No , s

Transkriptio

1 TASA-ARVOKAYRIEN ESITTAMINEN KONTROLLOIOULLA TARKKUUOELLA REKURSIOTA HYVASIKAYTTAEN Jorma Kolio Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 21 No , YHTEENVETO: FEM-lakennan graafiet eityket palvelevat eniijaieti lahtotietojen tarkitukea ja tuloten havainnollitamiea. Tuloten oalta niita voidaan nopeati kartoittaa tarkeat alueet, jonka jalkeen tarkat lukuarvot joudutaan kuitenkin joku etimaan tulolitoilta tai -tiedotoita. Monipuoliet, luotettavat ja tarkat graafiet eityket vahentavat tulotiedotojen elailu- ja tallennutarvetta eka opivat erinomaieti nykyiin yleityvien julkaiujarjetelmien aineitoki. Taa kirjoitukea eitetaan taa-arvokayraalgoritmi, jonka tarkkuu on kayttajan kontrolloitavia. Sen liatavoitteena on tuottaa taa-arvokayraeity mahdolliimman vahan vektoreita eka tietokonereureja kayttaen. Algoritmi on elkeati ohjelmoitavia. Rekuriota tukemattomiakin kielia voidaan kayttaa, koka rekurio ei kaytannon tapaukia ulotu 3-6 taoa yvempaan. Kirjoitukea eitetaan liaki joitain tulotuuureita ja eitytapoja, joita yleiohjelmat eivat tavallieti tue. JOHOANTO Taa-arvokayrien perinteiin ovellu lienee maaton korkeukayrien eittaminen; kayran piteiden korkeu tietyta vertailutaota mitattuna on vakio. Vataavati FEM-lakennaa havainnollitetaan ueiden uureiden jakaumia taa-arvokayrin. Valitaan opiva tao (20-tapaukia perutao, 30-tapaukia uein jakin leikkautao), talta taolta alue A eka eitettava uure f (kuva 1). Taa-arvokayra on niiden piteiden ura, joia 3

2 uureella on ama ennalta valittu arvo. Seuraavaa tehtavaan kekitytaan FEM-lakennan kannalta, vaikkakin eitettavaa algoritimia voidaan kayttaa muiakin ovellukia, eim. analyyttiten ja mitattujen funktioiden havainnollitamiea, pintoje n taoleikkaukia jne. Te rmilla tarkkuu tarkoitetaan taa euraavaa: mita parempi tarkkuu, ita paremmin algoritmin tuottama taa-arvokayra euraa kaytetyn interpolaation mukaita taa-arvokayraa. Toiaalta aatujen taa-arvokayrien kulku voi antaa viitteita myo varinaien ratkaiun tarkkuudeta. FEM-INTERPOLAATIO Funktiota kuvataan jakamalla tarkateltava alue oa-alueiiin eli elementteihin. Kunkin elementin alueella funktiota approkimoidaan elementtityypille ominaiilla interpolaatiofunktioilla, lahde /1/. Tavallieti vain funktio, eivat enaa en derivaatat, on jatkuva kahden vierekkaien elementin yhteiella reunalla. Taa eitykea kaitellaan 6- ja 8- olmuiia ioparametrii.a kolmio- ja nelikulmioelementteja. Monille muille elementtityypeille tehtava voidaan kaitella vataavaan tapaan. bfr- / J::;.f A f~ ~--- / 6- ja 8- olmuiet elementit Kuva 1. Funktion f taa-arvokayria alueea A ja tyypillinen elementtijako. Mikali piirrettava uure on analyyin perutuntematon, eim. iirtymauure tai lampotila, ita interpoloidaan ioparametriia elementeia amoilla funktioilla kuin elementin geometriaa- 4

3 kin. Johdannaiuureita, eim. jannitykomponentteja, kuvaavat interpolaatiofunktiot ovat kaarevareunaiia elementeia yleena luonnolliten koordinaattien r ja uhteen korkeampiateiia murtofunktioita. Tavallieti yleiohjelmia interpoloidaan kaikkien uureiden taa-arvokayrat amalla tavalla, perutuen olmupiteia maarattyihin kekiarvoihin ja elementtien jakamieen opiviin alikolmioihin. Nain eitetyt taa-arvokayrat ovat jatkuvia, mutta aadaan ehka liian optimitinen kuva ratkaiun tarkkuudeta. Mikali uureet eitetaan ilman taoitukia ja "todelliia" interpolaatiofunktioita kayttaen, voidaan elementin reunoilla eiintyvata epajatkuvuudeta arvioida myo ratkaiun tarkkuutta ja havaita alueita, joia verkon tihentaminen on tarpeen, lahde /2/. Taa eitykea tarkatellaan eniijaieti uuretta, jota voidaan interpoloida ioparametrieti. Muiden interpolaatiofunktioiden kaytto ei aiheuta periaatteelliia muutokia algoritmiin. Talloin tarvitaan vain luotettava korkea-ateiten polynomien juurten ratkaiija, ja muotofunktioiden oittaiderivaattojen (kantakoordinaattien x ja y uhteen) lauekkeet on tallennettava kertoimittain, jotta eim. jannitykomponenttien lauekkeet voidaan kirjoittaa ainoataan toien luonnollien koordinaatin funktiona, kun toita pidetaan vakiona. PERUSALGORITMIN KUVAUS Kutakin taa-arvokayraa etitaan elementtikohtaieti, eli haetaan kayran kaikki oat yhden elementin alueelta ja iirrytaan itten kaittelemaan euraavaa. Mikali taa-arvokayralla on ueampi kuin yki oakayra elementin alueella, ei voida uoraan paatella, mitka taa-arvokayran ja elementin reunojen leikkaupiteet kuuluvat amalle oakayralle. Kayran euraaminen tata tilanteeta lahtien on joku epaluotettavaa, eim. iteratiivinen elementin reunalta lahteva algoritmi voi erikoitapaukia harhautua vaaralle kayran oalle. Ongelma voidaan ratkaita rekuriota kayttaen. Nelikulmioelementti jaetaan neljaan oanelikulmioon ja kolmioelementti vataa- 5

4 vati neljaan oakolmioon (kuva 2). Jako on edullita tehda luonnolliten koordinaattie n uuntaieti, koka talloin taaarvokayran ja oa- alueen reunojen leikkaupiteet ratkeavat help ommin. Toinen tuntematon on vakio, joten taa kaytetya ioparametriea interpolaatioa tarvitaan vain toien ateen yhtalon ratkaiu yhden tuntemattoman uhteen. Oa-alueiden jakoa jatketaan, kunne taa-arvokayra leikkaa alueen reunat vain kahdea piteea. Taman jalkeen tutkitaan kayran eitytarkkuu ko. oa- alueea. Taa-arvokiiyrii Taa- arvokayra Kuva 2. Elementin jakaminen oa- alueiiin. ESITYSTARKKUUDEN KONTROLLOINTI Kun kayra leikkaa oa-alueen reunaa vain kahdea piteea, vataavat kantakoordinaatiton piteet voidaan lakea ja eittaa kayra karkeati vain yhditamalla piteet. Nain tapahtuu myo eitettavaa algoritmia, jo kaytetaan hyvin loyaa tarkkuuvaatimuta.. Tarkkuutta voitaiiin parantaa ykinkertaiimmin jatkamalla rekuriivita aluejakoa, kunne aetettu tarkkuuvaatimu aav u tetaan. Menettelytapa tuottaa kuitenkin paljon vektoreita eitytarkkuuteen verrattuna, ei ole kovin edullinen tietokoneajan uhteen ja liaki rekurio ulottuu tarpeettoman yvaan. Kayralta edellytetaan, ettei minkaan oajanan kekipiteen etaiyy kekinormaalin uunnaa todellielta kayralta ole annettua toleraniarvoa uurempi. Kokeiltiin algoritmia, joa Newton iteraatiota kayttaen haettiin lahin kekinormaalin uunnaa oleva todellinen taa- arvokayran pite. Se johti lahe amaan vektorimaaraan kuin euraavaa eitettava tapa (vain n. 6

5 1-2% vahemman), mutta vaati tetitapaukia n. 50% enemman tietokoneaikaa. Koka Newton iteraatio ei myokaan valttamatta aina uppene, en kaytota luovuttiin. Kuva 3. Oakayran tarkkuu ja tarkentaminen. Valitua menetelmaa laketaan kaanteien ioparametrien kuvaken avulla luonnolliten koordinaattien piteita A ja B vataavat arvot. Kuvaa 3 aiaa on havainnollitettu kayttamalla oa-alueena nelikulmioelementin "oikeata ylaneljanneta" ja kolmioelementin "ylinta kolmanneta". Edelleen laketaan funktion arvot em. piteia. Mikali haettava taa-arvo ijoittuu naiden arvojen valiin, eitytarkkuu hyvakytaan. Ehto ei kuitenkaan ole aina tayin tyydyttava. Korkeaateien interpolaation yhteydea voi eiintya eim. kuvan 4 mukainen tilanne, jolloin kayra ei ole riittavan tarkka, eika algoritmi ita havaite. Aia voidaan korjata uorittamalla tarkitu ueammaa janteen piteea. Nain voidaan tehda, koka tarkitu on hyvin nopea. Parabolielle ioparametrielle kuvaukelle tarkitu vain janteen kekipiteea on yleena hyvakyttavaa. r Kuva 4. Korkea-ateinen interpolaatio. 7

6 OSAKAYRAN TARKENTAMINEN Kuvaa 3 on eitetty oakayran tarkentamien periaate. Oa-alue "halkaitaan" pitaen vakiokoordinaattina ita luonnollita koordinaattia, jonka koordinaattiero janteen paia on uurin. Halkaiu tapahtuu janteen kekipiteen kautta. Leikkaupiteet ratkeavat jalleen ioparametrielle kuvaukelle yhden tuntemattoman toien ateen yhtalota. Myo tama vaihe on rekuriivinen, eim. kuvaa 3 jana 0-x on jouduttu puolittamaan ja edelleen janaa 0-1 jakamaan piteeeen 3 aakka. Jo jana 0-3 tayttaa tarkkuuvaatimuken, e eitetaan. Seuraavaki tarkitetaan jana 3-2. Tarvittaea ita jaetaan edelleen ja jatketaan amoin janojen 2-1 ja 1-x kana. Taa-arvokayrien liaki amaa algoritmia voidaan kayttaa myo elementtien reunakayrien eittamieen. Algoritmi tuottaa oa-alueen janat jarjetykea, mika helpottaa mahdollieti tarvittavaa lajittelua. KORKEAMPIASTEISET FUNKTIOT Jannitykomponentit voidaan eittaa Hooken lain ja iirtymaderivaattojen avulla. Jo kirjoitukea eitetyille kaarevareunaiille elementtityypeille johdetaan taojannitytilan jannitykomponenttien riippuvuu olmuiirtymita luonnolliten koordinaattien avulla lauuttuna, paadytaan murtofunktioihin, joiden eka oottaja etta nimittaja ovat neljannen ateen polynomeja. Mikali toita koordinaattia voidaan pitaa vakiona, ateluku on kolme. Kirjoitettiin rutiinit, jotka uorittavat polynomiaritmetiikan pitaen kunkin polynomin termin "erillaan". Nain jannityjakauma voidaan lauua uoraan luonnolliten koordinaattien funktiona. Kuitenkin jannitykomponenttien lakenta tata funktiota kayttaen edellyttaa enemman lakutoimitukia, kuin tavanomainen muotofunktiokutuun perutuva. Tat~ havainnollitaa euraava liukulukuproeorilla va rutetulla tietokoneella lakettu taulukko. 8

7 Taulukko 1. Taojannitytilakomponenttien ratkaiuaika 8-olmuiea kaarevareunaiea elementia kahdella eri menetelmalla. 1 Tavanomaiten muo- Murtofunktion! tofunktioalioh- avulla lakien l Samata elementita jelmakutujen tarvittava 1 lakettujen janni- edellyttama aika aika 1 Aikojen :::: ~tei:e~- - lkm. 1 _r J 0 _. 00 ~ l - -l-~l 0 _._0 _ 66 -f -::~: Vaikkakaan menetelma ei nayta tarjoavan teholiayta jannitykomponenttien lakentaan, e on ilti hyodyllinen algoritmeia, joia tuntemattomien erotteluta on etua. Kirjoituken menetelmaa tama mahdollitaa korkea-ateiia polynomeia yhden tuntemattoman kaittelyn kahden yhtaaikaien ijaan. MAHDOLLISIA ERIKOISTAPAUKSIA Era algoritmin tarkeimmita vaiheita on taa-arvokayran ja oaalueen reunojen leikkaupiteiden luotettava maarittaminen. Kuvaa 5 on eitetty kaki erikoitapauta. Kayra 1 leikkaa alueen reunan ja kulkee yhden en kulmapiteen kautta. Algoritmin on nainollen hyvakyttava leikkaupiteina myo reunan paatepiteet ja uodatettava paallekkaiet poi. Kayra 2 puoletaan havainnollitaa tapauta, joa kaki leikkaupitetta eivat viela takaa ita, etta kayra olii alueea. \ I \ 2 Kuva 5. Erikoitapaukia. Erikoitapauket voidaan ohjelmoida hyvin, mikali liaki on kaytettavia myo luotettava polynomin juurten ratkaiija. Tetiohjelmaa on tarkoitukellieti kaytetty opivia taa-arvokayrien kokonailukuarvoja, jotta vaikeimmat mahdolliet tapauk- 9

8 et aataiiin nakyviin. eiintyvat harvoin. Kaytannon tapaukia nama tilanteet VEKTOREIDEN LAJITTELU Kayttaja aattaa "varmuuden vuoki" valita tarpeettoman tiukan toleraniarvon, mika ei valttamatta paranna eityken elkeytta, mutta liaa aina vektorimaaraa (kayran kuvaamieen tarvittavia janoja) ja tietokoneen proeointiaikaa. Kun tulotulaitteen erotukyky ylitetaan, eity voi eim. kynapiirtureiden oalta jopa huonontua liaantyvien kynan notojen ja lakujen takia. Viimekimainittua haittaa voidaan korjata huomattavati jo lajittelemalla vain elementin alueen oajanat. Mikali amalla eitetaan myo elementtien reunaviivat, kynan notot ja lakut ijoittuvat elementtien reunoille, eivatka nainollen erotu. Eityken elkeyden liaki lajittelu on edullinen myo tiedotokoon uhteen. Jatkuvalle murtoviivalle tallennettavia koordinaattipareja tarvitaan vahemman. Ohjelmaa voidaan myo tarkitaa kayttajan antama tarkkuuvaatimu ja aataa e tulotulaitteen tarkkuutta vataavaki, jo tama ylitetaan. MUITA TULOSTUSSUUREITA JA ESITYSTAPOJA Yleikayttoiten FEM-ohjelmien taa-arvouureiden valikoima on joku liian uppea kattaen eim. vain lampotilan, jannitykomponentit ja vertailujannityket. Uein eim. iirtymat puuttuvat. Varinkin pinnan normaaliiirtymat ovat hyvin hyodylliia kuorirakenteiden iirtymatilan ja lommahdumuotojen tarkateluia. Mallin taoleikkaukita havaitaan nopeati pintojen muotovirheet ja -epatarkkuudet. Talloin ite aiaa on kyymy mallin geometrian taa-arvokayrita. Kolmidimenioiten elementtien taa-arvokayrat eitetaan tavallieti valitemalla leikkautao ja tarkatelemalla taa- 10

9 arvouureen kayttaytymita taa taoa. Joiakin tapaukia luontevampi ja parempaan l opputul okeen johtava tapa olii valita kerro toiiina liittyvia e lementteja, eim. rakenteen pintaan rajautuvat elementit. Mikali pinnan normaalia vataava luonnollinen koordinaatti aa kuakin elementia vakioarvon, yntyy mallin muotoa myotail eva pinta. Nyt voidaan tutkia taa-arvouur een kayttaytymita talla pinnalla vain kahden luonnollien koordinaatin funktiona. Lopullinen eity olii taman pinnan opiva pro jektio. Ioparametriea kuvaukea kayrat voidaan lakea aivan vataavaan tapaan kuin taa kirjoitukea kaitellyille elementeille, jopa muotofunktiotkin ja niiden derivaatat voidaan ratkaita vain 2 x 2 Jacobin matriiia kayttaen, lahde /3/. Elementin olmua laketun jannityeron iteiarvo vataavan olmun kekiarvojannityken iteiarvoon verrattuna tuottaa taaarvoeityken, jota havaitaan elkeati verkon epatarkat alueet. On ymmarrettavaa, ettei kaikkia kayttajien toiveita kyeta tayttamaan uoraan ohjelman uurevalikoimalla. Kuitenkin tilannetta voitaiiin ehka korjata allimalla kayttajan aliohjelma, joka aa FEM-ohjelmata parametreikeen laajan peruuureiden valikoiman. Kayttajan tulii maaritella oma uureena peruuure i den avulla, jolloin amalla maaraytyii myo ko. uureen interpolaatiofunktio. Eityken havainnolliuutta voidaan liata eim. piirtamalla poitiiviia ja negatiiviia arvoja vataavat kayrat eri vareilla tai viivatyypeilla (kuva 6). Kayrat voidaan myo eittaa kolmiulotteiina projioimalla ne halutulle taolle (kuva 7). Kolmiulotteiet kayrat voidaan nayttaa myo animaationa. Mikali eri katelupiteita piirretyt projektiot ladataan tyoaeman eri muititaoille tai -egmentteihin, niita voidaan vaihdella hyvin nopeati ja nain eittaa animaatio kiertyvata kohteeta. OHJELMOINTIIN LIITTYVAA Parhaiten algoritmin ohjelmointiin opinevat joko C-kieli tai Pacal, koka ne jo nyt tukevat rekuriiviia funktiokutuja. ll

10 Algoritrnin peruverio on kuitenkin ohjelrnoitu Fortran77-kielella varautuen rekuriotaoon 7 aakka, rnika on kaikia tetitapaukia hyvin riittanyt. Mikali rekurio ulottuu yvernpaan elernentin oa-aluejaon yhteydea kyeiia oa-alueia olevat taa-arvokayrien oat jaavat kokonaan eittarnatta. Jo taa ylity tapahtuu oakayran tarkentarnivaiheea, kayra eitetaan illa tarkkuudella, kuin yvin rekuriotao en allii. Rekuriotaon yvyy aetetaan Fortranilla ohjelrnoitaea koodin kirjoituvaiheea, ja e vaikuttaa koodin rnaaraan. Kuvan 6 taa-arvokayrat on eitetty tarkkuuparametrin tol arvolla kuvan ivumitta I 27000; kuvaa on 3530 vektoria. Lakenta ja eityaika n. 1 Mip tehoiella tyoaematietokoneella on n. 55 ek. Kuva 6. Taaivuien kolmio- ja uorakaideprofiilien vaantokayritymifunktion taa-arvokayrat, lahde /4/. Kuva 7. Projiioidut taa-arvokayrat (kuvaa on rnuokattu CADohjelrnalla). 12

11 Kaytannoa nain uurta eitytarkkuutta tukin tarvitaan. Uein on tarkeampaa, kuinka hyvin elementtien muotofunktiot interpoloivat todellita funktiota. Eim. kuvaa 6 nakyvia taa-arvokayria on lievaa aaltoilua; kaytetty elementtijako on uhteellien harva. Kokeneellekin kayttajalle em. mahdolliuudet aattavat liata tuloten tulkintanopeutta, mutta parhaimmillaan ne lienevat raportoitaea ja eiteltaea lakentoja muille henkiloille. FEMlakentaahan pidetaan joku hieman "etaiena" aiana. Syy voi joku olla myo eitytekninen. KIITOS Lopuki haluaiin kiittaa tekn. tri. Eero-Matti Salota ja dipl.in. Jouni Freundia huolellieta kaikirjoitukeeni perehtymieta ja hyvita huomautukita. LAHTEET [1] K-J. Bathe, Finite element procedure in engineering analyi. Prentice - Hall, inc [2] T. Suman, K-J. Bathe, Studie of finite element procedure - tre band plot and the evaluation of finite element mehe. Eng. Comput., 1986, Vol. 3, [3] B. Iron, S. Ahmad, Technique of finite element, John Wiley & Son, New York 1980, [4] A. Ylinen, Kimmo ja lujuuoppi II, Werner Sodertrom Oy, Porvoo 1970, Jorma Kolio, dipl.in., Valmet paperikoneet Oy 13