Mekaniikka Dynamiikka Kinematiikka newton joule

Transkriptio

1 Mekaniikka Kinematiikka Keskivauhti v k ' s t Keskikiihtyvyys Dynamiikka F 6 ' ma 6 [F] = kgm/s 2 = N newton Kitka F µ ' µn a k ' v t ' v & v 0 t Köysikitka: F 1 F 2 ' e µθ v k ' v % v 0 2 v ' v 0 % at Työ [W] = Nm = J joule W ' F s s ' v 0 t % 1 2 at 2 Nostotyö W ' mgh v 2 ' v 2 0 % 2as Jousivoima (harmoninen voima) F '&kx 2-ulotteinen liike: v x ' v 0x % a x t v y ' v 0y % a y t Potentiaalienergia eli asemaenergia E p ' mgh Kineettinen energia eli liike-energia *v 6 * ' v 2 x % v 2 y E k ' 1 2 mv 2 x ' v 0x t % 1 2 a x t 2 y ' v 0y t % 1 2 a y t 2 Yleinen 3-ulotteinen liike: 6 r (t) ' x(t) Pi % y(t)pj % z(t)pk v 6 (t) ' dr6 (t) dt r r vt () at () = d dt Jousen potentiaalienergia E p ' 1 2 kx 2 E ' W 1

2 Keskimääräinen teho ω ' ω 0 % αt P k ' W t n ' ω 0 t % 1 2 αt 2 [P k ] = J/s = W watti Hetkellinen teho P ' Fv ω k ' ω 0 % ω 2 Hyötysuhde η ' P anto P otto ' E anto E otto Kierrosaika T ja pyörimisnopeus eli kierrostaajuus n: T ' 1 n n ' ω 2π 6 6 Voiman impulssi I ' F t Liikemäärä p 6 ' mv I ' mv & mv0 Liikemäärän säilyminen: m 1 v 1 % m2 v 2 ' m1 u 1 % m2 u 2 Pyörimisliike Kulmanopeus ω ' n t [ω] = 1/s = rad/s [n] = kierrosta/s (tai r/min RPM) Kiihtyvyydet (Vääntö)momentti a t ' rα a n ' v 2 a ' a 2 t r % a 2 n F n ' m v 2 M ' F@r r Kulmakiihtyvyys: [α] = 1/s 2 Ratanopeus α ' ω t v ' rω Pyörimisliikkeen liikeyhtälö M ' Jα Steinerin sääntö J A ' J pp % mr 2 2

3 Pyörimisenergia ΣM ' 0 E r ' 1 2 Jω2 Mikäli kappale vierii liukumatta v ' rω a ' rα Työ W ' Mn Painopiste x pp ' m 1 x 1 % m 2 x 2 % m 3 x 3 % m 1 % m 2 % m 3 % ' A 1 x 1 % A 2 x 2 % A 3 x 3 % A 1 % A 2 % A 3 % y pp ' m 1 y 1 % m 2 y 2 % m 3 y 3 % m 1 % m 2 % m 3 % ' A 1 y 1 % A 2 y 2 % A 3 y 3 % A 1 % A 2 % A 3 % Teho P ' Mω Newtonin gravitaatiolaki Liikemäärämomentti eli pyörimismäärä L ' Jω F ' G m 1 m 2 r 2 jossa G on gravitaatiovakio ( = Nm 2 /kg 2 ) Momentin impulssi M t ' L & L 0 M g ' G (R % h) 2 E ' 1 2 mv 2 & G mm r Pyörimismäärän säilyminen Jω ' J 0 ω 0 Tasapainoehdot Statiikka Σ PF ' 0 ΣF x ' 0 ΣF y ' 0 3

4 Paine Nesteet p ' F A p/(ρg) on painekorkeus v 2 /(2g) nopeuskorkeus ja h asemakorkeus Venturin putki: virtausnopeus 1 bar = 10 5 Pa Hydrostaattinen paine p h ' ρgh Noste N ' ρvg h v 2 ' A 1 A 2 2 & A 2 1 Pitot'n putki: virtausnopeus ρ v 1 ' h ρ Tilavuusvirta [q V ] = m 3 /s Jatkuvuusyhtälö q V ' V t ' Av A 1 v 1 ' A 2 v 2 Bernoullin yhtälö ideaalinen tapaus: p % 1 2 ρv 2 % ρgh ' vakio ' kokonaispaine jossa ρ n on Pitot n putkessa olevan nesteen tiheys h on nestepintojen korkeusero putkessa ja ρ virtaavan fluidin tiheys Newtonin viskositeettilaki τ ' η v y τ = F/A leikkausjännitys η (dynaaminen) viskositeetti [η ] = Pa s Kinemaattinen viskositeetti ν = η/ρ [ν ] = m 2 /s Nopeusjakauma Poiseuillen virtauksessa v(r) ' v max 1 & r 2 R p 1 % 1 2 ρv 2 1 % ρgh 1 jossa v max ' 1 p 4 η z R 2 ' p 2 % 1 2 ρv 2 2 % ρgh 2 Hydraulinen korkeus: H ' p ρg % v 2 2g % h Tilavuusvirta q V Poiseuillen virtauksessa q V ' πr 2 z jossa hydraulinen johtavuus: 4

5 H ' R 2 Virtauksen keskinopeus 8η v k ' v max 2 Bernoullin yhtälö Poiseuillen virtauksessa jossa L on putken pituus ja D on putken halkaisija Turbulentissa virtauksessa paikalliset painehäviöt p ξ ' ξ 1 2 ρv 2 jossa ξ on paikallisvastuskerroin p 1 % ρv 2 1 % ρgh 1 ' p 2 % ρv 2 2 % ρgh 2 % p h Stokesin laki F µ '&6πµrv Reynoldsin luku Re ' ρvd η ' vd ν F ' jossa C on virtausvastus 1 2 ρv 2 jossa ρ on fluidin tiheys v keskimääräinen nopeus ν kinemaattinen viskositeetti ja D sopiva pituus Bernoullin yhtälö p 1 % C ρv % ρgh 1 % p P ' p 2 % C ρv % ρgh 2 % p h jossa p P on pumpun aiheuttama painelisäys ja p h kitkasta aiheutuva painehäviö Turbulentille virtaukselle korjauskerroin C 1 laminaarille virtaukselle C = 2 Pumpun kehittämä teho P P ' p q V Viskositeetin mittaus Ostwaldin viskosimetri: Pudotusviskosimetri ν ' t ν 0 t 0 η ' 2 (ρ k & ρ)r 2 k g v r η ' τ v/ y Fanningin yhtälö p h ' L 1 2 ρv 2 5

6 KIINTEÄN AINEEN MEKAANISIA OMINAISUUKSIA Puristuvuuskerroin K K ' p y V/V Normaalijännitys σ ' F A Isotrooppiselle aineelle µ P ' E 2G & 1 Hooken laki Kelvinin mallissa venymä ε(t) ajan funktiona ε ' 1 E σ ε(t) ' σ E (1& e&t/τ ) jossa ε on suhteellinen venymä ja E kimmokerroin [E] = Pa Sallittu jännitys σ sal ' σ m k jossa σ m on myötöraja tai murtolujuus ja k varmuuskerroin Leikkausjännitys jossa retardaatioaika τ = η /E Maxwellin mallissa jännitys ajan funktiona σ(t) ' εee &t/τ jossa relaksaatioaika τ =η /E LÄMPÖOPPI Lämpötila-asteikot τ ' F A T/K ' t/ec % Hooken laki leikkausjännitykselle γ ' 1 G τ jossa γ =( s/l) on liukukulma ja G liukukerroin Poissonin suhde µ P ' D/D l/l Lämpölaajeneminen l ' l T jossa α pituuden lämpölaajenemiskerroin [ α] = 1/K Pinta-alan ja tilavuuden lämpölaajenemiskertoimet: β = 2α ja γ = 3α 6

7 Aineen lämpöopilliset ominaisuudet Rakenteen lämmönläpäisykerroin eli U-arvo ([U] = W/(Km 2 )) Q ' cm T U ' 1 R jossa c ominaislämpökapasiteetti [c] = J/(kgK) Vedelle 418 kj/(kgk) Ominaissulamislämpö l s Q ' l s Ulkoseinän sisäpuolinen lämmönvastus 013 Km 2 /W ja ulkopuolinen 004 Km 2 /W Φ ' UA(T 1 & T 2 ) Ominaishöyrystymislämpö l h Q ' l h Φ ' 2πLλ T s & T u ln(r u /r s ) (sylinterille) Vedelle l s = 333 kj/kg sulamispisteessä ja l h = 2260 kj/kg kiehumispisteessä 1 bar:n paineessa Lämmön siirtyminen Fourierin I laki: Lämpövirta Φ '&λ A T x jossa λ on lämmönjohtavuus [λ ]= W/(m K) Lämpövirrantiheys q = Φ/A Φ ' 4πλ T s & T u 1/r s & 1/r u (pallolle) Virtauksen mukana siirtyvä lämpövirta Φ ' ctq m jossa q m on massavirta T on virtauksen lämpötila ja c virtaavan fluidin ominaislämpökapasiteetti Systeemin energiatase: E t ' cq m (T in & T out ) Lämmönvastus eli lämpöisolanssi ( [R] = Km 2 /W): L i λ i 1 h i R ' Σ L i λ i % Σ 1 h i jossa on ainekerroksen lämmönvastus ja on rajapinnan lämmönvastus Tässä h i on rajapinnan lämmönsiirtymiskerroin Massatase: m t E t ' m k c k T t ' q m (in) & q m (out) 7

8 Kvantin energia E ' hf jossa Planckin vakio h = Js Spektrinen heijastussuhde ρ(λ) spektrinen läpäisysuhde τ(λ) ja spektrinen absorptiosuhde α(λ) : ρ(λ) % α(λ) % τ(λ) ' 1 T(t) ' T lh & (T lh & T 0 )e & [UA/(mc)]t Aikavakio τ ' mc UA Biot'n luku Bi ' hl 2λ ' T k & T p T p & T f Wienin siirtymälaki λ max ' 2898 µmk T ' T aineessa T rajapinnassa Kappaleen nettosäteilylämpövirta Φ ' εσa(t 4 & T 4 0 ) jossa Stefanin - Boltzmannin vakio σ = W/(m 2 K 4 ) Termodynamiikka Isobaarisessa prosessissa W ' p a (V l & V a ) Isotermisessä prosessissa Ajasta riippuva lämmön siirtyminen W ' nrt ln V l V a Fourierin II laki d 2 T dx 2 ' cρ λ dt dt Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö U ' Q % W λ/(cρ) = α on lämmön diffuusiokerroin eli lämpötilan tasoittumiskerroin [α]= m 2 /s Lämpöhaude: lämmitysaika t t ' mc UA ln T lh & T 0 T lh & T l Yhden syklin aikana lämpövoimakone tekee työn W ' Q H & Q C Lämpövoimakoneen terminen hyötysuhde η ' 1 & Q C Q H 8

9 η max ' 1 & T C T H KAASUT JA HÖYRYT Ideaalikaasu Kylmäkerroin ε C ' Q C W ' Q C Q H & Q C Ideaalikaasun yleinen tilanyhtälö pv ' nrt jossa yleinen kaasuvakio R = J/(Kmol) ε Cmax ' T C T H & T C p 1 V 1 T 1 ' p 2 V 2 T 2 Lämpökerroin ε H ' Q H W ' Q H Q H & Q C Kineettistä kaasuteoriaa pv ' 2 3 nn A E k ε Hmax ' T H T H & T C jossa Avogadron luku N A = /mol DIFFUUSIO 2 3 N A E k ' RT Ainevirta Fickin lait q n ' q V jossa q V tilavuusvirta ja c aineen pitoisuus Fickin I laki q n '&DA c x E k ' 3 2 k B T jossa Boltzmannin vakio k B = J/K Ideaalikaasuseokset Daltonin osapainelaki p ' j p i jossa D diffuusiokerroin [D] = m 2 /s tai cm 2 /s Fickin II laki dc dt ' D d 2 c dx 2 9

10 Absoluuttinen kosteus Suhteellinen kosteus KOSTEUS Ilman kosteus RH ' ρ ' m V ρ ρ 100 % Vesi huokoisissa aineissa Veden kapillaarinen tunkeutumissyvyys x ajan t funktiona: x 2 = 1 m t jossa m (s/m 2 ) veden kapillaarivastus [m] = s/m 2 m = 1/B 2 jossa B tunkeutumiskerroin SÄHKÖOPPI RH ' p v p 100 % Coulombin laki Sähköstatiikka Pintajännitys F ' 1 4πε r ε 0 Q 1 Q 2 r 2 Pintajännitys σ σ ' W A Vedelle σ = N/m (+20 EC:ssa) Pintajännitysvoima F ' R jossa R on tilanteen mukainen reunaviivan pituus Paine vesipisarassa (Laplacen yhtälö) jossa ε 0 = C 2 /Nm 2 Sähkökentän voimakkuus [E] = N/C = V/m E 6 ' F6 q Pistemäinen varauksellinen hiukkanen 1 Q E ' 1 4πεε 0 r 2 Kapillaarinen nousu p in ' p o % 2σ r h ' 2σ cosθ ρgr Pitkän varauksellisen johtimen läheisyydessä E ' *λ* 2πε 0 r jossa λ on johtimen varaus pituusyksikköä kohden (Johtimen pituus l >> r) Levyn pinnan läheisyydessä E ' *σ* 2ε 0 jossa σ = Q/A on pinnan varauskate 10

11 Välittömästi johdepinnan ulkopuolella E ' *σ* ε 0 qu ' 1 2 mv 2 1 ev = J Sähkövuo sellaisen pinnan läpi jonka pintaala on A Ψ ' DA z ' DA cosθ Potentiaaleja: Pistemäinen hiukkanen jonka varaus on Q Q V ' 4πε 0 r jossa (tyhjiössä) sähkövuon tiheys D on D = ε 0 E Gaussin laki: Ψ ' Q jossa Q on suljetun pinnan sisälle jäävä varaus Metallipallon sisällä V 0 ' ja ulkopuolella V ' Q 4πε 0 r 0 Q 4πε 0 r Gaussin lain integraalimuoto: d PA ' Q n ε A 0 Sähköinen dipolimomentti Suhteellinen permittiivisyys ε r ' E ulk E e Kondensaattorin kapasitanssi p ' 2aq [C] = C/V = F faradi C ' Q U Pisteiden A ja B välinen jännite eli potentiaaliero U AB U AB '&E s Levykondensaattori C ' ε r ε 0 A d U AB ' V A & V B jossa V A on pisteen A potentiaali [V] = [U] = J/C = V voltti ε r ' U U e Jos hiukkanen jonka varaus on q siirtyy sähkökentässä jännitteen U yli: W ' qu Sylinterikondensaattori C ' 2πε r ε 0 L ln(r/r) 11

12 Kondensaattorin energia E C ' 1 2 QU ' 1 2 CU 2 ' Q 2 Sarjaan kytketyt kondensaattorit: 1 C ' 1 C 1 % 1 C 2 % U 1 U 2 ' C 2 C 1 Rinnan kytketyt kondensaattorit: C ' C 1 % C 2 % 2C NTC- termistorin lämpötilariippuvuus R T = R 4 e b/t Konduktanssi G G ' 1 R [G] = 1/Ω = S siemens Konduktiivisuus eli johtavuus γ ' 1 ρ Sähkövirran tiheys Q 1 Q 2 ' C 1 C 2 J ' I A E ' ρj Sähkövirta Tasavirtapiirit U ' RI [ I ] = A ampeeri I ' Q t Jännitelähteen napajännite U ' E & R s I Resistanssi (yksikkö Ω ohmi) R ' ρ l A ρ resistiivisyys [ρ] = Ωm tai Ωmm 2 /m Metallijohtimen resistanssin lämpötilariippuvuus R ' R 0 [1 % α(t & T 0 )] jossa α resistanssin lämpötilakerroin [α]= 1/K jossa E lähdejännite ja R s sisäinen resistanssi Latautuva jännitelähde U ' E % R s I Tehohäviö vastuksessa P ' UI P ' U 2 R ' RI 2 12

13 Sarjaan kytketyt vastukset: R ' R 1 % R 2 % R s ' R s1 n U 1 : U 2 : ' R 1 : R 2 : Rinnan kytketyt vastukset: 1 R ' 1 R 1 % 1 R 2 % G ' G 1 % G 2 % Kondensaattori tasavirtapiirissä Latautuminen U C ' (1 & e &t/rc ) I ' E e&t/rc I 1 : I 2 ' R 2 : R 1 aikavakio τ = RC Venymäliuskan resistanssi Purkautuminen R R ' l l l l U C ' e &t/rc I ' E e&t/rc Wheatstonen silta U ' R 1 R 4 (R 1 % R 4 ) 2 R 1 R 1 & R 2 R 2 % R 3 R 3 & R 4 R 4 E Jännitelähteiden sarjaan kytkentä: E ' E 1 % E 2 % E 3 R s ' R s1 % R s2 % R s3 % Jännitelähteiden rinnan kytkentä E ' E 1 13

14 Hitausmomentteja TAULUKOT Jäykkä kappale (A = pyörimisakseli) Pistemäinen kappale (massa m) etäisyydellä r pyörimisakselista Umpinainen sylinteri tai pyörä Hitausmomentti mr mr 2 Sylinterin kuori tai ympyrärengas m r 2 Ontto sylinteri sisäsäde r ja ulkosäde R 1 2 m(r 2 % R 2 ) Tasapaksu sauva 1 12 mr2 Suorakulmio 1 12 m(a 2 % b 2 ) Pallokuori 2 3 mr 2 Umpinainen pallo 2 5 mr 2 14

15 Aineiden ominaisuuksia Kiinteitä alkuaineita Tiheys (20 EC) Alkuaine Kimmokerroin Pituuden lämpötilakerroin Ominaislämpökapasiteetti Lämmönjohtavuus Sulamispiste Kiehumispiste Ominaissulamislämpö Ominaishöyrystymislämpö 10 3 kg/m Pa 10-6 K -1 kj/(kg K) W/(m K) EC EC kj/kg MJ/kg Alumiini Hopea Kulta Kupari Lyijy Nikkeli Pii Platina Rauta Sinkki Volframi

16 Metalliseoksia Aine Tiheys Kimmokerroin Pituuden lämpötilakerroin Ominaislämpökapasiteetti Lämmönjohtavuus Sulamispiste 10 3 kg/m Pa 10-6 K -1 K) K) E C Invar Konstantaani Cu 58Ni 41Mn Messinki Cu 63 Zn Teräs

17 Muita kiinteitä aineita Aine Tiheys Pituuden lämpötilakerroin Ominaislämpökapasiteetti Lämmönjohtavuus 10 3 kg/m K -1 K) K) Betoni kuiva Graniitti Jää (-4 E C) Korkki Polyeteeni Polystyreeni Puu havu PVC Styroksi >0015 >0041 Tiili Vuorivilla

18 Nesteitä ja kaasuja Aine Tiheys (20 E C nesteet NTP kaasut) Viskositeetti (18EC nesteet 0 EC kaasut) (18 EC ) (0 EC -100 EC nesteet 0 EC kaasut) (1013 bar) Pintajännitys Ominaislämpökapasiteetti Lämmönjohtavuus Sulamispiste Ominaissulamislämpö Kiehumispiste (1013 bar) kg/m Ns/m N/m K) K) EC kj/kg E C Glykoli Glyseroli Ilma Metaani Metanoli Rikkihappo Vesi H 2 O D 2 O

19 Eristeiden suhteellisia permittiivisyyksiä ja läpilyöntilujuuksia lämpötilassa 20 EC Aine Suhteellinen permittiivisyys Läpilyöntilujuus (MV/m) Alumiinioksidi 103 Akryyli 3 20 Ilma (kuiva) Jää 3 Lasi 7 15 Muuntajaöljy Nailon Paperi (kuiva) Kiille Polyesterikalvo Puu (kuiva) n 5 PVC Teflon 2 60 Vesi (tislattu)

20 Kiinteiden aineiden resistiivisyyksiä ja resistanssin lämpötilakertoimia 20 EC:ssa Aine Resistiivisyys µωm Resistanssin lämpötilakerroin /K Alumiini Germanium Hiili (grafiitti) Hopea Kulta Kupari Lyijy Nikkeli Pii Platina Rauta Sinkki Volframi Invar Konstantaani Manganiini Teräs Lasi Polyeteeni Polystyreeni Puu (kuiva) PVC

21 Maksimikosteus ja kylläisen vesihöyryn paine Lämpötila E C Maksimikosteus g/m 3 Paine kpa Lämpötila E C Maksimikosteus g/m 3 Paine kpa

22 Vakioita Vakio Symboli Arvo Atomimassayksikkö u kg Avogadron vakio N A mol -1 Boltzmannin vakio k = R/N A J/K Coulombin vakio k = 1/4πε N@m 2 /C 2 Elektronin massa m e kg Alkeisvaraus e C Yleinen kaasuvakio R J/(K@mol) Gravitaatiovakio G N@m 2 /kg 2 Maan säde R 6380 km Putoamiskiihtyvyys g 981 m/s 2 Tyhjiön permeabiliteetti µ V@s/(A@m) Tyhjiön permittiivisyys ε C 2 /Nm 2 Planckin vakio h J@s Protonin massa m p kg Neutronin massa m n kg Valon nopeus tyhjiössä c 10 8 m/s Vapaan tilan aaltoimpedanssi Z 377 Ω Magneettinen vuokvanttti 2e/h Wb Rydbergin vakio R H /m Stefanin-Boltzmannin vakio σ 10-8 W/(m 2 K 4 )) Wienin siirtymälain vakio µm 22