S Rinnakkaislaskenta laskennallisessa tieteessä: FDTD-menetelmä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "S-114.240 Rinnakkaislaskenta laskennallisessa tieteessä: FDTD-menetelmä"

Transkriptio

1 S-4.40 Rinnakkaislaskenta laskennallisessa tieteessä: FDTD-menetelmä Pohjautuen pääosin Allen Tafloven kirjaan Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method Sami Ilvonen S4 4483K 6. huhtikuuta 999

2 Sisältö Johdanto Teoreettinen tausta. Päivitysyhtälöiden johtaminen Stabiilius ja dispersio Yee:n solu Absorboivat reunaehdot Enquist-Majda yhtälöt Berenger PML-reunaehdot Lähteet Lähi-kaukokenttämuunnos Käytännön toteutuksesta 5 3. Ongelmia Algoritmi käytännössä Rinnakkaistaminen 6 4. Avaruuden hajotusmenetelmät Lohkomismenetelmä RIP-menetelmä Greedy-algoritmi Laskennan kahdentaminen Erikoisten päivitysyhtälöiden jakaminen Rinnakkainen algoritmi Yhteenveto

3 Johdanto FDTD-menetelmä (Finite Difference Time Domain -method) on Maxwellin yhtälöiden ratkaisemiseen käytettävä differenssimenetelmä, jonka juuret ovat 60-luvulla. Menetelmä on kuitenkin saavuttanut suurempaa suosiota vasta kuluneella vuosikymmenellä laskentakapasiteetin kasvettua riittävästi. FDTD-menetelmää on sovellettu mitä erilaisimpiin ongelmiin tekniikan eri aluilla. Näistä voisi esimerkkinä mainita vaikkapa erilaisten antennirakenteiden suunnittelun, sirontatehtävät, lääketieteellisen tekniikan ja optiikan sovellukset. Rinnakkaislaskentaan FDTD-menetelmä sopii hyvin lineaarisen skaalautuvuutensa takia. Tämän ansiosta menetelmää voidaan käyttää hyvinkin suurten ongelmien ratkaisemiseen. Teoreettinen tausta FDTD-menetelmässä ratkaistaan suoraan Maxwellin yhtälöiden avulla sekä sähkö- että magneettikentän arvot laskentahilassa. Etuja verrattuna esim. aaltoyhtälön ratkaisemiseen ovat: Voidaan käyttää molemmille kentille suoraan fysikaalisia reunaehtoja. Menetelmällä voidaan ratkaista monia erityyppisiä ongelmia tarvitsematta johtaa erilaisia päivitysyhtälöitä. Erilaisia ongelmallisia kohtia (kuten reunojen lähellä olevia singulaarisuuksia) voidaan tarvittaessa mallittaa erikseen.. Päivitysyhtälöiden johtaminen Kuten edellä mainittiin, FDTD-menetelmällä ratkaistaan Maxwellin differentiaaliyhtälöihin liittyviä tehtäviä. Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti: Lisäksi tarvitaan ns. väliaineyhtälöt, E H B J m () t D J () t D ρ (3) B ρ m (4) B µh (5) D εe (6) Mikäli vielä hyväksymme sähköiset ja magneettiset häviöt, voimme johtaa ekvivalentit virrat J m ρ H (7) J σe (8) Yhdistämällä edellä mainitut yhtälöt ja olettamalla lähteetön avaruus (ρ ρ m 0) saadaan johdettua yhtälö H t E t µ E ρ µ H (9) ε H σ ε E (0) Vaikka magneettivarauksia ei ole löydettykään, ne helpottavat joskus laskemista ja tekevät yhtälöistä symmetrisemmät. Tässä määritelty ρ on siis täysin kuvitteellinen suure, jolle ei löydy vastinetta luonnosta, aivan kuten Maxwellin yhtälöihin lisätty J m. Magneettista johtavuutta tarvitaan kuitenkin mm. Berengerin PML-reunaehdossa.

4 Kun näitä yhtälöitä tarkastellaan karteesissa koordinaatistossa ja puretaan ristitulot auki saadaan yhtälöt, joista seuraavaksi käsitellään vain magneettikentän x-komponenttia: H x t µ E y z E z y ρ H x () Muut komponentit voidaan johtaa samalla tavalla. Kun yhtälön derivaatat korvataan keskidifferensseillä, saadaan yhtälö i j k Hx n t i j k Hx n µ i j k E i j k y n z E i j k y n E i j k z n y E i j k z n ρ i j k H i j k x n () Käytetty merkintätapa on seuraava: yläindeksi kertoo paikan koordinaatit, alaindeksi kenttäkomponentin ja suluissa oleva argumentti ajan. Lausekkeen oikealla puolella esiintyy magneettikentän arvo hetkellä n. Siitä halutaan päästä eroon ja eräs tapa on korvata se käyttämällä seuraavaa approksimaatiota: H i j k x n i j k Hx n i j k Hx n Sijoittamalla (3) lausekkeeseen () ja sieventämällä saadaan (3) H i j k n x ρ i j k t µ i j k ρ i j k t i j k µ H i j k x n t µ i j k ρ i j k t i j k µ E i j k y n E i j k z z n y E i j k y E i j k z n (4) Tämä on haettu päivitysyhtälö. Loput yhtälöt saadaan yhtälöstä (4) varioimalla indeksejä sekä kenttäkomponentteja (sekä tietenkin johtavuuksia). Yhtälöstä (4) huomataan, että H x riippuu ainoastaan kentän aikaisemmasta arvosta samassa pisteessä sekä ympäröivistä sähkökentän arvoista puolta aika-askelta aikaisemmalla ajanhetkellä. Näin laskenta etenee siis t :n pituisin askelin. Magneettikentän arvoista saadaan aina uudet sähkökentän arvot ja päinvastoin. E n H n E n H n 3 E n Kuva : Simuloinnin kulku. Nämä samat päivitysyhtälöt voidaan johtaa toistakin kautta tutkimalla Maxwellin yhtälöitä integraalimuodossa.. Stabiilius ja dispersio Stabiiliustarkastelut ovat olennaisia kaikissa differenssimenetelmissä. FDTD-menetelmälle voidaan näyttää, että aika-askeleella t x y z missä x y z ovat paikka-askelten suuruudet, menetelmä on stabiili. (5)

5 Toinen differenssimentelmille ominainen ongelma on dispersio. FDTD-simulaationssa dispersio aiheuttaa joskus suuriakin virheitä, ellei siihen kiinnitä riittävästi huomiota. Varsinaiset asiaan liittyvät tarkastelut eivät tähän mahdu, mutta todetaan, että yleisesti ottaen aika-askel kannattaa valita mahdollisimman lähelle epästabiilia arvoa ja laskenta-avaruuden täytyy olla tarpeeksi tiheä suhteessa pienimpään laskennassa esiintyvään aallonpituuteen..3 Yee:n solu Tarkastellaan seuraavaksi miten kenttäkomponentit ovat jakautuneet avaruuteen, mikäli käytetään kappaleessa (.) esitettyjä päivitysyhtälöitä. Kentät on esitetty kuvassa (). Yksinkertaisimmillaan FDTDsimulaatiossa laskenta-avaruus on jaettu tällaisiin kuutioihin. Kyseistä solua kutsutaan keksijänsä mukaan E z H y H x H z z H z E x H z E y x y H y H x Kuva : Yee:n solu. Yee:n soluksi. Kuvasta huomataan, että sähkö ja magneettikentän komponentit menevät täydellisesti limittäin täyttäen koko avaruuden niin, että solun keskelle jää tyhjä kohta..4 Absorboivat reunaehdot Useat mallitettavat ongelmat vaativat, että tutkittava rakenne on sijoitettu vapaaseen tilaan. Laskentahila on kuitenkin päätettävä johonkin kohtaa ja niinpä laskenta-avaruuden reunat täytyy toteuttaa niin, etteivät ne heijasta siihen osuvaa kenttä takaisin. Tämä voidaan toteuttaa useilla eri tavoilla..4. Enquist-Majda yhtälöt Monet absorboivat reunaehdot perustuvat Enquist-Majda -yhtälöihin. Kyseessä on aaltoyhtälö, joka sallii aallon etenemisen vain toiseen suuntaan. Tarkastellaan aluksi kaksiulotteista aaltoyhtälöä karteesisessa koordinaatistossa: U x U U y c t! 0 (6) missä U on skalaarinen kenttäkomponentti ja c on vaihenopeus. Määrittelemällä operaattori L " x y c t " voidaan aaltoyhtälö kirjoittaa yksinkertaisessa muodossa D x D y c D t (7) LU! 0 (8) 3

