S Rinnakkaislaskenta laskennallisessa tieteessä: FDTD-menetelmä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "S-114.240 Rinnakkaislaskenta laskennallisessa tieteessä: FDTD-menetelmä"

Transkriptio

1 S-4.40 Rinnakkaislaskenta laskennallisessa tieteessä: FDTD-menetelmä Pohjautuen pääosin Allen Tafloven kirjaan Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method Sami Ilvonen S4 4483K 6. huhtikuuta 999

2 Sisältö Johdanto Teoreettinen tausta. Päivitysyhtälöiden johtaminen Stabiilius ja dispersio Yee:n solu Absorboivat reunaehdot Enquist-Majda yhtälöt Berenger PML-reunaehdot Lähteet Lähi-kaukokenttämuunnos Käytännön toteutuksesta 5 3. Ongelmia Algoritmi käytännössä Rinnakkaistaminen 6 4. Avaruuden hajotusmenetelmät Lohkomismenetelmä RIP-menetelmä Greedy-algoritmi Laskennan kahdentaminen Erikoisten päivitysyhtälöiden jakaminen Rinnakkainen algoritmi Yhteenveto

3 Johdanto FDTD-menetelmä (Finite Difference Time Domain -method) on Maxwellin yhtälöiden ratkaisemiseen käytettävä differenssimenetelmä, jonka juuret ovat 60-luvulla. Menetelmä on kuitenkin saavuttanut suurempaa suosiota vasta kuluneella vuosikymmenellä laskentakapasiteetin kasvettua riittävästi. FDTD-menetelmää on sovellettu mitä erilaisimpiin ongelmiin tekniikan eri aluilla. Näistä voisi esimerkkinä mainita vaikkapa erilaisten antennirakenteiden suunnittelun, sirontatehtävät, lääketieteellisen tekniikan ja optiikan sovellukset. Rinnakkaislaskentaan FDTD-menetelmä sopii hyvin lineaarisen skaalautuvuutensa takia. Tämän ansiosta menetelmää voidaan käyttää hyvinkin suurten ongelmien ratkaisemiseen. Teoreettinen tausta FDTD-menetelmässä ratkaistaan suoraan Maxwellin yhtälöiden avulla sekä sähkö- että magneettikentän arvot laskentahilassa. Etuja verrattuna esim. aaltoyhtälön ratkaisemiseen ovat: Voidaan käyttää molemmille kentille suoraan fysikaalisia reunaehtoja. Menetelmällä voidaan ratkaista monia erityyppisiä ongelmia tarvitsematta johtaa erilaisia päivitysyhtälöitä. Erilaisia ongelmallisia kohtia (kuten reunojen lähellä olevia singulaarisuuksia) voidaan tarvittaessa mallittaa erikseen.. Päivitysyhtälöiden johtaminen Kuten edellä mainittiin, FDTD-menetelmällä ratkaistaan Maxwellin differentiaaliyhtälöihin liittyviä tehtäviä. Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti: Lisäksi tarvitaan ns. väliaineyhtälöt, E H B J m () t D J () t D ρ (3) B ρ m (4) B µh (5) D εe (6) Mikäli vielä hyväksymme sähköiset ja magneettiset häviöt, voimme johtaa ekvivalentit virrat J m ρ H (7) J σe (8) Yhdistämällä edellä mainitut yhtälöt ja olettamalla lähteetön avaruus (ρ ρ m 0) saadaan johdettua yhtälö H t E t µ E ρ µ H (9) ε H σ ε E (0) Vaikka magneettivarauksia ei ole löydettykään, ne helpottavat joskus laskemista ja tekevät yhtälöistä symmetrisemmät. Tässä määritelty ρ on siis täysin kuvitteellinen suure, jolle ei löydy vastinetta luonnosta, aivan kuten Maxwellin yhtälöihin lisätty J m. Magneettista johtavuutta tarvitaan kuitenkin mm. Berengerin PML-reunaehdossa.

4 Kun näitä yhtälöitä tarkastellaan karteesissa koordinaatistossa ja puretaan ristitulot auki saadaan yhtälöt, joista seuraavaksi käsitellään vain magneettikentän x-komponenttia: H x t µ E y z E z y ρ H x () Muut komponentit voidaan johtaa samalla tavalla. Kun yhtälön derivaatat korvataan keskidifferensseillä, saadaan yhtälö i j k Hx n t i j k Hx n µ i j k E i j k y n z E i j k y n E i j k z n y E i j k z n ρ i j k H i j k x n () Käytetty merkintätapa on seuraava: yläindeksi kertoo paikan koordinaatit, alaindeksi kenttäkomponentin ja suluissa oleva argumentti ajan. Lausekkeen oikealla puolella esiintyy magneettikentän arvo hetkellä n. Siitä halutaan päästä eroon ja eräs tapa on korvata se käyttämällä seuraavaa approksimaatiota: H i j k x n i j k Hx n i j k Hx n Sijoittamalla (3) lausekkeeseen () ja sieventämällä saadaan (3) H i j k n x ρ i j k t µ i j k ρ i j k t i j k µ H i j k x n t µ i j k ρ i j k t i j k µ E i j k y n E i j k z z n y E i j k y E i j k z n (4) Tämä on haettu päivitysyhtälö. Loput yhtälöt saadaan yhtälöstä (4) varioimalla indeksejä sekä kenttäkomponentteja (sekä tietenkin johtavuuksia). Yhtälöstä (4) huomataan, että H x riippuu ainoastaan kentän aikaisemmasta arvosta samassa pisteessä sekä ympäröivistä sähkökentän arvoista puolta aika-askelta aikaisemmalla ajanhetkellä. Näin laskenta etenee siis t :n pituisin askelin. Magneettikentän arvoista saadaan aina uudet sähkökentän arvot ja päinvastoin. E n H n E n H n 3 E n Kuva : Simuloinnin kulku. Nämä samat päivitysyhtälöt voidaan johtaa toistakin kautta tutkimalla Maxwellin yhtälöitä integraalimuodossa.. Stabiilius ja dispersio Stabiiliustarkastelut ovat olennaisia kaikissa differenssimenetelmissä. FDTD-menetelmälle voidaan näyttää, että aika-askeleella t x y z missä x y z ovat paikka-askelten suuruudet, menetelmä on stabiili. (5)

5 Toinen differenssimentelmille ominainen ongelma on dispersio. FDTD-simulaationssa dispersio aiheuttaa joskus suuriakin virheitä, ellei siihen kiinnitä riittävästi huomiota. Varsinaiset asiaan liittyvät tarkastelut eivät tähän mahdu, mutta todetaan, että yleisesti ottaen aika-askel kannattaa valita mahdollisimman lähelle epästabiilia arvoa ja laskenta-avaruuden täytyy olla tarpeeksi tiheä suhteessa pienimpään laskennassa esiintyvään aallonpituuteen..3 Yee:n solu Tarkastellaan seuraavaksi miten kenttäkomponentit ovat jakautuneet avaruuteen, mikäli käytetään kappaleessa (.) esitettyjä päivitysyhtälöitä. Kentät on esitetty kuvassa (). Yksinkertaisimmillaan FDTDsimulaatiossa laskenta-avaruus on jaettu tällaisiin kuutioihin. Kyseistä solua kutsutaan keksijänsä mukaan E z H y H x H z z H z E x H z E y x y H y H x Kuva : Yee:n solu. Yee:n soluksi. Kuvasta huomataan, että sähkö ja magneettikentän komponentit menevät täydellisesti limittäin täyttäen koko avaruuden niin, että solun keskelle jää tyhjä kohta..4 Absorboivat reunaehdot Useat mallitettavat ongelmat vaativat, että tutkittava rakenne on sijoitettu vapaaseen tilaan. Laskentahila on kuitenkin päätettävä johonkin kohtaa ja niinpä laskenta-avaruuden reunat täytyy toteuttaa niin, etteivät ne heijasta siihen osuvaa kenttä takaisin. Tämä voidaan toteuttaa useilla eri tavoilla..4. Enquist-Majda yhtälöt Monet absorboivat reunaehdot perustuvat Enquist-Majda -yhtälöihin. Kyseessä on aaltoyhtälö, joka sallii aallon etenemisen vain toiseen suuntaan. Tarkastellaan aluksi kaksiulotteista aaltoyhtälöä karteesisessa koordinaatistossa: U x U U y c t! 0 (6) missä U on skalaarinen kenttäkomponentti ja c on vaihenopeus. Määrittelemällä operaattori L " x y c t " voidaan aaltoyhtälö kirjoittaa yksinkertaisessa muodossa D x D y c D t (7) LU! 0 (8) 3

6 Voidaan osoittaa, että operaattori L voidaan jakaa tulomuotoon seuraavasti missä L' on määritelty LU # L$&% L' U # 0 (9) L')( D x * D t c + *-, D y D t. c/ (0) L$ voidaan määritellä vastaavasti. Tätä lauseketta eri tavoilla approksimoimalla voidaan toteuttaa koko joukko erilaisia absorboivia reunoja FDTD-hilaan. Yleisin tapa lienee approksimoida lausekkeessa esiintyvää neliöjuurta Taylorin sarjalla. Toinen yleinen tapa on käyttää rationaalifunktiota. Tarkastellaan seuraavaksi yksinkertaisinta tapausta, missä neliöjuuren approksimaationa käytetään Taylorin sarjan ensimmäistä termiä. Tällöin operaattorista L' saadaan L')# D x * Sijoittamalla tämä takaisin aaltoyhtälön lausekkeeseen, saadaan reunaehdon lausekkeeksi reunalla x # 0 Tästä voidaan johtaa lauseke reunojen päivitysyhtälöille E 00 j z n % 3# E 00 j z n4% D t c () U x * u c t # 0 () c t * x c t % x 5 E 0 z j n % * E 00 z j n76 (3) Tässä tapauksessa nähdään, että kentän arvo reunalla saadaan laskettua kahdesta aikaisemmasta kentän arvosta x-suunnassa. Jos approksimaatiota parannetaan, tulevat mukaan vielä y-suunnan komponentit. Tällaisten absorboivien reunaehtojen toteuttaminen vaatii enemmän laskutoimituksia kuin tavallisten päivitysyhtälöiden käyttö. Käytettäessä Taylorin sarja-approksimaatiota työmäärä on suurinpiirtein kaksin- nelin kertainen. Koska tällä tavalla toteutetaan kuitenkin vain laskenta-avaruuden reunat (ja niistäkin vain joko sähkö- tai magneettikentän arvot), ei laskennan määrä ole kuitenkaan kovin merkittävä. Toinen huomionarvoinen seikka on se, että tämäntyyppisten reunaehtojen toteuttaminen vaatii kenttien arvoja menneillä ajanhetkillä, joita ei muuten säilytettäisi. Tämän takia reunaehtoa varten täytyy säilyttää erikseen kenttien arvot menneillä ajanhetkillä reunan lähistöllä..4. Berenger PML-reunaehdot Erittäin tehokkaan reunaehdon voi saada aikaan käyttämällä häviöllistä materiaalia, jonka aaltoimpedanssi on sovitettu tyhjön kanssa. Tällöin näiden kahden materiaalin rajapinnasta ei synny heijastusta ja häviöt vaimentavat kentän nopeasti. Laskenta-avaruuden reunat voidaan vuorata käyttämällä tätä materiaalia ja päättää sen jälkeen yksinkertaisesti vaikkapa johteen reunaehtoon ilman että kentät heijastuisivat takaisin laskenta-avaruuteen. Tällaista reunaehtoa kutsutaan Berenger PML (Perfectly Matched Layer) - reunaehdoksi kehittäjänsä mukaan. Tällainen materiaali olisi mainio myös radiokaiuttomissa huoneissa, mutta sitä ei voida käytännössä valmistaa. Tämä johtuu siitä, että aineella pitäisi olla anisotrooppinen magneettijohtavuus. Myös tämän reunaehdon johtaminen sekä lausekkeet jätetään käsittelelmättä. On kuitenkin syytä mainita, että hyvä absorboivuus ei tule ilmaiseksi, vaan materiaalin käyttö kasvattaa laskenta-avaruuden kokoa. Lisäksi tässä alueessa joudutaan tekemään kaksinkertainen määrää laskentaa verrattuna normaaliin laskentahilaan. Itse asiassa törmäsin tällä viikolla raporttiin, jossa osoitettiin, että samanlaisen tulokseen voi päästää myös käyttämällä sekoitemateriaalia, jossa on aktiivinen inkluusio. Tämä tarkoittaa sitä, että inkluusiokappaleet tuovat laskentahilaan energiaa. Tällaisen toteuttaminen käytännössä on enää teknisesti mahdotonta. 4

7 .5 Lähteet Kuten aikaisemmin huomattiin, oletettiin päivitysyhtälöitä johdettaessa lähteetön avaruus. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että lähteitä varten päivitysyhtälöitä joudutaan muuttamaan. Samoin kaikki lähteet joudutaan esittämään kenttinä eikä virtoina. Käytännössä lähteet toteutetaan siis muuttamalla koko ajan kenttien arvoja halutuissa kohdissa. Tämä antaa mahdollisuuden muodostaa mielenkiintoisia rakenteita, kuten vaikkapa pehmeä lähde, joka päästää siihen osuneen aallon muuttumattomana lävitseen. Myös lähteiden aiheuttama kenttien päivittäminen lisätyötä, mutta se ei ole kuitenkaan merkittävä. Yleensä koko laskenta-avaruus päivitetään käyttäen tavallisia päivitysyhtälöitä, jonka jälkeen päivitetään lähteiden kentät..6 Lähi-kaukokenttämuunnos Tutkittaessa kappaleen sirontaa tai antennia ollaan yleensä kiinnostuneita kentästä kaukoalueessa. Yleensä laskenta-avaruuttaa ei kuitenkaan voi ulottaa tarpeeksi kauas. Tällöin voidaan käyttää lähi-kaukokenttä muunnosta, jonka avulla kappaleen lähistöllä olevista kentistä voidaan laskea kaukokenttä. Muunnos voidaan tehdä laskemalla laskenta-avaruuden reunoilla esiintyvät ekvivalentit pintavirrat. Näistä virroista voidaan Huyghensin periaatteen mukaan laskea kaikki alueen ulkopuoliset kentät, myös kaukoalueen kentät. Lähi-kaukokenttämuunnoksen laskeminen on verrattain raskasta ja vaatii käytännössä Fouriermuunnoksen tekemistä reunojen kenttäkomponenteille. Usein tämä joudutaan tekemään vielä diskreetin muunnoksen avulla, koska muisti ei riitä kaikkien tarvittavien kenttäkomponenttien arvojen tallettamiseen ja levylle kirjoittaminen voi olla hyvinkin hidasta. 3 Käytännön toteutuksesta 3. Ongelmia Differenssimenetelmiä käytettäessä törmätään usein samankaltaisiin ongelmiin: algoritmin stabiiliuteen ja numeeriseen dispersioon. FDTD ei ole poikkeus. Mikäli molempia ongelmia halutaan välttää, on aikaaskelen koko valittava huolella. Samoin laskentahilan rakenteeseen täytyy kiinnittää huomiota, mikäli ei käytetä täysin symmetristä kuutiohilaa. Suurimpia rajoituksia FDTD-menetelmän käytölle asettaakin juuri kuutiohila, jolla on vaikea kuvata pyöreitä muotoja. FDTD-menetelmä ei ole kuitenkaan täysin rajoittunut tasaiseen karteesiseen kuutihilaan, vaan geometrian kuvaamiseen on kehitetty erilaisia ratkaisuja. 8 Solujen kokoa voi muuttaa hieman yhden koordinaattiakselin suunnassa, jolloin suorakulmaisia muotoja voidaan esittää tarkoilla mitoilla, vaikka niiden koko ei muuten käy tasan käytettävään hilaan. 8 Alisolujen avulla voidaan esittää jokin kohta laskenta-avaruudesta paremmalla tarkkuudella. Tällöin on kuitenkin kiinnitettävä erityistä huomiota algoritmin stabiiliuteen. 8 Päivitysyhtälöt voidaan johtaa myös sylinterikoordiaatistossa. Tällöin sylinterisymmetristen rakenteiden simuloiminen onnistuu helposti. 8 Myös mielivaltaiselle kuutiohilalle voidaan johtaa päivitysyhtälöt. Ongelmana on tällöin kuitenkin laskennan hidastuminen. Samoin useiden muotojen kuvaaminen on hyvin vaikeata käyttämällä kuutiomaisia soluja. Tetraedrien käyttäminen on periaatteessa mahdollista, mutta ainakin näillä näkymin se johtaa hitaampaan alogoritmiin. 8 Vinoja pintoja voidaan mallittaa käyttämällä ns. contour path -menetelmää, jossa pintojen lähellä käytetään näille kohdille erikseen johdettuja päivitysyhtälöitä. Tämä menetelmä on kuitenkin verrattain epätarkka mielivaltaisille pinnoille. Samoin stabiiliuden kanssa tulee helposti ongelmia. Kuten kappaleessa (.5) todettiin, kaikki lähteet on esitettävä suoraan kenttinä eikä virtoina. Tämän takia FDTD-menetelmä ei sovellu matalien taajuuksien ongelmien ratkaisemiseen, koska pyörrevirrat jäävät 5

8 kokonaan huomiotta. Sen sijaan suurtaajuisten rakenteiden mallittaminen onnistuu aina siihen asti, kunnes kvantti-ilmiöt tulevat merkittäviksi. Käytännössä raja kulkee riippuen tarkasteltavasta asiasta optiikan ongelmissa. 3. Algoritmi käytännössä Käytännössä FDTD-menetelmällä toteutettavassa simulaatiossa on seuraavat vaiheet:. Alustus. Varataan tarvittava muisti ja nollataan kenttäkomponentit.. Alustetaan kerrointaulukot. Tällöin voidaan kuvata tutkittavan rakenteen ominaisuudet, esim. johdepinnat. 3. Tämän jälkeen suoritetaan jokaisella aika-askeleella seuraavat toimenpiteet: (a) Päivitetään lähteinä toimivien kenttäkomponenttien arvot. (b) Lasketaan magneettikentille uuden arvot käyttäen edellisiä magneettikentän arvoja sekä ympäröiviä sähkökentän arvoja. (c) Lasketaan sähkökentille uudet arvot käyttäen edellisiä sähkökentän arvoja sekä ympäröiviä magneettikentän arvoja. (d) Lasketaan halutut kentän arvot laskenta-avaruuden reunoilla absorboivast reunaehdosta (tai PML-reunan tapauksessa tehdään kenttien jakamiseen liittyvät toimenpiteet). (e) Tallennetaan halutut arvot. Lähi-kaukokenttämuunnoksessa voidaan laskea diskreettiä Fouriermuunnosta. 4. Tulosten jälkikäsittely. Tämä järjestys ei ole aivan ehdoton, vaan esim. absorboivan reunan voi toteuttaa myös magneettikentälle toisin kuin yllä. Varsinaiset päivitysyhtälöt voisivat käytännössä näyttää vaikkapa seuraavalta: _cl49h9k:uim_ml49h9k:uim_ml^9n9k: 9;:=<?>GoUBEDkIp9K:hLM>?oUBEDkIp9K:ONP>Go[BED _cl49h9k:uim_ml49h9k:uim_ml^9n9k: Laskennan kannalta algoritmi muodostuu siis kuudesta kenttämatriisista sekä kertoimista tai kerroinmatriisista riippuen laskenta-avaruuden ominaisuuksista, sekä kolmesta sisäkkäisestä silmukasta. Usein kerroinmatriisissa esiintyy ainoastaan muutamia erilaisia arvoja, jolloin kerroinmatriisit kannattaa pakata. 4 Rinnakkaistaminen Kuten edellä nähtiin, on FDTD-algoritmin runko usein hyvinkin yksinkertainen. Aikaisemmissa esityksissä tällaista yksinkertaista differenssialgoritmia on käytetty esimerkkitapauksena. 6

9 Rinnakkaistamista voisi lähestyä jakamalla algoritmi mahdollisimman pieniin alkeistehtäviin (yksittäisen kenttäkomponentin päivitys). Seuraavaksi voitaisiin selvittää näiden alkeistehtävien välinen komminikaation tarve, joka riippuu voimakkaasti tehtävästä simulaatiosta sekä käsiteltävästä alkeistehtävästä. Lopuksi näitä tehtäviä voitaisiin yhdistellä suuremmiksi kokonaisuuksiksi, jotka voidaan jakaa käytettävien prosessoreiden kesken. Kuvassa (3) on esitetty esimerkki tällaisesta alkeistehtäviin jaottelusta sekä kommunikaation tarpeesta muutamien tällaisten tehtävien kesken. Tilanne on samankaltainen myös kolmidimen- H x H x H x H y E z H y E z H y E z H y H x H x H x H y E z H y E z H y E z H y H x H x H x Kuva 3: Alkeistehtävät sekä niiden välinen kommunikaatio. sioisen algoritmin tapauksessa. Käytännössä FDTD-algoritmin rinnakkaistamista on usein lähestytty toisesta suunnasta jakamalla koko laskentatehtävä suoraan prosessoreiden lukumäärää vastaaviin osiin. 4. Avaruuden hajotusmenetelmät Näiden menetelmien tarkoitus on jakaa laskenta-avaruus pienempiin yhtenäisiin osiin, jotka eivät mene päällekkäin. Tuloksena saatavan hajotelman tulisi täyttää seuraavat ehdot: s Jakaa avaruus sellaisiin osiin, joiden laskentaan menee yhtä paljon aikaa. s Minimoida aliavaruuksien yhteisten sivujen pinta-ala. Tämä pinta-ala on suoraan verrannollinen tarvittavan kommunikaation määrään. Jos laskentahila on säännöllinen, on näiden ehtojen täyttävän hajotelman tekeminen verrattain yksinkertaista. Mikäli sen sijaan käytetään kappaleessa (3.) esiintyneessä listassa ollutta mielivaltaista hilaa, on ehtojen täyttäminen huomattavasti vaikeampaa. 4.. Lohkomismenetelmä Eräs tapa FDTD-algoritmin jakamiseksi eri prosessien kesken on lohkominen. Tässä menetelmässä laskenta-avaruus jaetaan vakio x, y ja z-tasojen suunnassa aliavaruuksiin, kunnes haluttu aliavruuksien määrä on saavutettu. Nämä aliavaruudet voidaan sitten jakaa eri prosessoreiden kesken. Otetaan esimerkiksi rinnakkaiskone, jossa on P prosesoria. Olkoot P x, P y ja P z aliavaruuksien määrä x, y ja z suunnissa. Tällöin P t P x P y P z. Olkoon laskenta-avaruuden koko u N xv N yv N zw. Nyt jokaiselle prosessorille voidaan osoittaa oma lohko, jonka dimensio on u N xx P xv N yx P yv N zx P zw. Nämä osamäärät eivät välttämättä ole kokonaislukuja, mistä seuraa kuorman epätasainen jakautuminen. Tämän vaikutus ei kuitenkaan ole välttämättä kovin suuri, mikäli aliavaruuksien koot ovat suuret. Näiden aliavaruuksien koot voidaan määrätä yksinkertaisella algoritmilla. Tämän jälkeen jokaisen aliavaruuden sisällä voidaan käyttää tavallista FDTD-algoritmia. Sen sijaan reunoilla joudutaan kenttien arvoja vaihtamaan aliavaruuksien kesken. Aliavaruuksien hieman toisistaan poikkeavia kokoja merkittävämpi ongelma kuorman tasaukseen muodostuu erikoisista päivitysyhtälöistä. Reunaehtojen vaikutus on verrattain helppo poistaa normittamalla niiden tilavuudet sopivasti, eli annetaan reunaehtojen alueelta pienempiä palasia. Sen sijaan esim. tarkennettu laskentahila sotkee tällaisen lohkomisen perusteellisesti. 7

10 4.. RIP-menetelmä RIP (Recursive inertia partitioning) -menetelmä soveltuu epäsäännölliselle hilalle. RIP ei ole millään tavalla sidottu FDTD-menetelmään, vaan sitä voi käyttää myös vaikkapa elementtimenetelmän laskentaverkon jakamisessa. Jokainen hilan solu kuvataan solun keskipisteeseen sijoitetulla massalla, joka on verrannollinen solun vaatimaan laskenta-aikaan. Kuva (4) havainnollistaa asiaa. Näiden massojen keskipiste on Kuva 4: Epäsäännöllinen hila esitettynä keskitettyjen massojen avulla. r cg y N iz r im i N iz 0 m i (4) missä r i on i:nnen massan paikkavektori. Seuraavaksi lasketaan diskreettien massojen momenttimatriisi: I m y {} ~ I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz (5) missä I xx y i m i r i x i ja I xy y i m i x i y i y I yx. Muut alkiot saadaan samalla tavalla. Tästä matriisista voidaan ratkaista suunta, jolla massojen hitausmomentti on pienin. Tämän jälkeen laskenta-alue jaetaan kahteen osaan tasolla, joka kulkee massakeskipisteen kautta ja joka on kohtisuorassa edellä laskettua hitausmomentin minimisuuntaa vastaan. 3 Kun edellä esitettyä jakamista toistetaan n kertaa, saadaan n aliavaruutta. Koska jako tapahtuu hitausmomentin minimisuuntaa kohtisuoran tason suhteen, on aliavaruuksien leikkauspintojen verrattain pieni. Massakeskipisteen suhteen jakaminen puolestaan saa aikaan kuorman tasaisen jakautumisen.. RIP menetelmä on toteutettavissa tehokkaasti suurillekin laskentahiloille ja se toimii käytännössä verrattain hyvin. Suurimpana rajoituksena menetelmän käytölle on se, että se jakaa laskenta-avaruuden aina n osaan, jolloin käytettävässä koneessa pitäisi olla aina n prosessoria. Toinen rajoitus johtuu siitä, että laskenta-alkioiden rajat eivät noudata leikkaavaa tasoa. Tästä aiheutuu kuorman epätasaista jakautumista etenkin suurilla n:n arvoilla Greedy-algoritmi Greedy eli ahne algoritmi on heuristisempi lähestymistapa jakamisongelmaan. Se on kuitenkin hyvin tehokas. Periaatteeltaan se on verrattain lähellä PCAM-menetelmää. Menetelmän alussa laskenta-avaruuden soluille annetaan paino m i, joka vastaa solun työmäärää. Jos laskenta-avaruudessa on kaikkiaan N c solua, voidaan koko avaruuden kustannus C esittää seuraavasti: C y N c iz m i (6) Jaetaan laskenta avaruus N s :ään aliavaruuteen. Tällöin jokaiselle aliavaruudelle tulee osakustannus Cƒ N s, joka pyritään saamaan mahdollisimman samanlaiseksi eri aliavaruuksien kesken. 3 Tämä on vastoin Taflovessa esitettyä, mutta mielestäni kirjassa on tässä kohtaa virhe. Eron havaitsee, kun miettii vaikkapa ellipsiä kolmessa dimensiossa. Maksimin suunta on tällöin ellipsin normaali, mutta eihän ellipsiä voi jakaa enää siinä suunnassa! Sen sijaan valittaessa isoakselin suunta, saadaan ellipsi jaettua ja vielä siten, että jakoviivan pituus on pienin mahdollinen. 8

11 Seuraavaksi jokaiselle solmulle n i annetaan paino w i, joka kertoo kuinka moneen soluun kyseinen solmu liittyy. Algoritmi alkaa tämän jälkeen etsimällä solmu, jonka painoarvo on pienin. Yleensä tämä solmu löytyy laskenta-avaruuden nurkasta, johon on liittyy ainoastaan yksi solu. Tämän jälkeen aliavaruus alustetaan kaikilla peittämättömillä soluilla, jotka liittyvät solmuun n i. Seuraavaksi nämä solut Ω s s e i peitetään, eli merkitään kuuluviksi johonkin aliavaruuteen. Tämän jälkeen jokaisen aliavaruuden ulkoreunaan liittyvän solmun painoarvoa w i vähennetään yhdellä. Seuraavaksi kaikki peittämättömät eli vapaat solut joilla on yhteinen reuna aliavaruuden reunan kanssa liitetään aliavaruuteen Ω s. Lopuksi lasketaan kustannuslisä lisäämällä jokaisen lisätyn solun paino m i aliavaruuden kustannukseen C s. Tätä algoritmia jatketaan rekursiivisesti, kunnes C s Cˆ N s. Seuraavassa hieman tiivistetympi algoritmin kuvaus: for s N s do Etsi n i Š Γ s, jolla on pienin w i. Aseta C s 0 Alusta Ω s kaikkilla vapailla alkioilla e k, joihin solmu n i liittyy. while C s Œ Cˆ N s do for all e k do Peitä e k. Vähennä jokaisen soluun e k liittyvän solmun painoa w i yhdellä. Liitä aliavaruuteen Ω s kaikki e k :n liittyvät vapaat solut. C s C s m k end for end while end for Kuva 5: Aliavaruuden Ω s kasvu Greedyn algoritmilla. Kuva (5) havainnollistaa aliavaruuden kasvua ja algoritmin toimintaa. Greedy algoritmin kustannusmallin avulla kuorma saadaan tasattua hyvin. Valitettavasti algoritmi ei kuitenkaan minimoi aliavaruuksien välisiä pinta-aloja (eli siis kommunikaation määrää). Algoritmi voi myös johtaa ei-yhtenäisiin aliavaruuksiin. 4. Laskennan kahdentaminen Koska kommunikaation kustannukset ovat yleensä korkeat, kannattaa laskentaa usein kahdentaa. Tällä tavalla voidaan kommunikaation määrä saada pienemmäksi. FDTD-algoritmin tapauksessa tullaan huomaamaan, että vain yhden kenttäkomponentin kopiointi aliavaruudesta toiseen riittää. Muut voidaan laskea aliavaruuden omista kentistä. Osa näistä arvoista tulee tällöin laskettua kahteen kertaan, siitä nimi laskennan kahdentaminen. On itestään selvää, että kahdentaminen ei kannata hyvin pienikokoisten aliavaruuksien tapauksessa, koska silloin laskennan määrä kasvaa jyrkästi. Tarkastellaan seuraavassa kahden aliavaruuden reunaa. Otetaan yksinkertaisuuden vuoksi suora leik- 9

12 kaus. Leikkaus on esitetty kuvassa (6). Kuvaan on merkitty kentät leikkauksen reunalla siten, että punainen Kuva 6: Kahden aliavaruuden leikkauspinta. väri kuvaa sähkökenttää, joka on pinnan normaalin suuntainen ja sininen magneettikenttää, joka tangentiaalinen. Samanlainen tapaus saadaan myös vaihtamalla leikkauskohtaa jolloin magneettikenttä on normaalin suuntainen ja sähkökenttä tangentiaalinen. Huomionarvoista on, että kummankin pinnan kentät ovat täysin samat. Nämä kenttien arvot siis kahdennetaan. Pinnalla oleva sähkökenttä saadaan laskettua kummallakin puolella käyttämällä sähkökentän edellistä arvoa, sekä ympäröiviä magneettikentän arvoja. Tässä ei siis tarvita kommunikaatiota. Sen sijaan pinnalla olevien magneettikentän arvojen laskemiseen on kummassakin aliavaruudessa maksimissaan kolme komponenttia. Puuttuva neljäs (tai useammat puuttuvat) kenttäkomponentti täytyy hakea viereisestä aliavaruudesta. Nämä tarvittavat komponentit kannattaa tietenkin lähettää yhdessä paketissa, jolloin latenssin vaikutus vähenee. Samoin kannattaa kiinnittää huomiota siihen, että laskennan täytyy pysyä deterministisenä, eli uusia arvoja ei saa laskea missään aliavaruudessa ennen kuin kaikkialla on laskettu vanhat arvot. 4.3 Erikoisten päivitysyhtälöiden jakaminen Erikoiset päivitysyhtälöt voivat aiheuttaa vaikeuksia laskenta-avaruuden jakamisessa. Ne voivat mm. vaatia lisää aliavaruuksien välistä kommunikaatiota. Nämä ongelmat ovat kuitenkin niin tapauskohtaisia ja monimutkaisia, että jätetään niiden tarkempi käsittely pois. Esimerkkinä voidaan kuitenkin mainita, että monet absorboivat reunaehdot vaativat monia kentän arvoja kohdista, joista päivitysyhtälöt eivät riipu. Samoin lähi-kaukokenttämuunnos vaatii pinnan kenttien Fouriermuuntamisen takia lisää kommunikaatiota. 4.4 Rinnakkainen algoritmi Nyt voimme esittää rinnakkaistamisen vaatimat muutokset kappaleessa (3.) esitettyyn simuloinnin vaiheisiin.. Alustus. Varataan tarvittava muisti ja nollataan kenttäkomponentit. Ja tämän lisäksi hoidetaan laskenta-avaruuden jakaminen.. Alustetaan kerrointaulukot. Tällöin voidaan kuvata tutkittavan rakenteen ominaisuudet, esim. johdepinnat. 3. Tämän jälkeen suoritetaan jokaisella aika-askeleella seuraavat toimenpiteet: (a) Päivitetään lähteinä toimivien kenttäkomponenttien arvot. Tämä tehdään jokaisessa aliavaruudessa. (b) Lasketaan magneettikentille uuden arvot käyttäen edellisiä magneettikentän arvoja sekä ympäröiviä sähkökentän arvoja. 0

13 (c) Lasketaan sähkökentille uudet arvot käyttäen edellisiä sähkökentän arvoja sekä ympäröiviä magneettikentän arvoja. (d) Tässä vaiheessa täytyy kopioida tarvittavat arvot aliavaruuksista toisiin. (e) Lasketaan halutut kentän arvot laskenta-avaruuden reunoilla absorboivast reunaehdosta (tai PML-reunan tapauksessa tehdään kenttien jakamiseen liittyvät toimenpiteet). Tämäkin tehdään jokaisessa aliavaruudessa erikseen. Reunaehto voi vaatia lisää kommunikaatiota. (f) Tallennetaan halutut arvot. Lähi-kaukokenttämuunnoksessa voidaan laskea diskreettiä Fouriermuunnosta. 4. Tulosten kerääminen ja jälkikäsittely. Tämä vastaa tilannetta, missä laskentaa on kahdennettu. Ilman sitä molempien kenttien arvoja joudutaa välittämään laskenta-avaruuden osasta toiseen. Samoin kaikki monimutkaisemmat tapaukset on jätetty ulkopulelle. Myös laskennan synkronoinnin oletetaan säilyvän kommunikoinnin yhteydessä. 5 Yhteenveto Yhteenvetona voidaan todeta, että FDTD-algoritmi on verrattain yksinkertaisesti rinnakkaisettavissa. Tämä yhdistettynä itse algoritmin lineaariseen käyttätymiseen antaa mahdollisuuden tutkia ongelmia, joissa tuntemattomien määrä on hyvin suuri verrattuna moniin muihin menetelmiin. Kirjallisuudesta löytyy useita esimerkkejä, joissa on saavutettu hyvä nopeutus jopa useita satoja prosessoreita käyttämällä. Näistä esimerkkinä vaikkapa kirjassa Computational Electrodynamics: Finite-Difference Time-Domain Method esitetty hävittäjän tutkapoikkipinta-alan laskeminen, jolloin käytössä oli 048 prosessoria. Rinnakkaistaminen vaikeutuu kuitenkin huomattavasti, mikäli poiketaan yksinkertaisesta karteesisesta hilasta, tai käytetään eksoottisempia päivitysyhtälöitä joissain laskenta-avaruuden osissa. Nämäkään ongelmat eivät ole ylipääsemättömiä.

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Stabilointi. Marja Hassinen. p.1/48

Stabilointi. Marja Hassinen. p.1/48 Stabilointi Marja Hassinen marja.hassinen@cs.helsinki.fi p.1/48 Kertausta ja käsitteitä Sisältö Stabilointi Resynkroninen stabilointi Yleinen stabilointi Tarkkailu Alustus Kysymyksiä / kommentteja saa

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Huygensin periaate Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V

Huygensin periaate Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V Aukko-antennit Neljästä an ten n ien p ääry h m ästä o n en ää k äsittelem ättä y k si, au k k o an ten n it. A u k k o an ten n ien rak en teessa o n jo k in au k k o, jo n k a k au tta säh k ö m ag n

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Käydään läpi vastusten keskinäisten kytkentöjen erilaiset

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Rinnakkaistietokoneet luento S

Rinnakkaistietokoneet luento S Rinnakkaistietokoneet luento 3 521475S Rinnakkaiset Numeeriset Algoritmit Silmukattomat algoritmit Eivät sisällä silmukka lauseita kuten DO,FOR tai WHILE Nopea suorittaa Yleisimmässä muodossa koostuu peräkkäisistä

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen

Lisätiedot