MAT OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 2013, periodi 4. Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos
|
|
- Raimo Kähkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAT-4 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 03, periodi 4 Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos
2 SISÄLLYSLUETTELO. Johdantoa ja terminologiaa 3. Lineaarinen optimointi ja graafinen ratkaisu 0 3. Simplex-algoritmi Duaalisuus ja herkksanalsi 6 5. Kuljetusmalli ja sen muunnelmat Varastomalleja 7. Kokonaislukuoptimointi Monitavoiteoptimointi 57
3 . Operaatiotutkimus (OT) taito vai tiede? Operaatiotutkimus prkii etsimään päätöksentekotilanteessa parhaan eli optimaalisen vaihtoehdon huomioiden rajallisten resurssien aiheuttamat rajoitteet. Taitolajina operaatiotutkimus on tökalu, jota päätöksentekijä kättää mallintaessaan käsillä olevaa ongelmaa matemaattiseen muotoon, valitessaan malliin sopivan optimointimenetelmän tai algoritmin, ratkaistessaan mallinsa joko tietokoneella tai knällä ja paperilla sekä analsoidessaan ratkaisuna saamaansa optimitulosta selvittääkseen ratkaisun herkkden esim. mallin parametrien muutoksille. Tieteenä operaatiotutkimuksessa etsitään hä tehokkaampia ja nopeampia menetelmiä optimin saavuttamiseksi, tutkitaan uusien tekniikoiden (esim. neuroverkot, sumea laskenta jne) kättöönottoa m. OT:n snt sijoitetaan lähinnä Englantiin toisen maailmansodan aikoihin. Siellä nimittäin koottiin rhmä asiantuntijoita (matemaatikkoja, pskologeja, sosiologeja jne) tutkimaan miten rajalliset sotamateriaalit tulisi osoittaa eri sotilasoperaatioihin, jotta saatava höt olisi mahdollisimman suuri.. Yksinkertainen päätöksentekomalli Päätöksentekoprobleeman hteenveto tavalla, joka sallii probleeman kaikkien päätösvaihtoehtojen sstemaattisen identifioinnin ja arvonmääritksen. Päätöksentekoon tullaan valitsemalla kaikkien mahdollisten joukosta paras vaihtoehto. Esimerkki Eräällä Tamperelaisella asiantuntijalla on viiden viikon konsultointisopimus erään EUvaltion pääkaupungissa (E). Hän lentää sinne maanantaisin ja palaa Tampereelle keskiviikkoisin. 3
4 T Ke Ma E Meno-paluulipun perushinta, eli jos paluu samalla viikolla kuin meno, on 400. Jos paluu on eri viikolla, hinta on 80% perushinnasta. Yksisuuntainen lippu maksaa 75% perusmeno-paluun hinnasta. Miten asiantuntijan kannattaisi liput ostaa ko. viiden viikon aikana? Päätösvaihtoehdot: (Oleellisimmat). Asiantuntija ostaa joka maanantai menopaluulipun (perushintaisen).. Hän ostaa menolipun E:hen ja sieltä neljä kertaa menopaluulipun sekä lopuksi menolipun Tampereelle. 3. Hän ostaa ensin menopaluulipun, jossa paluu viidennellä viikolla ja välillä E:stä neljä menopaluuta, jotka sisältävät viikonlopun. Asiantuntijan tavoitteena on kustannusten minimointi. Tapauksessa, jossa päätösvaihtoehtoja on rajallinen (pieni) määrä, voidaan laskea erikseen kunkin vaihtoehdon arvo: vaihtoehto : 5 x 400 = 000 vaihtoehto : 0.75 x x (0.8 x 400) x 400 = 880 vaihtoehto 3: 5 x (0.8 x 400) = 600 Näin ollen vaihtoehto 3 antaa optimiratkaisun. Esimerkki Tuotantopäällikön on uutta konetta hankittaessa suoritettava valinta automaattisen ja puoliautomaattisen kesken. Koneet tuottavat tiettä osaa eräajoina eräkoon voidessa vaihdella. Kone valmistellaan aina kutakin erää varten. Erän aloituskustannukset 4
5 (kiinteä) ja muuttuvat ksikkötuotantokustannukset ovat: Kustannukset ( ) Puoliautomaattinen Automaattinen Erän aloituskustannus Muuttuva ksikkökustannus Tilanteen muotoilu päätöksentekomalliksi:. Yksilöi päätösvaihtoehdot. Suunnittele kriteeri kunkin vaihtoehdon arvon määrittämiseksi 3. Kätä kehitettä kriteeriä perustana parhaan kätettävissä olevan vaihtoehdon valitsemiseksi. Probleeman asettelusta nähdään, että vaihtoehtoja on kaksi:. Osta automaattikone.. Osta puoliautomaattikone. Vaihtoehtojen arviointi voidaan tehdä koneen kättökustannusten perusteella (vrt. o. taulukko). Päämääränä on valita pienemmät kustannukset aiheuttava vaihtoehto. Kustannuskriteerin formalisointi: Olkoon x hdessä eräajossa tuotettujen ksiköiden lukumäärä. Kustannusfunktioksi saadaan tuotantokustannus/erä = aloituskustannus + (muuttuva ksikkökustannus) x x ( automaatti) = 0 0.6x ( puoliautom.) Lopullinen päätöksentekomalli: VALITSE YKSI SEURAAVISTA VAIHTOEHDOISTA:. Osta automaattinen kone. Osta puoliautomaattinen kone Valitun vaihtoehdon on aiheutettava pienimmät tuotantokustannukset erää kohden. 5
6 6
7 Mallin graafinen ratkaisu tasakustannuskaaviolla ( break-even -kaavio): automaattikone = ehjä viiva puoliautomaatti = katkoviiva Tasakustannuspiste x = 50 ksikköä Saadaan ratkaisu:. Osta puoliautomaattikone, jos eräkoko < 50 ksikköä. Osta automaattikone, jos eräkoko > 50 ksikköä 3. Osta kumpi tahansa, jos eräkoko = 50 ksikköä Em. ratkaisu olettaa implisiittisesti, että kumpikin kone tuottaa osia samalla nopeudella. Oletetaan, että tuotantonopeudet ovat erisuuret, esim. automaatti 5 ks./tunti puoliautomaatti 5 ks./tunti Oletetaan lisäksi, että tehdas toimii ksivuoroperiaatteella päivittäin 8 tuntia. 7
8 UUSI INFORMAATIO LISÄÄ MALLIIN RAJOITTEITA. 8-tuntinen töaika rajaa maksimieräkoon seuraavasti: automaatti puoliautomaatti 5 8 = 00 ks. 5 8 = 0 ks. Ratkaisu muuttu seuraavaksi: 8-tunnin rajoituksen vaikutukset: automaattikone = ehjä viiva puoliautomaatti = pisteviiva eräkoko 0 => päätöksenteko-ongelmassa vaihtoehtoa, joista puoliautomaatti on parempi 0 < eräkoko 00 => vain ksi vaihtoehto eli automaattikone on käpä vaihtoehto puoliautomaatti on ei-käpä vaihtoehto eräkoko > 00 => kumpikin vaihtoehto ei-käpä 8
9 Siis PÄÄTÖKSENTEKO-ONGELMAN RAJOITTEET PYRKIVÄT VÄHENTÄMÄÄN VALINTOJA ELIMINOIMALLA EI-KÄYVÄT VAIHTOEHDOT. Mitä enemmän rajoitteita, sitä huonompi ratkaisu (arvostelukriteerin kannalta) eli Rajoitettu ratkaisu ei ole koskaan parempi kuin rajoittamaton ratkaisu. PÄÄTÖKSENTEKOMALLIN OLEELLISET OSAT:. Päätöksenteon vaihtoehdot, joista valinta tehdään. Rajoitteet ei-käpien vaihtoehtojen poissulkemiseksi 3. Kriteeri käpien vaihtoehtojen arvostelemiseksi Hieman terminologiaa: Päätöksentekomuuttujat, päätösmuuttujat tai muuttujat ( = päätöksentekovaihtoehdot) Tavoitefunktion eli objektifunktion optimointi ( = vaihtoehtojen arvosteluproseduuri) Optimointi esim. kustannusten minimointi tai tuoton maksimointi 9
10 . LINEAARINEN OPTIMOINTI (eli lineaarinen ohjelmointi) Formuloinnit ja graafinen ratkaisu - Matemaattinen mallinnustekniikka, jonka tarkoituksena on optimoida rajallisten resurssien kättö. ESIMERKKI Maalitehtaan tuotevalintaongelma Pieni maalitehdas tuottaa sekä sisä- että ulkomaalia. Maalien valmistamiseen kätetään kahta raaka-ainetta: M ja M. Seuraava taulukko antaa ongelman lähtötiedot: Tonnia raaka-ainetta maalitonnia kohden Ulkomaali Sisämaali Päivittäinen maksimisaatavuus (tonnia) Raaka-aine M Raaka-aine M 6 Tuotto per maalitonni( 000 ) 5 4 Markkinatutkimus osoittaa, että sisämaalin päivittäinen ksntä on korkeintaan tonnia. Markkinatutkimus osoittaa mös, että sisämaalin päivittäinen ksntä ei voi littää ulkomaalin vastaavaa ksntää enempää kuin tonnilla. Paljonko htiön tulisi päivittäin tuottaa sisä- ja ulkomaalia maksimoidakseen päivittäisen tuottonsa? Matemattisen mallin konstruointi:. Mitä malli prkii määrittämään? Toisin sanoen, mitkä ovat ongelman muuttujat (tuntemattomat)?. Mitä ehtoja muuttujille on asetettava tdttämään mallinnettavan järjestelmän rajoituksia? 3. Mihin tavoitteeseen (päämäärään) pritään määritettäessä optimiratkaisua muuttujien käpien arvojen joukosta? 0
11 Vastaus: Yhtiö haluaa määrätä tuotettavan sisä- ja ulkomaalin määrän (tonneina), joka maksimoi kokonaistuoton (tuhansina euroina) tdttäen raaka-aineiden saatavuuden ja tarpeen asettamat rajoitteet. - Muuttujat: Olkoot x = päivittäin tuotettavan ulkomaalin määrä tonneina x = päivittäin tuotettavan sisämaalin määrä tonneina - Tavoitefunktio Merkitään kokonaistuloja (tuhansina euroina) z:lla ja oletetaan sisä- ja ulkomaalin mnti toisistaan riippumattomaksi z 5x x 4 - Rajoitteet Raaka-aineiden saatavuuden ja tarpeen asettamat rajoitukset: molempien maalien kättämän raaka aineen määrä aineen maksimi saatavuus raaka => Tehtävämääritteltaulukosta: 6x 4x 4 (raaka-aine M) x x 6 (raaka-aine M) Ksntärajoitteet: sisämaalin limäärä ulkomaalin suhteen sisämaalin ksntä tonni päivä tonni päivä => x x x Etumerkkirajoitteet (eli ei-negatiivisuus): Maaleja ei voi valmistaa negatiivista määrää => x ja x 0 0
12 Huom! Lukuparien ( x, x ) arvot muodostavat kävän ratkaisun, mikäli ne tdttävät mallin kaikki rajoitteet. Matemaattinen malli on siis Maksimoi z 5x 4x ehdoin 6x 4x 4 x x 6 x x x x x 0, Huom! Kaikki mallin funktiot (tavoite- ja rajoite-) ovat lineaarisia. Tästä seuraavat ominaisuudet:. SUHTEELLISUUS Jokaisen muuttujan (tässä x ja x ) vaikutus tavoitefunktioon tai sen kättö resurssirajoitteessa on suoraan verrannollinen sen arvoon. Esim. paljousalennukset poistavat suhteellisuusominaisuuden..additiivisuus Tavoitefunktiossa ja rajoitteissa muuttujat ovat vapaita eli eivät vaikuta toistensa arvoihin, joten ne ovat sellaisinaan laskettavissa hteen. Esim. kilpailutilanteessa toisen tuotteen mnnin nousu saattaa laskea kilpailevan tuotteen mntiä, jolloin additiivisuusominaisuus ei ole voimassa.
13 . LP-MALLIN GRAAFINEN RATKAISU ( LP = linear programming eli lineaarinen optimointi) Soveltuu kahden muuttujan tapauksiin. - Muodostetaan ensin tehtävän käpä alue eli alue, jossa tehtävän kaikki rajoitteet ovat htä aikaa voimassa, piirtämällä x,x -koordinaatistoon rajoite-ehtojen htäsuuruusmerkkiä vastaavat suorat ja määräämällä kummalla puolella suoraa rajoitteen epäsuuruusehto on voimassa. Käpä ratkaisualue merkitt pisteillä. 3
14 Missä kävän alueen pisteessä tavoitefunktion arvo z 5x 4x saa suurimman mahdollisen arvon z max? Jos kirjoitetaan z-suoran htälö ratkaistuna pstakselin muuttujan suhteen 5 z x x 4 4 nähdään, että z:n arvon muuttuminen ei muuta suoran kulmakerrointa vaan ainoastaan suoran paikkaa ( pstakseli leikkautuu kohdassa z/4 ja vaaka-akseli kohdassa z/5). Piirretään siis tavoitefunktion kuvaaja jollakin z:n arvolla, katsotaan mihin suuntaan suora siirt z:n kasvaessa ja siirretään sitten suoraa suuntansa säilttäen kasvavaan suuntaan niin kauas, että suora leikkaa käpää aluetta enää hdessä pisteessä (tai pitkin kävän alueen jotakin reunajanaa). Tämä piste on optimipiste. (Kuva seuraavalla sivulla.) Rajoitesuorien () ja () leikkauspisteenä optimipisteeksi saadaan htälörhmänä ratkaistuna ( x, x ) (3,.5). Sijoittamalla koordinaatit tavoitefunktioon saadaan z max (tuhansina euroina). Maalitehtaan optimistrategia on siis valmistaa päivittäin 3 tonnia ulkomaalia ja.5 tonnia sisämaalia, jolloin päivittäinen optimaalinen tuotto on
15 Näin ollen lienee selvää, että optimipiste on aina kävän alueen jokin nurkkapiste, joten ratkaisu voidaan etsiä mös ratkaisemalla nurkkapisteiden koordinaatit, sijoittamalla tavoitefunktioon ja katsomalla missä z maksimoituu. Joskus tavoitefunktion kuvaaja on hvin samansuuntainen reunasuoran kanssa ja tällöin on tarkasteltava kulmakertoimia oikean optimipisteen valitsemiseksi. 5
16 MINIMOINTIPROBLEEMAN RATKAISU Edellinen esimerkki oli maksimointiprobleema. Minimointiprobleema sujuu samojen periaatteiden mukaisesti, paitsi että tavoitefunktion kuvaajaa siirretään z:n pienenevään suuntaan. ESIMERKKI Karjatilan ruokintaprobleema Amerikkalainen karjatila kättää karjan ruokintaan päivittäin vähintään 800 kg tiettä ravintoseosta. Seos koostuu maissista ja soijapavusta, joilla on seuraavan taulukon mukaiset ominaisuudet: kiloa / kilo ainetta proteiinia kuitua hinta ($ / kg) maissi soijapapu Seoksen dieettivaatimukset edellttävät vähintään 30% proteiinia ja enintään 5% kuitua. Miten karjatilan tulisi seos muodostaa, jotta päivittäiset kustannukset minimoituisivat? Muodostetaan matemaattinen malli: Valitaan muuttujat: x = maissin määrä (kg) päivittäisessä seoksessa x = soijapavun määrä (kg) päivittäisessä seoksessa Tavoitteena on päivittäisten kustannusten minimointi Minimoi z 0.3x 0. 9x Rajoitteet: määrärajoite x x 800 proteiinirajoite 0.09x 0.6x 0.3( x x ) 0.x 0.3x 0 kuiturajoite.0x 0.06x 0.05( x x ) 0.03x 0.0x 0 0 maissia ja soijapapua ei voida kättää negatiivista määrää x x 0, 6
17 Siis Mallin graafinen ratkaisu: Minimoi z 0.3x 0. 9x ehdoin x x 800 (.) 0.x 0.3x 0 (.) 0.03x 0.0x 0 (3.) x x 0 (4.)(5.), Käpä ratkaisualue merkitt pisteillä. 7
18 Optimipiste suorien () ja () leikkauspiste ( x, x ) (470.6, 39.4) ja sijoittamalla koordinaatit tavoitefuktioon saadaan z min Siis päivittäiseen ravintoseokseen tulee kg maissia ja 39.4 kg soijapapua ja päivittäiset minimikustannukset ruokinnan osalta ovat $ LIIKKUMAVARA (slack), YLIMÄÄRÄ (surplus) ja RAJOITTAMATTOMAT MUUTTUJAT (unrestricted variables). Liikkumavara - tppisessä rajoitteessa oikean puolen arvo leensä ilmaisee jonkin resurssin maksimisaatavuuden ja vasemman puolen lauseke ilmaisee paljonko eri aktiviteetit ovat resurssia kättäneet. Esim. raaka-ainerajoitteet maalitehdasesimerkissä: M: 6x 4x 4 M: x x 6 Tarkastellaan käpää ratkaisua x, x ) (, ). ( M: = 0 < 4 (resurssia kättämättä 4 tonnia) M: + = 6 (koko resurssi kätett) Ensinmainitussa rajoitteessa on vielä liikkumavaraa. Jatkossa, varsinkin simplex-algoritmin htedessä, tämän tppiset epähtälörajoitteet kirjoitetaan htälörajoitteiksi ottamalla kättöön ei-negatiivinen liikkumavaramuuttuja (slack variable): M: 6x 4x s 4 M: x x s 6 missä s s 0, Ylimäärä - tppisessä rajoitteessa oikean puolen arvo kertoo jonkin asian minimivaatimuksen ja vasemman puolen lauseke todellisen määrän. Esim. karjatilaesimerkissä ravintoseosta tarvittiin vähintään 800 kg päivässä. x x 800 8
19 Helläsdäminen karjatilallinen saattaa antaa eläimille enemmän kuin minimivaatimuksen toteuttamalla esimerkiksi jonkin kävän alueen sisäpisteratkaisun. Tällöin siis vasemman puolen lausekkeessa on jonkin verran limääräistä ravinnetta. Kun halutaan kirjoittaa tämän tppinen rajoite-ehto htälörajoitteena, on vasemman puolen lausekkeesta siis mahdollisesti vähennettävä jotakin, jotta lausekkeen arvo olisi htäsuuri kuin oikean puolen minimivaatimus eli kätetään ei-negatiivista limäärämuuttujaa ( surplus variable ) S : x x S 800, missä S 0. Rajoittamattomat muuttujat Tähänastisissa esimerkeissä päätöksentekomuuttujat ovat olleet etumerkkirajoitettuja eli x 0. Näin ei kaikissa tapauksissa tarvitse olla: i ESIM. Sunset Boulevardilla sijaitseva McBurger m neljännesnaulaisia ja juustopurilaisia. ( naula = lb = kg) Neljännesnaulainen kättää 0.5 lb lihaa ja juustopurilainen 0. lb. Yrits aloittaa päivän 00 lb:n lihamäärällä, mutta sitä voidaan tarvittaessa tilata lisää, jolloin limääräisiä toimituskustannuksia tulee 5 centtiä / naula. Päivän päätttä jäljelle jäänt liha lahjoitetaan hväntekeväisteen. Neljännesnaulaiset tuottavat 0 c/kpl ja juustopurilaiset 5 c/kpl. McBurger ei odota mvänsä li 900 annosta päivässä. Kuinka monta kumpaakin lajia kannattaisi valmistaa? x = neljännesnaulaisten määrä päivässä x = juustopurilaisten määrä päivässä Rajoitteet: Jos aamulla saatu lihamäärä riittää, niin 0.5x 0.x 00, muussa tapauksessa 0.5x 0.x 00. Nt ei siis tiedetä, toimitaanko liikkumavaralla vai limäärällä. 9
20 Kätetään (etumerkki)rajoittamatonta muuttujaa x 3 seuraavasti: 0 3.5x 0.x x 00, jolloin x 3 on liikkumavaramuuttuja, jos x 3 > 0 ja limäärämuuttuja, jos x 3 < 0. Tavoitefunktio: McBurger haluaa maksimoida tuoton ja limääräisten toimituskustannusten välisen erotuksen. Näitä kustannuksia snt vain, jos x 3 < 0. Rajoittamattoman muuttujan kättö on vaivalloista ja koska möhemmin opittava simplex-algoritmi hväks sisäisesti vain ei-negatiiviset muuttujat, korvataan x 3 kahdella toisistaan riippuvalla ei-negatiivisella muuttujalla x 3 x3 x3, missä x 3, x 3 0 siten,että jos x 0, niin x 0 ja x on liikkumavaraa jos x 0, niin x 0 ja x on limäärää. Nämä uudet muuttujat eivät siis voi olla htä aikaa >0, mutta voivat kumpikin = 0. Saadaan malli maksimoi z 0.0x 0.5x 0. 5x3 0.5x 0.x x3 x3 ehdoin
21 .3 HERKKYYSANALYYSI on mallin optiminjälkeistä tarkastelua, jossa tutkitaan, miten herkästi optimi muuttuu, kun mallin parametreja muutetaan. Esim. maalitehdasesimerkissä voi maalien ksntä muuttua tai raaka-aineiden saatavuus vaihdella. Mös hinnat voivat muuttua ja näin ollen mös tuotot. Herkksanalsin suorittaminen antaa joustoa mallin kättäjälle. Tutustutaan maalitehdasesimerkin avulla muutamaan tpilliseen herkksanalsin ksmksenasetteluun LP-tehtävän rajoitteet luokitellaan sitoviksi tai ei-sitoviksi. Rajoite on sitova, jos sitä vastaava suora kulkee optimipisteen kautta. Muut rajoitteet ovat ei-sitovia. Maalitehdasesimerkissä optimipiste sijaitsee raaka-aine rajoitteita () ja () vastaavien suorien leikkauspisteessä. Tämä tarkoittaa mös sitä, että optimipisteessä nämä rajoiteehdot ovat voimassa htälöinä, jolloin vastaavat resurssit on kokonaisuudessaan kätett. Sitova rajoite on tiukka (efektiivisesti rajoittava), koska sitä vastaava resurssi tulee kokonaan kätetksi. Ei-sitova rajoite on väljä, koska sitä vastaavaa resurssia jää osa kättämättä. Ongelma : Kuinka paljon tavoitefunktion kertoimet (eli maalien tuotot) voivat muuttua? Tavoitefunktion kertoimien muutokset vaikuttavat vastaavan suoran kulmakertoimeen. => Kaksi tpillistä tilannetta tutkittavana. Kuinka paljon kerroin voi muuttua, jotta optimipiste ei siirr siitä nurkkapisteestä, jossa se sijaitsee?. Kuinka paljon kerroin voi muuttua, ennenkuin tiett rajoite muuttuu tiukasta väljäksi tai päinvastoin? Tarkastellaan tavoitefunktiota z cx cx eli x c z x. c c