6 Voidaan osoittaa, että operaattori L voidaan jakaa tulomuotoon seuraavasti missä L' on määritelty LU # L$&% L' U # 0 (9) L')( D x * D t c + *-, D y D t. c/ (0) L$ voidaan määritellä vastaavasti. Tätä lauseketta eri tavoilla approksimoimalla voidaan toteuttaa koko joukko erilaisia absorboivia reunoja FDTD-hilaan. Yleisin tapa lienee approksimoida lausekkeessa esiintyvää neliöjuurta Taylorin sarjalla. Toinen yleinen tapa on käyttää rationaalifunktiota. Tarkastellaan seuraavaksi yksinkertaisinta tapausta, missä neliöjuuren approksimaationa käytetään Taylorin sarjan ensimmäistä termiä. Tällöin operaattorista L' saadaan L')# D x * Sijoittamalla tämä takaisin aaltoyhtälön lausekkeeseen, saadaan reunaehdon lausekkeeksi reunalla x # 0 Tästä voidaan johtaa lauseke reunojen päivitysyhtälöille E 00 j z n % 3# E 00 j z n4% D t c () U x * u c t # 0 () c t * x c t % x 5 E 0 z j n % * E 00 z j n76 (3) Tässä tapauksessa nähdään, että kentän arvo reunalla saadaan laskettua kahdesta aikaisemmasta kentän arvosta x-suunnassa. Jos approksimaatiota parannetaan, tulevat mukaan vielä y-suunnan komponentit. Tällaisten absorboivien reunaehtojen toteuttaminen vaatii enemmän laskutoimituksia kuin tavallisten päivitysyhtälöiden käyttö. Käytettäessä Taylorin sarja-approksimaatiota työmäärä on suurinpiirtein kaksin- nelin kertainen. Koska tällä tavalla toteutetaan kuitenkin vain laskenta-avaruuden reunat (ja niistäkin vain joko sähkö- tai magneettikentän arvot), ei laskennan määrä ole kuitenkaan kovin merkittävä. Toinen huomionarvoinen seikka on se, että tämäntyyppisten reunaehtojen toteuttaminen vaatii kenttien arvoja menneillä ajanhetkillä, joita ei muuten säilytettäisi. Tämän takia reunaehtoa varten täytyy säilyttää erikseen kenttien arvot menneillä ajanhetkillä reunan lähistöllä..4. Berenger PML-reunaehdot Erittäin tehokkaan reunaehdon voi saada aikaan käyttämällä häviöllistä materiaalia, jonka aaltoimpedanssi on sovitettu tyhjön kanssa. Tällöin näiden kahden materiaalin rajapinnasta ei synny heijastusta ja häviöt vaimentavat kentän nopeasti. Laskenta-avaruuden reunat voidaan vuorata käyttämällä tätä materiaalia ja päättää sen jälkeen yksinkertaisesti vaikkapa johteen reunaehtoon ilman että kentät heijastuisivat takaisin laskenta-avaruuteen. Tällaista reunaehtoa kutsutaan Berenger PML (Perfectly Matched Layer) - reunaehdoksi kehittäjänsä mukaan. Tällainen materiaali olisi mainio myös radiokaiuttomissa huoneissa, mutta sitä ei voida käytännössä valmistaa. Tämä johtuu siitä, että aineella pitäisi olla anisotrooppinen magneettijohtavuus. Myös tämän reunaehdon johtaminen sekä lausekkeet jätetään käsittelelmättä. On kuitenkin syytä mainita, että hyvä absorboivuus ei tule ilmaiseksi, vaan materiaalin käyttö kasvattaa laskenta-avaruuden kokoa. Lisäksi tässä alueessa joudutaan tekemään kaksinkertainen määrää laskentaa verrattuna normaaliin laskentahilaan. Itse asiassa törmäsin tällä viikolla raporttiin, jossa osoitettiin, että samanlaisen tulokseen voi päästää myös käyttämällä sekoitemateriaalia, jossa on aktiivinen inkluusio. Tämä tarkoittaa sitä, että inkluusiokappaleet tuovat laskentahilaan energiaa. Tällaisen toteuttaminen käytännössä on enää teknisesti mahdotonta. 4

7 .5 Lähteet Kuten aikaisemmin huomattiin, oletettiin päivitysyhtälöitä johdettaessa lähteetön avaruus. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että lähteitä varten päivitysyhtälöitä joudutaan muuttamaan. Samoin kaikki lähteet joudutaan esittämään kenttinä eikä virtoina. Käytännössä lähteet toteutetaan siis muuttamalla koko ajan kenttien arvoja halutuissa kohdissa. Tämä antaa mahdollisuuden muodostaa mielenkiintoisia rakenteita, kuten vaikkapa pehmeä lähde, joka päästää siihen osuneen aallon muuttumattomana lävitseen. Myös lähteiden aiheuttama kenttien päivittäminen lisätyötä, mutta se ei ole kuitenkaan merkittävä. Yleensä koko laskenta-avaruus päivitetään käyttäen tavallisia päivitysyhtälöitä, jonka jälkeen päivitetään lähteiden kentät..6 Lähi-kaukokenttämuunnos Tutkittaessa kappaleen sirontaa tai antennia ollaan yleensä kiinnostuneita kentästä kaukoalueessa. Yleensä laskenta-avaruuttaa ei kuitenkaan voi ulottaa tarpeeksi kauas. Tällöin voidaan käyttää lähi-kaukokenttä muunnosta, jonka avulla kappaleen lähistöllä olevista kentistä voidaan laskea kaukokenttä. Muunnos voidaan tehdä laskemalla laskenta-avaruuden reunoilla esiintyvät ekvivalentit pintavirrat. Näistä virroista voidaan Huyghensin periaatteen mukaan laskea kaikki alueen ulkopuoliset kentät, myös kaukoalueen kentät. Lähi-kaukokenttämuunnoksen laskeminen on verrattain raskasta ja vaatii käytännössä Fouriermuunnoksen tekemistä reunojen kenttäkomponenteille. Usein tämä joudutaan tekemään vielä diskreetin muunnoksen avulla, koska muisti ei riitä kaikkien tarvittavien kenttäkomponenttien arvojen tallettamiseen ja levylle kirjoittaminen voi olla hyvinkin hidasta. 3 Käytännön toteutuksesta 3. Ongelmia Differenssimenetelmiä käytettäessä törmätään usein samankaltaisiin ongelmiin: algoritmin stabiiliuteen ja numeeriseen dispersioon. FDTD ei ole poikkeus. Mikäli molempia ongelmia halutaan välttää, on aikaaskelen koko valittava huolella. Samoin laskentahilan rakenteeseen täytyy kiinnittää huomiota, mikäli ei käytetä täysin symmetristä kuutiohilaa. Suurimpia rajoituksia FDTD-menetelmän käytölle asettaakin juuri kuutiohila, jolla on vaikea kuvata pyöreitä muotoja. FDTD-menetelmä ei ole kuitenkaan täysin rajoittunut tasaiseen karteesiseen kuutihilaan, vaan geometrian kuvaamiseen on kehitetty erilaisia ratkaisuja. 8 Solujen kokoa voi muuttaa hieman yhden koordinaattiakselin suunnassa, jolloin suorakulmaisia muotoja voidaan esittää tarkoilla mitoilla, vaikka niiden koko ei muuten käy tasan käytettävään hilaan. 8 Alisolujen avulla voidaan esittää jokin kohta laskenta-avaruudesta paremmalla tarkkuudella. Tällöin on kuitenkin kiinnitettävä erityistä huomiota algoritmin stabiiliuteen. 8 Päivitysyhtälöt voidaan johtaa myös sylinterikoordiaatistossa. Tällöin sylinterisymmetristen rakenteiden simuloiminen onnistuu helposti. 8 Myös mielivaltaiselle kuutiohilalle voidaan johtaa päivitysyhtälöt. Ongelmana on tällöin kuitenkin laskennan hidastuminen. Samoin useiden muotojen kuvaaminen on hyvin vaikeata käyttämällä kuutiomaisia soluja. Tetraedrien käyttäminen on periaatteessa mahdollista, mutta ainakin näillä näkymin se johtaa hitaampaan alogoritmiin. 8 Vinoja pintoja voidaan mallittaa käyttämällä ns. contour path -menetelmää, jossa pintojen lähellä käytetään näille kohdille erikseen johdettuja päivitysyhtälöitä. Tämä menetelmä on kuitenkin verrattain epätarkka mielivaltaisille pinnoille. Samoin stabiiliuden kanssa tulee helposti ongelmia. Kuten kappaleessa (.5) todettiin, kaikki lähteet on esitettävä suoraan kenttinä eikä virtoina. Tämän takia FDTD-menetelmä ei sovellu matalien taajuuksien ongelmien ratkaisemiseen, koska pyörrevirrat jäävät 5

8 kokonaan huomiotta. Sen sijaan suurtaajuisten rakenteiden mallittaminen onnistuu aina siihen asti, kunnes kvantti-ilmiöt tulevat merkittäviksi. Käytännössä raja kulkee riippuen tarkasteltavasta asiasta optiikan ongelmissa. 3. Algoritmi käytännössä Käytännössä FDTD-menetelmällä toteutettavassa simulaatiossa on seuraavat vaiheet:. Alustus. Varataan tarvittava muisti ja nollataan kenttäkomponentit.. Alustetaan kerrointaulukot. Tällöin voidaan kuvata tutkittavan rakenteen ominaisuudet, esim. johdepinnat. 3. Tämän jälkeen suoritetaan jokaisella aika-askeleella seuraavat toimenpiteet: (a) Päivitetään lähteinä toimivien kenttäkomponenttien arvot. (b) Lasketaan magneettikentille uuden arvot käyttäen edellisiä magneettikentän arvoja sekä ympäröiviä sähkökentän arvoja. (c) Lasketaan sähkökentille uudet arvot käyttäen edellisiä sähkökentän arvoja sekä ympäröiviä magneettikentän arvoja. (d) Lasketaan halutut kentän arvot laskenta-avaruuden reunoilla absorboivast reunaehdosta (tai PML-reunan tapauksessa tehdään kenttien jakamiseen liittyvät toimenpiteet). (e) Tallennetaan halutut arvot. Lähi-kaukokenttämuunnoksessa voidaan laskea diskreettiä Fouriermuunnosta. 4. Tulosten jälkikäsittely. Tämä järjestys ei ole aivan ehdoton, vaan esim. absorboivan reunan voi toteuttaa myös magneettikentälle toisin kuin yllä. Varsinaiset päivitysyhtälöt voisivat käytännössä näyttää vaikkapa seuraavalta: _cl49h9k:uim_ml49h9k:uim_ml^9n9k: 9;:=<?>GoUBEDkIp9K:hLM>?oUBEDkIp9K:ONP>Go[BED _cl49h9k:uim_ml49h9k:uim_ml^9n9k: Laskennan kannalta algoritmi muodostuu siis kuudesta kenttämatriisista sekä kertoimista tai kerroinmatriisista riippuen laskenta-avaruuden ominaisuuksista, sekä kolmesta sisäkkäisestä silmukasta. Usein kerroinmatriisissa esiintyy ainoastaan muutamia erilaisia arvoja, jolloin kerroinmatriisit kannattaa pakata. 4 Rinnakkaistaminen Kuten edellä nähtiin, on FDTD-algoritmin runko usein hyvinkin yksinkertainen. Aikaisemmissa esityksissä tällaista yksinkertaista differenssialgoritmia on käytetty esimerkkitapauksena. 6

9 Rinnakkaistamista voisi lähestyä jakamalla algoritmi mahdollisimman pieniin alkeistehtäviin (yksittäisen kenttäkomponentin päivitys). Seuraavaksi voitaisiin selvittää näiden alkeistehtävien välinen komminikaation tarve, joka riippuu voimakkaasti tehtävästä simulaatiosta sekä käsiteltävästä alkeistehtävästä. Lopuksi näitä tehtäviä voitaisiin yhdistellä suuremmiksi kokonaisuuksiksi, jotka voidaan jakaa käytettävien prosessoreiden kesken. Kuvassa (3) on esitetty esimerkki tällaisesta alkeistehtäviin jaottelusta sekä kommunikaation tarpeesta muutamien tällaisten tehtävien kesken. Tilanne on samankaltainen myös kolmidimen- H x H x H x H y E z H y E z H y E z H y H x H x H x H y E z H y E z H y E z H y H x H x H x Kuva 3: Alkeistehtävät sekä niiden välinen kommunikaatio. sioisen algoritmin tapauksessa. Käytännössä FDTD-algoritmin rinnakkaistamista on usein lähestytty toisesta suunnasta jakamalla koko laskentatehtävä suoraan prosessoreiden lukumäärää vastaaviin osiin. 4. Avaruuden hajotusmenetelmät Näiden menetelmien tarkoitus on jakaa laskenta-avaruus pienempiin yhtenäisiin osiin, jotka eivät mene päällekkäin. Tuloksena saatavan hajotelman tulisi täyttää seuraavat ehdot: s Jakaa avaruus sellaisiin osiin, joiden laskentaan menee yhtä paljon aikaa. s Minimoida aliavaruuksien yhteisten sivujen pinta-ala. Tämä pinta-ala on suoraan verrannollinen tarvittavan kommunikaation määrään. Jos laskentahila on säännöllinen, on näiden ehtojen täyttävän hajotelman tekeminen verrattain yksinkertaista. Mikäli sen sijaan käytetään kappaleessa (3.) esiintyneessä listassa ollutta mielivaltaista hilaa, on ehtojen täyttäminen huomattavasti vaikeampaa. 4.. Lohkomismenetelmä Eräs tapa FDTD-algoritmin jakamiseksi eri prosessien kesken on lohkominen. Tässä menetelmässä laskenta-avaruus jaetaan vakio x, y ja z-tasojen suunnassa aliavaruuksiin, kunnes haluttu aliavruuksien määrä on saavutettu. Nämä aliavaruudet voidaan sitten jakaa eri prosessoreiden kesken. Otetaan esimerkiksi rinnakkaiskone, jossa on P prosesoria. Olkoot P x, P y ja P z aliavaruuksien määrä x, y ja z suunnissa. Tällöin P t P x P y P z. Olkoon laskenta-avaruuden koko u N xv N yv N zw. Nyt jokaiselle prosessorille voidaan osoittaa oma lohko, jonka dimensio on u N xx P xv N yx P yv N zx P zw. Nämä osamäärät eivät välttämättä ole kokonaislukuja, mistä seuraa kuorman epätasainen jakautuminen. Tämän vaikutus ei kuitenkaan ole välttämättä kovin suuri, mikäli aliavaruuksien koot ovat suuret. Näiden aliavaruuksien koot voidaan määrätä yksinkertaisella algoritmilla. Tämän jälkeen jokaisen aliavaruuden sisällä voidaan käyttää tavallista FDTD-algoritmia. Sen sijaan reunoilla joudutaan kenttien arvoja vaihtamaan aliavaruuksien kesken. Aliavaruuksien hieman toisistaan poikkeavia kokoja merkittävämpi ongelma kuorman tasaukseen muodostuu erikoisista päivitysyhtälöistä. Reunaehtojen vaikutus on verrattain helppo poistaa normittamalla niiden tilavuudet sopivasti, eli annetaan reunaehtojen alueelta pienempiä palasia. Sen sijaan esim. tarkennettu laskentahila sotkee tällaisen lohkomisen perusteellisesti. 7

10 4.. RIP-menetelmä RIP (Recursive inertia partitioning) -menetelmä soveltuu epäsäännölliselle hilalle. RIP ei ole millään tavalla sidottu FDTD-menetelmään, vaan sitä voi käyttää myös vaikkapa elementtimenetelmän laskentaverkon jakamisessa. Jokainen hilan solu kuvataan solun keskipisteeseen sijoitetulla massalla, joka on verrannollinen solun vaatimaan laskenta-aikaan. Kuva (4) havainnollistaa asiaa. Näiden massojen keskipiste on Kuva 4: Epäsäännöllinen hila esitettynä keskitettyjen massojen avulla. r cg y N iz r im i N iz 0 m i (4) missä r i on i:nnen massan paikkavektori. Seuraavaksi lasketaan diskreettien massojen momenttimatriisi: I m y {} ~ I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz (5) missä I xx y i m i r i x i ja I xy y i m i x i y i y I yx. Muut alkiot saadaan samalla tavalla. Tästä matriisista voidaan ratkaista suunta, jolla massojen hitausmomentti on pienin. Tämän jälkeen laskenta-alue jaetaan kahteen osaan tasolla, joka kulkee massakeskipisteen kautta ja joka on kohtisuorassa edellä laskettua hitausmomentin minimisuuntaa vastaan. 3 Kun edellä esitettyä jakamista toistetaan n kertaa, saadaan n aliavaruutta. Koska jako tapahtuu hitausmomentin minimisuuntaa kohtisuoran tason suhteen, on aliavaruuksien leikkauspintojen verrattain pieni. Massakeskipisteen suhteen jakaminen puolestaan saa aikaan kuorman tasaisen jakautumisen.. RIP menetelmä on toteutettavissa tehokkaasti suurillekin laskentahiloille ja se toimii käytännössä verrattain hyvin. Suurimpana rajoituksena menetelmän käytölle on se, että se jakaa laskenta-avaruuden aina n osaan, jolloin käytettävässä koneessa pitäisi olla aina n prosessoria. Toinen rajoitus johtuu siitä, että laskenta-alkioiden rajat eivät noudata leikkaavaa tasoa. Tästä aiheutuu kuorman epätasaista jakautumista etenkin suurilla n:n arvoilla Greedy-algoritmi Greedy eli ahne algoritmi on heuristisempi lähestymistapa jakamisongelmaan. Se on kuitenkin hyvin tehokas. Periaatteeltaan se on verrattain lähellä PCAM-menetelmää. Menetelmän alussa laskenta-avaruuden soluille annetaan paino m i, joka vastaa solun työmäärää. Jos laskenta-avaruudessa on kaikkiaan N c solua, voidaan koko avaruuden kustannus C esittää seuraavasti: C y N c iz m i (6) Jaetaan laskenta avaruus N s :ään aliavaruuteen. Tällöin jokaiselle aliavaruudelle tulee osakustannus Cƒ N s, joka pyritään saamaan mahdollisimman samanlaiseksi eri aliavaruuksien kesken. 3 Tämä on vastoin Taflovessa esitettyä, mutta mielestäni kirjassa on tässä kohtaa virhe. Eron havaitsee, kun miettii vaikkapa ellipsiä kolmessa dimensiossa. Maksimin suunta on tällöin ellipsin normaali, mutta eihän ellipsiä voi jakaa enää siinä suunnassa! Sen sijaan valittaessa isoakselin suunta, saadaan ellipsi jaettua ja vielä siten, että jakoviivan pituus on pienin mahdollinen. 8

11 Seuraavaksi jokaiselle solmulle n i annetaan paino w i, joka kertoo kuinka moneen soluun kyseinen solmu liittyy. Algoritmi alkaa tämän jälkeen etsimällä solmu, jonka painoarvo on pienin. Yleensä tämä solmu löytyy laskenta-avaruuden nurkasta, johon on liittyy ainoastaan yksi solu. Tämän jälkeen aliavaruus alustetaan kaikilla peittämättömillä soluilla, jotka liittyvät solmuun n i. Seuraavaksi nämä solut Ω s s e i peitetään, eli merkitään kuuluviksi johonkin aliavaruuteen. Tämän jälkeen jokaisen aliavaruuden ulkoreunaan liittyvän solmun painoarvoa w i vähennetään yhdellä. Seuraavaksi kaikki peittämättömät eli vapaat solut joilla on yhteinen reuna aliavaruuden reunan kanssa liitetään aliavaruuteen Ω s. Lopuksi lasketaan kustannuslisä lisäämällä jokaisen lisätyn solun paino m i aliavaruuden kustannukseen C s. Tätä algoritmia jatketaan rekursiivisesti, kunnes C s Cˆ N s. Seuraavassa hieman tiivistetympi algoritmin kuvaus: for s N s do Etsi n i Š Γ s, jolla on pienin w i. Aseta C s 0 Alusta Ω s kaikkilla vapailla alkioilla e k, joihin solmu n i liittyy. while C s Œ Cˆ N s do for all e k do Peitä e k. Vähennä jokaisen soluun e k liittyvän solmun painoa w i yhdellä. Liitä aliavaruuteen Ω s kaikki e k :n liittyvät vapaat solut. C s C s m k end for end while end for Kuva 5: Aliavaruuden Ω s kasvu Greedyn algoritmilla. Kuva (5) havainnollistaa aliavaruuden kasvua ja algoritmin toimintaa. Greedy algoritmin kustannusmallin avulla kuorma saadaan tasattua hyvin. Valitettavasti algoritmi ei kuitenkaan minimoi aliavaruuksien välisiä pinta-aloja (eli siis kommunikaation määrää). Algoritmi voi myös johtaa ei-yhtenäisiin aliavaruuksiin. 4. Laskennan kahdentaminen Koska kommunikaation kustannukset ovat yleensä korkeat, kannattaa laskentaa usein kahdentaa. Tällä tavalla voidaan kommunikaation määrä saada pienemmäksi. FDTD-algoritmin tapauksessa tullaan huomaamaan, että vain yhden kenttäkomponentin kopiointi aliavaruudesta toiseen riittää. Muut voidaan laskea aliavaruuden omista kentistä. Osa näistä arvoista tulee tällöin laskettua kahteen kertaan, siitä nimi laskennan kahdentaminen. On itestään selvää, että kahdentaminen ei kannata hyvin pienikokoisten aliavaruuksien tapauksessa, koska silloin laskennan määrä kasvaa jyrkästi. Tarkastellaan seuraavassa kahden aliavaruuden reunaa. Otetaan yksinkertaisuuden vuoksi suora leik- 9

12 kaus. Leikkaus on esitetty kuvassa (6). Kuvaan on merkitty kentät leikkauksen reunalla siten, että punainen Kuva 6: Kahden aliavaruuden leikkauspinta. väri kuvaa sähkökenttää, joka on pinnan normaalin suuntainen ja sininen magneettikenttää, joka tangentiaalinen. Samanlainen tapaus saadaan myös vaihtamalla leikkauskohtaa jolloin magneettikenttä on normaalin suuntainen ja sähkökenttä tangentiaalinen. Huomionarvoista on, että kummankin pinnan kentät ovat täysin samat. Nämä kenttien arvot siis kahdennetaan. Pinnalla oleva sähkökenttä saadaan laskettua kummallakin puolella käyttämällä sähkökentän edellistä arvoa, sekä ympäröiviä magneettikentän arvoja. Tässä ei siis tarvita kommunikaatiota. Sen sijaan pinnalla olevien magneettikentän arvojen laskemiseen on kummassakin aliavaruudessa maksimissaan kolme komponenttia. Puuttuva neljäs (tai useammat puuttuvat) kenttäkomponentti täytyy hakea viereisestä aliavaruudesta. Nämä tarvittavat komponentit kannattaa tietenkin lähettää yhdessä paketissa, jolloin latenssin vaikutus vähenee. Samoin kannattaa kiinnittää huomiota siihen, että laskennan täytyy pysyä deterministisenä, eli uusia arvoja ei saa laskea missään aliavaruudessa ennen kuin kaikkialla on laskettu vanhat arvot. 4.3 Erikoisten päivitysyhtälöiden jakaminen Erikoiset päivitysyhtälöt voivat aiheuttaa vaikeuksia laskenta-avaruuden jakamisessa. Ne voivat mm. vaatia lisää aliavaruuksien välistä kommunikaatiota. Nämä ongelmat ovat kuitenkin niin tapauskohtaisia ja monimutkaisia, että jätetään niiden tarkempi käsittely pois. Esimerkkinä voidaan kuitenkin mainita, että monet absorboivat reunaehdot vaativat monia kentän arvoja kohdista, joista päivitysyhtälöt eivät riipu. Samoin lähi-kaukokenttämuunnos vaatii pinnan kenttien Fouriermuuntamisen takia lisää kommunikaatiota. 4.4 Rinnakkainen algoritmi Nyt voimme esittää rinnakkaistamisen vaatimat muutokset kappaleessa (3.) esitettyyn simuloinnin vaiheisiin.. Alustus. Varataan tarvittava muisti ja nollataan kenttäkomponentit. Ja tämän lisäksi hoidetaan laskenta-avaruuden jakaminen.. Alustetaan kerrointaulukot. Tällöin voidaan kuvata tutkittavan rakenteen ominaisuudet, esim. johdepinnat. 3. Tämän jälkeen suoritetaan jokaisella aika-askeleella seuraavat toimenpiteet: (a) Päivitetään lähteinä toimivien kenttäkomponenttien arvot. Tämä tehdään jokaisessa aliavaruudessa. (b) Lasketaan magneettikentille uuden arvot käyttäen edellisiä magneettikentän arvoja sekä ympäröiviä sähkökentän arvoja. 0

13 (c) Lasketaan sähkökentille uudet arvot käyttäen edellisiä sähkökentän arvoja sekä ympäröiviä magneettikentän arvoja. (d) Tässä vaiheessa täytyy kopioida tarvittavat arvot aliavaruuksista toisiin. (e) Lasketaan halutut kentän arvot laskenta-avaruuden reunoilla absorboivast reunaehdosta (tai PML-reunan tapauksessa tehdään kenttien jakamiseen liittyvät toimenpiteet). Tämäkin tehdään jokaisessa aliavaruudessa erikseen. Reunaehto voi vaatia lisää kommunikaatiota. (f) Tallennetaan halutut arvot. Lähi-kaukokenttämuunnoksessa voidaan laskea diskreettiä Fouriermuunnosta. 4. Tulosten kerääminen ja jälkikäsittely. Tämä vastaa tilannetta, missä laskentaa on kahdennettu. Ilman sitä molempien kenttien arvoja joudutaa välittämään laskenta-avaruuden osasta toiseen. Samoin kaikki monimutkaisemmat tapaukset on jätetty ulkopulelle. Myös laskennan synkronoinnin oletetaan säilyvän kommunikoinnin yhteydessä. 5 Yhteenveto Yhteenvetona voidaan todeta, että FDTD-algoritmi on verrattain yksinkertaisesti rinnakkaisettavissa. Tämä yhdistettynä itse algoritmin lineaariseen käyttätymiseen antaa mahdollisuuden tutkia ongelmia, joissa tuntemattomien määrä on hyvin suuri verrattuna moniin muihin menetelmiin. Kirjallisuudesta löytyy useita esimerkkejä, joissa on saavutettu hyvä nopeutus jopa useita satoja prosessoreita käyttämällä. Näistä esimerkkinä vaikkapa kirjassa Computational Electrodynamics: Finite-Difference Time-Domain Method esitetty hävittäjän tutkapoikkipinta-alan laskeminen, jolloin käytössä oli 048 prosessoria. Rinnakkaistaminen vaikeutuu kuitenkin huomattavasti, mikäli poiketaan yksinkertaisesta karteesisesta hilasta, tai käytetään eksoottisempia päivitysyhtälöitä joissain laskenta-avaruuden osissa. Nämäkään ongelmat eivät ole ylipääsemättömiä.

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat

Lisätiedot

Huygensin periaate Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V

Huygensin periaate Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V Aukko-antennit Neljästä an ten n ien p ääry h m ästä o n en ää k äsittelem ättä y k si, au k k o an ten n it. A u k k o an ten n ien rak en teessa o n jo k in au k k o, jo n k a k au tta säh k ö m ag n

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 7.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 7.2.2011 1 / 39 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Määrittelydokumentti

Määrittelydokumentti Määrittelydokumentti Aineopintojen harjoitustyö: Tietorakenteet ja algoritmit (alkukesä) Sami Korhonen 014021868 sami.korhonen@helsinki. Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin yliopisto 23. kesäkuuta

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

521365S Tietoliikenteen simuloinnit ja työkalut HFSS MARKO SONKKI 10.5.2006. Sisältö:

521365S Tietoliikenteen simuloinnit ja työkalut HFSS MARKO SONKKI 10.5.2006. Sisältö: 521365S Tietoliikenteen simuloinnit ja työkalut HFSS MARKO SONKKI 10.5.2006 10.5.2006 1 Sisältö: 1. Johdanto 2. Mihin HFSS:ää käytetään 3. Yleisimmät HFSS sovelluskohteet 4. Ratkaistu data ja sen soveltaminen

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Käydään läpi vastusten keskinäisten kytkentöjen erilaiset

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS

PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ Erkki Numerola Oy PL 126, 40101 Jyväskylä erkki.heikkola@numerola.fi 1 JOHDANTO Työssä tarkastellaan putkijärjestelmässä etenevän

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

Aaltoputket. 11. helmikuuta 2008

Aaltoputket. 11. helmikuuta 2008 Aaltoputket TEM-aaltojen lisäk si aaltojoh d oissa v oi ed etä m y ös m u ita aaltom u otoja, tark em m in sanottu na TE- ja TM-aaltom u otoja. A ik aisem m in on tod ettu, että TEM-aalto etenee v ain

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön ratkaiseminen Suora iterointi Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = f(x). Ensin päätellään jollakin tavoin jokin alkuarvo x 0 ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle, jolloin saadaan tarkennettu ratkaisu

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Stabilointi. arvosana. arvostelija. Marja Hassinen

Stabilointi. arvosana. arvostelija. Marja Hassinen hyväksymispäivä arvosana arvostelija Stabilointi Marja Hassinen Helsinki 28.10.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö 1 1 Johdanto 1 2 Resynkroninen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68 Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot