Lääketieteeseen suuntaavat opinnot

Transkriptio

1 Alkio-opisto Lääketieteeseen suuntaavat opinnot Fysiikan aihekokonaisuudet Kurssikirja

2 Johdanto ja merkinnöistä Tämän luentomonisteen tarkoituksena on antaa riittävät perustiedot fysiikasta lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa menestymiseen. Oppimisen edellyttämiseksi tämä teos ei välttämättä yksinään riitä, vaan lisäksi on hyvä käyttää kurssin yhteydessä jaettavia laskuharjoitustehtäviä ja muita esimerkkejä. Kirjan merkinnät on pyritty tekemään huolella siten, että mm. tärkeät matemaattiset erot vektorisuureiden ja skalaarisuureiden luonteen välillä tulevat esiin. Esityksessä painotetaan monilta osin sekä fenomenologista ymmärtämistä että matematiikkaa, sillä allekirjoittaneen mielestä molempien näkökulmien tarkastelu auttaa selventämään fysiikan ilmiöiden mallintamisfilosofiaa. Joissakin kirjan otsikoissa on varsinaisen tekstin perässä merkintä tai. Tämä tarkoittaa, että otsikkoa seuraava materiaali on muuta materiaalia vaikeampaa tai että sitä ei mahdollisesti ole käyty tai käydä lukiossa läpi. Syy tällaisen materiaalin olemassaololle on se, että se saattaa auttaa ymmärtämään, miksi tiettyjä ajatusmalleja suositaan ja käytetään. Monisteen tekstiosuus on kirjoitettu LATEX 2 ε ladontakielellä. Kuvat on tehty vapaan lähdekoodin ohjelmalla GLE (Graphics Layout Engine). Nämä työkalut ovat hyödyllisiä myös opiskelijoille. Mikäli mielenkiintoa on, voi ohjelmista ja niiden peruskäytöstä kysellä lisää. Ks. ohjelmia ei ole kuitenkaan mahdollista asentaa Alkio-opiston tietokoneille. Jyväskylässä (päivämäärä jolloin valmis), (allekirjoitus) Riku Järvinen

3 Sisältö 1 Lähtökohdat Miksi fysiikkaa tutkitaan? Fysiikan tutkimuksen tarkoitus Fysikaalinen suure Fysiikan hyvät ja huonot puolet Fysiikan perussuureet ja SI-järjestelmä Pituus Massa Aika Lämpötila Sähkövirta Valovoima Ainemäärä Matemaattiset apuvälineet fysiikassa Yhtälöiden ratkaiseminen analyyttisesti Ensimmäisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälö Korkeamman asteen yhtälöt Vektoreista Vektorin määrittely: motivointia Vektorit kahdessa ulottuvuudessa Vektorit kolmessa ulottuvuudessa Vektorien pistetulo ja ristitulo Funktioteorian alkeita Funktioiden määrittelystä Lineaariset funktiot Paraabelifunktiot Potenssifunktiot Sini-ja kosinifunktiot Eksponenttifunktio Funktioiden kääntäminen ja vääntäminen Logaritmifunktio ja logaritmiasteikko

4 2.3.9 Muista tavallisista funktioista Differentiaalilaskentaa Derivaatan yleinen määrittely ja ajattelutapa Derivointi käytännössä Derivaattaan liittyviä esimerkkilaskuja Integraalilaskennan perusteita Integroinnin perusajatus Integraalien laskeminen käytännössä Integrointimenetelmiä Määrätyt integraalit Esimerkkejä integrointisääntöjen soveltamisesta Klassinen mekaniikka Kinematiikan perusteet Tasainen liike Muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa Dynamiikan perusteet Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Kitkavoimat Ympyräliike Tasainen ympyräliike Muuttuva ympyräliike Työ ja mekaaninen energia Fysikaalinen työ Mekaaninen energia Liikemäärä ja törmäykset Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilymislaki Epäelastiset törmäykset Elastiset törmäykset Massakeskipiste Pyörimisliike ja pyörimisliikkeen dynamiikka Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti Vääntömomentti Vääntömomentin ja kulmasuureiden yhteys Virtausmekaniikka Kappaleiden elastisuudesta Vetojännitys Leikkausjännitys Paine Virtausstatiikkaa

5 4.2.1 Paine revisited Paineen mittaaminen Arkhimedeen sääntö ja kelluminen Nesteen pintajännitys Alveolien pintajännitys Virtausdynamiikan perusteet Jatkuvuusyhtälö Bernoullin yhtälö Sydämen tekemä työ Veren virtaaminen suonistossa; verenpaine Paineaallon kulkeutuminen suonistossa Verisuonten kimmoisuus Virtausvastus eli viskositeetti Veri nesteenä Viskositeetti laminaariselle virtaukselle Poiseuillen yhtälö laminaariselle virtaukselle Laminaarinen ja turbulenttinen virtaus; Reynoldsin luku Lasko ja punasolujen rajanopeus Elimistön nestetilat Nestetilojen mittaaminen Soluelinten erottelu sentrifugoimalla Nesteiden liikkeet elimistössä Aalto-oppi ja optiikka Periodinen liike ja aaltoliike Oskillaatio ja yksinkertainen harmoninen värähtelijä Harmoninen värähtelijä matemaattisesta näkökulmasta Harmonisen värähtelijän energia Sovellus: yksinkertainen heiluri Mekaaniset aallot yleisesti Periodiset mekaaniset aallot Matemaattinen aaltofunktio Aaltojen superpositio ja interferenssi Seisova aaltoliike köydessä Ääniaallot Ääniaaltofunktio ja äänen nopeus väliaineessa Äänen intensiteetti Äänen vaimeneminen Äänen heijastuminen rajapinnasta Seisovat ääniaallot Resonanssi Äänen huojunta Dopplerin ilmiö Ultraääni

6 Luku 1 Lähtökohdat 1.1 Miksi fysiikkaa tutkitaan? Aloitan esityksen kertomalla lyhyesti fysiikan lähtökohdista ja historiasta. Tärkeää on tiedostaa se, mikä on fysiikan tarkoitus ja mihin se parhaimmillaan pystyy. Fysiikan voidaan sanoa olevan luontoa kuvaava malli, joka pyrkii esittämään selityksiä tietyntyyppisille luonnonilmiöille. Fysiikalle tyypillinen piirre on sopivien muuttujien spesifioiminen ja niiden muutosten mittaaminen Fysiikan tutkimuksen tarkoitus Fysiikan tutkimuksen voidaan katsoa alkaneen renessanssin jälkeen, jolloin Galileo Galilei suoritti ensimmäisiä kokeitaan. Myös aiemmin oli tehty havaintoja luonnosta, mutta Galilein työssä oli uusi näkökulma. Hän pyrki löytämään tavallisista luonnollisista ilmiöistä säännönmukaisuuksia toistamalla ilmiön (kokeen) useita kertoja mahdollisimman samanlaisissa olosuhteissa. Yhden toistokerran aikana hän määritti eli mittasi ilmiön tapahtumista ajan avulla; toisin sanoen hän liitti jonkin ilmiön muutoksen (esimerkiksi tiilen putoaminen pisan tornista, tiilen paikan muutos) toiseen muutokseen, joka luettiin auringon liikkeistä. Tämä muutos eli aika on yksi tärkeimmistä fysikaalisista suureista. Mikä erottaa Galilein tutkimuksen ja aikaisemman luonnon havainnointityön? Keskiajalla mystiikan ja noitauskomusten vallitessa noidiksi tekeytyneet 1 henkilöt keräsivät kirjoihinsa merkintöjä tapahtumista luonnossa. Heidän työnsä oli kuitenkin suurelta osin vain havaintojen muistiin laittamista. Työn luonteelta puuttui tarkkuus ja toistettavuus; mittaamista ei suoritettu sitä luonnehtivien kriteerien mukaisesti. Nykyajan fysiikan tutkimuksessa on sama päämäärä kuin Galileilla aikanaan; luoda luonnosta idealisoitu malli, joka kuvaa sen käyttäytymistä riittävän hyvällä tarkkuudella sovellusten näkökulmasta. Tässä yhteydessä on syytä korostaa, että fysiikka todellakin vain mallintaa luontoa ja se on vain yksi useista eri tavoista kuvailla sitä. Usein mainitut fysiikan lait ovat approksimaatioita; ei voida osoittaa, että luonto käyttäytyisi täsmälleen niiden kuvaamalla tavalla. Toisaalta, tätä harvoin vaaditaan; riittävä tarkkuus tiettyjen virherajojen välissä on usein kiinnostavampi tosiseikka. 1 En ota tässä yhteydessä mitään kantaa noituuden olemassaoloon. 5

7 1.1.2 Fysikaalinen suure Suure (esimerkiksi pituus) on mikä tahansa fysiikassa tutkittavan ilmiön mitattavissa oleva ominaisuus. Suureeseen liittyy aina yksikkö (pituuden tapauksessa metri), joka on universaali, kaikkien mittaajien käyttämä suuruuden mittari. Saatu mittaustulos ilmoitetaan muodossa, joka kertoo, kuinka montaa suureen arvoa mittaustuloksen arvo vastaa. Mittaustulosten keskinäisen vertailun mahdollistaa se, että mittaajat käyttävät samoja yksiköitä tai ovat tietoisia siitä, millaiset relaatiot eri yksikköjärjestelmien välillä ovat voimassa Fysiikan hyvät ja huonot puolet Fysikaalinen suure pystytään aina mittaamaan, jolloin sen arvo voidaan sitoa johonkin tunnettuun muutokseen. Tämä tuo tiettyä yhdenmukaisuutta erilaisille suureille ja myös tarkkuutta. Tästä huolimatta on olemassa paljon luonnossa esiintyviä ilmiöitä ja asioita, joita ei pystytä kovin hyvin fysiikan avulla kuvaamaan. Tällöin tarvitaan poikkitieteellistä tutkimusta, jossa tutkimustuloksia yhdistetään useilta eri aloilta. Yksi tunnetuimmista tämän hetken poikkitieteellisistä aloista on nanotiede, johon perehdymme tässä teoksessa myöhemmin. Tunteet ovat hyvä esimerkki luonnossa esiintyvästä asiasta, jonka suora kuvaileminen fysikaalisten suureiden avulla on mahdotonta. Tunteen määrää tai voimakkuutta ei voi mitata. Toisaalta voidaan ajatella, että tunteen epäsuora mittaus on mahdollista esimerkiksi tarkastelemalla aivoissa liikkuvia sähköimpulsseja. Kun henkilö on tietyn tunteen vallassa, hänen aivojensa hermosolut lähettävät sähköimpulssit eri puolille kehoa, jotka voidaan mitata. Tällöin pystytään tunnetila päättelemään jollakin tarkkuudella pelkän aivoista ja kehosta otetun mittausdatan perusteella. Tällaista tutkimusta on tehty jonkin verran ja tavoitteena on usein määrittää henkilön aivoissa piileviä vakaviin sairauksiin viittaavia merkkejä. Aivojen sähkö- ja magneettikenttien tutkimuksessa mittaustarkkuuden on oltava äärimmäisen hyvä; ainoa systeemi, jolla aivojen magneettikenttiä on pystytty tarkasti määrittämään, perustuu suprajohteiden makroskooppiseen kvantti-interferenssi -ilmiöön, jota käsittelemme kvalitatiivisesti kurssin loppupuolella. 1.2 Fysiikan perussuureet ja SI-järjestelmä Mittaaminen fysiikan näkökulmasta tarkoittaa saadun tuloksen vertaamista johon universaaliin, kaikkien tuntemaan mittaan. Erilaisia perusmittoja on fysiikassa seitsemän ja niitä kutsutaan perussuureiksi. Ne antavat lähtökohdan uusien suureiden, johdannaissuureiden, määrittelyyn. Perussuureiden järjestelmää kutsutaan SI-järjestelmäksi (Le Systéme International d Unités). Toinen yleinen nimitys sille on metrinen järjestelmä, vrt. Englannissa käytössä olevat jalat, gallonat ja niin edelleen (Imperial Units). Taulukossa 1.1 on listattu SI-järjestelmän perussuureet. SI-järjestelmässä käytetään kerrannaisyksiköitä, jotta suureiden suuruuksien ilmoittaminen olisi helpompaa. Taulukossa 1.2 on esitetty kerrannaisyksiköt, niitä vastaavat suuruudet ja etuliitteet Pituus Pituuden yksikkö SI-järjestelmässä on metri (1 m). Se on määritelty esittämään matkaa, jonka valo kulkee ajassa t = 1/ s. Vuoteen 1960 asti metri määriteltiin Ranskassa säilytettävän platina- 6

8 TAULUKKO 1.1: SI-järjestelmän perussuureet. Yksikön nimi Yksikkö Suureen laatu (ominaisuus) metri m pituus kilogramma kg massa sekunti s aika Ampeeri A sähkövirta Kelvin K lämpötila kandela cd valaistusvoimakkuus mooli mol ainemäärä TAULUKKO 1.2: SI-järjestelmän kerrannaisyksiköt ja etuliitteet. Nimi Etuliite Kerroin deka da 10 1 hehto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T peta P eksa E zetta Z ## ## ## desi d 10 1 sentti c 10 2 milli m 10 3 mikro µ 10 6 nano n 10 9 piko p femto f atto a zepto z

9 iridium-tangon pituutena, joka oli noin 1/ etäisyydestä pohjoisnavalta Pariisiin. Tästä määritelmästä on nykyään luovuttu kokonaan Massa Massa on suure, joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa sen liiketilan muutosta. Mitä suurempi massa kappaleella on, sitä pienemmän muutoksen ulkoinen kappaleeseen kohdistuva voima F saa aikaan. Massan perusyksikkö on yleisistä konventioista poiketen kilogramma (1 kg), eli kilo-etuliite on jo perusyksikössä Aika Aika on suure, joka alunperin liittyy Auringon liikkeisiin. Sen yksikkö on sekunti (1 s). Mielenkiintoista ajassa on se, että yksikkö ei ole kymmenjärjestelmän mukainen; 60 sekuntia on yksi minuutti, 60 minuuttia yksi tunti ja 24 tuntia yksi päivä. Kokonaisen kalenterivuoden voidaan yksinkertaistetussa tapauksessa 2 ajatella koostuvan 365:stä päivästä Lämpötila Lämpötilan määrittäminen perustuu luonnostaan siihen, mikä ihmisen mielestä tuntuu lämpimältä tai kylmältä. Täm on kuitenkin epämääräsitä, sillä asitihavainnot ovat riippuvaisia ihmisen hetkellisestä olotilasta. Lämpötilan mittaaminen voidaan kuitenkin kvantifioida sitomalla se johonkin fysikaaliseen, mitattaavaan muutokseen, joita voivat olla esimerkiksi metallin tai kaasun laajeneminen (lämpömittarit). Mittari mittaa itse asiassa oman lämpötilansa, mutta kun se tuodaan kosketukseen mitattavan kohteen kanssa, kohde ja mittari saavuttavat termisen tasapainotilan ja päätyvät samaan lämpötilaan. Lämpötilan SI-yksikkö on Kelvin (1 K). Lämpötila-asteikkona Euroopassa käytetään kuitenkin useimmiten Celciusta, jotaka saadaan laskettua Kelvineistä yhtälöllä 0 C = 273, 15 K (1.1) Useissa valtioissa on käytössä Fahrenheit-asteikko, jonka mukainen lämpötila saadaan Celciuksista yhtälöllä T F = 9 5 T C + 32 (1.2) Yhtälössä (1.2) T F on lämpötila Fahrenheit-asteikolla ja T C lämpötila Celcius-asteikolla. helposti saadaan myös käänteismuunnos T C = 9 5 (T F 32) (1.3) Sähkövirta Sähkövirta liittyy läheisesti sähkövaraukseen: se tarkoittaa varausten liikettä aikayksikössä. Sähkövirran yksikkönä on Ampeeri (1 A), joka on toisaalta 1 A = 1 C/s, missä C on Coulombi eli sähkövarauksen yksikkö. Sähkövirta on vektorisuure, eli sillä on kaksi vapausastetta: suuruus ja suunta. Sähkövirran 2 Ei huomioida karkausvuotta eli sitä, että joka neljäs vuosi tulee yksi ylimääräinen päivä lisää. Jos tätä korjausta ei tehtäisi, niin kalenteri menisi sekaisin eikä pitkällä aikavälillä olisi enää alkuperäisessä relaatiossa Auringon kierron kanssa. 8

10 suunnaksi on sovittu positiivisen varauksen liikesuunta, vaikka useissa materiaaleissa sähkövirtaa kuljettavat elektronit, joilla on itse asiassa negatiivinen varaus. Tällöin sähkövirran positiivinen suunta on elektronien liikesuuntaa vastaan. Huomaamme myöhemmin, että tämä ei kuitenkaan aiheuta ongelmaa laskutehtävissä. Varauksenkuljettajien avulla ilmaistuna johtimessa kulkeva sähkövirta I voidaan ilmaista muodossa I = Anq v, (1.4) missä A on johtimen poikkipinta-ala, n on varaustenkuljettajien lukumäärä tilavuusyksikössä, q on yksittäisen varauksenkuljettajan varaus ja v on varauksenkuljettajien keskimääräinen (ajautumis)nopeus. Varauksenkuljettajan ajatumisnopeuteen (drift velocity) vaikuttavat hiukkaseen kohdistuva sähkökenttä sekä hiukkasen törmäykset johdemateriaalin verraten massiivisten ionien kanssa. Nämä kaksi aikaansaavat nopeuden v, jonka voidaan hyvällä tarkkuudella olettaa olevan sama kaikille samantyyppisille varauksenkuljettajille materiaalissa Valovoima Valovoima tarkoittaa valon voimakkuutta (tai määrää) jossakin kiinnitetyssä suunnassa. Jos valonlähde säteilee isotrooppisesti 3 joka suuntaan, saadaan valovirrasta Φ laskettua valovoima I: I = Φ 4π, (1.5) missä 4π on koko avaruuskulman suuruus ja valovirta Φ on yksiköissä [Φ]= 1 lm (lumen). Valovirtaa voidaan pitää valotehon mittarina Ainemäärä Ainemäärän yksikkö on mooli (mol); yhdessä moolissa on N A = 6, samanlaista aineen atomia, molekyyliä tai ionia tarkasteltavasta rilanteesta riippuen. Aineelle ominainen suure moolimassa M kuvaa yhden moolin massaa yksiköissä g/mol. Moolitilavuus V m = 22, 41 dm 3 /mol on puolestaan yhden kaasumoolin tilavuus normaaliolosuhteissa eli NTP-olosuhteissa. Tämä tarkoittaa, että kaasu on lämpötilassa T 0 = 273, 15 K (0 C) ja paineessa p 0 = 101, 3 kpa (1,013 bar). Kaasun tiheys ρ NTP-olosuhteissa saadaan yhtälöstä ρ NTP = M/V m. Kaasun ainemäärä voidaan yleisessä tapauksessa laskea yhtälöstä n = V NTP V m = m M, (1.6) missä m on kaasun massa. Moolimassaan läheisesti liittyvä käsite molekyylimassa on yhden molekyylin sisältämien atomien massojen summa. Tarkasti ottaen molekyylimassa on hieman pienempi kuin osiensa summa, mutta koska atomien väliset sidosenergiat ovat merkityksettömän pieniä, voidaan molekyylimassaa approksimoida osien summan massalla. Molekyylimassaa mitataan tavallisesti yksiköissä 1 u, missä u on yhtäsuuri kuin 12 C-atomin massa SI-yksiköissä. 3 Jokaiseen suuntaan yhtä voimakkaasti. 9

11 Esimerkki: molekyylimassan laskeminen Hapen moolimassa on noin 15,99 g/mol ja hiilen moolimassa on noin 12 g/mol. Mikä on hiilidioksidimolekyylin moolimassa? Ratkaisu: Hiilidioksidin kemiallinen esitys on CO 2, joten olettamalla atomien väliset sidosenergiat merkityksettömän pieniksi saadaan M = 12 g/mol+2 15, 99 g/mol 44 g/mol (1.7) 10

12 Luku 2 Matemaattiset apuvälineet fysiikassa Tämän luvun tarkoituksena on kerrata fysiikassa tarvittavaa matematiikkaa sekä antaa opiskelijalle tietoa sen sovelluskohteista. Kyseessä ei ole täydellinen matematiikan oppikirja, vaan suuri osa tuloksista oletetaan tunnetuiksi tarkempia todistuksia esittämättä. Joissakin tämän luvun kohdissa saattaa olla (tarkoituksenmukaisesti) selitetty matemaattisia käsitteitä termein, jotka eivät ole kovin tarkkoja tai välttämättä edes oikeita puhtaan matematiikan näkökulmasta. Kaikesta huolimatta esityksen tavoitteena on edesauttaa fysiikan ymmärtämistä, joten kaikkiin matematiikan yksityiskohtiin ei ole syytä (eikä aikaa) perehtyä. Fyysikon tärkeimmät matematiikan työkalut ovat algebralliset perustaidot (yhtälöiden ratkaisu, kaavojen pyörittely,... ), vektorilaskenta, differentiaalilaskenta sekä integraalilaskenta. Tässä luvussa käydään läpi nämä kaikki fysiikan näkökulmasta riittävällä tarkkuudella. Esitys on melko tiivis, joten se on syytä opiskella äärimmäisellä tarkkuudella. 2.1 Yhtälöiden ratkaiseminen analyyttisesti Analyyttisesti ratkeava yhtälö tarkoittaa yhtälöä, jolle voidaan algebrallisin menetelmin 1 löytää ratkaisu. Käytännössä katsoen lähes kaikki lukiotasolla esitettävät yhtälöt ovat analyyttisiä. Mikäli yhtälö ei ole analyyttinen, niin sille ei ole olemassa algebrallista ratkaisua. Tällöin tarvitaan numeerista matematiikkaa, jota ei käsitellä tässä teoksessa. Tässä osiossa puhutaan jo funktioista, vaikka niiden tarkempi määrittely tehdään vasta kohdassa 2.3. Näin siksi, että yhtälöt ja funktiot liittyvät toisiinsa ja voidaan olettaa, että funktioita on jo jonkin verran opiskeltu aiemmin. Toki on mahdollista lukea ensin luku 2.3 ja palata vasta sitten yhtälöiden ratkaisemiseen; itse suosittelen molempien tarkkailua samalla kertaa Ensimmäisen asteen yhtälö Tarkastellaan yhtälöä bt+c = d, (2.1) 1 Tarkoittaa yhtälön termien siirtelyä, puolittain kertomista ja jakamista, summaamista ja vähentämistä ja kaikkea, mitä laskulakien sallimassa maastossa on lupa tehdä. 2 Esimerkiksi lukee ensin koko luvun ja miettii sen jälkeen eri kappaleiden välisiä yhtäläisyyksiä. 11

13 missä b, c ja d ovat tunnettuja vakioita ja jossa tuntemattomana on t. Lukiomatematiikassa käytetään usein kirjainta x esittämään tuntematonta, mutta aivan yhtä hyvin voimme laittaa x:n paikalle t:n. Yhtälö ratkaistaan siirtämällä luku c yhtälön oikealle puolelle ja jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla b. Tällöin saadaan t = (d c)/b. Ensimmäisen asteen yhtälössä tuntemattoman t potenssi on aina 1. Näin ollen yhtälö on suoraviivaista ratkaista ja ratkaiseminen tapahtuu aina edellä esitetyllä tavalla: tuntematon siirretään toiselle puolelle yhtälöä ja tunnetut luvut toiselle puolelle. Ensimmäisen asteen yhtälön graafinen tulkinta on suora. Yhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa t + a = 0, missä a on jokin tunnettu vakioluku. Piirtämällä funktion x = x(t) = t + a kuvaaja (t, x)-koordinaatistoon voidaan yhtälön ratkaisu havaita graafisesti tarkastelemalla funktion x = x(t) nollakohtia. Nähdään, että funktio x leikkaa pystyakselin korkeudella a nollatasosta ja vaaka-akselin kohdassa a. Esimerkki: ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälö 3t+5 = 2 (2.2) Ratkaisu: Siirretään yhtälön vakiotermit oikealle puolelle ja jaetaan muuttujan t kertoimella: 3t+5 = 2 3t = 3 t = 1 (2.3) Piirretään vielä kuva: nyt funktiona on x(t) = 3t + 3. Yhtälön (2.2) ratkaisun graafinen tulkinta on esitetty kuvassa Toisen asteen yhtälö Otetaan esimerkiksi yhtälö at 2 + bt+c = 0, (2.4) missä a, b ja c ovat vakiota. Tätä yhtälöä ei ihan suoraan pysty ratkaisemaan. Pienellä matemaattisella kikkailulla ratkaisu kuitenkin löytyy, ja se on muotoa t = b± b 2 4ac 2a (2.5) Yhtälö (2.5) antaa kaksi ratkaisua. Jossain tapauksissa toinen niistä ei ole fysikaalisesti mielekäs, jolloin se hylätään (tästä lisää myöhemmin). Kaavan pätevyyden voi todeta esimerkiksi siten, että sijoittaa sen yhtälöön (2.4). Toisen asteen yhtälön graafinen tulkinta on toisen asteen käyrä eli paraabeli. Jos määritellään funktio x(t) = at 2 + bt+c, niin funktion x nollakohdat eli t-akselin leikkauspisteet ovat yhtälön (2.4) ratkaisut. Tämä on hyödyllinen tapa tarkistaa saatu vastaus graafisesti. 12

14 x(t) = 0 t = 1 KUVA 2.1: Yhtälön (2.2) ratkaisun graafinen tulkinta. Esimerkki: toisen asteen yhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälö t 2 + 2t 1 = 2 (2.6) Ratkaisu: Muokataan yhtälö (2.6) samaan muotoon kuin yhtälö (2.4), jolloin voidaan käyttää yhtälöä (2.5) sen ratkaisemiseen. Nyt saadaan t 2 + 2t 1 = 2 t 2 + 2t 3 = 0 t = 2± ( 3) 2 1 = 2±4 2 Saadaan kaksi ratkaisua, t 1 = 1 ja t 2 = 3. Vastauksen voi tarkistaa vielä sijoittamalla saadut luvut takaisin alkuperäiseen yhtälöön. Kuvassa on esitetty ratkaisu graafisesti: funktiona on nyt x(t) = t 2 + 2t Korkeamman asteen yhtälöt Kolmannen asteen yhtälö ja sitä korkeammat asteet ovat yleisessä tapauksessa melko hankalia ratkaista. Kolmannen asteen yhtälölle on olemassa ratkaisukaava, mutta sitä ei kannata käyttää saati sitten opetella ulkoa. Korkeamman asteen yhtälöissä joutuu miettimään, miten ongelmanratkaisussa on (2.7) 13

15 x(t) = 0 t = 3 tai t = 1 KUVA 2.2: Yhtälön (2.6) ratkaisun graafinen tulkinta. viisasta edetä kaavaan sijoittamisen sijasta. Seuraavassa on muutamia erikoistapauksia korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisumetodeista. Eräs tapa ratkaista kolmannen asteen yhtälö at 3 + bt 2 + ct + d = 0 on arvata sille yksi ratkaisu r. Kun tämä on tehty, voidaan polynomi at 3 + bt 2 + ct+d jakaa jakokulmassa tekijällä t r, jolloin saadaan toisen asteen yhtälö. Tämä ratkaistaan ratkaisukaavalla. Jos ratkaistava neljännen asteen yhtälö on muotoa at 4 + bt 2 + c = 0, niin voidaan kirjoittaa x = t 2 ja ratkaista yhtälö ax 2 + bx+c = 0 uuden muuttujan x suhteen. Lopuksi sijoitetaan t = ± x ja saadaan alkuperäisen yhtälön ratkaisut. Korkeamman asteen (seuraavassa n:nnen asteen) yhtälöissä on kyseessä funktion x(t) = n i=0 a it i nollakohtien ratkaiseminen (a i on vakioluku jokaiselle i). Graafisella laskimella voi helposti tarkistaa saadun vastauksen piirtämällä funktion x(t) kuvaajan ja selaamalla läpi sen nollakohdat. Esimerkki: kolmannen asteen yhtälön ratkaiseminen Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä t 3 t 2 + 2t+5 = 1? (2.8) Ratkaisu: Ongelma kannattaa ajatella siten, että kyseessä on funktion x(t) = t 3 t 2 + 2t+4 nollakohtien etsiminen eli yhtälö muotoa x(t) = 0. Tavoitteena on pudottaa yhtälön kertalukua yhdellä, jolloin ratkaistavaksi jää toisen asteen yhtälö. Kertaluvun pudotus tapahtuu jakamalla polynomi t 3 t 2 + 2t+4 jakokulmassa jollakin sen tekijällä, joka on muotoa t r, missä r on polynomin nollakohta. Tämä löytyy yleensä kokeilemalla, esimerkiksi kokeillaan nyt luvulla t = 1 : ( 1) 3 ( 1) ( 1)+4 = = 0, (2.9) 14

16 joten termi t+1 on polynomin t 3 t 2 + 2t+4 tekijä. Jakamalla jakokulmassa saadaan t 2 2t+4 t+1 t 3 t 2 + 2t+4 t 3 t 2 2t 2 + 2t 2t 2 + 2t (2.10) 4t+4 4t 4 Nyt polynomi t 3 t 2 + 2t+4 voidaan kirjoittaa muodossa (t+1)(t 2 2t+4). Jotta polynomi saisi arvon nolla, tulee jomman kumman tulontekijöistä olla 0. Jos oletetaan, että t + 1 = 0, niin silloin t 2 2t+4 = 0. Sijoittamalla yhtälö toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan saadaan mielenkiintoinen tilanne: t = 2± = 2± (2.11) Neliöjuuren alle tulee negatiivinen lauseke...!? Tilanteen voi tulkita kompleksilukujen kautta ottamalla käyttöön määrittely 1 =: i, mutta se tuskin on kovinkaan mielekästä, sillä emme tarvitse kompleksilukuja juurikaan tällä kurssilla. Todetaan vain, että ratkaisua (reaaliluvuilla) ei ole olemassa. Miksi näin on? Kuva selventää asiaa, joten piirretään sellainen (kuva 2.3). Kuva antaa hieman osviittaa sille, että funktio näyttäisi olevan aidosti kasvava. Tällaisen funktion derivaatta 3 on aina positiivinen, joten jos sillä on olemassa nollakohta, niin niitä on tasan yksi, sillä nollakohdan ohitettuaan funktion arvo pysyy aina nollan yläpuolella. Riittää siis osoittaa aidosti kasvavuus eli derivaatan positiivisuus. Derivoidaan: d dt x(t) = d ( ) t 3 t 2 + 2t+4 dt (2.12) = 3t 2 2t+2 Jaetaan tarkastelu väleihin: Jos t = 1, niin dx(t) dt = 7 > 0. t= 1 Jos t < 1, niin 3t 2 2t+2 > > 0. Jos t ] 1, 0[, niin 3t 2 2t+2 > > 0. Jos t = 0 niin 3t 2 2t+2 = 2 > 0. 3 Derivaatta määritellään käsitteenä myöhemmin, vaikka sitä tässä jo tarvitaankin. 15

17 x(t) = 0 t = 1 KUVA 2.3: Funktion x(t) = t 3 t 2 + 2t+4 kuvaaja. Jos t ]0, 1], niin 3t 2 2t+2 > = 0. Jos t > 1, niin 3t 2 2t+2 = t(3t 2) > (3 2)+2 > 0. Havaitaan, että derivaatta todellakin on positiivinen kaikkialla, joten funktio on aidosti kasvava. Tällöin sillä voi olla korkeintaan yksi nollakohta, eli t = Vektoreista Fysiikassa vektorit ovat erittäin tärkeässä asemassa. Klassisen mekaniikan ongelmien ratkaiseminen edellyttää vektorien ominaisuuksien hyvää hallintaa. Vektoriin törmää myös lukuisissa mielenkiintoisissa fysiikan sovelluksissa, joissa tarkastellaan useita eri suuntia Vektorin määrittely: motivointia Millainen on vektorisuure matemaattisesti tarkasteltuna ja mihin sitä fysiikassa tarvitaan? Vektori, toisin kuin skalaari (reaaliluku), on suure, jolla on suuruutensa lisäksi myös suunta. Vektoria a merkitään tämän vuoksi reaaliluvusta eroavalla symbolilla a. Vektoria voidaan kuvata viivalla, jonka päässä on nuoli. Viivan pituus kuvaa vektorin suuruutta ja nuoli vektorin suuntaa. Kuvassa 2.4 on esitetty jokin vektori a. Vektori on luonnollinen fysiikassa, koska useilla tarkasteltavilla suureilla on sekä suunta että suuruus. Helppo esimerkki saadaan kinematiikasta, jossa tarkastellaan nopeutta sekä kiihtyvyyttä. Vastaavasti dynamiikassa voima ja momentti ovat vektorisuureita. 16

18 a KUVA 2.4: Vektori a avaruudessa. Vektorilla on kaksi ominaisuutta, suunta ja suuruus, jotka on molemmat huomioitava laskuissa. Vektorin suunta tulee aina ilmaista jonkin vertailujärjestelmän eli koordinaatiston suhteen. Jos tarkastelussa on vain yksi ulottuvuus, ovat ainoat mahdolliset suunnat positiivinen ja negatiivinen. Tällöin suunta voidaan huomioida suureen etumerkillä (±). Sanotaan, että vektorin suunnalla on vain yksi vapausaste. Kahdessa ulottuvuudessa tilanne ei ole yhtä yksinkertainen, sillä vektori saa toisen vapausasteen ja geometrisesti se voi sijoittua äärettömän monella eri tavalla kaksiulotteisessa tasossa. Kolmessa ulottuvuudessa vektorilla on kolme vapausastetta, jolloin tarkastelu muuttuu entistä monimutkaisemmaksi. Seuraavassa paneudutaan siihen, kuinka vektoreita tulisi kuvata useassa ulottuvuudessa Vektorit kahdessa ulottuvuudessa Aloitetaan vektorien tarkastelu kaksiulotteisessa karteesisessa (eli tavallisessa) (x,y)-koordinaatistossa. Oletetaan, että meillä on jokin mielivaltainen vektori a, joka lähtee koordinaatiston origosta eli nollakohdasta johonkin suuntaan. Havaitaan, että vektori a ylettyy x-suunnassa jonkin matkan a x ja y-suunnassa jonkin matkan a y (kuva 2.5). Kuvaan on piirretty lisäksi yksikkövektorit 4 î ja ĵ. Kuvasta nähdään, että vektori a voidaan sanoa skalaarikomponenttiensa a x ja a y sekä yksikkövektoreiden î ja ĵ avulla muodossa a = a x î+a y ĵ. Tämä on vektorin a esitys valitussa koordinaatistossa. Huomaa, että vektorin eri komponentteja ei saa laskea yhteen suoraan, sillä ne ovat eri suunnissa. Sanotaankin, että î ja ĵ ovat lineaarisesti riippumattomia eli ne toimivat ikään kuin eri ulottuvuuksissa: î asustaa x-akselilla ystäviensä kî kanssa, missä k on mikä tahansa (reaali)luku. Vastaavasti ĵ on vallannut kavereidensa kĵ kanssa ŷ-akselin; sinne ei ole î:n jengillä mitään asiaa. Yksikkövektorien avulla voidaan määrittää mikä tahansa paikka valitussa koordinaatistossa, kun niitä kerrotaan sopivilla luvuilla. Esimerkiksi koordinaattiin (2,3) päästään koordinaatiston nollakohdasta eli origosta vektorilla 2î+3ĵ. Kuvassa 2.6 on esitetty yksikkövektorit koordinaatistossa ja summavektori 2î+3ĵ. Vektorin suuruus eli normi voidaan kahdessa ulottuvuudessa laskea suorakulmaiseen kolmioon liittyvän Pythagoraan lauseen avulla. Kolmion kateetteina ovat vektorin î- ja ĵ-komponenttien edessä olevat kertoimet ja esimerkiksi kuvan 2.6 vektorille 2î+3ĵ saadaan pituudeksi 2î+3ĵ = = 13. Vektorin a normille käytetään merkintää a Vektorit kolmessa ulottuvuudessa Kolmiulotteisen avaruuden vektorin kuvaaminen vaatii kolmiulotteisen koordinaatiston. Otetaan x- ja y-akselien lisäksi käyttöön z-akseli, joka on kohtisuorassa kahta edellistä vastaan. Merkitään z-akselin 4 Yksikkövektorin pituus on 1 ja suunta tässä tapauksessa koordinaattiakselin suunnassa. Esimerkiksi vektori î on x-akselin suuntainen. 17

19 y a y a = a x î + a y ĵ ĵ î x a x KUVA 2.5: Kaksiulotteinen vektori a tavallisessa (x, y)-koordinaatistossa. y ĵ î = ĵ = 1 2î + 3ĵ 3ĵ x î 2î KUVA 2.6: Yksikkövektorit ja vektorien yhteenlasku, esimerkkinä summavektori 2î+3ĵ. suuntaista yksikkövektoria symbolilla ˆk, jolloin meillä on käytössä kolme toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa yksikkövektoria: î, ĵ ja ˆk. Mikä tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektori voidaan ilmaista näiden lineaarikombinaationa eli kertomalla jokaista yksikkövektoria tietyllä luvulla: esimerkiksi vektori 2î+ĵ 4ˆk, joka lähtee origosta ja päättyy pisteeseen (2, 1, 4), voidaan ilmaista ottamalla oikea määrä askelia aina tietyn yksikkövektorin suuntaan. Tällaisen vektorin pituus saadaan yleistetystä Pythagoraan lauseesta, eli summataan komponenttien neliöt ja otetaan neliöjuuri: pituus on 2î+ ĵ 4ˆk = ( 4) 2 = 21. Kuvassa 2.7 on esitetty yksikkövektorit kolmessa ulottuvuudessa sekä edellinen esimerkkivektori. 18

20 z 2î ˆk ĵ î ĵ y 4ˆk 2î + ĵ 4ˆk x KUVA 2.7: Yksikkövektorit kolmessa ulottuvuudessa ja vektorien yhteenlasku, esimerkkinä summavektori 2î+ĵ 4ˆk Vektorien pistetulo ja ristitulo Vektoreille voidaan algebrallisesti määritellä kaksi laskutoimitusta, joille löytyy selkeä geometrinen tulkinta ja sovellus fysiikasta. Jos meillä on kaksi kaksiulotteista vektoria a = a 1 î+a 2 ĵ ja b = b1 î+b 2 ĵ, niin olisi kiinnostavaa tietää, kuinka paljon yhteistä näillä kahdella kaverilla on. Kuinka tällaista voidaan mitata? No, olemme määritelleet vektorin olioksi, jolla on vain kaksi ominaisuutta; suunta ja suuruus. Mittaamme siis näiden ominaisuuksien vastaavuutta. Mittaamiseen voidaan määritellä pistetulo ( ), joka lasketaan seuraavasti: a b = a1 b 1 + a 2 b 2 (2.13) Onko tekemämme mittari hyvä? Helposti huomataan, että pistetulo saa maksimiarvon silloin, kun vektorit ovat täysin samat: tulos on pythagoraan lauseen neliö a a2 2. Jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin tulokseksi saadaan nolla (perustele miksi). Mikäli vektorit ovat keskenään kovin eri pituisia, antaa pistetulo korkeintaan lyhyemmän vektorin pituuden tulokseksi. Tuntuisi järkevältä määrittelyltä... Pistetulon voi ajatella myös hieman toisesta näkökulmasta vaikkapa fysiikan kautta. Klassisessa mekaniikassa törmätään usein tilanteeseen, jossa halutaan laskea voiman tekemä työ tietyn paikkasiirtymän aikana. Usein on niin, että voima ja siirtymä eivät ole täsmälleen samansuuntaisia, vaan niiden suunnat eroavat kulman α verran toisistaan. Tällöin ainoastaan se voiman komponentti, joka on siirtymän suunnassa, aiheuttaa jonkin vaikutuksen kyseisessä suunnassa. On kiinnostavaa tietää, kuinka suuri kyseinen komponentti on. Pistetulo tulee nyt avuksi. Vektoreille a = a 1 î+a 2 ĵ ja b = b1 î+b 2 ĵ pistetulo voidaan kirjoittaa myös seuraavasti: a b = a1 b 1 + a 2 b 2 = a b cos(α), (2.14) missä α on vektorien a ja b välinen kulma (kuva 2.8). Huomaa, että pistetulo antaa skalaarin, eikä vektoria. 19