RAHOITUKSEN TEORIAA JA SOVELLUKSIA AKTUAAREILLE. Vakuutusvalvontaviraston julkaisusarja MONISTEET 2007:3

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "RAHOITUKSEN TEORIAA JA SOVELLUKSIA AKTUAAREILLE. Vakuutusvalvontaviraston julkaisusarja MONISTEET 2007:3"

Transkriptio

1 RAHOITUKSEN TEORIAA JA SOVELLUKSIA AKTUAAREILLE Vakuutusvalvontaviraston julkaisusarja MONISTEET 2007:3

2 Vakuutusvalvontavirasto Mikonkatu 8, PL Helsinki Försäkringsinspektionen Mikaelsgatan 8, PB 449 FIN-000 Helsingfors Insurance Supervisory Authority Mikonkatu 8, P.O. Box 449 FIN-000 Helsinki ISSN X ISBN

3 KUVAILULEHTI Julkaisija/Utgivare Vakuutusvalvontavirasto, Försäkringsinspektionen Tekijät/Redaktörer Julkaisun nimi/titel Luis Alvarez ja Lasse Koskinen Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille Sisältö/ Innehåll. Hyötyfunktiot ja riskinkaihdanta 2. Portfolioteoria 3. APT-malli 4. Jatkuva-aikainen rahoitusteoria 5. Korkojen aikarakennemallit 6. Hiukan riskin mittaamisesta ja aikasarja-analyysistä 7. Henkivakuutussopimuksen käyvän arvon määritys Tiivistelmä/Referat Tämä moniste on tarkoitettu aktuaaritutkinnon suorittajille sijoitustoiminnan osuuden oppimateriaaliksi. Toivomme siitä olevan hyötyä myös muille rahoituksen teoriasta ja vakuutusalasta kiinnostuneille. Monisteen tarkoituksena on perehdyttää lukija rahoituksen perusteoriaan ja tarjota sitä kautta välineistö syvemmän teorianmuodostuksen ymmärtämiseen sekä soveltamiseen. Lukijan matematiikan lähtötiedoiksi oletetaan todennäköisyyslaskennan ja stokastisten prosessien sekä tilastotieteen perusteet. Lisäksi rahoituksen perusteet oletetaan tunnetuksi esimerkiksi Helsingin yliopiston kurssin rahoituksen matematiikkaa tasoisesti. Detta kompendium är avsett som studiematerial i avsnittet om placeringsverksamhet för dem som avlägger aktuarieexamen. Vi hoppas att det också skall vara till nytta för andra som är intresserade av finansieringsteori och försäkringsbranschen. Syftet med kompendiet är att redogöra för grundteorin inom finansiering och därigenom erbjuda redskap för förståelse och tillämpning av mer djupgående teoribildning. Läsarna förväntas ha matematiska baskunskaper inom sannolikhetskalkylering och stokastiska processer samt statistik. Därtill antas det att läsaren har grundläggande kunskaper om finansiering motsvarande t.ex. Helsingfors universitets kurs i finansmatematik. Avainsanat/Nyckelord Rahoitus, sijoitustoiminta, sijoitusriski, optio, johdannainen, vakuutus Finansiering, placeringsverksamhet, placeringsrisk, option, derivat, försäkring Sarja/nimi ja numero ISSN ISBN Serie/namn och nummer Monisteet/Kompendium 2007: X Sivumäärä/Antal sidor Kieli/Språk Hinta/Pris 2 Suomi --- Jakaja/Distributör Kustantaja/Förläggare Vakuutusvalvontavirasto/ Vakuutusvalvontavirasto Försäkringsinspektionen Försäkringsinspektionen Insurance Supervisory Authority Insurance Supervisory Authority Jaana Nuortia-Kujanpää

4 Sisältö Hyötyfunktiot ja riskinkaihdanta. Staattiset valintaongelmat Hyötyfuntio Riskin kaihtaminen Riskin kaihtamisen mittareita Riskin kaihdanta ja vakuutus Lineaarinen hinnoittelu ja arbitraasi Optimaalinen salkun valinta Sijoitusesimerkki Log-optimaalinen hinnoittelu Dynaamisesta hyötyteoriasta Investointipäätäntä ja riskin kaihtaminen Riskinkaihdanta ja deflaattorit Portfolioteoria 9 2. Markowitzin malli Riskittömän sijoituskohteen vaikutus sijoitusportfolioon Hyötyteoreettinen perustelu Markowitzilaiselle päätännälle Mitä jos lyhyeksi myyminen on kiellettyä? Todennäköisyysrajoitteinen salkun valinta Empiirisiä havaintoja APT-malli 3 3. Faktorimallit Yhden faktorin malli Usean faktorin mallit APT-teoria Jatkuva-aikainen rahoitusteoria Jatkuva-aikaiset ja -tilaiset prosessit Lyhyesti differentiaalin käsitteestä Wiener-prosessista ja stokastisista differentiaaliyhtälöistä Itô-integraalista ja -differentiaalista Feynman-Kač -lause Geometrinen Brownin liike Määritelmä ja ominaisuuksia Parametrien estimoinnista Keskiarvoon hakeutuvat diffuusiot ja Bernoulli n sdy Ornstein-Uhlenbeck-prosessi Logistinen diffuusio Bernoulli n sdy Hyödyllinen muuttujamuunnos Black-Scholes -malli Perusoletukset Omarahoitteinen sijoitussalkku Arbitraasivapaus ja sijoitussalkun arvo Suojausehto Feynman-Kač lause ja johdannaisten hinnoittelu Black-Scholes -kaavoja Yleistetty Black-Scholes -malli Girsanovin lause Riskin Markkinahinta Numeräärin vaihto Hintojen herkkyysparametrit (ns. kreikkalaiset) Salkun immunisointi

5 4.7 Lyhyesti kassavirtasopimuksista Maksimaalinen logaritminen kasvu Miten tämä kaikki liittyy Black-Scholes -malliin? Korkojen aikarakennemallit 6 5. Deterministiset korkorakennemallit Korkokäsitteitä Diskonttaustekijät ja 0-kuponkilainat Nykyarvoista Esimerkkejä Kuponkilainojen duraatiosta Aikarakenneyhtälö Numeräärin vaihto Hieman komparatiivista statiikkaa Affiini korkorakenne Affiineja korkomalleja Havainnollistuksia Numeräärin vaihdosta Kuponkilainoista ja niiden hinnoittelusta Muita korkokäsitteitä Termiinikoroista Korkomallien taksonomiaa Hiukan riskin mittaamisesta ja aikasarja-analyysistä ES (TailVaR) ja VaR Yhteisintegroituvuudesta Volatiliteetin mallinnuksesta Henkivakuutussopimuksen käyvän arvon määritys Määritys ilman korkoriskiä Kertapreemioon perustuva sopimus Useampipreemioinen sopimus Käypä arvo ja korkoriski Kertapreemioon perustuva sopimus Useampipreemioinen sopimus Hyödyllinen yleistys

6 Actuaries provide commercial, financial and prudential advice on the management of assets and liabilities - especially where long term management and planning are critical factors. FACULTY &INSTITUTE OF ACTUARIES, UK Tämä moniste, joka on ensimmäinen korjattu painos Vakuutusvalvontaviraston julkaisurajan monisteesta 2004:2, on tarkoitettu aktuaaritutkinnon suorittajille sijoitustoiminnan osuuden oppimateriaaliksi. Uutena osana on luku 7, joka käsittelee henkivakuutussopimusten arvottamista. Toivomme monisteesta olevan hyötyä myös muille rahoituksen teoriasta ja vakuutusalasta kiinnostuneille. Monisteen tarkoituksena on perehdyttää lukija rahoituksen perusteoriaan ja tarjota sitä kautta välineistö syvemmän teorianmuodostuksen ymmärtämiseen sekä soveltamiseen. Tämä moniste ei sisällä harjoitustehtäviä, mutta niitä löytyy runsaasti lähdeluettelossa mainituista teoksissa. Lukijan matematiikan lähtötiedoiksi oletetaan todennäköisyyslaskennan ja stokastisten prosessien sekä tilastotieteen perusteet. Lisäksi rahoituksen perusteet oletetaan tunnetuksi esimerkiksi Helsingin yliopiston kurssin "rahoitusteoria"tai "sijoitustoiminnan matematiikka"tasoisesti. Helppolukuinen ja hyödyllinen johdanto erityisesti vakuutuslaitosten sijoitustoimintaan löytyy lähdeluettelossa mainitun teoksen "Modern Actuarial Theory and Practice"(toinen painos, Booth ym., 2004) kahdessa ensimmäisessä luvussa. Laajempi ja syvällisempi aktuaareja varten kirjoitettu teos on "Financial Economics with applications to investments, insurance and pensions"(toimittanut Panjer, 998). Korkojen mallinnukseen hyvän johdannon tarjoaa teos "Interest rate models: An introduction"(cairns, 2004). Haluamme kiittää monisteen tekemisen edesauttamisesta SHV-lautakunnan jäseniä ja sihteeriä eli Tarja Härköstä, Esko Kivisaarta, Hannu Parviaista, Martti Pesosta, Tarmo Pukkilaa, Jukka Rantalaa ja Onerva Savolaista. Lisäksi haluamme kiittää Helsingin yliopiston yliopistolehtori Harri Nyrhistä ja Ilmarisen matemaatikko Antero Rannetta hyödyllisistä kommenteista. Monisteen ensimmäisen painoksen kieliasun puutteiden ja muiden epätäsmällisyyksien korjausehdotuksista haluamme lämpimästi kiittää Jari Niittuinperää. Jäljelle jääneet virheet ovat toki tekijöiden vastuulla. Luis Alvarez Professori Turun Kauppakorkeakoulu Lasse Koskinen Tutkimusjohtaja Vakuutusvalvontavirasto Hyötyfunktiot ja riskinkaihdanta Finance is a fun game to play but hard to win. BREDLAY and MYERS. Staattiset valintaongelmat.. Hyötyfuntio Jos päätöksien seuraukset olisivat varmoja ja siten etukäteen tunnettuja, tekisi rationaalinen päättäjä aina sen päätöksen, jonka lopputulos olisi hänen omalta kannaltaan mieluisin. Valitettavasti käytännössä valinta ei ole ihan näin yksinkertainen, sillä eri sijoittajat ovat keskenään erilaisia ja siten preferoivat eri riskitasoja eri tavalla. Sijoittajat poikkeavat keskenään erityisesti riskiä koskevissa preferensseissään (toinen karttaa riskiä, kun taas toinen pitää riskinotosta). Tämän takia tarvitsemmekin teknisen välineen, hyötyfunktion, jolla arvioimme ja arvostamme erilaisia satunnaisia varallisuuden tasoja odotetun hyödyn periaatteella. Karkeasti ottaen hyötyfunktioksi kelpaa mikä tahansa tarkastelun kohteena olevan taloudellisen suureen määrittelyjoukossa määritelty jatkuva ja monotonisesti kasvava kuvaus U : I R, missä I R on hyötykuvauksen U(x) määrittelyjoukko. On myös syytä huomata, että mikäli tarkasteltava hyötyfunktio on differentioituva, kutsutaan kuvausta U (x) rajahyödyksi. Yleensä oletetaan, että hyötyfunktio toteuttaa ns. vähenevän rajahyödyn lain, jonka mukaan U (x) on vähenevä (jokainen lisäyksikkö siis kasvattaa hyötyä, mutta hidastuvaa vauhtia). Selvästi siis nähdään, että mikäli vähenevän rajahyödyn laki toteutuu, on hyötyfunktio U(x) konkaavi. Erityisesti, vertailtaessa satunnaisia varallisuuden

7 tasoja x ja y tulee ensiksi määrittää arvot E[U(x)] ja E[U(y)] ja sen jälkeen valita max{e[u(x)],e[u(y)]}. Esimerkki: Tarkastellaan kahta satunnaista varallisuuden tasoa x ja y ja oletetaan, että lnx N(µ x,σx) 2 ja lny N(µ y,σy) 2 (ts. varallisuustasot x ja y ovat ns. Log-normaalijakautuneita joukolle R + ; tämä on enemmän kuin keskeinen jakauma rahoituksen teoriassa!). Ennen kuin etenemme esimerkissä, määritetään hyötyfunktion U(z) odotusarvo, kun z N(µ,σ 2 ) ja E[U(z)] <. Nyt on selvää, että E[U(z)] = E[U(e ln z )] = = Edellisessä esityksessä esiintyvä funktio 0 U(e ln y )e 2( y µ σ ) 2 dy 2πσ U(v)e ln v µ 2( σ ) 2 dv. 2πσv f(v) = e ln v µ 2( σ ) 2 2πσv on lognormaalijakauman tiheysfunktio. Erityisesti siis huomataan, että E[e z ] = e µ+ 2 σ2 ja var[e z ] = e 2µ+σ2 (e σ2 ). Oletetaan nyt, että U(x) = x b, missä b > 0 on tunnettu vakio. Ottamalla hyötyfunktiosta luonnollinen logaritmi nähdään, että lnu(x) = blnx. Oletuksen mukaan lnx N(µ x,σ 2 x), joten siis bln x N(bµ x,b 2 σ 2 x). Vastaavasti nähdään, että blny N(bµ y,b 2 σ 2 y), joten soveltamalla edellä johdettua odotusarvon kaavaa saadaan E[U(z)] = e bµ+ 2 b2 σ 2. Tällöin valintatilanteessa täytyy vertailla pelkästään arvoja E[U(x)] = e bµx+ 2 b2 σ 2 x ja E[U(y)] = e bµ y+ 2 b2 σ 2 y. Luonnollisesti, sijoittaja valitsee max{e bµx+ 2 b2 σ 2 x,e bµ y+ 2 b2 σ 2 y } = e bµ x+ 2 b2 σ 2 x max{,e b(µ y µ x)+ 2 b2 (σ 2 y σ2 x ) }. Huomataan, että jos µ x = µ y, niin sijoittaja valitsee aina sen kohteen, jonka logaritmisen arvon hajonta on suurin! On syytä huomata, ettei tämä kuitenkaan suoraan tarkoita sijoittajan valitsevan riskillisimmän projektin. Miksi? Koska yllä esitetyssä muodossa muutos parametrissa σ x tai parametrissa σ y muuttaa sekä odotusarvoa että varianssia. Tämä on tärkeä huomio, sillä riskillisyyttä mitataan yleensä pelkästään keskihajonnan avulla. Määritellään tämän takia parametri α = µ + 2 σ2. Tällöin nähdään suoraan, että E[z] = e α, var[z] = e 2α (e σ2 ), ja E[z b ] = e αb+ 2 σ2 b(b ). Tästä esityksestä nähdään suoraan, että valitsemalla jakauman parametreiksi α ja σ voidaan tutkia riskin kasvattamista ilman, että keskiarvo muuttuu (ns. mean preserving spread). Erityisesti nähdään, että sijoittajan edellä tarkasteltu valintaongelma tulee muotoon max{e αxb+ 2 σ2 x b(b ),e αyb+ 2 σ2 y b(b ) } = e αxb+ 2 σ2 x b(b ) max{,e (αy αx)b+ 2 (σ2 y σ2 x )b(b ) }. Erityisesti siis huomataan, että mikäli α x = α y, niin valintaongelma tulee muotoon e αxb+ 2 σ2 x b(b ) max{,e 2 (σ2 y σ2 x )b(b ) }. Tämä tapaus on mielenkiintoinen, sillä se osoittaa, että hyötykuvauksen muoto todella vaikuttaa valintaan. Nyt nähdään suoraan, että (i) jos b > (jolloin rajahyöty on kasvava), niin sijoittaja valitsee aina sen projektin, jonka volatiliteetti on korkein, ts. projektin, jonka hajonta on max(σ x,σ y ); (ii) jos b = (jolloin rajahyöty on vakio), niin riski ei vaikuta päätäntään ja valitsemalla kumpi tahansa projekteista sijoittaja odottaa saavansa tuoton e αx = e αy ; (iii) jos b < (jolloin rajahyöty on vähenevä), niin sijoittaja valitsee aina sen projektin, jonka volatiliteetti on matalin, ts. projektin jonka hajonta on min(σ x,σ y ); Tämä ominaisuus on tärkeä ja se kannattaakin pitää mielessä aina kun tarkastelee jakautumia jotka voidaan ilmaista kahden parametrin avulla. Syynä tähän argumenttiin on se, että useasti tavoitteena on nimenomaisesti tehdä valintatarkasteluja juuri saman odotetun tuoton mutta eri riskin kohtaavan 2

8 sijoituksen välillä. Toisaalta on syytä myös painottaa, että esimerkin valossa vähenevän rajahyödyn lain toteuttava hyötykuvaus johtaa matalimman riskin omaavan projektin valintaan (ja siten riskin kaihdantaan). Vaikka tämä johtopäätös onkin tämän tyyppisissä esimerkeissä oikea, ei se välttämättä päde yleisesti malleissa, joissa riskillisten päätösten intertemporaalisuus on huomioitu. Esimerkki: Sijoittaja jonka hyötyfunktio on muotoa U(x) = x pohtii kahta sijoitusvaihtoehtoa, joista valtion obligaatiot antavat 6 miljoonan varman varallisuuden. Toisella sijoituksella on kolme mahdollista lopputulosta 0, 5 ja 4 miljoonaa todennäköisyyksillä 0.25, 0.5 ja 0.25, jolloin kyseisen sijoituksen odotettu tuotto on siis E[x 2 ] = = 6 joka on täsmälleen yhtä suuri kuin obligaatioiden tuotto. Määritetään nyt sijoittajan odotetut hyödyt kummastakin sijoituksesta. Suoraan sijoittamalla saadaan E[ x ] = 6 2,4495 E[ x 2 ] = ,4086, eli sijoittaja valitsee vieläkin ensimmäisen varman sijoituksen siitä huolimatta, että molemmat tuottavat keskimäärin saman verran. Oletetaan nyt, että 0 + M tn:llä 0.25 x 2 = 5 tn:llä tn:llä 0.25, missä M > 0 on tuntematon vakio, ja pyritään vastaamaan seuraavaan kysymykseen: Kuinka suuri tulee hyvään maailmantilaan liittyvän kompensaation M olla, jotta sijoittaja olisi indifferentti varman tuoton ja epävarman tuoton antavan sijoituksen välillä? Nyt huomataan, että E[x 2 ] = 6 + M 4 > 6, sillä M > 0. Määrittämällä odotetut hyödyt ja asettamalla ehto E[ x 2 ] = E[ x ] saadaan M = 6M =,06, 4 2 jolloin epävarman sijoituksen odotettu tuotto on 6,2653, joka on siis suurempi kuin varman sijoituksen tuotto. Esimerkki: Oletetaan, että varallisuustasoille X ja Y pätevät ehdot { x tn:llä p X = tn:llä p x 2 ja Y = px + ( p)x 2 = x 2 + p(x x 2 ) = E[x] todennäköisyydellä, missä p [0,] ja (x 2,x ) R +. Oletetaan myös, että sijoittajan hyötykuvaus U : R + R on aidosti konkaavi. Kuten edellä tehdystä analyysista on selvää, tällöin E[U(X)] U(Y ), joten rationaalinen sijoittaja valitsee aina riskittömän vaihtoehdon. Tarkastellaan nyt varallisuustasoa Z = X + M, missä M > 0 on tunnettu kompensaatio. Määritellään nyt kuvaus f : R + R muotoa f(m) = E[U(X + M)] U(Y ) = pu(x + M) + ( p)u(x 2 + M) U(px + ( p)x 2 ). Hyötyfunktion ominaisuuksista seuraa, että kuvaus f on jatkuva, monotonisesti kasvava sekä aidosti konkaavi. Lisäksi f(0) = pu(x ) + ( p)u(x 2 ) U(px + ( p)x 2 ) < 0 ja f(p(x x 2 )) = p[u(x + p(x x 2 )) U(px + ( p)x 2 )] > 0, 3

9 sillä x + p(x x 2 ) > px + ( p)x 2. Näin ollen monotonisuuden ja jatkuvuuden nojalla yhtälöllä f(m) = 0 on olemassa yksikäsitteinen juuri M joukossa (0,p(x x 2 )). Tälle juurelle pätee siis ehto pu(x + M ) + ( p)u(x 2 + M ) = U(px + ( p)x 2 ), jonka mukaan sijoittaja on indifferentti riskillisen ja riskittömän sijoituskohteen välillä, aina kun riskin otosta kompensoidaan M :n verran. Hyötyfunktion numeroarvolla ei itsessään ole merkitystä ja ainoastaan vaihtoehtojen paremmuusjärjestys on tärkeä. Tämän takia hyötyfunktioihin voidaankin tehdä järjestyksen (monotonisuuden) säilyttäviä muunnoksia. (a) vakion lisääminen ei muuta järjestystä: U(x) ja V (x) = U(x)+b tuottavat saman järjestyksen, sillä odotusarvon lineaarisuuden nojalla E[V (x)] = E[U(x) + b] = E[U(x)] + b (b) positiivisella vakiolla kertominen ei muuta järjestystä, sillä E[V (x)] = E[aU(x)] = a E[U(x)] aina, kun V (x) = au(x), missä a > 0. Yleisesti huomataankin, että jos U(x) on hyötyfunktio, niin mikä tahansa kuvaus V (x) = au(x) + b on ekvivalentti hyötyfunktio (kun a > 0). Ekvivalentit funktiot tuottavat identtiset järjestykset eri vaihtoehdoille. Esimerkki: V (x) = ln(cx a ) (c > 0,a > 0) ja U(x) = ln(x) ovat ekvivalentteja hyötykuvauksia, koska ln(cx a ) = alnx + lnc...2 Riskin kaihtaminen Hyötyfunktioiden avulla voimme vertailla eri vaihtoehtoja siten, että vertailussa otamme huomioon riskin kaihtamisen periaatteen. Riskin kaihdanta Tarkastellaan seuraavaa tilannetta: Sijoittajalle tarjotaan kahta eri vaihtoehtoa (ns. arpa), joista hän saa vapaasti valita. Toinen vaihtoehdoista tuottaa varmuudella tuoton px+( p)y, kun taas toinen tuottaa tuoton x todennäköisyydellä p ja tuoton y todennäköisyydellä p (luonnollisesti p [0,]). Tällöin E[U(x )] = U(y + p(x y)) ja E[U(x 2 )] = U(y) + p(u(x) U(y)) ja sijoittaja valitsee siis sijoituksen joka antaa tuoton max{u(y + p(x y)),u(y) + p(u(x) U(y))}. Mikäli sijoittaja valitsee varman kohteen ennen saman odotetun tuoton tuottavan epävarman sijoituskohteen, kutsutaan sijoittajaa riskiä kaihtavaksi. Mikäli sijoittaja on indifferentti edellämainittujen sijoituskohteiden välillä, kutsutaan sijoittajaa riskineutraaliksi. On tärkeätä huomata, että riskin kaihtamisen periaate voidaan introdusoida melko yksinkertaisella tavalla hyötyfunktioon rajoittamalla rajahyödyn muotoa (kuperuutta tai koveruutta). Hyötyfunktio U(x) totetuttaa riskin kaihtamisen periaatteen välillä [a, b], mikäli se on konkaavi välillä [a, b]. Jos U(x) on konkaavi kaikkialla, se toteuttaa riskin kaihtamisen periaatteen kaikkialla. Jos hyötyfunktio U(x) on aidosti konkaavi, sanotaan sijoittajaa riskiä kaihtavaksi. Nähdään siis, että staattisessa tapauksessa vähenevän rajahyödyn laki on riskin kaihtamisen periaatteen kanssa konsistentti ominaisuus. Esimerkki: Oletetaan, että päättäjän tulee tehdä valinta satunnaisten varallisuustasojen x ja y väliltä, kun { x tn:llä p x = tn:llä p x 2 ja y = px + ( p)x 2 = x 2 + p(x x 2 ) = E[x] todennäköisyydellä, missä p [0,] ja x,x 2 I R. Jos sijoittajan hyötykuvaus on muotoa U(x) = x 2 ja I = R, niin U(px + ( p)x 2 ) pu(x ) ( p)u(x 2 ) = p(p )(x x 2 ) 2 < 0, mistä seuraa, että konveksille hyötyfunktiolle U(x) = x 2 valitaan aina riskillisempi projekti. 4

10 Psykologisia havaintoja The rational man - like the Loch Ness monster - is sighted often, but photographed rarely. DAVID DREMAN Psykologisilla havainnoilla voidaan tuoda lisää realismia malleihin, joilla rahoituksessa kuvataan ihmisten käyttäytymistä. Laaja-alainen yhteenveto aiheesta on mm. Rabinen artikkeli Psychology and Economics (998). Osakesijoituksen psykologiaa on kiinostavasti valotettu Shillerin best seller -kirjassa Irrational Exeburance (2000), jossa hän kritisoi Yhdysvaltojen osakemarkkinoiden kestämättömän korkeaa hintatasoa juuri ennen romahdusta. Rahoituksen kannalta tärkeitä empiirisiä ihmisten käyttäytymiseen liittyviä havaintoja ovat mm.: Ihmiset ankkuroituvat psykologisesti menneisyyden hintoihin tai trendeihin. Esimerkiksi 22 euron hinnalla ostamaansa osaketta he pitävät tyypillisesti halpana, mikäli sen hinta on tippunut 2 euroon. Ihmiset kuvittelevat usein tietävänsä asioista enemmän kuin he todellisuudessa tietävät ja yliarvioivat omat kykynsä. Esimerkiksi sijoitusasiantuntija saattaa itse kuvitella lyövänsä markkinat selvästi, vaikka selvitykset eivät tukisi sitä millään tavalla. Sijoittajien joukossa esiintyy laumakäyttäytymistä. Näin sijoitusmarkkinoille saattaa syntyä fundamentteihin verrattuna hyvin korkeita hintoja eli ns. kuplaperiodeja. Ihmiset tekevät epävarmuuden vallitessa epäloogisia päätöksiä. Tämä asettaa odotetun hyödyn käytön yksilöiden käyttäytymisen kuvaamisessa jossain määrin kyseenalaiseksi...3 Riskin kaihtamisen mittareita On selvää, että hyötyfunktion kaarevuus vaikuttaa riskin kaihtamiseen. Mitä voimakkaammin hyötyfunktio on konkaavi, sitä suurempi ero on odotetun hyödyn ja varman hyödyn odotetulla varallisuustasolla (ts. sitä suurempi on erotus u( x) E[u(x)] ). Kuten edellä jo huomattiin, tulee riskin kaihtajalle tarjota hyvitys riskinottamisesta tai vastaavasti on varman vaihtoehdon arvoa alennettava. Yritetään nyt määrittää niitä mittareita, joilla tätä indifferenssiin johtavaa preemiota voidaan kuvata. Täsmällisemmin esitettynä, pyritään määrittämään se preemio π, jolle yhtälö E[u(x)] = u( x π), toteutuu ainakin osalle riskeistä kun odotettu varallisuustaso x < on tunnettu. Oletetaan nyt, että riskiä kaihtavan päättäjän hyötykuvaus on monotonisesti kasvava, aidosti konkaavi sekä kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva. Additiivisen riskin tapaus: Muodostetaan satunnaismuuttuja z = x + ε, missä ε on satunnaisesta varallisuustasosta x riippumaton satunnaismuuttuja joka toteuttaa ehdot E[ε] = 0, var[ε] = σ 2 ε ja E[ε k ] 0 kun k 3. Satunnaismuuttujaa z kutsutaan muuttujan x additiiviseksi satunnaisperturbaatioksi (additive random perturbation) ja satunnaismuuttujaa ε kutsutaan pieneksi additiiviseksi kohinaksi (small additive noise). Esimerkki: Tarkastellaan satunnaismuuttujaa ε, joka on tasaisesti jakautunut välille ( n N. Tällöin saadaan, että kaikille k N mistä seuraa, että ( ) E[ε k 2n k+ ] = n y k n dy = ( ( ) k+ ), (k + ) 2n 2n E[ε k ] = { ( k (k+) 2n) k parillinen 0 k pariton. 2n, 2n), missä Nyt on selvää, että mikäli n on suuri, niin satunnaismuuttujan ε keskusmomentit kaikille k 3 ovat pieniä ja siten siis toteuttavat pienen satunnaisperturbaation ehdot. Jos n = 4, niin 5

11 E[ε k ] = (0,0.005,0, ,0, ,0, ,0,8.47 0,...). Esimerkki: Tarkastellaan satunnaismuuttujaa ε, joka on normaalisti jakautunut keskiarvonaan 0 ja keskihajontanaan /n, n N. Tällöin var[ε] = /n 2, E[x 2k+ ] = 0 (parittomat keskusmomentit häviävät) kaikille k N ja E[x 2k ] = o(/n 2k ) kaikille k 2. Merkinnällä o(/n 2k ) tarkoitetaan sitä, että kyseiset termit suppenevat kohti nollaa vielä nopeammin kuin kuvaus /n 2k. Tämän tyyppinen kohina on selkeästi "pientä"ja siten toteuttaa edellä esitetyt momenttiehdot. Tämän jakauman keskusmomentit voidaan määrittää kätevästi derivoimalla momentit generoivaa funktiota f(s) = E[e sε ] = e 2 n 2 ja antamalla s 0. Havainnollistuksen vuoksi määritetään momentit generoivan kuvauksen viisi ensimmäistä derivaattaa. Derivoimalla saadaan tulokseksi josta näemme suoraan, että f (s) f (s) f (s) f (s) f (s) s n e s n 2 0 (n 2 +s 2 ) n e s n 2 n 2 s(3n 2 +s 2 ) n e s n 2 0 (3n 4 +6n 2 s 2 +s 4 ) n e s n 2 3 n 4 s(5n 4 +0n 2 s 2 +s 4 ) n e s n 2 0 { E[ε k ] } ( ) = 0, k=,...,5 n 2,0, 3 n 4,0. Merkitään nyt riskipreemiota merkinnällä π ε ( x), jotta sen suora riippuvuus keskituotosta x sekä epäsuora riippuvuus kohinatermistä ε tulisi selkeästi esitetyksi. Soveltamalla nyt Taylorin kehitelmää kuvaukseen u(z) sekä kuvaukseen u( x π ε ( x)) saadaan u(z) u( x) + u ( x)ε + 2 u ( x)ε 2 u( x π ε ( x)) u( x) u ( x)π ε ( x), sillä kohinan ε ja siten preemion π ε ( x) oletettiin olevan "pieniä". Ottamalla ensimmäisestä yhtälöstä odotusarvo puolittain saadaan E[u(z)] = E[u( x + ε)] u( x) + 2 u ( x)σ 2 ε, jolloin yhdistämällä tämä tulos jälkimmäiseen yhtälöön saadaan tulokseksi, että tasapainoehto E[u(z)] = u( x π ε ( x)) on voimassa aina, kun ehto u( x) + 2 u ( x)σ ε 2 = u( x) u ( x)π ε ( x) π ε ( x) = u ( x) 2 σ2 ε u ( x) toteutuu. Preemiossa π ε ( x) esiintyvä tekijä A( x) = u ( x) u ( x) = d d x lnu ( x) on ns. Arrowin ja Prattin absoluuttisen riskinkaihtamisen kerroin (Arrow Pratt s coefficient of absolute risk aversion), joka on siis samalla rajahyödyn logaritmisen derivaatan (eli prosentuaalisen rajahyödyn muutoksen) käänteisluku. Tämä lokaali kerroin on riskinkaihtamisen mittana huomattavasti parempi kuin esimerkiksi hyötyfunktion u(x) toinen derivaatta u (x) tai hyötyfunktion kuperuusmitta u (x)/( + u 2 (x)) 3/2, sillä A( x) on rippumaton hyötykuvauksen kasvavista lineaarimuunnoksista. Ts. A( x) säilyy muuttumattomana ekvivalenteille hyötykuvauksille. Multiplikatiivisen riskin tapaus: Muodostetaan satunnaismuuttuja z = x(+ε), missä ε on satunnaisesta varallisuustasosta x riippumaton satunnaismuuttuja, joka toteuttaa ehdot E[ε] = 0, var[ε] = σ 2 ε ja E[ε k ] 0, kun k 3. Satunnaismuuttujaa z kutsutaan muuttujan x multiplikatiiviseksi satunnaisperturbaatioksi (multiplicative random perturbation) ja satunnaismuuttujaa ε kutsutaan pieneksi multiplikatiiviseksi kohinaksi (small multiplicative noise). Merkitään tämän tapauksen riskipreemiota merkinnällä s 2 6

12 ˆπ ε ( x). Soveltamalla nyt Taylorin kehitelmää kuvaukseen u(z) sekä kuvaukseen u( x( ˆπ ε ( x))) saadaan u(z) u( x) + u ( x)ε x + 2 u ( x)ε 2 x 2 u( x( ˆπ ε ( x))) u( x) u ( x)ˆπ ε ( x) x, sillä kohinan ε ja siten preemion ˆπ ε ( x) oletettiin olevan "pieniä". Ottamalla ensimmäisestä yhtälöstä odotusarvo puolittain saadaan E[u(z)] = E[u( x( + ε))] u( x) + 2 u ( x)σ 2 ε x 2, jolloin yhdistämällä tämä tulos jälkimmäiseen yhtälöön saadaan tulokseksi, että tasapainoehto E[u(z)] = u( x( ˆπ ε ( x))) on voimassa aina kun ehto u( x) + 2 u ( x)σ 2 ε x 2 = u( x) u ( x)ˆπ ε ( x) x ˆπ ε ( x) = 2 σ2 ε toteutuu. Preemiossa ˆπ ε ( x) esiintyvä tekijä R( x) = xu ( x) u ( x) = xa( x) xu ( x) u ( x) on ns. suhteellisen riskinkaihtamisen kerroin (coefficient of relative risk aversion). Tällä lokaalilla kertoimella on samat hyvät ominaisuudet kuin absoluuttisella riskinkaihtamisen kertoimella. On syytä huomata, että lokaalisuudestaan huolimatta kertoimet A(x) ja R(x) ovat hyvin keskeisiä, sillä ne nousevat lähes poikkeuksetta esiin tutkittaessa optimaalista päätäntää riskinkaihdannan vallitessa. Rahoituksen kirjallisuudessa ilmeneekin tyypillisesti neljä eri hyötyfunktioiden pääluokkaa, jotka generoituvat nimenomaisesti riskinkaihtamisen kertoimien A(x) sekä R(x) avulla. Nämä päätyypit ovat CARA (Constant Absolute Risk Aversion), HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), CRRA (Constant Relative Risk Aversion) sekä HRRA (Hyperbolic Relative Risk Aversion). Huomautus: Edellä mainitut satunnaisperturbaatiot ovat hyvin keskeisiä analysoitaessa myös eri riskillisten tuottovirtojen arvostusta riskinkaihdannan vallitessa. Oletetaan, että sijoituksen tuotto x on satunnainen ja määritellään tuotot x a = x+ε sekä x m = x(+ε), missä ε on x:stä riippumaton satunnaismuuttuja joka toteuttaa ehdot E[ε] = 0 ja var[ε] = σ 2 ε. Riippumattomuudesta seuraa, että x = x a = x m, joten odotetut tuotot ovat yhtä suuret. Toisaalta ja var[x a ] = σ 2 x + σ 2 ε > σ 2 x var[x m ] = σ 2 x + (σ 2 x + x 2 )σ 2 ε joten huomataan, että x a ja x m antavat saman keskituoton kuin x mutta korkeammalla riskillä. Tämän tyyppistä satunnaisperturbaatiota kutsutaan satunnaismuuttujan x keskiarvon säilyttäväksi levitykseksi (mean preserving spread). On syytä painottaa, että tämän luokan perturbaatiot eivät aina ole välttämättä additiivisia tai multiplikatiivisia, vaan mikä tahansa muunnos (siis myös funktionaalinen), joka säilyttää keskituoton muuttumattomana samalla riskiä kasvattaen, kelpaa. Jottei tämä jäisi epäselväksi, tarkastellaan lineaarista kuvausta f(x) = ax+b, missä x on satunnainen ja a,b R ovat tunnettuja parametreja. Kuten hyvin tiedetään, pätee tälle kuvaukselle ehdot E[f(x)] = a x + b ja var[f(x)] = a 2 σ 2 x. Tällöin mikä tahansa parametrinen muutos, joka toteuttaa ehdon säilyttää keskiarvon keskihajontaa muuttamalla! db da = x Esimerkki: (A) Eksponentiaaliselle hyötyfunktiolle U(x) = e ax, a > 0 pätee A(x) = a, R(x) = ax, A (x) = 0 ja R (x) = a 7

13 (B) Logaritmiselle hyötyfunktiolle U(x) = lnx pätee A(x) = /x, R(x) =, A (x) = /x 2 ja R (x) = 0. (C) Kvadraattiselle hyötykuvaukselle U(x) = x bx 2 (joka on hyvin määritelty joukossa (0,/(2b))) pätee sekä A(x) = A (x) = 2b 2bx ja R(x) = 2bx 2bx 4b 2 ( 2bx) 2 ja R 2b (x) = ( 2bx) 2 (D) HARA-hyötykuvaukselle (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) pätee sekä A(x) = U(x) = γ γ ( γ)a ax + b( γ) ( ) γ ax γ + b, ja R(x) = ( γ)ax ax + b( γ) A a 2 ( γ) (x) = (ax + b( γ)) 2 ja R ( γ) 2 ab (x) = (ax + b( γ)) 2. Esimerkki: Tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: Päättäjän hyötyfunktio on eksponentiaalinen u(x) = e ax ja sijoituksen tuotto on normaalisti jakautunut jakaumanaan N(µ,σ 2 ). Pyritään nyt määrittämään se preemio M > 0, jolla ehto E[u(x)] = u(µ M) toteutuu. Tämä tasapainoehto voidaan tämän esimerkin tapauksessa esittää muodossa e aµ+a2 σ 2 /2 = e aµ+am, josta puolestaan seuraa, että M = aσ 2 /2. Koska a mittaa kuitenkin eksponentiaalisen hyödyn tapauksessa absoluuttista riskinkaihtamista nähdään, että preemio on tässä tapauksessa identtinen pienen additiivisen satunnaisperturbaation tapauksessa ilmenevän preemion kanssa. Syynä tähän havaintoon on luonnollisesti se, että N(µ,σ 2 )-jakautunut satunnaismuuttuja x voidaan aina esittää muodossa x µ + σy, missä Y N(0,). Tällöin x voidaan siis tulkita keskiarvon µ additiivisena satunnaisperturbaationa...4 Riskin kaihdanta ja vakuutus Tarkastellaan lyhyesti taloudellista riskiteoriaa yksinkertaisen esimerkin valossa. Oletetaan, että päättäjä kohtaa mahdollisen vakuutettavissa olevan riskin, joka realisoituessaan alentaa päättäjän hyvinvointia L yksikön verran. Oletetaan, että riskin realisoitumistodennäköisyys on κ ja määritellään päättäjän varallisuus muodossa { w qz tn:llä κ W = w L + z qz tn:llä κ, missä w on päättäjän perusvarallisuus, q on vakuutuksen yksikköhinta ja z on vakuutusta kysytty määrä. Oletetaan myös, että päättäjän hyötyfunktio u(x) on kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva, monotonisesti kasvava sekä aidosti konkaavi (jolloin päättäjä on siis riskiä kaihtava). Annettuna nämä oletukset tarkastellaan odotetun hyödyn maksimointiongelmaa Ensimmäisen kertaluvun ehto on nyt muotoa max [( κ)u(w qz) + κu(w L + z qz)]. z R ( κ)qu (w qz ) = κ( q)u (w L + z qz ) Jos vakuutus on "oikeudenmukainen"(actuarially fair), yhtyy vakuutuksen yksikköhinta riskin toteutumistodennäköisyyteen, jolloin q = κ. Tällöin edellä mainittu ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehto voidaan esittää muodossa u (w κz ) = u (w L + z κz ) z = L. Ts. päättäjän kannalta täysi vakuutus on optimaalinen. 8

14 Esimerkki: Tarkastellaan tilannetta, jossa päättäjän hyötyfunktio on logaritmista muotoa u(x) = ln x ja w > ql. Tällöin kuvaukselle pätevät ehdot ja f(z) = ( κ)ln(w qz) + κ ln(w L + z qz) f (z) = κ( q) ( κ)q w L + ( q)z w qz f κ( q) 2 ( κ)q2 (z) = (w L + ( q)z) 2 (w qz) 2. Erityisesti siis nähdään, että optimaalinen määrä vakuutusta on z = (κ q)w ( q)q + κ q L. On syytä huomata, että edellä tarkasteltu malli olettaa, ettei taloudellinen päättäjä voi omilla toimillaan tai käytöksellään vaikuttaa riskin realisoitumiseen. Ongelman yleistämiseksi oletetaan, että päättäjällä on mahdollisuus vaikuttaa riskiin realisoitumistodennäköisyyteen κ valitsemalla rahayksiköissä ilmaistu henkilökohtainen suojaus x, jolloin riskin realisoitumistodennäköisyys on siis κ(x). Mikäli vakuutus- yhtiö pystyy havaitsemaan tämän henkilökohtaisen suojautumisen asteen generoiman riskin realisoitumistodennäköisyyden κ(x) ja vakuutus on oikeudenmukainen eli q = κ(x), huomataan, että päättäjän varallisuus tulee muotoon { w x κ(x)z tn:llä κ(x) W = w L x + z κ(x)z tn:llä κ(x). Annettuna nämä oletukset tulee päättäjän odotetun hyödyn maksimointiongelma muotoon max [( κ(x))u(w x κ(x)z) + κ(x)u(w L x + z κ(x)z)]. (z,x) Ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehdot ovat nyt muotoa κ(x )( κ(x ))[u (w L x + z κ(x )z ) u (w x κ(x )z )] = 0 () κ (x )(u(w ) u(w 2 )) ( + κ (x )z )(κ(x )u (w ) + ( κ(x ))u (w 2 )) = 0, (2) missä w = w L x + z κ(x)z ja w 2 = w x κ(x)z. Optimaalisuusehdosta () seuraa suoraan, että mikäli κ(x) (0, ) on täydellinen, on vakuuttaminen optimaalista. Ts. mikäli κ(x) (0, ), niin silloin z = L, jolloin w = w 2. Sijoittamalla tämä tulos optimaalisuusehtoon (2) saadaan + κ (x )L = 0. Tuloksen luonne muuttuu kuitenkin dramaattisesti, mikäli vakuuttaja ei kykene havainnoimaan täsmällisesti riskin realisoitumistodennäköisyyttä κ(x) (katso esim. Laffont 989, kappale 8)..2 Lineaarinen hinnoittelu ja arbitraasi Ennen dynaamiseen valinnan teoriaan siirtymistä on tarkoituksenamme nyt kehittää yleinen hinnoitteluteoria arbitraasivapauden vallitessa. Tätä tarkoitusta varten tarkastellaan yksinkertaista tilannetta, jossa epävarmuus esitetään s:n vaihtoehtoisen tilan avulla (ns. äärellistilainen malli). Jos taloudessa on n arvopaperia, niin niiden mahdollisia tuottoja kuvataan matriisilla d d 2... d s d 2 d d 2s D = R n s. d n d n2... d ns Ts. d ij voidaan tulkita i:nnen arvopaperin arvoksi tilassa j. Erityisesti siis tuottomatriisin D rivi D k = (d k,d k2,...,d ks ) voidaan tulkita k:nnen arvopaperin vaihtoehtoisten tuottojen generoimaksi vektoriksi. Arvopaperisalkku (tai sijoitusportfolio) on vektori θ R n, jossa komponentilla θ i viitataan i:nnen 9

15 arvopaperin määrään sijoitussalkussa. Tällöin huomataan, että jos vallitsevat arvopapereiden hinnat ovat P R n niin salkun hinta on P θ R ja vaihtoehtoisiin tiloihin ehdollistettu (ja siten siis satunnainen) tuotto on n j= θ jd j n D T j= θ = θ jd j2. Rs. n j= θ jd js Ennen kuin etenemme tarkastelussa, tehdään seuraava lineaarialgebrasta tuttu määritelmä: Määritelmä: Vektoriavaruuden R n luonnollinen (tai kanoninen) ortonormaalikanta L(e,...,e n ) koostuu vektoreista e k = (δ k,...,δ nk ), missä { i = j δ ij = 0 i j. Tällöin esimerkiksi reaaliavaruuden R 3 luonnollisen kannan L(e,e 2,e 3 ) muodostavat kantavektorit e T = (,0,0),e T 2 = (0,,0) ja e T 3 = (0,0,). On syytä huomata, että tuottoavaruuden R s luonnollisen kannan vektorit e k, k =,...,s, tunnetaan rahoituksen teoriassa alkeistila-arvopapereina, sillä ne generoivat tuoton joka realisoituu pelkästään yhdessä tilassa. On myös syytä pitää mielessä, ettei vektoriavaruuden kanta (eikä myöskään ortonormaali kanta) ole yksikäsitteisesti määritelty, vaan mikä tahansa kokoelma L(X,...,X n ) lineaarisesti riippumattomia vektoreita X k R n, k =,...,n, riittää virittämään R n :n. Annettuna edellä tehty määritelmä huomataan, että valitsemalla sijoitusportfolioksi θ = e j saadaan aikaiseksi tuotto D T θ = D T e j = D T j, jonka hinta on muotoa P e j = P j. Tämä tulos voidaan nyt luonnollisesti tulkita siten, että tuoton D j hinta on kuvaus p : R s R, jolle pätee ehto p(d j ) = P j. Koska tuotto D j R s voidaan puolestaan esittää vektoriavaruuden R s luonnollisen kannan avulla muodossa D j = s d jk e k, huomataan, että edellä johtamallemme hinnoittelutulokselle pätee ehto ( s ) P e j = P j = p d jk e k. k= Mikäli ns. yhden hinnan laki (jonka mukaan hinnoittelu on lineaarinen operaatio ja siten tuottojen summien arvo on niiden arvojen summa) on voimassa, niin silloin edellisestä seuraa, että k= s P e j = P j = d jk p(e k ), k= j =,...,n, joka voidaan yhtäpitävästi esittää vektorimuodossa P = Dp, missä p T = (p(e ),...,p(e s )) on alkeistilasopimusten hintojen muodostama vektori. Annettuna nämä tekijät esitetään seuraava määritelmä: Määritelmä: Arbitraasi tai yleisesti ottaen arbitraasimahdollisuus on sijoitusportfolio θ R n, jolle pätevät joko ehdot P θ 0 ja (D T θ) k = n j= θ jd jk > 0, k =,...,s, tai ehdot P θ > 0 ja (D T θ) k = n j= θ jd jk 0, k =,...,s. Markkinat ovat arbitraasivapaat, mikäli arbitraasimahdollisuuksia ei ole. Arbitraasi voidaan siis tulkita sijoitusmahdollisuudeksi, jossa sijoittajalla on mahdollisuus saada tuottoa ilman todellista nettoinvestointia. Toinen keskeinen tekijä on ns. tilahintavektori joka määritellään vektoriksi ψ R s +, jolle pätee ehto P = Dψ. Ensimmäinen päätulos on nyt esitetty seuraavassa: Lause.. Markkinat ovat arbitraasivapaat, jos ja vain jos on olemassa tilahintavektori. 0

16 Tämä edellä esitetty havainto on sopimusten hinnoittelun kannalta erittäin keskeinen monestakin syystä, sillä sen mukaan markkinoiden arbitraasivapauden varmistamiseksi riittää positiivisen tilahintavektorin identifiointi. Esimerkiksi edellä tekemämme tarkastelun nojalla (valitsemalla alkeistilahintojen vektori tilahintavektoriksi) havaitsemme välittömästi seuraavaa: Seurauslause.2. Jos yhden hinnan laki on voimassa ja alkeistilahinnat ovat positiivisia, niin silloin markkinat ovat arbitraasivapaat. Lauseen. avulla voidaan myös johtaa tuttu riskineutraalia arvottamista (ja siihen liittyviä riskineutraaleita markkinatodennäköisyyksiä) koskeva tulos. Täsmällisemmin ilmaistuna, jos ψ ψ R s + on tilahintavektori ja ψ 0 = s i= ψ i niin silloin yhtäsuuruudesta P = Dψ seuraa, että P i ψ 0 = s j= D ij ψ j ψ 0 E 0 [D i ] P i = ψ 0 E 0 [D i ], missä E 0 :lla viitataan "synteettisten"markkinatodennäköisyyksien ψ j /ψ 0 suhteen määriteltyyn odotusarvoon. On syytä painottaa, ettei näillä todennäköisyyksillä ole mitään tekemistä objektiivisten todennäköisyyksien kanssa. Lisäksi huomataan, että mikäli markkinat ovat arbitraasivapaat ja on olemassa portfolio θ 0 R n, jolle pätee ehto D T θ 0 = R s +, niin silloin tilahinnan määritelmän nojalla P θ 0 = ψ T D T θ 0 = ψ T = ψ 0. Tämän valossa huomataan, että ψ 0 voidaan siis tulkita riskittömäksi diskonttaustekijäksi. Annettuna arbitraasivapauden määritelmä on nyt tärkeätä myös miettiä, minkälaiset vaihtoehtoisiin tiloihin ehdollistetut tuotot ovat ylipäätään saavutettavissa jollakin mahdollisella sijoitusportfoliolla. Tätä varten tehdään seuraava määritelmä: Määritelmä: Ehdollistettu tuotto y R s on toistettavissa (suojattavissa, saavutettavissa; replicable, hedgeble, attainable), jos on olemassa sijoitusportfolio θ R n siten, että D T θ = y. Markkinat ovat täydelliset (complete), jos mielivaltainen ehdollistettu tuotto y R s on toistettavissa. On syytä huomata, että täydellisyys ja arbitraasivapaus eivät ole keskenään ekvivalentteja määritelmiä (vaikka ne usein liittyvätkin toisiinsa). Arbitraasivapailla markkinoilla ei ole mahdollista muodostaa tuottoisaa sijoitusstrategiaa ilman todellista nettoinvestointia (markkinoilla ei saa olla vapaita lounaita). Täten arbitraasivapaus liittyy oleellisesti siihen, minkälaisia hintoja markkinoilla voi vallita. Markkinoiden täydellisyys sen sijaan edellyttää sitä, että mielivaltainen ehdollistettu (ja siten satunnainen) tuotto täytyy olla saavutettavissa oleva (riippumatta siitä, mikä sen generoivan salkun hinta on). Äärellistilaisessa tapauksessa huomataan, että markkinoiden täydellisyys liittyy kiinteästi vektoriavaruuksien kannan käsitteeseen ja sijoitusstrategioiden hintojen ja tuottojen esityksiin näiden kanta-alkioiden avulla (ottaen kuitenkin huomioon sen, ettei lineaarisen vektoriavaruuden kanta ole yksikäsitteinen). Jotta tämä huomio ei jäisi epäselväksi, oletetaan, että vaihtoehtoisia tuottoja kuvaavien vektoreiden Dj T (tuottomatriisin rivien) joukosta löytyy s kappaletta toisistaan lineaarisesti riippumatonta tuottovektoria (oletamme siis myös, että n s). Merkitään näiden toisistaan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden muodostamaa s s-matriisia merkinnällä D. Tällöin mielivaltainen vahtoehtoinen tuotto y R s voidaan siis saavuttaa portfoliolla θ = ( D ) T y R s joka lineaarisen riippumattomuuden nojalla on yhtälöryhmän D T θ = y yksikäsitteinen ratkaisu. Huomautus: (Projektiohinnoittelu) Oletetaan, että L(X,...,X s ) on mielivaltainen R s :n ortonormaali kanta (ts. X k X j = 0 aina kun j k ja X k X k = X k 2 =, k,j =,...,s). Tällöin mielivaltainen tuottovektori Dj T R s voidaan esittää kantavektoreiden avulla muodossa Dj T = s k= (DT j X k)x k. Erityisesti siis havaitaan, että P j = p(dj T) = s k= (DT j X k)p(x k ).

17 Arbitraasin hyödyntäminen käytännön sijoitustoiminnassa Todellisessa kaupankäynnissä arbitraasi esiintyy harvoin yllä esitetyssä täysin riskittömässä ideaalimuodossa. Arbitraasiksi tai tilastolliseksi arbitaasiksi kutsutaan myös hintojen välistä epäsuhtaa, jonka hyödyntäminen vaatii pääomaa ja sisältää riskin. Esimerkiksi Nokian osakkeen hinta voi olla eri (valuuttakurssit huomioon ottaen) Helsingin ja New Yorkin pörsseissä. Sijoittaja voi pyrkiä hyödyntämään tätä yhden hinnan periaatteen rikkomista ja arvioida hintaeron kaventuvan jatkossa. Selvästi tähän toimintaan sisältyy riski. Edelleen on pikemminkin poikkeus kuin sääntö, että arbitraasiehto määrää hinnan yksikäsitteisesti. Tällöin hinta voidaan määrittää odotetun hyödyn avulla. Kuuluisin esimerkki arbitraasin hyödyntämiseen perustuvan strategian riskeistä lienee Long Term Capital Management (LTCM) niminen vipurahasto (Hedge Fund). Rahasto oli toiminut perustamisestaan saakka (v. 994) erittäin kannattavasti, mutta vuoden 998 suuret tappiot olivat LTCM:n suurien vastuiden takia lähellä aiheuttaa kansainvälisen rahoitusjärjestelmän kriisin. Tapauksen mielenkiintoa lisää se, että LTCM:n palveluksessa toimi joukko huippuluokan matemaatikkoja sekä ns. taloustieteen nobelistit Scholes ja Merton. Shleifer ja Vishny julkaisivat arbitraasien riskeistä varoittavan teoreettisen artikkelin jo Optimaalinen salkun valinta Tarkastellaan nyt tapausta, jossa sijoittaja soveltaa odotetun hyödyn periaatetta optimaalisen sijoitussalkun valintaongelmaan. Optimointiongelma on nyt muotoa max E[U(x)] θ R n rajoitteena ehdot d θ = x 0 ja P θ W. Sijoittajan ongelmana on siis valita budjettirajoitteensa P θ W (jonka mukaan menot ovat pienemmät kuin tulot) puitteissa salkku θ R n siten, että hänen odotettu hyötynsä maksimoituu. Sijoituksen kokonaistuotto d θ = n i= θ id i = x oletetaan satunnaiseksi, ja rajoite x 0 tarkoittaa, että valinta tehdään vain sellaisten kohteiden joukosta, jotka takaavat vähintään nollatuoton. Tämän ongelman keskeisin implikaatio on nyt esitetty seuraavassa lauseessa: Lause.3. (Salkun valinnan lause) Oletetaan, että U(x) on jatkuva ja kasvava sekä toteuttaa ehdon lim x U(x) =. Oletetaan myös, että löytyy salkku θ 0 R n siten, että n i= θ0 i d i > 0. Tällöin optimisalkun ongelmalle löytyy ratkaisu, jos ja vain jos markkinoilla ei ole arbitraasimahdollisuuksia. Tarkastellaan optimisalkun θ R n luonnetta silloin, kun budjettirajoite on pureva (ts. θ P = W) ja kun optimaalista salkkua vastaava tuotto toteuttaa epäyhtälön x = n i= θ i d i > 0, ts. silloin kun optimaalisesta sijoituksesta saatava tuotto on varmasti positiivinen. Tällöin edellä esitetty optimointiongelma tulee muotoon [ ( n )] max E U θ i d i θ R n rajoitteena ehto θ P = W. Optimointiongelman Lagrangen funktio on nyt muotoa [ ( n )] ( ) n L(θ,...,θ n,λ) = E U θ i d i + λ W θ i P i, jolloin optimaalisuusehdot tulevat muotoon W = θ P ja [ ( n ] E U θi d i )d = λ P. i= i= On syytä huomata, että jos markkinoilta löytyy riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f ja hinta on, niin sitä vastaavasta optimaalisuusehdosta seuraa, että [ ( n [ ( n )] E U θi d i )]r f λ = 0 λ = E U θi d i r f > 0. i= 2 i= i= i=

18 Sijoittamalla tämä ehto muihin optimaalisuusehtoihin saadaan [ ( n ) ] [ ( n )] E U θi d i d k = E U θi d i r f P k P k = E[U ( n i= θ i d i) d k ] E[U ( n i= θ i d. i)]r f i= i= Vastaavasti huomataan, että kertomalla ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehto puolittain vektorilla θ tämä johtaa yhtälöön E[U (x )x ] = λ θ P = λ W. Olemme siis kyenneet osoittamaan seuraavan tuloksen: Lause.4. (Salkun hinnoitteluyhtälö) Jos x = n i= θ i d i > 0 on salkun optimointiongelman ratkaisu, niin P k = E[U (x )d k ] E[U (x )x ] W kaikille k =,2,...,n. Jos on olemassa riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f, niin P k = E[U (x ) d k ] E[U (x )]r f kaikille k =,2,...,n. Erityisesti siis huomataan, että jos on olemassa riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f, niin silloin.3. Sijoitusesimerkki r f = E[U (x )]W E[U (x ) x ]. Tarkastellaan seuraavan taulukon mukaista sijoitusesimerkkiä: Tuotto Todennäköisyys Erinomainen d p Keskinkertainen d 2 p 2 Surkea d 3 p 3 Riskitön sijoitus r f Oletetaan, että sijoittajan käytettävissä oleva pääoma on W. Tällöin riskiä kaihtavan sijoittajan optimointiongelma on max θ R 2 E[U(θ R f + θ 2 d i )] rajoitteena θ + θ 2 P i = W. Optimointiongelman Lagrangen funktio on nyt L(θ,θ 2,λ) = p U(θ r f + θ 2 d ) + p 2 U(θ r f + θ 2 d 2 ) + p 3 U(θ r f + θ 2 d 3 ) + λ(w θ θ 2 P i ), jolloin optimaalisuusehdot tulevat muotoon p d U (θ r f + θ 2 d ) + p 2 d 2 U (θ r f + θ 2 d 2 ) + p 3 d 3 U (θ r f + θ 2 d 3 ) = λp i p r f U (θ r f + θ 2 d ) + p 2 r f U (θ r f + θ 2 d 2 ) + p 3 r f U (θ r f + θ 2 d 3 ) = λ θ + θ 2 P i = W. Oletetaan nyt, että sijoittajan hyötyfunktio on logaritminen eli U(x) = ln x. Tällöin kaksi ensimmäistä optimaalisuusehtoa tulevat muotoon p (d /P i ) + p 2(d 2 /P i ) + p 3(d 3 /P i ) θ r f + θ 2 d θ r f + θ 2 d 2 θ r f + θ 2 d 3 = λ p r f p 2 r f p 3 r f + + θ r f + θ 2 d θ r f + θ 2 d 2 θ r f + θ 2 d 3 = λ, 3

19 joista yhdistämällä saadaan p (r f d /P i ) θ r f + θ 2 d + p 2(r f d 2 /P i ) θ r f + θ 2 d 2 + p 3(r f d 3 /P i ) θ r f + θ 2 d 3 = 0. Toisaalta, rajoitteesta θ + θ 2 P i = W seuraa, että Määritellään nyt vakiot θ 2 = W P i θ P i. k = R f d k P i, k =,2,3 α k = d k P i, k =,2,3. Tällöin optimaalinen sijoitusstrategia θ määräytyy yhtälöstä [ θ 2 (p + p 2 )α (p + p 3 )α 2 + (p ] 2 + p 3 )α Wθ [ p α 3 α p 2α 3 α 3 + p 3α 2 α 2 ] W 2 = 0. Tämä on tavanomainen toisen asteen polynomi, joka voidaan ratkaista soveltamalla polynomin x 2 +bx+ c = 0 juurten määritelmää. Sovelletaan näitä tuloksia eksplisiittiseen esimerkkiin elokuvateollisuudesta. Pankkiiriliike Marcellus W. & Zed harkitsee sijoittamista Quentin Teen ja hänen ystäviensä Samuel Jiin ja Harvey Koon uuteen elokuvaan. Pankkiiriliikkeen pääanalyytikko Vincent V. on havainnut, että tällainen sijoittaminen on erittäin riskipitoista ja vaihtoehtoja elokuvan menestymiselle on kolme. Vaihtoehtojen tuotot ja todennäköisyydet on esitetty seuraavassa taulukossa. On selvää, että Kokonaistuotto Todennäköisyys Megamenestys 300 % 50 % Keskinkertaisuus 00 % 0 % Floppi 0 % 40 % Riskitön sijoitus 25 % 00 % E[d i ] = =.6 = 60 %, joten sijoitus elokuvaan antaa keskimäärin selkeästi paremman tuoton kuin sijoitus varmaan sijoituskohteeseen. Jos sijoittajan hyötyfunktio on logaritminen ja P i =, niin sijoittajan salkun optimaalisuusehto tulee muotoon 0.5(.25 3).25θ + 3θ (.25 ).25θ + θ (.25 0).25θ Budjettirajoitteesta θ + θ 2 = W toisaalta seuraa, että θ 2 = W θ, jolloin optimaalisuusehto tulee muotoon θ 3W θ + W θ = 0. Tästä yhtälöstä saadaan optimaaliseksi salkun painoksi θ = W. Ts. pyöreästi % varallisuudesta W pitäisi sijoittaa riskittömään kohteeseen ja jäljelle jäävä osuus 22.2 % varallisuudesta pitäisi sijoittaa Quentin Teen ja hänen ystäviensä Samuel Jiin ja Harvey Koon uuteen elokuvaan. Pankkiiriliikkeen Marcellus W. & Zedin pääanalyytikko Vincent V. tietää toisaalta myös sen, että hän voi vaihtoehtoisesti sijoittaa Quentin Teen ja hänen ystäviensä Samuel Jiin ja Harvey Koon uuden elokuvaan levitysoikeuksiin. Tämä sijoitus tuottaa 6$ jokaista sijoitettua dollaria kohti mikäli filmi osoittautuu jättimenestykseksi. Muissa tapauksissa tuotto on 0$. Rinnakkaisia arvopapereita on nyt kolme kappaletta: elokuva itse, riskitön sijoituskohde sekä elokuvan levitysoikeudet. Merkitään tehtyjä sijoituksia nyt merkinnöillä θ,θ 2 ja θ 3. Tällöin Marcellus W. & Zedin optimointiongelma on muotoa max [p ln (θ d + θ 2 d 2 + θ 3 d 3 ) + p 2 ln (θ d 2 + θ 2 d 22 + θ 3 d 32 ) + p 3 ln (θ d 3 + θ 2 d 23 + θ 3 d 33 )], θ R 3 4 = 0.

20 missä (p,p 2,p 3 ) = (0.5,0.,0.4) ja kokonaistuottomatriisi d on muotoa d = Optimoimalla saadaan tulokseksi, että (θ,θ 2,θ 3 ) = (2.4W, 2.8W,.4W). Ts. Marcellus W. & Zed myy lyhyeksi (lyhyeksi myynti tarkoittaa tilannetta, jossa henkilö myy arvopaperin, jota ei ole vielä hankkinut. Lyhyeksi myynti perustuu olettamukseen, että kurssi putoaa ja että arvopapereita voi ostaa niiden myyntihintaa halvemmalla hinnalla. Voitto muodostuu myynti- ja ostohinnan kurssierosta.) elokuvan tuotanto-oikeuksia 2.8-kertaisesti oman varallisuutensa ja sijoittaa pääomaa sekä riskittömään sijoituskohteeseen että elokuvan levitysoikeuksiin..4 Log-optimaalinen hinnoittelu Hinnoittelukaavaa P k = E[U (x )d k ] E[U (x )x ] W voidaan tehokkaasti soveltaa eri hinnoittelukaavojen tuottamiseen. Yksi hinnoittelukaavan sovellus on seuraava: Oletetaan, että optimituotto x = n i= θ i d i > 0 on tunnettu. Määritä tätä optimia vastaavat sijoituskohteiden hinnat P i, kun U(x) = lnx ja W =. Koska nyt U (x) = /x ja U (x)x =, niin lauseesta.4 seuraa, että kaikille k {,...,n} pätevät ehdot [ ] dk P k = E. Jos tarjolla on nyt myös riskitön sijoitus, jonka tuotto on r f, niin hinnoitteluyhtälöä soveltamalla saadaan [ ] [ ] = E x r f E x =. r f Olemme siis kyenneet osoittamaan seuraavan tuloksen: Lause.5. (Log-optimaalinen hinnoittelu) Minkä tahansa tuoton d antavan sijoituskohteen hinta on [ ] d P k = E x, missä x on log-optimaalisen salkun tuotto. Erityisesti, jos tuotto d on deterministinen, sen hinta on [ ] d P k = E x = d. r f.5 Dynaamisesta hyötyteoriasta.5. Investointipäätäntä ja riskin kaihtaminen Tarkastellaan seuraavaa ns. Fisherin säästämisongelmaa. Siinä sijoittajan elämänkaari on kahden periodin mittainen (nykyisyys ja tulevaisuus). Ensimmäisellä periodilla sijoittaja voi sijoittaa sijoituskohteeseen, joka antaa varman tuoton r f (joka on myös samalla luottojen hinta) ja loput hän kuluttaa. Toisella periodilla sijoittaja vain kuluttaa. Merkitään nyt symbolilla c i periodin i kulutusta, merkinnällä y i periodin i tuloja ja merkinnällä s periodilla tehdyn sijoituksen suuruutta. Tällöin x c = y s (3) c 2 = y 2 + ( + r f )s. (4) 5

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali?

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Luento 9. June 2, Luento 9

Luento 9. June 2, Luento 9 June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Taloustieteiden kvantitatiiviset menetelmät Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 1 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus Kulutus Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 13.11.2013 Antti Ripatti (HECER) Kulutus 13.11.2013 1 / 11 Indifferenssikäyrät ja kuluttajan teoria Tarkastellaan edustavaa kotitaloutta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

Finanssisitoumusten suojaamisesta

Finanssisitoumusten suojaamisesta Finanssisitoumusten suojaamisesta Harri Nyrhinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Vakuutusmatematiikan seminaari 4.5.2017 Esitelmän sisältö Teoreettisluonteisia poimintoja kirjallisuudesta

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 ) 2 E. VALKEILA 1. Johdanto 1.1. Käytännöt. Kurssin kotisivu löytyy osoitteesta http://www.math.hut.fi/teaching/rahoitus/ Kurssi suoritetaan kahdella välikokeella; luennot ja seuraavan viikon harjoitustehtävät

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot