2 Lämmön johtuminen. 3 Lämmönsiirtoprosessit. pulta lämmöksi, josta pitää päästä eroon.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Lämmön johtuminen. 3 Lämmönsiirtoprosessit. pulta lämmöksi, josta pitää päästä eroon."

Transkriptio

1 1 Johdanto Jokainen, tai ainakin suurin osa, tietokoneiden kanssa puuhastelevista ihmisistä törmää ennen pitkää johonkin asiaan tai pahimmassa tapauksessa ongelmaan, joka liittyy lämmönsiirtoprosesseihin. Tällöin kysymyksessä voi olla esimerkiksi kesän kuumimpina päivinä epävakaasti käyttäytyvä kone tai koneen hiljentämisen yhteydessä jäähdytyksen riittävyys. Lämmönsiirtoprosessit liittyvät hyvin läheisesti elektroniikkaan ja siksi skenegroup päätti paneutua aiheeseen hieman tarkemmin. Tämän artikkelin tarkoituksena ei ole räjäyttää kenenkään tajuntaa eikä vähentää skenen lukijoita, vaikka se riski on aina tietysti olemassa. Kyseessä on siis artikkeli, joka lähestyy fysiikan avulla tietokoneissa tapahtuvaa lämmöntuottoa, sen siirtämistä esimerkiksi ytimestä jäähdytyssiileen ja erilaisten menetelmien avulla edelleen ilman tai nesteen kautta kotelosta ulos. Samat periaatteet pätevät myös kompressori- ja LN2-jäähdytyksessäkin, mutta niitä ei erikseen käsitellä. Kuten myöhemmin tullaan huomaamaan, lämmönsiirtoprosessien käsittely kolmiulotteisessa tilanteessa on hyvin monimutkainen ja simulaatioilla suoritettava prosessi. Tämän vuoksi tässä jutussa esitettävät laskut ovat yksiulotteisia tilanteita, joilla voidaan kuitenkin arvioida lämmön siirtymistä varsin hyvin. Haluttaessa tarkempaa tietoa esimerkiksi jäähdytyssiilen tai blokin lämpötilajakaumasta joko ajasta riippumattomassa tai ajasta riippuvassa tilanteessa, on käytettävä asiaan kehitettyjä ohjelmia, kuten Matlabin laajennus Femlab. Syytä lienee mainita muutaman sananen myös perustermistöstä. Otetaan esimerkiksi vaikkapa näytönohjaimen ytimet ja niiden lämmöntuotto. Jos kaksi eri ydintä ottavat tehoa suurinpiirtein saman määrän ja niiden hyötysuhteet ovat suunnilleen samat, lämpövirrat ovat likimain samat. Jos nämä kaksi eri ydintä ovat erikokoiset, lämpövuot ytimistä jäähdyttimeen, tai mihin vain, ovat erisuuret. Tämä seikka kannattaa pitää mielessä tutkiessa elektroniikkalaitteiden lämmöntuottoa, sillä hyvin suuri osa käytetystä tehosta päätyy lo- 1

2 pulta lämmöksi, josta pitää päästä eroon. 2 Lämmön johtuminen Lämmön johtumisesta puhuttaessa on syytä mainita ensin muutama seikka. Aloitetaan Fourie n laista q = k T, (1) joka ilmaisee lämpövuon, joka on siis teho pinta-alayksikköä kohden (W/m 2 ). Yhtälössä esiintyvä k on lämmönjohtumiskerroin ja sen yksiköt ovat W/m K. Nabla, eli, on gradientti. Yleisesti karteesisissa koordinaateissa (muuttujana x, y ja z) T = T x î + T yĵ + T z ˆk. (2) Tälläinen koordinaatiston valinta sopii hyvin käsiteltäessä esimerkiksi lämmön siirtymistä tasaisen seinämän läpi (siilen pohja). Kun käsiteltävä tilanne ei riipu ajasta (stationäärinen tila) eli tasapainotila on jo saavutettu, yksiulotteisen seinän tapauksessa voidaan kirjoittaa T x = T 2 T 1, (3) L jossa T 2 ja T 1 ovat seinämän ulkolämpötiloja ja L seinämän paksuus (vrt. kuva 9). Stationäärisessä tilanteessa vuo q on vakio ja siten seinämän lämpötilaprofiili on muotoa T = ax + b, jossa a ja b ovat vakiota (a, b R). Seinämän lämpötila muuttuu siis tasaisesti eli vakiomäärän tietyllä etäisyydellä. Lämpövirta q saadaan kertomalla vuo pinta-alalla A. Usein lämmönsiirtoprosesseissa vuo on säilyvä suure, joten sen avulla määritetään tarvittaessa sitten lämpövirta, jonka yksikkö on Watti. 3 Lämmönsiirtoprosessit Nyt kun jokainen tuntee peruskäsitteet lämmönsiirtymisestä, voidaan puhua hieman tarkemmin lämmönsiirtoprosesseista, jotka jaetaan kolmeen eri ilmiöön: johtumiseen eli konduktioon, konvektioon ja säteilyyn. 2

