S FYSIIKKA III (Sf) Syksy 2004, Esimerkkitehtäviä

Transkriptio

1 S-445 FYSIIKKA III (Sf) Syksy 004, Esierkkitehtäviä SfE- Säiliössä, jonka tilavuus on alussa 00 ja aine 0 MPa on hiilidioksidia CO Kaasua uristetaan -tasossa isoterisesti itkin reittiä ABCD (a) Mikä on kaasun tilavuus isteessä B olettaen, että välillä AB kaasu käyttäytyy ideaalikaasun tilanyhtälön ukaisesti? (b) Laske yäristön välillä BC tekeä työ (c) Saako vai luovuttaako kaasu läöä välillä BC? (a) älillä AB kaasu toteuttaa ideaalikaasun tilanyhtälön ukaisesti, joten A B = A = 50,0 B 9 (b) Wext = = 60 MPa 7 =, 0 (c) älillä BC aineen läötila ysyy vakiona vaikka tilavuus ienenee Ideaalikaasun tilanyhtälö ei siis äde välillä BC, koska ennen tiivistyistä kaasun tiheys tulee niin suureksi, että olekyylien väliset vuorovaikutukset täytyy ottaa huoioon älillä BC yäristö tekee työtä kaasuun nähden Lisäksi kaasu tiivistyy nesteeksi Hiilidioksidista joudutaan oistaaan sekä työtä että latenttiläöä vastaava läöäärä SfE- 0 kg 0 C läöistä vettä sekoitetaan yhden baarin aineessa kg jäätä, jonka läötila on 5 C Laske entroian uutos ja läötila, kun tasaaino on saavutettu edelle c = 4,8 0 /( kgk) jäälle c =,09 0 /( kgk) ja faasiuutoksen 5 latenttiläö l =,4 0 / kg arkastelealla läökaasiteetteja huoataan, että jään läittäiseen ja sulattaiseen 0 0 C tarvitaan 688,9 k eden jäähdyttäinen 0 0 C läötilaan antaa 86 k Loutuloksena on siis vettä läötilassa, joka on suurei kuin 0 0 C Ensiäinen ääsääntö voidaan kirjoittaa (käytäe jään sulaisisteelle likiarvoa 7K) jää c,jää ( 7K jää ) + jääl + jää c,vesi( 7K) = vesi c,vesi(9k ) Louläötilaksi saadaan

2 86k 688,9k = 7K + = 759K - kg 4,8k(kgK) eden entroian uutos lasketaan jäähtyiselle vakioaineessa k S = vesi c,vesi ln =,5 9K K ään läeneiseen liittyvä entroian kasvu on 7 k Sjää = jää c,jää ln = K ään sulaiseen liittyvä entroian kasvu on k S = jääl / 7K =,44 K äästä sulaneen veden entroian kasvu on 75,9K k S = jää c,vesi ln = 0,088 7K K Entroian kokonaiskasvu on siis 99/K SfE- arkastellaan sylinteriin suljettua ideaalikaasua, jonka tukean kannen assa on ja inta-ala A Systeei on terodynaaisessa tasaainossa, eikä siinä ole ekaanista värähtelyä (a) os tiedäe, että kaasun läöenergian ja kannen otentiaalienergian sua on U, laske kaasun läötila ja tilavuus (b) Kannen äälle asetetaan seuraavaksi ieni lisäassa ja systeein annetaan hakeutua uudelleen tasaainoon reversiibelisti (entroian vakio) Laske kaasun tilavuus ja läötila, (a) Ideaalikaasu, jonka hiukkasella on f vaausastetta Läöenergian ja kannen otentiaalienergian sua on U : f ν R + g = U A g g Kannen aiheuttaa aine =, joten A = νr = νra ja f g g + = U A A ilavuudeksi ja läötilaksi saadaan U A U = ja = f + g ν R f + (b) ( ) ' = +, ( ) g ' ' ' ' g ' ' =, ' = = A νr νra Kaasu uristuu adiabaattisesti tasaainoon kasvaneen kannen assan kanssa ää edellyttää, että liike-energia, joka vaautuu kannen laskeutuessa saadaan siirrettyä säiliön ulkouolelle,

3 γ γ jonkin häviöekanisin avulla Adiabaattiselle rosesille ätee = ' ' Lisäksi ' ' ' = eli ' =, joten tilavuudeksi saadaan / γ / γ ' = = ' ' ' ' Ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan =, joten läötila on ' ' ' ' ' = = ( / γ ) SfE-4 Adiabaattisessa tilanuutoksessa ätee ideaalikaasulle γ = vakio ohda vastaava yhtälö an der Waalsin kaasulle Ohje: Käytä sisäenergialle lauseketta U U = c a / + vakio ja auneuvona yhtälöä (): c = + S Yhtälön () vasealla uolella alaindeksi S tarkoittaa vakioentroiaa Koska entroia ääritellään yhtälöllä ds = δ Q /, rosessi, jossa entroia on vakio, on saalla adiabaattinen Yhtälö () voidaan siis kirjoittaa vaihtoehtoisessa uodossa: R U c d b g L F =- d S H G M I O U S K + P () Sisäenergiasta saae F HG I NM U a = K, () ja an der Waalsin kaaun tilanyhtälöstä R a = - b - b g (4) Sijoittaalla () ja (4) yhtälöön () saae R ( cd) = d S (5) ( b ) S Searoialla uuttujat saadaan adiabaattiselle rosessille cd d = R, (6) b ( ) josta integroialla uolittain kiinteästä isteestä,, isteeseen : QP W S

4 josta ratkaisealla ( ) ( ) ( ) c ln + Rln b = c ln0 + Rln 0 b = vakio Rc, ln ( b ) = vakio R/ c b + = vakio SfE-5 arkastellaan kahta identtistä kaaletta, oleien yhteinen oinaisläö c ja alkuläötilat ja, issä > Kaaleet on läöeristetty yäristöstä Nää kaaleet toiivat yleänä, ja aleana läövarastona Carnotin koneelle, joka tekee useita differentiaalisen ieniä läöääriä siirtäviä kierroksia siirtäen läöä kaaleiden välillä, kunnes niiden läötila on tasaantunut (a) Osoita, että kaaleiden louläötila on = b g / (b) Osoita, että Carnotin koneen tekeän työn äärä on yhteensä W = νce / - / j (c) Mikä on louläötila, jos kaaleet hakeutuvat adiabaattisesti tasaainotilaan tekeättä työtä? (a) Maksiityö liittyy aina reversiibeliin rosessiin Koneen työaineen ja läövarastojen yhteinen entroia on koko läötilojen tasaantuisen ajan vakio os läöä siirretään kaaleiden välillä Carnotin koneella, kaaleiden ja työaineen entroia ysyy vakiona Erään kierroksen aikana läiään kaaleen entroia ienenee äärällä dsy = δ QY / Missä on läiään kaaleen läötila kyseisen kiertorosessin aikana os louläötila on, niin > > Saalla kyleän kaaleen entroia kasvaa äärällä ds A = δ QA /, issä on kyleän kaaleen läötila kyseisen kiertorosessin aikana, < < Carnotin rosessissa entroiauutosten sua = 0, joten kunkin kierroksen aikana ätee dsy + ds A = 0 fi δqy / = - δqa / Oletae nyt, että läön siirtyinen koneen ja läövarastojen välillä taahtuu vakioaineessa Kuuean kaaleen entroian kokonaisuutos on tällöin z z δq d SY = c c = ν = ν ln, ja kyleän kaaleen z δq z d S A = = νc = νc ln Merkitään uutokset yhtä suuriksi, ja ratkaistaan louläötila: νc ln = νc ln ln = ln = = (b) Koneen tekeä työ saadaan ensiäisen ääsäännön avulla

5 ( ) ( ) ( ) W = Qy + QA = νc + νc = νc + = νc c / / ( + ) = ν ( ) (c) os kaaleet hakeutuvat terodynaaiseen tasaainoon tekeättä työtä, kuuean kaaleen luovuttaa läöäärä on yhtä suuri kuin kyleän kaaleen saaa läöäärä: b g b g b g/ νc - = νc - fi = + SfE-6 Määritä entroian uutos, kun äärä (assa) yksiatoista ideaalikaasua (läötila, aine ) sekoitetaan äärään kaksiatoista ideaalikaasua (läötila, aine ) ilanyhtälöstä: = νr ja = ν R, issä ooliäärät ovat ν = M ja ν = M Ajatellaan, että kaasujen sekoittuinen taahtuu kahdessa vaiheessa: ensin kuikin kaasu laajenee isoterisesti loutilavuuteen = + ja sitten läötila tasaantuu louarvoon isokoorisesti Läötilan tasaantuisessa energian säilyislain ukaisesti: νc( ) = νc( ), issä c ja c ovat ooliset oinaisläökaasiteetit ästä saadaan louläötila νc+ ν c = νc+ νc Yhtälössä ds = du + d on isoterisessä rosessissa du = 0, sillä ideaalikaasun sisäenergia riiuu vain läötilasta Isokoorisessa rosessissa taas d = 0 Näin saadaan entroian uutos kokonaisrosessissa alkutilasta loutilaan: d d d d S = νr + νc R c + ν + ν = νrln + νrln + νcln + νcln ässä on käytetty tilanyhtälöä ja yhtälöä du = ν c d ilanyhtälöstä saadaan: =, = Kun vielä sijoitetaan koonenttien oinaisläökaasiteetit (oletetaan, että kaksiatoisella kaasulla vain translaatio- ja rotaatiovaausasteet ovat virittyneet, ts n = 5), 5 c = R, c = R, saadaan 5 7 S = νrln + νrln

6 SfE-7 Yksi ooli vettä läitetään kvasistaattisesti vakioaineessa läötilasta -0 C läötilaan 50 C Laske veden entroian uutos eden sulaisläö on 6,08 k/ol, höyrystyisläö 40,69 k/ol ään oinaisläökaasiteetti vakioaineessa on 7,67 /(ol K), veden oinaisläökaasiteetti vakoaineessa on 4,8 k/(kg K) ja vesihöyryn oinaisläökaasiteetti vakioaineessa 6,0 /(ol K) iieksi ainittuja arvoja voidaan itää vakioina ao läötila-alueilla L s = 440 cal/ol, L h = 970 cal/ol, c j = 9,0 cal/(ol K), c v = 4,8 k/(kg K), c h = 8,6 cal/(ol K), = -0 C = 5 K, = 50 C = 4 K, ν =,0 ol, =,0 at () ään läitys -0 C:sta sulaisisteeseen 0 s d s cal 7 cal S = ν cj = ν c jln,0 ol 9,0 ln 0,6847 ol K 5 K () ään sulainen: isoterinen ja isobaarinen rosessi δ Q Q νls = = = s s s 7K,0 ol 440 cal ol cal S 5,747 K () eden läitys 0 C:sta kiehuisisteeseen 00 C h - kg 7 S = ν c vln,0 ol 8 0 4,8 0 ln, 48 s ol kg K 7 K (4) eden höyrystäinen: isoterinen isobaarinen rosessi Q ν Lh,0 ol 97 cal ol cal S4 = = 6,06 h h 7 K K (5) Höyryn läittäinen 50 C:seen cal 4 cal S5 = ν c hln,0 ol 8,6 ln,088 h ol K 7 K eden entroian kokonaisuutos on S = S i 6 K SfE-8 arkastellaan sylinteriä (seinäät läöeristetyt), jossa on läöä johtavan ännän erottaina vasealla yksi ooli neonia 4 bar aineessa ja oikealla ooli argon kaasua bar aineessa A F ">=H 6! =HC F > = H 6!

7 Moleien kaasujen läötila on alussa 00 K Mäntä äästetään liikkuaan ja sylinteriin uodostuu tasaainotila Männän ahdollinen liike-energia jää loussa sylinteriin uuttualla kitka häviön kautta läöksi Laske (a) Louläötila (b) Neonin ja argonin tilavuudet loussa (c) Entroian uutos (d) Entroian uutos, jos äntä oistettaisiin louksi sylinteristä (e) os säiliön oleissa osissa olisi alussa argon kaasua, iten kohtien (a)-(c) tulokset uuttuvat? (a) ehtävässä kitkan rooli on ainoastaan vaientaa ännän värähtely Louksi kitkan synnyttää läö siirtyy takaisin kaasuun, koska systeei on läöeristetty Systeein sisäenergia louksi on siis saa kuin systeein sisäenergia aluksi Ideaalikaasun sisäeneriga on ainoastaan läötilan funktio, joten läötila ei uutu Louläötila on siis 00K (b) Kaasujen tilavuudet alussa Ne, = ν R / Ne, = 6 l, Ar, = 49 l Astian kokonaistilavuus = Ne, + Ar, = l Koska kuaakin kaasua on ol, loussa tilavuudet ovat saat:, =, = 05 Ar Ne (c) Entroian uutos Ne, = 6 l, Ne, = 56 l Ar, = 49 l, Ar, = 56 l Ne, SNe, SNe, = νrln ( Ne, ) νrln ( Ne,) = Rln = Rln 5 Ne, Ar, SAr, SAr, = Rln = Rln 065 S = SAr + SNe = 7 ol K (d) Entroian uutos, kun äntä oistetaan loussa Ne, = 6 l, Ne, = l Ar, = 49 l, Ar, = l Ne, SNe, SNe, = νrln ( Ne, ) νrln ( Ne,) = Rln = Rln 5 Ne, Ar, SAr, SAr, = Rln = Rln5 Ar, Ar, S = SAr + SNe = 5 ol K (e) Ei itenkään

8 SfE-9,00 ooli haea (O) on aluksi tilavuudessa,00 d ja läötilassa 7 K Kaasu laajenee isoterisesti tilavuuteen 9,7 d Määritä (a) kaasun sisäenergian uutos, (b) kaasun entroian uutos, (c) kaasun tekeä työ ja (d) kaasun saaa läö an der Waalsin 6 48 Pa 9 kertoiet haelle ovat a = 0,800 0 ja b = 5,86 0 olek olek (a) Sisäenergian uutos on du = ν c d + d Muutos on isoterinen, joten oikean uolen ensiäinen teri on = 0 an der Waalsin tilanyhtälöstä νr ν a νr = = νb νb Sijoittaalla du:n lausekkeeseen ja integroialla saadaan U = ν a,00 ol 0,800 0 Pa ( 6,0 0 ) 0 ol 9,7, (b) Monisteen yhtälöstä (0) saadaan entroian uutokselle lauseke ln ν S R b = ν ν b 5 9,7 0,00 ol,88 0 ol S,00 ol 8,44 ln 9, ol K K 5,00 0,00 ol,88 0 ol ν R ν (c) = a Isoterinen uutos: = vakio: νb νr ν d d W = d = a d R a b ν ν ν = νb ln ν W R b = ν + a ν ν b Sijoittaalla arvot saadaan (huoataan, että voidaan käyttää jo edellä laskettuja lausekkeita): W 7 K 9, 4,8 k K (d) Kaasun saaa läö on ääsäännön ukaan Q = U + W ,0 k

9 SfE-0 Kaale, jonka läökaasiteetti C on vakio, on aluksi läötilassa Se saatetaan kontaktiin hyvin suuren läösäiliön (läötila > ) kanssa Kaale ja läösäiliö saavuttavat keskinäisen tasaainotilan isobaarisessa rosessissa, jossa vain kaaleen läötila uuttuu Määritä universuin entroian uutos ja osoita, että se on aina ositiivinen Koska >, kaale saa läöä säiliöstä, jolloin sen läötila nousee Säiliö oletetaan hyvin suureksi, ikä erkitsee, että sen läötila ysyy uuttuattoana (sen läökaasiteetti on äärettöän suuri) Kun läöäärä δq siirtyy säiliöstä kaaleeseen, kaaleen entroia kasvaa äärän (δq > 0, koska kaale saa läöä) Q ds = δ K, issä on kaaleen sen hetkinen läötila astaavasti säiliön entroia ienenee äärän Q ds = δ S Kaaleen ja säiliön uodostaan systeein entroian kokonaisuutos eli universuin entroian uutos tässä differentiaalisessa rosessissa on ds = dsk + dss = δ Q Koska kaaleen läötila on korkeintaan yhtä suuri kuin, on ds 0 Kaaleen saaa läö voidaan lausua läökaasiteetin avulla: δ Q = Cd Siis ds = C d C d Universuin entroian uutos äärellisessä rosessissa, kun kaaleen läötila nousee :stä :een, on d C S = C d C ln = Nyt itää vielä osoittaa, että saatu S:n lauseke on aina ositiivinen Sitä varten erkitään = x Silloin, käyttäällä ln(+x):n sarjakehitelää, saadaan b g L O, NM QP S C x x C x x = x 4 ln = joka on varasti ositiivinen, sillä 0 x ( )