1 Mittoja ja pinta-aloja

Transkriptio

1 1 Mittoja ja pinta-aloja 1 Murtoluvuista desimaalilukuihin Desimaalilukujen laskutoimituksia Kymmenen potenssi ja suuret luvut Kymmenen potenssi ja pienet luvut Desimaaliluvun kertominen ja jakaminen kymmenen potensseilla Yksiköt ja etuliitteet Pyöristäminen ja likiarvo Laskuja likiarvoilla Arviointia ja laskemista Pituuksien mittaamista ja arviointia Pituuslaskuja Kertaus Pinta-alan mittaamista ja arviointia Suorakulmion ja suunnikkaan pinta-ala Kolmion pinta-ala Monikulmioiden pinta-aloja Neliön sivun pituus Ympyrä ja pii Ympyrän kehä Ympyrän pinta-ala Ympyrälaskuja Ympyrän kulmia Ympyrän kaaren pituus Sektorin pinta-ala Pinta-ala laskuja Kertaus

2 1 Murtoluvuista desimaalilukuihin Murtoluku ilmaisee osuutta kokonaisuudesta. Merkintä 7 tarkoittaa, että kokonainen 8 on jaettu 8 yhtä suureen osaan, joista on valittu 7. Murtoluku voidaan ajatella myös jakolaskuna, jossa luku 7 jaetaan luvulla osoittaja nimittäjä Sekaluku koostuu kokonaisosasta ja murto-osasta kokonaisosa murto-osa Murtoluku voidaan muuntaa desimaaliluvuksi. Helpointa se on, jos murtoluku voidaan laventaa esimerkiksi kymmenesosiksi, sadasosiksi tai tuhannesosiksi. Desimaaliluvussa pilkun jälkeen olevia numeroita sanotaan desimaaleiksi. ESIMERKKI 1 Muunna desimaaliluvuksi laventamalla. a) 3 5 b) a) 2) ,6 10 Murtoluku lavennetaan luvulla 2, jolloin murtoluku saadaan kymmenesosiksi. 25) b) ,252, Sekaluvun murto-osa 1 lavennetaan sadasosiksi. 4 6

3 Aina muunnos laventamalla ei onnistu. Tällöin lasketaan murtoluvun osoittama jakolasku esimerkiksi jakokulmassa tai laskimella. Jakolaskun tulokseksi voi tulla desimaaliluku, jossa samat numerot toistuvat loputtomasti. Tällaista numerosarjaa kutsutaan jaksoksi. ESIMERKKI 2 Muunna desimaaliluvuksi laskemalla jakolasku. a) 5 6 b) 7 11 c) a) 5 0, b) 11 0, c) 2 3 2, Kolme pistettä desimaaliluvun lopussa kuvaa päättymättömyyttä. Luvun 0, jakso on 63. Luvun 2, jakso on Desimaaliluvun muuntaminen murtoluvuksi Desimaaliluvun lukutavasta voi päätellä, mitä murtolukua se vastaa. Näin saatu murtoluku supistetaan, mikäli mahdollista. ESIMERKKI 3 Muunna murtoluvuksi. a) 0,5 b) 0,72 c) 3,175 a) 0, (5 b) 0, (4 c) 3, ( ,5 luetaan 0 kokonaista 5 kymmenesosaa. 0,72 luetaan 0 kokonaista 72 sadasosaa. 3,175 luetaan 3 kokonaista 175 tuhannesosaa. Suomalaisen ravitsemussuosituksen mukaan kasviksia pitäisi syödä vähintään 0,5 kg eli 1 kg päivässä. 2 7

4 HARJOITUSTEHTÄVÄT 1. Valitse laatikoista kuvaa vastaava murtoluku ja desimaaliluku. a) b) c) d) Muunna desimaaliluvuksi. 2. a) a) b) 7 10 b) Muunna murtoluvuksi. c) 8 10 c) ,5 0,1 1,5 0,2 d) d) a) 0,1 b) 0,3 c) 0,9 d) 2,1 5. a) 0,01 b) 0,99 c) 0,53 d) 3,17 6. Muunna desimaaliluvuksi laventamalla. a) 11 b) 4 c) 1 d) Muunna desimaaliluvuksi laskemalla jakolasku. a) 1 b) 1 c) 4 d) Muunna murtoluvuksi ja supista. a) 0,6 b) 0,2 c) 0,12 d) 0,14 9. Muunna murtoluvuksi. a) 4,5 b) 3,6 c) 1,25 d) 2, Kinkkupitsasta on syöty 5 ja jauhelihapitsasta puolet. Kummasta pitsasta on 8 jäljellä enemmän? 11. Muunna desimaaliluvuksi ilman laskinta. a) 5 1 b) 2 3 c) 3 2 d) Muunna desimaaliluvuksi ilman laskinta. a) 24 b) 27 c) 63 d) Muunna desimaaliluvuksi sekaluvun avulla. a) 23 5 b) c) d) Muunna murtoluku laskimen avulla desimaaliluvuksi. Mikä on desimaali - luvun jakso? a) 7 9 b) c) d) P U L M A Laiva on nyt kaksi kertaa niin vanha kuin kapteeni oli silloin, kun laiva oli yhtä vanha kuin kapteeni on nyt. Kapteeni on nyt 60-vuotias. Mikä on laivan ikä nyt? 15. Muunna murtoluvuksi. a) 0,222 b) 0, c) 0,

5 KOTITEHTÄVÄT Muunna desimaaliluvuksi. 16. a) a) 2 5 b) 6 10 b) c) c) d) d) Muunna murtoluvuksi. a) 0,8 b) 0,04 c) 0,21 d) 3,112 Muunna desimaaliluvuksi. 20. a) b) c) d) Muunna murtoluvuksi. a) 0,7 b) 0,09 c) 0,19 d) 1,3 21. a) b) c) d) EKSTRA Murtoluvun nimittäjästä voidaan päätellä, tuleeko sitä vastaavasta desimaaliluvusta päättyvä vai päättymätön. Jos supistetussa muodossa olevan murtoluvun nimittäjässä ei ole muita alku tekijöitä kuin 2 tai 5, on desimaaliluku päättyvä. Muussa tapauksessa desimaaliluvusta tulee päättymätön. ESIMERKKI 4 Selvitä nimittäjää tarkastelemalla, onko murtolukua vastaava desimaaliluku päättyvä vai päättymätön. a) 9 60 b) (3 a) Murtoluvun on päättyvä. b) Sekaluvun nimittäjä on , joten desimaaliluku nimittäjä on , joten desimaaliluku on päättymätön. Tarkastele, onko murtolukua vastaava desimaaliluku päättyvä vai päättymätön. 22. a) 1 4 b) 4 11 c) 2 15 d) Tarkastele, onko murtolukua vastaava desimaaliluku päättyvä vai päättymätön. a) b) 7 14 c) d) a) a) b) b) c) c) d) d) Muunna desimaaliluvuksi ilman jakolaskua, mikäli desimaaliluvusta tulee päättyvä. a) 6 7 b) c) 7 12 d)

6 2 Desimaalilukujen laskutoimituksia Luvussa numeron merkitys määräytyy sen paikan mukaan. Tämän vuoksi puhutaan paikkajärjestelmästä. Desimaaliluvussa kokonaisosa ja desimaaliosa erotetaan pilkulla. ESIMERKKI 1 Mitä lukuyksiköitä on luvussa 12,036? Kirjoita luku summalausekkeena. 12,036 tuhannesosat sadasosat kymmenesosat ykköset kymmenet Kymmenet Ykköset, Kymmenesosat Sadasosat Tuhannesosat K Y ko so to 1 2, kokonaisosa desimaaliosa Luku 12,036 voidaan esittää summalausekkeena seuraavasti: 12, ,1 3 0,01 6 0,001 Desimaalilukujen peruslaskutoimitukset Desimaalilukujen peruslaskutoimitukset lasketaan lukuyksiköittäin vastaavasti kuin kokonaisluvuilla. ESIMERKKI 2 Laske lukuyksiköittäin yhteenlasku 36,4 21,5. Kirjoitetaan yhteenlaskettavat lukuyksiköiden summana ja lasketaan lukuyksiköittäin yhteen. 3 6, , 4 2 1, , 5 5 7, , 9 Myös vähennyslasku voidaan laskea lukuyksiköittäin vähentämällä. Jotta lukuyksiköittäin laskeminen onnistuu allekkain, yhteen- ja vähennyslaskussa desimaalipilkut asetetaan kohdakkain. Tuloksen pilkku merkitään samalle kohdalle kuin allekkain olevissa luvuissa. 10

7 ESIMERKKI 3 Laske. a) 72,35 16,8 b) 43,2 17,85 Luvun loppuun lisätään nollia niin, että jokaisessa luvussa on yhtä monta desimaalia. Tällöin desimaalipilkut asettuvat kohdakkain. a) K Y, ko so 1 7 2, , , 1 5 b) K Y, ko so , , , 3 5 Kymmenesosien summaksi tulee 11, joka on sama kuin yksi kokonainen yksi kymmenesosa. Jotta sadasosat voidaan vähentää toisistaan, täytyy vähennettävän yksi kymmenesosa muuttaa 10 sadasosaksi. Vastaus: a) 89,15 b) 25,35 Kertolaskua allekkain laskettaessa viimeiset numerot asetetaan kohdakkain. Tulossa on desimaaleja niin paljon kuin tekijöissä on desimaaleja yhteensä. Jakokulmassa tuloksen pilkku merkitään samalle kohdalle kuin jaettavassa. ESIMERKKI 4 Laske allekkain. a) 2,3 1,23 b) 2,75 : 2,2 a) 1, , , b) 1, , 5 0 x x Ensimmäisenä laskettava kertolasku 3 3 tarkoittaa todellisuudessa kertolaskua 0,3 0,03. Tulokseksi saatava luku 9 on tulon tuhannesosia eli 0,009. Jaettava ja jakaja kerrotaan luvulla 10, jolloin jakajasta saadaan kokonaisluku: 2,75 : 2,2 27,5 : 22. Vastaus: a) 2,829 b) 1,25 11

8 HARJOITUSTEHTÄVÄT Mikä on luvun 67,103 a) kokonaisosa b) desimaaliosa? 2. Mitä lukuyksikköä numero 7 ilmaisee luvussa a) 7,05 b) 5,752 c) 70,65 d) 3,087? 3. Laske lukuyksiköittäin. a) 2,7 3,2 b) 11,3 7,5 c) 13,9 2,7 d) 26,9 12,5 4. Laske ilman laskinta. Tarkista tulos laskimella. a) 1,4 0,7 b) 1,4 0,7 c) 1,4 0,7 d) 1,4 : 0,7 5. Aikuisen bussilippu maksaa 3,50. Kuinka paljon maksavat kolmen aikuisen bussiliput yhteensä? 6. Kupillinen kahvia maksaa 2,50. Kuinka paljon Peppi saa kymmenestä eurosta takaisin, jos hän ostaa a) yhden b) kaksi c) kolme d) neljä kupillista kahvia? 7. Miron normaali ruumiinlämpö on 36,8 C. a) Kuinka paljon ruumiinlämpö on noussut, jos Mirolla on kuumetta 38,2 C? b) Mikä on Miron ruumiinlämpö, jos se on 1,7 C normaalia korkeampi? 8. Kirjoita lukuna. a) b) ,1 8 0,01 c) ,1 d) ,1 3 0,01 Laske ilman laskinta. 9. a) 5,37 2,3 1,05 b) 8,125 0,47 c) 1,125 0,7 d) 0,87 0,213 0, a) 13 2,4 b) 5,04 3,9 c) 13,6 : 8 d) 6 : 0,2 11. a) 4 : 9 b) 12,7 1,3 4,5 c) 11,6 : 0,4 d) 2,4 (1,6 5,1) 12. Pääsylippu messuille maksaa 11,50 euroa ja edestakainen bussimatka 5,00 euroa. Kirjoita lauseke ja laske, kuinka paljon Aadan ja Viljon pääsyliput ja bussimatkat maksavat messujen aikana yhteensä. 13. Laske laskimella. a) 31,09 4,5 : 6 1,2 5,02 b) 4:0,5 c) 6,8 (2,7 3,15) 14. Mikä desimaaliluku on a) kolme sadasosaa suurempi kuin 8,54 b) viisi sadasosaa suurempi kuin 5,87 c) kuusi tuhannesosaa pienempi kuin 3,141? 15. Samuel ja Enni laimentavat kasvisuutetta vedellä siten, että uuden liuoksen pitoisuus on aina kymmenesosa edellisestä. a) Kuinka paljon liuoksessa on kasvisuutetta kahden laimennuskerran jälkeen? b) Kuinka monen laimennuskerran jälkeen liuoksessa on uutetta miljoonasosa? c) Onko mahdollista laimentaa liuosta niin, että siinä ei olisi lainkaan uutetta?

9 KOTITEHTÄVÄT 16. Mitä lukuyksikköä ilmaisee luvussa 605,713 numero a) 5 b) 7 c) 3 d) 0? 17. Laske ilman laskinta. a) 7,12 0,9 b) 107,04 23,98 c) 13,95 9,8 d) 3,14 0, Laske allekkain. Tarkista laskimella. a) 0,7 8 b) 5,92 1,9 c) 3,141 : 0,3 d) 8 : 0,9 19. Neljä konserttilippua maksaa yhteensä 52,80 euroa. Kuinka paljon maksaa yksi konserttilippu? 20. Laske ilman laskinta. a) 2,3 3,3 b) 0,86 0,5 c) 16,4 0,25 d) 12 : 0,3 21. Mikä desimaaliluku on a) kolme tuhannesosaa pienempi kuin 1,261 b) kaksi sadasosaa suurempi kuin 9,99? EKSTRA Kerto- ja jakolasku lukuyksiköittäin ESIMERKKI 5 Laske. a) 3,1 2,4 b) 6,84 : 0,2 a) Kirjoitetaan lasku lukuyksiköiden summalausekkeiden tulona. 3,1 2,4 (3 0,1) (2 0,4) ,4 0,1 2 0,1 0,4 6 1,2 0,2 0,04 7,44 b) Kirjoitetaan jaettava lukuyksiköiden summana ja jaetaan lukuyksiköittäin. 6,84 : 0,2 68,4 : 2 (60 8 0,4) : 2 60 : 2 8 : 2 0,4 : ,2 34,2 Vastaus: a) 7,44 b) 34,2 3,1 3 0,1 ja 2,4 2 0,4 Jaettava ja jakaja kerrotaan luvulla 10, jolloin jakajasta saadaan kokonaisluku. P U L M A Anna kirjaimille numeroarvot siten, että lasku pitää paikkansa. a) A, 2 4, B 8, 1 b) C, 5 D 1, E 3 0, 7 6 Laske lukuyksiköiden summa lausekkeiden avulla. 22. a) 5,2 1,4 b) 7,3 2,6 23. a) 39,6 : 0,3 b) 48,16 : 0,8 13

10 3 Kymmenen potenssi ja suuret luvut Suuret luvut voidaan esittää lyhyemmin käyttämällä apuna kymmenen potensseja. Luku Kymmenen potenssi yksi kymmenen sata tuhat kymmenentuhatta satatuhatta miljoona miljardi biljoona Kymmenpotenssimuodossa luku ilmaistaan kertoimen ja kymmenen potenssin avulla. a 10 n, jossa 1 a < 10 kerroin kymmenen potenssi ESIMERKKI 1 Luku 4, tarkoittaa lukua 4, Kerroin 4,2 on vähintään 1, mutta pienempi kuin 10. ESIMERKKI 2 Ilmoita kymmenpotenssimuodossa a) Suomen väkiluku eli 5,5 miljoonaa b) paikallislehden levikki eli 6,7 tuhatta. a) , , b) , , Vastaus: a) Suomen väkiluku on kymmenpotenssimuodossa 5, b) Paikallislehden levikki on kymmenpotenssimuodossa 6,

11 ESIMERKKI 3 Esitä luku ilman kymmenen potenssia. a) b) 8, c) 5, a) b) 8, , c) 5, , HARJOITUSTEHTÄVÄT 1. Esitä luku kymmenen potenssina. a) b) c) d) Muunna luku kymmenpotenssimuotoon. a) b) c) d) Esitä luku ilman kymmenen potenssia. Kirjoita luku kirjaimin. a) b) c) d) Täydennä taulukko. Kymmenpotenssimuoto Kerroin Kymmenen potenssi Luku Kirjoita mittaluku ilman kymmenen potenssia. a) Ihmisessä on keskimäärin solua. b) Valon nopeus on m/s. c) Maapallon ympärysmitta on m. 6. Muunna luku kymmenpotenssimuotoon. a) b) c) d) Esitä luku ilman kymmenen potenssia. a) 8, b) 3, c) 6, d) 3, Ilmoita planeettojen etäisyydet Auringosta ilman kymmenen potensseja. Planeetta Etäisyys Auringosta (km) Merkurius 5, Venus 1, Maa 1, Mars 2, Jupiter 7, Saturnus 1, Uranus 2, Neptunus 4, Laske laskimella. Ilmoita vastaus kymmenpotenssimuodossa. a) b) c) d)

12 10. Valitse oikea merkki:, tai. a) 1, b) 4, c) 5, d) 0, Laske laskimella. Ilmoita vastaus kymmenpotenssimuodossa. a) 1, b) 4 2, c) : ( ) d) 8, : ( ) 12. Laske ilman laskinta ja ilmoita vastaus kymmenpotenssimuodossa. a) b) 2, c) d) 2, , Päättele x:n arvo. 13. a) 9 10 x b) 2,7 10 x c) 1,2 10 x 120 d) 7,05 10 x a) x b) x c) x d) x Linnunradan läpimitta on noin valovuotta. Laske matka kilometreinä, kun valovuosi (valon vuodessa kulkema matka) on noin 9 biljoonaa kilometriä. KOTITEHTÄVÄT 16. Täydennä taulukko. Kymmenpotenssimuoto Kerroin Kymmenen potenssi Luku Muunna luku kymmenpotenssimuotoon. 17. a) b) c) d) a) b) c) d) Esitä luku ilman kymmenen potenssia. 19. a) b) c) d) a) 8, b) 2, c) 2, d) 1, Laske laskimella. Ilmoita vastaus sekä kymmenen potenssin avulla että ilman sitä. a) : 0, b) c) : 0, d) :

13 EKSTRA Kaksijärjestelmä Lukujärjestelmissä käytetään valitun kantaluvun potensseja. Tutussa kymmenjärjestelmässä kaikki luvut esitetään numeromerkeillä 0, 1,, 8 ja 9. Luvut voidaan kirjoittaa summalausekkeena kymmenen potenssien avulla. Lukujärjestelmän kantaluku voidaan merkitä luvun perään alaindeksillä. Esimerkiksi luku voidaan esittää muodossa Kaksijärjestelmässä luvut esitetään kantaluvun 2 potenssien summana. Järjestelmässä on käytössä vain numerot 0 ja 1. ESIMERKKI 4 Muunna luku a) kymmenjärjestelmän luvuksi b) kaksijärjestelmän luvuksi. a) Kirjoitetaan luku kantaluvun 2 potenssien summana: b) Kirjoitetaan luku ensin summana, jossa käytetään luvun 2 monikertoja, ja muunnetaan se kantaluvun 2 potensseiksi: Kirjoita kantaluvun potenssien summalausekkeena a) kymmenjärjestelmän luku b) kymmenjärjestelmän luku c) kaksijärjestelmän luku 101 d) kaksijärjestelmän luku Muunna luku kymmenjärjestelmän luvuksi. a) b) c) d) Muunna luku kaksijärjestelmän luvuksi. a) b) c) d) P U L M A Sijoita ympyröiden leikkauspisteissä oleviin laatikoihin luvut 1, 3, 5, 7, 9 ja 11 siten, että lukujen summa jokaisen kolmen ympyrän kehällä on yhtä suuri. Mikä on tämä summa? Tieto koneen suoritin käyttää laskentaoperaatioissaan kaksi- eli binaari - järjestelmää. 17

14 4 Kymmenen potenssi ja pienet luvut Suurten lukujen lisäksi myös lähellä nollaa olevat pienet luvut voidaan esittää lyhyemmin käyttämällä apuna kymmenen potensseja. Luku Kymmenen potenssi yksi kymmenesosa 0, sadasosa 0, tuhannesosa 0, kymmenestuhannesosa 0, sadastuhannesosa 0, miljoonasosa 0, Pieni luku ilmaistaan kymmenpotenssimuodossa kertoimen ja kymmenen potenssin avulla. Tällöin kymmenen eksponenttina on negatiivinen luku. ESIMERKKI 1 Esitä luku kymmenpotenssimuodossa. a) 0,008 b) 0,00031 c) 0, a) 0, , b) 0, ,1 0,0001 3, c) 0, ,05 0, , Luku 0,008 luetaan kahdeksan tuhannesosaa. ESIMERKKI 2 Esitä luku ilman kymmenen potenssia. a) b) 5, c) 7, a) ,01 0,04 b) 5, ,2 0,0001 0,00052 c) 7, ,25 0, , ESIMERKKI 3 Desimaaliluku 12,036 voidaan esittää summalausekkeena. 12, ,1 3 0,01 6 0,001 Sama summalauseke voidaan esittää myös kymmenen potenssien avulla. 12,

15 HARJOITUSTEHTÄVÄT 1. Esitä luku kymmenen potenssina. a) 0,001 b) 0, c) 0,01 d) 0, Mitä lukua potenssimerkintä esittää? a) 10 3 b) 10 1 c) 10 4 d) Muunna luku kymmenpotenssimuotoon. a) 0,009 b) 0,00002 c) 0,0003 d) 0, Esitä luku ilman kymmenen potenssia. Kirjoita luku kirjaimin. a) b) c) d) Täydennä taulukko. Kymmenpotenssimuoto Kerroin Kymmenen potenssi Luku , ,9 8. Laske laskimella. Ilmoita vastaus kymmenpotenssimuodossa. a) 0, , b) 0, , c) 4, d) 8, : ( ) 9. Valitse oikea merkki: <, > tai. a) 1, ,015 b) 6, , c) 1, d) 0, , Kirjoita lukuna. a) b) c) d) Esitä desimaaliluku 342,608 summalausekkeena a) käyttämällä eri lukuyksiköitä b) kymmenen potenssien avulla. 6. Esitä luku ilman kymmenen potenssia. a) 6, b) 3, c) 6, d) 1, Muunna luku kymmenpotenssimuotoon. a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, Valomikroskoopilla voidaan tarkastella läpimitaltaan noin m olevia kohteita. Ihmissilmällä niitä ei pysty erottamaan. 19

16 12. Laske ilman laskinta. a) 7, b) 12, c) 8, Päättele x:n arvo. 13. a) 7 10 x 0,0007 b) 5,25 10 x 0, c) 7,01 10 x 0,701 d) 2,5 10 x 0, a) x ,0051 b) x , c) x ,00328 d) x , Eräänä vuonna havaittiin suuri heinäsirkkaparvi, joka peitti alleen m 2 :n suuruisen alueen. Jokaisella neliömetrillä laskettiin olleen noin heinäsirkkaa. a) Kuinka monta heinäsirkkaa parvessa oli yhteensä? Esitä vastaus kymmenpotenssimuodossa. b) Kuinka suuri oli heinäsirkkaparven kokonaismassa, jos yhden heinäsirkan massa on kg? 16. Painopaperin paksuus on metriä. Kuinka paksu on tällaisesta paperista valmistettu kirja, jossa on 120 lehteä? Kirjan kannet on tehty millimetrin paksuisesta kartongista. KOTITEHTÄVÄT Muunna luku kymmenpotenssimuotoon. 17. a) 0,006 b) 0,00007 c) 0,04 d) 0, a) 0,0086 b) 0,052 c) 0, d) 0, Esitä luku ilman kymmenen potenssia. a) b) c) d) Viherleväyhdyskunnan yksityiskohdat saadaan näkyviin valomikroskoopilla. 20. Esitä luku ilman kymmenen potenssia. a) 7, b) 2, c) 1, d) 3, Esitä desimaaliluku 52,82 summalausekkeena a) käyttämällä eri lukuyksiköitä b) kymmenen potenssien avulla. 22. Laske laskimella. a) 2, b) 1, , c) 7, Yhdessä mehiläispesässä voi olla mehiläistä. Mikä on pesän mehiläisten kokonaismassa, jos yhden mehiläisen massa on noin 10 4 kilogrammaa? 20

17 EKSTRA Kolmella jaolliset kymmenen eksponentit Sama luku voidaan esittää käyttämällä erilaisia kymmenen potensseja. Usein pyritään käyttämään kolmella jaollisia kymmenen eksponentteja. ESIMERKKI 4 Esitä luku käyttämällä kolmella jaollista kymmenen eksponenttia. a) b) 3, c) d) a) , , b) 3, , c) d) , Kymmenen eksponentti kasvaa yhdellä. Kymmenen eksponentti pienenee yhdellä. Myös 0, tarkoittaa samaa lukua. Molemmat kymmenen eksponentit ovat kolmella jaollisia. Esitä luku niin, että kymmenen eksponentti kasvaa yhdellä. 24. a) b) c) d) a) b) c) d) Esitä luku niin, että kymmenen eksponentti pienenee yhdellä. a) 0, b) 0, c) 4, d) 0, Esitä luku niin, että kymmenen eksponentti pienenee yhdellä. a) 0, b) 0, c) 5, d) 0, Esitä luku niin, että kymmenen eksponenttina on luku a) 3 b) 6 c) Esitä luku niin, että kymmenen eksponenttina on luku 6. a) b) c) d) P U L M A Laske ympyröistä puuttuvat luvut. a) 64 b) Esitä luku niin, että kymmenen eksponenttina on kolmella jaollinen luku. 30. a) b) c) d) 0, a) b) c) 0, d)

18 5 Desimaaliluvun kertominen ja jakaminen kymmenen potensseilla Kymmenjärjestelmätaulukkoa voidaan käyttää havainnollistamaan esimerkiksi kymmenellä ja sadalla kertomista. Kymmenellä kerrottaessa luvun jokaisen numeron merkitys kasvaa kymmenkertaiseksi ja sadalla kerrottaessa satakertaiseksi. ESIMERKKI 1 Laske 10 32,4., tapa 1 32, ,4 324 S K Y, ko 3 2, Kymmenistä tulee satoja, ykkösistä kymmeniä ja kymmenesosista ykkösiä., tapa ,4 10 (30 2 0,4) , , ,4 ESIMERKKI 2 Laske. a) ,583 b) ,75649 c) ,5 a) , ,3 b) , ,49 c) , Pilkun paikka siirtyy kahden numeron yli oikealle. Pilkun paikka siirtyy kolmen numeron yli oikealle. Kymmenellä jaettaessa luvun jokaisen numeron merkitys pienenee kymmenesosaan ja sadalla jaettaessa sadasosaan. Kertolaskun tapaan jakolaskun havainnollistamiseen voidaan käyttää kymmenjärjestelmätaulukkoa. ESIMERKKI 3 Laske 372 : 10., tapa ,2 S K Y, ko , 2 Sadoista tulee kymmeniä, kymmenistä ykkösiä ja ykkösistä kymmenesosia., tapa :10 ( ): ,2 37,

19 ESIMERKKI 4 Laske. a) 175,2 : 100 b) 2 705, c) 3,5 : 100 a) 175,2 : 100 1, ,3 b) 2, c) 3,5 : 100 0,035 Pilkun paikka siirtyy vasemmalle niin monen numeron yli kuin jakajassa on nollia. HARJOITUSTEHTÄVÄT Laske kertolasku. 1. a) 10 5,67 b) 100 2,76 c) ,143 d) 3, a) 10 3,14 b) 100 3,14 c) ,14 d) ,14 Laske jakolasku. 3. a) 97 : 10 b) 824 : 100 c) : d) 39,6 : a) 3,14 : 10 b) 3,14 : 100 c) 3,14 : d) 3,14 : Seurueen kaikki kymmenen henkilöä ostivat a) teen b) pullan c) kahvin ja muinin. Kuinka paljon ostokset maksoivat yhteensä? Tuote Hinta tee 2,00 pulla 2,10 kahvi ja muffini 4,30 6. Liikennepäivään ostettiin kappaleen heijastinerä, joka maksoi 860 euroa. Kuinka paljon maksoi a) 1 heijastin b) 10 heijastinta c) 100 heijastinta? 7. Tee annetuista luvuista kerto- ja jakolaskuja, joiden tulos on 9,3. Samaa lukua saa käyttää useassa laskussa , ,93 0,0093 9,3 8. Kuinka korkea pino muodostuu a) kymmenestä samanlaisesta oppikirjasta, kun yhden oppikirjan paksuus on 1,8 cm b) sadasta kolikosta, kun yhden kolikon paksuus on 0,2 cm c) tuhannesta paperiarkista, kun arkin paksuus on 0,0095 cm? 9. Luku 5,84 kerrotaan sadalla. Mitä lukuyksikköä numero a) 5 b) 8 c) 4 edustaa kertolaskun jälkeen? 23

20 10. Luku 74,2 jaetaan sadalla. Mitä lukuyksikköä numero a) 7 b) 4 c) 2 edustaa jakolaskun jälkeen? 11. Mikä luku sopii x:n paikalle? a) 8,52 x b) 0,00284 x c) : x 62,7 d) : x 0, Laske. a) 3, b) 7, c) 8, : 100 d) 9, : Täydennä kertolaskupyramidi. 14. Päättele, mitä nelinumeroista desimaalilukua tarkoitetaan. a) Kun luku kerrotaan sadalla, saadaan tuloksi luku, jossa kymmenesosien paikalla on numero 3, ykkösten paikalla numero 5 ja kymmenten paikalla numero 9. b) Kun luku jaetaan tuhannella, saadaan osamääräksi luku, jossa sadasosien paikalla on numero 4 ja muut numerot ovat nollia. 15. Tee annetuista luvuista laskuja, joiden tulos on a) 5, b) 5, Samassa laskussa saa käyttää sekä kertoettä jakolaskuja , , ,052 0,52 5, KOTITEHTÄVÄT 24 Laske. 16. a) b) 100 5,12 c) 1, d) , a) 47 : 100 b) 5,89 : 10 c) 20,6 : d) 0,01 : Kuinka monta grammaa rusinoita jokainen oppilas saa pullataikinaa varten, kun 5 kilogramman laatikko jaetaan tasan a) kymmenen b) sadan oppilaan kesken? 19. Täydennä kertolaskupyramidi. 10 0, , Elias voitti arpajaisista euroa. Kuinka korkea torni rahoista tulisi, jos voitto nostettaisiin a) 2 euron kolikoina b) 20 euron seteleinä? Kolikon paksuus on 2,20 mm ja setelin 0,1 mm.

21 EKSTRA Laskuja kymmenen negatiivisilla eksponenteilla Kun luku kerrotaan luvulla 10 1 eli luvulla 0,1, luvun jokaisen numeron merkitys pienenee kymmenesosaan. Kun luku jaetaan luvulla 10 1, luvun jokaisen numeron merkitys kasvaa kymmenkertaiseksi. ESIMERKKI 5 Laske. a) 89, b) 52,6 : 10 1 c) 5,7 3, d) a) 89, ,1 0,1 8,91 b) 52,6 : ,6 : 0,1 526 c) 5,7 3, ,7 3,2 0,1 5,7 0,32 6,02 2,1 0,35 d) (2,10,35): 0,12,45: 0,124, ,1 0, Laske. 21. a) 12, b) 0, c) 51,7 : 10 1 d) 0,45 : a) 32, , b) 75, , c) 62,5 : ,3 : a) (5,8 14,7) 10 1 b) 8,6 2, a) c) 9,25 : ,3 24,9 17, b) (54,2 24,8) : 10 1 c) 16,82 : P U L M A Kun viisinumeroiseen lukuun AB CDE lisätään luku 10 5, saadaan summaksi 1AB CDE. Kun saatu luku 1AB CDE kerrotaan luvulla 3, saadaan kuusi numeroinen luku ABC DE1. Mikä on alkuperäinen luku AB CDE? 25. Tee annetuista luvuista a) kertolasku, jossa on kolme tulon tekijää b) kolmea lukua käyttäen lasku, jossa on sekä kerto- että jakolasku c) neljää lukua käyttäen lasku, jossa on sekä kerto- että jakolaskuja ja jonka tulos on 9,3. Samaa lukua saa käyttää useassa laskussa ,93 0,093 9,3 26. Päättele, mitä nelinumeroista desimaalilukua tarkoitetaan. a) Kun luku kerrotaan luvulla 10 2, saadaan tuloksi luku, jossa ykkösten ja tuhannesosien paikalla on numero 5. b) Kun luku jaetaan luvulla 10 2, saadaan osamääräksi luku, jossa kymmenien paikalla on numero 7 ja kymmenesosien paikalla numero 6. 25

22 6 Yksiköt ja etuliitteet Jotta vältyttäisiin hyvin suurilta tai pieniltä mittaluvuilta, yksiköiden edessä käytetään etuliitteitä. Esimerkiksi matka Turusta Helsinkiin ilmoitetaan metrien sijasta kilometreinä ja lyijytäytekynän lyijyn paksuus millimetreinä. Etuliite Lyhenne Kerroin mega- M miljoona kilo- k tuhat hehto- h sata deka- da kymmenen yksi desi- d kymmenesosa 0, sentti- c sadasosa 0, milli- m tuhannesosa 0, mikro- miljoonasosa 0, Yksiköiden muunnoksissa voidaan käyttää etuliitteen mukaista kerrointa. Muunnoksia voidaan tehdä myös vastakkaiseen suuntaan. Sama merkintä voidaan esittää usealla eri tavalla käyttäen erilaisia kertoimien ja etuliitteiden yhdistelmiä. ESIMERKKI 1 ESIMERKKI 2 a) 3 kg g g b) 5 cm 5 0,01 m 0,05 m a) 0,007 g 7 0,001 g 7 mg b) m 1, m 1,5 km Etuliike k tarkoittaa tuhatta. Etuliite c tarkoittaa sadasosaa. Tuhannesosaa vastaa etuliite m. ESIMERKKI 3 a) 5 MW 5 megawattia b) 3 g 3 mikrogrammaa 5 miljoonaa wattia 3 miljoonasosagrammaa W 0, g W 3 0, g W g ESIMERKKI 4 a) Voimalaitoksen teho on kw W 3, W 3,1 MW. b) Lääketabletin sisältämä lääkeaineen määrä on 0,0075 mg 0, g 7, g 7,5 g. 26

23 HARJOITUSTEHTÄVÄT 1. Valitse molemmista laatikoista etuliitettä vastaava kerroin. a) mega- b) kilo- c) milli- d) mikro , , Valitse laatikosta sopivin massa a) norsulle b) mehiläiselle c) ihmiselle d) hiirelle. 70 kg kg 30 g 0,1 g 3. Valitse laatikosta sopivin pituus a) puulle b) pilvenpiirtäjälle c) autolle d) Suomen pisimmälle moottoritielle. 250 m 180 km 20 m 5 m 6. Valitse oikea etuliitte:, m, k tai M. a) g g 6 g b) 0,002 m 2 0,001 m 2 m c) W W 8 W d) 0, g 5 0, g 5 g 7. Ilmoita a) juoksumatkan pituus metriä kilometreinä b) lääketabletin sisältämä lääkemäärä 0,400 grammaa milligrammoina c) yhden tuulivoimalan teho wattia megawatteina d) valokuitukaapelin ytimen halkaisija 0, metriä mikrometreinä. 8. Ilmoita käyttämällä sopivaa etuliitettä. a) Saimaan kanavan kokonaispituus on noin m. b) Hyttysen massa on noin 0,001 g. c) Alumiinifolion paksuus on noin 0, m. d) Auton teho on noin W. 9. Bakteerisolun halkaisija on 2 m. Mitkä seuraavista tarkoittavat samaa pituutta? 4. Muunna metreiksi. a) 5 km b) 400 cm c) mm d) 20 cm 0,002 mm mm 0, m 20 mm 5. Täydennä taulukko , , , , ,001 0, Kirjoita luku ilman etuliitettä. a) Maapallon halkaisija on noin km. b) Vesivoimalan maksimiteho on 182 MW. c) Radiokanavan taajuus on 91,9 MHz. d) Vitamiinin päivittäinen saantimääräsuositus on 10 g. 27

24 11. Kirjoita käyttäen kymmenpotenssimuotoa. a) Kuun halkaisija on noin 3,5 Mm. b) Punaisen verisolun halkaisija on noin 7 m. c) Atlantin valtameren keskisyvyys on noin metriä. d) Lääketabletin sisältämä lääkemäärä on 0,5 g. 12. Maan etäisyys Auringosta on keskimäärin kilometriä ja Kuun etäisyys Maasta noin kilometriä. Ilmoita etäisyydet kymmenpotenssimuodossa. 13. Ilmoita a) pituus m metreinä b) massa 3, kg grammoina c) pituus 2, mm metreinä. 14. Ilmoita massat g, kg, 4,15 Mg, mg ja g suuruusjärjestyksessä pienimmästä suurimpaan. 15. Ilmoita a) massa 0,002 Mg kilogrammoina b) matka 0,005 mm mikrometreinä c) teho kw megawatteina. KOTITEHTÄVÄT 16. Täydennä taulukko m 3, m 3, m 3,4 km 0,072 m 7,2 0,01 m m 5,6 0,001 m 4 0,001 m 17. Ilmoita a) vauvan massa g kilogrammoina b) tablettitietokoneen paksuus 0,0069 m millimetreinä c) miesten keskipituus 1,79 m senttimetreinä d) hamsterin massa 0,2 kg grammoina. 18. Ilmoita käyttämällä sopivaa etuliitettä. a) matka m b) massa 0,0062 g c) taajuus Hz d) pituus 0, m 19. Ilmoita tehot W, W, kw, 5,3 MW ja 5, W suuruusjärjestyksessä pienimmästä suurimpaan. 20. Etsi lehdistä, kirjoista tai internetistä erilaisia yksiköitä. a) Mitä löytämäsi yksiköt tarkoittavat? b) Missä yhteydessä niitä käytetään? c) Millaisia etuliitteitä niissä on käytetty? Spektrin värit järjestyvät aallonpituuden mukaan. Esimerkiksi keltaisen värin aallon pituus on välillä nm. 28

25 EKSTRA Lisää etuliitteitä Edellä esitettyjen etuliitteiden lisäksi käytössä on vielä suurempia ja pienempiä liitteitä. Etuliite Lyhenne Kerroin tera- T biljoona giga- G miljardi nano- n miljardisosa 0, piko- p biljoonasosa 0, Käytetyt etuliitteet eivät aina ole täsmälleen kymmenen potensseja. Tietotekniikassa usein esimerkiksi 1 kilotavu on tavua ja 1 megatavu tavua eli noin tavua. Kertoimena onkin siis tuhannen sijasta ESIMERKKI 5 Sähkön siirtämän energian määrää mitataan usein wattitunteina. Se tarkoittaa watin tehoa tunnin ajan. Jääkaapin sähkönkulutus vuorokaudessa on noin 1 kwh. Pienen sähkökiukaan vuosikulutus 3 tunnin viikkokäytöllä on 1 MWh. 50 sähkölämmitteisen omakotitalon vuosikulutus on 1 GWh. Kotitalouksien vuotuinen sähkönkulutus Helsingissä on 1 TWh. Lähde: Motiva Oy 21. Ilmoita käyttämällä sopivaa etuliitettä. a) Ydinvoimalan hyötyteho on W. b) DNA:n halkaisija on noin 0, m. c) Pienikokoisen bakteerin pituus on noin 0, m. P U L M A Kuvan tikkatauluun heitetään viisi nuolta, jotka kaikki osuvat. Tutki, onko mahdollista saada yhteistulokseksi a) 39 b) 41 c) 42 d) Kirjoita luku ilman etuliitettä. a) Punaisen valon aallonpituus on 700 nm. b) Vetyatomin laskennallinen säde on 50 pm. 23. Kuinka monta tavua on a) 1 gigatavu b) 1 teratavu? 24. Ilmoita terawattitunteina sähkön tuotantotiedot vuodelta a) Sähkön kotimainen tuotanto oli Wh. b) Tuulivoiman tuotanto oli Wh. Lähde: Tilastokeskus 29

26 7 Pyöristäminen ja likiarvo Monissa käytännön elämään liittyvissä tehtävissä lukuja ja mittaustuloksia pyöristetään. Tällöin tulokset eivät ole tarkkoja vaan likiarvoja. Mittaustuloksilla laskettaessa myös vastaus ilmoitetaan likiarvona. ESIMERKKI 1 Kahdenkymmenen euron setelissä lukema 20 on tarkka arvo, mutta käytävän pituus 20 metriä on likiarvo. Likiarvoja ilmoitettaessa käytetään erilaisia tarkkuuksia: desimaalien lukumäärää, merkitsevien numeroiden lukumäärää tai eri mittayksiköitä. Merkitseviä numeroita ovat kaikki nollasta eroavat numerot. Nolla on merkitsevä numero silloin, kun se on merkitsevien numeroiden välissä tai desimaaliluvun lopussa. ESIMERKKI 2 a) Ellan pituus 164,5 senttimetriä on ilmoitettu yhden desimaalin tarkkuudella neljän merkitsevän numeron tarkkuudella millimetrien eli metrin tuhannesosien tarkkuudella. b) Ellan massa 51,0 kilogrammaa on ilmoitettu yhden desimaalin tarkkuudella kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella satojen grammojen tarkkuudella. c) Ellan koulumatka metriä on ilmoitettu satojen tarkkuudella kahden merkitsevän numeron tarkkuudella satojen metrien eli hehtometrien tarkkuudella. Likiarvojen yhteydessä myös vastauksia joudutaan usein pyöristämään. Tällöin yhtäsuuruusmerkin asemesta käytetään likimain yhtä suuri kuin -merkkiä. Pyöristyskohtaa seuraava lukuyksikkö eli ensimmäinen pois jäävä numero määrää, pyöristyykö luku ylös- vai alaspäin. Pyöristyksessä valitaan kahdesta vaihtoehdosta lähempänä oleva luku. Ensimmäinen pois jäävä numero Pyöristys Esimerkki 0, 1, 2, 3 tai 4 Viimeinen mukaan tuleva numero jää ennalleen. 6,81 on yhden desimaalin tarkkuudella 6,8. 5, 6, 7, 8 tai 9 Viimeinen mukaan tuleva numero kasvaa yhdellä. 4,26 on yhden desimaalin tarkkuudella 4,3. 30

27 ESIMERKKI 3 Pyöristä laskun loppusumma a) kymmenien eurojen b) eurojen c) kymmenien senttien d) lähimmän 5 sentin tarkkuuteen. a) 128, b) 128, c) 128,37 128, euroa on lähempänä kuin 120 euroa. 128 euroa on lähempänä kuin 129 euroa. d) 128,37 128,35 HARJOITUSTEHTÄVÄT 1. a) Onko luku 1,7 lähempänä lukua 1 vai lukua 2? b) Onko luku 2,3 lähempänä lukua 2 vai lukua 3? c) Onko luku 0,8 lähempänä lukua 0 vai lukua 1? d) Onko luku 1,5 lähempänä lukua 1 vai lukua 2? Millä tarkkuudella lukumäärä on ilmoitettu? a) Pelissä oli 780 katsojaa. b) Kuopion asukasluku on c) Japanin väkiluku on 125 miljoonaa. d) Puistossa on 26 pensasta. 3. Ilmoita ostosten loppusumma 27,83 a) kymmenien eurojen b) eurojen c) kymmenien senttien d) lähimmän 5 sentin tarkkuudella. 4. Ilmoita lämpötilat asteen tarkkuudella. a) Natriumin sulamispiste on 97,8 C. b) Typen kiehumispiste on 195,8 C. c) Lyijyn sulamispiste on 327,5 C. d) Etanolin leimahduspiste on 16,6 C. 5. Pyöristä kahden desimaalin tarkkuuteen. a) 17,2122 b) 215,0556 c) 566,1440 d) 912,

28 6. Kuinka monta merkitsevää numeroa on mittaustuloksessa? a) Eetun keihäänheiton pituus on 62,16 m. b) Eerikin massa on 51 kg. c) Vilman polkupyörän matkamittarin lukema on 10,4 km. d) Veetin sadan metrin aika on 12,11 s. 7. Pyöristä kymmenesosien tarkkuuteen. a) 24,31 b) 562,59 c) 237,08 d) 853,60 8. Pyöristä mittaustulokset yhden desimaalin tarkkuuteen. a) lattian pinta-ala 23,48 m 2 b) huoneen korkeus 2,53 m c) ikkunan leveys 1,954 m 9. Maratonilla juostava matka on 42,195 kilometriä. Pyöristä matka a) kymmenien kilometrien b) kilometrien c) kymmenesosakilometrien tarkkuuteen. 10. Kuinka monta merkitsevää numeroa on likiarvossa a) 15,607 b) 0,5617 c) d) 6 517,0? 11. Millä tarkkuudella vaa an lukema on ilmoitettu? a) 56,3 kg b) 0,955 kg c) 5,32 kg d) 720 mg 12. Onko luku tarkka arvo vai likiarvo? a) Elokuva kestää 2 tuntia. b) Noralla on 2 veljeä. c) Kaupungissa on asukasta. d) Rahapussissa on rahaa 100 euroa. 13. Ilmoita kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. a) 10,893 b) 506,17 c) 0,5192 d) Ilmoita tuntinopeus kymmenien tarkkuudella. a) b) c) d) 15. Seuraavat mittaustulokset on ilmoitettu liian tarkasti. Pyöristä tulokset järkevään tarkkuuteen. a) Roosan koulumatkan pituus on metriä. b) Kännykän korkeus on 87,4 mm. c) Maapallon väkiluku on Kuinka monta merkitsevää numeroa on likiarvossa a) b) 7, c) 0, d) 8,0 10 4? 32

29 KOTITEHTÄVÄT 17. Oskarin koulumatka on 3 km ja Soian 800 metriä. Millä tarkkuudella matkat on ilmoitettu? 18. Pyöristä hinnat eurojen tarkkuuteen. a) 123,34 b) 14,50 c) 0,78 d) 9, Pyöristä likiarvo 39,054 a) kymmenien b) ykkösten c) kymmenesosien d) sadasosien tarkkuuteen. 20. Liina mittasi hiustensa pituudeksi 28,5 cm. Ilmoita käytetty tarkkuus a) desimaaleissa b) merkitsevinä numeroina c) mittayksikköä käyttäen. 21. Ilmoita likiarvo 5,0467 kg a) yhden desimaalin b) sadasosien c) kolmen desimaalin d) kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. 22. Onko luku tarkka arvo vai likiarvo? a) Kynnen pituus on 1,5 senttimetriä. b) Rock-konsertissa oli kuulijaa. c) Välimaan koulun 9A-luokalla on 31 oppilasta. 23. Etsi likiarvoja esimerkiksi sanoma lehdistä. a) Onko likiarvoissa käytetty tilanteeseen sopivia tarkkuuksia? b) Mitkä asiat vaikuttavat sopivan tarkkuuden valintaan? EKSTRA Mittalaitteen antama tulos on aina likiarvo, joka riippuu laitteen tarkkuudesta. Mittaustulosta ei saa tarkemmaksi esimerkiksi yksikönmuunnosten avulla. ESIMERKKI 4 Vaaka antoi mittaustulokseksi 53,8 kg. Tulos on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella annettu likiarvo. Todellinen massa on vähintään 53,75 kg ja alle 53,85 kg. P U L M A 24. Mittaustuloksena saatu likiarvo on 3,7 m. Millä välillä todellinen pituus on? Tutki, onko mahdollista piirtää kuvio nostamatta kynää paperista ja kulkematta uudelleen samaa reittiä. a) b) 25. Mittaustuloksena saatu likiarvo on 427 g. Millä välillä todellinen massa on? 33

30 8 Laskuja likiarvoilla Likiarvoilla laskettaessa tulokseksi saatu likiarvo pyöristetään vastaamaan lähtöarvojen tarkkuutta. Tuloksen pyöristäminen riippuu siitä, mikä peruslaskutoimitus on kyseessä. Yhteen- ja vähennyslaskuissa vastaus annetaan epätarkimman lähtöarvon mukaan. ESIMERKKI 1 a) 1043m 210 m 1253m 1250 m metrien tarkkuus kymmenien metrien tarkkuus kymmenien metrien tarkkuus Lasku lasketaan annetuilla tarkkuuksilla, vasta lopputulos pyöristetään. b) 25,5 m 11,31m 14,19 m 14,2 m yksi desimaali kaksi desimaalia yhden desimaalin eli kymmenesosametrin eli desimetrin tarkkuuus Kerto- ja jakolaskussa vastaukseen otetaan niin monta merkitsevää numeroa kuin niitä on vähiten merkitseviä numeroita sisältävässä lähtöarvossa. 2 2 ESIMERKKI 2 a) 4,56 m 6,8 m 31,008 m 31m kolmen merkitsevän numeron tarkkuus kahden merkitsevän numeron tarkkuus kahden merkitsevän numeron tarkkuus 2 b) 35,5 m : 2,5 m 14,2 m 14 m kolmen merkitsevän numeron tarkkuus kahden merkitsevän numeron tarkkuus kahden merkitsevän numeron tarkkuus ESIMERKKI 3 Laske suorakulmion piiri., tapa 1 16 m 755 cm 16 m 755 cm 16 m 7,55 m 16 m 7,55 m 47,1 m 47 m Muunnetaan mitat samaan yksikköön., tapa m 2 7,55 m 47,1 m 47 m Pyöristys tehdään lähtöarvojen mukaan. Laskussa käytetty kerroin 2 ei ole likiarvo. 34

31 ESIMERKKI 4 Laske tuotteen yksikköhinta senttien tarkkuudella. a) 2,6 kilogrammaa perunoita maksaa 3,60 euroa. b) 80 senttimetriä kangasta maksaa 12,40 euroa. Tuotteen yksikköhinta saadaan, kun hinta jaetaan määrällä. a) 3,60 2,6kg 1, kg 1,38 kg Tulos pyöristetään senttien tarkkuuteen. 12,40 b) 0,80m 15,50 m Muunnetaan ensin 80 cm metreiksi: 80 cm 0,80 m. Vastaus: a) Perunan yksikköhinta on 1,38 /kg, eli yksi kilogramma maksaa 1,38 euroa. b) Kankaan yksikköhinta on 15,50 /m. HARJOITUSTEHTÄVÄT 1. Valitse oikein pyöristetty vastaus. a) 7,3 m 2 m b) 6,2 m 1,54 m c) 3,0 m 2,5 m d) 12 m 2 : 3,0 m 2. Laske ja pyöristä. a) 4,5 m 3,05 m b) 6,85 m 5,5 m c) 2,0 m 7,5 m 5,3 m 5 m 6 m 7,74 m 7,7 m 7,8 m 7,5 m 2 7 m 2 8 m 2 4,00 m 4,0 m 4 m 3. Laske hinta. Anna vastaus senttien tarkkuudella. a) Perunan kilohinta on 0,98 /kg, ja niitä ostetaan 2 kg. b) Makkaran kilohinta on 4,44 /kg, ja sitä ostetaan 0,5 kg. c) Appelsiinien kilohinta on 1,52 /kg, ja niitä ostetaan 2,5 kg. d) Ruokakerman litrahinta on 6,45 /l, ja sitä ostetaan 0,2 l. 4. Kuinka paljon tehtävän 3 ostoksista maksetaan yhteensä kassalla, kun Suomessa loppusumma pyöristetään yleensä 5 sentin tarkkuuteen? 5. Laske kilohinta, kun a) kahden kilogramman vehnäjauhopussi maksaa 2,90 b) 0,5 kilogramman kahvipaketti maksaa 3,90 c) 15 kilogramman säkki koiran täys ravintoa maksaa 16, Suorakulmion pitkät sivut ovat 2,7 metriä ja lyhyet sivut 53 senttimetriä. Laske suorakulmion piiri. 7. Jenna on ostanut 9,9 kg:n painoisia pihalaattoja. Kuinka monta laattaa hän voi lastata peräkärryyn, kun kärryn suurin sallittu kokonaiskuorma on 500 kg? 35

32 8. Laske kilohinta senttien tarkkuudella, kun a) kaksi 750 gramman säilyketölkkiä maksaa 7,80 b) kolmen 260 gramman suklaarasian lahjapaketti maksaa 9,50 c) viisi purkkia ananasta maksaa 2 euroa ja ananaspurkissa on ananasta 145 g. 9. Suomessa on noin 5,5 miljoonaa asukasta. Laske, kuinka paljon asukasta kohden a) lähetettiin tekstiviestejä, kun niitä lähetettiin yhteensä miljoonaa kappaletta b) on henkilöautoja, kun niitä on yhteensä 3,1 miljoonaa c) on laajakaistaliittymiä, kun niitä on yhteensä 6,3 miljoonaa. Lähde: Tilastokeskus 10. Pyöristä tulos oikein. a) 230 cm 13 cm 243 cm b) 23 cm 14 cm 322 cm 2 c) 3,0 m 2,85 m 8,55 m 2 d) 13,5 m 20 m 270 m Mikä virhe laskun pyöristyksessä on tehty? a) 5,72 m 6,39 m 12,11 m 12,1 m b) 2 m 3,73 m 7,46 m 2 7,5 m 2 8 m 2 c) 18,4 m 2 2,0 m 9,2 m 9 m d) 2 1,7 m 2 5,4 m 14,2 m 10 m Laske ja pyöristä. 12. a) 0,004 m 27 m b) 0,507 m 11 m c) 5,72 cm 0,042 cm 13. a) 0,543 km 120 m b) 230,9 cm 8,9 m c) 12,7 m 2 3,0 m 14. a) Salaman etäisyyden kilometreinä voi arvioida jakamalla välähdyksen ja jyrinän välisen aikaeron kolmella. Onni laski aikaeroksi 10 sekuntia. Mikä oli salaman etäisyys? b) Salaman etäisyyden metreinä voi laskea kertomalla välähdyksen ja jyrinän välisen aikaeron äänen nopeudella 343 m/s. Essi mittasi mainituksi ajaksi 24 s. Mikä oli salaman etäisyys? c) Vertaile a- ja b-kohtien tarkkuuksia. Onko laskutapojen eri tarkkuuksilla käytännön merkitystä? 15. Sampo piti kirjaa autonsa polttoaineen kulutuksesta. Elokuulta kirjanpito osoitti seuraavaa: Päivämäärä Lisätty polttoainetta (l) Matkamittarin lukema (km) Polttoaineesta maksettu hinta ( ) , , , , , , , ,53 P U L M A Täydennä taikaneliön tyhjät ruudut niin, että lukujen summa on 12 kaikilla vaaka- ja pystyriveillä sekä lävistäjillä Laske kilometrilukemien ja välillä a) auton keskikulutus sataa ajokilometriä kohti kymmenesosalitrojen tarkkuudella b) polttoainekustannukset kilometriä kohti senttien tarkkuudella. 36

33 KOTITEHTÄVÄT 16. Laske ja pyöristä. a) 3,1 m 4,72 m 5,6 m b) 8,7 m 6,12 m c) 3,00 m 4,2 m 12,6 m 17. Arttu osti 2,507 kg omenoita. Hän käytti niistä kolme omenapiirakkaan, jolloin jäljelle jäi 1,9 kg. Kuinka monta grammaa omenoita piirakkaan käytettiin? 18. Laske yksikköhinta, kun a) 0,500 kilogrammaa voita maksaa 2,94 b) 1,5 litraa maitoa maksaa 1,47 c) 600 grammaa jauhelihaa maksaa 5, Suomessa oli vuonna 2012 noin 5,4 miljoonaa asukasta. Laske, kuinka monta matkaa jokainen suomalainen tekee vuoden aikana, jos a) junamatkoja tehtiin vuodessa yhteensä 69,3 miljoonaa b) lentomatkoja tehtiin vuodessa yhteensä 19,2 miljoonaa. Lähde: Tilastokeskus (2012) 20. Pyöristä tulos oikein. a) 37,0 cm 16,25 cm 53,25 cm b) 65,8 kg 2 kg 67,8 kg c) 108,52 km 16,0 km 92,52 km d) 4,3 m 2,1 m 9,03 m 2 e) 11 m 18,5 m 203,5 m 2 f) 140 m 2 9,6 m 14,58333 m EKSTRA ESIMERKKI 5 Suorakulmion muotoisen huoneen pituus on 5,6 m ja leveys 3,4 m, jolloin huoneen pinta-alaksi saadaan ilman pyöristystä 5,6 m 3,4 m 19,04 m 2. Todellisilla pituuksilla pinta-ala on pienimmillään vähintään 5,55 m 3,35 m 18,5925 m 2 ja suurimmillaan alle 5,65 m 3,45 m 19,4925 m 2. Saadut arvot ovat kahden merkitsevän numeron tarkkuudella samoja, joten vastaukseksi kannattaa antaa 19 m 2. Tämä tarkkuus vastaa myös lähtöarvojen tarkkuuksia. 21. Laske suorakulmion pinta-ala pyöristämättä. a) b) 22. Millä välillä tehtävän 21 todelliset pinta-alat ovat? 23. Kolmion sivujen pituudet ovat 3,2 m, 2 m ja 0,9 m. a) Laske kolmion piiri pyöristämättä. b) Millä välillä todellinen piiri on? 24. Miten tehtävän 23 perusteella voisi perustella yhteenlaskun pyöristyssääntöä? 37

34 9 Arviointia ja laskemista Arkielämässä joudutaan joskus arvioimaan eri tietoja ilman tarkkaa laskemista. Tällöin lukuja voidaan pyöristää ennen laskemista, jolloin saatu tulos on arvio. Lähtöarvojen pyöristyksen vaikutus tulokseen halutaan pitää mahdollisimman pienenä. Pyöristämiseen vaikuttaa se, onko tarkoitus saada määritettyä pienin vai suurin mahdollinen arvo. ESIMERKKI 1 Nikolla on rahaa 40 euroa. Hän haluaisi ostaa kolme paitaa, joiden tarjoushinnat ovat 15,95, 12,45 ja 9,95. Arvioi ja laske, riittävätkö Nikon rahat kaikkiin kolmeen paitaan. Arvio: Paitojen hinnat ovat noin 16, 13 ja 10. Paidat maksavat yhteensä noin , eli Nikon rahat riittävät paitoihin. Lasku: Paidat maksavat yhteensä 15,95 12,45 9,95 38,35. Vastaus: Nikon rahat riittävät paitoihin. Usein yksikköhinta on tiedossa, mutta ostoksen hinta ei. Tällöin yksikköhinta kerrotaan kappaleen painolla, pituudella tai kappalemäärällä. ESIMERKKI 2 Arvioi ja laske, kuinka paljon maksaa a) 100 grammaa makkaraa b) 2,3 metriä kangasta. 9,50 /kg a) Arvio: Makkaran kilohinta on noin 10 euroa, josta kymmenesosa on noin euron. 15,20 /m Lasku: 0,1 kg 9,50 /kg 0,95 b) Arvio: Kankaan metrihinta on noin 15 euroa. Kaksi metriä kangasta ja lisäksi noin kolmannes metrihinnasta tekevät yhteensä 2 15 euroa 5 euroa 35 euroa. Lasku: 2,3 m 15,20 /m 34,96 38

35 ESIMERKKI 3 Kuuden rullan vessapaperipakkaus maksaa 2,69 ja 30 rullan pakkaus 11,45. Arvioi, kummassa pakkauksessa vessapaperi tulee halvemmaksi. Isommassa pakkauksessa on viisinkertainen määrä rullia pienempään pakkaukseen verrattuna. Jos pienemmän pakkauksen hinta on alaspäin arvioituna 2,50 euroa, 30 rullaa maksaisi pienemmissä paketeissa 5 2,50 12,50. Tämä on jo enemmän kuin isomman pakkauksen todellinen hinta 11,45. Vastaus: Pienemmän pakkauksen todellisella hinnalla isompi pakkaus on selvästi edullisempi. Arviointia voidaan käyttää apuna myös silloin, kun halutaan laskea lasku tarkoilla arvoilla. Esimerkiksi laskimella laskettaessa tuloksen arviointi voi paljastaa laskimen käyttö- ja näppäilyvirheet. ESIMERKKI 4 Arvioi ensin laskun tulos. Laske laskimella. a) 118,2 32,4 456 b) 247,8 79,2 12,3 c) 7,84 11,98 d) 942,81 : 311,74 a) Arvio: Lasku: 118,2 32, ,6 b) Arvio: Lasku: 247,8 79,2 12,3 156,3 c) Arvio: Lasku: 7,84 11,98 93,9232 d) Arvio: 900 : Lasku: 942,81 : 311,74 3,0243 Summassa osa luvuista kannattaa pyöristää ylöspäin ja osa alaspäin. Erotuksessa kaikki luvut kannattaa pyöristää samaan suuntaan. Kertolaskussa toinen tekijä kannattaa pyöristää ylöspäin ja toinen alaspäin. Jakolaskussa sekä jaettava että jakaja kannattaa pyöristää samaan suuntaan. 39

36 HARJOITUSTEHTÄVÄT 1. a) Aku ostaa kahvin, pullan ja kolmioleivän. Arvioi ja laske, kuinka paljon ostokset maksavat. b) Aino haluaa ostaa kahvin lisäksi jotain syötävää. Mitä Aino voi ostaa, jos hänellä on rahaa 5 euroa? Tuote Hinta kahvi 2,30 tee 2,00 pulla 2,10 kahvi ja muffini 4,30 kolmioleipä 5,00 2. Arvioi ja laske, kuinka paljon ostos maksaa, kun Tuomas ostaa a) 0,5 kg porkkanoita b) 4 kg jauhelihaa c) 3 l maitoa. 0,84 /kg 4. Talomaali maksaa 9 litran astiassa 89 euroa ja tarjouksessa 3 litran astiassa 31 euroa. Arvioi, kummassa astiassa maali tulee halvemmaksi. 5. Juha keräsi ostoskoriinsa oheiset tuotteet. Arvioi ja laske, kuinka paljon Juhan ostokset maksavat. maitoa 3 kpl 0,98 /kpl ruisleipää 2 kpl 2,05 /kpl muroja 1 pkt 3,80 /pkt juustoa 1 pkt 8,10 /pkt 6. Laura ostaa 2 litraa appelsiinimehua, valmissalaatin ja hernekeittopurkin. Hänellä on rahaa 12. Arvioi ja laske, riittävätkö Lauran rahat vielä näkkileipäpakettiin. 0,98 /l 1,95 /pkt 7,94 /kg 1,65 /l 3. Arvioi ja laske, kuinka paljon maksaa a) yksi paita, kun kahden paidan pakkaus maksaa 19,90 b) yksi kynttilä, kun 10 kynttilän pakkaus maksaa 4,80. 4,95 /kpl 1,82 /prk 40

37 7. Arvioi ja laske, kuinka paljon ostos maksaa, kun Santeri ostaa a) 2,5 kg perunoita b) 435 g broilerin rintaileetä c) 1,185 kg banaaneja. 0,90 /kg 10. Arvioi ja laske, kuinka paljon maksaa a) 3 tyynyä, kun yksi maksaa 5,95 b) 175 grammaa irtokarkkeja, kun 100 g maksaa 0,79 c) 248 grammaa ruuveja, joiden kilohinta on 5,90 d) terassin laudoitus, kun lautaa tarvitaan 350 metriä ja se maksaa 1,20 /m. 11,95 /kg 1,99 /kg 11. Kuivatut banaanilastut maksavat 0,51 / 100 g. Arvioi ja laske, kuinka paljon banaanilastuja Meri saa kahdella eurolla. 8. Peräkärryn suurin sallittu kokonaiskuorma on 500 kg. Arvioi ja laske, saako Niklas kuljettaa peräkärryllä 2 kuivabetonisäkkiä (25 kg/kpl), 20 harkkoa (20 kg/kpl) ja 7 pilariharkkoa (11 kg/kpl). 9. Arvioi ja laske, kuinka paljon tuoremehulasillisessa (1,5 dl) on a) hiilihydraatteja b) C-vitamiinia c) energiaa. Ravintosisältö 100 ml energiaa proteiinia hiilihydraatteja 170 kj (140 kcal) < 1 g 10 g josta sokereita 10 g rasvaa 1 g josta tyydyttyneitä 0 g ravintokuitua C-vitamiinia kalsiumia 0 g 30 mg 120 mg 12. Kaupassa on samanlaisia paristoja kahdenkokoisissa paketeissa. Isommassa paketissa on 10 kpl paristoja, ja paketin hinta on 10,90. Pienempi 4 pariston paketti maksaa 6,50, mutta kaupan päälle saa 2 paristoa. Arvioi, kummassa paketissa paristot tulevat halvemmiksi. 13. Auton tankin tilavuus on 72 litraa. Arvioi, kuinka paljon tankissa on jäljellä polttoainetta. a) b) Arvioi ensin laskun tulos. Laske laskimella. 14. a) 208,3 378,6 156,2 b) 524,7 304,8 159,6 c) 165,8 274,2 304,7 15. a) 21,7 24,3 b) 428,6 : 207, 9 c) 306,8 61,4 41