Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 2: Kompleksinen derivaatta ja integrointi, analyyttiset funktiot. Derivaatta ja analyyttinen funktio

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 2: Kompleksinen derivaatta ja integrointi, analyyttiset funktiot. Derivaatta ja analyyttinen funktio"

Transkriptio

1 Mtemtiikn peruskurssi KP3 I OSA 2: Kompleksinen derivtt j integrointi, nlyyttiset funktiot Antti Rsil Jn v.pfler (modif.) 26. syyskuut 27 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 1 / 7 1 Derivtt j nlyyttinen funktio Derivtt j nlyyttinen funktio, esimerkkejä uchy-riemnnin yhtälöt Hrmoniset funktiot 2 Kompleksinen integrointi Polku tsoss Kompleksinen polkuintegrli Perusominisuuksi Yksinkertinen suljettu polku Yhdesti yhtenäinen lue Anlyyttisen funktion integrli Ei-nlyyttisen funktion integrli ML-epäyhtälö Greenin luse 3 uchyn integrliluse uchyn integrliluse Riippumttomuus integrointipolust uchyn integrliluse khdesti yhtenäiselle lueelle uchyn integrlikv Anlyytisen funktion derivtt Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 2 / 7 4 Morer s luse Derivtt j nlyyttinen funktio Derivtt j nlyyttinen funktio Olkoot D lue, f : D funktio j z D. Määritelmä Funktio f on derivoituv pisteessä z, jos on olemss rj-rvo: f (z + w) f (z ) lim = f (z ). w w Huom, että tässä w j rj-rvo ei siis s riippu suunnst jost w. Tämä osoitttuu huomttvn keskeiseksi vtimukseksi. Olkoot D lue, f : D funktio j z D. Määritelmä Funktio f on nlyyttinen lueess D, jos se on derivoituv jokisess pisteessä z D. Funktio f on nlyyttinen pisteessä z, jos se on nlyyttinen josskin pisteen z ympäristössä. Emme voi puhu nlyyttisyydessä vin isoloiduss pisteessä, kosk rj-rvon käsitettä (eikä siis derivtn käsitettä) ole silloin määritelty. Myöhemmin olemme nimen omn kiinnostuneet siitä missä lueess nnettu f on nlyyttinen. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 3 / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 4 / 7

2 Derivtt j nlyyttinen funktio, esimerkkejä Derivtt j nlyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = c (eli vkiofunktio). Yritetään lske f (z): f (z + w) f (z) w = c c w =. Johtopäätös: rj-rvo on olemss kikkill (vstus ei edes riipu pisteestä z) j siten f on derivoituv j siis nlyyttinen kikkill. Lisäksi f (z) =. Olkoon f (z) = z (identtinen kuvus). Yritetään lske f (z): f (z + w) f (z) w = z + w z w = w w = 1. Johtopäätös: rj-rvo on olemss kikkill j siten f on derivoituv j siis nlyyttinen. Lisäksi f (z) = 1. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 5 / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 6 / 7 Derivtt j nlyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = Re z. Yritetään lske f (z): Derivtt j nlyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = z. Yritetään lske f (z). f (z + w) f (z) w = Re z + Re w Re z w = Re w w. f (z + w) f (z) w = z + w z w = w w. Jos w R \ {}, niin Re w w = w w = 1. Toislt, jos puhtsti imginrinen, w = it ir \ {}), niin Re w w = w =. Johtopäätös: rj-rvo ei ole olemss j siten f ei ole derivoituv eikä siis nlyyttinen missään pisteessä. Jos w R \ {}, niin w w = w w = 1. Toislt, jos puhtsti imginrinen, w = it ir \ {}, (t R \ {}), niin w w = w w = 1. Johtopäätös: rj-rvo ei ole olemss j siten f ei ole derivoituv eikä siis nlyyttinen missään pisteessä. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 7 / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 8 / 7

