MAT OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 2013, periodi 4. Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MAT-21241 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 2013, periodi 4. Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos"

Transkriptio

1 MAT-4 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 03, periodi 4 Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos

2 SISÄLLYSLUETTELO. Johdantoa ja terminologiaa 3. Lineaarinen optimointi ja graafinen ratkaisu 0 3. Simplex-algoritmi Duaalisuus ja herkksanalsi 6 5. Kuljetusmalli ja sen muunnelmat Varastomalleja 7. Kokonaislukuoptimointi Monitavoiteoptimointi 57

3 . Operaatiotutkimus (OT) taito vai tiede? Operaatiotutkimus prkii etsimään päätöksentekotilanteessa parhaan eli optimaalisen vaihtoehdon huomioiden rajallisten resurssien aiheuttamat rajoitteet. Taitolajina operaatiotutkimus on tökalu, jota päätöksentekijä kättää mallintaessaan käsillä olevaa ongelmaa matemaattiseen muotoon, valitessaan malliin sopivan optimointimenetelmän tai algoritmin, ratkaistessaan mallinsa joko tietokoneella tai knällä ja paperilla sekä analsoidessaan ratkaisuna saamaansa optimitulosta selvittääkseen ratkaisun herkkden esim. mallin parametrien muutoksille. Tieteenä operaatiotutkimuksessa etsitään hä tehokkaampia ja nopeampia menetelmiä optimin saavuttamiseksi, tutkitaan uusien tekniikoiden (esim. neuroverkot, sumea laskenta jne) kättöönottoa m. OT:n snt sijoitetaan lähinnä Englantiin toisen maailmansodan aikoihin. Siellä nimittäin koottiin rhmä asiantuntijoita (matemaatikkoja, pskologeja, sosiologeja jne) tutkimaan miten rajalliset sotamateriaalit tulisi osoittaa eri sotilasoperaatioihin, jotta saatava höt olisi mahdollisimman suuri.. Yksinkertainen päätöksentekomalli Päätöksentekoprobleeman hteenveto tavalla, joka sallii probleeman kaikkien päätösvaihtoehtojen sstemaattisen identifioinnin ja arvonmääritksen. Päätöksentekoon tullaan valitsemalla kaikkien mahdollisten joukosta paras vaihtoehto. Esimerkki Eräällä Tamperelaisella asiantuntijalla on viiden viikon konsultointisopimus erään EUvaltion pääkaupungissa (E). Hän lentää sinne maanantaisin ja palaa Tampereelle keskiviikkoisin. 3

4 T Ke Ma E Meno-paluulipun perushinta, eli jos paluu samalla viikolla kuin meno, on 400. Jos paluu on eri viikolla, hinta on 80% perushinnasta. Yksisuuntainen lippu maksaa 75% perusmeno-paluun hinnasta. Miten asiantuntijan kannattaisi liput ostaa ko. viiden viikon aikana? Päätösvaihtoehdot: (Oleellisimmat). Asiantuntija ostaa joka maanantai menopaluulipun (perushintaisen).. Hän ostaa menolipun E:hen ja sieltä neljä kertaa menopaluulipun sekä lopuksi menolipun Tampereelle. 3. Hän ostaa ensin menopaluulipun, jossa paluu viidennellä viikolla ja välillä E:stä neljä menopaluuta, jotka sisältävät viikonlopun. Asiantuntijan tavoitteena on kustannusten minimointi. Tapauksessa, jossa päätösvaihtoehtoja on rajallinen (pieni) määrä, voidaan laskea erikseen kunkin vaihtoehdon arvo: vaihtoehto : 5 x 400 = 000 vaihtoehto : 0.75 x x (0.8 x 400) x 400 = 880 vaihtoehto 3: 5 x (0.8 x 400) = 600 Näin ollen vaihtoehto 3 antaa optimiratkaisun. Esimerkki Tuotantopäällikön on uutta konetta hankittaessa suoritettava valinta automaattisen ja puoliautomaattisen kesken. Koneet tuottavat tiettä osaa eräajoina eräkoon voidessa vaihdella. Kone valmistellaan aina kutakin erää varten. Erän aloituskustannukset 4

5 (kiinteä) ja muuttuvat ksikkötuotantokustannukset ovat: Kustannukset ( ) Puoliautomaattinen Automaattinen Erän aloituskustannus Muuttuva ksikkökustannus Tilanteen muotoilu päätöksentekomalliksi:. Yksilöi päätösvaihtoehdot. Suunnittele kriteeri kunkin vaihtoehdon arvon määrittämiseksi 3. Kätä kehitettä kriteeriä perustana parhaan kätettävissä olevan vaihtoehdon valitsemiseksi. Probleeman asettelusta nähdään, että vaihtoehtoja on kaksi:. Osta automaattikone.. Osta puoliautomaattikone. Vaihtoehtojen arviointi voidaan tehdä koneen kättökustannusten perusteella (vrt. o. taulukko). Päämääränä on valita pienemmät kustannukset aiheuttava vaihtoehto. Kustannuskriteerin formalisointi: Olkoon x hdessä eräajossa tuotettujen ksiköiden lukumäärä. Kustannusfunktioksi saadaan tuotantokustannus/erä = aloituskustannus + (muuttuva ksikkökustannus) x x ( automaatti) = 0 0.6x ( puoliautom.) Lopullinen päätöksentekomalli: VALITSE YKSI SEURAAVISTA VAIHTOEHDOISTA:. Osta automaattinen kone. Osta puoliautomaattinen kone Valitun vaihtoehdon on aiheutettava pienimmät tuotantokustannukset erää kohden. 5

6 6

7 Mallin graafinen ratkaisu tasakustannuskaaviolla ( break-even -kaavio): automaattikone = ehjä viiva puoliautomaatti = katkoviiva Tasakustannuspiste x = 50 ksikköä Saadaan ratkaisu:. Osta puoliautomaattikone, jos eräkoko < 50 ksikköä. Osta automaattikone, jos eräkoko > 50 ksikköä 3. Osta kumpi tahansa, jos eräkoko = 50 ksikköä Em. ratkaisu olettaa implisiittisesti, että kumpikin kone tuottaa osia samalla nopeudella. Oletetaan, että tuotantonopeudet ovat erisuuret, esim. automaatti 5 ks./tunti puoliautomaatti 5 ks./tunti Oletetaan lisäksi, että tehdas toimii ksivuoroperiaatteella päivittäin 8 tuntia. 7

8 UUSI INFORMAATIO LISÄÄ MALLIIN RAJOITTEITA. 8-tuntinen töaika rajaa maksimieräkoon seuraavasti: automaatti puoliautomaatti 5 8 = 00 ks. 5 8 = 0 ks. Ratkaisu muuttu seuraavaksi: 8-tunnin rajoituksen vaikutukset: automaattikone = ehjä viiva puoliautomaatti = pisteviiva eräkoko 0 => päätöksenteko-ongelmassa vaihtoehtoa, joista puoliautomaatti on parempi 0 < eräkoko 00 => vain ksi vaihtoehto eli automaattikone on käpä vaihtoehto puoliautomaatti on ei-käpä vaihtoehto eräkoko > 00 => kumpikin vaihtoehto ei-käpä 8

9 Siis PÄÄTÖKSENTEKO-ONGELMAN RAJOITTEET PYRKIVÄT VÄHENTÄMÄÄN VALINTOJA ELIMINOIMALLA EI-KÄYVÄT VAIHTOEHDOT. Mitä enemmän rajoitteita, sitä huonompi ratkaisu (arvostelukriteerin kannalta) eli Rajoitettu ratkaisu ei ole koskaan parempi kuin rajoittamaton ratkaisu. PÄÄTÖKSENTEKOMALLIN OLEELLISET OSAT:. Päätöksenteon vaihtoehdot, joista valinta tehdään. Rajoitteet ei-käpien vaihtoehtojen poissulkemiseksi 3. Kriteeri käpien vaihtoehtojen arvostelemiseksi Hieman terminologiaa: Päätöksentekomuuttujat, päätösmuuttujat tai muuttujat ( = päätöksentekovaihtoehdot) Tavoitefunktion eli objektifunktion optimointi ( = vaihtoehtojen arvosteluproseduuri) Optimointi esim. kustannusten minimointi tai tuoton maksimointi 9

10 . LINEAARINEN OPTIMOINTI (eli lineaarinen ohjelmointi) Formuloinnit ja graafinen ratkaisu - Matemaattinen mallinnustekniikka, jonka tarkoituksena on optimoida rajallisten resurssien kättö. ESIMERKKI Maalitehtaan tuotevalintaongelma Pieni maalitehdas tuottaa sekä sisä- että ulkomaalia. Maalien valmistamiseen kätetään kahta raaka-ainetta: M ja M. Seuraava taulukko antaa ongelman lähtötiedot: Tonnia raaka-ainetta maalitonnia kohden Ulkomaali Sisämaali Päivittäinen maksimisaatavuus (tonnia) Raaka-aine M Raaka-aine M 6 Tuotto per maalitonni( 000 ) 5 4 Markkinatutkimus osoittaa, että sisämaalin päivittäinen ksntä on korkeintaan tonnia. Markkinatutkimus osoittaa mös, että sisämaalin päivittäinen ksntä ei voi littää ulkomaalin vastaavaa ksntää enempää kuin tonnilla. Paljonko htiön tulisi päivittäin tuottaa sisä- ja ulkomaalia maksimoidakseen päivittäisen tuottonsa? Matemattisen mallin konstruointi:. Mitä malli prkii määrittämään? Toisin sanoen, mitkä ovat ongelman muuttujat (tuntemattomat)?. Mitä ehtoja muuttujille on asetettava tdttämään mallinnettavan järjestelmän rajoituksia? 3. Mihin tavoitteeseen (päämäärään) pritään määritettäessä optimiratkaisua muuttujien käpien arvojen joukosta? 0

11 Vastaus: Yhtiö haluaa määrätä tuotettavan sisä- ja ulkomaalin määrän (tonneina), joka maksimoi kokonaistuoton (tuhansina euroina) tdttäen raaka-aineiden saatavuuden ja tarpeen asettamat rajoitteet. - Muuttujat: Olkoot x = päivittäin tuotettavan ulkomaalin määrä tonneina x = päivittäin tuotettavan sisämaalin määrä tonneina - Tavoitefunktio Merkitään kokonaistuloja (tuhansina euroina) z:lla ja oletetaan sisä- ja ulkomaalin mnti toisistaan riippumattomaksi z 5x x 4 - Rajoitteet Raaka-aineiden saatavuuden ja tarpeen asettamat rajoitukset: molempien maalien kättämän raaka aineen määrä aineen maksimi saatavuus raaka => Tehtävämääritteltaulukosta: 6x 4x 4 (raaka-aine M) x x 6 (raaka-aine M) Ksntärajoitteet: sisämaalin limäärä ulkomaalin suhteen sisämaalin ksntä tonni päivä tonni päivä => x x x Etumerkkirajoitteet (eli ei-negatiivisuus): Maaleja ei voi valmistaa negatiivista määrää => x ja x 0 0

12 Huom! Lukuparien ( x, x ) arvot muodostavat kävän ratkaisun, mikäli ne tdttävät mallin kaikki rajoitteet. Matemaattinen malli on siis Maksimoi z 5x 4x ehdoin 6x 4x 4 x x 6 x x x x x 0, Huom! Kaikki mallin funktiot (tavoite- ja rajoite-) ovat lineaarisia. Tästä seuraavat ominaisuudet:. SUHTEELLISUUS Jokaisen muuttujan (tässä x ja x ) vaikutus tavoitefunktioon tai sen kättö resurssirajoitteessa on suoraan verrannollinen sen arvoon. Esim. paljousalennukset poistavat suhteellisuusominaisuuden..additiivisuus Tavoitefunktiossa ja rajoitteissa muuttujat ovat vapaita eli eivät vaikuta toistensa arvoihin, joten ne ovat sellaisinaan laskettavissa hteen. Esim. kilpailutilanteessa toisen tuotteen mnnin nousu saattaa laskea kilpailevan tuotteen mntiä, jolloin additiivisuusominaisuus ei ole voimassa.

13 . LP-MALLIN GRAAFINEN RATKAISU ( LP = linear programming eli lineaarinen optimointi) Soveltuu kahden muuttujan tapauksiin. - Muodostetaan ensin tehtävän käpä alue eli alue, jossa tehtävän kaikki rajoitteet ovat htä aikaa voimassa, piirtämällä x,x -koordinaatistoon rajoite-ehtojen htäsuuruusmerkkiä vastaavat suorat ja määräämällä kummalla puolella suoraa rajoitteen epäsuuruusehto on voimassa. Käpä ratkaisualue merkitt pisteillä. 3

14 Missä kävän alueen pisteessä tavoitefunktion arvo z 5x 4x saa suurimman mahdollisen arvon z max? Jos kirjoitetaan z-suoran htälö ratkaistuna pstakselin muuttujan suhteen 5 z x x 4 4 nähdään, että z:n arvon muuttuminen ei muuta suoran kulmakerrointa vaan ainoastaan suoran paikkaa ( pstakseli leikkautuu kohdassa z/4 ja vaaka-akseli kohdassa z/5). Piirretään siis tavoitefunktion kuvaaja jollakin z:n arvolla, katsotaan mihin suuntaan suora siirt z:n kasvaessa ja siirretään sitten suoraa suuntansa säilttäen kasvavaan suuntaan niin kauas, että suora leikkaa käpää aluetta enää hdessä pisteessä (tai pitkin kävän alueen jotakin reunajanaa). Tämä piste on optimipiste. (Kuva seuraavalla sivulla.) Rajoitesuorien () ja () leikkauspisteenä optimipisteeksi saadaan htälörhmänä ratkaistuna ( x, x ) (3,.5). Sijoittamalla koordinaatit tavoitefunktioon saadaan z max (tuhansina euroina). Maalitehtaan optimistrategia on siis valmistaa päivittäin 3 tonnia ulkomaalia ja.5 tonnia sisämaalia, jolloin päivittäinen optimaalinen tuotto on

15 Näin ollen lienee selvää, että optimipiste on aina kävän alueen jokin nurkkapiste, joten ratkaisu voidaan etsiä mös ratkaisemalla nurkkapisteiden koordinaatit, sijoittamalla tavoitefunktioon ja katsomalla missä z maksimoituu. Joskus tavoitefunktion kuvaaja on hvin samansuuntainen reunasuoran kanssa ja tällöin on tarkasteltava kulmakertoimia oikean optimipisteen valitsemiseksi. 5

16 MINIMOINTIPROBLEEMAN RATKAISU Edellinen esimerkki oli maksimointiprobleema. Minimointiprobleema sujuu samojen periaatteiden mukaisesti, paitsi että tavoitefunktion kuvaajaa siirretään z:n pienenevään suuntaan. ESIMERKKI Karjatilan ruokintaprobleema Amerikkalainen karjatila kättää karjan ruokintaan päivittäin vähintään 800 kg tiettä ravintoseosta. Seos koostuu maissista ja soijapavusta, joilla on seuraavan taulukon mukaiset ominaisuudet: kiloa / kilo ainetta proteiinia kuitua hinta ($ / kg) maissi soijapapu Seoksen dieettivaatimukset edellttävät vähintään 30% proteiinia ja enintään 5% kuitua. Miten karjatilan tulisi seos muodostaa, jotta päivittäiset kustannukset minimoituisivat? Muodostetaan matemaattinen malli: Valitaan muuttujat: x = maissin määrä (kg) päivittäisessä seoksessa x = soijapavun määrä (kg) päivittäisessä seoksessa Tavoitteena on päivittäisten kustannusten minimointi Minimoi z 0.3x 0. 9x Rajoitteet: määrärajoite x x 800 proteiinirajoite 0.09x 0.6x 0.3( x x ) 0.x 0.3x 0 kuiturajoite.0x 0.06x 0.05( x x ) 0.03x 0.0x 0 0 maissia ja soijapapua ei voida kättää negatiivista määrää x x 0, 6

17 Siis Mallin graafinen ratkaisu: Minimoi z 0.3x 0. 9x ehdoin x x 800 (.) 0.x 0.3x 0 (.) 0.03x 0.0x 0 (3.) x x 0 (4.)(5.), Käpä ratkaisualue merkitt pisteillä. 7

18 Optimipiste suorien () ja () leikkauspiste ( x, x ) (470.6, 39.4) ja sijoittamalla koordinaatit tavoitefuktioon saadaan z min Siis päivittäiseen ravintoseokseen tulee kg maissia ja 39.4 kg soijapapua ja päivittäiset minimikustannukset ruokinnan osalta ovat $ LIIKKUMAVARA (slack), YLIMÄÄRÄ (surplus) ja RAJOITTAMATTOMAT MUUTTUJAT (unrestricted variables). Liikkumavara - tppisessä rajoitteessa oikean puolen arvo leensä ilmaisee jonkin resurssin maksimisaatavuuden ja vasemman puolen lauseke ilmaisee paljonko eri aktiviteetit ovat resurssia kättäneet. Esim. raaka-ainerajoitteet maalitehdasesimerkissä: M: 6x 4x 4 M: x x 6 Tarkastellaan käpää ratkaisua x, x ) (, ). ( M: = 0 < 4 (resurssia kättämättä 4 tonnia) M: + = 6 (koko resurssi kätett) Ensinmainitussa rajoitteessa on vielä liikkumavaraa. Jatkossa, varsinkin simplex-algoritmin htedessä, tämän tppiset epähtälörajoitteet kirjoitetaan htälörajoitteiksi ottamalla kättöön ei-negatiivinen liikkumavaramuuttuja (slack variable): M: 6x 4x s 4 M: x x s 6 missä s s 0, Ylimäärä - tppisessä rajoitteessa oikean puolen arvo kertoo jonkin asian minimivaatimuksen ja vasemman puolen lauseke todellisen määrän. Esim. karjatilaesimerkissä ravintoseosta tarvittiin vähintään 800 kg päivässä. x x 800 8

19 Helläsdäminen karjatilallinen saattaa antaa eläimille enemmän kuin minimivaatimuksen toteuttamalla esimerkiksi jonkin kävän alueen sisäpisteratkaisun. Tällöin siis vasemman puolen lausekkeessa on jonkin verran limääräistä ravinnetta. Kun halutaan kirjoittaa tämän tppinen rajoite-ehto htälörajoitteena, on vasemman puolen lausekkeesta siis mahdollisesti vähennettävä jotakin, jotta lausekkeen arvo olisi htäsuuri kuin oikean puolen minimivaatimus eli kätetään ei-negatiivista limäärämuuttujaa ( surplus variable ) S : x x S 800, missä S 0. Rajoittamattomat muuttujat Tähänastisissa esimerkeissä päätöksentekomuuttujat ovat olleet etumerkkirajoitettuja eli x 0. Näin ei kaikissa tapauksissa tarvitse olla: i ESIM. Sunset Boulevardilla sijaitseva McBurger m neljännesnaulaisia ja juustopurilaisia. ( naula = lb = kg) Neljännesnaulainen kättää 0.5 lb lihaa ja juustopurilainen 0. lb. Yrits aloittaa päivän 00 lb:n lihamäärällä, mutta sitä voidaan tarvittaessa tilata lisää, jolloin limääräisiä toimituskustannuksia tulee 5 centtiä / naula. Päivän päätttä jäljelle jäänt liha lahjoitetaan hväntekeväisteen. Neljännesnaulaiset tuottavat 0 c/kpl ja juustopurilaiset 5 c/kpl. McBurger ei odota mvänsä li 900 annosta päivässä. Kuinka monta kumpaakin lajia kannattaisi valmistaa? x = neljännesnaulaisten määrä päivässä x = juustopurilaisten määrä päivässä Rajoitteet: Jos aamulla saatu lihamäärä riittää, niin 0.5x 0.x 00, muussa tapauksessa 0.5x 0.x 00. Nt ei siis tiedetä, toimitaanko liikkumavaralla vai limäärällä. 9

20 Kätetään (etumerkki)rajoittamatonta muuttujaa x 3 seuraavasti: 0 3.5x 0.x x 00, jolloin x 3 on liikkumavaramuuttuja, jos x 3 > 0 ja limäärämuuttuja, jos x 3 < 0. Tavoitefunktio: McBurger haluaa maksimoida tuoton ja limääräisten toimituskustannusten välisen erotuksen. Näitä kustannuksia snt vain, jos x 3 < 0. Rajoittamattoman muuttujan kättö on vaivalloista ja koska möhemmin opittava simplex-algoritmi hväks sisäisesti vain ei-negatiiviset muuttujat, korvataan x 3 kahdella toisistaan riippuvalla ei-negatiivisella muuttujalla x 3 x3 x3, missä x 3, x 3 0 siten,että jos x 0, niin x 0 ja x on liikkumavaraa jos x 0, niin x 0 ja x on limäärää. Nämä uudet muuttujat eivät siis voi olla htä aikaa >0, mutta voivat kumpikin = 0. Saadaan malli maksimoi z 0.0x 0.5x 0. 5x3 0.5x 0.x x3 x3 ehdoin

21 .3 HERKKYYSANALYYSI on mallin optiminjälkeistä tarkastelua, jossa tutkitaan, miten herkästi optimi muuttuu, kun mallin parametreja muutetaan. Esim. maalitehdasesimerkissä voi maalien ksntä muuttua tai raaka-aineiden saatavuus vaihdella. Mös hinnat voivat muuttua ja näin ollen mös tuotot. Herkksanalsin suorittaminen antaa joustoa mallin kättäjälle. Tutustutaan maalitehdasesimerkin avulla muutamaan tpilliseen herkksanalsin ksmksenasetteluun LP-tehtävän rajoitteet luokitellaan sitoviksi tai ei-sitoviksi. Rajoite on sitova, jos sitä vastaava suora kulkee optimipisteen kautta. Muut rajoitteet ovat ei-sitovia. Maalitehdasesimerkissä optimipiste sijaitsee raaka-aine rajoitteita () ja () vastaavien suorien leikkauspisteessä. Tämä tarkoittaa mös sitä, että optimipisteessä nämä rajoiteehdot ovat voimassa htälöinä, jolloin vastaavat resurssit on kokonaisuudessaan kätett. Sitova rajoite on tiukka (efektiivisesti rajoittava), koska sitä vastaava resurssi tulee kokonaan kätetksi. Ei-sitova rajoite on väljä, koska sitä vastaavaa resurssia jää osa kättämättä. Ongelma : Kuinka paljon tavoitefunktion kertoimet (eli maalien tuotot) voivat muuttua? Tavoitefunktion kertoimien muutokset vaikuttavat vastaavan suoran kulmakertoimeen. => Kaksi tpillistä tilannetta tutkittavana. Kuinka paljon kerroin voi muuttua, jotta optimipiste ei siirr siitä nurkkapisteestä, jossa se sijaitsee?. Kuinka paljon kerroin voi muuttua, ennenkuin tiett rajoite muuttuu tiukasta väljäksi tai päinvastoin? Tarkastellaan tavoitefunktiota z cx cx eli x c z x. c c

22 Ajatellaan optimipiste C tukipisteeksi, jonka varassa tavoitesuora keikkuu. On helppo havaita, että optimipiste säil pisteessä C niin kauan kuin z-suoran kulmakerroin on rajoitesuorien () ja () kulmakertoimien välissä: 6 4 c c => c c 6 4 ( c 0) Jos z-suoran kulmakerroin = ()-suoran kulmakerroin, niin optimi saavutetaan janan CB jokaisessa pisteessä. Vastaavasti, jos z:n kk. = ():n kk., niin optimi saavutetaan janan CD jokaisessa pisteessä. Kun tuottosuhde siirt m. suljetun välin ulkopuolelle, niin optimipiste siirt joko pisteeseen B (tuottosuhde >.5) tai pisteeseen D (tuottosuhde < 0.5) ja maalien optimaaliset valmistusmäärät muuttuvat.

23 c :n ja c :n vaihtelurajat, kun kertoimissa ksittäinen muutos: z cx 4x (eli sisämaalin tuotto ps entisenä, ulkomaalin muuttuu) => x c z x 4 => 4 6 c => c z 5x c x (eli ulkomaalin tuotto ps entisenä, sisämaalin muuttuu) Nt c c 6 4 eli 4 6 c c eli 4 c 0 => c Yllälasketut kertoimen ksittäisen muutoksen vaihtelurajat siis säilttävät optimipisteen nkisenä. Tavoitefunktion kertoimien samanaikaiset muutokset: Maalitehdas: z 5x 4x cx cx (leisesti) Optimipiste säili pisteenä C, kun c c 6. 4 Ilmaistaan samanaikaiset kerroinmuutokset muutoksina nkisiin arvoihin: z ( 5 d x, missä d i ( i,) voi olla > 0 tai < 0 tai = 0. ) x (4 d ) Tällöin epähtälöketjun oikeasta puolesta saadaan: 5 d 4 d 6 4 => 0 4d 4 6d (olettaen, että 4 d 0 ) => 4d 6d 0 4 Vasemmasta puolesta: 5 d 4 d => d d 0 6 3

24 Kun siis tavoitefunktion z 5x 4x kertoimissa tapahtuu samanaikaiset muutokset d ja d, niin optimipiste säil entisenä, mikäli 4 4d 6d 0 ja d d 0 6 Ongelma : Miten optimi muuttuu, jos resurssirajoitteet muuttuvat? Eritisesti a) miten paljon resurssia voidaan lisätä, kun tarkoituksena on kasvattaa tavoitefunktion arvoa? tai b) miten paljon resurssia voidaan vähentää siten, että optimiarvo ei muuttuisi? Nt ollaan siis kiinnostuneita siitä, mitä tiukkojen rajoitteiden resursseja voidaan lisätä tuloksen parantamiseksi ja mitä väljien rajoitteiden resursseja voidaan vähentää tulosta heikentämättä. Tuntunee selvältä, että väljän rajoitteen lisäämiseen ei ole tarvetta, koska resurssia nktilanteessakin jää kättämättä. Toisaalta voidaan osoittaa, että tiukan rajoitteen vähentäminen ei voi parantaa tavoitefunktion arvoa. Tarkastellaan maalitehdasesimerkin raaka-aine rajoitetta (): x x 6 (raaka-aine M) Tämän rajoitteen suora kulkee optimipisteen C = (3,.5) kautta, joten rajoite on tiukka ja resurssi siis kokonaan kätett. Jos raaka-aineen M päivittäistä saatavuutta voitaisiin kasvattaa arvosta 6, niin lisäs ei vaikuta kulmakertoimeen vaan ko. suora siirtisi suuntansa säilttäen lämäkeen (kts. seuraava kuva). Optimipiste on kuitenkin edelleen suorien () ja () leikkauspiste, joka nt kulkeutuu kohti pistettä K. Kun piste K saavutetaan, niin rajoite (4) muuttuu väljästä tiukaksi ja alkaa rajoittamaan efektiivisesti. Pisteessä K M-rajoite tulee redundantiksi, koska jos resurssia M kasvatetaan tästä, niin käpä ratkaisualue ei enää laajene. M:n saatavuutta lisäämällä voidaan käpää aluetta laajentaa vain kolmion CKD verran. 4

25 Piste C = (3,.5), jossa z = (tuhansia euroja) Piste K = (, ), jossa z = 3 3 Piste K määrää materiaalin M maksimimäärän, joten saadaan x x 4 6 tonnia 3 3 => Tätä suuremmat määrät eivät vaikuta enää optimia nostavasti. Vastaavasti kasvattamalla raaka-aineen M maksimisaatavuutta, rajoitesuora () siirt suuntansa säilttäen oikealle ja samalla optimipiste kulkee ()-suoraa pitkin kohti vaaka-akselilla sijaitsevaa pistettä J. 5

26 Piste C = (3,.5), jossa z = (tuhansia euroja) Piste J = (6, 0), jossa z = 30 6 x 4x 4 (raaka-aine M kokonaan kätett pisteessä C) Pisteessä J = 36 eli raaka-aineen M maksisaatavuutta voidaan nostaa 4 tonnista 36 tonniin optimiarvoa parantaen. Pisteessä J rajoite () tulee redundantiksi, eikä resurssin kasvattaminen enää paranna kokonaistuottoa. Väljien rajoitteiden resursseja voidaan vähentää optimiarvoa muuttamatta, kunnes resurssia vastaava suora kulkee optimipisteen kautta: - rajoite (4) voidaan vähentää arvosta arvoon.5 - rajoite (3) voidaan vähentää arvosta arvoon -.5 6

27 Ongelma 3: Tiukkojen resurssien optimaalisessa kätössä tät tutkia mihin resurssitppiin kannattaa sijoittaa, jotta höt kasvaisi eniten. LP-analsissä saadaan resurssin ksikköarvo i kullekin resurssitpille i laskettua jakamalla z:n muutos sen aiheuttaneella resurssin i muutoksella eli i z res i Esim. M: M: z : n muutos C J M: n muutos C J 9 z : n muutos C K M : n muutos C K Kummankin ksikkönä on tässä esimerkissä tuhatta euroa. lisätonni ainetta Väljän rajoitteen resurssimuutos ei muuta z:aa, joten 3 = 0 ja 4 = 0. Nähdään, että resurssin () eli raaka-aineen M tulisi saada etusija mahdollista lisärahoitusta jaettaessa. Resurssin ksikköarvolle kätetään mös nimitksiä duaalihinta (leisin termi) ja varjohinta (historiallinen). Nimen duaalihinta merkits selkenee möhemmin. 7

28 .4 ESIMERKKI USEAN MUUTTUJAN LP-PROBLEEMASTA (Oppikirjassa lisää esimerkkejä pkälässä.4) Pankin lainaohjelma: Eräs pankki on muotoilemassa seuraavan vuosineljänneksen lainaohjelmaansa. Tarkoitukseen on osoitettu miljoonaa euroa. Seuraava taulukko esittää eri lainatpit, niiden korkoprosentit sekä kokemuksen perusteella arvioidun hoitamattomien velkojen osuuden. Lainatppi henkilökohtainen auto asunto maatila teollisuus Lainakorko (%) Hoitamattoman velan todennäköiss Hoitamattomat velat oletetaan täsin menetetiksi sekä pääoman että korkojen osalta. Kilpailu alueen muiden pankkien kanssa vaatii, että pankki varaa vähintään 40% kokonaissummasta maatila- ja teollisuuslainoihin. Alueen rakennusteollisuuden auttamiseksi asuntolainojen osuuden on oltava vähintään 50% henkilökohtaisten, auto- ja asuntolainojenhteissummasta. Pankki edellttää ohjelmassa mös, että hoitamattomien velkojen osuus kaikista lainoista hteensä ei saa littää 4%. Laadi matemaattinen malli Mallin muuttujat voidaan valita seuraavasti: x = henkilökohtaiset lainat ( miljoonaa euroa) x = autolainat x 3 = asuntolainat x 4 = maatilalainat x 5 = teollisuuslainat Pankin tavoitteena on maksimoida nettotulonsa, jotka muodostuvat korkotulojen ja hoitamattomien velkojen vuoksi menetettjen varojen erotuksena. 8

29 Tavoitefunktio: maksimoi z = x x x x x 5-0.x x x x 4-0.0x 5 = 0.06x x x x x 5 Rajoitteet:. Kokonaislainapääoma x x x3 x4 x5. Maatalous- ja teollisuuslainat x4 x5 0.4 ( x x x3 x4 x5) => 0.4x 0.4x 0.4x3 0.6x4 0.6x Asuntolainat x 3 0 x3.5( x x ) eli x x x 0 4. Hoitamattomien velkojen osuus 0.x eli 0.07x 0.03x3 0.05x x x x x x x x 0.03x 0.0x3 0.0x4 0.0x5 5. Ei-negatiivisuus x i 0 ( i,...,5)

30 3. SIMPLEX-MENETELMÄ 3. Jos LP-probleemassa on useampia kuin kaksi muuttujaa, graafinen ratkaisu ei sovi. Algebrallisella Simplex-menetelmällä voidaan ratkaista mikä tahansa LP-malli. LP-probleeman optimiratkaisu liitt aina kävän ratkaisualueen johonkin nurkkapisteeseen. Kun ratkaisualue on kahden muuttujan tapauksessa useimmiten monikulmio, on se n:n muuttujan tapauksessa n-ulotteisen avaruuden jokin monisärmiö. Simplexiä varten muunnetaan LP-malli standardimuotoon eli epähtälörajoitteet htälörajoitteiksi kättämällä liikkumavara-, limäärä- ja rajoittamattomia muuttujia. Standardimuotoisen htälörhmän ns. kantaratkaisut määrittelevät täsin ratkaisualueen nurkkapisteet ja simplex-algoritmi lötää helposti kantaratkaisujen joukosta optimiratkaisun. 3.. STANDARDIMUOTO JA SEN KANTARATKAISUT Standardimuotoinen LP-malli:. Kaikki rajoitteet (paitsi muuttujien ei-negatiivisuusehdot) ovat htälöitä, joilla on einegatiivinen oikean puolen vakioarvo.. Kaikki muuttujat ovat ei-negatiivisia. 3. Tavoitefunktion optimointi voi olla maksimointia tai minimointia Epähtälöt htälöiksi Rajoitetppi : Esim. x x 3 3x x s 3 3 Tässä kätett liikkumavaramuuttujalle smbolia s ( slack ), mutta voidaan kättää mös indeksointijärjestksessä seuraavaa x:ää tai jos halutaan korostaa liikkumavaraa kätetään smbolina esim. sx 3 eli x x 3 3x x sx 3, missä x x, sx 0 3 3, 3 30

31 Esim. x x 3 (-) Negatiivinen oikeanpuolen arvo muutettava positiiviseksi kertomalla -:llä, jolloin epäsuuruusmerkin suunta on vaihdettava: x x 3 x x s 3, missä x x, s 0 Rajoitetppi :, Esim.3 x x 3 3x x S 3, missä mös limäärämuuttuja S 0 3. Rajoittamattomat muuttujat ei-negatiivisiksi muuttujiksi Esim. Merkitään x on rajoittamaton j j j x x x, missä x, 0 j j jos x 0, niin x 0 j jos x 0, niin x 0. j j j x j 3. Maksimoinnin muuntaminen minimoinniksi ( tai päinvastoin) max f ( x, x,..., xn ) min f ( x, x,..., x n siinä mielessä, että molemmilla on sama optimipiste. Toisin sanoen max f ( x, x,..., xn ) min ( f ( x, x,..., x n ) )) 3

32 Esimerkki Muunna standardimuotoon LP-malli max z x 3x 5x3 ehdoin x x x3 5 (.) 6x 7x 9x3 4 (.) x x 4x 3 0 (3.) x, x 0 x rajoittamaton Rajoitteet: (.) x x x3 5 x x x3 s 5 (.) 6x 7x 9x3 4 6x 7x 9x3 s 4 (3.) sellaisenaan Muuttujat ei-negatiivisiksi: x 3 rajoittamaton x 3 x3 x3 Standardimuodossa siis: max z x 3x 5x3 5x3 x x x3 x3 s 5 6 x 7 x 9 x 3 9 x 3 s x x 4x3 4x3 x, x, x3, x3, s, s 0 ehdoin (.) 4 0 (.) (3.) 3

33 3.. KANTARATKAISUJEN MÄÄRÄÄMINEN Standardimuotoisessa LP-mallissa olkoon htälörhmä, jossa on m htälöä ja n muuttujaa (m < n). Jaetaan n muuttujaa kahteen joukkoon: () n-m muuttujaa, jotka asetetaan nolliksi () loput m muuttujaa, joiden arvo saadaan ratkaisemalla m:n htälön rhmä. Jos nämä m htälöä tuottavat -käsitteisen ratkaisun, on kseessä kantaratkaisu ja kätett m muuttujaa ovat kantamuuttujat ja loput n-m muuttujaa ovat eikantamuuttujat. Jos kaikilla kantamuuttujilla on ei-negatiivinen arvo, kseessä on käpä ratkaisu, muutoin ei-käpä ratkaisu. Mahdollisia kantaratkaisuja on n m n! m!( n m)! kappaletta. Esimerkki Yhtälörhmä, jossa m = ja n = 5. x 4x x x 4x 3 x x 3 x 4 4 3x 6x ! Kantaratkaisuja on korkeintaan 0!3! Tarkastellaan muutamaa mahdollista tapausta: kpl. a) Valitaan ei-kantamuuttujat x x4 x5 0. Jäljelle jää kantamuuttujien htälörhmä x 4x 4x x jolla on -käsitteinen ratkaisu x 0, x3. Koska molemmat ovat 0, niin x, x, x, x, x ) (0, 0,, 0, 0) on käpä ratkaisu. (

34 b) Ei-kantamuuttujat: x x x 0 => x x 4x x käsitteinen kantaratkaisu: x 6, x 4. => ei-käpä kantaratkaisu, koska 0 c) Nollamuuttujat x, x ja x 5 : 4x x 3 3 x x => x4 4 x3 eli ääretön määrä ratkaisuja => ei -käsitteinen eli ei kantaratkaisua d) Nollamuuttujat x, x 3 ja x 4: x x 3x 6x = - => ei ratkaisua 3..3 RAJOITTAMATTOMAT MUUTTUJAT JA KANTARATKAISUT Rajoittamaton muuttuja j j x x x, siten, että x, 0, missä j j x j j x 0 => x 0 j x 0 => x 0 j j Lisäksi x j :n ja x j :n kertoimet toistensa vastalukuja, joten ko. muuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia. => Jokaisessa kantaratkaisussa vähintään jommankumman em. muuttujista on oltava ei-kantamuuttuja ( eli = 0). 34

35 3.3 SIMPLEX-ALGORITMI (Taulukkomuotoinen) kännist kävästä kantaratkaisusta ja prkii sitten lötämään toisen kävän kantaratkaisun, joka parantaa tavoitefunktiota. Tämä on mahdollista vain, jos kasvu nkisessä nollamuuttujassa eli eikantamuuttujassa voi johtaa tavoitefunktion paranemiseen. => saapuva muuttuja Koska kantaratkaisussa pitää olla täsmälleen m kpl kantamuuttujia, on jonkun nkisistä kantamuuttujista tultava ei-kantamuuttujaksi. => lähtevä muuttuja Kädään seuraavassa läpi simplex-algoritmin periaatteet kättämällä esimerkkinä tuttua maalitehtaan tuotevalintaongelmaa. Seuraa graafisen ratkaisun kuvasta, miten algoritmi etenee aloitusratkaisusta optimiratkaisuun. Muutetaan malli ensin standardimuotoon ja tavoitefunktiokin muotoon, jossa kaikki muuttujat ovat htäläissmerkin vasemmalla puolella ja oikealla puolella vain vakioarvo: Maksimoi z 5x 4x eli z 5x 4x 0 ehdoin 6x 4x s 4 x x s 6 x x s3 x s4 x x, s, s, s, s 0 Yhtälöitä 4 kpl => m = 4, 3 4 Siis 4 kantamuuttujaa ja ei-kantamuuttujaa ( nollamuuttujaa). Eräs kantaratkaisu nähdään helposti asettamalla ei-kantamuuttujiksi x x 0 => s, s, s, s ) (4, 6,, ) ja graafisessa ratkaisussa ollaan tällöin origossa. (

36 Esitetään malli seuraavana taulukkona: Kanta z x x s s s 3 s 4 Ratkaisu z s s s s Taulukon rivejä kutsutaan kantasarakkeen muuttujan mukaan: z-rivi, s -rivi jne. 36

37 z-rivillä ratkaisusarakkeessa oleva 0 on z:n arvo tällä hetkellä, ollaanhan origossa eli kumpaakaan maalitppiä ei valmisteta htään, joten tuottokin on nolla. Tämän hetkinen ratkaisu ei ole optimaalinen, jos jokin nkisten ei-kantamuuttujien kertoimista z-rivillä on negatiivinen ( maksimointitehtävä). => ei olla vielä optimissa Ratkaisun parantaminen: Valitaan saapuvaksi muuttujaksi se ei-kantamuuttuja, jonka kerroin z-rivillä on negatiivisin. => x on saapuva muuttuja Mikä saapuvalle muuttujalle arvoksi seuraavassa kantaratkaisussa? Tämä lasketaan jakamalla kantamuuttujariveillä ratkaisusarakkeen alkiot vastaavalla saapuvan muuttujan sarakkeen alkiolla. Tässä htedessä ei jaeta negatiivisella alkiolla eikä nollalla. Pienin ei-negatiivinen suhde on saapuvan muuttujan arvo: Kantamuuttuja x Ratkaisu Suhde s s s 3 s /6 = 4 <= pienin ei-negat. 6/ = 6 hlätään hlätään => x = 4 ( Huomaa graafisessa ratkaisussa x -akselin pisteet 4 ja 6. Näistä vain pienin suhde on kävällä ratkaisualueella.) Mikä on lähtevä muuttuja? Koska pienin ei-negatiivinen suhde oli s -rivillä => s on lähtevä muuttuja Uuden kantaratkaisun laskeminen tapahtuu Gauss-Jordanin rivioperaatioilla (vertaa Insinöörimatematiikka ). 37

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Harjoitus 1 (17.3.2015)

Harjoitus 1 (17.3.2015) Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta. Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo

KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo 1 KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo ÄLÄ IRROTA PAPEREITA TOISISTAAN! Ohjeet: Tenttikysymyksiä on kuusi (+ jokeri ohjeineen viimeisellä sivulla). Valitse tenttikysymyksistä

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää.

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää. Yhtälörhmä Lineaarisen htälörhmän alkeisoperaatiot ovat ) kahden htälön järjestksen vaihto ) htälön kertominen puolittain nollasta eroavalla luvulla ja ) luvulla puolittain kerrotun htälön lisääminen johonkin

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat 1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat Kun matemaattista probleemaa lähdetään ratkaisemaan yhtälöä hyväksi käyttäen, tilanne on vaikeampi kuin ratkaistaessa yhtälöä mekaanisesti. Nyt on näet itse laadittava

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Reiluus. Maxmin-reiluus. Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa. Reiluuden maxmin-määritelmä

Reiluus. Maxmin-reiluus. Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa. Reiluuden maxmin-määritelmä J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Reiluus 1 Reiluus Maxmin-reiluus Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa kenellekään ei anneta kvantitatiivisia QoS-takuita kaikkien pitää saada palvelua

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot