Johdatus numeerisiin ja algebrallisiin menetelmiin
|
|
- Hannele Pesonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus numeerisiin ja algebrallisiin menetelmiin Jalkapallo ei ole täydellinen Kuten tiedät, ykkössäteisen, origokeskisen pallon yhtälö karteesisessa koordinaatistossa on x 2 y 2 z 2 =1 Pallo tai tarkemmin sanottuna pallonpinta on siis kolmiulotteinen kappale, jonka jokainen piste on säteen etäisyydellä pallon keskipisteestä. Vertaa tätä ideaa vaikkapa jalkapalloon, tennispalloon, ilmapalloon tai taitavan lasinpuhaltajan tekemään hauraaseen, ohueen lasipalloon. Ainutkaan näistä ei täytä pallon yhtälöä tarkasti. Luonnonlakien asettamien rajojen takia ei ole edes periaatteessa mahdollista valmistaa täydellistä palloa: kvanttifysiikan epätarkkuusperiaate, Planck'in matka ynnä muut. Kaikki olemassa olevat aineelliset kappaleet ovat korkeintaan pallon likiarvoja, joissa olevat poikkeamat voidaan yleensä laskea tai mitata. Nämä poikkeamat voivat olla pienet, mutta ne ovat aina nollaa suuremmat. Täydellinen pallo lienee olemassa vain matemaattisena käsitteenä. Filosofit pohtivat, onko olemassa jonkinlainen matemaattisten ideaalien abstrakti maailma, joka jonkin määritelmän mukaan olisi yhtä todellinen tai ehkä jopa todellisempi kuin se maailma, jonka me tavallisesti havaitsemme. Rataa Kuuhun ei voi ratkaista Kesällä 1969 lähetettiin ensimmäiset ihmisen Kuun pinnalle. Maa, Kuu ja kuualus muodostivat kolmen kappaleen probleeman, jollainen ei ole ratkaistavissa suljetussa muodossa. Koska kolme miestä ja kaksi ohuesta foliosta tehtyä tölkkiä eli komentomoduuli ja laskeutumisalus Eagle painavat mitättömän vähän Maan ja Kuun massoihin verrattuina, niin numeerisen ratkaisun etsiminen ei ollut vaikea tehtävä. Siihen riitti sen ajan huipputietokone, jonka laskentakapasiteetti lähes pärjäsi nykyisen tavaratalon kassakoneen laskentatehon kanssa. Tuloksena ei ollut Maa Kuu -systeemin kartta ja siihen piirretty reitti, vaan kuinka suurella teholla moottoreita ajetaan ja mihin suuntaan. MAA12:n idea on juuri tässä: haetaan ratkaisuksi lukuarvoja. Numeeristen ratkaisujen etsiminen on monissa käytännön tilanteissa riittävä. Tällöin ei ratkaista yhtälöä siinä mielessä, kuin mikä sinulle on tuttua matikan aiemmilta kursseilta. Lähes aina kyseessä on sitä paitsi likiarvo. Viimeksi mainittu seikka seuraa jo siitä tosiasiasta, että melkein kaikki luvut ovat irrationaalilukuja. Tämä siitä huolimatta, että rationaalilukuja on äärettömän 1(12)
2 monta. Jopa: Melkein kaikki luvut ovat imaginaarilukuja, reaaliluvuista taas melkein kaikki ovat transkendenttilukuja eli transsendettilukuja. Monissa tilanteissa tarkan ratkaisun etsiminen on epätaloudellista ja joskus jopa mahdotonta. Onneksi usein riittää, kun oikeita numeroita on jokin äärellinen määrä. Vähän käytämme aikaa myös polynomien jaollisuuden tarkastelemiseen. Tällöinkin tavoitteemme on konkreettinen menetelmä, jonka avulla elävä, oikea polynomi osataan jakaa tekijöihin eli jakoalgoritmi. Välineemme tässä mainitussa hommassa ovat vanhanaikaiset kynä, paperi ja korvien väli. Yleensäkin tarjoan tämän kurssin avulla sinulle erilaisia käytännöllisiä menetelmiä löytää lukuarvoja. Tässä yhteydessä tarkoitan käytännöllisellä menetelmällä algoritmia. Kakkosen neliöjuuri, pii ja muuta saivartelua Mikä on ulkoilman lämpötila juuri nyt? Onko se jotain 2 astetta plussalla vai +1,77 C? Kun katson hetken päästä samaa mittaria uudelleen, saat tuloksen +1,93 C. Mitä järkeä? Lämpötila on pari astetta plussalla, eikö niin. Minä kysyn: Kuinka pitkä on sellaisen neliön sivu, jonka pinta-ala on 2m 2?. No, tietysti 2 metriä, sinä vastaat aivan oikein. Entä kuinka paljon on 2 metriä, minä tivaan edelleen. Luet laskimesi näytöltä: 1, metriä. Koska 2 metriä 2 täytyy olla 2m 2, niin katsotaan: 1, =1, Ei näytä kakkoselta, ei. Tämä johtuu tietenkin siitä, että laskin laskee äärellisellä määrällä numeroita kuten esimerkiksi 10 numerolla. Oheinen neliöjuuriesimerkki on laskettu 10 numerolla neliön laskemisessa näkyy olevan numeroita enemmän, koska kone oli tehokkaampi kuin se ensimmäinen. Kakkosen neliöjuuri ei ole esitettävissä 10 numerolla, jos käytetään desimaalilukuja. Voidaan osoittaa, että kakkosen neliöjuuri ei ollenkaan ole tarkasti esitettävissä äärellisen mittaisena desimaalikehitelmänä. Toinen yksinkertainen esimerkki voisi olla vaikkapa seuraava. Kuinka pitkän matkan etenee sellainen käytävälle irti päästettynä vanne, jonka halkaisija on yhden metrin pituinen, kun mainittu vanne pyörähtää ympäri yhden kerran? Oletetaan tietenkin, että vanne ei luista eikä asiaan liity mitään muitakaan hankalia juttuja paitsi tuo matka itse. 2(12)
3 Vannehan kulkee tietenkin kehänsä pituisen matkan. Tilaapa tällainen vanne lähimmältä täsmälleen halutun kokoisia vanteita toimittavalta vanteentekijältä. Tipauta sen kulutuspinnalle punainen maalitippa ja anna vanteen pyöriä. Kun nyt mittaat tippojen lyhimmän välimatkan, niin tiedät vanteen kehän pituuden, vai mitä. Tässä vaiheessa voit vaikkapa laskea tästä tiedosta tarkan piin arvon, mitä tarkkaa lukuarvoa on kauan ja hartaasti etsitty. Näin teoriassa. Käytännössä et saa mistään vannetta, jonka (ulko)läpimitta olisi tarkalleen metrin eikä se maalitippakaan ole piste vaan isompi. Laskin, joka ilmoittaa piin arvon 12 numeron tarkkuudella, ei maksa kovin paljon. Millään helpolla keinolla et yllä mittauksissasi lähellekään näin montaa merkitsevää numeroa. Johtopäätös on: mittaustulokset ovat aina likiarvoja. Lukuarvon tarkkuuden arvioimisesta Tehtävän vastauksen antaminen oikealla tarkkuudella on jokseenkin yhtä tärkeää kuin oikean vastauksen antaminen yleensäkin. Vaikka laskin antaa numeroita paljon, useimmiten osasta niitä on raaskittava luopua. Ruvetaan tutkimaan tätä asiaa nyt lähemmin. Oikean likiarvon valitseminen: lukujen pyöristämisestä Kun tulos halutaan antaa kohtuullisella määrällä numeroita, se on joko pyöristettävä tai katkaistava. Jos tiedossa on vaikkapa kymmenen oikeaa numeroa, mutta tulokselle on varattu tilaa vain 8 numeron verran, niin ilmoitettava tulos on oikean likiarvo. Luvun tarkkuus voidaan tarvita n:n merkitsevän numeron tarkkuudella n:n desimaalin tarkkuudella ilmoittamalla viimeisen numeron yksikkö Kun pyöristetään n:n merkitsevän numeron tarkkuuteen, merkitseväksi numeroksi (number of significant digits) luetaan kaikki muut paitsi desimaaliluvun alun nollat (leading zeroes) ja kokonaisluvun lopun nollat (trailing zeroes). Merkitsevien numeroiden määrä ei ole sama kuin numeromäärä, jolla kone laskee (precision), joka puolestaan ei ole sama kuin koneen (tai ohjelman) tarkkuus (accuracy). Esimerkki 1 Luvussa 2008 on neljä merkitsevää numeroa, luvussa 2080 on kolme merkitsevää numeroa ja 3(12)
4 numerossa 2800 on kaksi merkitsevää numeroa. Lukujen pyöristämisessä käytetään usein seuraavaa (niin sanottua kaupallista) pyöristystapaa: Jos ensimmäinen pois jäävä numero on 5, 6, 7, 8 tai 9, niin viimeistä jäljelle jäävää lisätään yhdellä. Jos ensimmäinen pois jäävä numero on 0, 1, 2, 3 tai 4, niin viimeinen jäljelle jäävä säilyy ennallaan ja luku vain katkaistaan. Tästä aiheutuvan virheen suuruus on korkeintaan puolet viimeisen mukaan otetun numeron yksiköstä. Se on joskus paljon. Huomaa! Tämä sääntö pyöristää ylöspäin hieman useammin kuin alaspäin. Sitä kuitenkin yleensä käytetään koulukursseissa. Esimerkki 2 Tarkastellaan lukua 3. Windows Xp:n laskimesta nähdään, että kolmen neliöjuuri on noin 1, Miten lie pyöristetty tai katkaistu. Pidetään tätä huolellisen mittauksen tuloksena eli jollakin tunnetulla tarkkuudella oikeana arvona, jossa numerot ainakin 3. viimeiseen numeroon saakka ovat luotettavat. Sen likiarvo 10 merkitsevän numeron tarkkuudella on 3 1, , koska ensimmäinen pois jätetty numero on 5. Kymmenen merkitsevän numeron tarkkuus on tällä kertaa sama asia kuin 9 desimaalin tarkkuus. Sama luku 16 merkitsevän numeron tarkkuudella on 3 1, , koska ensimmäinen pois jätetty numero on nyt 2. Esimerkki 3 Luvulle 1,2 6 on mahdollista laskea tarkka arvo. Se on 2, Tämän likiarvo yhden merkitsevän numeron tarkkuudella on 3 ja 10 merkitsevän numeron tarkkuudella 2, Koska pyöristämällä menetetään usein tietoa alkuperäisestä luvusta, aina ei voida tietää, mikä annetun luvun tarkkuudeksi pitäisi tulkita. 4(12)
5 Esimerkki 4 Luet jostain tietolähteestä, että Maan läpimitta on kilometriä. Kuinka tarkka tämä luku on? Jos tietolähteesi ei muuta kerro, et saa tästä irti enempää kuin kaksi merkitsevää numeroa! Luet toista tietolähdettä. Se kertoo varmana asiana, että Maan läpimitta on 1, kilometriä. Näyttää tieteelliseltä. Onhan siinä tieteellisyyden vaikutelman lisäksi 5 merkitsevää numeroa. Sitten luet vielä kolmatta tietolähdettä, jonka mukaan Maan akselin pituus on kilometriä. Eikö Maan akseli ole myös Maan halkaisija? Ei. Asiaa tutkittuasi sinulle selviää, että Maan halkaisija päiväntasaajan kohdalla eli päiväntasaajan halkaisija on kilometriä eli 1, kilometriä ja Maan akselin pituus on kilometriä eli 1, kilometriä. Varmuuden välttämiseksi sorrut vielä viidenteen tietolähteeseen, joka ilmoittaa riemukkaasti, että: Maa (Tellus): pyörähdysakselin pituus d 1, km päiväntasaajan halkaisija D 1, km Arvovaltaisen näköinen, mutta No, tätä et tietenkään ota todesta! Nuohan annetaan metrin tarkkuudella! Entä jos merellä on myrsky? Aallot voivat olla yli kymmenmetrisiä. Tai entä jos joku tekee porakaivon Afrikassa juuri siihen, missä mittaus tehdään. Tai jos navoilla sataa lunta. Ja Maan massa kasvaa sitä paitsi joka vuorokausi tonnilla avaruudesta tulevasta pölystä. Kasvaako myös Maan säde? Tämän tarinan opetus on se, että jos käytät omaa, tervettä järkeäsi, niin kovin pahasti et mene metsään. Tai jos menet, niin se ei oikeastaan ole sinun vikasi. Järkeväkään arvaus ei aina ole oikea, mutta järjen käyttäminen on parempi ajatus kuin tahallinen järjen hylkääminen. Esimerkki 5 Dalton (lyhenne Da) on molekyylimassan yksikkö. Se on yhden atomimassayksikön suuruinen eli 1, kg. Tämä on suunnilleen yhden vetyatomin massa. Tutkitaan daltonia eri tavoin pyöristettynä. Yksi dalton on milligramman tarkkuudella: 0 9 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1, kg eli 1, g 5 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1, kg 5(12)
6 4 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1, kg 3 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1, kg Esimerkki 6 Kuinka suuri on sellaisen tilin vuotuinen korkoprosentti, jolle sijoitetut varat kasvavat 10 vuodessa korkoa korolle 31 prosenttia? Ratkaisu Yhtälöstä x 10 =1,31 ratkaisemalla saadaan esimerkiksi 1, eli noin 2,74 prosenttia. Miksi ei esimerkiksi 1, ? Koska perusteita on vain korkokannalle r, jolle 1 r =1,31 eli lähtöarvo on annettu kahden desimaalin tarkkuudella. Täten kysytty korkokanta on parhaan tietomme mukaan 2,74 prosenttia per annum. Vastaus: Kysytty korkoprosentti on 2,74. Huomaa! Laskujen tuloksena saadussa luvussa ei koskaan voi olla tarkkoja numeroita enempää kuin epätarkimmassa lähtöarvossa. Jos muuta neuvoa ei ole, käytä vastauksessa aina muulloin samaa tarkkuutta kuin epätarkimmassa lähtöarvossa, mutta yhteen- ja vähennyslaskun tapauksessa yhtä monta desimaalia kuin epätarkimmassa lähtöarvossa. Likiarvon virheestä Absoluuttisella virheellä tarkoitetaan virheen itseisarvoa. Merkitään tarkkaa arvoa x:llä ja likiarvoa x':lla. Silloin virhe = x ' x = x. Suhteellinen virhe määritellään vertaamalla absoluuttista virhettä tarkkaan arvo, joten suhteellinen virhe = x ' x = x x x. Suhteellinen virhe ilmaistaan usein prosentteina. Tieteessä ja tekniikassa sovelletaan usein periaatetta, jonka mukaan oikea arvo = virheellinen arvo miinus virhe. Toisin sanoen, oikea tulos saadaan, kun virhe poistetaan. Tällöin x= x' x. 6(12)
7 Esimerkki 7 Geodeettisen laitoksen nettisivulta : Kvartsimetrit Perusviivanmittauksissa Väisälä-komparaattorilla mittakaava saadaan kvartsimetrien kautta. Näiden noin metrin mittaisten mittanormaalien pituudet on saatu Mittatekniikan keskuksessa ja PTB:ssä (Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig, Saksa) tehtyjen absoluuttimittausten ja Turun yliopiston Tuorlan observatorion vertausmittausten avulla. Perusviivoja Suomessa Nummelan normaaliperusviiva on mitattu Väisälän interferenssikomparaattorilla 13 kertaa vuosina Viimeisimmän mittauksen perusteella koko viivan pituus on ,75 mm ±0,07 mm. Lainaus päättyy. Maanmittari haluaa mitata tonttinsa pinta-alan tarkasti. Hän mittaa suorakulmion muotoisen tonttinsa sivujen pituudet ja pyrkii tässä työssään samaan suhteelliseen tarkkuuteen kuin yllä kuvatussa Nummelan perusviivan mittauksessa on päästy. Jos oletetaan epärealistisesti, että maanmittari yltää mittaustarkkuudessaan tavoitteeseensa, niin laske hänen tonttinsa pinta-ala virhearvioineen, kun tontit mitat hänen mittaustensa mukaan ovat 73 metriä ja 75 metriä. Ratkaisu Maanmittarin mittausten suhteelliset virheet mittauksissa ovat ja x= 0, mm 0,006 mm ,75 y= 0, mm 0,006 mm ,75 Tontin mitat ovat siis mm ± 0,006 mm ja mm ± 0,006 mm, joten tontin pinta-ala on välillä , ,006 mm , ,006 mm 2 5, mm 2 ±8, mm 2. eli välillä Vastaus: Tontin ala on noin 5, mm 2 ±8, mm 2. Koska 888 mm² on todella vähän verrattuna yli puolen hehtaarin alaan, niin näemme, että Suomesta löytyy todella tarkkaa tekniikkaa. 7(12)
8 Huomaa! Käytä aina mielekästä tarkkuutta, myös silloin, kun sitä ei erikseen pyydetä. Huomaa! Muutamat laskimet ja tietokoneohjelmat eivät pyöristä tuloksiaan vaan katkaisevat ne. Tällöin laskutuloksen viimeinen numero on epätarkempi kuin jos se olisi pyöristetty oikeaoppisesti. Lukuarvo on aina pyöristettävä, jos mahdollista, ei katkaistava. Teknisissä ja tieteellisissä tarkoituksissa luvut pyöristetään yleensä lähimpään parilliseen. Tästä aiheutuu paljon pienempi virhe kuin kaupallista pyöristystapaa käytettäessä, koska pitkissä laskuissa virheet tasoittuvat paremmin. Välttämättömästä tarkkuudesta Esimerkki 8 Kuinka suuri on sellaisen tilin korkoprosentti vuodessa, jolle sijoitetut varat kasvavat 25 vuodessa korkoa korolle 50 prosenttia? Ratkaisu Ratkaistaan x yhtälöstä: Tulos on x 25 =1,50 ln 1,5 25 x=e. Tämä on tarkka ratkaisu tai tarkka arvo. Erään laskimen antama likiarvo on x 1, Tästä saadaan koroksi 0, eli 1, %. Koska 25 vuotta voidaan pitää tarkkana arvona, kun 50 on puolestaan korkeintaan kolmen merkitsevän numeron likiarvo. Koska kyseessä ovat valuuttalaskut, oletetaan, 50 prosentin tuotto on myös tarkalleen kolmen merkitsevän numeron likiarvo. Kuinka monta merkitsevää numeroa se oikeuttaa ratkaisuun? Kokeillaan kolmea merkitsevää numeroa eli likiarvoa 1,64 prosenttia. 1, ,50. Tarkistetaan vielä likiarvo 1,63 prosenttia: Hups! 1, ,50. 8(12)
9 1, ,51. Liikaa! Kolme merkitsevää numeroa on liian vähän. Otetaan uudestaan. ln 1,5 x=e 25 1, Kokeillaan likiarvoja 1,01634; 1,01635 ja 1,01636: 1, , =1,4996 1, =1,5000 1, =1,5003 Vastaus: Korkoprosentti on 1,635. Mahdollisesta tarkkuudesta Tarkkuudelle asettavat ylärajan ainakin laskujen pohjana olevan teorian epätarkkuudet (kuten klassinen mekaniikka contra suhteellisuusteoria) lähtöarvojen epätarkkuudet numeeriset menetelmät ovat usein lähtökohtaisesti likimääräisiä, kun tarkka kaava korvataan helpommin käsiteltävällä likiarvokaavalla koneen ja ohjelmistojen epätarkkuudet ja virheet koneen hitaus: menetelmä antaa mielivaltaisen tarkan ratkaisun, jos voit odottaa rajattoman kauan Jos käytössäsi on ohjelmoitava laskin tai jokin ohjelmointikielen kääntäjä tai tulkki, voit arvioida välineesi tarkkuutta (accuracy) aritmeettisissa operaatioissa seuraavalla algoritmilla: 1) Annetaan muuttujille x, i, j arvot (vastaavasti) 1, 0, 0. 2) Laske x ) Onko x x + 1? 4) x x + 1: 1. muuta muuttujan j arvoksi j muuta muuttujan x arvoksi 2x. 3. palaa kohtaan 3) 9(12)
10 5) x = x + 1: 1. muuta muuttujan i arvoksi 0,30103 j. 2. tulosta i. 6) Loppu Seuraavassa muutamalla laskimella saadut tulokset HP-48G: 12,041. HP-33s: 11,740. TI-84Plus: 10,536. TI-Voyage200: 14,148 (liukuluvuilla, floating point). sekä yhdellä tietokoneohjelmalla saatu tulos. Python 3.0 ohjelmointikieli antoi tuloksen 15,955. Koodi oli seuraava. Siinä 0,30103 = lg 2. #Based on Astronomical Algorithms by Jean Meeus, 1. English edition, p. 17. x,j=1.,0 while x!=x+1: j=j+1 x=2*x print( *j) Mikä sinun mielestäsi olisi näitten tulosten järkevä esitystarkkuus? Käytettyjen numeroitten määrä ei välttämättä ole sama asia kuin saavutettava tarkkuus. Käsitteellä liukuluku tarkoitetaan sellaista luvun esitystapaa, jossa on etumerkki, mantissa ja eksponentti. Mantissaan mukaan otettavien numeroiden määrän voit valita tilanteen mukaiseksi. Eksponentin kantaluku on 10. Esimerkki 9 1, Tarkista, miten sinun koneesi ilmoittaa liukuluvut. Esimerkiksi kantaluvun 10 kohdalla saattaa lukea E tai EE eikä kertomerkkiä ole välttämättä ollenkaan. Esimerkki 10 Kuten on helppo uskoa, säännöllisen monikulmion eli säännöllisen n kulmion piirin pituus on sitä lähempänä n kulmion ympäri piirretyn ympyrän kehän pituutta mitä suurempi n on ja lähestyy tätä alhaalta päin. Tästä syystä monikulmion piirin ja ympyrän halkaisijan suhde lähestyy piitä, kun n 10(12)
11 kasvaa rajatta. Merkitään säännöllisen n kulmion keskuskolmion kantaa kirjaimella d ja sen kylkeä kirjaimella r. Tällöin r on myös puheena olevan ympyrän säde. Kosinilauseen nojalla saadaan: d = 2r2 [ 1 cos 360º n ]. Piin arvolle saadaan tämän avulla yhtälö n s =lim n 2r =lim n 360º 2 1 cos n 2 n. Taulukoidaan funktion p n = n 2 Erään laskimen tulokset: 360º 2 1 cos arvoja eri n:n arvoilla. n n:n arvo p(n) 100 3, , , , , , , ,0 3, ,5 3, ,6 3, , , , , , , Ilmiö johtuu siitä, että koneet laskevat äärellisellä määrällä numeroita. 11(12)
12 Laskentavälineitten tarkkuus on erityisellä koetuksella seuraavissa tilanteissa: pienellä luvulla jakaminen eli jaetaanko nollalla vai ei ykkösen lähellä olevan luvun logaritmi esimerkiksi korkolaskuissa luvun korottaminen melkein ykköseen Joskus laskujen suorittamisjärjestys vaikuttaa tuloksessa saavutettavaan tarkkuuteen. Taulukoi 1 esimerkiksi lausekkeen x 1 x= x 1 x potenssin arvoja alkaen vaikkapa arvosta x = arvoja, kun x saa erilaisia kymmenen 12(12)
LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
Lisätiedot5. Numeerisesta derivoinnista
Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
Lisätiedot4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotNumeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
LisätiedotMittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt
Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisut
Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotTee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!
MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotFunktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen
Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000
LisätiedotFysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet SI-järjestelmä Antti Haarto 21.05.2012 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotApua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
LisätiedotRatkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy
Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."
LisätiedotMittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014
Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 SI järjestelmä Kansainvälinen mittayksikköjärjestelmä Perussuureet ja perusyksiköt Suure Tunnus Yksikkö
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
Lisätiedot2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
LisätiedotPERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen
MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi
LisätiedotAMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA
AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lisätiedota) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 28.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 28.1.2009 1 / 28 Esimerkki: murtoluvun sieventäminen Kirjoitetaan ohjelma, joka sieventää käyttäjän antaman murtoluvun.
Lisätiedot3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2
MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
Lisätiedot7. Resistanssi ja Ohmin laki
Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotLuvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
LisätiedotTASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE
TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE Ryhmä Tekijä 1 Pari Tekijä 2 Päiväys Assistentti Täytä mittauslomake lyijykynällä. Muista erityisesti virhearviot ja suureiden yksiköt! 4 Esitehtävät 1. Mitä tarkoitetaan
Lisätiedot2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2
.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
LisätiedotHarjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.
Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast
Lisätiedot1.1 Funktion määritelmä
1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotTodellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa
Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotR1 Harjoitustehtävien ratkaisut
MAB R Harjoitustehtävien ratkaisut R Harjoitustehtävien ratkaisut. Jos lämpötila nousee asteesta asteella, mikä on uusi lämpötila? +. Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: 0 + Nuolen pituus.
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotTyö 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä
Työ 3A VAIHTOVIRTAPIIRI Pari Jonas Alam Antti Tenhiälä Selostuksen laati: Jonas Alam Mittaukset tehty: 0.3.000 Selostus jätetty: 7.3.000 . Johdanto Tasavirtapiirissä sähkövirta ja jännite käyttäytyvät
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet, 1. välikoe
Ohjelmoinnin perusteet,. välikoe Nimi: Opiskelijanumero:.. 3. 4. Yhteensä Ohje: Ratkaise kaikki tehtävät. Lähdemateriaalia ja tietokonetta ei saa käyttää. Noudata ohjelmointitehtävissä Java-kielen vakiintuneita
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotKenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
LisätiedotHarjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.
SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
LisätiedotLiukulukulaskenta. Pekka Hotokka
Liukulukulaskenta Pekka Hotokka pejuhoto@cc.jyu.fi 10.11.2004 Tiivistelmä Liukulukuja tarvitaan, kun joudutaan esittämään reaalilukuja tietokoneella. Niiden esittämistavasta johtuen syntyy laskennassa
LisätiedotMITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?
MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
Lisätiedot