3 Derivtt j nlyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = z 2. Yritetään lske f (z). Derivoimissääntöjä (todistukset kuten relisess tpuksess) Summ (f + g) (z) = f (z) + g (z), f (z + w) f (z) w = (z + w)2 z 2 w = 2z + w (w ) 2z. Tulo (fg) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z), Johtopäätös: Funktioll f on derivtt f (z) = 2z jokisess tson pisteessä z, joten se on nlyyttinen koko kompleksitsoss. Vstvsti g(z) = z n on nlyyttinen koko tsoss j g (z) = nz n 1. Osmäärä ( f ) (z) f (z)g(z) f (z)g (z) = [ ] g 2, jos g(z), g(z) Yhdistetty funktio (f g) (z) = f (g(z)) g (z). Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 9 / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 1 / 7 Seuruksi Seuruksi Erityisesti sdn: Anlyyttisten funktioiden summ j tulo ovt nlyyttisiä. Anlyyttisistä funktioist yhdistetty funktio on nlyyttinen. Seurus Polynomit ovt nlyyttisiä funktioit. Khden polynomin P(z) j Q(z) osmäärää f (z) = P(z) Q(z), kutsutn rtionlifunktioksi. Rtionlifunktio on nlyyttinen lukuunottmtt niitä pisteitä, joiss Q(z) =. Tässä oletetn, että P:n j Q:n yhteiset tekijät on sievennetty pois (miksi oletus?). Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

4 uchy-riemnnin yhtälöt Kirjoitetn nlyyttinen funktio f : D reli- j imginriosn vull f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), missä x, y R j siis z = x + iy. Osittisderivoidn funktiot u + iv x y u(x, y) + i x v(x, y) = u(x, y) + i y v(x, y) = x y f (x + iy) = f (x + iy) = f (z) z x = f (z) 1 f (z) z y = f (z) i Ensimmäinen yhtäsuuruusmerkki seur f :n määritelmästä, toinen yhdistetyn funktion luseest. Kertomll lemp yhtälöä i:llä sdn x u(x, y) + i v(x, y) = x y v(x, y) i u(x, y) y jost uchy-riemnnin yhtälöt: u(x, y) = v(x, y), x y u(x, y) = v(x, y). (1.1) y x Oletetn, että funktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) on määritelty j jtkuv josskin pisteen z = x + iy ympäristössä j derivoituv pisteessä z. Tällöin funktioill u j v on osittisderivtt pisteessä z j ne toteuttvt uchy-riemnnin yhtälöt (1.1). Seurus Erityisesti, jos f (z) on nlyyttinen lueess D, niin osittisderivtt ovt olemss j toteuttvt uchy-riemnnin yhtälöt (1.1) kikill z D. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 uchy-riemnnin yhtälöt, jtko Esimerkkejä Jos u(x, y) j v(x, y) ovt khden relimuuttujn funktioit, joill on jtkuvt osittisderivtt muuttujien x, y suhteen, jotk toteuttvt uchy-riemnnin yhtälöt (1.1) lueess D, niin kompleksinen funktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) on nlyyttinen lueess D. Todistus. Sivuutetn. f (z) = z 2. Merkitään z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), jolloin f (z) = z 2 = (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy y 2 j siis u(x, y) = x 2 y 2 j v(x, y) = 2xy. Verrtn neljää osittisderivtt: u(x, y) = 2x = v(x, y), x y u(x, y) = 2y = v(x, y). y x Johtopäätös: f on nlyyttinen funktio kikille z. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

5 Esimerkkejä Esimerkkejä f (z) = z 2 = x 2 + y 2. joten u(x, y) = x 2 + y 2 j v(x, y) =. Verrtn osittisderivttoj: u x u y = 2x v y =. = 2y v x = Funktio f on siis derivoituv inostn pisteessä z = (joss 2x = 2y = ). Erityisesti millään pisteellä z ei ole sellist ympäristöä, joss f olisi derivoituv, joten f ei ole nlyyttinen missään. Eksponenttifunktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = e x (cos y + i sin y). Nyt u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sin y. Osittisderivtt ovt x u(x, y) = ex cos y = v(x, y), y y u(x, y) = ex sin y = v(x, y). x Johtopäätös: eksponenttifunktio on nlyyttinen kikille z. Seurus: sin z j cos z ovt nlyyttisiä. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Esimerkkejä Logritmifunktio f (z) = Ln (z) = ln r + iθ kun z = re iθ. Ln(z) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + i rctn y x = u + iv. Lsketn osittisderivtt: u x = x x 2 + y 2 = 1 x (y/x) 2 = v y, Lsketn u y = (Ln z) = u x + i v x = y x 2 + y 2 = y x (y/x) 2 = v x. x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 = x iy x 2 + y 2 = z z z = 1 z. Johtopäätös: Ln z on nlyyttinen funktio lueess D = \ {x R : x } - miksi ei joukoss \ {}? Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Kuv: \ {x R : x }. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 2 / 7