22 Ajatellaan optimipiste C tukipisteeksi, jonka varassa tavoitesuora keikkuu. On helppo havaita, että optimipiste säil pisteessä C niin kauan kuin z-suoran kulmakerroin on rajoitesuorien () ja () kulmakertoimien välissä: 6 4 c c => c c 6 4 ( c 0) Jos z-suoran kulmakerroin = ()-suoran kulmakerroin, niin optimi saavutetaan janan CB jokaisessa pisteessä. Vastaavasti, jos z:n kk. = ():n kk., niin optimi saavutetaan janan CD jokaisessa pisteessä. Kun tuottosuhde siirt m. suljetun välin ulkopuolelle, niin optimipiste siirt joko pisteeseen B (tuottosuhde >.5) tai pisteeseen D (tuottosuhde < 0.5) ja maalien optimaaliset valmistusmäärät muuttuvat.
23 c :n ja c :n vaihtelurajat, kun kertoimissa ksittäinen muutos: z cx 4x (eli sisämaalin tuotto ps entisenä, ulkomaalin muuttuu) => x c z x 4 => 4 6 c => c z 5x c x (eli ulkomaalin tuotto ps entisenä, sisämaalin muuttuu) Nt c c 6 4 eli 4 6 c c eli 4 c 0 => c Yllälasketut kertoimen ksittäisen muutoksen vaihtelurajat siis säilttävät optimipisteen nkisenä. Tavoitefunktion kertoimien samanaikaiset muutokset: Maalitehdas: z 5x 4x cx cx (leisesti) Optimipiste säili pisteenä C, kun c c 6. 4 Ilmaistaan samanaikaiset kerroinmuutokset muutoksina nkisiin arvoihin: z ( 5 d x, missä d i ( i,) voi olla > 0 tai < 0 tai = 0. ) x (4 d ) Tällöin epähtälöketjun oikeasta puolesta saadaan: 5 d 4 d 6 4 => 0 4d 4 6d (olettaen, että 4 d 0 ) => 4d 6d 0 4 Vasemmasta puolesta: 5 d 4 d => d d 0 6 3
24 Kun siis tavoitefunktion z 5x 4x kertoimissa tapahtuu samanaikaiset muutokset d ja d, niin optimipiste säil entisenä, mikäli 4 4d 6d 0 ja d d 0 6 Ongelma : Miten optimi muuttuu, jos resurssirajoitteet muuttuvat? Eritisesti a) miten paljon resurssia voidaan lisätä, kun tarkoituksena on kasvattaa tavoitefunktion arvoa? tai b) miten paljon resurssia voidaan vähentää siten, että optimiarvo ei muuttuisi? Nt ollaan siis kiinnostuneita siitä, mitä tiukkojen rajoitteiden resursseja voidaan lisätä tuloksen parantamiseksi ja mitä väljien rajoitteiden resursseja voidaan vähentää tulosta heikentämättä. Tuntunee selvältä, että väljän rajoitteen lisäämiseen ei ole tarvetta, koska resurssia nktilanteessakin jää kättämättä. Toisaalta voidaan osoittaa, että tiukan rajoitteen vähentäminen ei voi parantaa tavoitefunktion arvoa. Tarkastellaan maalitehdasesimerkin raaka-aine rajoitetta (): x x 6 (raaka-aine M) Tämän rajoitteen suora kulkee optimipisteen C = (3,.5) kautta, joten rajoite on tiukka ja resurssi siis kokonaan kätett. Jos raaka-aineen M päivittäistä saatavuutta voitaisiin kasvattaa arvosta 6, niin lisäs ei vaikuta kulmakertoimeen vaan ko. suora siirtisi suuntansa säilttäen lämäkeen (kts. seuraava kuva). Optimipiste on kuitenkin edelleen suorien () ja () leikkauspiste, joka nt kulkeutuu kohti pistettä K. Kun piste K saavutetaan, niin rajoite (4) muuttuu väljästä tiukaksi ja alkaa rajoittamaan efektiivisesti. Pisteessä K M-rajoite tulee redundantiksi, koska jos resurssia M kasvatetaan tästä, niin käpä ratkaisualue ei enää laajene. M:n saatavuutta lisäämällä voidaan käpää aluetta laajentaa vain kolmion CKD verran. 4
25 Piste C = (3,.5), jossa z = (tuhansia euroja) Piste K = (, ), jossa z = 3 3 Piste K määrää materiaalin M maksimimäärän, joten saadaan x x 4 6 tonnia 3 3 => Tätä suuremmat määrät eivät vaikuta enää optimia nostavasti. Vastaavasti kasvattamalla raaka-aineen M maksimisaatavuutta, rajoitesuora () siirt suuntansa säilttäen oikealle ja samalla optimipiste kulkee ()-suoraa pitkin kohti vaaka-akselilla sijaitsevaa pistettä J. 5
26 Piste C = (3,.5), jossa z = (tuhansia euroja) Piste J = (6, 0), jossa z = 30 6 x 4x 4 (raaka-aine M kokonaan kätett pisteessä C) Pisteessä J = 36 eli raaka-aineen M maksisaatavuutta voidaan nostaa 4 tonnista 36 tonniin optimiarvoa parantaen. Pisteessä J rajoite () tulee redundantiksi, eikä resurssin kasvattaminen enää paranna kokonaistuottoa. Väljien rajoitteiden resursseja voidaan vähentää optimiarvoa muuttamatta, kunnes resurssia vastaava suora kulkee optimipisteen kautta: - rajoite (4) voidaan vähentää arvosta arvoon.5 - rajoite (3) voidaan vähentää arvosta arvoon -.5 6
27 Ongelma 3: Tiukkojen resurssien optimaalisessa kätössä tät tutkia mihin resurssitppiin kannattaa sijoittaa, jotta höt kasvaisi eniten. LP-analsissä saadaan resurssin ksikköarvo i kullekin resurssitpille i laskettua jakamalla z:n muutos sen aiheuttaneella resurssin i muutoksella eli i z res i Esim. M: M: z : n muutos C J M: n muutos C J 9 z : n muutos C K M : n muutos C K Kummankin ksikkönä on tässä esimerkissä tuhatta euroa. lisätonni ainetta Väljän rajoitteen resurssimuutos ei muuta z:aa, joten 3 = 0 ja 4 = 0. Nähdään, että resurssin () eli raaka-aineen M tulisi saada etusija mahdollista lisärahoitusta jaettaessa. Resurssin ksikköarvolle kätetään mös nimitksiä duaalihinta (leisin termi) ja varjohinta (historiallinen). Nimen duaalihinta merkits selkenee möhemmin. 7
28 .4 ESIMERKKI USEAN MUUTTUJAN LP-PROBLEEMASTA (Oppikirjassa lisää esimerkkejä pkälässä.4) Pankin lainaohjelma: Eräs pankki on muotoilemassa seuraavan vuosineljänneksen lainaohjelmaansa. Tarkoitukseen on osoitettu miljoonaa euroa. Seuraava taulukko esittää eri lainatpit, niiden korkoprosentit sekä kokemuksen perusteella arvioidun hoitamattomien velkojen osuuden. Lainatppi henkilökohtainen auto asunto maatila teollisuus Lainakorko (%) Hoitamattoman velan todennäköiss Hoitamattomat velat oletetaan täsin menetetiksi sekä pääoman että korkojen osalta. Kilpailu alueen muiden pankkien kanssa vaatii, että pankki varaa vähintään 40% kokonaissummasta maatila- ja teollisuuslainoihin. Alueen rakennusteollisuuden auttamiseksi asuntolainojen osuuden on oltava vähintään 50% henkilökohtaisten, auto- ja asuntolainojenhteissummasta. Pankki edellttää ohjelmassa mös, että hoitamattomien velkojen osuus kaikista lainoista hteensä ei saa littää 4%. Laadi matemaattinen malli Mallin muuttujat voidaan valita seuraavasti: x = henkilökohtaiset lainat ( miljoonaa euroa) x = autolainat x 3 = asuntolainat x 4 = maatilalainat x 5 = teollisuuslainat Pankin tavoitteena on maksimoida nettotulonsa, jotka muodostuvat korkotulojen ja hoitamattomien velkojen vuoksi menetettjen varojen erotuksena. 8
29 Tavoitefunktio: maksimoi z = x x x x x 5-0.x x x x 4-0.0x 5 = 0.06x x x x x 5 Rajoitteet:. Kokonaislainapääoma x x x3 x4 x5. Maatalous- ja teollisuuslainat x4 x5 0.4 ( x x x3 x4 x5) => 0.4x 0.4x 0.4x3 0.6x4 0.6x Asuntolainat x 3 0 x3.5( x x ) eli x x x 0 4. Hoitamattomien velkojen osuus 0.x eli 0.07x 0.03x3 0.05x x x x x x x x 0.03x 0.0x3 0.0x4 0.0x5 5. Ei-negatiivisuus x i 0 ( i,...,5)
30 3. SIMPLEX-MENETELMÄ 3. Jos LP-probleemassa on useampia kuin kaksi muuttujaa, graafinen ratkaisu ei sovi. Algebrallisella Simplex-menetelmällä voidaan ratkaista mikä tahansa LP-malli. LP-probleeman optimiratkaisu liitt aina kävän ratkaisualueen johonkin nurkkapisteeseen. Kun ratkaisualue on kahden muuttujan tapauksessa useimmiten monikulmio, on se n:n muuttujan tapauksessa n-ulotteisen avaruuden jokin monisärmiö. Simplexiä varten muunnetaan LP-malli standardimuotoon eli epähtälörajoitteet htälörajoitteiksi kättämällä liikkumavara-, limäärä- ja rajoittamattomia muuttujia. Standardimuotoisen htälörhmän ns. kantaratkaisut määrittelevät täsin ratkaisualueen nurkkapisteet ja simplex-algoritmi lötää helposti kantaratkaisujen joukosta optimiratkaisun. 3.. STANDARDIMUOTO JA SEN KANTARATKAISUT Standardimuotoinen LP-malli:. Kaikki rajoitteet (paitsi muuttujien ei-negatiivisuusehdot) ovat htälöitä, joilla on einegatiivinen oikean puolen vakioarvo.. Kaikki muuttujat ovat ei-negatiivisia. 3. Tavoitefunktion optimointi voi olla maksimointia tai minimointia Epähtälöt htälöiksi Rajoitetppi : Esim. x x 3 3x x s 3 3 Tässä kätett liikkumavaramuuttujalle smbolia s ( slack ), mutta voidaan kättää mös indeksointijärjestksessä seuraavaa x:ää tai jos halutaan korostaa liikkumavaraa kätetään smbolina esim. sx 3 eli x x 3 3x x sx 3, missä x x, sx 0 3 3, 3 30
31 Esim. x x 3 (-) Negatiivinen oikeanpuolen arvo muutettava positiiviseksi kertomalla -:llä, jolloin epäsuuruusmerkin suunta on vaihdettava: x x 3 x x s 3, missä x x, s 0 Rajoitetppi :, Esim.3 x x 3 3x x S 3, missä mös limäärämuuttuja S 0 3. Rajoittamattomat muuttujat ei-negatiivisiksi muuttujiksi Esim. Merkitään x on rajoittamaton j j j x x x, missä x, 0 j j jos x 0, niin x 0 j jos x 0, niin x 0. j j j x j 3. Maksimoinnin muuntaminen minimoinniksi ( tai päinvastoin) max f ( x, x,..., xn ) min f ( x, x,..., x n siinä mielessä, että molemmilla on sama optimipiste. Toisin sanoen max f ( x, x,..., xn ) min ( f ( x, x,..., x n ) )) 3
32 Esimerkki Muunna standardimuotoon LP-malli max z x 3x 5x3 ehdoin x x x3 5 (.) 6x 7x 9x3 4 (.) x x 4x 3 0 (3.) x, x 0 x rajoittamaton Rajoitteet: (.) x x x3 5 x x x3 s 5 (.) 6x 7x 9x3 4 6x 7x 9x3 s 4 (3.) sellaisenaan Muuttujat ei-negatiivisiksi: x 3 rajoittamaton x 3 x3 x3 Standardimuodossa siis: max z x 3x 5x3 5x3 x x x3 x3 s 5 6 x 7 x 9 x 3 9 x 3 s x x 4x3 4x3 x, x, x3, x3, s, s 0 ehdoin (.) 4 0 (.) (3.) 3
33 3.. KANTARATKAISUJEN MÄÄRÄÄMINEN Standardimuotoisessa LP-mallissa olkoon htälörhmä, jossa on m htälöä ja n muuttujaa (m < n). Jaetaan n muuttujaa kahteen joukkoon: () n-m muuttujaa, jotka asetetaan nolliksi () loput m muuttujaa, joiden arvo saadaan ratkaisemalla m:n htälön rhmä. Jos nämä m htälöä tuottavat -käsitteisen ratkaisun, on kseessä kantaratkaisu ja kätett m muuttujaa ovat kantamuuttujat ja loput n-m muuttujaa ovat eikantamuuttujat. Jos kaikilla kantamuuttujilla on ei-negatiivinen arvo, kseessä on käpä ratkaisu, muutoin ei-käpä ratkaisu. Mahdollisia kantaratkaisuja on n m n! m!( n m)! kappaletta. Esimerkki Yhtälörhmä, jossa m = ja n = 5. x 4x x x 4x 3 x x 3 x 4 4 3x 6x ! Kantaratkaisuja on korkeintaan 0!3! Tarkastellaan muutamaa mahdollista tapausta: kpl. a) Valitaan ei-kantamuuttujat x x4 x5 0. Jäljelle jää kantamuuttujien htälörhmä x 4x 4x x jolla on -käsitteinen ratkaisu x 0, x3. Koska molemmat ovat 0, niin x, x, x, x, x ) (0, 0,, 0, 0) on käpä ratkaisu. (
34 b) Ei-kantamuuttujat: x x x 0 => x x 4x x käsitteinen kantaratkaisu: x 6, x 4. => ei-käpä kantaratkaisu, koska 0 c) Nollamuuttujat x, x ja x 5 : 4x x 3 3 x x => x4 4 x3 eli ääretön määrä ratkaisuja => ei -käsitteinen eli ei kantaratkaisua d) Nollamuuttujat x, x 3 ja x 4: x x 3x 6x = - => ei ratkaisua 3..3 RAJOITTAMATTOMAT MUUTTUJAT JA KANTARATKAISUT Rajoittamaton muuttuja j j x x x, siten, että x, 0, missä j j x j j x 0 => x 0 j x 0 => x 0 j j Lisäksi x j :n ja x j :n kertoimet toistensa vastalukuja, joten ko. muuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia. => Jokaisessa kantaratkaisussa vähintään jommankumman em. muuttujista on oltava ei-kantamuuttuja ( eli = 0). 34
35 3.3 SIMPLEX-ALGORITMI (Taulukkomuotoinen) kännist kävästä kantaratkaisusta ja prkii sitten lötämään toisen kävän kantaratkaisun, joka parantaa tavoitefunktiota. Tämä on mahdollista vain, jos kasvu nkisessä nollamuuttujassa eli eikantamuuttujassa voi johtaa tavoitefunktion paranemiseen. => saapuva muuttuja Koska kantaratkaisussa pitää olla täsmälleen m kpl kantamuuttujia, on jonkun nkisistä kantamuuttujista tultava ei-kantamuuttujaksi. => lähtevä muuttuja Kädään seuraavassa läpi simplex-algoritmin periaatteet kättämällä esimerkkinä tuttua maalitehtaan tuotevalintaongelmaa. Seuraa graafisen ratkaisun kuvasta, miten algoritmi etenee aloitusratkaisusta optimiratkaisuun. Muutetaan malli ensin standardimuotoon ja tavoitefunktiokin muotoon, jossa kaikki muuttujat ovat htäläissmerkin vasemmalla puolella ja oikealla puolella vain vakioarvo: Maksimoi z 5x 4x eli z 5x 4x 0 ehdoin 6x 4x s 4 x x s 6 x x s3 x s4 x x, s, s, s, s 0 Yhtälöitä 4 kpl => m = 4, 3 4 Siis 4 kantamuuttujaa ja ei-kantamuuttujaa ( nollamuuttujaa). Eräs kantaratkaisu nähdään helposti asettamalla ei-kantamuuttujiksi x x 0 => s, s, s, s ) (4, 6,, ) ja graafisessa ratkaisussa ollaan tällöin origossa. (
36 Esitetään malli seuraavana taulukkona: Kanta z x x s s s 3 s 4 Ratkaisu z s s s s Taulukon rivejä kutsutaan kantasarakkeen muuttujan mukaan: z-rivi, s -rivi jne. 36
37 z-rivillä ratkaisusarakkeessa oleva 0 on z:n arvo tällä hetkellä, ollaanhan origossa eli kumpaakaan maalitppiä ei valmisteta htään, joten tuottokin on nolla. Tämän hetkinen ratkaisu ei ole optimaalinen, jos jokin nkisten ei-kantamuuttujien kertoimista z-rivillä on negatiivinen ( maksimointitehtävä). => ei olla vielä optimissa Ratkaisun parantaminen: Valitaan saapuvaksi muuttujaksi se ei-kantamuuttuja, jonka kerroin z-rivillä on negatiivisin. => x on saapuva muuttuja Mikä saapuvalle muuttujalle arvoksi seuraavassa kantaratkaisussa? Tämä lasketaan jakamalla kantamuuttujariveillä ratkaisusarakkeen alkiot vastaavalla saapuvan muuttujan sarakkeen alkiolla. Tässä htedessä ei jaeta negatiivisella alkiolla eikä nollalla. Pienin ei-negatiivinen suhde on saapuvan muuttujan arvo: Kantamuuttuja x Ratkaisu Suhde s s s 3 s /6 = 4 <= pienin ei-negat. 6/ = 6 hlätään hlätään => x = 4 ( Huomaa graafisessa ratkaisussa x -akselin pisteet 4 ja 6. Näistä vain pienin suhde on kävällä ratkaisualueella.) Mikä on lähtevä muuttuja? Koska pienin ei-negatiivinen suhde oli s -rivillä => s on lähtevä muuttuja Uuden kantaratkaisun laskeminen tapahtuu Gauss-Jordanin rivioperaatioilla (vertaa Insinöörimatematiikka ). 37
Demo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
Lisätiedot6.1 Lineaarinen optimointi
6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit
LisätiedotSijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari
MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotJälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun
Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
Lisätiedot3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotTentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
LisätiedotOPERAATIOANALYYSI ORMS.1020
VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotLP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo
LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
Lisätiedot4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotKuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotSimplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
Lisätiedot8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku
38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotMatikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon
Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
Lisätiedot2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa
Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotLP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.
LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
LisätiedotSyksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.
Lisätiedot2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2
.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
Lisätiedot6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 7. harjoitus, viikko 7 1. Oheisessa taulukossa on erään tuotteen hintaindeksejä. Laske hinnan keskimääräinen kasvuvauhti vuosina 2000-2005 vuosi indeksi
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotTIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot