Sähkömagnetismin kaavoja

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sähkömagnetismin kaavoja"

Transkriptio

1 ähkömagnetsmn kaavoja. Pstevaraukset ja Coulombn voma..... Coulombn lak kahden pstevarauksen välselle vomalle..... Usean pstevarauksen aheuttama voma varaukseen..... ähkökentän vomakkuus psteessä r.... ähkökentät aneessa..... araustheydet/varauskatteet..... arauksen aheuttama sähkökentän vuo ähkökentän vuo suljetun pnnan läp Gaussn lak araustheydet/varauskatteet ähköstaattnen potentaal ja sähköstaattnen energa Usean pstevarauksen aheuttama potentaal psteessä r Kahden psteen välnen potentaalero ähkökenttä potentaaln avulla araussysteemn potentaalenerga araussysteemn potentaalenerga mussa kun pstevarauksen tapauksssa ähkönen dpol ja ersteet Dpolmomentt Dpoln potentaalenerga sähkökentässä ähköpolarsotuma el dpolmomentttheys Pnnalle polarsotunut varauskate Ersteen suhteellnen permttvsyys ähkönen suskeptvsuus Polarsotuma ähkövuon theys ähkökentän ja sähkövuon käyttäytymnen kahden aneen rajapnnalla nelluksen lak Ersteen vakutus systeemn potentaalenergaan Kondensaattort Kapastanss Kapastanssn määrttämnen Kondensaattorn energa Kytkentäsäännöt ähköstaattsa laskentamenetelmä Possonn yhtälö Magneettkentät Magneettvuo Magneettvuon theys lkkuvan varauksen tapauksessa Magneettkentän ja sähkökentän aheuttama voma (Lorenz voma) Magneettkentän vomavakutus vrtajohdnalkoon Magneettkentän vomavakutus koko johtmeen uoraan vrtajohtmeen vakuttava voma Magneettmomentt rtaslmukkaan vakuttava voman momentt Tasavrrat rtatheys Ohmn lak.... ot-avartn lak...

2 .. Lak..... uora vrtajohdn.... Amperen lak ja vektorpotentaalt..... Amperen lak..... nkkejä amperen lan laskemseen..... ektorpotentaal.... Magneettset materaalt..... Magnetotuma..... Pntavaraustheys..... Magneettnen suskeptvsuus (e erromagneettsssa anessa) Magneettkentän vomakkuus H.... ähkömagneettnen ndukto..... Faradayn lak..... Itsenduktanss..... olenodn nduktanss Magneettkentän energa Maxwelln yhtälöt Aaltoyhtälöt Jepjep Pyontng-vektor ähkömagneettsen aallon ntensteett Allonptuus Tatekerron kn-syvyys... 4

3 . Pstevaraukset ja Coulombn voma.. Coulombn lak kahden pstevarauksen välselle vomalle F 4πε q q r F 4πε q ( r q ) r ama kun edellä, mutta mukana on myös suunta. r on vektor, joka prretään pstevarauksesta q pstevaraukseen q. F on voma, jonka pstevaraus q aheuttaa pstevaraukseen q... Usean pstevarauksen aheuttama voma varaukseen qq F j ( rj r ) 4πε j r r j F j kokonasvoma jonka varaukset q yhdessä aheuttavat varaukseen q j... ähkökentän vomakkuus psteessä r q E r) 4πε r r ( ( r r ). ähkökentät aneessa.. araustheydet/varauskatteet Aneessa (varaustheys) : Pnnalla (varauskate) : Ptuusykskköä kohden : ρ σ λ L

4 Jos varaustheys e ole vako, vaan noudattaa tunnettua yhtälöä, kokonasvaraus saadaan ntegromalla. Esm. jos kokonasvaraus pnnalla, jossa on varaustheys σ (r), lasketaan seuraavan yhtälön mukasest : σ ( r) d.. arauksen aheuttama sähkökentän vuo.. ähkökentän vuo suljetun pnnan läp E. Gaussn lak E d E d ss ε nkt :. altse ensn Gaussn suljettu pnta. Tämä on yleensä joko pallo ta sylnter.. Prrä seuraavaks varauksesta lähtevät kenttävvat ja Gaussn pnta samaan kuvaan. Ets ne kohdat mssä Gaussn pnta ja kenttävvat ovat kohtsuorassa. ellä pstetulo on nolla. 4. Ets ne kohdat mssä kenttävvat ovat yhdensuuntaset, sellä pstetulo vodaan krjottaa kertolaskuna. 5. Yleensä sähkökenttä on vako, joten sen vo ottaa ntegraalmerkn eteen. 6. Nyt ntegraal on pelkkä pnta-ala nlle aluelle jolla Gaussn pnta ja kenttävvat ovat kohtsuorassa. E merktä enää suljettua ntegraala (?) 7. Laske Gaussn lan okea puol, el määrtä suljetun pnnan ssälle jäävät varaukset I. a. Monest varaus annetaan esm. varaustheytenä, tästä ptää stten laskea varauksen arvo. Esm. araustheys on ρ ja Gaussn pnta on pallo. Nyt tarvtsee laskea gaussn pnnan ssään jäävä varaus joka saadaan kaavasta ρ > ρ, mssä 4 ρ4πr π r > I Musta että varauskate on pnnalle ja varaustheys on tlavuuteen! b. o joutua myös laskemaan varaustheyden tse tlanteessa jossa varaus on tasasest jakautunut pallon ssään ja joudut laskemaan sähkökentän pallon ssällä. 8. Merktse yhtäsuurks molemmat puolet ja ratkase sähkökenttä

5 .. araustheydet/varauskatteet 4. ähköstaattnen potentaal ja sähköstaattnen energa 4.. Usean pstevarauksen aheuttama potentaal psteessä r φ ( r) 4 q πε r Pakkavektorlla r lmastaan pstevarausten pakat koordnaatstossa. r 4.. Kahden psteen välnen potentaalero 4.. ähkökenttä potentaaln avulla φ ( r ) φ( r ) E dl A A E φ ˆ (ˆ kˆ + j + )φ x y z 4.4. araussysteemn potentaalenerga Kootaan systeem erllsstä varaukssta yks kerrallaan. arauksen srtämseen tarvttava työ sähkökentässä on W A q E dl A qφ ( ra ) qφ( r ) ta U 8πε q j q r j j 4.5. araussysteemn potentaalenerga mussa kun pstevarauksen tapauksssa Potentaal on kätevntä laskea nn kutsutun sähkökentän energatheyden avulla U ε E dτ

6 Lauseke E TODO : Esmerkk tähän ε kuvaa sähköstaattsta energatheyttä tyhjössä. 5. ähkönen dpol ja ersteet 5.. Dpolmomentt p qaeˆ yksllövektorn e suunta on negatvsesta varauksesta koht postvsta. 5.. Dpoln potentaalenerga sähkökentässä U p E 5.. ähköpolarsotuma el dpolmomentttheys P Np Tämä kuvaa stä mten paljon penä dpoleja on ersteessä tlavuusykskköä koht Pnnalle polarsotunut varauskate arauskate σ P kuvaa pnnalle syntyneden varausten lukumäärää pnta-ala ykskköä kohden Ersteen suhteellnen permttvsyys 5.6. ähkönen suskeptvsuus σ δ P δ P ε 5.7. Polarsotuma χ e P χ E eε P ( ε ) ε E

7 5.8. ähkövuon theys E d I ( ree) ρ dτ I ( ree) : Gaussn pnnan ssään jäävät vapaat varaukset jotka ovat muta kun polarsaatovarauksa ρ : vapaden varausten theys D ε E + P εε E D 5.9. ähkökentän ja sähkövuon käyttäytymnen kahden aneen rajapnnalla D-kentällä rajapntaa vastaan kohtsuorassa oleva komponentt sälyy E-kentällä sälyy muuttumattomana rajapnnan suuntanen komponentt TODO : JOHDOT? 5.. nelluksen lak cotθ ε cot ε 5.. Ersteen vakutus systeemn potentaalenergaan Kun erste joutuu sähkökenttään shen syntyy penä dpoleja. Energatheys on nyt u D E θ Tlavuudessa oleva sähköstaattnen energa on : U D Edτ 6. Kondensaattort 6.. Kapastanss C 6.. Kapastanssn määrttämnen Kapastanss määrtetään laskemalla ensn Gaussn lan avulla sähkökenttä kappaleden välssä :

8 Ilmatäyttenen kondensaattor : Erstetäyttenen kondensaattor : E d ss ε E d I ( ree) ρ dτ tten lasketaan potentaalero : φ ( ra ) φ( r ) E dl meseks kapastanss : C araus vo stten olla esm varauskate tms, joten mustappa se! A 6.. Kondensaattorn energa U C C 6.4. Kytkentäsäännöt ähköteekkar ekä nätä musta! 7. ähköstaattsa laskentamenetelmä 7.. Possonn yhtälö φ ρ ε Mssä φ on potentaal ja ρ varaustheys. ähkökenttä saadaan yhtälöstä : E φ Possonn yhtälön ratkasu on tavallsta derentaalyhtälön ratkasemsta annetulla alkuarvolla. Tenttn vo tulla sen kaavan johtamnen ja snä ptää laskea dstä, lol! Operaattort : just joo, saa kaavakokoelmasta joten get lost 8. Magneettkentät

9 Musta : uure Tunnus Ykskkö Magneettvuo Φ T Wb (Weber) m Magneettvuon theys (Magneettkenttä) T (Tesla) Magneettkentän vomakkuus H A/m Induktanss L Permeablteett 7 µ (4π ) Tm H (Henry) A s N ta Am A 8.. Magneettvuo Φ d 8.. Magneettvuon theys lkkuvan varauksen tapauksessa ( r) µ qv ( r r') 4 r r' π 8.. Magneettkentän ja sähkökentän aheuttama voma (Lorenz voma) F qe + qv Monest tarvtaan myös keskesvomaa Lorenz voman yhteydessä (Lkkuva hukkanen tulee sähkökenttään ja stten on magneettkenttä ja ptää laskea mnne kartuu blablabla) mv F r 8.4. Magneettkentän vomavakutus vrtajohdnalkoon d F Idl 8.5. Magneettkentän vomavakutus koko johtmeen F I dl 8.6. uoraan vrtajohtmeen vakuttava voma F Il

10 l on johdnvektor, jonka suunta on vrran suunta ja ptuus johtmen ptuus Magneettmomentt m I 8.8. rtaslmukkaan vakuttava voman momentt T m Mstä aheutuu potentaalenerga U m 9. Tasavrrat 9.. rtatheys j Nev 9.. Ohmn lak j σe I j d σ E d A A. ot-avartn lak.. Lak ( r ) µ I 4π d l ' ( r r r r ' ' ) r lmasee pakan mssä magneettkenttä lasketaan (yleensä saadaan orgoon) r ' lmasee johdnalkon pakan.. uora vrtajohdn ( r) µ Idl ( r r') 4 π r r'. Amperen lak ja vektorpotentaalt

11 .. Amperen lak C dl µ I I Usen myös muodossa dl µ C j d.. nkkejä amperen lan laskemseen altse ensn amperen suljettu käyrä. Yleensä ympyrä ta suorakade. Prrä kuvaan vrtojen aheuttamat magneetkenttävvat ja Amperen slmukka Ets ne kohdat, mssä Amperen slmukka ja kenttävvat ovat yhdensuuntaset, sellä pstetulo dl vodaan krjottaa dl. dl Amperen slmukka Johdn Ets seuraavaks ne kohdat, jossa Amperen slmukka ja kenttävvat ovat kohtsuorassa tosaan vastaan ta mssä kenttävvat on hyvn harvassa, esm. solenodn ulkopuolella, sellä dl on nolla. Yleensä nssä slmukan kohdssa, jossa dl votn krjottaa muotoon dl, on -kenttä vako, jollon vodaan ottaa ntegraalmerkn eteen Nyt ntegraal on pelkkä käyrän ptuus Amperen slmukan kohdsta, jossa slmukka ja kenttävvat ovat yhdensuuntaset. Huomaa että nyt e enää ole välttämättä kyseessä suljettu käyrä, jolle merkttäsn C ntegraalmerkn alle. Laske seuraavaks okea puol, el määrtä slmukan ssään jäävät vrrat. Joskus joutuu laskemaan vrrat käyttäen vrtatheyttä j. Joskus vo joutua ntegromaan. Merktse molemmat puolet yhtäsuurks ja ratkase magneettkenttä... ektorpotentaal A

12 . Magneettset materaalt.. Magnetotuma M N m N on atomen lukumäärä tlavuusykskössä m on atomn keskmääränen momentt kentän suunnassa.. Pntavaraustheys M nˆ nˆ on pnnan suuntanen ykskkövektor. m on atomn keskmääränen momentt kentän suunnassa.. Magneettnen suskeptvsuus (e erromagneettsssa anessa) M χ µ.4. Magneettkentän vomakkuus H H M µ χ µ µµ H. ähkömagneettnen ndukto.. Faradayn lak E dl d dt d.. Itsenduktanss di L dt L tsenduktanss

13 dφ L N ta di Φ L N I.. olenodn nduktanss L µ AN l.4. Magneettkentän energa U Hdτ 4. Maxwelln yhtälöt D ρ E t D H j + t Integraalmuodossa C D d E dl H dl d ρ dτ d dt j d d + D d t Tyhjössä E E t E ε µ t

14 4.. Aaltoyhtälöt 4.. Jepjep E ε µ c 4.. Pyontng-vektor N E H 4.4. ähkömagneettsen aallon ntensteett N E H Intensteett keskmääränen teho W/m H µ 4.5. Allonptuus 4.6. Tatekerron λ v c n v 4.7. kn-syvyys δ µ σω

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0. BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä

Lisätiedot

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen. Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol. LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka

Lisätiedot

0 Matemaattisia apuneuvoja

0 Matemaattisia apuneuvoja 0 Matemaattsa apuneuvoja 0.1 Kokonasdfferentaal Tarkastellaan kahden muuttujan funktota f(x, y), joka on määrtelty xy-tasossa. llon jokaseen tason psteeseen (x, y) lttyy funkton arvo z = f(x, y). Jos funkto

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 009 Jukka Maalamp LUENTO 3 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-00: PIIIANAYYSI I Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Kirja: luku. (vastus), luku 6. (käämi), luku 6. (kondensaattori) uentomoniste: luvut 3., 3. ja 3.3 VASTUS ja ESISTANSSI (Ohm,

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-0: SÄHKÖTEKNIIKAN PEUSTEET Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 010 Jukka Maalamp LUENTO 4 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

Galerkin in menetelmä

Galerkin in menetelmä hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

Magneettikentät ja niiden määrittäminen

Magneettikentät ja niiden määrittäminen Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

S , Fysiikka III (ES) Tentti

S , Fysiikka III (ES) Tentti S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 311005 1 Kuvan mukasessa systeemssä allo sulkee ullon tvst Pullon ssältämän kaasun adabaattvakon γ määrttämseks allo saatetataan helahtelemaan Kun ktka on en, lke on lähes

Lisätiedot

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal

Lisätiedot

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta

Lisätiedot

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys Ylestä Teäsakenteden ltokset (EC3-1-8, EC3-1-8-NA) Teäsakenteden lttämsessä tosnsa vodaan käyttää seuaava menetelmä: uuv-, ntt- ja nveltappltokset htsausltokset lmaltokset Ltos ja knntys Ltosta asttavan

Lisätiedot

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle

Lisätiedot

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ

Lisätiedot

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä

Lisätiedot

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI)

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI) Kmrmntharjtuksa (7) Harjtukset (KOMPRIMOINI) Kmressreja käytetään esmerkks seuraavssa svelluksssa: kaasujen srt, neumaattnen kuljetus anelmahult rsesstellsuudessa kaasureaktden, kaasujen nesteyttämsen

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori

Lisätiedot

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella

Lisätiedot

7 Jäykän kappaleen dynamiikka (Rigid-body dynamics)

7 Jäykän kappaleen dynamiikka (Rigid-body dynamics) 7 Jäykän kappaleen dynamkka (Rgd-body dynamcs) 7. Jäykät kappaleet (rgd bodes) Jäykkä kappale: sellanen monesta hukkasesta koostuva kappale, jossa hukkasten välset etäsyydet pysyvät muuttumattomna kappaleen

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin

Lisätiedot

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset

Lisätiedot

Lagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset

Lagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset Luku 3 Lagrangen mekankka Lähdetään stten opskelemaan abstraktmpaa mutta samalla tehokkaampaa mekankan formalsma, jonka taustalla on kaks suurta matemaatkkoa Joseph- Lous Lagrange (1736 1813) ja Sr Wllam

Lisätiedot

ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA

ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknllnen tedekunta Kemanteknkan koulutusohjelma Teknllsen keman laboratoro Kanddaatntyö ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA Removal of antbots from water by adsorpton

Lisätiedot

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

LIITE 2. KÄSITELUETTELO

LIITE 2. KÄSITELUETTELO 222 LIITE 2. KÄSITELUETTELO Absoluttnen energa-astekko Adabaattnen palamslämpötla Adabaattnen prosess Aktvsuus Aktvsuuskerron Aktvaatoenerga Eksotermnen reakto Elektrod Elektrolyys Endotermnen reakto Entalpa

Lisätiedot

Coulombin laki ja sähkökenttä

Coulombin laki ja sähkökenttä Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike Luku 6 Jäykän kappaleen lke Tähän mennessä mekankkaa on tarkasteltu lähnnä yksttästen massapsteden näkökulmasta. Okeat mekaanset systeemt muodostuvat kutenkn usen äärellsen kokossta kappalesta, joden er

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään

Lisätiedot

Kuntoilijan juoksumalli

Kuntoilijan juoksumalli Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall

Lisätiedot

DEE Polttokennot ja vetyteknologia

DEE Polttokennot ja vetyteknologia DEE-54020 Polttokennot ja vetyteknologa Polttokennon hävöt 1 Polttokennot ja vetyteknologa Rsto Mkkonen Polttokennon tyhjäkäyntjännte Teoreettnen tyhjäkäyntjännte E z g F Todellnen kennojännte rppuu er

Lisätiedot

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö 7 Vektorfunkton dervaatta Ketjusääntö Täydennämme ja kertaamme seuraavassa dfferentaallaskennan teoraa kursslta Laaja matematkka Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : R R dervaatta

Lisätiedot

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k. Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n

Lisätiedot

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18 SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan

Lisätiedot

Magneettikentät ja niiden määrittäminen

Magneettikentät ja niiden määrittäminen Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

W Hz. kohinageneraattori. H(f) W Hz. W Hz. ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 5 Sivu 1/7

W Hz. kohinageneraattori. H(f) W Hz. W Hz. ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 5 Sivu 1/7 ELEC-A700 LASKUHARJOIUS 5 Svu /7. Satunnassgnaaln x ( t ) keskarvo on V ja keskhajonta 4 V. Mttaukslla on todettu, että x ( t ) ja x ( t + τ ) ovat rppumattoma, kun τ 5µ s. Lsäks tedetään, että x ( t )

Lisätiedot

Luento 2. SMG-2100 Sähkötekniikka Risto Mikkonen

Luento 2. SMG-2100 Sähkötekniikka Risto Mikkonen SMG-2100 Sähkötekniikka Luento 2 1 Sähköenergia ja -teho Hetkellinen teho p( t) u( t) i( t) Teho = työ aikayksikköä kohti; [p] = J/s =VC/s = VA = W (watti) Energian kulutus aikavälillä [0 T] W T 0 p( t)

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

Sähköstaattinen potentiaalienergia lasketaan jatkuville varausjakaumille käyttäen energiatiheyden

Sähköstaattinen potentiaalienergia lasketaan jatkuville varausjakaumille käyttäen energiatiheyden Jkso 4. Sähkösttkst muut Tämän oson lskuj e tvtse nättää. Tämän jkson tehtävät ovt sllsltt el tähän on ksttu kkk ne sähkösttkn st, jot e kästelt edellsssä jksoss. Se e tkot, että nämä st evät ols täketä.

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2002

Elektrodynamiikka, kevät 2002 Elektrodynamiikka, kevät 2002 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä muita pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Tähän on korjattu sellaiset painovirheet ja epämääräisyydet, joista voi olla

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%'

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%' "$ %"&'$ &()'*+)'% +'$,),%' )-.*0&1.& " $$ % &$' ((" ")"$ (( "$" *(+)) &$'$ & -.010212 +""$" 3 $,$ +"4$ + +( ")"" (( ()""$05"$$"" ")"" ) 0 5$ ( ($ ")" $67($"""*67+$++67""* ") """ 0 5"$ + $* ($0 + " " +""

Lisätiedot

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten

Lisätiedot

Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio

Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Haarto & Karhunen Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetuloksi Φ B A BAcos Acosθ θ θ

Lisätiedot

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s. 7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona

Lisätiedot

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Luku 3 Suorat aaltojohdot Aaltojohdot voidaan jakaa kahteen pääryhmääm, TEM ja TE/TM sen mukaan millaiset kentät niissä etenevät. TEM-aallot voivat edetä vain sellaisissa

Lisätiedot

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA Monpuolset järjestelmät varastontn ja tuotantoon TUOTELUETTELO 2009 Kappale D Varasto- ja hyllystövältasot vältasot optmaalsta tlankäyttöä varten SSI SCHÄFER: n varasto-

Lisätiedot

EMC. Elektroniikan käytön voimakas kasvu mobiililaitteet, sulautetut järjestelmät

EMC. Elektroniikan käytön voimakas kasvu mobiililaitteet, sulautetut järjestelmät EMC Johdanto EMC Mitä tarkoittaa EMC? ElectroMagnetic Compatibility Sähköisen laitteen kyky toimia laboratorion ulkopuolella laite ei aiheuta häiriöitä muille lähietäisyydellä oleville laitteille laitteen

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

KOHTA 3. KOOSTUMUS JA TIEDOT AINEOSISTA

KOHTA 3. KOOSTUMUS JA TIEDOT AINEOSISTA Ssältää 3% aneosa, joden vaaroja vesympärstölle e tunneta. Lsätetoja Vaaralauseketta H304 e sovelleta aerosolelle. Nota P: 64742-48-9. 2.3 Muut vaarat E tunneta. KOHTA 3. KOOSTUMUS JA TIEDOT AINEOSISTA

Lisätiedot

FYSI1162 Sähkö / Piirianalyysi syksy kevät /7 Laskuharjoitus 6: Vaihtovirta-analyysin perusteet

FYSI1162 Sähkö / Piirianalyysi syksy kevät /7 Laskuharjoitus 6: Vaihtovirta-analyysin perusteet FYSI116 Sähkö / Pranalyy yky 14 - kevät 15 1 /7 akharjot 6: ahtovrta-analyyn perteet Tehtävä 1. Olkoon nmotonen jännte (t) = 8 co(1t 6º). Tehtävä 1 / 1 8 6 4 - -4-6 -8-1,,4,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8,,4,6,8

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNKKA A KTONKKA. välkoe 9.3.2007. Saat vatata van neljään tehtävään!. ake pteden A ja B välnen potentaalero el jännte AB. =4Ω, 2 =2Ω, =0 V, 2 =4V, =2A, =3A A + 2 2 B + 2. Kytkn ljetaan hetkellä.

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A: Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino 4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.. Tasapanoperaate 4... Yrtysten ja kuluttajen välnen tasapano Näkymätön käs muodostuu kahdesta vakutuksesta: ) Yrtysten voton maksmont johtaa ne tuottamaan ntä hyödykketä,

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän

Lisätiedot

SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti , Arvosteluperusteet

SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti , Arvosteluperusteet SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti 28.11.2006, Arvosteluperusteet 1. Pisteiden määräytyminen ao. taulukossa. Arvostelutapa oli siis tällä kertaa aika tiukka, mutta teh- tävä näytti menneen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot