No , s

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "No 3 1988, s. 3... 13"

Transkriptio

1 TASA-ARVOKAYRIEN ESITTAMINEN KONTROLLOIOULLA TARKKUUOELLA REKURSIOTA HYVASIKAYTTAEN Jorma Kolio Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 21 No , YHTEENVETO: FEM-lakennan graafiet eityket palvelevat eniijaieti lahtotietojen tarkitukea ja tuloten havainnollitamiea. Tuloten oalta niita voidaan nopeati kartoittaa tarkeat alueet, jonka jalkeen tarkat lukuarvot joudutaan kuitenkin joku etimaan tulolitoilta tai -tiedotoita. Monipuoliet, luotettavat ja tarkat graafiet eityket vahentavat tulotiedotojen elailu- ja tallennutarvetta eka opivat erinomaieti nykyiin yleityvien julkaiujarjetelmien aineitoki. Taa kirjoitukea eitetaan taa-arvokayraalgoritmi, jonka tarkkuu on kayttajan kontrolloitavia. Sen liatavoitteena on tuottaa taa-arvokayraeity mahdolliimman vahan vektoreita eka tietokonereureja kayttaen. Algoritmi on elkeati ohjelmoitavia. Rekuriota tukemattomiakin kielia voidaan kayttaa, koka rekurio ei kaytannon tapaukia ulotu 3-6 taoa yvempaan. Kirjoitukea eitetaan liaki joitain tulotuuureita ja eitytapoja, joita yleiohjelmat eivat tavallieti tue. JOHOANTO Taa-arvokayrien perinteiin ovellu lienee maaton korkeukayrien eittaminen; kayran piteiden korkeu tietyta vertailutaota mitattuna on vakio. Vataavati FEM-lakennaa havainnollitetaan ueiden uureiden jakaumia taa-arvokayrin. Valitaan opiva tao (20-tapaukia perutao, 30-tapaukia uein jakin leikkautao), talta taolta alue A eka eitettava uure f (kuva 1). Taa-arvokayra on niiden piteiden ura, joia 3

2 uureella on ama ennalta valittu arvo. Seuraavaa tehtavaan kekitytaan FEM-lakennan kannalta, vaikkakin eitettavaa algoritimia voidaan kayttaa muiakin ovellukia, eim. analyyttiten ja mitattujen funktioiden havainnollitamiea, pintoje n taoleikkaukia jne. Te rmilla tarkkuu tarkoitetaan taa euraavaa: mita parempi tarkkuu, ita paremmin algoritmin tuottama taa-arvokayra euraa kaytetyn interpolaation mukaita taa-arvokayraa. Toiaalta aatujen taa-arvokayrien kulku voi antaa viitteita myo varinaien ratkaiun tarkkuudeta. FEM-INTERPOLAATIO Funktiota kuvataan jakamalla tarkateltava alue oa-alueiiin eli elementteihin. Kunkin elementin alueella funktiota approkimoidaan elementtityypille ominaiilla interpolaatiofunktioilla, lahde /1/. Tavallieti vain funktio, eivat enaa en derivaatat, on jatkuva kahden vierekkaien elementin yhteiella reunalla. Taa eitykea kaitellaan 6- ja 8- olmuiia ioparametrii.a kolmio- ja nelikulmioelementteja. Monille muille elementtityypeille tehtava voidaan kaitella vataavaan tapaan. bfr- / J::;.f A f~ ~--- / 6- ja 8- olmuiet elementit Kuva 1. Funktion f taa-arvokayria alueea A ja tyypillinen elementtijako. Mikali piirrettava uure on analyyin perutuntematon, eim. iirtymauure tai lampotila, ita interpoloidaan ioparametriia elementeia amoilla funktioilla kuin elementin geometriaa- 4

3 kin. Johdannaiuureita, eim. jannitykomponentteja, kuvaavat interpolaatiofunktiot ovat kaarevareunaiia elementeia yleena luonnolliten koordinaattien r ja uhteen korkeampiateiia murtofunktioita. Tavallieti yleiohjelmia interpoloidaan kaikkien uureiden taa-arvokayrat amalla tavalla, perutuen olmupiteia maarattyihin kekiarvoihin ja elementtien jakamieen opiviin alikolmioihin. Nain eitetyt taa-arvokayrat ovat jatkuvia, mutta aadaan ehka liian optimitinen kuva ratkaiun tarkkuudeta. Mikali uureet eitetaan ilman taoitukia ja "todelliia" interpolaatiofunktioita kayttaen, voidaan elementin reunoilla eiintyvata epajatkuvuudeta arvioida myo ratkaiun tarkkuutta ja havaita alueita, joia verkon tihentaminen on tarpeen, lahde /2/. Taa eitykea tarkatellaan eniijaieti uuretta, jota voidaan interpoloida ioparametrieti. Muiden interpolaatiofunktioiden kaytto ei aiheuta periaatteelliia muutokia algoritmiin. Talloin tarvitaan vain luotettava korkea-ateiten polynomien juurten ratkaiija, ja muotofunktioiden oittaiderivaattojen (kantakoordinaattien x ja y uhteen) lauekkeet on tallennettava kertoimittain, jotta eim. jannitykomponenttien lauekkeet voidaan kirjoittaa ainoataan toien luonnollien koordinaatin funktiona, kun toita pidetaan vakiona. PERUSALGORITMIN KUVAUS Kutakin taa-arvokayraa etitaan elementtikohtaieti, eli haetaan kayran kaikki oat yhden elementin alueelta ja iirrytaan itten kaittelemaan euraavaa. Mikali taa-arvokayralla on ueampi kuin yki oakayra elementin alueella, ei voida uoraan paatella, mitka taa-arvokayran ja elementin reunojen leikkaupiteet kuuluvat amalle oakayralle. Kayran euraaminen tata tilanteeta lahtien on joku epaluotettavaa, eim. iteratiivinen elementin reunalta lahteva algoritmi voi erikoitapaukia harhautua vaaralle kayran oalle. Ongelma voidaan ratkaita rekuriota kayttaen. Nelikulmioelementti jaetaan neljaan oanelikulmioon ja kolmioelementti vataa- 5

4 vati neljaan oakolmioon (kuva 2). Jako on edullita tehda luonnolliten koordinaattie n uuntaieti, koka talloin taaarvokayran ja oa- alueen reunojen leikkaupiteet ratkeavat help ommin. Toinen tuntematon on vakio, joten taa kaytetya ioparametriea interpolaatioa tarvitaan vain toien ateen yhtalon ratkaiu yhden tuntemattoman uhteen. Oa-alueiden jakoa jatketaan, kunne taa-arvokayra leikkaa alueen reunat vain kahdea piteea. Taman jalkeen tutkitaan kayran eitytarkkuu ko. oa- alueea. Taa-arvokiiyrii Taa- arvokayra Kuva 2. Elementin jakaminen oa- alueiiin. ESITYSTARKKUUDEN KONTROLLOINTI Kun kayra leikkaa oa-alueen reunaa vain kahdea piteea, vataavat kantakoordinaatiton piteet voidaan lakea ja eittaa kayra karkeati vain yhditamalla piteet. Nain tapahtuu myo eitettavaa algoritmia, jo kaytetaan hyvin loyaa tarkkuuvaatimuta.. Tarkkuutta voitaiiin parantaa ykinkertaiimmin jatkamalla rekuriivita aluejakoa, kunne aetettu tarkkuuvaatimu aav u tetaan. Menettelytapa tuottaa kuitenkin paljon vektoreita eitytarkkuuteen verrattuna, ei ole kovin edullinen tietokoneajan uhteen ja liaki rekurio ulottuu tarpeettoman yvaan. Kayralta edellytetaan, ettei minkaan oajanan kekipiteen etaiyy kekinormaalin uunnaa todellielta kayralta ole annettua toleraniarvoa uurempi. Kokeiltiin algoritmia, joa Newton iteraatiota kayttaen haettiin lahin kekinormaalin uunnaa oleva todellinen taa- arvokayran pite. Se johti lahe amaan vektorimaaraan kuin euraavaa eitettava tapa (vain n. 6

5 1-2% vahemman), mutta vaati tetitapaukia n. 50% enemman tietokoneaikaa. Koka Newton iteraatio ei myokaan valttamatta aina uppene, en kaytota luovuttiin. Kuva 3. Oakayran tarkkuu ja tarkentaminen. Valitua menetelmaa laketaan kaanteien ioparametrien kuvaken avulla luonnolliten koordinaattien piteita A ja B vataavat arvot. Kuvaa 3 aiaa on havainnollitettu kayttamalla oa-alueena nelikulmioelementin "oikeata ylaneljanneta" ja kolmioelementin "ylinta kolmanneta". Edelleen laketaan funktion arvot em. piteia. Mikali haettava taa-arvo ijoittuu naiden arvojen valiin, eitytarkkuu hyvakytaan. Ehto ei kuitenkaan ole aina tayin tyydyttava. Korkeaateien interpolaation yhteydea voi eiintya eim. kuvan 4 mukainen tilanne, jolloin kayra ei ole riittavan tarkka, eika algoritmi ita havaite. Aia voidaan korjata uorittamalla tarkitu ueammaa janteen piteea. Nain voidaan tehda, koka tarkitu on hyvin nopea. Parabolielle ioparametrielle kuvaukelle tarkitu vain janteen kekipiteea on yleena hyvakyttavaa. r Kuva 4. Korkea-ateinen interpolaatio. 7

6 OSAKAYRAN TARKENTAMINEN Kuvaa 3 on eitetty oakayran tarkentamien periaate. Oa-alue "halkaitaan" pitaen vakiokoordinaattina ita luonnollita koordinaattia, jonka koordinaattiero janteen paia on uurin. Halkaiu tapahtuu janteen kekipiteen kautta. Leikkaupiteet ratkeavat jalleen ioparametrielle kuvaukelle yhden tuntemattoman toien ateen yhtalota. Myo tama vaihe on rekuriivinen, eim. kuvaa 3 jana 0-x on jouduttu puolittamaan ja edelleen janaa 0-1 jakamaan piteeeen 3 aakka. Jo jana 0-3 tayttaa tarkkuuvaatimuken, e eitetaan. Seuraavaki tarkitetaan jana 3-2. Tarvittaea ita jaetaan edelleen ja jatketaan amoin janojen 2-1 ja 1-x kana. Taa-arvokayrien liaki amaa algoritmia voidaan kayttaa myo elementtien reunakayrien eittamieen. Algoritmi tuottaa oa-alueen janat jarjetykea, mika helpottaa mahdollieti tarvittavaa lajittelua. KORKEAMPIASTEISET FUNKTIOT Jannitykomponentit voidaan eittaa Hooken lain ja iirtymaderivaattojen avulla. Jo kirjoitukea eitetyille kaarevareunaiille elementtityypeille johdetaan taojannitytilan jannitykomponenttien riippuvuu olmuiirtymita luonnolliten koordinaattien avulla lauuttuna, paadytaan murtofunktioihin, joiden eka oottaja etta nimittaja ovat neljannen ateen polynomeja. Mikali toita koordinaattia voidaan pitaa vakiona, ateluku on kolme. Kirjoitettiin rutiinit, jotka uorittavat polynomiaritmetiikan pitaen kunkin polynomin termin "erillaan". Nain jannityjakauma voidaan lauua uoraan luonnolliten koordinaattien funktiona. Kuitenkin jannitykomponenttien lakenta tata funktiota kayttaen edellyttaa enemman lakutoimitukia, kuin tavanomainen muotofunktiokutuun perutuva. Tat~ havainnollitaa euraava liukulukuproeorilla va rutetulla tietokoneella lakettu taulukko. 8

7 Taulukko 1. Taojannitytilakomponenttien ratkaiuaika 8-olmuiea kaarevareunaiea elementia kahdella eri menetelmalla. 1 Tavanomaiten muo- Murtofunktion! tofunktioalioh- avulla lakien l Samata elementita jelmakutujen tarvittava 1 lakettujen janni- edellyttama aika aika 1 Aikojen :::: ~tei:e~- - lkm. 1 _r J 0 _. 00 ~ l - -l-~l 0 _._0 _ 66 -f -::~: Vaikkakaan menetelma ei nayta tarjoavan teholiayta jannitykomponenttien lakentaan, e on ilti hyodyllinen algoritmeia, joia tuntemattomien erotteluta on etua. Kirjoituken menetelmaa tama mahdollitaa korkea-ateiia polynomeia yhden tuntemattoman kaittelyn kahden yhtaaikaien ijaan. MAHDOLLISIA ERIKOISTAPAUKSIA Era algoritmin tarkeimmita vaiheita on taa-arvokayran ja oaalueen reunojen leikkaupiteiden luotettava maarittaminen. Kuvaa 5 on eitetty kaki erikoitapauta. Kayra 1 leikkaa alueen reunan ja kulkee yhden en kulmapiteen kautta. Algoritmin on nainollen hyvakyttava leikkaupiteina myo reunan paatepiteet ja uodatettava paallekkaiet poi. Kayra 2 puoletaan havainnollitaa tapauta, joa kaki leikkaupitetta eivat viela takaa ita, etta kayra olii alueea. \ I \ 2 Kuva 5. Erikoitapaukia. Erikoitapauket voidaan ohjelmoida hyvin, mikali liaki on kaytettavia myo luotettava polynomin juurten ratkaiija. Tetiohjelmaa on tarkoitukellieti kaytetty opivia taa-arvokayrien kokonailukuarvoja, jotta vaikeimmat mahdolliet tapauk- 9

8 et aataiiin nakyviin. eiintyvat harvoin. Kaytannon tapaukia nama tilanteet VEKTOREIDEN LAJITTELU Kayttaja aattaa "varmuuden vuoki" valita tarpeettoman tiukan toleraniarvon, mika ei valttamatta paranna eityken elkeytta, mutta liaa aina vektorimaaraa (kayran kuvaamieen tarvittavia janoja) ja tietokoneen proeointiaikaa. Kun tulotulaitteen erotukyky ylitetaan, eity voi eim. kynapiirtureiden oalta jopa huonontua liaantyvien kynan notojen ja lakujen takia. Viimekimainittua haittaa voidaan korjata huomattavati jo lajittelemalla vain elementin alueen oajanat. Mikali amalla eitetaan myo elementtien reunaviivat, kynan notot ja lakut ijoittuvat elementtien reunoille, eivatka nainollen erotu. Eityken elkeyden liaki lajittelu on edullinen myo tiedotokoon uhteen. Jatkuvalle murtoviivalle tallennettavia koordinaattipareja tarvitaan vahemman. Ohjelmaa voidaan myo tarkitaa kayttajan antama tarkkuuvaatimu ja aataa e tulotulaitteen tarkkuutta vataavaki, jo tama ylitetaan. MUITA TULOSTUSSUUREITA JA ESITYSTAPOJA Yleikayttoiten FEM-ohjelmien taa-arvouureiden valikoima on joku liian uppea kattaen eim. vain lampotilan, jannitykomponentit ja vertailujannityket. Uein eim. iirtymat puuttuvat. Varinkin pinnan normaaliiirtymat ovat hyvin hyodylliia kuorirakenteiden iirtymatilan ja lommahdumuotojen tarkateluia. Mallin taoleikkaukita havaitaan nopeati pintojen muotovirheet ja -epatarkkuudet. Talloin ite aiaa on kyymy mallin geometrian taa-arvokayrita. Kolmidimenioiten elementtien taa-arvokayrat eitetaan tavallieti valitemalla leikkautao ja tarkatelemalla taa- 10

9 arvouureen kayttaytymita taa taoa. Joiakin tapaukia luontevampi ja parempaan l opputul okeen johtava tapa olii valita kerro toiiina liittyvia e lementteja, eim. rakenteen pintaan rajautuvat elementit. Mikali pinnan normaalia vataava luonnollinen koordinaatti aa kuakin elementia vakioarvon, yntyy mallin muotoa myotail eva pinta. Nyt voidaan tutkia taa-arvouur een kayttaytymita talla pinnalla vain kahden luonnollien koordinaatin funktiona. Lopullinen eity olii taman pinnan opiva pro jektio. Ioparametriea kuvaukea kayrat voidaan lakea aivan vataavaan tapaan kuin taa kirjoitukea kaitellyille elementeille, jopa muotofunktiotkin ja niiden derivaatat voidaan ratkaita vain 2 x 2 Jacobin matriiia kayttaen, lahde /3/. Elementin olmua laketun jannityeron iteiarvo vataavan olmun kekiarvojannityken iteiarvoon verrattuna tuottaa taaarvoeityken, jota havaitaan elkeati verkon epatarkat alueet. On ymmarrettavaa, ettei kaikkia kayttajien toiveita kyeta tayttamaan uoraan ohjelman uurevalikoimalla. Kuitenkin tilannetta voitaiiin ehka korjata allimalla kayttajan aliohjelma, joka aa FEM-ohjelmata parametreikeen laajan peruuureiden valikoiman. Kayttajan tulii maaritella oma uureena peruuure i den avulla, jolloin amalla maaraytyii myo ko. uureen interpolaatiofunktio. Eityken havainnolliuutta voidaan liata eim. piirtamalla poitiiviia ja negatiiviia arvoja vataavat kayrat eri vareilla tai viivatyypeilla (kuva 6). Kayrat voidaan myo eittaa kolmiulotteiina projioimalla ne halutulle taolle (kuva 7). Kolmiulotteiet kayrat voidaan nayttaa myo animaationa. Mikali eri katelupiteita piirretyt projektiot ladataan tyoaeman eri muititaoille tai -egmentteihin, niita voidaan vaihdella hyvin nopeati ja nain eittaa animaatio kiertyvata kohteeta. OHJELMOINTIIN LIITTYVAA Parhaiten algoritmin ohjelmointiin opinevat joko C-kieli tai Pacal, koka ne jo nyt tukevat rekuriiviia funktiokutuja. ll

10 Algoritrnin peruverio on kuitenkin ohjelrnoitu Fortran77-kielella varautuen rekuriotaoon 7 aakka, rnika on kaikia tetitapaukia hyvin riittanyt. Mikali rekurio ulottuu yvernpaan elernentin oa-aluejaon yhteydea kyeiia oa-alueia olevat taa-arvokayrien oat jaavat kokonaan eittarnatta. Jo taa ylity tapahtuu oakayran tarkentarnivaiheea, kayra eitetaan illa tarkkuudella, kuin yvin rekuriotao en allii. Rekuriotaon yvyy aetetaan Fortranilla ohjelrnoitaea koodin kirjoituvaiheea, ja e vaikuttaa koodin rnaaraan. Kuvan 6 taa-arvokayrat on eitetty tarkkuuparametrin tol arvolla kuvan ivumitta I 27000; kuvaa on 3530 vektoria. Lakenta ja eityaika n. 1 Mip tehoiella tyoaematietokoneella on n. 55 ek. Kuva 6. Taaivuien kolmio- ja uorakaideprofiilien vaantokayritymifunktion taa-arvokayrat, lahde /4/. Kuva 7. Projiioidut taa-arvokayrat (kuvaa on rnuokattu CADohjelrnalla). 12

11 Kaytannoa nain uurta eitytarkkuutta tukin tarvitaan. Uein on tarkeampaa, kuinka hyvin elementtien muotofunktiot interpoloivat todellita funktiota. Eim. kuvaa 6 nakyvia taa-arvokayria on lievaa aaltoilua; kaytetty elementtijako on uhteellien harva. Kokeneellekin kayttajalle em. mahdolliuudet aattavat liata tuloten tulkintanopeutta, mutta parhaimmillaan ne lienevat raportoitaea ja eiteltaea lakentoja muille henkiloille. FEMlakentaahan pidetaan joku hieman "etaiena" aiana. Syy voi joku olla myo eitytekninen. KIITOS Lopuki haluaiin kiittaa tekn. tri. Eero-Matti Salota ja dipl.in. Jouni Freundia huolellieta kaikirjoitukeeni perehtymieta ja hyvita huomautukita. LAHTEET [1] K-J. Bathe, Finite element procedure in engineering analyi. Prentice - Hall, inc [2] T. Suman, K-J. Bathe, Studie of finite element procedure - tre band plot and the evaluation of finite element mehe. Eng. Comput., 1986, Vol. 3, [3] B. Iron, S. Ahmad, Technique of finite element, John Wiley & Son, New York 1980, [4] A. Ylinen, Kimmo ja lujuuoppi II, Werner Sodertrom Oy, Porvoo 1970, Jorma Kolio, dipl.in., Valmet paperikoneet Oy 13

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen

Lisätiedot

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06 NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.0.06 Siniellä värillä on eitetty rakennuala/rakennualan oa, joka ijaitee kahden metrin korkeukäyrän alapuolella. Silta Epoon Suviaaritoa. Yleitä Aemakaavaonnoken

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan ESPOO 00 VTT TIEDOTTEITA 8 Tuoma Palopoki, Jukka Myllymäki & Heny Weckman Luotettavuutekniten menetelmien oveltaminen uheiluhallin poitumituvalliuuden lakentaan VTT TIEDOTTEITA RESEARCH NOTES 8 Luotettavuutekniten

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Tarpeenmukainen ilmanvaihto

Tarpeenmukainen ilmanvaihto YLEISKUVAUS Tarpeenmukainen ilmanvaihto Huipputuotteet tarpeenmukaieen ilmanvaihtoon! www.wegon.com Tarpeenmukainen ilmanvaihto tarjoaa hyvän viihtyiyyden ja pienet käyttökutannuket Kun huone on käytöä,

Lisätiedot

020* 23 8,7 0,4 0,6 780 1400 397 355 510 645 95 0,20 2000 130 025 23 17 0,8 1,4 800 1450 488 434 540 690 110 0,25 3500 225

020* 23 8,7 0,4 0,6 780 1400 397 355 510 645 95 0,20 2000 130 025 23 17 0,8 1,4 800 1450 488 434 540 690 110 0,25 3500 225 Standard lkuperäinen Standardikouran tupla ylinterit* antaa matalan ja taaien akelikuormituken, joka tarkoittaa pienempää kulumita. Kärkien uunnittelu ja muotoilu mahdollitaa kouran pehmeän ja nopean täytön,

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT 4 HAJOTUSTHTÄVÄ SÄHKÖST PUSSUUT -auton akku (84 V, 700 mah on ladattu täyteen Kuinka uuri oa akun energiata kuluu enimmäien viiden minuutin aikana, kun oletetaan moottorin ottavan vakiovirran 5 A? Oletetaan

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner 12 viikon kilpailuuunnitelma--kilpailumatka: printti Urheilijan tao: aloitteleva urheilija, 1 tai 2 vuoden kokemu printtitriathlonkilpailuita Tunteja viikoa: 5-6 Tätä harjoituuunnitelmaa käytetään Garminin

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille Nokian kaupungin tiedotulehti Kolmenkulman yritykille Hyvä nykyinen ja tuleva kolmenkulmalainen U ui yrityalueemme alkoi yntyä Öljytien varteen ijaitee Nokian puolella. Tampereella iitä on yli 200 heh-

Lisätiedot

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A TAMPEREEN KAUPUNKI Raitiotien varikkoalueen aemakaavan nro 8600 viiteuunnitelma Raportti FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY P26458 Raportti 1 (6) Siällyluettelo 1 Yleitä...

Lisätiedot

Ympäristöministeriön asetus puurakenteista. Annettu Helsingissä 6 päivänä lokakuuta 2000

Ympäristöministeriön asetus puurakenteista. Annettu Helsingissä 6 päivänä lokakuuta 2000 B0 SUOMEN RAKENTAMISMÄÄRÄYSKOKOELMA YMPÄRISTÖMINISTERIÖ, Aunto- ja rakennuoato Puurakenteet OHJEET 00 Ympäritöminiteriön aetu puurakenteita Annettu Helingiä 6 päivänä lokakuuta 000 Ympäritöminiteriön päätöken

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA LUKION FYSIIKKAKILPAILU 0..009, ratkaiut PERUSSARJA Vataa huolellieti ja iititi! Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooite, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on 00 inuuttia.

Lisätiedot

Äänen nopeus pitkässä tangossa

Äänen nopeus pitkässä tangossa IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu

Lisätiedot

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat Tieto- ja palvelutalouden laito / logitiikka Teknologiakehitytä ei voi pyäyttääj Luento 11 e-hankinnat Tietotekniikka otamien apuvälineenä Erilaita teknologiaa Miten ähköitämieä tulii edetä Cae etapharm

Lisätiedot

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut ... MOVING HED Rexnord Laatuketjut Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimuketjut Siällyluettelo Rexnord-laadun ominaiiirteet......................... 6 7 Huomioita ketjun valinnata...........................

Lisätiedot

Materiaalien murtuminen

Materiaalien murtuminen Määritelmä: Materiaalien murtuminen r Fracture i the eparation, or fragmentation, of a olid body into two or more part under the action of tre Murtumiproei voidaan jakaa kahteen oaan 4 Särön ydintyminen

Lisätiedot

1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4.

1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4. 1 LAIUURIN RAKENNE JA OINAISUUDET KÄYTTÖKOHTEET 3 UURITYYPIT 4 LASKENTAOTAKSUAT 3 4.1 ateriaalien ominaiuudet 3 4. aanpaine 3 4.3 uurin ketävyy npaineelle 4 4.4 Kaatumi- ja liukumivarmuu 5 4.4.1. Kaatumivarmuu

Lisätiedot

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA Fyiikkakilpailu 6.11.007, avoimen ajan vatauket AVOIN SARJA Kijoita tektaten koepapeiin oma nimei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nimi ekä koului nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä-

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2002

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2002 MAOL-Piteityhjeet Fyiikka kevät 00 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -/3 p - lakuvirhe, epäielekä tul, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuer liikaa -0

Lisätiedot

PT-36 Plasmarc-leikkausarvot

PT-36 Plasmarc-leikkausarvot PT-36 Plamarc-leikkauarvot Leikkauarvojen opa (FI) 0558007661 Verion 8.1 releaed on 28Oct11 VARMISTA, ETTÄ KÄYTTÄJÄ SAA NÄMÄ TIEDOT. VOIT TILATA MYYJÄLTÄ LISÄÄ KOPIOITA. VARO OHJEET on tarkoitettu kokeneille

Lisätiedot

Kouvolan kaupunki. Tarjouspyyntö 28733/2015 Päiväys 23.03.2015

Kouvolan kaupunki. Tarjouspyyntö 28733/2015 Päiväys 23.03.2015 1/19 TARJOUSPYYNTÖ 28733/2015 Apteekkien koneellinen lääkepalvelu ja toimitupalvelu 1. Hankintaykikön perutiedot Hankintaykikkö: Heli Mäkinen Suomi puh. +358 206154012 Tarjouket lähetettävä: Tarjou tai

Lisätiedot

Käyttöohje Verio maalikuu 25 TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: ) Lue nämä ohjeet HUOMIO: VAROITUS: Sähköikulta välttyäkenne ei päällykantta (tai tautaekti kantta) tule

Lisätiedot

FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP. www.brother.eu. www.brother.fi

FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP. www.brother.eu. www.brother.fi INTERGRATED INTEGROITUJA BUSINESS TULOSTUSRATKAISUJA PRINT SOLUTIONS FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP www.brother.eu www.brother.fi UUSI BROTHER VÄRILASERMALLISTO AMMATTIKÄYTTÖÖN - INTEGROITUJA TULOSTUSRATKAISUJA

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2010

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2010 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 010 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

KANTRI 2007 KONTIO KANTRI. www.kontio.fi Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri.

KANTRI 2007 KONTIO KANTRI. www.kontio.fi Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri. KANTRI 2007 KONTIO KANTRI Kontio Kantri - uomalaiille tehty uui huvilamallito, joa on ripau Amerikan herkkuja. www.kontio.fi Ooitelähde: Kontiotuote Oy:n aiakarekiteri. KANTRI ON KONTION UUS Kontion uui

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI KILPAILUKYKYÄ INVESTOIJILLE JA YRITYKSILLE Jäämeren rautatie parantaa yrityten ja invetoijien toimintamahdolliuukia arktiella alueella. Uuia

Lisätiedot

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään - ja netekaaukäyttöiet vatapainotrukit Suunniteltu toimivaki... rakennettu ketämään 4 ja 5 tonnin polttomoottoritrukkien tehokkuu ja legendaarinen luotettavuu vaikeimmiakin olouhteia on jo vuoia ollut

Lisätiedot

Lyhyt käyttöopa Verio 1.1 yykuu 2003 SUOMI TURVALLISUUSOHJEET YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lukekaa nämä ohjeet. 2) Säilyttäkää nämä ohjeet. 3) Huomioikaa kaikki varoituket. 4) Seuratkaa kaikkia

Lisätiedot

Pikaohje Verio 1.0 marrakuu 2002 www.behringer.com SUOMI TURVALLISUUSOHJEET VAROITUS: Älä poita kantta (tai takaoaa) ähkäikuvaaran vähentämieki. Siällä ei ole käyttäjän huollettavia oia; käänny huolloa

Lisätiedot

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa?

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa? Suomen Riita : 79 (14) Ajoketjuta eiontahaukkuun miten pyäyttävien koirien käytötä tuli hirvenmetätyken valtavirtaa? Milla Niemi, Jani Pellikka ja Juha Hiedanpää Photo: Milla Niemi Vielä muutama vuoikymmen

Lisätiedot

As Oy Kuopion Savolanmetso

As Oy Kuopion Savolanmetso A Oy Kuopion Savolanmo Saaritokaupungia palveluiden lähellä Au Saaritokaupungin ydämeä Au kodiki Saaritokaupunkiin! Uui viihtyiä rivitaloyhtiö Aunto Oy Kuopion Savolanmo rakentuu lapiperheiden uoimalle

Lisätiedot

Koti 1-KERROKSISET HYVINVOINNIN ARKKITEHTUURIA. 1-kerroksiset talot

Koti 1-KERROKSISET HYVINVOINNIN ARKKITEHTUURIA. 1-kerroksiset talot Koti 1-KERROKSISET 1-kerroki talot HYVINVOINNIN ARKKITEHTUURIA Koti-eitteeä: Puitolahti ivut 6-7 Saraniemi ivu 8 Kariluoto ivu 9 Koivuranta ivut 10-11 Pihlajito ivu 12 Ahvenito ivu 13 Vehkoja ivu 14 Pjola

Lisätiedot

KUITUKAAPELOINTI KUITUKAAPELOINTI KAAPELIRAKENTEET KUITUKAAPELIVERKKO

KUITUKAAPELOINTI KUITUKAAPELOINTI KAAPELIRAKENTEET KUITUKAAPELIVERKKO KUITUKAAPELOINTI Valokuitutekniikkaa on käytetty puhelinyhteykiä jo vuoia en mahdollitamien pitkien välimatkojen takia. Vähitellen en käyttö on yleitynyt myö kiinteitön yleikaapeloinnia. Kuidun liääntynyt

Lisätiedot

Paatds. Pdivdmaard 14.4.2016

Paatds. Pdivdmaard 14.4.2016 #'tolt Il LorrNAr-uoMl 1.9 Paatd Pdivdmaard 1 (5) urun Moottorieura ry / kilpailun johtaja Anttila Henry anha-hameentie 105 20540 Turku u teiden ulkemieki Uuikaupunkiralli -nopeukilpailun ajaki Haettu

Lisätiedot

Suomen Akatemian tutkimusohjelma VALTA 2007 2010. Valta Suomessa

Suomen Akatemian tutkimusohjelma VALTA 2007 2010. Valta Suomessa Suomen Akatemian tutkimuohjelma VALTA 2007 2010 Valta Suomea Valta Suomea 2007 2010 VALTA lyhyeti Suomalaien yhteikunnan valtajärjetelmä on ollut muutopaineiden kohteena viime vuoikymmeninä. Suomi on liittynyt

Lisätiedot

Satakunnan ammattikorkeakoulu. Harri Nuora SULJETTUJEN PUTKIVERKOSTOJEN MITOITUSPERUSTEIDEN TARKASTELU

Satakunnan ammattikorkeakoulu. Harri Nuora SULJETTUJEN PUTKIVERKOSTOJEN MITOITUSPERUSTEIDEN TARKASTELU Satakunnan aattikorkeakoulu Harri Nuora SULJETTUJEN PUTKIVERKOSTOJEN MITOITUSPERUSTEIDEN TARKASTELU Tekniikka Pori Energiatekniikan koulutuohjela 008 SULJETTUJEN PUTKIVERKOSTOJEN MITOITUSPERUSTEIDEN TARKASTELU

Lisätiedot

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla 1 Metallikuulan vieriinen kaltevalla taolla Mikko Vetola Koulun nii Fyiikka luonnontieteenä FY1-Projektityö 4.6.2002 Arvoana: K+ (10) 2 1. Työn tarkoitu Tehtävänä oli tutkia illaiia liikeiliöitä eiintyy

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

VAPAA-AJAN TUNNELMAA YMPÄRI VUODEN. Kakkoskodit

VAPAA-AJAN TUNNELMAA YMPÄRI VUODEN. Kakkoskodit Kakkokodit Kakkokodit VAPAA-AJAN TUNNELMAA YMPÄRI VUODEN Vapaa-ajan tunnelmaa ympäri vuoden Kakkokodit eitteeä: Lumo. 5 Io-lehtiaari. 6 Lehtiaari. 7 Io-kuuiaari. 8 Kuuiaari. 9 Kalla. 10-11 Uva. 12-13 Tuiku.

Lisätiedot

b) Laskiessani suksilla mäkeä alas ja hypätessäni laiturilta järveen painovoima tekee työtä minulle.

b) Laskiessani suksilla mäkeä alas ja hypätessäni laiturilta järveen painovoima tekee työtä minulle. nergia. Työ ja teho OHDI JA TSI -. Opettaja ja opikelija tekevät hyvin paljon aanlaita ekaanita työtä, kuten liikkuinen, kirjojen ja eineiden notainen, liikkeellelähtö ja pyähtyinen. Uuien aioiden oppiinen

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona.

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. Fotoni 4 Kertau - 1 Kertautehtäviä Luku 1 1. Oheinen kuvio eittää kolen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. a) Kuka on kulkenut piiän atkan aikavälinä 0...7? b) Milloin B aavuttaa C:n? c) Kenellä

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien

Lisätiedot

SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNITTELUSSA KÄYTETTÄ- VIEN LASKENTAMENETELMIEN KEHITTÄMINEN

SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNITTELUSSA KÄYTETTÄ- VIEN LASKENTAMENETELMIEN KEHITTÄMINEN aalto-yliopito tenillinen oreaoulu Eletroniian, tietoliienteen ja automaation tiedeunta Rauno Hirvonen SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNIELUSSA KÄYEÄ- VIEN LASKENAMENEELMIEN KEHIÄMINEN Diplomityö, joa on jätetty

Lisätiedot

7. PYÖRIVÄN SÄHKÖKONEEN SUUNNITTELUN ETENEMINEN JA KONEEN OMI- NAISUUDET

7. PYÖRIVÄN SÄHKÖKONEEN SUUNNITTELUN ETENEMINEN JA KONEEN OMI- NAISUUDET 7.1 LTY Juha Pyhönen 7. PYÖRIVÄN SÄHKÖKONEEN SUUNNITTELUN ETENEMINEN JA KONEEN OMI- NAISUUDET Pyöivän ähkökoneen uunnittelua voidaan noudattaa eiekiki euaavanlaita työjäjetytä. Tää opii uoaan epätahtioottoeille,

Lisätiedot

KONTION KOTI- MALLISTO. Kontio tekee kodin, joka tarjoaa aidon hirsitalon lämpöä ja nykyaikaista toimivuutta.

KONTION KOTI- MALLISTO. Kontio tekee kodin, joka tarjoaa aidon hirsitalon lämpöä ja nykyaikaista toimivuutta. KoKo2014 KONTION KOTI- MALLISTO Kontio tee kodin, joka tarjoaa aidon hiritalon lämpöä ja nykyaikaita toimivuutta. N KOTI HENKII VIIHTYISÄÄ TUNNELMAA. KATSO LISÄ- TIETOJA kontio.fi Upeaa arkkitehtuuria

Lisätiedot

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SISÄLLYSLUETTELO 1. PERUSTIEDOT JA TVISTELMÄ...3 1.1. SUUNNITTELUALUE...3 1.2. KAAVAN TARKOITUS...3 1.3. KAAVAN PÄÄSISÄLTÖ...3

Lisätiedot

RUOKAKESKO RUOKAKESKON HAKKILAN VARASTON KV2 LAAJENNUS. Liikenne, maisema

RUOKAKESKO RUOKAKESKON HAKKILAN VARASTON KV2 LAAJENNUS. Liikenne, maisema RUOSO RUOSO HIL VRSTO V2 LJUS Liikenne, maiema 12/2012 Heimo ekiaari RUOSO V2: LJUS Liikenne, maiema SISÄLLYSLUTTLO 1. IVISTLMÄ 2. SUUITTLU ULU 3. YYL Ruokakeko ykytilanteen katuverkko 4. TULVISUUS Ruokakeko

Lisätiedot

Valtion eläkemaksun laskuperusteet

Valtion eläkemaksun laskuperusteet VALTIOKONTTORI PÄÄTÖS Dnro 62/30/2005 Valtion eläkemakn lakperteet Valtiokonttori on 2262005 hyäkynyt nämä lakperteet nodatettaaki lakettaea Valtion eläkerahatolaia tarkoitettja työnantajan eläkemakja

Lisätiedot

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2 OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9

Lisätiedot

MODUVIA OY Juha Ruotsala Puh. 040 707 5846 www.moduvia.fi

MODUVIA OY Juha Ruotsala Puh. 040 707 5846 www.moduvia.fi Maino 26.4.2014 vko 17 ilmoituliite Heikki Kelloalo Pyydä tarjou! Rakennupeltityöt Veikourut Alatulot Tikkaat Lumieteet Piipunpellityket aennettuna 0500-557 178 Teerikuja 1, Kannu Metalliromun oto Kaapeli-

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Kaukolämpöjohtojen optimaalisen eristyspaksuuden tarkastelu

Kaukolämpöjohtojen optimaalisen eristyspaksuuden tarkastelu Lappeenannan teknillinen yliopito Teknillinen tiedekunta, Enegiatekniikka Kaukolämpöjohtojen optimaalien eitypakuuden takatelu Rapotti 4.9.009 Lappeenannan teknillinen yliopito Teknillinen tiedekunta.

Lisätiedot

Kontion KK2009. Kakkoskodit .AT 37. www.kontio.fi. Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri

Kontion KK2009. Kakkoskodit .AT 37. www.kontio.fi. Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri n Kakkokodit Vapaa-ajan tunnelmaa ympäri vuoden Kontion Kakkokodia!.AT 37 KK2009 www.kontio.fi Ooitelähde: Kontiotuote Oy:n aiakarekiteri Vapaa-ajan tunnelmaa ympäri vuoden Hiri on kävä ja ekologinen materiaali,

Lisätiedot

Koti 2-KERROKSISET. 1,5- ja 2-kerroksiset sekä rinnetalot Autotallit ja -katokset HYVINVOINNIN ARKKITEHTUURIA

Koti 2-KERROKSISET. 1,5- ja 2-kerroksiset sekä rinnetalot Autotallit ja -katokset HYVINVOINNIN ARKKITEHTUURIA Koti 2-KERROKSISET 1,5- ja 2-rroki ekä rinnalot Autotallit ja -katok HYVINVOINNIN ARKKITEHTUURIA Koti-eitteeä: Jola ivu 6 Merikallio ivu 7 Iolahti ivut 8-9 Io-Kajatu ivut 10-11 Kajatu ivu 12 Kimallu ivu

Lisätiedot

Kertaustehtäviä. Luku 1. Physica 3 Opettajan OPAS

Kertaustehtäviä. Luku 1. Physica 3 Opettajan OPAS (4) Luku 57. a) Mekaaniea poikittaiea aaltoliikkeeä aineen rakenneoat värähtelevät eteneiuuntaan vataan kohtiuoraa uunnaa. Eierkkejä ovat uun uaa jouen poikittainen aaltoliike tai veden pinnan aaltoilu.

Lisätiedot

METSÄSTYSPUHELIMET. www.zodiacfinland.fi

METSÄSTYSPUHELIMET. www.zodiacfinland.fi METSÄSTYSPUHELIMET www.zodiacfinland.fi Z O D I A C T E A M P R O WAT E R P R O O F ZODIAC Zodiac Team Pro Waterproof radiopuhelin on valintai, kun toiminnot ja uoritukyky ratkaievat. TAKUU 3 VUOTTA Open

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat)

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat) Kemian laitetekniikka Kotilaku 3..008 Jarmo Vetola Kuva lämmöniirtoproeita Käytöä ritivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet ekoittumattomat) kuuma maitovirta, eli ravaton maito patöroinnita virtau vaippapuolella

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

Kontion MAMA2010. Maisemahuvilat .AT 37. www.kontio.fi. Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri

Kontion MAMA2010. Maisemahuvilat .AT 37. www.kontio.fi. Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri n.at 37 MAMA2010 Maiemahuvilat Kontion Maiemahuvilat tuovat uomalaien luonnon ja uoikkimaiemat lähellei. www.kontio.fi Ooitelähde: Kontiotuote Oy:n aiakarekiteri n Maiemahuvilat tuovat luonnon lähellei

Lisätiedot

KOKO2012 KONTION KOTI- MALLISTO. Kontio tekee kodin, joka tarjoaa aidon hirsitalon lämpöä ja nykyaikaista toimivuutta.

KOKO2012 KONTION KOTI- MALLISTO. Kontio tekee kodin, joka tarjoaa aidon hirsitalon lämpöä ja nykyaikaista toimivuutta. KOKO2012 KONTION KOTI- MALLISTO Kontio tee kodin, joka tarjoaa aidon hiritalon lämpöä ja nykyaikaita toimivuutta. N KOTI HENKII VIIHTYISÄÄ TUNNELMAA. KATSO LISÄ- TIETOJA KONTIO.FI UPEAA ARKKITEHTUURIA

Lisätiedot

SAVUN JA KOSTEUDEN VAIKUTUS ELEKTRONIIKKAPIIREIHIN

SAVUN JA KOSTEUDEN VAIKUTUS ELEKTRONIIKKAPIIREIHIN SAVUN JA KOSTEUDEN VAIKUTUS ELEKTRONIIKKAPIIREIHIN TIIVISTELMÄ Johan Mang & Olavi Keki-Rahkonen VTT Rakenn- ja yhdykntatekniikka PL 803, 02044 VTT Savn, koteden ekä näiden yhteitä äkillitä vaiktta elektroniikkapiireihin

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Suomen Rahapaja -konsernin vuosikertomus

Suomen Rahapaja -konsernin vuosikertomus Suomen Rahapaja -konernin vuoikertomu Siälly 1 Johdanto 2 Suomen Rahapaja - konerni lyhyeti 3 Konernin tunnulukuja 4 Uui toimintatapamme: One Mint of Finland 6 Kate eteenpäin 8 Valoa taantuman päää 12

Lisätiedot

MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINTAMINEN PARAMETRISOIMALLA SIDOSMONISTO

MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINTAMINEN PARAMETRISOIMALLA SIDOSMONISTO IIVISELMÄ MONIKAPPALEMEKANIIKAN MALLINAMINEN PARAMERISOIMALLA SIDOSMONISO J. MÄKINEN & H. MARJAMÄKI eknllen ekankan a optonnn lato apereen teknllnen ylopto PL 589 33101 AMPERE ää etykeä kuvataan lyhyet

Lisätiedot

V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA

V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA RAKENTAMISTAPHJE 9-kaupunginoan, Häyrilän, korttelit 9, 9 ja 0 0 ja 0 Varkauden kaupunki Tekninen virato Maankäyttö / Kaavoitu YLEISTÄ Yleiuunnitteluohje täydentää Varkauden

Lisätiedot

Lyhyt käyttöopa Verio 1.1 maalikuu 2003 VAMPIRE VAMP PRO VAMP 2 SUOMI TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lukekaa nämä ohjeet. 2) Säilyttäkää nämä ohjeet. 3) Huomioikaa

Lisätiedot

ASUNTOINFO AS OY ESPOON KREIVINMAA

ASUNTOINFO AS OY ESPOON KREIVINMAA ESPOO TILLINMÄKI ASUNTOINFO AS OY ESPOON KREIVINMAA Elämänlaadun rentaja Auntoja, joia viihdytään Siällyluette Aemapiirro ivu Auntopohjat ivu Siutuvalinnat ivu 0 JM-Valinta ivu Aunnon pintamateriaalit

Lisätiedot

KK2012 KONTION KAKKOS- KODIT. Vapaa-ajan tunnelmaa ympäri vuoden Kontion Kakkoskodissa!

KK2012 KONTION KAKKOS- KODIT. Vapaa-ajan tunnelmaa ympäri vuoden Kontion Kakkoskodissa! KK2012 KONTION KAKKOS- KODIT Vapaa-ajan tunnelmaa ympäri vuoden Kontion Kakkokodia! VAPAA-AJAN TUNNELMAA YMPÄRI VUODEN LISÄÄ KAKKOS- KOTEJA LÖYDÄT KONTIO.FI SUUNNITELTU YMPÄRIVUOTISEEN ASUMISEEN Kontion

Lisätiedot

Lyhyt käyttöopa Verio 1.3 heinäkuu 2004 VAMPIRE VAMP PRO VAMP 2 SUOMI TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lue nämä ohjeet. 2) Säilytä nämä ohjeet. 3) Huomioi kaikki varoituket.

Lisätiedot

... 23 1.4.3. Eläkelaitoksessa vakuutettujen työnansioiden summa S

... 23 1.4.3. Eläkelaitoksessa vakuutettujen työnansioiden summa S Eläketurakeku (89) Suunnitteluoato 2..2008 VASTUUNJAKOPERUSTEET Soiaali- ja tereminiteriö on ahitanut atuunjakoperuteet 20..2008. 5..2009 korjatut kirjoituirheet iuilla 62 ja 63 on päiitett etk.fi-iulle

Lisätiedot

Tervahovin Siilot - elämyksellistä asumista Oulun huipulla

Tervahovin Siilot - elämyksellistä asumista Oulun huipulla MYYNTIESITE 2 Tervahovin Siilot - elämykellitä aumita Oulun huipulla TERVAHOVIN UUSI TULEMINEN - ENSIMMÄISENÄ RAKENNAMME UNIIKKEJA SIILO-KOTEJA Tervahovi on oa Oulun kaupungin merelliintä kaupunginoaa

Lisätiedot

UUSI, KOKO PERHEEN DOBLÒ. AINUTLAATUINEN KAIKILTA OSIN.

UUSI, KOKO PERHEEN DOBLÒ. AINUTLAATUINEN KAIKILTA OSIN. FA MILY SPACE Tunnuomaiet, kolmiulotteiet, pitkälle keulan ivuja myötäilevät ajovalot näyttävät uunnan. Myö ivupeileiä on valot, jotka toimivat uuntavilkkuina. UUSI, KOKO PERHEEN DOBLÒ. AINUTLAATUINEN

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot