Q1: Mistä tietää varmasti että kappale on negatiivisesti varautunut?

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Q1: Mistä tietää varmasti että kappale on negatiivisesti varautunut?"

Transkriptio

1 3 HKUKOKET Testataan hangattujen kappaleiden aikutusta toisiinsa. Kissannahka/muoi ilkki/lasi Edelliset keskenään attraktiiiset: Teflon Lasi Teflon Lisäksi nähdään että kissannahka hylkii lasia ja silkki muoia. Teflon Lasi Lasi Q: Mistä tietää armasti että kappale on negatiiisesti arautunut? ) e hylkii hangattua teflonia. 30 % ) e etää puoleensa hangattua lasia. 7 % C) Tiedetään ain kun sekä että on totta. 47 % D) en paino on muuttunut, tms. 4 % Paras indikaatio on repulsiiinen oima, siis. Vaihtoehto ei ole aukoton (etooima oi olla arauksen ja neutraalin älillä). C on hyä astaus, mutta ain sana on tarpeeton. Kappaleen paino tai muu ominaisuus ei muutu haaittaissa määrin Mistä tiedetään että arausta on kahta lajia? Johtopäätös: Eriste (?) arautuu (?) hankauksessa. 2 ÄHKÖVU Q Eristeessä araus jää siihen mihin se syntyy tai siirretään. 4 JOHTEET J ETEET Varatut (hangatut) kappaleet etäät myös neutraaleita puoleensa. Tribolektrinen sarja: Johteeseen tuotu araus oi siirtyä mihin tahansa johteessa. nahka turkis lasi nylon illa silkki paperi puuilla puu meripihka polyesteri pleksi stryroksi kumi elmukelmu teflon positiiinen ei arautuminen hangatessa negatiiinen

2 5 7 Q2: Miksi hankaus araa eristeet? ) Varaus aan siirtyy mielellään aineesta toiseen. 4 % ) Kappaleet lämpeneät eri lailla ja lämpö aiheuttaa arautumista. 8 % C) Materiaalit aihtaat ainetta hankauksessa ja aineen mukana kulkeutuu arausta. 50 % D) Hankaus poistaa rasan pinnasta ja araukset pääseät siirtymään. 0 % E) Jokin muu syy. 6 % Varautumisessa arausta siirtyy kappaleesta toiseen. Hankauksessa syntyy arauksellisia hiukkasia, mutta näiden siirtymiselle ei ole selää fysikaalista syytä: kohta tässä mielessä paras aihtoehto. Hankauksen merkitys on siinä että synnyttää uusia kontaktikohtia jossa araukset oiat siirtyä ja kun pinnat liukuat astakkain, siirtynyt araus jää eristeeseen. Lisää aiheesta: electrification Miksei johteet araudu astaaalla taalla? Mahdollinen selitys: Varaukset eiät jää kontaktikohtaan, koska metallissa on apaita arauksia POLOTUME Tutkitaan mitä tapahtuu arausmittarin näyttämälle ennen kuin arattu kappale koskettaa elektrodia. Q3: Missä seuraaista tapauksista arausmittariin jää araus? ) ormea pidetään elektrodilla, araus tuodaan lähelle ja iedään pois. 4 % ) Kuten edellä, mutta sormi irroitetaan kun araus on lähellä. 7 % C) Varatulla kappaleella kosketeaan elektrodia, mutta sormi irroitetaan juuri ennen kosketusta. 65 % D) Kuten edellä mutta sormi irti kun kappale koskettaa elektrodia. 6 % E) Kuten edellä, mutta sormi edetään pois asta kun kappale on irroitettu. 4 % Kohdat ja C oat oikein. kohdassa syys on polarisoituminen. sormi 6 VUKE UUUU 8 VUTUME POLOTUMLL Varausmittarin iisari kääntyy sitä mukaa kun siihen tuodaan lisää arausta. Elektrometri: Eristetty johdekappale oidaan arata koskettamalla eristelanka Mitä tapahtuu kun aletaan tuoda toisen- Johde etää nyt astakkaista arausta puoleensa. merkkistä arausta? Eristämätön johde oi arautua koskettamatta, jos maadoitus irrotetaan silloin kun johde on polarisoitunut. Maahan johdelanka

3 9 EUTL KPPLEEEE VKUTTV ÄHKÖE VOM. Varaus etää merkistä riippumatta puoleensa arauksetonta metallikappaletta. koko kappale polarisoituu paikallinen polarisoituminen (dipolit) johde eriste ama haaitaan myös eristeellä: Pienet muoi- tai paperipalat tarttuat araukseen. yynä on polarisaatio. Johteessa araukset liikkuat johteen eri puolille, eristeessä araukset erkautuat arauspareiksi, dipoleiksi. VUKET MKOTOLL Varauksen yksikkö on C, Coulombi. uuruus määräytyy irran yksikön mukaan. ine koostuu elektroneista e ja protoneista p, joilla on yhtä suuri mutta astakkaismerkkinen araus q p = q e = e =, C eutraalissa aineessa niitä on yhtä suuret (ja altaat) määrät. Varatussa kappaleessa on enemmistö jompaa kumpaa. Varatut hiukkaset muodostaat neutraaleja atomeja, jotka on yleensä sidottu tiettyyn paikkaan. Varauksen kuljetus edellyttää apaasti liikkuia arauksia. johdinelektronit. Kupariatomi: elektroni protoni ydin 29e elektroni erho 28e Kuparimetalli: atomien araus 29e 28e=e apaa elektroni /atomi Q4: Johteeseen tuodaan Coulombin araus. Kuinka paljon sen massa muuttuu? ) 2 g ) 2 µg C) 0 8 kg D) kg E) ei lainkaan Ei käsitelty. Oikea astaus D 5 0 m 0 0 m 0 LETULOT Tulostimissa ja alokopiokoneessa käytetään hyäksi arattuja hiukkasia. laser 3 2 seleeni muste 4 5 paperi ) Kuarumpu arataan 2) Laseralo muuttaa rummun (e) sähköjohtaaksi. Varaus neutraloituu paikallisesti 3) Väriaine (arattu) leitetään 4) Väriainetta tarttuu paperiin sitä enemmän, mitä heikompi on rummun araus. 5) iksaus kuumentamalla 2 VU JOHTEE Johteessa ylimääräiset araukset pyrkiät mahdollisimman kauas toisistaan. Varaus siirtyy johteen ulkopintaan. Varausta oidaan siirtää suuret määrät sisäpinnalle, koska se siirtyy heti pois Van de Graaf -generaattori. eristelanka metalli

4 3 5 Q4: Miksi positiiisesti arattu eristekappale etää puoleensa neutraalia eristepalaa? ) eutraaliin kappaleeseen indusoituu yhtä suuri mutta astakkainen araus kuin positiiiseen kappaleeseen. 38 % ) Oleellista on että neutraalissa kappaleessa olea positiiinen araus on atomin ytimissä ja ie siksi pienemmän tilauuden. 8 % C) Oleellista on että negatiiinen araus on keyempää. iihen aikuttaa siksi erisuuri oima kuin positiiiseen. 8 % D) Oleellista on että arauksen oima toiseen araukseen heikkenee etäisyyden kasaessa. 4 % Kohta D on asiallinen astaus. Eristeessäkin tapahtuu arauksen siirtymistä, tosin atomi/molekyylitasolla, ja lähempänä olea araus kokee suuremman oiman. VEKTOETY Voiman suunta (enemmän kuin pelkkä etumerkki!) sisältyy ektorimuotoiseen esitykseen. Kertaa mekaniikasta ektoriopin peruskäsitteet. Vektorin suuruus (eli pituus) ja suunta ilmeneät parhaiten yksikköektoriesityksessä = ˆr Dimensio (esim 5 ) sisältyy :ään ja yksikköektori ˆr on dimensioton. tai Vektorin komponentit (esim x, y ja z ). Merkintätapoja: = ( x, y, z ) = x î y ĵ zˆk Esimerkiksi oima = 5, joka aikuttaa y-akselin negatiiiseen suuntaan. Joko: = (0, 5,0) tai: = ( 5 ) ĵ Kokeellinen (?) laki. Vrt. graitaatiolakiin Coulomb: Kerroin = K q q 2 r 2 4 COULOM LK = K q q 2 r 2 ewton: Kerroin = G Mm r 2 K = 8, m 2 /C 2 G = 6,67 0 m 2 /kg 2 uunta riippuu merkistä Voimapari 2 = 2 saman merkkiset r eri merkkiset q 2 2 ina etooima. Voimapari kuu = maa M r m 6 COULOM LK VEKTOMUODO Merkitään K = /4πε 0 (perustelu myöhemmin) = q q 2 ˆr 4πε 0 r 2 ˆr on toisesta arauksesta poispäin osoittaa yksikköektori. Huomaa epätäsmällinen kirjoitustapa: suunta määräyyy sekä ˆr:stä sekä etumerkistä. Huomaa myös: Yksikköektori osoittaa oiman aiheuttajasta poispäin. Jokaista oimaa astaa oma yksikköektori, ne eiät ole samoja! r 2 q q 2 r 2 q 2

5 7 9 VEKTOE UMMU Vektorit lasketaan yhteen ektoreina. Komponenteittain: ininen: Varausten q ja 2q älinen oima. = x î y ĵ z ˆk = x î y ĵ z ˆk C = C x î C y ĵ C z ˆk. Vihreä: Varausten q ja 2q oima on tästä iidesosa (/läistäjä toiseen potenssiin) q C... = ( x x C x...)î( y y C y...)ĵ ( z z C z...)ˆk Geometrisesti: Kahden ektorin summa = suunnikkaan läistäjä. C = C = = cosϕ ϕ Poikkisuuntainen läistäjä on ektorien erotuksen pituus (rt. kosinilause) = cos ϕ Punainen: Varausten 2q ja 2q älinen oimapuolet ensimmäisestä (toinen araus kaksinkertainen, etäisyys kaksinkertainen). 2q 2q 8 20 Q5: Mikä seuraaista on totta? VOME UPEPOTO ) Kahden tai useamman arauksen systeemissä kaikkiin arauksiin aikuttaa yhtä suuri nettooima. Vain suunta aihtelee. 0 % ) Kolmen arauksen tapauksessa, jos kahteen araukseen aikuttaat nettooimat oat = 0 ja 2 = 6, kolmanteen aikuttaan oiman suuruus on laskettaissa tästä. 3 % C) Kolmen arauksen tapauksessa, jos kahteen araukseen aikuttaat nettooimat oat = (5 ) (3î 4ĵ) ja 2 = (5 ) (4î 3ĵ), kolmanteen aikuttaan oiman suuruus on laskettaissa tästä. 42 % D) Edellisessä taritsee tietää lisäksi kaikki araukset ja niiden paikat. 54 % iittää tietää kaksi kolmesta oimasta (kohta C) koska suljettuun systeemiin aikuttaa kokonaisoima on nolla (kaikilla oimilla on systeemin sisällä astaoima) Esimerkki: Merkitse kuaan kuhunkin araukseen kohdistuat oimat ja niiden summat. q a 2q 5 a 2a 2q ÄHKÖKETTÄ E = q q on testiaraus. Kentän oimakkuus ei riipu testiarauksesta. Kahden arauksen älinen oima: Toinen araus on toisen sähkökentässä q = 4πε 0 qq r 2 ˆr E = 4πε 0 q r 2 ˆr Yleistys usealle araukselle: q = j Taas testiaraus sieenee pois 4πε 0 q j q r 2 j q ˆr j E = j r 4πε 0 q j r 2 j ˆr j q E

6 2 23 Q6: Mikä kuan ektoreista osoittaa kentän suunnan oikein? ) 2 % ) % C) 57 % D 5 % E) ei mikään 22 % ÄHKÖKETTÄ Q7: Entä kun positiiinen araus muutetaan negatiiiseksi? ) 0 % ) 82 % C) 0 % D % E) ei mikään 5 % Vasemmalla: kentän suuruus muuttuu, mutta suunta säilyy. Oikealla: ekä suuruus että suunta muuttuat. E(x, y) = (5 /C 0.5 /Cm y) ĵ E(x, y) = (25 /C 0.5/Cm y) î (25 /C 0.5/Cm x) ĵ C oikein oikein D q D q C q C q 22 VEKTOKETTÄ Vektorikenttä on spatiaalisesti (paikan funktiona) muuttua ektorisuure. ähkökenttä on sellainen Vakiokenttä: E(x,y, z) = E x (x, y, z) î E y (x,y, z) ĵ E z (x, y,z) ˆk E = ( 20 /C) ĵ E = (20 /C) î (0 /C) ĵ 24 ÄHKÖDPOL ähködipoli on kahden arauksen pari dipolimomentti p = qd tai p = q d Koska araukset eiät ole samassa pisteessä, yhteenlaskettu sähkökenttä ei ole nolla. y yhtä suuret kentät mutta eri suuntiin astakkaissuuntaiset kentät mutta eri suuret kohtisuora akseli dipolille astakkaissuuntainen kenttä d x p dipoliakseli: dipolin suuntainen kenttä e on kuitenkin paljon heikompi kuin yhden arauksen kenttä E = 2p (dipoliakseli) 4πε 0 r 3 E = 4πε 0 p r 3 (kohtisuoraakseli)

7 25 27 Esimerkki. Lasketaan esimolekyylin dipolimomentti kun oletetaan että happiatomissa on araus 2e, protoneissa on araus e ja ne oat 05 asteen kulmassa etäisyydellä 95 pm happiatomista. Vety Happi 2 Vety o Ongelma: molekyylissä on kolme arausta, ei kaksi. Onko tälläkin dipolimomentti? Kokonaisaraus on kuitenkin nolla pm ÄHKÖDPOL KETTÄ MUULL KU KELELL Tarkka tulos (ideaaliselle dipolille): E p = q 4πε 0 r 2 ˆr q 4πε 0 r 2 ˆr symptoottinen muoto r d: E p = [3( p ˆr)ˆr p] 4πε 0 r3 Dipoliakseli: r p hakasulkulauseke = 2 p Kohtisuora akseli: r p hakasulkulauseke = p j r r θ q q d/2 d/2 r r r P i Yllä oleasta kaaasta näkee miksi kaksi tai useampi dipolimomentti oidaan summata yhteen. Tarkastellaan molekyyliä kahden dipolin summana. Koska dipolimomentti on ektori on loogista summata ne ektorina. Dipolimomenttien suuruudet oat p = p 2 = e 95 pm ummaektorin pituus on p = ijoitetaan p 2 = p p 2 p2 2 2p p 2 cos(05 ) p = ijoitetaan lukuarot: 26 Vety p 2 p Happi 2 kaksi dipolia p Vety o 05 2p 2 ( cos(05 )) = 2p 2 2 cos2 (05 /2) = 2p cos(05 /2) p = 2,6 0 9 C m cos(05 /2) = Cm. Kokeellinen esimolekyylin dipolimomentti on tästä n. kolmasosa. Olkoon l = (d/2)î. 28 ÄHKÖDPOL KETÄ JOHTO r = l r = l r r r = r l = r l Lasketaan pituudet r ja r pistutuloa käyttäen r = ( r l) ( r l) = r 2 2( r l) l 2 r = ( r l) ( r l) = r 2 2( r l) l 2 Kirjoitetaan tarkka lauseke muodossa Käytetään sarjakehitelmää: tekemään asymptoottinen ario kaukana iis ja samoin Ep = q ( ) r r 4πε0 r 3 r 3 ( x) n nx x r 3 ( = r 3 2( r l) l 2 r 2 r 3 r 3 ) 3/2 = (r 2 2( r l) l 2 ) 3/2 r 3 ( 3 2 r 3l2 3( r l) 3 2r5 r 5 r 3l2 3( r l) 3 2r5 r 5 ) 2( r l) l 2 /2 r 2

8 29 3 ijoitetaan nämä kaaaan aadaan r r r 3 r 3 = r l r 3 = r r ( l = r ) ( r 3 r 3 r l ) 3 r 3 r 3 ( ) ( ) 6( r l) 2 r l 5 r 3l2 3 2r 5 dv VUJKUMT Varaustiheys dq = ρdv ijoitetaan 2q l = p ja ˆr = r/r: Ep = q ( ) r r = ( 3(ˆr p)ˆr p 4πε0 r 3 r 3 4πε0 r 3 r 3 ) p l r 3 r 2 Koska l r, iimeinen termi on hyin pieni keskimmäiseen errattuna. Kun se jätetään pois saadaan haluttu yhtälö. 3(ˆr p)ˆr p Ep = 4πε0r 3 l d ρ = Q V = Pintaaraustiheys Q π 2 l dq = ηd 2π l dl η = Q = Viiaaraustiheys dq = λdl Q 2π l l Q = V ρ dv, tai Q = λ = Q l η d, tai Q = λ dl L 30 Q8: Olkoon kuatussa alueessa jokin kokoelma Q arauksia, joista q on yksi. Varausjakauman kokonaiskenttä eräässä pisteessä P on tällöin E. Jos araus q siirretään kuan osoittamalla taalla, mihin suuntaan olettaisit sähkökenttäektorin kärjen siirtyän q Q P E ) ylös 82 % ) oikealle 0 % C) alas % D) asemmalle 5 % E) tätä ei oi tietää 0 % oikein. E on kaikkien arausten kenttien superpostio, josta poistetaan (ähennetään) arauksen kenttä alkuperäisessä paikassa ja lisätään arauksen kenttä uudessa paikassa. Vektorin ähennys on sama kuin astaektorin lisäys, eli q negatiiisen arauksen lisäys. Tilanne on siis sama kuin lisäisimme araussysteemiin dipolin (negatiiinen q alkuperäiseen paikkaan ja q uuteen paikkaa. Dipolin kenttä on pisteessä P ylös. Q P E D C ina sama perusajatus: 32 MUUTM TEGOTHJOTU Valitaan koordinaatisto. Tämä kannattaa tehdä huomioiden arausjakauman symmetria ja haluttu tulos. Määritellään tilauus-, pinta-ala tai pituuselementtiä astaaa araus dq = ρdv, dq = ηd tai dq = λdl. Määritellään tämän elementin tuottama sähkökenttä siinä pisteessä, jossa kenttä pitää laskea. Merkitään tätä d E. Elementti on yleensä pistemäinen, jolloin d E on pistearauksen dq kenttä. Toisinaan elementti on jokin muu kuin piste, esim. iia tai rengas jolloin käytetään näille laskettuja tuloksia hyödyksi. itten integrointiaihe (eli kentän superpositio) E = de L,,V Huomaa että tämä on ektori-integraali. Periaatteessa joudumme siis laskemaan ektorin jokaisen komponentin erikseen.

9 33 35 Usein kaksi komponenteista on symmetriasyistä nolla. Koordinaatisto kannattaa alita symmetrian mukaan. Homogeenisen araustiheyden oi lopuksi kirjoittaa kokonaisarauksella Q = ρv, jne. Tasaisesti arattu suora ähkökenttä suoran keskikohdalla, etäisyydellä d. Koordinaatisto: y suoran suuntaan, x suorasta poispäin. Origo keskellä. dq = λdy. lkio pisteessä y tuottaa kentän d E, jonka x ja y komponentit oat de x = λ dy 4πε 0 d 2 y cos θ 2 de y = λ dy 4πε 0 d 2 y sinθ 2 ymmetriasyistä lopullisessa kentässä ei oleteta olean y-suuntaista komponenettia. Katsotaan integrointirajat ja kirjoitetaan integraali E x :lle: E x = de x = λ 4πε 0 L/2 L/2 cosθ dy d 2 y 2 Ääretön taso ähkökenttä etäisyydellä d. Valitaan koordinaatisto niin että origo on tasolla ja z on tasolta ulospäin. Käytetään jo laskettua tulosta suoralle, jolloin riittää integroida yhteen suuntaan tasolla. Valitaan siis pinta-ala elementti d=ldx, joka astaa ääretöntä suoraa. uoran etäisyys tarkastelupisteestä on nyt x:n funktio ja astaa d:tä edellä. de θ z dq= η L dx yt hankala aihe: Valitussa elementissä iiaaraustiheys on dq/l = ηdx. Tämä sijoitetaan λ:n paikalle. Lisäksi edellä laskettu E x on nyt ymmärrettää ektorin d E pituudeksi joka osoittaa kulmassa θ z-akseliin nähden. Tällä kertaa odotamme kentän olean symmetriasyistä z-suuntainen, joten laskemme ain tämän komponentin: de z = 2πε 0 L η dx d2 x 2 cos θ d r y x 34 Kaikki y:stä riippumaton on tuoto integraalista ulos. Kirjoitetaan ielä cos θ integrointimuuttujan aulla d cosθ = d2 y 2 Lopputulos on (kun Q = λl) E x = λd 4πε 0 L/2 L/2 dy (d 2 y 2 ) 3/2 } {{ } L/d2 d 2 (L/2) 2 = 4πε 0 Q/d d2 (L/2) 2 Jos suora on äärettömän pitkä, d 2 (L/2) 2 L/2, mutta suhde Q/L pysyy akiona: E x = λ 2πε 0 d Huomaa siis aihdos λ ηdx ja d d 2 x 2. yt integroimisrajat oat äärettömät. E z = de z = η 2πε 0 yt taas cos θ on integrointimuuttujan aulla Lopputulos on E z = ηd 2πε 0 36 cosθ = d d2 x 2 dx d 2 x 2 } {{ } π/d cosθ dx d2 x 2 = η 2ε 0

10 37 39 ÄHKÖKETTÄ VTU TO LÄHELLÄ Q9: Olkoon kuassa yhtä suurella arauksella aratut tasot (siusta). Mikä seuraaista äitteistä on totta? ) ähkökenttä pisteessä on huomattaasti pienempi kuin pisteessä 2 73 % ) ähkökenttä pisteessä 3 on pienempi kuin pisteessä 2 23 % C) ähkökenttä pisteessä 4 on pienempi kuin pisteessä 2 0 % Laakean tason kenttä kenttä on kohtalaisella tarkkuudella akio lähellä tasoa (etäisyys < kuin tason koko siusuunnassa). Molempien tasojen erikseen tuottama kenttä on yhtä suuri kaikissa pisteissä -4. Leyjen älillä nämä oat samansuuntaiset ja ulkopuolella astakkaiset. Välissä kenttä on siis kaksi kertaa yhden arauksen kenttä ja akio ja ulkopuolella nolla. Kohta on siis oikein. ÄHKÖKETÄ HVOT Mannaryynit näyttäät sähkökentän. Miksi? Entä jos tasojen sijasta onkin aratut langat? DPOL ÄHKÖKETÄÄ Tässä tapauksessa langan kenttä riippuu etäisyydestä (E /r). Pisteet ja 2 oat hyin lähellä plussamerkkistä lankaa ja erraten kaukana miinusmerkkisestä. Jälkimmäinen aikuttaa enää hyin ähän, joten kentät ja 2 oat lähes samat. Kenttä 4 = kenttä 2, mutta kenttä 3 on heikompi. yt siis aihtoehto on oikein lempi kua esittää graafisesti kummankin langan kentän oimakkuutta x-akselilla (positiiinen kenttä oikealle). Kokonaiskenttä on (itseisaroltaan) pienin puolessa älissä arauksia E (x) langat kokonais kenttä E(x) E (x) x x Dipoliin kohdistuu homogeenisessa kentässä ääntömomentti τ = ((d/2) sin θ) ((d/2) sin θ) Vektorina = qde sin θ = pe sin θ τ = p E Dipoli kääntyy kentän suuntaan E θ d/2 q qe p qe d/2 q θ

11 4 43 KETTÄVVT Pistearaus Kaksi samaa arausta: Dipoli ELEKTOTYKK Q: Elektronin rataa kuaa parhaiten? ) 6 % ) 83 % C) 3 % D) 6 % E) 0 % oikein Q kissannahka lkaat positiiisesta arauksesta ja päätyät negatiiiseen Viian tangentti on kentän suunta ko. pisteessä Viiojen tiheys kertoo kentän suuruuden. e C D E Q0: Varaus q lasketaan liikkeelle positiiisen ja negatiiisen arauksen sähkökentässä. Mikä seuraaista äittämistä on totta, jos äliaineen astusta ei huomioida? VUKE LKE ÄHKÖKETÄÄ ) Varaus on kiihtyässä liikkeessä katkoiialle asti, jonka jälkeen sen auhti hidastuu. 3 % ) Varaus lipuu katkoiialle ja jää ärähtelemään sen molemmin puolin 0 % C) Varaus liikkuu positiiisesta arauksesta poispäin katkoiialle asti ja sen jälkeen suoraan kohti negatiiista arausta. 7 % D) Varaus seuraa kenttäiiaa, kunnes törmää negatiiiseen araukseen. 89 % E) Ei mikään edellä. 0 % Vaihtoehto D on houkuttelea, mutta ei täsmällisesti oikea. Varaus liikkuu nopeusektorin osoittamaan suuntaan ja on kiihtyy oiman näyttämään suuntaan. Vapaassa liikkeessä nämä oat haroin samansuuntaiset. Vain silloin kun äliaineen astus on erittäin suuri, niin että araus ei pääse kiihtymään aan lähtee aine uudestaan paikaltaan, se kulkee suunnilleen kentän suuntaisesti VUKE LKE TE ÄHKÖKETÄÄ Esimerkki: Leyjen älissä on sähkökenttä 0 k/c. Jos elektroni tulee leyjen äliin 45 asteen kulmassa, millä alkunopeudella se törmää ylempään leyyn? ähkökentän oima: E = 0 k/c,6 0 9 C =,6 0 5 Kun taas painooima on g = 9,8 /kg 9, 0 3 kg = 8, Heittoliikkeen korkeus: Painooima on epäolennainen o 0 0y = a y t y 0 = 0y t 2 a yt 2 /2 = 2 joitetaan kiihtyys a y = E /m e, korkeus y = 2 cm ja 0y = 0 / 2: 0 = 2 y E /m e =,2 0 7 m/s 2 cm 0y 2 a y

12 45 47 Q2: Oheisessa kuassa on tasaisesti arattu sylinteri, jossa on kokonaisaraus Q. Mikä seuraaista kasattaa kenttää pisteessä P? Q P YMMETT ähkökentän symmetrian on astattaa arausjakauman symmetriaa Translaatiosymmetria: Ääretön taso, ääretön suora otaatiosymmetria: Kiekko, sylinteri, pallo Peilisymmetria Kaikki edellä. Esimerkki: Varattu lanka/sylinteri: Translaatio: Kenttä eri kohdissa lankaa sama (jos ääretön); otaatio: Kenttä eri suunnissa sama; Peili: Kenttä ei oi kiertää lankaa (kätisyys), eikä osoittaa langan suuntaan (jos ääretön, muutoin symmterinen keskikohdan suhteen). ) ylinteriä lyhennetään leikkaamalla, jolloin araus pienenee suhteessa pituuteen. 2 % ) ylinteriä lyhennetään niin että Q säilyy. 70 % C) ylinterin pituutta kasatetaan niin että Q säilyy. 0 % D) ylinterin halkaisijaa kasatetaan (Q säilyy) 23 % E) ylinterin halkaisijaa pienennetään (Q säilyy) 2 % peilisymmetria oikein VUO Kuinka monta sangollista että irtaa nkkajoen läpi päiässä? Φ = päiässä sekunteja irtausnopeus (m/s) (syyys leeys) Jokaiselle ektorikentälle oidaan laskea uo; Vuon yksikkö on ektorin yksikkö m 2 : tilauus/s t tilauus ρ massa/s Jos pinta on inossa, sen läpi menee pienempi määrä: irtaama = cos θ Φ = h h/ cos θ θ w h w Jos uo suljetun pinnan läpi ei ole nolla, pinnan sisäpuolella syntyy tai häiää kenttää.

13 49 5 ÄHKÖVUO Pinnan suunnan antaa yksikköektori Jos suora pinta ja akio sähkökenttä: ˆn = cos ϕ î sinϕ ĵ Jos kaarea pinta tai kentän suunta muuttuu Φ E = E d inkula integraalissa tarkoittaa suljettua pintaa: Φ E = E d Φ E = E cos θ uo alkion läpi E d pinnan ja kentän älinen kulma muuttuu d θ kohtisuorassa pintaa astaan E d θ E josta E ˆn = E cos ϕ Kokonaisuo on siis nolla: Φ E = = he π/2 π/2 / π/2 π/2 he cos ϕ dϕ sin ϕ = 2hE Φ E = 0 2hE 2hE = 0 Huomautus: ikaisemmin sähköuo määriteltiin toisella tapaa, kentän D uona. (lman polaroituaa äliainetta D = ε 0 E). Vakiokentän uo suljetun pinnan yli on aina nolla 50 Esimerkki ähkökenttä E on kaikkialla akio ja x akselin suuntainen. Kuinka suuri on sähköuo suljetun pinnan läpi, joka muodostuu z-akselin suuntaisesta halkaistusta sylinteristä ) Ylä- ja alapinta: E Φ E = 0 2) Etupinta (Huom. aina ulospäin!) = (2h)î astakkainen kentälle E = E î: Φ E = E = 2hE 3) Kaarea pinta jaetaan pinta-alkioihin: E d = dϕ dh 2 3 d E mutta korkeussuuntaan kenttä ei muutu, joten summataan korkeussuunnassa kaikkien dh osien yli d = hdϕ ϕ Q3: Jos nuolet osoittaat sähkökenttää, laatikossa on? ) egatiiinen araus? % ) egatiiinen nettoaraus 87 % C) Positiiinen araus? % D) Positiiinen nettoaraus? % E) Varauksia joiden summa on nolla? % 52

14 53 55 GU LK Φ E = E d = Q in ε 0 Q in = pinnan sisältämä nettoaraus E Gaussin pinta ähkökenttä syntyy kaikista arauksista TO J YLTE amaan tapaan olettamalla pelkästään että aratun tason kenttä on kohtisuorassa tasoa astaan ja sylinterin kenttä on kohtisuorassa sylinteria astaan. Taso: Vuo pintojen,,c,... läpi sama koska sisällä aina sama araus. Kentän oimakkuus akio. arattu taso C araus η ylinteri: Vuo sylinteripintojen läpi sama: E = 2π h E 2π h = Kentän oimakkuus kääntäen errannollinen etäisyyteen. E E arattu sylinteri araus λh GU LK PTEVUKELLE Olkoon Gaussin pinta pistearausta Q in = q ympäröiä pallo (säde r, pinta-ala r ) ymmetria: Kenttä eri suunnissa yhtä iso (rotaatio) ja kaikkialla säteen suuntainen (peilisymmetria). E = E(r)ˆr Kenttä on kaikkialla kohtisuorassa pintaa r astaan Φ E = E r = 4πr 2 E(r) = q ε 0 E(r) = 4πε 0 q r 2 Coulombin laki on johdettaissa Gaussin laista. Esimerkki: Äärettömän kokoisessa tasossa araus on jakautunut paksuussuunnassa tasaisesti. Voiko Gaussin lauseella laskea miten kenttä muuttuu tason sisällä? Jos araus ei muutu tason poikkisuunnassa, kenttä on taas kaikkialla kohtisuorassa tasoa astaan. Kenttä yläpuolella on ylös (positiiinen) ja alapuolella alas (negatiiinen) jos nettoaraus on positiiinen. Kun laatikko sulkee koko pinnan paksuuden, molemmat kentät osoittaat ulos ja nettouo astaa arausta koko paksuudella. Kun laatikon korkeutta pienennetään, sisällä olea araus pienenee tasaisesti, joten ylemmän pinnan läpi menee astaaasti pienempi kenttä. Yleisesti kentän oimakkuus on E(x) = E 0 C x 0 ρ(x) dx missä E 0 on kentän oimakkuus leyn yläpuolella ja akio C määräytyy ehdosta että E(x) = E 0 leyn yläpinnalla. Vastaaasti sähkökenttä saadaan araustiheyden deriaatasta Cρ(x) = de dx x Kenttä pienenee yhdessä laatikon koon kanssa x E(x)

15 57 59 PTEVU MELVLTE P ÄPUOLELL Jaetaan mielialtainen pinta osaan joilla on sama aaruuskulma. Kutakin osaa approksimoidaan pallopinnalla. ajalla saadaan alkuperäinen pinta. ymmetrian perusteella jokaisen läpi menee uo Φ i = q ε 0 koska kukin on :s osa pallopinnasta. ϕ i i Kokonaisuo pistearauksesta on siis aina sama kun araus on pinnan sisällä: Φ = q ε 0 = q ε 0 GU L OVELLUKET Q4: Missä seuraaista sähkökenttää ei saada Gaussin laista? ) Tasaisesti arattu pallo. 3 % ) Tasaisesti arattu pallokuori. 0 % C) Tasaisesti arattu sylinteri, korkeus h. 24 % D) Tasaisesti pinnaltaan arattu sylinteri, ääretön pituus. 6 % E) Ääretön arattu taso 3 % ) opii kaikkiin edellä. 48 % Kohta C on aikea laskea Gaussin laista, koska kentän suunta muuttuu korkeussuunnassa 58 PTEVU P ULKOPUOLELL amalla logiikalla pinnan ulkopuolella olean arauksen uo suljetun pinnan läpi on nolla. Φ = Φ 2 Etu- ja takapinnoista tulee aina astakkainen uo. Yleistys mielialtaiselle jakakaumalle (koostuu pistearauksista): Φ = Φ Φ 2... = E d (superpositioperiaate; numero tarkoittaa nyt eri arauksia.) 2 E 2 d TVLLMMT TPUKET Lähes aina kenttä on akio ja pintaa astaan kohtisuora: E d E(r)(r) ja Gaussin lakia soelletaan muodossa: E(r) = akiokenttä etäisyydellä r (r) = pinta-ala etäisyydellä r Q in (r) = pinnan sisältämä araus E(r)(r) = Q in(r) ε 0 E(r) = Q in(r) (r)ε 0 Esimerkki: Pallon säde on ja araus Q on siinä jakautunut funktion mukaisesti. Määritä sähkökenttä E(r). ρ(r) = C r

16 6 63 Varausjakauma on symmetrinen, koska ρ riippuu ain etäisyydestä. Kenttä on siis aina kohtisuorassa pallopintaa astaan, E = E(r) Pallon pinta-ala (r) = 4πr 2 Gaussin laista E(r) = Q in (r)/ε 0 (r). Taritsee ain tietää r-säteisen pallon sisältämä araus Q in (r). Ensin määritetään akio C: Q = Q in () = = 4π 0 0 4πr 2 ρ(r) dr Cr dr = 2π 2 C C = Q 2π 2 VUKET J ÄHKÖKETÄT JOHTEE ähköstaattisessa tasapainotilanteessa sähkökenttä on nolla johteen sisällä. Muutoin araukset liikkuisiat johteessa istiriidassa staattisen tasapainon kanssa. Johteen pinnassa sähkökenttä on kohtisuorassa pintaa astaan Muuten araukset liikkuisiat pitkin pintaa aakasuoran komponenetin ajamana Pallon sisältämä araus on Q in (r) = ähkökenttä pallon sisällä on siten E(r) = q(r) (r)ε 0 = Qr2 / 2 4πr 2 ε 0 = 4πε 0 Q 2 r 0 = 2πr 2 iis akio ja pinnalla yhtä suuri kuin pistearauksen Q. 4πs 2 ρ(s) ds = 2πr 2 C Q 2π = Qr2 2 2 ρ(r) pistearaus Q E(r) r sillä Gaussin laista saadaan heti E = η ε 0 ˆn Φ E = Q in ε 0 = η ε 0 = E KETTÄ JOHTEE PLL ulkonemissa suuri η ja suuri kenttä sähköuo pinnan E = 0 läpi: Φ = E

17 65 67 Esimerkki: Charge in the hole. Koska E = 0, uo Gaussin pinnan läpi on nolla Pinta ei oi sisältää nettoarausta. eiän sisäpinnalla on araus Q (miksi?) E=0 Q Varaus on jälleen pallon ulkopinnalla. Gaussin lain mukaan missään pallon sisällä ei oi olla nettoarausta. Koska kenttä johteen sisällä on nolla, sen täytyy olla nolla myös reiässä, sillä jos reiässä olisi kenttäiioja niiden pitäisi jatkua johteeseen. (Kenttäiiat oiat päättyä ain arauksiin, mitä reiässä ei ole) Q Q=0 Gaussin pinta Jos johde on neutraali, ulkopinnalla on astaaasti Q Gaussin pinta Ulkopuolisesta arattu pallo näyttää normaalilta: Pallon arauksesta ei näe että sisällä on reikä. Kun onton pallon sisällä on araus missä tahansa, pallo näyttää silti ulospäin symmetriseltä. käänkuin araus olisi pallon keskellä. (Q) Q 66 Q5: Q Johdepallon () sisällä on pallonmuotoinen kolo (ei keskellä). Onko kenttä kolossa ) kohti pallon ulkopintaa 24 % ) kohti pallon keskustaa 4 % C) nolla 72 % D) mahdoton sanoa.? % C on oikein Q E? Tärkeintä tietysti on että johde suojaa kaikelta ulkoiselta kentältä: 68 E = 0

18 69 7 VUKE POTETLEEG ÄHKÖKETÄÄ ähkökenttä tekee työtä siinä liikkuaan araukseen. Työ > 0 kun positiiinen araus liikkuu kentän suuntaan tai negatiiinen kenttää astaan. Tällöin arauksen (oikeastaan systeemin) potentiaalienergiaa pienenee ja liike-energia kasaa. U = r = qe r K = qe r Toiseen suuntaan kuljettaessa ulkoinen oima tekee työtä, joka arastoituu systeemin (sähkökentän) energiaksi. r r KHDE PTEVUKE POTETLEEG Tuodaan araus q 2 äärettömän kaukaa lähelle pistearausta q : (x) = q q 2 4πε 0 x 2 U = x (x)dx = / x q q 2 4πε 0 x = q q 2 4πε 0 x q dx (x) q 2 Energia aluksi merkitään nollaksi, joten systeemin energia lopussa on U E = q q 2 4πε 0 r x VOM TEKEMÄ TYÖ PTEVUKET Muistetaan mekaniikasta että oima tekee työtä ain kun kappale liikkuu oiman suuntaan. Vektoriesityksenä: Jos U = x r = x î y ĵ z ˆk = î U = r = x y x r Kahden samanmerkkisen pistearauksen potentiaalienergia on positiiinen ja kahden erimerkkisen negatiiinen. U>0 K K U<0 2 = U 2 Yleisesti: r = x x y y z z Kun araukset pääseät liikkumaan, kummassakin tapauksessa potentiaalienergia pienenee ja muutos astaa kineettisen energian kasua.

19 73 75 VUYTEEM EEG Esimerkki: Kuinka suuri energia taritaan irroittamaan a) yksi araus, b) kaikki neljä arausta. a q q Edellä energia riippui ain etäisydestä. Kahden arauksen energia riippui oimista arausten älillä. a Usean araksen tapauksessa soelletaan oimien superpositioperiaatetta Energia lasketaan yhteen (jokainen arauspari ain kerran). q q Lopuksi tuodaan negatiiinen araus alas: U 3 = ( q)(q) ( q)( q) ( q)(q) 4πε 0 a 4πε 0 a 4πε 0 a 2 = q 2 4πε 0 a 2 ysteemin energia on nyt U = q 2 2 4πε 0 a Purettaessa toisinpäin: Ensimmäisen arauksen poisto aatii työn W = U 3 = q 2 4πε 0 a 2 ja koko systeemin hajoitus työn W = U, joka on kaksi kertaa tämä. Yleisesti siis arausjakauman energia: U = q i q j 2 4πε 0 r j r i i j i Kasataan systeemi araus kerrallaan. Ensin tuodaan yläriin arauspari. U = (q)( q) 4πε 0 a ysteemillä on nyt negatiiinen energia: U = q 2 4πε 0 a euraaaksi tuodaan q araus alas: U 2 = (q)(q) 4πε 0 a = q 2 4πε 0 a 4πε 0 (q)( q) a 2 ( ) 2 Tämä on positiiinen, joten nyt systeemin energia kasaa 74 U = U U 2 = 4πε 0 q 2 a 2 76 Esimerkki: tomin ytimen alfahajoamista oidaan kuata yksinkertaisella mallilla, jossa arattu alfa-hiukkanen (2e) irtoaa ytimen pinnasta jonka araus on (Z 2)e. Esimerkiksi uraani Z = 92 hajoaa alfahajoamisessa thoriumiksi Z = 90. Kuinka suuri on haaittu alfahiukkasen nopeus, kun thoriumytimen säteeksi oletetaan 5 fm? Malli: Oletetaan sekä alfa-hiukkanen, että isompi ydin pallomaisiksi iiden sähkökenttä on pistearauksen kenttä, joten aiempi tulos pistearauksille pätee. Varaukset oat aluksi = 5 fm päässä toisistaan jonka jälkeen ne päästetään irti. Lopussa potentiaalienergia on muuttunut liike-energiaksi K = (2e)(90e) 4πε 0 Liike-energia jakautuu ydinten kesken käänteisesti massojen suhteesa (sama liikemäärä), joten käytännssä kaikki jää alfalle: K α = K K opeus saadaan kaaasta (m α = 4u) 2 (4u)2 = 80e 2 4πε 0 = 4πε 0 90 u e

20 77 79 POTETL J POTETLEEG Graitaatiokenttä on analoginen pistearauksen kentän kanssa. Lähellä maata kenttä on akio U(y) = mgy m g y r 2 Kauempana säteittäinen r U(r) = GMm r Liikkeen laskut energiaperiaatteella: Taritsee ain tietää potentiaalienergia alku- ja loppupisteissä. m Hyä muistaa: Potentiaali on kentän ominaisuus. Kun potentiaalienergia jaetaan arauksella, tulos ei riipu arauksesta. Painooimakentällekin oitaisiin määritellä potentiaali U/m (=gy) joka ei riipu siinä olean kappaleen massasta. Potentiaali pienenee aina sähkökentän suuntaan. Potentiaali on skalaari ja sähkökenttä on ektori. äitä ei saa sotkea. Potentiaalin arolla ei ole merkitystä aan potentiaalierolla (sama juttu kuin energioilla) Potentiaalin nollataso on yleensä kiinnitetty niin että V = 0 kaukana arauksista. ähköarausten oimat oat konseratiiisia, jolloin potentiaali on yksikäsitteinen paikan funktio V = V q E d r Jos potentiaali tiedetään pisteessä, tästä oidaan laskea potentiaali pisteessä iemällä araus q siihen mitä reittiä hyänsä. 78 ÄHKÖKETÄ POTETL Varausten tapauksessa potentiaalienergia oi olla samassa pisteessä positiiinen tai negatiiinen. Määritellään potentiaali pisteessä r: V ( r) = U q missä U on koko systeemin (araus Q ja pisteessä r olea testiaraus q) energia. Käytännössä U on energia joka taritaan tuomaan testiaraus pisteeseen r. iirroksen aikana aikuttaat oimat oat errannolliset q:hun joten potentiaali ei riipu q:sta. Q6: Varattujen kondensaattorileyjen älissä potentiaali on? ) Vakio, ei kuitenkaan älttämättä nolla. ) olla C) Kasaa tasaisesti negatiiiselta positiiiselle leylle D) Pienenee tasaisesti negatiiiselta positiiiselle leylle E) Kasaa neliöllisesti etäisyyden funktiona negaiiiselta leyltä. 80 Potentiaalin yksikkö on Voltti V = J/C C on oikein

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Luku Ohmin laki

Luku Ohmin laki Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13 Fy06 Koe ratkaisut 9.5.0 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/3 Koe. Yksilöosio. 6p/tehtävä.. Kun 4,5 V:n paristo kytketään laitteeseen, virtapiirissä kulkee,0 A:n suuruinen sähkövirta ja pariston napojen välinen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%'

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%' "$ %"&'$ &()'*+)'% +'$,),%' )-.*0&1.& " $$ % &$' ((" ")"$ (( "$" *(+)) &$'$ & -.010212 +""$" 3 $,$ +"4$ + +( ")"" (( ()""$05"$$"" ")"" ) 0 5$ ( ($ ")" $67($"""*67+$++67""* ") """ 0 5"$ + $* ($0 + " " +""

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,

Lisätiedot

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma

2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma 2 Eristeet Eristeissä kaikki elektronit ovat sitoutuneita atomeihin tai molekyyleihin, eivätkä voi siis liikkua vapaasti kuten johdeelektronit johteissa. Ulkoinen sähkökenttä aiheuttaa kuitenkin vähäisiä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Sähkötekiikka muistiinpanot

Sähkötekiikka muistiinpanot Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Coulombin laki ja sähkökenttä

Coulombin laki ja sähkökenttä Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;

Lisätiedot

5 Kentät ja energia (fields and energy)

5 Kentät ja energia (fields and energy) 5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Miltä työn tekeminen tuntuu

Miltä työn tekeminen tuntuu Työ ja teho Miltä työn tekeminen tuntuu Millaisia töitä on? Mistä tiedät tekeväsi työtä? Miltä työ tuntuu? Mitä työn tekeminen vaatii? Ihmiseltä Koneelta Työ, W Yksikkö 1 J (joule) = 1 Nm Työnmäärä riippuu

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s. 7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka 1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot