ESPOO 2003 VTT PUBLICATIONS 501. Heikki Marjamäki. Siirtymäperusteisen elementtimenetelmäohjelmiston suunnittelu ja ohjelmointi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ESPOO 2003 VTT PUBLICATIONS 501. Heikki Marjamäki. Siirtymäperusteisen elementtimenetelmäohjelmiston suunnittelu ja ohjelmointi"

Transkriptio

1 ESPOO 2003 V PUBLICAIONS 501 Heikki Marjamäki Siirtymäperusteisen elementtimenetelmäohjelmiston suunnittelu ja ohjelmointi

2

3 V PUBLICAIONS 501 Siirtymäperusteisen elementtimenetelmäohjelmiston suunnittelu ja ohjelmointi Heikki Marjamäki V uotteet ja tuotanto

4 ISBN (nid.) ISSN (nid.) ISBN (URL: ISSN (URL: Copyright V 2003 JULKAISIJA UGIVARE PUBLISHER V, Vuorimiehentie 5, PL 2000, V puh. vaihde (09) 4561, faksi (09) V, Bergsmansvägen 5, PB 2000, V tel. växel (09) 4561, fax (09) V echnical Research Centre of Finland, Vuorimiehentie 5, P.O.Box 2000, FIN V, Finland phone internat , fax V uotteet ja tuotanto, ekniikankatu 1, PL 1307, AMPERE puh. vaihde (03) , faksi (03) V Industriella System, ekniikankatu 1, PB 1307, AMMERFORS tel. växel (03) , fax (03) V Industrial Systems, ekniikankatu 1, P.O.Box 1307, FIN AMPERE, Finland phone internat , fax oimitus Maini Manninen Otamedia Oy, Espoo 2003

5 Marjamäki, Heikki. Siirtymäperusteisen elementtimenetelmäohjelmiston suunnittelu ja ohjelmointi [he design and programming of displacement based finite element software]. Espoo V Publications s. + liitt. 2 s. Avainsanat finite element method, finite element analysis, calculations, displacement, design, working machines, stability, strength, structural analysis, computer software, models, computer programs iivistelmä ässä työssä laadittiin siirtymäperusteinen elementtimenetelmäohjelmisto, jolla voidaan analysoida työkoneiden rakenteita sekä tehdä myös työkoneiden vakavuustarkasteluja. Ohjelmistolla voidaan laskea lineaarisen statiikan, lineaarisen stabiilisuusteorian sekä geometrisesti epälineaarisen statiikan tehtäviä. Lisäksi nykyisessä ohjelmaversiossa on epälineaarisen dynamiikan ratkaisija. Itse ohjelmisto on toteutettu käyttäen perinteisiä ohjelmointikieliä. Mallinnettavan rakenteen parametrinen geometria, kuormitukset, osien massat ja muut lähtöarvotiedot syötetään käyttäen taulukkolaskentakontrollia, joka mahdollistaa räätälöityjen syöttötietojen antamisen. Kolmiulotteinen mallinnus ja työkoneen visualisointi toteutettiin käyttäen kaupallista grafiikkakirjastoa. Koska lähdekirjallisuudesta ei sellaisenaan löydy työssä käytettyjä elementtejä eikä laskentamenetelmää, on raportissa esitetty laskennassa käytettäviä elementtejä ja menetelmää yleisesti. Elementeistä esitellään sauva-, palkki-, levy-, kuori- ja solidielementtien lisäksi offset-, kytkentä- ja liukujousipalkkielementti. Lisäksi käsitellään lyhyesti hydraulijärjestelmän mallinnusta. Ratkaisualgoritmeista esitellään statiikan, lineaarisen stabiilisuusteorian, dynamiikan sekä hydromekaanisen dynamiikan ratkaisijoiden periaatteet. Koska epälineaarisen dynamiikan laskentamallista syntyvä differentiaaliyhtälöryhmä ratkaistaan ilman algebrallisia sidosehtoja, niin ratkaisualgoritmista on saatu verrattain nopea. Lisäksi hydraulisylintereiden vaikutukset kokonaisjoustoon saadaan mallinnettua suoraan. Kehitetty laskentaohjelmisto on otettu suunnittelukäyttöön yhteistyöyrityksissä. Lisäksi ohjelmalla saatavia laskentatuloksia on vertailtu lukuisiin työkoneista mittaamalla saatuihin tuloksiin. Laskentaohjelmaan perehtyneet ovat pitäneet sitä helppokäyttöisenä ja erityisesti samaan tuoteperheeseen kuuluvan työkoneen 3

6 laskenta on nopeutunut huomattavasti. Ohjelmiston käytöllä voidaan vähentää laskentaan liittyvää rutiinityötä, jolloin laskennan virhemahdollisuudet pienenevät. Edelleen ohjelmalla voidaan tarkastella työkoneen asentoja, joita perinteisessä laskennassa ei ole laskennan raskauden vuoksi tarkasteltu. Ohjelmiston käytöstä on ollut seurauksena suunnittelutyön laadun parantuminen, suunnittelukustannusten pienentyminen ja laitteiden käyttöturvallisuuden parantuminen. Simulaatiotuloksia on voitu käyttää esimerkiksi käyttölujuustarkastelujen pohjana. Edelleen laskennan tuloksia voidaan käyttää reuna- ja alkuehtoina mallinnettaessa jokin koneen yksityiskohta tarkemmin. 4

7 Marjamäki, Heikki. Siirtymäperusteisen elementtimenetelmäohjelmiston suunnittelu ja ohjelmointi [he design and programming of displacement based finite element software]. Espoo V Publications p. + app. 2 p. Keywords finite element method, finite element analysis, calculations, displacement, design, working machines, stability, strength, structural analysis, computer software, models, computer programs Abstract In this research, the use of the finite element analysis in calculation of stability and the strength of working machines was studied. Also a computer software for structural analysis was developed. he strength and stability calculations are based on the two- and three-dimensional non-linear finite element analysis. he computer aided stability and strength calculation software is especially helpful when designing working machines. Due to its ease of use for end users more calculation cases can be studied. Also, more reliable and accurate calculation results are obtained. he software will, therefore, certainly increase the safety level and efficiency in designing working machines. Additionally, it can be integrated with the internal practices of the design company. 5

8 Alkusanat ämän tutkimuksen lähtökohtana oli viime vuosina sattuneet lukuisat työkoneen kaatumisesta tai rakenteen pettämisestä johtuneet työtapaturmat. utkimuksen oletuksena on, että tapaturmia voidaan tulevaisuudessa vähentää, mikäli työkonevalmistajilla on käytössään elementtimenetelmään perustuva tietokoneavusteinen laskentaohjelmisto, jolla voidaan monipuolisesti tarkastella ennakoitavissa olevia työkoneen käyttö- ja virhetilanteita. utkimuksen pääasiallinen rahoittaja oli yösuojelurahasto, ja tutkimustyö toteutettiin V:n uotteet ja tuotanto -tutkimusyksikössä. utkimuksen vastuuhenkilönä toimi V:ssa tutkija Heikki Marjamäki ja toteutuksessa mukana olivat tutkimusharjoittelijat Mirve Liius sekä eemu Nevaharju. Kiitän rahoittajaa ja kaikkia tutkimuksen toteutukseen osallistuneita henkilöitä pitkämielisyydestä sekä sujuvasta yhteistyöstä. ahdon tässä vielä lisäksi kiittää Y:n eknillisen mekaniikan ja optimoinnin laitoksen henkilökuntaa mielenkiinnosta työtäni kohtaan ja erityisesti tutkija Jari Mäkistä, joka on antanut mekaniikkaa koskevan tietämyksensä hankkeen käyttöön ja usein ohjannut ajatuksiani oikeaan suuntaan. Lisäksi haluan lausua kiitokseni professori apio Salmelle ja professori Markku uomalalle niistä arvokkaista neuvoista ja ohjeista koskien tämän kirjoituksen ulkoasua, sisältöä sekä merkintöjä. Viialassa maaliskuussa 2003 Heikki Marjamäki 6

9 Sisällysluettelo iivistelmä... 3 Abstract... 5 Alkusanat... 6 Symboliluettelo Johdanto Ohjelmoinnin aloittaminen yön sisältö eoria Linearisointi Virtuaalisen työn periaate Vapausastemittausjärjestelmän muuttaminen Hyperkimmoinen materiaali Matriisin tai tensorin jäljen linearisointi Matriisin determinantin linearisointi Käänteismatriisin linearisointi Käänteistensorin derivaatta Materiaalin kimmoenergiatiheys Jännitysten laskenta Jännitysten ja muodonmuutosten väliset linearisoidut yhteydet Elementtien mallinnus Pituuttaan muuttava sauvaelementti Epälineaarinen tasopalkkielementti Offset-palkkielementti Liuku-jousipalkkielementti Kaksoisliuku-jousipalkkielementti Offset-liuku-jousipalkkielementti Offset-kaksoisliuku-jousipalkkielementti Kytkentäelementti Avaruuspalkkielementti

10 3.9.1 Lineaarinen Euler-Bernoulli-palkkielementti Epälineaarinen avaruuspalkkielementti Levyelementti Kuorielementti ri-lineaarinen solidielementti Kuituvahvisteinen solidielementti Paineen aiheuttama ekvivalenttinen solmukuormitus Hydraulisylinterin mallintaminen Hydraulipumpun mallinnus Hydrauliputkiston mallinnus Laskentamallin ratkaisu Staattinen analyysi Lineaarinen stabiilisuusanalyysi Laskentamallin dynamiikan ratkaiseminen Hydromekaanisen laskentamallin ratkaiseminen Ohjelmointi yökalut Olio-ohjelmointi Olio ja luokka Abstrakti luokka Oliojoukko Geometrian mallinnus Pisteet Viivat Pinnat ilavuudet Laskentaesimerkki ulokset Verifiointi Verifiointiongelman esitystapa Verifiointiesimerkki

11 9. Yhteenveto Lähdeluettelo Liitteet A: Kolmiulotteisen muuttuvapoikkileikkauksisen palkin jäykkyysmatriisi B: Kolmiulotteisen muuttuvapoikkileikkauksisen palkin massamatriisi 9

12 Symboliluettelo Skalaarisuureet A 0 poikkileikkauksen pinta-ala alkutilassa A s poikkileikkauksen tehollinen pinta-ala E kimmokerroin G liukumoduuli I poikkileikkauksen neliömomentti I 1, I 2, I 3 muodonmuutostensorin pääinvariantit J muodonmuutoskuvauksen Jacobiaani, J = det(f), hitausmomentti det J geometrisen kuvauksen Jacobin matriisin determinantti K,B materiaalin kokoonpuristuvuuskerroin N poikkileikkauksen normaalivoima Q tilavuusvirta V 0 tilavuus siirtymättömässä tilassa W 1 ja W 2 Mooney-Rivlin materiaaliparametrit p hydrostaattinen paine s pituuskoordinaatti t kerrospaksuus, aika ε insinöörivenymä ϕ kimmoenergiatiheys ϕ d kimmoenergiatiheyden muodon vääristymisestä aiheutuva osa ϕ b kimmoenergiatiheyden hydrostaattisesta paineesta aiheutuva osa γ liukuma λ kuormituskerroin tai matriisin ominaisarvo ρ tiheys θ kuituvahvisteen suuntakulma tai palkkielementin kulma ν Poissonin luku σ E poikkileikkauksen keskimääräinen normaalijännitys ξ, η, ζ emoelementin koordinaatit Matriisi- ja tensorimerkinnät e i ykkösvektori suuntaan i k t elementin tangentiaalinen jäykkyysmatriisi u siirtymäkenttä tai solmusiirtymävektori u e elementin solmusiirtymät v toinen siirtymäkenttä tai solmunopeusvektori f kuvaus kahden normiavaruuden X ja Y välillä B nl venymien ja siirtymien välinen kinemaattinen matriisi C oikeanpuolinen Cauchy-Green muodonmuutostensori D 2 tangentiaalisen konstitutiivisen tensorin matriisiesitys tangentiaalinen konstitutiivinen neljännen kertaluvun tensori D 4 10

13 E E 1 F q i, F int F cent I M S S 1 S f X x Green-Lagrange muodonmuutostensori Green-Lagrange muodonmuutostensorin vektoriesitys deformaatiogradientti elementin solmuihin vaikuttavat sisäiset voimat elementin solmuihin vaikuttavat nopeudesta riippuvat hitausvoimat identiteettitensori tai identiteettimatriisi neljännen kertaluvun identiteettitensori elementin tai laskentamallin massamatriisi toinen Piola-Kirchhoff jännitystensori, PK2-tensori toisen Piola-Kirchhoff jännitystensorin vektoriesitys PK2-tensorin komponentit kuitusuunnassa asemavektori alkutilassa asemavektori siirtyneessä tilassa { abc } [ abc ] on pystyvektori Operaattorit f kuvaus tai funktio vektoriavaruuksien X ja Y välillä f: X Y δ variaatio eli suureen muutos (usein oletetaan pieneksi) suureen muutos (ei tarvitse olettaa pieneksi) pistetulo : kaksoiskontraktio eli tensoreiden välinen kaksoispistetulo * jokin pistetulo, joka määräytyy tehtävän luonteesta A vektorista A muodostettu vinosymmetrinen matriisi tensoritulo eli tensoreiden välinen ulkotulo vektoreiden välinen ristitulo ( ) suureen tai kuvauksen normi ( ) vektorin normi D derivointi ( ),x derivointi muuttujan x suhteen tr matriisin jälki (trace) x suureen x aikaderivaatta x suureen x toinen aikaderivaatta 11

14 12

15 1. Johdanto Liikkuvat työkoneet vastaavat Suomen teollisuustuotannon bruttoarvosta noin 3 % ja viennistä 4 %. Alueen kotimainen valmistus on merkittävää, ja se edustaa liikevaihdoltaan noin miljardia euroa vuodessa (ilastokeskus 1991). Suomessa on käytössä arviomme mukaan nostavia työkoneita noin kappaletta, joiden kanssa työskentelee satoja tuhansia työntekijöitä. Nykyisten työkoneiden rakenne on myös monimutkaistunut, ja tätä kautta vaadittavien lujuus- ja seisontavakavuuslaskelmien määrä- ja laatuvaatimukset ovat kasvaneet. yökoneen vakavuus- ja lujuustarkastelut ovat oleellinen osa suunnittelua. Pyrittäessä kevyempiin ja optimaalisempiin rakenteisiin heikentämättä rakenteen kestoikää tai turvallisuutta eivät perinteiset laskentamenetelmät enää riitä, vaan laskelmissa on otettava huomioon myös rakenteen jousto-ominaisuudet. Koska rakenteen jäykkyys muuttuu siirtymäkentän muuttuessa, niin on käytettävä epälineaarista teoriaa. Mikäli tavoitteena on edelleen kytkeä laitteen hydraulijärjestelmä mukaan, on vielä ratkaistava kytketty epälineaarinen ongelma. ällaisten laskelmien tekemiseen ei ole saatavissa valmisohjelmia. ämän työn eräänä tavoitteena oli ratkaista edellä mainitusta laskentamallista syntyvä osittaisdifferentiaaliyhtälöryhmä vapaana ääriarvoongelmana ilman algebrallisia sidosehtoja, jolloin päädytään tavalliseen differentiaaliyhtälöryhmään. ällä saavutetaan useita etuja, kuten numeerinen stabiilius, suurempi aikaaskel ja minimimäärä riippuvia muuttujia. 1.1 Ohjelmoinnin aloittaminen Motivointina ohjelmointityön aloittamiseen oli siis käytössä olevien FEMohjelmistojen kykenemättömyys kyseessä oleviin laskentatehtäviin. oisaalta omalla ohjelmistolla saavutetaan myös se etu, että valmisohjelmien vaatimia lisenssimaksuja ei tarvita. Ennen ohjelmointiin ryhtymistä olisi syytä tehdä muutamia kysymyksiä, kuten 13

16 - miksi tarvitaan uutta FEM-ohjelmistoa - kuka maksaa ohjelmointi- ja suunnittelutyön - kuka ohjelmistoa käyttää - mikä on ohjelman elinkaari - kuka ylläpitää ohjelmistoa - voisiko jostain löytyä halpa ohjelmisto, jolla voisi ratkaista kyseessä olevat tehtävät. Lisäksi on syytä miettiä, onko kustannuksissa mukana - ohjelmiston suunnittelu - tarvittava koulutus, jotta ohjelmointityö saadaan tehtyä - ohjelmointityökalujen ja komponenttien valinta - geometrian mallinnus - eri elementtien tangenttioperaattoreiden johtaminen - tehtävän ratkaisijoiden ohjelmointi - ohjelman antaman tulostiedon suunnittelu - ohjelmiston vaatima verifiointi - ohjelmistoon liittyvä verifiointitehtävien kuvaus - elementtien kuvaus - ohjelmiston asennuksen ja käyttöönoton suunnittelu - käyttöohjeet. 1.2 yön sisältö yössä esitetään aluksi virtuaalisen työn periaate, jonka pohjalta lujuusopin elementtien johto on tehty. Seuraavaksi on esitetty vapausastemittausjärjestelmän vaihto, jota tarvitaan erilaisten erityiselementtien, kuten offset-palkkielementin yhtälöiden johtamisessa. Esitys on johdettu pääosin itse. Kohdassa linearisointi on esitetty muutamia linearisointeja, joita tarvitaan hyperkimmoisen ainemallin laskennassa. Esitys perustuu lähteeseen [4]. Hyperkimmoisen materiaalin laskennasta on esitetty pääpiirteet perustuen lähteeseen [8]. Erilaisista elementeistä esitellään virtuaalisen työn periatteella johdettu pituuttaan muuttava sauva. Kaksiulotteinen palkkielementti perustuu Reissnerin kine- 14

17 maattiseen malliin [19]. Palkkielementtiä on käytetty pohjana johdettaessa erilaisia erityiselementtejä, kuten offset-palkkielementtiä. Lisäksi on esitetty teleskooppipuomin ketjuvetoa mallintava kytkentäelementti. Erityiselementit on kehittänyt tutkija Jari Mäkinen, KK ME. ässä työssä elementtien lausekkeiden johtaminen on kuitenkin tehty itsenäisesti. Kolmiulotteisesta lineaarisesta palkkielementistä on esitetty muuttuvapoikkileikkauksisen palkin jäykkyys- ja massamatriisi, koska saamieni tietojen mukaan kaikissa valmisohjelmissa ei ole tällaista palkkielementtiä. Kolmiulotteinen geometrisesti epälineaarinen palkkielementti perustuu lähteeseen [9]. Levy- ja solidielementtien johdossa on käytetty apuna lähteitä [2] ja [7]. Kuituvahvisteisen solidielementin yhteydet on johdettu itse. Kuorielementin yhtälöitä johdettaessa on muun aineiston lisäksi käytetty apuna lähteitä [1] ja [22]. Laskentamallin epälineaarisen dynamiikan ratkaisumenetelmien ohjelmoinnissa on käytetty lähteitä [5], [10], [14], [15] ja [16]. 15

18 2. eoria Kontinuumimekaniikan epälineaariset ongelmat ratkaistaan lähes poikkeuksetta linearisoimalla epälineaariset yhteydet ja ratkaisemalla iteratiivisesti syntyvät lineaariset yhteydet, kunnes jokin konvergenssikriteeri on täytetty. 2.1 Linearisointi Olkoot X ja Y täydellisiä normiavaruuksia (Banach-avaruuksia) ja f: X Y kuvaus näiden avaruuksien välillä. Olkoot edelleen S,U X. ällöin kuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä S suuntaan U on ( + ε ) ( ) lim f S U f S d D ( fs ( ))[ U] = = f( S+ ε U ) (1) ε 0 ε d ε ε 0 mikäli raja-arvo on olemassa. Jos raja-arvo on olemassa kaikilla U X ja se on lineaarinen U:n suhteen, niin sanotaan kuvauksen f olevan Gâteaux-derivoituva pisteessä S X. Jos vielä on olemassa sellainen rajoitettu lineaarikuvaus A(X,Y) siten, että kaikilla U X on voimassa ( + ) ( ) = ( ) + (, ) f S U f S A S U R S U (2) missä jäännöstermi R(S,U) toteuttaa ehdon lim U 0 (, ) R S U U = 0 (3) niin kuvauksen f sanotaan olevan Fréchet-derivoituva tai lyhyesti derivoituva pisteessä S. ermiä A(S) sanotaan kuvauksen f derivaataksi pisteessä S ja termiä A(S)*U kuvauksen linearisoiduksi muodoksi pisteessä S suuntaan U. Jatkossa linearisoitua muotoa merkitään L (; fu). 16

19 2.2 Virtuaalisen työn periaate Mekaniikan tehtävissä ratkaistavana on tavallisesti ulkoisten kuormitusten vaikutuksesta muotoaan muuttava kappalesysteemi. Perustuntemattomana on tällöin yleensä kappalesysteemin siirtymäkenttä. ällöin usein käytetty menetelmä tehtävän formuloinnissa on virtuaalisen työn periaate. Virtuaalisen työn lausekkeen δw = δw δw δw = (4) ext int acc 0 termit koostuvat ulkoisten voimien tekemästä virtuaalisesta työstä δ Wext, sisäisten voimien virtuaalisesta työstä δ Wint ja hitausvoimien δ Wacc virtuaalisesta työstä, missä miinusmerkki on valittu siten, että sisäisten voimien ja hitausvoimien tekemä työ on vastakkaismerkkinen ulkoisten voimien tekemään virtuaaliseen työhön nähden. Kun elementtimenetelmän mukainen diskretointi, interpolointi ja linearisointi on tehty, saadaan virtuaalisen työn periaatetta soveltamalla johdettua elementtien sisäiset solmuvoimat sekä tangenttioperaattorit, kuten jäykkyys- ja massamatriisit. Kinemaattiset rajoitteet voidaan hoitaa helposti, erityisesti, mikäli ne ovat holonomisia eli yhtälötyyppisiä siirtymärajoituksia. 2.3 Vapausastemittausjärjestelmän muuttaminen Kinemaattiset rajoitteet ja vapausastemittausjärjestelmän muuttaminen [21] voidaan hoitaa seuraavaksi esitettävää orjuutustekniikkaa ( isäntä-orja ) käyttäen. Perusajatus orjuutustekniikassa on esittää orjasiirtymät, jotka edustavat orjaelementin siirtymämuuttujia isäntäsiirtymien avulla [11] ja [18]. Isäntäsiirtymät ovat vapausasteita, jotka syntyvät mallinnettaessa erilaisia kinemaattisia kytkentöjä, kuten joustava translaatioliitos, jonka vapausaste kuvaa liitettyjen elementtien asemaa toisiinsa nähden mitattuna elementin keskiviivaa pitkin. Olkoon f derivoituva kuvaus kahden kytketyn siirtymämittausjärjestelmän u ja v välillä: u= f( v) (5) 17

20 missä u on orjasiirtymävektori ja v vastaava isäntäsiirtymävektori. ällöin orjasiirtymän u ja isäntäsiirtymän v välinen linearisoitu yhteys saadaan δ u= D v f( v) δ v= B( v) δ v (6) missä D v viittaa derivointiin isäntäsiirtymien v suhteen. Yhtälö (6) määrittelee kinemaattisen matriisin B(v) jonka avulla voidaan määrittää orjasiirtymien variaatiot δ u kun isäntäsiirtymien variaatiot δ v tunnetaan. Oletetaan vielä, että kinemaattisen matriisin B ranki on täysi. Koska molemmissa mittausjärjestelmissä tehty virtuaalinen työ tulee olla yhtä suuri, on vastaavien voimamittausten välillä on yhteys δw = δuf = δvf (7) u v ja vastaavien voimamittausten F v ja F u välinen yhteys saadaan sijoittamalla yhteys (6) yhtälöön (7) Fv = B F u (8) Edellä oleva yhtälö on erityisen tärkeä yhteys isäntä-orjatekniikkaa käytettäessä. Jäykkyysmatriisi mittausjärjestelmässä v saadaan linearisoimalla 4 voimamittausten välinen yhteys (8) pisteessä v 0 tai vastaavassa orja-pisteessä u0 = f( v0) suuntaan v käyttäen mittausjärjestelmään u kuuluvia voimia: L ( F ; v) = B F + B D ( F ) v+ D ( B F ) v v u0 v u v u = F + B K B v+ K v v0 u g (9) Viiva orja-mittauksen F u päällä tarkoittaa, että voimaa pidetään vakiona derivoitaessa jälkimmäistä termiä, eli derivointi kohdistuu kinemaattiseen kytkentään. Yhtälöä (9) pidämme määritelmänä materiaaliselle jäykkyysmatriisille, jonka lauseke nähdään toisesta termistä sekä geometriselle jäykkyysmatriisille K g, jonka lauseke saadaan jälkimmäisestä termistä. Massamatriisin M ja hitausvoimien vektorin F cent määritykseen tarvitaan hitausvoimien tekemää virtuaalista työtä 18

21 δw = δu ( M u) (10) acc u Derivoimalla yhtälö (5) ajan suhteen saadaan yhteys mittausjärjestelmien nopeuksien ja kiihtyvyyksien välille u = D v f( v) v = Bv u = Bv + Bv (11) Sijoittamalla yhtälö (11) yhtälöön (10) saadaan hitausvoimien virtuaalinen työ mittausjärjestelmässä v δ W acc = δv B Mu ( Bv+ Bv) ( u u ) = δ v BMBv+ BMBv (12) Massamatriisi ja hitausvoimien aiheuttama solmuvoimavektori mittausjärjestelmässä v saadaan mittausjärjestelmän u vastaavien suureiden avulla M F v cent = = B MuB B MuBv (13) On syytä huomata, että mikäli kinemaattinen matriisi B muuttuu siirtymien v funktiona, niin myös massamatriisi muuttuu siirtymien funktiona. 2.4 Hyperkimmoinen materiaali Seuraavassa esitetään muutama esimerkki suuntaan U linearisoiduista yhteyksistä, joita tarvitaan hyperkimmoisen ainemallin analysoinnissa elementtimenetelmällä Matriisin tai tensorin jäljen linearisointi d D tr ( S)[ U] = { tr ( S+ ε U) } = tr ( U) = I: U (14) d ε ε 0 19

22 2.4.2 Matriisin determinantin linearisointi d d D det det det dε ε 0 dε ε 0 { } 1 ( S)[ U] = ( S+ εu) = S( I+ εs U) d = det + d ε ε 0 1 ( S) det ( I ε S U) (15) Ottamalla käyttöön (mielivaltaisen) matriisin A ominaisarvoista λ i muodostettu karakteristisen polynomin lauseke (16) ja sijoittamalla siihen skalaariksi, λ = -1 det A A A ( λ ) = ( λ1 λ)( λ3 λ)( λ3 λ) A I (16) saadaan lausekkeesta (15) d ( )[ ] ( ) ( )( )( ) S U S U S S U = S + ελ U 1 + ελ2 + ελ3 D det det d ε ε 0 ja suorittamalla derivointi saadaan linearisoitu muoto (17) ( )[ ] ( ) S U S U S S U = det S U D det λ λ λ = det 1 ( S) tr( S U) ( S) ( S U) = det : (18) Käänteismatriisin linearisointi Koska neliömatriisin ja sen käänteismatriisin tulo on identiteettimatriisi I, niin D 1 ( )[ ] D( )[ ] S S U = I U = 0 (19) soveltamalla yhtälöön (19) tulon linearisointisääntöä saadaan 20

23 1 1 ( )[ ] D( )[ ] D S U S+ S S U = 0 (20) josta helposti saadaan käänteismatriisille ( )[ ] D 1 = 1 1 S U S US (21) Käänteistensorin derivaatta Lähdetään tensorin C ja sen käänteistensorin C -1 pistetulosta 1 C C = I (22) Derivoidaan yhteys C:n suhteen saadaan 1 1 C C + C C = 0 (23), C, C Kerrotaan yhtälö vasemmalta käänteistensorilla ja sievennetään, jolloin saadaan C C, C + C, = 0 (24) C ästä ratkaisemalla käänteistensorin derivaataksi C C = C C (25) 1 1 1, C Materiaalin kimmoenergiatiheys Hyperkimmoisen materiaalin kimmoenergiatiheys voidaan lausua oikeanpuoleisen Cauchy-Green muodonmuutostensorin C pääinvarianttien I 1, I 2 ja I 3 avulla. Muodonmuutostensori saadaan C= F F (26) missä deformaatiogradientti 21

24 dx du F= = I+ d X d X (27) Pääinvarianttien lausekkeet ovat: I I I 1 = tr ( C) = = 2 2 ( I tr( C )) 1 = 2 = CC + CC + CC CC CC CC J det ( C) (28) Erilaisia kimmoenergiatiheyden lausekkeita on useita [8], joista tähän esitykseen on valittu Mooney-Rivlin materiaalimalli. Käytetty materiaalimalli soveltuu insinöörivenymille, jotka ovat pienempiä kuin noin 100 %. Materiaalimallin kimmoenergiatiheys on muotoa 1 ϕ = ϕ ( ) ( ) ( ) 2 d + ϕb = W1 I1 3 + W2 I2 3 + K J 1 (29) 2 Kimmoenergiatiheyden lausekkeessa (29) kahdessa ensimmäisessä termissä (ϕ d ) käytetään modifioituja pääinvariantteja I = I I 1/ I = I I 2/ (30) jotka eivät huomioi materiaalin kokoonpuristuvuutta, vaan ainoastaan muodon vääristymistä. Kokoonpuristuvuus huomioidaan viimeisessä termissä, jossa kerroin K on materiaalin kokoonpuristuvuuskerroin. Mainittakoon vielä, että Mooney-Rivlin materiaalimallista saa niin kutsutun Neo-Hookean materiaalimallin asettamalla materiaalivakion W 2 = 0. ämä materiaalimalli soveltuu venymille, jotka ovat pienempiä kuin noin 30 %. 22

25 2.4.6 Jännitysten laskenta Käytettäessä suurten venymien teoriaa tulee käytettyjen jännitys- ja venymämittausten olla työkonjugaatteja. ässä esityksessä käytetään Green-Lagrangen venymätensoria 1 E= ( C I ) (31) 2 ja toista Piola-Kirchhoffin jännitystensoria S, jotka ovat toistensa työkonjugaatteja. Materiaalin jännitystensori saadaan derivoimalla kimmoenergiatiheyden lauseke (29) ϕ ϕ I1 I2 I 3 S = = 2 = 2A1 + A2 + A3 E C C C C (32) missä A = W I 1/ A = W I 2/ J 1 A 4/3 5/ W I I 3 W I = I + K 2 J (33) Pääinvarianttien variaatiot saadaan soveltamalla kohdassa linearisointi esitettyjä yhteyksiä I : C I: C C 1 δi1 = δ = δ I2 δi2 = : δc= ( I1I C) : δc C I : C C : C C 3 1 δi3 = δ = I3 δ (34) Käyttämällä hydrostaattiselle paineelle yhteyttä 23

26 ( 1) p= K J (35) saadaan jännitystensorin lausekkeeksi 1 1/2 1 ϕd ϕb S= B1I+ B2C+ B3C pi3 C = + E E (36) missä B = 2W I + 2W I I B 1/3 2/ = 2W I 2/ B = WI I WI I 3 3 1/3 2/ (37) Jännitysten ja muodonmuutosten väliset linearisoidut yhteydet Laskettaessa elementtien jäykkyysmatriiseja tulee olla käytössä muodonmuutoskentän C, tai itse asiassa venymäkentän E arvolla linearisoitu jännitysten ja muodonmuutosten välinen yhteys (, p) SC (, p) p 4 p C : : (38) δ SC S= δc+ δ = D δe+ Gδ p Derivoimalla jännitystensorin S lauseketta (36) saadaan: ermi B 1 I B1 2 1/ /3 1 2/3 I = WI 1 3 I C WI 2 3 I1I C + 2WI 2 3 I I C /3 4 2/3 1 2/3 = WI 1 3 WI 2 3 I1I C + ( 2WI 2 3 ) I I 3 3 (39) 24

27 ermi B 2 C B 4 C C C C 3 2 2/3 1 = WI 2 3 (40) B C = 2W I C 2/ ermi B 3 C -1 B /3 1 1/ /3 1 2/3 2/3 = W1 I3 I1C + I3 I W2 I3 I2C + I3 I1I I3 C C / /3 8 2/ /3 4 2/3 = WI 1 3 I1C WI 1 3 I+ WI 2 3 I2C WI 2 3 I1I+ WI 2 3 C /3 8 2/3 1 4 = WI 1 3 I1+ WI 2 3 I2C + WI 2 4 2/3 1/3 2/ WI 1 3 WI 2 3 I C I 3 3 (41) eli 1 B3 2 1/3 8 2/ /3 1 C = WI 1 3 I1+ WI 2 3 I2C C + WI 2 3 C C C /3 4 2/3 1 + WI 1 3 WI 2 3 I1C I 3 3 (42) ja 1 C 2 1/3 4 2/ = C C B W I I W I I C 3 3 (43) Painetermi 25

28 ( pi ) 1/2 ( pi3 ) 1 C = pi C C C 2 1 1/ /2 C 1/ = p I3 C C (44) C S = I p C 1/2 1 3 Kokoamalla edellä lasketut termit saadaan neljännen kertaluvun konstitutiiviselle tensorille ortonormeeratussa kannassa komponenttiesitys ( δ δ ) ( ik jl il jk ) δδ ij kl 1 1 ( δikδ jl δilδ jk ) ( ij kl ij kl ) D = FC C + F C + C ijkl 1 ij kl 2 ij kl ij kl + F C C + C C + F F + + F C C + C C 5 6 (45) missä 4 16 F = WI I + WI I pi /3 8 2/3 F2 = WI 1 3 W2I3 I F = WI I+ WI I + pi 3 3 F = 4W I 1/3 2/3 1/ /3 2/3 1/ / F = 2W I 2/ F = W I 3 1/ (46) Vastaava indeksiesitys painetermille on muotoa G ij = JC 1 ij (47) Saatu tulos on sama kuin lähteessä [8], vaikka välimuodot eivät ole yhtenevät. Lähteen välimuodoissa on kuitenkin virheitä. 26

29 3. Elementtien mallinnus ässä luvussa esitetään eräiden rakenne-elementtien sisäisten voimien, tangenttijäykkyyden sekä massamatriisin lausekkeita. Esitettävien elementtien valinta perustuu lähinnä siihen, että lausekkeita ei välttämättä löydy lähdekirjallisuudesta. oisaalta lausekkeiden johtaminen on hyvin työlästä ja virhealtista. 3.1 Pituuttaan muuttava sauvaelementti Kuvassa 1 on esitetty pituuttaan muuttava ja kääntyvä sauvaelementti, joka on mahdollisimman yksinkertainen elementti hydraulisylinterin toiminnan mallintamiseen. Elementin kinematiikka perustuu insinöörivenymän käyttöön. Edelleen sauvan jännitysten ja venymien välisen yhteyden oletetaan noudattavan Hooken lakia. Sauvan kuormittamaton pituus L c muuttuu ajan funktiona. Sauvan vastaava deformoitunut pituus on L n. y L n u 4 Y 2 u 2 u 3 Y 1 u 1 L 0 X 1 X 2 x Kuva 1. Pituuttaan muuttavan sauvaelementin alkutila (katkoviiva) ja deformoitunut tila (yhtenäinen viiva). 27

30 Sauvan alkutilan deformoitumatonta tilaa mitataan asemavektorilla = XYXY u = uuuu X { } ja deformaatiota solmusiirtymävektorilla { } kuvan 1 mukaisesti. Sauvan jännityksetön pituus ajan hetkellä t saadaan yhteydestä Lc = L0 + L() t (48) missä L 0 sauvan pituus alkutilassa ja L(t) pituuden muutos, joka siis on ajan funktio. Sauvan pituuden neliö deformoituneessa tilassa on ( ) ( ) L = X+ u A X+ u = x Ax. (49) 2 n missä symmetrinen matriisi A on A = (50) ja x on deformoituneen tilan asemavektori. Sauvan jäykän kappaleen liikkeestä riippumaton insinöörivenymä määritellään elementille 2 2 Ln Ln Lc ε = 1 = L L L L ( + ) c c c n (51) missä jälkimmäinen muoto on numeerisessa laskennassa stabiilimpi. Sauvan sisäisten solmuvoimien vektorin johtamiseksi tarvitaan sauvan venymän ensimmäinen variaatio δ L 1 = = xa u= B u (52) L L L n δε δ δ c c n missä B on kinemaattinen matriisi virtuaalisten siirtymien δ u ja virtuaalisten venymien δε.välillä. Summaamalla sauvan normaalijännitysten σ E tekemä vir- 28

31 tuaalinen työ elementin tilavuuden V c yli saadaan sauvaelementin sisäisten solmuvoimien vektori Aσ A Eε q = B σ dv = A X+ u = Ax (53) ( ) 0 E 0 int E c V L c n Ln missä A 0 on sauvan alkuperäinen poikkileikkauksen pinta-ala, E on kimmomoduuli. Sauvan tangentiaalisen jäykkyysmatriisin lauseketta varten tulee sisäisten voimien lauseke linearisoida suuntaan u ja t L A0σ E EA0 A0σ E EA0L ( qint; u, t) = qint0 + A+ t 2 3 Axx A 2 Ln LnLc L u Ax n Lc = qint0 + kt u+ q int t (54) missä k t on tangentiaalinen jäykkyysmatriisi. Yhtälössä (54) jälkimmäistä termiä voidaan käyttää dynamiikan tehtävän aikaintegroinnissa. Massamatriisin johtamiseksi hitausvoimien tekemä virtuaalinen työ integroidaan elementin alueen yli Vc ( ) ( ) δ δ Nu ρ Nu δu ρn N u W acc = dv c = dv c = δ u ( Mu ) Vc (55) missä N elementin muotofunktioista muodostettu matriisi. Olettamalla sauvaelementti tasapaksuksi ja homogeeniseksi sekä käyttämällä lineaarisia muotofunktioita saadaan elementin massamatriisiksi m M = (56) 29

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi hum 8.0. Numeerinen integrointi Numeerisia integrointimenetelmiä on useita. Käsitellään tässä yhteydessä kuitenkin vain Gauss in integrointia, joka on elementtimenetelmän yhteydessä

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Kuorielementti hum

Kuorielementti hum Kuorelementt hum.. ämä estys e kuulu kurssvaatmuksn, vaan se on tarkottu asasta knnostunelle. arkastellaan tässä yhteydessä eaarsta -solmusta AIZ (Ahmad, Irons ja Zenkewcz, 970) kuorelementtä, jonka knematkka

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

[ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritystä kaavoista (4.20) ja

[ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritystä kaavoista (4.20) ja Elementtimenetelmän perusteet 7. 7 D-SOLIDIRAKEEE 7. ohdanto Edellä tarkasteltiin interpolointia ja numeerista integrointia emoneliön ja emokolmion alueissa. Emoelementtien avulla voidaan muodostaa vaihtelevan

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) 5 5 6 Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä.

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot