Leikkausmuodonmuutos tästä ratkaistuna on. γ = ϕ t(x + x) ϕ t (x) x. Lopullinen tulos saadaan raja-arvona x:n lähestyessä nollaajaseon.

Transkriptio

1 Kuva 2.1. Sauvanvääntö 2VÄÄNTÖ 2.1 Pyöreän sauvan vääntö Väännöllä tarkoitetaan sellaista sauvan kuormitustapausta, jossa sauvan poikkileikkauksen tasossa vaikuttava voimapari kiertää jokaista poikkileikkausta erään kiinteän napapisteen ympäri. Tätä napapistettä, joka eri poikkileikkauksissa määriteltynä muodostaa sauvan akselin suuntaisen suoran, vääntöakselin, kutsutaan poikkileikkauksen vääntökeskiöksi tai leikkauskeskiöksi. Voimaparin aiheuttamaa momenttia napapisteen ympäri kutsutaan vääntömomentiksi, ja sille käytetään merkintää M t. Jos poikkileikkauksella on symmetria-akseli, vääntökeskiö sijaitsee symmetria-akselilla ja näin ollen kaksoissymmetrisellä poikkileikkauksella painopisteessä eli symmetria-akseleiden leikkauspisteessä. Vääntömomentin M t kuormittaessa pyöreätä akselia kuvan 2.1 mukaisesti, akselin poikkileikkaustasot kiertyvät omassa tasossaan, pysyen tasoina, vääntökeskiön ympäri kulman ϕ t verran. Tätä kulmaaϕ t = ϕ t (x) kutsutaan vääntökulmaksi. kselissa tapahtuu puhdas leikkausmuodonmuutos, koska deformoituneen akselin poikkileikkaustasot eivät enää ole kohtisuorassa akselin generaattoriviivoja vastaan, vaan muodostavat niiden kanssa liukukulman γ eli leikkausmuodonmuutoksen. Tarkastellaan kuvassa 2.2a esitettyä x:n pituista siivua akselista. Yhteensopivuusehtona voidaan välittömästi kirjoittaa: (ϕ t (x + x) ϕ t (x))r = γ x Leikkausmuodonmuutos tästä ratkaistuna on γ = ϕ t(x + x) ϕ t (x) x Lopullinen tulos saadaan raja-arvona x:n lähestyessä nollaajaseon r γ = dϕ t r = θr (2.1) dx 1

2 Kuva 2.2. a) Leikkausmuodonmuutos γ, b) vääntöjännitysjakauma Suuretta θ, jokaonvääntökulman gradientti, kutsutaan vääntymäksi. Leikkausmuodonmuutos häviää poikkileikkauksen keskipisteessä, muuttuu lineaarisesti säteen suunnassa ja saa suurimman arvonsa poikkileikkauksen ulkoreunalla. Ulkoisen vääntömomentin tasapainottava sisäinen jännitystila sauvan poikkileikkaustasossa koostuu leikkausjännityksistä. Kun kirjoitetaan momenttitasapainoehto kussakin poikkileikkaustasossa ulkoisen momentin ja sisäisen jännitysjakauman välille, saadaan ehto M t = τrd (2.2) Kun otaksutaan materiaali lineaarisesti kimmoiseksi, jossa väännöstä aiheutuvan resultoivan leikkausjännityksen ja -muodonmuutoksen välillä pätee yhteys τ = Gγ = Gθr vääntömomenttiresultantin lauseke (2.2) voidaan lausua muodossa M t = Gθ r 2 dϕ t d = GI p θ = GI p dx Tässä polaarinen vääntöjäyhyys I p on I p = r 2 d = (2.3) (z 2 + y 2 )d (2.4) ja suuretta GI p kutsutaan sauvan vääntöjäykkyydeksi. Ympyräputkipoikkileikkaukselle, jonka sisäsäde on R s ja ulkosäde R u, saadaan tasapainoehtoa (2.2) vastaten ja polaariselle jäyhyysmomentille Ru M t =2π τr 2 dr R s I p =2π Ru R s r 3 dr = 1 2 π(r4 u Rs) 4 (2.5) 2

3 Kuva 2.3. Puhdas leikkausmuodonmuutos Ympyräpoikkileikkaukselle (R s = 0) saadaan vastaavasti I p = 1 2 πr4 u. Suurin leikkausjännitys esiintyy poikkileikkauksen ulkoreunalla r = R u (kuva 2.2 b) ja se on τ max = GθR u = M t I p R u (2.6) Sauvassa vallitseva jännitystila on niinsanottu puhdas leikkaus, joka on esitetty kuvassa 2.3. Kuva 2.4. Vääntösauvan tasapainoeto Tarkastellaan seuraavaksi väännetyn sauvan tasapainoa. Kuvassa 2.4 on esitetty x:n mittainen alkio sauvasta, jota kuormittaa ulkoinen jakaantunut vääntömomentti m t. Kirjoitetaan sauva-alkion tasapainoehto dm t dx + m t =0 (2.7) josta vääntömomentti voidaan määrittää staattisesti määrätyissä sauvoissa. Staattisesti määräämättömien sauvojen ollessa kyseessä yhtälöön (2.7) sijoitetaan vääntömomentin lauseke (2.3), jolloin saadaan differentiaaliyhtälö d dx (GI dϕ t p dx )+m t =0 (2.8) 3

4 Kuva 2.5. Ulokesauvanvääntö Vääntöjäykkyyden GI p ollessa vakio yhtälö saadaan muotoon GI p d 2 ϕ t dx 2 + m t =0 (2.8a) Probleeman kyseeseen tulevat reunaehdot ovat kinemaattinen jäykkätaihaarukkalaakeroitu kiinnitys, jolloin vääntökulman syntyminen on estetty ϕ t = 0, tai mekaaninen reunalla oleva ulkoinen vääntömomenttikuormitus M t = Mt o, joka voi myös olla nolla. Esimerkki 2.1 Tarkastellaan kuvassa 2.5 esitettyä staattisesti määrättyä ulokesauvaa, jota rasittaa vapaassa päässä pistemäinen vääntömomentti Mt o. Sauvan vääntöjäykkyys on vakio GI p. Probleeman differentiaaliyhtälö onjoko dm t dx =0 josta nähdään, että vääntömomentti M t on vakio, tai Jälkimmäisen ratkaisu on GI p d 2 ϕ t dx 2 =0 ϕ t (x) =C 1 x + C 2 jossa C 1 ja C 2 ovat integroimisvakioita. Ne määritetään reunaehdoista, jotka ovat Integroimisvakioiksi saadaan ϕ t (0) = 0 M t (l) =GI p ϕ t (l) =M o t C 1 = M o t /GI p C 2 =0 Lopputuloksena saadaan ϕ t :lle lineaarisesti x:n suhteen kasvava arvo ϕ t (x) = M o t GI p x 4

5 Kuva 2.6. Päistään kiinnitetyn sauvan vääntö ja vääntömomentille vakioarvo M t (x) =Mt o =vakio. Esimerkki 2.2 Tarkastellaan toisena esimerkkinä molemmistapäistään jäykästi kiinnitettyä sauvaa, jota kuormittaa pistemäinen vääntömomentti leikkauksessa x = a. Sauvan vääntöjäykkyys on edelleen vakio GI p. Differentiaaliyhtälö voidaan esittää muodossa d 2 ϕ t GI p dx + M o 2 t δ(x a) =0 jossa Diracin δ-funktio δ(x) määritellään yhtälöllä ja se toteuttaa lisäksi ehdon δ(x) = Yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa Tässä on määritelty funktio { 0, kun x = 0, kun x =0 δ(x)dx =1 ϕ t (x) =C 1 x + C 2 M o t GI p x a x a = Tehtävän reunaehdot päissä ovat { 0, kun x a x a, kun x a ϕ t (0) = 0 = C 2 =0 ϕ t (l) =0 = C 1 = l a l 5 M o t GI p

6 ja lopullinen ratkaisu näinollen Mt o ϕ t (x) = M t o [ l a ( l a x), kun 0 x a GI p l x x a ] = GI p l Mt o ( l x a), kun a x l GI p l Vääntömomenttijakauma on M t (x) =GI p ϕ t (x) =M o t [l a l x a M x a ]= t o (l a ), l kun 0 x a Mt o ( a l ), kun a x l Jos ratkaisu kootaan kahdesta osasta erikseen, tulee sen toteuttaa edellä mainittujen reunaehtojen lisäksi yhteensopivuus- ja tasapainoehto kohdassa x = a ϕ t (a + )=ϕ t (a ) M t (a + )=M t (a ) Mt o GI p ϕ t(a + )=GI p ϕ t(a ) Mt o 2.2 De Saint Venantin vääntöteoria-siirtymämenetelmä Pyöreän akselin väännössä, onton tai umpinaisen, poikkileikkaustasot säilyvät tasoina. Muissa sauvoissa vääntö aiheuttaa poikkileikkaustasojen käyristymisen. Jos käyristyminen saa tapahtua vapaasti, kysymyksessä on vapaa vääntö eli Saint Venantin vääntö. Jos taas käyristyminen on estetty joko kokonaan tai osittain, sauvaan syntyy myös aksiaalisia jännityksiä, jotka puolestaan vaikuttavat leikkausjännitysten jakaantumiseen ja suuruuteen. Vääntöä kutsutaan tällöin estetyksi väännöksi. Estetty vääntö on erittäin tärkeä sauvoissa, joiden poikkileikkaus on avoin ohutseinämäinen. De Saint Venant teki vuonna 1856 olettamuksen, että väännetyssä sauvassa osaa jännityskomponenteista ei lainkaan synny, eli σ x = σ y = σ z = τ yz 0 (2.9) Tällöin häviävät välttämättömyydellämyös sauvan vastaavat muodonmuutoskomponentit, eli ɛ x = u x 0 ɛ y = v y 0 ɛ z = w z 0 γ yz = v z + w y 0 Näiden perusteella voidaan sanoa välittömästi, että siirtymäkomponentit ovat muotoa u = u(y, z) v = zf(x) w = yg(x) 6

7 missä f(x) ja g(x) ovat toistaiseksi tuntemattomia mielivaltaisia x-koordinaatista riippuvia funktioita. Tämän lisäksi tasapainoyhtälöt (1.41) pelkistyvät muotoon τ yx y + τ zx z =0 τ yx x =0 τ zx x =0 (2.10) kun jätetään tilavuusvoimat tarkastelun ulkopuolelle. Näistä kahteen jälkimmäiseen sijoitetaan leikkausjännitykset ( u τ yx = G y + v ) x ( u τ zx = G z + w ) (2.11) x josta seuraa ehdot 2 v x =0 = f =0 2 2 w x =0 = 2 g =0 Tästä nähdään helposti lineaarinen riippuvuus x-koordinaatista siirtymäkomponenttien v ja w lausekkeissa: u = u(y, z) v = zx w = yx Tarkastellaan vielä vääntymän lauseketta, joka on määritelmänsä mukaan vääntökulman derivaatta. Vääntökulma taas on suoraan rotaatiomatriisin komponentti ω 1 ja on määritelty yhtälöissä (1.17). Sijoittamalla siirtymien lausekkeet tähän saadaan ehto vakion määrittämiseksi θ = ϕ t x = 1 2 x ( w y v z )= 1 2 ( + ) = Kun vielä merkitään siirtymäkomponenttia u vakion = θ ja poikkipinnan käyristymäfunktion ψ(y, z) tulona, saadaan lopullinen esitysmuoto u = θψ(y, z) v = θxz w = θxy (2.12) Leikkausjännitysten lausekkeiksi saadaan sijoittamalla nämä määritelmiin (2.11) ( ) ψ τ yx = Gθ y z ( ) (2.13) ψ τ zx = Gθ z + y 7

8 Kuva 2.7 Väännetty sauva. Sijoittamalla edelleen ensimmäiseen tasapainoyhtälöistä (2.10) saadaan Laplace-yhtälö 2 ψ y + 2 ψ = ψ =0 (2.14) 2 z2 poikkipinnan käyristymisfunktionmäärittämiseksi. Probleemaan liittyylisäksi reunaehto T x = σ x n x + τ xy n y + τ xz n z = 0, joka on kuvan 2.7 merkinnöin, kun σ x =0,on ja edelleen T x = τ yx cos β + τ zx cos α =0 (2.15) ( ψ y z)cosβ +( ψ z + y)cosα =( ψ y = ψ n 1 2 y n + ψ z z n ) z z s y y s s (y2 + z 2 )=0 (2.16) Näin on päädytty Neumann-tyyppiseen probleemaan. Laplace-tyyppiset probleemat luokitellaan reunaehtojensa perusteella matematiikassa seuraavasti: Neumann : ψ =0, ψ n = ψ n reunalla C Dirichlet : ψ =0, ψ = ψ reunalla C Robin : ψ =0, kψ = ψ n reunalla C Tasapainoehto ulkoisen vääntömomentin ja sisäisten leikkausjännitysten välillä kussakin sauvan poikkileikkauksessa voidaan kirjoittaa kuvan 2.7 mukaisesti M t = (τ zx y τ yz z)d (2.17) 8

9 Sijoittamalla tähän leikkausjännitysten lausekkeet saadaan edelleen ( ψ M t = Gθ z y ψ ) y z + y2 + z 2 d = GθI t (2.18) jossa sauvan vääntöjäyhyys ( ψ I t = z y ψ ) ( y z + y2 + z 2 d = I p + y ψ z z ψ ) d (2.19) y 2.3 Prandtlin vääntöteoria - voimamenetelmä Prandtl kehitti voimamenetelmän mukaisen ratkaisunvääntötehtävällevuonna 1903, kun hän huomasi, että ensimmäinen tasapainoehdoista (2.10) toteutuu identtisesti, jos jännitykset ovat jännitysfunktion Φ(z, y) osittaisderivaattoja, eli τ yx = Φ z, τ zx = Φ y (2.20) Sijoittamalla nämä edelleen neljänteen ja kuudenteen Beltrami-Michellin yhtälöistä (1.85) saadaan 2 τ yx y 2 2 τ zx y 2 ( 2 Φ z y joista voidaan välittömästi päätellä, että + 2 τ zx z 2 =0 + 2 τ yx z 2 =0 ) y + 2 Φ =0 2 z 2 ( 2 ) Φ y + 2 Φ =0 2 z 2 2 Φ y + 2 Φ 2 z 2 =vakio Tarkastelemalla toisaalta jälleen vääntymän lauseketta käyttäen hyväksi määritelmää (1.17) voidaan kyseessä olevan vakion arvo määrittää seuraavasti: θ = ϕ t x = ω 1 x = 1 ( w 2 x y v ) = 1 ( τxz z 2G y τ ) xy = 1 ( 2 ) Φ z 2G y Φ z 2 Tästä nähdään, että vakion arvo on 2Gθ. Reunaehdosta (2.15), että normaalijännitys häviää reunaviivalla, saadaan reunaehto Φ z cos β Φ y cos α = Φ z 9 z s + Φ y y s = Φ s =0 (2.21)

10 Kuva 2.8. Reiällinen poikkileikkaus. toisin sanoen jännitysfunktio Φ on vakio reunaviivaa pitkin. Yhdesti yhtenäiselle alueelle voidaan valita Φ = 0 reunalla. Jos alue ei ole yhdesti yhtenäinen, Φ on edelleen vakio reunaviivoilla, mutta eri suuri reunan eri osilla. Vääntötehtävä on siis palautettu tehtävän 2 Φ y + 2 Φ 2 z 2 Φ = 0 = 2Gθ reunalla (2.22) ratkaisemiseen. Vääntömomentti saadaan tasapainoehdosta ( Φ M t = y y + Φ ) z z d = Φ(yn y + zn z )ds +2 Φd =2 Φ(y, z)d (2.23) jossa viivaintegraali häviää yhdesti yhtenäisessä alueessa, koska jännitysfunktio reunalla Φ = 0. Jos poikkileikkaus ei ole yhdesti yhtenäinen, lasketaan vääntömomentti tasapainoehdosta kuvan 2.8 mukaisesti ( Φ M t = y y + Φ ) z z d = Φ(yn y + zn z )ds Φ(yn y + zn z )ds C u + Φ(yn y + zn z )ds C r 10 PQ QP Φ(yn y + zn z )ds +2 Φd

11 Kuva 2.9. Sauvan poikkileikkaus a) tasasivuinen kolmio, b) suorakaide. Ensimmäinen viivaintegraaleista häviää kuten edellä. Pisteiden P ja Q välillälasketut integraalit kumoavat toisensa ja jäljelle jää M t = H (yn y + zn z )ds +2 Φd C r = H( y r y + z )d +2 Φd z =2H r +2 Φd (2.24) Viimeisessä vaiheessa on sovellettu Gaussin teoreemaa käänteisessä suunnassa. Reiällisen poikkileikkauksen vääntöjäyhyydelle saadaan lauseke I t = 2 Gθ (H r + Φ(y, z)d) (2.25) Tasasivuinen kolmio poikkileikkauksena Määritetään kolmiopoikkileikkauksisen sauvan vääntöjäyhyys sekä suurin leikkausjännitys, kun kolmio on tasasivuinen ja sivun pituus a, kuva 2.9a. Kolmiota rajoittavien suorien yhtälöt ovat 3 y a +3z a 1=0 3 y a 3 z a 1=0 2 3 y a +1=0 Valitaan jännitysfunktio näiden suorien tuloksi, jolloin saadaan Φ=C( 3 y a +3z a 1)( 3 y a 3 z a 1)(2 3 y a +1) 11

12 joka häviää kolmion reunoilla ja toteuttaa näinollen reunaehdot. Kerroin C on vakio. Edelleen derivoimalla saadaan 2 Φ y = 36 3y 18 2 a 3 a 2 2 Φ 3y z = a 3 a 2 Sijoittamalla nämä lausekkeet differentiaaliyhtälöön (2.22) tulee ehdon 36 C Ga2 = 2Gθ = C = a2 18 θ toteutua. Differentiaaliyhtälön ja reunaehdot toteuttava jännitysfunktio on näin onnistuttu löytämään. Leikkausjännitykset voidaan nyt laskea määritelmiensä mukaisesti τ xy = Φ z = Gaθ( z a )[2 3( y a )+1] τ xz = Φ y = Gaθ [ 3( y 3 a )2 + 3( y a )+3(z a )2 ] Näistä saadaan resultoiva leikkausjännitys τ r = τ 2 xy + τ 2 xz = Gaθ[3( y a )4 2 3( y a )3 +6( y a )2 ( z a )2 +6 3( y a )( z a )2 +( y a )2 +( z a )2 +3( z a )4 ] 1 2 joka saa suurimman arvonsa kunkin sivun keskipisteessä, joista esimerkiksi τ xz ( 3 6 a, 0) = 3 4 Gaθ Vääntöjäyhyys saadaan myös integroimala I t = a2 ( 3 y 9 a +3z a 1)( 3 y a 3 z a 1)(2 3 y a +1)d = = a 3 3 a a4 Tällöin vääntymä on y y ( 3 y a +3z a 1)( 3 y a 3 z a 1)(2 3 y a +1)dydz θ = M t GI t = 80M t 3a4 G ja suurin leikkausjännitys voidaan lausua kuormittavan vääntömomentin avulla τ max = 20M t a 3 12

