VISUALISOINTI REAALIAIKA-3D-SOVELLUKSESSA
|
|
- Markku Majanlahti
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 VISUALISOINTI REAALIAIKA-3D-SOVELLUKSESSA Timo Palonen Toukokuu 2005 Informaatioteknologian instituutti
2 Haluan kiittää Ilmasotakoulua mahdollisuudesta osallistua Fox-projektiin osana varusmiespalvelustani. Kiitosta ansaitsee myös koko projektiryhmä: Tekniikan tohtori Riitta Penttinen, Yliluutnantti Kimmo Ahonen, Insinööri J-P Jutila, Vänrikki Jari Varje, Korpraali Tuomo Hirvonen sekä Lentosotamies Timo Vuorisalo. Kiitos!
3 1 SISÄLTÖ 1 JOHDATUS AIHEESEEN Työn lähtökohdat Työkaluvalinnat D-VISUALISOINNIN PERUSTEET Yleistä Kolmiulotteinen avaruus Vasen- ja oikeakätinen koordinaattijärjestelmä Kolmiulotteinen geometria Peruselementit Tasogeometrian normaalit ja varjostus Tilamuutokset ja hierarkia Tasogeometrian muokkaaminen Kohteeseen tutustuminen Muokkaustyökalut Referenssiobjektin käyttö Reaaliaika-3D visualisoinnin näkökulmasta Reaaliaika-3D sovelluksen peruspiirteet Bittikarttakuvien käyttö reaaliaika-3d sovelluksessa Läpinäkyvyyksien määrittäminen tekstuurin avulla Ohjelmallisesti luodut tekstuurit Kaksiulotteisen kuvan projisointi 3D-objektin pinnalle Yleisimmät projisointitavat Tasonsuuntainen projisointi Palloprojisointi Sylinteriprojisointi... 25
4 2 2.9 Tasogeometrian tekstuurikoordinaatit UV-koordinaatisto Tekstuurikoordinaatit osana teksturointiprosessia Automaattisesti määritellyt tekstuurikoordinaatit AISTI-ILMAVALVONTASIMULAATTORIN VISUALISOINTI Projektin läpivienti Taustatutkimus Puitteet Työtavat Visualisoinnin kehityskaari Aikaresurssit Mallinnusprosessi Esivalmistelut D-geometrian luominen Teksturointi Viimeistely ja testaus Palvelinohjelma Lähtökohdat Käyttöliittymä ja toiminnallisuus Värimaailma ja teema Graafinen toteutus Asiakasohjelma Periaate Käyttöliittymä ja siihen liittyvät ratkaisut Maastonpohjan luominen Puusto Illuusio horisontissa Vesielementti Pilvet ja taivas Aurinko ja kuu... 59
5 3 4 JATKOKEHITYS Lähtökohdat Graafinen jatkokehitys Koulutuksellinen näkökulma LOPUKSI Projektin yhteenveto Pohdintaa LIITTEET Liite 1. Kuvion 21 kuva yksi suurempana Liite 2. Kuvion 21 kuva kaksi suurempana Liite 3. Kuvion 21 kuva kolme suurempana Liite 4. Kuvion 21 kuva neljä suurempana Liite 5. Kuvion 21 kuva viisi suurempana Liite 6. Kuvion 21 kuva kuusi suurempana Liite 7. Kuvion 21 kuva seitsemän suurempana Liite 8. Kuvion 21 kuva kahdeksan suurempana Liite 9. Kuvion 21 kuva yhdeksän suurempana Liite 10. Kuvio 23 suurempana Liite 11. Kuvio 25 suurempana Liite 12. Kuvio 26 suurempana Liite 13. Kuvio 27 suurempana Liite 14. Kuvio 29 suurempana... 79
6 4 KUVIOT KUVIO 1. Koordinaatiston päätasot: xy, xz sekä yz... 9 KUVIO 2. Vasen- ja oikeakätinen koordinaattijärjestelmä KUVIO 3. Pisteiden yksi ja kaksi määrittämä viiva KUVIO 4. Pisteiden yksi, kaksi ja kolme määrittämä taso KUVIO 5. Pistenormaalia kuvaava vektori KUVIO 6. Flat-, gouraud- ja phong-varjostustekniikat KUVIO 7. Hierarkiakaavio vanhempi-lapsi-sisarus suhteesta KUVIO 8. Laatikon aliobjektien siirtäminen KUVIO 9. Tason siirto, kääntäminen ja skaalaus KUVIO 10. Tasogeometrian yleisimmät muokkaustyökalut KUVIO 11. Sininen peilikuva-referenssiobjekti perii muutokset vihreältä KUVIO 12. Geometrialtaan yksinkertainen objekti elävöitettynä teksturoimalla.. 20 KUVIO 13. Väriavaimen avulla toteutettu läpinäkyvyys KUVIO 14. Alpha-maski ladon teksturoinnissa läpinäkyvyyksien luomiseksi KUVIO 15. Harmaansävyisen satunnaispilven määrittämät korkeuserot KUVIO 16. Testikuva projisoituna eri menetelmillä objektin pinnalle KUVIO 17. Kuution teksturointiprosessi KUVIO 18. Tekstuurikoordinaatit levitettynä tasoon sylinteriprojisoinnin avulla. 27 KUVIO 19. Maastokuorma-auton tekstuurikoordinaatit määriteltiin tasoon osakokonaisuuksissa KUVIO 20. Kasvojen tekstuurikoordinaatit levitetty tasoon automaattisesti KUVIO 21. 3D-näkymän kehityskaari (ks. liitteet 1-9) KUVIO 22. Viivapiirroskuvat asemoitu lavasteisiin mallinnustyön helpottamiseksi KUVIO 23. Pommikoneen mallinnusvaiheet (ks. liite 10) KUVIO 24. TU-95:n rungon sekä potkurien geometria valmiina KUVIO 25. Mi-8:n mallinnustyö aloitettiin yhdestä tasosta (ks. liite 11) KUVIO 26. Kopterin runko mallinnettiin viivapiirroskuvia mukaillen (ks. liite 12) KUVIO 27. Geometrian viimeistely (ks. liite 13) KUVIO 28. TU-95:n tekstuurikoordinaatit KUVIO 29. TU-95:n tekstuurin työvaiheita (ks. liite 14) KUVIO 30. Valmis tekstuuri kohteen pinnalla... 42
7 5 KUVIO 31. Potkureiden tekstuurit luotiin 3D-mallin avulla KUVIO 32. Mi-8:n tekstuurivariaatiot ja teksturoidut 3D-mallit KUVIO 33. Venäläisen Su-30 hävittäjän ripustinpaikat KUVIO 34. Simulaattoriin määritellyt Su-30 hävittäjän asevariaatiot KUVIO 35. Kuvankaappaus Photoshop :sta: käyttöliittymä työn alla KUVIO 36. Käyttöliittymägrafiikka luotiin kolmen komponentin avulla KUVIO 37. Maastonpohjan tekstuuri luotiin ohjelmallisesti KUVIO 38. Ruudunkaappaus asiakasohjelmasta, jossa puusto reunustaa vesistöä 54 KUVIO 39. Horisontin häivytys sumun ja alpha-maskillisten tasojen avulla KUVIO 40. Maastonpohjan alla oleva vesitaso KUVIO 41. Ruudunkaappaus testikohteesta lähellä vedenpintaa KUVIO 42. Vedenpinnan heijastus ja väreily luomassa realismia KUVIO 43. Pilviverho koostui alpha-maskillisista tasoryppäistä KUVIO 44. Sade toteutettiin aisti-ilmavalvontatornin ympärille alpha-maskillisella sylinterillä KUVIO 45. Auringon geometria koostui tasosta ja kartiosta, joille määritettiin alpha-maskit (Kuviot T. P.)
8 6 1 JOHDATUS AIHEESEEN 1.1 Työn lähtökohdat Työssä käsitellään visualisointityötä osana reaaliaika-3d-sovelluskehitystä graafikon näkökulmasta. Esimerkkitapauksena toimii Ilmasotakoulun toimeenpanema Foxprojekti (flight observation xperience). Fox-projekti käynnistettiin varusmiesvoimin Ilmasotakoulussa Tikkakoskella syyskuussa Projektityö aloitettiin heti toisen saapumiserän peruskoulutuskauden päätyttyä. Projektin päätavoitteena oli toteuttaa aisti-ilmavalvontasimulaattori Puolustusvoimien käyttöön. Projektista kiinnostuneiden varusmiesten osaaminen ja tausta kartoitettiin haastattelujen perusteella ennen varsinaisen projektiryhmän nimeämistä. Alkuvaiheessa projektiryhmä koostui kolmesta esimiehestä sekä kolmesta varusmiehestä. Projektin kuluessa ryhmään saatiin vahvistukseksi vielä yksi johtajakoulutuksen saanut varusmies. Varusmiesten osalta projekti toteutettiin siis osana varusmiespalvelusta, erikoistehtävänä Suomen puolustusvoimille. Varusmiehet toimivat varsinaisen sovelluksen kehittäjinä. Esimiesten tehtävä oli muun muassa hallinnoida projektia, toimia tietolähteinä sekä hankkia vastauksia projektiin liittyviin kysymyksiin. Aiheen tarkka rajaus todettiin jo varhaisessa vaiheessa tarpeelliseksi, sillä esiin nousi paljon erilaisia, toinen toistaan kunnianhimoisempia, ideoita ja mahdollisia toteutuksia, joita ei annetussa aikakehyksessä voitu mitenkään toteuttaa. Projekti aloitettiin virallisesti Projektissa mukana olleiden varusmiesten reserviin siirtymispäiväksi oli määrätty , joten aikaa projektin toteutukseen oli noin neljä kuukautta. Lopulta tavoitteeksi asetettiin koulutuskäyttöön sopivan simulaattorijärjestelmän toteuttaminen tammikuun 2005 alkuun mennessä. Tavoite oli varusmiehen näkökulmasta haastava, mutta saavutettavissa kovalla työllä.
9 7 1.2 Työkaluvalinnat Graafikon työ projektissa painottui vahvasti kolmiulotteisen sisällön tuotantoon, joten pääasiallisena työvälineenä oli 3D-grafiikkaohjelmisto. Tässä tapauksessa käytettäväksi 3D-grafiikkaohjelmistoksi valittiin Autodesk 3ds Max. Valinta oli helppo, sillä ohjelmisto on reaaliaika-3d-sisällöntuotantoon hyvin soveltuva, Puolustusvoimilla oli tarjota ohjelmistoon lisenssi ja ohjelmiston tuntemusta löytyi projektiryhmästä. 2D-grafiikan tuotannossa niin ikään lisenssikysymykset ja projektiryhmän osaaminen nousivat valintaperusteiksi, sillä aikaa hankkia uusia lisenssejä saatikka tietotaitoa uusien sovellusten käyttöön ottamiseksi ei yksinkertaisesti ollut. 2D-grafiikan tuottamiseen valittiin Adobe Photoshop 7.0, johon löytyi lisenssi sekä asianmukainen osaaminen. Myös projektin alussa työasemina toimineet tietokoneet saatiin talon sisältä. Näitä työasemia käytettiin, kunnes paremmin graafikon työhön soveltuvat tehotyöasemat saapuivat. Kaiken kaikkiaan projektin aloituskustannuksiksi laskettiin noin 2000, mikä alitti varmasti kaikkien odotukset.
10 8 2 3D-VISUALISOINNIN PERUSTEET 2.1 Yleistä Tietokoneavusteista kolmiulotteista visualisointia käytetään jo lähes jokaisella teollisuuden alalla sekä erilaisissa medioissa. Tekniikka, joka oli vielä vuosikymmen sitten käytössä vain erikoistuneimmilla aloilla, on tullut jokapäiväiseksi. Näitä aikaisempia käyttöaloja olivat muun muassa elokuva-, auto- ja lentokoneteollisuus. Nykypäivänä jo lähes kaikilla aloilla tuotesuunnittelu tehdään tietokoneavusteisesti jollakin kolmiulotteisella suunnitteluohjelmistolla. Mainonnassa sekä peliteollisuudessa kolmiulotteisen visualisoinnin mahdollisuuksia on hyödynnetty jo pidempään. Tässä työssä kuvattavassa projektissa visualisointityö keskittyi kolmiulotteisen sisällön tuotantoon, jossa luotiin ja muokattiin kolmiulotteisia malleja reaalimaailman asioista. Ymmärtääkseen tätä prosessia täytyy ensin ymmärtää perusasiat kolmiulotteisesta avaruudesta sekä siinä vallitsevista peruskäsitteistä ja lainalaisuuksista. 2.2 Kolmiulotteinen avaruus Tietokonegrafiikkasovelluksissa käytetty kolmiulotteinen avaruus on yleisimmin visualisoitu käyttäen suorakulmaista kolmiulotteista koordinaattijärjestelmää. Tämä koordinaattijärjestelmä koostuu kolmesta komponentista: x, y ja z. Kolmiulotteisen avaruuden keskipiste eli origo sijaitsee pisteessä (0,0,0). Avaruudessa olevien pisteiden paikat ilmoitetaan etäisyyksinä origosta kunkin akselin suunnassa. Kuviossa 1 koordinaatiston kolme päätasoa on esitetty eri värein: xy vihreällä, xz sinisellä ja yz punaisella.
11 9 KUVIO 1. Koordinaatiston päätasot: xy, xz sekä yz 2.3 Vasen- ja oikeakätinen koordinaattijärjestelmä Kolmiulotteisessa avaruudessa kätisyys on tapa ilmoittaa koordinaattijärjestelmän akseliston positiiviset sekä negatiiviset suunnat. Kuvion 2 tapauksessa kätisyys vaikuttaa x-akselin positiiviseen suuntaan. (vrt. Eric W. Weisstein, , Coordinate System..) Suuntien määrittämiseksi kummassa tahansa järjestelmässä toimitaan kolmessa vaiheessa. Ensiksi nostetaan käsi kämmenpuoli kasvoja kohti ja ojennetaan peukalo sivulle; näin saadaan selville x-akselin positiivisen suunta. Toiseksi osoitetaan etusormella suoraan ylös; näin selviää y-akselin positiivinen suunta. Kolmanneksi keskisormi ojennetaan kohti kasvoja; näin saadaan selville z-akselin positiivinen suunta. (ks. kuvio 2) (vrt. Capizzi 2002, xix-xxi.)
12 10 KUVIO 2. Vasen- ja oikeakätinen koordinaattijärjestelmä. Millaista koordinaattijärjestelmää sovelluksessa käytetään, määräytyy sen mukaan, mikä on kulloinkin helpoin tai havainnollisin tapa esittää asioita. Esimerkiksi lentokonesimulaattorissa voidaan koordinaatisto kääntää niin, että x kuvaa kartan leveysasteita, y kuvaa pituusasteita ja z kuvaa korkeutta maanpinnasta (xy-tasosta), kun taas sukellusvenesimulaatiossa voitaisiin z-akseli kääntää kuvaamaan syvyyttä merenpinnasta kääntämällä z-akselin positiivinen suunta alaspäin. Käytettävän koordinaatiston valintaan vaikuttaa myös monesti sovelluksessa käytettävä 3D-rajapinta. Esimerkiksi tietokonepeleissä paljon käytetyt 3D-rajapinnat, kuten OpenGL ja Direct3D, käyttävät oletuksena eri koordinaattijärjestelmää. Silicon Graphicsin kehittämä OpenGL (open graphics library) käyttää oikeakätistä, kun taas Microsoftin vastaava 3D-rajapinta, Direct3D, käyttää vasenkätistä koordinaatistoa. 2.4 Kolmiulotteinen geometria Peruselementit Tietokonegrafiikassa käytetty kolmiulotteinen geometria koostuu pääsääntöisesti muutamasta peruselementistä, ikään kuin rakennuspalikoista, joita yhdistelemällä ja muokkaamalla saadaan aikaan monimutkaisiakin objekteja. Yleisesti käytetyt
13 11 rakennuspalikat mahdollistavat tiedon monipuolisen käytön ja yhteensopivuuden eri sovellusten välillä. Nämä rakennuspalikat ovat piste (vertex), viiva (line), taso (polygon). (vrt. Capizzi 2002, ) Piste on nimensä mukaan piste kolmiulotteisessa avaruudessa. Pisteen paikan määrittämiseen riittää kolme koordinaattia. Paikkatieto on muotoa (x,y,z), jossa kukin komponentti kertoo pisteen sijainnin origon suhteen kyseisen akselin määrittämässä suunnassa. Viiva kolmiulotteisessa avaruudessa määräytyy kahden pisteen x-, y- ja z- koordinaattien välille, kuten kuviossa 3 esitetään. Viivojen muodostama kolmiulotteinen verkko rajaa objektin tasoihin. KUVIO 3. Pisteiden yksi ja kaksi määrittämä viiva Tason voi ymmärtää kolmen tai useamman viivan rajaamana alueena, monikulmiona. Tasoista yksinkertaisin tarvitsee ainoastaan kolmen pisteen x-, y- ja z-koordinaatit. Näin muodostuu kolmiulotteinen kolmio, jossa kolme pistettä määrittää kolmion kärkipisteet, kuten kuviosta 4 nähdään.
14 12 KUVIO 4. Pisteiden yksi, kaksi ja kolme määrittämä taso Tasogeometrian normaalit ja varjostus Tasotyyppistä geometriaa ja sen sovelluksia on laajalti käytössä eri aloilla. Reaaliaikasovelluksissa tietokone käsittelee kaiken kolmiulotteisen geometrian tasoina, pois lukien erilaiset kuvantamismenetelmät (rendering), kuten säteenseuranta (ray-tracing). Tässä työssä käsiteltävässä projektissa mallinnustyö tehtiin poikkeuksetta käyttäen tasotyyppistä (polygonal) geometriaa. 3D-grafiikkasovelluksissa, kuten Autodesk 3ds Max :ssa, tasolla on normaali (face normal), joka määräytyy tason määrittävien pisteiden luontijärjestyksestä. Tason normaali kertoo tason pinnan ilmenemissuunnan avaruudessa (vrt. Eberly 2001, ). Tason normaali voidaan ymmärtää esimerkiksi vektorina, joka alkaa tason pinnalta ja suuntaa kohtisuoraan tasosta poispäin. Varsinaista tasonormaalin käsitettä ei 3D-rajapinnoissa, kuten Direct3D:ssä käytetä, sillä se on erikoistapaus tason pistenormaalien yhteisvaikutuksesta. Pistenormaali kuvataan yleensä vektorina, joka lähtee pisteestä suuntaan, joka on tätä pistettä ympäröivien tasojen normaalien keskiarvo (ks. kuvio 5).
15 13 KUVIO 5. Pistenormaalia kuvaava vektori Pistenormaalit mahdollistavat objektin eri osien pyöristämisen varjostuksen yhteydessä halutulla tavalla. Kolme perusvarjostustekniikkaa (shading) ovat flat-, gouraud- ja phong-varjostus. Flat-varjostuksessa tason jokainen pikseli määräytyy samanväriseksi. Gouraud-varjostuksessa tason jokaiselle pisteelle lasketaan oma väri valotuksen perusteella, ja väliin jäävien pikselien väritys määritetään interpoloimalla tason pisteiden värit tasaisesti tason pinnalle. Phong-varjostuksessa tason pisteiden pistenormaalien perusteella lasketaan jokaiselle tason pikselille oma normaalivektori. Tämän jälkeen jokainen tason pikseli valotetaan yksitellen normaalinsa, tasoon vaikuttavan valon sekä materiaalin perusteella. Näytönohjaimet tukevat yleisesti flatja gouraud-varjostusta. Phong-varjostusta tukevat laitteet ovat kalliita ja yleensä ainoastaan ammattilaiskäytössä. (vrt. Eberly 2001, 102) Kuviossa 6 nähdään varjostuksella tehty pyöristys kahden geometrialtaan identtisen särmiön tapauksessa. Särmiöistä vasemmanpuoleiseen on määritelty flat-varjostus, keskimmäiseen gouraud-varjostus ja oikeanpuoleiseen phong-varjostus.
16 14 KUVIO 6. Flat-, gouraud- ja phong-varjostustekniikat 2.5 Tilamuutokset ja hierarkia Objektin tilaa kolmiulotteisessa avaruudessa voidaan muuttaa monella tapaa. Objektilla on kolme perusominaisuutta: paikka, asento ja koko (scale). Kunkin ominaisuuden arvoa voidaan interaktiivisesti muuttaa avaruudellisen koordinaatiston mukaan tai objektin oman lokaalin koordinaatiston mukaan. Avaruudellinen koordinaatisto pysyy samana kaikille kohteille, mutta jokaisella kohteella on myös lokaali koordinaatistonsa, jonka suhde avaruudelliseen koordinaatistoon on objektin tilasta riippuvainen. Hierarkialla tietokonegrafiikkasovelluksissa tarkoitetaan kohteen suhteita toisiin kohteisiin vanhempi-lapsi-sisarus-suhteilla. Lapsien tila muuttuu, kun vanhemman tilaa muutetaan, mutta lapsen tilan muuttaminen ei vaikuta vanhempaan. Esimerkiksi lentokoneessa, joka koostuu rungosta ja kahdesta potkurista, potkurit asetetaan lentokoneen rungon lapsiksi. Tällä tehdään mahdolliseksi potkurien pyöriminen vaikuttamatta rungon asentoon. Potkurit pysyvät näin myös lentokoneen rungon mukana lentokoneen liikkuessa. Kuviossa 7 on kuvattu esimerkin kaltainen rungon ja potkurien hierarkiarakenne, jossa runko on potkurien vanhempi ja potkurit toistensa sisaruksia.
17 15 KUVIO 7. Hierarkiakaavio vanhempi-lapsi-sisarus suhteesta 2.6 Tasogeometrian muokkaaminen Kohteeseen tutustuminen Tasogeometrian muokkaaminen reaaliaika-3d-sovellusta silmälläpitäen voitaneen kiteyttää seuraavaan kysymykseen: miten luoda uskottavan näköistä ja toimivaa geometriaa mahdollisimman vähäisellä tasomäärällä? Kolmiulotteisen sisällön luominen vaatiikin lähes poikkeuksetta suunnittelua ja kohteeseen perehtymistä ennen varsinaisen geometrian luomisprosessia. Kohteesta hankitaan lähdemateriaalia, tai mikäli kohde on mielikuvituksellinen, siitä piirretään luonnoksia ja mietitään mahdolliset toiminnalliset elementit. Esimerkki toiminnallisesta elementistä on piirroshahmon jäsenten liikuttelu luiden avulla. Joskus kohteen geometrista rakennettakin joudutaan hahmottelemaan edeltäkäsin paperille, jotta mallinnusprosessi osattaisiin käynnistää oikealla tavalla. Näin mallintaja saa selkeän kuvan mallinnettavasta kohteesta ja halutusta tuloksesta Muokkaustyökalut Tasogeometrian muokkaukseen käytettävät työkalut vaihtelevat jonkin verran riippuen käytetystä 3D-grafiikkasovelluksesta, mutta perusperiaatteet pysyvät kuitenkin samoina. Tasogeometrian muokkaus pohjautuu aliobjekteihin (piste, viiva, taso) ja niille tehtäviin muutoksiin. Alimman tason objektit ovat eri sovelluksissa samat, mutta joissain sovelluksissa on otettu käyttöön mallinnusta helpottavia erikoistapauksia.
18 16 3ds Max :ssa näitä erikoistapauksia on editable poly -objekteille 1 kaksi. Ensimmäinen näistä viivan erikoistapauksista on border eli reuna. Border muodostuu kohteeseen, mikäli sen geometriassa on reikä. Tätä reikää reunustavat viivat voidaan valita automaattisesti käyttämällä border-aliobjektitasoa. Toinen erikoistapaus on kokoelma tasoja eli element. Elementit ovat ikään kuin objekteja objektin sisällä. Elementtejä käytetään yleensä monimutkaisempien mallien yhteydessä, kun halutaan jakaa kohde pienempiin osiin geometriatasolla. Yleisimmin tasogeometriaa luotaessa lähdetään liikkeelle jostakin primitiiviobjektista, kuten laatikosta. Kuusisivuinen laatikko koostuu seuraavista aliobjekteista: kahdeksan pistettä määrittelee laatikon kulmat, pisteitä yhdistää 12 viivaa sekä viivat rajaavat kuusi tasoa. Kuviossa 8 nähdään tällainen laatikko. Laatikon jokaista pistettä, viivaa tai tasoa voidaan muokata aivan kuin mitä tahansa objektiakin. Aliobjekteja voidaan liikuttaa haluttuun paikkaan, niitä voidaan kääntää jonkin akselin ympäri miten halutaan, ja niitä voidaan skaalata halutun kokoisiksi. Kuviossa 8 havainnollistetaan, miten eri aliobjekteja liikuttamalla voidaan vaikuttaa laatikon muotoon. KUVIO 8. Laatikon aliobjektien siirtäminen Aliobjektien liikuttamista, kääntämistä ja skaalaamista havainnollistetaan kuviossa 9 tason avulla. 1 Autodesk 3ds Max :ssa käytössä oleva geometriatyyppi, jonka työkaluja on kehitetty reaaliaikasovellukseen tarkoitetun kolmiulotteisen sisällöntuotannon tarpeita silmälläpitäen.
19 17 KUVIO 9. Tason siirto, kääntäminen ja skaalaus Tasogeometrian rakennetta voidaan muuttaa monella tapaa. Kuviossa 10 esitetään yleisimpiä tasogeometrialle tehtäviä muutokset: leikkaus, extrude ja bevel. KUVIO 10. Tasogeometrian yleisimmät muokkaustyökalut Leikkaamalla taso jaetaan osiin halutusta kohdasta. Leikkauksen tulos näkyy uutena viivana sekä leikkauksesta riippuen myös uusina pisteinä objektin pinnalla. Tämä viiva jakaa tasoa uusiin tasoihin, kuten kuviosta 10 nähdään. Extrude-toimenpide pursottaa valittua tasoa haluttuun suuntaan luoden sivuilleen lisää geometriaa kuvion 10 tapaan. Bevel toimii samaan tapaan kuin extrude, mutta pursotuksen jälkeen tasoa voidaan samalla skaalata Referenssiobjektin käyttö Symmetrisiä kohteita mallinnettaessa avuksi otetaan monesti referenssiobjekti, joka peilataan symmetria-akselin suhteen. Työssä käsiteltävässä projektissa referenssiobjekteille oli paljon käyttöä. Peilatun referenssiobjektin avulla mallintaja
20 18 pystyi keskittymään kohteen toisen puoliskon mallintamiseen ja näki samalla referenssiobjektin muokkautuvan symmetrisesti vastaamaan työstettävää puoliskoa. Kuviossa 11 havainnollistetaan referenssiobjektin käyttömahdollisuuksia. Vihreästä laatikosta peilattiin y-akselin suhteen kopioksi vastakkaiseen suuntaan sininen laatikko. Sininen laatikko määritettiin vihreän referenssiobjektiksi, jolloin kaikki muutokset, joita vihreään laatikkoon tehtiin, vaikuttivat samalla tavalla siniseen. Kuvassa vihreälle tehdyt muutokset, jotka periytyvät siniselle peilikuva-referenssiobjektille ovat seuraavat: viivan siirtäminen, extrude ja bevel. KUVIO 11. Sininen peilikuva-referenssiobjekti perii muutokset vihreältä 2.7 Reaaliaika-3D visualisoinnin näkökulmasta Reaaliaika-3D sovelluksen peruspiirteet Reaaliaika-3D käsitteenä tarkoittaa kolmiulotteista ympäristöä, jota ajetaan tietokoneella reaaliaikaisesti. Kolmiulotteisessa ympäristössä tapahtuvat muutokset tulevat ruudulle peräkkäisinä kuvina, joita tietokone tuottaa sekunnin aikana useita annettujen ohjeiden mukaisesti. Usein reaaliaika-3d-sovellusta suunniteltaessa päätetään, mikä on minimi-fps (frames per second), eli montako kuvaa sekunnissa kohdelaitteiston on pystyttävä käytetystä kolmiulotteisesta ympäristöstä ruudulle tuottamaan. Silmää miellyttävän liikkuvan kuvan saavuttamiseksi ruudulle pitää piirtää noin kuvaa sekunnissa riippuen liikkeen nopeudesta ja liikkujista. Reaaliaikasovellukseen suunniteltu kolmiulotteinen ympäristö onkin rakennettava niin, että siellä esiintyvät kohteet ja niiden liikkeet voidaan esittää kohdelaitteistolla
21 19 sovellukselle asetettujen vaatimusten mukaisesti. Esimerkiksi tietokonepeliin suunniteltu hahmo tai objekti on geometrialtaan huomattavasti epätarkempi kuin pelkän grafiikan tuottamiseen suunniteltu hahmo tai objekti. Tämä näkyy selvästi esimerkiksi vanhempien kolmiulotteisten tietokonepelien alkuanimaatioissa, jotka tuotettiin lähes poikkeuksetta jollakin kolmiulotteiseen visualisointiin erikoistuneilla työkaluilla, kuten Autodesk 3ds Max :lla. Tällaisissa animaatioissa esitetään useita kuvia sekunnissa, mutta kuvien tuottamiseen ei enää tarvita tietokoneen laskutehoa, sillä kuvatieto on jo ennalta tallennettu tiedostoon, josta ne luetaan ruudulle peräkkäin. Alkuanimaatioissa esitettävät hahmot ja maisemat muistuttavat usein pelissä nähtäviä, mutta peliä ajetaan reaaliajassa. Pelinautinnon lisäämiseksi hahmot ja objektit on optimoitava niin, että kohdelaitteisto pystyy tuottamaan vähintään asetetun minimimäärän kuvia sekunnissa. Tämä optimointivaatimus asettaakin ehkä sen suurimman haasteen 3D-graafikolle: miten saada aikaan mahdollisimman näyttävää jälkeä mahdollisimman yksinkertaisella kolmiulotteisella geometrialla? Reaaliaika-3D-sovelluksissa käytetty geometria käsitellään nykyään lähes poikkeuksetta näytönohjaimessa. Uusimmat näytönohjaimet pystyvät sekunnin aikana käsittelemään ja tekemään lukuisia operaatioita kolmiulotteisille kolmioille. Uusimmilla tietokoneilla voidaankin pyörittää ruudulla reaaliajassa objekteja, jotka koostuvat tuhansista ja taas tuhansista tasoista. On kuitenkin muistettava, että kokonainen kolmiulotteinen näkymä koostuu usein kymmenistä, ellei jopa sadoista eri objekteista, joista jokainen koostuu tietystä määrästä tasoja Bittikarttakuvien käyttö reaaliaika-3d sovelluksessa Reaaliaikasovellus asettaa myös objektien pinnan väritykseen käytettäville kuville eli tekstuureille omat vaatimuksensa. Tekstuurit ladataan ja niitä käytetään tietokoneen näyttömuistista, joten muistin määrä asettaa rajan tekstuureina käytettävien kuvien koolle ja määrälle. Väritys voidaan tehdä monella eri tavalla. Näistä yleisin on kuvapohjainen teksturointi, jossa bittikarttakuva projisoidaan objektin pinnalle. Kuvapohjaisella teksturoinnilla voidaan luoda illuusio erittäin tarkoista malleista pinnoittamalla yksinkertainen geometria yksityiskohtaisella kuvalla. Esimerkiksi kuviossa 12 geometrialtaan yksinkertainen objekti on saatu näyttämään yksityiskohtaiselta
22 20 pinnoittamalla se bittikarttakuvalla. Tätä tekniikkaa käytetään reaaliaika-3dsovelluksissa, kun halutaan visualisoida kohteita tarkemmin. Teksturoinnin merkitys on korostunut erityisesti peliteollisuudessa, jossa näyttävyys on nykypäivänä ensiarvoisen tärkeää. KUVIO 12. Geometrialtaan yksinkertainen objekti elävöitettynä teksturoimalla Tietokone käsittelee kuvat digitaalisina taulukkoina, jotka luetaan muistiin kahden potensseissa. Tästä seuraa, että paras tapa optimoida kuva reaaliaikasovelluskäyttöön on pitää kuvan leveys sekä korkeus kahden potensseina. Käytetyimpiä tällaisia kuvakokoja ovat 256*256 pikseliä sekä 512*512 pikseliä. Kuvakoko määräytyy käytettävän alustan ja teksturoitavan kohteen vaatimasta tarkkuudesta. Reaaliaikasovelluksissa tekstuureina käytettävät kuvat on aina käsiteltävä alustalle sopiviksi niin ulkoasultaan, värisyvyydeltään kuin kooltaankin. Kuvakoot vaihtelevat hyvin pienistä (16*16 pikseliä) saumattomista tekstuureista aina hyvin suuriin (1024*1024 pikseliä) esittäviin tekstuureihin käyttötarkoituksen mukaan. Esimerkiksi kännykälle tehtävässä sovelluksessa tekstuurikoot ovat erittäin pieniä puhelimien alhaisen muistikapasiteetin ja prosessointitehon vuoksi. Kolmiulotteisessa ympäristössä kuvia käytetään moniin eri tarkoituksiin. Yleensä päämääränä on luoda illuusio jostain reaalimaailman asiasta tai esineestä yhdistelemällä erilaisia tekniikoita (vrt. Eberly 2001, 518). Hyvä esimerkki tällaisesta illuusion luomisesta on kasvillisuus, jonka luomiseen geometriapohjaisilla menetelmillä tarvittaisiin erittäin monimutkaista geometriaa. Tämä voidaan joissain tapauksissa kiertää esimerkiksi siten, että määritetään yksi taso, joka koostuu kahdesta
23 21 kolmiosta ja kerrotaan tasolle, että sen on määrä kääntää itseänsä pystyakselin ympäri niin, että katsoja näkee tason aina samasta kulmasta (vrt. Eberly 2001, ). Tälle tasolle määrätään väri ja läpinäkyvyys, jotka yhdessä muodostavat illuusion puusta. Ongelmana tässä tekniikassa on, että kameraa ei voida ajaa kovin läheltä tällaista tasoa. Läheltä katsottaessa huomaa selkeästi, että kyseessä on pelkkä taso, jolle on määritetty läpinäkyvyys ja näin luotu illuusio kasvillisuudesta. Illuusio puusta tai kasvista katoaa myös, mikäli tasoa katsotaan ylhäältäpäin Läpinäkyvyyksien määrittäminen tekstuurin avulla Tekstuuriin tallennettu läpinäkyvyystieto voidaan toteuttaa esimerkiksi väriavainta (color key) tai alpha-maskia käyttäen. Väriavaintekniikka käyttää yhtä tiettyä väriä määrittämään läpinäkyvyyttä. Kuvasta etsitään kaikki avaimeksi määritetyn väriset pisteet ja nämä pisteet määritetään läpinäkyviksi. Kuviossa 13 tason pinnalle on asemoitu kuva puuryhmästä, jota rajaa väriavaimeksi määritelty punainen. KUVIO 13. Väriavaimen avulla toteutettu läpinäkyvyys Väriavainta käytettäessä pitää huomioida reunojen väritys, sillä läpinäkyväksi tulevat vain ja ainoastaan määritellyn väriset pikselit, kaikki muu näkyy. Reunojen pehmennysefekti (anti-alias) on tässä tapauksessa ongelma, sillä reunojen pehmennys luo muutaman pikselin verran liukumaa halutun avaimeksi määritetyn värin ja reunan värityksen välille. Nämä värinpehmennyksessä käytetyt pikselit tulevat näkymään kappaleen reunoilla. Väriavaimen hyvä puoli on sen vähäinen tehovaatimus.
24 22 Toinen tapa luoda tekstuuripohjaisia läpinäkyvyyksiä on alpha-maskin määrittäminen. Alpha-maski on harmaasävyinen, usein kahdeksanbittinen, bittikarttakuva, joka mahdollistaa myös asteittaisen läpinäkyvyyden harmaan eri sävyjen mukaan; esimerkiksi niin, että musta on täysin läpinäkyvä, valkoinen täysin näkyvä, ja niiden väliltä kaikki harmaan sävyt ovat sitä näkyvämpiä, mitä kirkkaampia ne ovat. Tämä mahdollistaa monimutkaisten läpinäkyvyysmääritysten tekemisen suoraan tekstuurina käytettävän kuvan alpha-kanavalle tai erilliseen kuvatiedostoon. Alpha-maskia käytettiin projektissa esimerkiksi yksinkertaisesta geometriasta koostuvan ladon elävöittämiseen. Kuviossa 14 nähdään miltä tekstuurina käytetty kuva tuli näyttämään ja millainen alpha-maski sille oli määritetty. Kuviossa 14 näkyvistä ladoista keskimmäisessä tekstuurista on luettu ainoastaan väritieto, kun taas oikeanpuoleisessa ladossa on alpha-maskin määrittämä läpinäkyvyys otettu käyttöön. (vrt. Eberly 2001, , 509.) KUVIO 14. Alpha-maski ladon teksturoinnissa läpinäkyvyyksien luomiseksi Ohjelmallisesti luodut tekstuurit Algoritmiin perustuvalla teksturoinnilla (Procedural texture mapping) luodaan kolmiulotteisen objektin pinnalle johonkin matemaattiseen kaavaan perustuen väritys, joka muistuttaa esimerkiksi puun syykuviointia. Matemaattisten kaavojen perusteella luodut tekstuurit soveltuvat yleensä huonosti juuri siihen tarkoitukseen mitä silmälläpitäen ne on rakennettu (vrt. Capizzi 2002, 139). Esimerkkinä edelleen puu, jonka syykuviot saadaan matemaattisin keinoin luotua kolmiulotteiselle pinnalle, mutta näin saatu kuvio harvoin miellyttää katsojaa saatikka antaa mielikuvan puusta.
Luento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotHarjoitus Bones ja Skin
LIITE 3 1(6) Harjoitus Bones ja Skin Harjoituksessa käsiteltävät asiat: Yksinkertaisen jalan luominen sylinteristä Luurangon luominen ja sen tekeminen toimivaksi raajaksi Luurangon yhdistäminen jalka-objektiin
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotVisualisoinnin perusteet
1 / 12 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Visualisoinnin perusteet Mitä on renderöinti? 2 / 12 3D-mallista voidaan generoida näkymiä tietokoneen avulla. Yleensä perspektiivikuva Valon
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotSymmetrioiden tutkiminen GeoGebran avulla
Symmetrioiden tutkiminen GeoGebran avulla Tutustutaan esimerkkien kautta siihen, miten geometrista symmetriaa voidaan tutkia ja havainnollistaa GeoGebran avulla: peilisymmetria: peilaus pisteen ja suoran
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotPortfolio. Linda Siltakoski
r Pr Portfolio Linda Siltakoski 2015, Linda Siltakoski Tekijästä:»»» Linda Siltakoski 11.9.1992 Lybeckerin käsi- ja taideteollisuusopisto, audiovisuaalinen tuotanto Olen animaatio- ja pelituotannon opiskelija
LisätiedotKenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua
LisätiedotMatikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon
Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
LisätiedotLuento 6: 3-D koordinaatit
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
Lisätiedotkannet ja kotelot Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto
Metallisen kestomuottikappaleen suunnittelua 1, kannet ja kotelot Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae kokoonpano start_assembly_1_x.sldasm tai sitä vastaava neutraalimuotoinen tiedosto. Tehtävänäsi
LisätiedotKUVAN TUOMINEN, MUOKKAAMINEN, KOON MUUTTAMINEN JA TALLENTAMINEN PAINTISSA
KUVAN TUOMINEN, MUOKKAAMINEN, KOON MUUTTAMINEN JA TALLENTAMINEN PAINTISSA SISÄLLYS 1. KUVAN TUOMINEN PAINTIIN...1 1.1. TALLENNETUN KUVAN HAKEMINEN...1 1.2. KUVAN KOPIOIMINEN JA LIITTÄMINEN...1 1.1. PRINT
LisätiedotMuita kuvankäsittelyohjelmia on mm. Paint Shop Pro, Photoshop Elements, Microsoft Office Picture Manager
Missio: 1. Asentaminen 2. Valokuvien tarkastelu, tallennus/formaatit, koko, tarkkuus, korjaukset/suotimet, rajaus 3. Kuvan luonti/työkalut (grafiikka kuvat) 4. Tekstin/grafiikan lisääminen kuviin, kuvien/grafiikan
LisätiedotPainevalut 3. Teoriatausta Revolved Pattern. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa diecasting_3_1.sldprt
Painevalut 3 Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae aloituskappale start_diecasting_3_1.sldprt. Tehtävänäsi on suunnitella kansi alueille, jotka on merkitty kuvaan punaisella, vihreällä ja sinisellä
Lisätiedot7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle
7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle Harjoitus 13: Symmetristen kuvioiden tutkiminen Takaisin koulun penkille... Avaa dynaaminen työtiedosto H13_symmetria.html. Se löytyy Työpöydälle luomastasi kansiosta
Lisätiedotkartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi
5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen
LisätiedotKenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotTasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotAvaruuslävistäjää etsimässä
Avaruuslävistäjää etsimässä Avainsanat: avaruusgeometria, mittaaminen Luokkataso: 6.-9. lk, lukio Välineet: lankaa, särmiön muotoisia kartonkisia pakkauksia(esim. maitotölkki tms.), sakset, piirtokolmio,
LisätiedotEUROCUCINA 2014, Milano
Milanon Eurocucinakeittiömessut ovat Euroopan suurin keittiömessutapahtuma. Messut ovat tärkeä foorumi uusien keittiötrendien esille tuojana. EUROCUCINA 2014, Milano Vuoden 2014 messuilla näytteilleasettajia
Lisätiedot5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot
5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin
Lisätiedot3D-mallinnus ja teksturointi tietokonepeleissä
3D-mallinnus ja teksturointi tietokonepeleissä Markus Palviainen Johdantoa aiheeseen Graafikko sekoitus taiteilijaa ja teknistä tuntijaa Graafikolla oltava visuaalista näkemystä asioihin ja hänen pitäisi
LisätiedotELOKUVATYÖKALUN KÄYTTÖ ANIMAATION LEIKKAAMISESSA. Kun aloitetaan uusi projekti, on se ensimmäisenä syytä tallentaa.
ELOKUVATYÖKALUN KÄYTTÖ ANIMAATION LEIKKAAMISESSA Kun aloitetaan uusi projekti, on se ensimmäisenä syytä tallentaa. Projekti kannattaa tallentaa muutenkin aina sillöin tällöin, jos käy niin ikävästi että
LisätiedotMuuta pohjan väri [ ffffff ] valkoinen Näytä suuri risti
1. Qcad. Aloitusohjeita. Asenna ohjelma pakettien hallinasta. Tämä vapaa ohjelma on 2D. 3D ohjelma on maksullinen. Qcad piirustusohjelma avautuu kuvakkeesta. Oletuksena, musta pohja. On kuitenkin luontevaa
LisätiedotKenguru 2019 Benjamin 6. ja 7. luokka
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai
LisätiedotTämä toimii Kuhan koulu 3.lk, Ranua
Tämä toimii Kuhan koulu 3.lk, Ranua Julia Petäjäjärvi, Niko Romppainen, Elias Ilvesluoto ja Taneli Luokkanen TÄMÄ TOIMII 14.3.2005 Meidän Tämä toimii - ryhmässämme on Taneli, Julia, Elias ja Niko. Aluksi
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
LisätiedotToinen harjoitustyö. ASCII-grafiikkaa
Toinen harjoitustyö ASCII-grafiikkaa Yleistä Tehtävä: tee Javalla ASCII-merkkeinä esitettyä grafiikkaa käsittelevä ASCIIArt-ohjelma omia operaatioita ja taulukoita käyttäen. Työ tehdään pääosin itse. Ideoita
LisätiedotLoppuraportti. Virtuaali-Frami, CAVE-ohjelmisto. Harri Mähönen projektiassistentti Seinäjoen ammattikorkeakoulu. Versio
1 Loppuraportti Virtuaali-Frami, CAVE-ohjelmisto Harri Mähönen projektiassistentti Seinäjoen ammattikorkeakoulu Versio 1.0 15.1.2006 2 Sisällys Tiivistelmä... 3 1 Johdanto... 4 1.1 Dokumentin tarkoitus...
LisätiedotTAMK Ohjelmistotekniikka G Graafisten käyttöliittymien ohjelmointi Herkko Noponen Osmo Someroja. Harjoitustehtävä 2: Karttasovellus Kartta
TAMK Ohjelmistotekniikka G-04237 Graafisten käyttöliittymien ohjelmointi Harjoitustehtävä 2: Karttasovellus Kartta TAMK Karttasovellus Kartta Sivu 2/8 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO...3 2. VAATIMUSMÄÄRITTELY...
LisätiedotRiemannin pintojen visualisoinnista
Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)
LisätiedotLuento 4: Kiertomatriisi
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että
LisätiedotDigikuvan peruskäsittelyn. sittelyn työnkulku. Soukan Kamerat 22.1.2007. Soukan Kamerat/SV
Digikuvan peruskäsittelyn sittelyn työnkulku Soukan Kamerat 22.1.2007 Sisält ltö Digikuvan siirtäminen kamerasta tietokoneelle Skannaus Kuvan kääntäminen Värien säätö Sävyjen säätö Kuvan koko ja resoluutio
LisätiedotVeistämö Knaapi. Projektidokumentaatio
Veistämö Knaapi Projektidokumentaatio 2015 1 Sisällysluettelo 1 Esittely... 3 1.1 Idea/Tarve... 3 1.2 Synopsis/ Projektin kuvaus... 3 1.3 Aikataulutus ja kustannusarvio... 4 2 Suunnittelu... 6 2.1 Banneri
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotVisual Case 2. Miika Kasnio (C9767) 23.4.2008
Visual Case 2 Miika Kasnio (C9767) 23.4.2008 Työn tarkasti: Jouni Huotari 24.4.2008 1 SISÄLTÖ 1. TYÖN LÄHTÖKOHDAT... 2 2. PERUSTIEDOT... 2 3. ASENTAMINEN... 2 4. OMINAISUUDET... 3 4.1. UML-kaaviot... 4
LisätiedotPikaopas. Valintanauhan näyttäminen tai piilottaminen Avaa valintanauha napsauttamalla välilehteä, tai kiinnitä se pysyvästi näkyviin.
Pikaopas Microsoft Visio 2013 näyttää erilaiselta kuin aiemmat versiot. Tämän oppaan avulla pääset alkuun nopeasti ja saat yleiskuvan uusista ominaisuuksista. Päivitetyt mallit Mallien avulla voit nopeasti
LisätiedotPIKSELIT JA RESOLUUTIO
PIKSELIT JA RESOLUUTIO 22.2.2015 ATK Seniorit Mukanetti ry / Tuula P 2 Pikselit ja resoluutio Outoja sanoja Outoja käsitteitä Mikä resoluutio? Mikä pikseli? Mitä tarkoittavat? Miksi niitä on? Milloin tarvitaan?
LisätiedotTehtävä 3 ja 4. 3. aikakausilehden kansi pastissi 4. runokirjan kansi
Tehtävä 3 ja 4 3. aikakausilehden kansi pastissi 4. runokirjan kansi 3. Valitse esim. Opettaja-lehti ja tee sille uusi kansi lehden tyyliin samoilla fonteilla ym. (ohje sille), NYT-liite, tms. käy myös
LisätiedotLuku 6: Grafiikka. 2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat
2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat 2D-piirto 2-ulotteisen grafiikan piirto perustuu yleensä valmiiden kuvien kopioimiseen näyttömuistiin (blitting)
Lisätiedot1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä.
3-D ANAGLYFIKUVIEN TUOTTAMINEN Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Teknillinen korkeakoulu Petri Rönnholm Perustyövaiheet: A. Ota stereokuvapari B. Poista vasemmasta kuvasta vihreä ja sininen
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka
Lisätiedotkannet ja kotelot Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto
Metallisen kestomuottikappaleen suunnittelua 1, kannet ja kotelot Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae kokoonpano start_assembly_1_x.sldasm. Tehtävänäsi on suunnitella kansi alueille, jotka on
LisätiedotLuento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys Janne Kontkanen Geometrinen mallinnus / 1 Johdanto Piilopintojen poisto-ongelma Syntyy kuvattaessa 3-ulotteista maailmaa 2-ulotteisella
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotPeilatun kuvion ominaisuudet
Peilatun kuvion ominaisuudet Piirretään GeoGebralla koordinaatistoon kuvan mukainen nelikulmio Peilataan kuvio x-akselin suhteen origon suhteen. miten pisteiden koordinaatit muuttuvat, kun piste peilataan
LisätiedotGimp perusteet. Riitta, Jouko ja Heikki
Gimp perusteet Riitta, Jouko ja Heikki Jos haluat vaihtaa ohjelman kielen (asentaa oletuksena saman kuin käyttöjärjestelmä): käyttöjärjestelmän lisäasetuksista lisätään uusi ympäristömuuttuja:lang arvo:en
LisätiedotLuento 5: Stereoskooppinen mittaaminen
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"
LisätiedotScratch ohjeita. Perusteet
Perusteet Scratch ohjeita Scratch on graafinen ohjelmointiympäristö koodauksen opetteluun. Se soveltuu hyvin alakouluista yläkouluunkin asti, sillä Scratchin käyttömahdollisuudet ovat monipuoliset. Scratch
LisätiedotAUTOCAD-TULOSTUSOHJE. Tällä ohjeella selitetään Autocadin mittakaavatulostuksen perusasiat (mallin mittayksikkönä millimetrit)
AUTOCAD-TULOSTUSOHJE Tällä ohjeella selitetään Autocadin mittakaavatulostuksen perusasiat (mallin mittayksikkönä millimetrit) 1. MODEL VS. LAYOUT Autocadista löytyy vasemmasta alakulmasta automaattisesti
LisätiedotDigitaalisen arkkitehtuurin alkeet
1 / 18 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Digitaalisen arkkitehtuurin alkeet Miten tehdä mallin loppuosat? 2 / 18 Patch on helppo tehdä sisäosille, mutta alueen rajan ja korkeuskäyrien
LisätiedotKenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
LisätiedotFunktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
LisätiedotHarjoitus Morphing. Ilmeiden luonti
LIITE 1 1(5) Harjoitus Morphing Harjoituksessa käsiteltävät asiat: Objektien kopioiminen Editoitavan polygonin muokkaaminen Morph-modifier käyttö ilmeiden luomiseen Lyhyen animaation luonti set key- toimintoa
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
LisätiedotProjektinhallintaa paikkatiedon avulla
Projektinhallintaa paikkatiedon avulla Tampereen Teknillinen Yliopisto / Porin laitos Teemu Kumpumäki teemu.kumpumaki@tut.fi 25.6.2015 1 Paikkatieto ja projektinhallinta Paikkatiedon käyttäminen projektinhallinnassa
LisätiedotMaanmittauslaitoksen nimistö Spatialite-tietokantana. - kuvitettu ohje Quantum GIS 1.8.0 -ohjelmaa varten
Maanmittauslaitoksen nimistö Spatialite-tietokantana - kuvitettu ohje Quantum GIS 1.8.0 -ohjelmaa varten Taustaa Maanmittauslaitoksen nimistöaineistot ovat ladattavissa tekstitiedostoina Maanmittauslaitoksen
LisätiedotKenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)
Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotKUVANKÄSITTELY THE GIMP FOR WINDOWS OHJELMASSA
KUVANKÄSITTELY THE GIMP FOR WINDOWS OHJELMASSA Ohjeistuksessa käydään läpi kuvan koon ja kuvan kankaan koon muuntaminen esimerkin avulla. Ohjeistus on laadittu auttamaan kuvien muokkaamista kuvakommunikaatiota
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotOhjeissa pyydetään toisinaan katsomaan koodia esimerkkiprojekteista (esim. Liikkuva_Tausta1). Saat esimerkkiprojektit opettajalta.
Ohjeissa pyydetään toisinaan katsomaan koodia esimerkkiprojekteista (esim. Liikkuva_Tausta1). Saat esimerkkiprojektit opettajalta. Vastauksia kysymyksiin Miten hahmon saa hyppäämään? Yksinkertaisen hypyn
LisätiedotS09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta
AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt S09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta Loppuraportti 22.5.2009 Akseli Korhonen 1. Projektin esittely Projektin tavoitteena oli algoritmin kehittäminen
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotVideon tallentaminen Virtual Mapista
Videon tallentaminen Virtual Mapista Kamera-ajon tekeminen Karkean kamera ajon teko onnistuu nopeammin Katseluohjelmassa (Navigointi > Näkymät > Tallenna polku). Liikeradan ja nopeuden tarkka hallinta
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot1.4 Suhteellinen liike
Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotPintamallintaminen ja maastomallinnus
1 / 25 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Pintamallintaminen ja maastomallinnus Muistilista uuden ohjelman opetteluun 2 / 25 1. Aloita käyttöliittymään tutustumisesta: Mitä hiiren näppäintä
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotTietokonegrafiikka. Jyry Suvilehto T Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014
Tietokonegrafiikka Jyry Suvilehto T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014 1. Sovellusalueita 2. Rasterigrafiikkaa 3. Vektorigrafiikkaa 4. 3D-grafiikkaa 1. Säteenheitto
LisätiedotProjektityö: Mobiiliajopäiväkirja. Mikko Suomalainen
Projektityö: Mobiiliajopäiväkirja Mikko Suomalainen 1. Määritelmä Mobiiliajopäiväkirja on kännyköille suunnattu ajopäiväkirja-sovellus. Sovelluksen pääperiaate on toimia automaattisena ajopäiväkirjana.
LisätiedotGimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne.
Gimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne. Moni ammatikseen tietokoneella piirtävä henkilö käyttää piirtämiseen pisteiden sijasta viivoja.
LisätiedotKansionäkymä listasta suuriin kuvakkeisiin
Sirpa Leinonen Kansionäkymä listasta suuriin kuvakkeisiin Riippuen koneen Windows versiosta hieman eroja miten näkymä valitaan 1. Tiedosto 2. Näytä välilehdellä valinta kansio näkymlle Suurimmat tai suuret
LisätiedotKenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka
3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
Lisätiedotkertaa samat järjestykseen lukkarissa.
Opetuksen toistuva varaus ryhmällee TY10S11 - Tästä tulee pitkä esimerkki, sillä pyrin nyt melko yksityiskohtaisesti kuvaamaan sen osion mikä syntyy tiedon hakemisesta vuosisuunnittelusta, sen tiedon kirjaamiseen
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotLOGO 2. LOGO. Autokeskuksen yritystunnus on Autokeskus-logo.
8 LOGO Autokeskuksen yritystunnus on Autokeskus-logo. Autokeskuksen logoa käytetään aina vaakamuodossa. Logoa ei saa latoa, piirtää tai asetella uudelleen. Logon mittasuhteita tai väritystä ei saa muuttaa.
LisätiedotSuupohjan koulutuskuntayhtymä. Graafinen ohjeisto
Suupohjan koulutuskuntayhtymä Graafinen ohjeisto Graafinen ohjeisto Tämä graafinen ohjeisto antaa perusohjeet Vuoksin visuaalisen ilmeen käytöstä markkinointiviestinnässä. Graafisen ohjeiston noudattamisella
LisätiedotKenguru 2019 Mini-Ecolier 2. ja 3. luokka Ratkaisut Sivu 0 / 11
Sivu 0 / 11 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 VASTAUS D C E C A C 4 pistettä TEHTÄVÄ 7 8 9 10 11 12 VASTAUS E B A E B D 5 pistettä TEHTÄVÄ 13 14 15 16 17 18 VASTAUS D A D B D D Kilpailu pidetään aikaisintaan
LisätiedotVektoreita GeoGebrassa.
Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotAvaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto
Condess ratamestariohjelman käyttö Aloitus ja alkumäärittelyt Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Kun kysytään kilpailun nimeä, syötä kuvaava nimi. Samaa nimeä käytetään oletuksena
LisätiedotKenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Lisätiedot