6 Neliöjuuri Sovellus Neliöjuuren päähr voidn kirjoitt z 1/2 = re 1 2 Ln z. Seurus: yhdistetyn kuvuksen derivtn kvst voidn päätellä, että neliöjuuri on nlyyttinen smss lueess kuin Ln z on. Jos f : D on nlyyttinen j f (z) = c (vkio) D:ssä, niin f (z) = c (vkiofunktio). Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Todistus Todistus, jtko Oletusten nojll f 2 = u + iv 2 = u 2 + v 2 = c 2. Jos c = niin selvästi f = j siis vkiofunktio. Riittää siis trkstell tpust c. Derivoimll sdn u u x + v v x =, u u y + v v y =. Kosk v/x = u/y, v/y = u/x, sdn u u x v u y =, u u y + v u x =. Kosk c sdn (u 2 + v 2 ) u x (u 2 + v 2 ) u y eli u on vkiofunktio. = c 2 u x = ; u/x = j = c 2 u y = ; u/y = uchy-riemnnin yhtälöiden nojll myös v/x = v/y =. joten myös v j siten f ovt vkiot. Kerrotn vsen yhtälö u:ll, oike v:llä. Lsketn yhteen, jolloin u/y häviää; (u 2 + v 2 ) u x =. Vstvsti (u2 + v 2 ) u y =. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

7 Lplcen yhtälö, hrmoniset funktiot Olkoon D lue, u : D kksi kert differentioituv funktio. Merkitään u = 2 u = 2 u x u y 2. Funktiot u snotn hrmoniseksi lueess D, jos se toteutt Lplcen yhtälön: u =. (1.2) Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Lplcen yhtälö, jtko [KRE9 s.622] Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) nlyyttinen funktio lueess D. Tällöin sekä u että v ovt hrmonisi. Todistus. Todistetn väite ensin funktion f relioslle u. uchy-riemnnin yhtälöistä sdn u x = v y j u y = v x. Siten 2 u x 2 = 2 v yx j 2 u y 2 = 2 v xy. Kosk nlyyttisen funktion derivtt on nlyyttinen funktio, sillä on jtkuvt osittisderivtt j derivointijärjestystä voidn viht. Sdn u = 2 u x u y 2 = 2 v yx 2 v xy = 2 v xy 2 v xy =. Kosk myös if (z) on nlyyttinen myös v =. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Hrmoninen konjugttifunktio Polun prmetriesitys Mikä thns jtkuv funktio z : [, b] R : t z(t) Määritelmä Olkoon u : D R hrmoninen funktio. v : D R on u:n hrmoninen konjugttifunktio jos f = u + iv : D on nlyyttinen. määrää kompleksitson joukon. Smn joukon voi esittää usell eri funktioll. Esimerkiksi yksikköympyrä z 2 = x 2 + y 2 = 1 voidn kirjoitt muodoss (t [, 1]) z(t) = e 2πit = cos(2πt) + i sin(2πt), z(t) = e 2πit = cos(2πt) i sin(2πt) ti z(t) = cos(2πt 2 ) + i sin(2πt 2 ). Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

8 Polku tsoss Polku tsoss Oletetn jtkoss, että prmetrisointi z : [, b] on sileä funktio lukuunottmtt äärellisen mont pistettä t i [, b]. Määritelmä Snomme että kksi prmetrisointi z : [, b] R j w : [, b ] R ovt ekvivlenttej, jos löytyy sileä funktio s : [, b] [, b ] siten että s (t), s() =, s(b) = b j z(t) = w(s(t)) kiklle t [, b]. Polku on niiden prmetrisointien joukko, jotk ovt em mielessä ekvivlenttej. Tämä seuruksen polku on suunnttu kompleksitson joukko; polull voi oll eri prmetriesityksiä, mutt kikill esityksillä muodostuu sm joukko ({z(t) : t [, b]} = {w(t) : t [c, d]}) j esityksillä on sm suunt Polku on suljettu (closed), jos z() = z(b). Jos derivtt z/t on olemss j nollst poikkev kikkill, polku kutsutn sileäksi (smooth). Jos z : [, b] on polun prmetrisointi voimme puhu käänteisen suunnn polust määrittelemällä prmetrisoinnin w : t [, b] z(b t). Merkitsemme tätä polku. Polkuj voi luontevsti yhdistää, merkitsemme tätä + D. Polku voi käydä smss kompleksitson pistessä usen kertn: z : t [, 2π] e 4ti kiertää origon nelkä kert. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 3 / 7 Kompleksinen polkuintegrli Perusominisuuksi Määritelmä Olkoon : z(t) = x(t) + iy(t), t [, b] sileä polku kompeksitsoss j f (z) jtkuv funktio, jok on määritelty inkin jokisess :n pisteessä. f (z) dz = b f (z(t))f (t) dt. Jos polku on ploittin sileä, määritellään integrli summn integrleist kunkin sileän osvälin yli. Linerisuus. [f (z) + bg(z)] dz = f (z) dz + b g(z) dz. Suunnn vihtminen. Jos integroidn pitkin sm polku vstkkiseen suuntn, etumerkki vihtuu: Z z f (z) dz = f (z) dz. f (z) dz = f (z) dz Z z Ksvvn prmetrin t määräämää suunt kutsutn positiiviseksi suunnksi. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

9 Perusominisuuksi, jtko Yksinkertinen suljettu polku Jko ospolkuihin. Jos on polku j 1, 2 ovt :n ospolkuj kuten kuvss, niin f (z) dz = f (z) dz + 1 f (z) dz. 2 Polku snotn yksinkertiseksi, jos se ei leikk ti kosket itseään (muull kuin päätepisteissä). Kuv: Polut 1 j 2 ovt yksinkertisi, 3 j 4 eivät. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Yhdesti yhtenäinen lue Anlyyttisen funktion integrli Aluett D snotn yhdesti yhtenäiseksi, jos jokinen yksinkertinen polku lueess sulkee sisäänsä vin D:n pisteitä. Kuv: Alueet 1 j 2 ovt yhdesti yhtenäisiä, 3 on khdesti yhtenäinen j 4 kolmesti yhtenäinen. Olkoon f (z) nlyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä lueess D. Tällöin on olemss f (z):n integrlifunktio lueess D, ts. nlyyttinen funktio F (z), jolle pätee F (z) = f (z), kun z D. Lisäksi kikille pisteitä z, z 1 yhdistäville (ploittin sileille) poluille D:ssä pätee z1 z f (z) dz = F (z 1 ) F (z ). Tod. [Kreyszig] Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

10 Anlyyttisen funktion integrli, huomutuksi Anlyyttisen funktion integrli, esimerkkejä 1 Kosk kikill pisteitä z, z 1 yhdistävillä poluill integrli on sm, voidn kirjoitt integrli z :st z 1 :hteen sen sijn, että kirjoitettisiin integrli yli :n. 2 Tämä tulos vst relinlyysistä tuttu kv b f (x) dx = F (b) F (), [F (x) = f (x)]. 3 Tuloksen knnlt on olennist, että lue D on yhdesti yhtenäinen. Tästä lisää esimerkeissä πi πi 8 3πi 8+πi 1+i z 2 dz = 1 1+i 3 z3 = 1 3 (1 + i)3 = i. cos z dz = sin z πi πi = 2 sin(πi) = 2i sinh π 23, 97i. 8 3πi e z/2 dz = 2e z/2 = 2(e 4 3πi/2 e 4+πi/2 ) =, 8+πi kosk e z on jksollinen j sen jkso on 2πi. i i dz z = Ln i Ln ( i) = iπ ( 2 iπ ) = πi. 2 Huom. Tässä trksteltv (yhdesti yhtenäinen) lue on D = \ z R : z. Edellisellä viikoll todettiin, että Ln (z) on nlyyttinen tässä lueess. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Esimerkkejä Integroidn funktiot f (z) = 1/z vstpäivään yksikköympyrän kehän ympäri. Yksikköympyrän prmetriesitys on z(t) = cos t + i sin t = e it, Derivoimll z(t) sdn z (t) = ie it. Sijoituksell sdn Lsketn f (z(t)) = 1/z(t) = e it. t [, 2π]. dz 2π 2π z = e it ie it = i dt = 2πi. Esimerkkejä Integroidn funktiot f (z) = (z z ) m, m Z vstpäivään ympyrän, jonk keskipiste on z j säde r kehän ympäri. :n prmetriesitys on muoto Sdn z(t) = z + r(cos t + i sin t)) = z + re it, Sijoittmll sdn edelleen (z z ) m dz = (z z ) m = r m e imt, z (t) = ire it. 2π t [, 2π]. 2π r m e imt ire it dt = ir m+1 e i(m+1)t dt. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 4 / 7

11 Jtko Eulerin kv käyttämällä sdn 2π ir m+1 e i(m+1)t dt [ 2π = ir m+1 cos ( (m + 1)t ) dt + i 2π sin ( (m + 1)t ) ] dt. Ei-nlyyttisen funktion integrli Integroidn funktiot f (z) = Re z = x pisteestä pisteeseen 1 + 2i pitkin kht eri reittiä, () pitkin kuvn polku j (b) pitkin polku, jok muodostuu jnoist 1 j 2. Jos m = 1, niin r m+1 = 1, cos = 1, sin =, eli integrli on 2πi. Jos m 1, molemmt integrlit ovt svt rvon, kosk integrointi tphtuu yli välin, jonk pituus on 2π eli funktioden sin j cos jkso. Sdn: (z z ) m dz = { 2πi, jos m = 1,, jos m 1 on kokonisluku. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Ei-nlyyttisen funktion integrli, jtko Ei-nlyyttisen funktion integrli, jtko Polun prmetriesitys on z(t) = t + 2it, t [, 1]. Sdn z (t) = 1 + 2i j f (z(t)) = x(t) = t polull. Lsketn Re z dz = 1 t(1 + 2i) dt = 1 2 (1 + 2i) = i. Seurvksi lsketn integrli pitkin polku. Polull 1 sdn z(t) = t, z (t) = 1, f (z(t)) = x(t) = t, kun t [, 1]. Polull 2 vstvsti z(t) = 1 + it, z (t) = i, f (z(t)) = x(t) = 1, kun t [, 2]. Lsketn integrli Re z dz = Re z dz + 1 Re z dz = 2 1 t dt+ 2 1 i dt = i. Tulos on eri kuin pitkin polku integroimll stu. Johtopäätös: Integrli voi riippu polun vlinnst. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

12 ML-epäyhtälö Oletetn, että polku kompleksitsoss j f : on jtkuv funktio. Lisäksi oletetn, että :n pituus on L j f (z) M kikill z. Tällöin: f (z) dz ML. Trvitsemme todistukseen pri putulost seurviss klvoiss. ML-epäyhtälö; jtkuu Olkoon [, b] R joss < b j g : [, b] jtkuv. Tällöin b b g(t) dt g(t) dt. Todistus: Mielivltiselle välin [, b] jolle = t < t 1 < < t n = b: tn n ti g(t) dt = g(t) dt t i=1 t i 1 n ( ) t i t i 1 mx g(s) s [t i 1,t i ] i=1 tn g(t) dt, kun n j mx t i t i t i 1. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 ML-epäyhtälö; jtkuu Etäisyys khden kompleksitson pisteen z j w välillä, on sm kuin etäisyys tulkittun tsoss z w 2 = (Re z Re w) 2 + (Im z Im w) 2, Oletetn että z on sileä. Trkstelemll polku z(t) = x(t) + iy(t), t [, b ] j oletetn < b b. Tson kren (x(t), y(t)) pituus L [,b] pisteiden z() (x(), y()) j z(b) (x(b), y(b)) välillä voidn lusu b b L [,b] := x 2 (t) + y 2 (t) dt = z (t) dt Jos polku on on vin ploittin sileä edellistä voidn sovelt kuhunkin sileään pln erikseen: plojen pituuksien summ on kren pituus. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 ML-epäyhtälö; jtkuu Sovelletn käyrän pituutt kompleksisen polkuintegrliin rviointiin ylhäältä. b f (z) dz = f (z(t))z (t) dt (1) (2) (3) b b sup t [,b] f (z(t))z (t) dt f (z(t)) z (t) dt f (z(t)) } {{ } M b z (t) dt } {{ } L = ML. L on kren pituus j M ylärj funktion modulille käyrällä. (1) Edellä g(t) = z (t)f (z(t)). (2) Khden kompleksiluvun tulon moduli. (3) Arvio ylöpäin vkioll f (z) < M. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

13 Esimerkki Greenin luse Etsitään ylärj integrlin z 2 dz itseisrvolle, kun on pisteitä j 1 + i yhdistävä jn. Hvitn, että :n pituus L = 2 j f (z) = z 2 2. Sovelletn ML-epäyhtälöä: z 2 dz 2 2. Jos D on joukko, merkitään sen sulkeum, eli pienintä suljettu joukko jok sisältää D:n, D:llä. Oletetn, että D on rjoitetettu lue tsoss, jonk reun koostuu äärellisen monest sileästä käyrästä. Oletetn lisäksi, että u(x, y) j v(x, y) ovt jtkuvi funktioit joill on jtkuvt osittisderivtt josskin lueess G, jok sisältää D:n Tällöin (v x u ) dxdy = (u dx + v dy). y D Todistus. [Kreyszig] ti ikisempi kurssi. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 5 / 7 uchyn integrliluse Todistus Jos f (z) on nlyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä lueess D, niin jokiselle yksinkertiselle suljetulle polulle, jok sisältyy D:hen pätee: f (z) dz =. Oletetn lisäksi, että f (z) on jtkuv. Tämä on tott, mutt sitä ei ole todistettu. Aikisemmin on osoitettu, että, f (z) dz = (u dx v dy) + i joss f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y). (u dy + v dx). Kosk f (z) on nlyyttinen lueess D, derivtt f (z) on olemss. Kosk oletettiin, että f (z) on jtkuv, u:ll j v:llä on jtkuvt osittisderivtt D:ssä. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

14 Todistus, jtko Voidn siis sovelt Greenin lusett. Sdn: ( (u dx v dy) = v x u ) dxdy, y missä R on suljetun polun rjm lue. Soveltmll uchy-riemnnin yhtälöitä hvitn, että R v x u y =, siis integrli kvss oikell on noll, j edelleen integrli vsemmll on noll. Smn tpn voidn päätellä, että (u dy + v dx) =. Esimerkkejä Kokoniset (entire) funktiot, ts. funktiot, jotk ovt nlyyttisiä koko kompleksitsoss: e z dz =, cos z dz =, z n dz =, kun n =, 1,..., jne. jokiselle suljetulle polulle, kosk nämä funktiot ovt nlyyttisiä kikille z. Singuleriteetit polun ulkopuolell: dz cos z =, dz z =, jos on yksikköympyrä siitä huolimtt, että 1/ cos z ei ole nlyyttinen pisteissä z = ±π/2, ±3π/2,..., kosk mikään näistä pisteistä ei ole yksikköympyrän sisällä. Toisen integrlin tpuksess singulriteetit ovt z = ±2i, siis myös :n ulkopuolell. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Esimerkkejä Esimerkkejä Ei-nlyyttiset funktiot: z dz = 2π e it ie it dt = 2πi, missä on yksikköympyrä. Tämä ei ole vstesimerkki uchyn integrliluseelle, kosk f (z) = z ei ole nlyyttinen. Anlyyttisyys on riittävä, ei välttämätön oletus. dz z 2 =, Yhdesti yhtenäisyys on olennist: dz z = 2πi, jos integroidn vstpäivään yli yksikköympyrän. sijitsee lueess, joss f on nlyyttinen, mutt lue ei ole yhdesti yhtenäinen j siksi uchyn luse ei päde. missä on yksikköympyrä. Tämä ei seur uchyn integrliluseest, kosk f (z) = 1/z 2 ei ole nlyyttinen :ss. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

15 Riippumttomuus integrointipolust Todistus Jos f (z) on nlyyttinen yhdesti yhtenäisessä lueess D, niin sen polkuintegrli riippuu vin polun päätepisteistä, mutt ei riipu (D:ssä) vlitust polust päätepisteiden välillä. Olkoot z 1, z 2 pisteitä D:ssä. Oletetn, että 1, 2 ovt sellisi pisteit z 1, z 2 yhdistäviä polkuj D:ssä, jotk yhtyvät inostn päätepisteissä. Olkoon polku, jok sdn kulkemll ensin polku 1 positiiviseen suuntn pisteestä z 1 pisteeseen z 2 j sitten polku 2 negtiiviseen suuntn eli tkisin pisteeseen z 1. Kosk polku on yksinkertinen suljettu polku yhdesti yhtenäisessä lueess D, on uchyn integrliluseen nojll integrli yli :n noll. Toislt integrli yli :n on summ integrleist yli polkujen 1 j 2, joten niiden täytyy oll smt. Väite on siis tosi tpuksess, joss polut 1, 2 koskettvt vin päätepisteissä. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Todistus, jtko Jos poluill 1, 2 on äärellisen mont yhteistä pistettä, polku voidn jk äärellisen moneksi yksinkertiseksi suljetuksi poluksi j sovelt niihin sm päättelyä. Hhmotelm päättelystä tilnteess, joss poluill 1, 2 on äärettömän mont yhteistä pistettä. Huomtn, että voidn integrli on noll sellisill väleillä, jotk kuljetn ensin pitkin käyrää 1 j tulln tkisin pitkin käyrää 2. Jäljelle jää tilnne, joss on olemss piste z 1 2, jonk jokisess ympäristössä polut kohtvt äärettömän mont olemtt kuitenkn smt. Vlitn k > 1 siten, että B(z, 2 k ):ss on vin yksi tällinen piste. Tällöin ympyrärenkss D k = B(z, 2 k ) \ B(z, 2 k 1 ) voi enintään äärellisen mont pistettä, joiss 1, 2 kohtvt, kun k k. Sovelletn ikisemp päättelyä tähän kullkin k. Toislt käyräintegrli sisemmän ympyrän sisään jäävässä osss menee nolln, kun k. Tulos sdn rj-rvon. uchyn integrliluse khdesti yhtenäiselle lueelle Oletetn, että D on khdesti yhtenäinen lue, polut 1 j 2 ovt sen reunkomponentit ( 2 on sisempi) j D on sellinen lue, että D D. Lisäksi oletetn, että f (z) on nlyyttinen funktio D :ssä. Tällöin f (z) dz = f (z) dz, 1 2 missä integrointi suoritetn vstpäivään kummnkin lueen ympäri. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 6 / 7

16 Todistus Todistus Tekemällä kksi leikkust, D voidn jk khdeksi yhdesti yhtenäiseksi lueeksi D 1, D 2, joiden kummnkin reunll f on nlyyttinen. uchyn integrliluseen nojll f :n polkuintegrlit yli D 1 :n j D 2 :n reunojen ovt noll. Hvitn, että ne lueiden D 1, D 2 reunn ost, jotk syntyivät leikttess luett D integroidn molemmiss tpuksiss j vstkkisiin suuntiin. Lskemll integrlit yhteen ne häviävät j sdn f (z) dz f (z) dz =, 1 2 kosk 2 integroitiin myötäpäivään. Sm ide voidn sovelt myös muiden monesti yhtenäisten lueiden tpuksiss. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 uchyn integrlikv Todistus Olkoon f (z) nlyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä lueess D. Tällöin kikkille pisteille z D j sellisille poluille, jotk ympäröivät z :n D:ssä pätee: f (z ) = 1 2πi integroiden vstpäivään :tä pitkin. f (z) z z dz, Kirjoitetn f (z) = f (z ) + [f (z) f (z )]. Sijoittmll tämä luseen integrliin sdn f (z) dz f (z) f (z ) dz = f (z ) + dz. z z z z z z Aikisemmin on osoitettu, että ensimmäinen yhtälön oikell puolell olevist integrleist on 2πi (esimerkin tpus, kun m = 1). Riittää siis näyttää, että toinen integrleist on noll. Hvitn, että integroitv funktio on nlyyttinen lukuunottmtt pistettä z. Aikisemmn tuloksen (uchyn integrliluse monesti yhtenäisille lueille) nojll käyrä voidn korvt ympyrällä S, jonk keskipiste on z j säde r > integrlin rvo muuttmtt. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

17 Todistus, jtko Kosk f (z) on nlyyttinen, se on jtkuv. Jos siis ε > on nnettu, niin löydetään sellinen δ >, että f (z) f (z ) < ε kikille z, joille z z < δ. Vlitn ympyrän S säde r pienemmäksi kuin δ. Sdn epäyhtälö f (z) f (z ) z z < ε r kikill z S. Lisäksi S:n pituus on 2πr. Sovelletn ML-epäyhtälöä j sdn f (z) f (z ) dz z z < ε 2πr = 2πε. r Esimerkkejä 1 Mille thns suljetulle pistettä z = 2 ympäröivälle polulle 2 kun ympäröi pisteen z = i/2 e z z 2 dz = 2πie2 = 46, 4268i. z 3 6 2z i dz = z 3 /2 3 z i/2 dz = 2πi[(i/2)3 /2 3] = π/8 6πi. Kosk ε > voidn vlit mielivltisen pieneksi, integrlin on oltv noll. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Anlyyttisen funktion derivtt Anlyyttisen funktion derivtt Olkoon f (z) nlyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä lueess D. Tällöin kikkille pisteille z D j sellisille vstpäivään suunntuille poluille, jotk ympäröivät z :n D:ssä kerrn pätee: f (n) (z ) = d n f dz n (z ) = n! 2πi f (z) dz. (z z ) n+1 Seurus Jos f (z) nlyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä lueess D, myös f (k) nlyyttinen funktion. Muist: Funktio f on nlyyttinen pisteessä z jos f (z) on olemss jollkin z:n (mielivltisen pienessä) voimess ympäristössä. Määritelmä ei puhu muiden derivttojen olemssolost. Edellisen luseen integrliluseke oikell on z :n jtkuv funktio, j toislt integrliluseke on derivoitviss z :n suhteen. Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7

18 Estimtti derivtoille Morer n teoreem Olkoon f nlyyttinen yhdesti yhtenäisessä lueess D, j suljettu polku z keskeinen r säteinen ympyränkri vstpäivään, D. Tällöin f (n) (z ) = n! f (z) 2π dz (z z ) n+1 n! 2π mx f (z) z z n+1 2πr n!r n mx f (z) z Voimme siis tutkimll funktion rvoj pisteen sd tietoj funktion mielivltisen derivtn suuruudest. Tutkimll funktion rvo vin yhdessä pisteessä, f (z ), emme s luseen vull mitään tieto korkemmist derivtoist, miksi ei? Tätä tulost trvitn myöhemmin osoittmn että ns Tylor srj k= f (n) n! (z z ) n suppenee. Millä z:n rvoill voit edellisen perusteell sno srjn suppenevn? Morern teoreem Jos f (z) on jtkuv yhdesti yhtenäisessä luess D, j f (c) dz = kikill suljetuill poluill D, f : D on nlyyttinen. Esimerkki: Trkstelln funktiot f (z) = 1/z 2. Aikisempi esimerkki osoitti, että f (z) dz = kun on yksikköympyrä. Polku muodostuu jnoist z 1 z 2 j z 2 z 3, j z 2 -keskeisestä 2-säteisestä ympyränkrest z 3 z 1, joss z 1 = 1 I, z 2 = 1 + I j z 3 = 1 + I, f (z) dz = i = i. Funktio f ei siis ole nlyyttinen yksikkökiekoss (kuten tiedämme). Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut / 7 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut 27 7 / 7

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN

MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN Alto-yliopisto Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Syksy 2016 1 2 KIRSI PELTONEN 1.1. Kompleksiluvut (kertust). 1. Anlyyttinen funktio Määritelmä 1.1. Kompleksiluku

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

2 Epäoleellinen integraali

2 Epäoleellinen integraali ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

Pertti Koivisto. Analyysi C

Pertti Koivisto. Analyysi C Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Pertti Koivisto. Analyysi B

Pertti Koivisto. Analyysi B Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto Integroimistekniikk /5 Sisältö Sijoitsmenettely Annetn fnktion integrlifnktiot lskettess fnktiot pyritään mntmn siten, että tlos voidn tnnist jonkin lkeisfnktion derivtksi. Usein mntminen jodtn tekemään

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot