Lääketieteeseen suuntaavat opinnot

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lääketieteeseen suuntaavat opinnot"

Transkriptio

1 Alkio-opisto Lääketieteeseen suuntaavat opinnot Fysiikan aihekokonaisuudet Kurssikirja

2 Johdanto ja merkinnöistä Tämän luentomonisteen tarkoituksena on antaa riittävät perustiedot fysiikasta lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa menestymiseen. Oppimisen edellyttämiseksi tämä teos ei välttämättä yksinään riitä, vaan lisäksi on hyvä käyttää kurssin yhteydessä jaettavia laskuharjoitustehtäviä ja muita esimerkkejä. Kirjan merkinnät on pyritty tekemään huolella siten, että mm. tärkeät matemaattiset erot vektorisuureiden ja skalaarisuureiden luonteen välillä tulevat esiin. Esityksessä painotetaan monilta osin sekä fenomenologista ymmärtämistä että matematiikkaa, sillä allekirjoittaneen mielestä molempien näkökulmien tarkastelu auttaa selventämään fysiikan ilmiöiden mallintamisfilosofiaa. Joissakin kirjan otsikoissa on varsinaisen tekstin perässä merkintä tai. Tämä tarkoittaa, että otsikkoa seuraava materiaali on muuta materiaalia vaikeampaa tai että sitä ei mahdollisesti ole käyty tai käydä lukiossa läpi. Syy tällaisen materiaalin olemassaololle on se, että se saattaa auttaa ymmärtämään, miksi tiettyjä ajatusmalleja suositaan ja käytetään. Monisteen tekstiosuus on kirjoitettu LATEX 2 ε ladontakielellä. Kuvat on tehty vapaan lähdekoodin ohjelmalla GLE (Graphics Layout Engine). Nämä työkalut ovat hyödyllisiä myös opiskelijoille. Mikäli mielenkiintoa on, voi ohjelmista ja niiden peruskäytöstä kysellä lisää. Ks. ohjelmia ei ole kuitenkaan mahdollista asentaa Alkio-opiston tietokoneille. Jyväskylässä (päivämäärä jolloin valmis), (allekirjoitus) Riku Järvinen

3 Sisältö 1 Lähtökohdat Miksi fysiikkaa tutkitaan? Fysiikan tutkimuksen tarkoitus Fysikaalinen suure Fysiikan hyvät ja huonot puolet Fysiikan perussuureet ja SI-järjestelmä Pituus Massa Aika Lämpötila Sähkövirta Valovoima Ainemäärä Matemaattiset apuvälineet fysiikassa Yhtälöiden ratkaiseminen analyyttisesti Ensimmäisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälö Korkeamman asteen yhtälöt Vektoreista Vektorin määrittely: motivointia Vektorit kahdessa ulottuvuudessa Vektorit kolmessa ulottuvuudessa Vektorien pistetulo ja ristitulo Funktioteorian alkeita Funktioiden määrittelystä Lineaariset funktiot Paraabelifunktiot Potenssifunktiot Sini-ja kosinifunktiot Eksponenttifunktio Funktioiden kääntäminen ja vääntäminen Logaritmifunktio ja logaritmiasteikko

4 2.3.9 Muista tavallisista funktioista Differentiaalilaskentaa Derivaatan yleinen määrittely ja ajattelutapa Derivointi käytännössä Derivaattaan liittyviä esimerkkilaskuja Integraalilaskennan perusteita Integroinnin perusajatus Integraalien laskeminen käytännössä Integrointimenetelmiä Määrätyt integraalit Esimerkkejä integrointisääntöjen soveltamisesta Klassinen mekaniikka Kinematiikan perusteet Tasainen liike Muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa Dynamiikan perusteet Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Kitkavoimat Ympyräliike Tasainen ympyräliike Muuttuva ympyräliike Työ ja mekaaninen energia Fysikaalinen työ Mekaaninen energia Liikemäärä ja törmäykset Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilymislaki Epäelastiset törmäykset Elastiset törmäykset Massakeskipiste Pyörimisliike ja pyörimisliikkeen dynamiikka Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti Vääntömomentti Vääntömomentin ja kulmasuureiden yhteys Virtausmekaniikka Kappaleiden elastisuudesta Vetojännitys Leikkausjännitys Paine Virtausstatiikkaa

5 4.2.1 Paine revisited Paineen mittaaminen Arkhimedeen sääntö ja kelluminen Nesteen pintajännitys Alveolien pintajännitys Virtausdynamiikan perusteet Jatkuvuusyhtälö Bernoullin yhtälö Sydämen tekemä työ Veren virtaaminen suonistossa; verenpaine Paineaallon kulkeutuminen suonistossa Verisuonten kimmoisuus Virtausvastus eli viskositeetti Veri nesteenä Viskositeetti laminaariselle virtaukselle Poiseuillen yhtälö laminaariselle virtaukselle Laminaarinen ja turbulenttinen virtaus; Reynoldsin luku Lasko ja punasolujen rajanopeus Elimistön nestetilat Nestetilojen mittaaminen Soluelinten erottelu sentrifugoimalla Nesteiden liikkeet elimistössä Aalto-oppi ja optiikka Periodinen liike ja aaltoliike Oskillaatio ja yksinkertainen harmoninen värähtelijä Harmoninen värähtelijä matemaattisesta näkökulmasta Harmonisen värähtelijän energia Sovellus: yksinkertainen heiluri Mekaaniset aallot yleisesti Periodiset mekaaniset aallot Matemaattinen aaltofunktio Aaltojen superpositio ja interferenssi Seisova aaltoliike köydessä Ääniaallot Ääniaaltofunktio ja äänen nopeus väliaineessa Äänen intensiteetti Äänen vaimeneminen Äänen heijastuminen rajapinnasta Seisovat ääniaallot Resonanssi Äänen huojunta Dopplerin ilmiö Ultraääni

6 Luku 1 Lähtökohdat 1.1 Miksi fysiikkaa tutkitaan? Aloitan esityksen kertomalla lyhyesti fysiikan lähtökohdista ja historiasta. Tärkeää on tiedostaa se, mikä on fysiikan tarkoitus ja mihin se parhaimmillaan pystyy. Fysiikan voidaan sanoa olevan luontoa kuvaava malli, joka pyrkii esittämään selityksiä tietyntyyppisille luonnonilmiöille. Fysiikalle tyypillinen piirre on sopivien muuttujien spesifioiminen ja niiden muutosten mittaaminen Fysiikan tutkimuksen tarkoitus Fysiikan tutkimuksen voidaan katsoa alkaneen renessanssin jälkeen, jolloin Galileo Galilei suoritti ensimmäisiä kokeitaan. Myös aiemmin oli tehty havaintoja luonnosta, mutta Galilein työssä oli uusi näkökulma. Hän pyrki löytämään tavallisista luonnollisista ilmiöistä säännönmukaisuuksia toistamalla ilmiön (kokeen) useita kertoja mahdollisimman samanlaisissa olosuhteissa. Yhden toistokerran aikana hän määritti eli mittasi ilmiön tapahtumista ajan avulla; toisin sanoen hän liitti jonkin ilmiön muutoksen (esimerkiksi tiilen putoaminen pisan tornista, tiilen paikan muutos) toiseen muutokseen, joka luettiin auringon liikkeistä. Tämä muutos eli aika on yksi tärkeimmistä fysikaalisista suureista. Mikä erottaa Galilein tutkimuksen ja aikaisemman luonnon havainnointityön? Keskiajalla mystiikan ja noitauskomusten vallitessa noidiksi tekeytyneet 1 henkilöt keräsivät kirjoihinsa merkintöjä tapahtumista luonnossa. Heidän työnsä oli kuitenkin suurelta osin vain havaintojen muistiin laittamista. Työn luonteelta puuttui tarkkuus ja toistettavuus; mittaamista ei suoritettu sitä luonnehtivien kriteerien mukaisesti. Nykyajan fysiikan tutkimuksessa on sama päämäärä kuin Galileilla aikanaan; luoda luonnosta idealisoitu malli, joka kuvaa sen käyttäytymistä riittävän hyvällä tarkkuudella sovellusten näkökulmasta. Tässä yhteydessä on syytä korostaa, että fysiikka todellakin vain mallintaa luontoa ja se on vain yksi useista eri tavoista kuvailla sitä. Usein mainitut fysiikan lait ovat approksimaatioita; ei voida osoittaa, että luonto käyttäytyisi täsmälleen niiden kuvaamalla tavalla. Toisaalta, tätä harvoin vaaditaan; riittävä tarkkuus tiettyjen virherajojen välissä on usein kiinnostavampi tosiseikka. 1 En ota tässä yhteydessä mitään kantaa noituuden olemassaoloon. 5

7 1.1.2 Fysikaalinen suure Suure (esimerkiksi pituus) on mikä tahansa fysiikassa tutkittavan ilmiön mitattavissa oleva ominaisuus. Suureeseen liittyy aina yksikkö (pituuden tapauksessa metri), joka on universaali, kaikkien mittaajien käyttämä suuruuden mittari. Saatu mittaustulos ilmoitetaan muodossa, joka kertoo, kuinka montaa suureen arvoa mittaustuloksen arvo vastaa. Mittaustulosten keskinäisen vertailun mahdollistaa se, että mittaajat käyttävät samoja yksiköitä tai ovat tietoisia siitä, millaiset relaatiot eri yksikköjärjestelmien välillä ovat voimassa Fysiikan hyvät ja huonot puolet Fysikaalinen suure pystytään aina mittaamaan, jolloin sen arvo voidaan sitoa johonkin tunnettuun muutokseen. Tämä tuo tiettyä yhdenmukaisuutta erilaisille suureille ja myös tarkkuutta. Tästä huolimatta on olemassa paljon luonnossa esiintyviä ilmiöitä ja asioita, joita ei pystytä kovin hyvin fysiikan avulla kuvaamaan. Tällöin tarvitaan poikkitieteellistä tutkimusta, jossa tutkimustuloksia yhdistetään useilta eri aloilta. Yksi tunnetuimmista tämän hetken poikkitieteellisistä aloista on nanotiede, johon perehdymme tässä teoksessa myöhemmin. Tunteet ovat hyvä esimerkki luonnossa esiintyvästä asiasta, jonka suora kuvaileminen fysikaalisten suureiden avulla on mahdotonta. Tunteen määrää tai voimakkuutta ei voi mitata. Toisaalta voidaan ajatella, että tunteen epäsuora mittaus on mahdollista esimerkiksi tarkastelemalla aivoissa liikkuvia sähköimpulsseja. Kun henkilö on tietyn tunteen vallassa, hänen aivojensa hermosolut lähettävät sähköimpulssit eri puolille kehoa, jotka voidaan mitata. Tällöin pystytään tunnetila päättelemään jollakin tarkkuudella pelkän aivoista ja kehosta otetun mittausdatan perusteella. Tällaista tutkimusta on tehty jonkin verran ja tavoitteena on usein määrittää henkilön aivoissa piileviä vakaviin sairauksiin viittaavia merkkejä. Aivojen sähkö- ja magneettikenttien tutkimuksessa mittaustarkkuuden on oltava äärimmäisen hyvä; ainoa systeemi, jolla aivojen magneettikenttiä on pystytty tarkasti määrittämään, perustuu suprajohteiden makroskooppiseen kvantti-interferenssi -ilmiöön, jota käsittelemme kvalitatiivisesti kurssin loppupuolella. 1.2 Fysiikan perussuureet ja SI-järjestelmä Mittaaminen fysiikan näkökulmasta tarkoittaa saadun tuloksen vertaamista johon universaaliin, kaikkien tuntemaan mittaan. Erilaisia perusmittoja on fysiikassa seitsemän ja niitä kutsutaan perussuureiksi. Ne antavat lähtökohdan uusien suureiden, johdannaissuureiden, määrittelyyn. Perussuureiden järjestelmää kutsutaan SI-järjestelmäksi (Le Systéme International d Unités). Toinen yleinen nimitys sille on metrinen järjestelmä, vrt. Englannissa käytössä olevat jalat, gallonat ja niin edelleen (Imperial Units). Taulukossa 1.1 on listattu SI-järjestelmän perussuureet. SI-järjestelmässä käytetään kerrannaisyksiköitä, jotta suureiden suuruuksien ilmoittaminen olisi helpompaa. Taulukossa 1.2 on esitetty kerrannaisyksiköt, niitä vastaavat suuruudet ja etuliitteet Pituus Pituuden yksikkö SI-järjestelmässä on metri (1 m). Se on määritelty esittämään matkaa, jonka valo kulkee ajassa t = 1/ s. Vuoteen 1960 asti metri määriteltiin Ranskassa säilytettävän platina- 6

8 TAULUKKO 1.1: SI-järjestelmän perussuureet. Yksikön nimi Yksikkö Suureen laatu (ominaisuus) metri m pituus kilogramma kg massa sekunti s aika Ampeeri A sähkövirta Kelvin K lämpötila kandela cd valaistusvoimakkuus mooli mol ainemäärä TAULUKKO 1.2: SI-järjestelmän kerrannaisyksiköt ja etuliitteet. Nimi Etuliite Kerroin deka da 10 1 hehto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T peta P eksa E zetta Z ## ## ## desi d 10 1 sentti c 10 2 milli m 10 3 mikro µ 10 6 nano n 10 9 piko p femto f atto a zepto z

9 iridium-tangon pituutena, joka oli noin 1/ etäisyydestä pohjoisnavalta Pariisiin. Tästä määritelmästä on nykyään luovuttu kokonaan Massa Massa on suure, joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa sen liiketilan muutosta. Mitä suurempi massa kappaleella on, sitä pienemmän muutoksen ulkoinen kappaleeseen kohdistuva voima F saa aikaan. Massan perusyksikkö on yleisistä konventioista poiketen kilogramma (1 kg), eli kilo-etuliite on jo perusyksikössä Aika Aika on suure, joka alunperin liittyy Auringon liikkeisiin. Sen yksikkö on sekunti (1 s). Mielenkiintoista ajassa on se, että yksikkö ei ole kymmenjärjestelmän mukainen; 60 sekuntia on yksi minuutti, 60 minuuttia yksi tunti ja 24 tuntia yksi päivä. Kokonaisen kalenterivuoden voidaan yksinkertaistetussa tapauksessa 2 ajatella koostuvan 365:stä päivästä Lämpötila Lämpötilan määrittäminen perustuu luonnostaan siihen, mikä ihmisen mielestä tuntuu lämpimältä tai kylmältä. Täm on kuitenkin epämääräsitä, sillä asitihavainnot ovat riippuvaisia ihmisen hetkellisestä olotilasta. Lämpötilan mittaaminen voidaan kuitenkin kvantifioida sitomalla se johonkin fysikaaliseen, mitattaavaan muutokseen, joita voivat olla esimerkiksi metallin tai kaasun laajeneminen (lämpömittarit). Mittari mittaa itse asiassa oman lämpötilansa, mutta kun se tuodaan kosketukseen mitattavan kohteen kanssa, kohde ja mittari saavuttavat termisen tasapainotilan ja päätyvät samaan lämpötilaan. Lämpötilan SI-yksikkö on Kelvin (1 K). Lämpötila-asteikkona Euroopassa käytetään kuitenkin useimmiten Celciusta, jotaka saadaan laskettua Kelvineistä yhtälöllä 0 C = 273, 15 K (1.1) Useissa valtioissa on käytössä Fahrenheit-asteikko, jonka mukainen lämpötila saadaan Celciuksista yhtälöllä T F = 9 5 T C + 32 (1.2) Yhtälössä (1.2) T F on lämpötila Fahrenheit-asteikolla ja T C lämpötila Celcius-asteikolla. helposti saadaan myös käänteismuunnos T C = 9 5 (T F 32) (1.3) Sähkövirta Sähkövirta liittyy läheisesti sähkövaraukseen: se tarkoittaa varausten liikettä aikayksikössä. Sähkövirran yksikkönä on Ampeeri (1 A), joka on toisaalta 1 A = 1 C/s, missä C on Coulombi eli sähkövarauksen yksikkö. Sähkövirta on vektorisuure, eli sillä on kaksi vapausastetta: suuruus ja suunta. Sähkövirran 2 Ei huomioida karkausvuotta eli sitä, että joka neljäs vuosi tulee yksi ylimääräinen päivä lisää. Jos tätä korjausta ei tehtäisi, niin kalenteri menisi sekaisin eikä pitkällä aikavälillä olisi enää alkuperäisessä relaatiossa Auringon kierron kanssa. 8

10 suunnaksi on sovittu positiivisen varauksen liikesuunta, vaikka useissa materiaaleissa sähkövirtaa kuljettavat elektronit, joilla on itse asiassa negatiivinen varaus. Tällöin sähkövirran positiivinen suunta on elektronien liikesuuntaa vastaan. Huomaamme myöhemmin, että tämä ei kuitenkaan aiheuta ongelmaa laskutehtävissä. Varauksenkuljettajien avulla ilmaistuna johtimessa kulkeva sähkövirta I voidaan ilmaista muodossa I = Anq v, (1.4) missä A on johtimen poikkipinta-ala, n on varaustenkuljettajien lukumäärä tilavuusyksikössä, q on yksittäisen varauksenkuljettajan varaus ja v on varauksenkuljettajien keskimääräinen (ajautumis)nopeus. Varauksenkuljettajan ajatumisnopeuteen (drift velocity) vaikuttavat hiukkaseen kohdistuva sähkökenttä sekä hiukkasen törmäykset johdemateriaalin verraten massiivisten ionien kanssa. Nämä kaksi aikaansaavat nopeuden v, jonka voidaan hyvällä tarkkuudella olettaa olevan sama kaikille samantyyppisille varauksenkuljettajille materiaalissa Valovoima Valovoima tarkoittaa valon voimakkuutta (tai määrää) jossakin kiinnitetyssä suunnassa. Jos valonlähde säteilee isotrooppisesti 3 joka suuntaan, saadaan valovirrasta Φ laskettua valovoima I: I = Φ 4π, (1.5) missä 4π on koko avaruuskulman suuruus ja valovirta Φ on yksiköissä [Φ]= 1 lm (lumen). Valovirtaa voidaan pitää valotehon mittarina Ainemäärä Ainemäärän yksikkö on mooli (mol); yhdessä moolissa on N A = 6, samanlaista aineen atomia, molekyyliä tai ionia tarkasteltavasta rilanteesta riippuen. Aineelle ominainen suure moolimassa M kuvaa yhden moolin massaa yksiköissä g/mol. Moolitilavuus V m = 22, 41 dm 3 /mol on puolestaan yhden kaasumoolin tilavuus normaaliolosuhteissa eli NTP-olosuhteissa. Tämä tarkoittaa, että kaasu on lämpötilassa T 0 = 273, 15 K (0 C) ja paineessa p 0 = 101, 3 kpa (1,013 bar). Kaasun tiheys ρ NTP-olosuhteissa saadaan yhtälöstä ρ NTP = M/V m. Kaasun ainemäärä voidaan yleisessä tapauksessa laskea yhtälöstä n = V NTP V m = m M, (1.6) missä m on kaasun massa. Moolimassaan läheisesti liittyvä käsite molekyylimassa on yhden molekyylin sisältämien atomien massojen summa. Tarkasti ottaen molekyylimassa on hieman pienempi kuin osiensa summa, mutta koska atomien väliset sidosenergiat ovat merkityksettömän pieniä, voidaan molekyylimassaa approksimoida osien summan massalla. Molekyylimassaa mitataan tavallisesti yksiköissä 1 u, missä u on yhtäsuuri kuin 12 C-atomin massa SI-yksiköissä. 3 Jokaiseen suuntaan yhtä voimakkaasti. 9

11 Esimerkki: molekyylimassan laskeminen Hapen moolimassa on noin 15,99 g/mol ja hiilen moolimassa on noin 12 g/mol. Mikä on hiilidioksidimolekyylin moolimassa? Ratkaisu: Hiilidioksidin kemiallinen esitys on CO 2, joten olettamalla atomien väliset sidosenergiat merkityksettömän pieniksi saadaan M = 12 g/mol+2 15, 99 g/mol 44 g/mol (1.7) 10

12 Luku 2 Matemaattiset apuvälineet fysiikassa Tämän luvun tarkoituksena on kerrata fysiikassa tarvittavaa matematiikkaa sekä antaa opiskelijalle tietoa sen sovelluskohteista. Kyseessä ei ole täydellinen matematiikan oppikirja, vaan suuri osa tuloksista oletetaan tunnetuiksi tarkempia todistuksia esittämättä. Joissakin tämän luvun kohdissa saattaa olla (tarkoituksenmukaisesti) selitetty matemaattisia käsitteitä termein, jotka eivät ole kovin tarkkoja tai välttämättä edes oikeita puhtaan matematiikan näkökulmasta. Kaikesta huolimatta esityksen tavoitteena on edesauttaa fysiikan ymmärtämistä, joten kaikkiin matematiikan yksityiskohtiin ei ole syytä (eikä aikaa) perehtyä. Fyysikon tärkeimmät matematiikan työkalut ovat algebralliset perustaidot (yhtälöiden ratkaisu, kaavojen pyörittely,... ), vektorilaskenta, differentiaalilaskenta sekä integraalilaskenta. Tässä luvussa käydään läpi nämä kaikki fysiikan näkökulmasta riittävällä tarkkuudella. Esitys on melko tiivis, joten se on syytä opiskella äärimmäisellä tarkkuudella. 2.1 Yhtälöiden ratkaiseminen analyyttisesti Analyyttisesti ratkeava yhtälö tarkoittaa yhtälöä, jolle voidaan algebrallisin menetelmin 1 löytää ratkaisu. Käytännössä katsoen lähes kaikki lukiotasolla esitettävät yhtälöt ovat analyyttisiä. Mikäli yhtälö ei ole analyyttinen, niin sille ei ole olemassa algebrallista ratkaisua. Tällöin tarvitaan numeerista matematiikkaa, jota ei käsitellä tässä teoksessa. Tässä osiossa puhutaan jo funktioista, vaikka niiden tarkempi määrittely tehdään vasta kohdassa 2.3. Näin siksi, että yhtälöt ja funktiot liittyvät toisiinsa ja voidaan olettaa, että funktioita on jo jonkin verran opiskeltu aiemmin. Toki on mahdollista lukea ensin luku 2.3 ja palata vasta sitten yhtälöiden ratkaisemiseen; itse suosittelen molempien tarkkailua samalla kertaa Ensimmäisen asteen yhtälö Tarkastellaan yhtälöä bt+c = d, (2.1) 1 Tarkoittaa yhtälön termien siirtelyä, puolittain kertomista ja jakamista, summaamista ja vähentämistä ja kaikkea, mitä laskulakien sallimassa maastossa on lupa tehdä. 2 Esimerkiksi lukee ensin koko luvun ja miettii sen jälkeen eri kappaleiden välisiä yhtäläisyyksiä. 11

13 missä b, c ja d ovat tunnettuja vakioita ja jossa tuntemattomana on t. Lukiomatematiikassa käytetään usein kirjainta x esittämään tuntematonta, mutta aivan yhtä hyvin voimme laittaa x:n paikalle t:n. Yhtälö ratkaistaan siirtämällä luku c yhtälön oikealle puolelle ja jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla b. Tällöin saadaan t = (d c)/b. Ensimmäisen asteen yhtälössä tuntemattoman t potenssi on aina 1. Näin ollen yhtälö on suoraviivaista ratkaista ja ratkaiseminen tapahtuu aina edellä esitetyllä tavalla: tuntematon siirretään toiselle puolelle yhtälöä ja tunnetut luvut toiselle puolelle. Ensimmäisen asteen yhtälön graafinen tulkinta on suora. Yhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa t + a = 0, missä a on jokin tunnettu vakioluku. Piirtämällä funktion x = x(t) = t + a kuvaaja (t, x)-koordinaatistoon voidaan yhtälön ratkaisu havaita graafisesti tarkastelemalla funktion x = x(t) nollakohtia. Nähdään, että funktio x leikkaa pystyakselin korkeudella a nollatasosta ja vaaka-akselin kohdassa a. Esimerkki: ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälö 3t+5 = 2 (2.2) Ratkaisu: Siirretään yhtälön vakiotermit oikealle puolelle ja jaetaan muuttujan t kertoimella: 3t+5 = 2 3t = 3 t = 1 (2.3) Piirretään vielä kuva: nyt funktiona on x(t) = 3t + 3. Yhtälön (2.2) ratkaisun graafinen tulkinta on esitetty kuvassa Toisen asteen yhtälö Otetaan esimerkiksi yhtälö at 2 + bt+c = 0, (2.4) missä a, b ja c ovat vakiota. Tätä yhtälöä ei ihan suoraan pysty ratkaisemaan. Pienellä matemaattisella kikkailulla ratkaisu kuitenkin löytyy, ja se on muotoa t = b± b 2 4ac 2a (2.5) Yhtälö (2.5) antaa kaksi ratkaisua. Jossain tapauksissa toinen niistä ei ole fysikaalisesti mielekäs, jolloin se hylätään (tästä lisää myöhemmin). Kaavan pätevyyden voi todeta esimerkiksi siten, että sijoittaa sen yhtälöön (2.4). Toisen asteen yhtälön graafinen tulkinta on toisen asteen käyrä eli paraabeli. Jos määritellään funktio x(t) = at 2 + bt+c, niin funktion x nollakohdat eli t-akselin leikkauspisteet ovat yhtälön (2.4) ratkaisut. Tämä on hyödyllinen tapa tarkistaa saatu vastaus graafisesti. 12

14 x(t) = 0 t = 1 KUVA 2.1: Yhtälön (2.2) ratkaisun graafinen tulkinta. Esimerkki: toisen asteen yhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälö t 2 + 2t 1 = 2 (2.6) Ratkaisu: Muokataan yhtälö (2.6) samaan muotoon kuin yhtälö (2.4), jolloin voidaan käyttää yhtälöä (2.5) sen ratkaisemiseen. Nyt saadaan t 2 + 2t 1 = 2 t 2 + 2t 3 = 0 t = 2± ( 3) 2 1 = 2±4 2 Saadaan kaksi ratkaisua, t 1 = 1 ja t 2 = 3. Vastauksen voi tarkistaa vielä sijoittamalla saadut luvut takaisin alkuperäiseen yhtälöön. Kuvassa on esitetty ratkaisu graafisesti: funktiona on nyt x(t) = t 2 + 2t Korkeamman asteen yhtälöt Kolmannen asteen yhtälö ja sitä korkeammat asteet ovat yleisessä tapauksessa melko hankalia ratkaista. Kolmannen asteen yhtälölle on olemassa ratkaisukaava, mutta sitä ei kannata käyttää saati sitten opetella ulkoa. Korkeamman asteen yhtälöissä joutuu miettimään, miten ongelmanratkaisussa on (2.7) 13

15 x(t) = 0 t = 3 tai t = 1 KUVA 2.2: Yhtälön (2.6) ratkaisun graafinen tulkinta. viisasta edetä kaavaan sijoittamisen sijasta. Seuraavassa on muutamia erikoistapauksia korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisumetodeista. Eräs tapa ratkaista kolmannen asteen yhtälö at 3 + bt 2 + ct + d = 0 on arvata sille yksi ratkaisu r. Kun tämä on tehty, voidaan polynomi at 3 + bt 2 + ct+d jakaa jakokulmassa tekijällä t r, jolloin saadaan toisen asteen yhtälö. Tämä ratkaistaan ratkaisukaavalla. Jos ratkaistava neljännen asteen yhtälö on muotoa at 4 + bt 2 + c = 0, niin voidaan kirjoittaa x = t 2 ja ratkaista yhtälö ax 2 + bx+c = 0 uuden muuttujan x suhteen. Lopuksi sijoitetaan t = ± x ja saadaan alkuperäisen yhtälön ratkaisut. Korkeamman asteen (seuraavassa n:nnen asteen) yhtälöissä on kyseessä funktion x(t) = n i=0 a it i nollakohtien ratkaiseminen (a i on vakioluku jokaiselle i). Graafisella laskimella voi helposti tarkistaa saadun vastauksen piirtämällä funktion x(t) kuvaajan ja selaamalla läpi sen nollakohdat. Esimerkki: kolmannen asteen yhtälön ratkaiseminen Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä t 3 t 2 + 2t+5 = 1? (2.8) Ratkaisu: Ongelma kannattaa ajatella siten, että kyseessä on funktion x(t) = t 3 t 2 + 2t+4 nollakohtien etsiminen eli yhtälö muotoa x(t) = 0. Tavoitteena on pudottaa yhtälön kertalukua yhdellä, jolloin ratkaistavaksi jää toisen asteen yhtälö. Kertaluvun pudotus tapahtuu jakamalla polynomi t 3 t 2 + 2t+4 jakokulmassa jollakin sen tekijällä, joka on muotoa t r, missä r on polynomin nollakohta. Tämä löytyy yleensä kokeilemalla, esimerkiksi kokeillaan nyt luvulla t = 1 : ( 1) 3 ( 1) ( 1)+4 = = 0, (2.9) 14

16 joten termi t+1 on polynomin t 3 t 2 + 2t+4 tekijä. Jakamalla jakokulmassa saadaan t 2 2t+4 t+1 t 3 t 2 + 2t+4 t 3 t 2 2t 2 + 2t 2t 2 + 2t (2.10) 4t+4 4t 4 Nyt polynomi t 3 t 2 + 2t+4 voidaan kirjoittaa muodossa (t+1)(t 2 2t+4). Jotta polynomi saisi arvon nolla, tulee jomman kumman tulontekijöistä olla 0. Jos oletetaan, että t + 1 = 0, niin silloin t 2 2t+4 = 0. Sijoittamalla yhtälö toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan saadaan mielenkiintoinen tilanne: t = 2± = 2± (2.11) Neliöjuuren alle tulee negatiivinen lauseke...!? Tilanteen voi tulkita kompleksilukujen kautta ottamalla käyttöön määrittely 1 =: i, mutta se tuskin on kovinkaan mielekästä, sillä emme tarvitse kompleksilukuja juurikaan tällä kurssilla. Todetaan vain, että ratkaisua (reaaliluvuilla) ei ole olemassa. Miksi näin on? Kuva selventää asiaa, joten piirretään sellainen (kuva 2.3). Kuva antaa hieman osviittaa sille, että funktio näyttäisi olevan aidosti kasvava. Tällaisen funktion derivaatta 3 on aina positiivinen, joten jos sillä on olemassa nollakohta, niin niitä on tasan yksi, sillä nollakohdan ohitettuaan funktion arvo pysyy aina nollan yläpuolella. Riittää siis osoittaa aidosti kasvavuus eli derivaatan positiivisuus. Derivoidaan: d dt x(t) = d ( ) t 3 t 2 + 2t+4 dt (2.12) = 3t 2 2t+2 Jaetaan tarkastelu väleihin: Jos t = 1, niin dx(t) dt = 7 > 0. t= 1 Jos t < 1, niin 3t 2 2t+2 > > 0. Jos t ] 1, 0[, niin 3t 2 2t+2 > > 0. Jos t = 0 niin 3t 2 2t+2 = 2 > 0. 3 Derivaatta määritellään käsitteenä myöhemmin, vaikka sitä tässä jo tarvitaankin. 15

17 x(t) = 0 t = 1 KUVA 2.3: Funktion x(t) = t 3 t 2 + 2t+4 kuvaaja. Jos t ]0, 1], niin 3t 2 2t+2 > = 0. Jos t > 1, niin 3t 2 2t+2 = t(3t 2) > (3 2)+2 > 0. Havaitaan, että derivaatta todellakin on positiivinen kaikkialla, joten funktio on aidosti kasvava. Tällöin sillä voi olla korkeintaan yksi nollakohta, eli t = Vektoreista Fysiikassa vektorit ovat erittäin tärkeässä asemassa. Klassisen mekaniikan ongelmien ratkaiseminen edellyttää vektorien ominaisuuksien hyvää hallintaa. Vektoriin törmää myös lukuisissa mielenkiintoisissa fysiikan sovelluksissa, joissa tarkastellaan useita eri suuntia Vektorin määrittely: motivointia Millainen on vektorisuure matemaattisesti tarkasteltuna ja mihin sitä fysiikassa tarvitaan? Vektori, toisin kuin skalaari (reaaliluku), on suure, jolla on suuruutensa lisäksi myös suunta. Vektoria a merkitään tämän vuoksi reaaliluvusta eroavalla symbolilla a. Vektoria voidaan kuvata viivalla, jonka päässä on nuoli. Viivan pituus kuvaa vektorin suuruutta ja nuoli vektorin suuntaa. Kuvassa 2.4 on esitetty jokin vektori a. Vektori on luonnollinen fysiikassa, koska useilla tarkasteltavilla suureilla on sekä suunta että suuruus. Helppo esimerkki saadaan kinematiikasta, jossa tarkastellaan nopeutta sekä kiihtyvyyttä. Vastaavasti dynamiikassa voima ja momentti ovat vektorisuureita. 16

18 a KUVA 2.4: Vektori a avaruudessa. Vektorilla on kaksi ominaisuutta, suunta ja suuruus, jotka on molemmat huomioitava laskuissa. Vektorin suunta tulee aina ilmaista jonkin vertailujärjestelmän eli koordinaatiston suhteen. Jos tarkastelussa on vain yksi ulottuvuus, ovat ainoat mahdolliset suunnat positiivinen ja negatiivinen. Tällöin suunta voidaan huomioida suureen etumerkillä (±). Sanotaan, että vektorin suunnalla on vain yksi vapausaste. Kahdessa ulottuvuudessa tilanne ei ole yhtä yksinkertainen, sillä vektori saa toisen vapausasteen ja geometrisesti se voi sijoittua äärettömän monella eri tavalla kaksiulotteisessa tasossa. Kolmessa ulottuvuudessa vektorilla on kolme vapausastetta, jolloin tarkastelu muuttuu entistä monimutkaisemmaksi. Seuraavassa paneudutaan siihen, kuinka vektoreita tulisi kuvata useassa ulottuvuudessa Vektorit kahdessa ulottuvuudessa Aloitetaan vektorien tarkastelu kaksiulotteisessa karteesisessa (eli tavallisessa) (x,y)-koordinaatistossa. Oletetaan, että meillä on jokin mielivaltainen vektori a, joka lähtee koordinaatiston origosta eli nollakohdasta johonkin suuntaan. Havaitaan, että vektori a ylettyy x-suunnassa jonkin matkan a x ja y-suunnassa jonkin matkan a y (kuva 2.5). Kuvaan on piirretty lisäksi yksikkövektorit 4 î ja ĵ. Kuvasta nähdään, että vektori a voidaan sanoa skalaarikomponenttiensa a x ja a y sekä yksikkövektoreiden î ja ĵ avulla muodossa a = a x î+a y ĵ. Tämä on vektorin a esitys valitussa koordinaatistossa. Huomaa, että vektorin eri komponentteja ei saa laskea yhteen suoraan, sillä ne ovat eri suunnissa. Sanotaankin, että î ja ĵ ovat lineaarisesti riippumattomia eli ne toimivat ikään kuin eri ulottuvuuksissa: î asustaa x-akselilla ystäviensä kî kanssa, missä k on mikä tahansa (reaali)luku. Vastaavasti ĵ on vallannut kavereidensa kĵ kanssa ŷ-akselin; sinne ei ole î:n jengillä mitään asiaa. Yksikkövektorien avulla voidaan määrittää mikä tahansa paikka valitussa koordinaatistossa, kun niitä kerrotaan sopivilla luvuilla. Esimerkiksi koordinaattiin (2,3) päästään koordinaatiston nollakohdasta eli origosta vektorilla 2î+3ĵ. Kuvassa 2.6 on esitetty yksikkövektorit koordinaatistossa ja summavektori 2î+3ĵ. Vektorin suuruus eli normi voidaan kahdessa ulottuvuudessa laskea suorakulmaiseen kolmioon liittyvän Pythagoraan lauseen avulla. Kolmion kateetteina ovat vektorin î- ja ĵ-komponenttien edessä olevat kertoimet ja esimerkiksi kuvan 2.6 vektorille 2î+3ĵ saadaan pituudeksi 2î+3ĵ = = 13. Vektorin a normille käytetään merkintää a Vektorit kolmessa ulottuvuudessa Kolmiulotteisen avaruuden vektorin kuvaaminen vaatii kolmiulotteisen koordinaatiston. Otetaan x- ja y-akselien lisäksi käyttöön z-akseli, joka on kohtisuorassa kahta edellistä vastaan. Merkitään z-akselin 4 Yksikkövektorin pituus on 1 ja suunta tässä tapauksessa koordinaattiakselin suunnassa. Esimerkiksi vektori î on x-akselin suuntainen. 17

19 y a y a = a x î + a y ĵ ĵ î x a x KUVA 2.5: Kaksiulotteinen vektori a tavallisessa (x, y)-koordinaatistossa. y ĵ î = ĵ = 1 2î + 3ĵ 3ĵ x î 2î KUVA 2.6: Yksikkövektorit ja vektorien yhteenlasku, esimerkkinä summavektori 2î+3ĵ. suuntaista yksikkövektoria symbolilla ˆk, jolloin meillä on käytössä kolme toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa yksikkövektoria: î, ĵ ja ˆk. Mikä tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektori voidaan ilmaista näiden lineaarikombinaationa eli kertomalla jokaista yksikkövektoria tietyllä luvulla: esimerkiksi vektori 2î+ĵ 4ˆk, joka lähtee origosta ja päättyy pisteeseen (2, 1, 4), voidaan ilmaista ottamalla oikea määrä askelia aina tietyn yksikkövektorin suuntaan. Tällaisen vektorin pituus saadaan yleistetystä Pythagoraan lauseesta, eli summataan komponenttien neliöt ja otetaan neliöjuuri: pituus on 2î+ ĵ 4ˆk = ( 4) 2 = 21. Kuvassa 2.7 on esitetty yksikkövektorit kolmessa ulottuvuudessa sekä edellinen esimerkkivektori. 18

20 z 2î ˆk ĵ î ĵ y 4ˆk 2î + ĵ 4ˆk x KUVA 2.7: Yksikkövektorit kolmessa ulottuvuudessa ja vektorien yhteenlasku, esimerkkinä summavektori 2î+ĵ 4ˆk Vektorien pistetulo ja ristitulo Vektoreille voidaan algebrallisesti määritellä kaksi laskutoimitusta, joille löytyy selkeä geometrinen tulkinta ja sovellus fysiikasta. Jos meillä on kaksi kaksiulotteista vektoria a = a 1 î+a 2 ĵ ja b = b1 î+b 2 ĵ, niin olisi kiinnostavaa tietää, kuinka paljon yhteistä näillä kahdella kaverilla on. Kuinka tällaista voidaan mitata? No, olemme määritelleet vektorin olioksi, jolla on vain kaksi ominaisuutta; suunta ja suuruus. Mittaamme siis näiden ominaisuuksien vastaavuutta. Mittaamiseen voidaan määritellä pistetulo ( ), joka lasketaan seuraavasti: a b = a1 b 1 + a 2 b 2 (2.13) Onko tekemämme mittari hyvä? Helposti huomataan, että pistetulo saa maksimiarvon silloin, kun vektorit ovat täysin samat: tulos on pythagoraan lauseen neliö a a2 2. Jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin tulokseksi saadaan nolla (perustele miksi). Mikäli vektorit ovat keskenään kovin eri pituisia, antaa pistetulo korkeintaan lyhyemmän vektorin pituuden tulokseksi. Tuntuisi järkevältä määrittelyltä... Pistetulon voi ajatella myös hieman toisesta näkökulmasta vaikkapa fysiikan kautta. Klassisessa mekaniikassa törmätään usein tilanteeseen, jossa halutaan laskea voiman tekemä työ tietyn paikkasiirtymän aikana. Usein on niin, että voima ja siirtymä eivät ole täsmälleen samansuuntaisia, vaan niiden suunnat eroavat kulman α verran toisistaan. Tällöin ainoastaan se voiman komponentti, joka on siirtymän suunnassa, aiheuttaa jonkin vaikutuksen kyseisessä suunnassa. On kiinnostavaa tietää, kuinka suuri kyseinen komponentti on. Pistetulo tulee nyt avuksi. Vektoreille a = a 1 î+a 2 ĵ ja b = b1 î+b 2 ĵ pistetulo voidaan kirjoittaa myös seuraavasti: a b = a1 b 1 + a 2 b 2 = a b cos(α), (2.14) missä α on vektorien a ja b välinen kulma (kuva 2.8). Huomaa, että pistetulo antaa skalaarin, eikä vektoria. 19

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014

Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 SI järjestelmä Kansainvälinen mittayksikköjärjestelmä Perussuureet ja perusyksiköt Suure Tunnus Yksikkö

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet SI-järjestelmä Antti Haarto 21.05.2012 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia 6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT Demo 5, maanantaina 5.0.2009 RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Matematiikan pitkä oppimäärä

Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat EHDOTUS Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry 12.2.2015 Asemamiehenkatu 4 00520 HELSINKI Opetushallitus Hakaniemenranta 6 00530 Helsinki EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA 1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

1. Fysiikka ja mittaaminen

1. Fysiikka ja mittaaminen 1. Fysiikka ja mittaaminen 1.1 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt pelkästään ajattelemalla Aristoteles

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot