Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava"

Transkriptio

1 Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi 5 Kopiointiehdot Tämä teos on opettajan opas. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (/6). Tekstisivujen valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, Teoksen kaikkien kalvopohjien ja kokeiden valokopiointi opetuskäyttöön on sallittua, mikäli oppilaitoksellanne on voimassaoleva valokopiointilupa. Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty. Sidonta: KEURUSKOPIO Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 5 ISBN: 95---

3 SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin Kokeita Tämän opettajamateriaalin ratkaisuja voi käyttää mm. ryhmän eriyttämiseen ja opiskelijoiden itsenäiseen harjoitteluvaiheeseen panemalla ratkaisuja esille kalvolle tai "vastausnurkkaan". Opettajamateriaalin OPE Plus -versiossa (www.otava.fi) on kunkin tehtävän kohdalla myös tehtäväteksti, joten opettaja voi halutessaan käyttää mitä tahansa kirjan tehtävää esimerkkinä. Laudaturin kotisivuille on koottu eri laskinmallien käyttöohjeita.

4 RATKAISUT Testaa lähtötaitosi. a) 5 8 = 5 = b) 6:8:8 = 8 :8 = Vastaus: a) b). ) ) 5 a) = = / b) 5 : = : = : = 5 / 8/ Vastaus: a) b). 5) 8) a) + = + = = b) : + : = : + : / 5 = : + = + = + = 6 5 / Vastaus: a) b). ) ) a) = = + = b) = + = + + = Vastaus: a) b) 5

5 5. Auran leveys (cm) Aika (min) Auran leveys ja auraukseen tarvittava aika ovat kääntäen verrannollisia. 8 = = 8 5 :5 Aurauksen kesto min 5 min = 5 min. Vastaus: Auraus kestää 5 minuuttia kauemmin. 6. Vanha ennätys (m) Uusi ennätys 6, m Parannus,6 % Prosenttikerroin,6, 6 = 6, :, 6 6,66 Vastaus: Entinen ennätys oli 6,66 metriä. 7. y 5 5 y, kun Vastaus: y, kun 5

6 8. Polynomin sievennys P ( ) = ( ) ( )( + 5) = + ( ) = + + = + 5 Polynomin arvo P( ) = ( ) 5 ( ) + = 8 Vastaus: Polynomin arvo on P( ) = a) b) = ( 5) = + + = + + = 6 : 9 + = 9 ) = 9 9 = : Vastaus: a) 9 b) 9. a 5 a a 8 5 ) 5) = a = a = a = ( a ) = ( a ) ) a = = (( ) ) = = = Vastaus: 6

7 . Polynomit. Kaikki muut paitsi c-kohta ovat polynomeja. c-kohta ei ole, koska siinä muuttuja on jakajana. Vastaus: a) on b) on c) ei ole d) on. 5 a),, ja b) 5 c) d) 5 Vastaus: a),, ja b) 5 c) d). a) + = + b) ( + ) ( ) = + c) 5 + ( + ) ( + ) = Vastaus: a) + b) c). a) a (a ) = a a + = b) a b + ( a b + ab) (ab a b) = a b a b + ab ab + a b = a b +ab c) (a a 6a ) (a + a ) = a a 6a a a = a 7a 9a Vastaus: a) b) a b +ab c) a 7a 9a 5. a) 5 ( ) = = + b) ( + 5) ( + ) = 5 6 = 8 6 c) 7( ) ( ) = Vastaus: a) + b) 8 6 c) a) ( ) = + = b) 6 6 ( 6 ) = = 9 6 c) ( )( ) Vastaus: a) b) 9 6 c) 5 7. a) ( )( ) b) ( a+ b) ( a b) = a a ab+ ab b b = a ab b c) ( ab )( a + 7b) = ab a + ab 7b a b = a b + 7ab a b a+ a+ 7 = a a+ a 7+ a+ 7= a + 7a+ a+ = a + a+ Vastaus: a) a + a+ b) a a b b c) ab+ 7ab a b 7

8 8. a 8 a+ = a + a 8a 6 = a + 6a a 8= a 8a 8 a) ( )( ) ( ) b) ( )( ) a a+ a = a (a a+ 6a ) = 5a+ c) ( ) ( ) a a a a a a a a a = + = Vastaus: a) a 8a 8 b) 5a + c) 9. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( )( ) a Pt Qt t t t t t t ( ) + ( ) = + + = + = + + Pt Qt t t t t t t () () = + = = + + PtQt t t t t t t t t ( ) ( ) = + = = Vastaus: a) t + t + b) t + t + c) 9t 9t t. { ( ) } ( ) { } { } a a+ a a a + a a a = 6a a+ a a a + 7a 6a + 6a = 6a a a+ 7a = 6a+ a+ a 7a = 6a Vastaus: 6a. ( ) ( ) ( ) f = + 8 = = 8 f ( 8) = 8+ 8= + 8= 9 Vastaus: f( ) = ja f(8) = 9. ( ) ( ) ( ) a) P = 6 + 7= + + 7= b) P 6 9 = = + 7= c) P (,) =, 6,+ 7 =,,6 + 7 = 6,9 9 Vastaus: a) b) 5 c) 6,9 6. P P [ ] ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + = = 7 Vastaus: 7 8

9 . a) (( ) ) ( ) (5 ) = 7 = 6 ab ab ab a b b) ( ab) (5 ab) = 8 ab (5 ab) = ab c) (( )( )) ( ) 5 = = 8 ab ab a b a b d) ( ab) (5 ab) = ab 5ab = ab Vastaus: a) ab b) a b c) ab d) ab 5. a b b a = a b b+ a = a b a) ( ) ( ) b) ( )( ) = + = + a b b a ab a b ab a b ab c) ( a b) + ( b a) = ( a b)( a b) + ( b a)( b a) = a ab+ b + b ab+ a = 8a + b 8ab d) ( ) = a ab+ b b ab+ a = a ab+ b b + ab a = 8 ( ) ( )( ) ( )( ) a b b a = a b a b b a b a ( ) Vastaus: a) a b b) a b + ab c) 8a + b 8ab d) 6. a a+ = a = a a) ( )( ) a+ = a + a + = a + a+ b) ( ) c) ( ) a = a a + = a a+ d) a = ( a) a + = a a+ e) a a+ = a = a, f) ( ) ( ) a+ = a + a + = 9a + 8a+ 9 Vastaus: a) a b) a + a+ c) a f) 9a + 8a a) ( ) b) ( a )( a+ ) = ( a) = a a = ( a) a + ( ) = a a+ 9 9 c) a a+ = a = a 9 8 d) a+ = a + a + = a + a+ 9 a+ d) a a+ e) a 5 9

10 e) a+ b = a a b+ b = a ab+ b 9 Vastaus: a) a a+ 9 b) a 9 c) 9 a d) 8 a + a+ 9 e) a a b+ b 9 8. Lasketaan polynomin arvot P () = 8 + = P(5 ) = = P = + = ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 = = Suuruusjärjestys: P (5 ) < P( ) < P() Vastaus: P (5 ) < P( ) < P() 9. ( 7 ) = ( 7 )( 7 ) = ( 7 ) ( 7) 7 + = ( 7 )( ) = = = 7 9 Koska juuren kolmas potenssi on juurrettava, niin väite pitää paikkansa. Vastaus: a) On. a) ( y y) ( + y + y) = y y ( y y) = y y+ y + y = b) ( + y) ( ) + ( + y)( y) y + = + y+ y + + y y + = ( ) Vastaus: a) b). a) ( a ) ( a ) ( a ) a + = = n n n n 6 b) ( a n + ) = ( a n ) + a n + = a n + a n + n Vastaus: a) a b) a + a + 6n n

11 . a) ( 5) 6 ( 5) = 5 + ( 5) = = b) ( )( ) ( )( ) ( 6 )( 6 ) ( 6) 96 ( + 6) ( 6 ) = + 6 ( 6) 6 + = c) 6+ ) 6) = + = = = = = = Vastaus: a) b) c). Ratkaisu: a) 7+ ) 7 ) 7) = = = 8 b) ) + ) + ) = + + Vastaus: a) 8 b). = + = 8 P( ) = P( ) = +a a = 9 a = Polynomi P ( ) = Polynomin arvo P( ) = ( ) ( ) = + ( ) + = Vastaus: a =, P( ) = 5. Vastalukujen summa on nolla. ( a b)( a+ b) a( a+ b) + ( a+ b) = a b a ab+ a + ab+ b = a Ei ole vastaluku, jos a. On, jos a =. Vastaus: Ei ole, jos a. On, jos a =.

12 6. Luku n Lukua n edeltävä kokonaisluku n Lukua n seuraava kokonaisluku n + Lukujen tulo ( n )( n+ ) = n + n n = n 7. ( a+ b) ( a b) = a + ab+ b ( a ab+ b ) = a + ab+ b a + ab b = ab a =, b= = = = Vastaus: ab = = 6 = Neliöjuuren määritelmän perusteella ( ) = ( ) + ( ) = = 6 o o = = 8 > Koska kohdat o ja o toteutuvat, niin neliöjuuren määritelmän perusteella tehtävän väite on tosi. 9. Käänteislukujen tulo on yksi. ( )( + + ) = ( + ) ( + ) = = + + = ( ) ( ). a) ( + ) ( + ) = 6 b) ( 7) ( + 7) = 7+ 7 ( ) = = 8 c) ( )( + ) + ( + ) ( ) = ( ) + ( + + )( ) = 9 + ( )( ) = Vastaus: a) 6 b) 8 c) + 8

13 . Polynomien tekijöihin jako. a) 5 = 5 7 b) 7 = 6 = 9 = = c) = 5 = 5 = 5 = 5 5 = 5 d) 68 = 7 = 9 9 = 9 = 9 e) 8 5 = 8 5 = = = = 5 7 Vastaus: a) 5 7 b) c) 5 d) 9 e) 5 7. a) 5a+ = 5( a+ ) b) a a = a( a ) c) a a = a (a ) d) ab ab = 7 ab(a b) Vastaus: a) 5( a + ) b) aa ( ) c) a (a ) d) 7 ab(a b). a) a b) a + a+ = ( a+) + 8a+ 6 = ( a+) c) a a+ = (a ) d) a e) a 9 = ( a 7)( a+7) 5 = ( a 5)( a+ 5) f) a + 6 on jaoton, joten se on jo alkutekijöissään. Vastaus: a) ( a +) b) ( a + ) c) (a ) d) ( a 7)( a+ 7) e) ( a 5 )( a+ 5) f) a + 6. a) a a = a( a ) = a( a )( a+ ) b) a b = ( a b )( a + b ) = ( a b)( a+ b)( a + b ) c) a a + a = a( a a+ ) = a( a ) d) a = ( a )( a + ) = ( a )( a+ )( a + ) e) ( ) ( ) a a a a a a a a a a = ( )( ) = ( )( )( + ) = ( ) ( + ) Vastaus: a) aa ( )( a+ ) b) ( a b) ( a+ b)( a + b ) c) aa ( ) d) ( a )( a+ )(a + ) e) ( a ) ( a+ )

14 5. a) 7 y y 7 = y b) y = yz c) = y z y y y 5 y 7 = y = 7 z y z y 5 = 5 Vastaus: a) 7 y b) c) yz yz a) = + = b) ( + 7 ) :7= = + = c) = + = + = d) = = ( ) + e) = = = ( + ) + = = = = f) ( )( ) ( ) 5 Vastaus: a) + b) 7 + c) d) 6 e) f) ( + ) 5( + ) a) = ( + ) ( + ) 6 b) ( = ) = 5( + ) =

15 + 5 ( 5) c) = 5 5 d) + ( ) = ( ) = 5 = ( ) = Vastaus: a) 5( + ) b) c) 5 d) 8. + ( ) a) = ( ) b) = ( ) = 6 (6 )(6 + ) (6 ) ( + 6) = = ( + 6) ( + 6) (+ ) (+ ) c) = = 9 ( )(+ ) ( ) (+ ) Vastaus: a) b) a) = + ( ) ( + ) + c) + = 6+ ( 8+ 6) ( ) b) = = 6 ( ) ( ) c) = = ( + 9) ( ) ( ) ( ) = = = = 9 ( )(+ ) ( ) ( + ) ( + ) + ( ) Vastaus: a) b) ( ) c) ( ) +. a) ± + 8 ± 8 5

16 6+ 8 Tulos = b) ± + 5 ± ± Tulos + + = c) ± + 5 ± 6 6 ± Tulos = + + Vastaus: a) b) c) + +. a) ± 9 + ± 6 ± 6 6

17 5 6 Tulos = + + b) ± 6 ± ± 6 ± Tulos = c) ± ± 6 6 Tulos = + + Vastaus: a) + + b) c) k Suoritetaan jakolasku jakokulmassa k + k ± k + Jako menee tasan, kun jakojäännös k + on nolla ± + 7

18 k + = k = Vastaus: k =. ( )( + ) ( ) = ( )( + ) = ( ) Vastaus: ( ). a) ± 5 ± Tulos + = b) 5 ± Tulos = + ± + ± ± Vastaus: a) + + b) 8

19 5. a) ( 9) = + 6 b) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) = = = ( ) ( ) ( + ) = = + + ( + ) + Vastaus: a) b) + 6. a + ab 8a b a( a ab+ b ) ( a b) a) = = ab a ab ( a) ( a b) b) aa ( b) + bb ( a) ( a b) ( a b) = aa ( + b) bb ( + a) ( a+ b) ( a b) Vastaus: a) b a b) a b a + b a b = a + b a a = ( a b) = b a 7. Polynomi P ( ) = ( ) ( )( + ) + ( + ) = (6 ) = = Polynomin arvo Polynomi P ( ) = ( ) + = ( + ) ( ) Q ( ) = = = = ( )( + ) ( ) ( + ) + Polynomin arvo ( ) 8 Q( ) = = 9 :( ) = = + Vastaus: P ( ) = + ja P( ) = 8 sekä Q ( ) = ja ( ) + Q = 9

20 ± + 6 ± ± Jakolaskun tulos Osamäärä tulona = Q ( ) = = ( 6+ 9) = ( ) Vastaus: Q ( ) = ( ) Kysytty polynomi saadaan jakolaskulla ± ± Jakolaskun tulos + = Vastaus: Binomi on kerrottava polynomilla Ensimmäinen pariton kokonaisluku n +, n Toinen pariton kokonaisluku m +, m Parittomien kokonaislukujen summa (n + ) + (m + ) = n + m + = (n + m + ) = k, k Koska kahden parittoman kokonaisluvun summa on muotoa k, niin se on parillinen.

21 ( + ) [( + ) ] : = = +, Vastaus:, = +, =, = ( ) ( ) = 9 89 = = ( ) ( ) = 9 5 = = ( ) ( ) = = 987 Vastaus: Kaikki ovat neliöitä. 5. a) a) b) b a + b a + a = a = a b + a b + b b a + b b a a b + b = a b) y = + t t t t = + t+ t t t + t t t t = + + t + t t t = + + t + t t t m.o.t. = = Vastaus: a) b a

22 5. Suoritetaan vähennyslasku. a + b ab = a ab+ b b + b = ( a b) + b > Koska a + b ab>, niin a + b > ab. Vastaus: Luku a + b on suurempi kuin luku ab. 55. a) 7ab + 9a = 9a ( b + ) > ( ) b) 9a 8b = 9 a 9b = 9( a b)( a+ b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vastaus: a) 9a(b + ) b) 9( a b)( a+ b) c) a( a b) ( a+ ) a a b a b a = a a b + a a b = a a b ( a+ ) >. Ensimmäisen asteen yhtälö 56. a) 5+ = 5+ = b) 7 = :7 = + + :( ) c) ( + ) Vastaus: a) b) c) = :

23 57. a), (,, ) =,(,),, +,,,8 b) [ ] [ ], =, :,,, (+ ) =,+ (, 5, 7), =,+, +,+,, =, =,7 identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua.,68,, +, =,,,5+, +, c),[,( ) ] = [,,5(,6) +,] [ ] [ ],6, =,, +,5 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: a), b) Ei ratkaisua c) Ei ratkaisua 58. a) = = 6= 6 =,9 identtisesti epätosi b) c) + = 6 6 6( ) = 6 6+ = ( ) 6+ + =

24 ( ) ( + ) = = + ( ) ( ) + = + ( ) = 6 : d) + = 6 6 6( + ) 8 = 6 + = 9 ( ) = : Vastaus: a) 6 b) c) d) 59. a) ( 7) ( 7) ( 6)( ) b) c) Vastaus: a) b) c) 8 = = 8 8 = : = = 6+ 9 = 87 : = 6 6( ) 6( 8) 6 = 6 + = 9 7 = 56.( 7) 8

25 6. a) ( z+ ) = ( z )( z+ ) 8 : ( z+ ) = 9( z ) 9z 6z 9z = 6z = 5 z = b) + = = = : 7 :6 c) + = ( + ) = 9 + = 9 ( ) = 9 = : 5 5 Vastaus: a) b) 7 c) 5 6. a) 6+ 6 = (6+ ) (6 ) = = = 7 : ( ) 7 5

26 b) c) 7 Vastaus: a) b) 5 c) 6 6. a) =, + 7 8= = + 8 = :8 5 ( ) + ( )( + ) = 5( ) = ) b) = 6 + = 66 : ( ) 6 ( ) ( ) :( ) c) + = + ( ) :( ) + ) + ) + = = = Vastaus: a) b) c) 6

27 6. Ratkaisu toteuttaa yhtälön. k k = k k = ( k) = 6 ( k) Vastaus: k = k = k k = 8 :( ) k = 9 6. Määritä vakio k siten, että yhtälöllä ( k) ( + k) = ( k) on ratkaisuna. Ratkaisu: Ratkaisu toteuttaa yhtälön. ( k) ( + k) = ( k) Vastaus: k = 8 ( k) ( + k) = ( k) + (+ + ) = a) a+ a+ 6 a 6 a Jos a =, niin k k k k k k = 6 :( ) k = 8 ( a ) = ( a) : ( a), a ( a ) = ( a) a= ( ) ( ) Ratkaisuna, kun a =. b) a = a + + Jos a =, niin = identtisesti tosi ( a+ ) 5 :( a+ ), a 5 a + 7

28 ( + ) 5 a = = 5 identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a =. Vastaus: a), kun a ;, kun a = 5 b), kun a a + ; Ei ratkaisua, kun a = 66. Jos a =, niin a a = a a + a + a + ( a+ ) ( a+ ) :( a+ ), a a+ ( a+ ) ( a+ ) a = ( + ) ( + ) Ratkaisuna, kun a =. = identtisesti tosi Vastaus: a +, kun a ;, kun a = 67. Luku. Saadaan yhtälö + = + = Vastaus: Luku on Luku Saadaan yhtälö = 7 : + = 5 + = Vastaus: Luku on. : 8

29 69. Ensimmäinen luku Toinen luku on + 5 Saadaan yhtälö = 5 ( ) = 5 Ensimmäinen luku 5 Toinen luku on + 5 = = Vastaus: Luvut ovat 5 ja. : 5 ja toinen luku on. 7. Poikasten määrä Saadaan yhtälö + + = = = :( ) 5 Vastaus: Yhtälö on + + =. Ventti sai 5 poikasta Oppilasmäärä Saadaan yhtälö = = 8 = 8 : 8 Vastaus: Pythoraalla oli 8 oppilasta. 7. Diofantoksen ikä Saadaan yhtälö =

30 = 756 Vastaus: Diofantos eli 8-vuotiaaksi. 7. Luokan oppilasmäärä Poikia 6 % Tyttöjä % ( tyttöä) Saadaan yhtälö, = :, Vastaus: Luokassa on oppilasta. 7. Taulukoidaan tiedot. kulma. kulma. kulma,5 kolmion kulmien summa on 8 o., 5+ + = 8 Kolmion kulmat o,5,5 o = 6 o o = 8 o 9 = 756 8,5 = 8 :,5 Vastaus: Kulmat ovat, 6 ja Tyttöjen määrä Poikien määrä,85 Saadaan yhtälö +,85 = 7, 85 = 7 :,85 Vastaus: Luokassa on tyttöä. 76. Tietokoneen alkuperäinen hinta ( ) Alennus 8 % Alennettu hinta,8,8 = 5 :,8 65 Vastaus: Tietokoneen alkuperäinen hinta oli 65.

31 77. a) s = vt : t s v = t b) p b = a b = pa : a b p = a c) kpt r = r = kpt :( kp) d) r t = kp m n = M M nm = m : n m M = n e) pv = nrt :( nt ) pv R = nt s b Vastaus: a) v = b) p = t a r c) t = d) M kp m = e) n pv R = nt 78. a) ( ) + b) ( ) + = + = ( )( ) = + + = = 9 :( )

32 c) ( ) ( ) + = ( ) + + = = = 88 : d) ( ) ( )( + ) = ( ) ( )( ) ( )( + ) = ( ) ( ) + = = 6 + = 6 = identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. e) + = ( + )( ) 6 + = + = identtisesti tosi Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön. Ratkaisuna. Vastaus: a) b) c) d) Ei ole ratkaisua. e) 79. Ratkaistaan yhtälö ) ) + = 6 6 ( ) ( + ) = = = 9 : Sijoitetaan ratkaisu yhtälöön ( + ) + ( ) = ( + 6). Vastaus: Kyllä toteuttaa. ( ) ( ) ( 6) + + = + ( ) ( ) ( 6) + + = = 5 5 = 5 tosi

33 8. a) 5 = + 5 b) Vastaus: a) + 5 b) 8. Jos a =, niin 5 = 5+ ( 5 ) 5+ :( 5 ) 5+ ) 5+ ) = = = ( + ) = ( 5) ( + ) = ( 5) + + = = ( 5+ ) = : ( 5+ ) 5 5 ) aa ( ) = ( + ) a a = + 9 a 9 a 5 ) 5 5 = = ( 5+ ) [ ] a ( + ) = ( a)( + a) : ( a+ ), a ( a) ( + a) ( +a) a ( + ) = ( ( ))( ) = identtisesti tosi Vastaus: Yhtälön ratkaisuksi käy mikä tahansa reaaliluku, kun a =.

34 8. Taulukoidaan tiedot. Vene A Vene B Vene C,8 = Veneen B hinta on 5 % suurempi kuin veneen C hinta.,5 = :,5 88 Veneiden B ja C hintaero 88 = Vastaus: Vene B on kalliimpi kuin vene C. 8. Sienien massa kg Siitä vettä,9 kg =,9 kg Muita aineita kg,9 kg =, kg Kuivauksessa muiden aineiden massa säilyy. Uusi vesipitoisuus % =, = Haihtuva vesimäärä (kg) Veden massa Vesipitoisuus = Koko liuoksen massa,9 = 9 9 = 8 : Sienien massa pienenee kg = 888 g Prosentteina kg : kg = % Vastaus: Sienien massa pienenee 888 grammaa, joka on 89 % alkuperäisestä massasta Lisättävä liuoksen määrä (l) Liuos (l) Suola -% liuos, =, -% liuos, Yhteensä +, +,

35 6 Uuden liuoksen pitoisuus 6 % = Liuenneen aineen määrä Pitoisuus = Koko liuoksen määrä 6,+, = = + = 8 Vastaus: Lisättävä litraa -prosenttista liuosta. 85. : Celsius ja fahrenheitasteiden välinen yhteys Lämpötila fahrenheitasteina f (F) Lämpötila celsiusasteina on 8, o C 5 8, = ( 9 f ) 5 7 8, = f c = ( f ) f = 55, : 9 9 f =, 76 f Lämpötila ( o C), jossa celsiusmittari ja fahrenheitmittari osoittavat samaa lukemaa 5 c = ( f ) f = c c = c c = 7 : c = Vastaus: Kuume fahrenheitasteina on o F. Molemmat mittarit osoittavat samaa lämpötilaa celsiusasteessa. 5

36 86. Ratkaistaan yhtälö + = = : Lasketaan lausekkeen 6+5 arvo 6 + 5= + + 5= Vastaus: Lausekkeen arvo on Kun a a + b = a b : a b a Kun a = ja b Ei ratkaisua + b= b = Kun a = ja b = + = = Toteutuu kaikille reaaliluvuilla b =, kun a a Vastaus: Ei ratkaisua, kun a = ja b Kaikki reaaliluvut, kun a = ja b = 6

37 88. Lopullinen matkustajamäärä Lopullinen hinta (mk) Alkuperäinen matkustajamäärä Alkuperäinen hinta + Matkan kokonaishinta säilyi muuttumattomana. = ( + ) = + = Vastaus: a) Matkan lopullinen hinta oli mk. : 89. Peräkkäiset luonnolliset luvut ja + Neliöiden erotus ( + ) + + = : 5 Vastaus: Luvut ovat 5 ja Taulukoidaan tiedot. Erik Johan Olof + Yhteensä poimittiin 6 litraa = 6 Johan poimi 9 l = 98 l. ( ) = 96 : 9 Vastaus: a) Johan poimi mustikoita 98 litraa. TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ 9. a) 8 = = 8 ± ± 9 8 7

38 b) 5 = 9 = 5 9 ± c) + ei ratkaisua 5 d) 9 = :9 e) ( 7) = 5 7 =± 5 7 = 5 tai 7 = 5 = = 8 Vastaus: a) ±9 b) 9. a),, 6 :, = 6 ± ± 6 b) +, 5 = 6, 5 ei ratkaisua c),5 = d) =, 5 ±, 5 ±,5 9 9 = 5 ± c) ei ratkaisua d) e) tai Vastaus: a) ±6 b) ei ratkaisua c) ±,5 d) 8

39 9. a) ( + )( ) = + = tai = tai b) (+ )( ) = + = tai = tai tai c) ( + 5) = + 5 = tai = 5 tai = tai 9 8 tai 7 7 d) ( ) Vastaus: a) tai b) tai c) 5 tai d) tai a) + = ( + ) = tai + = tai b) = ( ) = tai c) = ( ) 7 = tai 7 = 9

40 tai 7 d) 5 5 = ( ) 5 = 5 tai tai Vastaus: a) tai b) tai c) tai 7 d) tai 95. a) = ( ) = = tai = tai b) + = + = ( ) c) t t = t ( t ) = d) = tai = tai t = tai t = t = tai t = s + s = s s+ = s = tai s+ = s = tai s = Vastaus: a) tai b) tai c) t = tai t = d) s = tai s =

41 96. a) ( k + )(k ) = k+ = tai k = k = tai k = k = tai k = 8 b) ( m )( m+ ) = m = tai m+ = m = tai m= m =± tai m= c) ( h+ )( h ) = h + h 6 h h h h h d) + 6= + 6 ( d ) = 8 : ( d ) = 9 d =± 9 d =± = identtisesti tosi eli yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla d = tai d = d = 6 tai d = Vastaus: a) k = tai k = 8 b) m = ± tai m= c) h d) d = 6 tai d = 97. a) 5 = ± ( ) ( 5) ( 5) 5± = = 5+ 9 = = 7

42 b) 7 = ( ) ± 7± = = 7+ 9 = = c) = ( 7) ( 7) ( ) ± ± 96 9 = = = = 5 Vastaus: a), 7 b), c) 6, a) + = ( ) ± ± ± = = = = + = = b) 9 + = ( ) ( ) ± ± ± = = = = + = =

43 c) 5+ = ( ) ( ) 5 ± 5 5± 9 5± = = = = 8 5+ = = 8 d) 6 = ( ) ( ) ( ) ± 6 ± 5 ± 5 = = 6 5 = = + 5 = = Vastaus: a) tai b) tai c) tai d) tai 99. a) = ( ) ( ) ( ) ± ± = ± 6 ± 6 ± = = = = ± = ± + b) + 6 = = 6± 6 9 6± 6 = = = c) + 5= + + 5= ± 5 ± = ei ratkaisua

44 d) = ± 8 ± = ei ratkaisua Vastaus: a) ± b) c) ei ratkaisua d) ei ratkaisua. a) + = + + = ( ) ( ) 8 9 ± ± ± = = 9 = = + 9 = = b) + = 7 + 7= ( ) ± ± ± = = 8 8 = = 8 + = = 8 c) ( ) = lasketaan kätevimmin neliöjuuren avulla d) = ± = ± ± = + = ( ) = : ( ) = otetaan neliöjuuri

45 = ± = ± = ± : ± = = = + = Vastaus: a) tai b) c) tai d) tai. a) + = + = b) ( ) ± ( ) ± = 8 + 8= c) + = tai ( ) ( ) ± 8 ± 6 ( ) ± ( ) ± 5 ei ratkaisua Vastaus: a), b), c) ei ratkaisua 5

46 . a),, 8 =, ±,,, = =,, +, = =,7 b),,5 =,,5 = (,) (,) (,8) ±,5 ± 56, 5,6,5 7,5 = = 5,6,5 + 7,5 = =,6 c), = 9,9, 5 9,9 8 + = (,5) (,5), ( ) ±, ( 9,9) 9,9 (,5) 8 ± (,5) 9,9 ±,,5 9, 9, = =,,5 9, 9 +, = = 8,5 Vastaus: a), tai,7 b) 5 tai c) 8 tai, 6

47 . a) = 5 5 = b) + = ± ( ) ( ) ( 5 ) ± = = 5 + = = + 5 ( ) ( ) ( ) ± = () 5 ± = = = = 7

48 c) + = = ± ( ) ( ) ( ) ± 9 = = + = = Vastaus: a) ± 5 b) tai c) tai. a) + = ± () ( ) ( ) ( ) ± b) = ± ( ) 6 5 ± 5 8

49 c) + + = ( ) ± ( ) ± 6 6 = = = = = Vastaus: a) b) + = = = = 5 c) tai 5. a) ( ) = ( ) + ( )( ) ( )( ) = + ( ) + = b) + = = 6 ( ) ( ) ( ) ± 6 ± 9 ± 7 = = 6 7 = = + 7 = = ( + ) = 5 + ( )( ) + + = = = ( ) = tai = tai 9

50 c) (+ ) + ( + )( ) = ( )( ) ( ) = = 5 + = (5+ ) = tai 5+ = 5 = :5 5 Vastaus: a) tai b) tai c) tai 5 6. a) = 6 6 ( ) ( ) + 5 = 5+ b) + + = = 8 5 ± ( 8) ( 8) 5 8 ± 6 8 = = = = 5 6 ( + )( ) ( ) + = ( )( ) ( ) = = = ( ) ( ) 5 ± ± 6 5

51 c) = = 8 = = = = 6 ( ) ( ) ± ( ) = = + = = Vastaus: a) tai 5 b) tai 5 c) tai 7. a) ( )( + ) = ( 5) = + ( ) ( ) ± () ± = = + = = b) ( )(+ ) ( + ) = ( ) = identtisesti epätosi ei ratkaisua Vastaus: a) tai b) Ei ratkaisua 5

52 8. a) 9+ = D = ( 9) = > Yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. b) + = D = = < Yhtälöllä ei ole reaalijuuria. c) + + 8= D = 8 = Yhtälöllä on yksi reaalijuuri. Vastaus: Yhtälöllä on reaalijuuria a), b), c) 9. a) 7 6= ( ) ( ) ( ) D = 7 6 = 6 7 = 8,... < joten ei reaalijuuria b),85 +, + 5 = D =,,85 5 = joten yksi reaalijuuri c) 8 + = 6 D 8 = ( ) = < joten ei reaalijuuria 6 Vastaus: a) b) c). Keksitään sellaiset luvut, että diskriminantti toteuttaa annetun ehdon. a) D > b ac > 5 >, joten b= 5, a = ja c = a + b + c = + 5+ = 5

53 b) D < b a c< < a + b + c = a =, b =, c = + + = c) D = 5 b a c = 5 5,5=5 a + b + c = a =, b = 5, c =,5 + 5+,5= d) D = b a c =,5 = a, + b + c = a =,5, b =, c = = Vastaus: Esimerkiksi yhtälöt a), = + 5+ =, b). Yhtälöllä + + a = on yksi reaalijuuri, kun D = Vastaus: a = a = a = :( ) a = + + =, c) + 5+,5=, d). Koska juuri on, yhtälö toteutuu, kun. Sijoituksella saadaan a + = ( ) a = Vastaus: 6a = 8 a = a = 5

54 . a) 6 = ± 5 = = ei, + 5 = = b) + = c) ( ) ( ) ( 6) ± = = + = = ( ) ( ) ( ) =,5 66,5 + =,5,5 66,5±,5,5 ( 66),5,5,5 = = ei,,5 +,5 = = Vastaus: a) b) tai c). a) 8 + = ± 8 ( ) 8 = = kuuluu välille ] 5, ] 6 + = = kuuluu välille ] 5, ] 6 5

55 b) 8 + = 9 + = 8 c) 8 = ± 8 ( ) 8 = = kuuluu välille ] 5, ] 6 + = = ei kuulu välille ] 5, ] 6 8 :8 = = ± = = = =, kuuluu välille ] 5, ] = = = =,77... ei kuulu välille ] 5, ] Vastaus: a) tai b) c) 5. Koska yhtälöllä on kaksoisjuuri, on D = ( ) D = 5 ac = 5 ac ac = : a ratkaistaan c c = a 5 c = sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön a 55

56 5 a 5 + c = c = a 5 a 5 + = a Vastaus: 6. 5 a ( ) ( ) 5 5 ± 5 a a a 5± 5 5 a 5 a 5 a k+ k = k ± k k ( ) ( ) ( ) k k k k ± k ± + = k+ Juurten erotus = k (k + ) = tai = k + (k ) = Vastaus: tai 56

57 7. Yhtälön vasen puoli saadaan, kun sijoitetaan polynomiin muuttujan paikalle. ( ) + + = 8 Vastaus: = 6 ( ) ( ) ( ) ± 6 6 ± 5 tai = = 8. Yhtälön vasemmalla puolella sijoitetaan polynomiin muuttujan paikalle + ja oikealle puolelle : ( + ) + = ( ) + ( )( ) ( )( ) = = + 6 Vastaus: + + = 6± 6 6± = 6 9. Jos k, yhtälö on toista astetta. Toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri, jos D = D = ( ) kk = k k = k = k = tai k = Jos k =, yhtälö k + k =on. astetta, jolla on ratkaisu + = = Vastaus: k = ± tai k= 57

58 . k k k + = k k k + = k k = Vastaus: tai. 9 k(k ) = ( a)( b) = b a+ ab= + ( a b) + ab = k = tai k = k = k = ( ) ( ) ( ) D = a b ab = a + ab + b ab + = a ab + b + = a b + > Joten yhtälöllä on kaksi eri suurta juurta.. 6 a 7b+ ab+ b = ( ) + a b + ab+ b = 6 7 Vastaus: b a+ b tai ( a 7b) ( a 7b) 6 ( ab b ) ± + 6 a+ 7b± a + 8ab+ 9b ab 8b a+ 7b± a + ab+ b a+ 7 b± ( a+ b) a+ 7b± a+ b a+ b> a+ 7 b± ( a+ b) a+ 7b a b b = = a = b + a + b a + b a + = = b 58

59 . ( ) = + = ± ( ) ( ) ( ) ± 5 =,. Vastaus:. = Vastaus: tai. ( ) ( ± ) ± =, 6 Ei käy 5 =, ( +,5)(,5) + = 6 5 5,5 + = = + = Vastaus: tai ( ) ( ) ± ± = = + = = 59

60 6. 5 7,5+ c = ( 7,5) ( 7,5) 5 ± 5 7,5 ± 56, 5 c 7,5 56, 5 c = 7,5 + 56, 5 c = Juurten neliöiden erotus c 7,5 + 56, 5 c 7,5 56, 5 c =,5 56, ,5 c + (56,5 c) 56,5 5 56,5 c + (56,5 c) =,5 Vastaus:,8 56, 5 c =,5 56, 5 c = 5 : 56, 5 c = 56, 5 c = c = 56 c =,8 ( ) 7. a a = ( ) ( ) ± + a a ± + a a ( a) ± a a + + a + a = ja = ( a ). Jos a a a >, niin > ja <, jolloin pienempi juurista on. a <, < ja > joten on pienempi. Jos 6

61 + a + + a Vastaus:, a > ;, a <. a a 8. Yhtälön juuri toteuttaa yhtälön a + ( a) =, joten sijoitetaan se yhtälöön ja ratkaistaan a. a a + ( a) = ( ) + ( a) ( ) = a + a = a = : a = Sijoitetaan a:n arvo alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a + ( a) = a = + = = ( ) ± ( ) Vastaus: a on. Toinen juuri on. 9. Jos a =, yhtälö on toista astetta. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen on kirjassa. Ratkaisukaavalla voi ratkaista kaikki muut tapaukset paitsi, jos a =. Tapaus a = ja b a b c a + + = = b + c = b c : b, b c b Tapaus a = ja b = a + b + c = a =, b = c = Jos c =, on yhtälö identtisesti tosi ja R Jos c, on yhtälö identtisesti epätosi eikä sillä ole ratkaisuja 6

62 . a) 5 = ( ) 5 = tai 5 = = 5 5 b) = ( )( + ) = + = = = = ± ± Vastaus: a) tai 5 b) ±. a) ( + )( + ) + ( ) = ( + ) ( )( ) ( )( ) = = = ( ) = tai = = 6

63 b) + + = 6 ( ) 6( + ) = 6 ( ) ( ) + + = = 5 + = ( ) ± 5 ± 9 7 = = = + 7 = = = Vastaus: a) tai b) tai. a) b) ( + ) + ( + ) = = 5 + (+ 5) = 5 tai ( + ) = ( ) ( + )( + ) = ( )( ) = = + 6 ( ) = tai 5 Vastaus: a) tai b) tai 6

64 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖN SOVELLUKSIA. Ensimmäinen luku Koska summa on 6, toinen luku on 6 Lukujen tulo on 8, saadaan yhtälö (6 ) = = Jos, niin 6 6 = Jos, niin 6 6 = Vastaus: Luvut ovat ja.. Luku = = 9 Vastaus: Luku on tai 9. ± () 6 6 ( ) ( 8) 6 ± 6+ = = 6 = = ± ( 9) ± 9 5. Luku = ( ) tai Vastaus: Luvun tai 6

65 6. Luvut ovat esimerkiksi ja +. ( + ) = = ( 65) ± ± 5 = = 6 (ei ole luonnollinen luku) 5 Vastaus: Luvut ovat 5 ja Luku a a 8= a = 8 : a = a =± a > a = Vastaus: a = tai a = 8. Merkitään leveyttä :llä ja pituutta y:llä. + y = y = y = 7 Ala (7 ) = 6 + = 7 6 : 7 ± 7 ( ) ( 6) () 7 ± 7 5 = Vastaavat pituudet ovat: y = 7 5 = y = 7 = 5 Vastaus: Mitat ovat 5 m ja m. 65

66 9. Kateetti (m), > Toinen kateetti + (m) Kolmion ala A = m ( + ) = + = 8 + 8= + ( 8) ± ± + = = 6 = = 8 <, ei käy > Toinen kateetti + = 6 m + m = 8 m Vastaus: Kateetit ovat 6, m ja 8, m.. Kolmio on suorakulmainen, jos sen sivut noudattavat Pythagoraan lausetta. Sivut positiiviset, joten 5 > eli > 5 Pythagoraan lause (5 ) = ( ) + ( ) = = ( 6) ( 6) 5 ± 5 6 ± 6 = = ei, > = = Joten Suorakulmaisen kolmion korkeus on kateettien tulo jaettuna kahdella. Kateetit = ja = = 5 5 Ala 5 = Vastaus: m ja m 66

67 . luku luvun neliö Saadaan yhtälö = ( 6) = Vastaus: Luku on tai 6 tai 6. kokonaisluku n pariton kokonaisluku n parittomat kokonaisluvut ovat kahden välein perättäiset parittomat kokonaisluvut ovat n, n + ja n + Saadaan yhtälö (n ) + (n+ ) + (n+ ) = 5 ( n )( n ) ( n )( n ) ( n )( n ) = n n+ + n + n+ + n + n+ = n =, luvut ovat n = = 7 n + = + = 9 n + = + = n = 5, luvut ovat n = (5) = n + = (5) + = 9 : n + n = n + n = n + = (5) + = 7 Vastaus: Luvut ovat 7, 9 ja tai, 9 ja ( ) ± n = ± 9 n = + 9 n = = 9 n = = 5

68 . kokonaisluku n peräkkäiset kokonaisluvut ovat n, n +, n +, n + ja n + Saadaan yhtälö n + ( n+ ) + ( n+ ) = ( n+ ) + ( n+ ) n =, luvut ovat,,, ja n =, luvut ovat,,, ja = n n n n n n n n n n 8n = ( 8) ( 8) ( ) ± n = 8± n = 8 n = = 8+ n = = Vastaus: Luvut ovat,,, ja tai,,, ja. 5 cm 5 cm Kuvan leveys 5 (cm) Kuvan korkeus 5 (cm) Mitat ovat positiivisia, joten 5 > eli < Kuvan pinta-ala on 8 % arkin pinta-alasta, joten (5 )(5 ) =, =

69 ( 9) ( 9) 8 7 ± 8 9 ± = = = = 6 Kuvan leveys, kun = Kuvan leveys, kun 5 ei käy, < 5 5 = tällöin korkeus 5 5 = 9 Vastaus: Kuvan mitat ovat 9 cm cm. 5. Tummennetun alueen ala on a = m Poisleikatun neliön ala (m ) Koko alueen sivu + (m) Koko alueen ala ( ) + (m ) m ( + ) ( ) ( ) + + = = 8 :8 m Pois leikattu ala A = = ( m) m = a Vastaus: Pois leikattu ala on m. 69

70 6. Suorakulmion sivut ja y (cm) Piiri 68 cm, joten + y = 68 y = 68 : y = Sivut ja y eivät voi olla negatiivisia, joten > ja y = > Saadaan < < 6 cm y Pythagoraan lauseella + y = 6 + ( ) = = = ( ) ( ) ± ± + = = = = Jos, niin toinen sivu y = = Jos, niin toinen sivu y = = Vastaus: Sivut cm ja cm. 7. Ensimmäisen neliön sivu Toisen neliön sivu y = Kokonaispinta-ala, joten + ( ) = + = + + = 9 9 = 9 7

71 ± ± = = = = =, ei > Toisen neliön sivu y = = = Vastaus: Neliöiden sivut ovat ja. 8. Suorakulmion kaksinkertaistettu sivu (cm) Suorakulmion toinen sivu y (cm) Piiri cm, joten y+ + y+ y+ = y = : y = Ala A = cm y = =,5 + = ( ) ( ) ( ) ±,5, 5 ( ) y 7

72 ± Toinen sivu y =,5 = 6 Vastaus: Kehikon sivut ovat cm ja 6 cm. 9. Kehyksen leveys Kokonaispinta-ala kehyksineen (5 + )( + ) Saadaan yhtälö = 5 ( )( ) Vastaus: 7,5 cm + = 5 5 ( 5) ± 5 ± 8 5 = < ei käy = = 7, Tontin sivujen pituudet ja 7 Tontin ala 7 6 ( ) + = 7 6 ± 7 7 ( ) ( 6) ( ) 7 ± 7 = = 7 + = = Kun, ovat sivut m ja 7 m = m Kun, ovat sivut m ja 7 m = m Vastaus: Tontin mitat ovat m m. 7

73 5. Luku Saadaan yhtälö = 5 = 5 = 5 5= 9 6= ± 9± = = = = 8 Vastaus: 9 tai 8 ( 9) ( 9) ( 6) 5. Tontin hinta = ala neliöhinta Saadaan yhtälö ( )( ) ( ) = = = ( ) ± ( ) ( 5 55) ± = <, ei käy = = 5 6 Suorakulmion sivut + = 5 + = 5 ja 5 = 5 5 = Neliön sivu + 5 = = Vastaus: Suorakulmion sivut 5 m ja m, neliön sivu m. 7

74 5. pidempi osa ja lyhyempi osa on 7. 7 = ( ) = ± ( ) ± <, ei käy 5 Pidempi mitta 5 cm ja lyhyempi mitta 7 cm 5 cm = 65 cm. Vastaus: Pidempi mitta 5 cm ja lyhyempi mitta 65 cm 5. Luku = + + = ( ) ( ) ± ± + = = + = = Vastaus: + tai 7

75 55. Luku + 5 = + = = ( ) ( ) ± 5 5 ± 7 7 = = + 7 = = Vastaus: tai 56. Myyntitulo = myynti hinta Alkuperäinen hinta a Hinta laskee p %, joten hinta tulee % p % = (,p) - kertaiseksi Hinta hinnan laskun jälkeen (,p)a Alkuperäinen myynti b Myynti nousee p %, joten myynti tulee % + p % = ( +,p) - kertaiseksi Myynti hinnan laskun jälkeen ( +,p)b Alkuperäinen myyntitulo ab Myyntitulo laskee %, myyntitulo tulee % % = 99 % =,99 - kertaiseksi Myyntitulo hinnan laskun jälkeen,99ab Vastaus: p on, 99 ab = ( +, p) a (, p) b : ab ( p)( p),99 = +,,,99 =,p+,p,p,99 =,p, p =, 99, p =, :, p = p =± p > p = 75

76 57. Normaalikeskinopeus v matka aika = nopeus Yksikkömuunnos min = 6 h + = v v 5 Vastaus: 75 km/h 5 5 = v+ 5 v v = v+ 5 6v 9 v = v+ 5 9 v ( )( ) v = v v + v ± v = ± v = v = < ei, v > + v = = 75 ( 5 ) 58. Albinismin perimän eli tyypin aa suhteellinen osuus tyypin AA suhteellinen osuus p Albinismigeeni peittyneenä eli tyypin Aa suhteellinen osuus pq Sijoitetaan sääntöön q:n arvo ja ratkaistaan p Sääntö q = q =± q > q = p + pq+ q = q q =, q = 76

77 p + p+ = p + p, = ±, p = ± p = ( ) + p = = +, p =, 7 ei p > Albinismin geeni peittyneenä pq = +,=,% Vastaus: Albinismigeeni on peittyneenä, % ihmisistä. 59. Etäisyys seitsemän kaiuttimen ryhmästä = ja etäisyys toisesta ryhmästä on. 7k 5k = : k ( ) 7 5 = ( ) ( ) ( )( ) 5 7 = = ( ) ( ) ( ) ± ± 58 ei ole kaiutinryhmien välissä Vastaus: Kysytty kohta löytyy m seitsemän kaiuttimen ryhmästä kaiuttimien väliltä. 77

78 6. Pallon säde r Pallon pinta-ala π r ( π) π = 78, 5 : r r 78, 5 =, r > π 78, 5 r = π r, 769 Vastaus:,769 dm 6. Pääoma vuoden alussa a Vuotuinen korkoprosentti p % =,p, kun korko lisätään pääomaan vuosittain. Korkotuotto vuodessa r =,pa Vuotuinen korkoprosentti % =,, kun korko lisätään pääomaan puolivuosittain. Korkotuotto vuodessa r =, a +, a+, a, 5a, = + Korkotuotto pitää pysyä samana, joten,5a+,a=, pa :,5a p a + = ± 6 ( p) = + + p, sillä merkki ei käy koska korkoprosentti on. Vastaus: Korkokannan pitäisi olla + + p %. 78

79 6. Aukeaman vasemman puoleinen sivu n Aukeaman oikean puoleinen sivu n + n n+ = 8 6 ( ) n + n 8 6 = ( ) ± n = ± 7 n = 7 n = < ei, n > + 7 n = = 6 Vastaus: Aukeaman sivut ovat 6 ja TOISEN ASTEEN POLYNOMIN TEKIJÖIHIN JAKO 6. Yhtälön + 8= + 8= juuret ± ( 8) ± 8 ± 9 9 = = = = Polynomin tekijät a + b + c = a a =, 6, ( )( ) ( )( ) ( )( ) + 8 = ( 6) =

80 b) Yhtälön 8+ 98= 8+ 98= juuret ( 8) ( 8) 98 ± 8 ± 7 Polynomin tekijät a + b + c = a a =, 7, 7 ( )( ) ( )( ) ( ) 8+ 98= 7 7 = 7 c) Yhtälön = juuret = ± 7 7 ± 9 Ei juuria, joten ei tekijöitä. + 6 ( ) 7) Vastaus: a) ( ) b) ( c) jaoton 6. Yhtälön 7+= juuret 7+ = ± ( 7) ( 7) 7 ± ± 6 7 = = = = 5 6 Polynomin tekijät a + b + c = a ( )( ) a =, =, = 5 7+ = 5 = 5 ( ) ( )( ) 8

81 b) Yhtälön + + = juuret + + = ± ± 6 Polynomin tekijät + + = ( )( ) = = = a b c a a,, + + = + c) Yhtälön,9, +, = juuret,9, +, =, ± 7, 8 7,8 Ei juuria, joten ei tekijöitä. Vastaus: a) ( 5) ( ) b) 65. Jaetaan nimittäjä tekijöihin 6t + 5t+ 9= ±,9 ± t = 6 (, ) (, ),9, ± 9 t = 5 ± t = 5 t = = 5 + t = = + c) jaoton 9 8

82 6t + 5t+ 9= 6 t+ t = t+ t+ Sievennys t+ t+ = = 6t + 5t+ 9 t+ t+ t+ ( )( ) t + Vastaus: = 6t + 5t+ 9 t Jaetaan osoittaja tekijöihin + 9 5= 9± 6 9± = = = = ( ( )) ( )( ) 9± 9 ( 5) + 9 5= 7 = Jaetaan nimittäjä tekijöihin + 5= ( ( )) ( )( ) ± ( ) ( ) 5 ± = = Sievennys ( 5)( + 7) + 7 = = Vastaus: ( )( ) = + 5 ( )( ) 8

83 67. Jaetaan osoittaja tekijöihin + 7+ = 7± 7 ( ) () 7 ± 89 7± = = = = + 7+ = ( ) 6 = Jaetaan nimittäjä tekijöihin 7 66= ± ( 7) ( 7) ( 66) 7± 8 6 7± = = = = 6 6 ( ) ( )( ) 7 66= ( ) 6 = + 6 ( ) ( )( ) Sievennys + 7 ( 5)( 6) 5 = = ( )( ) Vastaus: + 7 =

84 68. + = a + b a b ab 8 8 Juurten summa a + b = = Juurten tulo ab = = 8 a+ b 8 + = = = = a b ab Vastaus: Koska polynomilla on tekijänä + 7, on yhtälön 6 + a 8= juurena on. 7 Sijoitetaan yhtälöön 6 + a 8= a 8= a 8= 7 7 a = 5,5 : a = Vastaus: 7. Koska polynomilla on tekijänä +, on yhtälön Sijoitetaan yhtälöön + a a =. + a a = ( ) a ( ) + a = a a + = ( ) ( ) ( ) ± a = () ± a = a = = + a = = a a + = juurena on. 8

85 a = + a a = + = ± ± = = + = = ( ) Polynomin tekijät + = ( + ) = ( )( + ) a = + a a = = ( ) ± ( ) ( ) ± 6 6 = = + 6 = = = + Polynomin tekijät ( )( ) Vastaus: a =, P ( ) = ( )( + ) tai a =, P ( ) = ( )( + ) 7. Tekijät a( + )(,5) Yhtälö a +,5 = ( )( ) a +, 5a a = Ensimmäisen asteen termin kerroin, 5a = 6 :, 5 a = 85

86 Yhtälö a +, 5a a = a = + = 6 Vastaus: 6+ = 7. a) Yhtälön = juuret = ± Polynomin tekijät a + b+ c = a a =,, ( )( ) ( )( ) = + b) Yhtälön + = juuret + = Ei juuria, joten ei tekijöitä. c) Yhtälön + 7 = 7 + = juuret ( ) 7 ± ± ± = = + = = + Polynomin tekijät a + b + c = a a =,, + ( )( ) ( )( ) ( )( ) + 7 = ( ) ( + = Vastaus: a) ( )( ) + b) ei tekijöitä c) ( + + )( + ) 86

87 7. Rationaalilausekkeen voi supistaa, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä. Osoittajalla on siis oltava yhtenä tekijänä nimittäjä +, joten yhtälöllä + k 8 = pitää yhtenä ratkaisuna olla. Sijoitetaan tämä ratkaisu yhtälöön ja ratkaistaan k. k + 8 = = ( ) + k ( ) 8= k = :( ) k = Sijoitetaan rationaalilausekkeeseen k = + k 8 8 = + + Jaetaan osoittaja tekijöihin ratkaisemalla ensin yhtälö 8 = ± ± 6 6 = = + 6 = = Tekijöihin jako ja sievennys 8 ( + )( ) = = + + Vastaus: k = ja sievennetty lauseke on. ( ) ( ) ( 8) 8 = 7. Jakoyhtälö P ( ) = Q ( ) S ( ) + R ( ) Q ( ) =, S ( ) = 5 + 6, R ( ) = ( ) ( )(5 6) P + + ( ) P( ) = ( ) 5 ( ) + ( ) 6) + = Vastaus: 75. ( ) a = Juurten summa 6 = 6 Vastaus: 6 + = a 87

88 76. Yhteinen tekijä on 5, joten yhtälöillä 9+ a= ja 9+ b= pitää yhtenä ratkaisuna olla 5. Sijoitetaan tämä ratkaisu yhtälöihin ja ratkaistaan a ja b a = a = a = b= b = b = Sijoitetaan rationaalilausekkeeseen a = 5 ja b = 9+ a 9 5 = 9+ b 9+ Jaetaan osoittaja tekijöihin ratkaisemalla ensin yhtälö 9 5= 9 5 = ( 9) ± ( 9) ( 5) 9± 9 = = 9+ = = 5 Jaetaan nimittäjä tekijöihin ratkaisemalla ensin yhtälö 9+ = 9 + = ± 9 ± 6 9 = = = = 5 6 Tekijöihin jako ja sievennys ( 5) = = 9+ ( 5)( ) ( 9) ( 9) 88

89 Vastaus: a = 5, b =, b b ac b + b ac a( )( ) = a a a = = + a a a a b + b ac b b ac b b ac b + b ac a b + b ac b b ac ( b) ( b ac ) a a a = a + + b b = a + a b ac = a + + a a a b c = + + ( 5) ± ( 5) 6 6 5± 5 = = 5+ = = Juurien erotukset = ja = 6 6 Polynomin tekijät ovat + ja 6 Yhtälö + = 6 6 = 6 Vastaus: = 6 6 ( b ac) a 89

90 a b a b a+ b + = + ab 79. ( ), Juurten summa a+ b= =,, Juurten tulo ab = =, b +,, ( ) a b a a b ab + = + = +,7 Vastaus:,7 8. a+ b Juurten summa α + β = = ( a+ b) ab Juurten tulo αβ = = ab ( ) α + β = α + αβ + β ( ) ( ) + = + + = a+ b, = ab α β α β αβ α β αβ ( ) α + β = ( a+ b) ab α + β = a + ab+ b ab α + β = a ab+ b ( a b) α + β = Vastaus: α + β = ( a b) 8. b Juurten tulo =,5 eli b =,5a a Yhtälön toisena juurena on, sijoitetaan se ja b =,5a yhtälöön. 5 a 9 + b =, b =,5a 5 a 9 +,5a = a+,5a = a+, 75a = 95 b =,5a =,5 = Vastaus: a =, b =,75a = 95 :,75 a = 9

91 8. Sijoitetaan yhtälöön a a = sen toinen juuri. a a = a a = + = a a ± a = ± a = a = = + a = = a = a a = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± ( ) ( ) ± = = + = = Polynomin tekijät = + ( ) = ( + )( ) a = a a = + = ± ( ) ± 6 6 = = + 6 = = + = + = + + ( ) ( )( + ) Polynomin tekijät ( )( ) ( )( ) Vastaus: a = ja ( ) tai a = ja 9

92 8. Sijoitetaan yhtälöön 6 p = sen toinen juuri. 6 p = 6 p = p = : p = 7 Vastaus: 7 8. a) Yhtälön 6 + = 6 + = juuret 6 ( ) ± 6 ± 9 ± 7 7 = = + 7 = = Polynomin tekijät 6 + = 6 ( ) = + = (+ )( ) b) Yhtälön = juuret 6+ 7= ( 6) ± ( 6) 7 6± 8 6± 6 = = 6+ = = + 9

93 Polynomin tekijät ( )( ) = ( ( ))( ( + )) = + Vastaus: a) ( )( ) + b) ( + )( ) TESTAA HYVÄT TAITOSI. + 7 = + = 8 7 Vastaus: ( +). a + a+ 6 ( a+ 6 )( a+ 6 ) = = a + 6 a+ 6 a+ 6 a + 6 = + 6 = Vastaus: a + 6 = = = Vastaus: ( )( ( ) ( )( ) ). 5 5 = 8 ( ) 5 = = 5 Vastaus: 5. Viides luku Viiden luvun keskiarvo 7,5 + = 7, , 5 5,5 Vastaus: 5,5 9

94 = ± 6 5 ± = = = = 6 Vastaus: 6 tai = Vastaus: 7 8. Yhtälön ( 5) ( 5) 6 ( 6) ± 7 ( 7) 7 7 ± = juuret = ± 7 7 ( 6) 7 ± = = = = 8 Polynomin tekijät = ( + 8)( 8) Vastaus: ( + 8) ( 8) 9

95 9. Osoittajan nollakohdat + 6 9= ± 6 6 ( 9) 6 ± = = = = 6 Tekijöihin jako = ( + 9)( ) = ( + 9)( ) Sievennys ( + 9)( ) = = + 9 Vastaus: + 9. Kolme peräkkäistä kokonaislukua,, + Neliöiden summa ( ) + + ( + ) = = : = = ± Luvut ovat = 9, ja + = tai =, ja + = 9 Vastaus: 9, ja tai, ja 9 KORKEAMMAN ASTEEN YHTÄLÖT 85. ( )( )( ) = = + = + = 5 tai tai 5 ei ratkaisua Vastaus: tai 5 95

96 = + + = ( 5 6) + + = tai 5 6 ± () 5 5 ( ) = = = = = = Vastaus: tai tai = ( 7) + = = + tai 7 = tai Vastaus: tai = + + = ( 6) + + = tai 6 = tai = tai ± Vastaus: tai tai ± () ( ) = = = = = = Vastaus: tai tai 89. ( ) = 96

97 9. = = Sijoitus = t 9t + t = 9 ± t = (9) ( 9) ( ) 6 t = = t = = 8 9 Sijoitus takaisin = t 9 ± ± Vastaus: ±, ± 9. + = Sijoitus = t t t+ = ± t = + t = = Sijoitus takaisin = t ± ( ) ( ) t = = ± Vastaus: ±, ± 97

98 = Sijoitus = t 9t 9t+ = ± t = 9 ( 9) ( 9) t = = = t = = = Sijoitus takaisin = t 9 ± = 5 ± 5 Vastaus: ±, ± = Sijoitus = t t 5t 6 = ± t = ( 5) ( 5) ( 6) t = = = t = = = 6 Sijoitus takaisin = t 6 ei ratkaisua Vastaus: ± 6 ± 6 98

99 = = Sijoitus = t 9t 7t+ = ± t = 9 ( 7) ( 7) t = = = t = = = 8 8 Sijoitus takaisin = t 9 ± ± Vastaus: ±, ± = = Sijoitus = t 9t 5t+ 6= ± t = 9 ( 5) ( 5) t = = = t = = = Sijoitus takaisin = t 6 9 ± ± Vastaus: ±, ± 99

100 = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on 5 + 6=. Polynomin 5+ 6 tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± 5 ± Yhtälö saadaan muotoon 5+ 6= ( )( ) 6 = tulon nollasääntö = = tai 6 ± tai ( ) ( ) ( 6) 5 5 tai = = = tai = = = Vastaus: Yhtälön juuret ovat, ja = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + 7 6= Polynomin tekijä on. Jaetaan jakokulmassa

101 ± ± Yhtälö saadaan muotoon + 7 6= ( )( ) = tulon nollasääntö = + + = tai 8 5 ± tai tai = = = tai = = = Vastaus: Yhtälön juuret ovat 5, ja = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + 8 9= Polynomin tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± Yhtälö saadaan muotoon + 8 9= ±

102 ( )( ) = tulon nollasääntö tai 7 = + + = Vastaus: Yhtälön juuret ovat, 99. Särmät a, a ja 5a Tilavuus a a 5a = 8 a = 8 : a = ± tai tai = = = tai = = = ja a = Särmien pituudet a = 6, a = 9 ja 5a = 5 Vastaus: Särmien pituudet ovat 6 m, 9 m ja 5 m.. Särmien pituudet, ja + Tilavuus ( ) ( + ) = ( )( + ) = + = + = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + = Polynomin + tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± ±

103 Yhtälö saadaan muotoon + = ( )( ) + + = tulon nollasääntö tai = + + = ± tai tai ± ei ratkaisua Särmien pituudet, = ja + = 5 Vastaus: Särmien pituudet ovat cm, cm ja 5 cm.. Peräkkäiset kokonaisluvut, ja + Lukujen summa ja tulot yhtä suuret ( ) + + ( + ) = ( ) ( + ) + = ( )( ) ( ) + + = = + tai + = tai ± Kun, luvut ovat =, ja + = Kun, luvut ovat =, ja + = Kun, luvut ovat =, ja + = Vastaus:,, tai,, tai,,. 5 + ( 5 + ) = tai 5 + = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on 5 + = Polynomin 5 + tekijä on.

104 Jaetaan jakokulmassa ± 6 ± + + Yhtälö saadaan muotoon 5 + = ( )( ) + = tulon nollasääntö = + = tai Vastaus: Juuret ovat,, ja ± = tai ( ) ± = tai = tai = tai = = 6 6 ( + + 6) = tai + +6= Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + + 6= Polynomin tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± 7 + ±

105 Yhtälö saadaan muotoon + +6= ( )( ) 7 6 = tulon nollasääntö = = tai 7 6 ± = tai ( 7) ( 7) ( 6) 7± = tai = tai = tai = = 6 6 Vastaus: Juuret ovat,, ja.. Koska on kaksoisjuuri, on polynomin ( )( ) = Jaetaan jakokulmassa ± ± Kolmas juuri saadaan yhtälöstä + 5= tekijänä Vastaus: Kolmas juuri on. 5. Yhtenä tekijänä on. Jaetaan jakokulmassa ± + ±

106 Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä 7+ = ± ( 7) ( 7) 7± 7 7+ = tai = = Polynomin tekijät ovat ( ), ( ) ja ( ). Vastaus: P ( ) = ( )( )( ) 6. Koska yksi tekijä on, on yksi nollakohta. Saadaan yhtälö ( ) ( ) + a = a = 6 Muut tekijät saadaan jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa ± ± Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä 6= ± ( ) ( ) ( 6) ± = tai = = Polynomin tekijät ovat ( ), ( + ) ja ( ). Vastaus: a = 6, P ( ) = ( )( )( + ) 6

107 7. Alkuperäinen särmä > 9, Tilavuus l = cm ( 9,) = 9, = Kokeillaan juureksi vakiotermien tekijöitä ±, ±, ±, ± 5, ± 8, ±, ± 6, ±, ± 5, ± 5,... Lukua 9 pienempiä ei tarvitse kokeilla, koska > 9. Huomataan, että 5 toteuttaa yhtälön, joten 5 on polynomin tekijä. Muut mahdolliset tekijät saadaan jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa , ± 5 9, 9, 6 6 ± Muut mahdolliset juuret saadaan yhtälöstä + 6+ = ± ± Muita juuria ei ole, joten alkuperäinen särmä on 5 cm. Vastaus: Alkuperäinen särmä on 5 cm = Tehdään sijoitus = t t + 7t 8= 7± 7 ( 8) t = 7± 8 t = 7 9 t = = t = = 7

108 Tehdään sijoitus = t 8 = ja 8 Vastaus: tai 9. Osoittaja jakautuu tekijöihin ( ) = ( )( + ) ja + ovat myös nimittäjän tekijöitä, sillä + 8 = ja ( ) + ( ) 8 ( ) = Jaetaan nimittäjä jakokulmassa yhteisellä tekijällä ± Nimittäjä jakautuu tekijöihin ( + ), ( ) ja ( + ). ( )( + ) = = + 8 (+ )( )( + ) + Vastaus: +. Tehdään sijoitus t, jolloin ( ) = t t t t = t = ( ) ± ( ) ( ) t = ± 9 t = t = = + t = = 8

109 Tehdään sijoitus t ja 8 ( ) ( ) Vastaus: tai = Tehdään sijoitus = t t 5t+ = ± t = 5 ± 9 t = 5 7 t = = t = = 6 Tehdään sijoitus = t 9 ± ja 6 ± Vastaus:,, ja. ( 5) ( 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) + = + = + = ( )( ) + = ( )( ) + = ( )( + ) + = + = ( ) + = 9

110 . Peräkkäiset kokonaisluvut, ja + Saadaan yhtälö =,( ) ( + ) + =, ( ) :, = tai + 6 = ( 6) ± = Vastaus: Luvut ovat,, tai 5,, tai,,5.. o ( + )( )( + ) = + = tai tai + = o ( + )( )( + ) = + ) = ( )( + + = + ( + ) = tai + = ( ) ( ) ( ) ± () ± 8 + = = 8 + = = 8 Vastaus: o,, o, +,

111 5. Luku toteuttaa yhtälön sillä = Polynomin 5 7+ yksi tekijä on Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa 5 7+ ± ± Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä = ( ) ( ) ( ) ± ± + = tai = = 7 Vastaus: Luvut, ja P ( ) ( ) P = + = = = Yhtälön yksi juuri on 7, haetaan muut juuret jakamalla tekijällä 7. Jaetaan jakokulmassa ± ±

112 Muut juuret saadaan yhtälöstä + 89 = ( ) ( ) 89 ± ± 7 Yhtälöllä on kolminkertainen juuri 7. Vastaus: 7 7. Sijoitetaan + a + a = ( ) + 6a + a = 5a = 5 a = Sijoitetaan a = + + = ( ) + = ( + ) = tai + = ± ( ) ± 5 5 = = + 5 = = Vastaus: a =, muut juuret ovat ja. 8. Hyönteisten alkuperäinen määrä a p Hyönteisten määrä kasvaa viikossa + -kertaiseksi ja vähenee aina kahden viikon q aikana -kertaiseksi. Kahdeksan viikon kuluttua kanta on

113 8 p q + a Saadaan yhtälö: 8 p q + a = a 8 :a p q p + = : + q = p + q = 8 8 p + q = p + q = + p + q = p + q = p + 8 Sijoitetaan p = 6 q = Vastaus: q = ja q 6, kun p = 6. p +

114 9. + ( + ) Haetaan polynomin + tekijät nollakohtien avulla. + = ± ( ± = = = = 8 Polynomin tekijät ) + ( + ) = ( + )( ) = (+ )( ) Vastaus: ( )( + ) = Yhtälön yksi juuri on, sillä 6 + 6= Haetaan muut juuret jakolaskulla jakamalla tekijällä. Jaetaan jakokulmassa ± + ± Muut juuret saadaan yhtälöstä 5+ 6= ( 5) ± ( 5) 6 5± 5 = = 5+ = = Vastaus: Juuret ovat, ja.

115 . 9 + = Tehdään sijoitus = t 9t t+ = ± t = 9 ± 59 t = 8 t = = t = = 8 Tehdään sijoitus = t 9 ± ja ± Vastaus: ±, ± ( ) ( ) 9 8. POLYNOMIFUNKTIO. a) Nouseva suora y = 5 b) Alaspäin aukeava paraabeli y =,5 8 c) Laskeva suora y = 8+ d) Ylöspäin aukeava paraabeli y =, Paraabeli aukeaa ylöspäin, jos. asteen termin kerroin positiivinen. a) ylös b) alas c) ylös d) alas e) alas f) alas 5

116 . a) y = Nollakohdat y = + 7 8= ± 7± = = 7 9 = = ( 8) b) 6

117 y = + Nollakohdat y = + = ± ( ) ( ) () ± + = = = = c) y = + Nollakohdat y = + = : Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska kaikilla :n arvoilla. Vastaus: a) ja 8, b) ja, c) Ei nollakohtia 7

118 5. -akselin leikkauspisteessä y = + = Leikkauspiste (,) y-akselin leikkauspisteessä + y = y = Leikkauspiste (,) Vastaus: Pisteissä (,) ja (,). 6. a) Kuvasta saadaan paraabelin y = huippu (, ) leikkaa -akselin pisteissä (,;) ja (,;) y-akselin pisteessä (, ) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = ja -akseli y = y = = ( ) ( ) ( ± ± = =, 6 6 = =, + 6 6, ja, ) y Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. huippu = = = 8

119 Huipun y-koordinaatti y = = = huippu y = ja y-akseli y = = y = y = (, ) b) Kuvasta saadaan paraabelin y = huippu (, 5) leikkaa -akselin pisteissä (,;) ja (,;) y-akselin pisteessä (, ) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = ja -akseli y = y = = y ( ) ( ) ( ± ± + 5 = = + 5, 5 = = 5, ( 5, ) + ja ( 5, ) ) Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. huippu = = Huipun y-koordinaatti y = = = 5 huippu y = ja y-akseli 9

120 y = = y = y = (, ) c) Kuvasta saadaan paraabelin y = + huippu (,8;,) leikkaa -akselin pisteissä (,5;) ja (,) y-akselin pisteessä (, ) y Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = + ja -akseli y = + y = + = ( ) ( ( ) ± ± + = = = =, (,) ja Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. + huippu = = = ) Huipun y-koordinaatti y = + = + = huippu 8 y = + ja y-akseli y = + =

121 y = + y = (, ) d) Kuvasta saadaan paraabelin y = + huippu (, ) leikkaa -akselin pisteissä (,) ja (,) y-akselin pisteessä (,) y Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = + ja -akseli y y = ( = + + = + ) = tai + = (, ) ja (,) Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. + huippu = = Huipun y-koordinaatti y = + = ( ) + ( ) = huippu y = + y = y = + = + y = (,) ja y-akseli

122 e) Kuvasta saadaan paraabelin y =,5, 5 huippu (,5;,) leikkaa -akselin pisteissä (,) ja (,) y-akselin pisteessä (,) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y =,5,5ja -akseli y =,5,5 y =,5,5 (,5, 5) = tai,5,5 =,5 =,5 :,5 ( ) y (,) ja (,) huippu + = =, 5 Huipun y-koordinaatti huippu ( ) y = =,5,5,5,5,5 (,5),5 y =,5,5ja y-akseli (,) y =,5,5 = y =,5,5 y = f) Kuvasta saadaan paraabelin y =,5 +, + huippu (,;) Kuvaajan pisteitä laskettaessa huomataan, että :n arvoilla,5 ja, y-koordinaatti on sama (,5), joten huipun -koordinaatti on näiden arvojen keskiarvo., 5 + (, ) huippu = =, Huipun y-koordinaatti 5 y

123 huippu ( ) y = + + = + + =,5,,5,, (,), ei leikkaa -akselia leikkaa y-akselin pisteessä (,) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y =,5 +, + ja -akseli y =,5 +, + y =,5 +, + =,,, 5 ±,5, ±, ei reaalisia ratkaisuja Kuvaaja ei leikkaa -akselia y =,5 +, + (,) ja y-akseli y =,5 +, + = y = + + y =,5, Vastaus: a) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (, ) b) nollakohdat + 5 ja 5, y-akselin leikkauspiste (, ) c) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (, ) d) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (,) e) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (,) f) ei nollakohtia, leikkaa y-akselin pisteessä (,) 7. y,5,5,5,5,5,5,5, y = 6 y = y = 9

124 8. y y = 7 y = 5 y =,5,5,5,5 y = 9. y = y y = 5 5 y y = 5 y = y y =

125 . f( ) = a) f () = = b) f ( ) = ( ) ( ) = c) f ( ) = ( ) ( ) = d) f( a ) = a a e) f( h ) = ( h ) ( h ) = h h+ h+ = h 6h+ 5 Vastaus: a) b) c) d). f( ) = a+ 6 f() = a + 6 = a+6 Saadaan yhtälö a + 6 = a = Vastaus: a =. Ratkaistaan yhtälö + = = ± ± = 7 = = + 7 = = Vastaus: tai. Ratkaistaan yhtälö ( ) + 8 ( ) c = Vastaus:. a + by + c = ( ) ( ) ( ) 7 c = a c y =, b b b Vastaus: Kulmakerroin on a, b b a a e) h 6h+ 5 5

126 5. y y = +, 5 y + = 5 Vastaus: <, 6. Suora on -akselin suuntainen, kun kulmakerroin. c cy+ = cy = c + + cy = c + c ( ) :( ) + c y = c c y = c Ratkaistaan yhtälö c = c c c = c =± Vastaus: c =± 7. Paraabeli sivuaa -akselia, jos ja vain jos paraabelilla ja -akselilla on tasan yksi yhteinen piste eli funktiolla y = a + a+ on yksi nollakohta. Yksi nollakohta, jos diskriminantti D = a a = aa ( ) = a = tai a = eli a = Jos a = kuvaaja ei ole paraabeli, joten vain a = käy. Vastaus: a = 6

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa Kertaustehtäviä 9 Lausekkeesta

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Funktiot ja yhtälöt MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4 ALGEBRA I Antti Majaniemi x y A x y x y x x y y x x y y 05 ISBN 978-95-9-5799-4 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä osoitteessa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013 Solmu 3/03 Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 4.4.03 Esa V. Vesalainen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Luxemburgissa järjestettiin

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot