Sähkömagnetismin kaavoja

Transkriptio

1 ähkömagnetsmn kaavoja. Pstevaraukset ja Coulombn voma..... Coulombn lak kahden pstevarauksen välselle vomalle..... Usean pstevarauksen aheuttama voma varaukseen..... ähkökentän vomakkuus psteessä r.... ähkökentät aneessa..... araustheydet/varauskatteet..... arauksen aheuttama sähkökentän vuo ähkökentän vuo suljetun pnnan läp Gaussn lak araustheydet/varauskatteet ähköstaattnen potentaal ja sähköstaattnen energa Usean pstevarauksen aheuttama potentaal psteessä r Kahden psteen välnen potentaalero ähkökenttä potentaaln avulla araussysteemn potentaalenerga araussysteemn potentaalenerga mussa kun pstevarauksen tapauksssa ähkönen dpol ja ersteet Dpolmomentt Dpoln potentaalenerga sähkökentässä ähköpolarsotuma el dpolmomentttheys Pnnalle polarsotunut varauskate Ersteen suhteellnen permttvsyys ähkönen suskeptvsuus Polarsotuma ähkövuon theys ähkökentän ja sähkövuon käyttäytymnen kahden aneen rajapnnalla nelluksen lak Ersteen vakutus systeemn potentaalenergaan Kondensaattort Kapastanss Kapastanssn määrttämnen Kondensaattorn energa Kytkentäsäännöt ähköstaattsa laskentamenetelmä Possonn yhtälö Magneettkentät Magneettvuo Magneettvuon theys lkkuvan varauksen tapauksessa Magneettkentän ja sähkökentän aheuttama voma (Lorenz voma) Magneettkentän vomavakutus vrtajohdnalkoon Magneettkentän vomavakutus koko johtmeen uoraan vrtajohtmeen vakuttava voma Magneettmomentt rtaslmukkaan vakuttava voman momentt Tasavrrat rtatheys Ohmn lak.... ot-avartn lak...

2 .. Lak..... uora vrtajohdn.... Amperen lak ja vektorpotentaalt..... Amperen lak..... nkkejä amperen lan laskemseen..... ektorpotentaal.... Magneettset materaalt..... Magnetotuma..... Pntavaraustheys..... Magneettnen suskeptvsuus (e erromagneettsssa anessa) Magneettkentän vomakkuus H.... ähkömagneettnen ndukto..... Faradayn lak..... Itsenduktanss..... olenodn nduktanss Magneettkentän energa Maxwelln yhtälöt Aaltoyhtälöt Jepjep Pyontng-vektor ähkömagneettsen aallon ntensteett Allonptuus Tatekerron kn-syvyys... 4

3 . Pstevaraukset ja Coulombn voma.. Coulombn lak kahden pstevarauksen välselle vomalle F 4πε q q r F 4πε q ( r q ) r ama kun edellä, mutta mukana on myös suunta. r on vektor, joka prretään pstevarauksesta q pstevaraukseen q. F on voma, jonka pstevaraus q aheuttaa pstevaraukseen q... Usean pstevarauksen aheuttama voma varaukseen qq F j ( rj r ) 4πε j r r j F j kokonasvoma jonka varaukset q yhdessä aheuttavat varaukseen q j... ähkökentän vomakkuus psteessä r q E r) 4πε r r ( ( r r ). ähkökentät aneessa.. araustheydet/varauskatteet Aneessa (varaustheys) : Pnnalla (varauskate) : Ptuusykskköä kohden : ρ σ λ L

4 Jos varaustheys e ole vako, vaan noudattaa tunnettua yhtälöä, kokonasvaraus saadaan ntegromalla. Esm. jos kokonasvaraus pnnalla, jossa on varaustheys σ (r), lasketaan seuraavan yhtälön mukasest : σ ( r) d.. arauksen aheuttama sähkökentän vuo.. ähkökentän vuo suljetun pnnan läp E. Gaussn lak E d E d ss ε nkt :. altse ensn Gaussn suljettu pnta. Tämä on yleensä joko pallo ta sylnter.. Prrä seuraavaks varauksesta lähtevät kenttävvat ja Gaussn pnta samaan kuvaan. Ets ne kohdat mssä Gaussn pnta ja kenttävvat ovat kohtsuorassa. ellä pstetulo on nolla. 4. Ets ne kohdat mssä kenttävvat ovat yhdensuuntaset, sellä pstetulo vodaan krjottaa kertolaskuna. 5. Yleensä sähkökenttä on vako, joten sen vo ottaa ntegraalmerkn eteen. 6. Nyt ntegraal on pelkkä pnta-ala nlle aluelle jolla Gaussn pnta ja kenttävvat ovat kohtsuorassa. E merktä enää suljettua ntegraala (?) 7. Laske Gaussn lan okea puol, el määrtä suljetun pnnan ssälle jäävät varaukset I. a. Monest varaus annetaan esm. varaustheytenä, tästä ptää stten laskea varauksen arvo. Esm. araustheys on ρ ja Gaussn pnta on pallo. Nyt tarvtsee laskea gaussn pnnan ssään jäävä varaus joka saadaan kaavasta ρ > ρ, mssä 4 ρ4πr π r > I Musta että varauskate on pnnalle ja varaustheys on tlavuuteen! b. o joutua myös laskemaan varaustheyden tse tlanteessa jossa varaus on tasasest jakautunut pallon ssään ja joudut laskemaan sähkökentän pallon ssällä. 8. Merktse yhtäsuurks molemmat puolet ja ratkase sähkökenttä

5 .. araustheydet/varauskatteet 4. ähköstaattnen potentaal ja sähköstaattnen energa 4.. Usean pstevarauksen aheuttama potentaal psteessä r φ ( r) 4 q πε r Pakkavektorlla r lmastaan pstevarausten pakat koordnaatstossa. r 4.. Kahden psteen välnen potentaalero 4.. ähkökenttä potentaaln avulla φ ( r ) φ( r ) E dl A A E φ ˆ (ˆ kˆ + j + )φ x y z 4.4. araussysteemn potentaalenerga Kootaan systeem erllsstä varaukssta yks kerrallaan. arauksen srtämseen tarvttava työ sähkökentässä on W A q E dl A qφ ( ra ) qφ( r ) ta U 8πε q j q r j j 4.5. araussysteemn potentaalenerga mussa kun pstevarauksen tapauksssa Potentaal on kätevntä laskea nn kutsutun sähkökentän energatheyden avulla U ε E dτ

6 Lauseke E TODO : Esmerkk tähän ε kuvaa sähköstaattsta energatheyttä tyhjössä. 5. ähkönen dpol ja ersteet 5.. Dpolmomentt p qaeˆ yksllövektorn e suunta on negatvsesta varauksesta koht postvsta. 5.. Dpoln potentaalenerga sähkökentässä U p E 5.. ähköpolarsotuma el dpolmomentttheys P Np Tämä kuvaa stä mten paljon penä dpoleja on ersteessä tlavuusykskköä koht Pnnalle polarsotunut varauskate arauskate σ P kuvaa pnnalle syntyneden varausten lukumäärää pnta-ala ykskköä kohden Ersteen suhteellnen permttvsyys 5.6. ähkönen suskeptvsuus σ δ P δ P ε 5.7. Polarsotuma χ e P χ E eε P ( ε ) ε E

7 5.8. ähkövuon theys E d I ( ree) ρ dτ I ( ree) : Gaussn pnnan ssään jäävät vapaat varaukset jotka ovat muta kun polarsaatovarauksa ρ : vapaden varausten theys D ε E + P εε E D 5.9. ähkökentän ja sähkövuon käyttäytymnen kahden aneen rajapnnalla D-kentällä rajapntaa vastaan kohtsuorassa oleva komponentt sälyy E-kentällä sälyy muuttumattomana rajapnnan suuntanen komponentt TODO : JOHDOT? 5.. nelluksen lak cotθ ε cot ε 5.. Ersteen vakutus systeemn potentaalenergaan Kun erste joutuu sähkökenttään shen syntyy penä dpoleja. Energatheys on nyt u D E θ Tlavuudessa oleva sähköstaattnen energa on : U D Edτ 6. Kondensaattort 6.. Kapastanss C 6.. Kapastanssn määrttämnen Kapastanss määrtetään laskemalla ensn Gaussn lan avulla sähkökenttä kappaleden välssä :

8 Ilmatäyttenen kondensaattor : Erstetäyttenen kondensaattor : E d ss ε E d I ( ree) ρ dτ tten lasketaan potentaalero : φ ( ra ) φ( r ) E dl meseks kapastanss : C araus vo stten olla esm varauskate tms, joten mustappa se! A 6.. Kondensaattorn energa U C C 6.4. Kytkentäsäännöt ähköteekkar ekä nätä musta! 7. ähköstaattsa laskentamenetelmä 7.. Possonn yhtälö φ ρ ε Mssä φ on potentaal ja ρ varaustheys. ähkökenttä saadaan yhtälöstä : E φ Possonn yhtälön ratkasu on tavallsta derentaalyhtälön ratkasemsta annetulla alkuarvolla. Tenttn vo tulla sen kaavan johtamnen ja snä ptää laskea dstä, lol! Operaattort : just joo, saa kaavakokoelmasta joten get lost 8. Magneettkentät

9 Musta : uure Tunnus Ykskkö Magneettvuo Φ T Wb (Weber) m Magneettvuon theys (Magneettkenttä) T (Tesla) Magneettkentän vomakkuus H A/m Induktanss L Permeablteett 7 µ (4π ) Tm H (Henry) A s N ta Am A 8.. Magneettvuo Φ d 8.. Magneettvuon theys lkkuvan varauksen tapauksessa ( r) µ qv ( r r') 4 r r' π 8.. Magneettkentän ja sähkökentän aheuttama voma (Lorenz voma) F qe + qv Monest tarvtaan myös keskesvomaa Lorenz voman yhteydessä (Lkkuva hukkanen tulee sähkökenttään ja stten on magneettkenttä ja ptää laskea mnne kartuu blablabla) mv F r 8.4. Magneettkentän vomavakutus vrtajohdnalkoon d F Idl 8.5. Magneettkentän vomavakutus koko johtmeen F I dl 8.6. uoraan vrtajohtmeen vakuttava voma F Il

10 l on johdnvektor, jonka suunta on vrran suunta ja ptuus johtmen ptuus Magneettmomentt m I 8.8. rtaslmukkaan vakuttava voman momentt T m Mstä aheutuu potentaalenerga U m 9. Tasavrrat 9.. rtatheys j Nev 9.. Ohmn lak j σe I j d σ E d A A. ot-avartn lak.. Lak ( r ) µ I 4π d l ' ( r r r r ' ' ) r lmasee pakan mssä magneettkenttä lasketaan (yleensä saadaan orgoon) r ' lmasee johdnalkon pakan.. uora vrtajohdn ( r) µ Idl ( r r') 4 π r r'. Amperen lak ja vektorpotentaalt

11 .. Amperen lak C dl µ I I Usen myös muodossa dl µ C j d.. nkkejä amperen lan laskemseen altse ensn amperen suljettu käyrä. Yleensä ympyrä ta suorakade. Prrä kuvaan vrtojen aheuttamat magneetkenttävvat ja Amperen slmukka Ets ne kohdat, mssä Amperen slmukka ja kenttävvat ovat yhdensuuntaset, sellä pstetulo dl vodaan krjottaa dl. dl Amperen slmukka Johdn Ets seuraavaks ne kohdat, jossa Amperen slmukka ja kenttävvat ovat kohtsuorassa tosaan vastaan ta mssä kenttävvat on hyvn harvassa, esm. solenodn ulkopuolella, sellä dl on nolla. Yleensä nssä slmukan kohdssa, jossa dl votn krjottaa muotoon dl, on -kenttä vako, jollon vodaan ottaa ntegraalmerkn eteen Nyt ntegraal on pelkkä käyrän ptuus Amperen slmukan kohdsta, jossa slmukka ja kenttävvat ovat yhdensuuntaset. Huomaa että nyt e enää ole välttämättä kyseessä suljettu käyrä, jolle merkttäsn C ntegraalmerkn alle. Laske seuraavaks okea puol, el määrtä slmukan ssään jäävät vrrat. Joskus joutuu laskemaan vrrat käyttäen vrtatheyttä j. Joskus vo joutua ntegromaan. Merktse molemmat puolet yhtäsuurks ja ratkase magneettkenttä... ektorpotentaal A

12 . Magneettset materaalt.. Magnetotuma M N m N on atomen lukumäärä tlavuusykskössä m on atomn keskmääränen momentt kentän suunnassa.. Pntavaraustheys M nˆ nˆ on pnnan suuntanen ykskkövektor. m on atomn keskmääränen momentt kentän suunnassa.. Magneettnen suskeptvsuus (e erromagneettsssa anessa) M χ µ.4. Magneettkentän vomakkuus H H M µ χ µ µµ H. ähkömagneettnen ndukto.. Faradayn lak E dl d dt d.. Itsenduktanss di L dt L tsenduktanss

13 dφ L N ta di Φ L N I.. olenodn nduktanss L µ AN l.4. Magneettkentän energa U Hdτ 4. Maxwelln yhtälöt D ρ E t D H j + t Integraalmuodossa C D d E dl H dl d ρ dτ d dt j d d + D d t Tyhjössä E E t E ε µ t

14 4.. Aaltoyhtälöt 4.. Jepjep E ε µ c 4.. Pyontng-vektor N E H 4.4. ähkömagneettsen aallon ntensteett N E H Intensteett keskmääränen teho W/m H µ 4.5. Allonptuus 4.6. Tatekerron λ v c n v 4.7. kn-syvyys δ µ σω