No , s

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "No 3 1988, s. 3... 13"

Transkriptio

1 TASA-ARVOKAYRIEN ESITTAMINEN KONTROLLOIOULLA TARKKUUOELLA REKURSIOTA HYVASIKAYTTAEN Jorma Kolio Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 21 No , YHTEENVETO: FEM-lakennan graafiet eityket palvelevat eniijaieti lahtotietojen tarkitukea ja tuloten havainnollitamiea. Tuloten oalta niita voidaan nopeati kartoittaa tarkeat alueet, jonka jalkeen tarkat lukuarvot joudutaan kuitenkin joku etimaan tulolitoilta tai -tiedotoita. Monipuoliet, luotettavat ja tarkat graafiet eityket vahentavat tulotiedotojen elailu- ja tallennutarvetta eka opivat erinomaieti nykyiin yleityvien julkaiujarjetelmien aineitoki. Taa kirjoitukea eitetaan taa-arvokayraalgoritmi, jonka tarkkuu on kayttajan kontrolloitavia. Sen liatavoitteena on tuottaa taa-arvokayraeity mahdolliimman vahan vektoreita eka tietokonereureja kayttaen. Algoritmi on elkeati ohjelmoitavia. Rekuriota tukemattomiakin kielia voidaan kayttaa, koka rekurio ei kaytannon tapaukia ulotu 3-6 taoa yvempaan. Kirjoitukea eitetaan liaki joitain tulotuuureita ja eitytapoja, joita yleiohjelmat eivat tavallieti tue. JOHOANTO Taa-arvokayrien perinteiin ovellu lienee maaton korkeukayrien eittaminen; kayran piteiden korkeu tietyta vertailutaota mitattuna on vakio. Vataavati FEM-lakennaa havainnollitetaan ueiden uureiden jakaumia taa-arvokayrin. Valitaan opiva tao (20-tapaukia perutao, 30-tapaukia uein jakin leikkautao), talta taolta alue A eka eitettava uure f (kuva 1). Taa-arvokayra on niiden piteiden ura, joia 3

2 uureella on ama ennalta valittu arvo. Seuraavaa tehtavaan kekitytaan FEM-lakennan kannalta, vaikkakin eitettavaa algoritimia voidaan kayttaa muiakin ovellukia, eim. analyyttiten ja mitattujen funktioiden havainnollitamiea, pintoje n taoleikkaukia jne. Te rmilla tarkkuu tarkoitetaan taa euraavaa: mita parempi tarkkuu, ita paremmin algoritmin tuottama taa-arvokayra euraa kaytetyn interpolaation mukaita taa-arvokayraa. Toiaalta aatujen taa-arvokayrien kulku voi antaa viitteita myo varinaien ratkaiun tarkkuudeta. FEM-INTERPOLAATIO Funktiota kuvataan jakamalla tarkateltava alue oa-alueiiin eli elementteihin. Kunkin elementin alueella funktiota approkimoidaan elementtityypille ominaiilla interpolaatiofunktioilla, lahde /1/. Tavallieti vain funktio, eivat enaa en derivaatat, on jatkuva kahden vierekkaien elementin yhteiella reunalla. Taa eitykea kaitellaan 6- ja 8- olmuiia ioparametrii.a kolmio- ja nelikulmioelementteja. Monille muille elementtityypeille tehtava voidaan kaitella vataavaan tapaan. bfr- / J::;.f A f~ ~--- / 6- ja 8- olmuiet elementit Kuva 1. Funktion f taa-arvokayria alueea A ja tyypillinen elementtijako. Mikali piirrettava uure on analyyin perutuntematon, eim. iirtymauure tai lampotila, ita interpoloidaan ioparametriia elementeia amoilla funktioilla kuin elementin geometriaa- 4

3 kin. Johdannaiuureita, eim. jannitykomponentteja, kuvaavat interpolaatiofunktiot ovat kaarevareunaiia elementeia yleena luonnolliten koordinaattien r ja uhteen korkeampiateiia murtofunktioita. Tavallieti yleiohjelmia interpoloidaan kaikkien uureiden taa-arvokayrat amalla tavalla, perutuen olmupiteia maarattyihin kekiarvoihin ja elementtien jakamieen opiviin alikolmioihin. Nain eitetyt taa-arvokayrat ovat jatkuvia, mutta aadaan ehka liian optimitinen kuva ratkaiun tarkkuudeta. Mikali uureet eitetaan ilman taoitukia ja "todelliia" interpolaatiofunktioita kayttaen, voidaan elementin reunoilla eiintyvata epajatkuvuudeta arvioida myo ratkaiun tarkkuutta ja havaita alueita, joia verkon tihentaminen on tarpeen, lahde /2/. Taa eitykea tarkatellaan eniijaieti uuretta, jota voidaan interpoloida ioparametrieti. Muiden interpolaatiofunktioiden kaytto ei aiheuta periaatteelliia muutokia algoritmiin. Talloin tarvitaan vain luotettava korkea-ateiten polynomien juurten ratkaiija, ja muotofunktioiden oittaiderivaattojen (kantakoordinaattien x ja y uhteen) lauekkeet on tallennettava kertoimittain, jotta eim. jannitykomponenttien lauekkeet voidaan kirjoittaa ainoataan toien luonnollien koordinaatin funktiona, kun toita pidetaan vakiona. PERUSALGORITMIN KUVAUS Kutakin taa-arvokayraa etitaan elementtikohtaieti, eli haetaan kayran kaikki oat yhden elementin alueelta ja iirrytaan itten kaittelemaan euraavaa. Mikali taa-arvokayralla on ueampi kuin yki oakayra elementin alueella, ei voida uoraan paatella, mitka taa-arvokayran ja elementin reunojen leikkaupiteet kuuluvat amalle oakayralle. Kayran euraaminen tata tilanteeta lahtien on joku epaluotettavaa, eim. iteratiivinen elementin reunalta lahteva algoritmi voi erikoitapaukia harhautua vaaralle kayran oalle. Ongelma voidaan ratkaita rekuriota kayttaen. Nelikulmioelementti jaetaan neljaan oanelikulmioon ja kolmioelementti vataa- 5

4 vati neljaan oakolmioon (kuva 2). Jako on edullita tehda luonnolliten koordinaattie n uuntaieti, koka talloin taaarvokayran ja oa- alueen reunojen leikkaupiteet ratkeavat help ommin. Toinen tuntematon on vakio, joten taa kaytetya ioparametriea interpolaatioa tarvitaan vain toien ateen yhtalon ratkaiu yhden tuntemattoman uhteen. Oa-alueiden jakoa jatketaan, kunne taa-arvokayra leikkaa alueen reunat vain kahdea piteea. Taman jalkeen tutkitaan kayran eitytarkkuu ko. oa- alueea. Taa-arvokiiyrii Taa- arvokayra Kuva 2. Elementin jakaminen oa- alueiiin. ESITYSTARKKUUDEN KONTROLLOINTI Kun kayra leikkaa oa-alueen reunaa vain kahdea piteea, vataavat kantakoordinaatiton piteet voidaan lakea ja eittaa kayra karkeati vain yhditamalla piteet. Nain tapahtuu myo eitettavaa algoritmia, jo kaytetaan hyvin loyaa tarkkuuvaatimuta.. Tarkkuutta voitaiiin parantaa ykinkertaiimmin jatkamalla rekuriivita aluejakoa, kunne aetettu tarkkuuvaatimu aav u tetaan. Menettelytapa tuottaa kuitenkin paljon vektoreita eitytarkkuuteen verrattuna, ei ole kovin edullinen tietokoneajan uhteen ja liaki rekurio ulottuu tarpeettoman yvaan. Kayralta edellytetaan, ettei minkaan oajanan kekipiteen etaiyy kekinormaalin uunnaa todellielta kayralta ole annettua toleraniarvoa uurempi. Kokeiltiin algoritmia, joa Newton iteraatiota kayttaen haettiin lahin kekinormaalin uunnaa oleva todellinen taa- arvokayran pite. Se johti lahe amaan vektorimaaraan kuin euraavaa eitettava tapa (vain n. 6

5 1-2% vahemman), mutta vaati tetitapaukia n. 50% enemman tietokoneaikaa. Koka Newton iteraatio ei myokaan valttamatta aina uppene, en kaytota luovuttiin. Kuva 3. Oakayran tarkkuu ja tarkentaminen. Valitua menetelmaa laketaan kaanteien ioparametrien kuvaken avulla luonnolliten koordinaattien piteita A ja B vataavat arvot. Kuvaa 3 aiaa on havainnollitettu kayttamalla oa-alueena nelikulmioelementin "oikeata ylaneljanneta" ja kolmioelementin "ylinta kolmanneta". Edelleen laketaan funktion arvot em. piteia. Mikali haettava taa-arvo ijoittuu naiden arvojen valiin, eitytarkkuu hyvakytaan. Ehto ei kuitenkaan ole aina tayin tyydyttava. Korkeaateien interpolaation yhteydea voi eiintya eim. kuvan 4 mukainen tilanne, jolloin kayra ei ole riittavan tarkka, eika algoritmi ita havaite. Aia voidaan korjata uorittamalla tarkitu ueammaa janteen piteea. Nain voidaan tehda, koka tarkitu on hyvin nopea. Parabolielle ioparametrielle kuvaukelle tarkitu vain janteen kekipiteea on yleena hyvakyttavaa. r Kuva 4. Korkea-ateinen interpolaatio. 7

6 OSAKAYRAN TARKENTAMINEN Kuvaa 3 on eitetty oakayran tarkentamien periaate. Oa-alue "halkaitaan" pitaen vakiokoordinaattina ita luonnollita koordinaattia, jonka koordinaattiero janteen paia on uurin. Halkaiu tapahtuu janteen kekipiteen kautta. Leikkaupiteet ratkeavat jalleen ioparametrielle kuvaukelle yhden tuntemattoman toien ateen yhtalota. Myo tama vaihe on rekuriivinen, eim. kuvaa 3 jana 0-x on jouduttu puolittamaan ja edelleen janaa 0-1 jakamaan piteeeen 3 aakka. Jo jana 0-3 tayttaa tarkkuuvaatimuken, e eitetaan. Seuraavaki tarkitetaan jana 3-2. Tarvittaea ita jaetaan edelleen ja jatketaan amoin janojen 2-1 ja 1-x kana. Taa-arvokayrien liaki amaa algoritmia voidaan kayttaa myo elementtien reunakayrien eittamieen. Algoritmi tuottaa oa-alueen janat jarjetykea, mika helpottaa mahdollieti tarvittavaa lajittelua. KORKEAMPIASTEISET FUNKTIOT Jannitykomponentit voidaan eittaa Hooken lain ja iirtymaderivaattojen avulla. Jo kirjoitukea eitetyille kaarevareunaiille elementtityypeille johdetaan taojannitytilan jannitykomponenttien riippuvuu olmuiirtymita luonnolliten koordinaattien avulla lauuttuna, paadytaan murtofunktioihin, joiden eka oottaja etta nimittaja ovat neljannen ateen polynomeja. Mikali toita koordinaattia voidaan pitaa vakiona, ateluku on kolme. Kirjoitettiin rutiinit, jotka uorittavat polynomiaritmetiikan pitaen kunkin polynomin termin "erillaan". Nain jannityjakauma voidaan lauua uoraan luonnolliten koordinaattien funktiona. Kuitenkin jannitykomponenttien lakenta tata funktiota kayttaen edellyttaa enemman lakutoimitukia, kuin tavanomainen muotofunktiokutuun perutuva. Tat~ havainnollitaa euraava liukulukuproeorilla va rutetulla tietokoneella lakettu taulukko. 8

7 Taulukko 1. Taojannitytilakomponenttien ratkaiuaika 8-olmuiea kaarevareunaiea elementia kahdella eri menetelmalla. 1 Tavanomaiten muo- Murtofunktion! tofunktioalioh- avulla lakien l Samata elementita jelmakutujen tarvittava 1 lakettujen janni- edellyttama aika aika 1 Aikojen :::: ~tei:e~- - lkm. 1 _r J 0 _. 00 ~ l - -l-~l 0 _._0 _ 66 -f -::~: Vaikkakaan menetelma ei nayta tarjoavan teholiayta jannitykomponenttien lakentaan, e on ilti hyodyllinen algoritmeia, joia tuntemattomien erotteluta on etua. Kirjoituken menetelmaa tama mahdollitaa korkea-ateiia polynomeia yhden tuntemattoman kaittelyn kahden yhtaaikaien ijaan. MAHDOLLISIA ERIKOISTAPAUKSIA Era algoritmin tarkeimmita vaiheita on taa-arvokayran ja oaalueen reunojen leikkaupiteiden luotettava maarittaminen. Kuvaa 5 on eitetty kaki erikoitapauta. Kayra 1 leikkaa alueen reunan ja kulkee yhden en kulmapiteen kautta. Algoritmin on nainollen hyvakyttava leikkaupiteina myo reunan paatepiteet ja uodatettava paallekkaiet poi. Kayra 2 puoletaan havainnollitaa tapauta, joa kaki leikkaupitetta eivat viela takaa ita, etta kayra olii alueea. \ I \ 2 Kuva 5. Erikoitapaukia. Erikoitapauket voidaan ohjelmoida hyvin, mikali liaki on kaytettavia myo luotettava polynomin juurten ratkaiija. Tetiohjelmaa on tarkoitukellieti kaytetty opivia taa-arvokayrien kokonailukuarvoja, jotta vaikeimmat mahdolliet tapauk- 9

8 et aataiiin nakyviin. eiintyvat harvoin. Kaytannon tapaukia nama tilanteet VEKTOREIDEN LAJITTELU Kayttaja aattaa "varmuuden vuoki" valita tarpeettoman tiukan toleraniarvon, mika ei valttamatta paranna eityken elkeytta, mutta liaa aina vektorimaaraa (kayran kuvaamieen tarvittavia janoja) ja tietokoneen proeointiaikaa. Kun tulotulaitteen erotukyky ylitetaan, eity voi eim. kynapiirtureiden oalta jopa huonontua liaantyvien kynan notojen ja lakujen takia. Viimekimainittua haittaa voidaan korjata huomattavati jo lajittelemalla vain elementin alueen oajanat. Mikali amalla eitetaan myo elementtien reunaviivat, kynan notot ja lakut ijoittuvat elementtien reunoille, eivatka nainollen erotu. Eityken elkeyden liaki lajittelu on edullinen myo tiedotokoon uhteen. Jatkuvalle murtoviivalle tallennettavia koordinaattipareja tarvitaan vahemman. Ohjelmaa voidaan myo tarkitaa kayttajan antama tarkkuuvaatimu ja aataa e tulotulaitteen tarkkuutta vataavaki, jo tama ylitetaan. MUITA TULOSTUSSUUREITA JA ESITYSTAPOJA Yleikayttoiten FEM-ohjelmien taa-arvouureiden valikoima on joku liian uppea kattaen eim. vain lampotilan, jannitykomponentit ja vertailujannityket. Uein eim. iirtymat puuttuvat. Varinkin pinnan normaaliiirtymat ovat hyvin hyodylliia kuorirakenteiden iirtymatilan ja lommahdumuotojen tarkateluia. Mallin taoleikkaukita havaitaan nopeati pintojen muotovirheet ja -epatarkkuudet. Talloin ite aiaa on kyymy mallin geometrian taa-arvokayrita. Kolmidimenioiten elementtien taa-arvokayrat eitetaan tavallieti valitemalla leikkautao ja tarkatelemalla taa- 10

9 arvouureen kayttaytymita taa taoa. Joiakin tapaukia luontevampi ja parempaan l opputul okeen johtava tapa olii valita kerro toiiina liittyvia e lementteja, eim. rakenteen pintaan rajautuvat elementit. Mikali pinnan normaalia vataava luonnollinen koordinaatti aa kuakin elementia vakioarvon, yntyy mallin muotoa myotail eva pinta. Nyt voidaan tutkia taa-arvouur een kayttaytymita talla pinnalla vain kahden luonnollien koordinaatin funktiona. Lopullinen eity olii taman pinnan opiva pro jektio. Ioparametriea kuvaukea kayrat voidaan lakea aivan vataavaan tapaan kuin taa kirjoitukea kaitellyille elementeille, jopa muotofunktiotkin ja niiden derivaatat voidaan ratkaita vain 2 x 2 Jacobin matriiia kayttaen, lahde /3/. Elementin olmua laketun jannityeron iteiarvo vataavan olmun kekiarvojannityken iteiarvoon verrattuna tuottaa taaarvoeityken, jota havaitaan elkeati verkon epatarkat alueet. On ymmarrettavaa, ettei kaikkia kayttajien toiveita kyeta tayttamaan uoraan ohjelman uurevalikoimalla. Kuitenkin tilannetta voitaiiin ehka korjata allimalla kayttajan aliohjelma, joka aa FEM-ohjelmata parametreikeen laajan peruuureiden valikoiman. Kayttajan tulii maaritella oma uureena peruuure i den avulla, jolloin amalla maaraytyii myo ko. uureen interpolaatiofunktio. Eityken havainnolliuutta voidaan liata eim. piirtamalla poitiiviia ja negatiiviia arvoja vataavat kayrat eri vareilla tai viivatyypeilla (kuva 6). Kayrat voidaan myo eittaa kolmiulotteiina projioimalla ne halutulle taolle (kuva 7). Kolmiulotteiet kayrat voidaan nayttaa myo animaationa. Mikali eri katelupiteita piirretyt projektiot ladataan tyoaeman eri muititaoille tai -egmentteihin, niita voidaan vaihdella hyvin nopeati ja nain eittaa animaatio kiertyvata kohteeta. OHJELMOINTIIN LIITTYVAA Parhaiten algoritmin ohjelmointiin opinevat joko C-kieli tai Pacal, koka ne jo nyt tukevat rekuriiviia funktiokutuja. ll

10 Algoritrnin peruverio on kuitenkin ohjelrnoitu Fortran77-kielella varautuen rekuriotaoon 7 aakka, rnika on kaikia tetitapaukia hyvin riittanyt. Mikali rekurio ulottuu yvernpaan elernentin oa-aluejaon yhteydea kyeiia oa-alueia olevat taa-arvokayrien oat jaavat kokonaan eittarnatta. Jo taa ylity tapahtuu oakayran tarkentarnivaiheea, kayra eitetaan illa tarkkuudella, kuin yvin rekuriotao en allii. Rekuriotaon yvyy aetetaan Fortranilla ohjelrnoitaea koodin kirjoituvaiheea, ja e vaikuttaa koodin rnaaraan. Kuvan 6 taa-arvokayrat on eitetty tarkkuuparametrin tol arvolla kuvan ivumitta I 27000; kuvaa on 3530 vektoria. Lakenta ja eityaika n. 1 Mip tehoiella tyoaematietokoneella on n. 55 ek. Kuva 6. Taaivuien kolmio- ja uorakaideprofiilien vaantokayritymifunktion taa-arvokayrat, lahde /4/. Kuva 7. Projiioidut taa-arvokayrat (kuvaa on rnuokattu CADohjelrnalla). 12

11 Kaytannoa nain uurta eitytarkkuutta tukin tarvitaan. Uein on tarkeampaa, kuinka hyvin elementtien muotofunktiot interpoloivat todellita funktiota. Eim. kuvaa 6 nakyvia taa-arvokayria on lievaa aaltoilua; kaytetty elementtijako on uhteellien harva. Kokeneellekin kayttajalle em. mahdolliuudet aattavat liata tuloten tulkintanopeutta, mutta parhaimmillaan ne lienevat raportoitaea ja eiteltaea lakentoja muille henkiloille. FEMlakentaahan pidetaan joku hieman "etaiena" aiana. Syy voi joku olla myo eitytekninen. KIITOS Lopuki haluaiin kiittaa tekn. tri. Eero-Matti Salota ja dipl.in. Jouni Freundia huolellieta kaikirjoitukeeni perehtymieta ja hyvita huomautukita. LAHTEET [1] K-J. Bathe, Finite element procedure in engineering analyi. Prentice - Hall, inc [2] T. Suman, K-J. Bathe, Studie of finite element procedure - tre band plot and the evaluation of finite element mehe. Eng. Comput., 1986, Vol. 3, [3] B. Iron, S. Ahmad, Technique of finite element, John Wiley & Son, New York 1980, [4] A. Ylinen, Kimmo ja lujuuoppi II, Werner Sodertrom Oy, Porvoo 1970, Jorma Kolio, dipl.in., Valmet paperikoneet Oy 13

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Rakenteien Mekaniikka Vol. 44, Nro, 0,. 93-97 Pinta-alan variaatio Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Tiivitelmä. Artikkelia tarkatellaan taoalueen pinta-alan variaation eittämitä vektorilakennan avulla.

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

N p Katseluavaruudessa tehtävät operaatiot. Karsinta eli takasivueliminointi. Katselutilavuus

N p Katseluavaruudessa tehtävät operaatiot. Karsinta eli takasivueliminointi. Katselutilavuus 5.2. Kateluaaruuea tehtäät operaatiot Karinta eli takaiueliminointi Karinta eli takaiueliminointi on toimenpie, joka ertaa monikulmioien uuntaa katelupiteen eli projektion kekipiteen kana. Jo näkmä käittää

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen.

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen. T-79.148 yky 2003 Tietojenkäittelyteorian peruteet Harjoitu 7 Demontraatiotehtävien ratkaiut 4. Tehtävä: Ooita, että yhteydettömien kielten luokka on uljettu yhdite-, katenaatioja ulkeumaoperaatioiden

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A TAMPEREEN KAUPUNKI Raitiotien varikkoalueen aemakaavan nro 8600 viiteuunnitelma Raportti FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY P26458 Raportti 1 (6) Siällyluettelo 1 Yleitä...

Lisätiedot

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus. TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP. www.brother.eu. www.brother.fi

FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP. www.brother.eu. www.brother.fi INTERGRATED INTEGROITUJA BUSINESS TULOSTUSRATKAISUJA PRINT SOLUTIONS FOR TYÖRYHMÄLLESI YOUR WORKGROUP www.brother.eu www.brother.fi UUSI BROTHER VÄRILASERMALLISTO AMMATTIKÄYTTÖÖN - INTEGROITUJA TULOSTUSRATKAISUJA

Lisätiedot

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat Tieto- ja palvelutalouden laito / logitiikka Teknologiakehitytä ei voi pyäyttääj Luento 11 e-hankinnat Tietotekniikka otamien apuvälineenä Erilaita teknologiaa Miten ähköitämieä tulii edetä Cae etapharm

Lisätiedot

S Fysiikka III (Est) Tentti

S Fysiikka III (Est) Tentti S-114137 Fyiikka III (Et) Tentti 9008 1 Vetyatomin elektronin kulmaliikemäärää kuvaa kvanttiluku l =3 Lake miä kaikia kulmia kulmaliikemäärävektori voi olla uhteea kulmaliikemäärän z-komponenttiin ( )

Lisätiedot

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5 y07 Koe 8.9.05 Kuopion yeon lukio (KK) / 5 Vataa kolmeen tehtävään. Vatuken reitani on 60, käämin induktani on 0,60 H ja reitani 8 ja kondenaattorin kapaitani on 80. Komponentit ovat arjaan kytkettyinä

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä 1 Y6 Lakuharjoituket 3 alautu ma 3.. klo 16 menneä Harjoitu 1. Lue enin Vihmo, Jouni (006) Alkoholijuomien hintajoutot uomea vuoina 199 00, Yhteikuntaolitiikka 71, 006/1 ivut 9 ja vataa itten kyymykiin.

Lisätiedot

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa?

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa? Suomen Riita : 79 (14) Ajoketjuta eiontahaukkuun miten pyäyttävien koirien käytötä tuli hirvenmetätyken valtavirtaa? Milla Niemi, Jani Pellikka ja Juha Hiedanpää Photo: Milla Niemi Vielä muutama vuoikymmen

Lisätiedot

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla

Metallikuulan vieriminen kaltevalla tasolla 1 Metallikuulan vieriinen kaltevalla taolla Mikko Vetola Koulun nii Fyiikka luonnontieteenä FY1-Projektityö 4.6.2002 Arvoana: K+ (10) 2 1. Työn tarkoitu Tehtävänä oli tutkia illaiia liikeiliöitä eiintyy

Lisätiedot

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään - ja netekaaukäyttöiet vatapainotrukit Suunniteltu toimivaki... rakennettu ketämään 4 ja 5 tonnin polttomoottoritrukkien tehokkuu ja legendaarinen luotettavuu vaikeimmiakin olouhteia on jo vuoia ollut

Lisätiedot

1 Johdanto. FIR-suodattimien vaste voidaan hallita IIR:iä tiukemmin

1 Johdanto. FIR-suodattimien vaste voidaan hallita IIR:iä tiukemmin FIR uodinpankit * Lähteet: Zölzer. Digital audio ignal proceing. Wiley & Son. Saramäki. Multirate ignal proceing. TTKK:n kuri 80558. * ) Aihealue on erittäin laaja. Eity tää on tarkoitukellieti uppea,

Lisätiedot

Suomen Akatemian tutkimusohjelma VALTA 2007 2010. Valta Suomessa

Suomen Akatemian tutkimusohjelma VALTA 2007 2010. Valta Suomessa Suomen Akatemian tutkimuohjelma VALTA 2007 2010 Valta Suomea Valta Suomea 2007 2010 VALTA lyhyeti Suomalaien yhteikunnan valtajärjetelmä on ollut muutopaineiden kohteena viime vuoikymmeninä. Suomi on liittynyt

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateolliuuden Kutannuoakeyhtiö Opetuhallitu 00-uotiäätiö Otaa AMMATIKKA top..05 MALLIRATKAISUT Toien ateen ammatillien koulutuken kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Paatds. Pdivdmaard 14.4.2016

Paatds. Pdivdmaard 14.4.2016 #'tolt Il LorrNAr-uoMl 1.9 Paatd Pdivdmaard 1 (5) urun Moottorieura ry / kilpailun johtaja Anttila Henry anha-hameentie 105 20540 Turku u teiden ulkemieki Uuikaupunkiralli -nopeukilpailun ajaki Haettu

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat)

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat) Kemian laitetekniikka Kotilaku 3..008 Jarmo Vetola Kuva lämmöniirtoproeita Käytöä ritivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet ekoittumattomat) kuuma maitovirta, eli ravaton maito patöroinnita virtau vaippapuolella

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Stenbackan tärinäselvitys Tuusula

Stenbackan tärinäselvitys Tuusula Ramboll Finland Oy Tuuulan kunta Stenbackan tärinäelvity Tuuula 18.1.26 Stenbackan tärinäelvity, Tuuula Viite 82114186 Verio LUONNOS Pvm 18.1.26 Hyväkynyt Tarkitanut J. Noukka Kirjoittanut J. Kurikka-Oja

Lisätiedot

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SISÄLLYSLUETTELO 1. PERUSTIEDOT JA TVISTELMÄ...3 1.1. SUUNNITTELUALUE...3 1.2. KAAVAN TARKOITUS...3 1.3. KAAVAN PÄÄSISÄLTÖ...3

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 181 / 246 A.Raila,

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

CLEAR Virta 1 A 1 100100000 ka Teksti X-akseli Virta A. Muuta kaikki Kaavio selitysosio Verkon jännite U1 = 1 kv U2 = 1 kv U2

CLEAR Virta 1 A 1 100100000 ka Teksti X-akseli Virta A. Muuta kaikki Kaavio selitysosio Verkon jännite U1 = 1 kv U2 = 1 kv U2 Sähkötekniet lakentaohjelmat. Helinki 24.11.2014 Selektiiviyy (1-1-29) ohjelman eittely Selektiiviyy ohjelma on Microoft Excel ohjelmalla tehty lakentaovellu. Ohjelmat toimitetaan Microoft Office Excel

Lisätiedot

V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA

V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA V A R K A U S HÄYRILÄN ETELÄOSA RAKENTAMISTAPHJE 9-kaupunginoan, Häyrilän, korttelit 9, 9 ja 0 0 ja 0 Varkauden kaupunki Tekninen virato Maankäyttö / Kaavoitu YLEISTÄ Yleiuunnitteluohje täydentää Varkauden

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM A Tietoliikennetekniikka I Osa 21 Kari Kärkkäinen Kevät 2015

DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM A Tietoliikennetekniikka I Osa 21 Kari Kärkkäinen Kevät 2015 1 DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM 521357A Tietoliikennetekniikka I Oa 21 Kari Kärkkäinen DELTAMODULAATIO M 2 M koodaa näytteen ± polariteetin omaavaki binääripuliki. Idea perutuu ignaalin m(t muutoken

Lisätiedot

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina Jako 4: Dynamiikan peruteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautu- tai näyttöpäivä on maanantaina 8.8.2016. Kolmea enimmäieä lakua ovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia. T 4.1 (pakollinen):

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 5

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 5 5384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Haroitu 5. Häviötön 5 Ω:n aaltoohto on päätetty tuntemattomaan impedaniin. Aaltoohdolla olevaki ännitteen eiovan aallon uhteeki aadaan 3 a enimmäinen minimi havaitaan 5 cm:n

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Vuoden Beauceron -säännöt (voimassa alkaen) Yleisiä periaatteita

Vuoden Beauceron -säännöt (voimassa alkaen) Yleisiä periaatteita Vuoden Beauceron -äännöt (vomaa 1.1.2017 alkaen) Yleä peraatteta Klpalukau on kalentervuo. Mukaan hyväkytään van KoraNetta löytyvät tuloket pl. erkeen pteytetyt arvoklpalut. Yhden uortuken pteet muodotuvat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011 Aalto yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Virtausmekaniikka / Sovelletun mekaniikan laitos MUISTIO No CFD/MECHA-17-2012 pvm 22. kesäkuuta 2011 OTSIKKO Hilatiheyden määrittäminen ennen simulointia

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

B-CONTROL FADER BCF2000 B-CONTROL ROTARY BCR2000 Lyhyt käyttöopa Verio 1.0 marrakuu 2003 SUOMI TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lukekaa nämä ohjeet. HUOMIO: Sähköikulta

Lisätiedot

YDINSPEKTROMETRIA TENTTI mallivastaukset ja arvostelu max 30 p, pisterajat 15p 1, 18p 2, 21p 3, 24p 4, 27p - 5

YDINSPEKTROMETRIA TENTTI mallivastaukset ja arvostelu max 30 p, pisterajat 15p 1, 18p 2, 21p 3, 24p 4, 27p - 5 5573-5 YDISPEKTROMETRIA TETTI 9.5.05 mallivatauket ja arvotelu max 30 p, piterajat 5p, 8p, p 3, 4p 4, 7p - 5. Mittautehokkuu ja iihen vaikuttavat aiat/ilmiöt gammapektrometriaa (yht. 6 p) Vatau: ilmaiimea

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Lyhyt käyttöopa Verio 1.1 maalikuu 2003 VAMPIRE VAMP PRO VAMP 2 SUOMI TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lukekaa nämä ohjeet. 2) Säilyttäkää nämä ohjeet. 3) Huomioikaa

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Parametrisen EQ:n siirtofunktio. Analysoitava kytkentä. restart. Perinteinen parametrinen EQ voidaan toteuttaa vaikkapa seuraavasti:

Parametrisen EQ:n siirtofunktio. Analysoitava kytkentä. restart. Perinteinen parametrinen EQ voidaan toteuttaa vaikkapa seuraavasti: retart Parametrien E:n iirtofunktio Analyoitava kytkentä Perinteinen parametrinen E voidaan toteuttaa vaikkapa euraavati: R3 ja R4 korvataan yleenä potikalla, iten että pite G tulee potikan liukuun. Taajuuominaiuudet

Lisätiedot

Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0

Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0 Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Asunto Oy Vantaan Valotar

Asunto Oy Vantaan Valotar Aunto Oy Vantaan Valotar lapti.fi Au luonnonläheieä Aolaa Au luonnonläheieä Aolaa Aunto Oy Vantaan Valotar rakennaan luonnonläheieen Vantaan Aolaan. Se ijaitee rauhalliella alueella hyvien kulkuyhteykien

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot