Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava"

Transkriptio

1 Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi 5 Kopiointiehdot Tämä teos on opettajan opas. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (/6). Tekstisivujen valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, Teoksen kaikkien kalvopohjien ja kokeiden valokopiointi opetuskäyttöön on sallittua, mikäli oppilaitoksellanne on voimassaoleva valokopiointilupa. Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty. Sidonta: KEURUSKOPIO Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 5 ISBN: 95---

3 SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin Kokeita Tämän opettajamateriaalin ratkaisuja voi käyttää mm. ryhmän eriyttämiseen ja opiskelijoiden itsenäiseen harjoitteluvaiheeseen panemalla ratkaisuja esille kalvolle tai "vastausnurkkaan". Opettajamateriaalin OPE Plus -versiossa ( on kunkin tehtävän kohdalla myös tehtäväteksti, joten opettaja voi halutessaan käyttää mitä tahansa kirjan tehtävää esimerkkinä. Laudaturin kotisivuille on koottu eri laskinmallien käyttöohjeita.

4 RATKAISUT Testaa lähtötaitosi. a) 5 8 = 5 = b) 6:8:8 = 8 :8 = Vastaus: a) b). ) ) 5 a) = = / b) 5 : = : = : = 5 / 8/ Vastaus: a) b). 5) 8) a) + = + = = b) : + : = : + : / 5 = : + = + = + = 6 5 / Vastaus: a) b). ) ) a) = = + = b) = + = + + = Vastaus: a) b) 5

5 5. Auran leveys (cm) Aika (min) Auran leveys ja auraukseen tarvittava aika ovat kääntäen verrannollisia. 8 = = 8 5 :5 Aurauksen kesto min 5 min = 5 min. Vastaus: Auraus kestää 5 minuuttia kauemmin. 6. Vanha ennätys (m) Uusi ennätys 6, m Parannus,6 % Prosenttikerroin,6, 6 = 6, :, 6 6,66 Vastaus: Entinen ennätys oli 6,66 metriä. 7. y 5 5 y, kun Vastaus: y, kun 5

6 8. Polynomin sievennys P ( ) = ( ) ( )( + 5) = + ( ) = + + = + 5 Polynomin arvo P( ) = ( ) 5 ( ) + = 8 Vastaus: Polynomin arvo on P( ) = a) b) = ( 5) = + + = + + = 6 : 9 + = 9 ) = 9 9 = : Vastaus: a) 9 b) 9. a 5 a a 8 5 ) 5) = a = a = a = ( a ) = ( a ) ) a = = (( ) ) = = = Vastaus: 6

7 . Polynomit. Kaikki muut paitsi c-kohta ovat polynomeja. c-kohta ei ole, koska siinä muuttuja on jakajana. Vastaus: a) on b) on c) ei ole d) on. 5 a),, ja b) 5 c) d) 5 Vastaus: a),, ja b) 5 c) d). a) + = + b) ( + ) ( ) = + c) 5 + ( + ) ( + ) = Vastaus: a) + b) c). a) a (a ) = a a + = b) a b + ( a b + ab) (ab a b) = a b a b + ab ab + a b = a b +ab c) (a a 6a ) (a + a ) = a a 6a a a = a 7a 9a Vastaus: a) b) a b +ab c) a 7a 9a 5. a) 5 ( ) = = + b) ( + 5) ( + ) = 5 6 = 8 6 c) 7( ) ( ) = Vastaus: a) + b) 8 6 c) a) ( ) = + = b) 6 6 ( 6 ) = = 9 6 c) ( )( ) Vastaus: a) b) 9 6 c) 5 7. a) ( )( ) b) ( a+ b) ( a b) = a a ab+ ab b b = a ab b c) ( ab )( a + 7b) = ab a + ab 7b a b = a b + 7ab a b a+ a+ 7 = a a+ a 7+ a+ 7= a + 7a+ a+ = a + a+ Vastaus: a) a + a+ b) a a b b c) ab+ 7ab a b 7

8 8. a 8 a+ = a + a 8a 6 = a + 6a a 8= a 8a 8 a) ( )( ) ( ) b) ( )( ) a a+ a = a (a a+ 6a ) = 5a+ c) ( ) ( ) a a a a a a a a a = + = Vastaus: a) a 8a 8 b) 5a + c) 9. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( )( ) a Pt Qt t t t t t t ( ) + ( ) = + + = + = + + Pt Qt t t t t t t () () = + = = + + PtQt t t t t t t t t ( ) ( ) = + = = Vastaus: a) t + t + b) t + t + c) 9t 9t t. { ( ) } ( ) { } { } a a+ a a a + a a a = 6a a+ a a a + 7a 6a + 6a = 6a a a+ 7a = 6a+ a+ a 7a = 6a Vastaus: 6a. ( ) ( ) ( ) f = + 8 = = 8 f ( 8) = 8+ 8= + 8= 9 Vastaus: f( ) = ja f(8) = 9. ( ) ( ) ( ) a) P = 6 + 7= + + 7= b) P 6 9 = = + 7= c) P (,) =, 6,+ 7 =,,6 + 7 = 6,9 9 Vastaus: a) b) 5 c) 6,9 6. P P [ ] ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + = = 7 Vastaus: 7 8

9 . a) (( ) ) ( ) (5 ) = 7 = 6 ab ab ab a b b) ( ab) (5 ab) = 8 ab (5 ab) = ab c) (( )( )) ( ) 5 = = 8 ab ab a b a b d) ( ab) (5 ab) = ab 5ab = ab Vastaus: a) ab b) a b c) ab d) ab 5. a b b a = a b b+ a = a b a) ( ) ( ) b) ( )( ) = + = + a b b a ab a b ab a b ab c) ( a b) + ( b a) = ( a b)( a b) + ( b a)( b a) = a ab+ b + b ab+ a = 8a + b 8ab d) ( ) = a ab+ b b ab+ a = a ab+ b b + ab a = 8 ( ) ( )( ) ( )( ) a b b a = a b a b b a b a ( ) Vastaus: a) a b b) a b + ab c) 8a + b 8ab d) 6. a a+ = a = a a) ( )( ) a+ = a + a + = a + a+ b) ( ) c) ( ) a = a a + = a a+ d) a = ( a) a + = a a+ e) a a+ = a = a, f) ( ) ( ) a+ = a + a + = 9a + 8a+ 9 Vastaus: a) a b) a + a+ c) a f) 9a + 8a a) ( ) b) ( a )( a+ ) = ( a) = a a = ( a) a + ( ) = a a+ 9 9 c) a a+ = a = a 9 8 d) a+ = a + a + = a + a+ 9 a+ d) a a+ e) a 5 9

10 e) a+ b = a a b+ b = a ab+ b 9 Vastaus: a) a a+ 9 b) a 9 c) 9 a d) 8 a + a+ 9 e) a a b+ b 9 8. Lasketaan polynomin arvot P () = 8 + = P(5 ) = = P = + = ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 = = Suuruusjärjestys: P (5 ) < P( ) < P() Vastaus: P (5 ) < P( ) < P() 9. ( 7 ) = ( 7 )( 7 ) = ( 7 ) ( 7) 7 + = ( 7 )( ) = = = 7 9 Koska juuren kolmas potenssi on juurrettava, niin väite pitää paikkansa. Vastaus: a) On. a) ( y y) ( + y + y) = y y ( y y) = y y+ y + y = b) ( + y) ( ) + ( + y)( y) y + = + y+ y + + y y + = ( ) Vastaus: a) b). a) ( a ) ( a ) ( a ) a + = = n n n n 6 b) ( a n + ) = ( a n ) + a n + = a n + a n + n Vastaus: a) a b) a + a + 6n n

11 . a) ( 5) 6 ( 5) = 5 + ( 5) = = b) ( )( ) ( )( ) ( 6 )( 6 ) ( 6) 96 ( + 6) ( 6 ) = + 6 ( 6) 6 + = c) 6+ ) 6) = + = = = = = = Vastaus: a) b) c). Ratkaisu: a) 7+ ) 7 ) 7) = = = 8 b) ) + ) + ) = + + Vastaus: a) 8 b). = + = 8 P( ) = P( ) = +a a = 9 a = Polynomi P ( ) = Polynomin arvo P( ) = ( ) ( ) = + ( ) + = Vastaus: a =, P( ) = 5. Vastalukujen summa on nolla. ( a b)( a+ b) a( a+ b) + ( a+ b) = a b a ab+ a + ab+ b = a Ei ole vastaluku, jos a. On, jos a =. Vastaus: Ei ole, jos a. On, jos a =.

12 6. Luku n Lukua n edeltävä kokonaisluku n Lukua n seuraava kokonaisluku n + Lukujen tulo ( n )( n+ ) = n + n n = n 7. ( a+ b) ( a b) = a + ab+ b ( a ab+ b ) = a + ab+ b a + ab b = ab a =, b= = = = Vastaus: ab = = 6 = Neliöjuuren määritelmän perusteella ( ) = ( ) + ( ) = = 6 o o = = 8 > Koska kohdat o ja o toteutuvat, niin neliöjuuren määritelmän perusteella tehtävän väite on tosi. 9. Käänteislukujen tulo on yksi. ( )( + + ) = ( + ) ( + ) = = + + = ( ) ( ). a) ( + ) ( + ) = 6 b) ( 7) ( + 7) = 7+ 7 ( ) = = 8 c) ( )( + ) + ( + ) ( ) = ( ) + ( + + )( ) = 9 + ( )( ) = Vastaus: a) 6 b) 8 c) + 8

13 . Polynomien tekijöihin jako. a) 5 = 5 7 b) 7 = 6 = 9 = = c) = 5 = 5 = 5 = 5 5 = 5 d) 68 = 7 = 9 9 = 9 = 9 e) 8 5 = 8 5 = = = = 5 7 Vastaus: a) 5 7 b) c) 5 d) 9 e) 5 7. a) 5a+ = 5( a+ ) b) a a = a( a ) c) a a = a (a ) d) ab ab = 7 ab(a b) Vastaus: a) 5( a + ) b) aa ( ) c) a (a ) d) 7 ab(a b). a) a b) a + a+ = ( a+) + 8a+ 6 = ( a+) c) a a+ = (a ) d) a e) a 9 = ( a 7)( a+7) 5 = ( a 5)( a+ 5) f) a + 6 on jaoton, joten se on jo alkutekijöissään. Vastaus: a) ( a +) b) ( a + ) c) (a ) d) ( a 7)( a+ 7) e) ( a 5 )( a+ 5) f) a + 6. a) a a = a( a ) = a( a )( a+ ) b) a b = ( a b )( a + b ) = ( a b)( a+ b)( a + b ) c) a a + a = a( a a+ ) = a( a ) d) a = ( a )( a + ) = ( a )( a+ )( a + ) e) ( ) ( ) a a a a a a a a a a = ( )( ) = ( )( )( + ) = ( ) ( + ) Vastaus: a) aa ( )( a+ ) b) ( a b) ( a+ b)( a + b ) c) aa ( ) d) ( a )( a+ )(a + ) e) ( a ) ( a+ )

14 5. a) 7 y y 7 = y b) y = yz c) = y z y y y 5 y 7 = y = 7 z y z y 5 = 5 Vastaus: a) 7 y b) c) yz yz a) = + = b) ( + 7 ) :7= = + = c) = + = + = d) = = ( ) + e) = = = ( + ) + = = = = f) ( )( ) ( ) 5 Vastaus: a) + b) 7 + c) d) 6 e) f) ( + ) 5( + ) a) = ( + ) ( + ) 6 b) ( = ) = 5( + ) =

15 + 5 ( 5) c) = 5 5 d) + ( ) = ( ) = 5 = ( ) = Vastaus: a) 5( + ) b) c) 5 d) 8. + ( ) a) = ( ) b) = ( ) = 6 (6 )(6 + ) (6 ) ( + 6) = = ( + 6) ( + 6) (+ ) (+ ) c) = = 9 ( )(+ ) ( ) (+ ) Vastaus: a) b) a) = + ( ) ( + ) + c) + = 6+ ( 8+ 6) ( ) b) = = 6 ( ) ( ) c) = = ( + 9) ( ) ( ) ( ) = = = = 9 ( )(+ ) ( ) ( + ) ( + ) + ( ) Vastaus: a) b) ( ) c) ( ) +. a) ± + 8 ± 8 5

16 6+ 8 Tulos = b) ± + 5 ± ± Tulos + + = c) ± + 5 ± 6 6 ± Tulos = + + Vastaus: a) b) c) + +. a) ± 9 + ± 6 ± 6 6

17 5 6 Tulos = + + b) ± 6 ± ± 6 ± Tulos = c) ± ± 6 6 Tulos = + + Vastaus: a) + + b) c) k Suoritetaan jakolasku jakokulmassa k + k ± k + Jako menee tasan, kun jakojäännös k + on nolla ± + 7

18 k + = k = Vastaus: k =. ( )( + ) ( ) = ( )( + ) = ( ) Vastaus: ( ). a) ± 5 ± Tulos + = b) 5 ± Tulos = + ± + ± ± Vastaus: a) + + b) 8

19 5. a) ( 9) = + 6 b) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) = = = ( ) ( ) ( + ) = = + + ( + ) + Vastaus: a) b) + 6. a + ab 8a b a( a ab+ b ) ( a b) a) = = ab a ab ( a) ( a b) b) aa ( b) + bb ( a) ( a b) ( a b) = aa ( + b) bb ( + a) ( a+ b) ( a b) Vastaus: a) b a b) a b a + b a b = a + b a a = ( a b) = b a 7. Polynomi P ( ) = ( ) ( )( + ) + ( + ) = (6 ) = = Polynomin arvo Polynomi P ( ) = ( ) + = ( + ) ( ) Q ( ) = = = = ( )( + ) ( ) ( + ) + Polynomin arvo ( ) 8 Q( ) = = 9 :( ) = = + Vastaus: P ( ) = + ja P( ) = 8 sekä Q ( ) = ja ( ) + Q = 9

20 ± + 6 ± ± Jakolaskun tulos Osamäärä tulona = Q ( ) = = ( 6+ 9) = ( ) Vastaus: Q ( ) = ( ) Kysytty polynomi saadaan jakolaskulla ± ± Jakolaskun tulos + = Vastaus: Binomi on kerrottava polynomilla Ensimmäinen pariton kokonaisluku n +, n Toinen pariton kokonaisluku m +, m Parittomien kokonaislukujen summa (n + ) + (m + ) = n + m + = (n + m + ) = k, k Koska kahden parittoman kokonaisluvun summa on muotoa k, niin se on parillinen.

21 ( + ) [( + ) ] : = = +, Vastaus:, = +, =, = ( ) ( ) = 9 89 = = ( ) ( ) = 9 5 = = ( ) ( ) = = 987 Vastaus: Kaikki ovat neliöitä. 5. a) a) b) b a + b a + a = a = a b + a b + b b a + b b a a b + b = a b) y = + t t t t = + t+ t t t + t t t t = + + t + t t t = + + t + t t t m.o.t. = = Vastaus: a) b a

22 5. Suoritetaan vähennyslasku. a + b ab = a ab+ b b + b = ( a b) + b > Koska a + b ab>, niin a + b > ab. Vastaus: Luku a + b on suurempi kuin luku ab. 55. a) 7ab + 9a = 9a ( b + ) > ( ) b) 9a 8b = 9 a 9b = 9( a b)( a+ b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vastaus: a) 9a(b + ) b) 9( a b)( a+ b) c) a( a b) ( a+ ) a a b a b a = a a b + a a b = a a b ( a+ ) >. Ensimmäisen asteen yhtälö 56. a) 5+ = 5+ = b) 7 = :7 = + + :( ) c) ( + ) Vastaus: a) b) c) = :

23 57. a), (,, ) =,(,),, +,,,8 b) [ ] [ ], =, :,,, (+ ) =,+ (, 5, 7), =,+, +,+,, =, =,7 identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua.,68,, +, =,,,5+, +, c),[,( ) ] = [,,5(,6) +,] [ ] [ ],6, =,, +,5 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: a), b) Ei ratkaisua c) Ei ratkaisua 58. a) = = 6= 6 =,9 identtisesti epätosi b) c) + = 6 6 6( ) = 6 6+ = ( ) 6+ + =

24 ( ) ( + ) = = + ( ) ( ) + = + ( ) = 6 : d) + = 6 6 6( + ) 8 = 6 + = 9 ( ) = : Vastaus: a) 6 b) c) d) 59. a) ( 7) ( 7) ( 6)( ) b) c) Vastaus: a) b) c) 8 = = 8 8 = : = = 6+ 9 = 87 : = 6 6( ) 6( 8) 6 = 6 + = 9 7 = 56.( 7) 8

25 6. a) ( z+ ) = ( z )( z+ ) 8 : ( z+ ) = 9( z ) 9z 6z 9z = 6z = 5 z = b) + = = = : 7 :6 c) + = ( + ) = 9 + = 9 ( ) = 9 = : 5 5 Vastaus: a) b) 7 c) 5 6. a) 6+ 6 = (6+ ) (6 ) = = = 7 : ( ) 7 5

26 b) c) 7 Vastaus: a) b) 5 c) 6 6. a) =, + 7 8= = + 8 = :8 5 ( ) + ( )( + ) = 5( ) = ) b) = 6 + = 66 : ( ) 6 ( ) ( ) :( ) c) + = + ( ) :( ) + ) + ) + = = = Vastaus: a) b) c) 6

27 6. Ratkaisu toteuttaa yhtälön. k k = k k = ( k) = 6 ( k) Vastaus: k = k = k k = 8 :( ) k = 9 6. Määritä vakio k siten, että yhtälöllä ( k) ( + k) = ( k) on ratkaisuna. Ratkaisu: Ratkaisu toteuttaa yhtälön. ( k) ( + k) = ( k) Vastaus: k = 8 ( k) ( + k) = ( k) + (+ + ) = a) a+ a+ 6 a 6 a Jos a =, niin k k k k k k = 6 :( ) k = 8 ( a ) = ( a) : ( a), a ( a ) = ( a) a= ( ) ( ) Ratkaisuna, kun a =. b) a = a + + Jos a =, niin = identtisesti tosi ( a+ ) 5 :( a+ ), a 5 a + 7

28 ( + ) 5 a = = 5 identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a =. Vastaus: a), kun a ;, kun a = 5 b), kun a a + ; Ei ratkaisua, kun a = 66. Jos a =, niin a a = a a + a + a + ( a+ ) ( a+ ) :( a+ ), a a+ ( a+ ) ( a+ ) a = ( + ) ( + ) Ratkaisuna, kun a =. = identtisesti tosi Vastaus: a +, kun a ;, kun a = 67. Luku. Saadaan yhtälö + = + = Vastaus: Luku on Luku Saadaan yhtälö = 7 : + = 5 + = Vastaus: Luku on. : 8

29 69. Ensimmäinen luku Toinen luku on + 5 Saadaan yhtälö = 5 ( ) = 5 Ensimmäinen luku 5 Toinen luku on + 5 = = Vastaus: Luvut ovat 5 ja. : 5 ja toinen luku on. 7. Poikasten määrä Saadaan yhtälö + + = = = :( ) 5 Vastaus: Yhtälö on + + =. Ventti sai 5 poikasta Oppilasmäärä Saadaan yhtälö = = 8 = 8 : 8 Vastaus: Pythoraalla oli 8 oppilasta. 7. Diofantoksen ikä Saadaan yhtälö =

30 = 756 Vastaus: Diofantos eli 8-vuotiaaksi. 7. Luokan oppilasmäärä Poikia 6 % Tyttöjä % ( tyttöä) Saadaan yhtälö, = :, Vastaus: Luokassa on oppilasta. 7. Taulukoidaan tiedot. kulma. kulma. kulma,5 kolmion kulmien summa on 8 o., 5+ + = 8 Kolmion kulmat o,5,5 o = 6 o o = 8 o 9 = 756 8,5 = 8 :,5 Vastaus: Kulmat ovat, 6 ja Tyttöjen määrä Poikien määrä,85 Saadaan yhtälö +,85 = 7, 85 = 7 :,85 Vastaus: Luokassa on tyttöä. 76. Tietokoneen alkuperäinen hinta ( ) Alennus 8 % Alennettu hinta,8,8 = 5 :,8 65 Vastaus: Tietokoneen alkuperäinen hinta oli 65.

31 77. a) s = vt : t s v = t b) p b = a b = pa : a b p = a c) kpt r = r = kpt :( kp) d) r t = kp m n = M M nm = m : n m M = n e) pv = nrt :( nt ) pv R = nt s b Vastaus: a) v = b) p = t a r c) t = d) M kp m = e) n pv R = nt 78. a) ( ) + b) ( ) + = + = ( )( ) = + + = = 9 :( )

32 c) ( ) ( ) + = ( ) + + = = = 88 : d) ( ) ( )( + ) = ( ) ( )( ) ( )( + ) = ( ) ( ) + = = 6 + = 6 = identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. e) + = ( + )( ) 6 + = + = identtisesti tosi Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön. Ratkaisuna. Vastaus: a) b) c) d) Ei ole ratkaisua. e) 79. Ratkaistaan yhtälö ) ) + = 6 6 ( ) ( + ) = = = 9 : Sijoitetaan ratkaisu yhtälöön ( + ) + ( ) = ( + 6). Vastaus: Kyllä toteuttaa. ( ) ( ) ( 6) + + = + ( ) ( ) ( 6) + + = = 5 5 = 5 tosi

33 8. a) 5 = + 5 b) Vastaus: a) + 5 b) 8. Jos a =, niin 5 = 5+ ( 5 ) 5+ :( 5 ) 5+ ) 5+ ) = = = ( + ) = ( 5) ( + ) = ( 5) + + = = ( 5+ ) = : ( 5+ ) 5 5 ) aa ( ) = ( + ) a a = + 9 a 9 a 5 ) 5 5 = = ( 5+ ) [ ] a ( + ) = ( a)( + a) : ( a+ ), a ( a) ( + a) ( +a) a ( + ) = ( ( ))( ) = identtisesti tosi Vastaus: Yhtälön ratkaisuksi käy mikä tahansa reaaliluku, kun a =.

34 8. Taulukoidaan tiedot. Vene A Vene B Vene C,8 = Veneen B hinta on 5 % suurempi kuin veneen C hinta.,5 = :,5 88 Veneiden B ja C hintaero 88 = Vastaus: Vene B on kalliimpi kuin vene C. 8. Sienien massa kg Siitä vettä,9 kg =,9 kg Muita aineita kg,9 kg =, kg Kuivauksessa muiden aineiden massa säilyy. Uusi vesipitoisuus % =, = Haihtuva vesimäärä (kg) Veden massa Vesipitoisuus = Koko liuoksen massa,9 = 9 9 = 8 : Sienien massa pienenee kg = 888 g Prosentteina kg : kg = % Vastaus: Sienien massa pienenee 888 grammaa, joka on 89 % alkuperäisestä massasta Lisättävä liuoksen määrä (l) Liuos (l) Suola -% liuos, =, -% liuos, Yhteensä +, +,

35 6 Uuden liuoksen pitoisuus 6 % = Liuenneen aineen määrä Pitoisuus = Koko liuoksen määrä 6,+, = = + = 8 Vastaus: Lisättävä litraa -prosenttista liuosta. 85. : Celsius ja fahrenheitasteiden välinen yhteys Lämpötila fahrenheitasteina f (F) Lämpötila celsiusasteina on 8, o C 5 8, = ( 9 f ) 5 7 8, = f c = ( f ) f = 55, : 9 9 f =, 76 f Lämpötila ( o C), jossa celsiusmittari ja fahrenheitmittari osoittavat samaa lukemaa 5 c = ( f ) f = c c = c c = 7 : c = Vastaus: Kuume fahrenheitasteina on o F. Molemmat mittarit osoittavat samaa lämpötilaa celsiusasteessa. 5

36 86. Ratkaistaan yhtälö + = = : Lasketaan lausekkeen 6+5 arvo 6 + 5= + + 5= Vastaus: Lausekkeen arvo on Kun a a + b = a b : a b a Kun a = ja b Ei ratkaisua + b= b = Kun a = ja b = + = = Toteutuu kaikille reaaliluvuilla b =, kun a a Vastaus: Ei ratkaisua, kun a = ja b Kaikki reaaliluvut, kun a = ja b = 6

37 88. Lopullinen matkustajamäärä Lopullinen hinta (mk) Alkuperäinen matkustajamäärä Alkuperäinen hinta + Matkan kokonaishinta säilyi muuttumattomana. = ( + ) = + = Vastaus: a) Matkan lopullinen hinta oli mk. : 89. Peräkkäiset luonnolliset luvut ja + Neliöiden erotus ( + ) + + = : 5 Vastaus: Luvut ovat 5 ja Taulukoidaan tiedot. Erik Johan Olof + Yhteensä poimittiin 6 litraa = 6 Johan poimi 9 l = 98 l. ( ) = 96 : 9 Vastaus: a) Johan poimi mustikoita 98 litraa. TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ 9. a) 8 = = 8 ± ± 9 8 7

38 b) 5 = 9 = 5 9 ± c) + ei ratkaisua 5 d) 9 = :9 e) ( 7) = 5 7 =± 5 7 = 5 tai 7 = 5 = = 8 Vastaus: a) ±9 b) 9. a),, 6 :, = 6 ± ± 6 b) +, 5 = 6, 5 ei ratkaisua c),5 = d) =, 5 ±, 5 ±,5 9 9 = 5 ± c) ei ratkaisua d) e) tai Vastaus: a) ±6 b) ei ratkaisua c) ±,5 d) 8

39 9. a) ( + )( ) = + = tai = tai b) (+ )( ) = + = tai = tai tai c) ( + 5) = + 5 = tai = 5 tai = tai 9 8 tai 7 7 d) ( ) Vastaus: a) tai b) tai c) 5 tai d) tai a) + = ( + ) = tai + = tai b) = ( ) = tai c) = ( ) 7 = tai 7 = 9

40 tai 7 d) 5 5 = ( ) 5 = 5 tai tai Vastaus: a) tai b) tai c) tai 7 d) tai 95. a) = ( ) = = tai = tai b) + = + = ( ) c) t t = t ( t ) = d) = tai = tai t = tai t = t = tai t = s + s = s s+ = s = tai s+ = s = tai s = Vastaus: a) tai b) tai c) t = tai t = d) s = tai s =

41 96. a) ( k + )(k ) = k+ = tai k = k = tai k = k = tai k = 8 b) ( m )( m+ ) = m = tai m+ = m = tai m= m =± tai m= c) ( h+ )( h ) = h + h 6 h h h h h d) + 6= + 6 ( d ) = 8 : ( d ) = 9 d =± 9 d =± = identtisesti tosi eli yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla d = tai d = d = 6 tai d = Vastaus: a) k = tai k = 8 b) m = ± tai m= c) h d) d = 6 tai d = 97. a) 5 = ± ( ) ( 5) ( 5) 5± = = 5+ 9 = = 7

42 b) 7 = ( ) ± 7± = = 7+ 9 = = c) = ( 7) ( 7) ( ) ± ± 96 9 = = = = 5 Vastaus: a), 7 b), c) 6, a) + = ( ) ± ± ± = = = = + = = b) 9 + = ( ) ( ) ± ± ± = = = = + = =

43 c) 5+ = ( ) ( ) 5 ± 5 5± 9 5± = = = = 8 5+ = = 8 d) 6 = ( ) ( ) ( ) ± 6 ± 5 ± 5 = = 6 5 = = + 5 = = Vastaus: a) tai b) tai c) tai d) tai 99. a) = ( ) ( ) ( ) ± ± = ± 6 ± 6 ± = = = = ± = ± + b) + 6 = = 6± 6 9 6± 6 = = = c) + 5= + + 5= ± 5 ± = ei ratkaisua

44 d) = ± 8 ± = ei ratkaisua Vastaus: a) ± b) c) ei ratkaisua d) ei ratkaisua. a) + = + + = ( ) ( ) 8 9 ± ± ± = = 9 = = + 9 = = b) + = 7 + 7= ( ) ± ± ± = = 8 8 = = 8 + = = 8 c) ( ) = lasketaan kätevimmin neliöjuuren avulla d) = ± = ± ± = + = ( ) = : ( ) = otetaan neliöjuuri

45 = ± = ± = ± : ± = = = + = Vastaus: a) tai b) c) tai d) tai. a) + = + = b) ( ) ± ( ) ± = 8 + 8= c) + = tai ( ) ( ) ± 8 ± 6 ( ) ± ( ) ± 5 ei ratkaisua Vastaus: a), b), c) ei ratkaisua 5

46 . a),, 8 =, ±,,, = =,, +, = =,7 b),,5 =,,5 = (,) (,) (,8) ±,5 ± 56, 5,6,5 7,5 = = 5,6,5 + 7,5 = =,6 c), = 9,9, 5 9,9 8 + = (,5) (,5), ( ) ±, ( 9,9) 9,9 (,5) 8 ± (,5) 9,9 ±,,5 9, 9, = =,,5 9, 9 +, = = 8,5 Vastaus: a), tai,7 b) 5 tai c) 8 tai, 6

47 . a) = 5 5 = b) + = ± ( ) ( ) ( 5 ) ± = = 5 + = = + 5 ( ) ( ) ( ) ± = () 5 ± = = = = 7

48 c) + = = ± ( ) ( ) ( ) ± 9 = = + = = Vastaus: a) ± 5 b) tai c) tai. a) + = ± () ( ) ( ) ( ) ± b) = ± ( ) 6 5 ± 5 8

49 c) + + = ( ) ± ( ) ± 6 6 = = = = = Vastaus: a) b) + = = = = 5 c) tai 5. a) ( ) = ( ) + ( )( ) ( )( ) = + ( ) + = b) + = = 6 ( ) ( ) ( ) ± 6 ± 9 ± 7 = = 6 7 = = + 7 = = ( + ) = 5 + ( )( ) + + = = = ( ) = tai = tai 9

50 c) (+ ) + ( + )( ) = ( )( ) ( ) = = 5 + = (5+ ) = tai 5+ = 5 = :5 5 Vastaus: a) tai b) tai c) tai 5 6. a) = 6 6 ( ) ( ) + 5 = 5+ b) + + = = 8 5 ± ( 8) ( 8) 5 8 ± 6 8 = = = = 5 6 ( + )( ) ( ) + = ( )( ) ( ) = = = ( ) ( ) 5 ± ± 6 5

51 c) = = 8 = = = = 6 ( ) ( ) ± ( ) = = + = = Vastaus: a) tai 5 b) tai 5 c) tai 7. a) ( )( + ) = ( 5) = + ( ) ( ) ± () ± = = + = = b) ( )(+ ) ( + ) = ( ) = identtisesti epätosi ei ratkaisua Vastaus: a) tai b) Ei ratkaisua 5

52 8. a) 9+ = D = ( 9) = > Yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. b) + = D = = < Yhtälöllä ei ole reaalijuuria. c) + + 8= D = 8 = Yhtälöllä on yksi reaalijuuri. Vastaus: Yhtälöllä on reaalijuuria a), b), c) 9. a) 7 6= ( ) ( ) ( ) D = 7 6 = 6 7 = 8,... < joten ei reaalijuuria b),85 +, + 5 = D =,,85 5 = joten yksi reaalijuuri c) 8 + = 6 D 8 = ( ) = < joten ei reaalijuuria 6 Vastaus: a) b) c). Keksitään sellaiset luvut, että diskriminantti toteuttaa annetun ehdon. a) D > b ac > 5 >, joten b= 5, a = ja c = a + b + c = + 5+ = 5

53 b) D < b a c< < a + b + c = a =, b =, c = + + = c) D = 5 b a c = 5 5,5=5 a + b + c = a =, b = 5, c =,5 + 5+,5= d) D = b a c =,5 = a, + b + c = a =,5, b =, c = = Vastaus: Esimerkiksi yhtälöt a), = + 5+ =, b). Yhtälöllä + + a = on yksi reaalijuuri, kun D = Vastaus: a = a = a = :( ) a = + + =, c) + 5+,5=, d). Koska juuri on, yhtälö toteutuu, kun. Sijoituksella saadaan a + = ( ) a = Vastaus: 6a = 8 a = a = 5

54 . a) 6 = ± 5 = = ei, + 5 = = b) + = c) ( ) ( ) ( 6) ± = = + = = ( ) ( ) ( ) =,5 66,5 + =,5,5 66,5±,5,5 ( 66),5,5,5 = = ei,,5 +,5 = = Vastaus: a) b) tai c). a) 8 + = ± 8 ( ) 8 = = kuuluu välille ] 5, ] 6 + = = kuuluu välille ] 5, ] 6 5

55 b) 8 + = 9 + = 8 c) 8 = ± 8 ( ) 8 = = kuuluu välille ] 5, ] 6 + = = ei kuulu välille ] 5, ] 6 8 :8 = = ± = = = =, kuuluu välille ] 5, ] = = = =,77... ei kuulu välille ] 5, ] Vastaus: a) tai b) c) 5. Koska yhtälöllä on kaksoisjuuri, on D = ( ) D = 5 ac = 5 ac ac = : a ratkaistaan c c = a 5 c = sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön a 55

56 5 a 5 + c = c = a 5 a 5 + = a Vastaus: 6. 5 a ( ) ( ) 5 5 ± 5 a a a 5± 5 5 a 5 a 5 a k+ k = k ± k k ( ) ( ) ( ) k k k k ± k ± + = k+ Juurten erotus = k (k + ) = tai = k + (k ) = Vastaus: tai 56

57 7. Yhtälön vasen puoli saadaan, kun sijoitetaan polynomiin muuttujan paikalle. ( ) + + = 8 Vastaus: = 6 ( ) ( ) ( ) ± 6 6 ± 5 tai = = 8. Yhtälön vasemmalla puolella sijoitetaan polynomiin muuttujan paikalle + ja oikealle puolelle : ( + ) + = ( ) + ( )( ) ( )( ) = = + 6 Vastaus: + + = 6± 6 6± = 6 9. Jos k, yhtälö on toista astetta. Toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri, jos D = D = ( ) kk = k k = k = k = tai k = Jos k =, yhtälö k + k =on. astetta, jolla on ratkaisu + = = Vastaus: k = ± tai k= 57

58 . k k k + = k k k + = k k = Vastaus: tai. 9 k(k ) = ( a)( b) = b a+ ab= + ( a b) + ab = k = tai k = k = k = ( ) ( ) ( ) D = a b ab = a + ab + b ab + = a ab + b + = a b + > Joten yhtälöllä on kaksi eri suurta juurta.. 6 a 7b+ ab+ b = ( ) + a b + ab+ b = 6 7 Vastaus: b a+ b tai ( a 7b) ( a 7b) 6 ( ab b ) ± + 6 a+ 7b± a + 8ab+ 9b ab 8b a+ 7b± a + ab+ b a+ 7 b± ( a+ b) a+ 7b± a+ b a+ b> a+ 7 b± ( a+ b) a+ 7b a b b = = a = b + a + b a + b a + = = b 58

59 . ( ) = + = ± ( ) ( ) ( ) ± 5 =,. Vastaus:. = Vastaus: tai. ( ) ( ± ) ± =, 6 Ei käy 5 =, ( +,5)(,5) + = 6 5 5,5 + = = + = Vastaus: tai ( ) ( ) ± ± = = + = = 59

60 6. 5 7,5+ c = ( 7,5) ( 7,5) 5 ± 5 7,5 ± 56, 5 c 7,5 56, 5 c = 7,5 + 56, 5 c = Juurten neliöiden erotus c 7,5 + 56, 5 c 7,5 56, 5 c =,5 56, ,5 c + (56,5 c) 56,5 5 56,5 c + (56,5 c) =,5 Vastaus:,8 56, 5 c =,5 56, 5 c = 5 : 56, 5 c = 56, 5 c = c = 56 c =,8 ( ) 7. a a = ( ) ( ) ± + a a ± + a a ( a) ± a a + + a + a = ja = ( a ). Jos a a a >, niin > ja <, jolloin pienempi juurista on. a <, < ja > joten on pienempi. Jos 6

61 + a + + a Vastaus:, a > ;, a <. a a 8. Yhtälön juuri toteuttaa yhtälön a + ( a) =, joten sijoitetaan se yhtälöön ja ratkaistaan a. a a + ( a) = ( ) + ( a) ( ) = a + a = a = : a = Sijoitetaan a:n arvo alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a + ( a) = a = + = = ( ) ± ( ) Vastaus: a on. Toinen juuri on. 9. Jos a =, yhtälö on toista astetta. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen on kirjassa. Ratkaisukaavalla voi ratkaista kaikki muut tapaukset paitsi, jos a =. Tapaus a = ja b a b c a + + = = b + c = b c : b, b c b Tapaus a = ja b = a + b + c = a =, b = c = Jos c =, on yhtälö identtisesti tosi ja R Jos c, on yhtälö identtisesti epätosi eikä sillä ole ratkaisuja 6

62 . a) 5 = ( ) 5 = tai 5 = = 5 5 b) = ( )( + ) = + = = = = ± ± Vastaus: a) tai 5 b) ±. a) ( + )( + ) + ( ) = ( + ) ( )( ) ( )( ) = = = ( ) = tai = = 6

63 b) + + = 6 ( ) 6( + ) = 6 ( ) ( ) + + = = 5 + = ( ) ± 5 ± 9 7 = = = + 7 = = = Vastaus: a) tai b) tai. a) b) ( + ) + ( + ) = = 5 + (+ 5) = 5 tai ( + ) = ( ) ( + )( + ) = ( )( ) = = + 6 ( ) = tai 5 Vastaus: a) tai b) tai 6

64 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖN SOVELLUKSIA. Ensimmäinen luku Koska summa on 6, toinen luku on 6 Lukujen tulo on 8, saadaan yhtälö (6 ) = = Jos, niin 6 6 = Jos, niin 6 6 = Vastaus: Luvut ovat ja.. Luku = = 9 Vastaus: Luku on tai 9. ± () 6 6 ( ) ( 8) 6 ± 6+ = = 6 = = ± ( 9) ± 9 5. Luku = ( ) tai Vastaus: Luvun tai 6

65 6. Luvut ovat esimerkiksi ja +. ( + ) = = ( 65) ± ± 5 = = 6 (ei ole luonnollinen luku) 5 Vastaus: Luvut ovat 5 ja Luku a a 8= a = 8 : a = a =± a > a = Vastaus: a = tai a = 8. Merkitään leveyttä :llä ja pituutta y:llä. + y = y = y = 7 Ala (7 ) = 6 + = 7 6 : 7 ± 7 ( ) ( 6) () 7 ± 7 5 = Vastaavat pituudet ovat: y = 7 5 = y = 7 = 5 Vastaus: Mitat ovat 5 m ja m. 65

66 9. Kateetti (m), > Toinen kateetti + (m) Kolmion ala A = m ( + ) = + = 8 + 8= + ( 8) ± ± + = = 6 = = 8 <, ei käy > Toinen kateetti + = 6 m + m = 8 m Vastaus: Kateetit ovat 6, m ja 8, m.. Kolmio on suorakulmainen, jos sen sivut noudattavat Pythagoraan lausetta. Sivut positiiviset, joten 5 > eli > 5 Pythagoraan lause (5 ) = ( ) + ( ) = = ( 6) ( 6) 5 ± 5 6 ± 6 = = ei, > = = Joten Suorakulmaisen kolmion korkeus on kateettien tulo jaettuna kahdella. Kateetit = ja = = 5 5 Ala 5 = Vastaus: m ja m 66

67 . luku luvun neliö Saadaan yhtälö = ( 6) = Vastaus: Luku on tai 6 tai 6. kokonaisluku n pariton kokonaisluku n parittomat kokonaisluvut ovat kahden välein perättäiset parittomat kokonaisluvut ovat n, n + ja n + Saadaan yhtälö (n ) + (n+ ) + (n+ ) = 5 ( n )( n ) ( n )( n ) ( n )( n ) = n n+ + n + n+ + n + n+ = n =, luvut ovat n = = 7 n + = + = 9 n + = + = n = 5, luvut ovat n = (5) = n + = (5) + = 9 : n + n = n + n = n + = (5) + = 7 Vastaus: Luvut ovat 7, 9 ja tai, 9 ja ( ) ± n = ± 9 n = + 9 n = = 9 n = = 5

68 . kokonaisluku n peräkkäiset kokonaisluvut ovat n, n +, n +, n + ja n + Saadaan yhtälö n + ( n+ ) + ( n+ ) = ( n+ ) + ( n+ ) n =, luvut ovat,,, ja n =, luvut ovat,,, ja = n n n n n n n n n n 8n = ( 8) ( 8) ( ) ± n = 8± n = 8 n = = 8+ n = = Vastaus: Luvut ovat,,, ja tai,,, ja. 5 cm 5 cm Kuvan leveys 5 (cm) Kuvan korkeus 5 (cm) Mitat ovat positiivisia, joten 5 > eli < Kuvan pinta-ala on 8 % arkin pinta-alasta, joten (5 )(5 ) =, =

69 ( 9) ( 9) 8 7 ± 8 9 ± = = = = 6 Kuvan leveys, kun = Kuvan leveys, kun 5 ei käy, < 5 5 = tällöin korkeus 5 5 = 9 Vastaus: Kuvan mitat ovat 9 cm cm. 5. Tummennetun alueen ala on a = m Poisleikatun neliön ala (m ) Koko alueen sivu + (m) Koko alueen ala ( ) + (m ) m ( + ) ( ) ( ) + + = = 8 :8 m Pois leikattu ala A = = ( m) m = a Vastaus: Pois leikattu ala on m. 69

70 6. Suorakulmion sivut ja y (cm) Piiri 68 cm, joten + y = 68 y = 68 : y = Sivut ja y eivät voi olla negatiivisia, joten > ja y = > Saadaan < < 6 cm y Pythagoraan lauseella + y = 6 + ( ) = = = ( ) ( ) ± ± + = = = = Jos, niin toinen sivu y = = Jos, niin toinen sivu y = = Vastaus: Sivut cm ja cm. 7. Ensimmäisen neliön sivu Toisen neliön sivu y = Kokonaispinta-ala, joten + ( ) = + = + + = 9 9 = 9 7

71 ± ± = = = = =, ei > Toisen neliön sivu y = = = Vastaus: Neliöiden sivut ovat ja. 8. Suorakulmion kaksinkertaistettu sivu (cm) Suorakulmion toinen sivu y (cm) Piiri cm, joten y+ + y+ y+ = y = : y = Ala A = cm y = =,5 + = ( ) ( ) ( ) ±,5, 5 ( ) y 7

72 ± Toinen sivu y =,5 = 6 Vastaus: Kehikon sivut ovat cm ja 6 cm. 9. Kehyksen leveys Kokonaispinta-ala kehyksineen (5 + )( + ) Saadaan yhtälö = 5 ( )( ) Vastaus: 7,5 cm + = 5 5 ( 5) ± 5 ± 8 5 = < ei käy = = 7, Tontin sivujen pituudet ja 7 Tontin ala 7 6 ( ) + = 7 6 ± 7 7 ( ) ( 6) ( ) 7 ± 7 = = 7 + = = Kun, ovat sivut m ja 7 m = m Kun, ovat sivut m ja 7 m = m Vastaus: Tontin mitat ovat m m. 7

73 5. Luku Saadaan yhtälö = 5 = 5 = 5 5= 9 6= ± 9± = = = = 8 Vastaus: 9 tai 8 ( 9) ( 9) ( 6) 5. Tontin hinta = ala neliöhinta Saadaan yhtälö ( )( ) ( ) = = = ( ) ± ( ) ( 5 55) ± = <, ei käy = = 5 6 Suorakulmion sivut + = 5 + = 5 ja 5 = 5 5 = Neliön sivu + 5 = = Vastaus: Suorakulmion sivut 5 m ja m, neliön sivu m. 7

74 5. pidempi osa ja lyhyempi osa on 7. 7 = ( ) = ± ( ) ± <, ei käy 5 Pidempi mitta 5 cm ja lyhyempi mitta 7 cm 5 cm = 65 cm. Vastaus: Pidempi mitta 5 cm ja lyhyempi mitta 65 cm 5. Luku = + + = ( ) ( ) ± ± + = = + = = Vastaus: + tai 7

75 55. Luku + 5 = + = = ( ) ( ) ± 5 5 ± 7 7 = = + 7 = = Vastaus: tai 56. Myyntitulo = myynti hinta Alkuperäinen hinta a Hinta laskee p %, joten hinta tulee % p % = (,p) - kertaiseksi Hinta hinnan laskun jälkeen (,p)a Alkuperäinen myynti b Myynti nousee p %, joten myynti tulee % + p % = ( +,p) - kertaiseksi Myynti hinnan laskun jälkeen ( +,p)b Alkuperäinen myyntitulo ab Myyntitulo laskee %, myyntitulo tulee % % = 99 % =,99 - kertaiseksi Myyntitulo hinnan laskun jälkeen,99ab Vastaus: p on, 99 ab = ( +, p) a (, p) b : ab ( p)( p),99 = +,,,99 =,p+,p,p,99 =,p, p =, 99, p =, :, p = p =± p > p = 75

76 57. Normaalikeskinopeus v matka aika = nopeus Yksikkömuunnos min = 6 h + = v v 5 Vastaus: 75 km/h 5 5 = v+ 5 v v = v+ 5 6v 9 v = v+ 5 9 v ( )( ) v = v v + v ± v = ± v = v = < ei, v > + v = = 75 ( 5 ) 58. Albinismin perimän eli tyypin aa suhteellinen osuus tyypin AA suhteellinen osuus p Albinismigeeni peittyneenä eli tyypin Aa suhteellinen osuus pq Sijoitetaan sääntöön q:n arvo ja ratkaistaan p Sääntö q = q =± q > q = p + pq+ q = q q =, q = 76

77 p + p+ = p + p, = ±, p = ± p = ( ) + p = = +, p =, 7 ei p > Albinismin geeni peittyneenä pq = +,=,% Vastaus: Albinismigeeni on peittyneenä, % ihmisistä. 59. Etäisyys seitsemän kaiuttimen ryhmästä = ja etäisyys toisesta ryhmästä on. 7k 5k = : k ( ) 7 5 = ( ) ( ) ( )( ) 5 7 = = ( ) ( ) ( ) ± ± 58 ei ole kaiutinryhmien välissä Vastaus: Kysytty kohta löytyy m seitsemän kaiuttimen ryhmästä kaiuttimien väliltä. 77

78 6. Pallon säde r Pallon pinta-ala π r ( π) π = 78, 5 : r r 78, 5 =, r > π 78, 5 r = π r, 769 Vastaus:,769 dm 6. Pääoma vuoden alussa a Vuotuinen korkoprosentti p % =,p, kun korko lisätään pääomaan vuosittain. Korkotuotto vuodessa r =,pa Vuotuinen korkoprosentti % =,, kun korko lisätään pääomaan puolivuosittain. Korkotuotto vuodessa r =, a +, a+, a, 5a, = + Korkotuotto pitää pysyä samana, joten,5a+,a=, pa :,5a p a + = ± 6 ( p) = + + p, sillä merkki ei käy koska korkoprosentti on. Vastaus: Korkokannan pitäisi olla + + p %. 78

79 6. Aukeaman vasemman puoleinen sivu n Aukeaman oikean puoleinen sivu n + n n+ = 8 6 ( ) n + n 8 6 = ( ) ± n = ± 7 n = 7 n = < ei, n > + 7 n = = 6 Vastaus: Aukeaman sivut ovat 6 ja TOISEN ASTEEN POLYNOMIN TEKIJÖIHIN JAKO 6. Yhtälön + 8= + 8= juuret ± ( 8) ± 8 ± 9 9 = = = = Polynomin tekijät a + b + c = a a =, 6, ( )( ) ( )( ) ( )( ) + 8 = ( 6) =

80 b) Yhtälön 8+ 98= 8+ 98= juuret ( 8) ( 8) 98 ± 8 ± 7 Polynomin tekijät a + b + c = a a =, 7, 7 ( )( ) ( )( ) ( ) 8+ 98= 7 7 = 7 c) Yhtälön = juuret = ± 7 7 ± 9 Ei juuria, joten ei tekijöitä. + 6 ( ) 7) Vastaus: a) ( ) b) ( c) jaoton 6. Yhtälön 7+= juuret 7+ = ± ( 7) ( 7) 7 ± ± 6 7 = = = = 5 6 Polynomin tekijät a + b + c = a ( )( ) a =, =, = 5 7+ = 5 = 5 ( ) ( )( ) 8

81 b) Yhtälön + + = juuret + + = ± ± 6 Polynomin tekijät + + = ( )( ) = = = a b c a a,, + + = + c) Yhtälön,9, +, = juuret,9, +, =, ± 7, 8 7,8 Ei juuria, joten ei tekijöitä. Vastaus: a) ( 5) ( ) b) 65. Jaetaan nimittäjä tekijöihin 6t + 5t+ 9= ±,9 ± t = 6 (, ) (, ),9, ± 9 t = 5 ± t = 5 t = = 5 + t = = + c) jaoton 9 8

82 6t + 5t+ 9= 6 t+ t = t+ t+ Sievennys t+ t+ = = 6t + 5t+ 9 t+ t+ t+ ( )( ) t + Vastaus: = 6t + 5t+ 9 t Jaetaan osoittaja tekijöihin + 9 5= 9± 6 9± = = = = ( ( )) ( )( ) 9± 9 ( 5) + 9 5= 7 = Jaetaan nimittäjä tekijöihin + 5= ( ( )) ( )( ) ± ( ) ( ) 5 ± = = Sievennys ( 5)( + 7) + 7 = = Vastaus: ( )( ) = + 5 ( )( ) 8

83 67. Jaetaan osoittaja tekijöihin + 7+ = 7± 7 ( ) () 7 ± 89 7± = = = = + 7+ = ( ) 6 = Jaetaan nimittäjä tekijöihin 7 66= ± ( 7) ( 7) ( 66) 7± 8 6 7± = = = = 6 6 ( ) ( )( ) 7 66= ( ) 6 = + 6 ( ) ( )( ) Sievennys + 7 ( 5)( 6) 5 = = ( )( ) Vastaus: + 7 =

84 68. + = a + b a b ab 8 8 Juurten summa a + b = = Juurten tulo ab = = 8 a+ b 8 + = = = = a b ab Vastaus: Koska polynomilla on tekijänä + 7, on yhtälön 6 + a 8= juurena on. 7 Sijoitetaan yhtälöön 6 + a 8= a 8= a 8= 7 7 a = 5,5 : a = Vastaus: 7. Koska polynomilla on tekijänä +, on yhtälön Sijoitetaan yhtälöön + a a =. + a a = ( ) a ( ) + a = a a + = ( ) ( ) ( ) ± a = () ± a = a = = + a = = a a + = juurena on. 8

85 a = + a a = + = ± ± = = + = = ( ) Polynomin tekijät + = ( + ) = ( )( + ) a = + a a = = ( ) ± ( ) ( ) ± 6 6 = = + 6 = = = + Polynomin tekijät ( )( ) Vastaus: a =, P ( ) = ( )( + ) tai a =, P ( ) = ( )( + ) 7. Tekijät a( + )(,5) Yhtälö a +,5 = ( )( ) a +, 5a a = Ensimmäisen asteen termin kerroin, 5a = 6 :, 5 a = 85

86 Yhtälö a +, 5a a = a = + = 6 Vastaus: 6+ = 7. a) Yhtälön = juuret = ± Polynomin tekijät a + b+ c = a a =,, ( )( ) ( )( ) = + b) Yhtälön + = juuret + = Ei juuria, joten ei tekijöitä. c) Yhtälön + 7 = 7 + = juuret ( ) 7 ± ± ± = = + = = + Polynomin tekijät a + b + c = a a =,, + ( )( ) ( )( ) ( )( ) + 7 = ( ) ( + = Vastaus: a) ( )( ) + b) ei tekijöitä c) ( + + )( + ) 86

87 7. Rationaalilausekkeen voi supistaa, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä. Osoittajalla on siis oltava yhtenä tekijänä nimittäjä +, joten yhtälöllä + k 8 = pitää yhtenä ratkaisuna olla. Sijoitetaan tämä ratkaisu yhtälöön ja ratkaistaan k. k + 8 = = ( ) + k ( ) 8= k = :( ) k = Sijoitetaan rationaalilausekkeeseen k = + k 8 8 = + + Jaetaan osoittaja tekijöihin ratkaisemalla ensin yhtälö 8 = ± ± 6 6 = = + 6 = = Tekijöihin jako ja sievennys 8 ( + )( ) = = + + Vastaus: k = ja sievennetty lauseke on. ( ) ( ) ( 8) 8 = 7. Jakoyhtälö P ( ) = Q ( ) S ( ) + R ( ) Q ( ) =, S ( ) = 5 + 6, R ( ) = ( ) ( )(5 6) P + + ( ) P( ) = ( ) 5 ( ) + ( ) 6) + = Vastaus: 75. ( ) a = Juurten summa 6 = 6 Vastaus: 6 + = a 87

88 76. Yhteinen tekijä on 5, joten yhtälöillä 9+ a= ja 9+ b= pitää yhtenä ratkaisuna olla 5. Sijoitetaan tämä ratkaisu yhtälöihin ja ratkaistaan a ja b a = a = a = b= b = b = Sijoitetaan rationaalilausekkeeseen a = 5 ja b = 9+ a 9 5 = 9+ b 9+ Jaetaan osoittaja tekijöihin ratkaisemalla ensin yhtälö 9 5= 9 5 = ( 9) ± ( 9) ( 5) 9± 9 = = 9+ = = 5 Jaetaan nimittäjä tekijöihin ratkaisemalla ensin yhtälö 9+ = 9 + = ± 9 ± 6 9 = = = = 5 6 Tekijöihin jako ja sievennys ( 5) = = 9+ ( 5)( ) ( 9) ( 9) 88

89 Vastaus: a = 5, b =, b b ac b + b ac a( )( ) = a a a = = + a a a a b + b ac b b ac b b ac b + b ac a b + b ac b b ac ( b) ( b ac ) a a a = a + + b b = a + a b ac = a + + a a a b c = + + ( 5) ± ( 5) 6 6 5± 5 = = 5+ = = Juurien erotukset = ja = 6 6 Polynomin tekijät ovat + ja 6 Yhtälö + = 6 6 = 6 Vastaus: = 6 6 ( b ac) a 89

90 a b a b a+ b + = + ab 79. ( ), Juurten summa a+ b= =,, Juurten tulo ab = =, b +,, ( ) a b a a b ab + = + = +,7 Vastaus:,7 8. a+ b Juurten summa α + β = = ( a+ b) ab Juurten tulo αβ = = ab ( ) α + β = α + αβ + β ( ) ( ) + = + + = a+ b, = ab α β α β αβ α β αβ ( ) α + β = ( a+ b) ab α + β = a + ab+ b ab α + β = a ab+ b ( a b) α + β = Vastaus: α + β = ( a b) 8. b Juurten tulo =,5 eli b =,5a a Yhtälön toisena juurena on, sijoitetaan se ja b =,5a yhtälöön. 5 a 9 + b =, b =,5a 5 a 9 +,5a = a+,5a = a+, 75a = 95 b =,5a =,5 = Vastaus: a =, b =,75a = 95 :,75 a = 9

91 8. Sijoitetaan yhtälöön a a = sen toinen juuri. a a = a a = + = a a ± a = ± a = a = = + a = = a = a a = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± ( ) ( ) ± = = + = = Polynomin tekijät = + ( ) = ( + )( ) a = a a = + = ± ( ) ± 6 6 = = + 6 = = + = + = + + ( ) ( )( + ) Polynomin tekijät ( )( ) ( )( ) Vastaus: a = ja ( ) tai a = ja 9

92 8. Sijoitetaan yhtälöön 6 p = sen toinen juuri. 6 p = 6 p = p = : p = 7 Vastaus: 7 8. a) Yhtälön 6 + = 6 + = juuret 6 ( ) ± 6 ± 9 ± 7 7 = = + 7 = = Polynomin tekijät 6 + = 6 ( ) = + = (+ )( ) b) Yhtälön = juuret 6+ 7= ( 6) ± ( 6) 7 6± 8 6± 6 = = 6+ = = + 9

93 Polynomin tekijät ( )( ) = ( ( ))( ( + )) = + Vastaus: a) ( )( ) + b) ( + )( ) TESTAA HYVÄT TAITOSI. + 7 = + = 8 7 Vastaus: ( +). a + a+ 6 ( a+ 6 )( a+ 6 ) = = a + 6 a+ 6 a+ 6 a + 6 = + 6 = Vastaus: a + 6 = = = Vastaus: ( )( ( ) ( )( ) ). 5 5 = 8 ( ) 5 = = 5 Vastaus: 5. Viides luku Viiden luvun keskiarvo 7,5 + = 7, , 5 5,5 Vastaus: 5,5 9

94 = ± 6 5 ± = = = = 6 Vastaus: 6 tai = Vastaus: 7 8. Yhtälön ( 5) ( 5) 6 ( 6) ± 7 ( 7) 7 7 ± = juuret = ± 7 7 ( 6) 7 ± = = = = 8 Polynomin tekijät = ( + 8)( 8) Vastaus: ( + 8) ( 8) 9

95 9. Osoittajan nollakohdat + 6 9= ± 6 6 ( 9) 6 ± = = = = 6 Tekijöihin jako = ( + 9)( ) = ( + 9)( ) Sievennys ( + 9)( ) = = + 9 Vastaus: + 9. Kolme peräkkäistä kokonaislukua,, + Neliöiden summa ( ) + + ( + ) = = : = = ± Luvut ovat = 9, ja + = tai =, ja + = 9 Vastaus: 9, ja tai, ja 9 KORKEAMMAN ASTEEN YHTÄLÖT 85. ( )( )( ) = = + = + = 5 tai tai 5 ei ratkaisua Vastaus: tai 5 95

96 = + + = ( 5 6) + + = tai 5 6 ± () 5 5 ( ) = = = = = = Vastaus: tai tai = ( 7) + = = + tai 7 = tai Vastaus: tai = + + = ( 6) + + = tai 6 = tai = tai ± Vastaus: tai tai ± () ( ) = = = = = = Vastaus: tai tai 89. ( ) = 96

97 9. = = Sijoitus = t 9t + t = 9 ± t = (9) ( 9) ( ) 6 t = = t = = 8 9 Sijoitus takaisin = t 9 ± ± Vastaus: ±, ± 9. + = Sijoitus = t t t+ = ± t = + t = = Sijoitus takaisin = t ± ( ) ( ) t = = ± Vastaus: ±, ± 97

98 = Sijoitus = t 9t 9t+ = ± t = 9 ( 9) ( 9) t = = = t = = = Sijoitus takaisin = t 9 ± = 5 ± 5 Vastaus: ±, ± = Sijoitus = t t 5t 6 = ± t = ( 5) ( 5) ( 6) t = = = t = = = 6 Sijoitus takaisin = t 6 ei ratkaisua Vastaus: ± 6 ± 6 98

99 = = Sijoitus = t 9t 7t+ = ± t = 9 ( 7) ( 7) t = = = t = = = 8 8 Sijoitus takaisin = t 9 ± ± Vastaus: ±, ± = = Sijoitus = t 9t 5t+ 6= ± t = 9 ( 5) ( 5) t = = = t = = = Sijoitus takaisin = t 6 9 ± ± Vastaus: ±, ± 99

100 = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on 5 + 6=. Polynomin 5+ 6 tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± 5 ± Yhtälö saadaan muotoon 5+ 6= ( )( ) 6 = tulon nollasääntö = = tai 6 ± tai ( ) ( ) ( 6) 5 5 tai = = = tai = = = Vastaus: Yhtälön juuret ovat, ja = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + 7 6= Polynomin tekijä on. Jaetaan jakokulmassa

101 ± ± Yhtälö saadaan muotoon + 7 6= ( )( ) = tulon nollasääntö = + + = tai 8 5 ± tai tai = = = tai = = = Vastaus: Yhtälön juuret ovat 5, ja = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + 8 9= Polynomin tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± Yhtälö saadaan muotoon + 8 9= ±

102 ( )( ) = tulon nollasääntö tai 7 = + + = Vastaus: Yhtälön juuret ovat, 99. Särmät a, a ja 5a Tilavuus a a 5a = 8 a = 8 : a = ± tai tai = = = tai = = = ja a = Särmien pituudet a = 6, a = 9 ja 5a = 5 Vastaus: Särmien pituudet ovat 6 m, 9 m ja 5 m.. Särmien pituudet, ja + Tilavuus ( ) ( + ) = ( )( + ) = + = + = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + = Polynomin + tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± ±

103 Yhtälö saadaan muotoon + = ( )( ) + + = tulon nollasääntö tai = + + = ± tai tai ± ei ratkaisua Särmien pituudet, = ja + = 5 Vastaus: Särmien pituudet ovat cm, cm ja 5 cm.. Peräkkäiset kokonaisluvut, ja + Lukujen summa ja tulot yhtä suuret ( ) + + ( + ) = ( ) ( + ) + = ( )( ) ( ) + + = = + tai + = tai ± Kun, luvut ovat =, ja + = Kun, luvut ovat =, ja + = Kun, luvut ovat =, ja + = Vastaus:,, tai,, tai,,. 5 + ( 5 + ) = tai 5 + = Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on 5 + = Polynomin 5 + tekijä on.

104 Jaetaan jakokulmassa ± 6 ± + + Yhtälö saadaan muotoon 5 + = ( )( ) + = tulon nollasääntö = + = tai Vastaus: Juuret ovat,, ja ± = tai ( ) ± = tai = tai = tai = = 6 6 ( + + 6) = tai + +6= Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on, sillä yhtälön vasen puoli on + + 6= Polynomin tekijä on. Jaetaan jakokulmassa ± 7 + ±

105 Yhtälö saadaan muotoon + +6= ( )( ) 7 6 = tulon nollasääntö = = tai 7 6 ± = tai ( 7) ( 7) ( 6) 7± = tai = tai = tai = = 6 6 Vastaus: Juuret ovat,, ja.. Koska on kaksoisjuuri, on polynomin ( )( ) = Jaetaan jakokulmassa ± ± Kolmas juuri saadaan yhtälöstä + 5= tekijänä Vastaus: Kolmas juuri on. 5. Yhtenä tekijänä on. Jaetaan jakokulmassa ± + ±

106 Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä 7+ = ± ( 7) ( 7) 7± 7 7+ = tai = = Polynomin tekijät ovat ( ), ( ) ja ( ). Vastaus: P ( ) = ( )( )( ) 6. Koska yksi tekijä on, on yksi nollakohta. Saadaan yhtälö ( ) ( ) + a = a = 6 Muut tekijät saadaan jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa ± ± Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä 6= ± ( ) ( ) ( 6) ± = tai = = Polynomin tekijät ovat ( ), ( + ) ja ( ). Vastaus: a = 6, P ( ) = ( )( )( + ) 6

107 7. Alkuperäinen särmä > 9, Tilavuus l = cm ( 9,) = 9, = Kokeillaan juureksi vakiotermien tekijöitä ±, ±, ±, ± 5, ± 8, ±, ± 6, ±, ± 5, ± 5,... Lukua 9 pienempiä ei tarvitse kokeilla, koska > 9. Huomataan, että 5 toteuttaa yhtälön, joten 5 on polynomin tekijä. Muut mahdolliset tekijät saadaan jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa , ± 5 9, 9, 6 6 ± Muut mahdolliset juuret saadaan yhtälöstä + 6+ = ± ± Muita juuria ei ole, joten alkuperäinen särmä on 5 cm. Vastaus: Alkuperäinen särmä on 5 cm = Tehdään sijoitus = t t + 7t 8= 7± 7 ( 8) t = 7± 8 t = 7 9 t = = t = = 7

108 Tehdään sijoitus = t 8 = ja 8 Vastaus: tai 9. Osoittaja jakautuu tekijöihin ( ) = ( )( + ) ja + ovat myös nimittäjän tekijöitä, sillä + 8 = ja ( ) + ( ) 8 ( ) = Jaetaan nimittäjä jakokulmassa yhteisellä tekijällä ± Nimittäjä jakautuu tekijöihin ( + ), ( ) ja ( + ). ( )( + ) = = + 8 (+ )( )( + ) + Vastaus: +. Tehdään sijoitus t, jolloin ( ) = t t t t = t = ( ) ± ( ) ( ) t = ± 9 t = t = = + t = = 8

109 Tehdään sijoitus t ja 8 ( ) ( ) Vastaus: tai = Tehdään sijoitus = t t 5t+ = ± t = 5 ± 9 t = 5 7 t = = t = = 6 Tehdään sijoitus = t 9 ± ja 6 ± Vastaus:,, ja. ( 5) ( 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) + = + = + = ( )( ) + = ( )( ) + = ( )( + ) + = + = ( ) + = 9

110 . Peräkkäiset kokonaisluvut, ja + Saadaan yhtälö =,( ) ( + ) + =, ( ) :, = tai + 6 = ( 6) ± = Vastaus: Luvut ovat,, tai 5,, tai,,5.. o ( + )( )( + ) = + = tai tai + = o ( + )( )( + ) = + ) = ( )( + + = + ( + ) = tai + = ( ) ( ) ( ) ± () ± 8 + = = 8 + = = 8 Vastaus: o,, o, +,

111 5. Luku toteuttaa yhtälön sillä = Polynomin 5 7+ yksi tekijä on Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa 5 7+ ± ± Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä = ( ) ( ) ( ) ± ± + = tai = = 7 Vastaus: Luvut, ja P ( ) ( ) P = + = = = Yhtälön yksi juuri on 7, haetaan muut juuret jakamalla tekijällä 7. Jaetaan jakokulmassa ± ±

112 Muut juuret saadaan yhtälöstä + 89 = ( ) ( ) 89 ± ± 7 Yhtälöllä on kolminkertainen juuri 7. Vastaus: 7 7. Sijoitetaan + a + a = ( ) + 6a + a = 5a = 5 a = Sijoitetaan a = + + = ( ) + = ( + ) = tai + = ± ( ) ± 5 5 = = + 5 = = Vastaus: a =, muut juuret ovat ja. 8. Hyönteisten alkuperäinen määrä a p Hyönteisten määrä kasvaa viikossa + -kertaiseksi ja vähenee aina kahden viikon q aikana -kertaiseksi. Kahdeksan viikon kuluttua kanta on

113 8 p q + a Saadaan yhtälö: 8 p q + a = a 8 :a p q p + = : + q = p + q = 8 8 p + q = p + q = + p + q = p + q = p + 8 Sijoitetaan p = 6 q = Vastaus: q = ja q 6, kun p = 6. p +

114 9. + ( + ) Haetaan polynomin + tekijät nollakohtien avulla. + = ± ( ± = = = = 8 Polynomin tekijät ) + ( + ) = ( + )( ) = (+ )( ) Vastaus: ( )( + ) = Yhtälön yksi juuri on, sillä 6 + 6= Haetaan muut juuret jakolaskulla jakamalla tekijällä. Jaetaan jakokulmassa ± + ± Muut juuret saadaan yhtälöstä 5+ 6= ( 5) ± ( 5) 6 5± 5 = = 5+ = = Vastaus: Juuret ovat, ja.

115 . 9 + = Tehdään sijoitus = t 9t t+ = ± t = 9 ± 59 t = 8 t = = t = = 8 Tehdään sijoitus = t 9 ± ja ± Vastaus: ±, ± ( ) ( ) 9 8. POLYNOMIFUNKTIO. a) Nouseva suora y = 5 b) Alaspäin aukeava paraabeli y =,5 8 c) Laskeva suora y = 8+ d) Ylöspäin aukeava paraabeli y =, Paraabeli aukeaa ylöspäin, jos. asteen termin kerroin positiivinen. a) ylös b) alas c) ylös d) alas e) alas f) alas 5

116 . a) y = Nollakohdat y = + 7 8= ± 7± = = 7 9 = = ( 8) b) 6

117 y = + Nollakohdat y = + = ± ( ) ( ) () ± + = = = = c) y = + Nollakohdat y = + = : Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska kaikilla :n arvoilla. Vastaus: a) ja 8, b) ja, c) Ei nollakohtia 7

118 5. -akselin leikkauspisteessä y = + = Leikkauspiste (,) y-akselin leikkauspisteessä + y = y = Leikkauspiste (,) Vastaus: Pisteissä (,) ja (,). 6. a) Kuvasta saadaan paraabelin y = huippu (, ) leikkaa -akselin pisteissä (,;) ja (,;) y-akselin pisteessä (, ) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = ja -akseli y = y = = ( ) ( ) ( ± ± = =, 6 6 = =, + 6 6, ja, ) y Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. huippu = = = 8

119 Huipun y-koordinaatti y = = = huippu y = ja y-akseli y = = y = y = (, ) b) Kuvasta saadaan paraabelin y = huippu (, 5) leikkaa -akselin pisteissä (,;) ja (,;) y-akselin pisteessä (, ) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = ja -akseli y = y = = y ( ) ( ) ( ± ± + 5 = = + 5, 5 = = 5, ( 5, ) + ja ( 5, ) ) Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. huippu = = Huipun y-koordinaatti y = = = 5 huippu y = ja y-akseli 9

120 y = = y = y = (, ) c) Kuvasta saadaan paraabelin y = + huippu (,8;,) leikkaa -akselin pisteissä (,5;) ja (,) y-akselin pisteessä (, ) y Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = + ja -akseli y = + y = + = ( ) ( ( ) ± ± + = = = =, (,) ja Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. + huippu = = = ) Huipun y-koordinaatti y = + = + = huippu 8 y = + ja y-akseli y = + =

121 y = + y = (, ) d) Kuvasta saadaan paraabelin y = + huippu (, ) leikkaa -akselin pisteissä (,) ja (,) y-akselin pisteessä (,) y Määritetään laskemalla leikkauspisteet y = + ja -akseli y y = ( = + + = + ) = tai + = (, ) ja (,) Huipun -koordinaatti on nollakohtien keskiarvo. + huippu = = Huipun y-koordinaatti y = + = ( ) + ( ) = huippu y = + y = y = + = + y = (,) ja y-akseli

122 e) Kuvasta saadaan paraabelin y =,5, 5 huippu (,5;,) leikkaa -akselin pisteissä (,) ja (,) y-akselin pisteessä (,) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y =,5,5ja -akseli y =,5,5 y =,5,5 (,5, 5) = tai,5,5 =,5 =,5 :,5 ( ) y (,) ja (,) huippu + = =, 5 Huipun y-koordinaatti huippu ( ) y = =,5,5,5,5,5 (,5),5 y =,5,5ja y-akseli (,) y =,5,5 = y =,5,5 y = f) Kuvasta saadaan paraabelin y =,5 +, + huippu (,;) Kuvaajan pisteitä laskettaessa huomataan, että :n arvoilla,5 ja, y-koordinaatti on sama (,5), joten huipun -koordinaatti on näiden arvojen keskiarvo., 5 + (, ) huippu = =, Huipun y-koordinaatti 5 y

123 huippu ( ) y = + + = + + =,5,,5,, (,), ei leikkaa -akselia leikkaa y-akselin pisteessä (,) Määritetään laskemalla leikkauspisteet y =,5 +, + ja -akseli y =,5 +, + y =,5 +, + =,,, 5 ±,5, ±, ei reaalisia ratkaisuja Kuvaaja ei leikkaa -akselia y =,5 +, + (,) ja y-akseli y =,5 +, + = y = + + y =,5, Vastaus: a) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (, ) b) nollakohdat + 5 ja 5, y-akselin leikkauspiste (, ) c) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (, ) d) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (,) e) nollakohdat ja, y-akselin leikkauspiste (,) f) ei nollakohtia, leikkaa y-akselin pisteessä (,) 7. y,5,5,5,5,5,5,5, y = 6 y = y = 9

124 8. y y = 7 y = 5 y =,5,5,5,5 y = 9. y = y y = 5 5 y y = 5 y = y y =

125 . f( ) = a) f () = = b) f ( ) = ( ) ( ) = c) f ( ) = ( ) ( ) = d) f( a ) = a a e) f( h ) = ( h ) ( h ) = h h+ h+ = h 6h+ 5 Vastaus: a) b) c) d). f( ) = a+ 6 f() = a + 6 = a+6 Saadaan yhtälö a + 6 = a = Vastaus: a =. Ratkaistaan yhtälö + = = ± ± = 7 = = + 7 = = Vastaus: tai. Ratkaistaan yhtälö ( ) + 8 ( ) c = Vastaus:. a + by + c = ( ) ( ) ( ) 7 c = a c y =, b b b Vastaus: Kulmakerroin on a, b b a a e) h 6h+ 5 5

126 5. y y = +, 5 y + = 5 Vastaus: <, 6. Suora on -akselin suuntainen, kun kulmakerroin. c cy+ = cy = c + + cy = c + c ( ) :( ) + c y = c c y = c Ratkaistaan yhtälö c = c c c = c =± Vastaus: c =± 7. Paraabeli sivuaa -akselia, jos ja vain jos paraabelilla ja -akselilla on tasan yksi yhteinen piste eli funktiolla y = a + a+ on yksi nollakohta. Yksi nollakohta, jos diskriminantti D = a a = aa ( ) = a = tai a = eli a = Jos a = kuvaaja ei ole paraabeli, joten vain a = käy. Vastaus: a = 6

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT a) b) c) d) a) c) d)

KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT a) b) c) d) a) c) d) KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT 66. a) ) ) ) 7 ) 0 0 b) ) ) c) 9 9 9 9 8 9 0 0 0 d) 7 9 0 ) ) 9 0 0 0 67. a) 6 8 7 7 8 b) 6 7 c) 8 0 d) 6 6 7 68. a) 8 7 0 0 0 b) c) : 7 7 7 9 d) : 99: 9

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot