Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa

Transkriptio

1 Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Meri Vainio Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

2 Tiivistelmä Symbolinen laskin sallitaan ylioppilaskirjoituksissa keväästä 2012 alkaen. Symbolinen laskin eroaa graafisesta laskimesta toiminnoiltaan merkittävästi, joten tehtävien ratkaiseminen muuttuu. Symbolisissa laskimissakin on eroja, joten käytin tutkimiseen neljää erilaista laskinta. Käyttämäni laskimet olivat Casio ClassPad 330, HP 40gs, TI-Nspire CX CAS ja Microsoft Mathematics. Tutkin matematiikan ylioppilaskirjoitusten tehtävien merkityksen muuttumista ratkaisemalla vuoden 2011 kevään ja syksyn tehtävät. Katsoin myös malliratkaisut MA-FY Valmennus Oy:n Internet-sivuilta löytyvistä ratkaisuista. Tehtävien vaiheiksi laskin jokaisen merkittävän tehtävänosan. Kevään tehtävissä 1, 2, 3, 6 ja 10 sekä syksyn tehtävissä 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 14 laskin jokaisen yhtäsuuruusmerkin välisen osan. Muissa tehtävissä on yhdistetty joitakin peräkkäisiä laskimella ratkaistavissa olevia vaiheita, kuten yhtälön tai yhtälöparin ratkaiseminen. Vaiheeksi laskin myös mahdollisen tarvittavan yhtälön luomisen annetuista tiedoista. Vaiheeksi ei ole laskettu havainnollistavien kuvien piirtämistä, vaiheiden selittämistä eikä matemaattisen todistuksen johtopäätöksen kirjaamista. Näistä ratkaisuista laskin tehtävien vaiheiden lukumäärän. Tämän jälkeen katsoin, montako vaihetta symbolinen laskin tekee. Pitkän matematiikan alkupään tehtävien lähes kaikki vaiheet voidaan ratkaista symbolisella laskimella. Kaikki symboliset laskimet osaavat laskea derivaatat ja integraalit sekä ratkaista yhtälöt. Symbolinen laskin ei tuonut merkittävää lisäetua todistustehtäviin, todennäköisyyslaskentaan, numeriikkaan, geometriaan eikä analyyttiseen geometriaan. Jos kustakin kokeesta valitaan ne kymmenen tehtävää, joissa symbolisella laskimella voidaan suorittaa suurin osuus tehtävän suoritukseen vaadittavista välivaiheista, niin keväällä 2011 laskimella olisi voitu suorittaa 93,2 % kaikista ylioppilaskokeen välivaiheista ja syksyllä 77,8 %. Siten laskimen merkitys on todella merkittävä.

3 Sisällysluettelo 1. Johdanto Symboliset laskimet Symbolinen laskin yleisesti Casio ClassPad HP 40gs TI-Nspire CX CAS Microsoft Mathematics Tutkimusmenetelmä Matematiikan ylioppilastehtävät Pitkän matematiikan tehtävät Tulokset Pitkä matematiikka Esimerkkitehtäviä Johtopäätökset Lähdeluettelo Liite 1: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset kevät 2011 Liite 2: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset syksy 2011

4 1 1. Johdanto Ylioppilastutkintolautakunta sallii symboliset laskimet ylioppilaskirjotuksissa alkaen. Matematiikan ylioppilastehtävien luonnetta muutetaan aikaisintaan kolmen vuoden jälkeen, sillä tällä hetkellä lukiossa olevilla ei ole ollut mahdollisuutta käyttää symbolista laskinta koko lukioaikaa. (Kinnunen, 2011) Tämä uudistus vaikuttaa myös opetukseen, sillä opettajat joutuvat ottamaan huomioon laskimen käytön opettelemiseen menevän ajan. Oppikirjat ovat kuitenkin vielä ajalta ennen symbolista laskinta (Lappi & Lappi, 2011). Symbolinen laskin vaikuttaa matemaattisten tehtävien ratkaisemiseen. Symbolisesta laskimesta löytyvät lähes kaikki lukiotason matematiikassa tarvittavat toiminnot, joten oppilaan aivojen työmuistia ei kulu yhtälöjen ratkaisemiseen ja sieventämiseen (Lappi & Lappi, 2011). Joistain matematiikan ylioppilastehtävista saattaa tulla vain näppäilytaitoa vaativia tehtäviä, mutta osaan tehtävistä tämä uudistus ei vaikuta lainkaan. Symbolisten laskinten käytöstä Suomessa ei ole laajaa kokemusta, mutta keskustelua on syntynyt. Simo Kivelä on puhunut blogissaan niiden käyttöönotosta lukioihin ja ratkaissut kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset TI-Nspire CX CAS kämmenlaitteella, Wolfram Alpha-ohjelmistolla ja Mathematica-ohjelmistolla (Kivelä, 2011). Matematiikan opettaja Merja Vihtilä pohtii symbolisen laskimen tuoman uudistuksen seurauksia. Vihtilä miettii, mitkä ovat tarvittavat laskut ja vaiheet ratkaisuissa tämän uudistuksen jälkeen. Vihtilän mukaan laskin saattaa tuoda eriarvoisuutta, jos kaikkilla kouluilla ei ole varaa käyttää niin paljoa resursseja symbolisen laskimen köytön opiskeluun ja opettamiseen. (Vihtilä, 2011) Lenni Haapasalo on kirjoittanut artikkelin Dimensio-lehteen. Tässä artikkelissa Haapasalon mukaan uudistus on hyvä ja kannustaa opiskelijoita itsenäisempään opiskeluun, jos symbolisia laskimia osataan käyttää oikein. (Haapasalo, 2011) Tämän tutkielman tarkoituksena on arvioida perinteisten matematiikan ylioppilastehtävien vaikeustason ja luonteen muuttumista, kun symboliset laskimet sallitaan. Tutkimusmenetelmänä käytettään tehtävien laskemista ja arviointia laskimen tuovan avun määrästä. Lisäksi vertaillaan kolmea kilpailevaa laskinta ja ilmaista tietokoneohjelmaa.

5 2 2. Symboliset laskimet 2.1 Symbolinen laskin yleisesti Graafisen laskimen ja funktiolaskimen toimintojen lisäksi symbolinen laskin ratkaisee yhtälöt, derivaatat, integraalit ja monet muut laskut helposti. Osa symbolisista laskimista näyttää laskulle välivaiheet, jotta käyttäjä tietää mitä laskin on tehnyt. Arvioin symbolisia laskentavälineitä toimintojen ja käyttöönottokynnyksen perusteella. Casio, HP ja Texas Instrumental ovat laskimia ja Microsoft Mathematics on tietokoneelle ladattava ohjelma, jonka kuka tahansa voi ladata ilmaiseksi Internetistä ja asentaa erilaisiin laitteisiin. 2.2 Casio ClassPad 330 Casio ClassPadissa (kuva 1) on kosketusnäyttö, joka erottaa sen muista kokeilemistani symbolisista laskimista. ClassPad on hyvä valinta, jos tarvitsee helppokäyttöisen symbolisen laskimen. ClassPadissa on kaikki samat toiminnot kuin muissakin symbolisissa laskimissa. Joidenkin toimintojen syntaksi on katsottava käyttöohjeesta, mutta muuten sen käyttäminen on helppoa. ClassPad on helppo ottaa käyttöön ja sen mukana tulee suomenkielinen pikakäyttöpas. ClassPadiin ei saa suomea käyttökieleksi. 2.3 HP 40gs HP 40gs (kuva 1) on käyttöliittymältään kokeilemistani laskimista huonoin, sillä toiminnot olivat hanakala löytää ja vaativat ohjekirjan selailua. Välisievennykset saa näkyviin helpommin kuin Casiossa ja Texas Instrumentalissa. HP:n käyttämistä varten on hyvä perehtyä sen käyttöohjeisiin huolella. HP 40gs antaa myös funktion ääriarvojen ratkaisemista varten kaikki välivaiheet eli funktion derivaatan, funktion kulkukaavion ja ääriarvot. HP 40gs sisältää symbolisen laskimen perustoimintojen lisäksi myös kolmion ratkaisijan, joka ratkaisee kolmion kulmat ja sivujen pituudet. HP 40gs vaatii eniten ohjeisiin perehtymistä, joten sen käyttöönottokynnys on suurempi kuin muiden käyttämieni laskinten.

6 3 2.4 TI-Nspire CX CAS (Kuva 1) Casio ClassPad 330 ja HP 40gs Texas Instrumentalin TI-Nspire CX CAS kämmenlaite (kuva 2) sisältää tavalliset symbolisen laskimen toiminnot. Värinäyttö, suomen kieli ja laskujen tallentuminen tiedostoiksi ovat TI-Nspiren vahvuuksia. Pidin TI-Nspiressä erityisesti yhtälöryhmien ratkaisemisesta, sillä se oli yksinkertaista. Valitaan vain yhtälöiden määrä, ratkaistavat muuttujat ja kirjoitetaan yhtälöt ja enter-näppäintä painamalla saadaan muuttujat ratkaistuksi. TI-Nspiren näppäimistö on mielestäni parempi kuin muiden. TI-Nspiren käyttöönottokynnys on matala suomenkielisen ohjelmiston ansiosta. 2.5 Microsoft Mathematics Microsoft Mathematics on tietokoneohjelma, joten sitä ei voi ottaa ylioppilaskirjoituksiin mukaan, jos sitä ei asenna laskimen näköiseen päätelaitteeseen. Mathematicsissa on kaksi osaa, laskimen näköinen valikko ja laskentataulukko tai kaaviointi (kuva 3). Mathematics näyttää osalle tehtävistä ratkaisuvaiheet selityksineen, joten se auttaa eniten tehtävien ratkaisemisessa. Mathematicsissa on myös kolmion ratkaisija, joka ratkaisee kolmion kulmat, sivut ja pinta-alan.

7 4 (Kuva 2) TI-Nspire CX CAS (Kuva 3) Kuvakaappaus Microsoft Mathematicsista

8 5 3. Tutkimusmenetelmä Tutkin matematiikan ylioppilaskirjoitusten tehtävien merkityksen muuttumista ratkaisemalla vuoden 2011 kevään ja syksyn tehtävät. Luokittelin tehtävät laskimen tuoman edun, tehtävätyypin ja käytettyjen toimintojen perusteella. Tämän jälkeen luokittelin tehtävät. Tähän käytin apuna Arithmetic Complexity -järjestelmää, eli ovatko laskut yksivaiheisia vai monivaiheisia (Leung & Silver, 1997). Laskin kustakin tehtävästä montako vaihetta sen ratkaisemiseen tarvitaan. Tämän jälkeen katsoin, montako vaihetta symbolinen laskin tekee. 3.1 Matematiikan ylioppilastehtävät Matematiikan ylioppilaskokeessa on 15 tehtävää. Pitkässä matematiikassa kaksi viimeistä on haastavampia tehtäviä, jotka tunnetaan myös nimellä tähtitehtävä. Tehtävät ovat järjestyksessä likimain vaikeustason mukaisesti eli alkupuolen tehtävät ovat helpompia kuin loppupuolen. Syventävien kurssien tehtävät ovat yleensä vaikeustasosta riippumatta juuri ennen tähtitehtäviä. Ylioppilaskokeessa saa vastata enintään 10 tehtävään ja useampiosaisessa tehtävässä tulee vastata kaikkiin kohtiin. (Ylioppilastutkintolautakunta, 2011) 3.2 Pitkän matematiikan tehtävät Pitkän matematiikan tehtävistä tarkastelussa olivat vuoden 2011 kevään ja syksyn ylioppilaskirjoitukset. Tehtävät löytyvät liitteistä 1 ja 2. Ratkaisin tehtävät ja katsoin myös malliratkaisut MA-FY Valmennus Oy:n Internet-sivuilta löytyvistä ratkaisuista (MA-FY Valmennus, 2011). Näistä ratkaisuista laskin tehtävien vaiheiden lukumäärän. Tehtävien vaiheiksi laskin jokaisen merkittävän tehtävänosan. Kevään tehtävissä 1, 2, 3, 6 ja 10 sekä syksyn tehtävissä 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 14 laskin vaiheiksi jokaisen yhtäsuuruusmerkin välisen osan. Muissa tehtävissä on yhdistetty joitakin peräkkäisiä laskimella ratkaistavissa olevia vaiheita, kuten yhtälön tai yhtälöparin ratkaiseminen. Vaiheeksi laskin myös mahdollisen tarvittavan yhtälön luomisen annetuista tiedoista. Vaiheeksi ei ole laskettu havainnollistavien kuvien piirtämistä, vaiheiden selittämistä eikä matemaattisen todistuksen johtopäätöksen kirjaamista. Taulukoissa 1 ja 2 tehtävät ovat luokiteltu tehtävän numeron, tehtäväntyypin, vaiheiden määrän, symbolisen laskimen tekemien vaiheiden ja symbolisen laskimen tuoman hyödyn mukaan. Lisäksi taulukoon on merkitty, jos graafinen laskin olisi tehnyt saman sekä

9 6 tarvitseeko tehtävän ratkaisemiseen oivalluksen. Taulukossa on käytetty lyhennettä MM, joka tarkoittaa Microsoft Mathematicsia. Taulukon loppuun on koottu yhteenveto kaikista kokeen tehtävistä. Tehtävän Tehtävän- Tehtävän Symbolisen Vaatii Graafinen Symbolisen numero tyyppi vaiheet laskimen oival- olisi tehnyt laskimen tuoma tekemät luksen saman hyöty vaiheet 1 Yhtälön ratkaisu (MM) 4 (muut) 15/15 (MM) 4/15 (muut) 2a Prosenttilasku 3 3 x 3/3 2b Kulmakerroin 3 3 x 3/3 2c Sievennys 3 2 (HP) 1 (muut) 2/3 (HP) 1/3 (muut) 3a Yhtälön ratkaisu 2 2 2/2 3b Derivointi 3 3 3/3 3c Integrointi 4 4 4/4 4 Polynomin määritys 5 3 3/5 5 Ääriarvojen määritys 6 6 6/6 6 Todennäköisyys x 10/10 laskenta 7 Geometria 8 8 x x 8/8 8 Vektorit 9 9 x 9/9 9 Lukujonot 7 4 4/7 10 Integraali 8 3(HP) 2(muut) x 3/8 (HP) 2/8 (muut) 11 Funktion 14 7 x 7/14 ominaisuudet 12 Lukuteoria 9 0 x 0/9 13 Tekijöihin jako 6 6 x 6/6 14 Funktion 20 7 x 7/20 ominaisuudet 15 Analyyttinen x 10/12 geometria YHTEENSÄ (MM) 94 (HP) 92 (muut) /147(MM) 94/147 (HP) 92/147 (muut) (Taulukko 1) Kevät 2011 pitkä matematiikka

10 7 Tehtävän numero Tehtäväntyyppi Tehtävän vaiheet Symbolisen laskimen tekemät Vaatii oivalluksen Graafinen olisi tehnyt saman Symbolisen laskimen tuoma hyöty vaiheet 1a, c Yhtälön ratkaisu 11 11(MM) 3(muut) 11/11(MM) 3/11(muut) 1b Geometria 2 1 x 1/2 2a Sievennys 3 1 1/3 2b Yhtälöparin ratkaisu 9 9(MM) 3(muut) 9/9(MM) 3/9(muuut) 2c Derivointi 3 3 3/3 3a, b Yhtälön ratkaisu 16 2 (muut) 2/16 MM ei osaa ilman lisäsievennys tä 3c Analyyttinen 2 1 x 1/2 geometria 4a Derivointi 2 2 2/2 4b Sievennys 2 2 (HP) 1 (muut) 2/2 (HP) 1/2 (muut) 4c Integrointi 4 3(HP) 2(muut) 3/4 (HP) 2/4 (muut) 5 Vektorit 5 5 5/5 6a Raja-arvo 4 1 x 1/4 6b Yhtälön ratkaisu 12 3(MM) 2(muut) 3/12 (MM) 2/12(muut) virhe (HP) 7 Verranto 8 4 4/8 8 Todennäköisyys 9 8 x x 8/9 laskenta 9 Funktion 10 5 x 5/10 ominaisuudet 10 Ääriarvot ja 6 2 x 2/6 nollakohdat 11a, b Osoita, että x 3/5

11 8 11c Raja-arvo 5 1 1/5 12a Derivointi 1 1 1/1 12b Jatkuvuus 3 2 x 2/3 12c Numeriikka 5 4 x 4/5 13 Todistus 9 0 x 0/9 14a Integrointi 3 3 3/3 14b Lukujonot 18 7 x 7/18 14c Raja-arvo 6 3 3/6 15 Geometrinen todistus 26 0 x 0/26 YHTEENSÄ (MM) 73 (HP) 70 (muut) /189(MM) 73/189(HP) 70/189(muut) (Taulukko 2) Syksy 2011 pitkä matematiikka 4. Tulokset 4.1 Pitkä matematiikka Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa symbolinen laskin olisi ratkaissut kokonaan tehtävät 1, 3, 5, 6, 7, 8 ja 13. Näistä graafinen laskin olisi ratkaissut kokonaan tehtävät 6 ja 7 sekä tehtävän 2 a- ja b-kohdan. Täydelliseen ratkaisuun olisi kuitenkin vaadittu myös vaiheiden selittämistä tehtävissä 7, 8, 10 ja 13. Syksyllä 2011 pitkän matematiikan tehtävistä suoraan ei olisi ratkennut mikään tehtävä kokonaan, mutta tehtävien 1, 4 ja 12 a- kohta ja tehtävän 2 b- ja c-kohta olisi ratkennut suoraan. Hyvin vähällä selityksellä tehtävistä 1b, 3c, 8 ja 12c olisi saanut täydellisen ratkaisun. Jos yhtälön ratkaisu tehtävissä tarvitaan kaikki välivaiheet, niin kevään tehtävässä 1 ja syksyn tehtävissä 1a, 1c ja 2b täydellistä ratkaisua ei olisi saatu suoraan ilman Microsoft Mathematicsia. Myös HP 40gs antoi osaan tehtävistä enemmän apua kuin muut laskimet. Osaan tehtävistä symbolinen laskin ei tuonut mitään hyötyä. Nämä tehtävät olivat kevään tehtävät 6, 7 ja 12 ja syksyn tehtävät 8, 13 ja 15. Tehtävissä 6, 7 ja 8 tämä johtui siitä, että graafinen laskin tekee kaikki samat vaiheet, joten sillä ei ole väliä kumpi laskin on käytössä. Tehtävät 12, 13 ja 15 olivat tyypiltään sellaisia, että laskimesta ei ole hyötyä tehtävän ratkaisemiseen. Esimerkiksi geometrian tehtäviin ja erityisesti geometriset todistustehtäviin symbolinen laskin ei vaikuta lainkaan. Osaan tavallista todistustehtävistä symbolinen laskin ei

12 9 vaikuta juuri lainkaan, sillä todistus- ja osoitustehtävistä ei ratkennut suoraan juuri mikään vaihe. Myös todistustehtävistä osasuoritus voi vaatia sieventämistä tai yhtälön ratkaisua, jotka saa suoraan laskimesta. Näitä tehtäviä olivat kevään tehtävä 12 ja syksyn tehtävä 13. Symbolinen laskin ei tuo myöskään lisäetua todennäköisyyslaskentaan, numeriikkaan, geometriaan eikä analyyttiseen geometriaan. Näiden tehtävien ratkaisemiseen ei vaikuttanut käytettävissä oleva laskin. Suurin osa näistä tehtävistä ratkeaa helposti taulukkokirjan avulla ja tarvittavat laskutoimitukset ovat hyvin yksinkertaisia. Näitä tehtäviä olivat kevään tehtävistä tehtävät 6 ja 7 sekä syksyn tehtävistä tehtävä 8 ja tehtävän 12 c-kohta. Syksyn ja kevään ylioppilaskokeen lopputulokset poikkeavat toisistaan. Kevään kokeessa symbolinen laskin olisi tehnyt noin 100/150 vaihetta, syksyllä tämä suhde olisi ollut noin 80/190. Kokeet olivat vaikeustasoltaan erilaiset, sillä on mahdotonta tehdä joka vuodeksi samantasoinen koe. Jos kustakin kokeesta valitaan ne kymmenen tehtävää, joissa symbolisella laskimella voidaan suorittaa suurin osuus tehtävän suoritukseen vaadittavista välivaiheista, niin keväällä 2011 laskimella olisi voitu suorittaa 93,2 % kaikista ylioppilaskokeen välivaiheista ja syksyllä 77,8 %. Siten laskimen merkitys on todella merkittävä. 4.2 Esimerkkitehtäviä Alla olevat tehtävät 1-4 ratkeavat suoraan symbolisella laskimella. 1 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte ( ) Ratkaisu 1 2 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte ( ) Ratkaisu 1

13 10 3 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte ( ) Tuloste 4 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte Tuloste Desimaalituloste

14 11 (Kuva 4) Tehtävä 3 ratkaistuna käyttäen toimintoa näytä välivaiheet Seuraavat kaksi tehtävää eivät ratkea symbolisen laskimen avulla, vaan ne täytyy tehdä lähes kokonaan itse. Kevät 2011 tehtävä 12: Tutki, onko luku jaollinen viidellä. Syksy 2011 tehtävä 13: Osoita epäsuoraa todistusta käyttämällä, että lg 50 ei ole rationaaliluku. (lg = log 10 ) Syksyn 2011 pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa tehtävänä 10 oli funktion ääriarvojen määritys. HP 40gs ratkaisee ääriarvot lähes täydellisesti, sillä se kertoo välivaiheena derivaatan, antaa funktiosta kulkukaavion ja piirtää funktion halutessa. Kuvasta 5 nähdään HP 40gs:n antamat välivaiheet.

15 12 (Kuva 5) HP 40gs ratkaisee ääriarvotehtävän lähes täydellisesti 5. Johtopäätökset Microsoft Mathematicsista löytyy suurin piirtein samat toiminnot kuin kokeilemistani laskimista. HP 40gs:n lailla tässä on myös kolmion ratkaisija. Mathematicsista saa eniten välivaiheita suoraan näkyville. Mathematicsilla voi tallentaa ratkaisemansa laskut koneen tiedostoihin, joten ne saa tarvittaessa helposti takasin. Tämä ominaisuus on myös TI- Nspiressä. Microsoft Mathematics antoi eniten välivaiheita, joten se on paras yhtälön ratkaisemiseen. HP 40 gs antaa välivaiheita kanssa sieventämiseen ja yhtälön ratkaisuun, muttei selitä miksi näin on tehty. HP 40gs ratkaisee lähes täydellisesti ääriarvot, sillä se kertoo derivaatan, funktion kulun ja ääriarvo Casio ClassPad 330 on hyvä symbolinen laskin, jos ei halua mitään kovin erikoista. ClassPadilla saa kuitenkin ratkaistua paljon erilaisia asioita kuten pistetulon tai sarjan summan. TI-Nspiren ja Microsoft Mathematicsin saa suomen kielelle, mutta muut ovat englanniksi. Tämän takia olisi hyvä opettaa myös englanninkielistä matematiikkasanastoa.

16 13 Pitkän matematiikan alkupään tehtävien lähes kaikki vaiheet voidaan ratkaista symbolisella laskimella. Kaikki symboliset laskimet osaavat laskea derivaatat ja integraalit sekä ratkaista yhtälöt. Yhtälön ratkaisemiseen kaikkia välivaiheita tai määrittelyjoukkoja ei kuitenkaan saa näkyviin muuta kuin Microsoft Mathematicsilla. Ylioppilaskoetta ajatellen yhtälön ratkaisu - tehtäviä olisi hyvä muuttaa hiukan. Näin nekin saataisiin pysymään ylioppilaskokeessa, mutta ne eivät olisi aivan liian helppoja. Yhtälön ratkaisu -tehtävissä tulisi kiinnittää huomio määrittelyjoukkoihin ja muihin pieniin asioihin, jotka pitää itse tajuta. Funktion derivointi- ja integrointitehtäviä on hankala muuttaa, mutta ne voitaisiin laittaa osaksi jotain soveltavaa tehtävää. Ylioppilaskokeessa hankalammat tehtävät ovat lopussa. Näitä symbolinen laskin ei ratkaise suoraan, joten ne ovat hyviä tehtäviä myös tämän uudistuksen jälkeen. Todistustehtävät, geometrian todistustehtävät ja lukuteorian tehtävät säilyttävät asemansa haastavampina tehtävinä, sillä symbolisesta eikä graafisesta laskimesta ole merkittävää etua. Numeriikassa, todennäköisyyslaskennassa, analyyttisessä geometriassa ja geometriassa ei ole väliä onko käytettävä laskin graafinen vai symbolinen. Joskus jopa funktiolaskimella saa laskettua tarvittavat laskutoimitukset.

17 14 Lähdeluettelo MA-FY Valmennus. (2011). Noudettu osoitteesta Haapasalo, L. (2011). Laskinpanna poistuu - muuttuuko opetus ja arviointi. Dimensio, ss Kinnunen, J. (2011). Haettu osoitteesta MAOL: alusta-kaikki-laskimet/ Kinnunen, J. ( ). Ylioppilaskokeessa sallitaan kaikki laskime Haettu osoitteesta LUMA SANOMAT: Kivelä, S. (2011). Haettu osoitteesta Simo Kivelän blogi: Lappi, E.;& Lappi, M. (2011). Haettu osoitteesta Leung, S.;& Silver, E. (1997). The Role of Task Format, Mathematics Knowledge, and Creative Thinking on the Arithmeric Problem Posing of Prospective Elementary School Teachers. Shukkwan Leung; Edward Silver, 11. Vihtilä, M. ( ). Mikä muuttuu kun symboliset laskimet sallitaan ylioppilaskokeessa? Haettu osoitteesta LUMA sanomat: Ylioppilastutkintolautakunta. (2011). Matematiikan kokeen määräykse

18 Liite 1: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset kevät 2011

19

20

21

22 Liite 2: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset syksy 2011

23

24

25