S FYSIIKKA III (Sf) Syksy 2004, LH 2. Ratkaisut

Transkriptio

1 S-445 FYSIIKKA III (Sf) Syksy 4, LH Ratkaisut LHSf-* Tarkastellaa metallii tehtyä oteloa, jossa o vakuumi (tyhjö) Voidaa osoittaa, että vakuumi täyttää sähkömageettise ketä kvattie eli fotoie muodostama kaasu Fotoie eergia ja liikemäärä välie yhteys o = cp Olettamalla fotoie ja otelo seiämie väliset törmäykset elastisiksi johda käyttäe hyväksi aalogiaa opetusmoistee lukuu fotoikaasu tilayhtälö pv = U, missä U o kaasu kokoaiseergia Tarkastellaa ala A kokoista palaa otelo seiämästä joho absorboituu ja josta emittoituu fotoeja (Kuva ) Lasketaa alaa A osuvie fotoie määrä aikaa [t,t +dt] Fotoit, jotka osuvat pialle A hetkellä t ovat hetkellä t= puolipallo kuorella, joka säde o ct Kuore paksuus, joka sisältää kaikki pitaa A aja dt kuluessa osuvat fotoit, o c dt Kuva Kuva Tarkastellaa aluksi iitä fotoeja, jotka sijaitsevat pallokuoresta kahde yhdesuutaise taso avulla leikatulla ohuella rekaalla Rekaassa o fotoeja yhteesä: dn Regasyht =(rekaa kehä pituus) x (rekaa poikkipita-ala) x (kokoais fotoitiheys) = ( rcos )(cdt rd ) = cr cos d dt Pita A äkyy rekaasta avaruuskulmassa pia A kohtisuora projektio Asiθ dω = = etäisyyde eliö r Rekaassa olevista fotoeista osuu pitaa A dω dn = dn Regas Re gasyht 4π Absorboituvie fotoie liikemäärä o keskimääri P ja emittoituje P (kuva ) Fotoie liikemäärä muutos o

2 P = P ' P dn = Psi θ dn = cpacosθ si θ dθ dt Regas Regas Regas Nyt voidaa laskea liikemäärä muutos koko pallokuorelta pialle A osuville fotoeille itegroimalla kulma yli π / P = PRe gasdθ = cpadt Seiämä saama impulssi o liikemäärä muutos Fdt = P = cpadt ja pitaa A kohdistuva paie F p = = cp A pv = cpv = N = U LHSf-* Voidaa osoittaa, että musta kappalee säteily eergiatiheydelle pätee Stefa- 5 4 σ 4 π k Boltzmai laki: U = 4 VT, missä σ = o Stefa-Boltzmai vakio, c valo c 5h c opeus ja T seiämä lämpötila Kelvi asteissa Käyttämällä fotoikaasu tilayhtälöä pv = U laske, missä lämpötilassa fotoikaasu paie o atm Sijoitetaa tilayhtälöstä saatava eergiatiheyde lauseke Stefa-Boltzmai lakii ja ratkaistaa lämpötila suhtee: / 4 / 4 cu pc T = = 4σ V 4σ Sijoittamalla tähä vakioide arvot ja paiee arvoksi p = Pa saamme lämpötilaksi T= 46 K 5 LHSf-* Aa MB-statistiika mukaie määritelmä etropialle (ks luku ) ja kerro etropia fysikaalie merkitys Olkoo systeemissä N hiukkasta ja kaksi omiaistilaa eergiat, ( g i = ) ja miehitysluvut, Systeemi o kytketty lämpövarastoo, joka lämpötila o T Ku eergiakvatti emittoituu lämpövarastoo, muuttuu tiloje miehitys ja + Ku,, laske (a) N-hiukkassysteemi etropia muutos ja (b) lämpövarasto etropia muutos (c) Johda käyttäe (a) ja (b) kohtie tuloksia Boltzmai relaatio miehityslukuje suhteelle (Vihje: Aseta kokoaisetropia muutos ollaksi)

3 tropia l ( ) S = k B Ω, missä Ω o systeemi mikrotiloje lukumäärä tropia o systeemi epäjärjestykse mitta (a) tropia muutos o N! N! Sa = k l k l ( )!( )! +!! ( ) N!!! = k l = k l ( )!( )! N! + + k l (b) Nyt etropia muutos saadaa yhtälöllä ds = δq / T, jote lämpövarasto etropia muutos o Sb = T (c) Kokoaisetropia muutos o S = S + S =, josta saadaa TOT a b k l = T = e LHSf-4* Atomie tasapaioetäisyys vetymolekyylissä o,8 m Sidokse voimavakio o 58 N/m Laske eergia, joka tarvitaa virittämää vetymolekyyli (a) ali rotaatiomoodi, (b) ali värähtelymoodi Mitkä ovat vastaavat kyyslämpötilat? ro =,8 m, k = 58 N/m (a) Pyörimiseergia o Hitausmometti I o sillä m = m = m vedylle Ali rotaatiomoodi vastaa l: arvoa, jote r = l ( l + ), l =,,,, I m m I = r = r = m r o o o m + m 4 ( ) 7-9 ( ),55 J s = =,, 66 kg, 8 m r mi I m ro Kyyslämpötila o,, J m ev

4 θ (b) Värähtelyeergia o Piei virityseergia o = 75,9 K 76 K k, 8 J K r mi, 95 J r mi = + = v vmi Värähtely peruskulmataajuus o ωo,,,,, = + ω ω = ω o o o k k ω = o = m k 4 58 N m v =, 55 J s 8, 8 J, 55 ev mi 7 m,, 66 kg Kyyslämpötila o vmi 8, 89 J θv = 69 K 64 K mi k, 8 J K Huomaa, että kyyslämpötilat o yllä määritelty suhteessa pieimpää virityseergiaa hiema eri tavalla värähtelylle ja rotaatiolle Tällä ei ole suurta merkitystä koska lämpötilat ovat vai suuruusluokka-arvioita ao liikelajie aktivoitumiselle LHSf-5 Tutkitaa systeemiä, jossa o varattuja hiukkasia (varaus e) tilavuudessa V Hiukkasii vaikuttaa z-akseli suutaie sähkökettä ja e ovat termisessä tasapaiossa lämpötilassa T (a) Olkoo ( z ) hiukkastiheys korkeudella z Ratkaise vakio C yhtälöstä d dz = C (b) Oletetaa, että hiukkaste liikettä kuvaa diffuusiovakio Ratkaise hiukkasvirta J käyttämällä (a)-kohda kosetraatio gradiettia sekä diffuusiovakiota (c) Oletetaa lisäksi, että hiukkaste liikettä kuvaa liikkuvuus, joka liittyy sähköketä aiheuttamaa ajelehtimisopeutee (drift velocity) Ratkaise liikkuvuutee liittyvä hiukkasvirta J (d) Tasapaiotilassa hiukkasvirtoje summa täytyy olla olla Käyttämällä e tätä ehtoa johda isteii relaatio liikkuvuude ja diffuusiovakio välille: = k T (a) Hiukkase potetiaalieergia sähköketässä o u = Pisteessä z = potetiaalieergia o olla, jote MB-jakauma mukaa u( z) u() ( z) = e = e Tasapaiotila kosetraatiojakaumaksi saadaa siis ( z) = e, missä o kosetraatio kohdassa z = Kysytty vakio saadaa derivoimalla kosetraatio lauseke

5 d ( z ) = e e = C ( z ) dz e C = (b) Käyttämällä diffuusiovirra määritelmää saadaa d( z) e J = e dz = (c) Sähköketä aiheuttama ajelehtimisopeus o v = Hiukkasvirta saadaa opeude ja kosetraatio avulla J = ( z) v = ( z) = e (d) Tasapaiossa kokoaishiukkasvirta o olla, eli J + J = Saadaa e J + J = e + e = e =