13 2.3.2 Suorakaide poikkileikkauksena Tarkastellaan suorakaidepoikkileikkausta (a b). Olkoon lisäksi a b, kuva 2.9b. Valitaan jännitysfunktiolle sarjamuotoinen lauseke Φ(y, z) =Gθ Y n (y)cos(β n z) n=1 jossa Y n (y) on toistaiseksi tuntematon funktio ja β n = (2n 1)π/b. Havaitaan helposti, että valittu yrite toteuttaa jännitysfunktion häviämiselle asetetun reunaehdon suorakaiteen pitkillä sivuilla. Kehitetään myös differentiaaliyhtälön oikealla puolella oleva vakiotermi vastaavanlaiseksi kosini-sarjaksi 2Gθ = 2Gθ jossa kerroin a n lasketaan integraalista a n = 4 b b/2 0 cos(β n z)dz = 4 π a n cos(β n z) n=1 1 2n 1 sin((2n 1) π 2 )= 4 π ( 1) n 2n 1 Sijoittamalla jännitysfunktion lauseke väännön osittaisdifferentiaaliyhtälöön (2.22) ja ottamalla lisäksi huomioon edellä määritetty sarjakehitelmä saadaan Gθ [Y n β2 n Y n + a n ]cos(β n z)=0 n=1 Tämä toteutuu ainoastaan silloin, kun tavallinen toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö Y n βny 2 n + a n =0; n =1, 2,... toteutuu. Kun lisäksi vaaditaan reunaehtoina jännitysfunktion häviäminen myös poikkileikkauksen lyhyemmillä sivuilla, saadaan reunaehdot Y n (±a/2) = 0 Saadun tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on Y n (y) = n cosh(β n y)+b n sinh(β n y)+a n /β 2 n Reunaehdoista saadaan integroimisvakioille arvot ja jännitysfunktio saa muodon Φ=Gθ 8b2 π 3 n = a n cosh 1 ( β na βn 2 2 )= 4 b 2 ( 1) n π 3 (2n 1) 3 cosh 1 ( β na 2 ) B n =0 n=1 ( 1) n ( 1 cosh(β (2n 1) 3 n y)cosh 1 ( β ) na 2 ) cos(β n z) 13

14 joka voidaan esittää myös muodossa [ b 2 Φ=Gθ 4 z2 8b2 π 3 n=1 Laskettaessa tästä leikkausjännitykset saadaan τ xy = Gθ [2z 8b2 π 2 τ xz = Gθ 8b2 π 2 n=1 n=1 ( 1) n (2n 1) 3 cosh(β ny)cosh 1 ( β ] na 2 )cos(β nz) ( 1) n (2n 1) cosh(β ny)cosh 1 ( β ] na 2 2 )sin(β nz) ( 1) n (2n 1) 2 sinh(β ny)cosh 1 ( β na 2 )cos(β nz) Suurin leikkausjännitys esiintyy pitkien sivujen keskipisteissä ja se on τ max = τ xy (0, b 2 )= Gθb [ 1 8 π 2 n=1 1 (2n 1) 2 cosh 1 ( ] (2n 1)πa ) 2b Sarja suppenee varsin nopeasti. Ottamalla huomioon vain sarjan ensimmäinen termi tulos poikkeaa enintään 1:n prosentin tarkasta arvosta, eli Vääntöjäyhyydeksi tulee I t = 2 Gθ τ max = Gθb(1 8 π 2 cosh 1 ( πa 2b )) Φd = ab3 192b (1 3 π 5 a 1 1)πa tanh((2n )) (2.26) (2n 1) 5 2b n=1 josta ottamalla sarjaratkaisusta vain ensimmäinen termi huomioon saadaan tarkkuudeksi 0.5% ja lauseke I t = ab3 192b [1 3 π 5 a tanh(πa 2b )] (2.26a) Tehtävä voidaan ratkaista myös valitsemalla jännitysfunktiolle suoraan kaksoissarjalauseke Φ(y, z) =Gθ Φ nm cos(β n z)cos(α m y) α m = n=1 m=1 (2m 1)π a jossa kertoimet Φ nm ovat aluksi tuntemattomia. Vastaavalla tavalla vakio 2Gθ kehitetään kaksoiskosinisarjaksi jossa kerroin a nm on 2Gθ = 2Gθ n=1 m=1 a nm cos(β n z)cos(α m y) a nm = 16 b/2 a/2 cos(β n z)cos(α m y)dzdy = 16 ab 0 0 π 2 14 ( 1) n+m (2n 1)(2m 1)

15 Kuva Kapea suorakaidepoikkileikkaus. ja pdytään yhtälöön Φ nm (α 2 m + β 2 n)+2a nm = 0, josta saadaan = Φ nm = 2a nm α 2 m + β2 n Vääntöjäyhyys I t on tässä tapauksessa I t = ab 2 n=1 m=1 Φ nm a nm = 256ab π 4 = 256 π 6 = 32 π 2 n=1 m=1 n=1 m=1 ( 1) n+m (2n 1)(2m 1)(α 2 m + β2 n ) 1 (2n 1) 2 (2m 1) 2 (α 2 m + β2 n )2 a 3 b 3 (2n 1) 4 (2m 1) 2 a 2 +(2n 1) 2 (2m 1) 4 b Kapea suorakaide poikkileikkauksena Jos suorakaidepoikkileikkaus on hyvin kapea b 10t, kuva 2.10, jännitysfunktio voidaan olettaa y-koordinaatista riippumattomaksi, Φ Φ(z) lukuunottamatta aivan poikkileikkauksen päitä. Näin meneteltäessä väännön osittaisdifferentiaaliyhtälö muuntuu tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi Tämän ratkaisu on yksinkertaisesti Φ d2 Φ dz 2 = 2Gθ Φ= Gθz 2 + C 1 z + C 2 Integroimisvakiot määritetään reunaehdoista Φ(± t 2 )=0 15

16 joista saadaan C 1 =0 C 2 = Gθ t2 4 ja ratkaisuksi näinollen Φ=Gθ( t2 4 z2 ) Vääntöjäyhyydeksi tulee I t = 2 Gθ t 2 Φd =2 ( t2 t 4 z2 )bdz = 1 3 t3 b (2.27) 2 Väännön leikkausjännitykset ovat τ xy = Φ z = 2Gθz τ xz = Φ y =0 ja niiden suurin arvo pitkien sivujen keskellä eliz-akselilla τ max = Gθt Samaan tulokseen päädyttäisiin jo edellisestä esimerkistä, lausekkeesta (2.26) suoraan jättämällä y-koordinaatin suhteen laskettu sarjaratkaisu pois tarkastelusta. 2.4 Potentiaalienergian minimin periaate Potentiaalienergian minimin periaate kuuluu siirtymämenetelmäperheeseen. Tällöin tehtävä formuloidaan käyttämällä siirtymäfunktioita. Väännetyssä sauvassa muodonmuutosenergiatiheys eli muodonmuutosenergia yksikkötilavuutta kohden määräytyy kaavalla (1.96), josta saadaan edelleen sijoittamalla Saint Venantin siirtymäotaksumien pohjalta johdetut liukumien lausekkeet, jotka saadaan yhtälöistä (2.13) u o = 1 2 (τ xyγ xy + τ xz γ xz ) = G 2 (γ2 xy + γ 2 xz) = Gθ2 2 [( ψ y z)2 +( ψ z + y)2 ] (2.28) Koko rakenteen muodonmuutosenergia saadaan integroimalla muodonmuutosenergiatiheys rakenteen tilavuuden yli U = V u o dv = 1 2 Gθ2 l 0 = 1 2 Glθ2 dx [( ψ y z)2 +( ψ z + y)2 ]d [( ψ y z)2 +( ψ z + y)2 ]d 16 (2.29)

17 Ulkoisten voimien potentiaali, kun kuormituksena on pistemäinen vääntömomentti Mt sauvan päässä, on V = M t ϕ t (l) = M t θl (2.30) Kokonaispotentiaalienergian lauseke on nyt edellisten summa Π=U + V (2.31) josta lasketaan ensimmäinen variaatio. Varioitavia siirtymiä ovat poikkileikkauksen käyristymäfunktio ψ ja vääntymä θ. Ensimmäiselle variaatiolle saadaan lauseke { δπ = Glθ [( ψ y z)2 +( ψ } z + y)2 ]d M t l δθ + Glθ 2 [( ψ (2.32) y z)δ( ψ y )+( ψ z + y)δ( ψ )]d =0 z Tämän lausekkeen tulee minimienergian tapauksessa kokonaisuudessaan hävitä. Tarkastellaan erikseen jälkimmäistä integraalia. Suorittamalla siinä yhden kerran osittaisintegrointi saadaan Glθ 2 [( ψ y δ( ψ y )+ ψ z δ( ψ z ) zδ( ψ y )+yδ( ψ z )]d = ( 2 ψ y + 2 ψ 2 z )δψd + ( ψ ψ cos α + cos β z cos α + y cos β)δψds 2 y z = ( 2 ψ y ψ z 2 )δψd + C C [ ψ n 1 2 s (z2 + y 2 )]δψds (2.33) Koska nyt variaatiot δψ ja δθ ovat mielivaltaisia siirtymäfunktioita ja ainakin osassa tarkastelualuetta δψ 0 ja δθ 0, tulee tasapainotilassa koko alueessa toteutua lausekkeista (2.32) ja (2.33) saatavat ehdot Gθ [( ψ y z)2 +( ψ z + y)2 ]d = M t 2 ψ y ψ z 2 = 0 alueessa (2.34) ψ n = 1 2 s (z2 + y 2 ) reunalla C Havaitaan helposti, että johdetut tasapainotilan välttämättömätehdotovattäsmälleen samat, jotka johdettiin aikaisemmin analyyttista tarkastelutapaa soveltamalla. Potentiaalienergian minimin periaatetta sovelletaan vääntötehtävän ratkaisuun valitsemalla käyristymäfunktiolle sarjamuotoinen lauseke ψ = N a i ψ i δψ = i=1 N i=1 ψ i jossa ψ i :t ovat tunnettuja funktioita ja kertoimet a i toistaiseksi tuntemattomia parametreja. Funktioille ψ i ei välttämättä aseteta erityisiä vaatimuksia. On kuitenkin edullista 17

18 ratkaisun kannalta, jos ne ovat harmonisia, eli toteuttavat Laplace-yhtälön (2.14). Kun nyt sijoitetaan nämä ensimmäiseen termiin lausekkeessa (2.32) ja merkitään [ ψi ψ j B ij = y y + ψ ] i ψ j d z z [ C j = y ψ j z z ψ ] j d y saadaan yhtälöryhmä N a i B ij + C j =0 i=1 j =1, 2,,N kertoimien a i ratkaisemiseksi. Vääntöjäyhyyden arvoksi saadaan ( It = [( ψ y z)2 +( ψ ψ z + y)2 ]d = z y ψ y z + y2 + z 2 ) d joka voidaan lausua edelleen käyttäen hyväksi edellä laskettuja kertoimia C j muodossa I t = I p + Likiratkaisua vastaava vääntymän arvo on N a i C i i=1 θ = M t GI t Vääntymä θ on tarkan ratkaisun alalikiarvo, θ θ ja It vastaavasti ylälikiarvo, I t I t. Esimerkkinä neliöpoikkileikkaus Tarkastellaan sauvaa, jonka poikkileikkaus on neliön muotoinen ja sivumitta on a. Valitaan käyristymisfunktioksi harmoninen (toteuttaa Laplacen homogeenisen differentiaaliyhtälön) funktio ψ 1 (y, z) =C(y 3 z yz 3 ), jossa C on mielivaltainen reaaliluku. Yrite edustaa sarjaratkaisua, jossa on otettu tarkasteluun ainoastaan yksi termi. Edelleen ψ = a 1 ψ 1 joten ψ 1 y =3y2 z z 3 ψ 1 z = y3 3yz 2 B 11 = C 1 = a/2 a/2 a/2 a/2 a/2 a/2 a/2 a/2 Näin saadaan kertoimelle a 1 arvo [(3y 2 z z 3 ) 2 +(y 3 3yz 2 ) 2 ]dydz = a8 [y(y 3 3yz 2 ) z(3y 2 z z 3 )]dydz = 1 60 a6 a 1 = C 1 B 11 = 14 9a 2 18

19 ja vääntöjäyhyydelle vastaavasti Tehtävän tarkka ratkaisu on I t a 4. I t =2 a a 2 a 2 60 = a a Komplementaarienergian minimin periaate Komplementaarienergian minimin periaate on voimamenetelmäperheseen jäsen. Siinä minimoidaan rakenteen jännitysenergiaa. Väännetyssä sauvassa jännitysenergiatiheys eli jännitysenergia yksikkötilavuutta kohden määräytyy kaavalla (1.101) ja saadaan muotoon ū o = 1 2 (τ xyγ xy + τ xz γ xz ) = 1 2G (τ xy 2 + τ xz 2 )= 1 2G [( Φ y )2 +( Φ (2.35) z )2 ] kun Prandtlin määrittämät leikkausjännityskomponentit lausutaan jännitysfunktion Φ avulla. Koko rakenteen jännitysenergia on tällöin Ū = ū o dv = 1 l dx [( Φ V 2G 0 y )2 +( Φ z )2 ]d = l [( Φ 2G y )2 +( Φ (2.36) z )2 ]d Tasapainoehdot (2.10) toteuttavien jännityskomponenttien (2.20), joissa jännitysfunktio Φ = Φ(y, z), tulee toteuttaa tasapainoehdot M t = (τ zx y τ yz z)d =2 Φd alueessa (2.37) Φ = 0 reunalla C Ottamalla nämä huomioon Lagrangen kertojamenettelyn avulla (λ on tuntematon parametri) kokonaiskomplementaarienergian minimin lauseke saadaan muotoon { l Π = 2G [( Φ y )2 +( Φ } z )2 ] 2λΦ d + λ M t (2.38) Tämän lausekkeen tulee saavuttaa minimiarvonsa, jolloin sen jännitysfunktion Φ ja Lagrangen kertojan λ suhteen lasketun ensimmäisen variaation tulee hävitä, eli { } δ Π l = G [ Φ y δ( Φ y )+ Φ z δ( Φ )] 2λδΦ 2Φδλ d + z M t δλ = l (2.39) ( 2 Φ G y Φ z 2 +2Gλ l )δφd +( M t 2 Φd)δλ =0 Näin havaitaan, että ehtojen 2 Φ y + 2 Φ 2 z = 2Gλ 2 l M t =2 Φd 19 (2.40)

20 jotka ovat samat kuin aikaisemmin Prandtlin johtamat (2.22) ja (2.23) tulee toteutua. Komplementaarienergian minimin periaatetta sovelletaan vääntötehtävän ratkaisuun valitsemalla jännitysfunktiolle sarjamuotoinen lauseke N N Φ = λ l i=1 b i Φ i δφ = λ l i=1 Φ I δb i jossa Φ i :t ovat tunnettuja ehdon Φ = 0 tarkastelualueen reunalla toteuttavia funktioita ja kertoimet b i toistaiseksi tuntemattomia parametreja. Kun nyt sijoitetaan nämä lausekkeeseen (2.39) ja merkitään saadaan yhtälöryhmä B ij = C j = [ Φi y Φ j d Φ j y + Φ ] i Φ j d z z N b i B ij 2GC j =0 i=1 j =1, 2,,N kertoimien b i ratkaisemiseksi. Lagrangen kertojaparametri määräytyy yhtälöstä M t = 2λ l N b i C i i=1 Kerroin θ = λ/l on vääntymän likiarvo. Vääntöjäyhyyden likiarvoksi saadaan It = 2 Φ d = Gθ N b i C i Vääntymä θ on tarkan ratkaisun ylälikiarvo, θ θ ja It vastaavasti alalikiarvo, It I t. Tarkastellaan esimerkkinä jälleen neliöpoikkileikkauksista sauvaa, jonka sivun pituus on a. Määritetään poikkileikkauksen vääntöjäyhyys käyttämällä komplementaarienergian minimin periaatetta. Valitaan jännitysfunktiolle lauseke Tästä saadaan derivoimalla i=1 Φ 1 = a 2 (y a2 )(z a2 ) Φ 2 =(y 2 + z 2 )(y a2 )(z a2 ) Φ 1 y =2a2 y(z a2 ), Φ 1 z =2a2 z(y a2 ), Φ 2 y =2y(2y2 + z a2 )(z a2 ) Φ 2 z =2z(2z2 + y a2 )(y a2 ) 20

21 ja edelleen kertoimet B 11 = 1 45 a12 B 12 = B 21 = a12 B 22 = a12 C 1 = 1 36 a8 C 2 = a8 Yhtälöryhmä tuntemattomien vakioiden määrittämiseksi saa muodon a [ 420 ]{ 36 b b 2 { b1 b 2 } { } = 2Ga } = 35G 1108a 4 = [ ]{ } 10 = 35G a 4 { } Tällöin jäyhyysmomentti I t on I t = 2 G 2 i=1 b i C i = 35a4 554 ( )= a a 4 I t =0.1406a 4 Edellisen esimerkin tulos huomioonottaen on saatu ala- ja ylälikiarvot vääntöjäyhyydelle I t =0.1404a 4 I t =0.1406a a 4 = I t Vääntötehtävän tarkan ratkaisun löytäminen on usein varsin työläs ja hankala tehtävä. Saint Venant on johtanut vääntöjäyhyyden määrittämiseksi likikaavan I t 4 40I p = 4 40(I y + I z ) joka pätee varsin hyvin massiivipoikkileikkauksisten sauvojen tapauksessa. esimerkkinä käsitellyn neliöpoikkileikkauksen vääntöjäyhyydeksi saadaan (2.41) Edellä I t = a8 40a 4 /6 = 3 20 a4 =0.15a 4 Myös poikkileikkauksen muodon ollessa monimutkainen poikkileikkaus voidaan jakaa osiin ja laskea likiarvo koko poikkileikkauksen vääntöjäyhyydelle, katso esimerkkinä kuva 2.11, laskemalla yhteen eri osien vastaavat suureet, eli I t n I ti (2.42) i=1 21

22 Kuva Eri osista koostuvan poikkileikkauksen vääntöjäyhyys. Tällöin eri osien väliset leikkausjännitykset jäävät ottamatta huomioon ja todellinen vääntöjäyhyys on näin laskettua likiarvoa suurempi. 2.6 Prandtlin kalvoanalogia Kalvoanalogian kehitti Prandtl vuonna Hän havaitsi väännön yhtäläisyyden fysikaalisena ilmiönä pingoitetun kalvon probleemaan. Ratkaisu muuntuu hyvin havainnolliseksi, joka tarjoaa myös mahdollisuuden ratkaista vääntötehtävä kokeellisesti. Tarkastellaan kuvassa 2.12 esitettyä pingoitettua kalvoa, johon kohdistuu pystysuora kalvon pinnalle tasan jakaantunut paine p. Kirjoitetaan tasapainoehto y z kokoiselle alkiolle. Näin saadaan ( ) w S y z + w S y w ( ) w z z + S z y + w S z w + p y z =0 y y Yhtälössä w on kalvon taipuma, joka otaksutaan pieneksi, ja S kalvovoima, joka otaksutaan vakioksi. Jakamalla yhtälö alkion pinta-alalla saadaan S z w z + S w y y + p =0 ja antamalla raja-arvona alkion pinta-alan lähestyä nollaa edelleen 2 w z + 2 w = p/s w = p/s 2 y2 Saatu yhtälö ontäsmälleen samaa muotoa kuin Prandtlin johtama voimamenetelmän mukainen väännön differentiaaliyhtälö. Tämän analogian soveltaminen väännön probleemaan tapahtuu seuraavasti: jatellaan jäykkään levyyn leikatun väännetyn sauvan poikkileikkauksen muotoinen reikä. jatellaan edelleen kalvo kiinnitetyksi reiän reunoihin. Tämän jälkeen levy pannaan 22

23 Kuva Reunoiltaan kiinnitetty kalvo. kanneksi astiaan, jossa vallitsee ylipaine p. Vertaamalla kalvon differentiaaliyhtälöä väännetyn sauvan yhtälöön Φ = 2Gθ havaitaan seuraavat vastaavuudet: Φ w 2Gθ p/s Samoin havaitaan, että vääntömomenttiresultantti on verrannollinen kalvon tilavuuteen vastaavasti vääntöjäyhyys M t = wd = 2 Gθ I t = S p wd Φd Myös kalvon taipuman tasa-arvokäyrillä w/ s = 0, joka osoittaa, että resultoiva leikkausjännitys on näinollen tasa-arvokäyrien tangentin suuntainen, koska Φ/ s = 0. Leikkausjännitys on vielä kuvan 2.7 mukaan τ = τ xy cos α + τ xz cos β = Φ z z n Φ y y n = Φ n josta voidaan päätellä, että leikkausjännitys τ on verrannollinen kalvon kaltevuuteen. 23

24 Kuva Kotelopoikkileikkaus. 2.7 Kotelosauvojen vapaa vääntö Tarkastellaan kuvassa 2.13 esitettyä kotelopoikkileikkausta. Otaksutaan jännitysfunktio riippumattomaksi koordinaatista s, eli Φ = Φ(ξ). Kun lisäksi otaksutaan kotelon seinämän koostuvan paloittain suoraviivaisista osista väännön differentiaaliyhtälössä Laplace-operaattori pelkistyy muotoon Φ = 2 Φ s 2 Väännön differentiaaliyhtälö ontällöin }{{} =0 + 2 Φ ξ 2 = d2 Φ dξ 2 d 2 Φ = 2Gθ (2.43) dξ2 Tämän ratkaisu on Φ= Gθξ 2 + C 1 ξ + C 2 Reunaehdoista kotelon ulko- ja sisäreunoilla määritetään integroimisvakioiden C 1 ja C 2 arvot Φ( t 2 )= Gθ t2 4 + C t C 2 =0 C 1 = H t Φ( t = 2 )= Gθ t2 4 C t C 2 = H C 2 = Gθ t2 4 + H 2 Jännitysfunktio on tällöin Φ(ξ) =Gθ( t2 4 ξ2 )+ H t ( t ξ) (2.44) 2 josta derivoimalla saadaan leikkausjännitykset, kuva

25 Kuva Seinämän leikausjännitykset. τ xξ = Φ s =0 τ xs = Φ ξ =2Gθξ + H t (2.45) Leikkausjännitys putken seinämässä koostuu siis kahdesta osasta: vakio-osasta ja seinämän yli lineaarisesti jakaantuneesta osasta. Leikkausvuo määritetään integroimalla leikkausjännitys seinämän paksuuden yli q = t/2 t/2 τ xs dξ = t/2 t/2 (2Gθξ + H t )dξ = H (2.46) Saint Venantin teorian mukaan vääntösauvan aksiaalinen siirtymäkomponentti on vääntymän ja poikkileikkauksen käyristymäfunktion tulo, eli u = θψ (2.47) Kotelosauvan vääntöteoriaperustuu siihentosiasiaan, ettäkuljettaessapoikkileikkauksen suljetun renkaan ympäri käyristymäfunktion derivaatta häviää. Tämä tarkoittaa sitä, että palattaessa kierroksen jälkeen takaisin lähtöpisteeseen käyristymäfunktion derivaatalla täytyy olla muuttumaton arvo, toisin sanoen käyristymäfunktion derivaatan kertymä kierrokselta täytyy hävitä C ψ ds =0 (2.48) s Tässä C on rengas seinämän keskilinjalla ympäri poikkileikkauksen. Tehtävänä onnyt määrittää integrandin lauseke. Lähdetään yhtälöstä (2.47), josta saadaan u s = θ ψ s (2.49) 25

26 Kuva a)seinämän siirtymä, b) seinämän keskilinjan rajoittama pinta-ala. Toisaalta leikkausmuodonmuutoksen määritelmän mukaan on jolloin (2.48):stä saadaan ψ s ds = 1 θ C C γ xs = u s x + u s u s ds = 1 (γ xs u s )ds =0 (2.50) θ C x Ottamalla nyt Hooken materiaalilaki huomioon, toisin sanoen τ xs = Gγ xs sekä kuvasta 2.15a saatava yhteys du s = h (s)dϕ(x) (2.51) josta derivoimalla saadaan lauseke (2.50) saa muodon ψ s ds = 1 θ C C u s x = θh (s) (2.52) (γ xs u s x )ds = ( τ xs(0) h (s))ds =0 (2.53) C Gθ Koska leikkausjännitys seinämän keskilinjalla on vakio τ xs (0) = H/t, jajälkimmäinen osa integraalista on kuvan 2.15a perusteella h (s)ds =2 jossa on seinämän keskilinjan rajoittama pinta-ala, saadaan H ds 2 =0 Gθ t Tästä voidaan ratkaista leikkausvuon arvo H C C H = 2Gθ ds = q (2.54) t C 26

27 Vääntömomenttiresultantti reiällisessä poikkileikkauksessa on kaavan (2.24) mukaan M t =2H r +2 Φd k jossa r on reiän ja k kotelon pinta-ala. Sijoittamalla jännitysfunktion lauseke tähän saadaan [ t/2 M t =2H r +2 (Gθ( t2 t/2 4 ξ2 )+ H t ( t ]ds 2 ξ))dξ =2H r +2 =2H + Gθ 3 C C ( Ht 2 + Gθt3 C t 3 ds 6 )ds =2H [ r C tds] + Gθ C 3 }{{} = Tässä on kuvan 2.15b mukaisesti kotelon seinämän keskilinjan rajoittama pinta-ala. Sijoittamalla edelleen vakion H lauseke saadaan M t = 4G2 θ + Gθ t 3 ds (2.55) ds 3 C t Vääntöjäyhyyden lausekkeeksi tulee, katso (2.25) I t = M t Gθ = ds 3 t jonka likiarvoa C I t = M t Gθ = C 42 ds t C C C t 3 ds t 3 ds (2.56) (2.57) kutsutaan Bredtin kaavaksi (1896). Leikkausjännityksen lauseke (2.45) saa vastaavasti muodon τ xs =2Gθξ + H ) (ξ t =2Gθ + =2 M ( ) t ξ + (2.58) ds I t t ds t t t Tämä saavuttaa suurimman arvonsa τ xsmax = M t I t ( t min + 2 t min C ds t ) C M t 2t min (2.59) siellä, missä seinämän paksuus on pienin. Vääntövastus voidaan määritellä vastaavasti W t = t min + I t 2 t min C ds t 2t min 27

28 Kuva Monikoteloisen sauvan vääntö. Tarvittavat viivaintegraalit voidaan helposti laskea approksimoimalla seinämän paksuutta paloittain vakiolla, jolloin saadaan C C ds t = s 1 t 1 + s 2 t 2 + = s i t i t 3 ds = t 3 1 s 1 + t 3 2 s 2 + = t 3 i s i 2.8 Monikoteloisten sauvojen vääntö Monikoteloisten sauvojen vääntötehtävää ratkaistaessa sovelletaan kuhunkin koteloon samaa yhteensopivuusehtoa kuin edellä yksikoteloiseen poikkileikkaukseen C i ψ ds =0 = s C i τ xs Gθ ds =2 i (2.60) Kun nyt tarkastellaan erikseen i:nnettä koteloa, viivaintegraali jakaantuu osiin siihen seinämän osuuteen C ik, joka on yhteinen naapurikotelojen kanssa ja siihen, joka ei ole C i.tällöin saadaan, kun otetaan huomioon, että τ xs = q i /t, C i q i Gtθ ds + k i C ik q ik Gtθ ds =2 i (2.61) Yhteisellä seinämän osalla leikkausvuota esimerkiksi kotelojen i ja k välillä onmerkitty q ik :lla. Kuvan 2.16 mukaisesti seinämien välillä tulee vallita tasapainoehto q k dx q ik dx = q i dx = q ik = q i q k q ki = q k q i = q ik 28

29 jolloin integraali lausekkeessa (2.61) saadaan muotoon q i C i Gtθ ds q k k i C ik Gtθ ds =2 i (2.62) Ottamalla käyttöön merkintä ˆq i = q i Gθ ja soveltamalla lauseketta jokaiseen koteloon erikseen saadaan yhtälöryhmä C i ds t ˆq i k i C ik ds t ˆq k =2 i i (2.63) josta vuo kussakin kotelossa voidaan määrittää. Tasapainoehdosta saadaan vääntömomentti M t = 2H i i =2 q i i (2.64) sekä vääntöjäyhyys I t =2 ˆq i i (2.65) Leikkausjännitys kussakin kotelossa on τ xs = q t = Gθ ˆq t = M t I t ˆq t (2.66) Suurin leikkausjännitys on (τ xs ) max = M t ( ˆq I t t ) max (2.67) Myös tässä vääntövastus voidaan määritellä W t = I t ( ṱ q ) max 2.9 voimien ohutseinämäisten sauvojen vääntö Sektoriaalinen koordinaatti Tarkastellaan kuvassa 2.17 esitettyä mielivaltaisen muotoista sauvan poikkileikkausta, jossa seinämän paksuus otaksutaan poikkileikkauksen muihin mittoihin verrattuna pieneksi. Koordinaattijärjestelmä x, y, z on asetettu siten, että sen origo sijaitsee poikkileikkauksen painopisteessä jax-koordinaatti yhtyy sauvan akseliin. Valitaan koordinaatti s seuraamaan seinämän keskilinjaa. Tämän jälkeen valitaan mielivaltainen piste P o s-koordinaatin nollapisteeksi ja piste vääntö- eli leikkauskeskiön apupisteeksi eli napapisteeksi. Sektoriaalinen koordinaatti ˆω määritellään nyt kuvan 2.17 mukaisesti differentiaalina dˆω = ±h (s)ds (2.68) 29

30 Kuva Ohutseinämäinen poikkileikkaus. jossa alaindeksi viittaa napapisteenä käytettyyn pisteeseen ja yläindeksi hattu puolestaan siihen, että s-koordinaatin origona on käytetty mielivaltaista pistettä P o. Sama määritelmä voidaan myös lausua projektioina poikkileikkaustason koordinaattiakselien suunnille dˆω = (z z )dy +(y y )dz (2.68a) Sama määritelmä voidaan antaa myös napapisteestä tarkasteltavaan poikkileikkauksen pisteeseen piirretyn vektorin ja seinämän keskilinjan tangenttivektorin d s vektoritulona syntyvän sauvan akselin suuntaisen vektorin pituutena d ˆω =( r P r ) d s (2.68b) jossa vektorit ovat r P r =(y y ) j +(z z ) k ja d s =dy j +dz k. Tai edelleen vektoritulon määritelmän mukaan kuvassa esitetyn viivoitetun kolmion kaksinkertaisena pinta-alana. Sektoriaalinen koordinaatti voidaan ratkaista määritelmästään integroimalla käyttämällä nollapisteenä valittua pistettä P o P P ˆω = dˆω = ± h (s)ds = [(z z )dy (y y )dz] (2.69) P o P o P o Esimerkkinä määritetään oheisen U-profiilin sektoriaalisen koordinaatin jakauma, kun leikkauskeskiön apupisteenä käytetään kuvassa esitettyä pistettä Bjas-koordinaatin nollapisteenä ylälaipan vapaan pään pistettä P o. Sektoriaalinen koordinaatti välillä 0 s 3b on s b 0 2 ds = b s, kun 0 s b 2 s b ˆω B (s) = ˆω B (b)+ b 2 ds = b s, kun b s 2b 2 s 3b ˆω B (2b) 2 ds =4b2 3b s, kun 2b s 3b 2 2b 30 P

31 Kuva Sektoriaalisen koordinaatin jakauma ˆω B (s). Tarkastellaan seuraavaksi sektoriaalisen koordinaatin jakauman muuttumista, kun leikkauskeskiön apupisteenä käytetään jotain toista pistettä.tällöin voidaan kirjoittaa suoraan määritelmän mukaan ˆω = P = P o [(z z )dy (y y )dz] P P o [(z z B + z B z )dy (y y B + y B y )dz] P P = [(z z B )dy (y y B )dz] [(z B z )dy (y B y )dz] P o P o = ˆω B (z B z )(y y o )+(y B y )(z z o ) (2.70) Lasketaan edellisestä esimerkistä sektoriaalisen koordinaatin lauseke käyttämällä apupisteenä pistettä C, joka sijaitsee ylälaipan ja uuman leikkauspisteessä. Tällöin on z B z C = b 2 ja y B y C = b ja saadaan 2 b 2 s b 2 0+( b )s =0, kun 0 s b 2 b ˆω C = 2 s b 2 (s b)+( b )b =0, kun b s 2b 2 4b 2 3b 2 s b 2 b +( b 2 )(3b s) =2b2 bs, kun 2b s 3b Tämän kuvaaja on esitetty kuvassa ksiaalinen siirtymä ja jännitys V.Z. Vlasovin jo 1950-luvulla johtama teoria ohutseinämäisten sauvojen vääntötehtävän ratkaisemiseksi perustuu siihen otaksumaan, että seinämän keskilinjalla leikkausmuodonmuutos häviää eli γ xs =0 (2.71) 31

32 Kuva Sektoriaalinen koordinaatti ˆω C. Kuva Poikkileikkauksen kierto. Tästä seuraa, että poikkileikkauksessa ei ole vastaavanlaista leikkausvuota kuin oli suljetuissa poikkileikkauksissa. Liukuman määritelmästä seuraa γ xs = u s + u s x =0 = u s = u s x Tästä saadaan edelleen ottamalla huomioon, että kuvan 2.20 perusteella u s = h (s)ϕ(x) (2.72) ja näinollen u s = h (s)ϕ(x) = h (s)ϕ (x) (2.73) x Jos piste P o on piste, jossa aksiaalinen siirtymä u häviää, saadaan integroimalla u = P P o u s ds = P P o h (s)ϕ (x)ds = ˆω (s)ϕ (x) (2.74) 32

33 ksiaalinen venymä määritetään tästä derivoimalla ɛ x = u x = ˆω (s)ϕ (x) (2.75) ja normaalijännitys lineaarista materiaalilakia soveltamalla σˆω = σ x = Eɛ x = E ˆω (s)ϕ (x) (2.76) Ehdot sille, että kysymyksessä on puhdas vääntö ovat N σˆω d =0 = ˆω d =0 S ω =0 (2.77) Sellaista sektoriaalisen koordinaatin jakaumaa, jolle pätee ehto S ω = 0, kutsutaan normeeratuksi. Edelleen M y σˆω zd =0 = ˆω zd =0 Iˆω z =0 (2.78) M z σˆω yd =0 = ˆω yd =0 Iˆω y =0 Nämäkaksiyhtälöämäärittävät poikkileikkauksen vääntö- eli leikkauskeskiön aseman. Vääntökeskiön asema saadaan yhtälöistä Iˆω y = ˆω yd = ˆω B d (z B z )( y 2 d y o yd)+(y B y )( yzd z o yd) = IˆωB y (z B z )(I z y o S z )+(y B y )(I yz z o S z ) (2.79a) Vastaavasti saadaan yhtälö Iˆω z = IˆωB z (z B z )(I yz y o S y )+(y B y )(I y z o S y ) (2.79b) Kun lisäksi otetaan huomioon, että yz-koordinaatiston origo on poikkileikkauksen pintakeskiössä eli painopisteessä,jostaseuraaehtos y = S z = 0, saadaan asettamalla nämä kaksi yhtälöä nollaksi vääntökeskiön koordinaattien laskemiseksi lausekkeet y = y B + I ziˆωb z I yz IˆωB y I y I z I 2 yz z = z B I yiˆωb y I yz IˆωB z I y I z I 2 yz (2.80) Jos yz-koordinaatisto on poikkileikkauksen pääjäyhyyskoordinaatisto, I yz = 0 ja saadaan yksinkertaiset yhteydet y = y B + Iˆω B z I y z = z B Iˆω B y I z 33 (2.81)

34 Sektoriaalisen koordinaatin normeeraus suoritetaan ehdon S ω = ω d =0 (2.82) perusteella. Kun otetaan huomioon, että sektoriaalisen koordinaatin määritelmässä integrointi pinnan yli voidaan jakaa osiin siten, että ω (s) = P P o dω = P dˆω Po P o P o dˆω =ˆω (s) ˆω (s o ) (2.83) Kun tämä sijoitetaan lausekkeeseen (2.82), saadaan S ω = ˆω d ˆω (s o ) = S ω ˆω (s o ) =0 (2.84) Tästä voidaan ratkaista pisteen P o aseman määrittävä kerroin ˆω (s o )= S ω jonka jälkeen lopullinen sektoriaalisen koordinaatin lauseke on ω (s) =ˆω (s) S ω (2.85) Laskuesimerkki Etsitään edellisen esimerkin U-poikkileikkaukselle todellinen vääntökeskiön asema, s-koordinaatin origo sekä sektoriaalisen koordinaatin jakauma. Lisäksi määritetään sektoriaalisen staattisen momentin jakauma sekä poikkileikkauksen käyristymisjäyhyys. Poikkileikkauksen pintakeskiön etäisyys profiilin uumasta saadaan Poikkileikkauksen jäyhyysmomentit ovat 3bt e =2bt 1 2 b = e = 1 3 b I y = 1 3 b3 t I z = 7 12 b3 t Lasketaan tämän jälkeen sektoriaaliset tulomomentit I ωb y = I ωb z = ω B yd = ω B zd = 34 s s ω B (s)y(s)tds ω B (s)y(s)tds

35 Kuva Vääntökeskiön aseman määrittäminen. Kuvassa 2.21 on esitetty jakaumat ω B (s), y(s) jaz(s). Viivaintegraaleja laskettaessa voidaan käyttää integrointitaulukkoja. Näin saadaan I ωb y = 1 2 bb2 2 ( b 2 )t + b 6 [b2 2 ( 2 b 2 + b 2 )+b2 ( b 2 +2b 2 )]t + b 2 (b2 b2 2 ) b 2 t = b4 t 24 I ωb z = 1 6 bb2 2 ( 2b 3 +2b 3 )t + b 2 (b2 2 + b2 ) b 3 t + b 6 [b2 (2 b 3 2b 3 ) b2 2 ( b 3 22b 3 )]t = b4 t 3 Koska y, z-koordinaattijärjestelmä onpääjäyhyyskoordinaatisto vääntökeskiön koordinaatit määritetään kaavoilla y = y B + I ω B z I y = b + b4 t/3 b 3 t/3 =0 z = z B I ω B y I z = 5 6 b b4 t/24 7b 3 t/12 = b Määritetään tämän jälkeen sektoriaalisen koordinaatin jakauma käyttämällä napapisteenä todellista leikkauskeskiötä. Soveltamalla suoraan sektoriaalisen koordinaatin määritelmää saadaan s b 0 2 ds = b s, kun 0 s b 2 s 3b ˆω (s) = ω B (b)+ ds = 13b2 b b s, kun b s 2b 7 s 3b 13b2 ω B (2b) ds = 2 14 b s, kun 2b s 3b 2 joka on esitetty kuvassa Lasketaan edelleen integraali Sˆω = ˆω d = ω (s)tds 2b s = 1 2 b( b2 2 )t b( b2 2 b2 14 )t + 1 b2 b( b2 14 )t = t 6b3 7 35

36 Kuva Sektoriaalinen koordinaatti ˆω. Kuva Sektoriaalinen koordinaatti ω. Tämän jälkeen lopullinen sektoriaalisen koordinaatin jakauma saadaan normeeraamalla edellä määritetty Lopputuloksena saadaan joka on esitetty kuvassa ω =ˆω Sˆω =ˆω 6b3 t/7 3bt =ˆω b2 2 7 b2 b s, kun 0 s b 2 ω (s) = 9 14 b2 + 3b s, kun b s 2b b2 b s, kun 2b s 3b 2 36

37 Määritetään vielä sektoriaalisen staattisen momentin S ω jakauma poikkileikkauksessa. Se saadaan suoraan integroimalla S ω (s) = s 0 s 0 ω (s)tds 1 = 28 b3 t ( 2 7 b2 1 2 bs)tds = 2 7 b2 ts 1 4 bts2, kun 0 s b 1 28 b3 t + s b s 2b ( 9 14 b bs)tds = 7 28 b3 t 9 14 b2 ts bts2, kun b s 2b ( b2 1 bs)tds = b3 t b2 ts 1 4 bts2, kun 2b s 3b Kuva Sektoriaalinen staattinen momentti S ω (s). ja se on esitetty kuvassa Käyristymisjäyhyys I ω on I ω = ω 2 d = 3b 0 ω 2 (s)tds = 5 84 b5 t Leikkausjännitykset Tarkastellaan ohutseinämäisestä väännetystä sauvasta leikattua kuvassa 2.25 esitettyä seinämän alkiota ilman tilavuusvoimia. Kuvaan on merkitty kaikki sauvan akselin suuntaiset jännityskomponentit. Kirjoitetaan näille tasapainoehto (σ ω t + (σ ωt) x Ratkaistaan tästä leikkausjännityksen lauseke dx)ds σ ωtds +(τ ω t + (τ ωt) ds)dx τ ω tdx =0 s (τ ω t) s = (σ ωt) x = Eω (s)ϕ (x)t(s) 37

38 Kuva lkion tasapainoehto. josta saadaan edelleen integroimalla Toisin sanoen, τ ω t τ ω (0) t(0) = Eϕ (x) }{{} =0 s 0 τ ω (s) =Eϕ (x)s ω (s) 1 t(s) ω (s)t(s)ds = Eϕ (x)s ω (s) Saint Venantin eli vapaan väännön leikkausjännitykset ovat puolestaan (2.86) ja kokonaisleikkausjännitykset näiden summa τ t (s) =±Gϕ (x)t(s) (2.87) τ(s) =τ ω (s)+τ t (s) (2.88) Puhtaan väännön tapauksessa tulee jännitysresultanttien N = Q y = Q z = M y = M z 0 kaikkien hävitä. Sensijaan ulkoisen vääntömomenttikuormituksen M x tulee muodostaa tasapainossa oleva systeemi sisäisten leikkausjännitysten kanssa. Sektoriaaliseen vääntöön liittyvä vääntömomenttiresultantti M ω saadaan kirjoittamalla poikkileikkaustasossa tasapainoehto ja käyttämällä hyväksi lauseketta (2.86) muotoon sl M ω = τ ω h d = Eϕ (x) S ω (s)h (s)ds (2.89) Suoritetaan kerran osittaisintegrointi, jossa dω (s) = h (s) ds ds ω (s) = ω (s) ds 38 0

39 saadaan [ M ω = Eϕ (x)[ S (s)ω ω (s) }{{} =0 ] s=sl s=0 = Eϕ (x) ω 2 (s)d = EI ωϕ (x) ] sl ω (s)t(s)ω (s)ds 0 (2.90) koska S ω (0) = S ω (s l )=0. Tällöin sektoriaalisen väännön leikkausjännitysjakauma voidaan lausua muodossa τ ω (s) = M ωs ω (s) (2.91) I ω t(s) Saint Venantin eli vapaan väännön vääntömomenttiresultantti on vastaavasti (katso (2.3) tai (2.18)) M t = GI t ϕ (x) ja leikkausjännitykset τ t (s) =± M tt(s) (2.92) I t ja kokonaisvääntömomentti näinollen M x = M ω + M t = EI ω ϕ (x)+gi t ϕ (x) (2.93) Bimomentille B saadaan lauseke kaavan (2.76) perusteella B = σ ω ω d = Eϕ (x) ω 2 d = EI ωϕ (x) (2.94) ja tästä edelleen lauseke normaalijännityksille bimomentin avulla lausuttuna σ ω (s) = B I ω ω (s) (2.95) Lopuksi on hyvä havaita, että bimomentin ja sektoriaalisen väännön vääntömomenttiresultantin välillä pätee yhteys M ω = db (2.96) dx Sauva-alkion tasapainoyhtälö Tarkastellaan kuvassa 2.26 esitettyä dx:n mittaista alkiota väännetystä sauvasta. Kirjoitetaan alkiolle tasapainoyhtälö jolloin saadaan Kun nyt (2.93):n mukaan M x + dm x dx dx M x + m t (x)dx =0 dm x dx + m t =0 (2.97) M x = M ω + M t = EI ω ϕ (x)+gi t ϕ (x) 39

40 Kuva Sauva-alkion tasapainoehto. saadaan sijoittamalla tämä differentiaaliyhtälöön EI ω ϕ (x) GI t ϕ (x) m t (x) =0 (2.98) Jakamalla yhtälö sauvan sektoriaalisella vääntöjäykkyydellä saadaan yhtälö muotoon jossa ϕ (x) k2 l 2 ϕ (x) =f(x) (2.99) GIt k = l ja f(x) = m t(x) EI ω EI ω Yhtälö (2.98) voidaan lausua bimomentin avulla myös muodossa B (x) k2 l 2 B(x) =m t(x) (2.100) Yhtälö luokitellaan kolmeen eri tapaukseen riippuen siitä, onko sektoriaalisen vai vapaan väännön vääntöjäykkyys suuruusluokaltaan suurempi. Jos k>10(...20) vapaan väännön osuus on ratkaisussa hallitseva ja sektoriaalisen väännön osuus voidaan jättää tarkastelusta pois. Näin on laita massiivisten poikkileikkausten ja koteloiden laita. Differentiaaliyhtälö pelkistyy tällöin muotoon GI t ϕ (x) = m t (x) (2.101) Jos taas k< 1, vapaan väännön osuus tarkastelussa on merkityksetön. Tällöin on 2 kysymyksessä täysin estetty vääntö ja esiintyy hyvin ohutseinämäisillä kylmämuokatusta teräksestä kootuissa profiileilla. Differentiaaliyhtälö ontällöin muotoa EI ω ϕ (x) =m t (x) (2.102) Täydellinen yhtälö (2.99) tulee ratkaistavaksi niissä tapauksissa, joissa 1 2 <k< 10(...20). Näihin kuuluvat valssatut teräsprofiilit ja ohutseinämäiset teräsbetoniset kannattajat. 40

41 2.9.5 Differentiaaliyhtälön ratkaisu Homogeenisen yhtälön ϕ (x) k2 l 2 ϕ (x) =0 (2.103) ratkaisua etsitään käyttämällä yritettä ϕ(x) =exp(rx). Sijoittamalla tämä differentiaaliyhtälöön saadaan probleeman karakteritinen yhtälö (r 4 k2 l 2 r2 )exp(rx) =0 jonka juuret r 1,2 =0 r 3,4 = ± k l ovat kaikki reaalijuuria. Tällöin homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on ϕ(x) =c 1 + c 2 x + c 3 exp ( k l x)+c 4 exp ( k l x) = c 1 + c 2 x + c 3 c 4 2 Koska hyperboliset funktiot määritellään yhtälöillä (exp ( k l x) exp ( k l x)) + c 3 + c 4 (exp ( k 2 l x)+exp( k l x)) voidaan edelleen kirjoittaa sinh(x) = 1 (exp(x) exp( x)) 2 cosh(x) = 1 2 (exp(x)+exp( x)) ϕ(x) =C 1 + C 2 x + C 3 sinh ( k l x)+c 4 cosh ( k x) (2.104) l Täydellisen yhtälön ratkaisu saadaan lisäämällä tähän kuormitusta vastaava yksityisratkaisu ϕ(x), eli ϕ(x) =C 1 + C 2 x + C 3 sinh ( k l x)+c 4 cosh ( k x)+ ϕ(x) (2.105) l Integroimisvakiot määritetään sauvan reunaehdoista, kaksi reunaehtoa sauvan kummassakin päässä. Jännitysresultantit voidaan sen jälkeen laskea, jolloin saadaan M t = GI t ϕ k (x) =GI t [C 2 + C 3 l cosh ( k l x)+c k 4 l sinh (k l x)+ ϕ (x)] B = EI ω ϕ (x) = GI t [C 3 sinh ( k l x)+c 4 cosh ( k l x)+(l k )2 ϕ (x)] (a) (b) M ω = B = EI ω ϕ k (x) = GI t [C 3 l cosh ( k l x)+c k 4 l sinh (k l x)+(l k )2 ϕ (x)] (c) M x = M t + M ω = GI t [C 2 + ϕ (x) ( l k )2 ϕ (x)] (2.106d) 41

42 2.9.6 Eräitä yksityisratkaisuja differenti- Kun sauvan kuormituksena on tasan jakaantunut vääntömomentti m o t, aaliyhtälön ϕ (x) k2 l 2 ϕ (x) =f(x) oikealla puolella oleva epähomogeenisuustermi on muotoa f(x) = mo t EI ω Sijoittamalla tämä differenti- Tähän saadaan yksityisratkaisu yritteellä ϕ(x) =Cx 2. aaliyhtälöön vakion C arvoksi saadaan C = mo t 2GI t ja lopulliseksi yksityisratkaisuksi ϕ(x) = 1 2 m o t GI t x 2 (2.107) Lineaarisesti jakaantuneen vääntömomentin m o t x/l tapauksessa epähomogeenisuustermi on muotoa f(x) = mo t x EI ω l ja siihen löydetään ratkaisu yritteellä ϕ(x) =Cx 3. Vakiolle C saadaan lauseke ja yksityisratkaisuksi Pistemäinen vääntömomentti M o t C = mo t 6GI t l ϕ(x) = 1 6 m o t GI t l x3 (2.108) kohdassa x = a johtaa yksityisratkaisuun 0, kun x a ϕ(x) = M t ol [ 1 GI t k sinh(k l (x a)) 1 l (x a)], kun x>a (2.109) ja pistemäinen bimomentti B o niinikään kohdassa x = a vastaavasti ratkaisuun 0, kun x a ϕ(x) = B o [cosh( k GI t l (x a)) 1], kun x>a (2.110) Reunaehdot 42

43 Neljännen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisussa olevat neljä integroimisvakiota määritetään kahdesta reunaehdosta sauvan kummassakin päässä. Tavanomaiset kiinnitystyypit ovat: 1. Kiertymä vääntöakselin ympäri on estetty eli vääntökulma on nolla ϕ =0 2. Sauvan poikkipinnan käyristymä on estetty u ω ϕ =0 = ϕ =0 3. Ulkoinen vääntömomentti M o on tunnettu ( tai nolla ) M x M ω + M t = EI ω ϕ + GI t ϕ = M o 4. Ulkoinen bimomentti B o on tunnettu ( tai nolla ) B = EI ω ϕ = B o Esimerkkeinä peruskiinnitystapaukset: Jäykkä kiinnitys väännön suhteen ϕ =0, ϕ =0 (2.111) Vapaa sauvan pää: M x =0, B =0 (2.112) Haarukkalaakeroitu sauvan pää: ϕ =0, B =0 (2.113) Laskuesimerkki Tarkastellaan esimerkkinä kuvassa 2.27 esitettyä ulokesauvaa, jota kuormittaa koko pituudelle tasan jakaantunut kuorma. Kuorma vaikuttaa pystytasossa, joka kulkee poikkileikkauksen pintakeskiön eli painopisteen kautta. Sauvan ja poikkileikkauksen mitat suhtautuvat toisiinsa kuten l : b : t = 100 : 10 : 1. Poissonin vakio ν =0.3. ikaisemmissa esimerkeissä onkäsitelty samaa poikkileikkausta ja sille on määritetty vääntökeskiön asema ja poikkileikkauksen kaikki jäyhyysmomentit. Jakaantunut kuorma aiheuttaa jakaantuneen vääntömomenttikuormituksen, jonka suuruus on kuorman intensiteetti kerrrottuna vääntökeskiön etäisyydellä poikkileikkauksen painopisteestä, eli Jäyhyysmomentit ovat m o t = q( 1 3 b b)= qb I ω = 5 84 b5 t = b6 I t =3 1 3 bt3 = b4 I z = 7 12 b3 t = b4 43

44 Kuva Esimerkkirakenne. Kun ν =0.3, G = E/2.6 javakio GIt k = l =2.542 EI ω Differentiaaliyhtälön (2.100) täydellinen ratkaisu on homogeenisen yhtälön ja tasan jakaantunutta vääntökuormaa vastaavan yksityisratkaisun summa. Tällöin on ϕ(x) =C 1 + C 2 x + C 3 sinh ( k l x)+c 4 cosh ( k l x) mo t 2GI t x 2 Reunaehdoista, jotka ovat ϕ(0) = 0 = C 1 + C 4 =0 ϕ (0) = 0 = C 2 + k l C 3 =0 M x (l) =0 = GI t C 2 + m o t l =0 B(l) =0 = GI t (C 3 sinh(k)+c 4 cosh(k)) ( l k )2 m o t =0 saadaan integroimisvakioille C 1, C 2, C 3 ja C 4 arvot C 1 = C 4 = mo t l2 GI t k 2 (k tanh(k)+cosh 1 (k)) C 2 = k l C 3 = mo t l 2 kgi t 44

45 Kuva Normaalijännitysjakaumat. Yhtälön ratkaisu ja siitä derivoimalla lasketut voimaresultantit ovat näinollen ϕ(x) = mo t l 2 [ x kgi t l sinh(k l x) + (tanh(k)+k 1 cosh 1 (k))(cosh( k ] l x) 1) k(x l )2 [ M t = m o t l 1 x l cosh( k l x) + (tanh(k)+k 1 cosh 1 (k)) sinh( k ] l x) [ M ω = m o t l cosh( kl x) (tanh(k)+k 1 cosh 1 (k)) sinh( kl ] x) B = mo t [1+k l2 k 2 sinh( kl x) (k tanh(k)+cosh 1 (k)) cosh( kl ] x) Määritetään tämän jälkeen ensin sauvassa esiintyvät suurimmat normaalijännitykset yhdistämällä väännön ja taivutuksen osuudet. Sekä bimomentti että taivutusmomentti saavat suurimmat arvonsa ulokkeen tyvessä. Suurin taivutusmomentin arvo on M max z = M z (0) = 1 2 ql2 Vastaavasti suurin bimomentin arvo on B max = B(0) = mo t l 2 [ ] 1 (k tanh(k)+cosh 1 (k)) = m o t l2 = 19.66qb 3 k 2 Normaalijännitykset lasketaan yhtälöstä σ x = M z I z y(s)+ B I ω ω(s) = q b 2 y(s) 3302 q b 3 ω(s) Kuvassa 2.28 on esitetty normaalijännitysjakaumat. 45

46 Leikkausjännityksiä aiheutuu sektoriaalisesta sekä vapaasta väännöstä ja lisäksi taivutuksesta. Taivutuksessa leikkausjännitykset jakaantuvat poikkileikkauksessa kuten staattinen momentti S z,kunseinämän paksuus t on vakio. Staattisen momentin jakauma on s s S z (s) = y(s)tds = b tds = bts, kun 0 s b s =S z (b)+ y(s)tds = b2 t s 2 + (s 3b 2 )tds = b2 t 2 3bt 2 s + t 2 s2, kun b s 2b =S z (2b)+ b s 2b y(s)tds = s 2b b b 2 tds = t 3b2 2 + bt s, kun 2b s 3b 2 Ulokkeen tyvessä leikkausvoima saavuttaa suurimman arvonsa, joka on Tästä syntyvät leikkausjännitykset ovat Q max = Q y (0) = ql =10qb τ = Q ys z (s) I z t = 1714 q b 4 S z(s) Myöskin sektoriaalinen vääntömomentti M ω saavuttaa suurimman arvonsa ulokkeen tyvessä Mω max = m o t l = qb2 jolloin suurimmat sektoriaalisen väännön leikkausjännitykset ovat τ ω = M ωs ω (s) I ω t = q b 5 S ω(s) Kun vapaan väännön vääntömomentti häviää ulokkeen tyvessä, koostuvat kokonaisleikkausjännitykset tässäleikkauksessaainoastaantaivutuksenja sektoriaalisenväännön osuuksista ja ovat τ(s) = Q ys z (s) I z t Q ys z (s) I z t = 1714 q b 4 S z(s) q b 5 S ω(s) Kuvassa 2.29 on esitetty nämä leikkausjännitysjakaumat. Sensijaan muualla palkissa vapaan väännön aiheuttamat leikkausjännitykset eivät häviä. Vääntömomentti M t (x) saavuttaa suurimman arvonsa kohdassa x =0.467l M max t =0.301m o t l =2.293qb 2 Tässä kohdassa suurimmat vapaan väännön leikkausjännitykset ovat τ t = ± M tt I t = q b 46

47 Kuva Leikkausjännitysjakaumat. Nämä jännitykset jakaantuvat lineaarisesti seinämän paksuuden yli saaden keskilinjalla arvon nolla. Vastaavassa kohdassa seinämän paksuuden yli tasan jakaantuneet jännitykset ovat sektoriaalisen väännön osalta (M ω =0.232m o t l) sekä taivutuksen osalta τ ω (0.467l) = M ωs ω (s) I ω t τ(0.467l) = 0.533qlS z(s) I z t = 2968 q b 5 S ω(s) = q b 4 S z(s) Kuvassa 2.30 on esitetty vastaavat leikkausjännitysjakaumat. Havaitaan, että vapaan väännön leikkausjännitykset seinämän reunoilla ovat intensiteetiltään selkeästi suurimmat. Numerollisesti suurimmaksi leikkausjännityksen arvoksi saadaan τ max =( ) q b = 294.7q b nalogia vedetyn-taivutetun ja ohutseinämäisen väännetyn sauvan ratkaisuissa Vedetyn tai puristetun ja taivutetun sauvan käsittely johtaa täsmälleen samanmuotoisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen kuin edellä johdettiin sektoriaalisen väännön osalta. Tällöin kaikille käsitteille ja muuttujille löytyy vastinsuureet. Oheisessa taulukossa on esitetty analogia knäiden kahden teorian välille. Taivutus EI z v Nv = q(x) Vääntö EI ω ϕ GI t ϕ = m t (x) 47

48 Kuva Leikkausjännitysjakaumat. taipuma v vääntökulma ϕ kiertymä v vääntymä ϕ koordinaatti y staattinen momentti S z (s) sektoriaalinen koordinaatti ω sektoriaalinen staattinen momentti S ω (s) jäyhyysmomentti I z kuorman intensiteetti q(x) pistekuorma F = lim x 0 x q(x)dx normaalivoima N sektoriaalinen käyristymäjäyhyys I ω vääntömomenttikuorman intensiteetti m t (x) pistemäinen vääntömomentti M = lim x 0 x m(x)dx vääntöjäykkyys GI t normaalivoiman komponentti leikkausvoimaanvapaan väännön vääntömomentti Nv M t = GI t ϕ taivutusmomentti M z = EI z v bimomentti B = EI ω ϕ normaalijännitys σ x = M z I z y leikkausvoima Q = M z = EI zv leikkausjännitys τ = Q y(x)s z (s) I z t normaalijännitys σ ω = B I ω ω estetyn väännön vääntömomentti M ω = B = EI ω ϕ sektoriaalisen väännön leikkausjännitys τ ω = M ω(x)s ω (s) I ω t 48

49 Kuva Jatkuva vääntösauva. pystysuora leikkausvoimakomponentti V = Nv + Q = Nv EI z v kokonaisvääntömomentti M x = GI t ϕ EI ω ϕ Taulukko 2.1 Muuttujien vastaavuus taivutus- ja vääntöteorioissa Voimamenetelmä jatkuvien vääntösauvojen ratkaisemiseksi Tarkastellaan jatkuvaa vääntösauvaa, jonka tuilla sauvan kiertyminen pituusakselin ympäri on estetty, toisin sanoen vääntökulma on nolla kaikilla tuilla ϕ 1 = ϕ 2 = = ϕ n =0 Jatkuvuusehto tuella i edellyttää, että vääntymät ovat jatkuvia aksiaalisen siirtymän jatkuvuuden perusteella, ϕ i + = ϕ i θ i + = θ i = u i + = u i (2.114) Sovelletaan ratkaisussa voimamenetelmää, kuva 2.31, ja valitaan staattisesti määrätyksi perusrakenteeksi molemmista päistään haarukkalaakeroitu kaksitukinen palkki. Staattisesti määräämättömät suureet ovat jatkuvuusehdon perusteella bimomentit tuilla. Tämän jälkeen lasketaan yhteen sekä ulkoisesta kuormituksesta että sauvan päissä vaikuttavista bimomenteista syntyvät vääntymät tuen kummallakin puolella olevasta sauvasta ja sovelletaan jatkuvuusehtoa. Näin saadusta yhtälöryhmästä ratkaistaan staattisesti määräämättömien suureiden arvot. Yksi yhtälö muodostetaan jokaisella välituella, joten tuntemattomien bimomenttien lukumäärä on sama kuin muodostettavien yhtälöiden ja siten yksikäsitteinen ratkaisu on taattu. Ulkoisesta kuormituksesta aiheutuvat vääntymät staattisesti määrätyn perusrakenteen i j päissä ovat tasan koko sauvalle jakaantuneen kuormituksen m o t tapauksessa θ(0) = θij o = mo t l [1 2k ] 2GI tanh(k2 ) GIt, k = l t EI ω θ(l) =θji o = mo t l [1 2k ] (2.115) 2GI tanh(k2 ) t 49