Markku J. Lampinen, Voitto Kotiaho, Mikko Auvinen TERMODYNAMIIKAN PERUSTEIDEN LASKUTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Markku J. Lampinen, Voitto Kotiaho, Mikko Auvinen TERMODYNAMIIKAN PERUSTEIDEN LASKUTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN"

Transkriptio

1 Markku J. Lampinen, Voitto Kotiaho, Mikko Auvinen TERMODYNAMIIKAN PERUSTEIDEN LASKUTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Aalto yliopisto Energiatekniikan laitos 2014

2 Sisältö Sisältö 1 1. Termodynamiikka ja lämmönsiirto Tehtävät: Ensimmäinen pääsääntö, energiatase, virtaussysteemin energiatase Tehtävät: Palaminen, lämpöarvo Tehtävät: Toinen pääsääntö Tehtävät: Ensimmäinen ja toinen pääsääntö Tehtävät: Tasapainotila Tehtävät: Sekalaiset Tehtävät: Lämmönsiirto-oppi Kemiallinen termodynamiikka Tehtävät: Reaalikaasut Tehtävät: Kemiallinen entalpia, kemiallinen potentiaali, muodostumisentalpia, lämpöarvo, reaktorin energiatase Tehtävät: Sähkökemia, polttokennot ja akut Tehtävät: Tasapainotila Tehtävät: Liuokset Tehtävät: Palaminen, reaktiokinetiikka, kostean polttoaineen lämpöarvo Tehtävät: Sekalaiset Teknillinen termodynamiikka Tehtävät: Kostea ilma Tehtävät: Virtausoppi Tehtävät: Exergia-analyysi Tehtävät: Epästationääri lämmönsiirtyminen Tehtävät: Säiliön tyhjennys ja täyttö

3 Sisältö 3.6 Tehtävät: Suutinvirtaus A. JANAF-taulukot 319 2

4 1. Termodynamiikka ja lämmönsiirto 1.1 Tehtävät: Ensimmäinen pääsääntö, energiatase, virtaussysteemin energiatase Tehtävä Laske Schmidtin höyrytaulukoiden avulla 20 C:sen veden höyrystymisessä tapahtuva sisäenergian muutos u u ja määritä sisäenergian arvotu jau. Schmidtin höyrytaulukoissa on sovittu nollapisteeksiu (0,01 C) Tehtävä Sähkökäyttöisellä veden höyrystimellä tuotetaan 20 C:sta yhden barin paineessa olevasta vedestä 100 C kylläistä vesihöyryä 0,05 kg/s. a) Määritä sisään syötettävän veden entalpia yhtälön h(20 C,1 bar) = h (20 C)+v(1 T 1 γ 1 )(p 2 p 1 ) avulla (ks. kirjan kaava (169)) ja osoita numeroilla, että erittäin hyvällä tarkkuudella pätee h(20 C,1bar) = h (20 C) b) Laske höyrystimen ottama sähköteho Tehtävä Eräs painepesuri tuottaa mäntäpumpulla 120 barin paineista vettä kapasiteetillä 3 litr/min. Laske painepesurin ottama sähkötehoteho, kun pumpun hyötysuhde on 50% ja sähkömoottorin 70%. 3

5 1.1.4 Tehtävä Vesi tulee suuttimeen tilassa (20 C, 7 bar) ja purkautuu siitä ulkoilmaan, jonka paine on 1 bar. Suuttimesta purkautuvan veden virtausnopeus on 30 m/s. Laske suuttimesta purkautuvan veden lämpötila Tehtävä Kerrostalon lämmitys on toteutettu kaukolämmöllä, jossa kaukolämpöpuolen lämpötilat mitoitustilanteessa ovat 100 C/43 C (meno/paluu) ja radiaattoripuolen 40 C/70 C (paluu/meno). Painehäviöt lämmönsiirtimissä ovat: kaukolämpöpuoli 60 kpa ja radiaattoripuoli 25 kpa. a) Laske kaukolämpöpuolen ja radiaattoripuolen vesivirrat mitoitustilanteessa, kun lämmönvaihtimessa siirtyvä lämpöteho on 150 kw. b) Osoita kirjan esimerkin 11 mukaan, että painehäviöillä ei ole merkitystä lämpötehojen laskennassa Tehtävä Kaukolämpölinjassa oleva vesipumppu imee 50 C:sta vettä 50 litra/s ja nostaa sen painetta 75 kpa. Vesipumpun hyötysuhde on 75% ja sähkömoottorin 95%. Laske pumpun ottama akseliteho ja sähkömoottorin ottama sähköteho. Laske pumpun paineaukosta ulos tulevan veden lämpötila Tehtävä Paineilmakompressori imee 20 C:sta huoneilmaa 0,15 m 3 /s ja puristaa sen huoneilman paineesta (1 bar) paineeseen 7 bar. Mittausten mukaan kompressoria pyörittävän sähkömoottorin ottama sähköteho on 61 kw. Sähkömoottorin hyötysuhde on 0,92. a) Laske paineilmakompressorin ottama akseliteho. b) Laske paineilmakompressorin paineilma-aukosta pois virtaavan paineilman lämpötila, kun kompressoria ei jäähdytetä. c) Kompressorin jälkeen paineilmalinjaan on sijoitettu vesijäähdytteinen lämmönvaihdin jolla paineilma jäähdytetään lämpötilaan 20 C. Laske jäähdyttimen teho ja vertaa sitä kompressorin akselitehoon. Voiko koko akseliteho siirtyä jäähdytysveteen? 4

6 1.1.8 Tehtävä Uimahallin altaasta haihtuu vettä noin 0,3 kg/m 2 h, kun veden lämpötila on 27 C (haihdutus riippuu myös ilman lämpötilasta ja sen kosteudesta). Altaassa (25m x 10m) on vettä noin 550 m 3 ja se vaihtuu kierrätyspumpun ansiosta kerran noin neljässä tunnissa eli vesipumpun virtaama on 140 m 3 /h. a) Laadi energiatase uima-altaalle ja laske altaalle tulevan kierrätysveden lämpötila, kun altaasta poistuvan kierrätysveden lämpötila on sama kuin altaan ja joka siis halutaan pitää lämpötilassa 27 C. Muu lämmönsiirtoteho altaan pinnalla (konvektio ja säteily) jätetään haihdutuksen nähden vähämerkityksellisenä huomioon ottamatta. Esittele tässä tarkastelussa oleva kirjan kaavan (90) systeemi. b) Laske kierrätyspumpun akseliteho, kun pumpun paineen nosto on 0,8 bar ja pumpun hyötysuhde on 60 %. c) Haihtumista vastaava vesimäärä syötetään kierrätysveteen vesijohtoverkosta noin 10 C:n lämpötilassa. Veden kierrätykseen on sijoitettu lämmönvaihdin, jonka avulla altaan kierrätysveteen syötetään tarvittava lämpöteho. Laske tämä lämpöteho. Ohje: Tee kokonaisenergiatase, jossa sisään menevinä energiavirtoina ovat syöttövesi, pumpun akseliteho ja lämmityspatterin veteen siirtämä lämpöteho sekä poistuvana energiavirtaamana altaasta haihtuva vesihöyry. Mikä tällöin on systeeminä? Tehtävä Toimistotilan poistoilman lämmön talteenotto (LTO) on toteutettu ns. pyörivällä LTO-roottorilla, joka on tehty laskostetuista alumiinilamelleista. Mitoitustilanteessa poistoilmavirta on 0,36 kg/s (0,3 m 3 /s) ja sen lämpötila ennen LTO-roottoria on T s1 = 22 C sekä ulkoilman eli tuloilman lämpötila on T u1 = 26 C ennen LTO-roottoria. Mittauksen mukaan LTOroottorilta poistuvan tuloilman lämpötila mitoitustilanteessa oli T u2 = +12 C. a) Laske mittausten perusteella LTO-roottorin ns. lämpötilahyötysuhde ε = T u2 T u1 T s1 T u1 ja LTO-roottorilta poistuvan poistoilman lämpötila T s2 kun koneellinen tuloilmavirta on säädetty 10 % pienemmäksi kuin poistoilmavirta eli arvoon 0,32 kg/s. Vesihöyryn mahdollista tiivistymistä (poistoilmasta LTO-roottoriin) ja höyrystymistä (LTO-roottorista tuloilmaan) ei oteta huomioon. Mikä on mitoitustilanteessa lämmön talteenottoteho 5

7 (W) ja tarvittava kokonaislisälämmitysteho (josta osan kattaa puhallinteho, ks. b-kohta), kun tuloilma lämmitetään 20 C:seen? b) LTO-roottorin jälkeen tuloilmavirtaan on sijoitettu tuloilmapuhallin, joka kattaa tuloilmavirran painehäviöt (kokonaispainehäviö = 465 Pa). Laske tuloilmapuhaltimen sähkömoottorin ottama sähköteho, kun puhaltimen hyötysuhde on 57 % ja tasavirtasähkömoottorin hyötysuhde on 90 %. Laske ilman lämpeneminen puhaltimessa, kun sähkömoottori on myös sijoitettu kanavan sisään. c) Laske LTO-roottorilla aikaan saatu vuotuinen lämmitysenergian säästö (kwh), kun ilmanvaihdon vuotuinen käyttöaika on 200 pv x 10 h/pv = 2000 h ja kun tämän ajanjakson keskimääräinen ulkolämpötila on T u1 = +5 C. Lämpötilahyötysuhde pysyy ulkolämpötilan muuttuessa samana. d) Miksi poistoilmavirta tulee aina mitoittaa suuremmaksi kuin tuloilmavirta? Mikä ongelma aiheutuu levylämmönsiirtimellä toteutetulla LTO:ssa, kun ulkona on pitkään kova pakkanen kuten talvella 2010? Tehtävä Putkessa virtaa 60 C:sta vettä 6 barin (abs) paineessa. Putkilinjassa on kuristusventtiili, jossa veden paine putoaa 0.1 barin paineeseen. Laske lämpötila venttiilin jälkeen ja siinä olevan veden ja vesihöyryn suhteelliset määrät. Miltä tilanne näyttää näkölasissa, kuinka paljon tilavuudesta on vesihöyryä ja paljonko pisaroita? Mitä tapahtuu paineilman lämpötilalle vastaavassa paineen pudotuksessa 6 bar/0,1 bar? Tehtävä Tarkastellaan reversiibeliä kiertoprosessia R, joka toimiessaan lämpövoimaprosessina tekee jokaisella syklillä ulos ympäristöönsä nettotyömäärän W(R) ja ottaa vastaan syklin aikana ympäristöstä nettolämpömäärän Q(R). a) Osoita ensimmäisen pääsäännön ikiliikkuja eli energian syntyminen tyhjästä on mahdoton periaatteen nojalla, että on mahdotonta löytää lämpövoimakonetta, joka suorittaisi kiertoprosessin P 1 siten, että sen ympäristöönsä tekemä nettotyömäärä olisi W(P 1 ) = W(R) mutta toisaalta sen ympäristöstä vastaan ottama nettolämpömäärä olisiq(p 1 ) < Q(R). b) Osoita ensimmäisen pääsäännön energian häviäminen on mahdoton periaatteen nojalla, että on mahdotonta löytää lämpövoimakonetta, 6

8 joka toteuttaisi kiertoprosessin P 2 siten, että sen ympäristöönsä tekemä nettotyömäärä olisi W(P 2 ) = W(R) mutta sen ympäristöstä vastaan ottama nettolämpömäärä olisi Q(P 2 ) > Q(R). c) Mikä vaihtoehto jää jäljelle mielivaltaiselle kiertoprosessille P, jolle pätee W(P) = W(R) ja mitä se merkitsee? Tehtävä Energiatase yleisessä muodossa voidaan kirjoittaa muotoon [U(B) U(ref)] (U(A) U(ref)] = [Q in (P) Q out (P)] [W in (P) W out (P)] missä U(ref) kuvaa systeemin sisäenergian arvoa valitussa referenssitilassa. a) Mitä tarkoittaa yhtälön oikealla puolella oleva symboli P? Miksi emme saa kirjoittaa esimerkiksi Q in (P) Q out (P) = Q(B) Q(A) tai W in (P) W out (P) = W(B) W(A) b) Jos systeeminä on 1 kg 0 C:sta vettä (tila A), joka jäätyy 0 C:seksi jääksi ilmanpaineessa 1 bar, niin mitä tarkoittavat yhtälössä (1) esiintyvät termit? Anna myös niiden lukuarvot, ainakin likimääräisesti, kun referenssitilaksi valitaan 0 C:nen vesi yhden barin paineessa ja sen arvoksi asetetaan nolla Tehtävä Uimahallin altaasta haihtuu vettä noin 0,3 kg/m 2 h, kun veden lämpötila on 27 C (haihdutus riippuu myös ilman lämpötilasta ja sen kosteudesta). Altaassa (25m x 10m) on vettä noin 550 m 3 ja se vaihtuu kierrätyspumpun ansiosta kerran noin neljässä tunnissa eli vesipumpun virtaama on 140 m 3 /h. Altaasta poistuvan kierrätysveden lämpötila on sama kuin altaan lämpötila. Altaan pinnalta poistuvassa lämmönsiirtotehossa otetaan huomioon ainoastaan haihdutus ja muu lämmönsiirtoteho (konvektio ja säteily) jätetään vähämerkityksellisenä huomioon ottamatta. a) Laadi kurssikirjan yhtälön (155) pohjalta energiatase uima-altaalle ja laske altaalle tulevan kierrätysveden lämpötila. b) Esittele tässä tarkastelussa oleva kurssikirjan kaavan (90) systeemi, 7

9 sen muutos A B ja johda sen pohjalta a-kohdassa käyttämäsi energiataseyhtälö Tehtävä Tuulen nopeus on w 1. Tuulen kohdatessa tuuliturbiinin sen nopeus on w 2 ja kauempana tuuliturbiinin jälkeen w 3. a) Osoita Bernoullin yhtälön (p+ 1 2 ρ22 =vakio) ja liikemääräyhtälön avulla että kitkattomassa virtauksessa w 2 = w 1+w 3 2. Ohje: Kirjoita Bernoullin yhtälö ennen turbiinia ja turbiinin jälkeen. Ajava voima on paine-ero turbiinin yli. b) Osoita a-kohdan tulosta hyväksikäyttäen että suurin mahdollinen hyötysuhde saavutetaan kun w 3 w 1 = 1 3. c) Osoita, että maksimimaalinen hyötysuhde tuuliturbiinille on η = Miksi hyötysuhde ei voi olla yksi? d) Mitoita maksimaalisen hyötysuhteen mukaan toimiva tuuliturbiini jolla saadaan tuulen nopeudella 12 m/s teho 1 MW (laske lapojen kärkisäde) Tehtävä Johda yleisestä energiataseesta (yhtälö (90)) energiataseelle differentiaalimuotodq = du+pdv. Milloin tämä muoto on pätevä ja mihin tapauksiin se soveltuu? 8

10 Ratkaisut: Ensimmäinen pääsääntö, energiatase Ratkaisu a) Laske u, u ja u u Entalpian määritelmän h = u + pv avulla saadaan u u = [h pv ] [h pv ] Kylläisen vesihöyryn (yläindeksi ) ja kylläisen veden ( ) entalpiat sekä ominaistilavuudet voidaan lukea taulukkokirjan taulukosta 18. Paineena käytetään lämpötilan 20 C määräämää kylläistä painetta. Sisäenergian muutokseksi saadaan u u = [2538, J/kg 0, Pa 57,79 m 3 /kg] [82, J/kg 0, Pa 0, m 3 /kg] = 2403,1 kj/kg 82,9 kj/kg = 2320 kj/kg } {{ } } {{ } u u Raportin 136 höyrytaulukoissa sanotaan, että entalpian nollatasona olisi kylläinen vesi lämpötilassa 0,01 C mutta tarkkaan ottaen nollatasona on u (0,01 C) = 0. Täten h (0,01 C) = u (0,01 C)+p (0,01 C)v (0,01 C) = Pa 0,001 m 3 /kg = 0,611 J/kg = 0, kj/kg Virhe on siis mitätön eikä vaikuta lukuarvoihin. Ratkaisu a) Laske h(20 C,1bar) Kun entalpia lasketaan kaavalla h(20 C,1bar) = h (20 C)+v(1 T 1 γ 1 )(p 2 p 1 ) paineesta riippuvan termin ajatellaan olevan entalpiamuutos, joka tapahtuu siirryttäessä kylläisen tilan paineesta lopputilan paineeseen. Eli nyt p 1 = p (20 C) ja p 2 = 1 bar ja p (20 C) { }} { h = 82,9+0,001( , ) (0,1 0,002341) 10 6 = 82,9 kj/kg+0,092 kj/kg = 83 kj/kg h (20 C) } {{ } = pieni 9

11 Tuloksesta huomataan, että paineesta riippuva termi on häviävän pieni verrattuna lämpötilatermiin. Pienillä paine-eroilla veden entalpia on hyvällä tarkkuudella riippuvainen vain lämpötilasta, eli h(20 C,1 bar) h (20 C) b) Laske sähköteho Energiatase höyrystimelle on φ+ṁh(20 C,1bar) = ṁh (100 C) mistä voidaan ratkaista sähköteho taulukon 18 avulla φ = ṁ(h (100 C) h(20 C,1bar)) ṁ(h (100 C) h (20 C)) = 0,05 kg/s (2676,1 kj/kg 82,9 kj/kg) = 130 kw Ratkaisu Pumpun ottama teoreettinen teho saadaan yhtälöllä P teor = V p Olettamalla, että pumppu nostaa paineen 1 barista (voi käyttää muutakin alkupainetta, esim. 5 bar) teoreettiseksi tehoksi saadaan P teor = V p = 0,003 m3 /min 60 s/min (120 1) 10 5 Pa = 595 W Pumpun hyötysuhteesta voidaan ratkaista pumpun ottama akseliteho η a = P teor P a = P teor = 595W P a η a 0,5 = 1190 W ja edelleen sähkömoottorin hyötysuhteesta voidaan ratkaista sähköteho η s = P a P s = P a = 1190W P s η s 0,7 = 1,7 kw Ratkaisu Purkautuvan veden lämpötila suuttimen jälkeen voidaan ratkaista energiataseen avulla ṁ [ h(t 1, p 1 )+ 1 ] [ 2 w2 1 = ṁ h(t 2, p 2 )+ 1 ] 2 w2 2 10

12 missä h on ominaisentalpia ja w virtausnopeus. Olettamalla, että nopeus w 1 on erittäin pieni, saadaan h(t 1, p 1 ) = h(t 2, p 2 )+ 1 2 w2 2 h(t 2, p 2 ) h(t 1, p 1 ) = 1 2 w2 2 Nesteiden entalpiaero voidaan laskea kaavalla h = h(t 2, p 2 ) h(t 1, p 1 ) = c p (T 2 T 1 )+v(1 T 1 γ)(p 2 p 1 ) missä v on ominaistilavuus ja γ tilavuuden lämpötilakerroin, joka voidaan lukea esimerkiksi taulukkokirjan taulukosta 14. Nyt lämpötilaksi suuttimen jälkeen saadaan T 2 T 1 = 1 [ h v(1 T 1 γ)(p 2 p 1 )] c p T 2 = T [ 1 ] c p 2 w2 2 v(1 T 1 γ)(p 2 p 1 ) = [ ,001 (1 293,15 0, ) (1 7) 10 5] = 20,0027 C 20 C Ratkaisu a) Laske massavirrat Sekä kaukolämpö- että radiaattoripuolen massivirrat voidaan laskea lämmönsiirtimen lämpötehon perusteella, sillä sama teho joka lähtee kaukolämpöpuolelta tulee radiaattoripuolelle. φ = ṁ 1 c p T 1 = ṁ 2 c p T 2 ṁ 1 = φ c p T 1 ṁ 2 = φ c p T 2 = 150 kw 4,18 kj/kgk 57K = 150 kw 4,18 kj/kgk 30K = 0,63 kg/s = 1,2 kg/s b) Osoita, että painehäviöllä ei ole merkitystä lämpötehoja laskettaessa lämmönvaihtimille Nesteiden ominaisentalpian muutokselle pätee h = c p T +v(1 T 1 γ 1 ) p Lasketaan erikseen entalpian lämpötilasta sekä paineesta riippuvat termit: v(1 T 1 γ 1 ) p = 0,001 m 3 /kg (1 373 K 0, /K) Pa = 0,043 kj/kg 11

13 c p T = 4,18 kj/kgk 57 K = 238 kj/kg eli lämpötilasta riippuva termi on huomattavasti suurempi kuin paineesta riippuva. Lasketaan vielä näiden suhde v(1 T 1 γ 1 ) p c p T 0,043 kj/kg = 238 kj/kg = 0,018% Suhde on niin pieni, että vaikka jättäisimme paineesta riippuvan termin pois laskiessa lämpötehoja lämmönvaihtimille, syntyvä virhe on mitättömän pieni. Ratkaisu Pumpun teoreettinen teho on tuttuun tapaan P teor = V p = 0,05 m 3 /s Pa = 3,75 kw ja pumpun hyötysuhteen avulla saadaan pumpun akseliteho η p = P teor P a = P teor 3,75 kw = = 5 kw P a η p 0,75 ja sähkömoottorin hyötysuhteen avulla saadaan sähköteho η sm = P a P sm = P a = 5 kw = 5,26 kw P sm η sm 0,95 Kuva 1.1. Pumppu putkessa sekä sähkömoottori sen ulkopuolella Kaukolämpöpumppujen sähkömoottorit sijoitetaan yleensä putken ulkopuolelle. Tällöin sähkömoottorin hukkateho ei lämmitä putkessa virtaavaa vettä, vaan esimerkiksi sähkömoottorin laakereita ja sähkömoottorin ympäröivää ilmaa. Tilanne on havainnollistettu kuvassa

14 Energiatase kuvan 1.1 tapaukselle on P a +ṁh 1 = ṁh 2 mistä saadaan P a +ṁh 1 = ṁh 2 P a = ṁ(h 2 h 1 ) nesteiden entalpiaerotukselle pätee h = c p T +v(1 T 1 γ) p mistä saadaan ratkaistua veden lämpeneminen P a = ṁ[c p T +v(1 T 1 γ) p] T = 1 [ ] Pa c p ṁ v(1 T 1γ) p = ,01 K [ ,001( , ) missä veden ominaistilavuus v sekä tilavuuden lämpötilakerroin γ (taulukko 14) on otettu lämpötilassa T 1 = 50 C ja veden massavirtana on käytetty ṁ = ρ V = 1 kg/l 50 l/s = 50 kg/s. ] Ratkaisu Ps Moottori ϕ P a) Kompressorin akseliteho Kompressorin ottaman akselitehon P voi ratkaista hyötysuhteen avulla η s = P P s P = η s P s = 0,92 61 = 56,12 kw b) Ilman lämpötila, kun kompressoria ei jäähdytetä Kompressorin energiataseesta saadaan P +ṁh 1 = ṁh 2 P = ṁ(h 2 h 1 ) 13

15 Ideaalikaasuille pätee h 2 h 1 = c p (T 2 T 1 ) eli nyt saadaan P = ṁc p (T 2 T 1 ) T 2 = T 1 + P ṁc p Taulukkokirjasta saadaan 20 C ilman tiheydeksi 1,18 kg/m 3 ja nyt ilman massavirraksi saadaan ṁ = ρ V = 1,18 0,15 = 0,178 kg/s Nyt ilman poistumislämpötilaksi saadaan T 2 = , , = 335 C missä ilman ominaislämpökapasiteettina on käytetty 1006 J/kgK. c) Jäähdyttimen teho Jäähdyttimen energiataseesta saadaan ṁh 2 = φ+ṁh 3 φ = ṁ(h 2 h 3 ) = ṁc p (T 2 T 3 ) = 0, (335 20) = 56,1 kw Jäähdytystehosta tulee siis sama kuin akselitehosta. Jäähdytysteho ja akseliteho ovat yhtäsuuret, koska ilma jäähdytetään takaisin huoneilman lämpötilaan ja ideaalikaasulla ominaisentalpia riippuu vain lämpötilasta, ei paineesta. 1 kg paineilmaa sisältää saman sisäenergian kuin 1 kg huoneilmaa, mutta paineilmassa sama energia on laadukkaammassa muodossa, koska siitä ulossaatava työmäärä on suurempi kuin huoneilmasta. Koko akseliteho siis todellakin siirtyy jäähdytysveteen. Ratkaisu Kuva 1.2. Tehtävän uima-altaan energiavirrat 14

16 Tekemällä kuvan 1.2 mukaisen energiataseen, saamme ṁ in h in = ṁ h h h +ṁ out h out missä alaindeksillä in viitataan altaaseen menevään veteen, out kiertovesipumpulle menevään veteen ja h altaasta poistuvaan haihtuneeseen veteen. Uima-altaan massataseeksi saadaan ṁ in = ṁ h +ṁ out ja yhdistämällä massataseen energiataseeseen saadaan ṁ in (h in h out ) = ṁ in c p T = ṁ h (h h h out ) missä sisään- ja ulosmenevän veden entalpiaeroa h in h out on approksimoitu kaavalla h c p T (koska paine-ero sisään- ja ulosvirtauksessa on häviävän pieni). Pienissä paineissa veden entalpia riippuu lähes ainoastaan lämpötilasta. 27 C veden entalpia voidaan siis approksimoida olevan yhtä suuri kuin 27 C kylläisen veden entalpian. Myös haihtuneen veden (höyryn) entalpia voidaan approksimoida olevan lähes yhtä suuri kuin kylläisen höyryn entalpian. Kylläiset entalpiat saadaan puolestaan taulukosta 18: h out h (27 C) = 112,3 kj/kg h h h (27 C) = 2551,1 kj/kg Tehtävänannosta saadaan sisään meneväksi massavirraksi ṁ in = 140 m3 /h 1000 kg/m s/h = 38,9 kg/s ja haihtumisen massavirraksi ṁ h = 0,3 kg/m2 h 25 m 10 m 3600 s/h = 0,0208 kg/s Sisään menevä lämpötila voidaan nyt ratkaista T = ṁh(h h h out ) ṁ in c p = = 0,3K T in = 27,3 C 0,0208kg/s (2551,1kJ/kg 112,3kJ/kg) 38,9kg/s 4,18kJ/kgK b) Laske kiertovesipumpun teho P Pumpun teho voidaan laskea tuttuun tapaan yhtälöllä P = V p η = 140 m 3 /h s/h 0,8 105 Pa = 5,2 kw 0,6 15

17 c) Laske tarvittava lämmitysteho Kuva 1.3. Uima-altaan energiavirrat Kuvassa 1.3 on esitetty periaatekuva uima-altaan toiminnasta. Sisempi taseraja (katkoviivalla merkitty) on se, jota käytimme a-kohdassa. Nyt käytämme ulompaa taserajaa. Taserajan läpäisevät nyt φ, P, ṁ h h(10 C) sekä ṁ h h h. Energiataseeksi saadaan P +φ+ṁ h h(10 C) = ṁ h h h mistä voimme ratkaista lämmitystehon φ = ṁ h h h P ṁ h h(10 C) = 0,0208 kg/s 2551,1 kj/kg 5,2 kw 0,0208 kg/s 41,2 kj/kg = 47 kw 16

18 Ratkaisu Kuva 1.4. LTO:n toimintakaavio Lämpötilahyötysuhde voidaan laskea tehtävänannon perusteella ε = T u2 T u1 285 K 247 K = T s1 T u1 295 K 247 K = 0,79 Kuvassa 1.4 on esitetty lämmöntalteenoton periaatekuva. T s2 :n ratkaisemiseen tarvitsemme energiataseen kuvaan piirretyn taserajan mukaisesti: ṁ u h u1 +ṁ s h s1 = ṁ u h u2 +ṁ s h s2 Energiataseesta voimme ratkaista T s2 :n muistamalla, että ideaalikaasun entalpiamuutos voidaan lausua h = c p T ṁ u h u1 +ṁ s h s1 = ṁ u h u2 +ṁ s h s2 ṁ s (h s2 h s1 ) = ṁ u (h u1 h u2 ) ṁ s c p (T s2 T s1 ) = ṁ u c p (T u1 T u2 ) T s2 = T s1 + ṁu(t u1 T u2 ) 0,32 kg/s (247 K 285 K) = 295 K+ ṁ s 0,36 kg/s 261 K = 11,7 C Lämmöntalteenoton tehon laskemiseksi tarvitsemme energiataseen joko tuloilmavirran tai poistoilmavirran mukaan. Poistoilmavirrasta poistuva lämpöteho on yhtä suuri kuin tuloilmavirtaan tuleva lämpöteho, joten lämmöntalteenoton teho voidaan ratkaista kumman tahansa avulla. Tuloilma: ṁ u h u1 +φ LTO = ṁ u h u2 φ LTO = ṁ u (h u2 h u1 ) = ṁ u c p (T u2 T u1 ) = 0,32 kg/s 1,006 kj/kgk (12 C ( 26 C)) 12,2 kw 17

19 Postoilma: ṁ s h s1 = φ LTO +ṁ s h s2 φ LTO = ṁ s (h s1 h s1 ) = ṁ s c p (T s1 T s1 ) = 0,36 kg/s 1,006 kj/kgk (22 C ( 11,7 C)) 12,2 kw Ilmavirran lämmittämiseen tarvittava kokonaislisälämmitysteho saadaan myös energiataseen avulla: ṁ u h u2 +φ lisä = ṁ u h u4 φ lisä = ṁ u (h u4 h u2 ) = ṁ u c p (T u4 T u2 ) = 0,32 kg/s 1,006 kj/kgk (20 C 12 C)) 2,6 kw Huom. nyt siis tarvittava kokonaislisälämmitysteho sisältää myös puhaltimen osuuden, eli kuvan 1.4 merkinnöillä φ lisä = φ+p. b) Laske sähkömoottorin teho ja ilman lämpeneminen Puhaltimen teoreettinen teho voidaan laskea jälleen kerran yhtälöllä P teor = V p = ṁ ρ 0,32 kg/s p = 465 Pa = 124 W 1,2 kg/m3 Puhaltimen hyötysuhteen avulla voidaan laskea puhaltimen akseliteho η p = P teor P a P a = P teor η p = 124 W 0,57 = 218 W Sähkömoottorin hyötysuhteen avulla voidaan laskea sähköteho η s = P a P P = P a = 218 W = 242 W η s 0,9 Kuva 1.5. Puhallin ja sähkömoottori kanavassa Koska sähkömoottori on sijoitettu kanavan sisään kuvan 1.5 mukaisesti, myös sen hukkateho lämmittää ilmavirtaa. Ilman lämpiminen ratkeaa 18

20 kuvan 1.5 mukaisen energiataseen avulla: ṁ u h u2 +P = ṁ u h u3 P = ṁ u (h u3 h u2 ) ilma on ideaalikaasu: T = P ṁ u c p = P = ṁ u c p T 240 W 0,32 kg/s 1006 J/kgK 0,75 K c) Laske säästetty energia Nyt siis huoneen lämpötila halutaan pitää edelleen 22 C:ssä, eli T s1 = 22 C. Lämpötilahyötysuhteen avulla voidaan laskea uusi T u2 T u2 = T u1 +ε(t s1 T u1 ) = 5 C+0,79 (22 C 5 C) = 18,43 C LTO:n teho voidaan laskea samalla tavalla kuin a-kohdassa: φ LTO = ṁ u c p (T u2 T u1 ) = 0,32 kg/s 1,006 kj/kgk (18,43 C 5 C) = 4,32 kw ja säästetty energia saadaan kertomalla teho käyttöajalla E = φ LTO t = 4,32 kw 2000h 8600 kwh d) Järjestämällä huoneeseen alipaine ulkoilmaan nähden voidaan estää veden tiivistyminen seinän sisälle, kun ulkolämpötila on kylmempi kuin huonelämpötila. Sellaisessa kohdassa seinän sisällä, missä tiivistyy vettä, alkaa helposti kasvamaan hometta. Huoneilma ja ulkoilma ovat käytännössä aina ns. kosteaa ilmaa, eli ilmaa joka sisältää jonkin verran vesihöyryä, joka tiivistyy nestemäiseksi vedeksi kun kostea ilma koskettaa pintaa, jonka lämpötila on alle kastepisteen (vesihöyryn osapainetta vastaavan kylläisen lämpötilan). Kun poistoilmavirta on suurempi kuin tuloilmavirta, on rakennuksen sisällä alipaine ja päinvastaisessa tilanteessa puolestaan rakennuksen sisällä on ylipaine. Kosteaa ilmaa kulkeutuu aina pieniä määriä seinän läpi (mm. diffundoitumalla) suuremman paineen puolelta pienemmän paineen puolelle. Toisaalta tämän kulkeutuvan ilman lämpötila on tietyssä kohdassa seinää aina sama kuin seinän lämpötila siinä kohdassa. Jos sisällä olisi ylipaine, niin kostea sisäilma siis kulkeutuisi seinän läpi ja sen lämpötila laskisi sitä mukaa kun se lähestyy seinän ulkopintaa. Jossain kohdassa seinän lämpötila todennäköisesti saavuttaisi ilman kastepisteen ja vettä täten kondensoituisi (tiivistyisi) seinän sisälle. 19

21 Kun sisällä on puolestaan alipaine, niin kosteaa ilmaa kulkeutuu ulkoilmasta sisäilmaan päin. Ilman kulkeutuessa kohti seinän sisäpintaa sen lämpötila koko ajan kasvaa eli menee koko ajan kauemmaksi kastepisteestä. Täten vettä ei voi kondensoitua seinän sisälle. Ratkaisu Vesi on venttiilin jälkeen kylläisessä tilassa, eli sen lämpötila voidaan lukea paineen funktiona taulukosta 19. Paine venttiilin jälkeen on 0,1 bar eli taulukosta 19 saadaan T 46 C. Venttiilille pätee h w2 1 = h w2 2 ja olettamalla w 1 w 2 (tai olettamalla että nopeustermit ovat pieniä) saadaan h 1 = h 2. Entalpia venttiilin yli siis säilyy. Entalpia ennen venttiiliä saadaan laskemalla =pieni { }} { h 1 = h(60 C,6bar) = h (60 C)+ v(1 T 1 γ) p h (60 C) = 251,5 kj/kg missä paineesta riippuva termi on oletettu merkityksettömän pieneksi (laskemalla voidaan tarkistaa sen olevan n. 0,5 kj/kg) ja on täten jätetty huomiotta. Huom. jos paine-ero on suuri, paineesta riippuva termi kasvaa suureksi ja se täytyy myös ottaa huomioon. Kylläiselle seokselle, jossa on sekä kylläistä nestettä että kylläistä höyryä, voidaan laskea entalpia yhtälöllä h = xh +(1 x)h missä x on höyryn massaosuus, h kylläisen höyryn entalpia ja h kylläisen nesteen entalpia. Merkkaamalla entalpiat ennen ja jälkeen venttiilin voidaan höyryn massaosuus ratkaista lukemalla kylläisen veden ja höyryn entalpiat höyrytaulukoista h 1 (60 C,6 bar) = h 2 (46 C;0,1 bar) = xh (46 C)+(1 x)h (46 C) x = h 2 h (46 C) h (46 C) h (46 C) = 251,5 191,6 2584,8 191,6 = 0,025 eli höyryä on 2,5 m-% ja nestemäistä vettä 97,5 m-% Miltä tilanne näyttää näkölasissa? Silmä ei näe massoja, vaan tilavuuksia. Tarvitsemme siis joko höyryn tai veden tilavuusosuuden. Käyttämällä tietoja V = mv sekä m = xm ja 20

22 m = (1 x)m voimme laskea höyryn tilavuusosuuden: V V +V = = m v m v +m v = xmv xmv +(1 x)mv 0,025 14,55 m 3 /kg 0,025 14,55 m 3 /kg+(1 0,025) 0,00101 m 3 /kg 99,7 % missä ominaistilavuudet on luettu höyrytaulukoista. Näkölasissa näkyy siis pelkkää höyryä sekä vain muutama vesipisara, vaikka massasta 97,5 % on nestemäistä vettä. Mitä käy paineilman lämpötilalle vastaavassa tilanteessa? Ilman voi olettaa käyttäytyvän ideaalikaasun tavoin, eli sen entalpia riippuu vain lämpötilasta. Entalpiamuutos venttiilissä on siis h = c p T = 0 T = 0 Ilman lämpötila pysy siis vakiona venttiilissä. Ratkaisu Tässä ratkaisussa käsitellään kaikki lämmöt Q ja työt W positiivisina suureina siten että kuvassa oleva nuoli osoittaa onko lämpö tai työ systemiin vai systeemistä pois. Kiertoprosessia R voidaan kuvata koneena johon menee lämpö Q(R) ja josta tulee ulos työ W(R): Koska R on reversiibeli, on sille olemassa vastakkainen kiertoprosessi R siten että siihen menee työ W(R ) ja tulee ulos lämpö Q(R ) siten että W(R ) = W(R) ja Q(R ) = Q(R): 21

23 a) W(P 1 ) = W(R), Q(P 1 ) < Q(R) Oletetaan että on olemassa kiertoprosessi P 1 siten että W(P 1 ) = W(R) ja Q(P1) < Q(R). Tällöin on W(P 1 ) = W(R ) ja voidaan tehdä kiertoprosesseista R ja P 1 yhdistelmäkone siten että kaikki P 1 :sta saatu työ menee kiertoprosessin R käyttämiseen: Mutta koska nyt on Q(P 1 ) < Q(R ), niin koko lämpö Q(P 1 ) voidaan ottaa lämmöstä Q(R ) siten että yhdistelmäkoneesta tulee ulos lämpöjen erotus Q(R ) - Q(P 1 ) eikä mitään muuta. Koska sekä P 1 että R ovat kiertoprosesseja, on koko systeemin tila näiden prosessien jälkeen sama kuin mikä se oli ennen prosessia. Täten erotus Q(R ) - Q(P 1 ) ei voi olla otettu systeemiin varastoituneesta energiasta vaan se on otettu tyhjästä. Toistamalla kiertoprosesseja P 1 ja R loputtomasti uudestaan saataisiin siis loputon määrä lämpöä tyhjästä. Mutta tämä on ristiriidassa lauseen "energian syntyminen tyhjästä on mahdoton"kanssa. Koska kiertoprosessi P 1 voitiin valita mielivaltaisesti tehtävänannossa annettuja ehtoja lukuunottamatta, on täten mahdotonta löytää prosessia P 1. b) W(P 2 ) = W(R), Q(P 2 ) > Q(R) Aivan vastaavalla päättelyllä kuin kohdassa a) voitaisiin konstruoida yhdistelmäkone johon menee sisään loputtoman monta kertaa lämpö Q(P 2 ) - Q(R ) ilman että tämä lämpö varastoituisi systeemiin: 22

24 Täten myös kiertoprosessin P 2 löytäminen on mahdotonta. c) Mikä on ainoa vaihtoehto? Ainoa mahdollinen vaihtoehto, joka jää jäljelle, on täten Q(P) = Q(R). Tämä merkitsee, että mielivaltaiselle kiertoprosessille P, jolle pätee W(P) = W(R), pätee myös Q(P) = Q(R). Kun nämä yhtälöt jaetaan puolittain, saadaan W(P) Q(P) = W(R) Q(R) Eli jokaiselle kiertoprosessille P löytyy reversiibeli kiertoprosessi R siten että ylläoleva yhtälö pätee. Kurssikirjan kappaleessa 2.1 (s ) on perusteltu täsmällisemmin että kyseinen suhde W(P) Q(P) = W(R) Q(R) on yleispätevä luonnonvakio jolle on aiemmin käytetty nimitystä lämmön mekaaninen ekvivalentti ja joka on voitu asettaa ykköseksi kun työlle ja lämmölle on otettu sama yksikkö Joule. Ratkaisu a) Symboli P tarkoittaa prosessia, joka vie systeemin tilasta A tilaan B. Lämpö Q sekä työ W eivät ole tilansuureita. Vaikka tietäisimme systeemin tilan, emme voi laskea sille suuretta lämpö Q tai työ W. Kirjoitusmuoto Q(B) Q(A) implikoi, että lämpö olisi tilansuure, minkä takia näin ei saa siis kirjoittaa. Lämpö Q ja työ W ovat prosessille P ominaisia suureita eli niiden arvo riippuu prosessin alku- ja lopputilan (A ja B) lisäksi siitä millainen prosessi P on. b) U(ref) = sisäenergia referenssitilassa U(B) = sisäenergia tilassa B U(A) = sisäenergia tilassa A 23

25 Q in (P) = systeemiin tuotu lämpö Q out (P) = systeemin luovuttama lämpö W in (P) = systeemiin tehty työ W out (P) = systeemin tekemä paisuntatyö ilmanpainetta vastaan Systeemi on alussa referenssitilassa, mistä seuraa U(A) = 0. Jäätyessä vesi vapauttaa lämpöä ympäristöön, ja ympäristöstä ei siirry lämpöä systeemiin eli Q in = 0. Jäätyessä vesi laajenee hieman, eli se tekee ympäristöön paisuntatyötä. Ympäristö ei puolestaan tee työtä veteen, eli W in = 0. Näiden perusteella energiatase sievenee muotoon U(B) U(A) = Q out W out Paisuntatyö vakiopainetta vastaan voidaan esittää yhtälöllä W = p V jonka avulla saadaan W out = p(v B V A ) U(B) U(A) = Q out p(v B V A ) U(B)+pV B [U(A)+pV A ] = H(B) H(A) = Q out missä on käytetty entalpian määritelmää H = U +pv. Entalpian muutos veden jäätyessä on sen jäätymislämpö kerrottuna veden massalla. Jäätymislämpö voidaan lukea taulukkokirjan taulukosta Jään aineominaisuuksia. Systeemistä lähteväksi lämmöksi saadaan siis Q out = 333 kj/kg 1 kg = 333 kj ja paisuntatyöksi saadaan veden ja jään tiheyksien avulla W out = p(v B V A ) = p( m m ) = kg Pa ( ρ j ρ v 917 kg/m 3 1 kg 1000 kg/m 3) = 9 J ja näiden avulla tilan B sisäenergiaksi U(B) = Q out W out = J 9 J 333 kj Δx1. Qin Δx2. p1 m1 A B A B p2. m2. Qout 24

26 Ratkaisu Uima-altaasta höyrystyvän veden massavirran voi laskea yhtälöllä ṁ h = 0,3 kg/m 2 h 25 m 10 m = 75 kg/h = 0,0208 kg/s Uima-altaan sisääntulevaksi vesivirraksi saadaan ṁ 1 = ρ 1 V1 = /3600 = 38,9 kg/s ja poistuvaksi vesivirraksi saadaan massataseesta ṁ 1 = ṁ 2 +ṁ h ṁ 2 = ṁ 1 ṁ h = 38,9 0,0208 = 38,8792 Kurssikirjan kaavasta (155) saadaan h w2 1 + gh }{{} }{{} 1 + Q in +P }{{} L,in = ṁ 2 h }{{} 2 w2 2 + gh }{{} }{{} 2 + Q out +P }{{} L,out } {{ } <<h 1 <<h 1 =0 =0 <<h 2 <<h 2 =0 =0 ṁ 1 +ṁ h h h w2 h + gh }{{} }{{} h <<h h ṁ 1 h 1 = ṁ 2 h 2 +ṁ h h h <<h h Entalpia ulosmenoaukossa on suurinpiirtein yhtä suuri kuin kylläisen veden entalpia lämpötilassa 27 C ja höyrystyneen veden entalpia on suurinpiirtein yhtä suuri kuin kylläisen höyryn entalpia lämpötilassa 27 C eli h 2 h (27 C) = 112,3 kj/kg h h h (27 C) = 2551,1 kj/kg Nyt entalpiaksi sisääntuloaukolla saadaan ṁ 1 h 1 = ṁ 2 h 2 +ṁ h h h h 1 = ṁ2h 2 +ṁ h h h ṁ 1 = 38, ,3+0, ,1 = 113,6 kj/kg 38,9 Höyrytaulukoista nähdään, että h (28 C) = 116,5 kj/kg > h 1. Sisääntulolämpötila sijaitsee siis 27 C:n ja 28 C:n välillä, joten sisääntulolämpötila voidaan ratkaista lineaarisesti interpoloimalla. Interpoloimalla saadaan 116,5 112, = 113,6 112,3 28 T T = 27,3 C 25

27 Systeemin raja tilassa A Systeemin raja tilassa B p=ph Vh = whahδt Vallas V2 = w2a2δt V1 = w1a1δt b) Tehdään tarkastelu siten kuin on tehty kirjan kappaleessa 2.8 w 1 = tulevan kierrätysveden nopeus A 1 = tuloputken poikkipinta-ala w h = höyryn virtausnopeus pois altaan pinnasta A h = altaan poikkipinta-ala w 2 = poistuvan kierrätysveden nopeus A 2 = poistoputken poikkipinta-ala V(A) = V 1 +V allas V(B) = V allas +V h +V 2 t = aika, joka kuluu prosessiin A B Työmäärät muutoksen t aikana systeemin ja ympäristön välillä: W in = pa 1 w 1 t W out = pa 2 w 2 t+p h A h w h t Toisaalta Vastaavasti pa 1 w 1 t = pv 1 ρ 1 A 1 w } {{ } 1 t = pv 1 ṁ 1 t ṁ 1 pa 2 w 2 t = pv 2 ṁ 2 t p h A h w h t = p h v h ṁ h t Täten W in = pv 1 ṁ 1 t (1.1) W out = pv 2 ṁ 2 t+p h v h ṁ h t (1.2) Systeemin sisäenergia tilassa A ja B (kineettinen energia ja potentiaalienergia oletetaan niin pieniksi sisäenergiaan verrattuna, että ne voi- 26

28 daan jättää huomioon ottamatta). U(A) = ρudv (1.3) U(B) U(A) = U(B) = V(B) V(A) V(B) ρudv ρudv (1.4) V(A) ρudv = ρudv ρudv V allas +V 2 +V h V allas +V 1 (1.5) = ρudv + ρudv + ρudv ρudv ρudv V allas V 2 V h V allas V 1 (1.6) = ρudv + ρudv ρudv (1.7) V 2 V h V 1 ρudv = ρ 2 u 2 V 2 = ρ 2 u 2 w 2 A 2 t = u 2 ṁ 2 t (1.8) V 2 ρudv = ρ h u h V h = ρ h u h w h A h t = u h ṁ h t (1.9) V h ρudv = ρ 1 u 1 V 1 = ρ 1 u 1 w 1 A 1 t = u 1 ṁ 1 t (1.10) V 1 U(B) U(A) = u 2 ṁ 2 t+u h ṁ h t u 1 ṁ 1 t (1.11) Kaava (90): U(B) U(A) = (Q in Q out ) +(W } {{ } in W out ) 0 Sijoittamalla tähän yllä olevat yhtälöt (1.2) ja (1.11) saadaan u 2 ṁ 2 t+u h ṁ h t u 1 ṁ 1 t = pv 1 ṁ 1 t pv 2 ṁ 2 t p h v h ṁ h t u 2 ṁ 2 +u h ṁ h u 1 ṁ 1 = pv 1 ṁ 1 pv 2 ṁ 2 p h v h ṁ h u 1 ṁ 1 +pv 1 ṁ 1 = u 2 ṁ 2 pv 2 +u h ṁ h +p h v h ṁ h ṁ 1 (u 1 +pv 1 ) = ṁ 2 (u 2 +pv 2 )+ṁ h (u h +p h v h ) ṁ 1 h 1 = ṁ 2 h 2 +ṁ h h h MOT Ratkaisu a) Bernoullin yhtälö ennen turbiinia on p ρ 1w 2 1 = p ρ 2w

29 ja turbiinin jälkeen p ρ 2w 2 2 = p ρ 3w 2 3 Laskemalla yllä olevat yhtälöt puolittain yhteen saadaan p ρ 1w 2 1 = p ρ 2w 2 2 p ρ 2w2 2 = p ρ 3w3 2 p ρ 1w1 2 = p ρ 3w3 2 mistä saadaan p + p = 1 2 ρ(w2 1 w3) 2 (1.12) Liikemääräyhtälön mukaan pätee F = ṁ v josta saadaan osalle 1-2 p A 1 +p (A 2 A 1 ) p + A 2 = ṁ(v 2 v 1 ) ja vastaavasti osalle 2-3 saadaan p A 2 +p (A 3 A 2 ) p A 3 = ṁ(v 3 v 2 ) Laskemalla liikemääräyhtälöt puolittain yhteen saadaan p A 1 +p (A 2 A 1 ) p + A 2 = ṁ(v 2 v 1 ) p A 2 +p (A 3 A 2 ) p A 3 = ṁ(v 3 v 2 ) Yhdistämällä edellä johdetut yhtälöt (1.12) ja (1.13) A 2 (p + p ) = ṁ(v 1 v 3 ) (1.13) [ ] ρw 2 A 2 1 {}}{ A 2 2 ρ(w2 1 w3) 2 = ṁ (w 1 w 3 ) 1 A 2 2 ρ(w2 1 w3) 2 = ρw 2 A 2 (w 1 w 3 ) w 2 = 1 w1 2 w2 3 = 1 (w 1 w 3 )(w 1 +w 3 ) = w 1 +w 3 2w 1 w 2 2 w 1 w 3 2 b ja c) Hyötysuhteen maksimi Turbiinin energiataseeksi saadaan [ ṁ h ] [ 2 w2 1 = P +ṁ h ] 2 w2 3 [ ṁ c p (T 1 T 0 )+ 1 ] [ 2 w 1 = P +ṁ c p (T 3 T 0 )+ 1 ] 2 w2 3 28

30 missä P on turbiinin mekaaninen teho ja T 0 on referenssilämpötila, jossa entalpia h = 0. Nyt turbiinin teho P voidaan ratkaista [ P = ṁ c p (T 1 T 3 )+ 1 ] 2 (w2 1 w3) 2 Ideaalitapauksessa virtaavan ilman lämpötila pysyy vakiona (todellisessa tapauksessa se kasvaa hieman) eli T 1 = T 3. Nyt tehoksi saadaan P = 1 2ṁ(w2 1 w3) 2 = 1 2 ρw 2A 2 (w1 2 w3) 2 = 1 2 ρw 1 +w 3 A 2 (w1 2 w 2 2 3) = 1 4 ρa 2(w 1 +w 3 )(w1 2 w Turbiinin hyötysuhde eli tehokerroin on määritelty η = P 1 2ṁA 2 w 2 1 missä P on turbiinin teho, w 1 tuulen nopeus ja ṁ A2 on ilman massavirta, joka menisi turbiinin pyyhkäisypinta-alan läpi, jos turbiinia ei olisi. Sijoittamalla tähän tehon lausekkeen ja yhteyden ṁ A2 = ρa 2 w 1 saadaan P η = 1 2 ρa 2w 1 w1 2 = Merkitsemällä suhdetta w 3 w 1 = z saadaan 1 4 ρa 2(w 1 +w 3 )(w1 2 w2 3 ) 1 2 ρa 2w1 3 = 1 ( 1+ w ) 2 ( 3 1 w ) 3 2 w 1 w 1 η = 1 2 (1+z)2 (1 z) missä 0 z 1 sillä 0 w 3 w 1. Funktion paikallinen minimi tai maksimi on sen alku- tai loppupisteessä tai derivaatan nollakohdassa. Derivoimalla saadaan dη dz = 1 ( 1 2z 3z 2 ) 2 Merkkaamalla tämän nollaksi saadaan dη dz = 1 ( 1 2z 3z 2 ) = 0 2 3z 2 2z +1 = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan z = 2± ( 2) = 2±4 6 = 1 Joista vain positiivinen juuri on fysikaalisesti järkevä. Sijoittamalla tämän hyötysuhteen lausekkeeseen saadaan η( 1 3 ) = 1 2 ( 1+ 1 ) 2 ( 1 1 ) =

31 Tarkistamalla vielä hyötysuhteen arvot sen päätepisteissä saadaan η(0) = 1 2 (1+0)2 (1 0) = 1 2 η(1) = 1 2 (1+1)2 (1 1) = 0 eli hyötysuhteen maksimi saavutetaan pisteessä w 3 w 1 = 1 3 maksimi on ja hyötysuhteen Jos hyötysuhde olisi 1, kaikki tuulen energia siirtyisi mekaaniseksi tehoksi. Tuulen teho on puolestaan riippuvainen sen nopeudesta eli ṁ 1 2 w2. Jotta kaikki tuulen tehosta siirtyisi mekaaniseksi tehoksi, tuulen nopeuden pitäisi mennä nollaksi eli tuulen pitäisi pysähtyä kokonaan. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, sillä tuulen pysähtyminen tuuliturbiiniin johtaisin ilman varastoitumiseen turbiiniin. Ilman kuitenkin täytyy myös poistua turbiinista, eli nopeus ei voi mennä nollaksi ja hyötysuhde ei voi olla 1. d) Tuuliturbiinin mitoitus P η = 1 2 ρa 2w 1 w1 2 P A 2 = = ρw 1w = = 1628 m2 2 1,2 122 A = πr 2 r = A 1628 π = π = 23 m Ratkaisu U(B) U(A) = [Q in (P) Q out (P)]+[W in (P) W out (P)] Kun tila B lähestyy tilaa A, niin prosessi P tulee differentiaalisen pieneksi jolloin U(B) U(A) du, joka on kokonaisdifferentiaali systeemin sisäenergian lisäykselle, Qin(P) Qout(P) dq, joka on symbolinen differentiaalimuoto pienelle systeemiin tuodulle nettolämpömäärälle ja vastaavasti Win(P) Wout(P) dw, 30

32 joka on symbolinen differentiaalimuoto pienelle systeemin tekemälle nettotyölle. dq ja dw siis eivät ole kokonaisdifferentiaaleja, koska Q ja W eivät ole tilasuureita! Saadaan du = dq dwdq = du +dw. Kun systeemin ja ympäristön rajapinnasta tekee pinta-ala A paisuntatyötä ympäristöön, niin dw = padz = pdv, missä dz on rajapinnan siirtymä matka ja dv = Adz on systeemin tilavuuden lisäys. Saadaan lopulta dq = du +pdv Jos ainoa työmuoto on paisuntatyö, jolle pätee dw = pdv, niin paisuntaprosessi on palautuva eli reversiibeli (kirjan sivut 38-39). Täten yhtälö dq = du +pdv pätee vain palautuvalle eli reversiibelille prosessille. 31

33 32

34 1.2 Tehtävät: Palaminen, lämpöarvo Tehtävä Metaanikaasua poltetaan 2 mol/s ilmakertoimella λ = 1,2 (Venäjältä Suomeen tuotava maakaasu on lähes yksinomaan metaania, noin 98 %). a) Laske tarvittava palamisilmavirta (mol/s) ja palamisilmapuhaltimen tilavuusvirta (m 3 /s), kun palamisilman lämpötila puhaltimen imuaukossa on 25 C. b) Laske polttoaineteho, kun metaanikaasua poltetaan 2 mol/s. c) Savukaasuista mitataan vapaan hapeno 2 (g) mooliosuudeksi 4 %. Mikä on tällöin palamisen ilmakerroin? Tehtävä Kevyen polttoöljyn koostumus painoprosentteina on likimain hiili (C) 87 % ja vety (H) 13 % (Kevyessä polttoöljyssä olevan rikin määrä painoprosentteina on nykyisin vain noin 0,1 %). Kevyen polttoöljyn kalorimetrinen lämpöarvo on noin 45,4 MJ/kg. a) Laske polttoöljyn tehollinen lämpöarvo (MJ/kg). b) Laske polttoöljyn muodostumisentalpian arvo (MJ/kg). c) Laske savukaasujen koostumus ja palamisilman tarve (mol/kgpolttoöljyä) ilmakertoimella λ = 1,2. d) Laske savukaasuhäviöt (kj/kgpolttoöljyä) ilmakertoimella λ = 1,2, kun savukaasujen poistumislämpötila kattilasta on 440 K. Ohje: Kirjan esimerkki 26. e) Laske d-kohdan arvoilla savukaasuhäviöteho (kw) kun polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s. Mikä on tällöin kattilan polttoaineteho ja hyötysuhde, kun kattilan muut lämpöhäviöt ovat 2 % polttoainetehosta? Tehtävä a) Poltettaessa 1 kg kevyttä polttoöljyä ilmalla syntyi savukaasuja seuraavasti (mittaustulos): CO 2 (g) = 71,5 mol/kg, H 2 O(g) = 67,8 mol/kg, N 2 (g) = 456,2 mol/kg ja O 2 (g) = 15,6 mol/kg polttoöljyä. Laske tämän mittaustuloksen perusteella palamisilman määrä (happi ja typpi eriteltynä, mol/kg polttoöljyä) ja ilmakerroin. Ohje 1: Palamisilma oletetaan täysin kuivaksi ja polttoöljyn oletetaan 33

35 sisältävän vain hiiltä ja vetyä. Rikin, kosteuden ja hapen osuus polttoaineessa on yhteensä alle yhden massaprosentin eikä sitä oteta siksi tässä huomioon. Ohje 2: Tarkistukseksi: Typen ja hapen suhde tavallisessa ilmassa on noin 3,77. Ohje 3: Ilmakerroin λ määritellään suhteena todellinen happimäärä teoreettinen hapen tarve b) Laske savukaasujen koostumus ja palamisilman tarve (mol/kg öljyä) ilmakertoimilla λ = 1,0 ja λ = 1,5. c) Laske savukaasuhäviöt (kj/kg polttoöljyä) ilmakertoimilla λ = 1,0, λ = 1,148 ja λ = 1,5. Savukaasujen poistumislämpötila kattilasta on 450K. Ohje: käytä hyväksesi kirjan esimerkin 26 lukuja ominaislämpökapasiteeteille. Laske myös savukaasujen häviötehot näillä kolmella ilmakertoimella (1.0, ja 1.5), kun polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s ja vertaa niitä polttoainetehoon (prosenttiosuus). d) Laske savukaasuhäviö (kj/kg) ja häviöteho ilmakertoimella λ = 1,148 käyttämällä hyväksi kirjan taulukkoa 11. Polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s. Vertaa tulosta c-kohtaan. Savukaasujen poistumislämpötila kattilasta on 450 K. e) Laske savukaasuhäviö ja häviöteho ilmakertoimella λ = 1,148 käsittelemällä savukaasut typen suuresta osuudesta johtuen likimain ilmana eli esimerkiksi ilmakertoimella λ = 1,148 savukaasuilmaa syntyy yhteensä 611,1 mol/kg polttoöljyä. Polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s ja savukaasujen poistumislämpötila 450 K. Kuinka suuri prosentuaalinen virhe näin menetellen tehdään verrattuna c- tai d-kohtaan? Tehtävä a) Määritä taulukossa 12 esitettyjen palamislämpöarvojen perusteella häkäkaasunco(g) muodostumisentalpian arvo lämpötilassa 25 C ja yhden barin paineessa eli luku H f. Vertaa sitä taulukkoon 10. b) Laske häkäkaasun CO(g) hapettumisen hiilidioksidiksi CO 2 (g) lämpöarvo taulukon 11 avulla. Vertaa sitä taulukkoon 12. c) Muuttuuko lämpöarvo jos hapettaminen tehdään ilmalla ja vieläpä isolla ilmakertoimella? Miksi ei? 34

36 1.2.5 Tehtävä Vesihöyryn muodostumisentalpia 25 C:ssa on -241,83 kj/mol (kirjan taulukko 11), joka on sama kuin vesihöyryn kemiallinen entalpia siinä lämpötilassa ideaalikaasuna. Kylläisen vesihöyryn entalpia lämpötilassa 360 C on h (360 C) = 2485,4 kj/kg (Scmidtin höyrytaulukko). Määritä kylläisen vesihöyryn (360 C) kemiallinen entalpia ja vertaa sitä taulukon 11 arvoon. Miksi arvot poikkeavat toisistaan? Tehtävä Raskaan polttoöljyn kalorimetrinen lämpöarvo on 42,3 MJ/kg ja tehollinen lämpöarvo 40,0 MJ/kg. Arvioi tämän perusteella, kuinka paljon polttoaineessa on vetyä (massaprosentteina), kun polttoaine oletetaan täysin kuivaksi eli kaikki syntyvä vesi on peräisin vedyn hapettumisesta Tehtävä Pakokaasujen koostumus Otto- eli bensiinimoottorissa oli erään mittauksen mukaan ennen katalysaattoria (mooliprosentteja): N 2 (g) 72 % H 2 O(g) 12,6 % CO 2 (g) 14 % CO(g) 0,7 % O 2 (g) 0,7 % Palamattomien hiilivetyjen määrä HC *) ennen katalysaattoria oli 150 ppm (ppm = parts per million) ja katalysaattorin jälkeen 10 ppm. Häkäkaasun CO määrä katalysaattorin jälkeen oli 100 ppm. Katalysaattoriin tulevien pakokaasujen lämpötila oli 550 K. a) Etsi kurssikirjan taulukosta 11 (s. 80) katalysaattoriin menevien kaasujen kemialliset entalpiat lämpötiloissa 550 K ja 600 K. Palamattomat hiilivedyt voidaan pienimerkityksellisinä jättää huomioon ottamatta. b) Laske a-kohdan entalpioiden avulla katalysaattorista ulostulevan pakokaasun lämpötila, kun katalysaattori käsitellään adiabaattisena. Ohje: Vain häkäkaasun hapettuminen (0,7 % 100 ppm) otetaan huomioon ja se voidaan laskea siten että ulostuleva häkäkaasumäärä on nolla. c) Mikä on katalysaattorista ulostulevan pakokaasun lämpötila, jos hä- 35

37 käkaasun määrä ennen katalysaattoria on 1,5 %? *) Palamattomat hiilivedyt sisältävät samoja hiilivety-yhdisteitä kuin polttoaine ja niille käytetään yleismerkintää HC Tehtävä Palamisen reaktionopeusmallia voidaan kuvata Arheniuksen esittämällä eksponenttimallilla r exp( E/RT), missä E on ns. aktivointienergia, jonka suuruus riippuu käytettävästä katalyytistä. Metaanikaasun palamiselle aktivointienergian arvo ilman katalyyttiä on noin E = 120 kj/mol (ks. kirjan sivu 25, kaava (59)). Jos hapen osapaine putoaa vertailutilanteesta kymmenenteen osaan, niin paljonko vastaavasti palamislämpötilan tulee nousta vertailutilanteesta T 1 = 1000 K jotta reaktionopeus pysyisi samana? 36

38 Ratkaisut: Palaminen, lämpöarvo Ratkaisu a) Palamisilmavirta Palamisilman laskemista varten tarvittavan hapen määrän voi laskea metaanin palamisreaktion avulla. Metaanin palamisreaktio on CH 4 (g)+2o 2 (g) CO 2 (g)+2h 2 O(g) Koska poltto tapahtuu ilmalla, tulee hapen mukana myös typpeä. Hapen ja typen suhde ilmassa on 3,77 eli typpeä tulee 3,77-kertainen määärä happeen verrattuna eli reaktioyhtälöstä tulee CH 4 (g)+2o 2 (g)+3,77 2N 2 (g) CO 2 (g)+2h 2 O(g)+3,77 2N 2 (g) Ottamalla huomioon ilmakerroin λ saadaan reaktioyhtälöksi CH 4 (g)+λ2o 2 (g)+λ3,77 2N 2 (g) CO 2 (g)+2h 2 O(g)+(λ 1)2O 2 (g)+λ3,77 2N 2 (g (1.14) Reaktioyhtälön kertoimista nähdään, että happea tarvitaan kaksinkertainen määrä metaaniin verrattuna. Metaania poltetaan 2 mol/s, joten happea tarvitaan siis teoreettisesti ṅ O2 = 2 2 = 4 mol/s. Ottamalla ilmakerroin λ = 1,2 huomioon, hapentarpeeksi saadaan 1,2 4 = 4,8 mol/s. Hapen ja typen suhde ilmassa on 3,77 eli ṅ N2 = 3,77ṅ O2 = 3,77 4,8 = 18,096 mol/s Ilmaa tarvitaan siis ṅ i = ṅ O2 +ṅ N2 = 4,8+18,096 = 22,896 mol = 23 mol/s Ilman (happi + typpi) kokonaiskonsentraatio onc = p/rt = , ,15 = 40,3 mol/m 3 ja siis tilavuusvirta V = ṅ c = 22,896 40,3 = 0,57 m3 /s b) Polttoaineteho Polttoainetehon φ p voi laskea metaanin tehollisen lämpöarvon q avulla φ p = ṅq = 2 802,9 = 1605,8 kw = 1,6 MW missä lämpöarvo on luettu kurssikirjan taulukosta

39 c) Ilmakerroin Tehtävän a-kohdasta reaktioyhtälöstä (1.14) nähdään, että x O2 = (λ 1)2 1+2+(λ 1)2+3,77 2λ ja kun x O2 = 0,04, saadaan tästä ratkaisuksi λ = 1,27. Ratkaisu a) Polttoöljyn tehollinen lämpöarvo Tehollisen (q) ja kalorimetrisen (q 0 ) lämpöarvon ero on veden lauhtumisesta saatava energiamäärä eli q = q 0 H vap missä H vap on palamisreaktiossa syntyneen veden höyrystämiseen tarvittava energia, joka on toisaalta H vap = m H2 Ol H2 O missä l H2 O on veden höyrystymislämpö 25 C:ssä. Teholisen lämpöarvon laskemiseksi tarvitaan siis kevyen polttoöljyn palamisessa syntyvän veden määrä. Tarkastellaan siis yhtä (1) kiloa kevyttä polttoöljyä. Kilossa polttoöljyä on tehtävänannon mukaisesti vetyä Ainemääränä tämä on Vedyn palamisen reaktioyhtälö on m H2 = w H2 m p = 0,13 1 kg = 0,13 kg n H2 = m H 2 = 0,13 = 65 mol M H2 0,002 H 2 (g)+ 1 2 O 2 H 2 O(g) Reaktioyhtälön kertoimista nähdään, että syntyneen veden ainemäärä on yhtä suuri kuin palaneen vedyn ainemäärä. Jos tätä ei intuitiivisesti huomaa, voi tehdä verrannon: reaktioaineiden ainemäärät ovat suoraanverrannolliset reaktioyhtälön kertoimiin, eli n H2 n H2 O = 1 1 n H 2 = n H2 O Syntyneen veden massa on m H2 O = M H2 On H2 O = 0, = 1,17 kg 38

40 Lukemalla veden lauhtumislämmönl H2 O(25 C) = 2442,5kJ/kg taulukkokirjasta saadaan H vap = 1, ,5 = 2857,725 kj = 2, MJ ja teholliseksi lämpöarvoksi saadaan nyt q = 45,4 2, = 42,5 MJ/kg b) Kevyen polttoöljyn muodostumisentalpian arvo entalpia Hiili ja vety vapaina alkuaineina polttoöljyn muodostumisentalpia kevyt polttoöljy polttoöljyn palamislämpö Polttoöljyssä olevan vapaan hiilen C(s) ja vapaan vedyn H2(g) teoreettinen yhteenlaskettu palamislämpö CO2, H2O Kevyt polttoöljy on likimain C 16 H 34. Öljyn palaessa hiilivetysidokset katkeavat ja tähän kuluu energiaa. Siksi öljyn palamislämpö on pienempi kuin siinä olevien hiilen ja vedyn yhteenlaskettu palamislämpö. Kilossa kevyttä polttoöljyä on hiiltä sekä vetyä m C = w C m p = 0,87 1 = 0,87 kg m H2 = w H2 m p = 0,13 1 = 0,13 kg Ainemäärinä vastaavat luvut ovat n C = m C = 0,87 = 72,5 mol M C 0,012 n H2 = 65 mol Hiilen sekä vedyn teholliset lämpöarvot ovat taulukosta 11 luettuna q C = 393,5 kj/mol q H2 = 242 kj/mol 39

41 Jos yhden polttoöljykilon sisältämä hiili sekä vety poltettaisiin erikseen, syntyisi lämpöä siis 72,5 393, = 44258,75 kj = 44,26 MJ Toisaalta jos yhden kilon kevyttä polttoainetta polttaa, syntyy lämpöä 1 42,5 = 42,5 MJ Muodostumisentalpia on näiden kahden yllä lasketun luvun erotus eli 42,5 44,26 = 1,76 MJ/kg c) Palamisilmamäärä ja savukaasujen koostumus b-kohdan tietojen mukaisesti kilossa polttoöljyä on 72,5 mol hiiltä sekä 65 mol vetyä muodossa H 2 ilmaistuna. Hiilen palamisen reaktioyhtälön C(s)+O 2 (g) CO 2 (g) kertoimien mukaan happea tarvitaan mooleina yhtä paljon kuin hiiltä eli n O2,1 = n C = 72,5 mol Lisäksi vedyn palamisen reaktioyhtälön H 2 (g)+ 1 2 O 2 H 2 O(g) kertoimien mukaan happea tarvitaan puolet vedyn määrästä eli n O2,2 = 1 2 n H 2 = 1 65 = 32,5 mol 2 Happea tarvitaan teoreettisesti siis yhteensä n O2,teor = n O2,1 +n O2,2 = 72,5+32,5 = 105 mol ja ilmakertoimella λ = 1,2 happea otetaan määrä (λ 1) 105 = = 126 mol. Palamisilma koostuu hapesta ja typestä. Hapen ja typen suhde ilmassa on 3,77 eli hapen mukana typpeä tulee 3,77 kertainen määrä happeen nähden. Palaminen voidaan siis kuvata seuraavalla bruttoreaktioyhtälöllä 72,5C +65H 2 +(105+21)O 2 +3,77 126N } {{ } 2 72,5CO 2 +65H 2 O +21O N

42 ja savukaasun koostumukseksi saadaan x CO2 = x H2 O = 0,1026 x O2 = 0,033 x N2 = 0,750 72,5 72, = 0,1144 ja palamisilman tarve on = 601 mol/kg d) Savukaasuhäviöt Savukaasuhäviöillä tarkoitetaan kuumien savukaasujen mukana menetettyä energiaa verrattuna tilanteeseen, jossa savukaasut jäähdytettäisiin 25 C:seen. Savukaasuhäviöt voidaan siis laskea yhtälöllä q sk = i n i c p,i (T T 0 ) = n CO2 c p,co2 (T T 0 )+n H2 Oc p,h2 O(T T 0 )+n O2 c p,o2 (T T 0 ) +n N2 c p,n2 (T T 0 ) missän i on savukaasukomponentin ainemäärä,c p,i savukaasukomponentin ominaislämpökapasiteetti keskimääräisessä lämpötilassa, T savukaasun lämpötila jat 0 = 298 K. Lukemalla ominaislämpökapasiteetit esimerkiksi kurssikirjan takaa saadaan savukaasuhäviöiksi q sk = 72,5 41,1 ( )+65 34,3 ( )+21 30,3 ( ) ,25 ( ) = 2,8 MJ/kg e) Savukaasuhäviöteho, polttoaineteho ja hyötysuhde Savukaasuhäviötehoksi saadaan d-kohdan perusteella φ sk = ṁ p q sk = 0,25 2,8 = 0,7 MW = 700 kw Polttoainetehoksi saadaan tehollisen lämpöarvon avulla φ p = ṁ p q = 0,25 42,5 = 10,6 MW Kattilan hyötysuhteeksi saadaan η k = φ p φ sk 0,02φ p φ p = 10,6 0,7 0,02 10,6 10,6 = 0,91 41

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus KEMIALLISIIN REAKTIOIHIN PERUSTUVA POLTTOAINEEN PALAMINEN Voimalaitoksessa käytetään polttoaineena

Lisätiedot

Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla

Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla Termodynamiikkaa Energiatekniikan automaatio TKK 2007 Yrjö Majanne, TTY/ACI Martti Välisuo, Fortum Nuclear Services Automaatio- ja säätötekniikan laitos Termodynamiikan perusteita Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa

Lisätiedot

MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka. Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU

MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka. Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU HARJOITUSTYÖOHJE SISÄLLYS SYMBOLILUETTELO 3 1 JOHDANTO 4 2 TYÖOHJE

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus HÖYRYTEKNIIKKA 1. Vettä (0 C) höyrystetään 2 bar paineessa 120 C kylläiseksi höyryksi. Laske

Lisätiedot

CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet

CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit Laskuharjoitus 9/2016 Lisätietoja s-postilla reetta.karinen@aalto.fi tai tiia.viinikainen@aalto.fi vastaanotto huoneessa D406 Energiataseet Tehtävä 1. Adiabaattisen virtausreaktorin

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa

Lisätiedot

Ilman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella:

Ilman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella: ILMANKOSTEUS Ilmankosteus tarkoittaa ilmassa höyrynä olevaa vettä. Veden määrä voidaan ilmoittaa höyryn tiheyden avulla. Veden osatiheys tarkoittaa ilmassa olevan vesihöyryn massaa tilavuusyksikköä kohti.

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin

Lisätiedot

SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLILUETTELO 4

SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLILUETTELO 4 1 SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLILUETTELO 4 1 KEMIALLISESTI REAGOIVA TERMODYNAAMINEN SYSTEEMI 6 11 Yleistä 6 12 Standarditila ja referenssitila 7 13 Entalpia- ja entropia-asteikko 11 2 ENTALPIA JA OMINAISLÄMPÖ

Lisätiedot

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 /

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 / ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 / 7.11.2016 v. 02 / T. Paloposki Tämän päivän ohjelma: Sisäenergia (kertaus) termodynamiikan 1. pääsääntö Entropia termodynamiikan 2. pääsääntö 1 Termodynamiikan

Lisätiedot

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö:

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö: A1 Seppä karkaisee teräsesineen upottamalla sen lämpöeristettyyn astiaan, jossa on 118 g jäätä ja 352 g vettä termisessä tasapainossa Teräsesineen massa on 312 g ja sen lämpötila ennen upotusta on 808

Lisätiedot

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Läpöoppia Haarto & Karhunen Läpötila Läpötila suuren atoi- tai olekyylijoukon oinaisuus Liittyy kiinteillä aineilla aineen atoeiden läpöliikkeeseen (värähtelyyn) ja nesteillä ja kaasuilla liikkeisiin Atoien

Lisätiedot

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission

Lisätiedot

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike)

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike) KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 1. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 2 1 1. PERUSKÄSITTEITÄ - Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka:

Lisätiedot

SAVUKAASUN TILAVUUSVIRRAN JATKUVATOIMINEN MÄÄRITTÄMINEN

SAVUKAASUN TILAVUUSVIRRAN JATKUVATOIMINEN MÄÄRITTÄMINEN LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO ENERGIA- JA YMPÄRISTÖTEKNIIKAN OSASTO Ympäristötekniikan laboratorio SAVUKAASUN TILAVUUSVIRRAN JATKUVATOIMINEN MÄÄRITTÄMINEN TUTKIMUSRAPORTTI Tekijät: Simo Hammo, LTKK

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Lisätiedot

Puun termiset aineominaisuudet pyrolyysissa

Puun termiset aineominaisuudet pyrolyysissa 1 Puun termiset aineominaisuudet pyrolyysissa V Liekkipäivä Otaniemi, Espoo 14.1.2010 Ville Hankalin TTY / EPR 14.1.2010 2 Esityksen sisältö TTY:n projekti Biomassan pyrolyysin reaktiokinetiikan tutkimus

Lisätiedot

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208 IX OINEN PÄÄSÄÄNÖ JA ENROPIA...08 9. ermodynaamisen systeemin pyrkimys tasapainoon... 08 9. ermodynamiikan toinen pääsääntö... 0 9.3 Entropia termodynamiikassa... 0 9.3. Entropian määritelmä... 0 9.3.

Lisätiedot

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja

Lisätiedot

valmistaa ilmanvaihtokoneita Parmair Iiwari ExSK, ExSOK ja ExSEK

valmistaa ilmanvaihtokoneita Parmair Iiwari ExSK, ExSOK ja ExSEK Parmair Iiwari ExSK Parmair Iiwari ExSK Air Wise Oy valmistaa ilmanvaihtokoneita Parmair Iiwari ExSK, ExSOK ja ExSEK Sertifikaatti Nro C325/05 1 (2) Parmair Iiwari ExSK (ExSOK, ExSEK) on tarkoitettu käytettäväksi

Lisätiedot

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n =

a) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n = S-, ysiikka III (S) välikoe 7000 Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rs seuraaville 6 olekyylien nopeusjakauille: a) kaikkien vauhti 0 / s, b) kolen vauhti / s ja

Lisätiedot

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma Sekä A- että B-osiosta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osion pistemäärä on vähemmän kuin 10 pistettä,

Lisätiedot

Sorptiorottorin ja ei-kosteutta siirtävän kondensoivan roottorin vertailu ilmanvaihdon jäähdytyksessä

Sorptiorottorin ja ei-kosteutta siirtävän kondensoivan roottorin vertailu ilmanvaihdon jäähdytyksessä Sorptiorottorin ja ei-kosteutta siirtävän kondensoivan roottorin vertailu ilmanvaihdon jäähdytyksessä Yleista Sorptioroottorin jäähdytyskoneiston jäähdytystehontarvetta alentava vaikutus on erittän merkittävää

Lisätiedot

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus KATTILAN VESIHÖYRYPIIRIN SUUNNITTELU Höyrykattilan on tuotettava höyryä seuraavilla arvoilla.

Lisätiedot

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

Erilaisia entalpian muutoksia

Erilaisia entalpian muutoksia Erilaisia entalpian muutoksia REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Erilaisille kemiallisten reaktioiden entalpiamuutoksille on omat terminsä. Monesti entalpia-sanalle käytetään synonyymiä lämpö. Reaktiolämmöllä eli

Lisätiedot

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa

Lisätiedot

Kertausluennot: Mahdollisuus pisteiden korotukseen ja rästisuorituksiin Keskiviikko klo 8-10

Kertausluennot: Mahdollisuus pisteiden korotukseen ja rästisuorituksiin Keskiviikko klo 8-10 Kertausluennot: Mahdollisuus pisteiden korotukseen ja rästisuorituksiin Keskiviikko 25.10 klo 8-10 Jokaisesta oikein ratkaistusta tehtävästä voi saada yhden lisäpisteen. Tehtävä, joilla voi korottaa kotitehtävän

Lisätiedot

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten

Lisätiedot

31.5.2002 1 (47) Konekorttitiedot, putkiurakka 102925 308164 LVI-järjestelmät

31.5.2002 1 (47) Konekorttitiedot, putkiurakka 102925 308164 LVI-järjestelmät 31.5.2002 1 (47) Senaatti-kiinteistöt Konekorttitiedot, putkiurakka 102925 308164 LI-järjestelmät Kohde/attribuutti Yksikkö rvo 102925 308164 G1 045 201 LS 01 Läönsiirrin (alustava) Lämpöteho Levymäärä

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO. Ilmavirtauksen energia on ilmamolekyylien liike-energiaa.

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO. Ilmavirtauksen energia on ilmamolekyylien liike-energiaa. SMG-4500 Tuulivoima Kolmannen luennon aihepiirit Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulen mittaaminen Tuulisuuden mallintaminen Weibull-jakauman hyödyntäminen ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO Ilmavirtauksen

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Lämpöopin pääsäännöt

Lämpöopin pääsäännöt Lämpöopin pääsäännöt 0. Eristetyssä systeemissä lämpötilaerot tasoittuvat. Systeemin sisäenergia U kasvaa systeemin tuodun lämmön ja systeemiin tehdyn työn W verran: ΔU = + W 2. Eristetyn systeemin entropia

Lisätiedot

Erilaisia entalpian muutoksia

Erilaisia entalpian muutoksia Erilaisia entalpian muutoksia REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Erilaisille kemiallisten reaktioiden entalpiamuutoksille on omat terminsä. Monesti entalpia-sanalle käytetään synonyymiä lämpö. Reaktiolämmöllä eli

Lisätiedot

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 /

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 / ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 / 31.10.2016 TERVETULOA! v. 02 / T. Paloposki Tämän päivän ohjelma: Virtaussysteemin energiataseen soveltamisesta Kompressorin energiantarve, tekninen

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Clausiuksen epäyhtälö

Clausiuksen epäyhtälö 1 Kuva 1: Clausiuksen epäyhtälön johtaminen. Clausiuksen epäyhtälö otesimme Carnot n koneelle, että syklissä lämpötiloissa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee Q H H oisin ilmaistuna, Carnot

Lisätiedot

Kemialliset reaktiot ja reaktorit Prosessi- ja ympäristötekniikan perusta I

Kemialliset reaktiot ja reaktorit Prosessi- ja ympäristötekniikan perusta I Kemialliset reaktiot ja reaktorit Prosessi- ja ympäristötekniikan perusta I Juha Ahola juha.ahola@oulu.fi Kemiallinen prosessitekniikka Sellaisten kokonaisprosessien suunnittelu, joissa kemiallinen reaktio

Lisätiedot

KOSTEUS. Visamäentie 35 B 13100 HML

KOSTEUS. Visamäentie 35 B 13100 HML 3 KOSTEUS Tapio Korkeamäki Visamäentie 35 B 13100 HML tapio.korkeamaki@hamk.fi RAKENNUSFYSIIKAN PERUSTEET KOSTEUS LÄMPÖ KOSTEUS Kostea ilma on kahden kaasun seos -kuivan ilman ja vesihöyryn Kuiva ilma

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit.

(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit. Tehtävä 1 Oletetaan, että ruiskutussuuttimen nestepisaroiden halkaisija d riippuu suuttimen halkaisijasta D, suihkun nopeudesta V sekä nesteen tiheydestä ρ, viskositeetista µ ja pintajännityksestä σ. (a)

Lisätiedot

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Ekso- ja endotermiset reaktiot sekä entalpian muutos

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Ekso- ja endotermiset reaktiot sekä entalpian muutos ympäristö ympäristö 15.12.2016 REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Ekso- ja endotermiset reaktiot sekä entalpian muutos Kaikilla aineilla (atomeilla, molekyyleillä) on asema- eli potentiaalienergiaa ja liike- eli

Lisätiedot

Energian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa. 20.01.2010 Heinikainen Olli

Energian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa. 20.01.2010 Heinikainen Olli Energian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa 20.01.2010 Heinikainen Olli Esityksen sisältö Yleistä Olemassa olevat sovellukset Kineettisen energian palauttaminen Potentiaalienergian palauttaminen

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

VIII KIERTOPROSESSIT JA TERMODYNAAMISET KONEET 196

VIII KIERTOPROSESSIT JA TERMODYNAAMISET KONEET 196 VIII KIERTOPROSESSIT JA TERMODYNAAMISET KONEET 196 8.1 Kiertoprosessin ja termodynaamisen koneen määritelmä... 196 8.2 Termodynaamisten koneiden hyötysuhde... 197 8.2.1 Lämpövoimakone... 197 8.2.2 Lämpöpumpun

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet 4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan

Lisätiedot

(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi?

(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi? Tehtävä 1 Vettä (10 astetta) virtaa suorassa valurautaisessa (cast iron) putkessa, jonka sisähalkaisija on 100 mm ja pituus 70 m. Tilavuusvirta on 15 litraa minuutissa. (a) Osoita, että virtaus on turbulenttia.

Lisätiedot

Spontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi

Spontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 2. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 3 1 1. TERMODYNAMIIKAN TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ Lord Kelvin: Lämpöenergian täydellinen muuttaminen työksi ei ole mahdollista 2. pääsääntö kertoo systeemissä

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Molaariset ominaislämpökapasiteetit

Molaariset ominaislämpökapasiteetit Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen

Lisätiedot

KLAPI-ILTA PUUVILLASSA 27.9.2011

KLAPI-ILTA PUUVILLASSA 27.9.2011 KLAPI-ILTA PUUVILLASSA 27.9.2011 MANU HOLLMÉN ESITYKSEN SISÄLTÖ Aluksi vähän polttopuusta Klapikattilatyypit yläpalo alapalo Käänteispalo Yhdistelmä Vedonrajoitin Oikea ilmansäätö, hyötysuhde 2 PUUN KOOSTUMUS

Lisätiedot

Bensiiniä voidaan pitää hiilivetynä C8H18, jonka tiheys (NTP) on 0,703 g/ml ja palamislämpö H = kj/mol

Bensiiniä voidaan pitää hiilivetynä C8H18, jonka tiheys (NTP) on 0,703 g/ml ja palamislämpö H = kj/mol Kertaustehtäviä KE3-kurssista Tehtävä 1 Maakaasu on melkein puhdasta metaania. Kuinka suuri tilavuus metaania paloi, kun täydelliseen palamiseen kuluu 3 m 3 ilmaa, jonka lämpötila on 50 C ja paine on 11kPa?

Lisätiedot

Reaktiosarjat

Reaktiosarjat Reaktiosarjat Usein haluttua tuotetta ei saada syntymään yhden kemiallisen reaktion lopputuotteena, vaan monen peräkkäisten reaktioiden kautta Tällöin edellisen reaktion lopputuote on seuraavan lähtöaine

Lisätiedot

Termodynaamiset syklit Todelliset tehosyklit

Termodynaamiset syklit Todelliset tehosyklit ermodynaamiset syklit odelliset tehosyklit Luennointi: k Kati Miettunen Esitysmateriaali: k Mikko Mikkola HYS-A00 ermodynamiikka (FM) 09..05 Syklien tyypit Sisältö Kaasusyklit s. höyrysyklit Suljetut syklit

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

T H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1):

T H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1): 1 c 3 p 2 T H d b T L 4 1 a V Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Stirlingin kone Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista kts. kuva 1: 1. Työaineen ideaalikaasu isoterminen puristus

Lisätiedot

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?

Lisätiedot

Muita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:

Muita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin: Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat ovat työtälämpövoimakoneiden toimiakseen sillä termodynamiikan pääsääntö Lämpökoneita lisäksi laitteet,toinen jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: laiteilmalämpöpumppu

Lisätiedot

Osio 1. Laskutehtävät

Osio 1. Laskutehtävät Osio 1. Laskutehtävät Nämä palautetaan osion1 palautuslaatikkoon. Aihe 1 Alkuaineiden suhteelliset osuudet yhdisteessä Tehtävä 1 (Alkuaineiden suhteelliset osuudet yhdisteessä) Tarvitset tehtävään atomipainotaulukkoa,

Lisätiedot

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

2.2 Järjestelmän toiminta erisuurilla ilmavirroilla

2.2 Järjestelmän toiminta erisuurilla ilmavirroilla 2.2 Järjestelmän toiminta erisuurilla ilmavirroilla Käytännössä iv-kojeen ilmavirrat ovat harvoin täsmälleen yhtäsuuret. Jos poistoilmavirta on suurempi kuin tuloilmavrta, so. lämmin virta on kylmää virtaa

Lisätiedot

b) Laske prosentteina, paljonko sydämen keskimääräinen teho muuttuu suhteessa tilanteeseen ennen saunomista. Käytä laskussa SI-yksiköitä.

b) Laske prosentteina, paljonko sydämen keskimääräinen teho muuttuu suhteessa tilanteeseen ennen saunomista. Käytä laskussa SI-yksiköitä. Lääketieteellisten alojen valintakokeen 009 esimerkkitehtäviä Tehtävä 4 8 pistettä Aineistossa mainitussa tutkimuksessa mukana olleilla suomalaisilla aikuisilla sydämen keskimääräinen minuuttitilavuus

Lisätiedot

Luku 2. Kemiallisen reaktion tasapaino

Luku 2. Kemiallisen reaktion tasapaino Luku 2 Kemiallisen reaktion tasapaino 1 2 Keskeisiä käsitteitä 3 Tasapainotilan syntyminen, etenevä reaktio 4 Tasapainotilan syntyminen 5 Tasapainotilan syntyminen, palautuva reaktio 6 Kemiallisen tasapainotilan

Lisätiedot

Luku 5 KONTROLLI- TILAVUUKSIEN MASSA- JA ENERGIA-ANALYYSI

Luku 5 KONTROLLI- TILAVUUKSIEN MASSA- JA ENERGIA-ANALYYSI Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 5 KONTROLLI- TILAVUUKSIEN MASSA- JA ENERGIA-ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies,

Lisätiedot

Lämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH

Lämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat työtä toimiakseen sillä termodynamiikan toinen pääsääntö Lämpökoneita ovat lämpövoimakoneiden lisäksi laitteet, jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: Mikään laite ei

Lisätiedot

kun hiilimonoksidia ja vettä oli 0,0200 M kumpaakin ja hiilidioksidia ja vetyä 0,0040 M kumpaakin?

kun hiilimonoksidia ja vettä oli 0,0200 M kumpaakin ja hiilidioksidia ja vetyä 0,0040 M kumpaakin? Esimerkki: Mihin suuntaan etenee reaktio CO (g) + H 2 O (g) CO 2 (g) + H 2 (g), K = 0,64, kun hiilimonoksidia ja vettä oli 0,0200 M kumpaakin ja hiilidioksidia ja vetyä 0,0040 M kumpaakin? 1 Le Châtelier'n

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

Vedonrajoitinluukun merkitys savuhormissa

Vedonrajoitinluukun merkitys savuhormissa Vedonrajoitinluukun merkitys savuhormissa Savupiipun tehtävä on saada aikaan vetoa palamista varten ja kuljettaa pois tuotetut savukaasut. Siksi savupiippu ja siihen liittyvät järjestelyt ovat äärimmäisen

Lisätiedot

Tehtävä 1. Tasapainokonversion laskenta Χ r G-arvojen avulla Alkyloitaessa bentseeniä propeenilla syntyy kumeenia (isopropyylibentseeniä):

Tehtävä 1. Tasapainokonversion laskenta Χ r G-arvojen avulla Alkyloitaessa bentseeniä propeenilla syntyy kumeenia (isopropyylibentseeniä): CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit Laskuharjoitus 10/017 Lisätietoja s-postilla reetta.karinen@aalto.fi tai tiia.viinikainen@aalto.fi vastaanotto huoneessa E409 Kemiallinen tasapaino Tehtävä 1. Tasapainokonversion

Lisätiedot

V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa

V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa Antennit osana viestintäjärjestelm ää Antennien pääk äy ttö tark o itu s o n to im inta v iestintäjärjestelm issä. V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa

Lisätiedot

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste

Luku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää

Lisätiedot

Luento 2: Lämpökemiaa, osa 1 Keskiviikko klo Termodynamiikan käsitteitä

Luento 2: Lämpökemiaa, osa 1 Keskiviikko klo Termodynamiikan käsitteitä Luento 2: Lämpökemiaa, osa 1 Keskiviikko 12.9. klo 8-10 477401A - ermodynaamiset tasapainot (Syksy 2018) ermodynamiikan käsitteitä - Systeemi Eristetty - suljettu - avoin Homogeeninen - heterogeeninen

Lisätiedot

Harjoitus 2: Hydrologinen kierto 30.9.2015

Harjoitus 2: Hydrologinen kierto 30.9.2015 Harjoitus 2: Hydrologinen kierto 30.9.2015 Harjoitusten aikataulu Aika Paikka Teema Ke 16.9. klo 12-14 R002/R1 1) Globaalit vesikysymykset Ke 23.9 klo 12-14 R002/R1 1. harjoitus: laskutupa Ke 30.9 klo

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

η = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe

η = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe S-11445 Fysiikka III (Sf) välikoe 710003 1 Läpövoiakoneen kiertoprosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen paineen kasvu arvosta p 1 arvoon p b) adiabaattinen laajeneinen jolloin paine laskee takaisin arvoon

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0, 76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti

Lisätiedot

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä LH- Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 asetetaan kosketukseen suuren 00 0 asteisen kappaleen kanssa Kun veden lämpötila on noussut 00 0, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset?

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot