Simuloinnin hyödyntäminen ultraäänitestauksen kehittämisessä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Simuloinnin hyödyntäminen ultraäänitestauksen kehittämisessä"

Transkriptio

1 -YTO-TR 140 Joulukuu 1997 Simuloinnin hyödyntäminen ultraäänitestauksen kehittämisessä Stefan Sandiin STUK SÄTEILYTURVAKESKUS STRALSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

2 &STUK FI STU K-YTO-TR 1 40 Joulukuu 1997 Simuloinnin hyödyntäminen ultraäänitestauksen kehittämisessä Stefan Sandiin VTT Valmistustekniikka Tutkimuksen yhteyshenkilö Säteilyturvakeskuksessa Olavi Valkeajärvi STUK SÄTEILYTURVAKESKUS STRÄLSÄKERH ETSC E NTRA LE N RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

3 STUK:n raporttisarjoissa esitetyt johtopäätökset ovat tekijöiden johtopäätöksiä, eivätkä ne välttämättä edusta Säteilyturvakeskuksen virallista kantaa. ISBN ISSN Oy Edita Ab, Helsinki 1997

4 STUK-YTO-TR 140 SANDLIN, Stefan (VTT Valmistustekniikka). Simuloinnin hyödyntäminen ultraäänitestauksen kehittämisessä. STUK-YTO-TR 140. Helsinki s. ISBN ISSN Avainsanat: Ultraäänitestauksen simulointi, ultraäänitestauksen mallinnus, ultraäänimallinnus TIIVISTELMÄ Ultraäänitestauksessa on useita ongelmia, joita pyritään ratkaisemaan simuloinnin avulla. Esimerkkeinä voidaan mainita testaajien koulutus, testauksen suunnittelu, testauksen kattavuuden arviointi, optimaalisen testaustekniikan valinta, signaalin tulkinta sekä komponentin suunnittelu siten, että ultraäänitestaus on kattava ja helppo suorittaa. Simuloinnilla pyritään vähentämään kalliiden, keinovioilla varustettujen, koekappaleiden valmistuksen tarvetta. Simulointiin kuuluu kappaleen geometrian matemaattinen mallinnus sekä erilaisten vikojen mallinnus, ultraäänen etenemisen ja vuorovaikutuksen mallintaminen sekä testaustuloksen visualisointi. "Visualisoinnin tehtävänä on havainnollistaa ultraäänen kulkureittiä kappaleessa tai esimerkiksi näyttää mitattua kaiku-amplituudia kappaleen poikkipintaa esittävänä värikoodattuna projektiokarttana. Samalla tavalla voidaan myös visualisoida testauksen kattavuutta tietylle vioille ja valitulla testaustekniikalla. Mitattujen ja simuloitujen datojen visualisointi rinnakkain tarjoaa mahdollisuuden testata hypoteeseja muuttamalla mallinnetun vian luonnetta tai muuta testaukseen liittyvää muuttujaa. Vaihtoehtoinen simulointitekniikka on todellisten tallennettujen kaikujen käyttö. Tällöin keinoluotainta liikutellaan komponentin pintaa muistuttavalla mittauspöydällä ja kun keinoluotaimen sijainti on oikea vikaan nähden lähettää tietokone tallennettua kaikua ultraäänilaitteen näyttöruudulle. Tässä työssä keskitytään mallinnuksen periaatteisiin, mahdollisuuksiin ja rajoituksiin. Kehitetyistä malleista osa on jo validoitu ja ovat jo rutiinikäytössä. Anisotrooppisten (austeniittisten) hitsien testauksen simulointiin on myös panostettu, mutta nämä mallit edellyttävät, että hitsin tekstuuri on tunnettu ja näin ei yleensä käytännössä ole. Tämä tosiseikka rajoittaa simuloinnin käytettävyyttä austeniittisten hitsien tapauksessa.

5 STUK-YTO-TR 140 SANDLIN, Stefan (VTT Manufacturing Technology). The use of simulation in the development of ultrasonic testing. STUK-YTO-TR 140. Helsinki pp. ISBN ISSN Keywords: Simulation of ultrasonic testing, modelling of ultrasonic testing, ultrasonic modelling ABSTRACT Simulation techniques has been attempted to provide solutions to many problems in ultrasonic testing. For example training of operators, test design, assessment of the coverage of different testing methods, choise of optimal testing techniques, signal interpretation as well as the design of components so that an effective and well-covering ultrasonic testing can easily be performed. The use of ultrasonic simulations reduces the need for expensive testpieces with incorporated artificial defects. Ultrasonic simulation consists of modelling of the geometry of the component, modelling of defects in the component, modelling of ultrasonic propagation and interaction as well as a graphic technique for visualisation of the results. The role of the visulisation is for instance to picture the propagation of the ultrasonic pulse through the component or to show the measured echo amplitudes as different kinds of projection maps. The inspection coverage for a proposed inspection technique can also be visualised in this way using projection maps. A useful graphic technique is to visualise the measured data and the corresponding simulated data side by side. This provides a tool for testing hypotheses by changing the parameters of the modeled reflector until both pictures match each other. An alternative simulation technique is the use of real recorded ultrasonic signals. In this technique the operator places a dummy probe on a CAD tablet, the position of the probe is sensed and a message is sent to the PC, which then retrieves the appropriate A-scan waveform from the data store and displayes it on the flaw detector. This report focuses on the principles of modelling the ultrasonic inspection, the possibilities of modelling and the its limitations. Some of the existing models have been extensively validated and are in rutine use. Efforts has also been put on modelling the inspection of anisotropic media, such as austenitic welds, but these models presuppose that the texture of the weld is known and this is usually not the case in practise. This fact restricts the usefulness of modelling to a more qualitative description of the beam bending phenomena in the case of austenitic welds.

6 STUK-YTO-TR 140 SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ Sivu ABSTRACT 4 ALKUSANAT 6 1 JOHDANTO 7 2 SIMULOINNIN PERUSEDELLYTYKSET Kohteen geometriani mallintaminen Ultraäänen mallintaminen Luotaimen mallinnus Ultraäänen ja materiaalin vuorovaikutus 11 3 MITATTUJEN TALLENTEIDEN KÄYTTÖ 14 4 SIMULOINNIN VISUALISOINTI 16 5 SIMULOINNISTA SAATAVA HYÖTY Testauksen suunnittelu ja validointi Ultraääninäyttämien tulkinta Testaajien koulutus ja pätevöinti Testauksen luotettavuuden arviointi 25 6 MALLIEN VALIDOINTI PISC ohjelmassa suoritettu validointi Chalmersin teknillisen korkeakoulun malli IzfP:n malli BAM:n malli EdF:n malli 30 7 ESIMERKKEJÄ SIMULOINTIA SUORITTAVISTA ORGANISAATIOISTA 33 8 YHTEENVETO JA JOHTOPÄÄTÖKSET 37 KIRJALLISUUSLUETTELO 38

7 STUK-YTO-TR 140 ALKUSANAT Tämä selvitystyö on tehty VTT Valmistustekniikassa Säteilyturvakeskuksen rahoituksella. Työn valvojana on toiminut ylitarkastaja Olavi Valkeajärvi Säteilyturvakeskuksesta. Tekijä haluaa myös esittää parhaat kiitoksensa Jorma Pitkäselle (VTT Valmistustekniikka), joka on lukenut käsikirjoituksen ja tehnyt arvokkaita parannusehdotuksia. Espoo, kesäkuussa 1997 Stefan Sandiin

8 STUK-YTO-TR JOHDANTO Ultraäänitestaukseen liittyvät osaongelmina testaajien koulutus ja pätevöinti, testauksen kattavuuden arviointi, testauksen suunnittelu, mittaussignaalin tulkinta sekä testauksen luotettavuuden arviointi. Lisäksi kysymykseen voi tulla kriittisen komponentin suunnittelu uuteen laitokseen siten, että komponentin ultraäänitestaus on mahdollisimman kattava ja helppo suorittaa. Testaajien koulutuksessa, pate voinnissa ja testauksen luotettavuuden arvioinnissa tarvitaan koekappaleita, joihin on sijoitettu keinotekoisia virheitä tai käytöstä poistettuja kappaleita, joissa on todellisia käytön aikana syntyneitä säröjä. Viimeksi mainittujen kappaleiden saatavuus on kuitenkin rajoitettu. Koekappaleiden valmistus on kallista ja työlästä, joten kappaleita on yleensä olemassa vain rajoitettu lukumäärä ja niissä olevien vikojen lukumäärä on myös rajoitettu. Nämä ongelmat korostuvat isojen ja geometrialtaan monimutkaisten kappaleiden kohdalla. Tästä syystä on vaikeaa saada riittävän iso tilastollinen otanta testauksen luotettavuuden arvioinnissa. Samasta syystä testaajat saattavat oppia tuntemaan kappaleet ja niissä olevat viat, jolloin pätevöinti saattaa menettää merkityksensä. PISC II:ssa (Programme for Inspection of Steel Components) havaittiin merkittävää hajontaa ultraäänitestauksen laadussa eri testausmenetelmien ja eri testausyritysten välillä (Schmitz, Kröning & Langenberg 1994). Käytännön ultraäänitestaukseen käytetty aika halutaan minimoida sekä taloudellisista, tuotannollisista että säteilysuojelullisista syistä. Oman ongelmaluokkansa muodostavat myös austeniittiset hitsit ja pinnoitteet, joissa ultraäänikeila saattaa taipua yllättäviin suuntiin, koska aineen elastiset ominaisuudet eivät ole samanlaisia joka suunnassa. Mainitunlaisiin ongelmiin on haettu ratkaisuja simuloimalla ultraäänitestausta eri tavoilla. Simuloinnissa ei tarvita kalliita koekappaleita, vaan koekappale ja siinä olevat hitsit voidaan mallintaa CAD-tyyppisillä (Computer Aided Design) ohjelmilla. Viat (säröt, sulkeumat, hitsausvirheet) voidaan myös mallintaa matemaattisesti ja sijoittaa komponentin geometriseen tietokonemalliin haluttuun kohtaan. Tämäntyyppisiä virheitä voidaan luoda iso joukko ja niiden paikka, koko, suuntaisuus ja jopa pinnan laatu voidaan joissakin malleissa tarvittaessa vaihtaa. Kun geometriamalliin yhdistetään visualisointi ja malli, joka simuloi ultraäänen etenemistä, heijastusta ja vuorovaikutusta vian kanssa, voidaan simuloida todellista ultraäänitestausta. Visualisoinnin tehtävänä voi olla havainnollistaa käyttäjälle, miten ultraääni liikkuu luotaimesta vikaan ja takaisin valitulla luotaintyypillä ja valitulla skannauksella. Visualisointi voi myös esimerkiksi projektiokartan avulla havainnollistaa, miten kattava tietty testaustekniikka on eri vikatyyppien suhteen määrätyssä komponentissa (geometriassa). Visualisoinnin tärkeimpiä hyödyntämistapoja on mitatun datan ja mallinnetun datan esittäminen vierekkäin esimerkiksi A-, B-, C-kuvina tai SAFTrekonstruktiona (Synthetic Apperture Focusing Technique). Mallinnuksessa voidaan muuttaa testauksen kannalta tärkeitä parametrejä ja siten testata erilaisia hypoteeseja indikaation luonteesta vertaamalla simuloiduista ja mitatuista datoista tehtyjä kuvia keskenään. Simulointitehtävää voidaan periaatteessa lähestyä kahdella eri tavalla. Ensimmäinen tapa on luoda matemaattinen malli sekä komponentista

9 STUK-YTO-TR 1 40 vikoineen että ultraäänen etenemisestä ja vuorovaikutuksista. Toinen tapa on käyttää todellisia tallennettuja ja digitalisoituja ultraäänisignaaleja. Periaate on se, että järjestelmän käyttäjä liikuttaa keinoluotainta todellista komponenttia muistuttavalla pinnalla. Keinoluotaimessa olevat tunnistimet välittävät luotaimen sijainnin ja suunnan tietokoneelle ja kun luotain on sopivalla kohdalla vian koordinaatteihin nähden ilmestyy näyttöruudulle tallennettu ultraäänikaiku. Kaiku muuttuu realistisella tavalla luotainta liikuteltaessa. Molemmilla simulointiteknikoilla on omat etunsa ja heikkoutensa. Esimerkiksi tallennettu kaiku on mitä se on, vian suuntaisuutta tai luonnetta ei voida tietokoneen avulla muuttaa. Toisaalta kaikki tallennetut näyttämät ovat käytettävissä ja tallenteet vastaavat todellisuutta. Matemaattisissa malleissa vian sijainnin suuntaisuuden ja luonteen muuttaminen on vapaampaa, toisaalta realistisen kaiun aikaansaaminen on vaikeampaa. Matemaattisia malleja on olemassa monenlaisia yksinkertaisista sädemalleista monimutkaisiin malleihin, missä aaltoyhtälöä ratkaistaan suoraan eri tavoilla. Tästä syystä on PC:koneissa toimivia malleja, työasemissa toimivia malleja sekä supertietokoneympäristössä toimivia malleja. Seuraavassa selvitetään kirjallisuuden ja asiantuntijoiden avulla simuloinnin hyödynnettävyyttä ultraäänitestaustulosten tulkinnassa ja menetelmien validoinnissa. Ennen mallin käyttöönottoa on se validoitava, eli mallinnuksen antamien tulosten oikeellisuus on tarkistettava vertaamalla ennustetta koetuloksiin. Tällä hetkellä mallien validointi näyttää olevan vaihtelevalla tasolla. Yleisesti voidaan sanoa, että monet mallit ovat kehitysasteella. Kaupallisia malleja toki on, mutta mitään mallia, jota helposti voidaan soveltaa kaikenlaisiin testaustilanteisiin ei näytä vielä olevan olemassa. Johdannon lopuksi voidaan todeta, että saksalaiset tutkijat Schmitz, Kröning ja Langenberg (1994) ennustavat, että kustannusten minimointitarpeesta johtuen simulointi tulee pakolliseksi ultraäänitestauksessa.

10 STUK-YTO-TR SIMULOINNIN PERUSEDELLYTYKSET Kuten johdannossa todettiin tarvitaan ultraäänitestauksen simuloinnissa kolme päätekijää: Komponentin ja siinä olevien virheiden geometrian matemaattinen mallintaminen Ultraäänen etenemisen ja vuorovaikutuksen mallintaminen Lopputuloksen graafinen visualisointi Täydellinen simulointi vaatii vielä ultraääniluotaimen mallintamista sekä skannausliikkeen mallintamista. Ensimmäinen voi olla läheistä sukua CAD-tekniikalle (Computer Aided Design) ja esimerkiksi UT-Sim (Iowa State University) malli pystyy hyödyntämään CAD-ohjelmistolla luotua geometriamallia (Turnbull & Garton 1995). Ultraäänen etenemisen ja vuorovaikutuksen mallintamisessa on olemassa eri lähestymistapoja. Yksinkertaisin tapa on sädeteoria. Ultraääni kuvataan suorana viivana, joka taittuu ja heijastuu rajapinnoilta Snellin lain mukaan. Tällöin kuitenkin äänen aaltoluonteeseen liittyvät ilmiöt jäävät huomioimatta. Toisaalta laskenta-ajat jäävät lyhyiksi. Teoreettisesti kehittyneimmissä malleissa lähdetään liikkeelle aaltoliikeopista, jonka yhtälöitä ratkaistaan numeerisesti. Yleensä etenemisen mallintaminen ei ole kovin monimutkaista isotrooppisissa ja homogeenisissa aineissa. Ultraäänen ja särön vuorovaikutuksen mallintaminen on paljon vaativampi tehtävä. Graafinen visualisointi voi koostua esimerkiksi tilannekuvien sarjasta, jotka esittävät aaltorintaman etenemistä komponentissa, sädekimpun etenemisestä tai esimerkiksi SAFT-rekonstruktiosta (Synthetic Aperture Focusing Technique). SAFT:a käytetään ultraäänimittaustulosten visualisointiin, mutta yhtä hyvin voidaan syöttää simuloinnin tuottamaa dataa SAFT-ohjelmistoon. Simuloinnin tulosten ja mittaustulosten vertailu helpottuu, kun molemmat datat visualisoidaan samalla tekniikalla. Yllä mainituista matemaattisista simulointitavoista poikkeava tapa on todellisten tallennettujen näyttämien käyttö. Tällöin liikutellaan keinoluotainta koordinaattimittauspöytää muistuttavalla pinnalla ja tallennettu kaiku ilmestyy tietokoneen avulla ultraäänilaitteen näyttöruudulle, kun luotaimen sijainti on oikea heijastajaan nähden. Menetelmä soveltunee lähinnä opetukseen ja testaajien suorituskyvyn vertailuun. Tätä simulointimenetelmää käsitellään kappaleessa Kohteen geometrian mallintaminen Kohteen geometrian mallintaminen on ehdoton edellytys realistiseen simulointiin. Geometriamalli voi koostua matemaattisesti määritellyistä tasoista, sylinteripinnoista, kartioista jne. Mallinnetut pinnat määräävät missä luotaimen skannausliike voi tapahtua, missä ultraääni taipuu tai heijastuu. Esimerkiksi sovellettaessa Snellin lakia on välttämätöntä, että pinnan normaali on tunnettu heijastus- ja taipumispisteissä. Matemaattisesti mallinnetuista pinnoista simulointiohjelma pystyy laskemaan pinnan normaalin halutussa kohdassa. Valmiita CAD- ohjelmia voidaan käyttää geometriamallin luomiseen ja tätä hyödynnetään esimerkiksi UT-Sim mallissa (Turnbull & Garton 1995). Saksalaisessa (BAM, Bundesanstalt fur Materialforschung und -priifung) mallissa geometria mallinnetaan 3D-vektorialgebraa hyödyntäen (Wiistenberg & Boehm 1996). Viat mallinnetaan yleensä yksinkertaisina geometrisina objekteina, kuten palloina (sulkeumat), ympyröinä, ellipseinä ja nauhoina. Viat sijoitetaan haluttuihin kohtiin kohteen geometriamalliin. Yleensä mallinnetun vian pinta on tasainen. Ruotsissa on kuitenkin kehitteillä tekniikka pinnankarheuden mallintamiseen (Boström 1995). Englannissa on myös tehty malli, jossa vian pinnankarkeus pyritään ottamaan huomioon ja mallin ennustetta on verrattu koetuloksiin (Chapman 1990). Mallinnetun pinnan morfologia vastaa to

11 STUK-YTO-TR 1 40 dellisen pinnan morfologiaa vain keskimääräisesti, mutta tällä tavalla huomioidaan hajaheijastukset. Ultraäänen sironnan mallintaminen karheasta pinnasta on kuitenkin huomattavasti vaikeampaa kuin tasaisesta pinnasta. Kohteen geometrian mallintamisesta todettakoon vielä, että sellaisissa malleissa, joissa ratkaistaan aaltoliikkeen perusyhtälöltä suoraan käyttämällä tilavuuden diskretointia sekä kohteen geometrian mallintaminen että aaltoliikkeen mallintaminen sulautuvat yhteen. 2.2 Ultraäänen mallintaminen Ultraäänen etenemisen ja vuorovaikutuksen mallintamisessa pyritään ennustamaan määrätynlaisesta heijastajasta saatavaa ultraäänikaikua määrätyssä testaustilanteessa. Mallilla pystytään simuloimaan erilaisia testausmenetelmiä sekä tutkimaan niiden hyvät ja huonot puolet. Ultraäänitestauksen simuloinnin kannalta keskeisiä mallinnustehtäviä ovat ultraäänen heijastuminen vian pinnalta, aaltomuodon muutos sekä vian reunalla tapahtuva ultraäänen diffraktio. Lisäksi oletetaan yleensä, että aine on täysin elastinen eli absorptioon johtavaa viskoelastisuutta ei oteta huomioon. Esimerkiksi BAM:n mallissa absorptio on kuitenkin huomioitu käyttäen mitattuja absorptiokertoimia (Wiistenberg 1997) Luotaimen mallinnus Matemaattisessa mallinnuksessa voidaan periaatteessa ajatella, että aaltorintama tai säde syntyy kappaleen pinnalla tai missä tahansa kappaleen sisällä. Täydellisen ja todellisuutta vastaavan testauksen simulointiin tarvitaan myös luotaimesta lähtevän ultraäänikeilan mallinnus Luotainmallin pitää pystyä mallintamaan normaaliluotaimia ja kulmaluotaimia sekä huomioimaan kiteen koon ja muodon vaikutusta ultraäänikeilaan. Esimerkiksi Chapmanin (1990) artikkelista löytyy analyyttinen likiarvokaava, jonka avulla luotaimen äänikeilan amplitudi voidaan laskea mielivaltaisessa pisteessä P. Kaavan tarkkuuden väitetään olevan hyvän edellyttäen, että etäisyys luotaimesta on suurempi kuin 0,8 x (lähikentän pituus). Annetun kaavan tapauksessa kide on elliptinen. Kaavaan sisältyy avaruuskoordinaattien lisäksi myös taajuus (aallonpituus), mutta ei aika. Kaava on siis ajasta riippumaton ja antaa maksimiamplitudin pisteessä P, kun taajuus on co. Yhdellä taajuudella kyseessä on jatkuva aalto, ei pulssi. Todellinen ultraääniluotain lähettää kuitenkin pulsseja. Mallinnuksessa pulssi saadaan aikaan laskemalla amplitudi pisteessä P joukolle eri taajuuksia ja suorittamalla käänteinen Fourier-muunnos tulokselle. Wiistenberg ja muut (1996) ovat soveltaneet sähkötekniikan menetelmiä sekä Fouriermuunnosta lähtöpulssin laskemiseen. Kuvat 1, 2 Kuva 1. Luotainmallinnuksen Erhard 1996). osatehtäviä. Äänikeilan muodon määrääminen (Boehm, Wustenberg & 10

12 STUK-YTO-TR 140 ja 3 esittävät luotainmallinnuksen eri tehtäviä eli keilan muodon laskemisen (kuva 1), spektrin määräämisen (kuva 2) sekä pulssimuodon laskemisen (kuva 3). Luotaimen äänikeilan tarkka mallintaminen on varsin tärkeää, kun halutaan mallintaa kaikuamplitudin muuttumista skannausliikkeen aikana (Lakestani 1992). Oikea ultraäänipulssi koostuu, kuten yllä on sanottu, monista eri taajuisista siniaalloista, jotka interferoivat. Mikäli pulssi halutaan aikaansaada "oikealla" tavalla, joudutaan suorittamaan mallilaskuja monille eri taajuuksille, mikä lisää laskenta-aikaa. Tämän välttämiseksi voidaan aikaansaada pulssi suorittamalla siniaallon ja kellokäyrän (gauss-käyrä) superpositio. Näin ovat tehneen esimerkiksi Nouailhas ym. (1990). Pitkänen ja Sandiin VTT:lla käyttivät tätä tekniikkaa jo aikaisemmin tehdessään teoreettisia vertailuja ääniamplitudin vaihteluista luotaimen lähikentän keskiakselilla käytettäessä pulssitettua ja jatkuvaa aaltoa. Boström (1995) kuvaa hieman erilaisen tavan luotaimen mallintamiseen. Komponentin pinnalla määritellään efektiivinen pinta, jolla vaikuttaa pintavoima. Pintavoiman aiheuttamasta siirtymästä voidaan Huygensin periaatteen mukaan laskea amplitudi mielivaltaisessa pisteessä P suorittamalla integrointi pinnan yli. Mikäli halutaan pulssi ajan funktiona on vielä suoritettava integrointi taajuuden suhteen (Fourier-muunnos). Tämä voi johtaa hyvin pitkiin laskenta-aikoihin ja sen takia pyritään usein suorittamaan mallinnusta ainoastaan keskitaajuudella. Kuvassa 4 nähdään esimerkki luotaimen äänikeilan mallintamisesta Boströmin julkaisusta. Vasemmanpuoleiset kuvat esittävät luotainta, joka lähettää pitkittäisaaltoa kulmaan 30 (keskitaajuus 1,5 MHz, kaistaleveys 1 MHz). Oikeapuoleiset kuvat esittävät luotainta, joka lähettää poikittaisaaltoa kulmaan 30 (keskitaajuus 1,5 MHz, kaistaleveys 1 MHz). Aika kulkee kuvissa ylhäältä alaspäin. Huomioitavaa on, että molemmat luotaimet lähettävät sekä pitkittäistä että poikittaista aaltoa (ja pinta-aaltoja). Poikittaisen aallon nopeus on noin puolet pitkittäisen aallon nopeudesta, kuten kuvan matkaeroista nähdään Ultraäänen ja materiaalin vuorovaikutus Heijastus särön pinnalta sekä diffraktio särön reunoilta ovat tärkeitä ilmiöitä, joiden avulla ultraäänitestaaja pystyy löytämään komponentissa olevan särön ja määrittämään sen kokoa. Joissakin tapauksissa särö on havaittavissa vain särön reunoista tulevien diffraktiosignaalien ansiosta, jos tasaisen särön pintanormaali muodostaa tarpeeksi ison kulman ultraäänikeilan pituusakselin kanssa. Testattaessa geometrisesti monimutkaisia kappaleita (esim. yhde) on usein vaikea tietää minkälainen luotain ja minkälaista skannausliikettä kannattaa käyttää, kun etsitään tietyntyyppistä vikaa. Testauksen simulointi mallien avulla mahdollistaa testausmenetelmän toimivuuden tarkistamisen havainnollisesti ennen varsinaista ultraäänitestausta. Ultraäänen ja aineen vuorovaikutuksen mallintamisen pohjana on aaltoyhtälö. Poikkeuksina tästä ovat kaikkein yksinkertaisimmat sädemal- Spektrum [V/sec] Amplitude [V] t foisec] 4 f [MHz] Kuva 2. Luotainmallinnuksen osatehtäviä. Lähtöpulssin muoto (Boehm, Wustenberg & Erhard 1996). pulssin spektri (Boehm, Wustenberg & Erhard Kuva 3. Luotainmallinnuksen osatehtäviä. Lähtö- 1996). 11

13 STUK-YTO-TR (mml W *W» '0 Kuva 4. Mallinnettu lähtöpulssi ja sen visualisointi aaltorintamana. Keskitaajuus 1,5 MHz ja kaistaleveys 1 MHz. Vasemmalla puolella 30 asteen pitkittäisluotain ja oikealla puolella 30 asteen poikittaisluotain. Molemmista luotaimista lähtee kuitenkin sekä pitkittäis- että poikittaisaalto (ja pinta-aaltoja), kuten kuvista nähdään. Poikittaisaallon nopeus on noin puolet pitkittäisaallon nopeudesta. Aika kulkee kuvissa ylhäältä alaspäin. Yläkuvissa näkyy myös mallinnetun lähtöpulssin muoto ajan funktiona (Boström 1995). 12

14 STUK-YTO-TR 140 lit. Lakestanin (1992) mukaan ultraäänimallit voidaan jakaa kolmeen luokkaan: Eksaktit ratkaisut Approksimatiiviset ratkaisut Numeeriset ratkaisut Eksakteja ratkaisuja löytyy vain poikkeustapauksissa ja hyvin ideaalisille heijastajille. Eksaktilla ratkaisulla tarkoitetaan analyyttista funktiota, joka toteuttaa aaltoyhtälön. Approksimatiivisissa ratkaisuissa aaltoyhtälö muunnetaan yleensä integraaliyhtälöksi, jonka integroitavalle funktiolle tehdään likiarvoistuksia ennen integroimista. Esimerkiksi Kirchhofiin teoria, joka sisältyy moniin malleihin kuuluu tähän tyyppiin. Kirchhofiin teoria on läheistä sukua Huygensin periaatteelle (Chapman 1990). Numeerisissa ratkaisuissa lähdetään liikkeelle suoraan aaltoyhtälöstä, joka ratkaistaan numeerisesti esimerkiksi "finite difference"- tai "finite element"-menetelmillä (Schmitz, Kröning & Langenberg 1994). Mainittuja numeerisia menetelmiä voidaan käyttää miltei mielivaltaisissa geometrioissa sekä myös anisotrooppisissa ja epähomogeenisissä aineissa ja menetelmät kuvaavat hyvin ultraäänen ja heijastajan vuorovaikutusta. Tekniikka on siis varsin yleispätevä, haittapuolena on, että menetelmä johtaa pitkiin laskenta-aikoihin myös tehokkailla tietokoneilla (Boström 1995). Esimerkiksi 3D "Finite difference"-menetelmät mallintavat kaikkia aaltomuotoja, myös pinta-aaltoja, mutta nämä mallit vaativat CRAY-tyyppistä supertietokonetta (Garton 1997). Tästä syystä on myös käytetty yhdistettyjä menetelmiä, missä aaltoyhtälö ratkaistaan suoraan numeerisesti ainoastaan särön välittömässä läheisyydessä, kun taas likiarvostavaa integraalimenetelmää käytetään mallintamaan ultraäänienergian siirtymistä säröstä vastaanottavaan luotaimeen päin (Daniels ym. 1996). Tähän asti paljon käytettyjä malleja ovat yllämainittu Kirchoffin teoria sekä GTD (Geometric Theory of Diffraction). Kirchhoffin teoria soveltuu kuvaamaan sirontatilannetta, missä särön pintanormaali on lähes ultraäänikeilan pituusakselilla. GDT-teoria taas soveltuu kuvaamaan diflbraktiota särön reunoilta, kun pintanormaalin ja ultraäänikeilan pituusakselin välinen kulma on suuri (> ) (Coffey & Chapman 1983). GTD on sädeteoria ja diffraktoituneen säteen suunta määräytyy Snellin lain mukaan, kun taas diffraktoituneen säteen amplitudi ja vaihe määräytyvät diffraktiokertoimesta (Chapman 1990). Kuva 5 samasta Chapmanin artikkelista, havainnollistaa, kuinka diffraktoituneet pitkittäis-ja poikittaisaallot syntyvät särön kärkeen osuneesta tasomaisesta poikittaisaallosta, jonka tulokulma on a särön tangenttiin nähden. Kirchhoff ja GTD-teoriat täydentävät toisiaan ja sen takia molemmat sisältyvät usein samaan malliohjelmistoon. Näitä teorioita sekä menetelmiä, joilla analysoidaan ultraäänisäteen ja vian välistä kulmaa, käytetään usein todentamaan tietyn testaustekniikan suorituskykyä tai optimoimaan testaustekniikkaa monimutkaisen geometrian omaaville kappaleille (Daniels ym. 1996). Cone of diffracted compression rayi Edge tangent Cone of diffracted shear rays incident shear <sv) ray Kuva 5. Diffraktoituneiden pitkittäis- (pienempi kartio) ja poikittaissäteiden syntyminen särön reunalla. Sisääntulevan tasomaisen aaltorintaman normaali muodostaa kulman a särön tangentin kanssa. Kartioiden kulmat määräytyvät tulokulmasta a Snellin lain mukaan. Amplitudin suuntariippuvuus saadaan diffraktiokertoimen avulla (Chapman 1990). 13

15 STUK-YTO-TR140 3 MITATTUJEN TALLENTEIDEN KÄYTTÖ AEA Technology on kehittänyt ultraäänitestauksen simulointijärjestelmän, joka perustuu todellisten tallennettujen näyttämien käyttöön. Järjestelmä kulkee nimellä PC-SIMONE, missä PC viittaa PC-tietokoneeseen ja SIMONE tulee sanoista SIMulation Of Non-destructive Examination. Tämä kuvaus perustuu Highmoren (1997) artikkeliin. Järjestelmä perustuu Pentium-prosessoria käyttävään PC tietokoneeseen, jossa on 500 MB:n kovalevy ja simulointiohjelma toimii Windowsympäristössä. Kovalevylle on tallennettu erilaisia todellisia ultraäänikaikuja ja tästä kaikukirjastosta voidaan valita kaikuja simulointia varten sekä antaa niille koordinaatit testattavaan kappaleeseen nähden, jolloin kaiut ja niiden koordinaatit latautuvat tietokoneen muistiin. Testattavaa kappaletta edustaa koordinaattimittauspöydän tavoin toimiva alusta. Kun keinoluotainta liikutellaan alustalla siirtyvät luotaimen koordinaatit ja luotaimen suuntatiedot (kulmaluotaimen tapauksessa) tietokoneelle. Tietokone tarkistaa luotaimen sijaintitiedot jatkuvasti ja luotaimen ollessa sopivassa asennossa heijastajan sijaintitietoihin nähden, lähettää tietokone tallennetun heijastajan kaikusignaalin ultraäänilaitteelle. Ultraäänilaitteen näytöllä näkyvä signaali muuttuu luonnollisella tavalla luotainta liikutellessa ja kun luotaimen äänikeila ei enää osu heijastajaan, näkyy ainoastaan tietokoneen lähettämää satunnaista kohinaa. Simuloinnin aikana käytetään myös kontaktiainetta (vettä tai geeliä) ja keinoluotaimessa oleva ultraäänianturi seuraa jatkuvasti kontaktin laatua skannauksen aikana. Sekä skannausreitti että kontaktin laatu tallentuvat simuloinnin aikana tietokoneen muistiin ja nämä tiedot voidaan tutkia jälkeenpäin. Kuvassa 6 nähdään esimerkkinä, kuinka hyvä ja huono skannaustekniikka paljastuu simuloinnin avulla. Skannausjäljen leveys vastaa luotaimen läpimittaa. Yläkuvassa on skannattu tiheästi ja kontakti on hyvä. Alakuvassa skannausliike on liian harva ja kontakti on usein ollut huono (vaaleat kohdat). On muistettava, että PC-SIMONE ei itse tuota ultraäänidataa matemaattisten mallien tavoin, vaan lähettää tallennettuja kaikusignaaleja ultraäänilaitteelle. Tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että normaaliluotaimella mitattua kaikua ei voida katsoa esimerkiksi 45 kulmaluotaimella. Tallennettu kaiku on mitä se on. Kun matemaattisella simuloinnilla voidaan saada tietoa myös testausmenetelmien kattavuudesta ja hyvyydestä, soveltuu PC-SIMONE lähinnä testaajien koulutukseen, testaajien ammattitaidon tarkistamiseen sekä testaustulokseen vaikuttavien inhimillisten tekijöiden tutkimiseen. 14

16 STUK-YTO-TR140 Kuva 6. PC-SIMONEm tulostus tallennetusta skannausdatasta (manuaalinen skannaus). Ylhäällä esimerkki hyvästä skannauksesta. Skannaus on tiheää ja kontakti hyvää. Alhaalla skannaus on liian harva ja kontakti on usein ollut huono, kuten vaaleat alueet ilmaisevat (Highmore 1997). 15

17 STUK-YTO-TR SIMULOINNIN VISUALISOINTI Simuloitujen ultraäänitestausten visualisointi ei periaatteessa eroa mitattujen datojen visualisoinnista. Visualisointiohjelma "ei tiedä", onko visualisoitava data mitattua vai simuloitua. Tämä kuitenkin edellyttää, että simulointi tuottaa dataa, joka on mitatun datan kaltaista. Esimerkiksi yksinkertaisimmat sädemallit eivät välttämättä tuota dataa kuin nimenomaan säteen piirtämiseksi. Tässä kappaleessa tutustutaan visualisointiin viiden esimerkin avulla. Mallien validointia käsittelevässä kappaleessa nähdään lisää esimerkkejä visualisoinnista. Ensimmäisessä esimerkissä on UT-SIM (Iowa State University, Center for NDE) mallilla mallinnettu omenan muotoinen kappale, johon suunnataan fokusoitu ultraäänikeila immersiotekniikalla. Mallin visualisointiohjelma piirtää kolmiulotteisen läpinäkyvän lankamallin komponentista, mallinnusmoduli taas laskee pitkittäisten, poikittaisten ja aaltomuodon kautta syntyneiden säteiden radat, jonka jälkeen visualisointimoduli piirtää säteetkin lankamalliin (ks. kuva 7). Näyttöruudulla poikittaiset ja pitkittäiset säteet näkyvät erivärisinä (Turnbull & Garton 1995). Toisena esimerkkinä tarkastellaan ranskalaiseen MEPHISTOMIS-malliin liittyvää visualisointia. MEPHISTOMIS kuuluu osana CIVAMISohjelmistoon (joissakin artikkeleissa käytetään nimiä Mephisto ja CIVA). CIVAMIS on datankeruu ja visualisointiohjelmisto, jonka avulla sekä mitattua että mallinnettua dataa voidaan visualisoida vierekkäin. Ohjelmistoon kuuluva Champs- Sons-moduli mallintaa luotaimia ja mallinnetun ultraääniluotaimen äänikentän visualisointi nähdään kuvassa 8. Mallinnettava kohde on reaktoripaineastian ja yhteen välinen hitsi. Mallinnuksessa on hitsiin sijoitettu liitosvirhe kuvan 9 mukaan. Mallinnetussa tapauksessa luotain liikkuu vasemmalta oikealle. MEPHISTOMIS-malli mallintaa liitosvirheestä diffraktoituneen ultraäänikentän ja tulos ohjataan CIVAMIS-moduliin vi- Kuva 7. Geometrian ja ultraäänisäteiden visualisointi UT-SIM-mallissa. Mallinnettu kappale havainnollistetaan kolmiulotteisella lankamallilla, jonka suhteen säteet piirretään (Turnbull & Garton 1995). 16

18 STUK-YTO-TR 1 40 transducer movement COMPUTATION CONDITIONS : -CRISTAL SIZE: 40X40 roro - WIOE BAKO CONTACT PROBE - RABttie Of CURVATURE: MS mm -3»CALCULATIONS Kuva 8. Luotainmallin (Champs-Sons) laskeman äänikentän visualisointi CIVAMIS ohjelmiston kautta. Mallinnettu luotain on laajakaistainen kontaktiluotain 45 kulmalla ja kiteen koko on 40 x 40 mm. Skannausliike on vasemmalta oikealle. Mallinnuksessa tutkitaan reaktoripaineastian ja yhteen välistä hitsiä (Daniels 1996). INCOMPLETE FUSION DEPTH: 100 mm HEIGHT: 40 mm LENGTH : 40 mm Kuva 9. Mallinnuksessa paineastian ja yhteen väliseen hitsiin sijoitettu liitosvirhe syvyydellä 100 mm. Virheen korkeus on 40 mm ja pituus 40 mm (Daniels 1996). 17

19 STU K-YTO-TR 1 40 sualisointia varten. Kuvassa 10 nähdään esimerkki tulostuksesta. Kuvan yläosassa nähdään yleiskuva testaustilanteesta sekä luotaimesta lähtevien äänikeilojen akselit. Kuvan keskiosassa olevassa simuloidussa B-kuvassa nähdään virheen ylä- ja alareunoilta diffraktoituneet kaiut. Kuvan alareunassa nähdään simuloinnin tuloksena saadut A-kuvat (pulssimuodot). Vasemmassa kuvassa nähdään liitosvirheen yläreunalta tuleva diffraktiokaiku ja oikeanpuoleisessa kuvassa nähdään vastaava kaiku virheen alareunalta. Vertaamalla näitä molempia A-kuvia huomataan, että ylä- ja Fichitrs Fichler Paratnatrat: clva3.0tmp.parmaph ^ 0 m 'U8 Coup Vua Cota Vu«30 Vue3D f'tfaaucfgurl'"sontiföta "I \ öitcixcufi' tu'dijii 1 inspection configuration display Fichler US: civt ream.ph Bic.n tip diffraction echoe (top) tip diffraction echoe (bottom) simulated Bscan Flchlar US:cival.1206.r»sMaph A»c»n ZOOM Rap: 1 C f-]q [ Flchtar US:clva1.120a.r»«Meph Ajcan ZOOM Rap: 2 c[ LScflN.] U HtC«.Jte!-!ay-_o,o J!»- JLt k simulated Ascan (top) simulated Ascan (bottom) Kuva 10. Simuloidun ultraäänitestauksen visualisointi MEPHISTOMISmallin tuloksia käyttäen. Ylhäällä testaustilanteen visualisointi. Keskellä simuloiduista datoista tuotettu B-kuva, jossa näkyvät liitosvirheen ylä- ja alareunoilta diffraktoituneet kaiut. Alhaalla vasemmalla simuloitu A-kuva virheen yläreunalta tulevasta diffraktiokaiusta ja oikealla vastaava A-kuva alareunalta tulevasta diffraktiokaiusta. Kaiuilla on 180 asteen vaihe-ero, kuten kuuluu olla. 18

20 STUK-YTO-TR 140 a) ^^, 1 Kuva 11. Testaus-ja simulointitilanne, jossa mitatuista ja simuloiduista datoista tuotetut B-kuvat näytetään vierekkäin. Vasemmassa alakuvassa mitatuista datoista tuotettu B-kuva. Oikealla puolella on vastaava B-kuva, joka on aikaansaatu simuloinnin avulla (Lecoeur-Taibi ym 1996). alareunoilta tulevilla mallinnetuilla kaiuilla on 180 asteen vaihe-ero, kuten kuuluukin olla koetulosten perusteella (Daniels 1996). Yllä mainittiin jo, että CIVA:lla ja Mephistolla pystytään visualisoimaan mitattua ja simuloitua ultraäänidataa vierekkäin. Kuvan 11 yläosassa nähdään kuva todellisesta testaustilanteesta. Vasemmalla kuvan alaosassa on B-kuva mitatuista datoista. Oikeanpuoleinen kuva taas esittää simuloiduista datoista tuotettua B-kuvaa. Numerot viittaavat kaikujen alkuperään yläkuvassa. Vaikeasti tulkittavien mittaustulosten tapauksessa voidaan yrittää muuttaa simuloinnin kohteena olevan heijastajan geometriaa, kunnes mitattu ja simuloitu B-kuva näyttävät samanlaisilta. Näin saadaan apua tulosten tulkintaan (Lecoeur-Taibi ym. 1996). Kolmantena esimerkkinä visualisoinnista tutustutaan UTDefect-mallin grafiikkaan. Ruotsalainen UTDefect toimi alunperin UNIX-ympäristössä ja oli hankala käyttää. Nyt ollaan kehittämässä uutta PC-versiota, johon liittyy Windowsin alaisuudessa toimiva visualisointimoduli. Tämä moduli tulostaa A-, B- ja C-kuvia sekä tilannekuvia aaltorintaman etenemisestä kuvan 12 mukaan (Boström & Wirdelius 1996). «*<»*. ** «> 4*, 4+ M... Kuva 12. UTDefect-mallin tuottama visualisointi. Ylhäällä kuva aaltorintaman etenemisestä ja alhaalla A-, B-ja C-kuvat (Boström & Wirdelius 1996). 19

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Suomen ydinvoimateollisuudessa sovellettava rikkomattomien määräaikaistarkastusten

Suomen ydinvoimateollisuudessa sovellettava rikkomattomien määräaikaistarkastusten 1 (5) Suomen ydinvoimateollisuudessa sovellettava rikkomattomien määräaikaistarkastusten pätevöintijärjestelmä Teknisen perustelun laatiminen 1 Tarkoitus... 2 2 Henkilöstö, vastuut... 2 3 Alustavan teknisen

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen 08.09.2014 Ohjaaja: DI Mikko Harju Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Perusteet 5, pintamallinnus

Perusteet 5, pintamallinnus Perusteet 5, pintamallinnus Juho Taipale, Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_4.pdf (Sama piirustus kuin harjoituksessa basic_4). Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ Henna Tahvanainen 1, Jyrki Pölkki 2, Henri Penttinen 1, Vesa Välimäki 1 1 Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Aalto-yliopiston sähkötekniikan

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat

Lisätiedot

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011 Aalto yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Virtausmekaniikka / Sovelletun mekaniikan laitos MUISTIO No CFD/MECHA-17-2012 pvm 22. kesäkuuta 2011 OTSIKKO Hilatiheyden määrittäminen ennen simulointia

Lisätiedot

Betonin pitkät käyttöiät todellisissa olosuhteissa

Betonin pitkät käyttöiät todellisissa olosuhteissa Betonin pitkät käyttöiät todellisissa olosuhteissa Projektipäällikkö, TkT Olli-Pekka Kari Rakennustieto Oy Betonitutkimusseminaari 2.11.2016 Tutkimuksen tausta > Betonirakenteiden käyttöiät ovat pidentymässä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO Johdanto Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin mekaniikan lait pätevät. Tällaista koordinaatistoa ei reaalimaailmassa kuitenkaan ole. Epäinertiaalikoordinaatisto

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

eriste C K R vahvistimeen Kuva 1. Geigerilmaisimen periaate.

eriste C K R vahvistimeen Kuva 1. Geigerilmaisimen periaate. Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 5: RADOAKTVSUUSTYÖ Teoriaa Radioaktiivista säteilyä syntyy, kun radioaktiivisen aineen ytimen viritystila purkautuu

Lisätiedot

Park systems XE-100 atomivoimamikroskoopin käyttöohje

Park systems XE-100 atomivoimamikroskoopin käyttöohje Tämä käyttöohje on kirjoitettu ESR-projektissa Mikroanturitekniikan osaamisen kehittäminen Itä-Suomen lääninhallitus, 2007, 86268 Park systems XE-100 atomivoimamikroskoopin käyttöohje Mihin laitetta käytetään?

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

RADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT

RADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT 1 RADIOTIETOLIIKENNEKANAVAT Millaisia stokastisia ilmiöitä kanavassa tapahtuu? ONGELMAT: MONITIE-ETENEMINEN & KOHINA 2 Monitie-eteneminen aiheuttaa destruktiivista interferenssia eri reittejä edenneiden

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Pintamallintaminen ja maastomallinnus

Pintamallintaminen ja maastomallinnus 1 / 25 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Pintamallintaminen ja maastomallinnus Muistilista uuden ohjelman opetteluun 2 / 25 1. Aloita käyttöliittymään tutustumisesta: Mitä hiiren näppäintä

Lisätiedot

Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa

Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa Valtakunnallisesti kattavaa laserkeilausaineistoa ei vielä ole. Kaltevuusmallit perustuvat tällä hetkellä digitaalisen korkeusmallin

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa

Lisätiedot

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE9 (8) LIITE Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu Sisältö Sisältö... Johdanto... Tulokset.... Lämpökynttilät..... Tuote A..... Tuote B..... Päätelmiä.... Ulkotulet.... Hautalyhdyt,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ 1 JOHDANTO 2 VIRTUAALISEN AALTOKENTTÄSYNTEESIN TEORIA

HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ 1 JOHDANTO 2 VIRTUAALISEN AALTOKENTTÄSYNTEESIN TEORIA HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ Samuel Siltanen ja Tapio Lokki Teknillinen korkeakoulu, Mediatekniikan laitos PL 50, 02015 TKK Samuel.Siltanen@tml.hut.fi 1 JOHDANTO Huoneakustiikan

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Salasanan vaihto uuteen / How to change password

Salasanan vaihto uuteen / How to change password Salasanan vaihto uuteen / How to change password Sisällys Salasanakäytäntö / Password policy... 2 Salasanan vaihto verkkosivulla / Change password on website... 3 Salasanan vaihto matkapuhelimella / Change

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

7A.2 Ylihienosilppouma

7A.2 Ylihienosilppouma 7A.2 Ylihienosilppouma Vetyatomin perustilan kentän fotoni on λ 0 = 91,12670537 nm, jonka taajuus on f o = 3,289841949. 10 15 1/s. Tämä spektriviiva on kaksoisviiva, joiden ero on taajuuksina mitattuna

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

S MRI sovellukset Harjoitustehtävät. Ryhmä 1 Juha-Pekka Niskanen Eini Niskanen

S MRI sovellukset Harjoitustehtävät. Ryhmä 1 Juha-Pekka Niskanen Eini Niskanen S-66.3326 MRI sovellukset Harjoitustehtävät Ryhmä 1 Juha-Pekka Niskanen Eini Niskanen Tehtävä 8.3 Tehtävä 8.3 - Teoria Käytännössä MRI-kuvaan muodostuu aina virhettä rajallisen resoluution vuoksi Käytännössä

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

1 GDL-OBJEKTIN TUONTI...1

1 GDL-OBJEKTIN TUONTI...1 GDL-OBJEKTI SISÄLLYSLUETTELO 1 GDL-OBJEKTIN TUONTI...1 2 MTH CONCERTTO -OBJEKTI...3 2.1. Tekniset-välilehti...3 2.2. Asetukset-välilehti...3 2.3. Mitat-välilehti...4 2.4. Runko-välilehti...6 2.5. Aukko-välilehti...7

Lisätiedot

Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa

Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Sisältö: 1. Virtauksiin vaikuttavat tekijät 2. Tuulen vaikutus 3. Järven syvyyden

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

ÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT. Erkki Björk. Kuopion yliopisto PL 1627, 70211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO

ÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT. Erkki Björk. Kuopion yliopisto PL 1627, 70211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO ÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT Erkki Björk Kuopion yliopisto PL 1627, 7211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO Melun vaimeneminen ulkoympäristössä riippuu sää- ja ympäristöolosuhteista. Tärkein ääntä

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen Opetusmateriaali Tämän opetusmateriaalin tarkoituksena on opettaa kiihtyvyyttä mallintamisen avulla. Toisena tarkoituksena on hyödyntää pikkuautoa ja lego-ukkoa fysiikkaan liittyvän ahdistuksen vähentämiseksi.

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x

Lisätiedot

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Sami Hokuni 12 Syyskuuta, 2012 1/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Turun Yliopisto. Gradu tehty 2012 kevään

Lisätiedot

Insinööritoimisto Geotesti Oy TÄRINÄSELIVITYS TYÖNRO 060304. Toijalan asema-alueen tärinäselvitys. Toijala

Insinööritoimisto Geotesti Oy TÄRINÄSELIVITYS TYÖNRO 060304. Toijalan asema-alueen tärinäselvitys. Toijala Insinööritoimisto Geotesti Oy TÄRINÄSELIVITYS TYÖNRO 060304 Toijalan asema-alueen tärinäselvitys Toijala Insinööritoimisto TÄRINÄSELVITYS Geotesti Oy RI Tiina Ärväs 02.01.2006 1(8) TYÖNRO 060304 Toijalan

Lisätiedot

2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat

2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat 2016/06/21 13:27 1/10 Laskentatavat Laskentatavat Yleistä - vaakageometrian suunnittelusta Paalu Ensimmäinen paalu Ensimmäisen paalun tartuntapiste asetetaan automaattisesti 0.0:aan. Tämä voidaan muuttaa

Lisätiedot

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ 56 VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ Hyvällä havaitsijalla keskimääräinen virhe tähdenlennon kirkkauden arvioimisessa on noin 0.4 magnitudia silloin, kun meteori näkyy havaitsijan näkökentän keskellä.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT

TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT Työselostuksen laatija: Tommi Tauriainen Luokka: TTE7SN1 Ohjaaja: Jaakko Kaski Työn tekopvm: 02.12.2008 Selostuksen luovutuspvm: 16.12.2008 Tekniikan

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

DEE-53010 Aurinkosähkön perusteet

DEE-53010 Aurinkosähkön perusteet DEE-53010 Aurinkosähkön perusteet Toisen luennon aihepiirit Lyhyt katsaus aurinkosähkön historiaan Valosähköinen ilmiö: Mistä tässä luonnonilmiössä on kyse? Pinnallinen tapa aurinkokennon virta-jännite-käyrän

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

Menetelmäraportti - Konfiguraationhallinta

Menetelmäraportti - Konfiguraationhallinta Menetelmäraportti - Konfiguraationhallinta Päiväys Tekijä 22.03.02 Ville Vaittinen Sisällysluettelo 1. Johdanto... 3 1.1 Tärkeimmät lyhenteet... 3 2. Konfiguraationhallinnan tärkeimmät välineet... 4 2.1

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä Työ 3A VAIHTOVIRTAPIIRI Pari Jonas Alam Antti Tenhiälä Selostuksen laati: Jonas Alam Mittaukset tehty: 0.3.000 Selostus jätetty: 7.3.000 . Johdanto Tasavirtapiirissä sähkövirta ja jännite käyttäytyvät

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

PANK PANK-4122 ASFALTTIPÄÄLLYSTEEN TYHJÄTILA, PÄÄLLYSTETUTKAMENETELMÄ 1. MENETELMÄN TARKOITUS

PANK PANK-4122 ASFALTTIPÄÄLLYSTEEN TYHJÄTILA, PÄÄLLYSTETUTKAMENETELMÄ 1. MENETELMÄN TARKOITUS PANK-4122 PANK PÄÄLLYSTEALAN NEUVOTTELUKUNTA ASFALTTIPÄÄLLYSTEEN TYHJÄTILA, PÄÄLLYSTETUTKAMENETELMÄ Hyväksytty: Korvaa menetelmän: 9.5.2008 26.10.1999 1. MENETELMÄN TARKOITUS 2. MENETELMÄN SOVELTAMISALUE

Lisätiedot

KOHINA LÄMPÖKOHINA VIRTAKOHINA. N = Noise ( Kohina )

KOHINA LÄMPÖKOHINA VIRTAKOHINA. N = Noise ( Kohina ) KOHINA H. Honkanen N = Noise ( Kohina ) LÄMÖKOHINA Johtimessa tai vastuksessa olevien vapaiden elektronien määrä ei ole vakio, vaan se vaihtelee satunnaisesti. Nämä vaihtelut aikaansaavat jännitteen johtimeen

Lisätiedot

HARJOITUS 7 SEISOVAT AALLOT TAVOITE

HARJOITUS 7 SEISOVAT AALLOT TAVOITE SEISOVAT AALLOT TAVOITE Tässä harjoituksessa opit käyttämään rakolinjaa. Toteat myös seisovan aallon kuvion kolmella eri kuormalla: oikosuljetulla, sovittamattomalla ja sovitetulla kuormalla. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Kylänetti projektin sivustojen käyttöohjeita Dokumentin versio 2.10 Historia : 1.0, 1.2, 1.6 Tero Liljamo / Deserthouse, päivitetty 25.8.

Kylänetti projektin sivustojen käyttöohjeita Dokumentin versio 2.10 Historia : 1.0, 1.2, 1.6 Tero Liljamo / Deserthouse, päivitetty 25.8. Kylänetti projektin sivustojen käyttöohjeita Dokumentin versio 2.10 Historia : 1.0, 1.2, 1.6 Tero Liljamo / Deserthouse, päivitetty 25.8.2012 Hakemisto 1. Sivustot internetissä... 2 2. Yleistä... 2 3.

Lisätiedot

Käsitteistä. Reliabiliteetti, validiteetti ja yleistäminen. Reliabiliteetti. Reliabiliteetti ja validiteetti

Käsitteistä. Reliabiliteetti, validiteetti ja yleistäminen. Reliabiliteetti. Reliabiliteetti ja validiteetti Käsitteistä Reliabiliteetti, validiteetti ja yleistäminen KE 62 Ilpo Koskinen 28.11.05 empiirisessä tutkimuksessa puhutaan peruskurssien jälkeen harvoin "todesta" ja "väärästä" tiedosta (tai näiden modernimmista

Lisätiedot