RAHOITUKSEN TEORIAA JA SOVELLUKSIA AKTUAAREILLE. Vakuutusvalvontaviraston julkaisusarja MONISTEET 2007:3

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "RAHOITUKSEN TEORIAA JA SOVELLUKSIA AKTUAAREILLE. Vakuutusvalvontaviraston julkaisusarja MONISTEET 2007:3"

Transkriptio

1 RAHOITUKSEN TEORIAA JA SOVELLUKSIA AKTUAAREILLE Vakuutusvalvontaviraston julkaisusarja MONISTEET 2007:3

2 Vakuutusvalvontavirasto Mikonkatu 8, PL Helsinki Försäkringsinspektionen Mikaelsgatan 8, PB 449 FIN-000 Helsingfors Insurance Supervisory Authority Mikonkatu 8, P.O. Box 449 FIN-000 Helsinki ISSN X ISBN

3 KUVAILULEHTI Julkaisija/Utgivare Vakuutusvalvontavirasto, Försäkringsinspektionen Tekijät/Redaktörer Julkaisun nimi/titel Luis Alvarez ja Lasse Koskinen Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille Sisältö/ Innehåll. Hyötyfunktiot ja riskinkaihdanta 2. Portfolioteoria 3. APT-malli 4. Jatkuva-aikainen rahoitusteoria 5. Korkojen aikarakennemallit 6. Hiukan riskin mittaamisesta ja aikasarja-analyysistä 7. Henkivakuutussopimuksen käyvän arvon määritys Tiivistelmä/Referat Tämä moniste on tarkoitettu aktuaaritutkinnon suorittajille sijoitustoiminnan osuuden oppimateriaaliksi. Toivomme siitä olevan hyötyä myös muille rahoituksen teoriasta ja vakuutusalasta kiinnostuneille. Monisteen tarkoituksena on perehdyttää lukija rahoituksen perusteoriaan ja tarjota sitä kautta välineistö syvemmän teorianmuodostuksen ymmärtämiseen sekä soveltamiseen. Lukijan matematiikan lähtötiedoiksi oletetaan todennäköisyyslaskennan ja stokastisten prosessien sekä tilastotieteen perusteet. Lisäksi rahoituksen perusteet oletetaan tunnetuksi esimerkiksi Helsingin yliopiston kurssin rahoituksen matematiikkaa tasoisesti. Detta kompendium är avsett som studiematerial i avsnittet om placeringsverksamhet för dem som avlägger aktuarieexamen. Vi hoppas att det också skall vara till nytta för andra som är intresserade av finansieringsteori och försäkringsbranschen. Syftet med kompendiet är att redogöra för grundteorin inom finansiering och därigenom erbjuda redskap för förståelse och tillämpning av mer djupgående teoribildning. Läsarna förväntas ha matematiska baskunskaper inom sannolikhetskalkylering och stokastiska processer samt statistik. Därtill antas det att läsaren har grundläggande kunskaper om finansiering motsvarande t.ex. Helsingfors universitets kurs i finansmatematik. Avainsanat/Nyckelord Rahoitus, sijoitustoiminta, sijoitusriski, optio, johdannainen, vakuutus Finansiering, placeringsverksamhet, placeringsrisk, option, derivat, försäkring Sarja/nimi ja numero ISSN ISBN Serie/namn och nummer Monisteet/Kompendium 2007: X Sivumäärä/Antal sidor Kieli/Språk Hinta/Pris 2 Suomi --- Jakaja/Distributör Kustantaja/Förläggare Vakuutusvalvontavirasto/ Vakuutusvalvontavirasto Försäkringsinspektionen Försäkringsinspektionen Insurance Supervisory Authority Insurance Supervisory Authority Jaana Nuortia-Kujanpää

4 Sisältö Hyötyfunktiot ja riskinkaihdanta. Staattiset valintaongelmat Hyötyfuntio Riskin kaihtaminen Riskin kaihtamisen mittareita Riskin kaihdanta ja vakuutus Lineaarinen hinnoittelu ja arbitraasi Optimaalinen salkun valinta Sijoitusesimerkki Log-optimaalinen hinnoittelu Dynaamisesta hyötyteoriasta Investointipäätäntä ja riskin kaihtaminen Riskinkaihdanta ja deflaattorit Portfolioteoria 9 2. Markowitzin malli Riskittömän sijoituskohteen vaikutus sijoitusportfolioon Hyötyteoreettinen perustelu Markowitzilaiselle päätännälle Mitä jos lyhyeksi myyminen on kiellettyä? Todennäköisyysrajoitteinen salkun valinta Empiirisiä havaintoja APT-malli 3 3. Faktorimallit Yhden faktorin malli Usean faktorin mallit APT-teoria Jatkuva-aikainen rahoitusteoria Jatkuva-aikaiset ja -tilaiset prosessit Lyhyesti differentiaalin käsitteestä Wiener-prosessista ja stokastisista differentiaaliyhtälöistä Itô-integraalista ja -differentiaalista Feynman-Kač -lause Geometrinen Brownin liike Määritelmä ja ominaisuuksia Parametrien estimoinnista Keskiarvoon hakeutuvat diffuusiot ja Bernoulli n sdy Ornstein-Uhlenbeck-prosessi Logistinen diffuusio Bernoulli n sdy Hyödyllinen muuttujamuunnos Black-Scholes -malli Perusoletukset Omarahoitteinen sijoitussalkku Arbitraasivapaus ja sijoitussalkun arvo Suojausehto Feynman-Kač lause ja johdannaisten hinnoittelu Black-Scholes -kaavoja Yleistetty Black-Scholes -malli Girsanovin lause Riskin Markkinahinta Numeräärin vaihto Hintojen herkkyysparametrit (ns. kreikkalaiset) Salkun immunisointi

5 4.7 Lyhyesti kassavirtasopimuksista Maksimaalinen logaritminen kasvu Miten tämä kaikki liittyy Black-Scholes -malliin? Korkojen aikarakennemallit 6 5. Deterministiset korkorakennemallit Korkokäsitteitä Diskonttaustekijät ja 0-kuponkilainat Nykyarvoista Esimerkkejä Kuponkilainojen duraatiosta Aikarakenneyhtälö Numeräärin vaihto Hieman komparatiivista statiikkaa Affiini korkorakenne Affiineja korkomalleja Havainnollistuksia Numeräärin vaihdosta Kuponkilainoista ja niiden hinnoittelusta Muita korkokäsitteitä Termiinikoroista Korkomallien taksonomiaa Hiukan riskin mittaamisesta ja aikasarja-analyysistä ES (TailVaR) ja VaR Yhteisintegroituvuudesta Volatiliteetin mallinnuksesta Henkivakuutussopimuksen käyvän arvon määritys Määritys ilman korkoriskiä Kertapreemioon perustuva sopimus Useampipreemioinen sopimus Käypä arvo ja korkoriski Kertapreemioon perustuva sopimus Useampipreemioinen sopimus Hyödyllinen yleistys

