten virtausviivoilla kun virtaustilanne kehittyy täysin laminaarisesta (a) täysin turbulenttiseen virtaukseen (d), välitilojen (b) ja (c) kautta.

4 HYDMET Avouomavirtaus 4 Kuva 1. Yksinkertaistettu esitys yksittäisten vesiosasten liikeradoista, kun virtaustilanne muuttuu laminaarisesta (a) välitilojen (b ja c) kautta täysin turbulenttiseksi Luokittelu turbulenttiseen ja laminaariseen virtaukseen perustuu turbulenssiin liittyvän voiman ja viskositeettiin liittyvän voiman suhteiden laskemiseen kiihtyvyyksien avulla. Tätä suhdetta sanotaan Reynoldsin luvuksi R e. Se on uy R e = (1) ν missä, y = uoman syvyys, u= veden virtauksen nopeus ja = veden kinemaattinen viskositeetti=absoluuttinen viskositeetti/veden tiheys.

5 HYDMET Avouomavirtaus 5 Luonnonuomassa syvyys y korvataan usein hydraulisella säteellä R h, joka määritellään poikkileikkauksen pinta alan suhteena märkään piiriin (Kuva ). ν on veden kinemaattinen viskositeetti, joka on absoluuttinen viskositeetti/tiheys, absoluuttisen viskositeetin yksikkö SI järjestelmässä on Poise = kg m 1 s 1. Puhtaalle vedelle abs. viskositeetti on 1.514*10 3 kg m 1 s 1 kun veden lämpötila on 5 o C. Se laskee arvoon 0.891*10 3 kg m 1 s 1 kun lämpötila on 0 o C. Vastaavastati kinemaattisen viskositeetin arvot ovat 1,51*10 6 ja 0,89 *10 6 m s 1. On todettu, että virtaus on turbulenttinen, jos näin määritelty Reynoldsin luku on suurempi kuin 000. Esim. 1. Tarkastellaan tilannetta erikokoisissa poikkileikkaukseltaan suorakulmaisissa uomassa, kun veden lämpötila on 5 ja 0 0 C. Mikä on R e :n arvo? Virtaus nopeu s Uom an syvy ys Uo man leve ys Märk äpiiri Poik kileik kauk sen ala Hydra uline n säde Veden tiheys, kunt=5 C Veden tiheys, kunt=0 C Veden absoluu ttinen viskosit eetti kun T=5 C Veden absoluuttin en viskositeett i kun T=0 C Veden kinemaattin en viskositeett i kun T=5 C Veden kinemaattin en viskositeett i kun T=0 C Reynoldsi n luku, kun T=5 C Reynolds in luku, kun T=0 C ms 1 m m m m m kg/m3 kg/m3 kgm 1s 1 kgm 1s 1 ms 1 ms , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E , , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E , , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E , , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E , , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,1 0, , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,01 0, , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,001 0, , , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E , ,1 0,5 0, , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,1 0, ,1 0,5 0, , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,01 0, ,1 0,5 0, , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,001 0, ,1 0,5 0, , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E , ,1 0,5 0, , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,1 0,05 1 1,1 0,05 0, , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,01 0,05 0,1 0, 0,01 0,05 999, ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E ,001 0,05 0 0,11 0 0, , ,063 0,0015 8,910E 04 1,514E 06 8,96E Taulukosta voidaan päätellä, että luonnon uomissa suuressa mittakaavassa virtaus on yleensä turbulenttinen. Sen sijaan rajapinnoilla (seinämillä, pohjan lähellä sekä kasvien ja eliöiden pinnalla) on laminaarinen rajakerros, jonka paksuus riippuu virtaustilanteesta..3.avouoman geometria Avouomavirtauksen tarkastelussa ovat keskeisiä uoman geometriaan liittyvät tekijät. Keinotekoisessa kanavassa ne voivat joissain tapauksissa säilyä miltei muuttumattomina koko kanavan osuudella. Yleensä ne kuitenkin vaihtelevat sekä

6 HYDMET Avouomavirtaus 6 kaivetuissa että varsinkin luonnon uomissa. Tämän vuoksi uoman geometriset tiedot liittyvät aina tiettyyn poikkileikkaukseen. Kuvassa on esitetty mielivaltainen avokanavan poikkileikkaus, jonka geometrian keskeiset määritelmät voidaan esittää seuraavasti: Kuva. Avouoman poikkileikkaus vedensyvyys (W, vesisyvyys, poikkileikkauksen syvyys) on pystysuora etäisyys poikkileikkauksen alimmasta pisteestä veden pintaan jyrkissä uomissa tarkasti ottaen kohtisuora etäisyys) pinnan korkeus (vedenkorkeus, y) on vedenpinnan korkeustaso tietystä vertailutasosta laskettuna leveys (T) on poikkileikkauksen leveys mitattuna pinnan tasosta pinta ala (A) on poikkileikkauksen pinta alamitattuna virtaussuuntaa vastaan kohtisuorassa tasossa märkäpiiri (P) on veden ja poikkileikkauksen seinämän kosketuspinnan pituus eli poikkileikkauksen piiri vähennettynä leveydellä hydraulinen säde (Rh) on pinta alan ja märän piirin suhde (=A/P) hydraulinen korkeus eli hydraulinen halkaisija (D) on pinta alan ja leveyden suhde (=A/T) 3. Virtausyhtälöt 3.1.Perusoletukset Hydromekaniikan teoriat ovat vaikeasti formuloitavissa. Tämän vuoksi virtauksen perustarkastelut tehdään niin sanotuilla ideaalinesteillä. Ideaalinesteiden tärkein ominaisuus on se, että niiden oletetaan olevan kitkattomia, toisin sanoen sekä nesteen leikkausjännitykset että nesteen ja seinämän välinen kitka puuttuvat. Ideaalinesteitä voidaan tarkastella soveltamalla Newtonin toista peruslakia. NII

7 HYDMET Avouomavirtaus 7 ilmoittaa, että kappaleen saama kiihtyvyys on siihen vaikuttavien voimien summa jaettuna kappaleen massalla. Toinen olettamus, joka veden virtausta tutkittaessa voidaan usein tehdä, on nesteen kokotonpuristumattomuus. Huolimatta tehdyistä yksinkertaistuksista kokoonpuristumattoman ideaalinesteen liikettä kuvaavat yhtälöt ovat sellaisenaan käyttökelpoisia monissa käytännön ongelmissa. Kun kitkatekijä tai tiheyden muutokset on ongelman luonteen vuoksi otettava huomioon, käytetään lisätermeillä täydennettyjä kaavoja tai muita monipuolisempia menettelyjä. 3..Hydrostaattinen paine Hydrostatiikka tarkastelee paineen aiheuttamia voimia. Veden paine vaikuttaa kaikensuuntaisiin pintoihin kohtisuoraan ja jokaiselta suunnalta. Hydrostaattisen paine ( P w ) on P w = ρ gz = γz (1) missä, =veden tiheys, g=maan vetovoimaan kiihtyvyys, z = etäisyys vapaasta pinnasta ja γ on nesteen ominaispaino. Tietyllä syvyydellä vallitseva kokonaispaine=ilmanpaine+hydrostaattinen paine Paineen yksikkö on Pascal (1 Pa = Nm 3 m=nm ) tai bar (1 bar=10 5 Nm ). Paine aiheuttaa kappaleeseen tietyllä syvyydellä joka puolelta samanlaisena kohdistuvan voiman, jonka suuruus on F=P*dA, missä da on äärettömän pieni pinta alkio. Nesteeseen upotetussa kappaleessa täytyy ottaa huomioon kappaleen syvyysjakauma ja toisaalta noste, joka keventää kappaletta Arkhimedeen lain mukaan. Esim.. Mikä on hydrostaattisen paineen aiheuttama voima makeassa vedessä =1000 kgm 3 ) 10 m syvyydellä olevaan patoluukkuun, joka on kooltaan 5 m*3 m? P w =1000 kgm 3 * 9,81ms *10 m = Pa, F=P*A=98100 Pa*15 m = 147 kn 3.3.Hydrodynamiikan perusyhtälöt Hydrodynamiikan perusyhtälönä pidetään yleisesti Eulerin kenttätarkastelua. Se kuvaa nestepartikkelien liikettä ja niihin vaikuttavia voimia Newtonin toisen peruslain pohjalta. Tarkastelu voidaan tehdä yksi, kaksi tai kolmidimensioiselle virtaukselle ja sekä ideaali että kitkallisille nesteille (esimerkiksi Vennard 1966, Hosia 198).

8 HYDMET Avouomavirtaus 8 Toinen perusyhtälö on jatkuvuusyhtälö, joka voidaan esittää jatkuvalle stationääriselle virtaukselle muodossa Q = u = () 1A1 u A missä, Q = virtaama, 1, = keskimääräiset virtausnopeudet kahdessa mielivaltaisessa uomapoikkileikkauksessa 1 ja ja A 1, A = poikkileikkausten 1 ja pinta alat. Eulerin yhtälöiden ja jatkuvuusyhtälön perusteella voidaan johtaa Bernoullin energiayhtälöt ideaali ja kitkalliselle nesteelle. Ne kuvaavat virtauksen energiamuotoja ja energian säilyvyyttä. Bernoullin yhtälöt muodostavat lähtökohdan useille käytännön tarkasteluille. Kokoonpuristumattomalle ideaalinesteelle ja avouomavirtaukselle Bernoullin yhtälö voidaan kirjoittaa: y u1 u + = y (3) g g 1 + missä, y 1, y = pinnan korkeus uomapoikkileikkauksissa 1 ja g = painovoiman kiihtyvyys Termiä u /(g) nimitetään virtauksen nopeuskorkeudeksi ja termiä y i potentiaalikorkeudeksi. Todelliselle, kitkalliselle nesteelle Bernoullin yhtälö kuuluu vastaavasti: u1 u y 1 + = y + α + g g α (4) missä = nopeuden epätasaisesta jakautumisesta johtuva korjauskerroin ja h f = kitkahäviö poikkileikkausten 1 ja välisellä uomaosuudella. α on tarpeen, koska nopeus poikkileikkauksessa vaihtelee arvosta 0 pohjan lähellä maksimiarvoon pinnalla. Luonnonuomissa α voi vaihdella välillä 1,1 1,5. Käytännössä potentiaalikorkeuden vaihtelut ovat paljon suurempia kuin nopeuskorkeuden vaihtelut ja α: n arvolla ei ole suurta merkitystä. Tasaisessa virtauksessa nopeuden vertikaalijakauma noudattaa likimain logaritmista käyrää. Sen jonka tietystä kohdasta löytyy arvo, joka vastaa uoman keskinopeutta. Olkoon tämän pisteen korkeus pohjaan nähden bz. Tällöin nopeusjakaumasta ratkaisemalla saadaan: h f

9 HYDMET Avouomavirtaus 9 1 b = = 0,37 e missä e= luonnollisen logaritmijärjestelmän perusluku eli Neperin luku. Tasaisessa virtauksessa pätee uoman keskinopeudelle ns. Manningin yhtälö u = 1/ 1 / 3 1/ 1 / 3 h f R 0 = h S R (5) n n x missä, n = Manningin karkeusparametri. Sille löytyy kirjallisuudesta suuri joukko kokeellisia arvoja. Esimerkkejä Manningin kertoimen arvoista (m 1/3 s) eräille pinnoille Sileä asfaltti 0,01 Asfaltti tai betoniverhous 0,014 Tiivistetty savi 0,03 Kevyt nurmikko 0,0 Tiheä nurmikko 0,35 Tiheä pensas tai metsän alusta 0,40 Manningin kertoimien arvot ovat kokeellisia ja niiden vaihtelu on melko suurta. On myös muistettava, että uomaparametrit (vedenkorkeus, virtaama ja pohjan kitkaominaisuudet) riippuvat toisistaan. Näin ollen kertoimen arvo myös vaihtelee hiukan eri vesitilateissa.

10 HYDMET Avouomavirtaus 10

11 HYDMET Avouomavirtaus Virtaustila 4.1.Frouden luku ja rajasyvyys Avouomavirtaus aiheutuu painovoimasta. Sen vaikutusta virtaukseen ja virtauksen luonnetta kuvaa dimensioton Frouden luku F r, joka määritellään seuraavasti u F r = (6) gh missä, = uomapoikkileikkauksen keskimääräinen virtausnopeus ja h = veden syvyyttä kuvaava suure (yleisimmin hydraulinen korkeus D ) Frouden luvun määritelmä liittyy aiemmin esitettyihin virtauksen luokitteluperusteisiin seuraavasti: pinta aallon etenemisnopeus uomassa on likimain (g D) 1/ ; tästä seuraa, että kun F r > 1, keskimääräinen virtausnopeus on suurempi kuin uomassa etenevän häiriöaallon nopeus; virtaustila on kiitovirtaus ja kun F r < 1, häiriöaalto etenee nopeammin kuin virtaus ja kyseessä on verkasvirtaus. Frouden luvun voidaan sanoa kuvaavan virtauksen paino ja hitausvoimien suhdetta. Kun painovoiman osuus on suurempi (F r < 1), ollaan verkasvirtauksen alueella. Kiitovirtauksessa hitausvoimat ovat suhteellisesti suuret ja virtaus on nopea, usein rikkonainen ja "vesi syöksy" kuten esimerkiksi jyrkissä koskissa. Esim. 3. Millaisella virtausnopeuden arvolla kiitovirtaus syntyy, kun uoman keskisyvyys on 1 m? Aallon nopeus on (gh) 0,5 =(9,81 ms 1 m) 0,5 =(9,81 m s ) 0,5 =3,1 ms 1. Ts. virtausnopeuden on oltava suurempi kuin 3,1 ms 1. Jos uoman syvyys on vain 0,1 m, kiitovirtaus syntyy kun virtausnopeus on suurmepi kuin 1,0 ms 1. Frouden luvun määritelmästä seuraa, että verkasvirtauksen vallitessa avouoman pinta aallot etenevät sekä myötä että vastavirtaan. Näin uomassa olevan tai siihen kohdistuvan häiriötekijän vaikutus heijastuu häiriökohdan ylävirran puolelle. Kiitovirtauksessa vastaavien häiriötekijöiden vaikutus kohdistuu ainoastaan alapuoliseen uomaan. Frouden luvulla ja sen mukaisella virtauksen luokitteluilla on myös toinen merkitys. Bernoullin energiayhtälön perusteella avouomavirtauksen energia eli niin sanottu energiakorkeus (H s ) on mielivaltaisessa poikkileikkauksessa likimain:

12 HYDMET Avouomavirtaus 1 u Q H = y + = y + (7) g ga Energiakorkeuden lausekkeesta seuraa, että virtaaman ollessa vakio on tietty pinnankorkeus (H s ) ja sitä vastaava virtausnopeus, joilla virtaus läpäisee uoman minimienergialla (Kuva 3). Vastaavasti, energiakorkeuden ollessa vakio uomassa vallitsee suurin mahdollinen virtaama kyseisillä vedenkorkeuden ja virtausnopeuden arvoilla. Pinnan korkeuden mukaista veden syvyyttä kutsutaan rajasyvyydeksi ja vastaavaa virtausnopeutta rajanopeudeksi. Tilanne saavutetaan tapauskohtaisesti määräytyvällä uoman kaltevuudella, rajakaltevuudella. Nämä olosuhteet vallitsevat, kun Frouden luku saa arvon 1 eli kun virtaustila on kiito ja verkasvirtauksen rajaalueella. Virtauksen sanotaan olevan kriittinen. Muualla kuin kriittisen virtauksen kohdassa tiettyä energiakorkeutta tai virtaamaa vastaa kaksi veden syvyys/virtaamayhdistelmää, joista toinen edustaa verkas ja toinen kiitovirtausta. Kuva 3. Veden pinnankorkeuden (Y) riippuvuus ominaiskorkeudesta (H s ). Kuvassa on erikseen osoitettu kahden vedenkorkeuden syntyminen riippuen siitä onko tuossa virtaamatilanteessa kyse verkas vai kiitovirtauksesta. 4..Virtaustilan merkitys käytännön tarkasteluissa

13 HYDMET Avouomavirtaus 13 Verkas ja kiitovirtauksen käsitteet ja niiden fysikaalinen tausta ovat keskeisiä avouomahydrauliikan hydrologisissa sovellutuksissa. Kiitovirtaus on vesistöissä melko harvinainen virtaustila. Kuitenkin se antaa mahdollisuuden muun muassa tarkkojen virtaamahavaintojen tekemiseen vedenkorkeuden mittaamisen avulla. Kuva 4. Virtaustilojen vaihtelu luonnon uomissa. Kts. engl. termit luvusta. Kun kiitovirtauskohdan alapuoliset uoma, virtaus tai muut tekijät eivät vaikuta ylävirtaan, purkautuvan virtaaman suuruus määräytyy yksiselitteisesti uoman geometrian ja yläpuolisen energiakorkeuden perusteella. Virtausnopeuden ollessa kiitovirtauskohdan yläpuolella riittävän pieni energiakorkeus on sama kuin pinnan korkeus (yhtälö 7). Yleisimmät kiitovirtauksen muodostumispaikat vesistöissä ovat jyrkät kosket ja putoukset sekä rakenteet kuten ylisyöksypadot. Käytännössä huomattava osa vedenkorkeuden ja virtaaman mittauksista tehdään kiitovirtauskohteiden läheisyydessä.

14 HYDMET Avouomavirtaus 14 Toinen esimerkki virtaustilan merkityksestä on avouoman padotuslaskelmien tekeminen. Näiden laskelmien avulla tutkitaan lähinnä tietyn uomaosuuden pinnan korkeuden pituusprofiilia eri virtaamilla. Jos koko osuudella vallitsee verkasvirtaus, laskelmat tehdään etenemällä vastavirtaan pinta aaltojen häiriövaikutuksen vuoksi. Kiitovirtauksen alueella laskelmat tehdään puolestaan myötävirtaan, joka on ainoa mahdollinen häiriövaikutusten etenemissuunta näissä olosuhteissa. 5. Käytetyt merkinnät A=poikkileikkauksen pinta ala (m ) = nopeuden epätasaisesta jakautumisesta johtuva korjauskerroin D=hydraulinen korkeus eli hydraulinen halkaisija, pinta alan ja leveyden suhde (=A/T) F r,=frouden luku g=maan vetovoiman kiihtyvyys (m s 1 ) γ = nesteen ominaispaino h f = kitkahäviö joiden poikkileikkausten välisellä uomaosuudella (m) H s = rajasyvyys (m) P=märkäpiiri, veden ja poikkileikkauksenseinämän kosketuspinnan pituus eli poikkileikkauksen piiri vähennettynä leveydellä (m) n= Manningin karkeusparametri (m 1//3 s) P w = hydrostaattinen paine (Pa) R e = Reynoldsin luku Rh= hydraulinen säde, pinta alan ja märän piirin suhde (m) =veden tiheys (kgm 3 ) T= uoman leveys, poikkileikkauksen leveys mitattuna pinnan tasosta u= veden virtauksen nopeus (ms 1 ) = veden kinemaattinen viskositeetti = absoluuttinen viskositeetti/veden tiheys (kg m 1 s 1 /kgm 3 =m s 1 ) y= vedenpinnan korkeustaso tietystä vertailutasokasta laskettuna (m) z = etäisyys vapaasta pinnasta (m) 6. Kirjallisuus Vesiyhdistys, 1986: Sovellettu hydrologia. ISBN x. Mänttä