3 Kuva 1: Fluidin nopeus- ja lämpötilajakauma [6]. Konduktiossa energia (eli lämpö) siirtyy kahden paikallaan olevan aineen välillä tai aineen sisällä jonkin lämpövastuksen ollessa mukana prosessissa. Lämpövastus on aineelle tai liitokselle (pii -> lämpötahna -> siili) ominainen suure, joka määräytyy muun muassa pintojen epätasaisuuksista ja aineiden lämmönjohtumiskertoimista (k). Toisin sanoen konduktioon liitetään edellä esitetty Fourier n laki (yhtälö 1). Konvektiolla tarkoitetaan lämmönsiirtoprosessia kahden aineen rajapinnalla (esimerkiksi kuparisiili ja ilma tai blokki ja virtaava neste). Tarkemmin ilmaistuna konvektio on advektio eli fluidin (virtaava neste/kaasu) mukanaan kuljettama lämpö + diffuusio, joka tulee johtumisesta. Konvektioon liittyy siis aina johtuminen, sillä infinitesimaalisen (mielivaltaisen) lähellä rajapintaa jäähdyttävä neste tai kaasu ei liiku, vaan lämpö siirtyy esimerkiksi blokista nesteeseen ensin johtumalla ja vasta sitten virtaavaan nesteeseen. Tämän vuoksi lähellä blokin tai siihen pintaa jäähdyttävä fluidi on nollanopeudessa ja siirryttäessä syvemmälle jäähdyttävään fluidiin sen nopeus kasvaa. Kyse on siis eri nopeudella virtaavista rajakerroksista (ks. kuva 1). Konvektioon liitetään myös Newtonin jäähtymislakina tunnettu yhtälö: q = h (T s T ), (4) jossa T s on pinnan lämpötila, T ympäristön lämpötila ja h konvektiivinen lämmönsiirtokerroin (W/m 2 K). Lisäksi konvektio voidaan jakaa vapaaseen ja 3

4 pakotettuun konvektioon. Näistä esimerkkeinä mainittakoon passiivinen jäähdytys (vapaa konvektio), jossa ilman liikkuminen perustuu lämpimän ja kylmän ilmamassan liikkeisiin ja aktiivinen jäähdytys, jossa ilmaa siirretään esimerkiksi jollain tuulettimella (pakotettu konvektio). Säteilyssä esimerkiksi jokin ympäristöä korkeammassa lämpötilassa oleva kappale (esim. prosessorin jäähdytyssiili, lämmönvaihdin tai kenno) luovuttaa energiaansa säteilemällä tietyillä aallonpituuksilla ts. kyseessä on sähkömagneettisilla aalloilla siirtyvä energia. Säteilyllä tapahtuvaan energiansiirtoon liitetään Stefan-Boltzmannin laki E b = σt 4 s, (5),jossa T s on absoluuttinen lämpötila (K), ja σ on Stefan-Boltzmannin vakio. E b on energiaa. Kyseinen tulos pätee niin sanotulle mustalle kappaleelle. Normaalisti pintoja ei voi käsitellä mustan kappaleen tapaan ja tällöin yllämainittu yhtälö kirjoitetaan muotoon E b = ɛσt 4 s, (6) jossa ɛ on emissiivisyyskerroin, joka on aina 0 1. Kun säteilyn tapauksessa otetaan huomioon myös ympäristöstä systeemiin saapuva lämpösäteily, vuo voidaan kirjoittaa muodossa q rad = q A = ɛe b (T s ) αg = ɛσ ( T 4 s T 4 sur). (7) Tässä yhtälössä α on absorptiokerroin, joka kuvaa sitä kuinka suuri osa kappaleeseen tulevasta säteilyenergiasta imeytyy siihen. G ja E b ovat keskenään hyvin samanlaisia suureita; ne kertovat säteilyn määrän. Laskujen kannalta on käytännöllistä muistaa, että energia säilyy myös lämmönsiirtoprosesseissa. Monesta tämä hyvin luonnolliselta vaikuttava idea auttaa ratkaisemaan tehtäviä hyvin lyhyesti ja ytimekkäästi turhaan monen sivun säätämiseen verrattuna. Tietokoneen kannalta ajateltuina lämmönsiirtoprosessit liittyvät konduktioon ja konvektioon; säteilyn osuus on hyvin pieni, sillä kuten edellä esitetyistä yhtälöistä voidaan havaita, säteily vaikuttaa vasta, kun lämpötilaerot ovat riittävän suuria. Normaalioloissa (huoneenlämpötilassa) säteily voidaan siis huoletta jättää huomioimatta. Säteilyn osuus kasvaa merkittäväksi vasta, kun lämpötilaerot ovat sadan asteen yläpuolella. 4

5 Nykyään paljon käytetyissä heatpipe-ratkaisuissa hyödynnetään konduktiota, konvektiota ja höyrystymistä. Heatpipe-järjestelmissä kyse on nesteen lämmittämisestä jäähyn pohjalla putkessa, jolloin höyrystynyt neste kulkeutuu kohti viileämpiä alueita, joissa se luovuttaa osan lämmöstään ja palautuu takaisin kiertoon. Heatpipe on halkaisijaltaan halutun suuruinen. Eri tarkoituksiin käytetään erisuuruisia porauksia. Lämmetessään heatpipen sisällä oleva matalassa lämpötilassa höyrystyvä neste sitoo itseensä höyrystymiseen liittyvän latenttilämmön. Kun neste muuttuu höyryksi, paine kasvaa ja höyry kulkeutuu heatpipen kylmemmille alueille, tietokoneen jäähdytyssiilessä kohti ylempiä rivastoja, kondensoituakseen kylmemmälle pinnalle. Tällöin höyry luovuttaa sitomansa lämpömäärän putkelle ja tiivistyy takaisin nesteeksi. Heatpipejäähyissä höyrystyminen ja kondensoituminen luo jatkuvan kierron, joka siirtää lämpöä efektivisesti jopa tuhansia kertoja paremmin kuin pelkkä kupari. Sopivasti nesteellä täytetyt heatpipet luovat putkien sisällä käytetyn verkkomaisen aineen kanssa systeemin, jossa lämpöä siirtävä neste kiertää putken asennosta riippumatta. Verkkorakenne aiheuttaa kondensoituneen nesteen kulkeutumisen lämpimämmälle alueelle kapillaari-ilmiön vaikutuksesta. Myös heatpipen sisähalkaisija ja sisäinen rakenne vaikuttavat lämmönsiirtokykyyn. Esimerkiksi sijoittamalla yhden ison putken suoraan kuumimman kohdan yläpuolelle saadaan nestettä höyrystymään nopeammin kuin kiinnittämällä muutamia pieniä putkia vaikkapa prosessorijäähyn alareunaan, jolloin etäisyys kuumimpaan pisteeseen on suurempi kuin ensinnä mainitussa tapauksessa. Nykyisissä prosessoreissa on toisaalta heatspreadit, joilla on tarkoituksena jakaa lämpövuo suuremmalle pinta-alalle. Näille jäähdytystyypeille on lisäksi tyypillistä metallista valmistetut lamellit/levyt, joihin heat pipeistä tai muusta systeemistä siirtyy lämpöä. Tämän jälkeen käytetään pakottetua konvektiota, jossa ilmaa ohjataan parhaimmillaan usean tuulettimen voimin yleensä jonkinlaiseen tuulitunneliin. Kyseessä on siis kaiken kaikkiaan hyvin monimutkainen prosessi, johon liittyy erilaisia lämpövastuksia useassa eri kohdassa, konduktiota, nesteen lämpenemistä, höyrystymistä ja kondensoitumista, kapillaari-ilmiötä, konvektiota, pakotettua konvektiota ja lopulta vielä ulkoisia tuulettimia, jotka koettavat pitää kotelon lämpötilan (ympäristön lämpötilan) riittävän alhaisena. Kuvissa 2 ja 3 on esitetty heatpipen rakenne ja toimintaperiaate. Asiatietoa heatpipeistä löytyy viitteestä [1]. Nestejäähdytykseen perustuvissa järjestelmissä kyse on konduktiosta lämpö- 5

6 Kuva 2: Heatpipen poikkileikkaus [2]. Kuva 3: Heatpipen toimintaperiaate [2]. 6

7 tahnan kautta blokkiin, konduktiosta blokin materiaalissa, konduktiosta jäähdyttävään nesteeseen sekä konvektiosta blokin materiaalin ja nesteen rajapinnalla. Lisäksi järjestelmään kuuluu pumppu, joka osaltaan lämmittää nestettä hieman sekä jäähdytyskenno (lämmönvaihdin), joka toimii joko aktiivisena tai passiivisena. Aktiivisissa järjestelmissä on tuulettimia ja prosessi toimii juuri toisinpäin blokkia ajatellen: lämpimästä vedestä siirtyy energiaa kennon putkiin konvektion ja konduktion kautta, putkista konduktiolla jäähdytyselementissä olevaan metallilevystöön ja siitä pakotetun konvektion avulla huoneeseen. Passiivinen kenno eroaa ainoastaan viimeisessä vaiheessa eli käytössä on luonnollinen konvektio, joka ei tietenkään ole yhtä tehokas kuin pakotettu konvektio, jossa konvektiivinen lämmönsiirtokerroin riippuu virtaavasta ilmamäärästä ja sen lämpötilasta. Edellä mainittu lämpövastus-termi on hyvin olennainen osa lämmönsiirtoprosesseja. Selvimmin tämä tulee ilmi, jos tarkastellaan esimerkiksi lämmön siirtymistä prosessorista nestejäähdytyksen avulla huoneeseen. Tällöin kokonaislämpövastus koostuu useasta eri rajapinnasta, jotka voivat olla esimerkiksi seuraavat: elektroniikkakomponentti prosessorin paketointi paketointi lämpötahna lämpötahna heatspread heatspread lämpötahna lämpötahna blokki, jne. Jokaisella materiaalilla on siis oma lämpövastus, joka määräytyy sen lämmönjohtavuuskertoimesta. Lisäksi eri rajapinnoilla vastus voi riippua konvektiokertoimesta, kuten blokin ja virtaavan nesteen tapauksessa. Lämmönsiirron kannalta rajapintoja on tietokoneen jäähdytyksessä siis hyvin monia. Luonnollisesti paras mahdollinen jäähdytys saavutetaan, kun lämpövastukset eri rajapintojen välillä ja materiaaleissa ovat mahdollisimman pienet. Vastuksia voidaankin pienentää esimerkiksi korvaamalla normaali piitahna hopeatahnalla, jonka k-arvo on huomattavasti piitä suurempi (puhdas pii: k=148 W/m K, puhdas hopea: k=429 W/m K). Samoin erilaisilla materiaalivalinnoilla jäähdytyssiilessä tai blokissa voidaan vaikuttaa lämmön siirtymiseen. Kupari on alumiinia tehokkaampi siirtämään lämpöä jne. Nestejäähdytysjärjestelmissä myös käytettävä neste vaikuttaa lämmönsiirtoon. Erikoistarkoituksiin kehitetyt nesteet ovat parempia kuin tislattu vesi tai veden ja glykolin sekoitus. Huoneen lämpötilassa etyleeni glykolin k=0,252 W/m K ja veden k=0,606 W/m K. 7

8 Kuva 4: Lämpövastukset materiaalissa ja lämpötilaprofiili [6]. On siis luonnollista, että bakteereja tappavana aineena käytetty glykoli pudottaa lämmönjohtavuuskerrointa veteen verrattuna. Monesti glykolin lisääminen veteen on kuitenkin lähtökohta, jos jäähdytysnesteenä ei käytetä erikoisaineita, kuten AG SuperCooleria. Nestejäähdytyksen kennona kannattaa myös käyttää kuparista versiota, jos sellainen on saatavilla. Maalatut kennot sisältävät yhden rajapinnan ja materiaalin lisää maalaamattomaan verrattuna ja maalien lämmönjohtavuuskertoimet eivät useinkaan ole kuparin veroisia, joten maalaus heikentää lämmönsiirtoprosessia. Kuvassa 4 on havainnollistettu eri materiaaleissa esiintyviä lämpövastuksia. Analogia sähkövastusten yhteensovittamiselle on ilmeinen. Kuvassa A on pintaala, q lämpövirta, L materiaalin paksuus ja T:illä on merkitty lämpötiloja eri alueissa systeemiä. Lisäksi punainen käyrä kuvaa systeemin lämpötilaa paikan funktiona. Jähdytysjärjestelmän toimivuus riippuu myös esimerkiksi käytetyn prosessorijäähyn siivekkeiden paksuuksista sekä niiden lukumäärästä ja etäisyydestä toisiinsa. Harvat rivastot ja ohuet levyt ovat osoittaneet olevansa yleensä tehokkaampia, kun ilmaa siirretään vähän. Tämä koskee siis hiljaisia jäähdytys- 8

9 järjestelmiä. Suurilla virtauksilla konvektiivinen kerroin h on suurempi kuin pienillä virtauksilla, jolloin paksummista jäähdytyslevyistä saadaan siirrettyä enemmän lämpöä ilmaan. Paksummat siivekkeet pystyvät myös siirtämään ohuita levyjä tehokkaammin lämpöä esimerkiksi ytimestä, sillä niillä on suurempi poikkipinta-ala. Konvektiivisen kertoimen arvo riippuu virtausnopeuden lisäksi myös lämpötilasta, joten ei olla kaukana tilanteesta, jossa voidaan reilusti todeta kaiken riippuvan kaikesta. Jäähdytysjärjestelmän optimoiminen on siten valtava projekti eikä siihen ole olemassa yksiselitteistä ratkaisua. Koska lämmönsiirtoprosessi on monen tekijän summa, yleensä päädytään jonkinlaiseen kompromissiin äänenpaineen ja jäähdytystehon välillä. Tämän lisäksi lämmönsiirtoon liittyy paljon muitakin asioita, kuten laminaarinen (suoraviivainen) ja turbulenttinen (pyörteinen) virtaus. Käytettäessä hyvin avonaisia jäähdytyselementtejä ja pientä liikkuvaa ilmamäärää, virtaus saattaa olla ainakin osittain laminaarista. Usein tilanne on kuitenkin se, että siilessä tai blokissa fluidin virtaus on turbulenttia ja se pyörteilee. Tällöin on kyse lämpimän ja viileän aineen sekoittumisesta pakotetussa virtauksessa ja se vaikuttaa myös lämmönsiirtoon. Turbulentti virtaus on huomattavasti laminaarista virtausta tehokkaampaa. Jäähdytyksen kannalta turbulentti virtaus on siis suotavaa, mutta esimerkiksi nestejäähdytyksen tapauksessa se lisää pumpun kuormaa. Laminaarinen virtaus muuttuu hyvin helposti turbulentiksi pienestäkin asiasta, kuten epätasaisesta pinnasta, josta esimerkkinä voidaan mainita jäähdytyssiilen piikit. Laminaarista ja turbulenttia virtausta on havainnollistettu kuvissa 5 ja 6. Kuvassa 7 nähdään fluidin nopeusjakauma kohtisuoran etäisyyden funktiona pinnasta sekä laminaarisessa että turbulentissa virtauksessa. Uudet nestemäisiin metalleihin ja sähkömagneettisiin pumppuihin liittyvät systeemit toimivat periaatteessa edellä selostetun nestejäähdytyksen tapaan. Ilmiöt ovat samanlaisia, mutta aineiden ominaisuudet ovat erilaisia. 4 Diffuusioyhtälö ja mahdollinen tajunnan räjäytys osa 1 Kuten jokainen on jo havainnutkin tähän mennessä, esimerkkilaskuja ei kovinkaan paljon ole viljelty. Tarkemmin ottaen yhtään ei ole esitetty. Tämä siksi, että meillä ei ole vielä käytössä riittäviä työkaluja lämpötilaprofiilien laskemiseksi jäähdytyselementeissä. Artikkelin tarkoituksena ei ole aiheuttaa kamalaa 9

10 Kuva 5: Laminaarinen ja turbulentti virtaus. Virtausten eroavaisuus näkyy kuvasta selkeästi [4]. Kuva 6: Turbulentissa virtauksessa fluidi sekoittuu vähitellen [5]. 10

11 Kuva 7: Nopeusjakaumat laminaarisessa ja turbulentissa virtauksessa. Lähellä pintaa fluidin nopeus on nolla (ns. no-slip -ehto, jota käytetään laskuissa) [3]. vieroksuntaa fysiikkaa kohtaan, mutta koska en itse tykkää asioiden esittämisestä no uskokaa vaan, näin se tulee -periaatteella, joudun valitettavasti seuraavaksi käsittelemään perusteita hieman tarkemmin. Tavoitteena on välttää älytöntä yhtälöhelvettiä, vaikka epäilemättä tästä ei siististi selviä kuin sulkemalla silmät ja menemällä muutaman sivun eteenpäin. Ensin on kuitenkin puhuttava hieman diffuusiosta ja diffuusioyhtälöstä, joka on perustavaa laatua oleva relaatio ratkottaessa lämmön siirtymistä. Käytännössä diffuusioyhtälö voidaan esittää kolmella eri tavalla. Tällöin kyseessä on niin sanottu karteesinen eli suorakulmainen (normaali) koordinaatisto, sylinterisymmetrinen koordinaatisto (esimerkiksi putkimaiset rakenteet) tai pallokoordinaatisto, jota voidaan hyödyntää laskettaessa vaikkapa vanhan tykin kuulan tai petanque-pallon lämpötilajakaumia. Diffuusioyhtälöitä on olemassa sekä ajasta riippuvia että ajasta riippumattomia, joista jälkimmäinen on helpompi ratkaista. Tällöin käsiteltävä tilanne on tasapainossa, joten systeemin lämpötila ei enää muutu ajan funktiona. Lyhyin tapa kirjoittaa diffuusioyhtälö energian säilymisen ja Fourier n lain avulla on dt ρc p = (k T) + q, (8) dt missä ρ on aineen tiheys, c p lämpökapasiteetti (aineelle ominainen suure) ja q energian generoitumismäärä tarkasteltavassa aineessa. Tätä yhtälöä ei siis aleta suotta johtamaan, koska se ei ole artikkelin tarkoitus. Yhtälöstä (8) on 11

12 kuitenkin johdettavissa kaikkien kolmen yllämainitun tapauksen lämmöndiffuusioyhtälöt, jotka ovat muotoa ( ) ( ) ( ) x k T x + k T + y y z k T z + q = T ρcp t ( ) ( ) ( ) 1 r r kr T r + 1 k T + r 2 φ φ z k T z + q = T ρcp (9) t ( ) ( ) ( ) 1 r kr 2 T r + 1 k T + 1 φ φ θ k sin θ T θ + q = T ρcp. t r 2 r 2 sin 2 θ r 2 sin θ Tämä on eittämättä sekavaa, jos diffuusioyhtälön kanssa ei ole tullut puuhasteltua, mutta mennään eteenpäin eli esimerkkeihin, joista ensimmäisessä saadaan ulos kaikille tuttuja numeroita, niin ei tule hätä käteen... 5 Esimerkkejä Aloitetaan esimerkin avulla, joka liittyy laajennettuihin pintoihin. Laajennetulla pinnalla tarkoitetaan kansanomaisesti sanottuna jäähdytysripoja sisältävää rakennetta. Päätin ottaa kyseisen esimerkin siksi, että laajennetut pinnat ovat tietokonepuolen jäähdytysjärjestelmissä vakiovaruste. Toisin sanoen markkinoilla ei taida olla jäähyä, jossa ei olisi käytetty erilaisia rivastoja jne. Tämä siksi, että laajennetun pinnan avulla saadaan konvektiosta irti enemmän kuin pelkällä tasaisella pinnalla. 5.1 Konvektio, laajennettu pinta, ei aikariippuvuutta Kuvassa 8 on esitetty tilanne, joka on tarkastelun alaisena. Kyseessä on siis vaikkapa mootoripyörän sylinteri, joka voidaan olettaa olevan peräisin esimerkiksi vanhemmasta Yamahasta, jonka lähteminen lapasesta aiheutti allekirjoittaneelle pari mustelmaa alkutalvesta. Tosin kyseinen laite on nestejäähdytetty, muttei sen moottorin sylinterit aivan sileät ole. Joten asiaan. Oletetaan seuraavat arvot tunnetuiksi: k=186 W/m K, sylinterin korkeus H=0,15 m, r 1 =25 mm, r 2 =45 mm, sylinterin toimintalämpötila T b =500 K, jäähdyttävän ilman lämpötila T =300 K, konvektiivinen lämmönsiirtokerroin h=50 W/m 2 K. Tämän lisäksi sylinterissä on viisi kappaletta sylinterisymmetrisiä ulokkeita (N=5), joiden paksuus t=6 mm ja niiden pituus on r 2 r 1 =20 mm. Lasketaan kuinka paljon siivekkeet lisäävät moottorin jäähtymistä. Oletetaan lisäksi tilanne, jossa moottori on kunnolla lämmennyt jne, jolloin voidaan tarkastella ajasta riippumatonta lämmönsiirtymistä. Koska kyseessä on varsin kuuma 12

13 Kuva 8: Moottorin sylinteri ja tiedetyt arvot [6]. kappale, säteily huomioidaan. Luonnollisesti sylinterisymmetrisessä tilanteessa tarkastellaan radiaalista eli säteittäistä lämmönjohtumista. Kun vielä oletetaan, että siivekkeet eivät ole liian lähellä toisiaan, h on vakio. Lisäksi k, T b ja T oletetaan vakioiksi. Siten sylinteristä + ulokkeista poistuva lämpövirta voidaan kirjoittaa muodossa [ q tot = ha tot θ b 1 N(1 η f ) A ] f. (10) A tot Lisäksi tiedetään/lasketaan, että A f 2π(r 2 2c r2 1 ) = 2π(0, , ) 0, 015 m 2 A tot NA f + 2πr 1 (H Nt) 0, 716 m 2 r 2c = r 1 + L c L c = L + t = = 23 mm. A f ja A tot ovat siis eräänlaisia approksimaatioita siivekkeiden pinta-aloista ja kokonaispinta-alasta. θ b on T b T ja η f on ulokkeen hyötysuhde. Ilman ulokkeita lämpövirta sylinteristä on q 0 = 2πhr 1 Hθ b. (11) Koska kysytään kuinka paljon siivekkeet vaikuttavat jäähdytykseen, halutaan laskea erotus q tot q 0. Käyttämällä jäähdytyssiivekkeen efektiivistä pituutta 13

14 L c ja tapausta, jossa hyötysuhde arvioidaan efektiivisen pituuden avulla η f tanh ml c ml c ja huomioimalla ohuelle suorakaiteelle saadaan Tällöin edelleen ml c m ( ) 1/2 2h kt ( ) 1/ , 023 0, , 006 η f 0, 98. Nyt kaikki tarvittava on tiedossa, joten sijoitetaan yhtälöön (10) ja (11), jolloin saadaan { qtot 705 W q W, joten siivekkeet auttavat tässä tapauksessa noin 469 W. 5.2 Konvektio, yksi jäähdytysripa, ajasta riippuva tapaus (tajunnan räjäytys osa 2) Katsotaan seuraavaksi nopeasti tilanne, joka voi simuloida vaikkapa piirisarjan passiivijäähyn yhden jäähdytysrivan lämpötilajakaumaa ajan funktiona. Lämpötilajakaumallahan tarkoitetaan tässä tapauksessa jäähdytysrivan lämpötilaa paikan ja ajan funktiona, kun ripaan kohdistuu tasainen lämpövirta (piirisarjasta) ja piirisarja jäähtyy konvektiivisesti. Tämä tapaus on huomattavasti edellistä monimutkaisempi, mutta tarkoituksena onkin vain tuoda ilmi miten ko. asiaa voi lähestyä. Kaikkia välivaiheita ei esitetä ja kannattaa edelleen huomata, että kyseessä on yksiulotteinen tapaus. Kaksi- tai kolmiulotteinen tilanne räjähtäisi niin sanotusti käsiin. Jäähdytysrivan paksuus olkoon tässä 2L (-L:stä L:ään), jolloin sitä on helppo käsitellä symmetrian nojalla. Molemmilla puolilla ripaa on lämpötila T ja konvektiivinen lämmönsiirtokerroin on h. Kuva 9 havainnollistaa tilannetta. Laskussa ei huomioida lämmön siirtymistä jäähdytyssiivekkeen päädystä (kuvassa ylöspäin). 14

15 Kuva 9: Jäähdytyssiivekkeen kaaviokuva. Oletetaan seuraavaa: jäähdytysrivan materiaali on homogeeninen eli sen rakenne pysyy samana koko kappaleessa. Tästä seuraa se, että lämmönjohtumiskerroin k on vakio ts. se ei muutu ajan eikä paikan funktiona. Lisäksi rivassa ei itsessään synny lämpöä, joten q = 0. Näillä ehdoilla diffuusioyhtälö saadaan karteesisissa (suorakulmaisissa) koordinaateissa muotoon 1 dt α dt = ρc p dt k dt = 2 T nyt = 2 T x. 2 Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi tarvitsemme vielä pari asiaa. Nimittäin alkuehdon T(x, t = 0) = T i ja reunaehdot { T x k T x x=0 = 0 x=l = h (T(L, t) T ), joista ensimmäinen vaaditaan symmetrian vuoksi. Toisin sanoen koko jäähdytysripa on samassa lämpötilassa alkuhetkellä vastaten esimerkiksi kiinni olleen koneen piirisarjan jäähyn lämpötilaa. Lämpötila on siis koko jäähdytyselementissä sama alussa. Toinen reunaehto tulee lämpövuon tarkastelusta. 15

16 Lisäksi otetaan käyttöön merkintöjä helpottavat dimensiottomat muuttujat: θ := t T T i T x := x L t := αt = F L 2 t (Fourier n aika). Tässä vaiheessa jätän välistä noin kaksi sivua välivaiheita. Jos joku osoittautuu riittävän sekopäiseksi, saa välivaiheet minulta niitä pyytäessä ainakin jossain muodossa. Hypätään siis saatuun ratkaisuun, jossa on pudotettu yllä mainitut tähdelliset muuttujat pois, ratkaistu yhtälö muuttujien separoinnilla ja tarkastettu alku- ja reunaehdot. Ajasta riippuva ratkaisu jäähdytyssiivekkeelle on siis: θ(x, t) = C n e ζ2t cos ζx = n=0 joten lopullinen lämpötilajakauma on T(x, t) = (T i T ) n=0 n=0 4 sin ζ n 2ζ n + sin 2ζ n e ζ2t cos ζx, 4 sin ζ n 2ζ n + sin 2ζ n e ζ2t cos ζx + T. Tässä yhtälössä symbolilla ζ tarkoitetaan transkendenttiyhtälön ζ n tan ζ n = Bi ratkaisua, jossa Bi on Biot n luku. Transkendenttiyhtälö on yhtälö, jota ei voi ratkaista algebrallisesti. Toisin sanoen sen ratkaisut on löydettävä numeerisesti eivätkä ne koskaan ole tarkkoja. Tuloksesta voidaan huomioida se, että hyvin yksinkertaiselta kuulostavasta tilanteesta saadaan ratkaisuksi varsin monimutkaista. Lämpöjakauman ratkaisu jäähdytyssiivekkeessä sisältää äärettömän monta summan termiä, joista jokaisessa muuttujana on transkendenttiyhtälön ratkaisu. Yleensä vastaavat lämpöjakaumien määrittämiset tehdäänkin tietokoneella tai sitten käyttämällä niin sanottuja insinööriyhtälöitä, jotka ovat yksinkertaistettuja muotoja kyseisestä tilanteesta, mutta jotka pitävät kuitenkin paikkansa kohtuullisen hyvin. 16

17 6 Loppujorinat Tänne saakka lukeneilla on sitten ainakin jonkinlainen käsitys siitä, miten monimutkainen prosessi lämmön siirtyminen tietokoneen tapauksessa on. Kaikki tuntuu vaikuttavan vähän kaikkeen ja optimoimalla jonkun asian huomaa toisen menevän huonoon suuntaan. Yhteenvetona voisi tietenkin suositella käyttämään mahdollisimman hyvin lämpöä johtavia materiaaleja. Nykyisten heatspreadilla suojattujen prosessoreiden kanssa voisi käyttää jopa oikeaa hopeatahnaa piitahnan sijaan, mutta jokainen tekee sen tietenkin omalla vastuullaan. Skenegroup ei ole syyllinen siihen, jos emolevy sattuu menemään oikosulkuun hopeatahnan vuoksi. Turhat rajapinnat kannattaisi myös karsia jäähdytysjärjestelmästä pois. Luonnollisesti perustavaa laatua olevista asioista on syytä huolehtia; kotelon ilmankierto ensin kuntoon ja sitten vasta hiljentämään konetta, jos se on tavoitteena. Lisäksi kannattaa huomioida hiljaiseksi saadun jäähdytysjärjestelmän tehottomuus ja virransyötön lämpeäminen. Tietokoneen jäähdyttäminen on siis kompromissia toisen perään. Jokainen voi koettaa pohtia omien tavoitteidensa kautta tilannetta ottaen huomioon lompakon paksuuden, tietokoneen siirrettävyyden ja ulkonäön, sillä tehokas jäähdytysjärjestelmä ei koskaan ole halpa. Viitteet [1] [2] [3] [4] aerodynamics/ [5] dept-bio/biochemical engineering/lectures/ bioreact1/bioreact2 6.htm [6] Frank P. Incropera, David P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, fifth edition,john Wiley & Sons, inc., 2002, ISBN

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Läpöoppia Haarto & Karhunen Läpötila Läpötila suuren atoi- tai olekyylijoukon oinaisuus Liittyy kiinteillä aineilla aineen atoeiden läpöliikkeeseen (värähtelyyn) ja nesteillä ja kaasuilla liikkeisiin Atoien

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe :00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe :00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe 16.2.2018 13:00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.

y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu. Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon

Lisätiedot

Häiriöt kaukokentässä

Häiriöt kaukokentässä Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

DEE-54030 Kryogeniikka

DEE-54030 Kryogeniikka DEE-54030 Kryogeniikka Kryogeeninen eristys Mitä lämmönsiirto on? Lämmönsiirto on lämpöenergian välittymistä lämpötilaeron vaikutuksesta. Lämmönsiirron mekanismit Johtuminen Konvektio Säteily Lämmönsiirron

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE SMG-4500 Tuulivoima Neljännen luennon aihepiirit Tuulivoimalan rakenne Tuuliturbiinin toiminta Turbiinin teho Nostovoima ja vastusvoima Suhteellinen tuuli Pintasuhde Turbiinin tehonsäätö 1 TUULIVOIMALAN

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää

Lisätiedot

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 26.5.2017 8:00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.

Lisätiedot

Transistori. Vesi sisään. Jäähdytyslevy. Vesi ulos

Transistori. Vesi sisään. Jäähdytyslevy. Vesi ulos Nesteiden lämmönjohtavuus on yleensä huomattavasti suurempi kuin kaasuilla, joten myös niiden lämmönsiirtokertoimet sekä lämmönsiirtotehokkuus ovat kaasujen vastaavia arvoja suurempia Pakotettu konvektio:

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

14.1. Lämpötilan mittaaminen

14.1. Lämpötilan mittaaminen 14 16. LÄMPÖOPPIA 14.1. Lämpötilan mittaaminen Neste lasi lämpömittari Nesteen lämpölaajeneminen Kaksoismetallilämpömittari Aineilla erilainen lämpölaajeneminen, jolloin lämpeneminen aiheuttaa taipumista

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja

Lisätiedot

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle.

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle. 1(4) Lappeenrannan teknillinen yliopisto School of Energy Systems LUT Energia Nimi, op.nro: BH20A0450 LÄMMÖNSIIRTO Tentti 13.9.2016 Osa 1 (4 tehtävää, maksimi 40 pistettä) Vastaa seuraaviin kysymyksiin

Lisätiedot

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Liite F: laskuesimerkkejä

Liite F: laskuesimerkkejä Liite F: laskuesimerkkejä 1 Lämpövirta astiasta Astiasta ympäristöön siirtyvää lämpövirtaa ei voida arvioida vain astian seinämien lämmönjohtavuuksilla sillä ilma seinämä ja maali seinämä -rajapinnoilla

Lisätiedot

DEE-54000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto

DEE-54000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto DEE-54 Säköagneettisten järjestelien läönsiirto Ripateoria 1 Säköagneettisten järjestelien läönsiirto Risto Mikkonen Ripateoria q Läönsiirtoa voidaan teostaa: Suurentaalla läpötilaeroa Suurentaalla :ta

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän häiriöt (kuva: @www.en.wikipedia.org) Sää: pilvet, sumu, sade, turbulenssi,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten

Lisätiedot

Esim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p).

Esim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p). 3. Peruslait 3. PERUSLAIT Hydrauliikan peruslait voidaan jakaa hydrostaattiseen ja hydrodynaamiseen osaan. Hydrostatiikka käsittelee levossa olevia nesteitä ja hydrodynamiikka virtaavia nesteitä. Hydrauliikassa

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla

Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla Termodynamiikkaa Energiatekniikan automaatio TKK 2007 Yrjö Majanne, TTY/ACI Martti Välisuo, Fortum Nuclear Services Automaatio- ja säätötekniikan laitos Termodynamiikan perusteita Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa

Lisätiedot

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA 1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta. 3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi. Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole

Lisätiedot

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. DEE-54030 Kryogeniikka Risto Mikkonen

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. DEE-54030 Kryogeniikka Risto Mikkonen DEE-54030 Kyogeniikka Kyogeniikka ja lämmönsiito 1 DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015 Lämmönsiion mekanismit '' q x ( ) x q '' h( s ) q '' 4 4 ( s su ) DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet 4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Rak Tulipalon dynamiikka

Rak Tulipalon dynamiikka Rak-43.3510 Tulipalon dynamiikka 7. luento 14.10.2014 Simo Hostikka Palopatsaat 1 Luonnollisten palojen liekki 2 Palopatsas 3 Liekin korkeus 4 Palopatsaan lämpötila ja virtausnopeus 5 Ideaalisen palopatsaan

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473 Torsioheiluri IIT3S Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G904 Petteri Viitanen G8473 Mittauspäivämäärä:..4 Selostuksen jättöpäivä: 4.3.4 Torsioheilurin mitatuilla neljän jakson

Lisätiedot

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011 Aalto yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Virtausmekaniikka / Sovelletun mekaniikan laitos MUISTIO No CFD/MECHA-17-2012 pvm 22. kesäkuuta 2011 OTSIKKO Hilatiheyden määrittäminen ennen simulointia

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

782630S Pintakemia I, 3 op

782630S Pintakemia I, 3 op 782630S Pintakemia I, 3 op Ulla Lassi Puh. 0400-294090 Sposti: ulla.lassi@oulu.fi Tavattavissa: KE335 (ma ja ke ennen luentoja; Kokkolassa huone 444 ti, to ja pe) Prof. Ulla Lassi Opintojakson toteutus

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 1.9.2017 klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Nopea, hiljainen ja erittäin taloudellinen ilmanpoisto

Nopea, hiljainen ja erittäin taloudellinen ilmanpoisto Your reliable partner Nopea, hiljainen ja erittäin taloudellinen ilmanpoisto Vacumat Eco tehokas joka tavalla Veden laatu vaikuttaa tehokkuuteen Veden laatu vaikuttaa jäähdytys- ja lämmitysjärjestelmien

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simuloiesimerkki School of Technology and Management, Polytechnic Institute of Leiria Käännös: Tuula Höök - Tampereen Teknillinen Yliopisto Mallinnustyökalut Jäähdytysjärjestelmän

Lisätiedot

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin

Lisätiedot