6 Actuaries provide commercial, financial and prudential advice on the management of assets and liabilities - especially where long term management and planning are critical factors. FACULTY &INSTITUTE OF ACTUARIES, UK Tämä moniste, joka on ensimmäinen korjattu painos Vakuutusvalvontaviraston julkaisurajan monisteesta 2004:2, on tarkoitettu aktuaaritutkinnon suorittajille sijoitustoiminnan osuuden oppimateriaaliksi. Uutena osana on luku 7, joka käsittelee henkivakuutussopimusten arvottamista. Toivomme monisteesta olevan hyötyä myös muille rahoituksen teoriasta ja vakuutusalasta kiinnostuneille. Monisteen tarkoituksena on perehdyttää lukija rahoituksen perusteoriaan ja tarjota sitä kautta välineistö syvemmän teorianmuodostuksen ymmärtämiseen sekä soveltamiseen. Tämä moniste ei sisällä harjoitustehtäviä, mutta niitä löytyy runsaasti lähdeluettelossa mainituista teoksissa. Lukijan matematiikan lähtötiedoiksi oletetaan todennäköisyyslaskennan ja stokastisten prosessien sekä tilastotieteen perusteet. Lisäksi rahoituksen perusteet oletetaan tunnetuksi esimerkiksi Helsingin yliopiston kurssin "rahoitusteoria"tai "sijoitustoiminnan matematiikka"tasoisesti. Helppolukuinen ja hyödyllinen johdanto erityisesti vakuutuslaitosten sijoitustoimintaan löytyy lähdeluettelossa mainitun teoksen "Modern Actuarial Theory and Practice"(toinen painos, Booth ym., 2004) kahdessa ensimmäisessä luvussa. Laajempi ja syvällisempi aktuaareja varten kirjoitettu teos on "Financial Economics with applications to investments, insurance and pensions"(toimittanut Panjer, 998). Korkojen mallinnukseen hyvän johdannon tarjoaa teos "Interest rate models: An introduction"(cairns, 2004). Haluamme kiittää monisteen tekemisen edesauttamisesta SHV-lautakunnan jäseniä ja sihteeriä eli Tarja Härköstä, Esko Kivisaarta, Hannu Parviaista, Martti Pesosta, Tarmo Pukkilaa, Jukka Rantalaa ja Onerva Savolaista. Lisäksi haluamme kiittää Helsingin yliopiston yliopistolehtori Harri Nyrhistä ja Ilmarisen matemaatikko Antero Rannetta hyödyllisistä kommenteista. Monisteen ensimmäisen painoksen kieliasun puutteiden ja muiden epätäsmällisyyksien korjausehdotuksista haluamme lämpimästi kiittää Jari Niittuinperää. Jäljelle jääneet virheet ovat toki tekijöiden vastuulla. Luis Alvarez Professori Turun Kauppakorkeakoulu Lasse Koskinen Tutkimusjohtaja Vakuutusvalvontavirasto Hyötyfunktiot ja riskinkaihdanta Finance is a fun game to play but hard to win. BREDLAY and MYERS. Staattiset valintaongelmat.. Hyötyfuntio Jos päätöksien seuraukset olisivat varmoja ja siten etukäteen tunnettuja, tekisi rationaalinen päättäjä aina sen päätöksen, jonka lopputulos olisi hänen omalta kannaltaan mieluisin. Valitettavasti käytännössä valinta ei ole ihan näin yksinkertainen, sillä eri sijoittajat ovat keskenään erilaisia ja siten preferoivat eri riskitasoja eri tavalla. Sijoittajat poikkeavat keskenään erityisesti riskiä koskevissa preferensseissään (toinen karttaa riskiä, kun taas toinen pitää riskinotosta). Tämän takia tarvitsemmekin teknisen välineen, hyötyfunktion, jolla arvioimme ja arvostamme erilaisia satunnaisia varallisuuden tasoja odotetun hyödyn periaatteella. Karkeasti ottaen hyötyfunktioksi kelpaa mikä tahansa tarkastelun kohteena olevan taloudellisen suureen määrittelyjoukossa määritelty jatkuva ja monotonisesti kasvava kuvaus U : I R, missä I R on hyötykuvauksen U(x) määrittelyjoukko. On myös syytä huomata, että mikäli tarkasteltava hyötyfunktio on differentioituva, kutsutaan kuvausta U (x) rajahyödyksi. Yleensä oletetaan, että hyötyfunktio toteuttaa ns. vähenevän rajahyödyn lain, jonka mukaan U (x) on vähenevä (jokainen lisäyksikkö siis kasvattaa hyötyä, mutta hidastuvaa vauhtia). Selvästi siis nähdään, että mikäli vähenevän rajahyödyn laki toteutuu, on hyötyfunktio U(x) konkaavi. Erityisesti, vertailtaessa satunnaisia varallisuuden

7 tasoja x ja y tulee ensiksi määrittää arvot E[U(x)] ja E[U(y)] ja sen jälkeen valita max{e[u(x)],e[u(y)]}. Esimerkki: Tarkastellaan kahta satunnaista varallisuuden tasoa x ja y ja oletetaan, että lnx N(µ x,σx) 2 ja lny N(µ y,σy) 2 (ts. varallisuustasot x ja y ovat ns. Log-normaalijakautuneita joukolle R + ; tämä on enemmän kuin keskeinen jakauma rahoituksen teoriassa!). Ennen kuin etenemme esimerkissä, määritetään hyötyfunktion U(z) odotusarvo, kun z N(µ,σ 2 ) ja E[U(z)] <. Nyt on selvää, että E[U(z)] = E[U(e ln z )] = = Edellisessä esityksessä esiintyvä funktio 0 U(e ln y )e 2( y µ σ ) 2 dy 2πσ U(v)e ln v µ 2( σ ) 2 dv. 2πσv f(v) = e ln v µ 2( σ ) 2 2πσv on lognormaalijakauman tiheysfunktio. Erityisesti siis huomataan, että E[e z ] = e µ+ 2 σ2 ja var[e z ] = e 2µ+σ2 (e σ2 ). Oletetaan nyt, että U(x) = x b, missä b > 0 on tunnettu vakio. Ottamalla hyötyfunktiosta luonnollinen logaritmi nähdään, että lnu(x) = blnx. Oletuksen mukaan lnx N(µ x,σ 2 x), joten siis bln x N(bµ x,b 2 σ 2 x). Vastaavasti nähdään, että blny N(bµ y,b 2 σ 2 y), joten soveltamalla edellä johdettua odotusarvon kaavaa saadaan E[U(z)] = e bµ+ 2 b2 σ 2. Tällöin valintatilanteessa täytyy vertailla pelkästään arvoja E[U(x)] = e bµx+ 2 b2 σ 2 x ja E[U(y)] = e bµ y+ 2 b2 σ 2 y. Luonnollisesti, sijoittaja valitsee max{e bµx+ 2 b2 σ 2 x,e bµ y+ 2 b2 σ 2 y } = e bµ x+ 2 b2 σ 2 x max{,e b(µ y µ x)+ 2 b2 (σ 2 y σ2 x ) }. Huomataan, että jos µ x = µ y, niin sijoittaja valitsee aina sen kohteen, jonka logaritmisen arvon hajonta on suurin! On syytä huomata, ettei tämä kuitenkaan suoraan tarkoita sijoittajan valitsevan riskillisimmän projektin. Miksi? Koska yllä esitetyssä muodossa muutos parametrissa σ x tai parametrissa σ y muuttaa sekä odotusarvoa että varianssia. Tämä on tärkeä huomio, sillä riskillisyyttä mitataan yleensä pelkästään keskihajonnan avulla. Määritellään tämän takia parametri α = µ + 2 σ2. Tällöin nähdään suoraan, että E[z] = e α, var[z] = e 2α (e σ2 ), ja E[z b ] = e αb+ 2 σ2 b(b ). Tästä esityksestä nähdään suoraan, että valitsemalla jakauman parametreiksi α ja σ voidaan tutkia riskin kasvattamista ilman, että keskiarvo muuttuu (ns. mean preserving spread). Erityisesti nähdään, että sijoittajan edellä tarkasteltu valintaongelma tulee muotoon max{e αxb+ 2 σ2 x b(b ),e αyb+ 2 σ2 y b(b ) } = e αxb+ 2 σ2 x b(b ) max{,e (αy αx)b+ 2 (σ2 y σ2 x )b(b ) }. Erityisesti siis huomataan, että mikäli α x = α y, niin valintaongelma tulee muotoon e αxb+ 2 σ2 x b(b ) max{,e 2 (σ2 y σ2 x )b(b ) }. Tämä tapaus on mielenkiintoinen, sillä se osoittaa, että hyötykuvauksen muoto todella vaikuttaa valintaan. Nyt nähdään suoraan, että (i) jos b > (jolloin rajahyöty on kasvava), niin sijoittaja valitsee aina sen projektin, jonka volatiliteetti on korkein, ts. projektin, jonka hajonta on max(σ x,σ y ); (ii) jos b = (jolloin rajahyöty on vakio), niin riski ei vaikuta päätäntään ja valitsemalla kumpi tahansa projekteista sijoittaja odottaa saavansa tuoton e αx = e αy ; (iii) jos b < (jolloin rajahyöty on vähenevä), niin sijoittaja valitsee aina sen projektin, jonka volatiliteetti on matalin, ts. projektin jonka hajonta on min(σ x,σ y ); Tämä ominaisuus on tärkeä ja se kannattaakin pitää mielessä aina kun tarkastelee jakautumia jotka voidaan ilmaista kahden parametrin avulla. Syynä tähän argumenttiin on se, että useasti tavoitteena on nimenomaisesti tehdä valintatarkasteluja juuri saman odotetun tuoton mutta eri riskin kohtaavan 2

8 sijoituksen välillä. Toisaalta on syytä myös painottaa, että esimerkin valossa vähenevän rajahyödyn lain toteuttava hyötykuvaus johtaa matalimman riskin omaavan projektin valintaan (ja siten riskin kaihdantaan). Vaikka tämä johtopäätös onkin tämän tyyppisissä esimerkeissä oikea, ei se välttämättä päde yleisesti malleissa, joissa riskillisten päätösten intertemporaalisuus on huomioitu. Esimerkki: Sijoittaja jonka hyötyfunktio on muotoa U(x) = x pohtii kahta sijoitusvaihtoehtoa, joista valtion obligaatiot antavat 6 miljoonan varman varallisuuden. Toisella sijoituksella on kolme mahdollista lopputulosta 0, 5 ja 4 miljoonaa todennäköisyyksillä 0.25, 0.5 ja 0.25, jolloin kyseisen sijoituksen odotettu tuotto on siis E[x 2 ] = = 6 joka on täsmälleen yhtä suuri kuin obligaatioiden tuotto. Määritetään nyt sijoittajan odotetut hyödyt kummastakin sijoituksesta. Suoraan sijoittamalla saadaan E[ x ] = 6 2,4495 E[ x 2 ] = ,4086, eli sijoittaja valitsee vieläkin ensimmäisen varman sijoituksen siitä huolimatta, että molemmat tuottavat keskimäärin saman verran. Oletetaan nyt, että 0 + M tn:llä 0.25 x 2 = 5 tn:llä tn:llä 0.25, missä M > 0 on tuntematon vakio, ja pyritään vastaamaan seuraavaan kysymykseen: Kuinka suuri tulee hyvään maailmantilaan liittyvän kompensaation M olla, jotta sijoittaja olisi indifferentti varman tuoton ja epävarman tuoton antavan sijoituksen välillä? Nyt huomataan, että E[x 2 ] = 6 + M 4 > 6, sillä M > 0. Määrittämällä odotetut hyödyt ja asettamalla ehto E[ x 2 ] = E[ x ] saadaan M = 6M =,06, 4 2 jolloin epävarman sijoituksen odotettu tuotto on 6,2653, joka on siis suurempi kuin varman sijoituksen tuotto. Esimerkki: Oletetaan, että varallisuustasoille X ja Y pätevät ehdot { x tn:llä p X = tn:llä p x 2 ja Y = px + ( p)x 2 = x 2 + p(x x 2 ) = E[x] todennäköisyydellä, missä p [0,] ja (x 2,x ) R +. Oletetaan myös, että sijoittajan hyötykuvaus U : R + R on aidosti konkaavi. Kuten edellä tehdystä analyysista on selvää, tällöin E[U(X)] U(Y ), joten rationaalinen sijoittaja valitsee aina riskittömän vaihtoehdon. Tarkastellaan nyt varallisuustasoa Z = X + M, missä M > 0 on tunnettu kompensaatio. Määritellään nyt kuvaus f : R + R muotoa f(m) = E[U(X + M)] U(Y ) = pu(x + M) + ( p)u(x 2 + M) U(px + ( p)x 2 ). Hyötyfunktion ominaisuuksista seuraa, että kuvaus f on jatkuva, monotonisesti kasvava sekä aidosti konkaavi. Lisäksi f(0) = pu(x ) + ( p)u(x 2 ) U(px + ( p)x 2 ) < 0 ja f(p(x x 2 )) = p[u(x + p(x x 2 )) U(px + ( p)x 2 )] > 0, 3

9 sillä x + p(x x 2 ) > px + ( p)x 2. Näin ollen monotonisuuden ja jatkuvuuden nojalla yhtälöllä f(m) = 0 on olemassa yksikäsitteinen juuri M joukossa (0,p(x x 2 )). Tälle juurelle pätee siis ehto pu(x + M ) + ( p)u(x 2 + M ) = U(px + ( p)x 2 ), jonka mukaan sijoittaja on indifferentti riskillisen ja riskittömän sijoituskohteen välillä, aina kun riskin otosta kompensoidaan M :n verran. Hyötyfunktion numeroarvolla ei itsessään ole merkitystä ja ainoastaan vaihtoehtojen paremmuusjärjestys on tärkeä. Tämän takia hyötyfunktioihin voidaankin tehdä järjestyksen (monotonisuuden) säilyttäviä muunnoksia. (a) vakion lisääminen ei muuta järjestystä: U(x) ja V (x) = U(x)+b tuottavat saman järjestyksen, sillä odotusarvon lineaarisuuden nojalla E[V (x)] = E[U(x) + b] = E[U(x)] + b (b) positiivisella vakiolla kertominen ei muuta järjestystä, sillä E[V (x)] = E[aU(x)] = a E[U(x)] aina, kun V (x) = au(x), missä a > 0. Yleisesti huomataankin, että jos U(x) on hyötyfunktio, niin mikä tahansa kuvaus V (x) = au(x) + b on ekvivalentti hyötyfunktio (kun a > 0). Ekvivalentit funktiot tuottavat identtiset järjestykset eri vaihtoehdoille. Esimerkki: V (x) = ln(cx a ) (c > 0,a > 0) ja U(x) = ln(x) ovat ekvivalentteja hyötykuvauksia, koska ln(cx a ) = alnx + lnc...2 Riskin kaihtaminen Hyötyfunktioiden avulla voimme vertailla eri vaihtoehtoja siten, että vertailussa otamme huomioon riskin kaihtamisen periaatteen. Riskin kaihdanta Tarkastellaan seuraavaa tilannetta: Sijoittajalle tarjotaan kahta eri vaihtoehtoa (ns. arpa), joista hän saa vapaasti valita. Toinen vaihtoehdoista tuottaa varmuudella tuoton px+( p)y, kun taas toinen tuottaa tuoton x todennäköisyydellä p ja tuoton y todennäköisyydellä p (luonnollisesti p [0,]). Tällöin E[U(x )] = U(y + p(x y)) ja E[U(x 2 )] = U(y) + p(u(x) U(y)) ja sijoittaja valitsee siis sijoituksen joka antaa tuoton max{u(y + p(x y)),u(y) + p(u(x) U(y))}. Mikäli sijoittaja valitsee varman kohteen ennen saman odotetun tuoton tuottavan epävarman sijoituskohteen, kutsutaan sijoittajaa riskiä kaihtavaksi. Mikäli sijoittaja on indifferentti edellämainittujen sijoituskohteiden välillä, kutsutaan sijoittajaa riskineutraaliksi. On tärkeätä huomata, että riskin kaihtamisen periaate voidaan introdusoida melko yksinkertaisella tavalla hyötyfunktioon rajoittamalla rajahyödyn muotoa (kuperuutta tai koveruutta). Hyötyfunktio U(x) totetuttaa riskin kaihtamisen periaatteen välillä [a, b], mikäli se on konkaavi välillä [a, b]. Jos U(x) on konkaavi kaikkialla, se toteuttaa riskin kaihtamisen periaatteen kaikkialla. Jos hyötyfunktio U(x) on aidosti konkaavi, sanotaan sijoittajaa riskiä kaihtavaksi. Nähdään siis, että staattisessa tapauksessa vähenevän rajahyödyn laki on riskin kaihtamisen periaatteen kanssa konsistentti ominaisuus. Esimerkki: Oletetaan, että päättäjän tulee tehdä valinta satunnaisten varallisuustasojen x ja y väliltä, kun { x tn:llä p x = tn:llä p x 2 ja y = px + ( p)x 2 = x 2 + p(x x 2 ) = E[x] todennäköisyydellä, missä p [0,] ja x,x 2 I R. Jos sijoittajan hyötykuvaus on muotoa U(x) = x 2 ja I = R, niin U(px + ( p)x 2 ) pu(x ) ( p)u(x 2 ) = p(p )(x x 2 ) 2 < 0, mistä seuraa, että konveksille hyötyfunktiolle U(x) = x 2 valitaan aina riskillisempi projekti. 4

10 Psykologisia havaintoja The rational man - like the Loch Ness monster - is sighted often, but photographed rarely. DAVID DREMAN Psykologisilla havainnoilla voidaan tuoda lisää realismia malleihin, joilla rahoituksessa kuvataan ihmisten käyttäytymistä. Laaja-alainen yhteenveto aiheesta on mm. Rabinen artikkeli Psychology and Economics (998). Osakesijoituksen psykologiaa on kiinostavasti valotettu Shillerin best seller -kirjassa Irrational Exeburance (2000), jossa hän kritisoi Yhdysvaltojen osakemarkkinoiden kestämättömän korkeaa hintatasoa juuri ennen romahdusta. Rahoituksen kannalta tärkeitä empiirisiä ihmisten käyttäytymiseen liittyviä havaintoja ovat mm.: Ihmiset ankkuroituvat psykologisesti menneisyyden hintoihin tai trendeihin. Esimerkiksi 22 euron hinnalla ostamaansa osaketta he pitävät tyypillisesti halpana, mikäli sen hinta on tippunut 2 euroon. Ihmiset kuvittelevat usein tietävänsä asioista enemmän kuin he todellisuudessa tietävät ja yliarvioivat omat kykynsä. Esimerkiksi sijoitusasiantuntija saattaa itse kuvitella lyövänsä markkinat selvästi, vaikka selvitykset eivät tukisi sitä millään tavalla. Sijoittajien joukossa esiintyy laumakäyttäytymistä. Näin sijoitusmarkkinoille saattaa syntyä fundamentteihin verrattuna hyvin korkeita hintoja eli ns. kuplaperiodeja. Ihmiset tekevät epävarmuuden vallitessa epäloogisia päätöksiä. Tämä asettaa odotetun hyödyn käytön yksilöiden käyttäytymisen kuvaamisessa jossain määrin kyseenalaiseksi...3 Riskin kaihtamisen mittareita On selvää, että hyötyfunktion kaarevuus vaikuttaa riskin kaihtamiseen. Mitä voimakkaammin hyötyfunktio on konkaavi, sitä suurempi ero on odotetun hyödyn ja varman hyödyn odotetulla varallisuustasolla (ts. sitä suurempi on erotus u( x) E[u(x)] ). Kuten edellä jo huomattiin, tulee riskin kaihtajalle tarjota hyvitys riskinottamisesta tai vastaavasti on varman vaihtoehdon arvoa alennettava. Yritetään nyt määrittää niitä mittareita, joilla tätä indifferenssiin johtavaa preemiota voidaan kuvata. Täsmällisemmin esitettynä, pyritään määrittämään se preemio π, jolle yhtälö E[u(x)] = u( x π), toteutuu ainakin osalle riskeistä kun odotettu varallisuustaso x < on tunnettu. Oletetaan nyt, että riskiä kaihtavan päättäjän hyötykuvaus on monotonisesti kasvava, aidosti konkaavi sekä kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva. Additiivisen riskin tapaus: Muodostetaan satunnaismuuttuja z = x + ε, missä ε on satunnaisesta varallisuustasosta x riippumaton satunnaismuuttuja joka toteuttaa ehdot E[ε] = 0, var[ε] = σ 2 ε ja E[ε k ] 0 kun k 3. Satunnaismuuttujaa z kutsutaan muuttujan x additiiviseksi satunnaisperturbaatioksi (additive random perturbation) ja satunnaismuuttujaa ε kutsutaan pieneksi additiiviseksi kohinaksi (small additive noise). Esimerkki: Tarkastellaan satunnaismuuttujaa ε, joka on tasaisesti jakautunut välille ( n N. Tällöin saadaan, että kaikille k N mistä seuraa, että ( ) E[ε k 2n k+ ] = n y k n dy = ( ( ) k+ ), (k + ) 2n 2n E[ε k ] = { ( k (k+) 2n) k parillinen 0 k pariton. 2n, 2n), missä Nyt on selvää, että mikäli n on suuri, niin satunnaismuuttujan ε keskusmomentit kaikille k 3 ovat pieniä ja siten siis toteuttavat pienen satunnaisperturbaation ehdot. Jos n = 4, niin 5

11 E[ε k ] = (0,0.005,0, ,0, ,0, ,0,8.47 0,...). Esimerkki: Tarkastellaan satunnaismuuttujaa ε, joka on normaalisti jakautunut keskiarvonaan 0 ja keskihajontanaan /n, n N. Tällöin var[ε] = /n 2, E[x 2k+ ] = 0 (parittomat keskusmomentit häviävät) kaikille k N ja E[x 2k ] = o(/n 2k ) kaikille k 2. Merkinnällä o(/n 2k ) tarkoitetaan sitä, että kyseiset termit suppenevat kohti nollaa vielä nopeammin kuin kuvaus /n 2k. Tämän tyyppinen kohina on selkeästi "pientä"ja siten toteuttaa edellä esitetyt momenttiehdot. Tämän jakauman keskusmomentit voidaan määrittää kätevästi derivoimalla momentit generoivaa funktiota f(s) = E[e sε ] = e 2 n 2 ja antamalla s 0. Havainnollistuksen vuoksi määritetään momentit generoivan kuvauksen viisi ensimmäistä derivaattaa. Derivoimalla saadaan tulokseksi josta näemme suoraan, että f (s) f (s) f (s) f (s) f (s) s n e s n 2 0 (n 2 +s 2 ) n e s n 2 n 2 s(3n 2 +s 2 ) n e s n 2 0 (3n 4 +6n 2 s 2 +s 4 ) n e s n 2 3 n 4 s(5n 4 +0n 2 s 2 +s 4 ) n e s n 2 0 { E[ε k ] } ( ) = 0, k=,...,5 n 2,0, 3 n 4,0. Merkitään nyt riskipreemiota merkinnällä π ε ( x), jotta sen suora riippuvuus keskituotosta x sekä epäsuora riippuvuus kohinatermistä ε tulisi selkeästi esitetyksi. Soveltamalla nyt Taylorin kehitelmää kuvaukseen u(z) sekä kuvaukseen u( x π ε ( x)) saadaan u(z) u( x) + u ( x)ε + 2 u ( x)ε 2 u( x π ε ( x)) u( x) u ( x)π ε ( x), sillä kohinan ε ja siten preemion π ε ( x) oletettiin olevan "pieniä". Ottamalla ensimmäisestä yhtälöstä odotusarvo puolittain saadaan E[u(z)] = E[u( x + ε)] u( x) + 2 u ( x)σ 2 ε, jolloin yhdistämällä tämä tulos jälkimmäiseen yhtälöön saadaan tulokseksi, että tasapainoehto E[u(z)] = u( x π ε ( x)) on voimassa aina, kun ehto u( x) + 2 u ( x)σ ε 2 = u( x) u ( x)π ε ( x) π ε ( x) = u ( x) 2 σ2 ε u ( x) toteutuu. Preemiossa π ε ( x) esiintyvä tekijä A( x) = u ( x) u ( x) = d d x lnu ( x) on ns. Arrowin ja Prattin absoluuttisen riskinkaihtamisen kerroin (Arrow Pratt s coefficient of absolute risk aversion), joka on siis samalla rajahyödyn logaritmisen derivaatan (eli prosentuaalisen rajahyödyn muutoksen) käänteisluku. Tämä lokaali kerroin on riskinkaihtamisen mittana huomattavasti parempi kuin esimerkiksi hyötyfunktion u(x) toinen derivaatta u (x) tai hyötyfunktion kuperuusmitta u (x)/( + u 2 (x)) 3/2, sillä A( x) on rippumaton hyötykuvauksen kasvavista lineaarimuunnoksista. Ts. A( x) säilyy muuttumattomana ekvivalenteille hyötykuvauksille. Multiplikatiivisen riskin tapaus: Muodostetaan satunnaismuuttuja z = x(+ε), missä ε on satunnaisesta varallisuustasosta x riippumaton satunnaismuuttuja, joka toteuttaa ehdot E[ε] = 0, var[ε] = σ 2 ε ja E[ε k ] 0, kun k 3. Satunnaismuuttujaa z kutsutaan muuttujan x multiplikatiiviseksi satunnaisperturbaatioksi (multiplicative random perturbation) ja satunnaismuuttujaa ε kutsutaan pieneksi multiplikatiiviseksi kohinaksi (small multiplicative noise). Merkitään tämän tapauksen riskipreemiota merkinnällä s 2 6

12 ˆπ ε ( x). Soveltamalla nyt Taylorin kehitelmää kuvaukseen u(z) sekä kuvaukseen u( x( ˆπ ε ( x))) saadaan u(z) u( x) + u ( x)ε x + 2 u ( x)ε 2 x 2 u( x( ˆπ ε ( x))) u( x) u ( x)ˆπ ε ( x) x, sillä kohinan ε ja siten preemion ˆπ ε ( x) oletettiin olevan "pieniä". Ottamalla ensimmäisestä yhtälöstä odotusarvo puolittain saadaan E[u(z)] = E[u( x( + ε))] u( x) + 2 u ( x)σ 2 ε x 2, jolloin yhdistämällä tämä tulos jälkimmäiseen yhtälöön saadaan tulokseksi, että tasapainoehto E[u(z)] = u( x( ˆπ ε ( x))) on voimassa aina kun ehto u( x) + 2 u ( x)σ 2 ε x 2 = u( x) u ( x)ˆπ ε ( x) x ˆπ ε ( x) = 2 σ2 ε toteutuu. Preemiossa ˆπ ε ( x) esiintyvä tekijä R( x) = xu ( x) u ( x) = xa( x) xu ( x) u ( x) on ns. suhteellisen riskinkaihtamisen kerroin (coefficient of relative risk aversion). Tällä lokaalilla kertoimella on samat hyvät ominaisuudet kuin absoluuttisella riskinkaihtamisen kertoimella. On syytä huomata, että lokaalisuudestaan huolimatta kertoimet A(x) ja R(x) ovat hyvin keskeisiä, sillä ne nousevat lähes poikkeuksetta esiin tutkittaessa optimaalista päätäntää riskinkaihdannan vallitessa. Rahoituksen kirjallisuudessa ilmeneekin tyypillisesti neljä eri hyötyfunktioiden pääluokkaa, jotka generoituvat nimenomaisesti riskinkaihtamisen kertoimien A(x) sekä R(x) avulla. Nämä päätyypit ovat CARA (Constant Absolute Risk Aversion), HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), CRRA (Constant Relative Risk Aversion) sekä HRRA (Hyperbolic Relative Risk Aversion). Huomautus: Edellä mainitut satunnaisperturbaatiot ovat hyvin keskeisiä analysoitaessa myös eri riskillisten tuottovirtojen arvostusta riskinkaihdannan vallitessa. Oletetaan, että sijoituksen tuotto x on satunnainen ja määritellään tuotot x a = x+ε sekä x m = x(+ε), missä ε on x:stä riippumaton satunnaismuuttuja joka toteuttaa ehdot E[ε] = 0 ja var[ε] = σ 2 ε. Riippumattomuudesta seuraa, että x = x a = x m, joten odotetut tuotot ovat yhtä suuret. Toisaalta ja var[x a ] = σ 2 x + σ 2 ε > σ 2 x var[x m ] = σ 2 x + (σ 2 x + x 2 )σ 2 ε joten huomataan, että x a ja x m antavat saman keskituoton kuin x mutta korkeammalla riskillä. Tämän tyyppistä satunnaisperturbaatiota kutsutaan satunnaismuuttujan x keskiarvon säilyttäväksi levitykseksi (mean preserving spread). On syytä painottaa, että tämän luokan perturbaatiot eivät aina ole välttämättä additiivisia tai multiplikatiivisia, vaan mikä tahansa muunnos (siis myös funktionaalinen), joka säilyttää keskituoton muuttumattomana samalla riskiä kasvattaen, kelpaa. Jottei tämä jäisi epäselväksi, tarkastellaan lineaarista kuvausta f(x) = ax+b, missä x on satunnainen ja a,b R ovat tunnettuja parametreja. Kuten hyvin tiedetään, pätee tälle kuvaukselle ehdot E[f(x)] = a x + b ja var[f(x)] = a 2 σ 2 x. Tällöin mikä tahansa parametrinen muutos, joka toteuttaa ehdon säilyttää keskiarvon keskihajontaa muuttamalla! db da = x Esimerkki: (A) Eksponentiaaliselle hyötyfunktiolle U(x) = e ax, a > 0 pätee A(x) = a, R(x) = ax, A (x) = 0 ja R (x) = a 7

13 (B) Logaritmiselle hyötyfunktiolle U(x) = lnx pätee A(x) = /x, R(x) =, A (x) = /x 2 ja R (x) = 0. (C) Kvadraattiselle hyötykuvaukselle U(x) = x bx 2 (joka on hyvin määritelty joukossa (0,/(2b))) pätee sekä A(x) = A (x) = 2b 2bx ja R(x) = 2bx 2bx 4b 2 ( 2bx) 2 ja R 2b (x) = ( 2bx) 2 (D) HARA-hyötykuvaukselle (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) pätee sekä A(x) = U(x) = γ γ ( γ)a ax + b( γ) ( ) γ ax γ + b, ja R(x) = ( γ)ax ax + b( γ) A a 2 ( γ) (x) = (ax + b( γ)) 2 ja R ( γ) 2 ab (x) = (ax + b( γ)) 2. Esimerkki: Tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: Päättäjän hyötyfunktio on eksponentiaalinen u(x) = e ax ja sijoituksen tuotto on normaalisti jakautunut jakaumanaan N(µ,σ 2 ). Pyritään nyt määrittämään se preemio M > 0, jolla ehto E[u(x)] = u(µ M) toteutuu. Tämä tasapainoehto voidaan tämän esimerkin tapauksessa esittää muodossa e aµ+a2 σ 2 /2 = e aµ+am, josta puolestaan seuraa, että M = aσ 2 /2. Koska a mittaa kuitenkin eksponentiaalisen hyödyn tapauksessa absoluuttista riskinkaihtamista nähdään, että preemio on tässä tapauksessa identtinen pienen additiivisen satunnaisperturbaation tapauksessa ilmenevän preemion kanssa. Syynä tähän havaintoon on luonnollisesti se, että N(µ,σ 2 )-jakautunut satunnaismuuttuja x voidaan aina esittää muodossa x µ + σy, missä Y N(0,). Tällöin x voidaan siis tulkita keskiarvon µ additiivisena satunnaisperturbaationa...4 Riskin kaihdanta ja vakuutus Tarkastellaan lyhyesti taloudellista riskiteoriaa yksinkertaisen esimerkin valossa. Oletetaan, että päättäjä kohtaa mahdollisen vakuutettavissa olevan riskin, joka realisoituessaan alentaa päättäjän hyvinvointia L yksikön verran. Oletetaan, että riskin realisoitumistodennäköisyys on κ ja määritellään päättäjän varallisuus muodossa { w qz tn:llä κ W = w L + z qz tn:llä κ, missä w on päättäjän perusvarallisuus, q on vakuutuksen yksikköhinta ja z on vakuutusta kysytty määrä. Oletetaan myös, että päättäjän hyötyfunktio u(x) on kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva, monotonisesti kasvava sekä aidosti konkaavi (jolloin päättäjä on siis riskiä kaihtava). Annettuna nämä oletukset tarkastellaan odotetun hyödyn maksimointiongelmaa Ensimmäisen kertaluvun ehto on nyt muotoa max [( κ)u(w qz) + κu(w L + z qz)]. z R ( κ)qu (w qz ) = κ( q)u (w L + z qz ) Jos vakuutus on "oikeudenmukainen"(actuarially fair), yhtyy vakuutuksen yksikköhinta riskin toteutumistodennäköisyyteen, jolloin q = κ. Tällöin edellä mainittu ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehto voidaan esittää muodossa u (w κz ) = u (w L + z κz ) z = L. Ts. päättäjän kannalta täysi vakuutus on optimaalinen. 8

14 Esimerkki: Tarkastellaan tilannetta, jossa päättäjän hyötyfunktio on logaritmista muotoa u(x) = ln x ja w > ql. Tällöin kuvaukselle pätevät ehdot ja f(z) = ( κ)ln(w qz) + κ ln(w L + z qz) f (z) = κ( q) ( κ)q w L + ( q)z w qz f κ( q) 2 ( κ)q2 (z) = (w L + ( q)z) 2 (w qz) 2. Erityisesti siis nähdään, että optimaalinen määrä vakuutusta on z = (κ q)w ( q)q + κ q L. On syytä huomata, että edellä tarkasteltu malli olettaa, ettei taloudellinen päättäjä voi omilla toimillaan tai käytöksellään vaikuttaa riskin realisoitumiseen. Ongelman yleistämiseksi oletetaan, että päättäjällä on mahdollisuus vaikuttaa riskiin realisoitumistodennäköisyyteen κ valitsemalla rahayksiköissä ilmaistu henkilökohtainen suojaus x, jolloin riskin realisoitumistodennäköisyys on siis κ(x). Mikäli vakuutus- yhtiö pystyy havaitsemaan tämän henkilökohtaisen suojautumisen asteen generoiman riskin realisoitumistodennäköisyyden κ(x) ja vakuutus on oikeudenmukainen eli q = κ(x), huomataan, että päättäjän varallisuus tulee muotoon { w x κ(x)z tn:llä κ(x) W = w L x + z κ(x)z tn:llä κ(x). Annettuna nämä oletukset tulee päättäjän odotetun hyödyn maksimointiongelma muotoon max [( κ(x))u(w x κ(x)z) + κ(x)u(w L x + z κ(x)z)]. (z,x) Ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehdot ovat nyt muotoa κ(x )( κ(x ))[u (w L x + z κ(x )z ) u (w x κ(x )z )] = 0 () κ (x )(u(w ) u(w 2 )) ( + κ (x )z )(κ(x )u (w ) + ( κ(x ))u (w 2 )) = 0, (2) missä w = w L x + z κ(x)z ja w 2 = w x κ(x)z. Optimaalisuusehdosta () seuraa suoraan, että mikäli κ(x) (0, ) on täydellinen, on vakuuttaminen optimaalista. Ts. mikäli κ(x) (0, ), niin silloin z = L, jolloin w = w 2. Sijoittamalla tämä tulos optimaalisuusehtoon (2) saadaan + κ (x )L = 0. Tuloksen luonne muuttuu kuitenkin dramaattisesti, mikäli vakuuttaja ei kykene havainnoimaan täsmällisesti riskin realisoitumistodennäköisyyttä κ(x) (katso esim. Laffont 989, kappale 8)..2 Lineaarinen hinnoittelu ja arbitraasi Ennen dynaamiseen valinnan teoriaan siirtymistä on tarkoituksenamme nyt kehittää yleinen hinnoitteluteoria arbitraasivapauden vallitessa. Tätä tarkoitusta varten tarkastellaan yksinkertaista tilannetta, jossa epävarmuus esitetään s:n vaihtoehtoisen tilan avulla (ns. äärellistilainen malli). Jos taloudessa on n arvopaperia, niin niiden mahdollisia tuottoja kuvataan matriisilla d d 2... d s d 2 d d 2s D = R n s. d n d n2... d ns Ts. d ij voidaan tulkita i:nnen arvopaperin arvoksi tilassa j. Erityisesti siis tuottomatriisin D rivi D k = (d k,d k2,...,d ks ) voidaan tulkita k:nnen arvopaperin vaihtoehtoisten tuottojen generoimaksi vektoriksi. Arvopaperisalkku (tai sijoitusportfolio) on vektori θ R n, jossa komponentilla θ i viitataan i:nnen 9

15 arvopaperin määrään sijoitussalkussa. Tällöin huomataan, että jos vallitsevat arvopapereiden hinnat ovat P R n niin salkun hinta on P θ R ja vaihtoehtoisiin tiloihin ehdollistettu (ja siten siis satunnainen) tuotto on n j= θ jd j n D T j= θ = θ jd j2. Rs. n j= θ jd js Ennen kuin etenemme tarkastelussa, tehdään seuraava lineaarialgebrasta tuttu määritelmä: Määritelmä: Vektoriavaruuden R n luonnollinen (tai kanoninen) ortonormaalikanta L(e,...,e n ) koostuu vektoreista e k = (δ k,...,δ nk ), missä { i = j δ ij = 0 i j. Tällöin esimerkiksi reaaliavaruuden R 3 luonnollisen kannan L(e,e 2,e 3 ) muodostavat kantavektorit e T = (,0,0),e T 2 = (0,,0) ja e T 3 = (0,0,). On syytä huomata, että tuottoavaruuden R s luonnollisen kannan vektorit e k, k =,...,s, tunnetaan rahoituksen teoriassa alkeistila-arvopapereina, sillä ne generoivat tuoton joka realisoituu pelkästään yhdessä tilassa. On myös syytä pitää mielessä, ettei vektoriavaruuden kanta (eikä myöskään ortonormaali kanta) ole yksikäsitteisesti määritelty, vaan mikä tahansa kokoelma L(X,...,X n ) lineaarisesti riippumattomia vektoreita X k R n, k =,...,n, riittää virittämään R n :n. Annettuna edellä tehty määritelmä huomataan, että valitsemalla sijoitusportfolioksi θ = e j saadaan aikaiseksi tuotto D T θ = D T e j = D T j, jonka hinta on muotoa P e j = P j. Tämä tulos voidaan nyt luonnollisesti tulkita siten, että tuoton D j hinta on kuvaus p : R s R, jolle pätee ehto p(d j ) = P j. Koska tuotto D j R s voidaan puolestaan esittää vektoriavaruuden R s luonnollisen kannan avulla muodossa D j = s d jk e k, huomataan, että edellä johtamallemme hinnoittelutulokselle pätee ehto ( s ) P e j = P j = p d jk e k. k= Mikäli ns. yhden hinnan laki (jonka mukaan hinnoittelu on lineaarinen operaatio ja siten tuottojen summien arvo on niiden arvojen summa) on voimassa, niin silloin edellisestä seuraa, että k= s P e j = P j = d jk p(e k ), k= j =,...,n, joka voidaan yhtäpitävästi esittää vektorimuodossa P = Dp, missä p T = (p(e ),...,p(e s )) on alkeistilasopimusten hintojen muodostama vektori. Annettuna nämä tekijät esitetään seuraava määritelmä: Määritelmä: Arbitraasi tai yleisesti ottaen arbitraasimahdollisuus on sijoitusportfolio θ R n, jolle pätevät joko ehdot P θ 0 ja (D T θ) k = n j= θ jd jk > 0, k =,...,s, tai ehdot P θ > 0 ja (D T θ) k = n j= θ jd jk 0, k =,...,s. Markkinat ovat arbitraasivapaat, mikäli arbitraasimahdollisuuksia ei ole. Arbitraasi voidaan siis tulkita sijoitusmahdollisuudeksi, jossa sijoittajalla on mahdollisuus saada tuottoa ilman todellista nettoinvestointia. Toinen keskeinen tekijä on ns. tilahintavektori joka määritellään vektoriksi ψ R s +, jolle pätee ehto P = Dψ. Ensimmäinen päätulos on nyt esitetty seuraavassa: Lause.. Markkinat ovat arbitraasivapaat, jos ja vain jos on olemassa tilahintavektori. 0

16 Tämä edellä esitetty havainto on sopimusten hinnoittelun kannalta erittäin keskeinen monestakin syystä, sillä sen mukaan markkinoiden arbitraasivapauden varmistamiseksi riittää positiivisen tilahintavektorin identifiointi. Esimerkiksi edellä tekemämme tarkastelun nojalla (valitsemalla alkeistilahintojen vektori tilahintavektoriksi) havaitsemme välittömästi seuraavaa: Seurauslause.2. Jos yhden hinnan laki on voimassa ja alkeistilahinnat ovat positiivisia, niin silloin markkinat ovat arbitraasivapaat. Lauseen. avulla voidaan myös johtaa tuttu riskineutraalia arvottamista (ja siihen liittyviä riskineutraaleita markkinatodennäköisyyksiä) koskeva tulos. Täsmällisemmin ilmaistuna, jos ψ ψ R s + on tilahintavektori ja ψ 0 = s i= ψ i niin silloin yhtäsuuruudesta P = Dψ seuraa, että P i ψ 0 = s j= D ij ψ j ψ 0 E 0 [D i ] P i = ψ 0 E 0 [D i ], missä E 0 :lla viitataan "synteettisten"markkinatodennäköisyyksien ψ j /ψ 0 suhteen määriteltyyn odotusarvoon. On syytä painottaa, ettei näillä todennäköisyyksillä ole mitään tekemistä objektiivisten todennäköisyyksien kanssa. Lisäksi huomataan, että mikäli markkinat ovat arbitraasivapaat ja on olemassa portfolio θ 0 R n, jolle pätee ehto D T θ 0 = R s +, niin silloin tilahinnan määritelmän nojalla P θ 0 = ψ T D T θ 0 = ψ T = ψ 0. Tämän valossa huomataan, että ψ 0 voidaan siis tulkita riskittömäksi diskonttaustekijäksi. Annettuna arbitraasivapauden määritelmä on nyt tärkeätä myös miettiä, minkälaiset vaihtoehtoisiin tiloihin ehdollistetut tuotot ovat ylipäätään saavutettavissa jollakin mahdollisella sijoitusportfoliolla. Tätä varten tehdään seuraava määritelmä: Määritelmä: Ehdollistettu tuotto y R s on toistettavissa (suojattavissa, saavutettavissa; replicable, hedgeble, attainable), jos on olemassa sijoitusportfolio θ R n siten, että D T θ = y. Markkinat ovat täydelliset (complete), jos mielivaltainen ehdollistettu tuotto y R s on toistettavissa. On syytä huomata, että täydellisyys ja arbitraasivapaus eivät ole keskenään ekvivalentteja määritelmiä (vaikka ne usein liittyvätkin toisiinsa). Arbitraasivapailla markkinoilla ei ole mahdollista muodostaa tuottoisaa sijoitusstrategiaa ilman todellista nettoinvestointia (markkinoilla ei saa olla vapaita lounaita). Täten arbitraasivapaus liittyy oleellisesti siihen, minkälaisia hintoja markkinoilla voi vallita. Markkinoiden täydellisyys sen sijaan edellyttää sitä, että mielivaltainen ehdollistettu (ja siten satunnainen) tuotto täytyy olla saavutettavissa oleva (riippumatta siitä, mikä sen generoivan salkun hinta on). Äärellistilaisessa tapauksessa huomataan, että markkinoiden täydellisyys liittyy kiinteästi vektoriavaruuksien kannan käsitteeseen ja sijoitusstrategioiden hintojen ja tuottojen esityksiin näiden kanta-alkioiden avulla (ottaen kuitenkin huomioon sen, ettei lineaarisen vektoriavaruuden kanta ole yksikäsitteinen). Jotta tämä huomio ei jäisi epäselväksi, oletetaan, että vaihtoehtoisia tuottoja kuvaavien vektoreiden Dj T (tuottomatriisin rivien) joukosta löytyy s kappaletta toisistaan lineaarisesti riippumatonta tuottovektoria (oletamme siis myös, että n s). Merkitään näiden toisistaan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden muodostamaa s s-matriisia merkinnällä D. Tällöin mielivaltainen vahtoehtoinen tuotto y R s voidaan siis saavuttaa portfoliolla θ = ( D ) T y R s joka lineaarisen riippumattomuuden nojalla on yhtälöryhmän D T θ = y yksikäsitteinen ratkaisu. Huomautus: (Projektiohinnoittelu) Oletetaan, että L(X,...,X s ) on mielivaltainen R s :n ortonormaali kanta (ts. X k X j = 0 aina kun j k ja X k X k = X k 2 =, k,j =,...,s). Tällöin mielivaltainen tuottovektori Dj T R s voidaan esittää kantavektoreiden avulla muodossa Dj T = s k= (DT j X k)x k. Erityisesti siis havaitaan, että P j = p(dj T) = s k= (DT j X k)p(x k ).

17 Arbitraasin hyödyntäminen käytännön sijoitustoiminnassa Todellisessa kaupankäynnissä arbitraasi esiintyy harvoin yllä esitetyssä täysin riskittömässä ideaalimuodossa. Arbitraasiksi tai tilastolliseksi arbitaasiksi kutsutaan myös hintojen välistä epäsuhtaa, jonka hyödyntäminen vaatii pääomaa ja sisältää riskin. Esimerkiksi Nokian osakkeen hinta voi olla eri (valuuttakurssit huomioon ottaen) Helsingin ja New Yorkin pörsseissä. Sijoittaja voi pyrkiä hyödyntämään tätä yhden hinnan periaatteen rikkomista ja arvioida hintaeron kaventuvan jatkossa. Selvästi tähän toimintaan sisältyy riski. Edelleen on pikemminkin poikkeus kuin sääntö, että arbitraasiehto määrää hinnan yksikäsitteisesti. Tällöin hinta voidaan määrittää odotetun hyödyn avulla. Kuuluisin esimerkki arbitraasin hyödyntämiseen perustuvan strategian riskeistä lienee Long Term Capital Management (LTCM) niminen vipurahasto (Hedge Fund). Rahasto oli toiminut perustamisestaan saakka (v. 994) erittäin kannattavasti, mutta vuoden 998 suuret tappiot olivat LTCM:n suurien vastuiden takia lähellä aiheuttaa kansainvälisen rahoitusjärjestelmän kriisin. Tapauksen mielenkiintoa lisää se, että LTCM:n palveluksessa toimi joukko huippuluokan matemaatikkoja sekä ns. taloustieteen nobelistit Scholes ja Merton. Shleifer ja Vishny julkaisivat arbitraasien riskeistä varoittavan teoreettisen artikkelin jo Optimaalinen salkun valinta Tarkastellaan nyt tapausta, jossa sijoittaja soveltaa odotetun hyödyn periaatetta optimaalisen sijoitussalkun valintaongelmaan. Optimointiongelma on nyt muotoa max E[U(x)] θ R n rajoitteena ehdot d θ = x 0 ja P θ W. Sijoittajan ongelmana on siis valita budjettirajoitteensa P θ W (jonka mukaan menot ovat pienemmät kuin tulot) puitteissa salkku θ R n siten, että hänen odotettu hyötynsä maksimoituu. Sijoituksen kokonaistuotto d θ = n i= θ id i = x oletetaan satunnaiseksi, ja rajoite x 0 tarkoittaa, että valinta tehdään vain sellaisten kohteiden joukosta, jotka takaavat vähintään nollatuoton. Tämän ongelman keskeisin implikaatio on nyt esitetty seuraavassa lauseessa: Lause.3. (Salkun valinnan lause) Oletetaan, että U(x) on jatkuva ja kasvava sekä toteuttaa ehdon lim x U(x) =. Oletetaan myös, että löytyy salkku θ 0 R n siten, että n i= θ0 i d i > 0. Tällöin optimisalkun ongelmalle löytyy ratkaisu, jos ja vain jos markkinoilla ei ole arbitraasimahdollisuuksia. Tarkastellaan optimisalkun θ R n luonnetta silloin, kun budjettirajoite on pureva (ts. θ P = W) ja kun optimaalista salkkua vastaava tuotto toteuttaa epäyhtälön x = n i= θ i d i > 0, ts. silloin kun optimaalisesta sijoituksesta saatava tuotto on varmasti positiivinen. Tällöin edellä esitetty optimointiongelma tulee muotoon [ ( n )] max E U θ i d i θ R n rajoitteena ehto θ P = W. Optimointiongelman Lagrangen funktio on nyt muotoa [ ( n )] ( ) n L(θ,...,θ n,λ) = E U θ i d i + λ W θ i P i, jolloin optimaalisuusehdot tulevat muotoon W = θ P ja [ ( n ] E U θi d i )d = λ P. i= i= On syytä huomata, että jos markkinoilta löytyy riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f ja hinta on, niin sitä vastaavasta optimaalisuusehdosta seuraa, että [ ( n [ ( n )] E U θi d i )]r f λ = 0 λ = E U θi d i r f > 0. i= 2 i= i= i=

18 Sijoittamalla tämä ehto muihin optimaalisuusehtoihin saadaan [ ( n ) ] [ ( n )] E U θi d i d k = E U θi d i r f P k P k = E[U ( n i= θ i d i) d k ] E[U ( n i= θ i d. i)]r f i= i= Vastaavasti huomataan, että kertomalla ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehto puolittain vektorilla θ tämä johtaa yhtälöön E[U (x )x ] = λ θ P = λ W. Olemme siis kyenneet osoittamaan seuraavan tuloksen: Lause.4. (Salkun hinnoitteluyhtälö) Jos x = n i= θ i d i > 0 on salkun optimointiongelman ratkaisu, niin P k = E[U (x )d k ] E[U (x )x ] W kaikille k =,2,...,n. Jos on olemassa riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f, niin P k = E[U (x ) d k ] E[U (x )]r f kaikille k =,2,...,n. Erityisesti siis huomataan, että jos on olemassa riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f, niin silloin.3. Sijoitusesimerkki r f = E[U (x )]W E[U (x ) x ]. Tarkastellaan seuraavan taulukon mukaista sijoitusesimerkkiä: Tuotto Todennäköisyys Erinomainen d p Keskinkertainen d 2 p 2 Surkea d 3 p 3 Riskitön sijoitus r f Oletetaan, että sijoittajan käytettävissä oleva pääoma on W. Tällöin riskiä kaihtavan sijoittajan optimointiongelma on max θ R 2 E[U(θ R f + θ 2 d i )] rajoitteena θ + θ 2 P i = W. Optimointiongelman Lagrangen funktio on nyt L(θ,θ 2,λ) = p U(θ r f + θ 2 d ) + p 2 U(θ r f + θ 2 d 2 ) + p 3 U(θ r f + θ 2 d 3 ) + λ(w θ θ 2 P i ), jolloin optimaalisuusehdot tulevat muotoon p d U (θ r f + θ 2 d ) + p 2 d 2 U (θ r f + θ 2 d 2 ) + p 3 d 3 U (θ r f + θ 2 d 3 ) = λp i p r f U (θ r f + θ 2 d ) + p 2 r f U (θ r f + θ 2 d 2 ) + p 3 r f U (θ r f + θ 2 d 3 ) = λ θ + θ 2 P i = W. Oletetaan nyt, että sijoittajan hyötyfunktio on logaritminen eli U(x) = ln x. Tällöin kaksi ensimmäistä optimaalisuusehtoa tulevat muotoon p (d /P i ) + p 2(d 2 /P i ) + p 3(d 3 /P i ) θ r f + θ 2 d θ r f + θ 2 d 2 θ r f + θ 2 d 3 = λ p r f p 2 r f p 3 r f + + θ r f + θ 2 d θ r f + θ 2 d 2 θ r f + θ 2 d 3 = λ, 3

19 joista yhdistämällä saadaan p (r f d /P i ) θ r f + θ 2 d + p 2(r f d 2 /P i ) θ r f + θ 2 d 2 + p 3(r f d 3 /P i ) θ r f + θ 2 d 3 = 0. Toisaalta, rajoitteesta θ + θ 2 P i = W seuraa, että Määritellään nyt vakiot θ 2 = W P i θ P i. k = R f d k P i, k =,2,3 α k = d k P i, k =,2,3. Tällöin optimaalinen sijoitusstrategia θ määräytyy yhtälöstä [ θ 2 (p + p 2 )α (p + p 3 )α 2 + (p ] 2 + p 3 )α Wθ [ p α 3 α p 2α 3 α 3 + p 3α 2 α 2 ] W 2 = 0. Tämä on tavanomainen toisen asteen polynomi, joka voidaan ratkaista soveltamalla polynomin x 2 +bx+ c = 0 juurten määritelmää. Sovelletaan näitä tuloksia eksplisiittiseen esimerkkiin elokuvateollisuudesta. Pankkiiriliike Marcellus W. & Zed harkitsee sijoittamista Quentin Teen ja hänen ystäviensä Samuel Jiin ja Harvey Koon uuteen elokuvaan. Pankkiiriliikkeen pääanalyytikko Vincent V. on havainnut, että tällainen sijoittaminen on erittäin riskipitoista ja vaihtoehtoja elokuvan menestymiselle on kolme. Vaihtoehtojen tuotot ja todennäköisyydet on esitetty seuraavassa taulukossa. On selvää, että Kokonaistuotto Todennäköisyys Megamenestys 300 % 50 % Keskinkertaisuus 00 % 0 % Floppi 0 % 40 % Riskitön sijoitus 25 % 00 % E[d i ] = =.6 = 60 %, joten sijoitus elokuvaan antaa keskimäärin selkeästi paremman tuoton kuin sijoitus varmaan sijoituskohteeseen. Jos sijoittajan hyötyfunktio on logaritminen ja P i =, niin sijoittajan salkun optimaalisuusehto tulee muotoon 0.5(.25 3).25θ + 3θ (.25 ).25θ + θ (.25 0).25θ Budjettirajoitteesta θ + θ 2 = W toisaalta seuraa, että θ 2 = W θ, jolloin optimaalisuusehto tulee muotoon θ 3W θ + W θ = 0. Tästä yhtälöstä saadaan optimaaliseksi salkun painoksi θ = W. Ts. pyöreästi % varallisuudesta W pitäisi sijoittaa riskittömään kohteeseen ja jäljelle jäävä osuus 22.2 % varallisuudesta pitäisi sijoittaa Quentin Teen ja hänen ystäviensä Samuel Jiin ja Harvey Koon uuteen elokuvaan. Pankkiiriliikkeen Marcellus W. & Zedin pääanalyytikko Vincent V. tietää toisaalta myös sen, että hän voi vaihtoehtoisesti sijoittaa Quentin Teen ja hänen ystäviensä Samuel Jiin ja Harvey Koon uuden elokuvaan levitysoikeuksiin. Tämä sijoitus tuottaa 6$ jokaista sijoitettua dollaria kohti mikäli filmi osoittautuu jättimenestykseksi. Muissa tapauksissa tuotto on 0$. Rinnakkaisia arvopapereita on nyt kolme kappaletta: elokuva itse, riskitön sijoituskohde sekä elokuvan levitysoikeudet. Merkitään tehtyjä sijoituksia nyt merkinnöillä θ,θ 2 ja θ 3. Tällöin Marcellus W. & Zedin optimointiongelma on muotoa max [p ln (θ d + θ 2 d 2 + θ 3 d 3 ) + p 2 ln (θ d 2 + θ 2 d 22 + θ 3 d 32 ) + p 3 ln (θ d 3 + θ 2 d 23 + θ 3 d 33 )], θ R 3 4 = 0.

20 missä (p,p 2,p 3 ) = (0.5,0.,0.4) ja kokonaistuottomatriisi d on muotoa d = Optimoimalla saadaan tulokseksi, että (θ,θ 2,θ 3 ) = (2.4W, 2.8W,.4W). Ts. Marcellus W. & Zed myy lyhyeksi (lyhyeksi myynti tarkoittaa tilannetta, jossa henkilö myy arvopaperin, jota ei ole vielä hankkinut. Lyhyeksi myynti perustuu olettamukseen, että kurssi putoaa ja että arvopapereita voi ostaa niiden myyntihintaa halvemmalla hinnalla. Voitto muodostuu myynti- ja ostohinnan kurssierosta.) elokuvan tuotanto-oikeuksia 2.8-kertaisesti oman varallisuutensa ja sijoittaa pääomaa sekä riskittömään sijoituskohteeseen että elokuvan levitysoikeuksiin..4 Log-optimaalinen hinnoittelu Hinnoittelukaavaa P k = E[U (x )d k ] E[U (x )x ] W voidaan tehokkaasti soveltaa eri hinnoittelukaavojen tuottamiseen. Yksi hinnoittelukaavan sovellus on seuraava: Oletetaan, että optimituotto x = n i= θ i d i > 0 on tunnettu. Määritä tätä optimia vastaavat sijoituskohteiden hinnat P i, kun U(x) = lnx ja W =. Koska nyt U (x) = /x ja U (x)x =, niin lauseesta.4 seuraa, että kaikille k {,...,n} pätevät ehdot [ ] dk P k = E. Jos tarjolla on nyt myös riskitön sijoitus, jonka tuotto on r f, niin hinnoitteluyhtälöä soveltamalla saadaan [ ] [ ] = E x r f E x =. r f Olemme siis kyenneet osoittamaan seuraavan tuloksen: Lause.5. (Log-optimaalinen hinnoittelu) Minkä tahansa tuoton d antavan sijoituskohteen hinta on [ ] d P k = E x, missä x on log-optimaalisen salkun tuotto. Erityisesti, jos tuotto d on deterministinen, sen hinta on [ ] d P k = E x = d. r f.5 Dynaamisesta hyötyteoriasta.5. Investointipäätäntä ja riskin kaihtaminen Tarkastellaan seuraavaa ns. Fisherin säästämisongelmaa. Siinä sijoittajan elämänkaari on kahden periodin mittainen (nykyisyys ja tulevaisuus). Ensimmäisellä periodilla sijoittaja voi sijoittaa sijoituskohteeseen, joka antaa varman tuoton r f (joka on myös samalla luottojen hinta) ja loput hän kuluttaa. Toisella periodilla sijoittaja vain kuluttaa. Merkitään nyt symbolilla c i periodin i kulutusta, merkinnällä y i periodin i tuloja ja merkinnällä s periodilla tehdyn sijoituksen suuruutta. Tällöin x c = y s (3) c 2 = y 2 + ( + r f )s. (4) 5

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali?

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Taloustieteiden kvantitatiiviset menetelmät Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 1 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 ) 2 E. VALKEILA 1. Johdanto 1.1. Käytännöt. Kurssin kotisivu löytyy osoitteesta http://www.math.hut.fi/teaching/rahoitus/ Kurssi suoritetaan kahdella välikokeella; luennot ja seuraavan viikon harjoitustehtävät

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Korkojen aikarakenne

Korkojen aikarakenne Korkojen aikarakenne opetusnäyte: osa kuvitteellista Raha- ja pankkiteorian aineopintojen kurssia Antti Ripatti Taloustiede 4.11.2011 Antti Ripatti (Taloustiede) Korkojen aikarakenne 4.11.2011 1 / 30 2003),

Lisätiedot

E A [u] = 0.5 20 % + 0.5 8 % = 14 %, E B [u] = u = 15 %.

E A [u] = 0.5 20 % + 0.5 8 % = 14 %, E B [u] = u = 15 %. von Neumann & Morgenstern -hyötyteoria Esimerkki: Hallituksella on kaksi mahdollista talouspolitiikkaa, A ja B. Politiikka A tuottaa 20 %:n työttömyysasteen todennäköisyydellä 1/2 ja 8 %:n työttömyysasteen

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Millaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet

Millaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet Millaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 20.3.2013 Antti Ripatti (HECER) fipon kerroin 20.3.2013 1 / 1 Johdanto Taustaa Finanssipolitiikkaa ei

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. (a) Päätöspuu on matala, jos mitään sattumasolmua ei välittömästi seuraa sattumasolmu eikä mitään päätössolmua

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Taloustieteiden tiedekunta Opiskelijavalinta 07.06.2005 1 2 3 4 5 YHT Henkilötunnus

Taloustieteiden tiedekunta Opiskelijavalinta 07.06.2005 1 2 3 4 5 YHT Henkilötunnus 1 2 3 4 5 YHT 1. Selitä lyhyesti, mitä seuraavat käsitteet kohdissa a) e) tarkoittavat ja vastaa kohtaan f) a) Työllisyysaste (2 p) b) Oligopoli (2 p) c) Inferiorinen hyödyke (2 p) d) Kuluttajahintaindeksi

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti)

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti) ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus 5 (Koetentti) Ratkaisuehdotuksia. Öljy-Yhtiö Oy on tehnyt herra K.:n maapalasta ostotarjouksen 200kC. Herra K. voi joko myydä maapalan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Hintadiskriminaatio 2/2

Hintadiskriminaatio 2/2 Hintadiskriminaatio 2/2 Matti Hellvist 12.2.2003 Toisen asteen hintadiskrimiaatio eli tuotteiden kohdennus Toisen asteen hintadiskriminaatio toimii tilanteessa, jossa kuluttajat ovat keskenään erilaisia

Lisätiedot

Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka

Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable)

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate.

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate. KANSANTALOUSTIETEEN PERUSTEET Yrityksen teoria (Economics luvut 13-14) 14) KTT Petri Kuosmanen Optimointiperiaate a) Yksilöt pyrkivät maksimoimaan hyötynsä. * Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja

Lisätiedot

Hanken Svenska handelshögskolan / Hanken School of Economics www.hanken.fi

Hanken Svenska handelshögskolan / Hanken School of Economics www.hanken.fi Sijoittajan sanastoa Pörssisäätiön sijoituskoulu VERO 2014 Prof. Minna Martikainen Hanken School of Economics, Finland Sijoitusmaailman termistö ja logiikka, omat toimet ja näin luen. SIJOITUSMAAILMAN

Lisätiedot

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla Commerzbank AG Saksan toiseksi suurin pankki Euroopan johtavia strukturoitujen tuotteiden liikkeellelaskijoita Yli 50 erilaista tuotetyyppiä listattuna Saksan

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

Kysyntä (D): hyötyfunktiot, hinta, tulot X = X(P,m) Tarjonta (S): tuotantofunktiot, hinta, panoshinta y = y(p,w)

Kysyntä (D): hyötyfunktiot, hinta, tulot X = X(P,m) Tarjonta (S): tuotantofunktiot, hinta, panoshinta y = y(p,w) 4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Kysyntä (D): hyötyfunktiot, hinta, tulot X = X(P,m) Tarjonta (S): tuotantofunktiot, hinta, panoshinta y = y(p,w) Markkinat tasapainossa, kun löydetään

Lisätiedot

Käy kauppaa RBS minifutuureilla FIM Direct Pro -palvelulla

Käy kauppaa RBS minifutuureilla FIM Direct Pro -palvelulla Käy kauppaa RBS minifutuureilla FIM Direct Pro -palvelulla Kaupankäynti RBS minifutuureilla on kasvanut voimakkaasti viimeisen kahden vuoden aikana. Haluamme tällä lyhyellä oppaalla lisätä ymmärrystä näihin

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot